ប្រសិនបើមុខងារ f(x)មានចន្លោះពេលខ្លះដែលមានចំណុច កដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញទាំងអស់ បន្ទាប់មករូបមន្ត Taylor អាចត្រូវបានអនុវត្តទៅវា៖

កន្លែងណា rn- អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​ពាក្យ​សេសសល់ ឬ​ពាក្យ​សេសសល់​នៃ​ស៊េរី វាអាចត្រូវបាន​ប៉ាន់ស្មាន​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត Lagrange៖

ដែលជាកន្លែងដែលលេខ x ត្រូវបានរុំព័ទ្ធរវាង Xនិង ក.

ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួន x r n®0 នៅ ន®¥ បន្ទាប់មកនៅក្នុងដែនកំណត់ រូបមន្ត Taylor សម្រាប់តម្លៃនេះប្រែទៅជារូបមន្តរួម ស៊េរី Taylor:

ដូច្នេះមុខងារ f(x)អាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរី Taylor នៅចំណុចដែលបានពិចារណា Xប្រសិនបើ៖

1) វាមានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញទាំងអស់;

2) ស៊េរីដែលបានសាងសង់បញ្ចូលគ្នានៅចំណុចនេះ។

នៅ ក=0 យើងទទួលបានស៊េរីមួយហៅថា នៅជិត Maclaurin:

ឧទាហរណ៍ ១ f(x)= 2x.

ការសម្រេចចិត្ត. អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍និងដេរីវេរបស់វានៅ X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2xនៅក្នុង 22, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln ន 2, f(n)( 0) = 2 0 ln ន 2=ln ន 2.

ការជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាននៃនិស្សន្ទវត្ថុទៅក្នុងរូបមន្តស៊េរី Taylor យើងទទួលបាន៖

កាំនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះគឺស្មើនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដូច្នេះការពង្រីកនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ -¥<x<+¥.

ឧទាហរណ៍ ២ X+4) សម្រាប់មុខងារ f(x)=អ៊ី x.

ការសម្រេចចិត្ត. ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ e xនិងតម្លៃរបស់ពួកគេនៅចំណុច X=-4.

f(x)= អ៊ី x, f(-4) = អ៊ី -4 ;

f¢(x)= អ៊ី x, f¢(-4) = អ៊ី -4 ;

f¢¢(x)= អ៊ី x, f¢¢(-4) = អ៊ី -4 ;

f(n)(x)= អ៊ី x, f(n)( -4) = អ៊ី -4 .

ដូច្នេះ ស៊េរី Taylor ដែលចង់បាននៃមុខងារមានទម្រង់៖

ការបំបែកនេះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ -¥ ផងដែរ។<x<+¥.

ឧទាហរណ៍ ៣ . ពង្រីកមុខងារ f(x)=ln xនៅក្នុងស៊េរីដោយដឺក្រេ ( X- 1),

(ឧ. នៅក្នុងស៊េរី Taylor នៅជិតចំនុច X=1).

ការសម្រេចចិត្ត. យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ។

ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបានស៊េរី Taylor ដែលចង់បាន៖

ដោយមានជំនួយពីការធ្វើតេស្តរបស់ d'Alembert មនុស្សម្នាក់អាចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នានៅពេលណា

½ X- 1½<1. Действительно,

ស៊េរីបង្រួបបង្រួមប្រសិនបើ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 យើងទទួលបានស៊េរីជំនួសដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើតេស្ត Leibniz ។ នៅ X=0 មុខងារមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ ដូច្នេះ តំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Taylor គឺជាចន្លោះពេលពាក់កណ្តាលបើក (0;2] ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញការពង្រីកដែលទទួលបានតាមវិធីនេះនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin (ឧ. នៅក្នុងសង្កាត់មួយនៃចំណុច X=0) សម្រាប់មុខងារបឋមមួយចំនួន៖

(2) ,

(3) ,

(ការពង្រីកចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថា ស៊េរី binomial)

ឧទាហរណ៍ 4 . ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីថាមពល

ការសម្រេចចិត្ត. នៅក្នុង decomposition (1) យើងជំនួស Xនៅ​លើ - X 2, យើងទទួលបាន:

ឧទាហរណ៍ ៥ . ពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin

ការសម្រេចចិត្ត. យើង​មាន

ដោយប្រើរូបមន្ត (៤) យើងអាចសរសេរ៖

ជំនួសជំនួស Xចូលទៅក្នុងរូបមន្ត -X, យើង​ទទួល​បាន:

ពីទីនេះយើងរកឃើញ៖

ការពង្រីកតង្កៀប ការរៀបចំឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី និងការកាត់បន្ថយពាក្យស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបាន

ស៊េរីនេះបង្រួបបង្រួមក្នុងចន្លោះពេល

(-1;1) ចាប់តាំងពីវាត្រូវបានចេញមកពីស៊េរីពីរ ដែលនីមួយៗបញ្ចូលគ្នាក្នុងចន្លោះនេះ។

មតិយោបល់ .

រូបមន្ត (1)-(5) ក៏អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីពង្រីកមុខងារដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងស៊េរី Taylor ពោលគឺឧ។ សម្រាប់ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងអំណាចចំនួនគត់វិជ្ជមាន ( ហា) ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ចាំបាច់ត្រូវធ្វើការបំប្លែងដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដើម្បីទទួលបានមុខងារមួយ (1) - (5) ដែលជំនួសឱ្យ Xចំណាយ k( ហា) m ដែល k ជាចំនួនថេរ m គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ ជារឿយៗវាងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ t=ហានិងពង្រីកមុខងារលទ្ធផលដោយគោរពតាម t នៅក្នុងស៊េរី Maclaurin ។

វិធីសាស្រ្តនេះបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទស្តីពីភាពប្លែកនៃការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរីថាមពល។ ខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទនេះគឺថា នៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចដូចគ្នា ស៊េរីថាមពលពីរផ្សេងគ្នាមិនអាចទទួលបានដែលនឹងបញ្ចូលគ្នាទៅជាមុខងារដូចគ្នានោះទេ ទោះបីជាការពង្រីករបស់វាត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងណាក៏ដោយ។

ឧទាហរណ៍ ៦ . ពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Taylor នៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចមួយ។ X=3.

ការសម្រេចចិត្ត. បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចពីមុន ដោយប្រើនិយមន័យនៃស៊េរី Taylor ដែលវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ និងតម្លៃរបស់វានៅ X=៣. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលប្រើការ decomposition ដែលមានស្រាប់ (5)៖

ស៊េរីលទ្ធផលបានបង្រួបបង្រួមនៅ ឬ -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

ឧទាហរណ៍ ៧ . សរសេរស៊េរី Taylor នៅក្នុងអំណាច ( X-1) លក្ខណៈពិសេស .

ការសម្រេចចិត្ត.

ស៊េរី​នេះ​បាន​ចូល​រួម​នៅ​ ឬ ២< x£5

១៦.១. ការពង្រីកមុខងារបឋមនៅក្នុងស៊េរី Taylor និង

ម៉ាក្លូរីន

ចូរយើងបង្ហាញថាប្រសិនបើមុខងារបំពានត្រូវបានកំណត់នៅលើសំណុំ
, នៅជិតចំណុច
មានដេរីវេជាច្រើន ហើយជាផលបូកនៃស៊េរីថាមពល៖

បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញមេគុណនៃស៊េរីនេះ។

ជំនួសនៅក្នុងស៊េរីថាមពល
. បន្ទាប់មក
.

ស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ
:

នៅ
:
.

សម្រាប់ដេរីវេទី ២ យើងទទួលបាន៖

នៅ
:
.

ការបន្តនីតិវិធីនេះ។ ននៅពេលដែលយើងទទួលបាន៖
.

ដូច្នេះយើងទទួលបានស៊េរីថាមពលនៃទម្រង់៖

,

ដែលត្រូវបានគេហៅថា នៅជិត Taylorសម្រាប់មុខងារ
នៅជុំវិញចំណុច
.

ករណីពិសេសនៃស៊េរី Taylor គឺ ស៊េរី Maclaurinនៅ
:

នៅសល់នៃស៊េរី Taylor (Maclaurin) ត្រូវបានទទួលដោយការបោះបង់ស៊េរីសំខាន់ នពាក្យដំបូង និងត្រូវបានតំណាងថាជា
. បន្ទាប់មកមុខងារ
អាចត្រូវបានសរសេរជាផលបូក នសមាជិកដំបូងនៃស៊េរី
និងនៅសល់
:,

.

នៅសល់ជាធម្មតា
បង្ហាញក្នុងទម្រង់ផ្សេងៗគ្នា។

មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺនៅក្នុងទម្រង់ Lagrange:

កន្លែងណា
.
.

ចំណាំថានៅក្នុងការអនុវត្តស៊េរី Maclaurin ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ជាង។ ដូច្នេះដើម្បីសរសេរមុខងារ
នៅក្នុងទម្រង់នៃផលបូកនៃស៊េរីថាមពលវាចាំបាច់:

1) ស្វែងរកមេគុណនៃស៊េរី Maclaurin (Taylor);

2) ស្វែងរកតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីថាមពលលទ្ធផល;

3) បង្ហាញថាស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យបញ្ចូលគ្នាទៅនឹងមុខងារ
.

ទ្រឹស្តីបទ1 (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Maclaurin) ។ សូមឱ្យកាំនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី
. ដើម្បីឱ្យស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នាក្នុងចន្លោះពេល
ដើម្បីដំណើរការ
វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖
ក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់។

ទ្រឹស្តីបទ ២.ប្រសិនបើដេរីវេនៃលំដាប់នៃមុខងារណាមួយ។
នៅចន្លោះពេលខ្លះ
កំណត់ក្នុងតម្លៃដាច់ខាតចំពោះចំនួនដូចគ្នា។ ម, i.e
បន្ទាប់មកនៅក្នុងចន្លោះពេលនេះមុខងារ
អាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin ។

ឧទាហរណ៍1 . ពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Taylor ជុំវិញចំណុច
មុខងារ។

ការសម្រេចចិត្ត។

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

តំបន់ប្រសព្វ
.

ឧទាហរណ៍2 . ពង្រីកមុខងារ នៅក្នុងស៊េរី Taylor ជុំវិញចំណុចមួយ។
.

ការសម្រេចចិត្ត៖

យើងរកឃើញតម្លៃនៃមុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វានៅ
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

ជំនួសតម្លៃទាំងនេះក្នុងមួយជួរ។ យើង​ទទួល​បាន:

ឬ
.

ចូរយើងស្វែងរកតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះ។ យោងទៅតាមការធ្វើតេស្តរបស់ d'Alembert ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នាប្រសិនបើ

.

ដូច្នេះសម្រាប់ណាមួយ។ ដែនកំណត់នេះគឺតិចជាង 1 ហើយដូច្នេះតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនឹងមាន:
.

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការពង្រីកចូលទៅក្នុងស៊េរី Maclaurin នៃមុខងារបឋមមូលដ្ឋាន។ សូមចាំថាស៊េរី Maclaurin៖

.

បង្រួបបង្រួមនៅចន្លោះពេល
ដើម្បីដំណើរការ
.

ចំណាំថាដើម្បីពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី វាចាំបាច់៖

ក) ស្វែងរកមេគុណនៃស៊េរី Maclaurin សម្រាប់មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ខ) គណនាកាំនៃការបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ស៊េរីលទ្ធផល;

គ) បង្ហាញថា ស៊េរីលទ្ធផល បង្រួបបង្រួមមុខងារ
.

ឧទាហរណ៍ ៣ពិចារណាមុខងារ
.

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ និងដេរីវេរបស់វាសម្រាប់
.

បន្ទាប់មកមេគុណលេខនៃស៊េរីមានទម្រង់៖

សម្រាប់នរណាម្នាក់ ន.យើងជំនួសមេគុណដែលបានរកឃើញនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin ហើយទទួលបាន៖

ស្វែងរកកាំនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលទ្ធផលគឺ៖

.

ដូច្នេះ ស៊េរី​រួម​គ្នា​នៅ​ចន្លោះ​ពេល
.

ស៊េរីនេះប្រែទៅជាមុខងារ សម្រាប់តម្លៃណាមួយ។ ពីព្រោះនៅចន្លោះពេលណាមួយ។
មុខងារ ហើយដេរីវេនៃតម្លៃដាច់ខាតរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយចំនួន .

ឧទាហរណ៍4 . ពិចារណាមុខងារ
.

ការសម្រេចចិត្ត.

:

វាងាយស្រួលមើលថា និស្សន្ទវត្ថុតាមលំដាប់លំដោយ
និងដេរីវេនៃលំដាប់សេស។ យើងជំនួសមេគុណដែលបានរកឃើញនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin ហើយទទួលបានការពង្រីក៖

ចូរយើងស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះ។ នេះ​បើ​តាម​លោក d'Alembert។

សម្រាប់នរណាម្នាក់ . ដូច្នេះ ស៊េរី​រួម​គ្នា​នៅ​ចន្លោះ​ពេល
.

ស៊េរីនេះប្រែទៅជាមុខងារ
ពីព្រោះនិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់របស់វាត្រូវបានកំណត់ត្រឹមមួយ។

ឧទាហរណ៍5 .
.

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍ និងដេរីវេរបស់វានៅ
:

ដូច្នេះមេគុណនៃស៊េរីនេះ៖
និង
ដូច្នេះ៖

ដូចគ្នានេះដែរជាមួយនឹងស៊េរីមុន, តំបន់នៃ convergence
. ស៊េរីបង្រួបបង្រួមទៅមុខងារ
ពីព្រោះនិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់របស់វាត្រូវបានកំណត់ត្រឹមមួយ។

ចំណាំថាមុខងារ
ការពង្រីកសេស និងស៊េរីនៅក្នុងថាមពលសេស មុខងារ
- សូម្បីតែនិងការពង្រីកជាស៊េរីនៅក្នុងអំណាចសូម្បីតែ។

ឧទាហរណ៍6 . ស៊េរី Binomial៖
.

ការសម្រេចចិត្ត.

ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍ និងដេរីវេរបស់វានៅ
:

នេះបង្ហាញថា៖

យើងជំនួសតម្លៃនៃមេគុណទាំងនេះនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin និងទទួលបានការពង្រីកមុខងារនេះនៅក្នុងស៊េរីថាមពល៖

ចូរយើងស្វែងរកកាំនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះ៖

ដូច្នេះ ស៊េរី​រួម​គ្នា​នៅ​ចន្លោះ​ពេល
. នៅចំណុចកំណត់នៅ
និង
ស៊េរីអាចឬមិនបញ្ចូលគ្នាអាស្រ័យលើនិទស្សន្ត
.

ស៊េរីដែលបានសិក្សាបង្រួបបង្រួមតាមចន្លោះពេល
ដើម្បីដំណើរការ
នោះគឺផលបូកនៃស៊េរី
នៅ
.

ឧទាហរណ៍7 . អនុញ្ញាតឱ្យយើងពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin
.

ការសម្រេចចិត្ត។

ដើម្បីពង្រីកមុខងារនេះទៅជាស៊េរី យើងប្រើស៊េរី binomial សម្រាប់
. យើង​ទទួល​បាន:

ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃស៊េរីថាមពល (ស៊េរីថាមពលអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នារបស់វា) យើងរកឃើញអាំងតេក្រាលនៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃស៊េរីនេះ៖

ស្វែងរកតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះ៖
,

នោះគឺតំបន់បញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះគឺជាចន្លោះពេល
. អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេល។ នៅ

. ស៊េរីនេះគឺជាស៊េរីអាម៉ូនិក ពោលគឺវាខុសគ្នា។ នៅ
យើងទទួលបានស៊េរីលេខដែលមានពាក្យសាមញ្ញ
.

ស៊េរី Leibniz បញ្ចូលគ្នា។ ដូច្នេះតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះគឺជាចន្លោះពេល
.

១៦.២. ការអនុវត្តនៃស៊េរីថាមពលនៃថាមពលក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែល

ស៊េរីថាមពលដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែល។ ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ តារាងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ តារាងលោការីត តារាងតម្លៃនៃមុខងារផ្សេងទៀត ដែលត្រូវបានប្រើក្នុងវិស័យចំណេះដឹងផ្សេងៗ ឧទាហរណ៍ក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិគណិតវិទ្យាត្រូវបានចងក្រង។ លើសពីនេះទៀតការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរីថាមពលមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការសិក្សាទ្រឹស្តីរបស់ពួកគេ។ បញ្ហាចម្បងនៅពេលប្រើស៊េរីថាមពលក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែលគឺសំណួរនៃការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសនៅពេលជំនួសផលបូកនៃស៊េរីដោយផលបូកដំបូងរបស់វា។ នសមាជិក។

ពិចារណាករណីពីរ៖

មុខងារត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរីជំនួស;

មុខងារត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរីសញ្ញាថេរ។

ការគណនាដោយប្រើស៊េរីជំនួស

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
បានពង្រីកទៅជាស៊េរីថាមពលជំនួស។ បន្ទាប់មកនៅពេលគណនាមុខងារនេះសម្រាប់តម្លៃជាក់លាក់ យើងទទួលបានស៊េរីលេខដែលយើងអាចអនុវត្តការធ្វើតេស្ត Leibniz ។ អនុលោមតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនេះ ប្រសិនបើផលបូកនៃស៊េរីមួយត្រូវបានជំនួសដោយផលបូកដំបូងរបស់វា។ នសមាជិក បន្ទាប់មកកំហុសដាច់ខាតមិនលើសពីពាក្យទីមួយនៃផ្នែកដែលនៅសល់នៃស៊េរីនេះទេ នោះគឺ៖
.

ឧទាហរណ៍8 . គណនា
ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ 0.0001 ។

ការសម្រេចចិត្ត.

យើងនឹងប្រើស៊េរី Maclaurin សម្រាប់
ជំនួសតម្លៃនៃមុំគិតជារ៉ាដ្យង់៖

ប្រសិនបើយើងប្រៀបធៀបសមាជិកទីមួយ និងទីពីរនៃស៊េរីជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ៖ .

ការពង្រីកទីបី៖

តិចជាងភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាដែលបានបញ្ជាក់។ ដូច្នេះដើម្បីគណនា
វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទុកលក្ខខណ្ឌពីរនៃស៊េរីពោលគឺឧ។

.

ដូច្នេះ
.

ឧទាហរណ៍9 . គណនា
ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ 0.001 ។

ការសម្រេចចិត្ត.

យើង​នឹង​ប្រើ​រូបមន្ត​ស៊េរី binomial ។ សម្រាប់រឿងនេះយើងសរសេរ
ដូចជា៖
.

នៅក្នុងកន្សោមនេះ។
,

ចូរយើងប្រៀបធៀបលក្ខខណ្ឌនីមួយៗនៃស៊េរីជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាច្បាស់ណាស់។
. ដូច្នេះដើម្បីគណនា
វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចាកចេញពីសមាជិកបីនាក់នៃស៊េរីនេះ។

ឬ
.

ការគណនាដោយប្រើស៊េរីសញ្ញាវិជ្ជមាន

ឧទាហរណ៍10 . គណនាលេខ ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ 0.001 ។

ការសម្រេចចិត្ត.

នៅក្នុងជួរសម្រាប់មុខងារមួយ។
ជំនួស
. យើង​ទទួល​បាន:

អនុញ្ញាតឱ្យយើងប៉ាន់ស្មានកំហុសដែលកើតឡើងនៅពេលដែលផលបូកនៃស៊េរីត្រូវបានជំនួសដោយផលបូកនៃទីមួយ សមាជិក។ ចូរយើងសរសេរអំពីវិសមភាពជាក់ស្តែង៖

ឧ. ២<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

យោងទៅតាមស្ថានភាពនៃបញ្ហាអ្នកត្រូវស្វែងរក នដែលវិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
ឬ
.

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថានៅពេលណា ន= 6:
.

អាស្រ័យហេតុនេះ
.

ឧទាហរណ៍11 . គណនា
ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ 0.0001 ។

ការសម្រេចចិត្ត.

ចំណាំថា ដើម្បីគណនាលោការីត គេអាចអនុវត្តស៊េរីសម្រាប់អនុគមន៍
ប៉ុន្តែស៊េរីនេះបង្រួបបង្រួមយឺតណាស់ ហើយលក្ខខណ្ឌ 9999 នឹងត្រូវយកទៅសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ! ដូច្នេះ ដើម្បីគណនាលោការីត ជាក្បួន ស៊េរីសម្រាប់អនុគមន៍ត្រូវបានប្រើ
ដែលបង្រួបបង្រួមចន្លោះពេល
.

គណនា
ជាមួយជួរនេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន
បន្ទាប់មក .

អាស្រ័យហេតុនេះ
,

ដើម្បីគណនា
ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ យកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងបួនដំបូង៖
.

នៅសល់នៃជួរដេក
បោះបង់។ ចូរយើងប៉ាន់ស្មានកំហុស។ វាច្បាស់ណាស់។

ឬ
.

ដូច្នេះ ក្នុង​ស៊េរី​ដែល​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​សម្រាប់​ការ​គណនា វា​គ្រប់គ្រាន់​ដើម្បី​យក​តែ​ពាក្យ​បួន​ដំបូង​ជំនួស​ឱ្យ 9999 ក្នុង​ស៊េរី​សម្រាប់​អនុគមន៍
.

សំណួរសម្រាប់ការធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យខ្លួនឯង

1. តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​ស៊េរី Taylor?

2. តើ Maclaurin មានស៊េរីអ្វីខ្លះ?

3. បង្កើតទ្រឹស្តីបទស្តីពីការពង្រីកមុខងារក្នុងស៊េរី Taylor ។

4. សរសេរការពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin នៃមុខងារសំខាន់ៗ។

5. ចង្អុលបង្ហាញតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីដែលបានពិចារណា។

6. តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកំហុសក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែលដោយប្រើស៊េរីថាមពល?

សិស្សនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់គួរតែដឹងថាផលបូកនៃស៊េរីថាមពលជាក់លាក់ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងប្រែទៅជាចំនួនជាបន្តបន្ទាប់និងមិនកំណត់នៃចំនួនដងនៃអនុគមន៍ផ្សេងគ្នា។ សំណួរកើតឡើង៖ តើអាចអះអាងបានថា អនុគមន៍តាមអំពើចិត្តដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) គឺជាផលបូកនៃស៊េរីថាមពលមួយចំនួន? នោះគឺនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌអ្វីដែលមុខងារ f(x) ត្រូវបានតំណាងដោយស៊េរីថាមពល? សារៈសំខាន់នៃសំណួរនេះស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាវាអាចទៅរួចក្នុងការជំនួសមុខងារ f(x) ដោយផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌពីរបីដំបូងនៃស៊េរីថាមពល ពោលគឺដោយពហុនាម។ ការជំនួសមុខងារបែបនេះដោយកន្សោមសាមញ្ញ - ពហុធា - ក៏ងាយស្រួលផងដែរនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួនដូចជា៖ ពេលដោះស្រាយអាំងតេក្រាល ពេលគណនា។ល។

វាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់មុខងារមួយចំនួន f(x) ដែលដេរីវេរហូតដល់លំដាប់ (n + 1) រួមទាំងលេខចុងក្រោយអាចត្រូវបានគណនានៅក្នុងសង្កាត់ (α - R; x 0 + R) នៃមួយចំនួន។ រូបមន្ត x = α

រូបមន្តនេះត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ល្បីល្បាញ Brook Taylor ។ ស៊េរីដែលទទួលបានពីស៊េរីមុនត្រូវបានគេហៅថាស៊េរី Maclaurin:

ច្បាប់ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin:

1. កំណត់និស្សន្ទវត្ថុនៃការបញ្ជាទិញទីមួយ ទីពីរ ទីបី ...។
2. គណនាអ្វីដែលដេរីវេនៅ x=0 ជា។
3. សរសេរស៊េរី Maclaurin សម្រាប់មុខងារនេះ ហើយបន្ទាប់មកកំណត់ចន្លោះពេលនៃការបញ្ចូលគ្នារបស់វា។
4. កំណត់ចន្លោះពេល (-R;R) ដែលនៅសេសសល់នៃរូបមន្ត Maclaurin

R n (x) -> 0 សម្រាប់ n -> infinity ។ ប្រសិនបើមាន មុខងារ f(x) នៅក្នុងវាត្រូវតែស្របគ្នាជាមួយនឹងផលបូកនៃស៊េរី Maclaurin ។

ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាស៊េរី Maclaurin សម្រាប់មុខងារនីមួយៗ។

1. ដូច្នេះ ទីមួយនឹង f(x) = e x ។ ជាការពិតណាស់ យោងទៅតាមលក្ខណៈពិសេសរបស់វា មុខងារបែបនេះមានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខុសៗគ្នា ហើយ f (k) (x) \u003d e x ដែល k ស្មើនឹងអ្វីគ្រប់យ៉ាង អនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួស x \u003d 0 ។ យើងទទួលបាន f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1.2 ... ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ ស៊េរី e x នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

2. ស៊េរី Maclaurin សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) = sin x ។ បញ្ជាក់ភ្លាមៗថាមុខងារសម្រាប់មិនស្គាល់ទាំងអស់នឹងមានដេរីវេ ក្រៅពី f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2) ដែល k ស្មើនឹងចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។ ពោលគឺដោយធ្វើការគណនាសាមញ្ញ យើងអាចសន្និដ្ឋានថា ស៊េរីសម្រាប់ f(x) = sin x នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

3. ឥឡូវ​យើង​ព្យាយាម​ពិចារណា​មុខងារ f(x) = cos x ។ វាមានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញតាមអំពើចិត្តសម្រាប់គ្រប់មិនស្គាល់ទាំងអស់ និង |f(k)(x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

ដូច្នេះ យើងបានរាយបញ្ជីមុខងារសំខាន់បំផុតដែលអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin ប៉ុន្តែពួកគេត្រូវបានបំពេញបន្ថែមដោយស៊េរី Taylor សម្រាប់មុខងារមួយចំនួន។ ឥឡូវនេះយើងនឹងរាយបញ្ជីពួកគេ។ វាក៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ផងដែរថាស៊េរី Taylor និង Maclaurin គឺជាផ្នែកសំខាន់នៃការអនុវត្តការដោះស្រាយស៊េរីនៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ ដូច្នេះស៊េរី Taylor ។

1. ទីមួយនឹងជាជួរដេកសម្រាប់ f-ii f (x) = ln (1 + x) ។ ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន ដែលបានផ្តល់ឱ្យយើង f (x) = ln (1 + x) យើងអាចបន្ថែមស៊េរីដោយប្រើទម្រង់ទូទៅនៃស៊េរី Maclaurin ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់មុខងារនេះ ស៊េរី Maclaurin អាចទទួលបានច្រើនយ៉ាងសាមញ្ញ។ បន្ទាប់ពីរួមបញ្ចូលស៊េរីធរណីមាត្រជាក់លាក់មួយ យើងទទួលបានស៊េរីសម្រាប់ f (x) = ln (1 + x) នៃគំរូបែបនេះ៖

2. ហើយទីពីរដែលនឹងចុងក្រោយនៅក្នុងអត្ថបទរបស់យើងនឹងជាស៊េរីសម្រាប់ f (x) \u003d arctg x ។ សម្រាប់ x ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល [-1; 1] ការពង្រីកមានសុពលភាព៖

អស់ហើយ។ អត្ថបទនេះបានពិនិត្យមើលស៊េរី Taylor និង Maclaurin ដែលប្រើជាទូទៅបំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ជាពិសេសនៅក្នុងសាកលវិទ្យាល័យសេដ្ឋកិច្ច និងបច្ចេកទេស។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) មានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញទាំងអស់នៅលើចន្លោះពេលមួយចំនួនដែលមានចំណុច a នោះរូបមន្ត Taylor អាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះវា៖
,
កន្លែងណា rn- អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​ពាក្យ​សេសសល់ ឬ​ពាក្យ​សេសសល់​នៃ​ស៊េរី វាអាចត្រូវបាន​ប៉ាន់ស្មាន​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត Lagrange៖
ដែលលេខ x ស្ថិតនៅចន្លោះ x និង a ។

f(x)=

នៅចំណុច x 0 = ចំនួនធាតុជួរ 3 4 5 6 7

ប្រើការពង្រីកអនុគមន៍បឋម e x, cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

ច្បាប់ចូលមុខងារ:

ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួន X rn→ 0 នៅ ន→∞ បន្ទាប់មកនៅក្នុងដែនកំណត់ រូបមន្ត Taylor ប្រែតម្លៃនេះទៅជា convergent ស៊េរី Taylor:
,
ដូច្នេះ មុខងារ f(x) អាច​ត្រូវ​បាន​ពង្រីក​ទៅ​ជា​ស៊េរី Taylor នៅ​ចំណុច x ដែល​បាន​ពិចារណា ប្រសិនបើ៖
1) វាមានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញទាំងអស់;
2) ស៊េរីដែលបានសាងសង់បញ្ចូលគ្នានៅចំណុចនេះ។

សម្រាប់ a = 0 យើងទទួលបានស៊េរីមួយហៅថា នៅជិត Maclaurin:
,
ការពង្រីកមុខងារសាមញ្ញបំផុត (បឋមសិក្សា) នៅក្នុងស៊េរី Maclaurin៖
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
, R=∞
អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
, R=∞
, R=∞
, (-π/២< x < π/2), R=π/2
មុខងារ actgx មិនពង្រីកនៅក្នុងអំណាចនៃ x ទេ ដោយសារតែ ctg0=∞
មុខងារអ៊ីពែរបូល


មុខងារលោការីត
, -1
ស៊េរី Binomial
.

ឧទាហរណ៍ #1 ។ ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីថាមពល f(x)= 2x.
ការសម្រេចចិត្ត. អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍និងដេរីវេរបស់វានៅ X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2xនៅក្នុង 22, f""( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln ន 2, f(n)( 0) = 2 0 ln ន 2=ln ន 2.
ការជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាននៃនិស្សន្ទវត្ថុទៅក្នុងរូបមន្តស៊េរី Taylor យើងទទួលបាន៖

កាំនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះគឺស្មើនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដូច្នេះការពង្រីកនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ -∞<x<+∞.

ឧទាហរណ៍ #2 ។ សរសេរស៊េរី Taylor នៅក្នុងអំណាច ( X+4) សម្រាប់មុខងារ f(x)=អ៊ី x.
ការសម្រេចចិត្ត. ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ e xនិងតម្លៃរបស់ពួកគេនៅចំណុច X=-4.
f(x)= អ៊ី x, f(-4) = អ៊ី -4 ;
f"(x)= អ៊ី x, f"(-4) = អ៊ី -4 ;
f""(x)= អ៊ី x, f""(-4) = អ៊ី -4 ;
…
f(n)(x)= អ៊ី x, f(n)( -4) = អ៊ី -4 .
ដូច្នេះ ស៊េរី Taylor ដែលចង់បាននៃមុខងារមានទម្រង់៖

ការពង្រីកនេះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ -∞<x<+∞.

ឧទាហរណ៍ #3 ។ ពង្រីកមុខងារ f(x)=ln xនៅក្នុងស៊េរីដោយដឺក្រេ ( X- 1),
(ឧ. នៅក្នុងស៊េរី Taylor នៅជិតចំនុច X=1).
ការសម្រេចចិត្ត. យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ។
f(x)=lnx , , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1) !
ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបានស៊េរី Taylor ដែលចង់បាន៖

ដោយមានជំនួយពីការធ្វើតេស្តរបស់ d'Alembert មនុស្សម្នាក់អាចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នានៅ ½x-1½<1 . Действительно,

ស៊េរីបង្រួបបង្រួមប្រសិនបើ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 យើងទទួលបានស៊េរីជំនួសដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើតេស្ត Leibniz ។ សម្រាប់ x=0 មុខងារមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ ដូច្នេះ តំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី Taylor គឺជាចន្លោះពេលពាក់កណ្តាលបើក (0;2] ។

ឧទាហរណ៍ #4 ។ ពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរីថាមពល។
ការសម្រេចចិត្ត. នៅក្នុងការបំបែក (1) យើងជំនួស x ដោយ -x 2 យើងទទួលបាន:
, -∞

ឧទាហរណ៍លេខ 5 ។ ពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin .
ការសម្រេចចិត្ត. យើង​មាន
ដោយប្រើរូបមន្ត (៤) យើងអាចសរសេរ៖

ការជំនួសជំនួស x ក្នុងរូបមន្ត -x យើងទទួលបាន៖

ពីទីនេះយើងរកឃើញ៖ ln(1+x)-ln(1-x) = -
ការពង្រីកតង្កៀប ការរៀបចំឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី និងកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបាន
. ស៊េរីនេះបង្រួបបង្រួមក្នុងចន្លោះពេល (-1;1) ដោយសារវាត្រូវបានទទួលពីស៊េរីពីរ ដែលនីមួយៗបញ្ចូលគ្នាក្នុងចន្លោះពេលនេះ។

មតិយោបល់ .
រូបមន្ត (1)-(5) ក៏អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីពង្រីកមុខងារដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងស៊េរី Taylor ពោលគឺឧ។ សម្រាប់ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងអំណាចចំនួនគត់វិជ្ជមាន ( ហា) ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ចាំបាច់ត្រូវធ្វើការបំប្លែងដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដើម្បីទទួលបានមុខងារមួយ (1) - (5) ដែលជំនួសឱ្យ Xចំណាយ k( ហា) m ដែល k ជាចំនួនថេរ m គឺជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ ជារឿយៗវាងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ t=ហានិងពង្រីកមុខងារលទ្ធផលដោយគោរពតាម t នៅក្នុងស៊េរី Maclaurin ។

វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទស្តីពីភាពប្លែកនៃការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរីថាមពល។ ខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តីបទនេះគឺថា នៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចដូចគ្នា ស៊េរីថាមពលពីរផ្សេងគ្នាមិនអាចទទួលបានដែលនឹងបញ្ចូលគ្នាទៅជាមុខងារដូចគ្នានោះទេ ទោះបីជាការពង្រីករបស់វាត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងណាក៏ដោយ។

ឧទាហរណ៍លេខ 5 ក។ ពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin បង្ហាញពីតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នា។
ការសម្រេចចិត្ត។ ដំបូងយើងរកឃើញ 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x), .
ដល់បឋមសិក្សា៖

ប្រភាគ 3/(1-3x) អាច​ត្រូវ​បាន​មើល​ថា​ជា​ផល​បូក​នៃ​ការ​វិវត្ត​ធរណីមាត្រ​ដែល​មាន​ការ​ថយ​ចុះ​ឥត​កំណត់​ជាមួយ​នឹង​ភាគបែង​នៃ 3x ប្រសិនបើ |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

ជាមួយ​នឹង​តំបន់​រួម​គ្នា |x|< 1/3.

ឧទាហរណ៍លេខ ៦ ។ ពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Taylor នៅជិតចំនុច x = 3 ។
ការសម្រេចចិត្ត. បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចពីមុន ដោយប្រើនិយមន័យនៃស៊េរី Taylor ដែលវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ និងតម្លៃរបស់វានៅ X=៣. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលប្រើការ decomposition ដែលមានស្រាប់ (5)៖
=
ស៊េរី​លទ្ធផល​បង្រួប​បង្រួម​នៅ ឬ -3

ឧទាហរណ៍លេខ 7 ។ សរសេរស៊េរី Taylor ជា power (x -1) នៃអនុគមន៍ ln(x+2) ។
ការសម្រេចចិត្ត.


ស៊េរីបង្រួបបង្រួមនៅ , ឬ -2< x < 5.

ឧទាហរណ៍លេខ ៨ ។ ពង្រីកអនុគមន៍ f(x)=sin(πx/4) ក្នុងស៊េរី Taylor ជុំវិញចំនុច x =2។
ការសម្រេចចិត្ត. ចូរធ្វើការជំនួស t=x-2៖

ដោយប្រើការពង្រីក (3) ដែលយើងជំនួស π / 4 t សម្រាប់ x យើងទទួលបាន:

ស៊េរីលទ្ធផលនឹងទៅអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅ -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞ដូច្នេះ
, (-∞

ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលដោយប្រើស៊េរីថាមពល

ស៊េរីថាមពលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែល។ ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកអាចគណនាតម្លៃនៃឫស អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ លោការីតនៃលេខ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ស៊េរីត្រូវបានគេប្រើផងដែរក្នុងការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។
ពិចារណាពីការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរីថាមពល៖

ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Xជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីដែលបានចង្អុលបង្ហាញ ទីមួយ នសមាជិក ( នគឺជាចំនួនកំណត់) ហើយលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់ត្រូវបានលុបចោល៖

ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកំហុសនៃតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបាន ចាំបាច់ត្រូវប៉ាន់ប្រមាណនូវសំណល់ដែលបានបោះចោល r n (x) ។ ចំពោះបញ្ហានេះវិធីសាស្ត្រខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖

• ប្រសិនបើស៊េរីលទ្ធផលគឺតួអក្សរជំនួស នោះលក្ខណសម្បត្តិខាងក្រោមត្រូវបានប្រើ៖ សម្រាប់ស៊េរីជំនួសដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ Leibniz តម្លៃដាច់ខាតនៃស៊េរីដែលនៅសល់មិនលើសពីពាក្យដែលបោះបង់ចោលដំបូងឡើយ.
• ប្រសិនបើស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យមានសញ្ញាថេរ នោះស៊េរីដែលផ្សំឡើងដោយពាក្យដែលបោះបង់ចោលគឺត្រូវបានប្រៀបធៀបជាមួយនឹងដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់។
• ក្នុងករណីទូទៅ ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណនៅសល់នៃស៊េរី Taylor អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត Lagrange៖ ក x ).

ឧទាហរណ៍ #1 ។ គណនា ln(3) ទៅក្នុងចន្លោះ 0.01។
ការសម្រេចចិត្ត. ចូរប្រើការបំបែក ដែល x=1/2 (សូមមើលឧទាហរណ៍ 5 ក្នុងប្រធានបទមុន)៖

ចូរយើងពិនិត្យមើលថាតើយើងអាចបោះបង់អ្វីដែលនៅសេសសល់បន្ទាប់ពីលក្ខខណ្ឌបីដំបូងនៃការពង្រីកនេះ សម្រាប់ការនេះ យើងវាយតម្លៃវាដោយប្រើផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់៖

ដូច្នេះ​យើង​អាច​បោះ​ចោល​សល់​នេះ​ហើយ​ទទួល​បាន។

ឧទាហរណ៍ #2 ។ គណនាទៅជិតបំផុត 0.0001 ។
ការសម្រេចចិត្ត. ចូរយើងប្រើស៊េរី binomial ។ ដោយសារ 5 3 គឺជាគូបចំនួនគត់ជិតបំផុតដល់ 130 វាត្រូវបានណែនាំឱ្យតំណាងឱ្យលេខ 130 ជា 130=5 3 +5 ។



ចាប់តាំងពីអាណត្តិទី 4 នៃស៊េរីសញ្ញាឆ្លាស់គ្នាដែលទទួលបានដែលពេញចិត្តនឹងការធ្វើតេស្ត Leibniz គឺតិចជាងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការរួចហើយ៖
ដូច្នេះ​ហើយ​លក្ខខណ្ឌ​ខាងក្រោម​អាច​ត្រូវ​បាន​បោះចោល។
អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ឬមិនត្រឹមត្រូវជាច្រើនដែលចាំបាច់មិនអាចគណនាបានដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ទេ ដោយសារតែកម្មវិធីរបស់វាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេ ដែលជារឿយៗមិនមានការបញ្ចេញមតិនៅក្នុងមុខងារបឋម។ វាក៏កើតឡើងផងដែរដែលថាការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្មគឺអាចធ្វើទៅបាន ប៉ុន្តែការងារមិនចាំបាច់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរីថាមពល ហើយដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះ នោះការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានកំណត់ទុកជាមុនគឺអាចធ្វើទៅបាន។

ឧទាហរណ៍ #3 ។ គណនាអាំងតេក្រាល ∫ 0 1 4 sin (x) x ទៅក្នុងរង្វង់ 10 -5 ។
ការសម្រេចចិត្ត. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដែលត្រូវគ្នាមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងអនុគមន៍បឋមទេ ឧ. គឺជា "អាំងតេក្រាលមិនអាចទៅរួច" ។ រូបមន្ត Newton-Leibniz មិនអាចអនុវត្តនៅទីនេះបានទេ។ ចូរយើងគណនាអាំងតេក្រាលប្រមាណ។
បែងចែកពាក្យតាមពាក្យ ស៊េរីសម្រាប់អំពើបាប xនៅ​លើ x, យើង​ទទួល​បាន:

ការរួមបញ្ចូលពាក្យស៊េរីនេះតាមពាក្យ (វាអាចទៅរួច ដោយសារដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលជារបស់ចន្លោះពេលនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះ) យើងទទួលបាន៖

ចាប់តាំងពីស៊េរីលទ្ធផលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃ Leibniz ហើយវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌពីរដំបូងដើម្បីទទួលបានតម្លៃដែលចង់បានជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ដូច្នេះយើងរកឃើញ
.

ឧទាហរណ៍ #4 ។ គណនាអាំងតេក្រាល ∫ 0 1 4 e x 2 ទៅក្នុងរង្វង់ 0.001 ។
ការសម្រេចចិត្ត.
. សូមពិនិត្យមើលថាតើយើងអាចបោះចោលអ្វីដែលនៅសល់បន្ទាប់ពីរយៈពេលទីពីរនៃស៊េរីលទ្ធផល។
0.0001<0.001. Следовательно, .

របៀបបញ្ចូលរូបមន្តគណិតវិទ្យានៅលើគេហទំព័រ?

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបន្ថែមរូបមន្តគណិតវិទ្យាមួយ ឬពីរទៅគេហទំព័រ នោះវិធីងាយស្រួលបំផុតដើម្បីធ្វើដូចបានរៀបរាប់ក្នុងអត្ថបទ៖ រូបមន្តគណិតវិទ្យាត្រូវបានបញ្ចូលយ៉ាងងាយស្រួលទៅក្នុងគេហទំព័រក្នុងទម្រង់រូបភាពដែល Wolfram Alpha បង្កើតដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ បន្ថែមពីលើភាពសាមញ្ញ វិធីសាស្ត្រជាសកលនេះនឹងជួយកែលម្អភាពមើលឃើញនៃគេហទំព័រនៅក្នុងម៉ាស៊ីនស្វែងរក។ វាបានដំណើរការអស់រយៈពេលជាយូរមកហើយ (ហើយខ្ញុំគិតថាវានឹងដំណើរការជារៀងរហូត) ប៉ុន្តែវាហួសសម័យ។

