ស្ថិតិមកជាជំនួយរបស់យើងក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើន ឧទាហរណ៍៖ នៅពេលដែលវាមិនអាចបង្កើតគំរូកំណត់បាន នៅពេលដែលមានកត្តាច្រើនពេក ឬនៅពេលដែលយើងត្រូវការប៉ាន់ស្មានលទ្ធភាពនៃគំរូដែលបានសាងសង់ដោយគិតគូរពីទិន្នន័យដែលមាន។ ទំនាក់ទំនងទៅនឹងស្ថិតិគឺមិនច្បាស់លាស់។ វាត្រូវបានគេជឿថាមានបីប្រភេទនៃការកុហក: កុហក, ភូតកុហកនិងស្ថិតិ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត "អ្នកប្រើប្រាស់" នៃស្ថិតិជាច្រើនជឿវាច្រើនពេក ដោយមិនបានយល់ច្បាស់ពីរបៀបដែលវាដំណើរការ៖ ការអនុវត្តឧទាហរណ៍ ការធ្វើតេស្តទៅលើទិន្នន័យណាមួយដោយមិនពិនិត្យមើលភាពធម្មតារបស់វា។ ការធ្វេសប្រហែសបែបនេះអាចបង្កើតកំហុសធ្ងន់ធ្ងរ និងបង្វែរ "អ្នកគាំទ្រ" នៃការធ្វើតេស្តនេះ ទៅជាស្អប់ខ្ពើមស្ថិតិ។ ចូរយើងព្យាយាមដាក់ចរន្តនៅលើ i ហើយរកមើលថាតើគំរូណាមួយនៃអថេរចៃដន្យដែលគួរត្រូវបានប្រើដើម្បីពិពណ៌នាអំពីបាតុភូតជាក់លាក់ និងប្រភេទនៃទំនាក់ទំនងហ្សែនដែលមានរវាងពួកវា។

ជាបឋម សម្ភារៈនេះនឹងមានការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះសិស្សដែលសិក្សាទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិ ទោះបីជាអ្នកឯកទេស "ចាស់ទុំ" នឹងអាចប្រើវាជាឯកសារយោងក៏ដោយ។ នៅក្នុងការងារមួយខាងក្រោមនេះ ខ្ញុំនឹងបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ស្ថិតិដើម្បីកសាងការសាកល្បងសម្រាប់វាយតម្លៃពីសារៈសំខាន់នៃសូចនាករនៃយុទ្ធសាស្រ្តជួញដូរប្តូរប្រាក់។

ការងារនឹងពិចារណា៖

នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការឆ្លុះបញ្ចាំង។ ខ្ញុំនឹងចែករំលែកគំនិតរបស់ខ្ញុំអំពីរឿងនេះនៅក្នុងអត្ថបទបន្ទាប់របស់ខ្ញុំ។

ការចែកចាយបន្តមួយចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាករណីពិសេស។

ការចែកចាយផ្តាច់មុខ

ការចែកចាយដាច់ពីគ្នាត្រូវបានប្រើដើម្បីពិពណ៌នាអំពីព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានលក្ខណៈមិនខុសគ្នាដែលបានកំណត់នៅចំណុចដាច់ឆ្ងាយ។ និយាយឱ្យសាមញ្ញ សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលលទ្ធផលអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈប្រភេទដាច់ដោយឡែកមួយចំនួន៖ ជោគជ័យ ឬបរាជ័យ ចំនួនគត់ (ឧទាហរណ៍ ហ្គេមរ៉ូឡែត គ្រាប់ឡុកឡាក់) ក្បាល ឬកន្ទុយ។ល។

ការចែកចាយដាច់ដោយឡែកត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃលទ្ធផលនីមួយៗដែលអាចកើតមាននៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ចំពោះការបែងចែកណាមួយ (រួមទាំងការបន្ត) គោលគំនិតនៃការរំពឹងទុក និងការប្រែប្រួលត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដាច់ដោយឡែក។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាគួរតែត្រូវបានយល់ថាការរំពឹងទុកសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ជាទូទៅមិនអាចសម្រេចបានថាជាលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យតែមួយ ប៉ុន្តែជាតម្លៃដែលមធ្យមនព្វន្ធនៃលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍នឹងមាននិន្នាការកើនឡើងនៅពេលដែលចំនួនរបស់ពួកគេកើនឡើង។

នៅក្នុងការធ្វើគំរូនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដាច់ដោយឡែក បន្សំដើរតួយ៉ាងសំខាន់ ចាប់តាំងពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលព្រឹត្តិការណ៍អាចត្រូវបានកំណត់ថាជាសមាមាត្រនៃចំនួនបន្សំដែលផ្តល់លទ្ធផលដែលចង់បានទៅនឹងចំនួនសរុបនៃបន្សំ។ ឧទាហរណ៍៖ មានបាល់ពណ៌សចំនួន ៣ និងគ្រាប់ខ្មៅចំនួន ៧ នៅក្នុងកន្ត្រក។ នៅពេលយើងជ្រើសរើសបាល់ 1 ពីកន្ត្រក យើងអាចធ្វើវាតាមវិធី 10 ផ្សេងគ្នា (ចំនួនសរុបនៃបន្សំ) ប៉ុន្តែមានតែ 3 វិធីប៉ុណ្ណោះដែលបាល់ពណ៌សត្រូវបានជ្រើសរើស (3 បន្សំដែលផ្តល់លទ្ធផលដែលត្រូវការ) ។ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការជ្រើសរើសបាល់ពណ៌សគឺ: () ។

វាក៏ចាំបាច់ផងដែរក្នុងការបែងចែករវាងគំរូជាមួយនឹងការជំនួសនិងដោយគ្មានការជំនួស។ ជាឧទាហរណ៍ ដើម្បីពណ៌នាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការជ្រើសរើសបាល់ពណ៌សពីរ វាជាការសំខាន់ក្នុងការកំណត់ថាតើបាល់ទីមួយនឹងត្រូវត្រលប់ទៅកញ្ចប់វិញឬយ៉ាងណា។ ប្រសិនបើមិនមែនទេ នោះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងគំរូមួយដោយគ្មានការជំនួស () ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនឹងមានដូចខាងក្រោម៖ - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការជ្រើសរើសបាល់ពណ៌សពីគំរូដំបូង គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការជ្រើសរើសបាល់ពណ៌សម្តងទៀតពីគ្រាប់ដែលនៅសល់ក្នុងកន្ត្រក។ . ប្រសិនបើបាល់ទីមួយត្រូវបានត្រលប់ទៅកន្ត្រកនោះ នេះគឺជាការត្រលប់មកវិញ ()។ ក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការជ្រើសរើសបាល់ពណ៌សពីរគឺ .

ប្រសិនបើយើងធ្វើគំរូកញ្ចប់ជាផ្លូវការបន្តិចដូចខាងក្រោម៖ អនុញ្ញាតឱ្យលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយយកតម្លៃមួយក្នុងចំណោមតម្លៃពីរ 0 ឬ 1 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេរៀងៗខ្លួន នោះការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានលទ្ធផលនីមួយៗដែលបានស្នើឡើងនឹងត្រូវបានគេហៅថាការចែកចាយ Bernoulli ។ :

ជាប្រពៃណី លទ្ធផលដែលមានតម្លៃ 1 ត្រូវបានគេហៅថា "ជោគជ័យ" ហើយលទ្ធផលដែលមានតម្លៃ 0 ត្រូវបានគេហៅថា "បរាជ័យ" ។ វាច្បាស់ណាស់ថាការទទួលបានលទ្ធផល "ជោគជ័យ ឬបរាជ័យ" កើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ។

ការរំពឹងទុក និងភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយ Bernoulli៖

ចំនួនជោគជ័យក្នុងការសាកល្បង លទ្ធផលដែលត្រូវបានចែកចាយជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ (ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងការបញ្ជូនបាល់ទៅកន្ត្រក) ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយការចែកចាយ binomial:

នៅក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀត យើងអាចនិយាយបានថា ការចែកចាយ binomial ពិពណ៌នាអំពីផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ ដែលអាចត្រូវបានចែកចាយជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ។
ការរំពឹងទុក និងភាពខុសគ្នា៖

ការចែកចាយ binomial មានសុពលភាពសម្រាប់តែគំរូ reentrant ប៉ុណ្ណោះ ពោលគឺនៅពេលដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យនៅតែថេរសម្រាប់ស៊េរីនៃការសាកល្បងទាំងមូល។

ប្រសិនបើបរិមាណ និងមានការចែកចាយ binomial ជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និងរៀងៗខ្លួន នោះផលបូករបស់ពួកគេក៏នឹងត្រូវបានចែកចាយជា binomial ជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រផងដែរ។

ស្រមៃមើលស្ថានភាពដែលយើងទាញបាល់ពីកន្ត្រក ហើយត្រលប់មកវិញរហូតដល់បាល់ពណ៌សត្រូវបានគូរ។ ចំនួននៃប្រតិបត្តិការបែបនេះត្រូវបានពិពណ៌នាដោយការចែកចាយធរណីមាត្រ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត៖ ការចែកចាយធរណីមាត្រពិពណ៌នាអំពីចំនួននៃការសាកល្បងចំពោះជោគជ័យដំបូងដែលផ្តល់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ។ ប្រសិនបើចំនួននៃការសាកល្បងដែលជោគជ័យបានកើតឡើងត្រូវបានបញ្ជាក់ នោះការចែកចាយធរណីមាត្រនឹងត្រូវបានពិពណ៌នាដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖

ការរំពឹងទុក និងភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយធរណីមាត្រ៖

ការចែកចាយធរណីមាត្រគឺទាក់ទងហ្សែនទៅនឹងការចែកចាយដែលពិពណ៌នាអំពីអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់៖ ពេលវេលាមុនពេលព្រឹត្តិការណ៍មួយ ជាមួយនឹងអាំងតង់ស៊ីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍។ ការចែកចាយធរណីមាត្រក៏ជាករណីពិសេសផងដែរ។

ការចែកចាយ Pascal គឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃការចែកចាយ៖ វាពិពណ៌នាអំពីការបែងចែកចំនួននៃការបរាជ័យក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យ លទ្ធផលដែលត្រូវបានចែកចាយលើប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យមុននឹងផលបូកនៃភាពជោគជ័យ។ សម្រាប់ យើងទទួលបានការចែកចាយសម្រាប់បរិមាណ។

តើចំនួនបន្សំពីទៅណា។

ការរំពឹងទុក និងភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយ binomial អវិជ្ជមាន៖

ផលបូកនៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាម Pascal ក៏ត្រូវបានចែកចាយផងដែរដោយយោងទៅតាម Pascal៖ អនុញ្ញាតឱ្យវាមានការចែកចាយ និង - . អនុញ្ញាតឱ្យឯករាជ្យផងដែរ នោះផលបូករបស់ពួកគេនឹងមានការចែកចាយ

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានមើលឧទាហរណ៍នៃសំណាកគំរូឡើងវិញ ពោលគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការសាកល្បងទៅការសាកល្បងទេ។

ឥឡូវនេះពិចារណាស្ថានភាពដោយគ្មានការជំនួស ហើយពិពណ៌នាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំនួនគំរូជោគជ័យពីចំនួនប្រជាជន ជាមួយនឹងចំនួនជោគជ័យ និងបរាជ័យដែលបានកំណត់ទុកជាមុន (ចំនួនដែលបានកំណត់ទុកជាមុននៃគ្រាប់បាល់ពណ៌ស និងខ្មៅនៅក្នុងកន្ត្រក សន្លឹកបៀនៅក្នុងនាវា ផ្នែកដែលមានបញ្ហានៅក្នុង ល្បែងជាដើម) ។

ទុក​ឱ្យ​ការ​ប្រមូល​សរុប​មាន​វត្ថុ​ដែល​ត្រូវ​បាន​ដាក់​ស្លាក​ជា "1" និង "0" ។ យើងនឹងពិចារណាការជ្រើសរើសវត្ថុដែលមានស្លាក "1" ជាជោគជ័យ ហើយជាមួយស្លាក "0" ជាការបរាជ័យ។ ចូរយើងអនុវត្តការសាកល្បង ហើយវត្ថុដែលបានជ្រើសរើសនឹងមិនចូលរួមក្នុងការសាកល្បងទៀតទេ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យនឹងធ្វើតាមការចែកចាយធរណីមាត្រ៖

តើចំនួនបន្សំពីទៅណា។

ការរំពឹងទុក និងភាពខុសគ្នា៖

ការចែកចាយ Poisson

(យកពីទីនេះ)

ការចែកចាយ Poisson មានភាពខុសប្លែកគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីការចែកចាយដែលបានពិចារណាខាងលើនៅក្នុងតំបន់ "ប្រធានបទ" របស់វា៖ ឥឡូវនេះវាមិនមែនជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលតេស្តជាក់លាក់មួយដែលត្រូវបានពិចារណានោះទេ ប៉ុន្តែជាអាំងតង់ស៊ីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ពោលគឺចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ជាមធ្យមក្នុងមួយឯកតាពេលវេលា។

ការចែកចាយ Poisson ពិពណ៌នាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យក្នុងរយៈពេលជាមួយនឹងអាំងតង់ស៊ីតេជាមធ្យមនៃព្រឹត្តិការណ៍៖

ការរំពឹងទុក និងភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយ Poisson៖

ភាពខុសគ្នា និងមធ្យមនៃការចែកចាយ Poisson គឺដូចគ្នាបេះបិទ។

ការចែកចាយ Poisson រួមបញ្ចូលគ្នាជាមួយ ដែលពិពណ៌នាអំពីចន្លោះពេលរវាងការចាប់ផ្តើមនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ បង្កើតជាមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យានៃទ្រឹស្តីនៃភាពអាចជឿជាក់បាន។

ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យ x និង y () ជាមួយនឹងការចែកចាយ និងអាចត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម៖

ការចែកចាយមួយចំនួនខាងក្រោមគឺជាករណីពិសេសនៃការចែកចាយ Pearson ដែលជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ៖

កន្លែងដែលនិងជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយ។ មាន 12 ប្រភេទនៃការចែកចាយ Pearson អាស្រ័យលើតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ការចែកចាយដែលនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកនេះមានទំនាក់ទំនងជិតស្និទ្ធជាមួយគ្នា។ ការតភ្ជាប់ទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងការពិតដែលថាការចែកចាយមួយចំនួនគឺជាករណីពិសេសនៃការចែកចាយផ្សេងទៀត ឬពិពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងការចែកចាយផ្សេងទៀត។

ដ្យាក្រាមខាងក្រោមបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងការចែកចាយបន្តមួយចំនួនដែលនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ នៅក្នុងដ្យាក្រាម ព្រួញរឹងបង្ហាញពីការបំប្លែងអថេរចៃដន្យ (ការចាប់ផ្តើមនៃព្រួញបង្ហាញពីការចែកចាយដំបូង ចុងបញ្ចប់នៃព្រួញ - លទ្ធផលមួយ) ហើយសញ្ញាព្រួញបង្ហាញទំនាក់ទំនងទូទៅ (ការចាប់ផ្តើមនៃព្រួញបង្ហាញ ការចែកចាយ ដែលជាករណីពិសេសមួយ ដែលបង្ហាញដោយចុងព្រួញ)។ សម្រាប់ករណីពិសេសនៃការចែកចាយ Pearson ខាងលើព្រួញចំនុច ប្រភេទដែលត្រូវគ្នានៃការចែកចាយ Pearson ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ។

ទិដ្ឋភាពទូទៅនៃការចែកចាយដែលបានផ្តល់ជូនខាងក្រោមគ្របដណ្តប់ករណីជាច្រើនដែលកើតឡើងនៅក្នុងការវិភាគទិន្នន័យ និងដំណើរការគំរូ ទោះបីជាការពិតវាមិនមានការចែកចាយទាំងអស់ដែលស្គាល់ដោយវិទ្យាសាស្ត្រក៏ដោយ។

ការចែកចាយធម្មតា (ការចែកចាយ Gaussian)

(យកពីទីនេះ)

ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចែកចាយធម្មតាជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និងត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអនុគមន៍ Gaussian៖

ប្រសិនបើ និង នោះការចែកចាយបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាស្តង់ដារ។

ការរំពឹងទុក និងភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយធម្មតា៖

ដែននៃនិយមន័យនៃការចែកចាយធម្មតាគឺជាសំណុំនៃចំនួនពិត។

ការចែកចាយធម្មតាគឺជាការចែកចាយប្រភេទ VI ។

ផលបូកនៃការ៉េនៃតម្លៃធម្មតាឯករាជ្យមាន ហើយសមាមាត្រនៃតម្លៃ Gaussian ឯករាជ្យត្រូវបានចែកចាយលើ .

