ភាគហ៊ុននៃឯកតា និងត្រូវបានតំណាងជា \frac(a)(b).

លេខប្រភាគ (ក)- លេខខាងលើបន្ទាត់នៃប្រភាគ និងបង្ហាញពីចំនួនភាគហ៊ុនដែលអង្គភាពត្រូវបានបែងចែក។

ភាគបែងប្រភាគ (ខ)- លេខនៅក្រោមបន្ទាត់នៃប្រភាគ និងបង្ហាញពីចំនួនភាគហ៊ុនដែលអង្គភាពត្រូវបានបែងចែក។

លាក់ការបង្ហាញ

ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប្រភាគ

ប្រសិនបើ ad=bc នោះប្រភាគពីរ \frac(a)(b)និង \frac(c)(d)ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ប្រភាគនឹងស្មើគ្នា \frac35និង \frac(9)(15)ចាប់តាំងពី 3 \\ cdot 15 = 15 \\ cdot 9 , \frac(12)(7)និង \frac(24)(14)ចាប់តាំងពី 12 \\ cdot 14 = 7 \\ cdot 24 ។

តាមនិយមន័យនៃសមភាពនៃប្រភាគ វាដូចខាងក្រោមថាប្រភាគនឹងស្មើគ្នា \frac(a)(b)និង \frac(am)(bm)ដោយហេតុថា a(bm)=b(am) គឺជាឧទាហរណ៍ច្បាស់លាស់នៃការប្រើប្រាស់លក្ខណសម្បត្តិរួម និងទំនាក់ទំនងនៃការគុណនៃចំនួនធម្មជាតិនៅក្នុងសកម្មភាព។

មធ្យោបាយ \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- មើលទៅដូចនេះ ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប្រភាគ.

ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងទទួលបានប្រភាគស្មើនឹងចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយគុណ ឬចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដើមដោយចំនួនធម្មជាតិដូចគ្នា។

ការកាត់បន្ថយប្រភាគគឺ​ជា​ដំណើរ​ការ​នៃ​ការ​ជំនួស​ប្រភាគ ដែល​ប្រភាគ​ថ្មី​ស្មើ​នឹង​លេខ​ដើម ប៉ុន្តែ​មាន​ភាគ​តូច​ជាង និង​ភាគបែង។

វាជាទម្លាប់ក្នុងការកាត់បន្ថយប្រភាគដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃប្រភាគ។

ឧទាហរណ៍, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(ភាគយក និងភាគបែងត្រូវបែងចែកដោយលេខ 3); ប្រភាគលទ្ធផលអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយម្តងទៀតដោយបែងចែកដោយ 5, i.e. \frac(15)(20)=\frac 34.

ប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។គឺជាប្រភាគនៃទម្រង់ \frac ៣៤ដែលជាកន្លែងដែលភាគយក និងភាគបែងជាលេខសំខាន់។ គោលបំណងសំខាន់នៃការកាត់បន្ថយប្រភាគគឺដើម្បីធ្វើឱ្យប្រភាគមិនអាចកាត់បន្ថយបាន។

នាំប្រភាគទៅជាភាគបែងរួម

ចូរយើងយកប្រភាគពីរជាឧទាហរណ៍៖ \frac(2)(3)និង \frac(5)(8)ជាមួយនឹងភាគបែងផ្សេងគ្នា 3 និង 8 ។ ដើម្បីនាំយកប្រភាគទាំងនេះទៅជាភាគបែងរួម ហើយដំបូងត្រូវគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ \frac(2)(3)ដោយ 8 ។ យើងទទួលបានលទ្ធផលដូចខាងក្រោមៈ \frac(2\cdot 8)(3\cdot 8) = \frac(16)(24). បន្ទាប់មកគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ \frac(5)(8)ដោយ 3 ។ យើងទទួលបានលទ្ធផល៖ \frac(5\cdot 3)(8\cdot 3) = \frac(15)(24). ដូច្នេះប្រភាគដើមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងរួម 24 ។

ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើប្រភាគធម្មតា។

ការបន្ថែមប្រភាគធម្មតា។

ក) ជាមួយនឹងភាគបែងដូចគ្នា ភាគយកនៃប្រភាគទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅភាគយកនៃប្រភាគទីពីរ ដោយទុកភាគបែងនៅដដែល។ ដូចដែលបានឃើញក្នុងឧទាហរណ៍៖

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

ខ) ជាមួយនឹងភាគបែងផ្សេងគ្នា ប្រភាគត្រូវបានកាត់បន្ថយដំបូងទៅជាភាគបែងធម្មតា ហើយបន្ទាប់មកភាគបែងត្រូវបានបន្ថែមដោយច្បាប់ a)៖

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7\cdot 4)(3)+\frac(1\cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

ដកប្រភាគធម្មតា។

ក) ជាមួយនឹងភាគបែងដូចគ្នា ដកភាគយកនៃប្រភាគទីពីរចេញពីភាគយកនៃប្រភាគទីមួយ ដោយទុកភាគបែងដូចគ្នា៖

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

ខ) ប្រសិនបើភាគបែងនៃប្រភាគគឺខុសគ្នា នោះប្រភាគដំបូងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងធម្មតា ហើយបន្ទាប់មកធ្វើជំហានដូចក្នុងកថាខណ្ឌ ក)។

គុណនៃប្រភាគធម្មតា។

ការគុណប្រភាគគោរពតាមវិធានខាងក្រោម៖

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b\cdot d),

នោះគឺ គុណភាគយក និងភាគបែងដោយឡែកពីគ្នា។

ឧទាហរណ៍:

\\frac(3)(5) \\cdot \\frac(4)(8) = \\frac(3\cdot 4)(5\cdot 8)=\frac(12)(40).

ការបែងចែកប្រភាគធម្មតា។

ប្រភាគត្រូវបានបែងចែកតាមវិធីដូចខាងក្រោមៈ

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)=\frac(ad)(bc),

នោះគឺជាប្រភាគ \frac(a)(b)គុណនឹងប្រភាគ \frac(d)(c).

ឧទាហរណ៍៖ \frac(7)(2)៖ \frac(1)(8)=\frac(7)(2)\cdot \frac(8)(1)=\frac(7\cdot 8)(2\cdot 1 )=\frac(56)(2).

លេខទៅវិញទៅមក

ប្រសិនបើ ab=1 នោះលេខ b គឺ លេខបញ្ច្រាសសម្រាប់លេខ a ។

ឧទាហរណ៍៖ សម្រាប់លេខ 9 គឺបញ្ច្រាស \frac(1)(9), ជា 9 \\ cdot \\ frac (1) (9) = 1សម្រាប់លេខ 5 - \frac(1)(5), ជា 5 \\ cdot \\ frac (1) (5) = 1.

