ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធនីមួយៗ ជួនកាលមានភាពស្ទាក់ស្ទើរក្នុងការកត់ត្រា ហើយពួកគេព្យាយាមធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ។ វាធ្លាប់ដូចគ្នាជាមួយប្រតិបត្តិការបន្ថែម។ វាចាំបាច់សម្រាប់មនុស្សដើម្បីអនុវត្តការបន្ថែមម្តងហើយម្តងទៀតនៃប្រភេទដូចគ្នាឧទាហរណ៍ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកំរាលព្រំ Persian មួយរយដែលតម្លៃគឺ 3 កាក់មាសសម្រាប់នីមួយៗ។ 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300 ។ ដោយសារភាពច្រើន វាត្រូវបានគេគិតថាត្រូវកាត់បន្ថយសញ្ញាណមកត្រឹម 3 * 100 = 300 ។ តាមពិត សញ្ញា "បីដងមួយរយ" មានន័យថាអ្នកត្រូវយក មួយរយបីដង ហើយបន្ថែមវាជាមួយគ្នា។ គុណបានឫសគល់ ទទួលបានប្រជាប្រិយភាពទូទៅ។ ប៉ុន្តែពិភពលោកមិននៅស្ងៀមទេ ហើយនៅក្នុងយុគសម័យកណ្តាល វាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តការគុណដដែលៗដដែលៗ។ ខ្ញុំនឹកឃើញពាក្យប្រឌិតរបស់ជនជាតិឥណ្ឌាចាស់មួយរូបអំពីអ្នកប្រាជ្ញម្នាក់ដែលសុំគ្រាប់ស្រូវសាលីក្នុងបរិមាណខាងក្រោមជារង្វាន់សម្រាប់ការងារដែលបានធ្វើ៖ សម្រាប់ក្រឡាទីមួយនៃក្តារអុក គាត់បានសុំគ្រាប់មួយ សម្រាប់ទីពីរ - ពីរ ទីបី - បួន។ ទីប្រាំ - ប្រាំបី ហើយដូច្នេះនៅលើ។ នេះជារបៀបដែលការគុណដំបូងនៃអំណាចបានបង្ហាញខ្លួន ពីព្រោះចំនួនគ្រាប់ធញ្ញជាតិគឺស្មើនឹងពីរទៅនឹងថាមពលនៃចំនួនក្រឡា។ ឧទាហរណ៍ នៅលើក្រឡាចុងក្រោយនឹងមាន 2*2*2*…*2 = 2^63 គ្រាប់ធញ្ញជាតិ ដែលស្មើនឹងលេខ 18 តួអក្សរដែលតាមពិត គឺជាអត្ថន័យនៃពាក្យប្រឌិត។

ប្រតិបត្តិការ​នៃ​ការ​លើក​ឡើង​ទៅ​កាន់​អំណាច​បាន​ចាក់​ឫស​យ៉ាង​ឆាប់​រហ័ស ហើយ​វា​ក៏​បាន​ក្លាយ​ជា​ការ​ចាំបាច់​ភ្លាមៗ​ដើម្បី​អនុវត្ត​ការ​បូក ដក ចែក និង​គុណ​ដឺក្រេ។ ក្រោយមកទៀតគឺមានតម្លៃពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀត។ រូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមថាមពលគឺសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។ លើសពីនេះទៀតវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការយល់ថាតើពួកគេមកពីណាប្រសិនបើប្រតិបត្តិការថាមពលត្រូវបានជំនួសដោយការគុណ។ ប៉ុន្តែជាដំបូងអ្នកត្រូវយល់ពីវាក្យស័ព្ទបឋម។ កន្សោម a ^ b (អាន "a ដល់អំណាចនៃ b") មានន័យថាចំនួន a គួរតែត្រូវបានគុណដោយខ្លួនវា b ដងហើយ "a" ត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេហើយ "b" គឺជានិទស្សន្ត។ ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃអំណាចគឺដូចគ្នា នោះរូបមន្តគឺបានមកយ៉ាងសាមញ្ញ។ ឧទាហរណ៍ជាក់លាក់៖ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម 2^3 * 2^4 ។ ដើម្បីដឹងពីអ្វីដែលគួរកើតឡើង អ្នកគួរតែស្វែងរកចម្លើយនៅលើកុំព្យូទ័រ មុនពេលចាប់ផ្តើមដំណោះស្រាយ។ ការបញ្ចូលកន្សោមនេះទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខអនឡាញណាមួយ ម៉ាស៊ីនស្វែងរក ដោយវាយ "គុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា និងដូចគ្នា" ឬកញ្ចប់គណិតវិទ្យា លទ្ធផលនឹងមាន 128 ។ ឥឡូវសូមសរសេរកន្សោមនេះ៖ 2^3 = 2*2*2, និង 2^4 = 2 * 2 * 2 * 2 ។ វាប្រែថា 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) ។ វាប្រែថាផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋានដែលបានលើកឡើងទៅជាថាមពលស្មើនឹងផលបូកនៃអំណាចពីរមុន។

អ្នក​ប្រហែល​ជា​គិត​ថា​នេះ​ជា​ឧបទ្ទវហេតុ ប៉ុន្តែ​ទេ៖ ឧទាហរណ៍​ផ្សេង​ទៀត​អាច​បញ្ជាក់​បាន​តែ​ច្បាប់​នេះ​ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ជាទូទៅ រូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖ a^n * a^m = a^(n+m) ។ វាក៏មានច្បាប់មួយដែលថាលេខណាមួយទៅសូន្យអំណាចគឺស្មើនឹងមួយ។ នៅទីនេះយើងគួរចងចាំក្បួននៃអំណាចអវិជ្ជមាន: a^(-n) = 1 / a^n ។ នោះគឺប្រសិនបើ 2^3 = 8 បន្ទាប់មក 2^(-3) = 1/8 ។ ដោយប្រើច្បាប់នេះ យើងអាចបញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នា a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) អាច​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ ហើយ​នៅ​តែ​មួយ។ ពីនេះ ក្បួនគឺបានមកពី quotient នៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើនឹងមូលដ្ឋាននេះទៅមួយដឺក្រេស្មើនឹង quotient នៃភាគលាភនិងផ្នែកចែក: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) ។ ឧទាហរណ៍៖ សម្រួលកន្សោម 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) ។ គុណគឺជាប្រតិបត្តិការផ្លាស់ប្តូរ ដូច្នេះនិទស្សន្តគុណត្រូវបន្ថែមជាដំបូង៖ 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = ២. បន្ទាប់មកអ្នកគួរតែដោះស្រាយជាមួយនឹងការបែងចែកដោយកម្រិតអវិជ្ជមាន។ វាចាំបាច់ក្នុងការដកនិទស្សន្តចែកចេញពីនិទស្សន្តភាគលាភ៖ 2^1:2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8 ។ វាប្រែថាប្រតិបត្តិការនៃការបែងចែកដោយដឺក្រេអវិជ្ជមានគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងប្រតិបត្តិការនៃគុណដោយនិទស្សន្តវិជ្ជមានស្រដៀងគ្នា។ ដូច្នេះចម្លើយចុងក្រោយគឺ 8 ។

មានឧទាហរណ៍ដែលការគុណនៃអំណាចដែលមិនមែនជា Canonical កើតឡើង។ ការ​គុណ​អំណាច​ដោយ​មូលដ្ឋាន​ខុស​គ្នា​ច្រើន​តែ​ពិបាក​ជាង ហើយ​ពេល​ខ្លះ​ក៏​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ដែរ។ ឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗដែលអាចធ្វើទៅបានគួរតែត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍៖ សម្រួលកន្សោម 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729។ ជាក់ស្តែង មានគុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នា។ ប៉ុន្តែវាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមូលដ្ឋានទាំងអស់គឺជាអំណាចផ្សេងគ្នានៃបីដង។ 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6 ។ ដោយប្រើក្បួន (a^n) ^m = a^(n*m) អ្នកគួរតែសរសេរកន្សោមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ងាយស្រួលជាង៖ 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12-10+6) = 3^(11) ។ ចម្លើយ៖ ៣^១១។ ក្នុងករណីដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ច្បាប់ a^n*b^n=(a*b)^n ដំណើរការសម្រាប់សូចនាករស្មើគ្នា។ ឧទាហរណ៍ 3^3 * 7^3 = 21^3 ។ បើមិនដូច្នោះទេ នៅពេលដែលមានមូលដ្ឋាន និងសូចនាករផ្សេងគ្នា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតគុណពេញលេញ។ ពេលខ្លះអ្នកអាចសម្រួលផ្នែកខ្លះ ឬងាកទៅរកជំនួយពីបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។

មេរៀនលើប្រធានបទ៖ "ច្បាប់សម្រាប់គុណ និងបែងចែកអំណាចជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា និងផ្សេងគ្នា។ ឧទាហរណ៍"

សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ មតិកែលម្អ ការផ្តល់យោបល់។ សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីកំចាត់មេរោគ។

ជំនួយការបង្រៀន និងការក្លែងធ្វើនៅក្នុងហាងអនឡាញ "អាំងតេក្រាល" សម្រាប់ថ្នាក់ទី 7
សៀវភៅណែនាំសម្រាប់សៀវភៅសិក្សា Yu.N. សៀវភៅណែនាំ Makarycheva សម្រាប់សៀវភៅសិក្សា A.G. Mordkovich

គោលបំណងនៃមេរៀន៖ រៀនពីរបៀបអនុវត្តប្រតិបត្តិការដោយអំណាចនៃលេខ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមសូមរំលឹកឡើងវិញនូវគំនិតនៃ "អំណាចនៃលេខ" ។ កន្សោមដូចជា $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ អាចត្រូវបានតំណាងជា $a^n$ ។

ការបញ្ច្រាសក៏ជាការពិតដែរ៖ $a^n= \underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ ។

សមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា "ការកត់ត្រាសញ្ញាបត្រជាផលិតផល" ។ វានឹងជួយយើងកំណត់ពីរបៀបគុណ និងបែងចែកអំណាច។
ចងចាំ៖
ក- មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ។
ន- និទស្សន្ត។
ប្រសិនបើ ក n=1ដែលមានន័យថាលេខ កយកម្តង និងរៀងៗខ្លួន៖ $a^n=1$។
ប្រសិនបើ ក n=0បន្ទាប់មក $a^0=1$។

ហេតុអ្វីបានជារឿងនេះកើតឡើង យើងអាចរកឃើញនៅពេលដែលយើងស្គាល់ច្បាប់សម្រាប់គុណ និងបែងចែកអំណាច។

ក្បួនគុណ

ក) ប្រសិនបើអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាត្រូវបានគុណ។
ទៅ $a^n* a^m$ យើងសរសេរអំណាចជាផលិតផល៖ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (ម)$។
តួលេខបង្ហាញថាលេខ កបានយក n+mដងបន្ទាប់មក $a^n * a^m = a^(n + m)$ ។

ឧទាហរណ៍។
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះងាយស្រួលប្រើដើម្បីសម្រួលការងារនៅពេលលើកលេខទៅថាមពលធំ។
ឧទាហរណ៍។
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ខ) ប្រសិនបើអំណាចត្រូវបានគុណជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ប៉ុន្តែនិទស្សន្តដូចគ្នា។
ទៅ $a^n * b^n$ យើងសរសេរអំណាចជាផលិតផល៖ $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (ម)$។
ប្រសិនបើយើងប្តូរកត្តា និងរាប់គូលទ្ធផល យើងទទួលបាន៖ $\underbrace((a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$ ។

ដូច្នេះ $a^n * b^n= (a * b)^n$ ។

ឧទាហរណ៍។
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

ច្បាប់នៃការបែងចែក

ក) មូលដ្ឋាននៃដឺក្រេគឺដូចគ្នា និទស្សន្តគឺខុសគ្នា។
ពិចារណា​ការ​បែង​ចែក​សញ្ញាបត្រ​ដោយ​និទស្សន្ត​ធំ​ជាង ដោយ​ចែក​សញ្ញាប័ត្រ​ជាមួយ​និទស្សន្ត​តូច​ជាង។

ដូច្នេះ, វាចាំបាច់ $\frac(a^n)(a^m)$កន្លែងណា n> ម.

យើងសរសេរដឺក្រេជាប្រភាគ៖

$\frac(\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(a * a * \ldots * a )_(m))$។

ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងសរសេរការបែងចែកជាប្រភាគសាមញ្ញ។

ឥឡូវនេះសូមកាត់បន្ថយប្រភាគ។

វាប្រែថា $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$ ។
មានន័យថា $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះនឹងជួយពន្យល់ពីស្ថានភាពជាមួយនឹងការបង្កើនលេខទៅជាថាមពលសូន្យ។ ចូរសន្មតថា n=mបន្ទាប់មក $a^0=a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n)=1$។

ឧទាហរណ៍។
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$ ។

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$ ។

ខ) មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រគឺខុសគ្នា សូចនាករគឺដូចគ្នា។
ចូរនិយាយថាអ្នកត្រូវការ $\frac(a^n)(b^n)$ ។ យើងសរសេរអំណាចនៃលេខជាប្រភាគ៖

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$ ។

តោះស្រមៃមើលដើម្បីភាពងាយស្រួល។

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃប្រភាគ យើងបែងចែកប្រភាគធំទៅជាផលិតផលនៃប្រភាគតូច យើងទទួលបាន។
$\underbrace(\frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$ ។
ដូច្នោះ៖ $\frac(a^n)(b^n)=(\frac(a)(b))^n$ ។

ឧទាហរណ៍។
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$ ។

នៅក្នុងការបង្រៀនវីដេអូចុងក្រោយ យើងបានរៀនថាកម្រិតនៃមូលដ្ឋានគឺជាកន្សោមដែលជាផលនៃមូលដ្ឋាន និងខ្លួនវាផ្ទាល់ ដែលយកក្នុងបរិមាណស្មើនឹងនិទស្សន្ត។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិ និងប្រតិបត្តិការសំខាន់ៗមួយចំនួននៃអំណាច។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងគុណអំណាចពីរផ្សេងគ្នាជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖

តោះ​មើល​ឈុត​នេះ​ទាំង​ស្រុង៖

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

ដោយបានគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនេះ យើងនឹងទទួលបានលេខ 32។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ដូចគ្នា 32 អាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃមូលដ្ឋានដូចគ្នា (ពីរ) យក 5 ដង។ ហើយជាការពិតប្រសិនបើអ្នករាប់ នោះ៖

ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានសន្និដ្ឋានដោយសុវត្ថិភាពថា:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

ច្បាប់នេះដំណើរការដោយជោគជ័យសម្រាប់សូចនាករ និងហេតុផលណាមួយ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការគុណនៃសញ្ញាប័ត្រនេះធ្វើឡើងពីក្បួនរក្សាអត្ថន័យនៃកន្សោមអំឡុងពេលបំប្លែងនៅក្នុងផលិតផល។ សម្រាប់មូលដ្ឋានណាមួយ a ផលិតផលនៃកន្សោមពីរ (a) x និង (a) y គឺស្មើនឹង a (x + y) ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត នៅពេលដែលផលិតកន្សោមណាមួយដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ឯកតាចុងក្រោយមានកម្រិតសរុបដែលបង្កើតឡើងដោយការបន្ថែមកម្រិតនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ។

ច្បាប់​ដែល​បាន​បង្ហាញ​ក៏​ដំណើរការ​ល្អ​ដែរ​នៅ​ពេល​គុណ​កន្សោម​ជាច្រើន។ លក្ខខណ្ឌចម្បងគឺថាមូលដ្ឋានសម្រាប់ទាំងអស់គឺដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបន្ថែមដឺក្រេហើយជាទូទៅដើម្បីអនុវត្តសកម្មភាពរួមគ្នានៃថាមពលជាមួយនឹងធាតុពីរនៃការបញ្ចេញមតិប្រសិនបើមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេខុសគ្នា។
ដូចដែលវីដេអូរបស់យើងបង្ហាញ ដោយសារតែភាពស្រដៀងគ្នានៃដំណើរការនៃគុណ និងការបែងចែក ច្បាប់សម្រាប់ការបន្ថែមថាមពលក្នុងអំឡុងពេលផលិតផលមួយត្រូវបានផ្ទេរយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះទៅកាន់នីតិវិធីនៃការបែងចែក។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នេះ៖

ចូរ​ធ្វើ​ការ​បំប្លែង​ពាក្យ​ដោយ​ពាក្យ​នៃ​កន្សោម​ទៅ​ជា​ទម្រង់​ពេញ​លេញ ហើយ​កាត់​បន្ថយ​ធាតុ​ដូច​គ្នា​ក្នុង​ភាគលាភ​និង​ផ្នែក​ចែក៖

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

លទ្ធផលចុងក្រោយនៃឧទាហរណ៍នេះគឺមិនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នោះទេព្រោះរួចទៅហើយនៅក្នុងដំណើរការនៃដំណោះស្រាយរបស់វាវាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃនៃកន្សោមគឺស្មើនឹងការេនៃពីរ។ ហើយវាគឺជា deuce ដែលទទួលបានដោយការដកដឺក្រេនៃកន្សោមទីពីរពីដឺក្រេនៃទីមួយ។

ដើម្បី​កំណត់​កម្រិត​នៃ​ភាគលាភ​ត្រូវ​ដក​កម្រិត​នៃ​ផ្នែក​ចែក​ចេញ​ពី​កម្រិត​នៃ​ភាគលាភ។ ច្បាប់ធ្វើការជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នាសម្រាប់តម្លៃរបស់វាទាំងអស់ និងសម្រាប់អំណាចធម្មជាតិទាំងអស់។ ក្នុងទម្រង់អរូបី យើងមាន៖

(a) x / (a) y = (a) x − y

និយមន័យសម្រាប់ដឺក្រេសូន្យ អនុវត្តតាមច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកមូលដ្ឋានដូចគ្នាបេះបិទជាមួយនឹងអំណាច។ ជាក់ស្តែង ការបញ្ចេញមតិខាងក្រោមនេះគឺ៖

(a) x / (a) x \u003d (a) (x − x) \u003d (a) 0

ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើយើងបែងចែកតាមវិធីដែលមើលឃើញច្រើនជាងនេះ យើងទទួលបាន៖

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

នៅពេលកាត់បន្ថយធាតុដែលមើលឃើញទាំងអស់នៃប្រភាគ កន្សោម 1/1 តែងតែទទួលបាន ពោលគឺមួយ។ ដូច្នេះ គេទទួលយកជាទូទៅថា មូលដ្ឋានណាមួយដែលបានលើកឡើងទៅសូន្យអំណាចគឺស្មើនឹងមួយ៖

ដោយមិនគិតពីតម្លៃនៃ ក.

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនទំនងទាល់តែសោះ ប្រសិនបើ 0 (ដែលនៅតែផ្តល់ឱ្យ 0 សម្រាប់គុណណាមួយ) គឺស្មើនឹងមួយ ដូច្នេះកន្សោមដូចជា (0) 0 (ពីសូន្យដល់សូន្យដឺក្រេ) មិនសមហេតុផលទេ ហើយរូបមន្ត (a) 0 = 1 បន្ថែមលក្ខខណ្ឌមួយ: "ប្រសិនបើ a មិនស្មើនឹង 0" ។

តោះធ្វើលំហាត់។ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

ដោយសារមូលដ្ឋានគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ទីកន្លែង ហើយស្មើនឹង 34 តម្លៃចុងក្រោយនឹងមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាជាមួយនឹងដឺក្រេ (យោងទៅតាមច្បាប់ខាងលើ)៖

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

ចម្លើយ៖ កន្សោមគឺស្មើនឹងមួយ។

គោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានណែនាំតាំងពីថ្នាក់ទី 7 នៅក្នុងមេរៀនពិជគណិត។ ហើយនៅពេលអនាគត ពេញមួយវគ្គនៃការសិក្សាគណិតវិទ្យា គំនិតនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្មក្នុងទម្រង់ផ្សេងៗរបស់វា។ សញ្ញាបត្រគឺជាប្រធានបទដ៏លំបាកមួយ ដែលទាមទារឱ្យមានការទន្ទេញចាំតម្លៃ និងសមត្ថភាពក្នុងការរាប់បានត្រឹមត្រូវ និងឆាប់រហ័ស។ សម្រាប់ការងារកាន់តែលឿន និងប្រសើរជាងមុនជាមួយនឹងសញ្ញាបត្រគណិតវិទ្យា ពួកគេបានមកជាមួយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ។ ពួកគេជួយកាត់បន្ថយការគណនាធំៗ ដើម្បីបំប្លែងឧទាហរណ៍ដ៏ធំទៅជាលេខតែមួយទៅកម្រិតខ្លះ។ លក្ខណៈសម្បត្តិមិនមានច្រើនទេ ហើយពួកវាទាំងអស់គឺងាយស្រួលចងចាំ និងអនុវត្តក្នុងការអនុវត្ត។ ដូច្នេះ អត្ថបទពិភាក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃសញ្ញាបត្រ ក៏ដូចជាកន្លែងដែលគេអនុវត្ត។

លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រិត

យើងនឹងពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិចំនួន 12 នៃសញ្ញាបត្រ រួមទាំងទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ហើយផ្តល់ឧទាហរណ៍សម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិនីមួយៗ។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនីមួយៗនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងកម្រិតកាន់តែលឿន ក៏ដូចជាជួយសង្រ្គោះអ្នកពីកំហុសក្នុងការគណនាជាច្រើន។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី 1 ។

មនុស្សជាច្រើនតែងតែភ្លេចអំពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ធ្វើខុស តំណាងឱ្យលេខមួយទៅសូន្យដឺក្រេជាសូន្យ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ២ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៣ ។

វាត្រូវតែចងចាំថាទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចប្រើបានតែនៅពេលគុណលេខប៉ុណ្ណោះវាមិនដំណើរការជាមួយផលបូកទេ! ហើយយើងមិនត្រូវភ្លេចថា នេះ និងលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមអនុវត្តចំពោះតែអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៤ ។

ប្រសិនបើលេខនៅក្នុងភាគបែងត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកនៅពេលដក កម្រិតនៃភាគបែងត្រូវបានយកជាតង្កៀប ដើម្បីជំនួសសញ្ញាឱ្យបានត្រឹមត្រូវក្នុងការគណនាបន្ថែមទៀត។

ទ្រព្យសម្បត្តិដំណើរការតែពេលចែក មិនមែនពេលដកទេ!

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៥ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៦ ។

លក្ខណសម្បត្តិនេះក៏អាចត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងការបញ្ច្រាសផងដែរ។ ឯកតា​ដែល​ចែក​ដោយ​លេខ​មួយ​ដល់​កម្រិត​មួយ​គឺ​ចំនួន​នោះ​ទៅ​ជា​ថាមពល​អវិជ្ជមាន។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៧ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមិនអាចអនុវត្តចំពោះផលបូក និងភាពខុសគ្នាទេ! នៅពេលបង្កើនផលបូក ឬភាពខុសគ្នាទៅជាថាមពល រូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ត្រូវបានប្រើ មិនមែនជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃថាមពលនោះទេ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៨ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៩ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះដំណើរការសម្រាប់ដឺក្រេប្រភាគណាមួយដែលមានភាគយកស្មើនឹងមួយ រូបមន្តនឹងដូចគ្នា មានតែកម្រិតនៃឫសនឹងផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើភាគបែងនៃសញ្ញាបត្រ។

ដូចគ្នានេះផងដែរ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស។ ឫសនៃអំណាចនៃចំនួនណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាលេខនោះទៅអំណាចនៃមួយបែងចែកដោយអំណាចនៃឬស។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងករណីដែលឫសនៃលេខមិនត្រូវបានស្រង់ចេញ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១០ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះដំណើរការមិនត្រឹមតែជាមួយឫសការ៉េនិងសញ្ញាបត្រទីពីរប៉ុណ្ណោះទេ។ ប្រសិនបើកម្រិតនៃឫស និងកម្រិតដែលឫសនេះត្រូវបានលើកឡើងដូចគ្នា នោះចម្លើយនឹងជាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១១ ។

អ្នកត្រូវអាចមើលឃើញទ្រព្យសម្បត្តិនេះទាន់ពេលនៅពេលដោះស្រាយវា ដើម្បីសង្គ្រោះខ្លួនអ្នកពីការគណនាដ៏ធំ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១២ ។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនីមួយៗនឹងជួបអ្នកច្រើនជាងមួយដងក្នុងកិច្ចការ វាអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធរបស់វា ឬវាអាចទាមទារការផ្លាស់ប្តូរមួយចំនួន និងការប្រើប្រាស់រូបមន្តផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះសម្រាប់ដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវ វាមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងតែលក្ខណៈសម្បត្តិនោះទេ អ្នកត្រូវអនុវត្ត និងភ្ជាប់ចំណេះដឹងគណិតវិទ្យាដែលនៅសល់។

ការអនុវត្តសញ្ញាបត្រ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

ពួកវាត្រូវបានប្រើយ៉ាងសកម្មក្នុងពិជគណិត និងធរណីមាត្រ។ សញ្ញាបត្រក្នុងគណិតវិទ្យាមានកន្លែងសំខាន់ដាច់ដោយឡែក។ ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិសមភាពត្រូវបានដោះស្រាយ ក៏ដូចជាអំណាចជារឿយៗធ្វើឱ្យមានភាពស្មុគស្មាញដល់សមីការ និងឧទាហរណ៍ទាក់ទងនឹងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។ និទស្សន្តជួយជៀសវាងការគណនាធំ និងវែង វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការកាត់បន្ថយ និងគណនានិទស្សន្ត។ ប៉ុន្តែដើម្បីធ្វើការជាមួយអំណាចធំ ឬជាមួយនឹងអំណាចនៃចំនួនច្រើន អ្នកត្រូវដឹងមិនត្រឹមតែលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងមានសមត្ថភាពធ្វើការជាមួយមូលដ្ឋានផងដែរ អាចបំបែកពួកវាបាន ដើម្បីធ្វើឱ្យកិច្ចការរបស់អ្នកកាន់តែងាយស្រួល។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល អ្នកក៏គួរតែដឹងពីអត្ថន័យនៃលេខដែលលើកឡើងទៅជាថាមពល។ នេះនឹងកាត់បន្ថយពេលវេលារបស់អ្នកក្នុងការដោះស្រាយដោយលុបបំបាត់តម្រូវការសម្រាប់ការគណនាយូរ។

គោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដើរតួនាទីពិសេសនៅក្នុងលោការីត។ ដោយហេតុថាលោការីត ជាខ្លឹមសារ គឺជាអំណាចនៃលេខ។

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់គឺជាឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃការប្រើប្រាស់អំណាច។ ពួកវាមិនអាចប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេបានទេ ពួកគេត្រូវបាន decomposed យោងទៅតាមច្បាប់ពិសេស ប៉ុន្តែនៅក្នុងរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់នីមួយៗមានដឺក្រេមិនប្រែប្រួល។

សញ្ញាបត្រក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្មក្នុងរូបវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រផងដែរ។ ការបកប្រែទាំងអស់ទៅក្នុងប្រព័ន្ធ SI ត្រូវបានធ្វើឡើងដោយប្រើដឺក្រេ ហើយនៅពេលអនាគត នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រត្រូវបានអនុវត្ត។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ អំណាចនៃពីរត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្ម ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការរាប់ និងសម្រួលដល់ការយល់ឃើញនៃលេខ។ ការគណនាបន្ថែមទៀតលើការបំប្លែងឯកតារង្វាស់ ឬការគណនានៃបញ្ហា ដូចជានៅក្នុងរូបវិទ្យា កើតឡើងដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ។

ដឺក្រេក៏មានប្រយោជន៍ក្នុងវិស័យតារាសាស្ត្រផងដែរ ដែលអ្នកកម្រអាចរកឃើញការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេមួយ ប៉ុន្តែដឺក្រេខ្លួនឯងត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងសកម្មដើម្បីកាត់បន្ថយការកត់ត្រាបរិមាណ និងចម្ងាយផ្សេងៗ។

ដឺក្រេក៏ត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃផងដែរ នៅពេលគណនាតំបន់ បរិមាណ ចម្ងាយ។

ដោយ​មាន​ជំនួយ​ពី​ដឺក្រេ តម្លៃ​ធំ​ណាស់ និង​តូច​បំផុត​មិន​បាន​សរសេរ​ក្នុង​វិស័យ​វិទ្យាសាស្ត្រ​ណា​មួយ​ទេ។

សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិសមភាព

លក្ខណៈសម្បត្តិដឺក្រេកាន់កាប់កន្លែងពិសេសមួយយ៉ាងជាក់លាក់នៅក្នុងសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិសមភាព។ ភារកិច្ចទាំងនេះគឺជារឿងធម្មតាណាស់ ទាំងនៅក្នុងវគ្គសិក្សា និងនៅក្នុងការប្រឡង។ ពួកគេទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ។ ការមិនស្គាល់គឺតែងតែស្ថិតនៅក្នុងកម្រិតខ្លួនវា ដូច្នេះហើយការដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នោះ វានឹងមិនពិបាកក្នុងការដោះស្រាយសមីការ ឬវិសមភាពបែបនេះទេ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគុណអំណាច? តើអំណាចមួយណាអាចគុណបាន ហើយមួយណាមិនអាច? តើអ្នកគុណលេខដោយថាមពលដោយរបៀបណា?

នៅក្នុងពិជគណិត អ្នកអាចរកឃើញផលនៃអំណាចក្នុងករណីពីរ៖

1) ប្រសិនបើសញ្ញាបត្រមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា;

2) ប្រសិនបើដឺក្រេមានសូចនាករដូចគ្នា។

នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋានត្រូវតែនៅដដែល ហើយនិទស្សន្តត្រូវបន្ថែម៖

នៅពេលគុណដឺក្រេជាមួយនឹងសូចនាករដូចគ្នា សូចនាករសរុបអាចត្រូវបានយកចេញពីតង្កៀប៖

ពិចារណាពីរបៀបបង្កើនអំណាច ដោយមានឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

ឯកតា​ក្នុង​និទស្សន្ត​មិន​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ទេ ប៉ុន្តែ​នៅ​ពេល​គុណ​នឹង​ដឺក្រេ គេ​គិត​ដល់​៖

នៅពេលគុណចំនួនដឺក្រេអាចជាណាមួយ។ គួរចងចាំថាអ្នកមិនអាចសរសេរសញ្ញាគុណនៅពីមុខអក្សរបានទេ៖

នៅក្នុងកន្សោម និទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្តមុន។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការគុណលេខដោយថាមពល ដំបូងអ្នកត្រូវតែអនុវត្តនិទស្សន្ត ហើយមានតែពេលនោះទេ - គុណ៖

www.algebraclass.ru

ការបូក ដក គុណ និងការបែងចែកអំណាច

ការបូកនិងដកនៃអំណាច

ជាក់ស្តែង លេខដែលមានថាមពលអាចត្រូវបានបន្ថែមដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀត។ ដោយបន្ថែមពួកវាម្តងមួយៗជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេ។.

ដូច្នេះផលបូកនៃ a 3 និង b 2 គឺ a 3 + b 2 ។
ផលបូកនៃ a 3 - b n និង h 5 -d 4 គឺ a 3 - b n + h 5 - d 4 ។

ហាងឆេង អំណាចដូចគ្នានៃអថេរដូចគ្នា។អាចត្រូវបានបន្ថែមឬដក។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2a 2 និង 3a 2 គឺ 5a 2 ។

វាក៏ច្បាស់ដែរថា ប្រសិនបើយើងយកការ៉េពីរ a ឬបីការ៉េ a ឬប្រាំការ៉េ a ។

ប៉ុន្តែសញ្ញាបត្រ អថេរផ្សេងៗនិង កម្រិតផ្សេងៗ អថេរដូចគ្នាត្រូវតែបន្ថែមដោយបន្ថែមពួកវាទៅសញ្ញារបស់ពួកគេ។

ដូច្នេះផលបូកនៃ 2 និង a 3 គឺជាផលបូកនៃ 2 + a 3 ។

វាច្បាស់ណាស់ថាការេនៃ a និងគូបនៃ a គឺមិនមែនពីរដងនៃការេនៃ a ប៉ុន្តែពីរដងនៃគូបនៃ a ។

ផលបូកនៃ 3 b n និង 3a 5 b 6 គឺ a 3 b n + 3a 5 b 6 ។

ដកអំណាចត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបដូចគ្នានឹងការបន្ថែម លើកលែងតែសញ្ញានៃអនុសញ្ញាត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរទៅតាមនោះ។

ឬ៖
2a 4 − (−6a 4) = 8a ៤
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

គុណអំណាច

លេខដែលមានអំណាចអាចត្រូវបានគុណដូចបរិមាណផ្សេងទៀតដោយសរសេរពួកវាមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀតដោយមានឬគ្មានសញ្ញាគុណរវាងពួកវា។

ដូច្នេះលទ្ធផលនៃគុណ 3 គុណនឹង b 2 គឺជា 3 b 2 ឬ aaabb ។

ឬ៖
x −3 ⋅ a m = a m x −3
3a 6 y 2 ⋅ (−2x) = −6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

លទ្ធផលនៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចត្រូវបានបញ្ជាដោយបន្ថែមអថេរដូចគ្នា។
កន្សោមនឹងមានទម្រង់៖ a 5 b 5 y 3 ។

ដោយការប្រៀបធៀបលេខជាច្រើន (អថេរ) ជាមួយនឹងអំណាច យើងអាចឃើញថា ប្រសិនបើចំនួនទាំងពីរត្រូវបានគុណ នោះលទ្ធផលគឺជាចំនួន (អថេរ) ដែលមានថាមពលស្មើនឹង ផលបូកកម្រិតនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

នៅទីនេះ 5 គឺជាអំណាចនៃលទ្ធផលនៃគុណនឹង 2 + 3 ផលបូកនៃអំណាចនៃលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះ a n .a m = a m + n ។

សម្រាប់ n មួយ a ត្រូវបានគេយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលអំណាចនៃ n គឺ;

ហើយ m ត្រូវបានគេយកជាកត្តាជាច្រើនដងដែលដឺក្រេ m គឺស្មើនឹង;

ដូច្នេះ អំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាអាចត្រូវបានគុណដោយការបន្ថែមនិទស្សន្ត។

ដូច្នេះ a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8 ។ និង x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6 ។

ឬ៖
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

គុណ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x − y)។
ចម្លើយ៖ x ៤ − y ៤ ។
គុណ (x 3 + x − 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) ។

ច្បាប់នេះក៏ពិតសម្រាប់លេខដែលនិទស្សន្តគឺ − អវិជ្ជមាន.

1. ដូច្នេះ a -2 .a -3 = a -5 . នេះអាចសរសេរជា (1/aa)។(1/aaa) = 1/aaa។

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

ប្រសិនបើ a + b ត្រូវបានគុណនឹង a - b នោះលទ្ធផលនឹងជា 2 - b 2៖ នោះគឺជា

លទ្ធផលនៃការគុណផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងផលបូកឬភាពខុសគ្នានៃការ៉េរបស់ពួកគេ។

ប្រសិនបើផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរត្រូវបានលើកឡើង ការ៉េលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះនៅក្នុង ទីបួនសញ្ញាបត្រ។

ដូច្នេះ (a - y) ។(a + y) = a 2 - y 2 ។
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ។
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 ។

ការបែងចែកអំណាច

លេខថាមពលអាចត្រូវបានបែងចែកដូចជាលេខផ្សេងទៀតដោយដកចេញពីផ្នែក ឬដោយដាក់វាជាទម្រង់ប្រភាគ។

ដូច្នេះ a 3 b 2 ចែកនឹង b 2 គឺ a 3 ។

ការសរសេរ 5 ចែកនឹង 3 មើលទៅដូចជា $\frac $ ប៉ុន្តែនេះគឺស្មើនឹង 2 ។ នៅក្នុងស៊េរីនៃលេខ
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4 ។
លេខណាមួយអាចត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្សេងទៀត ហើយនិទស្សន្តនឹងស្មើនឹង ភាពខុសគ្នាសូចនាករនៃលេខដែលអាចបែងចែកបាន។

នៅពេលបែងចែកអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា និទស្សន្តរបស់ពួកគេត្រូវបានដក។.

ដូច្នេះ y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 ។ នោះគឺ $\frac = y$ ។

ហើយ n + 1: a = a n + 1-1 = a n ។ នោះគឺ $\frac = a^n$ ។

ឬ៖
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

ច្បាប់នេះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់លេខជាមួយ អវិជ្ជមានតម្លៃសញ្ញាបត្រ។
លទ្ធផលនៃការបែងចែក a -5 ដោយ a -3 គឺ a -2 ។
ផងដែរ $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $ ។

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ឬ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

វាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់លើការគុណ និងការបែងចែកអំណាចបានយ៉ាងល្អ ព្រោះប្រតិបត្តិការបែបនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងពិជគណិត។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ប្រភាគដែលមានលេខដែលមានអំណាច

1. កាត់បន្ថយនិទស្សន្តក្នុង $\frac $ ចម្លើយ៖ $\frac $។

2. កាត់បន្ថយនិទស្សន្តក្នុង $\frac$ ។ ចម្លើយ៖ $\frac $ ឬ 2x ។

3. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត a 2/a 3 និង a -3/a -4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងរួម។
a 2 .a -4 គឺជា​ -2 ភាគយកទីមួយ។
a 3 .a −3 គឺ a 0 = 1 ជាភាគយកទីពីរ។
a 3 .a -4 គឺ a -1 ដែលជាភាគយកទូទៅ។
បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖ a -2 /a -1 និង 1/a -1 ។

4. កាត់បន្ថយនិទស្សន្ត 2a 4/5a 3 និង 2/a 4 ហើយនាំយកទៅភាគបែងធម្មតា។
ចម្លើយ៖ 2a 3/5a 7 និង 5a 5/5a 7 ឬ 2a 3/5a 2 និង 5/5a 2 ។

5. គុណ (a 3 + b)/b 4 ដោយ (a − b)/3 ។

6. គុណ (a 5 + 1)/x 2 ដោយ (b 2 − 1)/(x + a)។

7. គុណ b 4 /a -2 ដោយ h -3 /x និង a n / y -3 ។

8. ចែក 4/y 3 ដោយ 3/y 2 ។ ចម្លើយ៖ a/y ។

លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រិត

យើងរំលឹកអ្នកថានៅក្នុងមេរៀននេះយើងយល់ លក្ខណៈសម្បត្តិកម្រិតជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិនិងសូន្យ។ សញ្ញាប័ត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកវានឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀនសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 ។

និទស្សន្តដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិមានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកងាយស្រួលក្នុងការគណនាក្នុងឧទាហរណ៍និទស្សន្ត។

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ១
ផលិតផលនៃអំណាច

នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម។

a m a n \u003d a m + n ដែល "a" គឺជាលេខណាមួយ ហើយ "m", "n" គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចនេះក៏ប៉ះពាល់ដល់ផលិតផលនៃអំណាចបីឬច្រើនផងដែរ។

សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

បង្ហាញជាសញ្ញាប័ត្រ។
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

បង្ហាញជាសញ្ញាប័ត្រ។
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

សូមចំណាំថានៅក្នុងទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានចង្អុលបង្ហាញវាគ្រាន់តែជាការគុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។. វាមិនអនុវត្តចំពោះការបន្ថែមរបស់ពួកគេទេ។

អ្នកមិនអាចជំនួសផលបូក (3 3 + 3 2) ជាមួយ 3 5 បានទេ។ នេះអាចយល់បានប្រសិនបើ
គណនា (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 និង 3 5 = 243

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ២
សញ្ញាបត្រឯកជន

នៅពេលបែងចែកអំណាចដោយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តនៃការបែងចែកត្រូវបានដកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ។

សរសេរកូតាជាថាមពល
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

គណនា។

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ។ យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រផ្នែក។
3 8: t = 3 ៤

ចម្លើយ៖ t = 3 4 = 81

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិលេខ 1 និងលេខ 2 អ្នកអាចធ្វើឱ្យកន្សោមសាមញ្ញ និងអនុវត្តការគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍។ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិដឺក្រេ។

2 11 − 5 = 2 6 = 64

សូមចំណាំថាទ្រព្យសម្បត្តិ 2 ដោះស្រាយតែជាមួយការបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

អ្នកមិនអាចជំនួសភាពខុសគ្នា (4 3 −4 2) ជាមួយ 4 1 ។ នេះអាចយល់បានប្រសិនបើអ្នកគណនា (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 និង 4 1 = 4

ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ៣
និទស្សន្ត

នៅពេលបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពល មូលដ្ឋាននៃអំណាចនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ។

(a n) m \u003d a n m ដែល "a" គឺជាលេខណាមួយ ហើយ "m", "n" គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

សូមចំណាំថាទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 4 ដូចជាលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតនៃដឺក្រេក៏ត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាសផងដែរ។

(a n b n) = (a b) n

នោះគឺ ដើម្បីគុណអំណាចជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា អ្នកអាចគុណគោល ហើយទុកនិទស្សន្តមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ឧទាហរណ៍។ គណនា។
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

ឧទាហរណ៍។ គណនា។
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ស្មុគ្រស្មាញជាងនេះ វាអាចមានករណីនៅពេលដែលគុណ និងការបែងចែកត្រូវតែអនុវត្តលើអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា និងនិទស្សន្តផ្សេងគ្នា។ ក្នុងករណីនេះយើងណែនាំអ្នកឱ្យធ្វើដូចខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

ឧទាហរណ៍នៃនិទស្សន្តនៃប្រភាគទសភាគ។

4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

ទ្រព្យសម្បត្តិ ៥
អំណាចនៃប្រភាគ (ប្រភាគ)

ដើម្បី​បង្កើន​កូតា​ទៅ​អំណាច អ្នក​អាច​បង្កើន​ភាគលាភ និង​ផ្នែក​បែងចែក​ដោយ​ឡែក​ពី​គ្នា​ទៅ​នឹង​អំណាច​នេះ ហើយ​បែងចែក​លទ្ធផល​ទីមួយ​ដោយ​ទីពីរ។

(a: b) n \u003d a n: b n ដែល "a", "b" គឺជាលេខសមហេតុផលណាមួយ b ≠ 0, n គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

ឧទាហរណ៍។ បញ្ចេញមតិជាអំណាចដោយផ្នែក។
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

យើងរំលឹកអ្នកថា កូតាអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​លើក​យក​ប្រភាគ​មួយ​ទៅ​អានុភាព​លម្អិត​នៅ​ទំព័រ​បន្ទាប់។

ដឺក្រេនិងឫស

ប្រតិបត្តិការជាមួយអំណាចនិងឫស។ សញ្ញាប័ត្រជាមួយអវិជ្ជមាន ,

សូន្យ និងប្រភាគ សូចនាករ។ អំពីការបញ្ចេញមតិដែលមិនសមហេតុផល។

ប្រតិបត្តិការជាមួយសញ្ញាបត្រ។

1. នៅពេលគុណអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា សូចនាកររបស់វាត្រូវបានបន្ថែមឡើង៖

ម · a n = a m + n ។

2. នៅពេលដែលបែងចែកដឺក្រេជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នាសូចនាកររបស់ពួកគេ។ ដក .

3. កម្រិតនៃផលិតផលនៃកត្តាពីរឬច្រើនគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដឺក្រេនៃកត្តាទាំងនេះ។

4. កម្រិតនៃសមាមាត្រ (ប្រភាគ) គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃដឺក្រេនៃភាគលាភ (ភាគលាភ) និង ភាគបែង (ភាគបែង)៖

(ក/ខ) n = a n / b n ។

5. នៅពេលបង្កើនកម្រិតដល់ថាមពល សូចនាកររបស់ពួកគេត្រូវបានគុណ៖

រូបមន្តខាងលើទាំងអស់ត្រូវបានអាន និងប្រតិបត្តិក្នុងទិសដៅទាំងពីរពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងច្រាសមកវិញ។

ឧទាហរណ៍ (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

ប្រតិបត្តិការជាមួយឫស។ នៅក្នុងរូបមន្តទាំងអស់ខាងក្រោម និមិត្តសញ្ញាមានន័យថា ឫសនព្វន្ធ(ការបង្ហាញរ៉ាឌីកាល់គឺវិជ្ជមាន) ។

1. ឫសគល់នៃផលនៃកត្តាជាច្រើនស្មើនឹងផលនៃឬសនៃកត្តាទាំងនេះ៖

2. ឫសនៃសមាមាត្រគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃឫសនៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក៖

៣.ពេល​លើក​ឬស​ដល់​អំណាច​ល្មម​លើក​ឡើង​ដល់​អំណាច​នេះ លេខឫស៖

4. ប្រសិនបើអ្នកបង្កើនកម្រិតនៃឫសដោយ m ដង ហើយដំណាលគ្នាបង្កើនចំនួន root ទៅ m -th degree នោះតម្លៃរបស់ root នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

5. ប្រសិនបើអ្នកកាត់បន្ថយកម្រិតនៃឫសដោយ m ដង ហើយក្នុងពេលតែមួយដកឫសនៃសញ្ញាបត្រ m-th ពីលេខរ៉ាឌីកាល់ នោះតម្លៃនៃឫសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

ការពង្រីកគំនិតនៃសញ្ញាបត្រ។ រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានពិចារណាដឺក្រេតែជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែប្រតិបត្តិការដែលមានអំណាច និងឫសគល់ក៏អាចនាំទៅដល់ដែរ។ អវិជ្ជមាន, សូន្យនិង ប្រភាគសូចនាករ។ និទស្សន្តទាំងអស់នេះទាមទារនិយមន័យបន្ថែម។

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន។ កម្រិតនៃចំនួនជាក់លាក់ដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមាន (ចំនួនគត់) ត្រូវបានកំណត់ថាជាលេខមួយចែកដោយកម្រិតនៃចំនួនដូចគ្នាជាមួយនឹងនិទស្សន្តស្មើនឹងតម្លៃដាច់ខាតនៃនិទស្សន្តអវិជ្ជមាន៖

ឥឡូវនេះរូបមន្ត ម : មួយ n = មួយ m-nអាចត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែសម្រាប់ ម, ច្រើនជាង នប៉ុន្តែក៏នៅ ម, តិច​ជាង ន .

ឧទាហរណ៍ ក 4: ក 7 = ក 4 — 7 = ក — 3 .

ប្រសិនបើយើងចង់បានរូបមន្ត ម : មួយ n = ម — នមានភាពយុត្តិធម៌នៅ m = នយើងត្រូវការនិយមន័យនៃសូន្យដឺក្រេ។

សញ្ញាប័ត្រជាមួយលេខសូន្យ។ កម្រិតនៃលេខដែលមិនមែនជាសូន្យដែលមាននិទស្សន្តសូន្យគឺ 1 ។

ឧទាហរណ៍។ 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ។ ដើម្បីបង្កើនចំនួនពិត a ទៅអំណាច m / n អ្នកត្រូវដកឫសនៃសញ្ញាបត្រទី n ពីអំណាច mth នៃលេខនេះ a:

អំពីការបញ្ចេញមតិដែលមិនសមហេតុផល។ មានការបញ្ចេញមតិបែបនេះជាច្រើន។

កន្លែងណា ក ≠ 0 , មិន​មាន​ទេ។

ជាការពិតប្រសិនបើយើងសន្មតថា xគឺជាចំនួនជាក់លាក់មួយ បន្ទាប់មក ស្របតាមនិយមន័យនៃប្រតិបត្តិការបែងចែក យើងមាន៖ ក = 0· x, i.e. ក= 0 ដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ៖ ក ≠ 0

— លេខណាមួយ។

ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើយើងសន្មតថាកន្សោមនេះគឺស្មើនឹងចំនួនមួយចំនួន xបន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យនៃប្រតិបត្តិការបែងចែកយើងមាន: 0 = 0 x. ប៉ុន្តែសមភាពនេះរក្សា លេខណាមួយ xដែលត្រូវបញ្ជាក់។

0 0 — លេខណាមួយ។

ដំណោះស្រាយ សូមពិចារណាករណីសំខាន់ៗចំនួនបី៖

1) x = 0 – តម្លៃនេះមិនបំពេញសមីការនេះទេ។

2) ពេលណា x> 0 យើងទទួលបាន៖ x / x= 1, i.e. 1 = 1, មកពីណា,

អ្វី x- លេខណាមួយ; ប៉ុន្តែដោយគិតគូរពីនោះ។

ករណីរបស់យើង។ x> 0 ចម្លើយគឺ x > 0 ;

ច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា

សញ្ញាប័ត្រជាមួយសូចនាករសមហេតុផល,

មុខងារថាមពល IV

§ 69. គុណនិងការបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ១.ដើម្បីគុណអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមនិទស្សន្ត ហើយទុកមូលដ្ឋានដូចគ្នា នោះគឺជា

ភស្តុតាង។តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

យើងបានពិចារណាផលិតផលនៃអំណាចពីរ។ តាមពិត ទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបង្ហាញគឺជាការពិតសម្រាប់ចំនួននៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ២.ដើម្បីបែងចែកអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា នៅពេលដែលសូចនាករនៃភាគលាភធំជាងសូចនាករនៃការបែងចែក វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដកសូចនាករនៃការបែងចែកចេញពីសូចនាករនៃភាគលាភ ហើយទុកមូលដ្ឋានដូចគ្នា នោះគឺ នៅ t > ន

(ក =/= 0)

ភស្តុតាង។សូមចាំថា ផលគុណនៃការបែងចែកលេខមួយទៅលេខមួយទៀត គឺជាចំនួនដែលនៅពេលគុណនឹងចែកចែកភាគលាភ។ ដូច្នេះសូមបញ្ជាក់រូបមន្ត កន្លែងណា ក =/= 0 វាដូចជាការបញ្ជាក់រូបមន្ត

ប្រសិនបើ ក t > ន បន្ទាប់មកលេខ t - ទំ នឹងធម្មជាតិ; ដូច្នេះដោយទ្រឹស្តីបទ ១

ទ្រឹស្តីបទ 2 ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចំណាំថារូបមន្ត

បង្ហាញដោយពួកយើងតែនៅក្រោមការសន្មត់ថា t > ន . ដូច្នេះ ពីអ្វីដែលបានបង្ហាញឱ្យឃើញនោះ វាមិនទាន់អាចទាញបានទេ ឧទាហរណ៍ ការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមៈ

លើសពីនេះ យើងមិនទាន់បានគិតដល់ដឺក្រេជាមួយនឹងនិទស្សន្តអវិជ្ជមានទេ ហើយយើងមិនទាន់ដឹងថាអត្ថន័យអាចផ្តល់អោយកន្សោមលេខ 3 បានទេ? - 2 .

ទ្រឹស្តីបទ ៣. ដើម្បីលើកថាមពលទៅជាថាមពល វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណនិទស្សន្ត ដោយទុកមូលដ្ឋាននៃនិទស្សន្តដដែល។, i.e

ភស្តុតាង។ដោយប្រើនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រ និងទ្រឹស្តីបទទី១ នៃផ្នែកនេះ យើងទទួលបាន៖

Q.E.D.

ឧទាហរណ៍ (2 3) 2 = 2 6 = 64;

៥១៨ (មាត់.) កំណត់ X ពីសមីការ៖

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (កែសម្រួល) សម្រួល៖

520. (សម្រួល) សម្រួល៖

521. បង្ហាញកន្សោមទាំងនេះជាដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖

1) 32 និង 64; 3) 85 និង 163; 5) 4 100 និង 32 50;

2) -1000 និង 100; 4) -27 និង -243; 6) 81 75 8 200 និង 3 600 4 150 ។