ឧទាហរណ៍ លំដាប់ \(2\); \(5\); \(ប្រាំបី\); \(ដប់មួយ\); \(14\)... គឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ ព្រោះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីធាតុមុនដោយបី (អាចទទួលបានពីធាតុមុនដោយបន្ថែមបី)៖

នៅក្នុងដំណើរការនេះ ភាពខុសគ្នា \(d\) គឺវិជ្ជមាន (ស្មើនឹង \(3\)) ហើយដូច្នេះពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗគឺធំជាងពាក្យមុន។ វឌ្ឍនភាពបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង.

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ \(d\) ក៏អាចជាលេខអវិជ្ជមានផងដែរ។ ឧទាហរណ៍, នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ \(16\); \\ (ដប់\); \\(4\); \\(-២\); \(-8\)… ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ \(d\) គឺស្មើនឹងដកប្រាំមួយ។

ហើយក្នុងករណីនេះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗនឹងមានតិចជាងធាតុមុន។ វឌ្ឍនភាពទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ថយចុះ.

សញ្ញាណនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ

វឌ្ឍនភាពត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំងតូចមួយ។

លេខដែលបង្កើតបានជាវឌ្ឍនភាពត្រូវបានគេហៅថា សមាជិក(ឬធាតុ) ។

ពួកវាត្រូវបានតាងដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ ប៉ុន្តែមានលិបិក្រមលេខស្មើនឹងលេខធាតុតាមលំដាប់លំដោយ។

ឧទាហរណ៍ ដំណើរការនព្វន្ធ \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) មានធាតុ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) និងបន្តបន្ទាប់ទៀត។

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតសម្រាប់ការវិវត្ត \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\)

ការដោះស្រាយបញ្ហាលើដំណើរការនព្វន្ធ

ជាគោលការណ៍ ព័ត៌មានខាងលើគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់លើដំណើរការនព្វន្ធ (រួមទាំងអ្វីដែលផ្តល់ជូននៅ OGE)។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_1=7; d=4\) ។ ស្វែងរក \(b_5\) ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \\(b_5=23\)

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ពាក្យបីដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ \(62; 49; 36...\) ស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យអវិជ្ជមានដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។.
ការសម្រេចចិត្ត៖

	យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​ធាតុ​ដំបូង​នៃ​លំដាប់ ហើយ​ដឹង​ថា​វា​ជា​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ។ នោះគឺធាតុនីមួយៗខុសពីប្រទេសជិតខាងដោយលេខដូចគ្នា។ ស្វែងយល់ថាតើមួយណាដោយដកលេខមុនចេញពីធាតុបន្ទាប់៖ \(d=49-62=-13\)។
	ឥឡូវនេះយើងអាចស្តារការវិវត្តរបស់យើងទៅធាតុដែលចង់បាន (អវិជ្ជមានដំបូង) ។
	រួចរាល់។ អ្នកអាចសរសេរចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ \(-3\)

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ធាតុបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ \(...5; x; 10; 12.5...\) ស្វែងរកតម្លៃនៃធាតុដែលតំណាងដោយអក្សរ \(x\) ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

	ដើម្បីស្វែងរក \(x\) យើងត្រូវដឹងថាតើធាតុបន្ទាប់ខុសគ្នាប៉ុន្មានពីធាតុមុន ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ។ ចូរយើងស្វែងរកវាពីធាតុជិតខាងដែលគេស្គាល់ពីរ៖ \(d=12.5-10=2.5\) ។
	ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​យើង​រក​ឃើញ​អ្វី​ដែល​យើង​កំពុង​ស្វែង​រក​ដោយ​គ្មាន​បញ្ហា៖ \(x=5+2.5=7.5\) ។
	រួចរាល់។ អ្នកអាចសរសេរចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ \(7,5\).

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖ \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

	យើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងប្រាំមួយដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។ ប៉ុន្តែ​យើង​មិន​ដឹង​ពី​អត្ថន័យ​របស់​វា​ទេ យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​តែ​ធាតុ​ទីមួយ​ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ​ដំបូង​យើង​គណនា​តម្លៃ​ជា​វេន​ដោយ​ប្រើ​តម្លៃ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​យើង ៖ \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) ហើយដោយបានគណនាធាតុទាំងប្រាំមួយដែលយើងត្រូវការ យើងរកឃើញផលបូករបស់វា។
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	បានរកឃើញចំនួនទឹកប្រាក់ដែលបានស្នើសុំ។

ចម្លើយ៖ \\(S_6=9\) ។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\) ។ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនេះ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \\ (d=7\) ។

រូបមន្តវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធសំខាន់

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបញ្ហាការវិវត្តនព្វន្ធជាច្រើនអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយសាមញ្ញដោយការយល់ដឹងអំពីរឿងសំខាន់ - ថាការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាខ្សែសង្វាក់នៃលេខហើយធាតុបន្ទាប់នីមួយៗនៅក្នុងខ្សែសង្វាក់នេះត្រូវបានទទួលដោយការបន្ថែមលេខដូចគ្នាទៅនឹងលេខមុន (ភាពខុសគ្នា នៃវឌ្ឍនភាព) ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយជួនកាលមានស្ថានភាពនៅពេលដែលវារអាក់រអួលខ្លាំងក្នុងការដោះស្រាយ "នៅលើថ្ងាស" ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមស្រមៃថាក្នុងឧទាហរណ៍ទីមួយ យើងត្រូវរកមិនឃើញធាតុទីប្រាំ \(b_5\) ប៉ុន្តែជាធាតុទីបីរយប៉ែតសិបប្រាំមួយ \(b_(386)\) ។ តើវាជាអ្វី យើង \ (385 \) ដងដើម្បីបន្ថែមបួន? ឬស្រមៃថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ អ្នកត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃធាតុចិតសិបបីដំបូង។ ការ​រាប់​គឺ​ជា​ការ​យល់​ច្រឡំ ...

ដូច្នេះក្នុងករណីបែបនេះ ពួកគេមិនដោះស្រាយ "នៅលើថ្ងាស" ទេ ប៉ុន្តែត្រូវប្រើរូបមន្តពិសេសដែលបានមកពីការវិវត្តនព្វន្ធ។ ហើយរូបមន្តសំខាន់ៗគឺរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n នៃវឌ្ឍនភាព និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក \(n\) នៃពាក្យទីមួយ។

រូបមន្តសម្រាប់ \(n\) សមាជិកទី៖ \(a_n=a_1+(n-1)d\) ដែល \(a_1\) គឺជាសមាជិកទីមួយនៃដំណើរការ។
\(n\) - ចំនួននៃធាតុដែលត្រូវការ;
\(a_n\) គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការដែលមានលេខ \(n\) ។

រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញយ៉ាងរហ័សនូវធាតុទី 3 រយ សូម្បីតែធាតុលាន ដោយដឹងតែធាតុទីមួយ និងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។

ឧទាហរណ៍។ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖ \(b_1=-159\); \\ (d=8,2\) ។ ស្វែងរក \(b_(246)\) ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(b_(246)=1850\) ។

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយគឺ៖ \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\) ដែល

\(a_n\) គឺជាពាក្យសង្ខេបចុងក្រោយ។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(a_n=3.4n-0.6\) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ \(25\) ដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		ដើម្បីគណនាផលបូកនៃធាតុម្ភៃប្រាំដំបូង យើងត្រូវដឹងពីតម្លៃនៃធាតុទី 2 និងទី 25 ។ ការវិវត្តរបស់យើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 អាស្រ័យលើចំនួនរបស់វា (សូមមើលព័ត៌មានលម្អិត) ។ ចូរយើងគណនាធាតុទីមួយដោយជំនួស \(n\) ជាមួយមួយ។
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		ឥឡូវ​យើង​រក​ពាក្យ​ទី​ម្ភៃ​ប្រាំ​ដោយ​ជំនួស​ម្ភៃ​ប្រាំ​ជំនួស​ឱ្យ \(n\) ។
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		មែនហើយឥឡូវនេះយើងគណនាចំនួនដែលត្រូវការដោយគ្មានបញ្ហា។
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		ចម្លើយគឺរួចរាល់។

ចម្លើយ៖ \(S_(25)=1090\) ។

សម្រាប់ផលបូក \(n\) នៃពាក្យទីមួយ អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តមួយទៀត៖ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការ \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\) ជំនួសឱ្យ \(a_n\) ជំនួសរូបមន្តសម្រាប់វា \(a_n=a_1+(n-1)d\)។ យើង​ទទួល​បាន:

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយគឺ៖ \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) ដែល