ទសភាគ

ទសភាគគឺជាប្រភាគត្រឹមត្រូវដែលភាគបែងគឺ 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n ។

ឧទាហរណ៍: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

តាមរបៀបដូចគ្នា លេខមិនត្រឹមត្រូវដែលមានភាគបែង 10^n ឬលេខចម្រុះត្រូវបានសរសេរ។

ឧទាហរណ៍: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

នៅក្នុងទម្រង់នៃប្រភាគទសភាគ ប្រភាគធម្មតាណាមួយដែលមានភាគបែងដែលជាផ្នែកចែកនៃអំណាចជាក់លាក់នៃលេខ 10 ត្រូវបានតំណាង។

ឧទាហរណ៍៖ 5 គឺជាផ្នែកចែកនៃ 100 ដូច្នេះប្រភាគ \frac(1)(5)=\frac(1\cdot 20)(5\cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើប្រភាគទសភាគ

ការបន្ថែមទសភាគ

ដើម្បីបន្ថែមប្រភាគទសភាគពីរ អ្នកត្រូវរៀបចំពួកវាដើម្បីឱ្យលេខដូចគ្នា និងសញ្ញាក្បៀសនៅក្រោមសញ្ញាក្បៀសលេចឡើងនៅក្រោមគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមប្រភាគជាលេខធម្មតា។

ដកលេខទសភាគ

វាដំណើរការតាមរបៀបដូចគ្នានឹងការបន្ថែម។

គុណលេខទសភាគ

នៅពេលគុណលេខទសភាគ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយមិនអើពើនឹងសញ្ញាក្បៀស (ជាលេខធម្មជាតិ) ហើយនៅក្នុងចម្លើយដែលបានទទួល សញ្ញាក្បៀសនៅខាងស្តាំបំបែកខ្ទង់ជាច្រើនដូចដែលមានបន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគក្នុងកត្តាទាំងពីរសរុប។ .

ចូរយើងធ្វើគុណនៃ 2.7 គុណនឹង 1.3 ។ យើងមាន 27 \\cdot 13 = 351 ។ យើងបំបែកពីរខ្ទង់ពីខាងស្តាំដោយប្រើសញ្ញាក្បៀស (លេខទីមួយ និងទីពីរមានមួយខ្ទង់បន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគ 1+1=2)។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន 2.7 \\ cdot 1.3 = 3.51 ។

ប្រសិនបើលទ្ធផលដែលទទួលបានគឺតិចជាងចំនួនខ្ទង់ដែលត្រូវតែបំបែកដោយសញ្ញាក្បៀស នោះលេខសូន្យដែលបាត់ត្រូវបានសរសេរនៅខាងមុខ ឧទាហរណ៍៖

ដើម្បីគុណនឹង 10, 100, 1000 ក្នុងប្រភាគទសភាគ រំកិលសញ្ញាក្បៀស 1, 2, 3 ខ្ទង់ទៅខាងស្តាំ (បើចាំបាច់ លេខសូន្យមួយចំនួនត្រូវបានកំណត់ទៅខាងស្តាំ)។

ឧទាហរណ៍៖ 1.47 \cdot 10\,000 = 14,700 ។

ការបែងចែកទសភាគ

ការបែងចែកប្រភាគទសភាគដោយចំនួនធម្មជាតិគឺធ្វើឡើងតាមរបៀបដូចគ្នានឹងការចែកលេខធម្មជាតិដោយលេខធម្មជាតិ។ សញ្ញាក្បៀសនៅក្នុងឯកជនត្រូវបានដាក់បន្ទាប់ពីការបែងចែកផ្នែកចំនួនគត់ត្រូវបានបញ្ចប់។

ប្រសិនបើផ្នែកចំនួនគត់នៃភាគលាភគឺតិចជាងផ្នែកចែក នោះចម្លើយគឺលេខសូន្យ ឧទាហរណ៍៖

ពិចារណាការបែងចែកទសភាគដោយទសភាគ។ ឧបមាថាយើងត្រូវចែក 2.576 ដោយ 1.12 ។ ជាដំបូង យើងគុណភាគលាភ និងផ្នែកចែកប្រភាគដោយ 100 ពោលគឺយើងផ្លាស់ទីសញ្ញាក្បៀសទៅខាងស្តាំក្នុងភាគលាភ និងចែកដោយតួអក្សរជាច្រើនដូចដែលមាននៅក្នុងផ្នែកចែកបន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគ (ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ , ពីរ). បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវបែងចែកប្រភាគ 257.6 ដោយលេខធម្មជាតិ 112 នោះគឺបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាករណីដែលបានពិចារណារួចហើយ:

វាកើតឡើងថាប្រភាគទសភាគចុងក្រោយមិនតែងតែទទួលបានទេ នៅពេលចែកលេខមួយទៅលេខមួយទៀត។ លទ្ធផលគឺទសភាគគ្មានកំណត់។ ក្នុងករណីបែបនេះសូមទៅប្រភាគធម្មតា។

2.8: 0.09= \frac(28)(10): \frac(9)(100)=\frac(28\cdot 100)(10\cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1) (9).

កាន់កាប់ ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប្រភាគ:

ចំណាំ ១

ប្រសិនបើភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគត្រូវបានគុណ ឬចែកដោយចំនួនធម្មជាតិដូចគ្នា នោះជាលទ្ធផលយើងទទួលបានប្រភាគស្មើនឹងលេខដើម៖

$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$

ឧទាហរណ៍ ១

សូមអោយការ៉េមួយចែកជា $4$ ផ្នែកស្មើគ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើផ្នែក $2$ នៃ $4$ ត្រូវបានដាក់ស្រមោល យើងទទួលបានស្រមោល $\frac(2)(4)$ នៃការ៉េទាំងមូល។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលការ៉េនេះ វាច្បាស់ណាស់ថាពាក់កណ្តាលរបស់វាមានស្រមោល ពោលគឺឧ។ $(1)(2)$។ ដូចនេះ យើងទទួលបាន $\frac(2)(4)=\frac(1)(2)$។ ចូរយើងបែងចែកលេខ $2$ និង $4$៖

ជំនួសការពង្រីកទាំងនេះទៅជាសមភាព៖

$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,

$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,

$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$។

ឧទាហរណ៍ ២

តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការទទួលបានប្រភាគស្មើគ្នា ប្រសិនបើទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវគុណនឹង $18 ហើយបន្ទាប់មកចែកនឹង $3?

ការសម្រេចចិត្ត.

អនុញ្ញាតឱ្យប្រភាគធម្មតាមួយចំនួន $\frac(a)(b)$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ តាមលក្ខខណ្ឌ ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនេះត្រូវបានគុណនឹង $18 $ យើងទទួលបាន៖

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div 3)(b\div 3)$

យោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃប្រភាគ៖

$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$

ដូច្នេះប្រភាគលទ្ធផលគឺស្មើនឹងដើម។

ចម្លើយ៖ អ្នកអាចទទួលបានប្រភាគស្មើនឹងដើម។

ការអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃប្រភាគ

ទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងនៃប្រភាគមួយត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតសម្រាប់៖

• ការបំប្លែងប្រភាគទៅជាភាគបែងថ្មី៖
• អក្សរកាត់ប្រភាគ។

ការនាំយកប្រភាគទៅភាគបែងថ្មី។- ការជំនួសប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រភាគដែលនឹងស្មើនឹងវា ប៉ុន្តែត្រូវមានភាគយកធំជាង និងភាគបែងធំជាង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះ ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគត្រូវបានគុណនឹងចំនួនធម្មជាតិដូចគ្នា ជាលទ្ធផលដែលយោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងនៃប្រភាគ ប្រភាគមួយត្រូវបានទទួលដែលស្មើនឹងលេខដើម ប៉ុន្តែជាមួយនឹងធំជាង។ ភាគបែង និងភាគបែង។

