រកមុំរវាងប្លង់ដែលបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេនៃចំនុច។ របៀបរកមុំរវាងយន្តហោះពីរ

ទ្រឹស្តីបទ

មុំរវាងយន្តហោះមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃយន្តហោះកាត់ទេ។

ភស្តុតាង។

សូមឱ្យមានប្លង់ពីរ α និង β ដែលប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ គ។ គូរប្លង់ γ កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ គ. បន្ទាប់មក យន្តហោះ γ កាត់ប្លង់ α និង β តាមបន្ទាត់ a និង b រៀងគ្នា។ មុំរវាងប្លង់ α និង β គឺស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ a និង b ។
យកយន្តហោះកាត់មួយទៀត γ` កាត់កែងទៅ គ។ បន្ទាប់មក យន្តហោះ γ` នឹងកាត់ប្លង់ α និង β តាមបន្ទាត់ a` និង b` រៀងគ្នា។
ជាមួយនឹងការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះγជាមួយនឹងបន្ទាត់ c នឹងទៅចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះγ` ជាមួយបន្ទាត់ c ។ ក្នុងករណីនេះដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលបន្ទាត់ a នឹងទៅបន្ទាត់ a`, b - ទៅបន្ទាត់ b` ។ ដូច្នេះមុំរវាងបន្ទាត់ a និង b, a` និង b` គឺស្មើគ្នា។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

អត្ថបទនេះគឺអំពីមុំរវាងយន្តហោះ និងរបៀបស្វែងរកវា។ ទីមួយ និយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះទាំងពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយរូបភាពក្រាហ្វិកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់ពីនោះ គោលការណ៍នៃការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរដោយវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេត្រូវបានវិភាគ រូបមន្តមួយត្រូវបានទទួលដែលអនុញ្ញាតឱ្យគណនាមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាដោយប្រើកូអរដោនេដែលគេស្គាល់នៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ។ សរុបមក ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃបញ្ហាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញ។

ការរុករកទំព័រ។

មុំរវាងយន្តហោះ - និយមន័យ។

នៅពេលបង្ហាញសម្ភារៈ យើងនឹងប្រើនិយមន័យ និងគោលគំនិតដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងអត្ថបទ យន្តហោះក្នុងលំហ និងបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

ចូរយើងផ្តល់អំណះអំណាងដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងចូលទៅជិតបន្តិចម្តងៗនូវនិយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង . យន្តហោះទាំងនេះប្រសព្វគ្នាជាបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលយើងសម្គាល់ដោយអក្សរ គ. សាងសង់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច មត្រង់ គនិងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ គ. ក្នុងករណីនេះ យន្តហោះនឹងប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះ និង . យើងសម្គាល់បន្ទាត់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងជា កប៉ុន្តែបន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងរបៀប ខ. ជាក់ស្តែង។ កនិង ខប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ ម.

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ កនិង ខមិនអាស្រ័យលើទីតាំងនៃចំណុចនោះទេ។ មនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ គយន្តហោះឆ្លងកាត់។

សាងសង់យន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ គនិងខុសពីយន្តហោះ។ យន្តហោះត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះ និងតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ ដែលយើងសម្គាល់ ក ១និង b ១រៀងៗខ្លួន។

វាធ្វើតាមវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់យន្តហោះដែលបន្ទាត់ កនិង ខកាត់កែងទៅបន្ទាត់ គនិងដោយផ្ទាល់ ក ១និង b ១កាត់កែងទៅបន្ទាត់ គ. តាំងពីត្រង់ កនិង ក ១ គបន្ទាប់មកពួកគេគឺស្របគ្នា។ ដូចគ្នានេះដែរត្រង់ ខនិង b ១ដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ ហើយកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ គដូច្នេះពួកគេគឺស្របគ្នា។ ដូេចនះ េគអាចអនុវត្តការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលនៃយន្តហោះទៅយន្តហោះ ដែលក្នុងនោះ បន្ទាត់ត្រង់ ក ១ស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ កនិងបន្ទាត់ត្រង់ ខជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ b ១. ដូច្នេះមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ ក ១និង b ១ស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ កនិង ខ.

នេះបង្ហាញថាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ កនិង ខដេកក្នុងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ហើយមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃចំណុចនោះទេ។ មយន្តហោះឆ្លងកាត់។ ដូច្នេះ វាសមហេតុផលក្នុងការយកមុំនេះជាមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាពីរ។

ឥឡូវនេះ អ្នកអាចបញ្ចេញនិយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង .

និយមន័យ។

មុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ គយន្តហោះ និងគឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ កនិង ខ, នៅតាមបណ្តោយយន្តហោះ និងប្រសព្វជាមួយយន្តហោះកាត់កែងទៅបន្ទាត់ គ.

និយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះពីរអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខុសគ្នាបន្តិចបន្តួច។ ប្រសិនបើនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ ជាមួយនៅតាមបណ្តោយយន្តហោះ និងប្រសព្វគ្នា សម្គាល់ចំណុចមួយ។ មហើយគូសបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់វា។ កនិង ខ, កាត់កែងទៅបន្ទាត់ គហើយដេកនៅក្នុងយន្តហោះ និងរៀងគ្នា បន្ទាប់មកមុំរវាងបន្ទាត់ កនិង ខគឺជាមុំរវាងយន្តហោះ និង . ជាធម្មតានៅក្នុងការអនុវត្តការសាងសង់បែបនេះត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីទទួលបានមុំរវាងយន្តហោះ។

ដោយសារមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាមិនលើសពី វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលបានបញ្ចេញថា រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាពីរត្រូវបានបង្ហាញដោយចំនួនពិតពីចន្លោះពេល។ ក្នុងករណីនេះយន្តហោះប្រសព្វត្រូវបានគេហៅថា កាត់កែងប្រសិនបើមុំរវាងពួកវាគឺកៅសិបដឺក្រេ។ មុំរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលមិនត្រូវបានកំណត់ទាល់តែសោះ ឬវាត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើសូន្យ។

កំពូលនៃទំព័រ

ការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

ជាធម្មតា នៅពេលស្វែងរកមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាដំបូង អ្នកត្រូវតែធ្វើការសាងសង់បន្ថែម ដើម្បីមើលបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា មុំរវាងដែលស្មើនឹងមុំដែលចង់បាន ហើយបន្ទាប់មកភ្ជាប់មុំនេះជាមួយនឹងទិន្នន័យដើមដោយប្រើសញ្ញាសមភាព ភាពស្រដៀងគ្នា។ សញ្ញា ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស ឬនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងតង់សង់នៃមុំ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រនៃវិទ្យាល័យមានបញ្ហាស្រដៀងគ្នា។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា C2 ពីការប្រឡង Unified State ក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ឆ្នាំ 2012 (លក្ខខណ្ឌត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយចេតនា ប៉ុន្តែវាមិនប៉ះពាល់ដល់គោលការណ៍នៃដំណោះស្រាយទេ)។ នៅក្នុងវា វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

ABCDA 1 B 1 C 1 D ១, ម្ល៉ោះ AB=3, AD=2, AA 1 = 7និងចំណុច អ៊ីបែងចែកផ្នែកខាង អេអេ ១នៅក្នុងទំនាក់ទំនងមួយ។ 4 ទៅ 3 រាប់ពីចំណុច ប៉ុន្តែ ABCនិង គ្រែ ១.

ដំបូងយើងធ្វើគំនូរ។

ចូរយើងអនុវត្តការសាងសង់បន្ថែមដើម្បី "មើល" មុំរវាងយន្តហោះ។

ទីមួយ យើងកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា។ ABCនិង គ្រែ ១. ចំណុច អេគឺជាចំណុចរួមមួយរបស់ពួកគេ។ ស្វែងរកចំណុចរួមទីពីរនៃយន្តហោះទាំងនេះ។ ផ្ទាល់ ដានិង ឃ 1 អ៊ីដេកក្នុងយន្តហោះតែមួយ បន្ថែម ១ហើយពួកវាមិនស្របគ្នាទេ ដូច្នេះហើយប្រសព្វគ្នា។ ម៉្យាងទៀតត្រង់ ដាស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ABCនិងបន្ទាត់ត្រង់ ឃ 1 អ៊ី- នៅក្នុងយន្តហោះ គ្រែ ១ដូច្នេះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ ដានិង ឃ 1 អ៊ីនឹងក្លាយជាចំណុចទូទៅនៃយន្តហោះ ABCនិង គ្រែ ១. ដូច្នេះសូមបន្តត្រង់ ដានិង ឃ 1 អ៊ីមុនពេលពួកគេប្រសព្វគ្នា យើងកំណត់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេដោយអក្សរ ច. បន្ទាប់មក bf- បន្ទាត់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា។ ABCនិង គ្រែ ១.

វានៅសល់ដើម្បីសាងសង់បន្ទាត់ត្រង់ពីរនៅក្នុងយន្តហោះ ABCនិង គ្រែ ១រៀងគ្នាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ bfនិងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ bf, - មុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះតាមនិយមន័យនឹងស្មើនឹងមុំដែលចង់បានរវាងយន្តហោះ ABCនិង គ្រែ ១. តោះធ្វើវា។

ចំណុច ប៉ុន្តែគឺជាការព្យាករណ៍នៃចំណុច អ៊ីទៅយន្តហោះ ABC. គូរបន្ទាត់ដែលប្រសព្វបន្ទាត់នៅមុំខាងស្តាំ ប៊ីអេហ្វនៅចំណុច ម. បន្ទាប់មកបន្ទាត់ ព្រឹកគឺជាការព្យាករនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ បរិភោគទៅយន្តហោះ ABCនិងដោយទ្រឹស្តីបទកាត់កែងទាំងបី។

ដូច្នេះមុំដែលចង់បានរវាងយន្តហោះ ABCនិង គ្រែ ១គឺស្មើនឹង។

ស៊ីនុស កូស៊ីនុស ឬតង់ហ្សង់នៃមុំនេះ (ហើយដូច្នេះមុំខ្លួនវា) យើងអាចកំណត់ពីត្រីកោណកែងមួយ អឹមប្រសិនបើយើងដឹងពីប្រវែងនៃភាគីទាំងពីរ។ តាមលក្ខខណ្ឌវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកប្រវែង អេ៖ តាំងពីចំនុច អ៊ីបែងចែកផ្នែកខាង អេអេ ១នៅក្នុងទំនាក់ទំនងមួយ។ 4 ទៅ 3 រាប់ពីចំណុច ប៉ុន្តែនិងប្រវែងចំហៀង អេអេ ១គឺស្មើនឹង 7 បន្ទាប់មក AE=4. តោះរកប្រវែងមួយទៀត ព្រឹក.

ដើម្បីធ្វើដូចនេះពិចារណាត្រីកោណកែង ABFមុំខាងស្តាំ ប៉ុន្តែកន្លែងណា ព្រឹកគឺជាកម្ពស់។ តាមលក្ខខណ្ឌ AB=2. ប្រវែងចំហៀង អេហ្វយើងអាចរកឃើញពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណកែង DD 1Fនិង អេអេហ្វ:

ដោយទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រពីត្រីកោណ ABFស្វែងរក។ ប្រវែង ព្រឹកស្វែងរកតាមតំបន់នៃត្រីកោណមួយ។ ABF: នៅផ្នែកម្ខាងនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយ។ ABFគឺស្មើនឹង ម្យ៉ាងវិញទៀត មកពីណា។

ដូច្នេះពីត្រីកោណកែង អឹមយើងមាន ។

បន្ទាប់មកមុំដែលចង់បានរវាងយន្តហោះ ABCនិង គ្រែ ១ស្មើ (ចំណាំថា) ។

ក្នុងករណីខ្លះ ដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ អុកហ្សីហើយប្រើវិធីសាស្ត្រសម្របសម្រួល។ តោះឈប់ទៅ។

ចូរយើងកំណត់ភារកិច្ច៖ ដើម្បីរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង . ចូរកំណត់មុំដែលចង់បានជា .

យើងសន្មត់ថានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ អុកហ្សីយើងដឹងពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ហើយឬមានឱកាសស្វែងរកពួកវា។ ទុកជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ ហើយធ្វើជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងតាមរយៈកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ។

ចូរយើងសម្គាល់បន្ទាត់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងជា គ. តាមរយៈចំណុច មនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ គគូរប្លង់កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ គ. យន្តហោះប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះ និងតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ កនិង ខរៀងគ្នាដោយផ្ទាល់ កនិង ខប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ ម. តាមនិយមន័យ មុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នា និងស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ កនិង ខ.

កំណត់ឡែកពីចំណុច មនៅក្នុងយន្តហោះគឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតា និងនៃយន្តហោះ និង . វ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ កហើយវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ ខ. ដូច្នេះនៅក្នុងយន្តហោះ វ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ ក, - វ៉ិចទ័របន្ទាត់ធម្មតា។ ខ.

នៅក្នុងអត្ថបទ ការស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា យើងទទួលបានរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វដោយប្រើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។ ដូច្នេះកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ កនិង ខហើយជាលទ្ធផល កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វហើយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត កន្លែងណា និងជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ និងរៀងគ្នា។ បន្ទាប់មក មុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វត្រូវបានគណនាជា។

តោះដោះស្រាយឧទាហរណ៍មុនដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេ។

បានផ្តល់ឱ្យរាងចតុកោណ parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D ១, ម្ល៉ោះ AB=3, AD=2, AA 1 = 7និងចំណុច អ៊ីបែងចែកផ្នែកខាង អេអេ ១នៅក្នុងទំនាក់ទំនងមួយ។ 4 ទៅ 3 រាប់ពីចំណុច ប៉ុន្តែ. ស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ ABCនិង គ្រែ ១.

ដោយសារជ្រុងនៃរាងចតុកោណកែងប៉ារ៉ាឡែលដែលដាក់នៅចំនុចកំពូលមួយគឺកាត់កែងជាគូ វាងាយស្រួលក្នុងការណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ អុកហ្សីដូចនេះ៖ ចាប់ផ្តើមផ្សំជាមួយកំពូល ពីនិងអ័ក្សកូអរដោនេ គោ, អូនិង អុកផ្ញើជុំវិញ ស៊ីឌី, ស៊ី.ប៊ីនិង CC ១រៀងៗខ្លួន។

មុំរវាងយន្តហោះ ABCនិង គ្រែ ១អាចត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះដោយរូបមន្ត ដែលជាកន្លែងនិងជាវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់យន្តហោះ ABCនិង គ្រែ ១រៀងៗខ្លួន។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។

ចាប់តាំងពីយន្តហោះ ABCស្របនឹងយន្តហោះកូអរដោណេ អុកសុីបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វាគឺវ៉ិចទ័រកូអរដោណេ ពោលគឺ .

ជាវ៉ិចទ័រយន្តហោះធម្មតា។ គ្រែ ១យើងអាចយកផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ ហើយនៅក្នុងវេន កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ហើយអាចរកឃើញតាមរយៈកូអរដោនេនៃចំនុច។ អេ, អ៊ីនិង ឃ១(ដែលត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងអត្ថបទ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រតាមរយៈកូអរដោណេនៃចំណុចនៃការចាប់ផ្តើមនិងចុងរបស់វា) និងកូអរដោនេនៃចំណុច អេ, អ៊ីនិង ឃ១នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានណែនាំ យើងកំណត់ពីស្ថានភាពនៃបញ្ហា។

ជាក់ស្តែង, ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមកយើងរកឃើញដោយកូអរដោនេនៃចំណុច (ប្រសិនបើចាំបាច់សូមមើលផ្នែកនៃផ្នែកមួយនៅក្នុងសមាមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ) ។ បន្ទាប់មក និង Oxyz គឺជាសមីការ និង .

នៅពេលដែលយើងសិក្សាសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ យើងបានរកឃើញថាមេគុណ ប៉ុន្តែ, អេនិង ពីគឺជាកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។ ដូច្នេះ និងជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ និងរៀងៗខ្លួន។

យើងជំនួសកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទៅជារូបមន្តសម្រាប់គណនាមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ៖

បន្ទាប់មក។ ដោយសារមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាពីរមិនមានរាងមូលទេ ដូច្នេះដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន យើងរកឃើញស៊ីនុសនៃមុំ :.

វគ្គសិក្សាវីដេអូ "ទទួលបាននិទ្ទេស A" រួមមានប្រធានបទទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការប្រឡងជាប់ដោយជោគជ័យក្នុងគណិតវិទ្យាដោយពិន្ទុ 60-65 ។ បំពេញកិច្ចការទាំងអស់ 1-13 នៃ Profile USE ក្នុងគណិតវិទ្យា។ ក៏សមរម្យសម្រាប់ការឆ្លងកាត់ USE មូលដ្ឋានក្នុងគណិតវិទ្យា។ ប្រសិនបើអ្នកចង់ប្រឡងជាប់ដោយពិន្ទុ 90-100 អ្នកត្រូវដោះស្រាយផ្នែកទី 1 ក្នុងរយៈពេល 30 នាទីដោយគ្មានកំហុស!

វគ្គត្រៀមប្រឡងថ្នាក់ទី ១០ ដល់ទី ១១ ព្រមទាំងគ្រូ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយផ្នែកទី 1 នៃការប្រឡងក្នុងគណិតវិទ្យា (បញ្ហា 12 ដំបូង) និងបញ្ហា 13 (ត្រីកោណមាត្រ) ។ ហើយនេះគឺច្រើនជាង 70 ពិន្ទុនៅលើការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម ហើយទាំងសិស្សមួយរយពិន្ទុ ឬមនុស្សធម៌មិនអាចធ្វើដោយគ្មានពួកគេ។

ទ្រឹស្តីចាំបាច់ទាំងអស់។ ដំណោះស្រាយរហ័ស អន្ទាក់ និងអាថ៌កំបាំងនៃការប្រឡង។ កិច្ចការពាក់ព័ន្ធទាំងអស់នៃផ្នែកទី 1 ពីកិច្ចការរបស់ធនាគារ FIPI ត្រូវបានវិភាគ។ វគ្គសិក្សាអនុលោមតាមតម្រូវការរបស់ USE-2018 យ៉ាងពេញលេញ។

វគ្គសិក្សាមាន 5 ប្រធានបទធំ 2.5 ម៉ោងនីមួយៗ។ ប្រធានបទនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យពីទទេ សាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

កិច្ចការប្រឡងរាប់រយ។ បញ្ហាអត្ថបទ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ក្បួនដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។ ធរណីមាត្រ។ ទ្រឹស្ដី ឯកសារយោង ការវិភាគគ្រប់ប្រភេទនៃកិច្ចការ USE ។ ស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ ល្បិចល្បិចសម្រាប់ដោះស្រាយ, សន្លឹកបន្លំដែលមានប្រយោជន៍, ការអភិវឌ្ឍន៍ការស្រមើលស្រមៃក្នុងលំហ។ ត្រីកោណមាត្រពីទទេ - ទៅភារកិច្ច 13. ការយល់ដឹងជំនួសឱ្យការ cramming ។ ការពន្យល់ដែលមើលឃើញនៃគំនិតស្មុគស្មាញ។ ពិជគណិត។ ឫស អំណាច និងលោការីត មុខងារ និងដេរីវេ។ មូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញនៃផ្នែកទី 2 នៃការប្រឡង។

ការរុករកទំព័រ។

មុំរវាងយន្តហោះ - និយមន័យ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង . ប្លង់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នាជាបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលយើងសម្គាល់ដោយអក្សរ គ។ ចូរសង់យន្តហោះកាត់តាមចំណុច M នៃបន្ទាត់ c ហើយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ។ ក្នុងករណីនេះ យន្តហោះនឹងប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះ និង . សម្គាល់បន្ទាត់ដែលយន្តហោះប្រសព្វ និងជា a និងបន្ទាត់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងដូច ខ។ ជាក់ស្តែង បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច M ។

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញវា។ មុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b មិនអាស្រ័យលើទីតាំងនៃចំណុច M នៅលើបន្ទាត់ c ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់នោះទេ។

ចូរយើងសង់យន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c ហើយខុសពីយន្តហោះ។ យន្តហោះត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះ និងតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ ដែលយើងសម្គាល់ដោយ 1 និង b 1 រៀងគ្នា។

ពីវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់យន្តហោះហើយវាធ្វើតាមថាបន្ទាត់ a និង b កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c ហើយបន្ទាត់ a 1 និង b 1 គឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c ។ ដោយសារបន្ទាត់ a និង 1 ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c ពួកវាគឺស្របគ្នា។ ដូចគ្នានេះដែរ បន្ទាត់ b និង b 1 ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ដូច្នេះពួកវាគឺស្របគ្នា។ ដូច្នេះវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលនៃយន្តហោះទៅយន្តហោះដែលបន្ទាត់ a 1 ស្របគ្នាជាមួយបន្ទាត់ a និងបន្ទាត់ b ជាមួយបន្ទាត់ b 1 ។ ដូច្នេះមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា a 1 និង b 1 គឺស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b ។

នេះបង្ហាញថាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ហើយមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃចំណុច M ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់នោះទេ។ ដូច្នេះ វាសមហេតុផលក្នុងការយកមុំនេះជាមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាពីរ។

ឥឡូវនេះ អ្នកអាចបញ្ចេញនិយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង .

និយមន័យ។

មុំរវាងយន្តហោះពីរប្រសព្វគ្នាក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងគឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរ a និង b ដែលតាមបណ្តោយប្លង់ និងប្រសព្វជាមួយប្លង់កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c ។

និយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះពីរអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខុសគ្នាបន្តិចបន្តួច។ ប្រសិនបើនៅលើបន្ទាត់ c ដែលនៅតាមបណ្តោយយន្តហោះប្រសព្វគ្នា សម្គាល់ចំណុច M ហើយគូរបន្ទាត់កាត់វា a និង b កាត់កែងទៅបន្ទាត់ c និងដេកក្នុងយន្តហោះ ហើយរៀងគ្នា មុំរវាងបន្ទាត់ a និង b គឺជា មុំរវាងយន្តហោះនិង។ ជាធម្មតានៅក្នុងការអនុវត្តការសាងសង់បែបនេះត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីទទួលបានមុំរវាងយន្តហោះ។

ការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

ឧទាហរណ៍។

ដំណោះស្រាយ។

ដំបូងយើងធ្វើគំនូរ។

ចូរយើងអនុវត្តការសាងសង់បន្ថែមដើម្បី "មើល" មុំរវាងយន្តហោះ។

ដំបូង យើងកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះ ABC និង BED 1 ប្រសព្វគ្នា។ ចំណុច B គឺជាចំណុចរួមមួយរបស់ពួកគេ។ ស្វែងរកចំណុចរួមទីពីរនៃយន្តហោះទាំងនេះ។ បន្ទាត់ DA និង D 1 E ស្ថិតនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា ADD 1 ហើយពួកវាមិនស្របគ្នាទេ ដូច្នេះហើយប្រសព្វគ្នា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត បន្ទាត់ DA ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ABC ហើយបន្ទាត់ D 1 E ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ BED 1 ដូច្នេះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ DA និង D 1 E នឹងក្លាយជាចំណុចរួមនៃយន្តហោះ ABC និង គ្រែ ១. ដូច្នេះ យើងបន្តបន្ទាត់ DA និង D 1 E រហូតដល់ពួកគេប្រសព្វគ្នា យើងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេជាមួយនឹងអក្សរ F ។ បន្ទាប់មក BF គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះ ABC និង BED 1 ប្រសព្វគ្នា។

វានៅសល់ដើម្បីសាងសង់បន្ទាត់ពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ABC និង BED 1 រៀងគ្នាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ BF និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ BF - មុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះតាមនិយមន័យនឹងស្មើនឹងមុំដែលចង់បានរវាង យន្តហោះ ABC និង BED 1 ។ តោះធ្វើវា។

ចំណុច A គឺជាការព្យាករនៃចំនុច E ទៅលើយន្តហោះ ABC ។ គូរបន្ទាត់ដែលប្រសព្វនៅមុំខាងស្តាំ បន្ទាត់ BF នៅចំណុច M ។ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ AM គឺជាការព្យាករនៃបន្ទាត់ EM ទៅលើយន្តហោះ ABC និងដោយទ្រឹស្តីបទកាត់កែងទាំងបី។

ដូច្នេះមុំដែលចង់បានរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 គឺ .

យើងអាចកំណត់ស៊ីនុស កូស៊ីនុស ឬតង់សង់នៃមុំនេះ (ហេតុដូច្នេះហើយមុំខ្លួនវា) ពីត្រីកោណកែង AEMif យើងដឹងពីប្រវែងនៃជ្រុងទាំងពីររបស់វា។ តាមលក្ខខណ្ឌវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកប្រវែង AE: ចាប់តាំងពីចំនុច E បែងចែកចំហៀង AA 1 ទាក់ទងនឹង 4 ទៅ 3 ដោយរាប់ពីចំណុច A ហើយប្រវែងនៃចំហៀង AA 1 គឺ 7 បន្ទាប់មក AE \u003d 4 ។ ចូររកប្រវែង AM ។

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណាត្រីកោណកែង ABF ដែលមានមុំខាងស្តាំ A ដែល AM ជាកំពស់។ តាមលក្ខខណ្ឌ AB=2។ យើងអាចរកឃើញប្រវែងនៃចំហៀង AF ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណកែង DD 1 F និង AEF:

តាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ពីត្រីកោណ ABF យើងរកឃើញ។ យើងរកឃើញប្រវែង AM កាត់តាមផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABF: នៅម្ខាងផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABF គឺស្មើនឹង , ម្យ៉ាងវិញទៀត កន្លែងណា .

ដូច្នេះពីត្រីកោណខាងស្តាំ AEM យើងមាន .

បន្ទាប់មកមុំដែលចង់បានរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 គឺ (ចំណាំ ).

ចម្លើយ៖

ក្នុងករណីខ្លះ ដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ Oxyz ហើយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ។ តោះឈប់ទៅ។

យើងនឹងសន្មត់ថានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលផ្តល់ឱ្យ Oxyz យើងដឹងពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ហើយឬវាអាចទៅរួចក្នុងការស្វែងរកវា។ អនុញ្ញាតឱ្យ - ប្លង់វ៉ិចទ័រធម្មតា។, ក គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងតាមរយៈកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ។

ចូរយើងសម្គាល់បន្ទាត់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងជា គ។ តាមរយៈចំនុច M នៅលើបន្ទាត់ c យើងគូរប្លង់កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c ។ យន្តហោះប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះ និងតាមបណ្តោយបន្ទាត់ a និង b រៀងគ្នា បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M ។ តាមនិយមន័យ មុំរវាងប្លង់ប្រសព្វ និងស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង ខ។

ចូរយើងញែកចេញពីចំនុច M ក្នុងយន្តហោះនូវវ៉ិចទ័រធម្មតា និងនៃយន្តហោះ និង . ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅបន្ទាត់ a ហើយវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅបន្ទាត់ b ។ ដូច្នេះនៅក្នុងវ៉ិចទ័រយន្តហោះ - វ៉ិចទ័រធម្មតាត្រង់ a គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ ខ។

នៅក្នុងអត្ថបទ ការស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វយើងបានទទួលរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វដោយប្រើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។ ដូច្នេះកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ a និង b ហើយជាលទ្ធផល និង កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វហើយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត កន្លែងណា និង គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ និងរៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគណនាជា .

តោះដោះស្រាយឧទាហរណ៍មុនដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេ។

ឧទាហរណ៍។

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ចតុកោណកែងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលក្នុងនោះ AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 និងចំណុច E បែងចែកផ្នែកខាង AA 1 ក្នុងសមាមាត្រនៃ 4 ទៅ 3 ដោយរាប់ពីចំណុច A . រកមុំរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 ។

ដំណោះស្រាយ។

ដោយសារជ្រុងនៃរាងចតុកោណកែងប៉ារ៉ាឡែលដែលដាក់នៅចំនុចកំពូលមួយត្រូវកាត់កែងគ្នា វាជាការងាយស្រួលក្នុងការណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Oxyz ដូចខាងក្រោម៖ ការចាប់ផ្តើមត្រូវបានតម្រឹមជាមួយចំនុចកំពូល C ហើយអ័ក្សកូអរដោនេ Ox, Oy និង Oz ត្រូវបានតម្រង់តាមចំហៀង។ ស៊ីឌី CB និង CC 1 រៀងគ្នា។

មុំរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 អាចត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះដោយប្រើរូបមន្ត ដែលនិងជាវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់យន្តហោះ ABC និង BED 1 រៀងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។

\(\blacktriangleright\) មុំ dihedral គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយពាក់កណ្តាលប្លង់ពីរ និងបន្ទាត់ត្រង់ \(a\) ដែលជាព្រំដែនរួមរបស់ពួកគេ។

\(\blacktriangleright\) ដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ \(\xi\) និង \(\pi\) អ្នកត្រូវស្វែងរកមុំលីនេអ៊ែរ ហឹរឬ ត្រង់) នៃមុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះ \(\xi\) និង \(\pi\) :

ជំហានទី 1: អនុញ្ញាតឱ្យ \(\xi\cap\pi=a\) (បន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ) ។ នៅក្នុងយន្តហោះ \(\xi\) យើងសម្គាល់ចំណុចបំពាន \(F\) ហើយគូរ \(FA\perp a\);

ជំហានទី 2: គូរ \\ (FG \\ perp \\ pi \\);

ជំហានទី 3: យោងតាម TTP (\(FG\) - កាត់កែង, \(FA\) - oblique, \(AG\) - ការព្យាករ) យើងមាន: \(AG\perp a\);

ជំហានទី ៤៖ មុំ \(\angle FAG\) ត្រូវបានគេហៅថាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះ \(\xi\) និង \(\pi\) ។

ចំណាំថាត្រីកោណ \(AG\) គឺជាត្រីកោណកែង។
សូមចំណាំផងដែរថាយន្តហោះ \(AFG\) ដែលត្រូវបានសាងសង់តាមរបៀបនេះគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះទាំងពីរ \(\xi\) និង \(\pi\) ។ ដូច្នេះ គេអាចនិយាយបានក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀត៖ មុំរវាងយន្តហោះ\(\xi\) និង \(\pi\) គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរ \(c\in \xi\) និង \(b\in\pi\) បង្កើតជាប្លង់កាត់កែងទៅ \(\xi\ ) និង \(\pi\) ។

កិច្ចការទី 1 #2875

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡង

ដោយមើលឃើញពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុង គែមទាំងអស់ស្មើគ្នា ហើយមូលដ្ឋានគឺជាការ៉េ។ ស្វែងរក \(6\cos \alpha\) ដែល \(\alpha\) ជាមុំរវាងមុខចំហៀងរបស់វា។

សូមឲ្យ \(SABCD\) ជាសាជីជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ (\(S\) គឺជាចំនុចកំពូល) ដែលគែមរបស់វាស្មើនឹង \(a\) ។ ដូច្នេះ មុខចំហៀងទាំងអស់គឺជាត្រីកោណស្មើគ្នា។ ស្វែងរកមុំរវាងមុខ \(SAD\) និង \(SCD\) ។

តោះគូរ \(CH\perp SD\) ។ ដោយសារតែ \\(\ត្រីកោណ SAD=\ត្រីកោណ SCD\)បន្ទាប់មក \(AH\) ក៏នឹងជាកម្ពស់នៃ \(\ត្រីកោណ SAD\) ផងដែរ។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យ \(\angle AHC=\alpha\) គឺជាមុំ dihedral លីនេអ៊ែរ រវាងមុខ \(SAD\) និង \(SCD\) ។
ដោយសារមូលដ្ឋានគឺជាការការ៉េ ដូច្នេះ \(AC=a\sqrt2\) ។ សូមចំណាំផងដែរថា \(CH=AH\) គឺជាកម្ពស់នៃត្រីកោណសមមូលដែលមានចំហៀង \(a\) ដូច្នេះ \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) ។
បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសពី \(\ត្រីកោណ AHC\)៖ \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

ចម្លើយ៖ -២

កិច្ចការទី 2 #2876

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡង

យន្តហោះ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ប្រសព្វគ្នានៅមុំមួយដែលកូស៊ីនុសស្មើនឹង \(0,2\) ។ ប្លង់ \\(\pi_2\) និង \(\pi_3\) ប្រសព្វគ្នានៅមុំខាងស្តាំ ហើយបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃ យន្តហោះ \(\pi_2\) និង \(\ pi_3\) ។ ស្វែងរកស៊ីនុសនៃមុំរវាងប្លង់ \(\pi_1\) និង \(\pi_3\) ។

សូមអោយបន្ទាត់ប្រសព្វនៃ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ជាបន្ទាត់ \(a\) បន្ទាត់ប្រសព្វនៃ \(\pi_2\) និង \(\pi_3\) ជាបន្ទាត់ \ (b\) និងបន្ទាត់ប្រសព្វ \(\pi_3\) និង \(\pi_1\) គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ \(c\) ។ ចាប់តាំងពី \(a\parallel b\) បន្ទាប់មក \(c\parallel a\parallel b\) (យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីផ្នែកនៃទ្រឹស្ដីយោង "ធរណីមាត្រក្នុងលំហ" \(\rightarrow\) "សេចក្តីផ្តើមចំពោះស្តេរ៉េអូមេទ្រី, ភាពស្របគ្នា”) ។

សម្គាល់ចំណុច \(A\in a, B\in b\) ដូច្នេះ \(AB\perp a, AB\perp b\) (វាអាចទៅរួចព្រោះ \(a\parallel b\)) ។ ចំណាំ \(C\in c\) ដូច្នេះ \(BC\perp c\) ដូច្នេះ \(BC\perp b\) ។ បន្ទាប់មក \(AC\perp c\) និង \(AC\perp a\) ។
ជាការពិត ចាប់តាំងពី \(AB\perp b, BC\perp b\) បន្ទាប់មក \(b\) គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ABC\) ។ ចាប់តាំងពី \(c\parallel a\parallel b\) បន្ទាប់មកបន្ទាត់ \(a\) និង \(c\) ក៏កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ABC\) ដូច្នេះហើយចំពោះបន្ទាត់ណាមួយពីយន្តហោះនេះ ជាពិសេស ទៅកាន់បន្ទាត់ \ (AC\) ។

ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។ \(\angle BAC=\angle (\pi_1, \pi_2)\), \(\angle ABC=\angle (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angle BCA=\angle (\pi_3, \pi_1)\). វាប្រែថា \(\ត្រីកោណ ABC\) មានរាងចតុកោណកែង ដែលមានន័យថា \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0,2.\]

ចម្លើយ៖ ០.២

កិច្ចការទី 3 #2877

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡង

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ \(a, b, c\) ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ ហើយមុំរវាងពួកវាទាំងពីរគឺស្មើនឹង \(60^\circ\) ។ ស្វែងរក \(\cos^(-1)\alpha\) ដែល \(\alpha\) គឺជាមុំរវាងយន្តហោះដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ \(a\) និង \(c\) និង យន្តហោះដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ \(b\) និង \(c\) ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។

សូមឲ្យបន្ទាត់ប្រសព្វនៅចំណុច \(O\) ។ ដោយសារមុំរវាងពួកវាទាំងពីរគឺស្មើនឹង \(60^\circ\) ដូច្នេះបន្ទាត់ទាំងបីមិនអាចស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយបានទេ។ ចូរយើងគូសចំនុចមួយ \(A\) នៅលើបន្ទាត់ \(a\) ហើយគូរ \(AB\perp b\) និង \(AC\perp c\) ។ បន្ទាប់មក \\ (\\ ត្រីកោណ AOB = \\ ត្រីកោណ AOC \\)ជាចតុកោណកែងក្នុងអ៊ីប៉ូតេនុស និងមុំស្រួច។ ដូច្នេះ \(OB=OC\) និង \(AB=AC\) ។
តោះធ្វើ \(AH\perp (BOC)\) ។ បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទកាត់កែងទាំងបី \(HC\perp c\), \(HB\perp b\) ។ ចាប់តាំងពី \(AB=AC\) បន្ទាប់មក \\ (\\ ត្រីកោណ AHB = \\ ត្រីកោណ AHC \\)រាងចតុកោណកែងតាមបណ្តោយអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើង។ ដូច្នេះ \(HB=HC\) ។ ដូច្នេះ \(OH\) ជាផ្នែកនៃមុំ \(BOC\) (ចាប់តាំងពីចំណុច \(H\) គឺស្មើគ្នាពីជ្រុងនៃមុំ)។

ចំណាំថាតាមរបៀបនេះ យើងក៏បានសាងសង់មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំឌីអេឌ្រីមដែលបង្កើតឡើងដោយប្លង់ដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ \(a\) និង \(c\) និងប្លង់ដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ \(b\) និង \( គ\) ។ នេះគឺជាមុំ \(ACH\) ។

តោះរកជ្រុងនេះ។ ដោយសារយើងជ្រើសរើសចំណុច \(A\) តាមអំពើចិត្ត នោះសូមឱ្យយើងជ្រើសរើសវាដូច្នេះ \(OA=2\) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចតុកោណ \\ (\ ត្រីកោណ AOC\)៖ \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]ដោយសារ \(OH\) ជា bisector នោះ \(\angle HOC=30^\circ\) ដូច្នេះ ក្នុងចតុកោណ \(\ត្រីកោណ HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3)\]បន្ទាប់មកពីចតុកោណ \\ (\ ត្រីកោណ ACH ) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

ចម្លើយ៖ ៣

កិច្ចការទី 4 # 2910

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡង

យន្តហោះ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ \(l\) ដែលមានចំនុច \(M\) និង \(N\) ។ ចម្រៀក \(MA\) និង \(MB\) កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ \(l\) ហើយស្ថិតនៅលើយន្តហោះ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) រៀងគ្នា និង \(MN = 15 \) , \(AN = 39\), \(BN = 17\), \(AB = 40\) ។ ស្វែងរក \(3\cos\alpha\) ដែល \(\alpha\) ជាមុំរវាងប្លង់ \(\pi_1\) និង \(\pi_2\) ។

ត្រីកោណ \(AMN\) ជាមុំខាងស្តាំ \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) មកពីណា \ ត្រីកោណ \(BMN\) ជាមុំខាងស្តាំ \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) ពេលណា \ យើងសរសេរទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសសម្រាប់ត្រីកោណ \(AMB\): \ បន្ទាប់មក \ ដោយសារមុំ \(\alpha\) រវាងយន្តហោះគឺជាមុំស្រួច ហើយ \(\angle AMB\) ប្រែទៅជា obtuse បន្ទាប់មក \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) ។ បន្ទាប់មក \

ចម្លើយ៖ ១.២៥

កិច្ចការទី 5 #2911

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡង

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) គឺជា parallelepiped \(ABCD\) ជាការ៉េដែលមានចំហៀង \(a\) ចំណុច \(M\) ជាមូលដ្ឋានកាត់កាត់ពីចំណុច \(A_1\) ទៅកាន់យន្តហោះ \ ((ABCD)\) លើសពីនេះ \(M\) គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ \(ABCD\) ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ថា \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). រកមុំរវាងយន្តហោះ \((ABCD)\) និង \((AA_1B_1B)\) ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។

យើងសង់ \(MN\) កាត់កែងទៅ \(AB\) ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។

ដោយសារ \(ABCD\) ជាការ៉េដែលមានចំហៀង \(a\) និង \(MN\perp AB\) និង \(BC\perp AB\) បន្ទាប់មក \(MN\parallel BC\) ។ ដោយសារ \(M\) គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ ដូច្នេះ \(M\) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AC\) ដូច្នេះ \(MN\) គឺជាបន្ទាត់កណ្តាល និង \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) គឺជាការព្យាករនៃ \(A_1N\) ទៅលើយន្តហោះ \((ABCD)\) ហើយ \(MN\) កាត់កែងទៅ \(AB\) បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទកាត់កែងទាំងបី \( A_1N\) គឺកាត់កែងទៅនឹង \(AB \) ហើយមុំរវាងយន្តហោះ \((ABCD)\) និង \((AA_1B_1B)\) គឺ \(\angle A_1NM\) ។
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]

ចម្លើយ៖ ៦០

កិច្ចការទី 6 # 1854

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡង

នៅក្នុងការ៉េ \(ABCD\) : \(O\) គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង។ \(S\) មិននៅក្នុងប្លង់នៃការ៉េទេ \(SO \perp ABC\) ។ រកមុំរវាងយន្តហោះ \(ASD\) និង \(ABC\) ប្រសិនបើ \(SO = 5\) និង \(AB = 10\) ។

ត្រីកោណស្តាំ \(\ត្រីកោណ SAO\) និង \(\ ត្រីកោណ SDO\) ស្មើគ្នានៅជ្រុងពីរ និងមុំរវាងពួកវា (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) ពីព្រោះ \(O\) គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ \(SO\) គឺជាផ្នែកធម្មតា) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\ត្រីកោណ ASD \\) គឺជា isosceles ។ ចំនុច \(K\) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AD\) បន្ទាប់មក \(SK\) គឺជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \(\triangle ASD\) ហើយ \(OK\) ជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \ (AOD\) \(\Rightarrow\) យន្តហោះ \(SOK\) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ASD\) និង \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) ជាមុំលីនេអ៊ែរស្មើគ្នា ទៅមុំ dihedral ដែលត្រូវការ។

ក្នុង \(\ត្រីកោណ SKO\)៖ \(យល់ព្រម = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) គឺជា isosceles right triangle \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) ។

ចម្លើយ៖ ៤៥

កិច្ចការទី 7 # 1855

កម្រិតកិច្ចការ៖ ពិបាកជាងការប្រឡង

នៅក្នុងការ៉េ \(ABCD\) : \(O\) គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូង។ \(S\) មិននៅក្នុងប្លង់នៃការ៉េទេ \(SO \perp ABC\) ។ រកមុំរវាងយន្តហោះ \(ASD\) និង \(BSC\) ប្រសិនបើ \(SO = 5\) និង \(AB = 10\) ។

ត្រីកោណកែង \\(\ត្រីកោណ SAO\) , \(\ត្រីកោណ SDO\) , \(\ត្រីកោណ SOB\) និង \(\ត្រីកោណ SOC\) គឺស្មើគ្នាជាពីរជ្រុង និងមុំរវាងពួកវា (\(SO \perp ABC \\) \\ (\\ ព្រួញស្ដាំ \\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), ដោយសារតែ \(O\) គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃការ៉េ \(SO\) គឺជាផ្នែករួម) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\ត្រីកោណ ASD\) និង \(\ត្រីកោណ BSC\) គឺជា isosceles ។ ចំនុច \(K\) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(AD\) បន្ទាប់មក \(SK\) គឺជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \(\triangle ASD\) ហើយ \(OK\) ជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) យន្តហោះ \(SOK\) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(ASD\) ។ ចំនុច \(L\) គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃ \(BC\) បន្ទាប់មក \(SL\) ជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \(\triangle BSC\) ហើយ \(OL\) ជាកំពស់ក្នុងត្រីកោណ \ (BOC\) \(\rightarrow\) យន្តហោះ \(SOL\) (aka the plane \(SOK\)) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ \(BSC\) ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបាននោះ \(\angle KSL\) គឺជាមុំលីនេអ៊ែរ ស្មើនឹងមុំ dihedral ដែលចង់បាន។

\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\\(\Rightarrow\) \\(OL = 5\); \(SK = SL\) - កម្ពស់ក្នុងត្រីកោណ isosceles ស្មើគ្នា ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Pythagorean៖ \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) សម្រាប់ត្រីកោណ \(\triangle KSL\) ទ្រឹស្ដីបទពីតាហ្គោរ ច្រាសកាន់ \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) គឺជាត្រីកោណស្តាំ \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ circ\) ។

ចម្លើយ៖ ៩០

ការរៀបចំសិស្សសម្រាប់ការប្រឡងក្នុងគណិតវិទ្យា ជាក្បួនចាប់ផ្តើមដោយពាក្យដដែលៗនៃរូបមន្តមូលដ្ឋាន រួមទាំងរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់មុំរវាងប្លង់។ ទោះបីជាការពិតដែលថាផ្នែកនៃធរណីមាត្រនេះត្រូវបានគ្របដណ្តប់យ៉ាងលម្អិតគ្រប់គ្រាន់នៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាក៏ដោយក៏និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាជាច្រើនចាំបាច់ត្រូវធ្វើឡើងវិញនូវសម្ភារៈមូលដ្ឋាន។ ការយល់ដឹងពីរបៀបស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ សិស្សវិទ្យាល័យនឹងអាចគណនាចម្លើយត្រឹមត្រូវបានយ៉ាងឆាប់រហ័សក្នុងវគ្គនៃការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយពឹងផ្អែកលើការទទួលបានពិន្ទុសមរម្យដោយផ្អែកលើការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម។

nuances ចម្បង

ដូច្នេះថាសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកមុំ dihedral មិនបង្កឱ្យមានការលំបាកយើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយដែលនឹងជួយអ្នកឱ្យស៊ូទ្រាំនឹងភារកិច្ចនៃការប្រឡង។

ដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់ខ្សែបន្ទាត់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា។

បន្ទាប់មកនៅលើបន្ទាត់នេះអ្នកត្រូវជ្រើសរើសចំណុចមួយហើយគូរកាត់កែងពីរទៅវា។

ជំហានបន្ទាប់គឺស្វែងរកអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំ dihedral ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយកាត់កែង។ វាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការធ្វើបែបនេះដោយមានជំនួយពីត្រីកោណលទ្ធផលដែលជ្រុងគឺជាផ្នែកមួយ។

ចម្លើយនឹងជាតម្លៃនៃមុំ ឬអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្ររបស់វា។

ការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្តប្រឡងរួមគ្នាជាមួយ Shkolkovo គឺជាគន្លឹះនៃភាពជោគជ័យរបស់អ្នក។

នៅក្នុងដំណើរការនៃការសិក្សានៅមុនថ្ងៃនៃការប្រឡងសិស្សជាច្រើនត្រូវប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានៃការស្វែងរកនិយមន័យនិងរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាមុំរវាងប្លង់ 2 ។ សៀវភៅសិក្សារបស់សាលាមិនតែងតែនៅនឹងដៃនោះទេ នៅពេលដែលវាត្រូវការ។ ហើយដើម្បីស្វែងរករូបមន្តចាំបាច់ និងឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីត្រឹមត្រូវរបស់ពួកគេ រួមទាំងការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះនៅលើអ៊ីនធឺណិតតាមអ៊ីនធឺណិត ពេលខ្លះអ្នកត្រូវចំណាយពេលច្រើន។

វិបផតថលគណិតវិទ្យា "Shkolkovo" ផ្តល់នូវវិធីសាស្រ្តថ្មីក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងរដ្ឋ។ ថ្នាក់រៀននៅលើគេហទំព័ររបស់យើងនឹងជួយសិស្សឱ្យស្គាល់ផ្នែកដែលពិបាកបំផុតសម្រាប់ខ្លួនគេ និងបំពេញចន្លោះនៃចំណេះដឹង។

យើងបានរៀបចំ និងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នូវសម្ភារៈចាំបាច់ទាំងអស់។ និយមន័យ និងរូបមន្តជាមូលដ្ឋានត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែក "សេចក្តីយោងទ្រឹស្តី" ។

ដើម្បីបញ្ចូលសម្ភារៈឱ្យកាន់តែប្រសើរឡើង យើងក៏ស្នើឱ្យអនុវត្តលំហាត់ដែលត្រូវគ្នាផងដែរ។ ជម្រើសដ៏ធំនៃកិច្ចការដែលមានកម្រិតខុសគ្នានៃភាពស្មុគស្មាញ ឧទាហរណ៍ បើក ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែកកាតាឡុក។ កិច្ចការទាំងអស់មានក្បួនដោះស្រាយលម្អិតសម្រាប់ការស្វែងរកចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ បញ្ជីនៃលំហាត់នៅលើគេហទំព័រត្រូវបានបំពេញបន្ថែម និងធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពជានិច្ច។

ការអនុវត្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះពីរ សិស្សមានឱកាសដើម្បីរក្សាទុកកិច្ចការណាមួយតាមអ៊ីនធឺណិតទៅ "ចំណូលចិត្ត" ។ អរគុណចំពោះបញ្ហានេះ ពួកគេនឹងអាចត្រឡប់ទៅរកគាត់វិញនូវចំនួនដងចាំបាច់ និងពិភាក្សាអំពីវឌ្ឍនភាពនៃដំណោះស្រាយរបស់គាត់ជាមួយគ្រូសាលា ឬគ្រូបង្រៀន។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

មុំរវាងយន្តហោះ - និយមន័យ។

ការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

មុំរវាងយន្តហោះ - និយមន័យ។

ការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

nuances ចម្បង

ការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្តប្រឡងរួមគ្នាជាមួយ Shkolkovo គឺជាគន្លឹះនៃភាពជោគជ័យរបស់អ្នក។

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង