ទ្រឹស្តីបទនៃការបូក និងគុណនៃប្រូបាប។

ទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះដោយគ្មានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរួមគ្នារបស់ពួកគេ:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)។

ទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាចំនួនពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាបទាំងនេះ:

P(A+B)=P(A)+P(B)។

ឧទាហរណ៍ 2.16 ។ខ្មាន់កាំភ្លើង​បាញ់​ចំ​គោលដៅ​ដែល​ចែក​ជា​៣​តំបន់។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយលុកតំបន់ទីមួយគឺ 0.45 ទីពីរ - 0.35 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកបាញ់ប្រហារនឹងបាញ់ចំតំបន់ទីមួយ ឬទីពីរដោយការបាញ់មួយ។

ដំណោះស្រាយ។

ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែ- "អ្នកបាញ់បានវាយប្រហារតំបន់ទីមួយ" និង អេ- "អ្នកបាញ់បានវាយប្រហារតំបន់ទីពីរ" - គឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (ការវាយនៅក្នុងតំបន់មួយមិនរាប់បញ្ចូលការចូលទៅក្នុងតំបន់មួយផ្សេងទៀត) ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទបន្ថែមគឺអាចអនុវត្តបាន។

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានគឺស្មើនឹង៖

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

ទ្រឹស្តីបទបន្ថែម ទំព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា។. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា n គឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាបទាំងនេះ:

P (A 1 + A 2 + ... + A ទំ) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A ទំ) ។

ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគឺស្មើនឹងមួយ៖

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ អេសន្មតថាព្រឹត្តិការណ៍មួយបានកើតឡើង ប៉ុន្តែត្រូវបានគេហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ អេហើយត្រូវបានសម្គាល់ដូចនេះ៖ P(B/A),ឬ R A (B) ។

. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃមួយនៃពួកវាដោយប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតដែលផ្តល់ថាព្រឹត្តិការណ៍ដំបូងបានកើតឡើង:

P(AB)=P(A)P A(B)។

ព្រឹត្តិការណ៍ អេមិនអាស្រ័យលើព្រឹត្តិការណ៍នោះទេ។ ប៉ុន្តែ, ប្រសិនបើ

P A (B) \u003d P (B),

ទាំងនោះ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ អេមិនអាស្រ័យលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍នេះបានកើតឡើងទេ។ ប៉ុន្តែ.

ទ្រឹស្តីបទនៃការគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យពីរ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ៖

P(AB)=P(A)P(B)។

ឧទាហរណ៍ 2.17 ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅនៅពេលបាញ់កាំភ្លើងទីមួយ និងទីពីរគឺស្មើគ្នា៖ ទំ ១ = 0,7; ទំ ២= 0.8 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយដោយបាល់ទះមួយ (ពីកាំភ្លើងទាំងពីរ) ដោយយ៉ាងហោចណាស់កាំភ្លើងមួយ។

ដំណោះស្រាយ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយកាំភ្លើងនីមួយៗមិនអាស្រ័យលើលទ្ធផលនៃការបាញ់ពីកាំភ្លើងផ្សេងទៀតទេ ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ- "បាញ់កាំភ្លើងដំបូង" និង អេ- "ការបាញ់កាំភ្លើងទីពីរ" គឺឯករាជ្យ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ AB- "កាំភ្លើងទាំងពីរបានបុក"៖

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

ទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេ ទំព្រឹត្តិការណ៍។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ n គឺស្មើនឹងផលិតផលមួយនៃពួកវាដោយប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតទាំងអស់ គណនាដោយសន្មតថាព្រឹត្តិការណ៍មុនទាំងអស់បានកើតឡើង៖

ឧទាហរណ៍ 2.18. កោដ្ឋ​មួយ​មាន​គ្រាប់​ពណ៌​ស ៥ ខ្មៅ ៤ និង​ខៀវ ៣ គ្រាប់។ ការធ្វើតេស្តនីមួយៗមាននៅក្នុងការពិតដែលថាបាល់មួយត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យដោយមិនត្រលប់មកវិញ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ពណ៌សនឹងលេចឡើងនៅលើការសាកល្បងដំបូង (ព្រឹត្តិការណ៍ A) បាល់ខ្មៅនៅលើការសាកល្បងទីពីរ (ព្រឹត្តិការណ៍ B) និងបាល់ពណ៌ខៀវនៅលើការសាកល្បងទីបី (ព្រឹត្តិការណ៍ C) ។

ដំណោះស្រាយ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃបាល់ពណ៌សលេចឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងដំបូង៖

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃបាល់ខ្មៅដែលលេចឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងលើកទីពីរ គណនាដោយសន្មត់ថាបាល់ពណ៌សមួយបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងការសាកល្បងលើកដំបូង ពោលគឺប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ៖

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃបាល់ពណ៌ខៀវដែលលេចឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងលើកទី 3 គណនាដោយសន្មត់ថាបាល់ពណ៌សមួយបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងការសាកល្បងលើកទី 1 និងពណ៌ខ្មៅនៅក្នុងទីពីរ ពោលគឺប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ៖

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានគឺស្មើនឹង៖

ទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេ ទំព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ n គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ៖

P (A 1 A 2 ... A ទំ) \u003d P (A 1) P (A 2) ... P (A ទំ) ។

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់ព្រឹត្តិការណ៍មួយនឹងកើតឡើង។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍យ៉ាងហោចណាស់មួយ A 1 , A 2 , ... , A p ឯករាជ្យនៅក្នុងការប្រមូលផ្តុំគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងការរួបរួម និងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ។:

.

ឧទាហរណ៍ 2.19 ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅនៅពេលបាញ់ចេញពីកាំភ្លើងចំនួនបីមានដូចខាងក្រោម៖ ទំ ១ = 0,8; ទំ ២ = 0,7;ទំ ៣= 0.9 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ (ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ) ជាមួយនឹង salvo មួយពីកាំភ្លើងទាំងអស់។

ដំណោះស្រាយ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយកាំភ្លើងនីមួយៗមិនអាស្រ័យលើលទ្ធផលនៃការបាញ់ពីកាំភ្លើងផ្សេងទៀតទេ ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍ដែលកំពុងពិចារណា ក ១(បាញ់ដោយកាំភ្លើងទីមួយ), ក ២(បាញ់ដោយកាំភ្លើងទីពីរ) និង ក ៣(ការវាយដោយកាំភ្លើងទីបី) គឺឯករាជ្យនៅក្នុងការប្រមូលផ្តុំ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយទៅនឹងព្រឹត្តិការណ៍ ក ១, ក ២និង ក ៣(ឧ. ប្រូបាប៊ីលីតេ ខកខាន) រៀងគ្នា គឺស្មើនឹង៖

, , .

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានគឺស្មើនឹង៖

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ A 1, A 2, ... , A ទំមានប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា។ របន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖

Р(А)= 1 – q n ,

កន្លែងណា q=1-p

២.៧. រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប។ រូបមន្ត Bayes ។

អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែអាចកើតឡើងប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាណាមួយកើតឡើង N 1, N 2, ... , N ទំបង្កើតក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍។ ដោយ​សារ​វា​មិន​បាន​ដឹង​ជា​មុន​ថា​តើ​ព្រឹត្តិ​ការណ៍​ទាំង​នេះ​នឹង​កើត​ឡើង​មួយ​ណា​នោះ​គេ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​មក សម្មតិកម្ម.

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង ប៉ុន្តែគណនាដោយ រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប៖

P (A) \u003d P (N 1) P (A / N 1) + P (N 2) P (A / N 2) + ... + P (N p) P (A / N p) ។

ចូរយើងសន្មត់ថាការពិសោធន៍មួយត្រូវបានអនុវត្តជាលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ ប៉ុន្តែបានកើតឡើង។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍តាមលក្ខខណ្ឌ N 1, N 2, ... , N ទំទាក់ទងនឹងព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែកំណត់ រូបមន្ត Bayes:

,

ឧទាហរណ៍ 2.20. ក្នុង​ក្រុម​សិស្ស​២០​នាក់​ដែល​មក​ប្រឡង​មាន​៦​នាក់​ល្អ​៨​នាក់ ល្អ​៤​នាក់​ពេញចិត្ត និង​២​នាក់​រៀបចំ​មិនសូវ​ល្អ ។ មានសំណួរចំនួន 30 នៅក្នុងឯកសារប្រឡង។ សិស្សដែលត្រៀមខ្លួនបានល្អអាចឆ្លើយបានទាំង 30 សំណួរ សិស្សដែលត្រៀមខ្លួនបានល្អអាចឆ្លើយបាន 24 សិស្សដែលពេញចិត្តអាចឆ្លើយបាន 15 នាក់ និងសិស្សក្រីក្រអាចឆ្លើយបាន 7 ។

សិស្សដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យបានឆ្លើយសំណួរចៃដន្យចំនួនបី។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលសិស្សនេះត្រូវបានរៀបចំ៖ ក) ល្អឥតខ្ចោះ; ខ) អាក្រក់។

ដំណោះស្រាយ។

សម្មតិកម្ម - "សិស្សត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងល្អ";

- "សិស្សត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងល្អ";

- "សិស្សត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងពេញចិត្ត";

- "សិស្សត្រូវបានរៀបចំមិនល្អ" ។

មុនបទពិសោធន៍៖

; ; ; ;

7. ដូចម្តេចដែលហៅថាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍?

8. តើព្រឹត្ដិការណ៍អ្វីខ្លះដែលហៅថាទំនងដូចគ្នា? ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះ។

9. ដូចម្តេចដែលហៅថា លទ្ធផលបឋម?

10. តើលទ្ធផលអ្វីដែលខ្ញុំហៅថាអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍នេះ?

11. តើប្រតិបត្តិការអ្វីខ្លះអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅលើព្រឹត្តិការណ៍? ផ្តល់និយមន័យដល់ពួកគេ។ តើពួកគេត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច? ផ្តល់ឧទាហរណ៍។

12. ដូចម្តេចដែលហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេ?

13. តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយគឺជាអ្វី?

14. តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច?

15. តើអ្វីជាដែនកំណត់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ?

16. តើប្រូបាប៊ីលីតេធរណីមាត្រនៅលើយន្តហោះត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?

17. តើប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានកំណត់ក្នុងលំហដោយរបៀបណា?

18. តើប្រូបាប៊ីលីតេនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?

19. តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរគឺជាអ្វី?

20. តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនស៊ីគ្នាពីរគឺជាអ្វី?

21. តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា n គឺជាអ្វី?

22. តើប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌគឺជាអ្វី? ផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយ។

23. បង្កើតទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេ។

24. តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍យ៉ាងហោចណាស់មួយ?

25. តើព្រឹត្តិការណ៍អ្វីទៅដែលហៅថាសម្មតិកម្ម?

26. តើរូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប និងរូបមន្ត Bayes ត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលណា?

ទ្រឹស្តីបទបន្ថែម

ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យដែលមិនឆបគ្នា។

វាត្រូវបានគេដឹងថាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមិនឆបគ្នា $A$ និង $B$ នៅក្នុងការសាកល្បងដូចគ្នាមានប្រូបាប $P\left(A\right)$ និង $P\left(B\right)$ រៀងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូក $A+B$ នៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ ពោលគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេ។

ឧបមាថានៅក្នុងការធ្វើតេស្តនេះចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នាទាំងអស់គឺ $n$ ។ ក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ $A$ និង $B$ ត្រូវបានពេញចិត្តដោយ $m_(A)$ និង $m_(B)$ ព្រឹត្តិការណ៍បឋមរៀងៗខ្លួន។ ដោយសារព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ មិនត្រូវគ្នា ព្រឹត្តិការណ៍ $A+B$ ត្រូវបានពេញចិត្តដោយព្រឹត្តិការណ៍បឋម $m_(A) +m_(B)$ ។ យើងមាន $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B))(n) =\frac(m_(A))(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)$។

ទ្រឹស្តីបទ ១

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាបរបស់វា។

ចំណាំ ១

លទ្ធផល ១.ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។

លទ្ធផល ២.ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា (ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមទាំងអស់) គឺស្មើនឹងមួយ។

លទ្ធផល ៣.ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគឺស្មើនឹងមួយ ដោយសារពួកវាបង្កើតបានជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ១

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលវានឹងមិនមានភ្លៀងនៅក្នុងទីក្រុងសម្រាប់ពេលខ្លះគឺ $p=0.7$ ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ $q$ ដែលក្នុងអំឡុងពេលដូចគ្នានេះ វានឹងភ្លៀងនៅក្នុងទីក្រុងយ៉ាងហោចណាស់ម្តង។

ព្រឹត្តិការណ៍ "សម្រាប់ពេលខ្លះវាមិនដែលភ្លៀងនៅក្នុងទីក្រុង" និង "សម្រាប់ពេលខ្លះភ្លៀងនៅក្នុងទីក្រុងយ៉ាងហោចណាស់ម្តង" គឺផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះ $p+q=1$, មកពីណា $q=1-p=1-0.7=0.3$។

ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យរួមគ្នា។

វាត្រូវបានគេដឹងថាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យរួមគ្នា $A$ និង $B$ នៅក្នុងការសាកល្បងដូចគ្នាមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង $P\left(A\right)$ និង $P\left(B\right)$ រៀងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូក $A+B$ នៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ ពោលគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេ។

ឧបមាថានៅក្នុងការធ្វើតេស្តនេះចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នាទាំងអស់គឺ $n$ ។ ក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ $A$ និង $B$ ត្រូវបានពេញចិត្តដោយ $m_(A)$ និង $m_(B)$ ព្រឹត្តិការណ៍បឋមរៀងៗខ្លួន។ ដោយសារព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ គឺរួមគ្នា ដូច្នេះក្នុងចំណោមចំនួនសរុបនៃ $m_(A) +m_(B)$ ព្រឹត្តិការណ៍បឋម ចំនួនជាក់លាក់ $m_(AB)$ ពេញចិត្តទាំងព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និងព្រឹត្តិការណ៍ $B$ នោះគឺជាការកើតឡើងរួមគ្នារបស់ពួកគេ (ផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A\cdot B$)។ បរិមាណនេះ $m_(AB)$ បានបញ្ចូលទាំង $m_(A)$ និង $m_(B)$ ។ ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍ $A+B$ ត្រូវបានពេញចិត្តដោយ $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ ព្រឹត្តិការណ៍បឋម។ យើងមាន៖ $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB))(n) =\frac(m_(A))(n) +\ frac (m_(B))(n) -\frac(m_(AB))(n) =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cdot B\ ត្រូវ)$។

ទ្រឹស្តីបទ ២

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះដកប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលរបស់ពួកគេ។

មតិយោបល់។ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ មិនត្រូវគ្នានោះ ផលិតផលរបស់ពួកគេ $A\cdot B$ គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចដែលប្រូបាប៊ីលីតេគឺ $P\left(A\cdot B\right)=0$ ។ ដូច្នេះរូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាគឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តសម្រាប់បន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថានៅពេលគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរត្រូវបានបោះក្នុងពេលតែមួយ លេខ 5 នឹងឡើងយ៉ាងហោចណាស់ម្តង។

នៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ពីរក្នុងពេលតែមួយ ចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នាទាំងអស់គឺស្មើនឹង $n=36$ ព្រោះថាប្រាំមួយខ្ទង់នៃគ្រាប់ឡុកឡាក់ទីពីរអាចធ្លាក់លើខ្ទង់នីមួយៗនៃគ្រាប់ឡុកឡាក់ទីមួយ។ ក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ $A$ - លេខ 5 រមៀលលើស្លាប់ដំបូង - កើតឡើង 6 ដងព្រឹត្តិការណ៍ $B$ - លេខ 5 រមៀលនៅលើស្លាប់ទីពីរ - ក៏កើតឡើង 6 ដង។ ក្នុងចំណោមដប់ពីរដង លេខ 5 លេចឡើងម្តងនៅលើគ្រាប់ឡុកឡាក់ទាំងពីរ។ ដូច្នេះ $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36)$។

ទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេ

ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ។

ព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងបន្តបន្ទាប់គ្នាពីរត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ $B$ មិនអាស្រ័យលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍ $A$ បានកើតឡើង ឬមិនបានកើតឡើង។

ជាឧទាហរណ៍ ឧបមាថាមានបាល់ពណ៌ស២ និងខ្មៅ២នៅក្នុងកោដ្ឋ។ ការធ្វើតេស្តគឺដើម្បីទាញយកបាល់។ ព្រឹត្តិការណ៍ $A$ គឺ "បាល់ពណ៌សត្រូវបានគូរនៅក្នុងការសាកល្បងដំបូង" ។ ប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(A\right)=\frac(1)(2)$។ បន្ទាប់ពីការធ្វើតេស្តលើកទី 1 បាល់ត្រូវបានដាក់ត្រឡប់មកវិញហើយការធ្វើតេស្តលើកទីពីរត្រូវបានអនុវត្ត។ ព្រឹត្តិការណ៍ $B$ -- ``បាល់ពណ៌សត្រូវបានទាញនៅក្នុងការសាកល្បងលើកទីពីរ''។ ប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(B\right)=\frac(1)(2)$។ ប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(B\right)$ មិនអាស្រ័យលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍ $A$ បានកើតឡើងឬអត់ ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ គឺឯករាជ្យ។

វាត្រូវបានគេដឹងថាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យឯករាជ្យ $A$ និង $B$ នៃការសាកល្បងពីរជាប់គ្នាមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង $P\left(A\right)$ និង $P\left(B\right)$ រៀងគ្នា។ ចូរយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផល $A\cdot B$ នៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ នោះគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរួមគ្នារបស់ពួកគេ។

ឧបមាថានៅក្នុងការសាកល្បងដំបូងចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នាទាំងអស់គឺ $n_(1) $ ។ ក្នុងចំណោមទាំងនេះ $A$ ត្រូវបានពេញចិត្តដោយ $m_(1)$ ព្រឹត្តិការណ៍បឋម។ ចូរយើងសន្មតថានៅក្នុងការធ្វើតេស្តលើកទីពីរចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមដែលអាចធ្វើបានស្មើគ្នាទាំងអស់គឺ $n_(2) $ ។ ក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ $B$ ត្រូវបានពេញចិត្តដោយ $m_(2)$ ព្រឹត្តិការណ៍បឋម។ ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍បឋមថ្មីមួយ ដែលមាននៅក្នុងការកើតឡើងជាបន្តបន្ទាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ពីការសាកល្បងទីមួយ និងទីពីរ។ ចំនួនសរុបនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមដែលទំនងដូចគ្នាគឺស្មើនឹង $n_(1) \cdot n_(2) $ ។ ដោយសារព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ គឺឯករាជ្យ ដូច្នេះពីចំនួននេះ ការកើតឡើងរួមគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និងព្រឹត្តិការណ៍ $B$ (ផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A\cdot B$) ត្រូវបានពេញចិត្តដោយ $m_ (1) \cdot m_(2) $ ព្រឹត្តិការណ៍ . យើងមាន៖ $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1)\cdot m_(2))(n_(1)\cdot n_(2)) =\frac(m_(1)) ) (n_(1)) \cdot \frac(m_(2))(n_(2)) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$។

ទ្រឹស្តីបទ ៣

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។

ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ។

នៅក្នុងការសាកល្បងពីរជាប់គ្នា ព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ កើតឡើង។ ព្រឹត្តិការណ៍ $B$ ត្រូវបានគេនិយាយថាអាស្រ័យលើព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ $B$ អាស្រ័យលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍ $A$ បានកើតឡើងឬអត់។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ $B$ ដែលត្រូវបានគណនាក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលព្រឹត្តិការណ៍ $A$ បានកើតឡើង ត្រូវបានគេហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ $B$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $A$ ហើយត្រូវបានតាងដោយ $P\left (B/A\right)$។

ជាឧទាហរណ៍ ឧបមាថាមានបាល់ពណ៌ស២ និងខ្មៅ២នៅក្នុងកោដ្ឋ។ ការធ្វើតេស្តគឺការទាញយកបាល់។ ព្រឹត្តិការណ៍ $A$ គឺ "បាល់ពណ៌សមួយត្រូវបានគូរនៅក្នុងការសាកល្បងដំបូង" ។ ប្រូបាប៊ីលីតេ $P\left(A\right)=\frac(1)(2)$។ បន្ទាប់ពីការធ្វើតេស្តលើកទី 1 បាល់មិនត្រូវបានដាក់ត្រឡប់មកវិញទេហើយការធ្វើតេស្តទីពីរត្រូវបានអនុវត្ត។ ព្រឹត្តិការណ៍ $B$ -- ``បាល់ពណ៌សត្រូវបានទាញនៅក្នុងការសាកល្បងលើកទីពីរ''។ ប្រសិនបើបាល់ពណ៌សត្រូវបានគូរនៅក្នុងការសាកល្បងដំបូង នោះប្រូបាប៊ីលីតេគឺ $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3)$។ ប្រសិនបើបាល់ខ្មៅមួយត្រូវបានគូរនៅក្នុងការសាកល្បងដំបូង នោះប្រូបាប៊ីលីតេគឺ $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3)$។ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ $B$ អាស្រ័យលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍ $A$ បានកើតឡើងឬអត់ ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍ $B$ អាស្រ័យលើព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ។

សន្មតថាព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ កើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងពីរជាប់គ្នា។ វាត្រូវបានគេដឹងថាព្រឹត្តិការណ៍ $A$ មានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង $P\left(A\right)$។ វាត្រូវបានគេដឹងផងដែរថាព្រឹត្តិការណ៍ $B$ គឺអាស្រ័យលើព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌរបស់វានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ $A$ គឺស្មើនឹង $P\left(B/A\right)$។

ទ្រឹស្តីបទ ៤

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និងព្រឹត្តិការណ៍ $B$ អាស្រ័យលើវា នោះគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរួមគ្នារបស់ពួកគេ អាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត $P\left(A\cdot B\right)= P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$។

រូបមន្តស៊ីមេទ្រី $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ ក៏មានសុពលភាពផងដែរ ដែលព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ត្រូវបានសន្មត់ថា អាស្រ័យលើព្រឹត្តិការណ៍ $B$ ។

សម្រាប់លក្ខខណ្ឌនៃឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ យើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ពណ៌សនឹងត្រូវបានគូរនៅក្នុងការសាកល្បងទាំងពីរ។ ព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះគឺជាផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ និង $B$ ។ ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាគឺ $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2)\cdot\frac( 1)(3)=\frac(1)(6)$។

ស្ថាប័នអប់រំ "រដ្ឋបេឡារុស្ស

បណ្ឌិតសភាកសិកម្ម"

នាយកដ្ឋានគណិតវិទ្យាជាន់ខ្ពស់

ការបន្ថែម និងការគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យម្តងទៀត

សុន្ទរកថាសម្រាប់និស្សិតនៃមហាវិទ្យាល័យរៀបចំដែនដី

ការរៀនពីចម្ងាយ

Gorki, ឆ្នាំ 2012

ការបន្ថែមនិងគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ ដដែលៗ

ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ

ការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ

ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាពីរ ប៉ុន្តែនិង អេហៅថាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ពី, មាននៅក្នុងការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែឬ អេ. ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាជាច្រើនគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការកើតឡើងយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។

ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនជាប់គ្នា។ ប៉ុន្តែនិង អេហៅថាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ពីដែលមាននៅក្នុងហេតុការណ៍ ឬព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែឬព្រឹត្តិការណ៍ អេ. ដូចគ្នានេះដែរ ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាច្រើនគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។

ទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាគឺត្រឹមត្រូវ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ , i.e. . ទ្រឹស្តីបទនេះអាចត្រូវបានពង្រីកដល់ចំនួនកំណត់នៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា។

ពីទ្រឹស្តីបទនេះដូចខាងក្រោមៈ

ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បង្កើតក្រុមពេញលេញគឺស្មើនឹងមួយ;

ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគឺស្មើនឹងមួយ, i.e.
.

ឧទាហរណ៍ ១ . មួយប្រអប់មាន 2 គ្រាប់ ពណ៌ស 3 ក្រហម និង 5 គ្រាប់ពណ៌ខៀវ។ បាល់ត្រូវបានសាប់ ហើយមួយត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យ។ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់មានពណ៌អ្វី?

ដំណោះស្រាយ . ចូរយើងសម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍៖

ក=(បាល់ពណ៌ត្រូវបានដកចេញ);

ខ=(គូរបាល់ពណ៌ស);

គ=(បាល់ក្រហមគូរ);

ឃ=(បាល់ពណ៌ខៀវត្រូវបានដកចេញ)។

បន្ទាប់មក ក= គ+ ឃ. ចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍ គ, ឃមិនឆបគ្នា បន្ទាប់មកយើងប្រើទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា៖ .

ឧទាហរណ៍ ២ . កោដ្ឋ​មួយ​មាន​គ្រាប់​ពណ៌​ស​៤​គ្រាប់ និង​គ្រាប់​ខ្មៅ​៦ ។ បាល់ចំនួន 3 ត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យពីកោដ្ឋ។ តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ដែល​ពួកវា​មាន​ពណ៌​ដូចគ្នា?

ដំណោះស្រាយ . ចូរយើងសម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍៖

ក\u003d (បាល់ដែលមានពណ៌ដូចគ្នាត្រូវបានយកចេញ);

ខ\u003d (បាល់ពណ៌សត្រូវបានយកចេញ);

គ= (បាល់ខ្មៅត្រូវបានយកចេញ) ។

ដោយសារតែ ក= ខ+ គនិងព្រឹត្តិការណ៍ អេនិង ពីគឺមិនឆបគ្នា បន្ទាប់មកតាមទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា។
. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ អេគឺស្មើនឹង
កន្លែងណា
4,

. ជំនួស kនិង នចូលទៅក្នុងរូបមន្តនិងទទួលបាន
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ពី:
កន្លែងណា
,
, i.e.
. បន្ទាប់មក
.

ឧទាហរណ៍ ៣ . ពីសន្លឹកបៀចំនួន 36 សន្លឹក 4 សន្លឹកត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលនឹងមានសន្លឹកអាត់យ៉ាងហោចណាស់បីក្នុងចំណោមពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ . ចូរយើងសម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍៖

ក\u003d (ក្នុងចំណោមសន្លឹកបៀដែលបានគូរមានសន្លឹកអាត់យ៉ាងហោចណាស់បី);

ខ\u003d (ក្នុងចំណោមសន្លឹកបៀដែលបានគូរមានសន្លឹកអាត់បី);

គ= (ក្នុងចំណោមសន្លឹកបៀដែលបានគូរមានសន្លឹកអាត់បួន) ។

ដោយសារតែ ក= ខ+ គ, និងព្រឹត្តិការណ៍ អេនិង ពីមិនស្របគ្នា, បន្ទាប់មក
. ចូរយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ អេនិង ពី:

,
. ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចំណោមសន្លឹកបៀដែលបានគូរមានសន្លឹកអាត់យ៉ាងតិចបីគឺស្មើនឹង

0.0022.

គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ

ការងារ ព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ប៉ុន្តែនិង អេហៅថាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ពីរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការកើតឡើងរួមគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ:
. និយមន័យនេះពង្រីកដល់ចំនួនកំណត់នៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ។

ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃមួយក្នុងចំណោមពួកវាមិនអាស្រ័យលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតបានកើតឡើងឬអត់។ ការអភិវឌ្ឍន៍ ,, … ,បានហៅ ឯករាជ្យរួម ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃពួកវានីមួយៗមិនអាស្រ័យលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតបានកើតឡើងឬមិនបានកើតឡើង។

ឧទាហរណ៍ 4 . ព្រួញពីរបាញ់ចំគោលដៅ។ ចូរយើងសម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍៖

ក=(អ្នកបាញ់ដំបូងបានបាញ់ចំគោលដៅ);

ខ= (អ្នកបាញ់ទីពីរបានបាញ់ចំគោលដៅ)។

ជាក់ស្តែង ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយអ្នកបាញ់ទី 1 មិនអាស្រ័យលើថាតើអ្នកបាញ់ទី 2 បុកឬខកខានទេ ហើយផ្ទុយទៅវិញ។ ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិង អេឯករាជ្យ។

ទ្រឹស្តីបទនៃការគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យមានសុពលភាព៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ : .

ទ្រឹស្តីបទនេះក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ នព្រឹត្តិការណ៍​ដែល​ឯករាជ្យ​ក្នុង​ការ​សរុប៖ .

ឧទាហរណ៍ ៥ . ខ្មាន់កាំភ្លើងពីរនាក់បាញ់ចំគោលដៅដូចគ្នា។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយអ្នកបាញ់ទីមួយគឺ 0.9 និងទីពីរគឺ 0.7 ។ ខ្មាន់កាំភ្លើងទាំងពីរនាក់បាញ់មួយគ្រាប់ក្នុងពេលតែមួយ។ កំណត់​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ដែល​នឹង​មាន​ការ​វាយ​ពីរ​លើ​គោលដៅ។

ដំណោះស្រាយ . ចូរយើងសម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍៖

ក

ខ

គ=(ព្រួញទាំងពីរនឹងបាញ់ដល់គោលដៅ)។

ដោយសារតែ
, និងព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិង អេឯករាជ្យ
, ឧ..

ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែនិង អេបានហៅ ពឹងផ្អែក ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេអាស្រ័យលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតបានកើតឡើងឬអត់។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែបានផ្តល់ថាព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ អេវានៅទីនេះរួចហើយ វាត្រូវបានគេហៅថា ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ និងតំណាង
ឬ
.

ឧទាហរណ៍ ៦ . កោដ្ឋ​មួយ​មាន​គ្រាប់​ពណ៌​ស​៤ និង​គ្រាប់​ខ្មៅ​៧ ។ បាល់ត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ។ ចូរយើងសម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍៖

ក=(បាល់ពណ៌សត្រូវបានដកចេញ);

ខ=(បាល់ខ្មៅត្រូវបានដកចេញ)។

មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមគូរបាល់ពីកោដ្ឋ
. បាល់មួយត្រូវបានទាញចេញពីកោដ្ឋ ហើយវាប្រែជាខ្មៅ។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីព្រឹត្តិការណ៍ អេនឹងខុសគ្នា, ស្មើគ្នា . នេះមានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ អេ, i.e. ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះនឹងពឹងផ្អែក។

ទ្រឹស្តីបទនៃការគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យមានសុពលភាព៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃមួយនៃពួកគេដោយប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃផ្សេងទៀតដែលបានគណនាលើការសន្មត់ថាព្រឹត្តិការណ៍ដំបូងបានកើតឡើងរួចហើយ។, i.e. ឬ។

ឧទាហរណ៍ ៧ . កោដ្ឋ​មួយ​មាន​បាល់​ពណ៌​ស​៤​គ្រាប់ និង​បាល់​ក្រហម​៨​គ្រាប់ ។ បាល់ពីរត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យពីវា។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ទាំងពីរមានពណ៌ខ្មៅ។

ដំណោះស្រាយ . ចូរយើងសម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍៖

ក=(បាល់ខ្មៅគូរដំបូង);

ខ=(បាល់ខ្មៅមួយត្រូវបានគូរទីពីរ)។

ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែនិង អេអាស្រ័យ​ដោយ​សារ​តែ​
, ក
. បន្ទាប់មក
.

ឧទាហរណ៍ ៨ . ព្រួញបីបាញ់ចំគោលដៅដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយលុកគោលដៅសម្រាប់អ្នកបាញ់ទីមួយគឺ 0.5 សម្រាប់លើកទីពីរ - 0.6 និងទីបី - 0.8 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលការវាយពីរនឹងកើតឡើង ប្រសិនបើអ្នកបាញ់នីមួយៗបាញ់មួយគ្រាប់។

ដំណោះស្រាយ . ចូរយើងសម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍៖

ក=(នឹងមានការវាយពីរលើគោលដៅ);

ខ=(អ្នកបាញ់ដំបូងប៉ះចំគោលដៅ);

គ=(អ្នកបាញ់ទីពីរនឹងបាញ់ចំគោលដៅ);

ឃ=(អ្នកបាញ់ទីបីនឹងបាញ់ចំគោលដៅ);

=(អ្នកបាញ់ដំបូងនឹងមិនចំគោលដៅទេ);

=(អ្នកបាញ់ទីពីរនឹងមិនបាញ់ចំគោលដៅទេ);

=(អ្នកបាញ់ទីបីនឹងមិនបាញ់ចំគោលដៅទេ)។

នេះបើយោងតាមឧទាហរណ៍
,
,
,

,
,
. ដោយសារការប្រើទ្រឹស្តីបទបន្ថែមសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនត្រូវគ្នា និងទ្រឹស្តីបទសម្រាប់គុណប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ យើងទទួលបាន៖

អនុញ្ញាតឱ្យព្រឹត្តិការណ៍
បង្កើតក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍នៃការសាកល្បងមួយចំនួន និងព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែអាចកើតឡើងជាមួយព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ និងប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានដឹង ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឬ
. រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប , និងព្រឹត្តិការណ៍
សម្មតិកម្ម .

ឧទាហរណ៍ ៩ . បន្ទាត់ដំឡើងទទួលបាន 700 ផ្នែកពីម៉ាស៊ីនដំបូងនិង 300 ផ្នែក ពីទីពីរ។ ម៉ាស៊ីនទីមួយផ្តល់ឱ្យ 0.5% បដិសេធហើយទីពីរ - 0.7% ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលធាតុដែលបានយកគឺមានបញ្ហា។

ដំណោះស្រាយ . ចូរយើងសម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍៖

ក=(វត្ថុដែលបានយកនឹងខូច);

= (ផ្នែកត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើម៉ាស៊ីនដំបូង);

= (ផ្នែកត្រូវបានធ្វើឡើងនៅលើម៉ាស៊ីនទីពីរ) ។

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកត្រូវបានធ្វើឡើងនៅលើម៉ាស៊ីនដំបូងគឺ
. សម្រាប់ម៉ាស៊ីនទីពីរ
. តាមលក្ខខណ្ឌ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានផ្នែកខូចដែលផលិតនៅលើម៉ាស៊ីនទីមួយគឺស្មើនឹង
. សម្រាប់ម៉ាស៊ីនទីពីរប្រូបាប៊ីលីតេនេះគឺស្មើនឹង
. បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកដែលបានយកនឹងមានបញ្ហាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានគេដឹងថាបានកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍នេះបានកើតឡើងជាមួយនឹងសម្មតិកម្ម
, គឺស្មើនឹង
កន្លែងណា
- ប្រូបាប៊ីលីតេសរុបនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ. រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត Bayes និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍
បន្ទាប់ពីគេដឹងថា ព្រឹត្តិការណ៍នោះ ប៉ុន្តែបានមកដល់ហើយ។

ឧទាហរណ៍ 10 . ផ្នែកនៃប្រភេទដូចគ្នាសម្រាប់រថយន្តត្រូវបានផលិតនៅរោងចក្រពីរហើយទៅហាង។ រោងចក្រទីមួយផលិតបាន 80% នៃចំនួនសរុបនៃផ្នែកហើយទីពីរ - 20% ។ ការផលិតរោងចក្រទីមួយមាន 90% នៃផ្នែកស្តង់ដារហើយទីពីរ - 95% ។ អ្នកទិញបានទិញផ្នែកមួយហើយវាប្រែទៅជាស្តង់ដារ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកនេះត្រូវបានផលិតនៅក្នុងរោងចក្រទីពីរ។

ដំណោះស្រាយ . ចូរយើងសម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍៖

ក=(បានទិញផ្នែកស្តង់ដារ);

= (ផ្នែកត្រូវបានផលិតនៅរោងចក្រដំបូង);

= (ផ្នែកផលិតនៅរោងចក្រទីពីរ)។

នេះបើយោងតាមឧទាហរណ៍
,
,
និង
. គណនាប្រូបាប៊ីលីតេសរុបនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែ: 0.91 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកត្រូវបានផលិតនៅរោងចក្រទីពីរត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Bayes៖

.

ភារកិច្ចសម្រាប់ការងារឯករាជ្យ

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយលុកគោលដៅសម្រាប់អ្នកបាញ់ទីមួយគឺ 0.8 សម្រាប់លើកទីពីរ - 0.7 និងទីបី - 0.9 ។ ខ្មាន់កាំភ្លើងបានបាញ់មួយគ្រាប់។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់មានការវាយប្រហារពីរលើគោលដៅ។

ហាងជួសជុលទទួលបានត្រាក់ទ័រ ១៥ គ្រឿង។ វាត្រូវបានគេដឹងថា 6 ក្នុងចំណោមពួកគេត្រូវការជំនួសម៉ាស៊ីនហើយនៅសល់ - ដើម្បីជំនួសសមាសធាតុនីមួយៗ។ ត្រាក់ទ័របីគ្រឿងត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រាក់ទ័រដែលបានជ្រើសរើសលើសពីពីរត្រូវការការជំនួសម៉ាស៊ីន។

រោងចក្របេតុងផលិតបន្ទះដែល 80% មានគុណភាពខ្ពស់បំផុត។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចំណោមបន្ទះដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យចំនួនបី យ៉ាងហោចណាស់ពីរនឹងមានចំណាត់ថ្នាក់ខ្ពស់បំផុត។

កម្មករ​បី​នាក់​បាន​ផ្គុំ​សត្វ​ខ្លាឃ្មុំ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្ទុកដោយកម្មករទីមួយគឺមានគុណភាពខ្ពស់បំផុតគឺ 0.7 ទីពីរ - 0.8 និងទីបី - 0.6 ។ សម្រាប់ការគ្រប់គ្រង សត្វខ្លាឃ្មុំមួយត្រូវបានគេយកដោយចៃដន្យពីអ្នកដែលប្រមូលផ្តុំដោយកម្មករម្នាក់ៗ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់ពីរក្នុងចំណោមពួកវាមានគុណភាពខ្ពស់បំផុត។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះលើសំបុត្រឆ្នោតនៃលេខទីមួយគឺ 0.2 ទីពីរ - 0.3 និងទីបី - 0.25 ។ មានសំបុត្រមួយសម្រាប់បញ្ហានីមួយៗ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់សំបុត្រពីរនឹងឈ្នះ។

គណនេយ្យករធ្វើការគណនាដោយប្រើសៀវភៅយោងចំនួនបី។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលទិន្នន័យចាប់អារម្មណ៍ចំពោះគាត់គឺនៅក្នុងថតទីមួយគឺ 0.6 នៅក្នុងទីពីរ - 0.7 និងទីបី - 0.8 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលទិន្នន័យចំណាប់អារម្មណ៍របស់គណនេយ្យករមាននៅក្នុងបញ្ជីមិនលើសពីពីរ។

ម៉ាស៊ីនបីបង្កើតផ្នែក។ automaton ទីមួយផលិតផ្នែកមួយនៃគុណភាពខ្ពស់បំផុតជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.9 ទីពីរមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.7 និងទីបីជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.6 ។ ធាតុមួយត្រូវបានយកដោយចៃដន្យពីម៉ាស៊ីននីមួយៗ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់ពីរក្នុងចំណោមពួកវាមានគុណភាពខ្ពស់បំផុត។

ប្រភេទដូចគ្នានៃផ្នែកត្រូវបានដំណើរការនៅលើម៉ាស៊ីនពីរ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផលិតផ្នែកមិនស្តង់ដារសម្រាប់ម៉ាស៊ីនទីមួយគឺ 0.03 សម្រាប់ទីពីរ - 0.02 ។ ផ្នែកដែលបានកែច្នៃត្រូវបានដាក់ជង់នៅកន្លែងមួយ។ ក្នុងចំណោមនោះ 67% មកពីម៉ាស៊ីនទីមួយ ហើយនៅសល់ពីម៉ាស៊ីនទីពីរ។ ផ្នែកដែលបានយកដោយចៃដន្យប្រែទៅជាស្តង់ដារ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលវាត្រូវបានផលិតនៅលើម៉ាស៊ីនដំបូង។

សិក្ខាសាលាបានទទួលប្រអប់ពីរនៃប្រភេទដូចគ្នានៃ capacitors ។ ប្រអប់ទីមួយមាន 20 capacitor ដែលក្នុងនោះមាន 2 ខូច។ នៅក្នុងប្រអប់ទីពីរមាន 10 capacitor ដែលក្នុងនោះ 3 មានកំហុស។ capacitors ត្រូវបានផ្ទេរទៅប្រអប់មួយ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល capacitor យកដោយចៃដន្យពីប្រអប់គឺល្អ។

នៅលើម៉ាស៊ីនចំនួន 3 ប្រភេទដូចគ្នានៃផ្នែកត្រូវបានផលិតដែលត្រូវបានចុកទៅឧបករណ៍បញ្ជូនធម្មតា។ ក្នុងចំណោមព័ត៌មានលម្អិតទាំងអស់ 20% ពីម៉ាស៊ីនទីមួយ 30% ពីម៉ាស៊ីនទីពីរ និង 505 ពីម៉ាស៊ីនទីបី។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផលិតផ្នែកស្តង់ដារនៅលើម៉ាស៊ីនទីមួយគឺ 0.8 នៅលើទីពីរ - 0.6 និងនៅលើទីបី - 0.7 ។ ផ្នែកដែលបានយកគឺស្តង់ដារ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកនេះត្រូវបានផលិតនៅលើម៉ាស៊ីនទីបី។

អ្នកជ្រើសរើសទទួលបាន 40% នៃផ្នែកពីរោងចក្រសម្រាប់ដំឡើង ប៉ុន្តែហើយនៅសល់ - ពីរោងចក្រ អេ. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកពីរោងចក្រ ប៉ុន្តែ-គុណភាពខ្ពស់ ស្មើ 0.8 និងចេញពីរោងចក្រ អេ- 0.9 ។ អ្នកជ្រើសរើសបានយកផ្នែកមួយដោយចៃដន្យ ហើយវាមិនមានគុណភាពខ្ពស់បំផុតនោះទេ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកនេះមកពីរោងចក្រ អេ.

សិស្សចំនួន 10 នាក់មកពីក្រុមទី 1 និង 8 នាក់មកពីក្រុមទីពីរត្រូវបានជ្រើសរើសឱ្យចូលរួមក្នុងការប្រកួតកីឡាសិស្ស។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលសិស្សមកពីក្រុមទី 1 នឹងចូលទៅក្នុងក្រុមជាតិនៃសាលាគឺ 0.8 និងពីក្រុមទីពីរ - 0.7 ។ សិស្សដែលជ្រើសរើសដោយចៃដន្យត្រូវបានជ្រើសរើសសម្រាប់ក្រុមជម្រើសជាតិ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលគាត់មកពីក្រុមទីមួយ។

រូបមន្ត Bernoulli

ការធ្វើតេស្តត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យ ប្រសិនបើសម្រាប់ពួកគេម្នាក់ៗព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែកើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា។
ដោយមិនគិតពីថាតើព្រឹត្តិការណ៍នេះបានបង្ហាញខ្លួន ឬមិនបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងការសាកល្បងផ្សេងទៀត។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ ក្នុងករណីនេះស្មើ
.

ឧទាហរណ៍ 11 . ការបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ នម្តង។ សម្គាល់ព្រឹត្តិការណ៍ ក= (ទម្លាក់បីពិន្ទុ)។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺស្មើនឹង និងមិនអាស្រ័យលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍នេះបានកើតឡើង ឬមិនបានកើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះការធ្វើតេស្តទាំងនេះគឺឯករាជ្យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ
(មិនរមៀលបីពិន្ទុ) គឺស្មើនឹង
.

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុង នការសាកល្បងឯករាជ្យ ដែលក្នុងនោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង ប៉ុន្តែគឺស្មើនឹង ទំព្រឹត្តិការណ៍នឹងកើតឡើងយ៉ាងពិតប្រាកដ kដង (មិនថានៅក្នុងលំដាប់អ្វី) ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត
កន្លែងណា
. រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត Bernoulli ហើយវាងាយស្រួលប្រសិនបើចំនួននៃការសាកល្បង n មិនធំពេក។

ឧទាហរណ៍ 12 . សមាមាត្រនៃទារកដែលឆ្លងជំងឺនេះក្នុងទម្រង់មិនទាន់ឃើញច្បាស់គឺ 25%។ ផ្លែឈើចំនួន 6 ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោមអ្នកដែលបានជ្រើសរើសនឹងមាន: ក) ទារកឆ្លងមេរោគចំនួន 3 យ៉ាងពិតប្រាកដ; ខ) ផ្លែឈើដែលមានមេរោគមិនលើសពីពីរ។

ដំណោះស្រាយ . នេះបើយោងតាមឧទាហរណ៍។

ក) យោងតាមរូបមន្ត Bernoulli ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្លែឈើចំនួនបីក្នុងចំណោមផ្លែឈើដែលបានជ្រើសរើសទាំងប្រាំមួយនឹងត្រូវបានឆ្លងគឺស្មើនឹង

0.132.

ខ) បញ្ជាក់ព្រឹត្តិការណ៍ ក=(មេរោគនឹងមិនលើសពីពីរគភ៌)។ បន្ទាប់មក។ យោងតាមរូបមន្ត Bernoulli៖

0.297.

អាស្រ័យហេតុនេះ
0.178+0.356+0.297=0.831.

ទ្រឹស្តីបទ Laplace និង Poisson

រូបមន្ត Bernoulli ត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែនិង​មក kម្តង នការសាកល្បងឯករាជ្យ និងនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែថេរ។ សម្រាប់តម្លៃដ៏ធំនៃ n ការគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli ក្លាយជាការប្រើប្រាស់ពេលវេលា។ ក្នុងករណីនេះ ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើរូបមន្តផ្សេង។

ទ្រឹស្តីបទ Laplace ក្នុងស្រុក . អនុញ្ញាតឱ្យមានប្រូបាប៊ីលីតេ ទំព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការធ្វើតេស្តនីមួយៗគឺថេរ និងខុសពីសូន្យ និងមួយ។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែមកយ៉ាងពិតប្រាកដ kដងសម្រាប់ចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់ n នៃការសាកល្បងត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

កន្លែងណា
, និងតម្លៃនៃមុខងារ
ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង។

លក្ខណៈសំខាន់នៃមុខងារ
គឺ៖

មុខងារ
ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តក្នុងចន្លោះពេល
.

មុខងារ
គឺវិជ្ជមាន, i.e.
>0.

មុខងារ
សូម្បីតែ, i.e.
.

ចាប់តាំងពីមុខងារ
is even បន្ទាប់មកតារាងបង្ហាញតម្លៃរបស់វាសម្រាប់តែតម្លៃវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ X.

ឧទាហរណ៍ 13 . ដំណុះគ្រាប់ពូជស្រូវសាលីគឺ 80% ។ គ្រាប់ពូជ 100 ត្រូវបានជ្រើសរើសសម្រាប់ការពិសោធន៍។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលពិតប្រាកដ 90 នៃគ្រាប់ពូជដែលបានជ្រើសរើសនឹងពន្លក។

ដំណោះស្រាយ . នេះបើយោងតាមឧទាហរណ៍ ន=100, k=90, ទំ=0.8, q=1-0.8=0.2 ។ បន្ទាប់មក
. យោងតាមតារាងយើងរកឃើញតម្លៃនៃមុខងារ
:
. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលពិតប្រាកដ 90 នៃគ្រាប់ពូជដែលបានជ្រើសរើសនឹងពន្លកគឺ
0.0044.

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង ប៉ុន្តែនៅ នយ៉ាងហោចណាស់ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ ម្តង និងមិនមានទៀតទេ ម្តង។ បញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយជំនួយ ទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាល Laplace ៖ អនុញ្ញាតឱ្យប្រូបាប៊ីលីតេ ទំព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនៅក្នុងគ្នានៃ នការធ្វើតេស្តឯករាជ្យគឺថេរ និងខុសពីសូន្យ និងឯកភាព។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍នឹងកើតឡើងគឺយ៉ាងហោចណាស់ ម្តង និងមិនមានទៀតទេ ដងសម្រាប់ចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់នៃការធ្វើតេស្តត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

កន្លែងណា
,
.

មុខងារ
បានហៅ មុខងារ Laplace និងមិនត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារបឋម។ តម្លៃនៃមុខងារនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាងពិសេស។

លក្ខណៈសំខាន់នៃមុខងារ
គឺ៖

.

មុខងារ
ការកើនឡើងនៅក្នុងចន្លោះពេល
.

នៅ
.

មុខងារ
សេស, i.e.
.

ឧទាហរណ៍ 14 . ក្រុមហ៊ុនផលិតផលិតផលដែលក្នុងនោះ 13% មិនមានគុណភាពខ្ពស់បំផុត។ កំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុងបណ្តុំដែលមិនបានសាកល្បងនៃ 150 គ្រឿងនៃផលិតផលដែលមានគុណភាពខ្ពស់បំផុតនឹងមានយ៉ាងហោចណាស់ 125 និងយ៉ាងហោចណាស់ 135 ។

ដំណោះស្រាយ . ចូរយើងសម្គាល់។ គណនា
,

ការពិសោធន៍កំពុងត្រូវបានពិចារណា អ៊ី. វាត្រូវបានសន្មត់ថាវាអាចត្រូវបានអនុវត្តម្តងហើយម្តងទៀត។ ជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ ព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងៗអាចលេចឡើងដែលបង្កើតជាសំណុំជាក់លាក់មួយ។ ច. ព្រឹត្តិការណ៍​ដែល​បាន​សង្កេត​ឃើញ​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា​បី​ប្រភេទ​គឺ​អាច​ជឿ​ទុក​ចិត្ត​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ចៃដន្យ។

គួរឱ្យទុកចិត្ត ព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានគេហៅថាព្រឹត្តិការណ៍ដែលពិតជានឹងកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍មួយ។ អ៊ី. តំណាង Ω ។

មិនអាចទៅរួច ព្រឹត្តិការណ៍មួយត្រូវបានគេហៅថាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនដឹងថាកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍មួយ។ អ៊ី. កំណត់។

ចៃដន្យ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចឬមិនកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ត្រូវបានគេហៅថា អ៊ី.

បន្ថែម (ទល់មុខ) ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ព្រឹត្តិការណ៍​មួយ​ដែល​តំណាង​ដោយ​ដែល​កើត​ឡើង​ប្រសិន​បើ​ព្រឹត្តិការណ៍​មិន​បាន​កើត​ឡើង​តែ​ប៉ុណ្ណោះ​ ប៉ុន្តែ.

ផលបូក (បន្សំ) ព្រឹត្តិការណ៍គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់ព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះកើតឡើង (រូបភាព 3.1) ។ ការរចនា។

រូបភាព 3.1

ផលិតផល (ប្រសព្វ) ព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថាព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះកើតឡើងជាមួយគ្នា (ក្នុងពេលដំណាលគ្នា) (រូបភាព 3.2) ។ ការរចនា។ ជាក់ស្តែង ព្រឹត្តិការណ៍ A និង B មិនឆបគ្នា។ , ប្រសិនបើ .

រូបភាព 3.2

ក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ សំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយ៖

ព្រឹត្តិការណ៍ អេបានហៅ ករណីពិសេសនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើជាមួយនឹងរូបរាងនៃព្រឹត្តិការណ៍ អេព្រឹត្តិការណ៍លេចឡើង ប៉ុន្តែ. ក៏​មាន​ការ​លើក​ឡើង​ថា​ព្រឹត្តិការណ៍​នេះ​ អេបង្កឱ្យមានព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែ(រូបភាព 3.3) ។ ការកំណត់ ។

រូបភាព 3.3

ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែនិង អេបានហៅ សមមូល ប្រសិនបើពួកវាកើតឡើង ឬមិនកើតឡើងជាមួយគ្នាក្នុងអំឡុងពេលពិសោធន៍ អ៊ី. ការកំណត់ ។ ជាក់ស្តែងប្រសិនបើ

ព្រឹត្តិការណ៍ស្មុគស្មាញ ហៅថាព្រឹត្តិការណ៍សង្កេតដែលបង្ហាញតាមរយៈព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតដែលបានសង្កេតនៅក្នុងការពិសោធន៍ដូចគ្នាដោយប្រើប្រតិបត្តិការពិជគណិត។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការអនុវត្តព្រឹត្តិការណ៍ស្មុគ្រស្មាញជាក់លាក់មួយត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការបូក និងគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។

ទ្រឹស្តីបទបន្ថែម

ផលវិបាក៖

1) ក្នុងករណីព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិង អេមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ទ្រឹស្តីបទបន្ថែមមានទម្រង់៖

2) ក្នុងករណីបីពាក្យ ទ្រឹស្តីបទបន្ថែមអាចត្រូវបានសរសេរជា

3) ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគ្នាគឺស្មើនឹង 1:

សំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍ ,, ... , ត្រូវបានគេហៅថា ក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ , ប្រសិនបើ

ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បង្កើតក្រុមពេញលេញគឺស្មើនឹង 1៖

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង ប៉ុន្តែបានផ្តល់ថាព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ អេបានកើតឡើង, បានហៅ ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ និងសម្គាល់ឬ។

ប៉ុន្តែនិង អេ – ព្រឹត្តិការណ៍អាស្រ័យ , ប្រសិនបើ .

ប៉ុន្តែនិង អេ – ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ , ប្រសិនបើ .

ទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេ

ផលវិបាក៖

1) សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ ប៉ុន្តែនិង អេ

2) ក្នុងករណីទូទៅ សម្រាប់លទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ចំនួនបី ទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេមានទម្រង់៖

គំរូដោះស្រាយបញ្ហា

ឧទាហរណ៍1 - ធាតុបីត្រូវបានតភ្ជាប់ជាស៊េរីនៅក្នុងសៀគ្វីអគ្គិសនីធ្វើការដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យនៃធាតុទីមួយ ទីពីរ និងទីបីគឺរៀងគ្នាស្មើនឹង ,, ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនមានចរន្តនៅក្នុងសៀគ្វី។

ដំណោះស្រាយ

វិធីទីមួយ។

ចូរកំណត់ព្រឹត្តិការណ៍៖ - នៅក្នុងសៀគ្វីមានការបរាជ័យនៃធាតុទីមួយ ទីពីរ និងទីបី រៀងគ្នា។

ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ- នឹងមិនមានចរន្តនៅក្នុងសៀគ្វីទេ (យ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយនឹងបរាជ័យព្រោះវាត្រូវបានភ្ជាប់ជាស៊េរី) ។

ព្រឹត្តិការណ៍ - ចរន្តនៅក្នុងសៀគ្វី (ធាតុបីដំណើរការ), . ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយត្រូវបានទាក់ទងដោយរូបមន្ត (3.4) ។ ព្រឹត្តិការណ៍​មួយ​គឺ​ជា​លទ្ធផល​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍​បី​ដែល​ឯករាជ្យ​ជា​គូ។ តាមរយៈទ្រឹស្តីបទគុណសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ យើងទទួលបាន

បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលចង់បានគឺ .

វិធីទីពីរ។

ដោយគិតពីសញ្ញាណដែលបានអនុម័តមុននេះ យើងសរសេរព្រឹត្តិការណ៍ដែលចង់បាន ប៉ុន្តែ- យ៉ាងហោចណាស់ធាតុមួយនឹងបរាជ័យ៖

ដោយសារលក្ខខណ្ឌដែលរួមបញ្ចូលក្នុងផលបូកគឺត្រូវគ្នា យើងគួរតែអនុវត្តទ្រឹស្តីបទបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេក្នុងទម្រង់ទូទៅសម្រាប់ករណីនៃពាក្យបី (3.3)៖

ចម្លើយ៖ 0,388.

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ

1 មានសៀវភៅសិក្សាចំនួនប្រាំមួយស្តីពីទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៅក្នុងបន្ទប់អាន ដែលក្នុងនោះមានបីត្រូវបានចង។ បណ្ណារក្សបានយកសៀវភៅសិក្សាពីរក្បាលដោយចៃដន្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលសៀវភៅសិក្សាទាំងពីរនឹងត្រូវបានចង។

2 ខ្សែស្រឡាយត្រូវបានលាយបញ្ចូលគ្នានៅក្នុងថង់មួយដែលក្នុងនោះ 30% មានពណ៌សហើយនៅសល់គឺពណ៌ក្រហម។ កំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលខ្សែស្រលាយពីរដែលគូរដោយចៃដន្យនឹងមាន: មានពណ៌ដូចគ្នា; ពណ៌ផ្សេងគ្នា។

3 ឧបករណ៍នេះមានធាតុបីដែលដំណើរការដោយឯករាជ្យ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃប្រតិបត្តិការដែលមិនមានការបរាជ័យសម្រាប់រយៈពេលជាក់លាក់នៃធាតុទីមួយ ទីពីរ និងទីបីរៀងគ្នាគឺ 0.6; 0.7; ០.៨. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងអំឡុងពេលនេះ ខាងក្រោមនេះនឹងដំណើរការដោយមិនបរាជ័យ: ធាតុតែមួយ; មានតែធាតុពីរប៉ុណ្ណោះ; ធាតុទាំងបី; យ៉ាងហោចណាស់ធាតុពីរ។

4 គ្រាប់ឡុកឡាក់បីត្រូវបានបោះចោល។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖

ក) ប្រាំចំណុចនឹងលេចឡើងនៅផ្នែកម្ខាងៗនៃអ្នកដែលបានបោះបង់ចោល។

ខ) ចំនួនដូចគ្នានៃចំណុចនឹងលេចឡើងនៅលើមុខដែលបានធ្លាក់ចុះទាំងអស់;

គ) ចំណុចមួយនឹងលេចឡើងនៅលើមុខដែលបានទម្លាក់ទាំងពីរ ហើយចំនួនចំណុចផ្សេងទៀតនឹងលេចឡើងនៅលើមុខទីបី។

ឃ) ចំនួនពិន្ទុផ្សេងគ្នានឹងលេចឡើងនៅលើមុខដែលបានទម្លាក់ទាំងអស់។

5 ប្រូបាប៊ីលីតេនៃអ្នកបាញ់ប្រហារទៅលើគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺ 0.8 ។ តើអ្នកបាញ់ត្រូវបាញ់ប៉ុន្មានគ្រាប់ ដូច្នេះ ដោយមានប្រូបាប៊ីលីតេតិចជាង 0.4 វាអាចត្រូវបានគេរំពឹងថានឹងមិនមានការខកខាន?

6 ពីលេខ 1, 2, 3, 4, 5 លេខមួយត្រូវបានជ្រើសរើសហើយបន្ទាប់មកពីលេខបួនដែលនៅសល់ - ខ្ទង់ទីពីរ។ លទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំង 20 ត្រូវបានគេសន្មត់ថាទំនងជាដូចគ្នា។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលលេខសេសនឹងត្រូវបានជ្រើសរើស៖ ជាលើកដំបូង; ជាលើកទីពីរ; ទាំងពីរដង។

7 ប្រូបាប៊ីលីតេដែលស្បែកជើងទំហំ 46 មួយគូនឹងត្រូវបានលក់ម្តងទៀតនៅក្នុងផ្នែកស្បែកជើងបុរសនៃហាងគឺ 0.01 ។ តើស្បែកជើងប៉ុន្មានគូត្រូវលក់នៅក្នុងហាង ដូច្នេះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេយ៉ាងហោចណាស់ 0.9 វាអាចត្រូវបានគេរំពឹងថាយ៉ាងហោចណាស់ស្បែកជើងទំហំ 46 មួយគូនឹងត្រូវបានលក់?

8 មាន 10 ផ្នែកក្នុងប្រអប់មួយ រួមទាំងផ្នែកមិនស្តង់ដារពីរ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុងផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យចំនួនប្រាំមួយ នឹងមានច្រើនបំផុតមួយដែលមិនស្តង់ដារ។

9 នាយកដ្ឋានត្រួតពិនិត្យបច្ចេកទេសត្រួតពិនិត្យផលិតផលសម្រាប់ស្តង់ដារ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផលិតផលមិនស្តង់ដារគឺ 0.1 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល៖

ក) នៃផលិតផលដែលបានសាកល្បងទាំងបី មានតែពីរប៉ុណ្ណោះដែលមិនមានស្តង់ដារ។

ខ) មានតែផលិតផលដែលបានពិនិត្យលំដាប់ទីបួនប៉ុណ្ណោះដែលមិនមានស្តង់ដារ។

10 អក្សរចំនួន ៣២ នៃអក្ខរក្រមរុស្ស៊ីត្រូវបានសរសេរនៅលើសន្លឹកបៀនៃអក្ខរក្រមបំបែក៖

ក) សន្លឹកបៀចំនួនបីត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យមួយបន្ទាប់ពីមួយផ្សេងទៀតហើយដាក់នៅលើតុតាមលំដាប់ដែលពួកគេលេចឡើង។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលពាក្យ "ពិភពលោក" នឹងប្រែទៅជាចេញ;

ខ) សន្លឹកបៀទាំងបីសន្លឹកដែលគូរអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរតាមអំពើចិត្ត។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលពួកគេអាចបង្កើតពាក្យ "ពិភពលោក"?

11 យន្តហោះ​ចម្បាំង​វាយ​ប្រហារ​អ្នក​បំផ្ទុះ​គ្រាប់​បែក​ម្នាក់ និង​បាញ់​គ្រាប់​បែក​ពីរ​គ្រាប់​ទៅ​លើ​វា។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបាញ់ទម្លាក់អ្នកទម្លាក់គ្រាប់បែកជាមួយនឹងការផ្ទុះដំបូងគឺ 0.2 និងទីពីរគឺ 0.3 ។ ប្រសិនបើអ្នកបំផ្ទុះគ្រាប់បែកមិនត្រូវបានបាញ់ទម្លាក់ទេ វាបាញ់ទៅលើអ្នកប្រយុទ្ធពីកាំភ្លើងដ៏តឹងរ៉ឹង ហើយបាញ់ទម្លាក់ដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.25 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលយន្តហោះទម្លាក់គ្រាប់បែក ឬយន្តហោះចម្បាំងត្រូវបានបាញ់ទម្លាក់ ជាលទ្ធផលនៃការប្រយុទ្ធតាមអាកាស។

កិច្ចការ​ផ្ទះ

1 រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសរុប។ រូបមន្ត Bayes ។

2 ដោះស្រាយ​បញ្ហា

កិច្ចការមួយ។1 . កម្មកររក្សាម៉ាស៊ីនបីដែលធ្វើការដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលម៉ាស៊ីនទីមួយមិនតម្រូវឱ្យមានការយកចិត្តទុកដាក់ពីកម្មករក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោងគឺ 0.9 ទីពីរ - 0.8 ទីបី - 0.85 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោងយ៉ាងហោចណាស់ម៉ាស៊ីនមួយនឹងទាមទារការយកចិត្តទុកដាក់ពីកម្មករ។

កិច្ចការមួយ។2 . មជ្ឈមណ្ឌលកុំព្យូទ័រ ដែលត្រូវតែដំណើរការព័ត៌មានចូលជាបន្តបន្ទាប់ មានឧបករណ៍កុំព្យូទ័រពីរ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាពួកគេម្នាក់ៗមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យក្នុងពេលខ្លះស្មើនឹង 0.2 ។ វាទាមទារដើម្បីកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេ៖

ក) ការពិតដែលថាឧបករណ៍មួយនឹងបរាជ័យហើយឧបករណ៍ទីពីរនឹងស្ថិតក្នុងលំដាប់ល្អ;

ខ) ប្រតិបត្តិការមិនដំណើរការនៃឧបករណ៍នីមួយៗ។

កិច្ចការមួយ។3 . អ្នកប្រមាញ់បួននាក់បានយល់ព្រមបាញ់នៅក្នុងហ្គេមតាមលំដាប់ជាក់លាក់មួយ៖ អ្នកប្រមាញ់បន្ទាប់បាញ់លុះត្រាតែអ្នកមុនខកខាន។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលបុកសម្រាប់អ្នកប្រមាញ់ដំបូងគឺ 0.6 សម្រាប់ទីពីរ - 0.7 សម្រាប់ទីបី - 0.8 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលការបាញ់ប្រហារនឹងត្រូវបានបាញ់៖

ឃ) បួន។

កិច្ចការមួយ។4 . ផ្នែកនេះឆ្លងកាត់ប្រតិបត្តិការម៉ាស៊ីនចំនួនបួន។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរៀបអាពាហ៍ពិពាហ៍នៅប្រតិបត្តិការដំបូងគឺ 0.01 នៅលើកទីពីរ - 0.02 នៅទីបី - 0.03 នៅទីបួន - 0.04 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានផ្នែកដោយគ្មានពិការភាពបន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការចំនួនបួន ដោយសន្មតថាព្រឹត្តិការណ៍នៃការទទួលបានពិការភាពនៅក្នុងប្រតិបត្តិការបុគ្គលគឺឯករាជ្យ។

តម្រូវការសម្រាប់សកម្មភាពលើប្រូបាប៊ីលីតេកើតឡើងនៅពេលដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនត្រូវបានដឹង ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀតដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះចាំបាច់ត្រូវគណនា។

ការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរួមបញ្ចូលគ្នា ឬផលបូកឡូជីខលនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ។

ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ កនិង ខចាត់តាំង ក + ខឬ ក ∪ ខ. ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់ព្រឹត្តិការណ៍មួយកើតឡើង។ វាមានន័យថា ក + ខ- ព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលសង្កេត កឬព្រឹត្តិការណ៍ ខឬក្នុងពេលតែមួយ កនិង ខ.

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ កនិង ខមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាទៅវិញទៅមក ហើយប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះនឹងកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការសាកល្បងមួយត្រូវបានគណនាដោយប្រើការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ។

ទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ។ប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាទាំងពីរនឹងកើតឡើងគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ៖

ជាឧទាហរណ៍ ការបាញ់ប្រហារចំនួនពីរត្រូវបានបាញ់នៅពេលបរបាញ់។ ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ- វាយកូនទាពីការបាញ់លើកដំបូង ព្រឹត្តិការណ៍ អេ- បុកពីការបាញ់ទីពីរព្រឹត្តិការណ៍ ( ប៉ុន្តែ+ អេ) - វាយពីការបាញ់ទីមួយឬទីពីរឬពីការបាញ់ពីរ។ ដូច្នេះប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ប៉ុន្តែនិង អេបន្ទាប់មកគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា។ ប៉ុន្តែ+ អេ- ការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះយ៉ាងហោចណាស់មួយ ឬពីរ។

ឧទាហរណ៍ ១ប្រអប់មួយមាន 30 គ្រាប់ដែលមានទំហំដូចគ្នា: 10 ក្រហម 5 ពណ៌ខៀវ និង 15 ពណ៌ស។ គណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលបាល់ពណ៌ (មិនមែនពណ៌ស) ត្រូវបានថតដោយមិនមើល។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរសន្មតថាព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ- "បាល់ក្រហមត្រូវបានគេយក" និងព្រឹត្តិការណ៍ អេ- "បាល់ពណ៌ខៀវត្រូវបានគេយក" ។ បន្ទាប់មកព្រឹត្តិការណ៍គឺ "បាល់ពណ៌ (មិនមែនពណ៌ស) ត្រូវបានគេយក" ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែ:

និងព្រឹត្តិការណ៍ អេ:

ការអភិវឌ្ឍន៍ ប៉ុន្តែនិង អេ- មិនត្រូវគ្នានឹងគ្នា ព្រោះប្រសិនបើបាល់មួយត្រូវបានគេយក នោះបាល់ដែលមានពណ៌ផ្សេងគ្នាមិនអាចយកបានទេ។ ដូច្នេះ យើងប្រើការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ៖

ទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាមួយចំនួន។ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍បង្កើតបានជាសំណុំពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ នោះផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង 1៖

ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយក៏ស្មើនឹង 1៖

ព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយបង្កើតបានជាសំណុំព្រឹត្តិការណ៍ពេញលេញ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃសំណុំព្រឹត្តិការណ៍ពេញលេញគឺ 1 ។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរតូច។ ទំនិង q. ជាពិសេស,

ដែលរូបមន្តខាងក្រោមសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយធ្វើតាម៖

ឧទាហរណ៍ ២គោលដៅនៅក្នុងសញ្ញាចែកចេញជា 3 តំបន់។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកបាញ់ជាក់លាក់នឹងបាញ់ចំគោលដៅនៅក្នុងតំបន់ទីមួយគឺ 0.15 នៅក្នុងតំបន់ទីពីរ - 0.23 តំបន់ទីបី - 0.17 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកបាញ់ចំគោលដៅ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកបាញ់ខកខានគោលដៅ។

ដំណោះស្រាយ៖ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកបាញ់ចំគោលដៅ៖

ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកបាញ់ខកខានគោលដៅ៖

កិច្ចការពិបាកបន្ថែមទៀតដែលអ្នកត្រូវអនុវត្តទាំងការបន្ថែម និងគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ - នៅលើទំព័រ "កិច្ចការផ្សេងៗសម្រាប់ការបន្ថែម និងគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ" ។

ការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាទៅវិញទៅមក

ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យពីរត្រូវបានគេនិយាយថាជាការរួមគ្នាប្រសិនបើការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយមិនរារាំងការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ទីពីរនៅក្នុងការសង្កេតដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍នៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការកើតឡើងនៃលេខ 4 និងព្រឹត្តិការណ៍ អេ- ទម្លាក់លេខគូ។ ដោយសារលេខ 4 គឺជាលេខគូ ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរគឺត្រូវគ្នា។ នៅក្នុងការអនុវត្តមានភារកិច្ចសម្រាប់ការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាទៅវិញទៅមក។

ទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នា។ប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាមួយនឹងកើតឡើងគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ ដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងទូទៅនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរត្រូវបានដកចេញ នោះគឺជាផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ រូបមន្តសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាមានដូចខាងក្រោម៖

ដោយសារតែព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិង អេឆបគ្នា, ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ+ អេកើតឡើងប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងចំណោមបីដែលអាចកើតមាន៖ ឬ AB. យោងតាមទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាយើងគណនាដូចខាងក្រោម:

ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែកើតឡើងប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាពីរកើតឡើង៖ ឬ AB. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយពីព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាច្រើនគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់នេះ៖

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖

ការជំនួសកន្សោម (6) និង (7) ទៅជាកន្សោម (5) យើងទទួលបានរូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នា៖

នៅពេលប្រើរូបមន្ត (8) វាគួរតែត្រូវបានយកទៅក្នុងគណនីដែលព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិង អេអាច​ជា:

• ឯករាជ្យទៅវិញទៅមក;
• អាស្រ័យគ្នាទៅវិញទៅមក។

រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យទៅវិញទៅមក៖

រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលពឹងផ្អែកគ្នាទៅវិញទៅមក៖

ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិង អេមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា បន្ទាប់មកការចៃដន្យរបស់ពួកគេគឺជាករណីដែលមិនអាចទៅរួច ហើយដូច្នេះ ទំ(AB) = 0. រូបមន្តប្រូបាប៊ីលីតេទីបួនសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាមានដូចខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍ ៣នៅក្នុងការប្រណាំងដោយស្វ័យប្រវត្តិនៅពេលបើកបរក្នុងឡានទីមួយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឈ្នះនៅពេលបើកបរក្នុងឡានទីពីរ។ ស្វែងរក៖

• ប្រូបាប៊ីលីតេដែលរថយន្តទាំងពីរនឹងឈ្នះ;
• ប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់រថយន្តមួយនឹងឈ្នះ;

1) ប្រូបាប៊ីលីតេដែលរថយន្តទីមួយនឹងឈ្នះមិនអាស្រ័យលើលទ្ធផលនៃរថយន្តទីពីរទេ ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍នានា ប៉ុន្តែ(រថយន្តដំបូងឈ្នះ) និង អេ(ឈ្នះរថយន្តទីពីរ) - ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលរថយន្តទាំងពីរឈ្នះ៖

2) ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលរថយន្តមួយក្នុងចំណោមរថយន្តទាំងពីរនឹងឈ្នះ:

កិច្ចការពិបាកបន្ថែមទៀតដែលអ្នកត្រូវអនុវត្តទាំងការបន្ថែម និងគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ - នៅលើទំព័រ "កិច្ចការផ្សេងៗសម្រាប់ការបន្ថែម និងគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ" ។

ដោះស្រាយបញ្ហានៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកមើលដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ 4កាក់ពីរត្រូវបានបោះចោល។ ព្រឹត្តិការណ៍ ក- ការបាត់បង់អាវធំនៅលើកាក់ទីមួយ។ ព្រឹត្តិការណ៍ ខ- ការបាត់បង់អាវធំនៅលើកាក់ទីពីរ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ គ = ក + ខ .

គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ

ការគុណប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលិតផលឡូជីខលនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគណនា។

ក្នុងករណីនេះ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យត្រូវតែឯករាជ្យ។ ព្រឹត្តិការណ៍ពីរត្រូវបានគេនិយាយថាមានភាពឯករាជ្យទៅវិញទៅមក ប្រសិនបើការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយមិនប៉ះពាល់ដល់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ទីពីរ។

ទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យពីរ ប៉ុន្តែនិង អេគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍ ៥កាក់ត្រូវបានបោះបីដងជាប់ៗគ្នា។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអាវធំនឹងធ្លាក់ចេញទាំងបីដង។

ដំណោះស្រាយ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអាវធំនឹងធ្លាក់លើការបោះកាក់លើកដំបូង លើកទីពីរ និងលើកទីបី។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអាវធំនឹងធ្លាក់ចេញទាំងបីដង៖

ដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ការគុណប្រូបាប៊ីលីតេដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកមើលដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ ៦មានប្រអប់មួយដែលមានបាល់វាយកូនបាល់ថ្មីចំនួនប្រាំបួន។ បាល់ចំនួនបីត្រូវបានគេយកសម្រាប់ការប្រកួត បន្ទាប់ពីការប្រកួតពួកគេត្រូវបានដាក់ត្រឡប់មកវិញ។ នៅពេលជ្រើសរើសបាល់ ពួកគេមិនបែងចែករវាងបាល់ដែលលេង និងមិនបានលេងទេ។ តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​ប្រូបាប៊ីលីតេ​ដែល​ក្រោយ​បី​ប្រកួត​នឹង​មិន​មាន​បាល់​ដែល​មិន​បាន​លេង​ក្នុង​ប្រអប់?

ឧទាហរណ៍ ៧អក្សរ 32 នៃអក្ខរក្រមរុស្ស៊ីត្រូវបានសរសេរនៅលើកាតអក្ខរក្រមកាត់។ សន្លឹកបៀចំនួនប្រាំត្រូវបានគូរដោយចៃដន្យ មួយសន្លឹកបន្ទាប់គ្នា ហើយដាក់នៅលើតុតាមលំដាប់ដែលពួកវាលេចឡើង។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអក្សរនឹងបង្កើតជាពាក្យ "បញ្ចប់" ។

ឧទាហរណ៍ ៨ពីសន្លឹកបៀពេញមួយសន្លឹក (52 សន្លឹក) សន្លឹកបៀចំនួន 4 សន្លឹកត្រូវបានដកចេញក្នុងពេលតែមួយ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលសន្លឹកបៀទាំងបួននេះមានលក្ខណៈដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៩បញ្ហាដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ទី 8 ដែរ ប៉ុន្តែកាតនីមួយៗត្រូវត្រលប់ទៅតុវិញបន្ទាប់ពីត្រូវបានគូរ។

កិច្ចការស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀត ដែលក្នុងនោះអ្នកត្រូវអនុវត្តទាំងការបន្ថែម និងគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ក៏ដូចជាគណនាផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើននៅលើទំព័រ "កិច្ចការផ្សេងៗសម្រាប់ការបន្ថែម និងគុណប្រូបាប"។

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលយ៉ាងហោចណាស់ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យទៅវិញទៅមកមួយនឹងកើតឡើងអាចត្រូវបានគណនាដោយដកផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយពី 1 ពោលគឺតាមរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍ 10ទំនិញត្រូវបានដឹកជញ្ជូនតាមមធ្យោបាយដឹកជញ្ជូនបីយ៉ាង៖ ការដឹកជញ្ជូនតាមដងទន្លេ ផ្លូវដែក និងផ្លូវថ្នល់។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលទំនិញនឹងត្រូវដឹកជញ្ជូនតាមទន្លេគឺ 0.82 តាមរថភ្លើង 0.87 តាមផ្លូវ 0.90។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលទំនិញនឹងត្រូវបានដឹកជញ្ជូនដោយយ៉ាងហោចណាស់មធ្យោបាយដឹកជញ្ជូនមួយក្នុងចំណោមមធ្យោបាយដឹកជញ្ជូនទាំងបី។