ការកាត់បន្ថយប្រភាគ- ការជំនួសប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រភាគដែលនឹងស្មើនឹងវា ប៉ុន្តែមានភាគបែងតូចជាង និងភាគបែងតូចជាង។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគត្រូវបានបែងចែកដោយការបែងចែកទូទៅវិជ្ជមាននៃភាគយក និងភាគបែង ដែលខុសពីសូន្យ ជាលទ្ធផលដែលយោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគ ប្រភាគមួយត្រូវបានទទួល។ គឺស្មើនឹងលេខដើម ប៉ុន្តែមានលេខតូចជាង និងភាគបែង។

ប្រសិនបើយើងបែងចែក (កាត់បន្ថយ) ភាគយក និងភាគបែងដោយ GCD របស់ពួកគេ នោះលទ្ធផលគឺ ទម្រង់ដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាននៃប្រភាគដើម.

ការកាត់បន្ថយប្រភាគ

ដូចដែលអ្នកដឹងប្រភាគធម្មតាត្រូវបានបែងចែកដោយ អាច​ចុះ​កិច្ចសន្យានិង មិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។.

ដើម្បីកាត់បន្ថយប្រភាគ អ្នកត្រូវបែងចែកទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយចែកចែកធម្មតាវិជ្ជមានរបស់ពួកគេ ដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ។ នៅពេលកាត់បន្ថយប្រភាគ ប្រភាគថ្មីត្រូវបានទទួលជាមួយនឹងភាគបែងតូចជាង និងភាគបែង ដែលយោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគគឺស្មើនឹងលេខដើម។

ឧទាហរណ៍ ៣

កាត់បន្ថយប្រភាគ $\frac(15)(25)$ ។

ការសម្រេចចិត្ត.

កាត់បន្ថយប្រភាគត្រឹម $5$ (ចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ $5)៖

$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$

ចម្លើយ៖ $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$។

ទទួលបានប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។

ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ប្រភាគមួយត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីទទួលបានប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបានស្មើនឹងប្រភាគកាត់បន្ថយដើម។ លទ្ធផលនេះអាចសម្រេចបានដោយការបែងចែកទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដើមដោយ GCD របស់ពួកគេ។

$\frac(a\div gcd (a,b))(b\div gcd (a,b))$ គឺជាប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ពីព្រោះ យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ GCD ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាលេខ coprime ។

GCD(a,b) គឺជាចំនួនធំបំផុតដែលទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ $\frac(a)(b)$ អាចបែងចែកបាន។ ដូច្នេះ ដើម្បីកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាទម្រង់ដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ gcd របស់ពួកគេ។

ចំណាំ ២

ច្បាប់កាត់បន្ថយប្រភាគ៖ 1. ស្វែងរក GCD នៃចំនួនពីរដែលមាននៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ។ 2. អនុវត្តការបែងចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយ GCD ដែលបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍ 4

កាត់បន្ថយប្រភាគ $6/36$ ទៅជាទម្រង់ដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។

ការសម្រេចចិត្ត.

ចូរកាត់បន្ថយប្រភាគនេះដោយ GCD$(6,36)=6$ ពីព្រោះ $36\div 6=6$។ យើង​ទទួល​បាន:

$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$

ចម្លើយ៖ $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ឃ្លា "កាត់បន្ថយប្រភាគ" មានន័យថា អ្នកត្រូវកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាទម្រង់ដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។

នៅពេលសិក្សាប្រភាគធម្មតា យើងជួបប្រទះនឹងគោលគំនិតនៃទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគ។ ទម្រង់សាមញ្ញគឺចាំបាច់សម្រាប់ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាមួយប្រភាគធម្មតា។ អត្ថបទនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការពិចារណាលើប្រភាគពិជគណិត និងការអនុវត្តចំពោះពួកវានៃទ្រព្យសម្បត្តិចម្បង ដែលនឹងត្រូវបានបង្កើតជាឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់វា។

រូបមន្តនិងហេតុផល

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគមានទម្រង់បែបបទ៖

និយមន័យ ១

នៅពេលគុណ ឬចែកភាគយក និងភាគបែងក្នុងពេលដំណាលគ្នា ដោយចំនួនដូចគ្នា តម្លៃនៃប្រភាគនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។

នោះគឺយើងទទួលបានថា a · m b · m = a b និង a: m b: m = a b គឺសមមូល ដែល a b = a · m b · m និង a b = a: m b: m ត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រឹមត្រូវ។ តម្លៃ a , b , m គឺជាលេខធម្មជាតិមួយចំនួន។

ការបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយចំនួនអាចតំណាងជា a · m b · m = a b ។ នេះគឺស្រដៀងនឹងការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 ។ នៅពេលបែងចែក សមភាពនៃទម្រង់ a ត្រូវបានប្រើ៖ m b: m \u003d a b បន្ទាប់មក 8 12 \u003d 2 4 2 4 \u003d 2 3 ។ វាក៏អាចត្រូវបានតំណាងជា m b m \u003d a b នោះគឺ 8 12 \u003d 2 4 3 4 \u003d 2 3 ។

នោះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគ a · m b · m = a b និង a b = a · m b · m នឹងត្រូវបានពិចារណាយ៉ាងលម្អិត ផ្ទុយទៅនឹង a: m b: m = a b និង a b = a: m b: m ។

ប្រសិនបើភាគយក និងភាគបែងមានចំនួនពិត នោះទ្រព្យសម្បត្តិនឹងអនុវត្ត។ ដំបូងយើងត្រូវបញ្ជាក់សុពលភាពនៃវិសមភាពសរសេរសម្រាប់លេខទាំងអស់។ នោះគឺ បញ្ជាក់អត្ថិភាពនៃ a · m b · m = a b សម្រាប់ពិតទាំងអស់ a , b , m , ដែល b និង m ជាតម្លៃមិនមែនសូន្យ ដើម្បីជៀសវាងការបែងចែកដោយសូន្យ។

ភស្តុតាង ១

អនុញ្ញាតឱ្យប្រភាគនៃទម្រង់ a b ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផ្នែកមួយនៃកំណត់ត្រា z ម្យ៉ាងវិញទៀត a b = z បន្ទាប់មកវាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ថា a · m b · m ត្រូវគ្នានឹង z នោះគឺដើម្បីបញ្ជាក់ a · m b · m = z. បន្ទាប់​មក​នេះ​នឹង​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​យើង​បង្ហាញ​ពី​អត្ថិភាព​នៃ​សមភាព a·m b·m = a b ។

របារប្រភាគមានន័យថាសញ្ញាចែក។ អនុវត្តទំនាក់ទំនងដោយគុណ និងចែក យើងទទួលបានពី a b = z បន្ទាប់ពីការបំលែង យើងទទួលបាន a = b · z ។ យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពជាលេខ ផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពគួរតែត្រូវបានគុណដោយលេខក្រៅពីសូន្យ។ បន្ទាប់មកយើងគុណនឹងលេខ m យើងទទួលបានថា a · m = (b · z) · m ។ តាម​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ យើង​មាន​សិទ្ធិ​សរសេរ​កន្សោម​ក្នុង​ទម្រង់ a · m = (b · m) · z ។ ដូចនេះ វាធ្វើតាមនិយមន័យថា a b = z ។ នោះហើយជាភស្តុតាងទាំងអស់នៃការបញ្ចេញមតិ a · m b · m = a b ។

សមភាពនៃទម្រង់ a · m b · m = a b និង a b = a · m b · m មានន័យនៅពេលដែលជំនួសឱ្យ a , b , m មានពហុនាម ហើយជំនួសឱ្យ b និង m ពួកគេមិនមែនជាសូន្យ។

ទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងនៃប្រភាគពិជគណិត៖ នៅពេលដែលយើងគុណភាគយក និងភាគបែងក្នុងពេលដំណាលគ្នាដោយចំនួនដូចគ្នា យើងទទួលបានលេខដូចគ្នាទៅនឹងកន្សោមដើម។

ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានចាត់ទុកថាមានភាពយុត្តិធម៌ ចាប់តាំងពីប្រតិបត្តិការជាមួយពហុនាមត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រតិបត្តិការជាមួយលេខ។

ឧទាហរណ៍ ១

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃប្រភាគ 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 ។ អាចបំប្លែងទៅជាទម្រង់ 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 − x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y) ។

ការគុណដោយពហុនាម x 2 + 2 · x · y ត្រូវបានអនុវត្ត។ ដូចគ្នាដែរ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់ជួយកម្ចាត់ x 2 ដែលមានវត្តមានក្នុងប្រភាគនៃទម្រង់ 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) ដែលផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ ទៅជាទម្រង់ 5 x + 5 x 3 + 3 ។ នេះហៅថាភាពសាមញ្ញ។

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់អាចត្រូវបានសរសេរជាកន្សោម a · m b · m = a b និង a b = a · m b · m នៅពេលដែល a , b , m គឺជាពហុនាម ឬអថេរធម្មតា ហើយ b និង m ត្រូវតែមិនមែនជាសូន្យ។

វិសាលភាពនៃការអនុវត្តកម្មសិទ្ធិចម្បងនៃប្រភាគពិជគណិត

ការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់គឺពាក់ព័ន្ធសម្រាប់ការកាត់បន្ថយទៅភាគបែងថ្មី ឬនៅពេលកាត់បន្ថយប្រភាគ។

និយមន័យ ២

ការកាត់បន្ថយទៅភាគបែងទូទៅគឺជាការគុណនៃភាគបែង និងភាគបែងដោយពហុនាមស្រដៀងគ្នា ដើម្បីទទួលបានថ្មីមួយ។ ប្រភាគលទ្ធផលគឺស្មើនឹងដើម។

នោះគឺប្រភាគនៃទម្រង់ x + y x 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1 នៅពេលគុណនឹង x 2 + 1 ហើយកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងធម្មតា (x + 1) (x 2 + 1) នឹងទទួលបាន ទម្រង់ x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1 ។

បន្ទាប់ពីអនុវត្តប្រតិបត្តិការជាមួយពហុនាម យើងទទួលបានថាប្រភាគពិជគណិតត្រូវបានបំប្លែងទៅជា x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1 ។

ការកាត់បន្ថយទៅភាគបែងធម្មតាក៏ត្រូវបានអនុវត្តផងដែរនៅពេលបន្ថែមឬដកប្រភាគ។ ប្រសិនបើមេគុណប្រភាគត្រូវបានផ្តល់ នោះដំបូង វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឱ្យសាមញ្ញមួយ ដែលនឹងធ្វើឱ្យទម្រង់សាមញ្ញ និងការរកឃើញនៃភាគបែងរួម។ ឧទាហរណ៍ 2 5 x y − 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y − 2 10 x + 1 2 = 4 x y − 20 10 x + 5 ។

ការអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិនៅពេលកាត់បន្ថយប្រភាគត្រូវបានអនុវត្តជា 2 ដំណាក់កាល៖ បំបែកភាគយក និងភាគបែងទៅជាកត្តាដើម្បីស្វែងរក m ទូទៅ បន្ទាប់មកធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់នៃប្រភាគ a b ដោយផ្អែកលើសមភាពនៃទម្រង់ a · m b · m = a ខ។

ប្រសិនបើប្រភាគនៃទម្រង់ 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 បន្ទាប់ពីការរលាយត្រូវបានបំប្លែងទៅជា x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y វាច្បាស់ណាស់ថាមេគុណទូទៅគឺ ពហុនាម 4 · x 2 − y ។ បន្ទាប់មកវានឹងអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកាត់បន្ថយប្រភាគយោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងរបស់វា។ យើងទទួលបាននោះ។

x (4 x 2 − y) 4 x 2 − y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y ។ ប្រភាគត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ បន្ទាប់មកនៅពេលជំនួសតម្លៃ វានឹងចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តសកម្មភាពតិចជាងពេលជំនួសតម្លៃដើម។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ពីវគ្គពិជគណិតនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា យើងងាកទៅរកភាពជាក់លាក់។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងសិក្សាលម្អិតអំពីប្រភេទពិសេសនៃការបញ្ចេញមតិ − ប្រភាគសមហេតុផលនិងវិភាគផងដែរនូវអ្វីដែលមានលក្ខណៈដូចគ្នាបេះបិទ បំរែបំរួលនៃប្រភាគសនិទានកើត​នៅ។

យើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថាប្រភាគសមហេតុផលក្នុងន័យដែលយើងកំណត់ពួកវាខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថាប្រភាគពិជគណិតនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាពិជគណិតមួយចំនួន។ នោះ​គឺ​ក្នុង​អត្ថបទ​នេះ​យើង​នឹង​យល់​រឿង​ដូច​គ្នា​នៅ​ក្រោម​ប្រភាគ​សមហេតុ​ផល និង​ពិជគណិត។

ដូចធម្មតា យើងចាប់ផ្តើមជាមួយនិយមន័យ និងឧទាហរណ៍។ បន្ទាប់មក សូមនិយាយអំពីការនាំយកប្រភាគសនិទានទៅជាភាគបែងថ្មី និងអំពីការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃសមាជិកនៃប្រភាគ។ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងវិភាគពីរបៀបដែលការកាត់បន្ថយប្រភាគត្រូវបានអនុវត្ត។ ជាចុងក្រោយ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរស់នៅលើការតំណាងនៃប្រភាគសមហេតុផលដែលជាផលបូកនៃប្រភាគជាច្រើន។ ព័ត៌មានទាំងអស់នឹងត្រូវបានផ្តល់ជាឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងការពិពណ៌នាលម្អិតនៃដំណោះស្រាយ។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍នៃប្រភាគសនិទាន

ប្រភាគសនិទានត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងមេរៀនពិជគណិតនៅថ្នាក់ទី 8 ។ យើងនឹងប្រើនិយមន័យនៃប្រភាគសនិទាន ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 ដោយ Yu. N. Makarychev និងអ្នកដទៃ។

និយមន័យនេះមិនបញ្ជាក់ថាតើពហុនាមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទានត្រូវតែជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារឬអត់។ ដូច្នេះ យើងនឹងសន្មត់ថាប្រភាគសនិទានអាចមានទាំងពហុនាមស្តង់ដារ និងមិនមែនស្តង់ដារ។

នេះគឺជាមួយចំនួន ឧទាហរណ៍នៃប្រភាគសមហេតុផល. ដូច្នេះ x/8 និង - ប្រភាគសមហេតុផល។ និងប្រភាគ និងមិនសមនឹងនិយមន័យដែលបន្លឺឡើងនៃប្រភាគសនិទានទេ ព្រោះក្នុងទីមួយនៃពួកវា ភាគយកមិនមែនជាពហុនាមទេ ហើយនៅក្នុងទីពីរ ទាំងភាគយក និងភាគបែងមានកន្សោមដែលមិនមែនជាពហុនាម។

ការបំប្លែងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទាន

ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគណាមួយ គឺជាកន្សោមគណិតវិទ្យាដែលគ្រប់គ្រាន់ដោយខ្លួនឯង ក្នុងករណីប្រភាគសនិទាន ពួកគេជាពហុនាម ក្នុងករណីជាក់លាក់មួយ ពួកវាជា monomials និងលេខ។ ដូច្នេះ ដោយប្រើភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទាន ដូចជាជាមួយនឹងកន្សោមណាមួយ ការបំប្លែងដូចគ្នាអាចត្រូវបានអនុវត្ត។ ម្យ៉ាងវិញទៀត កន្សោមនៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគសនិទានអាចត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមដែលដូចគ្នាបេះបិទនឹងវា ដូចជាភាគបែង។

នៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទាន ការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទអាចត្រូវបានអនុវត្ត។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងភាគយក អ្នកអាចដាក់ជាក្រុម និងកាត់បន្ថយពាក្យស្រដៀងគ្នា ហើយនៅក្នុងភាគបែង ផលិតផលនៃលេខជាច្រើនអាចត្រូវបានជំនួសដោយតម្លៃរបស់វា។ ហើយចាប់តាំងពីភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទានគឺជាពហុនាម វាអាចអនុវត្តការបំប្លែងលក្ខណៈនៃពហុនាមជាមួយពួកវា ឧទាហរណ៍ ការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ ឬតំណាងជាផលិតផល។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ សូមពិចារណាដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។

បំប្លែងប្រភាគសនិទាន ដូច្នេះ ភាគយកជាពហុនាមនៃទម្រង់ស្ដង់ដារ ហើយភាគបែងគឺជាផលគុណនៃពហុនាម។

ការសម្រេចចិត្ត។

ការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានទៅជាភាគបែងថ្មីត្រូវបានប្រើជាចម្បងនៅពេលបូក និងដកប្រភាគសនិទាន។

ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពីមុខប្រភាគ ក៏ដូចជានៅក្នុងភាគបែង និងភាគបែងរបស់វា។

ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប្រភាគអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃលក្ខខណ្ឌនៃប្រភាគ។ ជាការពិតណាស់ ការគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទានដោយ -1 គឺស្មើនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់ពួកគេ ហើយលទ្ធផលគឺជាប្រភាគដែលដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការបំប្លែងបែបនេះត្រូវតែប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលធ្វើការជាមួយប្រភាគសនិទាន។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគក្នុងពេលដំណាលគ្នានោះ អ្នកនឹងទទួលបានប្រភាគស្មើនឹងលេខដើម។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវគ្នាទៅនឹងសមភាព។

សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។ ប្រភាគសមហេតុផលអាចត្រូវបានជំនួសដោយប្រភាគស្មើគ្នាដែលមានសញ្ញាបញ្ច្រាសនៃភាគបែង និងភាគបែងនៃទម្រង់។

ជាមួយនឹងប្រភាគ ការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទមួយទៀតអាចត្រូវបានអនុវត្ត ដែលសញ្ញាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទាំងនៅក្នុងភាគយក ឬក្នុងភាគបែង។ ចូរយើងឆ្លងកាត់ច្បាប់សមស្រប។ ប្រសិនបើអ្នកជំនួសសញ្ញានៃប្រភាគរួមជាមួយនឹងសញ្ញានៃភាគបែង ឬភាគបែង អ្នកនឹងទទួលបានប្រភាគដែលដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងដើម។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាលាយលក្ខណ៍អក្សរត្រូវគ្នាទៅនឹងសមភាព និង .

វាមិនពិបាកក្នុងការបញ្ជាក់សមភាពទាំងនេះទេ។ ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការគុណលេខ។ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ពី​ពួក​គេ​មុន​គេ៖ . ដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរស្រដៀងគ្នា សមភាពក៏ត្រូវបានបង្ហាញផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ ប្រភាគអាចត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោម ឬ .

ដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែករងនេះ យើងបង្ហាញសមភាពដែលមានប្រយោជន៍ពីរទៀត និង . នោះគឺប្រសិនបើអ្នកប្តូរសញ្ញានៃតែភាគយកឬតែភាគបែងទេនោះប្រភាគនឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វា។ ឧទាហរណ៍, និង .

ការបំប្លែងដែលបានពិចារណា ដែលអនុញ្ញាតឱ្យផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃលក្ខខណ្ឌនៃប្រភាគមួយ ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលបំប្លែងកន្សោមប្រភាគ។

ការកាត់បន្ថយប្រភាគសមហេតុផល

ការបំប្លែងប្រភាគសនិទានខាងក្រោម ហៅថា ការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទាន គឺផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិមូលដ្ឋានដូចគ្នានៃប្រភាគ។ ការបំប្លែងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងសមភាព ដែល a , b និង c គឺជាពហុនាមមួយចំនួន ហើយ b និង c មិនមែនជាសូន្យ។

ពីសមភាពខាងលើ វាច្បាស់ណាស់ថា ការថយចុះនៃប្រភាគសនិទានមានន័យថាការកម្ចាត់កត្តារួមនៅក្នុងភាគបែង និងភាគបែងរបស់វា។

ឧទាហរណ៍។

កាត់បន្ថយប្រភាគសមហេតុផល។

ការសម្រេចចិត្ត។

កត្តាទូទៅ 2 អាចមើលឃើញភ្លាមៗ តោះកាត់បន្ថយវា (ពេលសរសេរវាងាយស្រួលឆ្លងកាត់កត្តាទូទៅដែលការកាត់បន្ថយត្រូវបានធ្វើឡើង) ។ យើង​មាន . ចាប់តាំងពី x 2 \u003d x x និង y 7 \u003d y 3 y 4 (សូមមើលប្រសិនបើចាំបាច់) វាច្បាស់ណាស់ថា x គឺជាកត្តាទូទៅនៃភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគលទ្ធផល ដូចជា y 3 ។ ចូរកាត់បន្ថយដោយកត្តាទាំងនេះ៖ . នេះបញ្ចប់ការកាត់បន្ថយ។

ខាងលើ យើងបានអនុវត្តការកាត់បន្ថយប្រភាគសមហេតុផលតាមលំដាប់លំដោយ។ ហើយវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តការកាត់បន្ថយក្នុងមួយជំហាន ដោយកាត់បន្ថយប្រភាគភ្លាមៗដោយ 2·x·y 3 ។ ក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយនឹងមើលទៅដូចនេះ: .

ចម្លើយ៖

.

នៅពេលកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទាន បញ្ហាចម្បងគឺថា កត្តាទូទៅនៃភាគយក និងភាគបែងមិនតែងតែអាចមើលឃើញទេ។ លើសពីនេះទៅទៀតវាមិនតែងតែមានទេ។ ដើម្បីស្វែងរកកត្តារួម ឬធ្វើឱ្យប្រាកដថាវាមិនមាន អ្នកត្រូវធ្វើកត្តាភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទាន។ ប្រសិនបើមិនមានកត្តាទូទៅទេនោះប្រភាគសនិទានដើមមិនចាំបាច់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទេបើមិនដូច្នេះទេការកាត់បន្ថយត្រូវបានអនុវត្ត។

នៅក្នុងដំណើរការនៃការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទាន ការ nuances ផ្សេងៗអាចកើតឡើង។ subtleties សំខាន់ៗជាមួយឧទាហរណ៍ និងព័ត៌មានលម្អិតត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទកាត់បន្ថយប្រភាគពិជគណិត។

បញ្ចប់ការសន្ទនាអំពីការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទាន យើងកត់សំគាល់ថាការបំប្លែងនេះគឺដូចគ្នាបេះបិទ ហើយការលំបាកចម្បងក្នុងការអនុវត្តរបស់វាស្ថិតនៅក្នុងកត្តានៃពហុនាមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង។

តំណាងនៃប្រភាគសមហេតុផលជាផលបូកនៃប្រភាគ

ជាក់លាក់ណាស់ ប៉ុន្តែក្នុងករណីខ្លះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ គឺការបំប្លែងប្រភាគសនិទាន ដែលមាននៅក្នុងតំណាងរបស់វាជាផលបូកនៃប្រភាគជាច្រើន ឬផលបូកនៃកន្សោមចំនួនគត់ និងប្រភាគ។

ប្រភាគសនិទានមួយ ក្នុងភាគយកដែលមានពហុនាម ដែលជាផលបូកនៃ monomials ជាច្រើន តែងតែអាចសរសេរជាផលបូកនៃប្រភាគដែលមានភាគបែងដូចគ្នា នៅក្នុងភាគយកដែលជា monomials ដែលត្រូវគ្នា។ ឧទាហរណ៍, . ការតំណាងនេះត្រូវបានពន្យល់ដោយច្បាប់នៃការបូក និងដកនៃប្រភាគពិជគណិតដែលមានភាគបែងដូចគ្នា។

ជាទូទៅ ប្រភាគសមហេតុផលណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃប្រភាគតាមវិធីផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន។ ឧទាហរណ៍ ប្រភាគ a/b អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃប្រភាគពីរ - ប្រភាគតាមអំពើចិត្ត c/d និងប្រភាគស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងប្រភាគ a/b និង c/d ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺជាការពិតចាប់តាំងពីសមភាព . ឧទាហរណ៍ ប្រភាគសមហេតុផលអាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃប្រភាគតាមវិធីផ្សេងៗ៖ យើងតំណាងឱ្យប្រភាគដើមជាផលបូកនៃកន្សោមចំនួនគត់ និងប្រភាគ។ បន្ទាប់ពីចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយជួរឈរមួយ យើងទទួលបានសមភាព . តម្លៃនៃកន្សោម n 3 +4 សម្រាប់ចំនួនគត់ n គឺជាចំនួនគត់។ ហើយតម្លៃនៃប្រភាគគឺជាចំនួនគត់ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើភាគបែងរបស់វាគឺ 1, −1, 3 ឬ −3 ។ តម្លៃទាំងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃ n=3, n=1, n=5 និង n=−1 រៀងគ្នា។

ចម្លើយ៖

−1 , 1 , 3 , 5 .

គន្ថនិទ្ទេស។

• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ 8 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី 7 ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 13 ed ។ , Rev ។ - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាលាបច្ចេកទេស): Proc. ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។- M.; ខ្ពស់ជាង សាលា ១៩៨៤.-៣៥១ ទំ., ឈឺ។

និយាយ​ពី​គណិតវិទ្យា គេ​មិន​អាច​ចាំ​ប្រភាគ​បាន​ទេ។ ការសិក្សារបស់ពួកគេត្រូវបានផ្តល់ការយកចិត្តទុកដាក់ និងពេលវេលាច្រើន។ ចងចាំថាតើមានឧទាហរណ៍ប៉ុន្មានដែលអ្នកត្រូវដោះស្រាយ ដើម្បីស្វែងយល់ពីច្បាប់ជាក់លាក់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយប្រភាគ របៀបដែលអ្នកទន្ទេញចាំ និងអនុវត្តលក្ខណៈសំខាន់នៃប្រភាគ។ តើសរសៃប្រសាទប៉ុន្មានត្រូវបានចំណាយដើម្បីស្វែងរកភាគបែងរួម ជាពិសេសប្រសិនបើមានច្រើនជាងពីរពាក្យនៅក្នុងឧទាហរណ៍!

ចូរយើងចាំថាវាជាអ្វី ហើយធ្វើឱ្យការចងចាំរបស់យើងឡើងវិញបន្តិចអំពីព័ត៌មានមូលដ្ឋាន និងច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយប្រភាគ។

និយមន័យនៃប្រភាគ

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអ្វីដែលសំខាន់បំផុត - និយមន័យ។ ប្រភាគគឺជាចំនួនដែលមានផ្នែកឯកតាមួយ ឬច្រើន។ លេខប្រភាគត្រូវបានសរសេរជាលេខពីរដែលបំបែកដោយផ្តេក ឬសញ្ញាចុច។ ក្នុងករណីនេះ ផ្នែកខាងលើ (ឬទីមួយ) ត្រូវបានគេហៅថា ភាគយក ហើយខាងក្រោម (ទីពីរ) ត្រូវបានគេហៅថា ភាគបែង។

គួរកត់សម្គាល់ថាភាគបែងបង្ហាញពីចំនួនផ្នែកដែលអង្គភាពត្រូវបានបែងចែក ហើយភាគបែងបង្ហាញពីចំនួនភាគហ៊ុន ឬផ្នែកដែលបានយក។ ជាញឹកញាប់ប្រភាគ ប្រសិនបើពួកគេត្រឹមត្រូវ គឺតិចជាងមួយ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលេខទាំងនេះនិងច្បាប់ជាមូលដ្ឋានដែលត្រូវបានប្រើនៅពេលធ្វើការជាមួយពួកគេ។ ប៉ុន្តែមុនពេលយើងវិភាគគំនិតដូចជា "ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគសនិទាន" ចូរនិយាយអំពីប្រភេទនៃប្រភាគ និងលក្ខណៈរបស់វា។

តើអ្វីទៅជាប្រភាគ

មានប្រភេទលេខបែបនេះជាច្រើន។ ដំបូងបង្អស់ ទាំងនេះគឺធម្មតា និងទសភាគ។ ទីមួយគឺជាប្រភេទនៃកំណត់ត្រាដែលបានចង្អុលបង្ហាញរួចហើយដោយយើងដោយប្រើសញ្ញាផ្តេកឬសញ្ញាចុច។ ប្រភេទទីពីរនៃប្រភាគត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់ទីតាំង ដែលនៅពេលដែលផ្នែកចំនួនគត់នៃលេខត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជាមុន ហើយបន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគ ផ្នែកប្រភាគត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ។

គួរកត់សំគាល់នៅទីនេះថាក្នុងគណិតវិទ្យាទាំងប្រភាគទសភាគ និងប្រភាគធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់ស្មើៗគ្នា។ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគមានសុពលភាពសម្រាប់តែជម្រើសទីពីរប៉ុណ្ណោះ។ លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងប្រភាគធម្មតា លេខត្រូវ និងខុសត្រូវបានសម្គាល់។ សម្រាប់អតីត ភាគយកតែងតែតិចជាងភាគបែង។ ចំណាំផងដែរថាប្រភាគបែបនេះគឺតិចជាងការរួបរួម។ នៅក្នុងប្រភាគដែលមិនត្រឹមត្រូវ ផ្ទុយទៅវិញ ភាគយកគឺធំជាងភាគបែង ហើយខ្លួនវាធំជាងមួយ។ ក្នុងករណីនេះចំនួនគត់អាចត្រូវបានស្រង់ចេញពីវា។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាតែប្រភាគធម្មតាប៉ុណ្ណោះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិប្រភាគ

បាតុភូតណាមួយ គីមី រូបវិទ្យា ឬគណិតវិទ្យា មានលក្ខណៈ និងលក្ខណៈសម្បត្តិផ្ទាល់ខ្លួន។ លេខប្រភាគគឺមិនមានករណីលើកលែងនោះទេ។ ពួកគេមានមុខងារសំខាន់មួយ ដោយមានជំនួយដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការជាក់លាក់លើពួកគេ។ តើអ្វីជាទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងនៃប្រភាគ? ច្បាប់ចែងថា ប្រសិនបើភាគយក និងភាគបែងរបស់វាត្រូវបានគុណ ឬចែកដោយចំនួនសនិទានភាពដូចគ្នា យើងនឹងទទួលបានប្រភាគថ្មី តម្លៃនឹងស្មើនឹងតម្លៃដើម។ នោះគឺការគុណផ្នែកទាំងពីរនៃប្រភាគ 3/6 ដោយ 2 យើងទទួលបានប្រភាគថ្មី 6/12 ខណៈដែលពួកវានឹងស្មើ។

ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនេះ អ្នកអាចកាត់បន្ថយប្រភាគ ក៏ដូចជាជ្រើសរើសភាគបែងទូទៅសម្រាប់គូជាក់លាក់នៃលេខ។

ប្រតិបត្តិការ

ទោះបីជាប្រភាគហាក់បីដូចជាស្មុគស្មាញជាងសម្រាប់យើងក៏ដោយ ក៏ពួកវាអាចធ្វើប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋានផងដែរ ដូចជាការបូក និងដក គុណ និងចែក។ លើសពីនេះទៀតមានសកម្មភាពជាក់លាក់ដូចជាការកាត់បន្ថយប្រភាគ។ តាមធម្មជាតិ សកម្មភាពទាំងនេះនីមួយៗត្រូវបានអនុវត្តទៅតាមច្បាប់ជាក់លាក់។ ការដឹងពីច្បាប់ទាំងនេះធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការជាមួយប្រភាគ ដែលធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួល និងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងនឹងពិចារណាបន្ថែមទៀតអំពីច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននិងក្បួនដោះស្រាយនៃសកម្មភាពនៅពេលធ្វើការជាមួយលេខបែបនេះ។

ប៉ុន្តែមុនពេលដែលយើងនិយាយអំពីប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាដូចជាការបូក និងដក យើងនឹងវិភាគប្រតិបត្តិការដូចជាការកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងរួម។ នេះគឺជាកន្លែងដែលចំណេះដឹងនៃទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប្រភាគដែលមាននឹងមានប្រយោជន៍។

កត្តា​កំណត់​រួម

ដើម្បីកាត់បន្ថយចំនួនមួយទៅភាគបែងរួមដំបូង អ្នកត្រូវស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃភាគបែងទាំងពីរ។ នោះគឺជាចំនួនតូចបំផុតដែលបែងចែកក្នុងពេលដំណាលគ្នាដោយភាគបែងទាំងពីរដោយមិនមាននៅសល់។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីស្វែងរក LCM (ពហុគុណតិចបំផុត) គឺត្រូវសរសេរក្នុងបន្ទាត់សម្រាប់ភាគបែងមួយ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខទីពីរ ហើយស្វែងរកលេខដែលត្រូវគ្នាក្នុងចំណោមពួកគេ។ ក្នុងករណីដែល LCM រកមិនឃើញ នោះគឺលេខទាំងនេះមិនមានពហុគុណធម្មតាទេ ពួកគេគួរតែត្រូវបានគុណ ហើយតម្លៃលទ្ធផលគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាជា LCM ។

ដូច្នេះ យើងបានរកឃើញ LCM ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរកមេគុណបន្ថែម។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវបែងចែក LCM ទៅជាភាគបែងនៃប្រភាគ ហើយសរសេរលេខលទ្ធផលលើពួកវានីមួយៗ។ បន្ទាប់មក គុណភាគយក និងភាគបែងដោយកត្តាបន្ថែមលទ្ធផល ហើយសរសេរលទ្ធផលជាប្រភាគថ្មី។ ប្រសិនបើអ្នកសង្ស័យថាលេខដែលអ្នកបានទទួលគឺស្មើនឹងលេខមុន សូមចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគ។

ការបន្ថែម

ឥឡូវនេះ ចូរយើងទៅដោយផ្ទាល់ទៅប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាលើចំនួនប្រភាគ។ ចូរចាប់ផ្តើមដោយសាមញ្ញបំផុត។ មានជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការបន្ថែមប្រភាគ។ ក្នុងករណីទីមួយ លេខទាំងពីរមានភាគបែងដូចគ្នា។ ក្នុង​ករណី​នេះ វា​នៅ​សល់​តែ​ការ​បន្ថែម​លេខ​ចូល​គ្នា​ប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែភាគបែងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ឧទាហរណ៍ 1/5 + 3/5 = 4/5 ។

ប្រសិនបើប្រភាគមានភាគបែងផ្សេងគ្នា ពួកវាគួរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភាគធម្មតា ហើយមានតែការបន្ថែមគួរតែត្រូវបានអនុវត្ត។ របៀបធ្វើវាយើងបានពិភាក្សាជាមួយអ្នកខ្ពស់ជាងនេះបន្តិច។ ក្នុងស្ថានភាពនេះ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគនឹងមានប្រយោជន៍។ ច្បាប់នឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកនាំយកលេខទៅជាភាគបែងរួម។ តម្លៃនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ។

ជាជម្រើស វាអាចកើតឡើងដែលប្រភាគត្រូវបានលាយបញ្ចូលគ្នា។ បន្ទាប់មក​ដំបូង​អ្នក​គួរ​បន្ថែម​ផ្នែក​ទាំងមូល​ចូលគ្នា ហើយ​បន្ទាប់​មក​ប្រភាគ។

គុណ

វាមិនតម្រូវឱ្យមានល្បិចណាមួយទេហើយដើម្បីអនុវត្តសកម្មភាពនេះវាមិនចាំបាច់ក្នុងការដឹងពីទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប្រភាគនោះទេ។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការគុណភាគយក និងភាគបែងរួមគ្នាជាមុនសិន។ ក្នុងករណីនេះ ផលិតផលនៃភាគបែងនឹងក្លាយទៅជាភាគបែងថ្មី ហើយផលិតផលនៃភាគបែងនឹងក្លាយទៅជាភាគបែងថ្មី។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញគ្មានអ្វីស្មុគស្មាញទេ។

រឿងតែមួយគត់ដែលត្រូវបានទាមទារពីអ្នកគឺចំណេះដឹងនៃតារាងគុណក៏ដូចជាការយកចិត្តទុកដាក់។ លើសពីនេះ បន្ទាប់ពីទទួលបានលទ្ធផល អ្នកគួរពិនិត្យមើលឲ្យបានច្បាស់ថាតើចំនួននេះអាចកាត់បន្ថយបានឬអត់។ យើងនឹងនិយាយអំពីរបៀបកាត់បន្ថយប្រភាគបន្តិចនៅពេលក្រោយ។

ដក

ការអនុវត្តគួរតែត្រូវបានណែនាំដោយច្បាប់ដូចគ្នានឹងពេលបន្ថែម។ ដូច្នេះ ក្នុងលេខដែលមានភាគបែងដូចគ្នា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការដកភាគយកនៃអនុបាតពីភាគយកនៃ minuend ។ ក្នុងករណីដែលប្រភាគមានភាគបែងផ្សេងគ្នា អ្នកគួរតែនាំពួកវាទៅជាប្រភាគធម្មតាមួយ ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តប្រតិបត្តិការនេះ។ ដូចករណីបន្ថែមស្រដៀងគ្នាដែរ អ្នកនឹងត្រូវប្រើទ្រព្យសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃប្រភាគពិជគណិត ក៏ដូចជាជំនាញក្នុងការស្វែងរក LCM និងកត្តាទូទៅសម្រាប់ប្រភាគ។

ការបែងចែក

ហើយប្រតិបត្តិការគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ចុងក្រោយបំផុតនៅពេលធ្វើការជាមួយលេខបែបនេះគឺការបែងចែក។ វាគឺសាមញ្ញណាស់ ហើយមិនបង្កឱ្យមានការលំបាកពិសេសណាមួយឡើយ សូម្បីតែសម្រាប់អ្នកដែលមិនយល់ពីរបៀបធ្វើការជាមួយប្រភាគ ជាពិសេសដើម្បីធ្វើប្រតិបត្តិការបូក និងដក។ នៅពេលចែក ច្បាប់បែបនេះអនុវត្តជាគុណនឹងប្រភាគទៅវិញទៅមក។ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគ ដូចនៅក្នុងករណីនៃការគុណនឹងមិនត្រូវបានប្រើប្រាស់សម្រាប់ប្រតិបត្តិការនេះទេ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់។

នៅពេលចែកលេខ ភាគលាភនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។ ភាគបែង​ត្រូវ​បាន​បញ្ច្រាស ពោល​គឺ​ភាគ​និង​ភាគបែង​ត្រូវ​បាន​បញ្ច្រាស។ បន្ទាប់ពីនោះលេខត្រូវបានគុណនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។

ការកាត់បន្ថយ

ដូច្នេះ យើងបានពិនិត្យនិយមន័យ និងរចនាសម្ព័ន្ធនៃប្រភាគ ប្រភេទរបស់វា ច្បាប់នៃប្រតិបត្តិការលើលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យរួចហើយ ហើយបានរកឃើញលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃប្រភាគពិជគណិត។ ឥឡូវនេះសូមនិយាយអំពីប្រតិបត្តិការដូចជាការកាត់បន្ថយ។ ការកាត់បន្ថយប្រភាគគឺជាដំណើរការនៃការបំប្លែងវា - ការបែងចែកភាគយកនិងភាគបែងដោយចំនួនដូចគ្នា។ ដូច្នេះប្រភាគត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយមិនផ្លាស់ប្តូរលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

ជាធម្មតា នៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យា អ្នកគួរតែមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលទ្ធផលដែលទទួលបាននៅទីបញ្ចប់ ហើយរកមើលថាតើវាអាចទៅរួចក្នុងការកាត់បន្ថយប្រភាគលទ្ធផលឬអត់។ សូមចងចាំថាលទ្ធផលចុងក្រោយតែងតែត្រូវបានសរសេរជាលេខប្រភាគដែលមិនតម្រូវឱ្យកាត់បន្ថយ។

ប្រតិបត្តិការផ្សេងទៀត។

ជាចុងក្រោយ យើងកត់សំគាល់ថា យើងបានរាយបញ្ជីឆ្ងាយពីប្រតិបត្តិការទាំងអស់លើលេខប្រភាគ ដោយលើកឡើងតែអ្វីដែលល្បីល្បាញ និងចាំបាច់បំផុត។ ប្រភាគក៏អាចប្រៀបធៀប បំប្លែងទៅជាទសភាគ និងច្រាសមកវិញ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងមិនបានពិចារណាប្រតិបត្តិការទាំងនេះទេ ព្រោះក្នុងគណិតវិទ្យា ពួកវាត្រូវបានអនុវត្តតិចជាងញឹកញាប់ជាងអ្វីដែលយើងបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។

ការរកឃើញ

យើងបាននិយាយអំពីចំនួនប្រភាគ និងប្រតិបត្តិការជាមួយពួកគេ។ យើងក៏បានវិភាគលើទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់ៗផងដែរ។ ប៉ុន្តែយើងកត់សម្គាល់ថាបញ្ហាទាំងអស់នេះត្រូវបានពិចារណាដោយយើងក្នុងការឆ្លងកាត់។ យើងបានផ្តល់តែច្បាប់ដែលគេស្គាល់ និងប្រើច្រើនបំផុត យើងបានផ្តល់ឱ្យសំខាន់បំផុត តាមគំនិតរបស់យើង ដំបូន្មាន។

អត្ថបទនេះមានគោលបំណងធ្វើឱ្យព័ត៌មានដែលអ្នកបានភ្លេចអំពីប្រភាគឡើងវិញ ជាជាងផ្តល់ព័ត៌មានថ្មី និង "បំពេញ" ក្បាលរបស់អ្នកជាមួយនឹងច្បាប់ និងរូបមន្តគ្មានទីបញ្ចប់ ដែលភាគច្រើនទំនងជានឹងមិនមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នកទេ។

យើងសង្ឃឹមថាសម្ភារៈដែលបង្ហាញក្នុងអត្ថបទដោយសាមញ្ញ និងសង្ខេបបានក្លាយទៅជាមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នក។