\(S_n\) – ផលបូកដែលត្រូវការ \(n\) នៃធាតុទីមួយ;
\(a_1\) គឺជាពាក្យដំបូងដែលត្រូវបូកសរុប
\\ (d\) - ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ;
\(n\) - ចំនួនធាតុនៅក្នុងផលបូក។

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យដំបូង \(33\)-ex នៃដំណើរការនព្វន្ធ៖ \(17\); \(15,5\); \(ដប់បួន\)...
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(S_(33)=-231\) ។

បញ្ហាដំណើរការនព្វន្ធស្មុគស្មាញជាង

ឥឡូវនេះអ្នកមានព័ត៌មានទាំងអស់ដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាការវិវត្តនព្វន្ធស្ទើរតែទាំងអស់។ សូមបញ្ចប់ប្រធានបទដោយពិចារណាលើបញ្ហាដែលអ្នកត្រូវមិនត្រឹមតែអនុវត្តរូបមន្តប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងគិតបន្តិចទៀត (ក្នុងគណិតវិទ្យាវាអាចមានប្រយោជន៍ ☺)

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌអវិជ្ជមានទាំងអស់នៃដំណើរការ៖ \(-19.3\); \(-ដប់ប្រាំបួន\); \(-១៨.៧\)…
ការសម្រេចចិត្ត៖

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		ភារកិច្ចគឺស្រដៀងនឹងការងារមុន។ យើងចាប់ផ្តើមដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នា៖ ដំបូងយើងរកឃើញ \(d\) ។
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		ឥឡូវនេះ យើងនឹងជំនួស \(d\) ទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក ... ហើយនៅទីនេះ ចំនុចតូចមួយលេចឡើង - យើងមិនដឹង \(n\) ។ ម្យ៉ាង​វិញ​ទៀត យើង​មិន​ដឹង​ថា​ត្រូវ​បន្ថែម​លក្ខខណ្ឌ​ប៉ុន្មាន​ទេ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងយល់? ចូរយើងគិត។ យើងនឹងបញ្ឈប់ការបន្ថែមធាតុនៅពេលដែលយើងទៅដល់ធាតុវិជ្ជមានដំបូង។ នោះគឺអ្នកត្រូវស្វែងរកចំនួននៃធាតុនេះ។ យ៉ាងម៉េច? ចូរសរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាធាតុណាមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖ \(a_n=a_1+(n-1)d\) សម្រាប់ករណីរបស់យើង។
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		យើងត្រូវការ \(a_n\) ធំជាងសូន្យ។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើវានឹងមានអ្វីកើតឡើង។
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពដោយ \(0,3\) ។
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		យើងផ្ទេរដកមួយដោយមិនភ្លេចប្តូរសញ្ញា
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		កុំព្យូទ័រ...
\(n>65,333...\)		…ហើយវាប្រែថាធាតុវិជ្ជមានដំបូងនឹងមានលេខ \(66\)។ ដូច្នោះហើយ អវិជ្ជមានចុងក្រោយមាន \(n=65\)។ គ្រាន់តែក្នុងករណី, សូមពិនិត្យមើលវាចេញ។
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		ដូច្នេះ យើងត្រូវបន្ថែមធាតុ \(65\) ដំបូង។
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		ចម្លើយគឺរួចរាល់។

ចម្លើយ៖ \(S_(65)=-630.5\) ។

ឧទាហរណ៍ (OGE) ។ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖ \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\) ។ ស្វែងរកផលបូកពី \(26\)th ដល់ \(42\) ធាតុរួមបញ្ចូល។
ការសម្រេចចិត្ត៖

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	ក្នុង​បញ្ហា​នេះ អ្នក​ក៏​ត្រូវ​រក​ផល​បូក​នៃ​ធាតុ​ដែរ ប៉ុន្តែ​ចាប់​ផ្ដើម​មិន​មែន​ពី​ដំបូង​ទេ ប៉ុន្តែ​ចាប់​ពី \(26\)th ។ យើងមិនមានរូបមន្តសម្រាប់រឿងនេះទេ។ តើត្រូវសម្រេចចិត្តបែបណា? ងាយស្រួល - ដើម្បីទទួលបានផលបូកពី \(26\)th ដល់ \(42\)th ដំបូងអ្នកត្រូវរកផលបូកពី \(1\)th ដល់ \(42\)th ហើយបន្ទាប់មកដកពីវា ផលបូកពី the first to \ (25 \) th (មើលរូបភាព) ។
	សម្រាប់ដំណើរការរបស់យើង \(a_1=-33\) និងភាពខុសគ្នា \(d=4\) (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ យើងបន្ថែមបួនទៅធាតុមុនដើម្បីស្វែងរកធាតុបន្ទាប់)។ ដោយដឹងរឿងនេះ យើងរកឃើញផលបូកនៃធាតុ \(42\)-uh ដំបូង។
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\\(\cdot 42=\) \\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \\(\cdot 42=2058\)	ឥឡូវនេះផលបូកនៃធាតុទីមួយ \(25\)-th ។
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	ហើយចុងក្រោយយើងគណនាចម្លើយ។
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

ចម្លើយ៖ \\ (S=1683\) ។

សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ មានរូបមន្តជាច្រើនទៀតដែលយើងមិនបានពិចារណាក្នុងអត្ថបទនេះ ដោយសារអត្ថប្រយោជន៍ជាក់ស្តែងទាបរបស់វា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយអ្នកអាចស្វែងរកពួកគេយ៉ាងងាយស្រួល។

យកចិត្តទុកដាក់!
មានបន្ថែម
សម្ភារៈនៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ។
សម្រាប់អ្នកដែលខ្លាំង "មិនខ្លាំងណាស់ ... "
ហើយសម្រាប់អ្នកដែល "ខ្លាំងណាស់ ... ")

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលលេខនីមួយៗធំជាង (ឬតិចជាង) ជាងលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នា។

ប្រធានបទនេះច្រើនតែពិបាក និងមិនអាចយល់បាន។ លិបិក្រមអក្សរ, សមាជិកទី 9 នៃវឌ្ឍនភាព, ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព - ទាំងអស់នេះគឺជាការយល់ច្រឡំ, បាទ ... ចូរយើងស្វែងយល់ពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ ហើយអ្វីៗនឹងដំណើរការភ្លាមៗ)។

គំនិតនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។

ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាគំនិតសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។ សង្ស័យ? ដោយឥតប្រយោជន៍។) សូមមើលសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។

ខ្ញុំនឹងសរសេរស៊េរីលេខដែលមិនទាន់បានបញ្ចប់៖

1, 2, 3, 4, 5, ...

តើអ្នកអាចពង្រីកខ្សែនេះបានទេ? តើ​លេខ​អ្វី​នឹង​បន្ត​បន្ទាប់​ពី​ប្រាំ? អ្នកទាំងអស់គ្នា... uh... និយាយឱ្យខ្លី គ្រប់គ្នានឹងយល់ថា លេខ 6, 7, 8, 9 ជាដើម។

ចូរធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ។ ខ្ញុំផ្តល់លេខស៊េរីដែលមិនទាន់បានបញ្ចប់៖

2, 5, 8, 11, 14, ...

អ្នកអាចចាប់លំនាំ ពង្រីកស៊េរី និងឈ្មោះ ទីប្រាំពីរលេខជួរ?

ប្រសិនបើអ្នកគិតថាលេខនេះគឺ 20 - ខ្ញុំសូមអបអរសាទរអ្នក! អ្នកមិនត្រឹមតែមានអារម្មណ៍ប៉ុណ្ណោះទេ ចំណុចសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ,ប៉ុន្តែ​ក៏​បាន​ប្រើ​វា​ដោយ​ជោគជ័យ​ក្នុង​អាជីវកម្ម! បើមិនយល់ សូមអានបន្ត។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបកប្រែចំណុចសំខាន់ៗពីអារម្មណ៍ទៅជាគណិតវិទ្យា។)

ចំណុចសំខាន់ដំបូង។

ដំណើរការនព្វន្ធទាក់ទងនឹងស៊េរីលេខ។នេះ​ជា​ការ​យល់​ច្រឡំ​ពី​ដំបូង​។ យើងប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការ ការកសាងក្រាហ្វ និងអ្វីៗទាំងអស់ ... ហើយបន្ទាប់មកពង្រីកស៊េរី ស្វែងរកចំនួនស៊េរី ...

មិន​អី​ទេ។ វាគ្រាន់តែថាវឌ្ឍនភាពគឺជាអ្នកស្គាល់គ្នាដំបូងជាមួយនឹងសាខាថ្មីនៃគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកត្រូវបានគេហៅថា "ស៊េរី" និងធ្វើការជាមួយស៊េរីនៃលេខនិងកន្សោម។ ស៊ាំនឹងវា។ )

ចំណុចសំខាន់ទីពីរ។

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ លេខណាមួយខុសពីលេខមុន។ ដោយចំនួនដូចគ្នា។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីមួយភាពខុសគ្នានេះគឺមួយ។ លេខណាដែលអ្នកយក វាគឺលេខមួយច្រើនជាងលេខមុន។ នៅក្នុងទីពីរ - បី។ លេខណាមួយគឺធំជាងលេខមុនបីដង។ តាមពិតទៅ វាគឺជាពេលនេះដែលផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសដើម្បីចាប់គំរូ និងគណនាលេខជាបន្តបន្ទាប់។

ចំណុចសំខាន់ទីបី។

ពេលនេះមិនមានភាពទាក់ទាញទេ បាទ... ប៉ុន្តែសំខាន់ខ្លាំងណាស់។ នៅទីនោះគាត់គឺ៖ លេខវឌ្ឍនភាពនីមួយៗស្ថិតនៅកន្លែងរបស់វា។មាន​លេខ​ទីមួយ មាន​លេខ​ប្រាំពីរ មាន​លេខ​សែសិប​ប្រាំ ជាដើម។ ប្រសិនបើអ្នកច្រឡំពួកវាដោយចៃដន្យ លំនាំនឹងរលាយបាត់។ ដំណើរការនព្វន្ធក៏នឹងរលាយបាត់ដែរ។ វាគ្រាន់តែជាលេខស៊េរីប៉ុណ្ណោះ។

នោះហើយជាចំណុចទាំងមូល។

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ពាក្យ​ថ្មី និង​សញ្ញាណ​បង្ហាញ​ក្នុង​ប្រធាន​បទ​ថ្មី។ ពួកគេត្រូវដឹង។ បើមិនដូច្នេះទេ អ្នកនឹងមិនយល់ពីកិច្ចការនោះទេ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវសម្រេចចិត្តអ្វីមួយដូចជា៖

សរសេរពាក្យប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 2 = 5, d = -2.5 ។

តើវាបំផុសគំនិតទេ?) អក្សរ លិបិក្រមមួយចំនួន... ហើយកិច្ចការនោះ មិនអាចងាយស្រួលជាងនេះទេ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវយល់ពីអត្ថន័យនៃពាក្យ និងសញ្ញាណ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងធ្វើជាម្ចាស់លើបញ្ហានេះហើយត្រឡប់ទៅភារកិច្ចវិញ។

លក្ខខណ្ឌ និងការកំណត់។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធគឺជាស៊េរីលេខដែលលេខនីមួយៗខុសពីលេខមុន។ ដោយចំនួនដូចគ្នា។

តម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថា . ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងគំនិតនេះឱ្យកាន់តែលម្អិត។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធគឺជាចំនួនដែលលេខដំណើរការណាមួយ។ ច្រើនទៀតមួយមុន។

ចំណុចសំខាន់មួយ។ សូមយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះពាក្យ "ច្រើនទៀត" ។តាមគណិតវិទ្យា នេះមានន័យថាលេខវឌ្ឍនភាពនីមួយៗត្រូវបានទទួល ការបន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធទៅលេខមុន។

ដើម្បីគណនាសូមនិយាយ ទីពីរលេខនៃជួរ, វាគឺជាការចាំបាច់ដើម្បី ដំបូងចំនួន បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។ សម្រាប់ការគណនា ទីប្រាំ- ភាពខុសគ្នាគឺចាំបាច់ បន្ថែមទៅ ទីបួនផងដែរ ។ល។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធប្រហែល វិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខនីមួយៗនៃស៊េរីនឹងប្រែទៅជាពិតប្រាកដ ច្រើនជាងលើកមុន។វឌ្ឍនភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង។ឧទាហរណ៍:

8; 13; 18; 23; 28; .....

នេះគឺជាលេខនីមួយៗ ការបន្ថែមលេខវិជ្ជមាន +5 ទៅលេខមុន។

ភាពខុសគ្នាអាចជា អវិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខនីមួយៗនៅក្នុងស៊េរីនឹងមាន តិចជាងមុន។ការវិវត្តនេះត្រូវបានគេហៅថា (អ្នកនឹងមិនជឿវាទេ!) ថយចុះ។

ឧទាហរណ៍:

8; 3; -2; -7; -12; .....

នៅទីនេះលេខនីមួយៗក៏ត្រូវបានទទួលផងដែរ។ ការបន្ថែមទៅលេខមុន ប៉ុន្តែលេខអវិជ្ជមានរួចហើយ -5 ។

ដោយវិធីនេះនៅពេលធ្វើការជាមួយវឌ្ឍនភាពវាមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងការកំណត់លក្ខណៈរបស់វាភ្លាមៗ - ថាតើវាកំពុងកើនឡើងឬថយចុះ។ វាជួយបានច្រើនក្នុងការស្វែងរកកំហុសរបស់អ្នកក្នុងការសម្រេចចិត្ត ស្វែងរកកំហុសរបស់អ្នក និងកែតម្រូវវាមុនពេលវាយឺតពេល។

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ ឃ.

របៀបស្វែងរក ឃ? សាមញ្ញ​ណាស់។ វាចាំបាច់ក្នុងការដកលេខណាមួយនៃស៊េរី មុនចំនួន។ ដក។ ដោយវិធីនេះលទ្ធផលនៃការដកត្រូវបានគេហៅថា "ភាពខុសគ្នា") ។

ចូរយើងកំណត់ឧទាហរណ៍ ឃសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធកើនឡើង៖

2, 5, 8, 11, 14, ...

យើងយកលេខណាមួយនៃជួរដេកដែលយើងចង់បាន ឧទាហរណ៍ 11. ដកពីវា។ លេខមុន។ទាំងនោះ។ ប្រាំបី៖

នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធនេះ ភាពខុសគ្នាគឺបី។

អ្នកគ្រាន់តែអាចយក ចំនួននៃដំណើរការណាមួយ,ដោយសារតែ សម្រាប់ដំណើរការជាក់លាក់មួយ។ ឃ-តែងតែដូចគ្នា។យ៉ាងហោចណាស់នៅកន្លែងណាមួយនៅដើមជួរដេក យ៉ាងហោចណាស់នៅកណ្តាល យ៉ាងហោចណាស់កន្លែងណាមួយ។ អ្នកមិនអាចយកតែលេខដំបូងបានទេ។ ដោយសារតែលេខដំបូង គ្មានពីមុន។)

និយាយអីញ្ចឹងទើបដឹង d=3ការស្វែងរកលេខទីប្រាំពីរនៃការវិវត្តនេះគឺសាមញ្ញណាស់។ យើងបន្ថែមលេខ 3 ដល់លេខទីប្រាំ - យើងទទួលបានលេខប្រាំមួយ វានឹងមាន 17។ យើងបន្ថែមលេខបីទៅលេខទីប្រាំមួយ យើងទទួលបានលេខទីប្រាំពីរ - ម្ភៃ។

ចូរយើងកំណត់ ឃសម្រាប់ការថយចុះនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

8; 3; -2; -7; -12; .....

ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថាដោយមិនគិតពីសញ្ញាដើម្បីកំណត់ ឃត្រូវការពីលេខណាមួយ។ យកពីមុន។យើងជ្រើសរើសចំនួននៃវឌ្ឍនភាពណាមួយឧទាហរណ៍ -7 ។ លេខមុនរបស់គាត់គឺ -2 ។ បន្ទាប់មក៖

d = −7 − (−2) = −7 + 2 = −5

ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចជាលេខណាមួយ៖ ចំនួនគត់ ប្រភាគ មិនសមហេតុផល ណាមួយ។

លក្ខខណ្ឌ និងការកំណត់ផ្សេងទៀត។

លេខនីមួយៗនៅក្នុងស៊េរីត្រូវបានហៅ សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាព មានលេខរបស់គាត់។លេខ​ត្រូវ​តាម​លំដាប់​លំដោយ​ដោយ​គ្មាន​ល្បិច។ ទីមួយ ទីពីរ ទីបី ទីបួន ។ល។ ឧទាហរណ៍៖ នៅក្នុងវឌ្ឍនភាព ២, ៥, ៨, ១១, ១៤, ... ពីរគឺសមាជិកទីមួយ ប្រាំគឺទីពីរ ដប់មួយគឺទីបួន អញ្ចឹងអ្នកយល់...) សូមយល់ច្បាស់ - លេខខ្លួនឯងអាចជាដាច់ខាតណាមួយ ទាំងមូល ប្រភាគ អវិជ្ជមាន អ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែ លេខរៀង- តឹងរឹងតាមលំដាប់!

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរវឌ្ឍនភាពក្នុងទម្រង់ទូទៅ? គ្មាន​បញ្ហា! លេខនីមួយៗក្នុងស៊េរីត្រូវបានសរសេរជាអក្សរ។ ដើម្បីសម្គាល់ការវិវត្តនព្វន្ធ ជាក្បួន អក្សរត្រូវបានប្រើ ក. លេខសមាជិកត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយលិបិក្រមនៅខាងស្តាំខាងក្រោម។ សមាជិកត្រូវបានសរសេរបំបែកដោយក្បៀស (ឬសញ្ញាក្បៀស) ដូចនេះ៖

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

ក ១គឺជាលេខដំបូង ក ៣- ទីបី។ល។ គ្មានអ្វីពិបាកទេ។ អ្នកអាចសរសេរស៊េរីនេះដោយសង្ខេបដូចនេះ៖ (a n).

មានការវិវឌ្ឍន៍ កំណត់ និងគ្មានកំណត់។

ចុងក្រោយវឌ្ឍនភាពមានចំនួនកំណត់នៃសមាជិក។ ប្រាំ សាមសិបប្រាំបី អ្វីក៏ដោយ ។ ប៉ុន្តែ​វា​ជា​ចំនួន​កំណត់។

គ្មានទីបញ្ចប់វឌ្ឍនភាព - មានសមាជិកមិនកំណត់ ដូចដែលអ្នកអាចទាយបាន។)

អ្នកអាចសរសេរការវិវត្តចុងក្រោយតាមរយៈស៊េរីដូចនេះ សមាជិកទាំងអស់ និងចំណុចនៅចុងបញ្ចប់៖

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ។

ឬដូចនេះប្រសិនបើមានសមាជិកច្រើន៖

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 ។

នៅក្នុងការបញ្ចូលខ្លីមួយ អ្នកនឹងត្រូវបញ្ជាក់បន្ថែមអំពីចំនួនសមាជិក។ ឧទាហរណ៍ (សម្រាប់សមាជិកម្ភៃនាក់) ដូចនេះ៖

(a n), n = ២០

ការវិវឌ្ឍន៍ដែលគ្មានកំណត់អាចត្រូវបានទទួលស្គាល់ដោយពងក្រពើនៅចុងបញ្ចប់នៃជួរដេក ដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍នៅក្នុងមេរៀននេះ។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចដោះស្រាយភារកិច្ចរួចហើយ។ ភារកិច្ចគឺសាមញ្ញសុទ្ធសាធសម្រាប់ការយល់ដឹងពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យបានដិតដល់នូវកិច្ចការខាងលើ៖

1. សរេសរសកមម ី 6 ននឹ ង ន ឹ ងន ឹ ង (a n) េបើ a 2 = 5, d = -2.5 ។

យើងបកប្រែកិច្ចការទៅជាភាសាដែលអាចយល់បាន។ បានផ្តល់ការវិវត្តនព្វន្ធគ្មានកំណត់។ ចំនួនទីពីរនៃដំណើរការនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថា: a 2 = 5 ។ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការដែលគេស្គាល់៖ d = −2.5 ។យើងត្រូវស្វែងរកសមាជិកទីមួយ ទីបី ទីបួន ទីប្រាំ និងទីប្រាំមួយ នៃដំណើរការនេះ។

ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ ខ្ញុំនឹងសរសេរជាស៊េរីទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ សមាជិកប្រាំមួយនាក់ដំបូង ដែលសមាជិកទីពីរមានប្រាំនាក់៖

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

ក ៣ = ក ២ + ឃ

យើងជំនួសនៅក្នុងកន្សោម a 2 = 5និង d=-2.5. កុំភ្លេចដក!

ក ៣=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ពាក្យទីបីគឺតិចជាងទីពីរ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺឡូជីខល។ ប្រសិនបើលេខធំជាងលេខមុន។ អវិជ្ជមានតម្លៃ ដូច្នេះលេខខ្លួនឯងនឹងតិចជាងលេខមុន។ វឌ្ឍនភាពកំពុងថយចុះ។ មិនអីទេ ចូរយើងពិចារណា។) យើងពិចារណាសមាជិកទីបួននៃស៊េរីរបស់យើង៖

ក ៤ = ក ៣ + ឃ

ក ៤=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ក ៥ = ក ៤ + ឃ

ក ៥=0+(-2,5)= - 2,5

ក ៦ = ក ៥ + ឃ

ក ៦=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌពីទីបីដល់ទីប្រាំមួយត្រូវបានគណនា។ នេះបណ្តាលឱ្យមានស៊េរី៖

a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកពាក្យដំបូង ក ១នេះបើយោងតាមទីពីរល្បី។ នេះគឺជាជំហានមួយក្នុងទិសដៅផ្សេងទៀតទៅខាងឆ្វេង ឃមិនគួរត្រូវបានបន្ថែមទៅ ក ២, ក យក​ទៅ​ឆ្ងាយ:

ក ១ = ក ២ - ឃ

ក ១=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់ដែលមានចំពោះវា។ ការឆ្លើយតបភារកិច្ច៖

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

នៅក្នុងការឆ្លងកាត់ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាយើងបានដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ កើតឡើងវិញ។វិធី។ ពាក្យដ៏អាក្រក់នេះមានន័យថា មានតែការស្វែងរកសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពប៉ុណ្ណោះ។ ដោយលេខមុន (នៅជាប់គ្នា) ។វិធីផ្សេងទៀតដើម្បីធ្វើការជាមួយវឌ្ឍនភាពនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅពេលក្រោយ។

ការសន្និដ្ឋានដ៏សំខាន់មួយអាចត្រូវបានដកចេញពីកិច្ចការដ៏សាមញ្ញនេះ។

ចងចាំ៖

ប្រសិនបើយើងស្គាល់យ៉ាងហោចណាស់សមាជិកម្នាក់ និងភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ នោះយើងអាចរកឃើញសមាជិកណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

ចាំទេ? ការសន្និដ្ឋានដ៏សាមញ្ញនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហាភាគច្រើននៃវគ្គសិក្សារបស់សាលាលើប្រធានបទនេះ។ កិច្ចការទាំងអស់វិលជុំវិញប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់បី៖ សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពមួយ ចំនួននៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពមួយ។អ្វីគ្រប់យ៉ាង។

ជាការពិតណាស់ពិជគណិតពីមុនទាំងអស់មិនត្រូវបានលុបចោលទេ។) វិសមភាព សមីការ និងរបស់ផ្សេងទៀតត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹងការវិវត្ត។ ប៉ុន្តែ នេះបើយោងតាមការវិវត្ត- អ្វីគ្រប់យ៉ាងវិលជុំវិញប៉ារ៉ាម៉ែត្របី។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាកិច្ចការពេញនិយមមួយចំនួនលើប្រធានបទនេះ។

2. សរសេរការវិវត្តនព្វន្ធចុងក្រោយជាស៊េរី ប្រសិនបើ n=5, d=0.4, និង a 1=3.6។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យរួចហើយ។ អ្នកត្រូវចាំពីរបៀបដែលសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានគណនា រាប់ និងសរសេរចុះ។ គួរតែកុំរំលងពាក្យក្នុងលក្ខខណ្ឌការងារ៖ "ចុងក្រោយ" និង " n=5"។ ដើម្បីកុំឱ្យរាប់រហូតដល់អ្នកមុខពណ៌ខៀវទាំងស្រុង។ ) មានសមាជិកតែ 5 (ប្រាំ) ប៉ុណ្ណោះនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនេះ:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

ក ៤ = ក ៣ + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

ក ៥ = ក ៤ + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

វានៅសល់ដើម្បីសរសេរចម្លើយ៖

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

កិច្ចការមួយទៀត៖

3. កំណត់ថាតើលេខ 7 នឹងក្លាយជាសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ប្រសិនបើ a 1 \u003d 4.1; d = 1.2 ។

ហ៊ឺ... អ្នកណាដឹង? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់អ្វីមួយ?

