នៅក្នុងសម្ភារៈមុននេះ បញ្ហានៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានពិចារណា ហើយកម្មវិធីផ្សេងៗរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញ៖ ការគណនាជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វ ការដោះស្រាយបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាព សិក្សាមុខងារសម្រាប់ monotonicity និង extrema ។ $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$$\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$$\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$
រូបភាពទី 1 ។
បញ្ហានៃការស្វែងរកល្បឿនភ្លាមៗ $v(t)$ ដោយប្រើដេរីវេនៅតាមបណ្តោយផ្លូវដែលគេស្គាល់ពីមុនបានធ្វើដំណើរ ដែលបង្ហាញដោយអនុគមន៍ $s(t)$ ក៏ត្រូវបានពិចារណាផងដែរ។
រូបភាពទី 2 ។
បញ្ហាបញ្ច្រាសក៏ជារឿងធម្មតាដែរ នៅពេលដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកផ្លូវ $s(t)$ ឆ្លងកាត់ដោយចំនុចមួយក្នុងពេលវេលា $t$ ដោយដឹងពីល្បឿននៃចំនុច $v(t)$។ ប្រសិនបើយើងរំលឹកឡើងវិញ ល្បឿនភ្លាមៗ $v(t)$ ត្រូវបានរកឃើញថាជាដេរីវេនៃមុខងារផ្លូវ $s(t)$: $v(t)=s'(t)$ ។ នេះមានន័យថា ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស នោះគឺគណនាផ្លូវ អ្នកត្រូវស្វែងរកមុខងារដែលដេរីវេនៃនឹងស្មើនឹងមុខងារល្បឿន។ ប៉ុន្តែយើងដឹងថាដេរីវេនៃផ្លូវគឺជាល្បឿន នោះគឺ $s'(t) = v(t)$ ។ ល្បឿនស្មើនឹងពេលវេលាបង្កើនល្បឿន៖ $v=at$។ វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថាមុខងារផ្លូវដែលចង់បាននឹងមានទម្រង់៖ $s(t) = \frac(at^2)(2)$ ។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាដំណោះស្រាយពេញលេញទេ។ ដំណោះស្រាយពេញលេញនឹងមានទម្រង់៖ $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$ ដែល $C$ គឺថេរខ្លះ។ ហេតុអ្វីបានជាបែបនេះនឹងពិភាក្សាបន្ថែមទៀត។ សម្រាប់ពេលនេះ សូមពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ៖ $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$។
វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាការស្វែងរកផ្លូវដែលផ្អែកលើល្បឿនគឺជាអត្ថន័យជាក់ស្តែងនៃ antiderivative ។
មុខងារលទ្ធផល $s(t)$ ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative នៃអនុគមន៍ $v(t)$។ ឈ្មោះគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងមិនធម្មតាមែនទេ? វាមានអត្ថន័យដ៏អស្ចារ្យដែលពន្យល់ពីខ្លឹមសារនៃគោលគំនិតនេះហើយនាំទៅរកការយល់ដឹងរបស់វា។ អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញថាវាមានពាក្យពីរ "ទីមួយ" និង "រូបភាព" ។ ពួកគេនិយាយដោយខ្លួនឯង។ នោះគឺថានេះគឺជាមុខងារដែលជាដំបូងសម្រាប់ដេរីវេដែលយើងមាន។ ហើយការប្រើនិស្សន្ទវត្ថុនេះ យើងកំពុងស្វែងរកមុខងារដែលនៅដើមដំបូង គឺ "រូបទីមួយ" "រូបទីមួយ" ពោលគឺ ប្រឆាំងដេរីវេ។ ជួនកាលវាត្រូវបានគេហៅថាមុខងារបុព្វកាល ឬ antiderivative ។
ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយ ដំណើរការនៃការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។ ហើយដំណើរការនៃការស្វែងរក antiderivative ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូល។ ប្រតិបត្តិការនៃការធ្វើសមាហរណកម្មគឺជាការបញ្ច្រាសនៃប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នា។ ការសន្ទនាក៏ជាការពិតដែរ។
និយមន័យ។អង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ $f(x)$ នៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ គឺជាអនុគមន៍ $F(x)$ ដែលដេរីវេនៃគឺស្មើនឹងអនុគមន៍នេះ $f(x)$ សម្រាប់ $x$ ទាំងអស់ពីចន្លោះពេលដែលបានបញ្ជាក់៖ $F' (x)=f (x)$។
នរណាម្នាក់អាចមានសំណួរ៖ តើ $F(x)$ និង $f(x)$ មកពីណាក្នុងនិយមន័យ ប្រសិនបើដំបូងយើងកំពុងនិយាយអំពី $s(t)$ និង $v(t)$។ ការពិតគឺថា $s(t)$ និង $v(t)$ គឺជាករណីពិសេសនៃការកំណត់មុខងារដែលមានអត្ថន័យជាក់លាក់ក្នុងករណីនេះ នោះគឺជាមុខងារនៃពេលវេលា និងមុខងារនៃល្បឿនរៀងគ្នា។ វាដូចគ្នាជាមួយនឹងអថេរ $t$ - វាតំណាងឱ្យពេលវេលា។ ហើយ $f$ និង $x$ គឺជាវ៉ារ្យ៉ង់ប្រពៃណីនៃការកំណត់ទូទៅនៃអនុគមន៍ និងអថេររៀងគ្នា។ វាគឺមានតំលៃយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះសញ្ញាណនៃ antiderivative $F(x)$។ ជាដំបូង $F$ គឺជាដើមទុន។ Antiderivatives ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជាអក្សរធំ។ ទីពីរ អក្សរគឺដូចគ្នា៖ $F$ និង $f$។ នោះគឺសម្រាប់មុខងារ $g(x)$ សារធាតុប្រឆាំងនឹងត្រូវបានតំណាងដោយ $G(x)$ សម្រាប់ $z(x)$ – ដោយ $Z(x)$។ ដោយមិនគិតពីសញ្ញាណ ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកមុខងារប្រឆាំងគឺតែងតែដូចគ្នា។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។
ឧទាហរណ៍ ១.បង្ហាញថាអនុគមន៍ $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ គឺជាអង់ទីករនៃអនុគមន៍ $f(x)=\cos5x$។
ដើម្បីបញ្ជាក់វា យើងនឹងប្រើនិយមន័យ ឬជាការពិតដែលថា $F'(x)=f(x)$ ហើយស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $F(x)$: $F'(x)=( \frac(1)(5) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x=\cos5x$ ។ នេះមានន័យថា $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ គឺជាសារធាតុប្រឆាំងនៃ $f(x)=\cos5x$។ Q.E.D.
ឧទាហរណ៍ ២.ស្វែងរកមុខងារមួយណាដែលត្រូវនឹងអង់ទីករខាងក្រោម៖ ក) $F(z)=\tg z$; ខ) $G(l) = \sin l$។
ដើម្បីស្វែងរកមុខងារដែលត្រូវការ ចូរយើងគណនានិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា៖
ក) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
ខ) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$ ។
ឧទាហរណ៍ ៣.តើអ្វីទៅជាអង្គបដិវត្តសម្រាប់ $f(x)=0$?
ចូរយើងប្រើនិយមន័យ។ ចូរយើងគិតពីមុខងារណាមួយដែលអាចមានដេរីវេស្មើនឹង $0$។ ដោយរំលឹកតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងឃើញថាថេរណាមួយនឹងមានដេរីវេ។ យើងរកឃើញថាអង្គបដិប្រាណដែលយើងកំពុងស្វែងរកគឺ៖ $F(x)=C$។
ដំណោះស្រាយលទ្ធផលអាចត្រូវបានពន្យល់តាមធរណីមាត្រ និងរូបវន្ត។ តាមធរណីមាត្រ វាមានន័យថាតង់សង់ទៅក្រាហ្វ $y=F(x)$ គឺផ្ដេកនៅចំណុចនីមួយៗនៃក្រាហ្វនេះ ហើយដូច្នេះវាស្របគ្នានឹងអ័ក្ស $Ox$។ តាមរូបវិទ្យា វាត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតថា ចំណុចដែលមានល្បឿនស្មើនឹងសូន្យនៅតែស្ថិតនៅនឹងកន្លែង ពោលគឺផ្លូវដែលវាបានធ្វើដំណើរគឺមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ដោយផ្អែកលើនេះ យើងអាចបង្កើតទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោម។
ទ្រឹស្តីបទ។ (សញ្ញានៃភាពជាប់លាប់នៃមុខងារ) ប្រសិនបើចន្លោះពេលខ្លះ $F'(x) = 0$ នោះមុខងារ $F(x)$ នៅលើចន្លោះពេលនេះគឺថេរ។
ឧទាហរណ៍ 4 ។កំណត់មុខងារណាមួយជាអង្គបដិប្រាណនៃ a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; ខ) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; គ) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$ ដែល $a$ ជាលេខមួយចំនួន។
ដោយប្រើនិយមន័យនៃ antiderivative មួយ យើងសន្និដ្ឋានថា ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងត្រូវគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ antiderivative ដែលបានផ្តល់ឱ្យយើង។ នៅពេលគណនា សូមចាំថា ដេរីវេនៃថេរ ពោលគឺនៃចំនួនណាមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ។
ក) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
ខ) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
គ) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$ ។
តើយើងឃើញអ្វី? មុខងារផ្សេងគ្នាជាច្រើនគឺជាបុព្វបទនៃមុខងារដូចគ្នា។ នេះបង្ហាញថាមុខងារណាមួយមានអង់ទីករជាច្រើនគ្មានកំណត់ ហើយពួកវាមានទម្រង់ $F(x) + C$ ដែល $C$ ជាថេរតាមអំពើចិត្ត។ នោះគឺប្រតិបត្តិការនៃការធ្វើសមាហរណកម្មគឺមានតម្លៃច្រើនមិនដូចប្រតិបត្តិការនៃការធ្វើខុសគ្នានោះទេ។ ដោយផ្អែកលើនេះ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទដែលពិពណ៌នាអំពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃវត្ថុធាតុប្រឆាំង។
ទ្រឹស្តីបទ។ (ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្ម) អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ $F_1$ និង $F_2$ ជាការប្រឆាំងនៃអនុគមន៍ $f(x)$ នៅចន្លោះពេលមួយចំនួន។ បន្ទាប់មកសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់ពីចន្លោះពេលនេះ សមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖ $F_2=F_1+C$ ដែល $C$ គឺថេរខ្លះ។
ការពិតនៃវត្តមាននៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃ antiderivatives អាចត្រូវបានបកស្រាយតាមធរណីមាត្រ។ ដោយប្រើការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលតាមអ័ក្ស $Oy$ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានក្រាហ្វនៃអង្គបដិប្រាណទាំងពីរសម្រាប់ $f(x)$ ពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ នេះគឺជាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃ antiderivative ។
វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថាដោយជ្រើសរើស $ C$ ថេរ អ្នកអាចធានាថាក្រាហ្វនៃ antiderivative ឆ្លងកាត់ចំណុចជាក់លាក់មួយ។
រូបភាពទី 3 ។
ឧទាហរណ៍ 5 ។ស្វែងរកអង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, ក្រាហ្វដែលឆ្លងកាត់ចំនុច $(3; 1)$ ។
ដំបូងយើងស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនឹងនិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់សម្រាប់ $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$។
បន្ទាប់មក យើងនឹងរកឃើញលេខ C ដែលក្រាហ្វ $y=\frac(x^3)(9)+x+C$ នឹងឆ្លងកាត់ចំនុច $(3; 1)$។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចទៅក្នុងសមីការក្រាហ្វ ហើយដោះស្រាយវាសម្រាប់ $C$៖
$1= \frac(3^3)(9)+3+C$, $C=-5$។
យើងទទួលបានក្រាហ្វ $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ ដែលត្រូវគ្នានឹង antiderivative $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ ។
តារាងថ្នាំប្រឆាំងនឹងមេរោគ
តារាងរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុអាចត្រូវបានចងក្រងដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។
| មុខងារ | ថ្នាំប្រឆាំងការចម្លង |
| $0$ | $C$ |
| $1$ | $x+C$ |
| $a\ ក្នុង R$ | $ax+C$ |
| $x^n, n\ne1$ | $\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(x)$ | $\ln|x|+C$ |
| $\ sin x$ | $-\cos x+C$ |
| $\cos x$ | $\sin x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$ | $-\ctg x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$ | $\tg x+C$ |
| $e^x$ | $e^x+C$ |
| $a^x, a>0, a\ne1$ | $\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arcsin x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$ | $\arccos x+C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$ | $\arctg x+C$ |
| $\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$ | $\arcctg x+C$ |
អ្នកអាចពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃតារាងតាមវិធីខាងក្រោម៖ សម្រាប់សំណុំនីមួយៗនៃ antiderivatives ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងជួរឈរខាងស្តាំ ស្វែងរកដេរីវេដែលនឹងមានលទ្ធផលនៅក្នុងមុខងារដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេង។
ច្បាប់មួយចំនួនសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំង
ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ មុខងារជាច្រើនមានទម្រង់ស្មុគស្មាញជាងអ្វីដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយអាចជាការរួមផ្សំគ្នាដោយបំពាននៃផលបូក និងផលិតផលនៃមុខងារពីតារាងនេះ។ ហើយនៅទីនេះសំណួរកើតឡើង: របៀបគណនា antiderivatives នៃមុខងារបែបនេះ។ ឧទាហរណ៍ ពីតារាង យើងដឹងពីរបៀបគណនាសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ $x^3$, $\sin x$ និង $10$។ ជាឧទាហរណ៍ តើគេអាចគណនា antiderivative $x^3-10\sin x$ យ៉ាងដូចម្តេច? ក្រឡេកមើលទៅមុខ វាមានតម្លៃគួរកត់សម្គាល់ថាវានឹងស្មើនឹង $\frac(x^4)(4)+10\cos x$។
1. ប្រសិនបើ $F(x)$ គឺជា antiderivative សម្រាប់ $f(x)$, $G(x)$ for $g(x)$, បន្ទាប់មកសម្រាប់ $f(x)+g(x)$ នោះ antiderivative នឹងត្រូវបាន ស្មើនឹង $F(x)+G(x)$។
2. ប្រសិនបើ $F(x)$ គឺជា antiderivative សម្រាប់ $f(x)$ ហើយ $a$ គឺថេរ នោះសម្រាប់ $af(x)$ antiderivative គឺ $aF(x)$ ។
3. ប្រសិនបើសម្រាប់ $f(x)$ សារធាតុប្រឆាំងគឺ $F(x)$, $a$ និង $b$ គឺថេរ នោះ $\frac(1)(a) F(ax+b)$ គឺជាសារធាតុប្រឆាំង។ សម្រាប់ $f (ax+b)$ ។
ដោយប្រើច្បាប់ដែលទទួលបានយើងអាចពង្រីកតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំង។
| មុខងារ | ថ្នាំប្រឆាំងការចម្លង |
| $(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$ | $\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$ |
| $\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$ |
| $e^(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$ |
| $\sin(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$ |
| $\cos(ax+b), a\ne0$ | $\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$ |
ឧទាហរណ៍ 5 ។ស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់៖
ក) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;
ខ) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;
គ) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;
d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$ ។
ក) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;
ខ) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;
គ) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;
d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$ ។
តារាងថ្នាំប្រឆាំងនឹងមេរោគ
ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ និងតារាងនៃអាំងតេក្រាលជាមូលដ្ឋាន
អ្នកអាចរួមបញ្ចូលមុខងារមួយចំនួន។
បច្ចេកទេសរួមបញ្ចូលគ្នា
វិធីសាស្រ្តជំនួស
វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុតនៃការរួមបញ្ចូលមុខងារគឺវិធីសាស្ត្រ
ការជំនួស ដែលត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែលអាំងតេក្រាលដែលបានស្វែងរក
គឺជាតារាង ប៉ុន្តែតាមរយៈស៊េរីនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម វាអាចជា
កាត់បន្ថយទៅជាតារាង។
អថេរ t ត្រូវបានជំនួសដោយអថេរ / ដោយប្រើរូបមន្ត x=φ(t) និង,
ដូច្នេះ dx គឺជាផលិតផលនៃ φ"(t)dt ។
ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក
ឧទាហរណ៍៖ អ្នកត្រូវស្វែងរកអាំងតេក្រាល។
នៅទីនេះ បន្ទាត់បញ្ឈរទ្វេរុំព័ទ្ធរាល់ការគណនានោះ។
កំពុងរៀបចំដើម្បីអនុវត្តរូបមន្តសមាហរណកម្ម
ផ្នែក។ ធាតុត្រៀមអាចត្រូវបានយកនៅខាងក្រៅសមីការ។
កំណត់អាំងតេក្រាល
កិច្ចការ។ ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអនុគមន៍ដែលប្រឆាំងដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ពេលណា
ការផ្លាស់ប្តូរនៃអាគុយម៉ង់ x ពីតម្លៃ a ទៅតម្លៃ b ។
ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងសន្មតថាដោយការរួមបញ្ចូលយើងបានរកឃើញ
ដូចដែលយើងឃើញនៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ការបង្កើនអនុគមន៍ antiderivative F(x) + C 1
មិនមានតម្លៃថេរ C1 ។ ហើយចាប់តាំងពី C 1 មានន័យថាណាមួយ។
លេខដែលបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាប់មកលទ្ធផលដែលទទួលបាននាំឱ្យមានការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម: ពេលណា
ការផ្លាស់ប្តូរនៃអាគុយម៉ង់ x ពីតម្លៃ x = a ទៅតម្លៃ x = b មុខងារទាំងអស់ F (x) + C,
អង្គបដិប្រាណសម្រាប់អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x) មានការកើនឡើងដូចគ្នាស្មើនឹង
F(b)-F(a)។
ការកើនឡើងនេះជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងត្រូវបានតំណាង
និមិត្តសញ្ញា
ដូច្នេះអាំងតេក្រាលដែលត្រូវការគឺស្មើនឹង 6 ។
អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់
1. រកតំបន់នៃប្រហោងឆ្អឹងមួយ។
តួនៃបដិវត្តន៍ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប។
សម្រាប់យន្តហោះខ្ញុំនឹងជ្រើសរើសយន្តហោះ xy ។
ឧទាហរណ៍លេខ 2 ។ ការស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រផ្លាស់ប្តូរអថេរ
ការរួមបញ្ចូល
ឧទាហរណ៍លេខ 3 ។ ស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយបញ្ចូលពីលើ
ផ្នែក។
ទំនាក់ទំនងរវាងម៉ាស់ m និងដង់ស៊ីតេ p:
ទំនាក់ទំនងរវាងបន្ទុកអគ្គិសនី q និងចរន្ត I៖
ទំនាក់ទំនងរវាងសមត្ថភាពកំដៅ c និងបរិមាណកំដៅ Q:
ការពិពណ៌នាអំពីចលនានៃសារធាតុរាវ viscous ឈាមតាមរយៈនាវា ការចែកចាយ
សម្ពាធឈាមនៅក្នុងប្រព័ន្ធសរសៃឈាមបេះដូង, កំដៅ, អគ្គិសនី,
ម៉ាញេទិក ដំណើរការអុបទិកដែលទាក់ទងនឹងជីវិត
សារពាង្គកាយ, តម្រូវឱ្យមានការប្រើប្រាស់សមាហរណកម្ម។
ការបណ្តុះបណ្តាល៖ ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍
ពិន្ទុផ្លាស់ប្តូរយោងទៅតាមច្បាប់ v = (6t +7) m/s
កំណត់ថាតើចម្ងាយធ្វើដំណើរដោយរបៀបណាអាស្រ័យលើពេលវេលាប្រសិនបើល្បឿននៃសម្ភារៈ
ចំនុចផ្លាស់ប្តូរយោងទៅតាមច្បាប់ v = (6t +7) m/s ប្រសិនបើគេដឹងថានៅពេលដំបូង
ពេលវេលា (t = 0) ចំណុចសម្ភារៈគឺនៅចម្ងាយ s 0 = 4m ពីដំបូង
ស្វែងរកការងារដែលបានធ្វើដោយនិទាឃរដូវនៅពេលដែលវាត្រូវបានពង្រីកពី x 1 ដល់ x 2 ។
ដំណោះស្រាយ។
ដើម្បីបញ្ចូលមុខងារនេះ អ្នកត្រូវធ្វើការជំនួស
អថេរ
ដោយសារមាន 4 2 ≤2 នៅលើផ្នែក [-1;2] បន្ទាប់មកតំបន់ S នៃតួលេខនេះត្រូវបានគណនា
តាមវិធីដូចខាងក្រោមៈ
ដំណោះស្រាយ។
u=sinx
du = cosxdx
ដែនកំណត់ថ្មីនៃការរួមបញ្ចូល: u 1 = 0 (ចាប់តាំងពី x 1 = 0, ចូរជំនួសតម្លៃនេះទៅជាថ្មី
មុខងារ - u = sinx, u 1 = sinx 1 = 0)
រូបរាងនៃចរន្ត induction នៅក្នុងវា
 |
| ចម្លើយ៖ |
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាសមីការដែលមានតម្រូវការ
អនុគមន៍ ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញផ្សេងៗ និងអថេរឯករាជ្យ។
ទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបានកើតឡើងនៅចុងសតវត្សទី 17 ក្រោម
ឥទ្ធិពលនៃតម្រូវការនៃមេកានិច និងមុខវិជ្ជាវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិផ្សេងទៀត
សំខាន់ក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាមួយការគណនាអាំងតេក្រាល និង
ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានជួបប្រទះរួចហើយនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ I.
ញូតុន និង G. Leibniz; ពាក្យ "សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល"
ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Leibniz ។ បញ្ហានៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ F (x)
មុខងារ f(x) ញូវតុន ចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃទីពីររបស់គាត់។
ភារកិច្ច។ នេះជាវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ញូតុន ដែលជាអ្នកបង្កើតគ្រឹះ
គណិតវិទ្យា វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិគឺត្រឹមត្រូវណាស់៖ ធំណាស់។
ក្នុងករណីជាច្រើន ច្បាប់នៃធម្មជាតិដែលគ្រប់គ្រងដំណើរការជាក់លាក់។
ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងការគណនាលំហូរនៃទាំងនេះ
ដំណើរការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញពីរខាងក្រោមអាចបង្ហាញជាឧទាហរណ៍
អ្វីដែលត្រូវបានគេនិយាយ។
1) ប្រសិនបើរាងកាយកំដៅដល់សីតុណ្ហភាព T ត្រូវបានដាក់ក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកសីតុណ្ហភាព
ដែលស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកស្ថិតក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ យើងអាចសន្មត់បាន។
បង្កើន ΔT (អវិជ្ជមានក្នុងករណី T> 0) នៃសីតុណ្ហភាពរបស់វាលើសពីតូចមួយ
ចន្លោះពេល Δt ត្រូវបានបង្ហាញជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវគ្រប់គ្រាន់ដោយរូបមន្ត
ដែល k ជាមេគុណថេរ។ នៅពេលដំណើរការនេះតាមគណិតវិទ្យា
កិច្ចការរាងកាយត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងពិតប្រាកដយោងទៅតាម
សមាមាត្រកំណត់រវាងឌីផេរ៉ង់ស្យែល
i.e. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលកាន់
ដែលជាកន្លែងដែល T តំណាងឱ្យដេរីវេ no t ។
stretching និទាឃរដូវ, នាំយកបន្ទុកចូលទៅក្នុង
ចលនា។ ប្រសិនបើ x(t) តំណាង
បរិមាណនៃគម្លាតនៃរាងកាយពី
ទីតាំងលំនឹងនៅពេលនេះ
ពេលវេលា t បន្ទាប់មកការបង្កើនល្បឿននៃរាងកាយ
ត្រូវបានបង្ហាញដោយដេរីវេទី 2 x" (t) ។
កម្លាំង tx" (t) ធ្វើសកម្មភាពលើរាងកាយគឺ
ជាមួយនឹងការលាតសន្ធឹងតូចៗនៃនិទាឃរដូវ
យោងតាមច្បាប់នៃទ្រឹស្តីនៃការបត់បែន វាសមាមាត្រទៅនឹងគម្លាត x (t) ។ នោះ.,
យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
 |
| ដំណោះស្រាយរបស់គាត់មើលទៅ៖ |
មេរៀននេះគឺជាលើកដំបូងនៅក្នុងស៊េរីនៃវីដេអូស្តីពីការរួមបញ្ចូល។ នៅក្នុងនោះ យើងនឹងវិភាគថាតើអ្វីជា antiderivative នៃអនុគមន៍មួយ ហើយក៏សិក្សាពីវិធីសាស្ត្របឋមនៃការគណនា antiderivatives ទាំងនេះផងដែរ។
តាមការពិតមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនៅទីនេះទេ៖ សំខាន់វាទាំងអស់មកលើគំនិតនៃដេរីវេ ដែលអ្នកគួរតែស្គាល់រួចហើយ។
ខ្ញុំនឹងកត់ចំណាំភ្លាមៗថា ដោយសារនេះជាមេរៀនដំបូងបំផុតក្នុងប្រធានបទថ្មីរបស់យើង ថ្ងៃនេះនឹងមិនមានការគណនា និងរូបមន្តស្មុគ្រស្មាញទេ ប៉ុន្តែអ្វីដែលយើងនឹងរៀនថ្ងៃនេះនឹងបង្កើតជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការគណនា និងសំណង់ស្មុគ្រស្មាញច្រើននៅពេលគណនាអាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញ និងតំបន់។ .
លើសពីនេះ នៅពេលចាប់ផ្តើមសិក្សាសមាហរណកម្ម និងអាំងតេក្រាល ជាពិសេស យើងសន្មត់ថា សិស្សបានស្គាល់រួចហើយនូវគោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយយ៉ាងហោចណាស់មានជំនាញជាមូលដ្ឋានក្នុងការគណនាពួកវា។ បើគ្មានការយល់ដឹងច្បាស់លាស់អំពីរឿងនេះទេ គ្មានអ្វីត្រូវធ្វើក្នុងសមាហរណកម្មទេ។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅទីនេះគឺជាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទូទៅបំផុត និង insidious ។ ការពិតគឺថា នៅពេលចាប់ផ្តើមគណនាសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុដំបូងរបស់ពួកគេ សិស្សជាច្រើនបានយល់ច្រឡំពួកគេជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុ។ ជាលទ្ធផលកំហុសឆោតល្ងង់និងប្រមាថត្រូវបានធ្វើឡើងក្នុងអំឡុងពេលប្រឡងនិងការងារឯករាជ្យ។
ដូច្នេះហើយឥឡូវនេះ ខ្ញុំនឹងមិនផ្តល់និយមន័យច្បាស់លាស់នៃ antiderivative មួយ។ ជាការតបស្នង ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកមើលពីរបៀបដែលវាត្រូវបានគណនាដោយប្រើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ដ៏សាមញ្ញមួយ។
តើអ្វីទៅជាថ្នាំប្រឆាំងនឹងការចម្លង ហើយត្រូវគណនាដោយរបៀបណា?
យើងដឹងពីរូបមន្តនេះ៖
\[((\left(((x)^(n)) \\right))^(\prime))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
ដេរីវេនេះត្រូវបានគណនាយ៉ាងសាមញ្ញ៖
\[(f)"\left(x\right)=((\left(((x)^(3)) \\right))^(\prime))=3((x)^(2))\ ]
សូមក្រឡេកមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវកន្សោមលទ្ធផល និងបញ្ចេញមតិ $((x)^(2))$:
\[(((x)^(២))=\frac((((\left(((x)^(3)))\right))^(\prime )))(3)\]
ប៉ុន្តែយើងអាចសរសេរវាតាមវិធីនេះ យោងទៅតាមនិយមន័យនៃដេរីវេ៖
\[(((x)^(២))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3)\right))^(\prime))\]
ហើយឥឡូវនេះការយកចិត្តទុកដាក់៖ អ្វីដែលយើងទើបតែសរសេរចុះគឺជានិយមន័យនៃ antiderivative មួយ។ ប៉ុន្តែដើម្បីសរសេរវាបានត្រឹមត្រូវ អ្នកត្រូវសរសេរដូចខាងក្រោម៖
ចូរយើងសរសេរកន្សោមខាងក្រោមតាមរបៀបដូចគ្នា៖
ប្រសិនបើយើងធ្វើច្បាប់នេះជាទូទៅ យើងអាចទាញយករូបមន្តដូចខាងក្រោម៖
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
ឥឡូវនេះយើងអាចបង្កើតនិយមន័យច្បាស់លាស់។
Antiderivative នៃអនុគមន៍ គឺជាអនុគមន៍ដែលដេរីវេទីវគឺស្មើនឹងអនុគមន៍ដើម។
សំណួរអំពីមុខងារប្រឆាំងដេរីវេ
វាហាក់ដូចជានិយមន័យសាមញ្ញ និងអាចយល់បាន។ យ៉ាងណាមិញ ពេលបានឮហើយ សិស្សដែលយកចិត្តទុកដាក់នឹងមានសំណួរមួយចំនួនភ្លាមៗ៖
- ឧបមាថា អូខេ រូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងករណីនេះ ជាមួយ $n=1$ យើងមានបញ្ហា៖ “សូន្យ” លេចឡើងក្នុងភាគបែង ហើយយើងមិនអាចបែងចែកដោយ “សូន្យ” បានទេ។
- រូបមន្តត្រូវបានកំណត់ត្រឹមដឺក្រេប៉ុណ្ណោះ។ របៀបគណនាអង្គបដិប្រាណ ឧទាហរណ៍ ស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀត ក៏ដូចជាថេរ។
- សំណួរដែលមានស្រាប់៖ តើវាតែងតែអាចរកឃើញសារធាតុប្រឆាំងនឹងនិស្សន្ទវត្ថុឬ? ប្រសិនបើបាទ / ចាសនោះចុះយ៉ាងណាចំពោះអង្គបដិប្រាណនៃផលបូក ភាពខុសគ្នា ផលិតផល។ល។
ខ្ញុំនឹងឆ្លើយសំណួរចុងក្រោយភ្លាមៗ។ ជាអកុសល antiderivative មិនដូចដេរីវេទេមិនតែងតែត្រូវបានពិចារណាទេ។ មិនមានរូបមន្តសកលដែលពីការសាងសង់ដំបូងណាមួយដែលយើងនឹងទទួលបានមុខងារដែលនឹងស្មើនឹងសំណង់ស្រដៀងគ្នានេះទេ។ សម្រាប់ថាមពល និងថេរ យើងនឹងនិយាយអំពីវាឥឡូវនេះ។
ដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយមុខងារថាមពល
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ រូបមន្តនេះសម្រាប់ $((x)^(-1))$ មិនដំណើរការទេ។ សំណួរកើតឡើង: តើវាដំណើរការអ្វី? តើយើងមិនអាចរាប់ $((x)^(-1))$ បានទេ? ពិតណាស់យើងអាចធ្វើបាន។ ចូរយើងចងចាំរឿងនេះជាមុនសិន៖
\[((x)^(-១))=\frac(1)(x)\]
ឥឡូវនេះ ចូរយើងគិត៖ ដេរីវេនៃមុខងារមួយណាស្មើនឹង $\frac(1)(x)$ ។ ជាក់ស្តែង សិស្សណាក៏ដោយដែលបានសិក្សាប្រធានបទនេះយ៉ាងហោចណាស់បន្តិចនឹងចាំថាកន្សោមនេះគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិ៖
\[((\left(\ln x \right))^(\prime))=\frac(1)(x)\]
ដូច្នេះ យើងអាចសរសេរដោយទំនុកចិត្តដូចខាងក្រោម៖
\\ [\frac(1)(x)=((x)^(-1)) \\ ទៅ \\ ln x \\]
អ្នកត្រូវដឹងរូបមន្តនេះដូចជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល។
ដូច្នេះអ្វីដែលយើងដឹងមកដល់ពេលនេះ៖
- សម្រាប់មុខងារថាមពល - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- សម្រាប់ថេរមួយ - $=const\to \cdot x$
- ករណីពិសេសនៃអនុគមន៍ថាមពលគឺ $\frac(1)(x)\to \ln x$
ហើយប្រសិនបើយើងចាប់ផ្តើមគុណ និងបែងចែកមុខងារសាមញ្ញបំផុត តើយើងអាចគណនាប្រឆាំងដេរីវេនៃផលិតផល ឬកូតាដោយរបៀបណា។ ជាអកុសល ភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយដេរីវេនៃផលិតផល ឬកូតាមិនដំណើរការនៅទីនេះទេ។ មិនមានរូបមន្តស្តង់ដារទេ។ សម្រាប់ករណីខ្លះ មានរូបមន្តពិសេសដែលមានល្បិច - យើងនឹងស្គាល់ពួកគេនៅក្នុងមេរៀនវីដេអូនាពេលអនាគត។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សូមចាំថា: មិនមានរូបមន្តទូទៅដែលស្រដៀងនឹងរូបមន្តសម្រាប់គណនាដេរីវេនៃកូតានិក និងផលិតផលនោះទេ។
ការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង
កិច្ចការទី 1
ចូរយើងគណនាមុខងារថាមពលនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា៖
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
ត្រលប់ទៅការបញ្ចេញមតិរបស់យើង យើងសរសេរសំណង់ទូទៅ៖
បញ្ហាលេខ 2
ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយរួចមកហើយ គំរូនៃការងារ និងចំណុចពិសេស "ដល់ចំណុច" មិនត្រូវបានពិចារណាទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅទីនេះអ្នកអាចធ្វើដូចខាងក្រោមៈ
យើងបំបែកប្រភាគទៅជាផលបូកនៃប្រភាគពីរ។
តោះធ្វើគណិតវិទ្យា៖
ដំណឹងល្អគឺថាការដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់គណនាអង្គបដិប្រាណ អ្នកអាចគណនារចនាសម្ព័ន្ធស្មុគ្រស្មាញបានរួចទៅហើយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងបន្តពង្រីកចំណេះដឹងរបស់យើងបន្ថែមទៀតបន្តិច។ ការពិតគឺថា សំណង់ និងកន្សោមជាច្រើន ដែលនៅក្រឡេកមើលដំបូង មិនមានអ្វីពាក់ព័ន្ធជាមួយ $((x)^(n))$ អាចត្រូវបានតំណាងថាជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល ពោលគឺ៖
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
បច្ចេកទេសទាំងអស់នេះអាចនិងគួរត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។ កន្សោមអំណាចអាចជា
- គុណ (បន្ថែមដឺក្រេ);
- បែងចែក (ដឺក្រេត្រូវបានដក);
- គុណនឹងថេរមួយ;
- ល។
ដោះស្រាយកន្សោមអំណាចជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល
ឧទាហរណ៍ #1
តោះគណនាឫសនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា៖
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot(( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
សរុបមក សំណង់ទាំងមូលរបស់យើងអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖
ឧទាហរណ៍លេខ 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x)\right))^(-1))=((\left(((x))^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2))))\]
ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2))))\]
សរុបមក ការប្រមូលអ្វីៗទាំងអស់ទៅជាកន្សោមតែមួយ យើងអាចសរសេរបាន៖
ឧទាហរណ៍លេខ 3
ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងកត់សំគាល់ថាយើងបានគណនារួចហើយ $\sqrt(x)$:
\\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
តោះសរសេរឡើងវិញ៖
ខ្ញុំសង្ឃឹមថាខ្ញុំនឹងមិនធ្វើឱ្យនរណាម្នាក់ភ្ញាក់ផ្អើលទេប្រសិនបើខ្ញុំនិយាយថាអ្វីដែលយើងទើបតែបានសិក្សាគឺគ្រាន់តែជាការគណនាសាមញ្ញបំផុតនៃ antiderivatives ដែលជាសំណង់បឋមបំផុត។ ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគ្រស្មាញជាងនេះបន្តិច ដែលក្នុងនោះ បន្ថែមពីលើថ្នាំប្រឆាំងដេរីវេទីប អ្នកក៏នឹងត្រូវចងចាំកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាផងដែរ ពោលគឺ រូបមន្តគុណអក្សរកាត់។
ដោះស្រាយឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាង
កិច្ចការទី 1
ចូរយើងរំលឹករូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នាការ៉េ៖
\[((\left(a-b\right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
ចូរយើងសរសេរមុខងាររបស់យើងឡើងវិញ៖
ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរកគំរូដើមនៃមុខងារបែបនេះ៖
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
ចូរដាក់អ្វីគ្រប់យ៉ាងចូលរួមក្នុងការរចនារួមគ្នា៖
បញ្ហាលេខ 2
ក្នុងករណីនេះយើងត្រូវពង្រីកគូបភាពខុសគ្នា។ ចូរយើងចងចាំ៖
\[((\left(a-b\right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
ដោយគិតពីការពិតនេះ យើងអាចសរសេរវាដូចនេះ៖
តោះផ្លាស់ប្តូរមុខងាររបស់យើងបន្តិច៖
យើងរាប់ដូចរាល់ដង - សម្រាប់ពាក្យនីមួយៗដាច់ដោយឡែកពីគ្នា៖
\\[((x)^(-៣)) \\ ទៅ \\ frac(((x)^(-២)))(-២)\]
\[((x)^(-២))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-១))\ ទៅ \ln x\]
ចូរយើងសរសេរការស្ថាបនាលទ្ធផល៖
បញ្ហាលេខ 3
នៅផ្នែកខាងលើយើងមានការ៉េនៃផលបូក សូមពង្រីកវា៖
\[\frac((((\left(x+\sqrt(x)\right))^(2)))(x)=\frac((((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+(((\left(\sqrt(x)\right)))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
តោះសរសេរដំណោះស្រាយចុងក្រោយ៖
ឥឡូវនេះយកចិត្តទុកដាក់! រឿងសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការចែករំលែករបស់សត្វតោនៃកំហុសនិងការយល់ច្រឡំ។ ការពិតគឺថារហូតមកដល់ពេលនេះ ការរាប់ antiderivatives ដោយប្រើនិស្សន្ទវត្ថុ និងនាំយកការផ្លាស់ប្តូរ យើងមិនបានគិតពីអ្វីដែលដេរីវេនៃថេរគឺស្មើនឹង។ ប៉ុន្តែដេរីវេនៃថេរគឺស្មើនឹង "សូន្យ" ។ នេះមានន័យថាអ្នកអាចសរសេរជម្រើសខាងក្រោម៖
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
នេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់៖ ប្រសិនបើដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺតែងតែដូចគ្នា នោះមុខងារដូចគ្នាមានចំនួនមិនកំណត់នៃអង្គបដិប្រាណ។ យើងគ្រាន់តែអាចបន្ថែមលេខថេរណាមួយ ទៅក្នុងអង្គបដិវត្តរបស់យើង ហើយទទួលបានលេខថ្មី។
វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលនៅក្នុងការពន្យល់អំពីបញ្ហាដែលយើងទើបតែបានដោះស្រាយ វាត្រូវបានសរសេរថា "សរសេរទម្រង់ទូទៅនៃ antiderivatives" ។ ទាំងនោះ។ វាត្រូវបានសន្មត់ជាមុនថាមិនមានមួយក្នុងចំណោមពួកគេទេប៉ុន្តែមានហ្វូងមនុស្សទាំងមូល។ ប៉ុន្តែតាមពិត ពួកវាខុសគ្នាតែក្នុង $C$ ថេរនៅចុងបញ្ចប់ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ក្នុងកិច្ចការរបស់យើង យើងនឹងកែតម្រូវនូវអ្វីដែលយើងមិនបានបំពេញ។
ជាថ្មីម្តងទៀត យើងសរសេរសំណង់របស់យើងឡើងវិញ៖
ក្នុងករណីបែបនេះ អ្នកគួរតែបន្ថែមថា $C$ គឺជាថេរ - $C=const$ ។
នៅក្នុងមុខងារទីពីររបស់យើងយើងទទួលបានការសាងសង់ដូចខាងក្រោម:
ហើយចុងក្រោយ៖
ហើយឥឡូវនេះយើងពិតជាទទួលបានអ្វីដែលតម្រូវពីយើងក្នុងស្ថានភាពដើមនៃបញ្ហា។
ការដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរក antiderivatives ជាមួយនឹងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ
ឥឡូវនេះយើងដឹងពីចំនួនថេរ និងលក្ខណៈពិសេសនៃការសរសេរ antiderivatives វាពិតជាឡូជីខលណាស់ដែលប្រភេទនៃបញ្ហាបន្ទាប់កើតឡើងនៅពេលដែលពីសំណុំនៃ antiderivatives ទាំងអស់ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកមួយ និងតែមួយគត់ដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ . តើកិច្ចការនេះជាអ្វី?
ការពិតគឺថាអង្គបដិប្រាណទាំងអស់នៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យខុសគ្នាតែនៅក្នុងនោះពួកវាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរបញ្ឈរដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ហើយនេះមានន័យថាមិនថាចំណុចណានៅលើយន្តហោះកូអរដោណេដែលយើងយកទេ វត្ថុប្រឆាំងមួយនឹងច្បាស់ជាឆ្លងកាត់ ហើយលើសពីនេះទៅទៀតមានតែមួយ។
ដូច្នេះបញ្ហាដែលយើងនឹងដោះស្រាយនាពេលនេះ ត្រូវបានរៀបចំឡើងដូចខាងក្រោម៖ មិនមែនគ្រាន់តែស្វែងរកអង្គបដិវត្តទេ ដោយដឹងពីរូបមន្តនៃអនុគមន៍ដើមប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែត្រូវជ្រើសរើសឱ្យច្បាស់នូវចំណុចដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ កូអរដោណេដែលនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងបញ្ហា។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍។
ឧទាហរណ៍ #1
ជាដំបូង ចូរយើងរាប់ពាក្យនីមួយៗដោយសាមញ្ញ៖
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[(((x)^(៣))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]
ឥឡូវនេះ យើងជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅក្នុងការសាងសង់របស់យើង៖
មុខងារនេះត្រូវតែឆ្លងកាត់ចំនុច $M\left(-1;4\right)$។ តើវាមានន័យយ៉ាងណាដែលវាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ? នេះមានន័យថា ប្រសិនបើជំនួសឱ្យ $x$ យើងដាក់ $-1$ នៅគ្រប់ទីកន្លែង ហើយជំនួសឱ្យ $F\left(x\right)$ - $-4$ នោះយើងគួរតែទទួលបានសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ តោះនាំគ្នាធ្វើ:
យើងឃើញថាយើងមានសមីការសម្រាប់ $C$ ដូច្នេះយើងព្យាយាមដោះស្រាយវា៖
ចូរសរសេរនូវដំណោះស្រាយដែលយើងកំពុងស្វែងរក៖
ឧទាហរណ៍លេខ 2
ជាដំបូង ចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញការេនៃភាពខុសគ្នាដោយប្រើរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់៖
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
សំណង់ដើមនឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរក $C$: ជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
យើងបង្ហាញ $C$:
វានៅសល់ដើម្បីបង្ហាញកន្សោមចុងក្រោយ៖
ការដោះស្រាយបញ្ហាត្រីកោណមាត្រ
ជាការប៉ះចុងក្រោយចំពោះអ្វីដែលយើងទើបតែបានពិភាក្សា ខ្ញុំស្នើឱ្យពិចារណាបញ្ហាស្មុគស្មាញពីរបន្ថែមទៀតដែលពាក់ព័ន្ធនឹងត្រីកោណមាត្រ។ នៅក្នុងពួកគេតាមរបៀបដូចគ្នា អ្នកនឹងត្រូវស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារទាំងអស់ បន្ទាប់មកជ្រើសរើសពីសំណុំនេះតែមួយគត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច $M$ នៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។
ក្រឡេកមើលទៅមុខ ខ្ញុំចង់កត់សម្គាល់ថា បច្ចេកទេសដែលយើងនឹងប្រើឥឡូវនេះ ដើម្បីស្វែងរកអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ តាមពិតគឺជាបច្ចេកទេសសកលសម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង។
កិច្ចការទី 1
តោះចាំរូបមន្តខាងក្រោម៖
\[((\left(\text(tg)x\right))^(\prime))=\frac(1)(((\cos)^(2))x)\]
ដោយផ្អែកលើនេះយើងអាចសរសេរ:
ចូរជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច $M$ ទៅក្នុងកន្សោមរបស់យើង៖
\[-1=\text(tg)\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text())(\text(4))+C\]
ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវកន្សោមដោយយកការពិតនេះមកពិចារណា៖
បញ្ហាលេខ 2
នេះនឹងមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច។ ឥឡូវនេះអ្នកនឹងឃើញមូលហេតុ។
ចូរយើងចងចាំរូបមន្តនេះ៖
\[((\left(\text(ctg)x\right))^(\prime))=-\frac(1)(((\sin)^(2))x)\]
ដើម្បីកម្ចាត់ "ដក" អ្នកត្រូវធ្វើដូចខាងក្រោមៈ
\[((\left(-\text(ctg)x\right))^(\prime))=\frac(1)(((\sin)^(2))x)\]
នេះគឺជាការរចនារបស់យើង។
ចូរជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច $M$៖
សរុបមក យើងសរសេរការស្ថាបនាចុងក្រោយ៖
នោះហើយជាអ្វីដែលខ្ញុំចង់ប្រាប់អ្នកអំពីថ្ងៃនេះ។ យើងបានសិក្សាពីពាក្យ antiderivatives របៀបគណនាពួកវាពីអនុគមន៍បឋម និងរបៀបស្វែងរក antiderivative ឆ្លងកាត់ចំណុចជាក់លាក់មួយនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ។
ខ្ញុំសង្ឃឹមថាមេរៀននេះនឹងជួយអ្នកឱ្យយល់ពីប្រធានបទដ៏ស្មុគស្មាញនេះយ៉ាងហោចណាស់បន្តិច។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយវាស្ថិតនៅលើ antiderivatives ដែលអាំងតេក្រាលមិនកំណត់និងមិនកំណត់ត្រូវបានសាងសង់ដូច្នេះវាចាំបាច់ណាស់ក្នុងការគណនាពួកគេ។ នោះហើយជាទាំងអស់សម្រាប់ខ្ញុំ។ ជួបគ្នាម្តងទៀត!
វិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗចំនួនបួននៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានរាយខាងក្រោម។
1)
ច្បាប់សម្រាប់ការរួមបញ្ចូលផលបូក ឬភាពខុសគ្នា។
.
នៅទីនេះ និងខាងក្រោម u, v, w គឺជាមុខងារនៃអថេររួមបញ្ចូល x ។
2)
ផ្លាស់ទីថេរនៅខាងក្រៅសញ្ញាអាំងតេក្រាល។
អនុញ្ញាតឱ្យ c ជាថេរឯករាជ្យនៃ x ។ បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។
3)
វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ។
ចូរយើងពិចារណាអំពីអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។
ប្រសិនបើយើងអាចរកឃើញមុខងារបែបនេះ φ (x)ពី x ដូច្នេះ
,
បន្ទាប់មកដោយការជំនួសអថេរ t = φ(x) យើងមាន
.
4)
រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។
,
ដែល u និង v គឺជាមុខងារនៃអថេររួមបញ្ចូល។
គោលដៅចុងក្រោយនៃការគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺតាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរ ដើម្បីកាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុត ដែលត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលតារាង។ អាំងតេក្រាលតារាងត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈអនុគមន៍បឋមដោយប្រើរូបមន្តដែលគេស្គាល់។
សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាល >>>
ឧទាហរណ៍
គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់
ដំណោះស្រាយ
យើងកត់សំគាល់ថា អាំងតេក្រាល គឺជាផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃពាក្យបី៖
, និង .
ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត 1
.
បន្ទាប់យើងកត់សំគាល់ថាអាំងតេក្រាលនៃអាំងតេក្រាលថ្មីត្រូវបានគុណនឹងចំនួនថេរ 5, 4,
និង 2
រៀងៗខ្លួន។ ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត 2
.
នៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលយើងរកឃើញរូបមន្ត
.
សន្មត់ n = 2
យើងរកឃើញអាំងតេក្រាលទីមួយ។
ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវអាំងតេក្រាលទីពីរក្នុងទម្រង់
.
យើងកត់សំគាល់នោះ។ បន្ទាប់មក
តោះប្រើវិធីទីបី។ យើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ t = φ (x) = កំណត់ហេតុ x.
.
នៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលយើងរកឃើញរូបមន្ត
ចាប់តាំងពីអថេរនៃការរួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរណាមួយបន្ទាប់មក
ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវអាំងតេក្រាលទីបីក្នុងទម្រង់
.
យើងអនុវត្តរូបមន្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។
តោះដាក់វា។
បន្ទាប់មក
;
;
;
;
.
ទីបំផុតយើងមាន
.
តោះប្រមូលលក្ខខណ្ឌជាមួយ x 3
.
.
ចម្លើយ
ឯកសារយោង៖
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, ការប្រមូលផ្ដុំនៃបញ្ហានៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់, “Lan”, ឆ្នាំ 2003 ។
នៅលើទំព័រនេះអ្នកនឹងឃើញ៖
1. តាមពិតតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ - វាអាចត្រូវបានទាញយកជាទម្រង់ PDF និងបោះពុម្ព។
2. វីដេអូអំពីរបៀបប្រើតារាងនេះ;
3. បណ្តុំនៃឧទាហរណ៍នៃការគណនាប្រឆាំងដេរីវេពីសៀវភៅសិក្សា និងការធ្វើតេស្តផ្សេងៗ។
នៅក្នុងវីដេអូខ្លួនយើងផ្ទាល់ យើងនឹងវិភាគបញ្ហាជាច្រើន ដែលវាចាំបាច់ក្នុងការគណនាមុខងារប្រឆាំងដេរីវេនៃមុខងារ ដែលជារឿយៗស្មុគស្មាញ ប៉ុន្តែសំខាន់បំផុតនោះ វាមិនមែនជាមុខងារថាមពលទេ។ មុខងារទាំងអស់ដែលត្រូវបានសង្ខេបនៅក្នុងតារាងដែលបានស្នើឡើងខាងលើត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង ដូចជាឧបករណ៍ចម្លង។ បើគ្មានពួកគេទេ ការសិក្សាបន្ថែមអំពីអាំងតេក្រាល និងការអនុវត្តរបស់ពួកគេដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងគឺមិនអាចទៅរួចទេ។
ថ្ងៃនេះយើងបន្តសិក្សាពីបុព្វកាល ហើយបន្តទៅប្រធានបទដែលស្មុគស្មាញបន្តិច។ ប្រសិនបើកាលពីលើកមុន យើងបានក្រឡេកមើលតែអង្គបដិប្រាណនៃមុខងារថាមពល និងរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញបន្តិច ថ្ងៃនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលត្រីកោណមាត្រ និងច្រើនទៀត។
ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយនៅក្នុងមេរៀនចុងក្រោយ សារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ មិនដូចនិស្សន្ទវត្ថុ គឺមិនដែលត្រូវបានដោះស្រាយ "ភ្លាមៗ" ដោយប្រើច្បាប់ស្តង់ដារណាមួយឡើយ។ ជាងនេះទៅទៀត ដំណឹងអាក្រក់គឺថា មិនដូចដេរីវេទីវទេ អង់ទីឌីរីវេវ ប្រហែលជាមិនត្រូវបានគេពិចារណាទាល់តែសោះ។ ប្រសិនបើយើងសរសេរអនុគមន៍ចៃដន្យទាំងស្រុង ហើយព្យាយាមស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា នោះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់ យើងនឹងជោគជ័យ ប៉ុន្តែអង្គបដិប្រាណនឹងស្ទើរតែមិនត្រូវបានគណនាក្នុងករណីនេះ។ ប៉ុន្តែមានដំណឹងល្អ៖ មានថ្នាក់ធំគួរសមនៃមុខងារដែលគេហៅថា អនុគមន៍បឋម ដែលជាអង្គបដិវត្តន៍ដែលងាយស្រួលក្នុងការគណនា។ ហើយរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគ្រស្មាញផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យលើគ្រប់ប្រភេទនៃការធ្វើតេស្ត ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ និងការប្រឡងតាមការពិតត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយអនុគមន៍បឋមទាំងនេះតាមរយៈការបូក ដក និងសកម្មភាពសាមញ្ញផ្សេងទៀត។ គំរូនៃមុខងារបែបនេះត្រូវបានគណនា និងចងក្រងជាតារាងពិសេសជាយូរមកហើយ។ វាគឺជាមុខងារ និងតារាងទាំងនេះ ដែលយើងនឹងធ្វើការជាមួយថ្ងៃនេះ។
ប៉ុន្តែយើងនឹងចាប់ផ្តើមដូចរាល់ដង ជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗ៖ ចូរយើងចាំថា អ្វីជាសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្ម ហេតុអ្វីបានជាមានច្រើនមិនចេះចប់ និងរបៀបកំណត់រូបរាងទូទៅរបស់វា។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ខ្ញុំបានលើកយកបញ្ហាសាមញ្ញចំនួនពីរ។
ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ងាយៗ
ឧទាហរណ៍ #1
ចូរយើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗថា $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ហើយជាទូទៅវត្តមានរបស់ $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ ប្រាប់យើងភ្លាមថាអង់ទីករដែលត្រូវការនៃអនុគមន៍គឺទាក់ទងនឹងត្រីកោណមាត្រ។ ហើយជាការពិត ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលតារាង យើងនឹងឃើញថា $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ គឺគ្មានអ្វីលើសពី $\text(arctg)x$ ទេ។ ដូច្នេះសូមសរសេរវាចុះ៖
ដើម្បីស្វែងរក អ្នកត្រូវសរសេរដូចខាងក្រោម៖
\\[\frac(\pi)(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text())(6)=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text()) (3)+C\]
ឧទាហរណ៍លេខ 2
យើងក៏កំពុងនិយាយអំពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅទីនេះផងដែរ។ ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលតារាង នោះពិតជាមានអ្វីកើតឡើង៖
យើងត្រូវស្វែងរកក្នុងចំណោមសំណុំទាំងមូលនៃ antiderivatives ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានចង្អុលបង្ហាញ:
\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\frac(\text()\!\!\pi\!\text( ))(6)+C\]
ចុងក្រោយ ចូរយើងសរសេរវាចុះ៖
វាសាមញ្ញណាស់។ បញ្ហាតែមួយគត់គឺថាដើម្បីគណនាប្រឆាំងដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ អ្នកត្រូវរៀនតារាងនៃ antiderivatives ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយបន្ទាប់ពីសិក្សាតារាងដេរីវេសម្រាប់អ្នកខ្ញុំគិតថានេះនឹងមិនមានបញ្ហាទេ។
ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលមានអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ ចូរយើងសរសេររូបមន្តខាងក្រោម៖
\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]
\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
សូមមើលពីរបៀបដែលទាំងអស់នេះដំណើរការនៅក្នុងការអនុវត្ត។
ឧទាហរណ៍ #1
ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលខ្លឹមសារនៃតង្កៀបនោះ យើងនឹងសម្គាល់ឃើញថា នៅក្នុងតារាងនៃអង្គបដិប្រាណ មិនមានកន្សោមបែបនេះសម្រាប់ $((e)^(x))$ ទៅជាការ៉េទេ ដូច្នេះការេនេះត្រូវតែពង្រីក។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់៖
ចូរយើងស្វែងរក antiderivative សម្រាប់ពាក្យនីមួយៗ៖
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2))\right))^(x))\to \frac((((\left((e))^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2))))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \\right))^(x))\to \frac((((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2))))=\frac(1)(-2((e)^(2x)))) \]
ឥឡូវនេះ ចូរយើងប្រមូលពាក្យទាំងអស់ទៅក្នុងកន្សោមតែមួយ ហើយទទួលបានការប្រឆាំងនឹងទូទៅ៖
ឧទាហរណ៍លេខ 2
លើកនេះដឺក្រេគឺធំជាង ដូច្នេះរូបមន្តគុណនឹងអក្សរកាត់នឹងស្មុគស្មាញណាស់។ ដូច្នេះសូមបើកតង្កៀប៖
ឥឡូវនេះសូមព្យាយាមយករូបមន្តប្រឆាំងនឹងការបង្កើតរបស់យើងពីការសាងសង់នេះ៖
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញ ឬអរូបីនៅក្នុងអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនោះទេ។ ពួកវាទាំងអស់ត្រូវបានគណនាតាមតារាង ប៉ុន្តែសិស្សដែលយកចិត្តទុកដាក់ប្រហែលជានឹងសម្គាល់ឃើញថា សារធាតុប្រឆាំងដេរីវេ $((e)^(2x))$ គឺកាន់តែជិតទៅនឹង $((e)^(x))$ ជាង $((a )^(x))$។ ដូច្នេះ ប្រហែលជាមានច្បាប់ពិសេសមួយចំនួនទៀតដែលអនុញ្ញាតឱ្យដឹងពីការប្រឆាំងនឹង $((e)^(x))$ ដើម្បីស្វែងរក $((e)^(2x))$? បាទ មានច្បាប់បែបនេះ។ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត វាគឺជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃការធ្វើការជាមួយតារាងនៃ antiderivatives ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគវាដោយប្រើកន្សោមដូចគ្នាដែលយើងទើបតែបានធ្វើការជាមួយជាឧទាហរណ៍។
ច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយតារាងនៃ antiderivatives
តោះសរសេរមុខងាររបស់យើងម្តងទៀត៖
ក្នុងករណីមុន យើងប្រើរូបមន្តខាងក្រោមដើម្បីដោះស្រាយ៖
\[(((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]
ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ ចូរធ្វើវាខុសគ្នាបន្តិច៖ ចូរយើងចាំពីមូលដ្ឋានអ្វី $((e)^(x))\to (e)^(x))$។ ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយរួចមកហើយ ពីព្រោះនិស្សន្ទវត្ថុ $((e)^(x))$ គឺគ្មានអ្វីលើសពី $((e)^(x))$ ដូច្នេះ និស្សន្ទវត្ថុរបស់វានឹងស្មើនឹង $((e) ^ (x))$។ ប៉ុន្តែបញ្ហាគឺថាយើងមាន $((e)^(2x))$ និង $((e)^(-2x))$ ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេនៃ $((e)^(2x))$:
\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x\right)))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
ចូរសរសេរការសាងសង់របស់យើងម្ដងទៀត៖
\[((\left(((e)^(2x)) \\right))^(\prime))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2)\right))^(\prime ))\]
នេះមានន័យថានៅពេលដែលយើងរកឃើញ antiderivative $((e)^(2x))$ យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖
\[(((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងទទួលបានលទ្ធផលដូចពីមុន ប៉ុន្តែយើងមិនបានប្រើរូបមន្តដើម្បីស្វែងរក $((a)^(x))$ ទេ។ ឥឡូវនេះវាហាក់ដូចជាឆោតល្ងង់: ហេតុអ្វីបានជាភាពស្មុគស្មាញនៃការគណនានៅពេលមានរូបមន្តស្តង់ដារ? ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងកន្សោមស្មុគស្មាញបន្តិចអ្នកនឹងឃើញថាបច្ចេកទេសនេះមានប្រសិទ្ធភាពណាស់ i.e. ដោយប្រើនិស្សន្ទវត្ថុដើម្បីស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំង។
ជាការកក់ក្តៅ ចូរយើងរកឃើញវត្ថុប្រឆាំងនៃ $((e)^(2x))$ ក្នុងវិធីស្រដៀងគ្នានេះ៖
\[(((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot ឆ្វេង(-2\right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x))))(-2) \right))^(\prime))\]
នៅពេលគណនាការសាងសង់របស់យើងនឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
យើងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា ប៉ុន្តែបានដើរផ្លូវផ្សេង។ វាគឺជាផ្លូវនេះ ដែលឥឡូវនេះហាក់បីដូចជាស្មុគស្មាញបន្តិចសម្រាប់ពួកយើង ដែលនៅពេលអនាគតនឹងកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ការគណនាសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុដ៏ស្មុគស្មាញ និងការប្រើប្រាស់តារាង។
ចំណាំ! នេះគឺជាចំណុចសំខាន់ណាស់៖ សារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ដូចជានិស្សន្ទវត្ថុអាចរាប់បានតាមវិធីផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយប្រសិនបើការគណនានិងការគណនាទាំងអស់ស្មើគ្នានោះចម្លើយនឹងដូចគ្នា។ យើងទើបតែបានឃើញវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃ $((e)^(-2x))$ - នៅលើដៃម្ខាង យើងបានគណនា antiderivative នេះ "ត្រឹមត្រូវតាមរយៈ" ដោយប្រើនិយមន័យ និងគណនាវាដោយប្រើការបំប្លែង ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងចាំបានថា $((e)^(-2x))$ អាចត្រូវបានតំណាងជា $(((\left(((e)^(-2))) \right))^(x))$ ហើយមានតែពេលនោះទេដែលយើងបានប្រើ ថ្នាំប្រឆាំងដេរីវេសម្រាប់មុខងារ $((a)^(x))$ ។ យ៉ាងណាមិញ ក្រោយការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ លទ្ធផលគឺដូចការរំពឹងទុក។
ហើយឥឡូវនេះយើងយល់ពីចំណុចទាំងអស់នេះ វាដល់ពេលត្រូវបន្តទៅកាន់អ្វីដែលសំខាន់ជាងនេះ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគសំណង់សាមញ្ញចំនួនពីរ ប៉ុន្តែបច្ចេកទេសដែលនឹងត្រូវប្រើនៅពេលដោះស្រាយវាជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពល និងមានប្រយោជន៍ជាងការ "ដំណើរការ" រវាងវត្ថុប្រឆាំងដែលនៅជិតខាងពីតារាង។
ការដោះស្រាយបញ្ហា៖ ការស្វែងរកអង្គបដិប្រាណនៃមុខងារ
ឧទាហរណ៍ #1
ចូរបំបែកចំនួនដែលមានក្នុងលេខជាប្រភាគបីដាច់ដោយឡែកពីគ្នា៖
នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរធម្មជាតិ និងអាចយល់បាន - សិស្សភាគច្រើនមិនមានបញ្ហាជាមួយវាទេ។ ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវការបញ្ចេញមតិរបស់យើងដូចខាងក្រោម៖
ឥឡូវនេះសូមចងចាំរូបមន្តនេះ៖
ក្នុងករណីរបស់យើងយើងនឹងទទួលបានដូចខាងក្រោម:
ដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់នេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យធ្វើដូចខាងក្រោមៈ
ឧទាហរណ៍លេខ 2
មិនដូចប្រភាគមុនទេ ភាគបែងមិនមែនជាផលិតផលទេ ប៉ុន្តែជាផលបូក។ ក្នុងករណីនេះ យើងមិនអាចបែងចែកប្រភាគរបស់យើងទៅជាផលបូកនៃប្រភាគសាមញ្ញមួយចំនួនទៀតទេ ប៉ុន្តែយើងត្រូវព្យាយាមធ្វើយ៉ាងណាឱ្យប្រាកដថា ភាគយកមានកន្សោមប្រហាក់ប្រហែលនឹងភាគបែង។ ក្នុងករណីនេះ វាគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការធ្វើវា៖
សញ្ញាណនេះដែលនៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថា "ការបន្ថែមសូន្យ" នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកប្រភាគជាពីរផ្នែកម្តងទៀត៖
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក៖
នោះហើយជាការគណនាទាំងអស់។ ទោះបីជាមានភាពស្មុគ្រស្មាញខ្លាំងជាងបញ្ហាមុនក៏ដោយ បរិមាណនៃការគណនាបានប្រែទៅជាតូចជាង។
Nuances នៃដំណោះស្រាយ
ហើយនេះគឺជាកន្លែងដែលការលំបាកចម្បងក្នុងការធ្វើការជាមួយថ្នាំប្រឆាំងដេរីវេទីបស្ថិតនៅ នេះគឺជាការកត់សម្គាល់ជាពិសេសនៅក្នុងកិច្ចការទីពីរ។ ការពិតគឺថា ដើម្បីជ្រើសរើសធាតុមួយចំនួនដែលងាយស្រួលគណនាតាមតារាង យើងត្រូវដឹងពីអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរកពិតប្រាកដ ហើយវាគឺនៅក្នុងការស្វែងរកធាតុទាំងនេះដែលការគណនាទាំងមូលនៃ antiderivatives មាន។
ម៉្យាងទៀត វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ គ្រាន់តែទន្ទេញចាំតារាងនៃ antiderivatives ប៉ុណ្ណោះ - អ្នកត្រូវអាចមើលឃើញអ្វីមួយដែលមិនទាន់មាន ប៉ុន្តែអ្នកនិពន្ធនិងអ្នកចងក្រងនៃបញ្ហានេះមានន័យយ៉ាងណា។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលគណិតវិទូ គ្រូបង្រៀន និងសាស្រ្តាចារ្យជាច្រើនតែងតែជជែកគ្នាឥតឈប់ឈរ៖ "តើអ្វីទៅដែលទទួលយកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ឬសមាហរណកម្ម - វាគ្រាន់តែជាឧបករណ៍ ឬវាជាសិល្បៈពិត?" តាមពិតតាមគំនិតផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ខ្ញុំ ការរួមបញ្ចូលមិនមែនជាសិល្បៈទាល់តែសោះ - មិនមានអ្វីអស្ចារ្យនៅក្នុងវាទេ វាគ្រាន់តែជាការអនុវត្ត និងការអនុវត្តបន្ថែមទៀត។ ហើយដើម្បីអនុវត្ត ចូរយើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដ៏ធ្ងន់ធ្ងរបីទៀត។
យើងបណ្តុះបណ្តាលក្នុងការរួមបញ្ចូលក្នុងការអនុវត្ត
កិច្ចការទី 1
ចូរយើងសរសេររូបមន្តខាងក្រោម៖
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\\[\frac(1)(1+((x)^(2))))\to \text(arctg)x\]
ចូរយើងសរសេរដូចខាងក្រោម៖
បញ្ហាលេខ 2
ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដូចតទៅ៖
ការប្រឆាំងដេរីវេសរុបនឹងស្មើនឹង៖
បញ្ហាលេខ 3
ភាពលំបាកនៃបញ្ហានេះគឺថា មិនដូចមុខងារមុនៗខាងលើទេ វាមិនមានអថេរ $x$ ទាល់តែសោះ i.e. យើងមិនយល់ពីអ្វីដែលត្រូវបន្ថែម ឬដកដើម្បីទទួលបានអ្វីដែលស្រដៀងគ្នានឹងអ្វីដែលមានខាងក្រោម។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយតាមពិត កន្សោមនេះត្រូវបានគេចាត់ទុកថាសាមញ្ញជាងកន្សោមមុនៗ ពីព្រោះមុខងារនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖
ឥឡូវនេះអ្នកអាចសួរថា: ហេតុអ្វីបានជាមុខងារទាំងនេះស្មើគ្នា? តោះពិនិត្យ៖
តោះសរសេរម្តងទៀត៖
តោះផ្លាស់ប្តូរការបញ្ចេញមតិរបស់យើងបន្តិច៖
ហើយនៅពេលដែលខ្ញុំពន្យល់ទាំងអស់នេះដល់សិស្សរបស់ខ្ញុំ ស្ទើរតែតែងតែមានបញ្ហាដូចគ្នាកើតឡើង៖ ជាមួយនឹងមុខងារទីមួយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាង ឬតិច ជាមួយនឹងទីពីរ អ្នកក៏អាចដោះស្រាយវាដោយសំណាង ឬការអនុវត្ត ប៉ុន្តែតើអ្នកយល់បែបណា ចាំបាច់ត្រូវមានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទីបី? តាមពិតកុំខ្លាចអី។ បច្ចេកទេសដែលយើងបានប្រើនៅពេលគណនា antiderivative ចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថា "ការបំបែកមុខងារទៅជាសាមញ្ញបំផុតរបស់វា" ហើយនេះគឺជាបច្ចេកទេសដ៏ធ្ងន់ធ្ងរមួយ ហើយមេរៀនវីដេអូដាច់ដោយឡែកមួយនឹងត្រូវបានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះវា។
ក្នុងពេលនេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យត្រឡប់ទៅអ្វីដែលយើងទើបតែបានសិក្សា ពោលគឺចំពោះមុខងារអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញខ្លះៗចំពោះបញ្ហាជាមួយនឹងខ្លឹមសាររបស់វា។
បញ្ហាស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលប្រឆាំងដេរីវេ
កិច្ចការទី 1
ចូរយើងកត់សំគាល់ដូចខាងក្រោមៈ
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5\right))^(x))=((10)^(x) )\]
ដើម្បីស្វែងរក antiderivative នៃកន្សោមនេះ គ្រាន់តែប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ ។
ក្នុងករណីរបស់យើង antiderivative នឹងមានលក្ខណៈដូចនេះ:
ជាការពិតណាស់ បើប្រៀបធៀបទៅនឹងការរចនាដែលយើងទើបតែដោះស្រាយមួយនេះមើលទៅសាមញ្ញជាង។
បញ្ហាលេខ 2
ជាថ្មីម្តងទៀត វាជាការងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាមុខងារនេះអាចបែងចែកបានយ៉ាងងាយទៅជាពាក្យពីរដាច់ដោយឡែក គឺប្រភាគពីរដាច់ដោយឡែកពីគ្នា។ តោះសរសេរឡើងវិញ៖
វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក antiderivative នៃពាក្យទាំងនេះនីមួយៗដោយប្រើរូបមន្តដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ៖
ទោះបីជាមានភាពស្មុគស្មាញកាន់តែច្រើនជាក់ស្តែងនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលធៀបនឹងអនុគមន៍ថាមពលក៏ដោយ បរិមាណសរុបនៃការគណនា និងការគណនាបានប្រែទៅជាសាមញ្ញជាង។
ជាការពិតណាស់ សម្រាប់សិស្សដែលមានចំណេះដឹង អ្វីដែលយើងទើបតែបានពិភាក្សា (ជាពិសេសប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃអ្វីដែលយើងបានពិភាក្សាពីមុន) អាចហាក់ដូចជាការបញ្ចេញមតិបឋម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលជ្រើសរើសបញ្ហាទាំងពីរនេះសម្រាប់មេរៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ ខ្ញុំមិនបានកំណត់គោលដៅក្នុងការប្រាប់អ្នកពីបច្ចេកទេសដ៏ស្មុគស្មាញ និងស្មុគ្រស្មាញមួយផ្សេងទៀតនោះទេ - អ្វីដែលខ្ញុំចង់បង្ហាញអ្នកនោះគឺថា អ្នកមិនគួរភ័យខ្លាចក្នុងការប្រើប្រាស់បច្ចេកទេសពិជគណិតស្តង់ដារដើម្បីបំប្លែងមុខងារដើមឡើយ។ .
ដោយប្រើបច្ចេកទេស "សម្ងាត់"
សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់ពិនិត្យមើលបច្ចេកទេសដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយទៀត ដែលនៅលើដៃម្ខាង វាហួសពីអ្វីដែលយើងបានពិភាក្សាជាចម្បងនៅថ្ងៃនេះ ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ វាជាដំបូង វាមិនស្មុគស្មាញទាល់តែសោះ ពោលគឺ។ សូម្បីតែសិស្សដែលទើបចាប់ផ្តើមក៏អាចធ្វើជាម្ចាស់វា ហើយទីពីរវាត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងគ្រប់ប្រភេទនៃការធ្វើតេស្ត និងការងារឯករាជ្យ i.e. ចំនេះដឹងរបស់វានឹងមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ បន្ថែមពីលើចំណេះដឹងអំពីតារាងថ្នាំប្រឆាំងដេរីវេ។
កិច្ចការទី 1
ជាក់ស្តែងយើងមានអ្វីមួយស្រដៀងទៅនឹងមុខងារថាមពល។ តើយើងគួរធ្វើអ្វីក្នុងករណីនេះ? ចូរយើងគិតអំពីវា៖ $x-5$ ខុសពី $x$ មិនច្រើនទេ - ពួកគេទើបតែបន្ថែម $-5$ ។ តោះសរសេរដូចនេះ៖
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5)\right))^(\prime))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
តោះព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេនៃ $((\left(x-5\right))^(5))$:
\[(((\left(((\left(x-5\right))^(5))\right))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5\right))) ^(4))\cdot ((\left(x-5\right)))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5\right))^(4))\]
នេះបញ្ជាក់ថា៖
\[((\left(x-5\right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5\right))))^(5)))(5) \ ត្រូវ))^(\prime))\]
មិនមានតម្លៃបែបនេះនៅក្នុងតារាងទេ ដូច្នេះហើយឥឡូវនេះ យើងបានទាញយករូបមន្តនេះដោយខ្លួនឯង ដោយប្រើរូបមន្ត antiderivative ស្តង់ដារសម្រាប់មុខងារថាមពល។ ចូរសរសេរចម្លើយដូចនេះ៖
បញ្ហាលេខ 2
សិស្សជាច្រើនដែលមើលដំណោះស្រាយដំបូងអាចគិតថាអ្វីៗទាំងអស់គឺសាមញ្ញណាស់៖ គ្រាន់តែជំនួស $x$ នៅក្នុងមុខងារថាមពលជាមួយនឹងកន្សោមលីនេអ៊ែរ នោះអ្វីៗនឹងធ្លាក់ចុះ។ ជាអកុសលអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនសាមញ្ញទេហើយឥឡូវនេះយើងនឹងឃើញរឿងនេះ។
ដោយការប្រៀបធៀបជាមួយកន្សោមទីមួយ យើងសរសេរដូចខាងក្រោម៖
\[((x)^(៩))\to \frac(((x)^(១០)))(១០)\]
\[(((\left(((\left(4-3x\right)))^(10))\right))^(\prime))=10\cdot ((\left(4-3x\right))) ^(9))\cdot ((\left(4-3x\right))^(\prime))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x\right))^(9))\cdot\left(-3\right)=-30\cdot ((\left(4-3x\right))) ^(9))\]
ត្រលប់ទៅនិស្សន្ទវត្ថុរបស់យើង យើងអាចសរសេរ៖
\[(((\left((((\left(4-3x\right)))^(10))\right))^(\prime))=-30\cdot ((\left(4-3x\right)) )^(៩))\]
\[((\left(4-3x\right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x\right))))^(10)))(-30) \right))^(\prime))\]
នេះភ្លាមៗដូចខាងក្រោមៈ
Nuances នៃដំណោះស្រាយ
សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើគ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរសំខាន់កាលពីលើកមុនទេ នោះនៅក្នុងករណីទីពីរ ជំនួសឱ្យ $-10$, $-30$ បានបង្ហាញខ្លួន។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាង $-10$ និង $-30$? ជាក់ស្តែងដោយកត្តានៃ $-3$ ។ សំណួរ៖ តើវាមកពីណា? ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលឱ្យជិត អ្នកអាចមើលឃើញថាវាត្រូវបានគេយកជាលទ្ធផលនៃការគណនាដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ - មេគុណដែលឈរនៅ $x$ បង្ហាញនៅក្នុង antiderivative ខាងក្រោម។ នេះជាច្បាប់សំខាន់ណាស់ ដែលដំបូងឡើយខ្ញុំមិនមានគម្រោងពិភាក្សាអ្វីទាំងអស់នៅក្នុងមេរៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ ប៉ុន្តែបើគ្មានវាទេ ការបង្ហាញអំពីថ្នាំប្រឆាំងដេរីវេតាមតារាងនឹងមិនពេញលេញទេ។
ដូច្នេះសូមធ្វើវាម្តងទៀត។ សូមឱ្យមានមុខងារថាមពលចម្បងរបស់យើង:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
ឥឡូវនេះជំនួសឱ្យ $x$ ចូរជំនួសកន្សោម $kx+b$ ។ តើនឹងមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលនោះ? យើងត្រូវស្វែងរកដូចខាងក្រោមៈ
\[((\left(kx+b\right))^(n))\to \frac((((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1) \\ ស្តាំ) \\ cdot k) \\]
តើយើងទាមទារនេះលើមូលដ្ឋានអ្វី? សាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃសំណង់ដែលបានសរសេរខាងលើ៖
\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1\right)\cdot k)\right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1\right)\cdot k)\cdot \left(n+1\right)\cdot ((\left(kx+b\right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b\right))^(n))\]
នេះជាកន្សោមដដែលដែលមានពីដើម។ ដូច្នេះ រូបមន្តនេះក៏ត្រឹមត្រូវដែរ ហើយវាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបំពេញបន្ថែមតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ឬវាប្រសើរជាងក្នុងការទន្ទេញតារាងទាំងមូល។
ការសន្និដ្ឋានពី“ អាថ៌កំបាំង៖ បច្ចេកទេស៖
- តាមពិតមុខងារទាំងពីរដែលយើងទើបតែមើលអាចនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា antiderivatives ដែលបានបង្ហាញក្នុងតារាងដោយការពង្រីកដឺក្រេ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងអាចច្រើនឬតិចអាចទប់ទល់នឹងសញ្ញាប័ត្រទីបួន នោះខ្ញុំនឹងមិនធ្វើសញ្ញាប័ត្រទីប្រាំបួនទេ។ ទាំងអស់ហ៊ានបញ្ចេញ។
- ប្រសិនបើយើងពង្រីកដឺក្រេ យើងនឹងបញ្ចប់ជាមួយនឹងបរិមាណនៃការគណនាដែលកិច្ចការសាមញ្ញនឹងនាំយើងនូវពេលវេលាដ៏ច្រើនមិនសមរម្យ។
- នោះហើយជាមូលហេតុដែលបញ្ហាបែបនេះដែលមានកន្សោមលីនេអ៊ែរមិនចាំបាច់ត្រូវបានដោះស្រាយ "ក្បាលវែង" ទេ។ ដរាបណាអ្នករកឃើញសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេដែលខុសពីមួយនៅក្នុងតារាងដោយវត្តមានកន្សោម $kx+b$ នៅខាងក្នុង នោះភ្លាមចងចាំរូបមន្តដែលបានសរសេរខាងលើជំនួសវាទៅក្នុងតារាង antiderivative របស់អ្នក ហើយអ្វីៗនឹងប្រែជាខ្លាំង។ លឿន និងងាយស្រួលជាង។
ជាធម្មតា ដោយសារភាពស្មុគស្មាញ និងភាពធ្ងន់ធ្ងរនៃបច្ចេកទេសនេះ យើងនឹងត្រលប់ទៅការពិចារណារបស់វាច្រើនដងក្នុងមេរៀនវីដេអូនាពេលអនាគត ប៉ុន្តែនោះជាអ្វីទាំងអស់សម្រាប់ថ្ងៃនេះ។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាមេរៀននេះពិតជាអាចជួយសិស្សទាំងនោះដែលចង់យល់អំពីវត្ថុបុរាណ និងការរួមបញ្ចូល។
