A.V. ក្លាស្កូ

ការបង្រៀនអំពីការវិភាគគណិតវិទ្យា

"មុខងារ និងដែនកំណត់បឋម"

ទីក្រុងម៉ូស្គូ, MSTU អ៊ឹម។ N.E. បាម៉ាន់

§មួយ។ និមិត្តសញ្ញាឡូជីខល។

នៅពេលសរសេរកន្សោមគណិតវិទ្យា យើងនឹងប្រើនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលខាងក្រោម៖

	អត្ថន័យ		អត្ថន័យ
			សម្រាប់នរណាម្នាក់ សម្រាប់អ្នករាល់គ្នា សម្រាប់អ្នករាល់គ្នា (ពី
			មាន, មាន, មាន (មាន)
			ភ្ជាប់, ដូចខាងក្រោម (ដូច្នេះ)
			ស្មើភាពគ្នា ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ
			ចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់
ដូច្នេះប្រសិនបើ A និង B គឺជាសំណើណាមួយ។

			អត្ថន័យ
			A ឬ B (ឬ A ឬ B ឬទាំងពីរ A និង B)
			សម្រាប់ x ណាមួយដែលយើងមាន A
			មាន x ដែល A កាន់
			ពី A ធ្វើតាម B (ប្រសិនបើ A ពិត នោះ B គឺពិត)
(បង្កប់ន័យ)
			A គឺស្មើនឹង B, A កើតឡើងប្រសិនបើ B កើតឡើង,
			A គឺចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ B
	មតិយោបល់។ "A B" មានន័យថា A គឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ B ហើយ B គឺចាំបាច់សម្រាប់ A ។

ឧទាហរណ៍។ (x=1) => (x2 −3x+2=0) => ((x=1) (x=2))។

ពេលខ្លះយើងនឹងប្រើតួអក្សរពិសេសមួយទៀត៖ A = df B ។

វាមានន័យថា A = B តាមនិយមន័យ។

§២. ឈុត។ ធាតុនិងផ្នែកនៃសំណុំ។

គោល​គំនិត​នៃ​សំណុំ​គឺ​ជា​គោល​គំនិត​ចម្បង​មិន​បាន​កំណត់​ក្នុង​ន័យ​សាមញ្ញ​ជាង​នោះ​ទេ។ ពាក្យ : សំណុំ, គ្រួសារ, សំណុំ គឺជាពាក្យមានន័យដូចរបស់វា។

ឧទាហរណ៍នៃឈុត៖ សិស្សជាច្រើននៅក្នុងថ្នាក់រៀន គ្រូបង្រៀនជាច្រើននៅក្នុងនាយកដ្ឋាន រថយន្តជាច្រើននៅក្នុងចំណតជាដើម។

គំនិតបឋមក៏ជាគោលគំនិតដែរ។ ធាតុកំណត់និងទំនាក់ទំនង

រវាងធាតុនៃសំណុំ។

ឧទាហរណ៍។ N គឺជាសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ ធាតុរបស់វាគឺលេខ 1,2,3,... ប្រសិនបើ x និង y ជាធាតុរបស់ N នោះពួកវាស្ថិតនៅក្នុងទំនាក់ទំនងមួយដូចខាងក្រោម៖ x = y, x y.

យើងយល់ព្រមកំណត់ដោយអក្សរធំ៖ A, B, C, X, Y, …, និងធាតុរបស់ពួកគេដោយអក្សរតូច៖ a, b, c, x, y, …

ទំនាក់ទំនងរវាងធាតុឬសំណុំត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញាដែលបញ្ចូលរវាងអក្សរ។ ឧទាហរណ៍។ ទុកអោយ A ជាឈុត។ បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនង a មានន័យថា a គឺជាធាតុនៃសំណុំ A. សញ្ញាណ A មានន័យថា a មិនមែនជាធាតុរបស់ A ។

សំណុំអាចត្រូវបានកំណត់តាមវិធីផ្សេងៗគ្នា។ 1. ការរាប់បញ្ចូលធាតុរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ A=(a,b,c,d), B=(1,7,10)

2. ការបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃធាតុ។ អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាសំណុំនៃធាតុ a ជាមួយទ្រព្យសម្បត្តិ p ។ នេះអាចសរសេរជា៖ A=(a:p) ឬ A=(ap)។

ឧទាហរណ៍ សញ្ញាណ A= ( x: (x R ) (x2 -1>0)) មានន័យថា A គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតដែលបំពេញវិសមភាព x2 -1>0 ។

ចូរយើងណែនាំនិយមន័យសំខាន់ៗមួយចំនួន។

Def. សំណុំត្រូវបានគេហៅថា finite ប្រសិនបើវាមានចំនួនកំណត់ជាក់លាក់នៃធាតុ។ បើមិនដូច្នោះទេវាត្រូវបានគេហៅថាគ្មានកំណត់។

ជាឧទាហរណ៍ សំណុំសិស្សក្នុងថ្នាក់មានកំណត់ ប៉ុន្តែសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ ឬសំណុំពិន្ទុនៅក្នុងផ្នែកគឺគ្មានកំណត់។

Def. សំណុំ​ដែល​មិន​មាន​ធាតុ​ណា​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​ទទេ​និង​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ឱ្យ​។

Def. ឈុតពីរត្រូវបានគេនិយាយថាស្មើគ្នាប្រសិនបើពួកគេមានដូចគ្នា។

ទាំងនោះ។ គោលគំនិតនៃសំណុំមិនបញ្ជាក់ពីលំដាប់ជាក់លាក់នៃធាតុនោះទេ។ Def. សំណុំ X ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំរងនៃសំណុំ Y ប្រសិនបើធាតុណាមួយនៃសំណុំ X គឺជាធាតុនៃសំណុំ Y (ក្នុងករណីនេះនិយាយជាទូទៅមិនមែនណាមួយទេ។

ធាតុនៃសំណុំ Y គឺជាធាតុនៃសំណុំ X) ។ ក្នុងករណីនេះ ការកំណត់ត្រូវបានប្រើ៖ X Y ។

ឧទាហរណ៍ សំណុំក្រូច O គឺជាសំណុំរងនៃសំណុំផ្លែឈើ F : O F ហើយសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ N គឺជាសំណុំរងនៃសំណុំចំនួនពិត R : N R ។

តួអក្សរ "" និង "" ត្រូវបានគេហៅថាតួអក្សររួមបញ្ចូល។ សំណុំនីមួយៗត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសំណុំរងរបស់វា។ សំណុំទទេគឺជាសំណុំរងនៃសំណុំណាមួយ។

Def. រាល់សំណុំរងដែលមិនទទេ B នៃសំណុំ A ដែលមិនស្មើនឹង A ត្រូវបានហៅ

សំណុំរងផ្ទាល់ខ្លួន។

§ 3. ដ្យាក្រាមអយល័រ-វ៉ែន។ ប្រតិបត្តិការបឋមលើសំណុំ។

វាងាយស្រួលតំណាងឱ្យសំណុំក្រាហ្វិក ជាតំបន់នៅលើយន្តហោះ។ នេះបញ្ជាក់ថាចំណុចនៃតំបន់ត្រូវគ្នាទៅនឹងធាតុនៃសំណុំ។ តំណាងក្រាហ្វិកបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ដ្យាក្រាមអយល័រ-វ៉ែន។

ឧទាហរណ៍។ A គឺជាសំណុំនៃសិស្ស MSTU, B គឺជាសំណុំនៃសិស្សនៅក្នុងទស្សនិកជន។ អង្ករ។ 1 បង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថា A B.

ដ្យាក្រាមអយល័រ-វ៉េនគឺងាយស្រួលប្រើសម្រាប់តំណាងដែលមើលឃើញនៃបឋមសិក្សា ប្រតិបត្តិការលើឈុត. ប្រតិបត្តិការសំខាន់ៗរួមមានដូចខាងក្រោម។

អង្ករ។ 1. ឧទាហរណ៍នៃដ្យាក្រាមអយល័រ-វ៉ែន។

1. ចំនុចប្រសព្វ A B នៃសំណុំ A និង B គឺជាសំណុំ C ដែលមានធាតុទាំងអស់ក្នុងពេលដំណាលគ្នានៃសំណុំ A និង B៖

C = A B = df ( z: (z A) (z B))

(ក្នុងរូបភាពទី 2 សំណុំ C ត្រូវបានតំណាងដោយផ្ទៃស្រមោល) ។

អង្ករ។ 2. ប្រសព្វនៃសំណុំ។

2. សហជីព A B នៃសំណុំ A និង B គឺជាសំណុំ C ដែលមានធាតុទាំងអស់ដែលជាកម្មសិទ្ធិយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃសំណុំ A ឬ B ។

C = A B = df ( z: (z A) (z B))

(ក្នុងរូបភាពទី 3 សំណុំ C ត្រូវបានតំណាងដោយផ្ទៃស្រមោល) ។

អង្ករ។ 3. សហភាពនៃសំណុំ។

អង្ករ។ 4. ភាពខុសគ្នានៃសំណុំ។

3. ភាពខុសគ្នា A\B នៃសំណុំ A និង B គឺជាសំណុំ C ដែលមានធាតុទាំងអស់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ A ប៉ុន្តែមិនមែនជារបស់សំណុំ B៖

A \ B = ( z: (z A) (z B))

(ក្នុងរូបភាពទី 4 ឈុត C ត្រូវបានតំណាងដោយតំបន់ដែលមានស្រមោលពណ៌លឿង) ។

§4. សំណុំនៃចំនួនពិត។

ចូរយើងបង្កើតសំណុំនៃចំនួនពិត (ពិត) R. ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណាជាមុនសិន។ សំណុំនៃលេខធម្មជាតិដែលយើងកំណត់ដូចខាងក្រោម។ ចូរយកលេខ n=1 ជាធាតុទីមួយ។ ធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនឹងទទួលបានពីធាតុមុនដោយបន្ថែមមួយ៖

N = (1, 1+1, (1+1)+1, …) = (1, 2, 3, …, n, … )។

N = ( -1, -2, -3, ..., -n, ... ) ។

សំណុំនៃចំនួនគត់ Zកំណត់ជាសហជីពនៃបីឈុត៖ N, -N និងសំណុំដែលមានធាតុតែមួយ - សូន្យ៖

សំណុំនៃលេខសមហេតុសមផលត្រូវបានកំណត់ជាសំណុំនៃសមាមាត្រដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃចំនួនគត់៖

Q = ( xx = m/n; m, n Z, n 0) ។

ជាក់ស្តែង N Z Q.

វាត្រូវបានគេដឹងថា រាល់លេខសនិទានភាពអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគតាមកាលកំណត់ជាក់លាក់ ឬគ្មានកំណត់។ តើចំនួនសមហេតុសមផលគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីវាស់បរិមាណទាំងអស់ដែលយើងអាចជួបក្នុងការសិក្សាអំពីពិភពលោកជុំវិញយើងដែរឬទេ? រួចហើយនៅប្រទេសក្រិចបុរាណ វាត្រូវបានបង្ហាញថាវាមិនមែនទេ៖ ប្រសិនបើយើងពិចារណាត្រីកោណកែង isosceles ដែលមានជើងប្រវែងមួយ នោះប្រវែងនៃអ៊ីប៉ូតេនុសមិនអាចតំណាងជាលេខសមហេតុផលបានទេ។ ដូច្នេះ យើងមិនអាចដាក់កម្រិតខ្លួនយើងចំពោះសំណុំនៃលេខសនិទានទេ។ វាចាំបាច់ក្នុងការពង្រីកគំនិតនៃលេខ។ ផ្នែកបន្ថែមនេះត្រូវបានសម្រេចដោយការណែនាំ សំណុំនៃចំនួនមិនសមហេតុផល J ដែលងាយស្រួលបំផុតក្នុងការគិតជាសំណុំនៃទសភាគគ្មានកំណត់ដែលមិនមានតាមកាលកំណត់។

ការរួបរួមនៃសំណុំនៃចំនួនសនិទានភាព និងមិនសមហេតុផលត្រូវបានគេហៅថា

សំណុំនៃចំនួនពិត (ពិត) R: R = Q Y ។

ពេលខ្លះពួកគេពិចារណាសំណុំបន្ថែមនៃចំនួនពិត R ការយល់ដឹង

លេខពិតត្រូវបានតំណាងយ៉ាងងាយស្រួលជាចំនុចនៅលើបន្ទាត់លេខ។

Def. អ័ក្សលេខត្រូវបានគេហៅថា បន្ទាត់ត្រង់ ដែលបង្ហាញពីប្រភពដើម មាត្រដ្ឋាន និងទិសដៅនៃសេចក្តីយោង។

ការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងចំនួនពិត និងចំណុចនៃអ័ក្សលេខ៖ ចំនួនពិតណាមួយត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចតែមួយនៃអ័ក្សលេខ និងច្រាសមកវិញ។

Axiom នៃភាពពេញលេញ (បន្ត) នៃសំណុំនៃចំនួនពិត។ អ្វីក៏ដោយដែលកំណត់មិនទទេ А= (a) R និង B= (b) R គឺដូច្នេះថាសម្រាប់ a និង b វិសមភាព a ≤ b គឺពិត វាមានលេខ cR ដូចេនះ a ≤ c ≤ b (រូបទី 5) ។

រូប ៥. រូបភាពនៃ axiom នៃភាពពេញលេញនៃសំណុំនៃចំនួនពិត។

§ ៥. សំណុំលេខ។ អ្នកជិតខាង។

Def. សំណុំលេខសំណុំរងណាមួយនៃសំណុំ R ត្រូវបានហៅ។ សំណុំលេខសំខាន់បំផុត៖ N, Z, Q, J និងផងដែរ

ផ្នែក៖ (x R | a x b ),

ចន្លោះពេល៖ (a ,b ) (x R |a x b ), (,)=R

ចន្លោះពេលពាក់កណ្តាល៖ ( x R| a x b),

(x R | x b) ។

តួនាទីដ៏សំខាន់បំផុតក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យាត្រូវបានលេងដោយគំនិតនៃសង្កាត់នៃចំណុចមួយនៅលើអ័ក្សលេខ។

Def. -neighborhood នៃចំនុច x 0 គឺជាចន្លោះនៃប្រវែង 2 ដែលផ្តោតលើចំនុច x 0 (រូបភាព 6)៖

u (x 0 ) (x 0 , x 0 ) ។

អង្ករ។ 6. អ្នកជិតខាងនៃចំណុចមួយ។

Def. ចំនុចប្រសព្វ - អ្នកជិតខាងនៃចំណុចគឺជាសង្កាត់នៃចំណុចនេះ,

ដែលចំនុច x 0 ខ្លួនវាត្រូវបានដកចេញ (រូបភាពទី 7)៖

u (x 0 ) u (x 0 )\(x 0 ) (x 0 ,x 0 ) (x 0 ,x 0 )។

អង្ករ។ 7. វាយសង្កាត់នៃចំណុចមួយ។

Def. សង្កាត់ខាងស្តាំដៃនៃចំនុច x0 ហៅថាពាក់កណ្តាលចន្លោះ

u (x 0), ជួរ៖ E= [-π/2,π/2] ។

អង្ករ។ 11. ក្រាបនៃអនុគមន៍ y arcsin x ។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​បង្ហាញ​ពី​គោល​គំនិត​នៃ​មុខងារ​ស្មុគស្មាញ ( បង្ហាញសមាសភាព) អនុញ្ញាតឱ្យបីសំណុំ D, E, M ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយអនុញ្ញាតឱ្យ f: D → E, g: E → M ។ ជាក់ស្តែង គេអាចសាងសង់ផែនទីថ្មី h: D → M ដែលហៅថា សមាសភាពនៃផែនទី f និង g ឬមុខងារស្មុគស្មាញ (រូបភាព 12) ។

អនុគមន៍​ស្មុគស្មាញ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ z = h(x)=g(f(x)) ឬ h = f o g ។

អង្ករ។ 12. រូបភាពសម្រាប់គំនិតនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។

មុខងារ f (x) ត្រូវបានគេហៅថា មុខងារខាងក្នុងនិងមុខងារ g ( y ) - មុខងារខាងក្រៅ.

1. អនុគមន៍ខាងក្នុង f (x) = x², ខាងក្រៅ g (y) sin y ។ អនុគមន៍​ស្មុគស្មាញ z=g(f(x))=sin(x²)

២. ឥឡូវនេះផ្ទុយមកវិញ។ អនុគមន៍ខាងក្នុង f (x) = sinx, ខាងក្រៅ g (y) y 2 ។ u=f(g(x))=sin²(x)

អនុញ្ញាតឱ្យអថេរ x នយក​លំដាប់​គ្មាន​កំណត់​នៃ​តម្លៃ

x 1 , x 2 , ... , x ន , ..., (1)

ហើយច្បាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរត្រូវបានគេស្គាល់ x ន, i.e. សម្រាប់លេខធម្មជាតិនីមួយៗ នអ្នកអាចបញ្ជាក់តម្លៃដែលត្រូវគ្នា។ x ន. ដូច្នេះវាត្រូវបានសន្មតថាអថេរ x នគឺជាមុខងារមួយ។ ន:

x ន = f(n)

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់គំនិតសំខាន់បំផុតមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា - ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ឬអ្វីដែលដូចគ្នា ដែនកំណត់នៃអថេរ x នលំដាប់ដែលកំពុងដំណើរការ x 1 , x 2 , ... , x ន , ... . .

និយមន័យ។ចំនួនថេរ កបានហៅ ដែនកំណត់លំដាប់ x 1 , x 2 , ... , x ន , ... . ឬដែនកំណត់នៃអថេរ x នប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត e មានលេខធម្មជាតិ ន(ឧ. លេខ ន) ដែលតម្លៃទាំងអស់នៃអថេរ x ន, ចាប់ផ្តើមជាមួយ x ន, ខុសពី កតិចជាងតម្លៃដាច់ខាតជាង e. និយមន័យនេះត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្លីដូចតទៅ៖

| x ន - ក |< (2)

សម្រាប់​ទាំងអស់ ន  នឬដែលដូចគ្នា

និយមន័យនៃដែនកំណត់ Cauchy. លេខ A ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f (x) នៅចំណុច a ប្រសិនបើមុខងារនេះត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុច a លើកលែងតែសម្រាប់ចំនុច a ខ្លួនវា ហើយសម្រាប់ ε > 0 មាន δ > 0 ។ ដូច្នេះសម្រាប់គ្រប់លក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត x |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

និយមន័យនៃដែនកំណត់ Heine. លេខ A ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f (x) នៅចំណុច a ប្រសិនបើមុខងារនេះត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុច a លើកលែងតែសម្រាប់ចំនុច a ខ្លួនវា និងសម្រាប់លំដាប់ណាមួយដូចនោះ។ បំប្លែងទៅលេខ a លំដាប់ដែលត្រូវគ្នានៃតម្លៃនៃអនុគមន៍ទៅលេខ A ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) មានដែនកំណត់នៅចំណុច a នោះដែនកំណត់នេះគឺមានតែមួយគត់។

លេខ A 1 ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនៃអនុគមន៍ f (x) នៅចំណុច a ប្រសិនបើសម្រាប់ ε > 0 មាន δ >

លេខ A 2 ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ខាងស្តាំនៃអនុគមន៍ f (x) នៅចំណុច a ប្រសិនបើសម្រាប់ ε > 0 មាន δ > 0 ដែលវិសមភាព។

ដែនកំណត់នៅខាងឆ្វេងត្រូវបានតំណាងថាជាដែនកំណត់នៅខាងស្តាំ - ដែនកំណត់ទាំងនេះកំណត់លក្ខណៈអាកប្បកិរិយានៃមុខងារទៅខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៃចំណុច a ។ ពួកគេត្រូវបានសំដៅជាញឹកញាប់ថាជាដែនកំណត់ផ្លូវមួយ។ នៅក្នុងការសម្គាល់នៃដែនកំណត់ម្ខាងជា x → 0 ជាធម្មតាសូន្យទីមួយត្រូវបានលុបចោល៖ និង . ដូច្នេះសម្រាប់មុខងារ

ប្រសិនបើសម្រាប់ ε > 0 នីមួយៗមាន δ-neighborhood នៃចំនុចមួយ ដែលសម្រាប់ x ទាំងអស់បំពេញលក្ខខណ្ឌ |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε បន្ទាប់មកយើងនិយាយថាអនុគមន៍ f (x) មានដែនកំណត់គ្មានកំណត់នៅចំណុច a:

ដូច្នេះ អនុគមន៍មានដែនកំណត់គ្មានដែនកំណត់នៅចំណុច x = 0 ។ ដែនកំណត់ស្មើនឹង +∞ និង –∞ ជារឿយៗត្រូវបានសម្គាល់។ ដូច្នេះ

ប្រសិនបើសម្រាប់ ε > 0 មាន δ > 0 នោះសម្រាប់ x > δ វិសមភាព |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

ទ្រឹស្តីបទអត្ថិភាពសម្រាប់ព្រំដែនខាងលើតិចបំផុត។

និយមន័យ៖ AR mR, m - មុខខាងលើ (ខាងក្រោម) នៃ A ប្រសិនបើ аА аm (аm) ។

និយមន័យ៖សំណុំ A ត្រូវបានចងពីខាងលើ (ពីខាងក្រោម) ប្រសិនបើមាន m ដូចនេះ аА នោះ аm (аm) ពេញចិត្ត។

និយមន័យ៖ SupA = m ប្រសិនបើ 1) m - ព្រំដែនខាងលើនៃ A

2) m ': m' m' មិនមែនជាមុខខាងលើរបស់ A

InfA = n ប្រសិនបើ 1) n គឺជា infimum នៃ A

2) n': n'>n => n' មិនមែនជាអតិបរិមារបស់ A

និយមន័យ: SupA=m ជាចំនួនដូចជា៖ 1)  aA am

2) >0 a  A ដូចជា a  a-

InfA = n ត្រូវបានគេហៅថាជាចំនួនដូចជា៖

2) >0 a  A ដូចជា E a+

ទ្រឹស្តីបទ៖រាល់សំណុំមិនទទេ АR ដែលចងពីខាងលើមានព្រំដែនខាងលើល្អបំផុត ហើយមានតែមួយគត់នៅត្រង់នោះ។

ភស្តុតាង៖

យើងបង្កើតលេខ m នៅលើបន្ទាត់ពិត ហើយបង្ហាញថានេះគឺជាព្រំដែនខាងលើតិចបំផុតនៃ A ។

[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - ផ្នែកខាងលើនៃ A

ផ្នែក [[m],[m]+1] - បំបែកជា 10 ផ្នែក

m 1 = អតិបរមា៖ aA)]

m 2 = អតិបរមា, m 1: aA)]

m ទៅ = អតិបរមា, m 1 ...m K-1:aA)]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1/10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - មុខកំពូល A

ចូរយើងបញ្ជាក់ថា m=[m],m 1 ...m K គឺជាចំណងខាងលើតិចបំផុត ហើយវាមានតែមួយគត់៖

 ទៅ :)