ម៉្យាងវិញទៀត ប្រសិនបើអ្នកតែងតែប្រើរូបមន្តគណិតវិទ្យានៅលើគេហទំព័ររបស់អ្នក នោះខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកប្រើ MathJax ដែលជាបណ្ណាល័យ JavaScript ពិសេសដែលបង្ហាញសញ្ញាណគណិតវិទ្យានៅក្នុងកម្មវិធីរុករកតាមអ៊ីនធឺណិតដោយប្រើ MathML, LaTeX ឬ ASCIIMathML markup ។

មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់ MathJax៖ (1) ដោយប្រើកូដសាមញ្ញ អ្នកអាចភ្ជាប់ស្គ្រីប MathJax ទៅកាន់គេហទំព័ររបស់អ្នកបានយ៉ាងលឿន ដែលនឹងត្រូវបានផ្ទុកដោយស្វ័យប្រវត្តិពីម៉ាស៊ីនមេពីចម្ងាយនៅពេលត្រឹមត្រូវ (បញ្ជីម៉ាស៊ីនមេ)។ (2) ផ្ទុកឡើងស្គ្រីប MathJax ពីម៉ាស៊ីនមេពីចម្ងាយទៅកាន់ម៉ាស៊ីនមេរបស់អ្នក ហើយភ្ជាប់វាទៅគ្រប់ទំព័រនៃគេហទំព័ររបស់អ្នក។ វិធីសាស្ត្រទីពីរគឺកាន់តែស្មុគស្មាញ និងចំណាយពេលច្រើន ហើយនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើនល្បឿននៃការផ្ទុកទំព័រគេហទំព័ររបស់អ្នក ហើយប្រសិនបើម៉ាស៊ីនមេ MathJax មេមិនអាចប្រើបានជាបណ្ដោះអាសន្នដោយសារហេតុផលមួយចំនួន វានឹងមិនប៉ះពាល់ដល់គេហទំព័រផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ។ ទោះបីជាមានគុណសម្បត្តិទាំងនេះក៏ដោយ ខ្ញុំបានជ្រើសរើសវិធីសាស្ត្រដំបូង ព្រោះថាវាសាមញ្ញជាង លឿនជាង ហើយមិនត្រូវការជំនាញបច្ចេកទេសទេ។ ធ្វើតាមគំរូរបស់ខ្ញុំ ហើយក្នុងរយៈពេល 5 នាទី អ្នកនឹងអាចប្រើមុខងារទាំងអស់របស់ MathJax នៅលើគេហទំព័ររបស់អ្នក។

អ្នកអាចភ្ជាប់ស្គ្រីបបណ្ណាល័យ MathJax ពីម៉ាស៊ីនមេពីចម្ងាយ ដោយប្រើជម្រើសកូដពីរដែលយកចេញពីគេហទំព័រ MathJax មេ ឬពីទំព័រឯកសារ៖

ជម្រើស​កូដ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ជម្រើស​កូដ​ទាំង​នេះ​ត្រូវ​ការ​ចម្លង និង​បិទ​ភ្ជាប់​ទៅ​ក្នុង​កូដ​នៃ​ទំព័រ​បណ្ដាញ​របស់​អ្នក ជា​ជម្រើស​រវាង​ស្លាក និងឬភ្លាមៗបន្ទាប់ពីស្លាក . យោងតាមជម្រើសដំបូង MathJax ផ្ទុកលឿនជាងមុន និងបន្ថយទំព័រតិចជាងមុន។ ប៉ុន្តែជម្រើសទីពីរតាមដាន និងផ្ទុកកំណែចុងក្រោយបំផុតរបស់ MathJax ដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលលេខកូដដំបូង នោះវានឹងចាំបាច់ត្រូវធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពជាប្រចាំ។ ប្រសិនបើអ្នកបិទភ្ជាប់កូដទីពីរ នោះទំព័រនឹងផ្ទុកយឺតជាងមុន ប៉ុន្តែអ្នកនឹងមិនចាំបាច់តាមដានការអាប់ដេត MathJax ជានិច្ចនោះទេ។

មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីភ្ជាប់ MathJax គឺនៅក្នុង Blogger ឬ WordPress៖ នៅក្នុងផ្ទាំងគ្រប់គ្រងគេហទំព័រ បន្ថែមធាតុក្រាហ្វិកដែលត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីបញ្ចូលកូដ JavaScript ភាគីទីបី ចម្លងកូដផ្ទុកកំណែទីមួយ ឬទីពីរដែលបានបង្ហាញខាងលើទៅក្នុងវា ហើយដាក់ធាតុក្រាហ្វិកឱ្យជិត។ ដល់ការចាប់ផ្តើមនៃគំរូ (ដោយវិធីនេះ វាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះ ចាប់តាំងពីស្គ្រីប MathJax ត្រូវបានផ្ទុកដោយអសមកាល)។ អស់ហើយ។ ឥឡូវនេះរៀនវាក្យសម្ព័ន្ធសម្គាល់ MathML, LaTeX និង ASCIIMathML ហើយអ្នកត្រៀមខ្លួនរួចរាល់ហើយក្នុងការបង្កប់រូបមន្តគណិតវិទ្យាទៅក្នុងគេហទំព័ររបស់អ្នក។

ប្រភាគណាមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយយោងទៅតាមច្បាប់ជាក់លាក់មួយ ដែលត្រូវបានអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់ចំនួនដងគ្មានដែនកំណត់។ រាល់ពេលបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាការធ្វើម្តងទៀត។

ក្បួនដោះស្រាយដដែលៗសម្រាប់ការសាងសង់អេប៉ុង Menger គឺសាមញ្ញណាស់៖ គូបដើមដែលមានជ្រុង 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយយន្តហោះស្របទៅនឹងមុខរបស់វាទៅជា 27 គូបស្មើគ្នា។ គូបកណ្តាលមួយនិង 6 គូបដែលនៅជាប់នឹងវានៅតាមបណ្តោយមុខត្រូវបានយកចេញពីវា។ វាប្រែចេញនូវសំណុំមួយដែលមាន 20 គូបតូចៗដែលនៅសល់។ ធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងគូបនីមួយៗនេះ យើងទទួលបានមួយឈុតដែលមាន 400 គូបតូចជាង។ ដោយបន្តដំណើរការនេះដោយគ្មានកំណត់ យើងទទួលបានអេប៉ុង Menger ។