ការចែកចាយធម្មតាគឺអាចបែងចែកដោយគ្មានកំណត់៖ ផលបូកនៃបរិមាណចែកចាយធម្មតា និងជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ហើយរៀងគ្នាក៏មានការចែកចាយធម្មតាជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កន្លែង និង .

អណ្តូងចែកចាយធម្មតាធ្វើគំរូបរិមាណដែលពិពណ៌នាអំពីបាតុភូតធម្មជាតិ សំលេងរំខាននៃធម្មជាតិនៃទែរម៉ូឌីណាមិក និងកំហុសក្នុងការវាស់វែង។

លើសពីនេះ យោងតាមទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌឯករាជ្យមួយចំនួនធំនៃលំដាប់ដូចគ្នា បង្រួបបង្រួមទៅជាការចែកចាយធម្មតា ដោយមិនគិតពីការចែកចាយនៃលក្ខខណ្ឌ។ ដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ការចែកចាយធម្មតាគឺមានប្រជាប្រិយភាពក្នុងការវិភាគស្ថិតិ ការធ្វើតេស្តស្ថិតិជាច្រើនត្រូវបានរចនាឡើងសម្រាប់ទិន្នន័យចែកចាយធម្មតា។

ការធ្វើតេស្ត z គឺផ្អែកលើការបែងចែកគ្មានកំណត់នៃការចែកចាយធម្មតា។ ការធ្វើតេស្តនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើការរំពឹងទុកនៃគំរូនៃអថេរដែលបានចែកចាយធម្មតាគឺស្មើនឹងតម្លៃមួយចំនួន។ តម្លៃបំរែបំរួលគួរតែជា ស្គាល់. ប្រសិនបើតម្លៃនៃបំរែបំរួលគឺមិនស្គាល់ ហើយត្រូវបានគណនាដោយផ្អែកលើគំរូដែលបានវិភាគ នោះការធ្វើតេស្ត t ដោយផ្អែកលើ .

សូម​ឲ្យ​យើង​មាន​គំរូ​តម្លៃ​ចែកចាយ​តាម​ធម្មតា n ឯករាជ្យ​ពី​ប្រជាជន​ទូទៅ​ដោយ​មាន​គម្លាត​ស្តង់ដារ ចូរ​យើង​សន្មត់​ថា . បន្ទាប់មកតម្លៃនឹងមានការចែកចាយធម្មតាស្តង់ដារ។ ដោយការប្រៀបធៀបតម្លៃ z ដែលទទួលបានជាមួយនឹងបរិមាណនៃការចែកចាយស្តង់ដារ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលយក ឬបដិសេធសម្មតិកម្មជាមួយនឹងកម្រិតនៃសារៈសំខាន់ដែលត្រូវការ។

ដោយសារតែភាពប្រេវ៉ាឡង់នៃការចែកចាយ Gaussian អ្នកស្រាវជ្រាវជាច្រើនដែលមិនស្គាល់ស្ថិតិច្បាស់ណាស់ភ្លេចពិនិត្យមើលទិន្នន័យសម្រាប់ភាពធម្មតា ឬវាយតម្លៃផែនការដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយ "ដោយភ្នែក" ដោយជឿថាពួកគេកំពុងដោះស្រាយជាមួយទិន្នន័យ Gaussian ។ ដូច្នោះហើយ ការអនុវត្តន៍យ៉ាងក្លាហាននូវការធ្វើតេស្តដែលបានរចនាឡើងសម្រាប់ការចែកចាយធម្មតា និងទទួលបានលទ្ធផលមិនត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង។ ប្រហែលជានេះជាកន្លែងដែលពាក្យចចាមអារ៉ាមអំពីស្ថិតិដែលជាប្រភេទនៃការកុហកដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាចបំផុតបានមកពី។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ: យើងត្រូវវាស់ភាពធន់នៃសំណុំនៃ resistors នៃតម្លៃជាក់លាក់មួយ។ Resistance មានលក្ខណៈរូបវន្ត វាសមហេតុផលក្នុងការសន្មត់ថាការចែកចាយនៃ Resistance គម្លាតពីតម្លៃបន្ទាប់បន្សំនឹងមានលក្ខណៈធម្មតា។ យើងវាស់ យើងទទួលបានអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេរាងកណ្តឹងសម្រាប់តម្លៃដែលបានវាស់ជាមួយនឹងរបៀបមួយនៅក្នុងបរិវេណនៃការវាយតម្លៃរបស់រេស៊ីស្តង់។ តើនេះជាការចែកចាយធម្មតាទេ? ប្រសិនបើបាទ/ចាស នោះយើងនឹងស្វែងរកឧបករណ៍ទប់ទល់ដែលមានបញ្ហាដោយប្រើ , ឬ z-test ប្រសិនបើយើងដឹងពីភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយជាមុន។ ខ្ញុំគិតថាមនុស្សជាច្រើននឹងធ្វើដូច្នេះ។

ប៉ុន្តែសូមពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែដិតដល់នូវបច្ចេកវិជ្ជាវាស់ស្ទង់ភាពធន់៖ ភាពធន់ត្រូវបានកំណត់ជាសមាមាត្រនៃវ៉ុលដែលបានអនុវត្តចំពោះលំហូរបច្ចុប្បន្ន។ យើងបានវាស់ចរន្ត និងវ៉ុលជាមួយឧបករណ៍ ដែលជាទូទៅមានកំហុសក្នុងការចែកចាយ។ នោះគឺតម្លៃវាស់នៃចរន្តនិងវ៉ុលគឺ ជាធម្មតាបានចែកចាយអថេរចៃដន្យជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃពិតនៃបរិមាណដែលបានវាស់។ ហើយនេះមានន័យថាតម្លៃធន់ទ្រាំដែលទទួលបានត្រូវបានចែកចាយតាមបណ្តោយហើយមិនមែនយោងទៅតាម Gauss ទេ។

ការចែកចាយពិពណ៌នាអំពីផលបូកនៃការ៉េនៃអថេរចៃដន្យ ដែលនីមួយៗត្រូវបានចែកចាយដោយយោងតាមច្បាប់ធម្មតាស្តង់ដារ៖

តើចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពនៅឯណា?

ការរំពឹងទុក និងភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយ៖

ដែននៃនិយមន័យគឺជាសំណុំនៃលេខធម្មជាតិដែលមិនអវិជ្ជមាន។ គឺជាការចែកចាយដែលមិនអាចបំបែកបាន។ ប្រសិនបើ និង - ត្រូវបានចែកចាយលើស ហើយមាន និងកម្រិតនៃសេរីភាពរៀងៗខ្លួន នោះផលបូករបស់ពួកគេក៏នឹងត្រូវបានចែកចាយផងដែរ និងមានកម្រិតនៃសេរីភាព។

វាគឺជាករណីពិសេសមួយ (ហើយដូច្នេះការចែកចាយប្រភេទ III) និងការធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈទូទៅ។ សមាមាត្រនៃបរិមាណចែកចាយលើការចែកចាយ។

ការធ្វើតេស្តភាពសមសួនរបស់ Pearson គឺផ្អែកលើការចែកចាយ។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើគំរូនៃអថេរចៃដន្យជាកម្មសិទ្ធិរបស់ការចែកចាយទ្រឹស្តីជាក់លាក់។

ឧបមាថាយើងមានគំរូនៃអថេរចៃដន្យមួយចំនួន។ ដោយផ្អែកលើគំរូនេះយើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលតម្លៃនឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេល () ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការសន្មត់ផងដែរអំពីការបញ្ចេញមតិវិភាគនៃការចែកចាយ យោងតាមនោះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលដែលបានជ្រើសរើសគួរតែជា . បន្ទាប់មកបរិមាណនឹងត្រូវបានចែកចាយតាមច្បាប់ធម្មតា។

យើងនាំយកទៅការចែកចាយធម្មតាស្តង់ដារ: ,
កន្លែងណា និង .

បរិមាណដែលទទួលបានមានការចែកចាយធម្មតាជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (0, 1) ហើយដូច្នេះផលបូកនៃការ៉េរបស់ពួកគេត្រូវបានចែកចាយជាមួយនឹងកម្រិតនៃសេរីភាព។ ការថយចុះកម្រិតនៃសេរីភាពត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការរឹតបន្តឹងបន្ថែមលើផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេល: វាត្រូវតែស្មើនឹង 1 ។

ដោយការប្រៀបធៀបតម្លៃជាមួយនឹងបរិមាណនៃការចែកចាយ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលយក ឬបដិសេធសម្មតិកម្មអំពីការចែកចាយតាមទ្រឹស្តីនៃទិន្នន័យជាមួយនឹងកម្រិតនៃសារៈសំខាន់ដែលត្រូវការ។

ការចែកចាយរបស់សិស្សត្រូវបានប្រើដើម្បីធ្វើតេស្ត t: ការធ្វើតេស្តសម្រាប់សមភាពនៃតម្លៃដែលរំពឹងទុកនៃគំរូនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយទៅតម្លៃជាក់លាក់មួយ ឬសមភាពនៃតម្លៃរំពឹងទុកនៃគំរូពីរដែលមានភាពខុសគ្នាដូចគ្នា ( សមភាពនៃភាពខុសគ្នាត្រូវតែត្រួតពិនិត្យ) ។ ការចែកចាយ t របស់សិស្សពិពណ៌នាអំពីសមាមាត្រនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយទៅនឹងតម្លៃដែលបានចែកចាយលើ .

អនុញ្ញាតឱ្យ និងជាអថេរចៃដន្យដោយឯករាជ្យ ជាមួយនឹងកម្រិតនៃសេរីភាព និងរៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកបរិមាណនឹងមានការចែកចាយ Fisher ជាមួយនឹងកម្រិតនៃសេរីភាព ហើយបរិមាណនឹងមានការចែកចាយ Fisher ជាមួយនឹងកម្រិតនៃសេរីភាព។
ការចែកចាយ Fisher ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់អាគុយម៉ង់មិនអវិជ្ជមានពិតប្រាកដ និងមានដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ៖


ការរំពឹងទុក និងភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយ Fisher:

ការរំពឹងទុកត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ ហើយភាពខុសគ្នាត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ .

ការធ្វើតេស្តស្ថិតិមួយចំនួនគឺផ្អែកលើការចែកចាយ Fisher ដូចជាការវាយតម្លៃសារៈសំខាន់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រតំរែតំរង់ ការធ្វើតេស្តសម្រាប់ heteroscedasticity និងការធ្វើតេស្តសម្រាប់សមភាពនៃការប្រែប្រួលគំរូ (f-test ដែលត្រូវសម្គាល់ពី ត្រឹមត្រូវ។ការធ្វើតេស្តអ្នកនេសាទ) ។

F-test៖ អនុញ្ញាតឱ្យមានគំរូឯករាជ្យពីរ និងបរិមាណទិន្នន័យដែលបានចែកចាយ និងរៀងគ្នា។ ចូរយើងដាក់ចេញនូវសម្មតិកម្មអំពីសមភាពនៃភាពខុសគ្នានៃគំរូ ហើយសាកល្បងវាតាមស្ថិតិ។

ចូរយើងគណនាតម្លៃ។ វានឹងមានការចែកចាយ Fisher ជាមួយនឹងកម្រិតនៃសេរីភាព។

ដោយការប្រៀបធៀបតម្លៃជាមួយនឹងបរិមាណនៃការចែកចាយ Fisher ដែលត្រូវគ្នា យើងអាចទទួលយក ឬបដិសេធសម្មតិកម្មដែលថាភាពខុសគ្នានៃគំរូគឺស្មើនឹងកម្រិតនៃសារៈសំខាន់ដែលត្រូវការ។

ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) និងការចែកចាយ Laplace (អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលទ្វេ និទស្សន្តទ្វេ)

(យកពីទីនេះ)

ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលពិពណ៌នាអំពីចន្លោះពេលរវាងព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យដែលកើតឡើងក្នុងកម្រិតមធ្យម។ ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះក្នុងរយៈពេលជាក់លាក់ណាមួយត្រូវបានពិពណ៌នាដោយឡែក។ ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល រួមជាមួយនឹងការបង្កើតមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យានៃទ្រឹស្តីនៃភាពអាចជឿជាក់បាន។

បន្ថែមពីលើទ្រឹស្ដីនៃភាពអាចជឿជាក់បាន ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលត្រូវបានប្រើនៅក្នុងការពិពណ៌នាអំពីបាតុភូតសង្គម ក្នុងសេដ្ឋកិច្ច ក្នុងទ្រឹស្តីនៃការតម្រង់ជួរ ក្នុងការដឹកជញ្ជូន ភស្តុភារ - គ្រប់ទីកន្លែងដែលចាំបាច់ត្រូវធ្វើគំរូលំហូរនៃព្រឹត្តិការណ៍។

ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺជាករណីពិសេស (សម្រាប់ n=2) ដូច្នេះហើយ . ដោយសារបរិមាណចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលគឺជាបរិមាណជីការ៉េដែលមាន 2 ដឺក្រេនៃសេរីភាព វាអាចត្រូវបានបកស្រាយថាជាផលបូកនៃការ៉េនៃបរិមាណចែកចាយធម្មតាពីរឯករាជ្យ។

ផងដែរ ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល គឺជាករណីដ៏ស្មោះត្រង់មួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យគោលដៅត្រូវបានបាញ់នៅមុនពេលបុកដំបូងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ទំការ​វាយ​ចំ​គោល​ដៅ​ក្នុង​ការ​បាញ់​នីមួយៗ​គឺ​ដូច​គ្នា ហើយ​មិន​អាស្រ័យ​លើ​លទ្ធផល​នៃ​ការ​បាញ់​មុន​នោះ​ទេ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត គ្រោងការណ៍ Bernoulli ត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងការពិសោធន៍ដែលកំពុងពិចារណា។ ក្នុងនាមជាអថេរចៃដន្យ X យើងនឹងពិចារណាចំនួននៃការបាញ់។ ជាក់ស្តែង តម្លៃដែលអាចកើតមាននៃអថេរ X គឺជាលេខធម្មជាតិ៖ x 1 =1, x 2 = 2, ... បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។ kការបាញ់ប្រហារនឹងស្មើនឹង

ការដាក់ក្នុងរូបមន្តនេះ។ k=1,2, ... យើងទទួលបានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយនឹងពាក្យទីមួយ ទំនិងមេគុណ q:

សម្រាប់ហេតុផលនេះ ការចែកចាយដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត (6.11) ត្រូវបានគេហៅថា ធរណីមាត្រ .

ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថា

.

ចូរយើងស្វែងរកលក្ខណៈលេខនៃការចែកចាយធរណីមាត្រ។

តាមនិយមន័យនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាសម្រាប់ DSW យើងមាន

.

យើងគណនាការបែកខ្ញែកដោយរូបមន្ត

.

សម្រាប់រឿងនេះយើងរកឃើញ

.

អាស្រ័យហេតុនេះ

.

ដូច្នេះ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយធរណីមាត្រគឺ

. (6.12)

6.4.* បង្កើតមុខងារ

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹង DSV វិធីសាស្ត្រផ្សំត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់។ វិធីសាស្រ្តទ្រឹស្តីមួយដែលត្រូវបានអភិវឌ្ឍបំផុតនៃការវិភាគរួមបញ្ចូលគ្នាគឺវិធីសាស្រ្តនៃការបង្កើតមុខងារ ដែលជាវិធីសាស្រ្តដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតមួយនៅក្នុងកម្មវិធី។ តោះមកស្គាល់គាត់ដោយសង្ខេប។

ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ  យកតែតម្លៃចំនួនគត់ដែលមិនអវិជ្ជមាន ពោលគឺឧ។

,

បន្ទាប់មក បង្កើតមុខងារ ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យ  ត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍

, (6.13)

កន្លែងណា zគឺជាអថេរពិតប្រាកដ ឬស្មុគស្មាញ។ ចំណាំ​ថា រវាងសំណុំនៃមុខងារបង្កើត  ( x)និងការចែកចាយជាច្រើន។(P(= k)} មានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ។.

អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ  មាន ការចែកចាយ binomial

.

បន្ទាប់មកដោយប្រើរូបមន្ត binomial របស់ Newton យើងទទួលបាន

,

ទាំងនោះ។ បង្កើតមុខងារនៃការចែកចាយ binomial មានទម្រង់

. (6.14)

ឧបសម្ព័ន្ធ។ មុខងារបង្កើតការចែកចាយ Poisson

មានទម្រង់

. (6.15)

បង្កើតមុខងារនៃការចែកចាយធរណីមាត្រ

មានទម្រង់

. (6.16)

ដោយមានជំនួយពីការបង្កើតមុខងារ វាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកលក្ខណៈលេខសំខាន់ៗរបស់ DSW ។ ឧទាហរណ៍ គ្រាដំបូង និងទីពីរគឺទាក់ទងទៅនឹងមុខងារបង្កើតដោយសមភាពដូចខាងក្រោម៖

, (6.17)

. (6.18)

វិធីសាស្ត្របង្កើតមុខងារច្រើនតែងាយស្រួល ព្រោះក្នុងករណីខ្លះមុខងារចែកចាយរបស់ DSW ពិបាកកំណត់ណាស់ ចំណែកមុខងារបង្កើតជួនកាលងាយស្រួលរក។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាគ្រោងការណ៍នៃការសាកល្បង Bernoulli ឯករាជ្យជាប់ៗគ្នា ប៉ុន្តែធ្វើការផ្លាស់ប្តូរមួយទៅវា។ សូមឱ្យប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ កប្រែប្រួលពីការធ្វើតេស្តមួយទៅការសាកល្បង។ នេះមានន័យថារូបមន្ត Bernoulli សម្រាប់គ្រោងការណ៍បែបនេះមិនអាចអនុវត្តបានទេ។ ភារកិច្ចនៃការស្វែងរកមុខងារចែកចាយក្នុងករណីនេះបង្ហាញពីការលំបាកគួរឱ្យកត់សម្គាល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់សៀគ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ មុខងារបង្កើតត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួល ហើយជាលទ្ធផល លក្ខណៈលេខដែលត្រូវគ្នាក៏ត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ។

ការប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៃមុខងារបង្កើតគឺផ្អែកលើការពិតដែលថាការសិក្សានៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យអាចត្រូវបានជំនួសដោយការសិក្សានៃផលិតផលនៃមុខងារបង្កើតដែលត្រូវគ្នា។ ដូច្នេះប្រសិនបើ  1 ,  2 , … ,  នឯករាជ្យ

អនុញ្ញាតឱ្យ ទំ k =ទំ k (ក) គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "ជោគជ័យ" នៅក្នុង k- ការធ្វើតេស្តទីនៅក្នុងគ្រោងការណ៍ Bernoulli (រៀងគ្នា, q k =1–ទំ k- ប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "ការបរាជ័យ" នៅក្នុង kការធ្វើតេស្ត) ។ បន្ទាប់មកអនុលោមតាមរូបមន្ត (6.19) មុខងារបង្កើតនឹងមានទម្រង់

. (6.20)

ដោយប្រើមុខងារបង្កើតនេះ យើងអាចសរសេរបាន។

.

វាត្រូវបានគេយកទៅក្នុងគណនីនៅទីនេះថា ទំ k + q k=1. ឥឡូវនេះដោយប្រើរូបមន្ត (6.1) យើងរកឃើញពេលដំបូងទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងគណនា

និង
.

ក្នុងករណីជាក់លាក់មួយ។ ទំ 1 =ទំ 2 =…=ទំ ន =ទំ(ឧ. ក្នុងករណីនៃការចែកចាយ binomial) វាធ្វើតាមរូបមន្តដែលទទួលបានដែល M= np, D= npq.

នៅក្នុងការចែកចាយធរណីមាត្រ ការពិសោធន៍នៅក្នុងគ្រោងការណ៍ Bernoulli ត្រូវបានអនុវត្តរហូតដល់ជោគជ័យដំបូង ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ p នៅក្នុងការពិសោធន៍តែមួយ។
ឧទាហរណ៍នៃតម្លៃបែបនេះអាចជា:

• ចំនួននៃការបាញ់មុនពេលបុកដំបូង;
• ចំនួននៃការធ្វើតេស្តនៃឧបករណ៍មុនពេលបរាជ័យដំបូង;
• ចំនួនបាល់មុនពេលការកើតឡើងដំបូងនៃពណ៌ស។ មើលដំណោះស្រាយ;
• ចំនួននៃការបោះកាក់មុនកន្ទុយទីមួយ។ល។

ស៊េរីចែកចាយធរណីមាត្រនៃ DSW មានទម្រង់៖

X	1	2	3	…	ម	…
ទំ	ទំ	qp	q 2 ទំ	…	q m-1 ទំ	…

ប្រូបាប៊ីលីតេបង្កើតជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយពាក្យដំបូង p និងភាគបែង q ។
ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យ X ដែលមានការចែកចាយធរណីមាត្រជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ p គឺស្មើនឹង៖

ការចែកចាយ Hypergeometric

អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយមានការចែកចាយធរណីមាត្រដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ n, k, m ប្រសិនបើវាយកតម្លៃ 0, 1, 2, ... ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ .
ការ​ចែកចាយ​ធរណីមាត្រ​មាន​អថេរ​ចៃដន្យ X ស្មើនឹង​ចំនួន​វត្ថុ​ដែល​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​ចំណោម​វត្ថុ m ដែល​បាន​ស្រង់​ចេញ​ដោយ​ចៃដន្យ (ដោយ​មិន​មាន​ការ​ជំនួស) ពី​សំណុំ​នៃ n វត្ថុ k ដែល​មាន​លក្ខណសម្បត្តិ​នេះ។
ឧទាហរណ៍:

• នៅក្នុងបណ្តុំនៃ 10 ផ្នែក 3 គឺមានបញ្ហា។ 4 ធាតុត្រូវបានដកចេញ។ X គឺជាចំនួននៃផ្នែកល្អក្នុងចំណោមផ្នែកដែលបានស្រង់ចេញ។ (m = 4, n = 10, k = 3) ។ មើលដំណោះស្រាយ

ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X ដែលមានការចែកចាយធរណីមាត្រខ្ពស់ ហើយភាពខុសគ្នារបស់វាគឺស្មើនឹង៖

ឧទាហរណ៍ #1 ។ កោដ្ឋ​មួយ​មាន​គ្រាប់​ពណ៌​ស​២ និង​គ្រាប់​ខ្មៅ​៣ ។ បាល់ត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យពីកោដ្ឋដោយគ្មានការជំនួសរហូតដល់គ្រាប់បាល់ពណ៌សលេចឡើង។ ដរាបណាវាកើតឡើង ដំណើរការនឹងឈប់។ បង្កើតតារាងចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ X - ចំនួននៃការពិសោធន៍ដែលបានអនុវត្ត ស្វែងរក F(x), P(X ≤ 2), M(X), D(X)។
ដំណោះស្រាយ៖សម្គាល់ដោយ A - រូបរាងនៃបាល់ពណ៌ស។ ការពិសោធន៍អាចត្រូវបានអនុវត្តតែម្តងប៉ុណ្ណោះ ប្រសិនបើបាល់ពណ៌សលេចឡើងភ្លាមៗ៖ . ប្រសិនបើជាលើកដំបូង បាល់ពណ៌សមិនលេចឡើង ប៉ុន្តែបានបង្ហាញខ្លួនក្នុងអំឡុងពេលការទាញយកលើកទីពីរ បន្ទាប់មក X=2 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះគឺ។ ដូចគ្នាដែរ៖ , , . ចូរយើងសរសេរទិន្នន័យទៅក្នុងតារាង៖

X	1	2	3	4
ទំ	0,4	0,3	0,2	0,1

ស្វែងរក F(x)៖

រក P(X ≤ 2) = P(X = 1 ឬ X = 2) = 0.4 + 0.3 = 0.7
M(X) = 1 0.4 + 2 0.3 + 3 0.2 + 4 0.1 = 2 ។
D(X) = (1-2) 2 0.4 + (2-2) 2 0.3 + (3-2) 2 0.2 + (4-2) 2 0.1 = 1 ។

ឧទាហរណ៍ #2 ។ ប្រអប់មាន 11 ផ្នែក ដែលក្នុងនោះមាន 5 ផ្នែក។ អ្នកប្រមូលផ្តុំទាញ 4 បំណែកដោយចៃដន្យ។
1. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចំណោមផ្នែកដែលបានស្រង់ចេញ៖ ក) 4 ខូច; ខ) មួយខូច; គ) ពិការភាពពីរ; ឃ) យ៉ាងហោចណាស់មួយមានកំហុស។
2. គូរច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យមួយ។ X- ចំនួនផ្នែកដែលខូចក្នុងចំណោមផ្នែកដែលបានស្រង់ចេញ។
3. រក M(X), D(X), σ(X)។
4. គណនា P(1
ដំណោះស្រាយ៖
1. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចំណោមផ្នែកដែលបានស្រង់ចេញ៖
ក) 4 ខូច;

ខ) មួយខូច;
ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលបឋមដែលអាចកើតមានសម្រាប់ការសាកល្បងទាំងនេះគឺស្មើនឹងចំនួនវិធីដែល 4 ផ្នែកក្នុងចំណោម 11 អាចត្រូវបានស្រង់ចេញ៖

ចូរយើងគណនាចំនួនលទ្ធផលដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍នេះ (ក្នុងចំណោម 4 ផ្នែក ពិតប្រាកដ 1 ផ្នែកគឺមានបញ្ហា)៖

នៅសល់ 3 ផ្នែកអាចត្រូវបានជ្រើសរើសពី 7:

ដូច្នេះចំនួននៃលទ្ធផលអំណោយផលគឺ: 5 * 20 = 100
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចំនួនលទ្ធផលដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍ទៅនឹងចំនួននៃលទ្ធផលបឋមទាំងអស់៖ P(1) = 100/330 = 0.303
គ) ពិការភាពពីរ;

ឃ) យ៉ាងហោចណាស់មួយមានកំហុស។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនមានផ្នែកខូច។ X = 0 ។

បន្ទាប់មក ប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាមានកំហុសយ៉ាងហោចណាស់មួយគឺ៖
P = 1 - P(0) = 1 - 0.0455 = 0.95

2. ចងក្រងច្បាប់ចែកចាយ P(x), X - ចំនួនផ្នែកដែលខូចក្នុងចំណោមផ្នែកដែលបានស្រង់ចេញ។
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលខូចចំនួនបី។

X	0	1	2	3	4
ទំ	0,0455	0,303	0,4545	0,182	0,015

2. ស្វែងរក M(X), D(X),σ(X)។
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត m = ∑x i p i ។
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M[X].
M[x] = 0*0.0455 + 1*0.303 + 2*0.4545 + 3*0.182 + 4*0.015 = 1.818
ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត d = ∑x 2 i p i − M[x] 2 ។
ការបែកខ្ញែក D[X].
D[X] = 0 2 *0.0455 + 1 2 *0.303 + 2 2 *0.4545 + 3 2 *0.182 + 4 2 *0.015 - 1.818 2 = 0.694
គម្លាត​ស្តង់ដារ σ(x).

3. គណនា P(1 F(x≤0) = 0
F(0< x ≤1) = 0.0455
F(1< x ≤2) = 0.303 + 0.0455 = 0.349
F(2< x ≤3) = 0.455 + 0.349 = 0.803
F(3< x ≤4) = 0.182 + 0.803 = 0.985
F(x>4) = 1
ប្រូបាប៊ីលីតេនៃ SW ដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
P(a ≤ X< b) = F(b) - F(a)
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល SW នឹងស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេល 1 ≤ X< 4
P(1 ≤ X< 4) = F(4) - F(1) = 0.985 - 0.0455 = 0.9395

ឧទាហរណ៍ #3 ។ មាន 7 ផ្នែកនៅក្នុងឡូតិ៍ 3 ខូច។ ឧបករណ៍បញ្ជាគូរ 4 ផ្នែកដោយចៃដន្យ។ បង្កើតច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់អថេរចៃដន្យ X - ចំនួននៃផ្នែកល្អនៅក្នុងគំរូ។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួល X. កំណត់មុខងារចែកចាយ។
ផ្នែកល្អសរុប៖ ៧-៣ = ៤
1. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចំណោម 4 ផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសគឺអាចបម្រើបាន។
ចំនួនសរុបនៃលទ្ធផលបឋមដែលអាចកើតមានសម្រាប់ការសាកល្បងទាំងនេះគឺស្មើនឹងចំនួនវិធីដែល 4 ផ្នែកនៃ 7 អាចស្រង់ចេញបាន៖

ចូរយើងគណនាចំនួនលទ្ធផលដែលអនុគ្រោះដល់ព្រឹត្តិការណ៍នេះ។

ពិចារណាលើការបែងចែកធរណីមាត្រ គណនាការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យារបស់វា។ ដោយប្រើមុខងារ MS EXCEL OTRBINOM.DIST() យើងនឹងធ្វើផែនការមុខងារចែកចាយ និងក្រាហ្វដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ។

ការចែកចាយធរណីមាត្រ(ភាសាអង់គ្លេស) ការចែកចាយធរណីមាត្រ) គឺជាករណីពិសេស (សម្រាប់ r=1)។

អនុញ្ញាតឱ្យការធ្វើតេស្តត្រូវបានអនុវត្ត ដែលក្នុងនោះមានតែព្រឹត្តិការណ៍ "ជោគជ័យ" ដែលអាចកើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ទំ ឬព្រឹត្តិការណ៍ "បរាជ័យ" ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ q =1-p().

ចូរយើងកំណត់ x ជាចំនួននៃការសាកល្បងដែលវាត្រូវបានចុះឈ្មោះ ដំបូង ជោគជ័យ។ ក្នុងករណីនេះអថេរចៃដន្យ x នឹង​មាន ការចែកចាយធរណីមាត្រ៖

ការចែកចាយធរណីមាត្រក្នុង MS EXCEL

នៅក្នុង MS EXCEL ចាប់ផ្តើមពីកំណែ 2010 សម្រាប់ អវិជ្ជមាន ការចែកចាយទ្វេមានមុខងារ NEGBINOM.DIST() ឈ្មោះជាភាសាអង់គ្លេសគឺ NEGBINOM.DIST() ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង ចំនួននៃការបរាជ័យរហូតទាល់តែចំនួននៃភាពជោគជ័យត្រូវបានទទួលសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សម្រាប់ ការចែកចាយធរណីមាត្រអាគុយម៉ង់ទីពីរចំពោះអនុគមន៍នេះត្រូវតែជា 1 ពីព្រោះ យើងចាប់អារម្មណ៍តែជោគជ័យដំបូងប៉ុណ្ណោះ។

និយមន័យនេះគឺខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចពីមួយខាងលើ ដែលគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលជោគជ័យដំបូងនឹងកើតឡើងបន្ទាប់ពី xការធ្វើតេស្ត. ភាពខុសប្លែកគ្នាកើតឡើងចំពោះជួរនៃការផ្លាស់ប្តូរជួរ x៖ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃចំនួននៃការសាកល្បង នោះ Xអាចយកតម្លៃដែលចាប់ផ្តើមពីលេខ 1 ហើយប្រសិនបើតាមរយៈចំនួននៃការបរាជ័យ បន្ទាប់មកចាប់ផ្តើមពី 0។ ដូច្នេះរូបមន្តខាងក្រោមគឺត្រឹមត្រូវ៖ p(x_ ការបរាជ័យ)=p(x_ ការធ្វើតេស្ត- មួយ) ។ សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ ឧទាហរណ៍សន្លឹកឯកសារឧទាហរណ៍ដែលជាកន្លែងដែល 2 វិធីសាស្រ្តនៃការគណនាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

វិធីសាស្រ្តដែលបានធ្វើឡើងនៅក្នុងមុខងារ MS EXCEL ត្រូវបានប្រើដូចខាងក្រោម៖ តាមរយៈចំនួននៃការបរាជ័យ។

ដើម្បីគណនា មុខងារដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ p(x) សូមមើលរូបមន្តខាងលើ អ្នកត្រូវកំណត់អាគុយម៉ង់ទីបួនក្នុងអនុគមន៍ INTBINOM.DIST() ទៅជា FALSE។ ដើម្បីគណនា អ្នកត្រូវតែកំណត់អាគុយម៉ង់ទីបួនទៅជា TRUE ។

ចំណាំ : មុនពេល MS EXCEL 2010 EXCEL មានមុខងារ INTERBINOMDIST() ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាតែប៉ុណ្ណោះ។ ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ. ឯកសារគំរូមានរូបមន្តផ្អែកលើអនុគមន៍ INTBINOMDIST() ដើម្បីគណនា មុខងារចែកចាយអាំងតេក្រាល។. វាក៏មានរូបមន្តសម្រាប់គណនាប្រូបាប៊ីលីតេតាមរយៈនិយមន័យផងដែរ។

ឯកសារឧទាហរណ៍មានក្រាហ្វ ដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនិង មុខងារចែកចាយអាំងតេក្រាល។.

ចំណាំ៖ ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការសរសេររូបមន្តសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ p, a .

ចំណាំ៖ នៅក្នុងមុខងារ DISTBINO.DIST( ) ជាមួយនឹងតម្លៃដែលមិនមែនជាចំនួនគត់ X, . ឧទាហរណ៍ រូបមន្តខាងក្រោមនឹងត្រឡប់តម្លៃដូចគ្នា៖
DISTBINO.DIST( 2 ; មួយ; 0.4; ពិត)=
DISTBINO.DIST( 2,9 ; មួយ; 0.4; ពិត)

ភារកិច្ច

ដំណោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ឯកសារនៅលើសន្លឹកឧទាហរណ៍.

កិច្ចការ១. ក្រុមហ៊ុនប្រេងមួយខួងអណ្តូងដើម្បីទាញយកប្រេង។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្វែងរកប្រេងនៅក្នុងអណ្តូងគឺ 20% ។
តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រេងដំបូងនឹងទទួលបាននៅពេលប៉ុនប៉ងទីបី?
តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលវានឹងចំណាយពេលបីដងដើម្បីស្វែងរកប្រេងដំបូង?
ដំណោះស្រាយ 1:
=INTERBINOM.DIST(3-1, 1, 0.2, FALSE)
=INTERBINOM.DIST(3-1, 1, 0.2, ពិត)

កិច្ចការទី 2. ទីភ្នាក់ងារវាយតម្លៃធ្វើការស្ទង់មតិលើអ្នកធ្វើដំណើរដោយចៃដន្យនៅក្នុងទីក្រុងអំពីម៉ាករថយន្តដែលពួកគេចូលចិត្ត។ អនុញ្ញាតឱ្យវាដឹងថា 1% នៃប្រជាពលរដ្ឋមានឡានដែលចូលចិត្ត ឡាដាហ្គ្រេនតា. តើ​ប្រូបាប៊ីលីតេ​អ្វី​ដែល​អ្នក​នឹង​ជួប​អ្នក​កោតសរសើរ​ម៉ាក​រថយន្ត​ដំបូង​គេ​បន្ទាប់​ពី​ការ​ស្ទង់​មតិ​មនុស្ស 10 នាក់?
ដំណោះស្រាយ 2: \u003d OTRBINOM.DIST (10-1, 1, 0.01; ពិត)=9,56%

យើងអាចញែកច្បាប់ធម្មតាបំផុតនៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក៖

• ច្បាប់នៃការចែកចាយប៊ីណូម៉ា
• ច្បាប់ចែកចាយ Poisson
• ច្បាប់ចែកចាយធរណីមាត្រ
• ច្បាប់ចែកចាយ Hypergeometric

ចំពោះការចែកចាយអថេរចៃដន្យដោយឡែកពីគ្នា ការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃរបស់វា ក៏ដូចជាលក្ខណៈលេខ (ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ភាពប្រែប្រួល។ល។) ត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាម "រូបមន្ត" ជាក់លាក់។ ដូច្នេះវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការដឹងពីប្រភេទនៃការចែកចាយទាំងនេះ និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានរបស់វា។

1. ច្បាប់ចែកចាយទ្វេ។

អថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា $X$ ជាកម្មវត្ថុនៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ binomial ប្រសិនបើវាយកតម្លៃ $0,\1,\2,\dots ,\n$ with probabilities $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$ ។ តាមពិត អថេរចៃដន្យ $X$ គឺជាចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ នៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យ $n$ ។ ច្បាប់ចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់អថេរចៃដន្យ $X$៖

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \\ dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) &\dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(អារេ)$

សម្រាប់អថេរចៃដន្យបែបនេះ ការរំពឹងទុកគឺ $M\left(X\right)=np$, variance គឺ $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$។

ឧទាហរណ៍ . មានកូនពីរនាក់ក្នុងគ្រួសារ។ ដោយសន្មត់ថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំណើតរបស់ក្មេងប្រុស និងក្មេងស្រីស្មើនឹង $0.5$ សូមស្វែងរកច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ $\xi $ - ចំនួនក្មេងប្រុសក្នុងគ្រួសារ។

សូមឲ្យអថេរចៃដន្យ $\xi $ ជាចំនួនក្មេងប្រុសក្នុងគ្រួសារ។ តម្លៃដែល $\xi:\0,\1,\2$ អាចទទួលយកបាន។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$ ដែល $n =2$ - ចំនួននៃការសាកល្បងឯករាជ្យ $p=0.5$ - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងស៊េរីនៃការសាកល្បង $n$ ។ យើង​ទទួល​បាន:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0,5)^2 = 0.25 ដុល្លារ

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0.25.$

បន្ទាប់មកច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ $\xi $ គឺជាការឆ្លើយឆ្លងរវាងតម្លៃ $0,\1,\2$ និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ ពោលគឺ៖

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(អារេ)$

ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៅក្នុងច្បាប់ចែកចាយត្រូវតែស្មើនឹង $1$ ឧ. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1។

ការរំពឹងទុក $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variance $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, គម្លាតស្តង់ដារ $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5)\ប្រហែល $0.707។

2. ច្បាប់ចែកចាយ Poisson ។

ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ អាចយកតែតម្លៃចំនួនគត់ដែលមិនអវិជ្ជមាន $0,\1,\2,\dots ,\n$ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

មតិយោបល់. ភាពពិសេសនៃការចែកចាយនេះគឺថា ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យពិសោធន៍ យើងរកឃើញការប៉ាន់ស្មាន $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, ប្រសិនបើការប៉ាន់ស្មានដែលទទួលបានគឺនៅជិតគ្នា នោះយើង មានហេតុផលដើម្បីអះអាងថាអថេរចៃដន្យគឺជាកម្មវត្ថុនៃច្បាប់ចែកចាយ Poisson ។

ឧទាហរណ៍ . ឧទាហរណ៍នៃអថេរចៃដន្យដែលស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ចែកចាយ Poisson អាចជា: ចំនួនរថយន្តដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់សេវានៅថ្ងៃស្អែកដោយស្ថានីយ៍ប្រេងឥន្ធនៈមួយ; ចំនួននៃធាតុខូចនៅក្នុងផលិតផលដែលផលិត។

ឧទាហរណ៍ . រោងចក្របានផ្ញើផលិតផលចំនួន 500 ដុល្លារទៅមូលដ្ឋាន។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការខូចខាតផលិតផលក្នុងការដឹកជញ្ជូនគឺ $0.002$។ ស្វែងរកច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ $X$ ស្មើនឹងចំនួនផលិតផលដែលខូច។ ដែលស្មើនឹង $M\left(X\right),\D\left(X\right)$។

អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ ជាចំនួនផលិតផលដែលខូច។ អថេរចៃដន្យបែបនេះគឺស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ចែកចាយ Poisson ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $\lambda = np=500\cdot 0.002=1$ ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃគឺ $P\left(X=k\right)=(((\lambda)^k)\over(k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda)^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ $X$៖

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(អារេ)$

សម្រាប់អថេរចៃដន្យបែបនេះ ការរំពឹងទុក និងបំរែបំរួលគណិតវិទ្យាគឺស្មើគ្នា និងស្មើនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $\lambda $, i.e. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $

3. ច្បាប់ធរណីមាត្រនៃការចែកចាយ។

ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ អាចយកតែតម្លៃធម្មជាតិ $1,\2,\dots ,\n$ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ right)) ^(k-1),\k=1,\2,\3,\dots $ បន្ទាប់មកយើងនិយាយថាអថេរចៃដន្យបែបនេះ $X$ គឺស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ធរណីមាត្រនៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ។ ជាការពិត ការចែកចាយធរណីមាត្រហាក់ដូចជាការសាកល្បងរបស់ Bernoulli ដើម្បីទទួលបានជោគជ័យជាលើកដំបូង។

ឧទាហរណ៍ . ឧទាហរណ៍នៃអថេរចៃដន្យដែលមានការចែកចាយធរណីមាត្រអាចជា: ចំនួននៃការបាញ់មុនពេលវាយដំបូងនៅលើគោលដៅ; ចំនួននៃការធ្វើតេស្តនៃឧបករណ៍មុនពេលបរាជ័យដំបូង; ចំនួននៃការបោះកាក់មុននឹងលើកដំបូង ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យចំពោះការបែងចែកធរណីមាត្រគឺរៀងគ្នា $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^2$។

ឧទាហរណ៍ . នៅតាមផ្លូវនៃចលនាត្រីទៅកន្លែងពងមានសោ $4$ ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃត្រីឆ្លងកាត់សោនីមួយៗគឺ $p=3/5$។ បង្កើតស៊េរីចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ $X$ - ចំនួនសោដែលឆ្លងកាត់ដោយត្រី មុនពេលឈប់ដំបូងនៅសោ។ ស្វែងរក $M\left(X\right),\D\left(X\right),\sigma\left(X\right)$។

អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ $X$ ជាចំនួននៃទឹកដែលឆ្លងកាត់ដោយត្រី មុនពេលឈប់ដំបូងនៅមាត់ទឹកនោះ។ អថេរចៃដន្យបែបនេះគឺស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ធរណីមាត្រនៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ។ តម្លៃដែលអថេរចៃដន្យ $X អាចយកគឺ៖ 1, 2, 3, 4. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖ $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, ដែល៖ $p=2/5$ - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចាប់ត្រីតាមសោ, $q=1-p=3/5$ - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃត្រីឆ្លងកាត់សោ, $k=1, \2,\3,\4$ ។

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ លើស(5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ លើស (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left((( (3)\over (5))\right))^4=(27)\over (125))=0.216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(អារេ)$

តម្លៃរំពឹងទុក៖

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

ការបែកខ្ញែក៖

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)))^2=)0,4\cdot (\ ឆ្វេង(1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\ 0.216\cdot (\left(4-2.176\right))^2\approx 1.377.$

គម្លាតស្តង់ដារ៖

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$

4. ច្បាប់ចែកចាយ Hypergeometric ។

ប្រសិនបើមានវត្ថុ $N$ ក្នុងចំណោមវត្ថុ $m$ មានទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដោយចៃដន្យ ដោយគ្មានការជំនួស វត្ថុ $n$ ត្រូវបានស្រង់ចេញ ដែលក្នុងនោះមានវត្ថុ $k$ ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការចែកចាយអ៊ីពែរធរណីមាត្រធ្វើឱ្យវាអាចប៉ាន់ប្រមាណនូវប្រូបាប៊ីលីតេដែលវត្ថុ $k$ យ៉ាងពិតប្រាកដនៅក្នុងគំរូមានទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ $X$ ជាចំនួនវត្ថុក្នុងគំរូដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ $X$៖

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

មតិយោបល់. មុខងារស្ថិតិ HYPERGEOMET នៃ Excel $f_x$ Function Wizard អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលការសាកល្បងមួយចំនួននឹងទទួលបានជោគជ័យ។

$f_x\ ទៅ $ ស្ថិតិ$\ ទៅ $ លើសឈាម$\ ទៅ $ យល់ព្រម. ប្រអប់មួយនឹងលេចឡើងដែលអ្នកត្រូវបំពេញ។ នៅក្នុងក្រាហ្វ Number_of_successes_in_គំរូបញ្ជាក់តម្លៃ $k$ ។ ទំហំ​ធម្មតាស្មើនឹង $n$ ។ នៅក្នុងក្រាហ្វ Number_of_successes_in_populationបញ្ជាក់តម្លៃ $m$ ។ ចំនួនប្រជាជនស្មើនឹង $N$ ។

ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក $X$ ដែលស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ចែកចាយធរណីមាត្រគឺ $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$។

ឧទាហរណ៍ . នាយកដ្ឋានឥណទានរបស់ធនាគារជួលអ្នកឯកទេសចំនួន 5 នាក់ដែលមានការអប់រំផ្នែកហិរញ្ញវត្ថុជាន់ខ្ពស់ និង 3 អ្នកឯកទេសដែលមានការអប់រំផ្នែកច្បាប់ខ្ពស់។ ការគ្រប់គ្រងរបស់ធនាគារបានសម្រេចបញ្ជូនអ្នកឯកទេសចំនួន 3 នាក់សម្រាប់ការបណ្តុះបណ្តាលកម្រិតខ្ពស់ដោយជ្រើសរើសពួកគេដោយចៃដន្យ។

ក) បង្កើតស៊េរីចែកចាយនៃចំនួនអ្នកឯកទេសដែលមានការអប់រំផ្នែកហិរញ្ញវត្ថុខ្ពស់ជាង ដែលអាចត្រូវបានដឹកនាំទៅវគ្គបណ្តុះបណ្តាលកម្រិតខ្ពស់។

ខ) ស្វែងរកលក្ខណៈលេខនៃការចែកចាយនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ $X$ ជាចំនួនអ្នកឯកទេសដែលមានការអប់រំផ្នែកហិរញ្ញវត្ថុខ្ពស់ជាងក្នុងចំណោមអ្នកទាំងបីដែលបានជ្រើសរើស។ តម្លៃដែល $X:0,\1,\2,\3$ អាចទទួលយកបាន។ អថេរចៃដន្យ $X$ នេះត្រូវបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមការចែកចាយធរណីមាត្រដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រដូចខាងក្រោមៈ $N=8$ - ទំហំប្រជាជន $m=5$ - ចំនួនជោគជ័យក្នុងចំនួនប្រជាជន $n=3$ - ទំហំគំរូ $ k=0,\1,\2,\3$ - ចំនួនជោគជ័យក្នុងគំរូ។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(X=k\right)$ អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត៖ $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ លើសពី C_(N)^(n) ) $ ។ យើង​មាន:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0.179.$

បន្ទាប់មកស៊េរីចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យ $X$៖

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(អារេ)$

ចូរយើងគណនាលក្ខណៈជាលេខនៃអថេរចៃដន្យ $X$ ដោយប្រើរូបមន្តទូទៅនៃការចែកចាយធរណីមាត្រ។

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\approx 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approx 0.7085.$