How-how... បាទ សរសេរ​ដំណើរ​ការ​ជា​ស៊េរី​មើល​ថា​នឹង​មាន​ប្រាំពីរ​ឬ​អត់! យើងជឿថា៖

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

ក ៤ = ក ៣ + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

ឥឡូវ​គេ​មើល​ឃើញ​យ៉ាង​ច្បាស់​ថា​យើង​មាន​អាយុ​ត្រឹម​តែ​ប្រាំពីរ​នាក់​ប៉ុណ្ណោះ។ បានរអិលឆ្លងកាត់ចន្លោះ 6.5 និង 7.7! លេខប្រាំពីរមិនបានចូលទៅក្នុងស៊េរីនៃលេខរបស់យើងទេ ដូច្នេះហើយ ទាំងប្រាំពីរនឹងមិនជាសមាជិកនៃដំណើរការដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។

ចម្លើយ៖ ទេ។

ហើយនេះគឺជាភារកិច្ចផ្អែកលើកំណែពិតនៃ GIA៖

4. សមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរចេញ៖

... ; ដប់ប្រាំ; X; ប្រាំបួន; ៦; ...

នេះគឺជាស៊េរីដែលគ្មានទីបញ្ចប់ និងការចាប់ផ្តើម។ គ្មាន​លេខ​សមាជិក មិន​ខុស​គ្នា​ទេ។ ឃ. មិន​អី​ទេ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ តោះមើលហើយមើលថាតើយើងអាចធ្វើអ្វីបាន។ រកឃើញពីបន្ទាត់នេះ? តើប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់ៗទាំងបីមានអ្វីខ្លះ?

លេខសមាជិក? មិនមានលេខតែមួយនៅទីនេះទេ។

ប៉ុន្តែមានបីលេខហើយ - យកចិត្តទុកដាក់! - ពាក្យ "ជាប់គ្នា"នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា​លេខ​ត្រូវ​តាម​លំដាប់​លំដោយ​ដោយ​គ្មាន​ចន្លោះ។ តើមានពីរក្នុងជួរនេះទេ? អ្នកជិតខាងលេខដែលស្គាល់? បាទ​ឬ​ចាស​ខ្ញុំ​មាន! ទាំងនេះគឺ 9 និង 6។ ដូច្នេះយើងអាចគណនាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ! យើងដកពីប្រាំមួយ។ មុនលេខ, i.e. ប្រាំបួន៖

នៅសល់កន្លែងទំនេរ។ តើលេខមួយណានឹងជាលេខមុនសម្រាប់ x? ដប់ប្រាំ។ ដូច្នេះ x អាចត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួលដោយការបន្ថែមសាមញ្ញ។ ដល់ ១៥ បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

អស់ហើយ។ ចម្លើយ៖ x=12

យើងដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមដោយខ្លួនឯង។ ចំណាំ៖ ល្បែងផ្គុំរូបទាំងនេះមិនមែនសម្រាប់រូបមន្តទេ។ សុទ្ធសាធសម្រាប់ការយល់ដឹងពីអត្ថន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។) យើងគ្រាន់តែសរសេរជាស៊េរីនៃលេខ-អក្សរ មើល និងគិត។

5. ស្វែងរកពាក្យវិជ្ជមានដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ a 5 = -3; d = 1.1 ។

6. គេដឹងថាលេខ 5.5 គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (a n) ដែល a 1 = 1.6; d = 1.3 ។ កំណត់ចំនួន n នៃសមាជិកនេះ។

7. គេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1 ។ ស្វែងរក 3 ។

8. សមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរចេញ៖

... ; ១៥.៦; X; ៣.៤; ...

ស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាព តំណាងដោយអក្សរ x ។

9. រថភ្លើងចាប់ផ្តើមផ្លាស់ទីពីស្ថានីយ៍ ដោយបង្កើនល្បឿនបន្តិចម្តងៗ 30 ម៉ែត្រក្នុងមួយនាទី។ តើ​រថភ្លើង​នឹង​មាន​ល្បឿន​ប៉ុន្មាន​ក្នុង​រយៈពេល​ប្រាំ​នាទី? ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាគីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង។

10. គេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ a 2 = 5; a 6 = −5 ។ រក 1.

ចំលើយ (ក្នុងភាពច្របូកច្របល់): 7.7; ៧.៥; ៩.៥; ប្រាំបួន; 0.3; ៤.

អ្វីគ្រប់យ៉ាងបានដំណើរការ? អស្ចារ្យមែន! អ្នកអាចរៀនការវិវត្តនព្វន្ធនៅកម្រិតខ្ពស់ជាងនេះនៅក្នុងមេរៀនខាងក្រោម។

អ្វីៗមិនដំណើរការទេ? គ្មាន​បញ្ហា។ នៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 បញ្ហាទាំងអស់នេះត្រូវបានបំបែកទៅជាបំណែក។) ហើយជាការពិតណាស់ បច្ចេកទេសអនុវត្តដ៏សាមញ្ញមួយត្រូវបានពិពណ៌នា ដែលរំលេចនូវដំណោះស្រាយនៃកិច្ចការទាំងនោះភ្លាមៗ យ៉ាងច្បាស់លាស់ ដូចនៅក្នុងបាតដៃរបស់អ្នក!

ដោយវិធីនេះ នៅក្នុងល្បែងផ្គុំរូបអំពីរថភ្លើងមានបញ្ហាពីរដែលមនុស្សជារឿយៗជំពប់ដួល។ មួយ - សុទ្ធសាធដោយវឌ្ឍនភាព និងទីពីរ - ជារឿងធម្មតាសម្រាប់កិច្ចការណាមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យាផងដែរ។ នេះគឺជាការបកប្រែនៃវិមាត្រពីមួយទៅមួយទៀត។ វាបង្ហាញពីរបៀបដែលបញ្ហាទាំងនេះគួរតែត្រូវបានដោះស្រាយ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានពិនិត្យអត្ថន័យបឋមនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រចំបងរបស់វា។ នេះគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់លើប្រធានបទនេះ។ បន្ថែម ឃទៅលេខ សរសេរស៊េរី អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងត្រូវបានសម្រេចចិត្ត។

ដំណោះស្រាយម្រាមដៃដំណើរការល្អសម្រាប់បំណែកខ្លីៗនៃស៊េរី ដូចជានៅក្នុងឧទាហរណ៍នៅក្នុងមេរៀននេះ។ ប្រសិនបើស៊េរីវែងជាង ការគណនាកាន់តែពិបាក។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើនៅក្នុងបញ្ហាទី 9 ក្នុងសំណួរ សូមជំនួស "រយៈ​ពេល​ប្រាំ​នាទី"នៅ​លើ "សាមសិបប្រាំនាទី"បញ្ហានឹងកាន់តែអាក្រក់ទៅៗ។ )

ហើយ​ក៏មាន​កិច្ចការ​ដែល​សាមញ្ញ​ក្នុង​ខ្លឹមសារ ប៉ុន្តែ​មិន​ទំនង​ទាល់តែសោះ​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ការ​គណនា​ឧទាហរណ៍៖

ដែល​បាន​ឲ្យ​ដំណើរ​ការ​នព្វន្ធ (a n) ។ រក 121 ប្រសិនបើ 1 = 3 និង d = 1/6 ។

ហើយអ្វីដែលយើងនឹងបន្ថែម 1/6 ច្រើនដង?! តើអាចសម្លាប់ខ្លួនឯងបាន!

អ្នកអាច។) ប្រសិនបើអ្នកមិនដឹងរូបមន្តសាមញ្ញមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយកិច្ចការបែបនេះបានក្នុងរយៈពេលមួយនាទី។ រូបមន្តនេះនឹងមាននៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។ ហើយបញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយនៅទីនោះ។ ក្នុង​មួយ​នាទី។)

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ សិក្សាដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

នៅពេលសិក្សាពិជគណិតនៅអនុវិទ្យាល័យ (ថ្នាក់ទី 9) ប្រធានបទសំខាន់មួយគឺការសិក្សាអំពីលំដាប់លេខ ដែលរួមមានវឌ្ឍនភាព - ធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ និងឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ។

តើអ្វីជាដំណើរការនព្វន្ធ?

