នៅក្នុងប្រធានបទនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីគោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសមួយ ក៏ដូចជាប្រភេទនៃម៉ាទ្រីស។ ដោយសារមានពាក្យជាច្រើននៅក្នុងប្រធានបទនេះ ខ្ញុំនឹងបន្ថែមការសង្ខេបដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការរុករកសម្ភារៈ។
និយមន័យនៃម៉ាទ្រីស និងធាតុរបស់វា។ កំណត់ចំណាំ។
ម៉ាទ្រីសគឺជាតារាងដែលមានជួរ $m$ និងជួរឈរ $n$ ។ ធាតុនៃម៉ាទ្រីសអាចជាវត្ថុនៃធម្មជាតិចម្រុះទាំងស្រុង៖ លេខ អថេរ ឬឧទាហរណ៍ ម៉ាទ្រីសផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍ ម៉ាទ្រីស $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ មាន 3 ជួរដេក និង 2 ជួរឈរ; ធាតុរបស់វាគឺចំនួនគត់។ ម៉ាទ្រីស $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\ end(array) \right)$ មាន 2 ជួរ និង 4 ជួរ។
វិធីផ្សេងគ្នាដើម្បីសរសេរម៉ាទ្រីស៖ បង្ហាញ\លាក់
ម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរមិនត្រឹមតែជាតង្កៀបមូលប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាតង្កៀបរាងការ៉េ ឬតង្កៀបត្រង់ពីរផងដែរ។ នោះគឺធាតុខាងក្រោមមានន័យថាម៉ាទ្រីសដូចគ្នា៖
$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \\right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \\right \Vert $$
ផលិតផល $m\times n$ ត្រូវបានហៅ ទំហំម៉ាទ្រីស. ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមាន 5 ជួរ និង 3 ជួរ នោះមួយនិយាយអំពីម៉ាទ្រីស $5\times 3$ ។ ម៉ាទ្រីស $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ មានទំហំ $3 \times 2$។
Matrices ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង៖ $A$, $B$, $C$ ជាដើម។ ឧទាហរណ៍ $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ ។ លេខរៀងជួរពីកំពូលទៅបាត; ជួរឈរ - ពីឆ្វេងទៅស្តាំ។ ឧទាហរណ៍ ជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស $B$ មានធាតុ 5 និង 3 ហើយជួរទីពីរមានធាតុ 3, -87, 0 ។
ធាតុនៃម៉ាទ្រីសជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរតូច។ ឧទាហរណ៍ ធាតុនៃម៉ាទ្រីស $A$ ត្រូវបានតំណាងដោយ $a_(ij)$ ។ សន្ទស្សន៍ទ្វេ $ij$ មានព័ត៌មានអំពីទីតាំងនៃធាតុនៅក្នុងម៉ាទ្រីស។ លេខ $i$ គឺជាចំនួនជួរដេក ហើយលេខ $j$ គឺជាចំនួនជួរឈរ ដែលនៅចំនុចប្រសព្វដែលធាតុ $a_(ij)$ ស្ថិតនៅ។ ឧទាហរណ៍ នៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទីពីរ និងជួរទីប្រាំនៃម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \\right)$ ធាតុ $ a_(25)=59$៖
ដូចគ្នាដែរ នៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទីមួយ និងជួរទីមួយ យើងមានធាតុ $a_(11)=51$; នៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទីបី និងជួរទីពីរ - ធាតុ $a_(32)=-15$ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ចំណាំថា $a_(32)$ ត្រូវបានអានជា "a three two" ប៉ុន្តែមិនមែន "a 32 two" ទេ។
សម្រាប់ការកំណត់អក្សរកាត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ទំហំដែលស្មើនឹង $m\times n$ សញ្ញាណ $A_(m\times n)$ ត្រូវបានប្រើ។ អ្នកអាចសរសេរលម្អិតបន្តិច៖
$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$
ដែលសញ្ញាណ $(a_(ij))$ បង្ហាញពីធាតុនៃម៉ាទ្រីស $A$ ។ ក្នុងទម្រង់ពង្រីកពេញលេញ ម៉ាទ្រីស $A_(m\times n)=(a_(ij))$ អាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$
សូមណែនាំពាក្យមួយទៀត - ម៉ាទ្រីសស្មើគ្នា.
ម៉ាទ្រីសពីរដែលមានទំហំដូចគ្នា $A_(m\times n)=(a_(ij))$ និង $B_(m\times n)=(b_(ij))$ ត្រូវបានហៅ ស្មើប្រសិនបើធាតុដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា, i.e. $a_(ij)=b_(ij)$ សម្រាប់ទាំងអស់ $i=\overline(1,m)$ និង $j=\overline(1,n)$។
ការពន្យល់សម្រាប់ធាតុ $i=\overline(1,m)$: show\hide
ធាតុ "$i=\overline(1,m)$" មានន័យថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $i$ ផ្លាស់ប្តូរពី 1 ទៅ m ។ ឧទាហរណ៍ ធាតុ $i=\overline(1,5)$ និយាយថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $i$ យកតម្លៃ 1, 2, 3, 4, 5 ។
ដូច្នេះ សម្រាប់សមភាពនៃម៉ាទ្រីស លក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានទាមទារ៖ ភាពចៃដន្យនៃទំហំ និងសមភាពនៃធាតុដែលត្រូវគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ មិនស្មើនឹងម៉ាទ្រីស $B=\left(\start(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ ព្រោះម៉ាទ្រីស $A$ គឺ $3\times 2$ ហើយម៉ាទ្រីស $B$ គឺ $2\ គុណនឹង 2$ ។ ម៉ាទ្រីស $A$ ក៏មិនស្មើនឹងម៉ាទ្រីស $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right) $ ព្រោះ $a_( 21)\neq c_(21)$ (ឧ. $0\neq 98$)។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ម៉ាទ្រីស $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ យើងអាចសរសេរ $A ដោយសុវត្ថិភាព =F$ ព្រោះទាំងទំហំ និងធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីស $A$ និង $F$ ស្របគ្នា។
ឧទាហរណ៍ #1
កំណត់ទំហំម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \end (អារេ) \\ ស្តាំ)$ ។ បញ្ជាក់អ្វីដែលធាតុ $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ ស្មើនឹង។
ម៉ាទ្រីសនេះមាន 5 ជួរដេក និង 3 ជួរឈរ ដូច្នេះទំហំរបស់វាគឺ $5 \ គុណនឹង 3$ ។ សញ្ញាណ $A_(5\times 3)$ ក៏អាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់ម៉ាទ្រីសនេះផងដែរ។
ធាតុ $a_(12)$ គឺនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទីមួយ និងជួរទីពីរ ដូច្នេះ $a_(12)=-2$ ។ ធាតុ $a_(33)$ គឺនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទីបី និងជួរទីបី ដូច្នេះ $a_(33)=23$ ។ ធាតុ $a_(43)$ គឺនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទីបួន និងជួរទីបី ដូច្នេះ $a_(43)=-5$ ។
ចម្លើយ៖ $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$ ។
ប្រភេទនៃម៉ាទ្រីសអាស្រ័យលើទំហំរបស់វា។ អង្កត់ទ្រូងសំខាន់និងចំហៀង។ ដានម៉ាទ្រីស។
អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីសមួយចំនួន $A_(m\times n)$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើ $m=1$ (ម៉ាទ្រីសមានជួរមួយ) នោះម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីស - ជួរ. ប្រសិនបើ $n=1$ (ម៉ាទ្រីសមានជួរឈរមួយ) នោះម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសជួរឈរ. ឧទាហរណ៍ $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ គឺជាម៉ាទ្រីសជួរដេក ហើយ $\left(\begin(array) ) (គ) -1 \\ 5 \\ 6 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ - ម៉ាទ្រីសជួរឈរ។
ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ $m\neq n$ គឺពិតសម្រាប់ម៉ាទ្រីស $A_(m\times n)$ (ឧ. ចំនួនជួរដេកមិនស្មើនឹងចំនួនជួរឈរ) នោះគេតែងតែនិយាយថា $A$ គឺ ម៉ាទ្រីសរាងចតុកោណ។ ឧទាហរណ៍ ម៉ាទ្រីស $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ មានទំហំ $2\times 4 $, ទាំងនោះ។ មាន 2 ជួរ និង 4 ជួរ។ ដោយសារចំនួនជួរដេកមិនស្មើនឹងចំនួនជួរឈរ ម៉ាទ្រីសនេះគឺជាចតុកោណ។
ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ $m=n$ គឺពិតសម្រាប់ម៉ាទ្រីស $A_(m\times n)$ (ឧ. ចំនួនជួរដេកស្មើនឹងចំនួនជួរឈរ) នោះ $A$ ត្រូវបានគេនិយាយថាជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃ បញ្ជាទិញ $n$ ។ ឧទាហរណ៍ $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទីពីរ; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េលំដាប់ទី 3 ។ ជាទូទៅ ម៉ាទ្រីសការ៉េ $A_(n\times n)$ អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖
$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$
ធាតុ $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ត្រូវបាននិយាយថាមាននៅលើ អង្កត់ទ្រូងសំខាន់ម៉ាទ្រីស $A_(n\times n)$ ។ ធាតុទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ធាតុអង្កត់ទ្រូងសំខាន់(ឬគ្រាន់តែធាតុអង្កត់ទ្រូង) ។ ធាតុ $a_(1n)$, $a_(2\; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ មាននៅលើ ចំហៀង (បន្ទាប់បន្សំ) អង្កត់ទ្រូង; ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា ធាតុអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ. ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ម៉ាទ្រីស $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( អារេ) \\ ស្តាំ) $ យើងមាន៖
ធាតុ $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ គឺជាធាតុអង្កត់ទ្រូងសំខាន់; ធាតុ $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ គឺជាធាតុអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ។
ផលបូកនៃធាតុអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ត្រូវបានគេហៅថា អមដោយម៉ាទ្រីសនិងតំណាងដោយ $\Tr A$ (ឬ $\Sp A$):
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ម៉ាទ្រីស $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ យើងមាន៖
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
គំនិតនៃធាតុអង្កត់ទ្រូងក៏ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាការ៉េផងដែរ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ម៉ាទ្រីស $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 &- 7 & -6 \end(array) \right)$ ធាតុអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នឹងមាន $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$ ។
ប្រភេទនៃម៉ាទ្រីសអាស្រ័យលើតម្លៃនៃធាតុរបស់វា។
ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស $A_(m\times n)$ គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា មោឃៈហើយជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ $O$ ។ ឧទាហរណ៍ $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ គឺជាសូន្យម៉ាទ្រីស។
អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A_(m\times n)$ មើលទៅដូចនេះ៖
បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសនេះត្រូវបានគេហៅថា រាងចតុកោណ. វាប្រហែលជាមិនមានជួរសូន្យទេ ប៉ុន្តែប្រសិនបើពួកវាស្ថិតនៅខាងក្រោមនៃម៉ាទ្រីស។ នៅក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ ម៉ាទ្រីស trapezoidal អាចត្រូវបានសរសេរជា៖
ជាថ្មីម្តងទៀត ការបន្តខ្សែអក្សរ null គឺជាជម្រើស។ ទាំងនោះ។ ជាផ្លូវការ យើងអាចបែងចែកលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមសម្រាប់ម៉ាទ្រីស trapezoidal:
- ធាតុទាំងអស់នៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺស្មើនឹងសូន្យ។
- ធាតុទាំងអស់ចាប់ពី $a_(11)$ ទៅ $a_(rr)$ ដែលដេកលើអង្កត់ទ្រូងមេមិនស្មើនឹងសូន្យទេ៖ $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$។
- ទាំងធាតុទាំងអស់នៃជួរ $m-r$ ចុងក្រោយគឺស្មើនឹងសូន្យ ឬ $m=r$ (ពោលគឺមិនមានជួរសូន្យទាំងអស់)។
ឧទាហរណ៍នៃម៉ាទ្រីស trapezoidal៖
ចូរបន្តទៅនិយមន័យបន្ទាប់។ ម៉ាទ្រីស $A_(m\times n)$ ត្រូវបានហៅ បានបោះជំហានប្រសិនបើវាបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមៈ
ឧទាហរណ៍ ម៉ាទ្រីសជំហាននឹងមានៈ
សម្រាប់ការប្រៀបធៀប ម៉ាទ្រីស $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ មិនត្រូវបានបោះជំហានទេ ព្រោះជួរទីបីមានផ្នែកសូន្យដូចនឹងជួរទីពីរ។ នោះគឺគោលការណ៍ "បន្ទាត់ទាប - ផ្នែកសូន្យធំជាង" ត្រូវបានរំលោភបំពាន។ ខ្ញុំនឹងបន្ថែមថាម៉ាទ្រីស trapezoidal គឺជាករណីពិសេសនៃម៉ាទ្រីសដែលបានបោះជំហាន។
ចូរបន្តទៅនិយមន័យបន្ទាប់។ ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េដែលស្ថិតនៅក្រោមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសត្រីកោណខាងលើ. ឧទាហរណ៍ $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ - ម៉ាទ្រីសត្រីកោណខាងលើ។ ចំណាំថានិយមន័យនៃម៉ាទ្រីសត្រីកោណខាងលើមិននិយាយអ្វីអំពីតម្លៃនៃធាតុដែលស្ថិតនៅខាងលើអង្កត់ទ្រូងមេ ឬនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេនោះទេ។ ពួកវាអាចឬមិនសូន្យ វាមិនមានបញ្ហាទេ។ ឧទាហរណ៍ $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ក៏ជាម៉ាទ្រីសត្រីកោណខាងលើផងដែរ។
ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េដែលស្ថិតនៅខាងលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសត្រីកោណទាប. ឧទាហរណ៍ $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - ម៉ាទ្រីសត្រីកោណទាប។ ចំណាំថានិយមន័យនៃម៉ាទ្រីសត្រីកោណទាបមិននិយាយអ្វីអំពីតម្លៃនៃធាតុដែលមានទីតាំងនៅក្រោមឬនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេទេ។ ពួកវាអាចឬមិនចាត់ទុកជាមោឃៈ វាមិនសំខាន់ទេ។ ឧទាហរណ៍ $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ និង $\left(\ ចាប់ផ្តើម (អារេ) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ ក៏ជាម៉ាទ្រីសត្រីកោណទាបផងដែរ។
ម៉ាទ្រីសការ៉េត្រូវបានគេហៅថា អង្កត់ទ្រូងប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសនេះដែលមិនមាននៅលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺស្មើនឹងសូន្យ។ ឧទាហរណ៍៖ $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ) $ ។ ធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់អាចជាអ្វីក៏បាន (ស្មើនឹងសូន្យឬអត់) - នេះមិនសំខាន់ទេ។
ម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូងត្រូវបានគេហៅថា នៅលីវប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសនេះស្ថិតនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេគឺស្មើនឹង 1។ ឧទាហរណ៍ $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(អារេ)\right)$ - ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណលំដាប់ទី 4; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណលំដាប់ទីពីរ។
ប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីស និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។
គំនិតនៃកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទីពីរ និងទីបី។លក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់ និងការគណនារបស់វា។
3. ការពិពណ៌នាទូទៅនៃភារកិច្ច។
4. ការបញ្ចប់ភារកិច្ច។
5. ធ្វើរបាយការណ៍ស្តីពីការងារមន្ទីរពិសោធន៍។
សទ្ទានុក្រម
ស្វែងយល់ពីនិយមន័យខាងក្រោម លក្ខខណ្ឌ:
វិមាត្រម៉ាទ្រីសគឺជាបណ្តុំនៃលេខពីរដែលមានចំនួនជួរដេករបស់វា m និងចំនួនជួរឈរ n ។
ប្រសិនបើ m = n នោះម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េ matrix of order n.
ប្រតិបត្តិការម៉ាទ្រីស: ការផ្ទេរម៉ាទ្រីស, គុណ (ចែក) នៃម៉ាទ្រីសដោយចំនួន, បូកនិងដក, ម៉ាទ្រីសគុណដោយម៉ាទ្រីស។
ការផ្លាស់ប្តូរពីម៉ាទ្រីស A ទៅម៉ាទ្រីស A m ជួរដេកដែលជាជួរឈរ ហើយជួរឈរគឺជាជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីស ក
ឧទាហរណ៍៖ A=, A t= ។
ទៅ គុណម៉ាទ្រីសដោយលេខមួយ។អ្នកត្រូវគុណធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដោយលេខនេះ។
ឧទាហរណ៍៖ 2A=2=។
ផលបូក (ភាពខុសគ្នា)ម៉ាទ្រីស A និង B ដែលមានវិមាត្រដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីស C \u003d A B ដែលធាតុដែលស្មើគ្នា ជាមួយ ij = a ij b ijសម្រាប់ទាំងអស់ ខ្ញុំនិង j.
ឧទាហរណ៍៖ A = ; ខ = ។ A+B= 
= .
ការងារម៉ាទ្រីស A m n ទៅ ម៉ាទ្រីស B n k ត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីស C m k ដែលធាតុនីមួយៗនៃ c ij គឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរ i-th នៃម៉ាទ្រីស A និងធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរឈរ j-th នៃ ម៉ាទ្រីស B៖
c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +…+ a ក្នុង b nj ។
ដើម្បីអាចគុណម៉ាទ្រីសដោយម៉ាទ្រីស ពួកគេត្រូវតែជា យល់ព្រមសម្រាប់គុណ, នោះគឺ ចំនួនជួរឈរនៅក្នុងម៉ាទ្រីសទីមួយគួរតែស្មើនឹង ចំនួនបន្ទាត់នៅក្នុងម៉ាទ្រីសទីពីរ។
ឧទាហរណ៍៖ A= និង B= ។
A·B—មិនអាចទៅរួច ពីព្រោះ ពួកគេមិនស្របគ្នា។
В·А=។ = 
= 
.
លក្ខណសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការគុណម៉ាទ្រីស.
1. ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A មានវិមាត្រ mn,និងម៉ាទ្រីស B គឺជាវិមាត្រ nkបន្ទាប់មក ផលិតផល A · B មាន។
ផលិតផល B A អាចមានបានលុះត្រាតែមាន m=k ។
2. ការគុណម៉ាទ្រីសគឺមិនមែនជាការផ្លាស់ប្តូរទេ i.e. A · B មិនតែងតែស្មើនឹង B · A ទោះបីជាផលិតផលទាំងពីរត្រូវបានកំណត់ក៏ដោយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនង A B = B A ពេញចិត្ត នោះម៉ាទ្រីស A និង B ត្រូវបានហៅ ប្រែប្រួល.
ឧទាហរណ៍. គណនា។
អនីតិជនធាតុគឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ដែលទទួលបានដោយការលុបជួរ -th នៃជួរឈរ -th ។
ការបន្ថែមពិជគណិតធាតុត្រូវបានគេហៅថា។
ទ្រឹស្តីបទពង្រីក Laplace:
កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរណាមួយ (ជួរឈរ) និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតរបស់វា។
ឧទាហរណ៍. គណនា។
ការសម្រេចចិត្ត។ .
ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់លំដាប់ទី:
1) តម្លៃនៃកត្តាកំណត់នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើជួរដេក និងជួរឈរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរគ្នា។
2) ប្រសិនបើកត្តាកំណត់មានជួរដេក (ជួរឈរ) ត្រឹមតែសូន្យ នោះវាស្មើនឹងសូន្យ។
3) នៅពេលដែលជួរដេកពីរ (ជួរឈរ) ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ សញ្ញាផ្លាស់ប្តូរកត្តាកំណត់។
4) កត្តាកំណត់ដែលមានជួរដូចគ្នាពីរ (ជួរឈរ) គឺស្មើនឹងសូន្យ។
5) កត្តាទូទៅនៃធាតុនៃជួរណាមួយ (ជួរឈរ) អាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃកត្តាកំណត់។
6) ប្រសិនបើធាតុនីមួយៗនៃជួរជាក់លាក់មួយ (ជួរឈរ) គឺជាផលបូកនៃពាក្យពីរ នោះកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃកត្តាកំណត់ពីរ ដែលក្នុងមួយជួរទាំងអស់ (ជួរឈរ) លើកលែងតែមួយដែលបានរៀបរាប់គឺដូចគ្នា ដូចនៅក្នុងកត្តាកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយនៅក្នុងជួរដែលបានរៀបរាប់ (ជួរឈរ) នៃកត្តាកំណត់ទីមួយគឺជាលក្ខខណ្ឌទីមួយ ទីពីរ - ទីពីរ។
7) ប្រសិនបើជួរពីរ (ជួរឈរ) គឺសមាមាត្រនៅក្នុងកត្តាកំណត់ នោះវាស្មើនឹងសូន្យ។
8) កត្តាកំណត់មិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើធាតុនៃជួរជាក់លាក់មួយ (ជួរឈរ) ត្រូវបានបន្ថែមទៅធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរ) គុណនឹងចំនួនដូចគ្នា។
9) កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសត្រីកោណ និងអង្កត់ទ្រូងគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងមេ។
វិធីសាស្រ្តនៃការប្រមូលលេខសូន្យសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់គឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់។
ឧទាហរណ៍. គណនា។
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងដកលេខបីទ្វេដងចេញពីជួរទីមួយ បន្ទាប់មកយើងប្រើទ្រឹស្តីបទពង្រីកនៅក្នុងជួរឈរដំបូង។
~ 
.
សំណួរសាកល្បង(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :
1. ដូចម្តេចដែលហៅថា កត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ?
2. តើអ្វីជាលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃកត្តាកំណត់?
3. តើអ្វីជាអនីតិជនរបស់ធាតុ?
4. អ្វីទៅដែលហៅថាការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុកំណត់?
5. តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីពង្រីកកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីដោយធាតុនៃជួរណាមួយ (ជួរឈរ)?
6. តើអ្វីជាផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរដេកណាមួយ (ឬជួរឈរ) ដែលជាកត្តាកំណត់ដោយការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ឬជួរឈរ)?
7. តើអ្វីជាច្បាប់នៃត្រីកោណ?
8. របៀបកំណត់លំដាប់ខ្ពស់ជាងនេះត្រូវបានគណនាដោយការកាត់បន្ថយលំដាប់
10. តើម៉ាទ្រីសអ្វីហៅថាការ៉េ? Null? តើអ្វីទៅជា matrix-row, matrix-column?
11. តើម៉ាទ្រីសអ្វីដែលគេហៅថាស្មើ?
12. ផ្តល់និយមន័យនៃប្រតិបត្តិការនៃការបូក គុណម៉ាទ្រីស គុណម៉ាទ្រីសដោយចំនួន
13. តើលក្ខខណ្ឌអ្វីខ្លះដែលត្រូវបំពេញទំហំម៉ាទ្រីសកំឡុងពេលបូក គុណ?
14. តើអ្វីជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការពិជគណិតៈ ការផ្លាស់ប្តូរទំនាក់ទំនង ការចែកចាយ? តើមួយណាក្នុងចំណោមពួកវាត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ម៉ាទ្រីសកំឡុងពេលបូក គុណ និងមួយណាមិនមែន?
15. តើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺជាអ្វី? តើវាត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ម៉ាទ្រីសមួយណា?
16. បង្កើតទ្រឹស្តីបទស្តីពីអត្ថិភាព និងលក្ខណៈប្លែកនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
17. បង្កើតលេម៉ានៅលើការផ្លាស់ប្តូរផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស។
ភារកិច្ចជាក់ស្តែងទូទៅ(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :
លេខ 1 ។ ស្វែងរកផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃម៉ាទ្រីស A និង B :
ក) 
ខ) 
ក្នុង) 
លេខ 2 ។ អនុវត្តតាមជំហានទាំងនេះ :
គ) Z \u003d -11A + 7B-4C + D
ប្រសិនបើ 
លេខ 3 ។ អនុវត្តតាមជំហានទាំងនេះ :
ក្នុង) 
លេខ 4 ។ ដោយអនុវត្តវិធីសាស្រ្តចំនួនបួននៃការគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េ សូមស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសខាងក្រោម :
លេខ 5 ។ ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទី 1 ដោយធាតុនៃជួរឈរ (ជួរដេក) :
ក) 
ខ) 
លេខ 6 ។ ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់៖
ក) 
ខ) 
ការណែនាំនេះនឹងជួយអ្នករៀនពីរបៀប ប្រតិបត្តិការម៉ាទ្រីស: បូក (ដក) នៃម៉ាទ្រីស, ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីសមួយ, គុណនៃម៉ាទ្រីស, ការស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសមួយ។ សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់សាមញ្ញ និងអាចចូលដំណើរការបាន ឧទាហរណ៍ពាក់ព័ន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដូច្នេះសូម្បីតែមនុស្សដែលមិនបានត្រៀមខ្លួនក៏អាចរៀនពីរបៀបអនុវត្តសកម្មភាពជាមួយម៉ាទ្រីសបានដែរ។ សម្រាប់ការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង និងការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង អ្នកអាចទាញយកម៉ាទ្រីសគណនាដោយឥតគិតថ្លៃ >>> ។
ខ្ញុំនឹងព្យាយាមកាត់បន្ថយការគណនាតាមទ្រឹស្ដី នៅកន្លែងខ្លះការពន្យល់ "នៅលើម្រាមដៃ" និងការប្រើប្រាស់ពាក្យដែលមិនមានលក្ខណៈវិទ្យាសាស្ត្រអាចធ្វើទៅបាន។ អ្នកស្រលាញ់ទ្រឹស្តីរឹង សូមកុំរិះគន់អី ភារកិច្ចរបស់យើងគឺ រៀនពីរបៀបធ្វើការជាមួយម៉ាទ្រីស.
សម្រាប់ការរៀបចំ SUPER-FAST លើប្រធានបទ (អ្នកណា "ដុត") មានវគ្គសិក្សា pdf ដែលពឹងផ្អែកខ្លាំង ម៉ាទ្រីស កត្តាកំណត់ និងអុហ្វសិត!
ម៉ាទ្រីសគឺជាតារាងចតុកោណនៃមួយចំនួន ធាតុ. ជា ធាតុយើងនឹងពិចារណាលេខ នោះគឺជាលេខម៉ាទ្រីស។ ធាតុគឺជាពាក្យ។ វាជាការចង់ចាំពាក្យ វានឹងកើតឡើងជាញឹកញាប់ វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលខ្ញុំបានប្រើដិតដើម្បីគូសវាស។
ការកំណត់: matrices ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំង
ឧទាហរណ៍៖ពិចារណាម៉ាទ្រីសពីរគុណនឹងបី៖
ម៉ាទ្រីសនេះមានប្រាំមួយ។ ធាតុ:
លេខទាំងអស់ (ធាតុ) នៅក្នុងម៉ាទ្រីសមានដោយខ្លួនឯង ពោលគឺមិនមានសំណួរនៃការដកណាមួយទេ៖ 
វាគ្រាន់តែជាតារាង (សំណុំ) នៃលេខ!
យើងក៏នឹងយល់ព្រមដែរ។ កុំរៀបចំឡើងវិញលេខ លើកលែងតែមានចែងផ្សេងនៅក្នុងការពន្យល់។ លេខនីមួយៗមានទីតាំងរៀងៗខ្លួន ហើយអ្នកមិនអាចសាប់ពួកវាបានទេ!
ម៉ាទ្រីសក្នុងសំណួរមានពីរជួរ៖ 
និងបីជួរ៖ 
ស្តង់ដារ៖ នៅពេលនិយាយអំពីវិមាត្រនៃម៉ាទ្រីស ដំបូងចង្អុលបង្ហាញចំនួនជួរដេកហើយមានតែបន្ទាប់មក - ចំនួនជួរឈរ។ យើងទើបតែបានបំបែកម៉ាទ្រីសពីរគុណនឹងបី។
ប្រសិនបើចំនួនជួរដេក និងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសគឺដូចគ្នា នោះម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េ, ឧទាហរណ៍: 
គឺជាម៉ាទ្រីសបីគុណនឹងបី។
ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមានជួរឈរមួយ ឬជួរមួយ នោះម៉ាទ្រីសបែបនេះក៏ត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ វ៉ិចទ័រ.
តាមពិតទៅ យើងដឹងពីគោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសតាំងពីនៅរៀន មកពិចារណាឧទាហរណ៍ ចំណុចដែលមានកូអរដោណេ "x" និង "y"៖ ។ ជាសំខាន់ កូអរដោនេនៃចំណុចមួយត្រូវបានសរសេរទៅក្នុងម៉ាទ្រីសមួយដោយពីរ។ និយាយអីញ្ចឹង នេះជាឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់អ្នកថាហេតុអ្វីបានជាលំដាប់លេខមានសារៈសំខាន់៖ ហើយជាចំណុចពីរខុសគ្នាទាំងស្រុងនៃយន្តហោះ។
ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅការសិក្សា។ ប្រតិបត្តិការម៉ាទ្រីស:
1) សកម្មភាពមួយ។ ការដកដកចេញពីម៉ាទ្រីស (ការណែនាំដកទៅជាម៉ាទ្រីស).
ត្រលប់ទៅម៉ាទ្រីសរបស់យើង។ 
. ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់ឃើញថាមានលេខអវិជ្ជមានច្រើនពេកនៅក្នុងម៉ាទ្រីសនេះ។ នេះគឺជាការរអាក់រអួលខ្លាំងណាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការអនុវត្តសកម្មភាពផ្សេងៗជាមួយម៉ាទ្រីស វាជាការរអាក់រអួលក្នុងការសរសេរ minuses ជាច្រើន ហើយវាមើលទៅអាក្រក់នៅក្នុងការរចនា។
ចូរផ្លាស់ទីដកនៅខាងក្រៅម៉ាទ្រីសដោយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស:
នៅសូន្យ ដូចដែលអ្នកយល់ សញ្ញាមិនផ្លាស់ប្តូរទេ សូន្យ - វាក៏ជាសូន្យនៅអាហ្រ្វិកដែរ។
ឧទាហរណ៍បញ្ច្រាស៖ 
. មើលទៅអាក្រក់។
យើងណែនាំដកទៅក្នុងម៉ាទ្រីសដោយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស:
អញ្ចឹងវាស្អាតជាង។ ហើយសំខាន់បំផុត វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តសកម្មភាពណាមួយជាមួយម៉ាទ្រីស។ ដោយសារតែមានសញ្ញាប្រជាប្រិយបែបគណិតវិទ្យា៖ minuses កាន់តែច្រើន - ការយល់ច្រឡំនិងកំហុសកាន់តែច្រើន.
2) សកម្មភាពពីរ។ គុណម៉ាទ្រីសដោយលេខ.
ឧទាហរណ៍៖
វាសាមញ្ញ ដើម្បីគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខមួយ អ្នកត្រូវការ គ្រប់គ្នាគុណធាតុម៉ាទ្រីសដោយលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះបី។
ឧទាហរណ៍ដ៏មានប្រយោជន៍មួយទៀត៖
- គុណនៃម៉ាទ្រីសដោយប្រភាគ
សូមក្រឡេកមើលអ្វីដែលត្រូវធ្វើដំបូង មិនត្រូវការ:
វាមិនចាំបាច់ក្នុងការបញ្ចូលប្រភាគទៅក្នុងម៉ាទ្រីសទេ ទីមួយ វាគ្រាន់តែធ្វើឱ្យសកម្មភាពបន្ថែមទៀតជាមួយម៉ាទ្រីសពិបាក ហើយទីពីរវាធ្វើឱ្យគ្រូពិបាកពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយ (ជាពិសេសប្រសិនបើ 
- ចម្លើយចុងក្រោយនៃកិច្ចការ) ។
ហើយជាពិសេស, មិនត្រូវការចែកធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដោយដកប្រាំពីរ៖
ពីអត្ថបទ គណិតវិទ្យាសម្រាប់អត់ចេះសោះ ឬកន្លែងដែលត្រូវចាប់ផ្តើមយើងចាំថាប្រភាគទសភាគដែលមានសញ្ញាក្បៀសក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់កំពុងព្យាយាមគ្រប់មធ្យោបាយដើម្បីជៀសវាង។
រឿងតែមួយគត់ គួរឱ្យចង់បានដើម្បីធ្វើក្នុងឧទាហរណ៍នេះគឺត្រូវបញ្ចូលដកទៅក្នុងម៉ាទ្រីស៖
ប៉ុន្តែប្រសិនបើ ទាំងអស់។ធាតុម៉ាទ្រីសត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 ដោយគ្មានដានបន្ទាប់មកវានឹងអាចធ្វើទៅបាន (និងចាំបាច់!) ដើម្បីបែងចែក។
ឧទាហរណ៍៖
ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចធ្វើបាន ត្រូវការគុណធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសដោយ ចាប់តាំងពីលេខទាំងអស់នៅក្នុងម៉ាទ្រីសត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ដោយគ្មានដាន.
ចំណាំ៖ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ មិនមានគោលគំនិតសាលានៃ "ការបែងចែក" ទេ។ ជំនួសឱ្យឃ្លា "នេះបែងចែកដោយនេះ" អ្នកតែងតែអាចនិយាយថា "នេះត្រូវបានគុណដោយប្រភាគ" ។ នោះគឺការបែងចែកគឺជាករណីពិសេសនៃគុណ។
3) សកម្មភាពទីបី។ ការផ្ទេរម៉ាទ្រីស.
ដើម្បីបញ្ជូនម៉ាទ្រីស អ្នកត្រូវសរសេរជួរដេករបស់វាទៅក្នុងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លង។
ឧទាហរណ៍៖
ផ្ទេរម៉ាទ្រីស
មានតែមួយជួរនៅទីនេះ ហើយយោងទៅតាមច្បាប់ វាត្រូវតែសរសេរក្នុងជួរឈរ៖
គឺជាម៉ាទ្រីស transposed ។
ម៉ាទ្រីសដែលបានចម្លងត្រូវបានបង្ហាញជាធម្មតាដោយអក្សរលើ ឬសញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅខាងស្ដាំកំពូល។
ឧទាហរណ៍មួយជំហានម្តង ៗ ៖
ផ្ទេរម៉ាទ្រីស 
ដំបូងយើងសរសេរជួរទីមួយឡើងវិញទៅក្នុងជួរទីមួយ៖
បន្ទាប់មកយើងសរសេរជួរទីពីរម្តងទៀតទៅក្នុងជួរទីពីរ៖ 
ហើយចុងក្រោយ យើងសរសេរជួរទីបីឡើងវិញទៅក្នុងជួរទីបី៖
រួចរាល់។ និយាយដោយប្រយោល បកប្រែមានន័យថាបង្វែរម៉ាទ្រីសទៅម្ខាងរបស់វា។
4) សកម្មភាពទីបួន។ ផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃម៉ាទ្រីស.
ផលបូកនៃម៉ាទ្រីសគឺជាប្រតិបត្តិការដ៏សាមញ្ញមួយ។
មិនមែនម៉ាទ្រីសទាំងអស់អាចបត់បានទេ។ ដើម្បីអនុវត្តការបូក (ដក) នៃម៉ាទ្រីស វាចាំបាច់ដែលពួកវាជាទំហំដូចគ្នា។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសពីរគុណនឹងពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះវាអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅម៉ាទ្រីសពីរដោយពីរប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនមានអ្វីផ្សេងទៀតទេ! 
ឧទាហរណ៍៖
បន្ថែមម៉ាទ្រីស 
និង 
ដើម្បីបន្ថែមម៉ាទ្រីស អ្នកត្រូវបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នារបស់វា។:
សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃម៉ាទ្រីស ច្បាប់គឺស្រដៀងគ្នា វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃធាតុដែលត្រូវគ្នា។.
ឧទាហរណ៍៖
ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃម៉ាទ្រីស 
, 
ហើយរបៀបដោះស្រាយឧទាហរណ៍នេះឱ្យកាន់តែងាយស្រួលដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំ? វាគឺជាទីប្រឹក្សាដើម្បីកម្ចាត់ minuses ដែលមិនចាំបាច់ សម្រាប់ការនេះ យើងនឹងបន្ថែមដកទៅម៉ាទ្រីស៖
ចំណាំ៖ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ មិនមានគោលគំនិតសាលានៃ "ដក" ទេ។ ជំនួសឱ្យឃ្លា "ដកនេះចេញពីនេះ" អ្នកតែងតែអាចនិយាយថា "បន្ថែមលេខអវិជ្ជមានទៅនេះ" ។ នោះគឺការដកគឺជាករណីពិសេសនៃការបូក។
5) សកម្មភាពប្រាំ។ គុណម៉ាទ្រីស.
តើម៉ាទ្រីសណាដែលអាចគុណបាន?
សម្រាប់ម៉ាទ្រីសត្រូវគុណនឹងម៉ាទ្រីសមួយ ដូច្នេះចំនួនជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងចំនួនជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស.
ឧទាហរណ៍៖
តើអាចគុណម៉ាទ្រីសដោយម៉ាទ្រីសបានទេ?
ដូច្នេះ អ្នកអាចគុណទិន្នន័យនៃម៉ាទ្រីស។
ប៉ុន្តែប្រសិនបើម៉ាទ្រីសត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ នោះនៅក្នុងករណីនេះ ការគុណនឹងមិនអាចទៅរួចទៀតទេ!
ដូច្នេះគុណគឺមិនអាចទៅរួចទេ៖
វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេសម្រាប់កិច្ចការដែលមានល្បិច នៅពេលដែលសិស្សត្រូវបានស្នើសុំឱ្យគុណម៉ាទ្រីស ការគុណដែលជាក់ស្តែងគឺមិនអាចទៅរួចទេ។
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាក្នុងករណីខ្លះវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគុណម៉ាទ្រីសតាមវិធីទាំងពីរ។
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ម៉ាទ្រីស និងទាំងការគុណ និងគុណគឺអាចធ្វើទៅបាន
និយមន័យ ១. ទំហំម៉ាទ្រីស Aម នគឺជាតារាងចតុកោណនៃជួរ m និងជួរឈរ n ដែលមានលេខ ឬកន្សោមគណិតវិទ្យាផ្សេងទៀត (ហៅថាធាតុម៉ាទ្រីស) i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.
, ឬ
និយមន័យ ២.
ម៉ាទ្រីសពីរ 
និង 
ទំហំដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ស្មើប្រសិនបើពួកវាផ្គូផ្គងធាតុដោយធាតុ ឧ។ 
=
,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n ។
ដោយមានជំនួយពីម៉ាទ្រីស វាងាយស្រួលក្នុងការសរសេរនូវភាពអាស្រ័យសេដ្ឋកិច្ចមួយចំនួន ឧទាហរណ៍ តារាងនៃការបែងចែកធនធានសម្រាប់វិស័យមួយចំនួននៃសេដ្ឋកិច្ច។
និយមន័យ ៣. ប្រសិនបើចំនួនជួរដេកម៉ាទ្រីសត្រូវគ្នានឹងចំនួនជួរឈររបស់វា ឧ។ m = n បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់ការ៉េន, បើមិនដូច្នេះទេ ចតុកោណ។
និយមន័យ ៤. ការផ្លាស់ប្តូរពីម៉ាទ្រីស A ទៅម៉ាទ្រីស A m ដែលក្នុងនោះជួរដេក និងជួរឈរត្រូវបានប្តូរជាមួយនឹងការរក្សាសណ្តាប់ធ្នាប់ ត្រូវបានគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីស។
ប្រភេទនៃម៉ាទ្រីស៖ ការ៉េ (ទំហំ 33) - 
,
ចតុកោណកែង (ទំហំ 25) - 
,
អង្កត់ទ្រូង - 
, នៅលីវ - 
, សូន្យ - 
,
ម៉ាទ្រីស ជួរ - 
, ម៉ាទ្រីស - ជួរឈរ - ។
និយមន័យ ៥.
ធាតុនៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ n ដែលមានសន្ទស្សន៍ដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថាធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ i.e. ទាំងនេះគឺជាធាតុ៖ 
.
និយមន័យ ៦. ធាតុនៃម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ n ត្រូវបានគេហៅថាធាតុអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ ប្រសិនបើផលបូកនៃសន្ទស្សន៍របស់ពួកគេស្មើនឹង n + 1, i.e. ទាំងនេះគឺជាធាតុ: ។
១.២. ប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីស។
1
0
.
ផលបូក
ម៉ាទ្រីសពីរ 
និង 
ដែលមានទំហំដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីស С = (с ij) ធាតុដែលត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាពជាមួយ ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n)។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមម៉ាទ្រីស។
សម្រាប់ម៉ាទ្រីស A, B, C ដែលមានទំហំដូចគ្នា ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោមមាន៖
1) A + B = B + A (ការផ្លាស់ប្តូរ),
2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (សមាគម) ។
2
0
.
ការងារ
ម៉ាទ្រីស
ក្នុងមួយលេខ
ហៅថាម៉ាទ្រីស 
ទំហំដូចគ្នាទៅនឹងម៉ាទ្រីស A និង b ij = 
(i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n)។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការនៃការគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខមួយ។
(А) = ()А (សមាគមនៃគុណ);
(А+В) = А+В (ការចែកចាយគុណនឹងការបូកម៉ាទ្រីស);
(+)A = A+A (ការចែកចាយគុណនឹងការបូកលេខ)។
និយមន័យ ៧.
ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃម៉ាទ្រីសលីនេអ៊ែរ 
និង 
ដែលមានទំហំដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា កន្សោមនៃទម្រង់ A + B ដែល និង ជាលេខបំពាន។
3 0 . ផលិតផល ក នៅក្នុងម៉ាទ្រីស A និង B រៀងគ្នានៃទំហំ mn និង nk ត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីស C នៃទំហំ mk ដែលធាតុដែលមាន ij គឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃធាតុនៃជួរ i-th នៃម៉ាទ្រីស A និងជួរឈរ j-th នៃម៉ាទ្រីស B, i.e. ជាមួយ ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj ។
ផលិតផល AB មានលុះត្រាតែចំនួនជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A គឺដូចគ្នានឹងចំនួនជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស B។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការនៃគុណម៉ាទ្រីស៖
(АВ)С = А(ВС) (សមាគម);
(А+В)С = АС+ВС (ការចែកចាយទាក់ទងនឹងការបន្ថែមម៉ាទ្រីស);
А(В+С) = АВ+АС (ការចែកចាយទាក់ទងនឹងការបន្ថែមម៉ាទ្រីស);
АВ ВА (មិនផ្លាស់ប្តូរ) ។
និយមន័យ ៨. Matrices A និង B ដែល AB = BA ត្រូវបានគេហៅថា commuting ឬ permuting ។
ការគុណម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ណាមួយដោយម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណដែលត្រូវគ្នាមិនផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីសទេ។
និយមន័យ ៩. ការផ្លាស់ប្តូរបឋមម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថាប្រតិបត្តិការដូចខាងក្រោមៈ
ប្តូរជួរពីរ (ជួរឈរ) ។
គុណធាតុនីមួយៗនៃជួរដេក (ជួរឈរ) ដោយលេខមិនសូន្យ។
ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត (ជួរឈរ) ។
និយមន័យ ១០. ម៉ាទ្រីស B ដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីស A ដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមត្រូវបានគេហៅថា សមមូល(តំណាងឱ្យ BA) ។
ឧទាហរណ៍ 1.1 ។ស្វែងរកបន្សំលីនេអ៊ែរនៃម៉ាទ្រីស 2A–3B ប្រសិនបើ
,
.
,
,
.
ឧទាហរណ៍
1.2.
ស្វែងរកផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស 
, ប្រសិនបើ
.
ដំណោះស្រាយ៖ ដោយសារចំនួនជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសទីមួយគឺដូចគ្នាទៅនឹងចំនួនជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសទីពីរ នោះផលិតផលម៉ាទ្រីសមាន។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសថ្មី។ 
កន្លែងណា
ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន 
.
ធម្មទេសនា 2. កត្តាកំណត់។ ការគណនានៃកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទីពីរទីបី។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវគ្គជម្រុះន- លំដាប់។
ODA. តារាងចតុកោណជាមួយ tបន្ទាត់ និង ទំជួរឈរនៃចំនួនពិតត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសទំហំ t × n. Matrices ត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំង៖ A, B, ... ហើយអារេនៃលេខត្រូវបានសម្គាល់ដោយតង្កៀបជុំ ឬការ៉េ។
លេខដែលរួមបញ្ចូលក្នុងតារាងត្រូវបានគេហៅថាធាតុម៉ាទ្រីស ហើយត្រូវបានតាងដោយអក្សរឡាតាំងតូចដែលមានសន្ទស្សន៍ទ្វេ ជាកន្លែងដែល ខ្ញុំ- លេខបន្ទាត់ j- ចំនួនជួរឈរនៅចំនុចប្រសព្វដែលធាតុស្ថិតនៅ។ ជាទូទៅម៉ាទ្រីសត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
ម៉ាទ្រីសពីរត្រូវបានពិចារណា ស្មើប្រសិនបើធាតុដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា។
ប្រសិនបើចំនួនជួរដេកម៉ាទ្រីស tស្មើនឹងចំនួនជួរឈររបស់វា។ ទំបន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា ការ៉េ(បើមិនដូច្នេះទេ ចតុកោណកែង) ។
ម៉ាទ្រីសទំហំ 
ត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីសជួរ។ ម៉ាទ្រីសទំហំ 
ត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីសជួរឈរ។
ធាតុម៉ាទ្រីសដែលមានសន្ទស្សន៍ស្មើគ្នា ( 
ល) ទម្រង់ អង្កត់ទ្រូងសំខាន់ម៉ាទ្រីស។ អង្កត់ទ្រូងផ្សេងទៀតត្រូវបានគេហៅថាអង្កត់ទ្រូងចំហៀង។
ម៉ាទ្រីសការ៉េត្រូវបានគេហៅថា អង្កត់ទ្រូងប្រសិនបើធាតុទាំងអស់របស់វាស្ថិតនៅខាងក្រៅអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺស្មើនឹងសូន្យ។
ម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូងដែលធាតុអង្កត់ទ្រូងស្មើនឹងមួយត្រូវបានគេហៅថា នៅលីវម៉ាទ្រីស និងមានសញ្ញាណស្តង់ដារ E:
ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសដែលមានទីតាំងនៅខាងលើ (ឬខាងក្រោម) អង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺស្មើនឹងសូន្យ ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេនិយាយថាមានទម្រង់ត្រីកោណ៖
§២. ប្រតិបត្តិការម៉ាទ្រីស
1. ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីស - ការផ្លាស់ប្តូរដែលជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសត្រូវបានសរសេរជាជួរឈរខណៈពេលដែលរក្សាលំដាប់របស់ពួកគេ។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េ ការបំប្លែងនេះគឺស្មើនឹងការគូសវាសស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងអង្កត់ទ្រូងមេ៖
.
2. ម៉ាទ្រីសនៃវិមាត្រដូចគ្នាអាចត្រូវបានបូក (ដក) ។ ផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃម៉ាទ្រីស គឺជាម៉ាទ្រីសនៃវិមាត្រដូចគ្នា ដែលធាតុនីមួយៗស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសដើម៖
3. ម៉ាទ្រីសណាមួយអាចត្រូវបានគុណដោយលេខមួយ។ ផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសដោយលេខគឺជាម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ដូចគ្នាដែលធាតុនីមួយៗស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសដើមដោយលេខនេះ:
.
4. ប្រសិនបើចំនួនជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសមួយស្មើនឹងចំនួនជួរដេកនៃមួយទៀត នោះអ្នកអាចគុណម៉ាទ្រីសទីមួយដោយទីពីរ។ ផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសបែបនេះគឺជាម៉ាទ្រីស ដែលធាតុនីមួយៗស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលគូនៃធាតុនៃជួរដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសទីមួយ និងធាតុនៃជួរឈរដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសទីពីរ។
ផលវិបាក. និទស្សន្តម៉ាទ្រីស ទៅ> 1 គឺជាផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស A ទៅម្តង។ កំណត់សម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។
ឧទាហរណ៍.
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីស។
(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T = kA T;
(A + B) T \u003d A T + B T;
(AB) T =B T A T;
លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយខាងលើគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការលើលេខ។ វាក៏មានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់នៃម៉ាទ្រីសផងដែរ។ ទាំងនេះរួមបញ្ចូលជាឧទាហរណ៍ លក្ខណៈប្លែកនៃគុណម៉ាទ្រីស។ ប្រសិនបើផលិតផល AB មាន នោះផលិតផល BA
ប្រហែលជាមិនមានទេ។
អាចខុសគ្នាពី AB ។
ឧទាហរណ៍. សហគ្រាសផលិតផលិតផលពីរប្រភេទ A និង B ហើយប្រើប្រាស់វត្ថុធាតុដើមបីប្រភេទគឺ S 1 S 2 និង S 3 ។ អត្រាប្រើប្រាស់នៃវត្ថុធាតុដើមត្រូវបានផ្តល់ដោយម៉ាទ្រីស N = 
កន្លែងណា ន អ៊ី- បរិមាណវត្ថុធាតុដើម jចំណាយលើការផលិតឯកតានៃទិន្នផល ខ្ញុំ. ផែនការផលិតកម្មត្រូវបានផ្តល់ដោយម៉ាទ្រីស C = (100 200) ហើយតម្លៃឯកតានៃប្រភេទវត្ថុធាតុដើមនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ដោយម៉ាទ្រីស 
. កំណត់តម្លៃនៃវត្ថុធាតុដើមដែលត្រូវការសម្រាប់ទិន្នផលដែលបានគ្រោងទុក និងតម្លៃសរុបនៃវត្ថុធាតុដើម។
ការសម្រេចចិត្ត។ តម្លៃនៃវត្ថុធាតុដើមត្រូវបានកំណត់ជាផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស C និង N:
យើងគណនាតម្លៃសរុបនៃវត្ថុធាតុដើមជាផលិតផលរបស់ S និង P ។
