អត្ថបទនេះគឺជាព័ត៌មានដែលមានរចនាសម្ព័ន្ធ និងលម្អិតដែលអាចមានប្រយោជន៍ក្នុងអំឡុងពេលនៃការវិភាគលំហាត់ និងកិច្ចការ។ យើងនឹងពិចារណាលើប្រធានបទនៃស៊េរីលេខ។

អត្ថបទនេះចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងនិយមន័យ និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន។ បន្ទាប់យើងនឹងជ្រើសរើសស្តង់ដារនិងសិក្សារូបមន្តមូលដ្ឋាន។ ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ អត្ថបទផ្តល់នូវឧទាហរណ៍ និងកិច្ចការសំខាន់ៗ។

មូលដ្ឋានគ្រឹះ

ដំបូង ស្រមៃមើលប្រព័ន្ធ៖ a 1 , a 2 ។ . . , a n , . . . ដែល a k ∈ R , k = 1 , 2 ។ . . .

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកលេខដូចជា៖ 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 , 3 8 , - 3 16 , ។ . . .

និយមន័យ ១

ស៊េរីលេខគឺជាផលបូកនៃពាក្យ ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + ។ . . + a n + ។ . . .

ដើម្បីយល់ច្បាស់ពីនិយមន័យ សូមពិចារណាករណីនេះ ដែល q = - 0 ។ 5:8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ ( − 16 ) · - 1 2 k .

និយមន័យ ២

a k គឺជារឿងធម្មតា ឬ k-thសមាជិកនៃជួរ។

វាមើលទៅដូចនេះ - 16 · - 1 2 គ។

និយមន័យ ៣

ផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីមើលទៅដូចនេះ S n = a 1 + a 2 + ។ . . + a n ដែលក្នុងនោះ ន- លេខណាមួយ។ S n គឺ ទីផលបូកនៃស៊េរី។

ឧទាហរណ៍ ∑ k = 1 ∞ ( − 16 ) · - 1 2 k គឺ S 4 = 8 − 4 + 2 − 1 = 5 ។

ស ១ ស ២ . . . , ស , . . . បង្កើតជាលំដាប់លេខគ្មានកំណត់។

សម្រាប់លេខមួយ។ n-thផលបូកត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត S n \u003d a 1 (1 - q n) 1 - q \u003d 8 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 \u003d 16 3 1 - - 1 2 n ។ យើងប្រើលំដាប់ដូចខាងក្រោមនៃផលបូកផ្នែក៖ 8 , 4 , 6 , 5 , ។ . . , 16 3 1 - - 1 2 ន , . . . .

និយមន័យ ៤

ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ a k គឺ ការបញ្ចូលគ្នានៅពេលដែលលំដាប់មានដែនកំណត់កំណត់ S = lim S n n → + ∞ ។ ប្រសិនបើគ្មានដែនកំណត់ ឬលំដាប់គឺគ្មានកំណត់ នោះស៊េរី ∑ k = 1 ∞ a k ត្រូវបានគេហៅថា ខុសគ្នា។

និយមន័យ ៥

ផលបូកនៃស៊េរីរួម∑ k = 1 ∞ a k ជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 lim n → + ∞ 1 - 1 2 n = 16 3 , ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ (- 16 ) · - 1 2 k បញ្ចូលគ្នា។ ផលបូកគឺ 16 3: ∑ k = 1 ∞ ( − 16 ) · - 1 2 k = 16 3 .

ឧទាហរណ៍ ១

ឧទាហរណ៍នៃស៊េរី divergent គឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលមានភាគបែងធំជាងមួយ៖ 1 + 2 + 4 + 8 + ។ . . + 2n - 1 + ។ . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k − 1 ។

ផលបូកផ្នែកទី n ត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 ហើយដែនកំណត់នៃផលបូកផ្នែកគឺគ្មានកំណត់៖ lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n − 1) = + ∞ .

ឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃស៊េរីលេខផ្សេងគ្នាគឺផលបូកនៃទម្រង់ ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + ។ . . . ក្នុងករណីនេះ ផលបូកផ្នែកទី n អាចត្រូវបានគណនាជា S n = 5 n ។ ដែនកំណត់នៃផលបូកផ្នែកគឺគ្មានកំណត់ lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ ។

និយមន័យ ៦

ផលបូកស្រដៀងនឹង ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + ។ . . + 1n + ។ . . - នេះ។ អាម៉ូនិកបន្ទាត់លេខ។

និយមន័យ ៧

ផលបូក ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + ។ . . + 1n s + ។ . . កន្លែងណា សគឺជាចំនួនពិត គឺជាស៊េរីលេខអាម៉ូនិកទូទៅ។

និយមន័យដែលបានពិភាក្សាខាងលើនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងបញ្ហាភាគច្រើន។

ដើម្បីបំពេញនិយមន័យ ចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់សមីការជាក់លាក់។

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k គឺ divergent ។

យើងធ្វើសកម្មភាពបញ្ច្រាស។ ប្រសិនបើវាបញ្ចូលគ្នា នោះដែនកំណត់គឺកំណត់។ យើងអាចសរសេរសមីការជា lim n → + ∞ S n = S និង lim n → + ∞ S 2 n = S ។ បន្ទាប់ពីសកម្មភាពជាក់លាក់ យើងទទួលបានសមភាព l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 ។

ប្រឆាំង,

S 2 n − S n = 1 + 1 2 + 1 3 + ។ . . + 1n + 1n + 1 + 1n + 2 + ។ . . + 1 2 n - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + ។ . . + 1 2 ន

វិសមភាពខាងក្រោមមានសុពលភាព៖ 1 n + 1 > 1 2 n , 1 n + 1 > 1 2 n , ។ . . , 1 2 n − 1 > 1 2 n ។ យើងទទួលបាន S 2 n − S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + ។ . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + ។ . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . កន្សោម S 2 n - S n > 1 2 បង្ហាញថា lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 មិនត្រូវបានឈានដល់។ ស៊េរីគឺខុសគ្នា។

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k − 1

វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ជាក់ថាផលបូកនៃលំដាប់នៃលេខមកបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ q< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

យោងតាមនិយមន័យខាងលើ ផលបូក នសមាជិកត្រូវបានកំណត់តាមរូបមន្ត S n = b 1 · (q n − 1) q − 1 ។

ប្រសិនបើ q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 q n − 1 q − 1 = b 1 lim n → + ∞ q n q − 1 - lim n → + ∞ 1 q − 1 = = b 1 0 − 1 q − 1 = b 1 q − 1

យើង​បាន​បង្ហាញ​ថា​ស៊េរី​លេខ​ចូល​គ្នា​។

សម្រាប់ q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + ។ . . ∑ k = 1 ∞ b 1 ។ ផលបូកអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត S n = b 1 · n ដែនកំណត់គឺគ្មានដែនកំណត់ lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞ ។ នៅក្នុងកំណែដែលបានបង្ហាញ ស៊េរីខុសគ្នា។

ប្រសិនបើ ក q = − ១បន្ទាប់មកជួរដេកមើលទៅដូចជា b 1 - b 1 + b 1 - ។ . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (− 1) k + 1 . ផលបូកផ្នែកមើលទៅដូច S n = b 1 សម្រាប់សេស ននិង S n = 0 សម្រាប់គូ ន. ដោយបានពិចារណាករណីនេះ យើងធ្វើឱ្យប្រាកដថាមិនមានដែនកំណត់ ហើយស៊េរីគឺខុសគ្នា។

សម្រាប់ q > 1 lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 (q n − 1) q − 1 = b 1 lim n → + ∞ q n q − 1 − lim n → + ∞ 1 q − 1 = = b 1 ∞ − 1 q − 1 = ∞

យើងបានបង្ហាញថា ស៊េរីលេខខុសគ្នា។

1. ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ 1 k s បញ្ចូលគ្នា ប្រសិនបើ ស > ១ហើយបែងចែកប្រសិនបើ s ≤ 1 ។

សម្រាប់ s = ១យើងទទួលបាន ∑ k = 1 ∞ 1 k ស៊េរីខុសគ្នា។

សម្រាប់ ស< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k ,លេខធម្មជាតិ។ ដោយសារស៊េរីមានភាពខុសគ្នា ∑ k = 1 ∞ 1 k វាគ្មានដែនកំណត់ទេ។ បន្ទាប់ពីនេះ លំដាប់ ∑ k = 1 ∞ 1 k s គឺគ្មានដែនកំណត់។ យើងសន្និដ្ឋានថាស៊េរីដែលបានជ្រើសរើសខុសគ្នានៅ ស< 1 .

វាចាំបាច់ក្នុងការផ្តល់ភស្តុតាងដែលថាស៊េរី ∑ k = 1 ∞ 1 k s បញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ ស > ១.

ស្រមៃថា S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n − 1 − S n − 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n − 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n − 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n − 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1(2n - 1)s

ចូរនិយាយថា 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

ស្រមៃមើលសមីការសម្រាប់លេខដែលមានលក្ខណៈធម្មជាតិ ហើយសូម្បីតែ n = 2: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

យើង​ទទួល​បាន:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 17s + 18s + ។ . . + ១ ១៥ ស + ។ . . \u003d \u003d 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + ។ . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

កន្សោម 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + ។ . . គឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ q = 1 2 s - 1 ។ នេះ​បើ​តាម​ទិន្នន័យ​បឋម ស > ១បន្ទាប់មក 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при ស > ១កើនឡើង និងត្រូវបានកំណត់ពីខាងលើ 1 1 - 1 2 s - 1 ។ ស្រមៃថាមានដែនកំណត់ ហើយស៊េរីគឺ convergent ∑ k = 1 ∞ 1 k s ។

និយមន័យ ៨

ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ a k វិជ្ជមាននៅក្នុងករណីនោះ។ប្រសិនបើសមាជិករបស់វា > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , ។ . . .

ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k ឆ្លាស់គ្នា។ប្រសិនបើសញ្ញានៃលេខខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍នេះត្រូវបានតំណាងជា ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k a k ឬ ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 a k , ដែល a , k > 0 = 1, 2, ។ . . .

ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k ឆ្លាស់គ្នា។ចាប់តាំងពីវាមានលេខជាច្រើន អវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។

វ៉ារ្យ៉ង់ទីពីរនៃស៊េរីគឺជាករណីពិសេសនៃវ៉ារ្យ៉ង់ទីបី។

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ករណីនីមួយៗរៀងៗខ្លួន៖

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

សម្រាប់ជម្រើសទីបី អ្នកក៏អាចកំណត់ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាត និងតាមលក្ខខណ្ឌផងដែរ។

និយមន័យ ៩

ស៊េរីជម្មើសជំនួស ∑ k = 1 ∞ b k គឺត្រូវបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ ប្រសិនបើ ∑ k = 1 ∞ b k ក៏ត្រូវបានចាត់ទុកថាជា convergent ។

សូមក្រឡេកមើលជម្រើសធម្មតាមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ២

ប្រសិនបើជួរទី 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + ។ . . និង 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + ។ . . ត្រូវបានកំណត់ថាជា convergent បន្ទាប់មកវាត្រឹមត្រូវក្នុងការសន្មត់ថា 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + ។ . .

និយមន័យ ១០

ស៊េរីជម្មើសជំនួស ∑ k = 1 ∞ b k ត្រូវបានចាត់ទុកថាបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌ ប្រសិនបើ ∑ k = 1 ∞ b k គឺ divergent ហើយស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k ត្រូវបានចាត់ទុកថាបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៣

ចូរយើងពិនិត្យមើលលម្អិតអំពីជម្រើស ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + ។ . . . ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k ដែលរួមមានតម្លៃដាច់ខាតត្រូវបានកំណត់ថា divergent ។ វ៉ារ្យ៉ង់នេះត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាការបញ្ចូលគ្នាព្រោះវាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់។ ពីឧទាហរណ៍នេះ យើងរៀនថា ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ។ . . នឹង​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ការ​បង្រួប​បង្រួម​តាម​លក្ខខណ្ឌ។

លក្ខណៈពិសេសនៃស៊េរី convergent

ចូរយើងវិភាគលក្ខណៈសម្បត្តិសម្រាប់ករណីជាក់លាក់

1. ប្រសិនបើ ∑ k = 1 ∞ a k បញ្ចូលគ្នា នោះស៊េរី ∑ k = m + 1 ∞ a k ក៏ត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាជា convergent ផងដែរ។ វាអាចត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាស៊េរី មសមាជិកក៏ត្រូវបានចាត់ទុកថាបញ្ចូលគ្នាផងដែរ។ ប្រសិនបើយើងបន្ថែមលេខជាច្រើនទៅ ∑ k = m + 1 ∞ a k នោះលទ្ធផលលទ្ធផលក៏នឹងបញ្ចូលគ្នាផងដែរ។
2. ប្រសិនបើ ∑ k = 1 ∞ a k បញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូក = សបន្ទាប់មកស៊េរី ∑ k = 1 ∞ A ak , ∑ k = 1 ∞ A ak = A S ដែលជាកន្លែងដែល ក- ថេរ។
3. ប្រសិនបើ ∑ k = 1 ∞ a k និង ∑ k = 1 ∞ b k ត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា នោះផលបូក កនិង ខផងដែរ បន្ទាប់មក ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ a k + b k និង ∑ k = 1 ∞ a k − b k ក៏បញ្ចូលគ្នា។ បរិមាណនឹងមាន A+Bនិង ក-ខរៀងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 4

កំណត់​ថា​ស៊េរី​បង្រួបបង្រួម ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 ។

ចូរយើងប្តូរកន្សោម ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 . ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ការ​រួបរួម ដោយ​ហេតុ​ថា​ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ 1 k s ចូល​រួម​សម្រាប់ ស > ១. តាម​ទ្រព្យ​ទីពីរ ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 ។

ឧទាហរណ៍ ៥

កំណត់ថាតើស៊េរីបង្រួបបង្រួម ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 ។

យើងបំលែងកំណែដើម ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ។

យើងទទួលបានផលបូក ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 និង ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ។ ស៊េរីនីមួយៗត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាជា convergent យោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិ។ ចាប់តាំងពីស៊េរីបញ្ចូលគ្នា កំណែដើមក៏ដូចគ្នាដែរ។

ឧទាហរណ៍ ៦

គណនាប្រសិនបើស៊េរី 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + បញ្ចូលគ្នា។ . . និងគណនាបរិមាណ។

តោះបំបែកដើម៖

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + ។ . . == 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ។ . . - 2 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k − 1 − 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k − 2

ស៊េរីនីមួយៗបញ្ចូលគ្នាព្រោះវាជាផ្នែកមួយនៃសមាជិកនៃលំដាប់លេខ។ យោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិទីបី យើងអាចគណនាបានថា កំណែដើមក៏ត្រូវគ្នាដែរ។ យើងគណនាផលបូក៖ ពាក្យទីមួយនៃស៊េរី ∑ k = 1 ∞ 1 2 k − 1 = 1 ហើយភាគបែង = 0 ។ 5 អមដោយ ∑ k = 1 ∞ 1 2 k − 1 = 1 1 − 0 ។ ៥ = ២. ពាក្យទីមួយគឺ ∑ k = 1 ∞ 1 3 k − 2 = 3 ហើយភាគបែងនៃលំដាប់លេខថយចុះ = 1 3 ។ យើងទទួលបាន៖ ∑ k = 1 ∞ 1 3 k − 2 = 3 1 − 1 3 = 9 2 ។

យើងប្រើកន្សោមដែលទទួលបានខាងលើដើម្បីកំណត់ផលបូក 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + ។ . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k − 1 − 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k − 2 = 2 − 2 9 2 = − 7

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់កំណត់ថាតើស៊េរីមួយត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា

និយមន័យ ១១

ប្រសិនបើស៊េរី ∑ k = 1 ∞ a k ត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា នោះដែនកំណត់របស់វា។ k-th term = 0: lim k → + ∞ a k = 0 ។

ប្រសិនបើយើងពិនិត្យជម្រើសណាមួយនោះ យើងមិនត្រូវភ្លេចអំពីលក្ខខណ្ឌដែលមិនអាចខ្វះបានឡើយ។ ប្រសិនបើវាមិនពេញចិត្តទេនោះស៊េរីខុសគ្នា។ ប្រសិនបើ lim k → + ∞ a k ≠ 0 នោះស៊េរីគឺខុសគ្នា។

វាគួរតែត្រូវបានបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់ថាលក្ខខណ្ឌមានសារៈសំខាន់ប៉ុន្តែមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។ ប្រសិនបើសមភាព lim k → + ∞ a k = 0 រក្សា នោះវាមិនធានាថា ∑ k = 1 ∞ a k បញ្ចូលគ្នាទេ។

សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។ សម្រាប់ស៊េរីអាម៉ូនិក ∑ k = 1 ∞ 1 k លក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត lim k → + ∞ 1 k = 0 ប៉ុន្តែស៊េរីនៅតែខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៧

កំណត់ការបញ្ចូលគ្នា ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n ។

ពិនិត្យកន្សោមដើមសម្រាប់លក្ខខណ្ឌ lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

ដែនកំណត់ ទីសមាជិកមិនមែន 0 ទេ។ យើងបានបង្ហាញថាស៊េរីនេះខុសគ្នា។

របៀបកំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីសញ្ញាវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើអ្នកប្រើមុខងារទាំងនេះឥតឈប់ឈរ អ្នកនឹងត្រូវគណនាដែនកំណត់ជានិច្ច។ ផ្នែកនេះនឹងជួយអ្នកឱ្យជៀសផុតពីការលំបាក ខណៈពេលដែលការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងបញ្ហា។ ដើម្បីកំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីសញ្ញាវិជ្ជមាន មានលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយ។

សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃសញ្ញាវិជ្ជមាន ∑ k = 1 ∞ a k , a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , ។ . . អ្នកត្រូវកំណត់លំដាប់នៃផលបូកមានកំណត់។

របៀបប្រៀបធៀបជួរ

មានសញ្ញាជាច្រើននៃការប្រៀបធៀបស៊េរី។ យើងប្រៀបធៀបស៊េរីដែលការបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានស្នើឱ្យកំណត់ជាមួយនឹងស៊េរីដែលការបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានគេស្គាល់។

សញ្ញាដំបូង

∑ k = 1 ∞ a k និង ∑ k = 1 ∞ b k គឺជាស៊េរីវិជ្ជមាន។ វិសមភាព a k ≤ b k មានសុពលភាពសម្រាប់ k = 1, 2, 3, ...វាធ្វើតាមពីនេះ ដែលពីស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k យើងអាចទទួលបាន ∑ k = 1 ∞ a k ។ ដោយសារ ∑ k = 1 ∞ a k diverges ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k អាចត្រូវបានកំណត់ថា divergent ។

ច្បាប់នេះត្រូវបានប្រើជានិច្ចដើម្បីដោះស្រាយសមីការ និងជាអាគុយម៉ង់ដ៏ធ្ងន់ធ្ងរដែលនឹងជួយកំណត់ការបញ្ចូលគ្នា។ ភាពលំបាកអាចស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាវានៅឆ្ងាយពីលទ្ធភាពក្នុងការស្វែងរកឧទាហរណ៍សមរម្យសម្រាប់ការប្រៀបធៀបក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់។ ជារឿយៗស៊េរីមួយត្រូវបានជ្រើសរើសដោយយោងទៅតាមគោលការណ៍ដែលសូចនាករ k-thពាក្យនឹងស្មើនឹងលទ្ធផលនៃការដកនិទស្សន្តនៃភាគយក និងភាគបែង k-thសមាជិកជួរ។ ឧបមាថា a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 ភាពខុសគ្នានឹងស្មើនឹង 2 – 3 = - 1 . ក្នុងករណីនេះវាអាចត្រូវបានកំណត់ថាស៊េរីជាមួយ k-thពាក្យ b k = k - 1 = 1 k ដែលជាអាម៉ូនិក។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលទទួលបាន យើងនឹងពិចារណាលម្អិតនូវជម្រើសធម្មតាមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ៨

កំណត់ថាតើស៊េរីគឺ ∑ k = 1 ∞ 1 k − 1 2 ។

ចាប់តាំងពីដែនកំណត់ = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 យើងបានបំពេញលក្ខខណ្ឌចាំបាច់។ វិសមភាពនឹងមានភាពយុត្តិធម៌ 1 គ< 1 k - 1 2 для k ,ដែលជាធម្មជាតិ។ ពីកថាខណ្ឌមុន យើងបានដឹងថា ស៊េរីអាម៉ូនិក ∑ k = 1 ∞ 1 k គឺ divergent ។ យោងតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទី 1 វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាកំណែដើមគឺខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៩

កំណត់ថាតើស៊េរីគឺ convergent ឬ divergent ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k − 1 ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ត្រូវបានបំពេញ ចាប់តាំងពី lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k − 1 = 0 ។ យើងតំណាងក្នុងទម្រង់នៃវិសមភាព 1 k 3 + 3 k - 1< 1 k 3 для любого значения k. ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 គឺបញ្ចូលគ្នា ចាប់តាំងពីស៊េរីអាម៉ូនិក ∑ k = 1 ∞ 1 k s បញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ ស > ១. យោងទៅតាមលក្ខណៈទីមួយ យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា ស៊េរីលេខគឺបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 10

កំណត់ថាតើស៊េរីគឺ ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) ។ lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 ។

នៅក្នុងវ៉ារ្យ៉ង់នេះវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្គាល់ការបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលចង់បាន។ ចូរកំណត់ស៊េរីសម្រាប់ការប្រៀបធៀប។ ឧទាហរណ៍ ∑ k = 1 ∞ 1 k s ។ ដើម្បី​កំណត់​ថា​កម្រិត​មួយ​ណា​នោះ សូម​ពិចារណា​ពី​លំដាប់ ( ln (ln k) ) , k = 3 , 4 , 5 ។ . . . សមាជិកនៃលំដាប់ ln (ln 3), ln (ln 4), ln (ln 5), . . . កើនឡើងដល់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ បន្ទាប់​ពី​វិភាគ​សមីការ គេ​អាច​កត់​សម្គាល់​បាន​ថា ដោយ​យក N = 1619 ជា​តម្លៃ បន្ទាប់​មក​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​លំដាប់ > 2 ។ សម្រាប់​លំដាប់​នេះ វិសមភាព 1 k ln (ln k)< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

សញ្ញាទីពីរ

ចូរយើងសន្មត់ថា ∑ k = 1 ∞ a k និង ∑ k = 1 ∞ b k គឺជាស៊េរីសញ្ញាវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើ lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ នោះស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k ចូលគ្នា ហើយ ∑ k = 1 ∞ a k ក៏បញ្ចូលគ្នាដែរ។

ប្រសិនបើ lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 នោះចាប់តាំងពីស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k diverge នោះ ∑ k = 1 ∞ a k ក៏ខុសគ្នាដែរ។

ប្រសិនបើ lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ និង lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 នោះការបញ្ចូលគ្នា ឬភាពខុសគ្នានៃស៊េរីមួយមានន័យថាការបញ្ចូលគ្នា ឬ ភាពខុសគ្នានៃមួយទៀត។

ពិចារណា ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k − 1 ដោយមានជំនួយពីលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទីពីរ។ សម្រាប់ការប្រៀបធៀប ∑ k = 1 ∞ b k យើងយកស៊េរី convergent ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 ។ កំណត់ដែនកំណត់៖ lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k − 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k − 1 = 1

យោងតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទីពីរ វាអាចត្រូវបានកំណត់ថា ស៊េរី convergent ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 មានន័យថា កំណែដើមក៏បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ 11

កំណត់ថាតើស៊េរីគឺ ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 ។

ចូរយើងវិភាគលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 ដែលពេញចិត្តនៅក្នុងកំណែនេះ។ យោងតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទីពីរ ចូរយកស៊េរី ∑ k = 1 ∞ 1 k ។ យើងកំពុងស្វែងរកដែនកំណត់៖ lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

យោង​តាម​អត្ថបទ​ខាង​លើ ស៊េរី​ដែល​ខុស​គ្នា​នេះ​មាន​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ស៊េរី​ដើម។

សញ្ញាទីបី

ពិចារណាសញ្ញាទីបីនៃការប្រៀបធៀប។

សន្មត់ថា ∑ k = 1 ∞ a k និង _ ∑ k = 1 ∞ b k គឺជាស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌពេញចិត្តសម្រាប់លេខមួយចំនួន a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k នោះការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះ ∑ k = 1 ∞ b k មានន័យថា ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ a k ក៏ត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាផងដែរ។ ស៊េរី divergent ∑ k = 1 ∞ a k រួមបញ្ចូលការបង្វែរ ∑ k = 1 ∞ b k ។

សញ្ញារបស់ d'Alembert

ស្រមៃថា ∑ k = 1 ∞ a k គឺជាស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមាន។ បើ lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, បន្ទាប់មកខុសគ្នា។

ចំណាំ ១

ការធ្វើតេស្តរបស់ d'Alembert មានសុពលភាពប្រសិនបើដែនកំណត់គឺគ្មានកំណត់។

ប្រសិនបើ lim k → + ∞ a k + 1 a k = − ∞ នោះស៊េរីគឺបញ្ចូលគ្នា ប្រសិនបើ lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ នោះវាខុសគ្នា។

ប្រសិនបើ lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 នោះ ការធ្វើតេស្តរបស់ d'Alembert នឹងមិនអាចជួយបានទេ ហើយការសិក្សាជាច្រើនទៀតនឹងត្រូវបានទាមទារ។

ឧទាហរណ៍ 12

កំណត់ថាតើស៊េរីគឺ convergent ឬ divergent ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k ដោយលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ d'Alembert ។

វាចាំបាច់ក្នុងការពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នាចាំបាច់ត្រូវបានពេញចិត្ត។ ចូរយើងគណនាដែនកំណត់ដោយប្រើច្បាប់របស់ L'Hopital៖ lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 "2 k" = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ កំណត់ហេតុ 2 = 0

យើងអាចមើលឃើញថាលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ។ ចូរប្រើតេស្ត d'Alembert: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

ស៊េរីគឺបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 13

កំណត់ថាតើស៊េរីមានភាពខុសគ្នា ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

ចូរប្រើតេស្ត d'Alembert ដើម្បីកំណត់ភាពខុសគ្នានៃស៊េរី៖ lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k ! k k· (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

ដូច្នេះស៊េរីគឺខុសគ្នា។

សញ្ញារ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy

សន្មត់ថា ∑ k = 1 ∞ a k គឺជាស៊េរីដែលមានសញ្ញាវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, បន្ទាប់មកខុសគ្នា។

ចំណាំ ២

ប្រសិនបើ lim k → + ∞ a k k = 1 នោះមុខងារនេះមិនផ្តល់ព័ត៌មានណាមួយទេ – ត្រូវការការវិភាគបន្ថែម។

លក្ខណៈពិសេសនេះអាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលងាយស្រួលក្នុងការកំណត់អត្តសញ្ញាណ។ ករណីនឹងមានលក្ខណៈនៅពេលដែលសមាជិកនៃស៊េរីលេខគឺជាកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមព័ត៌មានដែលទទួលបាន សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ 14

កំណត់ថាតើស៊េរីវិជ្ជមាន ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k ចូលគ្នាជាស៊េរី។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការពេញចិត្ត ចាប់តាំងពី lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 ។

យោងតាមការធ្វើតេស្តដែលបានពិចារណាខាងលើ យើងទទួលបាន lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0< 1 . Данный ряд является сходимым.

ឧទាហរណ៍ ១៥

តើ​ស៊េរី​លេខ​ចូល​គ្នា ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 ។

យើងប្រើសញ្ញាដែលបានពិពណ៌នាក្នុងកថាខណ្ឌមុន lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

ការធ្វើតេស្តអាំងតេក្រាល Cauchy

សន្មត់ថា ∑ k = 1 ∞ a k គឺជាស៊េរីដែលមានសញ្ញាវិជ្ជមាន។ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់មុខងារនៃអាគុយម៉ង់បន្ត y=f(x)ដែលផ្គូផ្គង a n = f (n) ។ ប្រសិនបើ ក y=f(x)ធំជាងសូន្យ មិនបំបែក និងថយចុះនៅលើ [ a ; + ∞) ដែល a ≥ 1

បន្ទាប់មក ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ∫ a + ∞ f (x) d x ត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា នោះស៊េរីដែលកំពុងពិចារណាក៏បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។ ប្រសិនបើវាខុសគ្នា នោះនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា ស៊េរីក៏ខុសគ្នាដែរ។

នៅពេលពិនិត្យមើលការបំបែកមុខងារ អ្នកអាចប្រើសម្ភារៈដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀនមុនៗ។

ឧទាហរណ៍ 16

ពិចារណាឧទាហរណ៍ ∑ k = 2 ∞ 1 k ln k សម្រាប់ convergence ។

លក្ខខណ្ឌ​រួម​នៃ​ស៊េរី​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ការ​ពេញចិត្ត​ចាប់​តាំង​ពី lim k → + ∞ 1 k ln k = 1 + ∞ = 0 ។ ពិចារណា y = 1 x ln x ។ វាធំជាងសូន្យ មិនត្រូវបានរំខាន និងថយចុះដោយ [ 2 ; +∞)។ ចំណុច​ពីរ​ដំបូង​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹង​ច្បាស់ ប៉ុន្តែ​ចំណុច​ទី​បី​គួរ​ត្រូវ​ពិភាក្សា​ឱ្យ​បាន​លម្អិត​បន្ថែម​ទៀត។ រកដេរីវេ៖ y "= 1 x ln x" = x ln x "x ln x 2 = ln x + x 1 x x ln x 2 = − ln x + 1 x ln x 2. វាតិចជាងសូន្យនៅលើ [ 2 ; + ∞) នេះបញ្ជាក់និក្ខេបបទថាមុខងារកំពុងថយចុះ។

តាមពិតមុខងារ y = 1 x ln x ត្រូវគ្នាទៅនឹងលក្ខណៈនៃគោលការណ៍ដែលយើងបានពិចារណាខាងលើ។ យើងប្រើវា៖ ∫ 2 + ∞ d x x ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

យោងតាមលទ្ធផលដែលទទួលបាន គំរូដើមមានភាពខុសគ្នា ពីព្រោះអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវគឺខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 17

បញ្ជាក់​ការ​រួម​គ្នា​នៃ​ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k − 9) (ln (5 k + 8)) ៣ .

ចាប់តាំងពី lim k → + ∞ 1 (10 k − 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0 លក្ខខណ្ឌត្រូវបានចាត់ទុកថាពេញចិត្ត។

ចាប់ផ្តើមដោយ k = 4 កន្សោមត្រឹមត្រូវគឺ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

ប្រសិនបើស៊េរី ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 ត្រូវបានចាត់ទុកថាបញ្ចូលគ្នា នោះយោងទៅតាមគោលការណ៍មួយនៃការប្រៀបធៀប ស៊េរី ∑ k = 4 ∞ 1 (10 k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 ក៏នឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាបញ្ចូលគ្នាផងដែរ។ ដូច្នេះ យើងអាចកំណត់ថាកន្សោមដើមក៏បញ្ចូលគ្នាដែរ។

ចូរយើងបន្តទៅភស្តុតាង ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

ដោយសារអនុគមន៍ y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 គឺធំជាងសូន្យ វាមិនបញ្ចប់ និងថយចុះនៅលើ [ 4 ; +∞)។ យើងប្រើមុខងារដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន៖

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = − 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 |4 A = = − 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 − 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = − 1 10 1 + ∞ − 1 (ln 28) 2 = 1 10 ln 28 ២

នៅក្នុងលទ្ធផលនៃស៊េរី convergent ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 យើងអាចកំណត់ថា ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 ក៏បញ្ចូលគ្នា។

សញ្ញារបស់ Raabe

ចូរយើងសន្មត់ថា ∑ k = 1 ∞ a k គឺជាស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមាន។

បើ lim k → + ∞ k a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1 បន្ទាប់មកវាបញ្ចូលគ្នា។

វិធីសាស្រ្តនៃការកំណត់នេះអាចត្រូវបានប្រើប្រសិនបើបច្ចេកទេសដែលបានពិពណ៌នាខាងលើមិនផ្តល់លទ្ធផលដែលអាចមើលឃើញ។

សិក្សាសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាត

សម្រាប់ការស្រាវជ្រាវ យើងយក ∑ k = 1 ∞ b k ។ យើងប្រើសញ្ញាវិជ្ជមាន ∑ k = 1 ∞ b k ។ យើង​អាច​ប្រើ​លក្ខណៈ​សមរម្យ​ណាមួយ​ដែល​យើង​បាន​ពិពណ៌នា​ខាងលើ។ ប្រសិនបើស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k ចូលគ្នា នោះស៊េរីដើមគឺពិតជាបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 18

ស៊ើបអង្កេតស៊េរី ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k 3 k 3 + 2 k − 1 សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k 3 k 3 + 2 k − 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 ៣ + ២ គ - ១ ។

លក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k − 1 = 1 + ∞ = 0 ។ យើងប្រើ ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 ហើយប្រើសញ្ញាទីពីរ៖ lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k − 1 1 k 3 2 = 1 3 ។

ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k 3 k 3 + 2 k − 1 converges ។ ស៊េរី​ដើម​ក៏​ត្រូវ​គ្នា​យ៉ាង​ដាច់​ខាត។

ភាពខុសគ្នានៃស៊េរីជំនួស

ប្រសិនបើស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k គឺ divergent នោះ ស៊េរីជំនួសដែលត្រូវគ្នា ∑ k = 1 ∞ b k គឺ divergent ឬ convergent តាមលក្ខខណ្ឌ។

មានតែការធ្វើតេស្ត d'Alembert និងការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy ប៉ុណ្ណោះដែលនឹងជួយធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពី ∑ k = 1 ∞ b k ពីភាពខុសគ្នាពីម៉ូឌុល ∑ k = 1 ∞ b k ។ ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k ក៏ខុសគ្នាដែរ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នាចាំបាច់មិនត្រូវបានបំពេញ នោះគឺប្រសិនបើ lim k → ∞ + b k ≠ 0 ។

ឧទាហរណ៍ 19

ពិនិត្យមើលភាពខុសគ្នា 1 7 , 2 7 2 , - 6 7 3 , 24 7 4 , 120 7 5 - 720 7 6 , ។ . . .

ម៉ូឌុល k-thពាក្យត្រូវបានតំណាងជា b k = k ! 7k

ចូរយើងស្វែងយល់ពីស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k សម្រាប់​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​តាម​លក្ខណៈ​វិនិច្ឆ័យ d'Alembert: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7k+1k! 7 k = 1 7 limk → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k ខុសគ្នាតាមរបៀបដូចគ្នានឹងកំណែដើម។

ឧទាហរណ៍ 20

គឺ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) convergent ។

ពិចារណាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 "(ln (k + 1))" = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . លក្ខខណ្ឌមិនពេញចិត្ត ដូច្នេះ ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) ស៊េរីគឺ divergent ។ ដែនកំណត់ត្រូវបានគណនាយោងទៅតាមច្បាប់របស់ L'Hospital ។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យការបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌ

សញ្ញា Leibniz

និយមន័យ ១២

ប្រសិនបើតម្លៃនៃសមាជិកនៃស៊េរីជំនួសថយចុះ b 1 > b 2 > b 3 > ។ . . > ។ . . និងដែនកំណត់នៃម៉ូឌុល = 0 ជា k → + ∞ បន្ទាប់មកស៊េរី ∑ k = 1 ∞ b k បញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 17

ពិចារណា ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា។

ស៊េរីត្រូវបានតំណាងជា ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) ។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់គឺពេញចិត្ត lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 ។ ពិចារណា ∑ k = 1 ∞ 1 k ដោយលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបទីពីរ lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

យើងទទួលបានថា ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) diverges ។ ស៊េរី ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) ចូល​រួម​គ្នា​តាម​លក្ខណៈ​វិនិច្ឆ័យ Leibniz៖ លំដាប់ 2 1 + 1 5 1 1 1 1 + 1 = 3 10 , 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30 , 2 3 + 1 5 3 3 + 1 , ។ . . ថយចុះហើយ lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 ។

ស៊េរីត្រូវបានបង្រួបបង្រួមតាមលក្ខខណ្ឌ។

សញ្ញា Abel-Dirichlet

និយមន័យ ១៣

∑ k = 1 + ∞ u k v k បញ្ចូលគ្នា ប្រសិនបើ ( u k ) មិនកើនឡើង ហើយលំដាប់ ∑ k = 1 + ∞ v k ត្រូវបានចង។

ឧទាហរណ៍ 17

ស្វែងយល់ 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + ។ . . សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា។

ស្រមៃ

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + ។ . . = 1 1 + 1 2 ( − 3 ) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 ( − 3 ) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

ដែល ( u k ) = 1 , 1 2 , 1 3 , ។ . . - មិនកើនឡើង និងលំដាប់ ( v k ) = 1 , - 3 , 2 , 1 , - 3 , 2 , ។ . . មានកំណត់ ( S k ) = 1 , - 2 , 0 , 1 , - 2 , 0 , ។ . . . ស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ស៊េរីអាម៉ូនិក- ផលបូកដែលផ្សំឡើងដោយចំនួនគ្មានកំណត់នៃពាក្យតបវិញនៃចំនួនបន្តបន្ទាប់នៃស៊េរីធម្មជាតិ៖

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 k + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\mathcal (\infty))(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (k))+\cdots).

សព្វវចនាធិប្បាយ YouTube

1 / 5

✪ ជួរលេខ។ គំនិតជាមូលដ្ឋាន - bezbotvy

✪ ភស្តុតាងនៃភាពខុសគ្នានៃស៊េរីអាម៉ូនិក

✪ លេខស៊េរី-9 ។ ការបង្រួបបង្រួមនិងភាពខុសគ្នានៃស៊េរី Dirichlet

✪ ការប្រឹក្សា #1 ។ ម៉ាត់ ការវិភាគ។ ស៊េរី Fourier នៅក្នុងប្រព័ន្ធត្រីកោណមាត្រ។ លក្ខណៈសម្បត្តិសាមញ្ញបំផុត។

✪ ជួរដេក។ ពិនិត្យឡើងវិញ

ចំណងជើងរង

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃស៊េរី

លក្ខខណ្ឌបុគ្គលនៃស៊េរីមានទំនោរទៅសូន្យ ប៉ុន្តែផលបូករបស់វាខុសគ្នា។ ផលបូកផ្នែក n-th នៃស៊េរីអាម៉ូនិក s n គឺជាចំនួនអាម៉ូនិក n-th៖

s n = ∑ k = 1 n 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1 )(k))=1+(\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(4))+\cdots +(\frac (1) (n)))

តម្លៃមួយចំនួននៃផលបូកផ្នែក

s 1 = 1 s 2 = 3 2 = 1 , 5 s 3 = 11 6 ≈ 1.833 s 4 = 25 12 ≈ 2.083 s 5 = 137 60 ≈ 2.283 (\displaystyle (\begin_matri) \\\\s_(2)&=&(\frac (3)(2))&=&1(,)5\\\\s_(3)&=&(\frac (11)(6))& \approx &1(,)833\\\\s_(4)&=&(\frac (25)(12))&\approx &2(,)083\\\\s_(5)&=&(\frac (137)(60))&\ប្រហែល &2(,)283\end(ម៉ាទ្រីស)))

s 6 = 49 20 = 2 . 45 s 7 = 363 140 ≈ 2.593 s 8 = 761 280 ≈ 2.718 s 10 3 ≈ 7.484 s 10 6 ≈ 3\splay(mat(6 ≈\x14.3) \frac (49)(20))&=&2(,)45\\\\s_(7)&=&(\frac (363)(140))&\approx &2(,)593\\\\s_ (8)&=&(\frac (761)(280))&\approx &2(,)718\\\\s_(10^(3))&\approx &7(,)484\\\\s_( 10^(6))&\ប្រហែល &14(,)393\end(ម៉ាទ្រីស)))

រូបមន្តអយល័រ

នៅពេលតម្លៃ ε n → 0 (\displaystyle \varepsilon _(n)\rightarrow 0)ដូច្នេះសម្រាប់ទំហំធំ n (\displaystyle n):

s n ≈ ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle s_(n)\approx \ln(n)+\gamma)- រូបមន្តអយល័រសម្រាប់ផលបូកនៃទីមួយ n (\displaystyle n)សមាជិកនៃស៊េរីអាម៉ូនិក។ ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តអយល័រ

n (\displaystyle n)	s n = ∑ k = 1 n 1 k (\displaystyle s_(n)=\sum _(k=1)^(n)(\frac (1)(k)))	ln ⁡ (n) + γ (\displaystyle \ln(n)+\gamma)	ε n (\displaystyle \varepsilon _(n)), (%)
10	2,93	2,88	1,7
25	3,82	3,80	0,5

រូបមន្ត asymptotic ច្បាស់លាស់ជាងសម្រាប់ផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីអាម៉ូនិក៖

s n ≍ ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n − 1 12 n 2 + 1 120 n 4 − 1 252 n 6 ⋯ = ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n − ∑ k = 1 ∞ B 2 2 k n 2 k (\displaystyle s_(n)\asymp \ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))-(\frac (1)(12n^(2)))+(\ frac (1)(120n^(4)))-(\frac (1)(252n^(6)))\dots =\ln(n)+\gamma +(\frac (1)(2n))- \sum _(k=1)^(\infty)(\frac (B_(2k))(2k\,n^(2k))))កន្លែងណា B 2 k (\ displaystyle B_(2k))- លេខ Bernoulli ។

ស៊េរីនេះខុសគ្នា ប៉ុន្តែកំហុសក្នុងការគណនានៅលើវាមិនដែលលើសពីពាក់កណ្តាលនៃពាក្យដែលបោះបង់ចោលដំបូងឡើយ។

គុណលក្ខណៈទ្រឹស្តីចំនួននៃផលបូកផ្នែក

∀ n > 1 s n ∉ N (\displaystyle \forall n>1\;\;\;\;s_(n)\notin \mathbb (N))

ស៊េរី Divergence

S n → ∞ (\displaystyle s_(n)\rightarrow \infty)នៅ n → ∞ (\displaystyle n\rightarrow \infty)

ស៊េរីអាម៉ូនិកខុសគ្នាយឺតណាស់ (ដើម្បីឱ្យផលបូកផ្នែកលើសពី 100 ប្រហែល 10 43 ធាតុនៃស៊េរីគឺចាំបាច់) ។

ភាពខុសគ្នានៃស៊េរីអាម៉ូនិកអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយការប្រៀបធៀបវាជាមួយនឹងស៊េរីកែវពង្រីក៖

v n = ln ⁡ (n + 1) − ln ⁡ n = ln ⁡ (1 + 1 n) ∼ + ∞ 1 n (\displaystyle v_(n)=\ln(n+1)-\ln n=\ln \ ឆ្វេង(1+(\frac (1)(n))\right)(\underset (+\infty)(\sim ))(\frac (1)(n))),

ផលបូកមួយផ្នែកគឺជាក់ស្តែងស្មើនឹង៖

∑ i = 1 n − 1 v i = ln ⁡ n ∼ s n (\displaystyle \sum _(i=1)^(n-1)v_(i)=\ln n\sim s_(n)).

ភស្តុតាងរបស់ Orem

ភ័ស្តុតាងនៃភាពខុសគ្នាអាចត្រូវបានបង្កើតដោយការដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមៈ

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ ] + ⋯> 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ ] + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ (\displaystyle (\begin(aligned)\sum _(k=1)^(\infty)(\frac (1)(k))&()=1+\left[(\frac (1)(2) )\right]+\left[(\frac(1)(3))+(\frac(1)(4))\right]+\left[(\frac(1)(5))+(\frac (1)(6))+(\frac (1)(7))+(\frac (1)(8))\right]+\left[(\frac (1)(9))+\cdots \\ right]+\cdots \\&()>1+\left[(\frac (1)(2))\right]+\left[(\frac (1)(4))+(\frac (1) (4))\right]+\left [(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1)(8))+(\frac (1) (8))\right]+\left[(\frac(1)(16))+\cdots\right]+\cdots \\&()=1+\(\frac (1)(2))\ \\ +\quad (\frac (1) (2)) \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ frac (1) (2)) \\ qquad \\ + \\ quad \\ (\ frac (1) )(2))\quad +\cdots .\end(aligned)))

ជួរចុងក្រោយច្បាស់ជាខុសគ្នា។ ភស្តុតាងនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ្នកប្រាជ្ញមជ្ឈិមសម័យ Nicholas Orem (គ.ស.១៣៥០)។

ភស្តុតាងជំនួសនៃភាពខុសគ្នា

យើងសូមអញ្ជើញអ្នកអានឱ្យផ្ទៀងផ្ទាត់ភាពមិនពិតនៃភស្តុតាងនេះ។

ភាពខុសគ្នារវាង n (\displaystyle n)-th លេខអាម៉ូនិក និងលោការីតធម្មជាតិ n (\displaystyle n)បង្រួបបង្រួមអយល័រ ឆេ-ម៉ាស្ឆេរ៉ូនី ថេរ។

ភាពខុសគ្នារវាងលេខអាម៉ូនិកផ្សេងគ្នាគឺមិនដែលមានចំនួនគត់ និងគ្មានលេខអាម៉ូនិកទេ លើកលែងតែ H 1 = 1 (\displaystyle H_(1)=1)មិនមែនជាចំនួនគត់ទេ។

ជួរដែលពាក់ព័ន្ធ

ជួរ Dirichlet

ស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅ (ឬស៊េរី Dirichlet) ត្រូវបានគេហៅថាស៊េរី

∑ k = 1 ∞ 1 k α = 1 + 1 2 α + 1 3 α + 1 4 α + ⋯ + 1 k α + ⋯ (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty)(\frac ( 1)(k^(\alpha)))=1+(\frac (1)(2^(\alpha))))+(\frac (1)(3^(\alpha)))+(\frac ( 1)(4^(\alpha)))+\cdots +(\frac (1)(k^(\alpha)))+\cdots).

ស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅបង្វែរទៅ α ⩽ 1 (\\ ទម្រង់បង្ហាញ \\ អាល់ហ្វា \\ leqslant 1)ហើយបញ្ចូលគ្នានៅ α > 1 (\ ទម្រង់បង្ហាញ \ អាល់ហ្វា > 1) .

ផលបូកនៃស៊េរីលំដាប់អាម៉ូនិកទូទៅ α (\\ ទម្រង់បង្ហាញ \\ អាល់ហ្វា)គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ Riemann zeta៖

∑ k = 1 ∞ 1 k α = ζ (α) (\displaystyle \sum _(k=1)^(\infty)(\frac (1)(k^(\alpha)))=\zeta (\alpha ))

សម្រាប់លេខគូ តម្លៃនេះត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ pi ជាឧទាហរណ៍។ ζ (2) = π 2 6 (\displaystyle \zeta (2)=(\frac (\pi ^(2))(6)))ហើយសម្រាប់ α=3 តម្លៃរបស់វាមិនត្រូវបានវិភាគទេ។

រូបភាពមួយទៀតនៃភាពខុសគ្នានៃស៊េរីអាម៉ូនិកអាចជាទំនាក់ទំនង ζ (1 + 1 n) ∼ n (\displaystyle \zeta (1+(\frac (1)(n)))\sim n) ។ ដូច្នេះ ស៊េរីបែបនេះត្រូវបានគេនិយាយថាមានជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 1 ហើយផលបូកនៃស៊េរីគឺជាបរិមាណចៃដន្យដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។ ឧទាហរណ៍ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃដង់ស៊ីតេមុខងារដែលត្រូវបានគណនានៅចំនុច +2 ឬ −2 មានតម្លៃ៖

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

ខុសគ្នាពី ⅛ ដោយតិចជាង 10 −42 ។

ស៊េរីអាម៉ូនិក "ស្តើង"

ស៊េរី Kempner (ភាសាអង់គ្លេស)

ប្រសិនបើយើងពិចារណាស៊េរីអាម៉ូនិកដែលមានតែពាក្យដែលនៅសល់ ភាគបែងដែលមិនមានលេខ 9 នោះវាប្រែថាផលបូកដែលនៅសល់នឹងទៅជាលេខ<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе n (\displaystyle n)លក្ខខណ្ឌតិចជាង និងតិចត្រូវបានយកសម្រាប់ផលបូកនៃស៊េរី "ស្តើង" ។ នោះគឺនៅទីបញ្ចប់ ភាគច្រើននៃពាក្យដែលបង្កើតជាផលបូកនៃស៊េរីអាម៉ូនិកត្រូវបានលុបចោល ដើម្បីកុំឱ្យលើសពីការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រដែលកំណត់ពីខាងលើ។

មានវិធីជាច្រើនដើម្បីពិនិត្យមើលការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ។ ដំបូងអ្នកគ្រាន់តែអាចស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរី។ ប្រសិនបើលទ្ធផលយើងទទួលបានចំនួនកំណត់ នោះបែបនោះ។ ស៊េរីបញ្ចូលគ្នា. ឧទាហរណ៍ដោយសារតែ

បន្ទាប់មកស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។ ប្រសិនបើយើងបរាជ័យក្នុងការស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរី នោះវិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតគួរតែត្រូវបានប្រើដើម្បីពិនិត្យមើលការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី។

វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តទាំងនេះគឺ សញ្ញារបស់ d'Alembert

នៅទីនេះ និងជាលក្ខខណ្ឌ n-th និង (n+1)-th នៃស៊េរីរៀងៗខ្លួន ហើយការបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានកំណត់ដោយតម្លៃនៃ D: ប្រសិនបើ D< 1 - ряд сходится, если D >

ជាឧទាហរណ៍ យើងពិនិត្យមើលការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយដោយប្រើការធ្វើតេស្ត d'Alembert ។ ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់ និង . ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់ដែលត្រូវគ្នា៖

ចាប់តាំងពី យោងទៅតាមការធ្វើតេស្តរបស់ d'Alembert ស៊េរីបានបញ្ចូលគ្នា។

វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតដើម្បីពិនិត្យមើលការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីគឺ សញ្ញារ៉ាឌីកាល់នៃ Cauchyដែលត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

នេះគឺជាពាក្យទី 9 នៃស៊េរី ហើយការបញ្ចូលគ្នា ដូចជានៅក្នុងករណីនៃការធ្វើតេស្ត d'Alembert ត្រូវបានកំណត់ដោយតម្លៃនៃ D: ប្រសិនបើ D< 1 - ряд сходится, если D >1 - ភាពខុសគ្នា។ នៅពេល D = 1 - សញ្ញានេះមិនផ្តល់ចម្លើយទេហើយត្រូវការការស្រាវជ្រាវបន្ថែម។

ជាឧទាហរណ៍ យើងសិក្សាពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយដោយប្រើការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy ។ ដំបូងយើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់ . ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់ដែលត្រូវគ្នា៖

ដោយសារតែ title="15625/64>1"> យោងទៅតាមការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy ស៊េរីនេះខុសគ្នា។

គួរកត់សំគាល់ថា រួមជាមួយនឹងចំណុចខាងលើ មានសញ្ញាផ្សេងទៀតនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី ដូចជាការធ្វើតេស្តអាំងតេក្រាល Cauchy ការធ្វើតេស្ត Raabe ជាដើម។

ម៉ាស៊ីនគិតលេខអនឡាញរបស់យើង ដែលបង្កើតឡើងនៅលើមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធ Wolfram Alpha អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសាកល្បងការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើម៉ាស៊ីនគិតលេខផ្តល់លេខជាក់លាក់ជាផលបូកនៃស៊េរី នោះស៊េរីនឹងបញ្ចូលគ្នា។ បើមិនដូច្នោះទេចាំបាច់ត្រូវយកចិត្តទុកដាក់លើធាតុ "ការធ្វើតេស្តនៃការបញ្ចូលគ្នាជាស៊េរី" ។ ប្រសិនបើឃ្លា "ស៊េរីបង្រួបបង្រួម" នៅទីនោះ នោះស៊េរីនឹងចូលគ្នា។ ប្រសិនបើឃ្លា "ស៊េរីខុសគ្នា" មានវត្តមាន នោះស៊េរីនឹងខុសគ្នា។

ខាងក្រោម​នេះ​ជា​ការ​បក​ប្រែ​នៃ​តម្លៃ​ដែល​អាច​ធ្វើ​បាន​ទាំង​អស់​នៃ​ធាតុ "Test of convergence of a series"៖

អត្ថបទជាភាសាអង់គ្លេស	អត្ថបទជាភាសារុស្សី
តាមរយៈការធ្វើតេស្តស៊េរីអាម៉ូនិក ស៊េរីខុសគ្នា។	នៅពេលប្រៀបធៀបស៊េរីដែលបានសិក្សាជាមួយស៊េរីអាម៉ូនិក ស៊េរីដើមមានភាពខុសគ្នា។
ការធ្វើតេស្តសមាមាត្រគឺមិនអាចសន្និដ្ឋានបានទេ។	ការធ្វើតេស្តរបស់ d'Alembert មិនអាចផ្តល់ចម្លើយអំពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ។
ការ​ធ្វើ​តេស្ត​ឫស​គឺ​មិន​អាច​សន្និដ្ឋាន​បាន​ទេ។	ការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy មិនអាចផ្តល់ចម្លើយអំពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនោះទេ។
តាមរយៈការធ្វើតេស្តប្រៀបធៀប ស៊េរីនឹងបញ្ចូលគ្នា។	ដោយការប្រៀបធៀប ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នា
តាម​រយៈ​ការ​ធ្វើ​តេ​ស្ត​សមាមាត្រ​, ស៊េរី​ចូល​រួម​។	យោងទៅតាមការធ្វើតេស្តរបស់ d'Alembert ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នា
តាមរយៈការធ្វើតេស្តដែនកំណត់ ភាពខុសគ្នានៃស៊េរី។	ផ្អែកលើការពិតដែលថា title="(!LANG: ដែនកំណត់នៃសមាជិកទី n នៃស៊េរីនៅពេលដែល n->oo មិនស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន"> , или указанный предел не существует, сделан вывод о том, что ряд расходится. !}

ចម្លើយ៖ ស៊េរីខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍ #3

ស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរី $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ។

ដោយសារដែនកំណត់ការបូកទាបគឺ 1 ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមសញ្ញាបូក៖ $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ។ ចងក្រងផលបូកផ្នែកទី 9 នៃស៊េរី i.e. បូកសរុបសមាជិក $n$ ដំបូងនៃស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))។ $$

ហេតុអ្វីបានជាខ្ញុំសរសេរយ៉ាងពិតប្រាកដ $\frac(2)(3\cdot 5)$ ហើយមិនមែន $\frac(2)(15)$ ទេ វានឹងច្បាស់ពីការរៀបរាប់បន្ថែម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការកត់ត្រាផលបូកមួយផ្នែកមិនបាននាំឱ្យយើងខិតទៅជិតគោលដៅនោះទេ។ យ៉ាងណាមិញ យើងត្រូវស្វែងរក $\lim_(n\to\infty)S_n$ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងគ្រាន់តែសរសេរ៖

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

បន្ទាប់មក កំណត់ត្រានេះ ត្រឹមត្រូវទាំងស្រុងក្នុងទម្រង់ នឹងមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវខ្លឹមសារអ្វីឡើយ។ ដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់ កន្សោមផលបូកមួយផ្នែកដំបូងត្រូវតែធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។

មានការបំប្លែងស្ដង់ដារសម្រាប់ការនេះ ដែលមាននៅក្នុងការបំប្លែងប្រភាគ $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ដែលតំណាងឱ្យពាក្យទូទៅនៃស៊េរីទៅជាប្រភាគបឋម។ ប្រធានបទដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានឧទ្ទិសដល់បញ្ហានៃការបំបែកប្រភាគសនិទានទៅជាបឋម (សូមមើលឧទាហរណ៍ លេខ 3 នៅលើទំព័រនេះ)។ ការពង្រីកប្រភាគ $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ទៅជាប្រភាគបឋម យើងមាន៖

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3))។ $$

យើងគណនាចំនួនភាគយកនៃប្រភាគនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពលទ្ធផល៖

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)។ $$

មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការស្វែងរកតម្លៃ $A$ និង $B$ ។ អ្នកអាចបើកតង្កៀប និងរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ ឬអ្នកអាចជំនួសតម្លៃសមរម្យមួយចំនួនជំនួសឱ្យ $n$ ។ គ្រាន់​តែ​សម្រាប់​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​មួយ​ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ​យើង​នឹង​ទៅ​វិធី​ដំបូង​និង​បន្ទាប់ - យើង​នឹង​ជំនួស​តម្លៃ​ឯកជន​នៃ $n$ ។ ការពង្រីកតង្កៀប និងការរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ យើងទទួលបាន៖

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B។ $$

នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ $n$ ត្រូវបាននាំមុខដោយសូន្យ។ ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្ត ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពអាចត្រូវបានតំណាងឱ្យភាពច្បាស់លាស់ជា $0\cdot n+ 2$។ ដោយសារនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព $n$ នាំមុខដោយសូន្យ ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព $2A+2B$ នាំមុខ $n$ យើងមានសមីការទីមួយ៖ $2A+2B=0$។ យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះភ្លាមៗដោយ 2 បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន $A+B=0$ ។

ដោយសារពាក្យសេរីនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពគឺស្មើនឹង 2 ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនោះពាក្យសេរីគឺស្មើនឹង $3A+B$ បន្ទាប់មក $3A+B=2$។ ដូច្នេះយើងមានប្រព័ន្ធមួយ៖

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right។ $$

ភ័ស្តុតាងនឹងត្រូវបានអនុវត្តដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ នៅជំហានដំបូង យើងត្រូវពិនិត្យមើលថាតើសមភាពដែលត្រូវការ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ រក្សាទុកសម្រាប់ $n=1$។ យើងដឹងថា $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ ប៉ុន្តែតើកន្សោម $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ផ្តល់តម្លៃ $\frac( 2 )(15)$ ប្រសិនបើ $n=1$ ត្រូវបានជំនួសវា? តោះពិនិត្យ៖

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15) ។ $$

ដូច្នេះ សម្រាប់ $n=1$ សមភាព $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ គឺពេញចិត្ត។ នេះបញ្ចប់ជំហានដំបូងនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

សន្មតថាសម្រាប់ $n = k$ សមភាពទទួលបាន, i.e. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សមភាពដូចគ្នានឹងរក្សាសម្រាប់ $n=k+1$។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណា $S_(k+1)$៖

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1) ។ $$

ចាប់តាំងពី $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$ បន្ទាប់មក $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$ ។ តាមការសន្មតខាងលើ $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ ដូច្នេះរូបមន្ត $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ យក ទំរង់:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3)។ $$

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ រូបមន្ត $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ គឺពិតសម្រាប់ $n=k+1$។ ដូច្នេះ យោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា រូបមន្ត $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ គឺពិតសម្រាប់ $n\in N$ ណាមួយ។ សមភាពត្រូវបានបញ្ជាក់។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សាស្ដង់ដារក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ជាធម្មតាមនុស្សម្នាក់ពេញចិត្តនឹង "លុប" លក្ខខណ្ឌលុបចោល ដោយមិនទាមទារភស្តុតាងណាមួយឡើយ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបានកន្សោមសម្រាប់ផលបូកផ្នែកទី n៖ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃ $\lim_(n\to\infty)S_n$៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យបញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាគឺ $S=\frac(1)(3)$ ។

វិធីទីពីរគឺធ្វើឱ្យរូបមន្តសាមញ្ញសម្រាប់ផលបូកផ្នែក។

និយាយឱ្យត្រង់ទៅ ខ្ញុំចូលចិត្តវិធីនេះដោយខ្លួនឯង :) ចូរយើងសរសេរការបូកផ្នែកក្នុងទម្រង់ជាអក្សរកាត់៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))។ $$

យើងទទួលបានមុននេះថា $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ ដូច្នេះ៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)។ $$

ផលបូក $S_n$ មានចំនួនកំណត់នៃលក្ខខណ្ឌ ដូច្នេះយើងអាចរៀបចំវាឡើងវិញតាមចិត្តយើង។ ដំបូងខ្ញុំចង់បន្ថែមលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃទម្រង់ $\frac(1)(2k+1)$ ហើយបន្ទាប់មកចូលទៅលក្ខខណ្ឌនៃទម្រង់ $\frac(1)(2k+3)$។ នេះមានន័យថា យើងនឹងតំណាងឱ្យផលបូកមួយផ្នែកក្នុងទម្រង់នេះ៖

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right)។ $$

ជាការពិតណាស់ សញ្ញាណដែលបានពង្រីកគឺមានការរអាក់រអួលខ្លាំង ដូច្នេះសមភាពខាងលើអាចសរសេរបានកាន់តែបង្រួម៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)។ $$

ឥឡូវនេះ យើងបំប្លែងកន្សោម $\frac(1)(2k+1)$ និង $\frac(1)(2k+3)$ ទៅជាទម្រង់ដូចគ្នា។ ខ្ញុំ​គិត​ថា​វា​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ធ្វើ​ឱ្យ​វា​មើល​ទៅ​ដូច​ជា​ប្រភាគ​ធំ​ជាង (ទោះ​បី​ជា​អ្នក​អាច​ប្រើ​តូច​ជាង​ក៏​ដោយ វា​ជា​បញ្ហា​នៃ​រសជាតិ)។ ចាប់តាំងពី $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (ភាគបែងធំជាង ប្រភាគតូចជាង) យើងនឹងកាត់បន្ថយប្រភាគ $\frac(1)(2k+ 3) $ ទៅទម្រង់ $\frac(1)(2k+1)$ ។

ខ្ញុំនឹងបង្ហាញកន្សោមក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគ $\frac(1)(2k+3)$ ដូចតទៅ៖

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1)។ $$

ហើយផលបូក $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ ឥឡូវអាចសរសេរដូចនេះ៖

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)។ $$

ប្រសិនបើសមភាព $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ មិនលើកសំណួរទេ អញ្ចឹងតោះទៅទៀត។ ប្រសិនបើមានសំណួរ សូមពង្រីកចំណាំ។

តើយើងទទួលបានចំនួនទឹកប្រាក់បំប្លែងដោយរបៀបណា? បង្ហាញ/លាក់

យើងមានស៊េរី $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$។ សូមណែនាំអថេរថ្មីជំនួសឱ្យ $k+1$ - ឧទាហរណ៍ $t$ ។ ដូច្នេះ $t=k+1$។

តើអថេរចាស់ $k$ ផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងដូចម្តេច? ហើយវាបានផ្លាស់ប្តូរពី 1 ទៅ $n$ ។ តោះស្វែងយល់ពីរបៀបដែលអថេរថ្មី $t$ នឹងផ្លាស់ប្តូរ។ ប្រសិនបើ $k=1$ នោះ $t=1+1=2$។ ប្រសិនបើ $k=n$ នោះ $t=n+1$។ ដូច្នេះកន្សោម $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ គឺឥឡូវនេះ៖ $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$។

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1)។ $$

យើងមានផលបូក $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ ។ សំណួរ៖ តើ​អក្សរ​មួយ​ណា​ត្រូវ​ប្រើ​ក្នុង​ការ​បូក​នេះ​ជា​បញ្ហា​ទេ? :) ការសរសេរអក្សរ $k$ ជំនួសឱ្យ $t$ យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

នេះជារបៀបដែលសមភាព $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) ទទួលបាន \frac(1)(2k+1)$ ។

ដូច្នេះ ផលបូកផ្នែកអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ) $$

ចំណាំថាផលបូក $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ និង $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ ខុសគ្នាតែក្នុងដែនកំណត់នៃការបូកសរុបប៉ុណ្ណោះ។ ចូរកំណត់ដែនកំណត់ទាំងនេះដូចគ្នា។ "យក" ធាតុទីមួយពីផលបូក $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ យើងទទួលបាន៖

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)។ $$

"យក" ធាតុចុងក្រោយពីផលបូក $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ យើងទទួលបាន៖

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3 ).$$

បន្ទាប់មកកន្សោមសម្រាប់ផលបូកផ្នែកនឹងមានទម្រង់៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)។ $$

ប្រសិនបើអ្នករំលងការពន្យល់ទាំងអស់នោះ ដំណើរការនៃការស្វែងរករូបមន្តសង្ខេបសម្រាប់ផលបូកផ្នែក n-th នឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)។ $$

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងបានកាត់បន្ថយប្រភាគ $\frac(1)(2k+3)$ ទៅជាទម្រង់ $\frac(1)(2k+1)$។ ជាការពិតណាស់អ្នកអាចធ្វើផ្ទុយគ្នាពោលគឺឧ។ តំណាងឱ្យប្រភាគ $\frac(1)(2k+1)$ ជា $\frac(1)(2k+3)$ ។ កន្សោមចុងក្រោយសម្រាប់ផលបូកផ្នែកនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ក្នុងករណីនេះ ខ្ញុំនឹងលាក់ដំណើរការនៃការស្វែងរកផលបូកមួយផ្នែកនៅក្រោមកំណត់ចំណាំ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរក $S_n$ ប្រសិនបើអ្នកនាំយកទៅទម្រង់នៃប្រភាគផ្សេងគ្នា? បង្ហាញ/លាក់

$$ S_n = \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3 ) $$

ដូច្នេះ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$។ ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(n\to\infty)S_n$៖

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3)។ $$

ស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យបញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាគឺ $S=\frac(1)(3)$។

ចម្លើយ៖ $S=\frac(1)(3)$។

ការបន្តនៃប្រធានបទនៃការស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីមួយនឹងត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងផ្នែកទីពីរនិងទីបី។

ស្វែងរកផលបូកនៃលេខស៊េរី។ ប្រសិនបើមិនអាចរកវាឃើញទេនោះប្រព័ន្ធនឹងគណនាផលបូកនៃស៊េរីជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវជាក់លាក់មួយ។

ស៊េរីការបញ្ចូលគ្នា

ម៉ាស៊ីនគិតលេខនេះអាចកំណត់ថាតើស៊េរីមួយណាបញ្ចូលគ្នា ហើយក៏បង្ហាញផងដែរថាតើសញ្ញាណាមួយនៃការបញ្ចូលគ្នាដំណើរការ និងមួយណាមិនដំណើរការ។

គាត់ក៏ដឹងពីរបៀបដើម្បីកំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីថាមពល។

ក្រាហ្វស៊េរីក៏ត្រូវបានបង្កើតឡើងផងដែរ ដែលអ្នកអាចមើលឃើញអត្រានៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី (ឬភាពខុសគ្នា)។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលកន្សោម និងមុខងារ

កន្សោម​អាច​មាន​មុខងារ (កំណត់​សម្គាល់​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​តាម​លំដាប់​អក្ខរក្រម)៖ ដាច់ខាត(x)តម្លៃ​ដាច់ខាត x
(ម៉ូឌុល xឬ |x|) Arccos(x)អនុគមន៍ - អាកកូស៊ីនុសនៃ x arccosh(x)អាក់កូស៊ីនុស អ៊ីពែរបូល ពី x arcsin(x) Arcsine ពី x arcsinh(x) Arcsine hyperbolic ពី x arctg(x)អនុគមន៍ - អ័ក្សតង់សង់ពី x arctgh(x)តង់ហ្សង់ធ្នូគឺអ៊ីពែរបូលពី x អ៊ី អ៊ីចំនួនដែលប្រហែលស្មើនឹង 2.7 exp(x)អនុគមន៍ - និទស្សន្តពី x(ដែល​ជា អ៊ី^x) កំណត់ហេតុ(x)ឬ កំណត់ហេតុ(x)លោការីតធម្មជាតិនៃ x
(ទទួល log7(x)អ្នកត្រូវបញ្ចូល log(x)/log(7) (ឬឧទាហរណ៍សម្រាប់ កំណត់ហេតុ 10(x)=log(x)/log(10)) ភីលេខគឺ "Pi" ដែលប្រហែលស្មើនឹង 3.14 sin(x)មុខងារ - ស៊ីនុសនៃ x cos(x)មុខងារ - កូស៊ីនុសនៃ x sinh(x)អនុគមន៍ - ស៊ីនុសអ៊ីពែរបូលនៃ x សាច់ប្រាក់(x)អនុគមន៍ - កូស៊ីនុសអ៊ីពែរបូលនៃ x sqrt(x)មុខងារគឺជាឫសការ៉េនៃ x sqr(x)ឬ x^2មុខងារ - ការ៉េ x tg(x)អនុគមន៍ - តង់សង់ពី x tgh(x)អនុគមន៍ - តង់ហ្សង់អ៊ីពែរបូលនៃ x cbrt(x)មុខងារគឺជាឫសគូបនៃ x

អ្នកអាចប្រើប្រតិបត្តិការខាងក្រោមក្នុងកន្សោម៖ លេខពិតបញ្ចូលក្នុងទម្រង់ 7.5 មិនមែនទេ។ 7,5 2*x- គុណ 3/x- ការបែងចែក x^3- និទស្សន្ត x + ៧- បន្ថែម x − ៦- ដក
លក្ខណៈពិសេសផ្សេងទៀត៖ ជាន់(x)មុខងារ - បង្គត់ xចុះក្រោម (ឧទាហរណ៍ជាន់(4.5)==4.0) ពិដាន(x)មុខងារ - បង្គត់ xឡើង (ឧទាហរណ៍ពិដាន(4.5)==5.0) សញ្ញា(x)មុខងារ - សញ្ញា x erf(x)មុខងារកំហុស (ឬប្រូបាប៊ីលីតេអាំងតេក្រាល) laplace(x)មុខងារ Laplace