ដើម្បីយល់ពីបញ្ហានេះ ចាំបាច់ត្រូវផ្តល់និយមន័យនៃដំណើរការដែលកំពុងស្ថិតក្រោមការពិចារណា ក៏ដូចជាផ្តល់រូបមន្តមូលដ្ឋានដែលនឹងត្រូវបានប្រើបន្ថែមទៀតក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

វាត្រូវបានគេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការពិជគណិតមួយចំនួន វគ្គទី 1 ស្មើនឹង 6 ហើយពាក្យទី 7 ស្មើនឹង 18 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នា និងស្ដារលំដាប់នេះទៅពាក្យទី 7 ។

ចូរប្រើរូបមន្តដើម្បីកំណត់ពាក្យដែលមិនស្គាល់៖ a n = (n − 1) * d + a 1 ។ យើងជំនួសទិន្នន័យដែលគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌទៅក្នុងវា នោះគឺលេខ a 1 និង a 7 យើងមាន: 18 \u003d 6 + 6 * ឃ។ ពីកន្សោមនេះអ្នកអាចគណនាភាពខុសគ្នាយ៉ាងងាយស្រួល: d = (18 - 6) / 6 = 2. ដូច្នេះផ្នែកដំបូងនៃបញ្ហាត្រូវបានឆ្លើយ។

ដើម្បីស្តារលំដាប់ទៅសមាជិកទី 7 អ្នកគួរតែប្រើនិយមន័យនៃដំណើរការពិជគណិត ពោលគឺ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ជាដើម។ ជាលទ្ធផលយើងស្ដារឡើងវិញនូវលំដាប់ទាំងមូល៖ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 និង 7 = 18 ។

ឧទាហរណ៍ទី 3: ធ្វើឱ្យមានការរីកចម្រើន

អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើឱ្យស្ថានភាពនៃបញ្ហាកាន់តែស្មុគស្មាញ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ លេខពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យឧទាហរណ៍ 4 និង 5 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឱ្យមានដំណើរការពិជគណិត ដូច្នេះពាក្យបីបន្ថែមទៀតត្រូវបានដាក់នៅចន្លោះទាំងនេះ។

មុនពេលចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហានេះ ចាំបាច់ត្រូវយល់ពីកន្លែងដែលលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងកាន់កាប់នៅក្នុងការវិវត្តនាពេលអនាគត។ ដោយសារវានឹងមានពាក្យបីបន្ថែមទៀតរវាងពួកវា បន្ទាប់មក 1 \u003d -4 និង 5 \u003d 5។ ដោយបានបង្កើតវា នោះយើងបន្តទៅកិច្ចការដែលស្រដៀងនឹងពាក្យមុន។ ជាថ្មីម្តងទៀតសម្រាប់ពាក្យទី 9 យើងប្រើរូបមន្តយើងទទួលបាន: a 5 \u003d a 1 + 4 * ឃ។ ពី៖ ឃ \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25 ។ នៅទីនេះភាពខុសគ្នាមិនមែនជាតម្លៃចំនួនគត់ទេ ប៉ុន្តែវាជាចំនួនសមហេតុផល ដូច្នេះរូបមន្តសម្រាប់ដំណើរការពិជគណិតនៅតែដដែល។

ឥឡូវនេះសូមបន្ថែមភាពខុសគ្នាដែលបានរកឃើញទៅ 1 និងស្ដារសមាជិកដែលបាត់នៃដំណើរការ។ យើងទទួលបាន៖ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u,0 ដែលស្របគ្នានឹងស្ថានភាពនៃបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍ទី 4៖ សមាជិកដំបូងនៃដំណើរការ

យើងបន្តផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយ។ នៅក្នុងបញ្ហាមុនទាំងអស់ លេខដំបូងនៃដំណើរការពិជគណិតត្រូវបានគេដឹង។ ឥឡូវនេះពិចារណាបញ្ហានៃប្រភេទផ្សេងគ្នា: អនុញ្ញាតឱ្យលេខពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែល 15 = 50 និង 43 = 37 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកពីលេខដែលលំដាប់នេះចាប់ផ្តើម។

រូបមន្ត​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​រហូត​មក​ដល់​ពេល​នេះ​សន្មត​ថា​មាន​ចំណេះ​ដឹង​អំពី 1 និង ឃ។ គ្មានអ្វីត្រូវបានគេដឹងអំពីលេខទាំងនេះនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានោះទេ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ ចូរ​យើង​សរសេរ​កន្សោម​សម្រាប់​ពាក្យ​នីមួយៗ​ដែល​យើង​មាន​ព័ត៌មាន៖ a 15 = a 1 + 14 * d និង a 43 = a 1 + 42 * d ។ យើងទទួលបានសមីការពីរដែលក្នុងនោះមាន 2 មិនស្គាល់បរិមាណ (a 1 និង d) ។ នេះមានន័យថាបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រព័ន្ធដែលបានបញ្ជាក់គឺងាយស្រួលបំផុតដើម្បីដោះស្រាយ ប្រសិនបើអ្នកបង្ហាញ 1 ក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកប្រៀបធៀបកន្សោមលទ្ធផល។ សមីការទីមួយ៖ a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; សមីការទីពីរ៖ a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * ឃ។ ស្មើនឹងកន្សោមទាំងនេះយើងទទួលបាន៖ 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * ឃ, ភាពខុសគ្នា d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (មានតែលេខទសភាគ 3 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ) ។

ដោយដឹង d អ្នកអាចប្រើកន្សោមណាមួយនៃ 2 ខាងលើសម្រាប់ 1 ។ ឧទាហរណ៍ដំបូង៖ a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496 ។

ប្រសិនបើមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផលអ្នកអាចពិនិត្យមើលវាឧទាហរណ៍កំណត់សមាជិកទី 43 នៃការវិវត្តដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ យើងទទួលបាន៖ a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008 ។ កំហុសតូចមួយគឺដោយសារតែការពិតដែលថាការបង្គត់ទៅខ្ទង់ពាន់ត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា។

ឧទាហរណ៍ទី ៥៖ ផលបូក

ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

សូម​ឲ្យ​ការ​វិវត្ត​ជា​លេខ​នៃ​ទម្រង់​ខាង​ក្រោម​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ៖ ១, ២, ៣, ៤, …, ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាផលបូកនៃ 100 នៃលេខទាំងនេះ?

សូមអរគុណដល់ការអភិវឌ្ឍន៍នៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ បញ្ហានេះអាចដោះស្រាយបាន ពោលគឺបញ្ចូលលេខជាបន្តបន្ទាប់គ្នា ដែលកុំព្យូទ័រនឹងធ្វើភ្លាមៗនៅពេលដែលមនុស្សម្នាក់ចុចគ្រាប់ចុចបញ្ចូល (Enter) ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយស្មារតី ប្រសិនបើអ្នកយកចិត្តទុកដាក់ថាស៊េរីលេខដែលបានបង្ហាញគឺជាដំណើរការពិជគណិត ហើយភាពខុសគ្នារបស់វាគឺ 1. ការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក យើងទទួលបាន៖ S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050 ។

វាជាការចង់ដឹងចង់ឃើញថាបញ្ហានេះត្រូវបានគេហៅថា "Gaussian" ចាប់តាំងពីដើមសតវត្សទី 18 ជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីល្បាញដែលនៅអាយុត្រឹមតែ 10 ឆ្នាំអាចដោះស្រាយវាបាននៅក្នុងចិត្តរបស់គាត់ក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទី។ ក្មេងប្រុសមិនបានដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែគាត់បានកត់សម្គាល់ថា ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមលេខគូនៅគែមនៃលំដាប់ អ្នកតែងតែទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា នោះគឺ 1 + 100 = 2 + 99 ។ = 3 + 98 = ... ហើយចាប់តាំងពីផលបូកទាំងនេះនឹងពិតជា 50 (100 / 2) ដូច្នេះដើម្បីទទួលបានចម្លើយត្រឹមត្រូវ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណ 50 ដោយ 101 ។

ឧទាហរណ៍ទី ៦៖ ផលបូកនៃពាក្យពី n ដល់ m

ឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយទៀតនៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺដូចខាងក្រោម៖ ដែលបានផ្តល់ឱ្យស៊េរីនៃលេខ: 3, 7, 11, 15, ... អ្នកត្រូវស្វែងរកអ្វីដែលផលបូកនៃពាក្យរបស់វាពី 8 ទៅ 14 នឹងមាន។

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយតាមពីរវិធី។ ទីមួយនៃពួកគេពាក់ព័ន្ធនឹងការស្វែងរកពាក្យដែលមិនស្គាល់ពី 8 ទៅ 14 ហើយបន្ទាប់មកបូកសរុបវាតាមលំដាប់លំដោយ។ ដោយសារ​មាន​លក្ខខណ្ឌ​តិចតួច វិធីសាស្ត្រ​នេះ​មិន​ពិបាក​គ្រប់គ្រាន់​ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយវិធីសាស្រ្តទីពីរដែលជាសកលជាង។

គំនិតនេះគឺដើម្បីទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិតរវាងពាក្យ m និង n ដែល n > m ជាចំនួនគត់។ សម្រាប់ករណីទាំងពីរ យើងសរសេរកន្សោមពីរសម្រាប់ផលបូក៖

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2 ។
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2 ។

ចាប់តាំងពី n > m វាច្បាស់ណាស់ថាផលបូក 2 រួមបញ្ចូលលេខទីមួយ។ ការសន្និដ្ឋានចុងក្រោយមានន័យថាប្រសិនបើយើងយកភាពខុសគ្នារវាងផលបូកទាំងនេះហើយបន្ថែមពាក្យ a m ទៅវា (ក្នុងករណីយកភាពខុសគ្នាវាត្រូវបានដកចេញពីផលបូក S n) នោះយើងទទួលបានចម្លើយចាំបាច់ចំពោះបញ្ហា។ យើងមាន៖ S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ n និង m ទៅក្នុងកន្សោមនេះ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ S mn = a 1 * (n − m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n − m + 1) + d * n * (n − 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2 ។

រូបមន្តលទ្ធផលគឺពិបាកបន្តិច ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ផលបូក S mn អាស្រ័យតែលើ n, m, a 1 និង d ប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងករណីរបស់យើង a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ការជំនួសលេខទាំងនេះយើងទទួលបាន: S mn = 301 ។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីដំណោះស្រាយខាងលើ បញ្ហាទាំងអស់គឺផ្អែកលើចំណេះដឹងនៃការបញ្ចេញមតិសម្រាប់ពាក្យទី 1 និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសំណុំនៃពាក្យទីមួយ។ មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យអ្នកអានលក្ខខណ្ឌដោយប្រុងប្រយ័ត្ន យល់យ៉ាងច្បាស់អំពីអ្វីដែលអ្នកចង់ស្វែងរក ហើយមានតែបន្តដំណោះស្រាយប៉ុណ្ណោះ។

គន្លឹះមួយទៀតគឺត្រូវខិតខំឱ្យមានភាពសាមញ្ញ ពោលគឺប្រសិនបើអ្នកអាចឆ្លើយសំណួរដោយមិនប្រើការគណនាគណិតវិទ្យាស្មុគ្រស្មាញ នោះអ្នកត្រូវធ្វើដូចនោះ ព្រោះក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្វើខុសគឺតិចជាង។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលេខ 6 មនុស្សម្នាក់អាចឈប់នៅរូបមន្ត S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, ហើយបំបែកភារកិច្ចទូទៅទៅជាកិច្ចការរងដាច់ដោយឡែក (ក្នុងករណីនេះដំបូងរកពាក្យ a n និង a m) ។

ប្រសិនបើមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផលដែលទទួលបាន វាត្រូវបានណែនាំឱ្យពិនិត្យមើលវា ដូចដែលបានធ្វើនៅក្នុងឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ របៀបស្វែងរកការវិវត្តនព្វន្ធ, បានរកឃើញ។ ពេល​អ្នក​យល់​ឃើញ​ហើយ វា​មិន​ពិបាក​នោះ​ទេ។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធដាក់ឈ្មោះលំដាប់នៃលេខ (សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព)

ក្នុង​នោះ​ពាក្យ​បន្ទាប់​នីមួយៗ​ខុស​ពី​ពាក្យ​មុន​ដោយ​ពាក្យ​ដែក​ដែល​គេ​ហៅ​ផង​ដែរ​ ភាពខុសគ្នានៃជំហានឬវឌ្ឍនភាព.

ដូច្នេះ ដោយកំណត់ជំហាននៃវឌ្ឍនភាព និងពាក្យដំបូងរបស់វា អ្នកអាចរកឃើញធាតុណាមួយរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ

1) សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ ចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺជាមធ្យមនព្វន្ធនៃសមាជិកមុន និងបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាព។

ការសន្ទនាក៏ជាការពិតដែរ។ ប្រសិនបើមធ្យមនព្វន្ធនៃសមាជិកសេស (គូ) ជិតខាងនៃវឌ្ឍនភាពគឺស្មើនឹងសមាជិកដែលឈរនៅចន្លោះពួកវា នោះលំដាប់នៃលេខនេះគឺជាការវិវត្តនព្វន្ធ។ ដោយការអះអាងនេះវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការត្រួតពិនិត្យលំដាប់ណាមួយ។

ផងដែរដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ រូបមន្តខាងលើអាចត្រូវបានទូទៅទៅដូចខាងក្រោម

វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ប្រសិនបើយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌនៅខាងស្តាំនៃសញ្ញាស្មើគ្នា

វាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការអនុវត្តដើម្បីសម្រួលការគណនាក្នុងបញ្ហា។

2) ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

ចងចាំយ៉ាងល្អនូវរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ វាគឺជាការមិនអាចខ្វះបានក្នុងការគណនា និងជារឿងធម្មតានៅក្នុងស្ថានភាពជីវិតសាមញ្ញ។

3) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការរកមិនឃើញផលបូកទាំងមូល ប៉ុន្តែផ្នែកមួយនៃលំដាប់ដែលចាប់ផ្តើមពីសមាជិក k -th របស់វា នោះរូបមន្តបូកខាងក្រោមនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នក។

4) វាមានចំណាប់អារម្មណ៍ជាក់ស្តែងក្នុងការស្វែងរកផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការនព្វន្ធដែលចាប់ផ្តើមពីលេខ kth ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមប្រើរូបមន្ត

នេះគឺជាកន្លែងដែលសម្ភារៈទ្រឹស្តីបញ្ចប់ ហើយយើងបន្តទៅការដោះស្រាយបញ្ហាដែលជារឿងធម្មតានៅក្នុងការអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ 1. រកលេខ សែសិបនៃដំណើរការនព្វន្ធ 4;7;...

ការសម្រេចចិត្ត៖

យោងតាមលក្ខខណ្ឌយើងមាន

កំណត់ជំហាននៃដំណើរការ

តាម​រូបមន្ត​ដែល​គេ​ស្គាល់ យើង​រក​ឃើញ​ពាក្យ​ទី​សែសិប​នៃ​ការ​វិវត្តន៍

ឧទាហរណ៍ ២. ដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមាជិកទីបី និងទីប្រាំពីររបស់វា។ ស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព និងផលបូកនៃដប់។

ការសម្រេចចិត្ត៖

យើងសរសេរធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃវឌ្ឍនភាពយោងទៅតាមរូបមន្ត

យើងដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ ជាលទ្ធផលយើងរកឃើញជំហានរីកចម្រើន

តម្លៃដែលបានរកឃើញគឺត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការណាមួយ ដើម្បីស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ

គណនាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដប់ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព

ដោយមិនអនុវត្តការគណនាស្មុគស្មាញ យើងបានរកឃើញតម្លៃដែលត្រូវការទាំងអស់។

ឧទាហរណ៍ 3. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយភាគបែង និងសមាជិកមួយរបស់វា។ ស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព ផលបូកនៃពាក្យ 50 របស់វាដែលចាប់ផ្តើមពី 50 និងផលបូកនៃ 100 ដំបូង។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ធាតុទីរយនៃវឌ្ឍនភាព

និងស្វែងរកទីមួយ

ដោយផ្អែកលើទី 1 យើងរកឃើញពាក្យទី 50 នៃវឌ្ឍនភាព

ការស្វែងរកផលបូកនៃផ្នែកនៃដំណើរការ

និងផលបូកនៃ 100 ដំបូង

ផលបូកនៃដំណើរការគឺ 250 ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកចំនួនសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ៖

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111។

ការសម្រេចចិត្ត៖

យើងសរសេរសមីការក្នុងន័យនៃពាក្យទីមួយ និងជំហាននៃវឌ្ឍនភាព ហើយកំណត់ពួកវា

យើងជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្តផលបូកដើម្បីកំណត់ចំនួនសមាជិកក្នុងផលបូក

ការធ្វើឱ្យមានភាពសាមញ្ញ

និងដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ក្នុង​ចំណោម​តម្លៃ​ទាំង​ពីរ​ដែល​បាន​រក​ឃើញ​មាន​តែ​លេខ 8 ដែល​ស័ក្តិសម​នឹង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​បញ្ហា។ ដូច្នេះផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំបីដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពគឺ 111 ។

ឧទាហរណ៍ ៥

ដោះស្រាយសមីការ

1+3+5+...+x=307។

ដំណោះស្រាយ៖ សមីការនេះគឺជាផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ យើងសរសេរពាក្យដំបូងរបស់វា ហើយស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព

មុនពេលយើងចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត បញ្ហានៃដំណើរការនព្វន្ធពិចារណាថាតើលំដាប់លេខជាអ្វី ចាប់តាំងពីការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាករណីពិសេសនៃលំដាប់លេខ។

លំដាប់លេខគឺជាសំណុំលេខ ដែលធាតុនីមួយៗមានលេខស៊េរីរៀងៗខ្លួន. ធាតុនៃសំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃលំដាប់។ ចំនួនលំដាប់នៃធាតុលំដាប់មួយត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយលិបិក្រមមួយ៖

ធាតុដំបូងនៃលំដាប់;

ធាតុទីប្រាំនៃលំដាប់;

- "ទី" ធាតុនៃលំដាប់, i.e. ធាតុ "ឈរក្នុងជួរ" នៅលេខ n ។

មានភាពអាស្រ័យរវាងតម្លៃនៃធាតុលំដាប់មួយ និងលេខលំដាប់របស់វា។ ដូច្នេះ យើងអាចពិចារណាលំដាប់មួយជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់ជាលេខលំដាប់នៃធាតុនៃលំដាប់។ ម្យ៉ាង​ទៀត គេ​អាច​និយាយ​បែប​នោះ។ លំដាប់គឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ៖

លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមបីវិធី៖

1 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើតារាង។ក្នុងករណីនេះ យើងគ្រាន់តែកំណត់តម្លៃនៃសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់។

ជាឧទាហរណ៍ នរណាម្នាក់បានសម្រេចចិត្តធ្វើការគ្រប់គ្រងពេលវេលាផ្ទាល់ខ្លួន ហើយចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការគណនាថាតើគាត់ចំណាយពេលប៉ុន្មាននៅលើ VKontakte ក្នុងមួយសប្តាហ៍។ ដោយការសរសេរពេលវេលានៅក្នុងតារាងមួយ គាត់នឹងទទួលបានលំដាប់ដែលមានធាតុប្រាំពីរ៖

ជួរទីមួយនៃតារាងមានលេខនៃថ្ងៃនៃសប្តាហ៍ទីពីរ - ពេលវេលាគិតជានាទី។ យើងឃើញថា នោះគឺនៅថ្ងៃច័ន្ទ នរណាម្នាក់បានចំណាយពេល 125 នាទីនៅលើ VKontakte នោះគឺនៅថ្ងៃព្រហស្បតិ៍ - 248 នាទី ហើយនោះគឺនៅថ្ងៃសុក្រត្រឹមតែ 15 ប៉ុណ្ណោះ។

2 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្តសមាជិកទី n ។

ក្នុងករណីនេះ ការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនៃធាតុលំដាប់មួយនៅលើលេខរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយផ្ទាល់ជារូបមន្ត។

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃធាតុលំដាប់ដែលមានលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងជំនួសលេខធាតុទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់សមាជិកទី n ។

យើងធ្វើដូចគ្នាប្រសិនបើយើងត្រូវការស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានគេស្គាល់។ យើងជំនួសតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ជំនួសវិញនៅក្នុងសមីការនៃអនុគមន៍៖

ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ បន្ទាប់មក

ជា​ថ្មី​ម្តង​ទៀត ខ្ញុំ​កត់​សម្គាល់​ថា ក្នុង​លំដាប់​មួយ ផ្ទុយ​ពី​អនុគមន៍​លេខ​តាម​អំពើ​ចិត្ត មាន​តែ​លេខ​ធម្មជាតិ​ប៉ុណ្ណោះ​ដែល​អាច​ជា​អាគុយម៉ង់។

3 . លំដាប់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្តដែលបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនៃសមាជិកនៃលំដាប់ដែលមានលេខ n លើតម្លៃនៃសមាជិកពីមុន។ ក្នុងករណីនេះវាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងក្នុងការដឹងត្រឹមតែចំនួនសមាជិកនៃលំដាប់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា។ យើងត្រូវបញ្ជាក់សមាជិកដំបូង ឬសមាជិកពីរបីនាក់ដំបូងនៃលំដាប់។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាតាមលំដាប់លំដោយ ,

យើងអាចស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកនៃលំដាប់មួយ។ នៅក្នុងលំដាប់ចាប់ផ្តើមពីទីបី៖

នោះ​គឺ​រាល់​ពេល​ដើម្បី​រក​តម្លៃ​នៃ​សមាជិក​ទី n នៃ​លំដាប់ យើង​ត្រឡប់​ទៅ​ពីរ​មុន​វិញ។ វិធីនៃលំដាប់នេះត្រូវបានគេហៅថា កើតឡើងវិញ។, មកពីពាក្យឡាតាំង កើតឡើងវិញ- ត្រឡប់មកវិញ។

ឥឡូវនេះយើងអាចកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធមួយ។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាករណីពិសេសដ៏សាមញ្ញនៃលំដាប់លេខ។

វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់លេខ ដែលសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺស្មើនឹងលេខមុន ដែលបន្ថែមដោយលេខដូចគ្នា។

លេខត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ. ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធអាចជាវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬសូន្យ។

ប្រសិនបើ title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} កើនឡើង.

ឧទាហរណ៍ ២; ៥; ប្រាំបី; ដប់មួយ;...

ប្រសិនបើ នោះពាក្យនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺតិចជាងពាក្យមុន ហើយការវិវត្តគឺ ស្រក.

ឧទាហរណ៍ ២; - មួយ; -៤; -៧;...

ប្រសិនបើ នោះសមាជិកទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពគឺស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា ហើយការវិវត្តគឺ ស្ថានី.

ឧទាហរណ៍ ២;២;២;២;...

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ៖

តោះមើលរូបភាព។

យើងឃើញនោះ។

និងក្នុងពេលតែមួយ

បន្ថែមភាពស្មើគ្នាទាំងពីរនេះ យើងទទួលបាន៖

.

ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 2:

ដូច្នេះ សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃចំនួនពីរដែលនៅជិតគ្នា៖

លើសពីនេះទៅទៀតដោយសារតែ

និងក្នុងពេលតែមួយ

បន្ទាប់មក

, ហេតុ​ដូចនេះ​ហើយ

សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធដែលចាប់ផ្តើមដោយ title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

រូបមន្តសមាជិក។

យើងឃើញថាសម្រាប់សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមាន៖

ជា​ចុងក្រោយ

យើងទទួលបាន រូបមន្តនៃពាក្យទី 3 ។

សំខាន់!សមាជិក​ណា​មួយ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ​អាច​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ និង . ដោយដឹងពីពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ អ្នកអាចស្វែងរកសមាជិកណាមួយរបស់វា។

ផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធតាមអំពើចិត្ត ផលបូកនៃពាក្យដែលមានគម្លាតស្មើគ្នាពីចំនុចខ្លាំងគឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក៖

ពិចារណាការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយ n សមាជិក។ សូមឱ្យផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការនេះស្មើនឹង .

រៀបចំ​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​ជា​មុន​ក្នុង​លំដាប់​ឡើង​នៃ​លេខ ហើយ​បន្ទាប់​មក​តាម​លំដាប់​ចុះ ៖

ចូរ​ផ្គូផ្គង​វា៖

ផលបូកក្នុងវង់ក្រចកនីមួយៗគឺ ចំនួនគូគឺ n ។

យើង​ទទួល​បាន:

ដូច្នេះ ផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការនព្វន្ធអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖

ពិចារណា ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការវិវត្តនព្វន្ធ.

1 . លំដាប់​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​រូបមន្ត​នៃ​ពាក្យ​ទី​៩៖ . បង្ហាញថាលំដាប់នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ថា​ភាព​ខុស​គ្នា​រវាង​សមាជិក​ពីរ​នៅ​ជាប់​គ្នា​នៃ​លំដាប់​គឺ​ស្មើ​នឹង​ចំនួន​ដូច​គ្នា។

យើងបានទទួលថាភាពខុសគ្នានៃសមាជិកពីរដែលនៅជាប់គ្នានៃលំដាប់មិនអាស្រ័យលើចំនួនរបស់ពួកគេហើយជាចំនួនថេរ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យ លំដាប់នេះគឺជាដំណើរការនព្វន្ធ។

2 . ដែលបានផ្តល់ឱ្យការវិវត្តនព្វន្ធ -31; -២៧;...

ក) ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌចំនួន ៣១ នៃដំណើរការ។

ខ) កំណត់ថាតើលេខ 41 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការវិវត្តនេះ។

ក)យើង​ឃើញ​ថា​;

ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 សម្រាប់ការរីកចម្រើនរបស់យើង។

ជាទូទៅ

ក្នុងករណីរបស់យើង។ , នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល