វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺជាប្រភេទនៃលំដាប់លេខថ្មីដែលយើងត្រូវស្គាល់។ សម្រាប់អ្នកស្គាល់គ្នាជោគជ័យ វាមិនឈឺចាប់ទេ យ៉ាងហោចណាស់ដឹង និងយល់។ បន្ទាប់មកនឹងមិនមានបញ្ហាជាមួយនឹងដំណើរការធរណីមាត្រទេ។ )

តើអ្វីជាដំណើរការធរណីមាត្រ? គំនិតនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

យើងចាប់ផ្តើមដំណើរកម្សាន្តដូចធម្មតាជាមួយនឹងបឋមសិក្សា។ ខ្ញុំសរសេរលេខដែលមិនទាន់បញ្ចប់៖

1, 10, 100, 1000, 10000, …

តើ​អ្នក​អាច​ចាប់​គំរូ​មួយ​ហើយ​ប្រាប់​ថា​លេខ​មួយ​ណា​នឹង​ទៅ​បន្ទាប់​បាន​ទេ? ម្រេចច្បាស់លេខ 100000 1000000 និងបន្តទៅមុខទៀត។ ទោះបីជាមិនមានភាពតានតឹងផ្លូវចិត្តច្រើនក៏ដោយ អ្វីៗគឺច្បាស់ហើយមែនទេ?)

យល់ព្រម។ ឧទាហរណ៍មួយទៀត។ ខ្ញុំសរសេរលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ

1, 2, 4, 8, 16, …

តើអ្នកអាចប្រាប់បានទេថាលេខមួយណានឹងទៅបន្ទាប់ ដោយធ្វើតាមលេខ 16 និងឈ្មោះ ទីប្រាំបីសមាជិកលំដាប់? ប្រសិនបើអ្នកគិតថាវានឹងជាលេខ 128 នោះល្អណាស់។ ដូច្នេះពាក់កណ្តាលសមរភូមិគឺនៅក្នុងការយល់ដឹង អត្ថន័យនិង ចំណុច​សំខាន់ដំណើរការធរណីមាត្ររួចរាល់ហើយ។ អ្នកអាចរីកចម្រើនបន្ថែមទៀត។ )

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ យើង​ត្រឡប់​ពី​អារម្មណ៍​ទៅ​ជា​គណិតវិទ្យា​វិញ​ម្ដង​ទៀត។

គ្រាសំខាន់ៗនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។

ពេលវេលាសំខាន់ #1

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ លំដាប់នៃលេខ។ដូចជាការវិវត្ត។ គ្មានអ្វីពិបាកទេ។ ទើបតែរៀបចំលំដាប់នេះ។ ខុសគ្នា។ដូច្នេះហើយ ពិតណាស់ វាមានឈ្មោះមួយទៀត បាទ...

ពេលវេលាសំខាន់ # 2

ជាមួយនឹងចំណុចសំខាន់ទីពីរ សំណួរនឹងកាន់តែពិបាក។ ចូរយើងត្រឡប់ទៅក្រោយវិញបន្តិច ហើយចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ។ វា​នៅ​ទីនេះ: សមាជិកនីមួយៗខុសពីសមាជិកមុន។ ដោយចំនួនដូចគ្នា។

តើ​វា​អាច​បង្កើត​លក្ខណៈ​គន្លឹះ​ស្រដៀង​គ្នា​សម្រាប់​ដំណើរការ​ធរណីមាត្រ​ដែរ​ឬ​ទេ? គិតបន្តិច... សូមមើលឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទាយ? បាទ! នៅក្នុងដំណើរការធរណីមាត្រ (ណាមួយ!) សមាជិកនីមួយៗរបស់វាខុសពីលេខមុន។ ក្នុងចំនួនដងដូចគ្នា។ជានិច្ច!

ក្នុងឧទាហរណ៍ទីមួយ លេខនេះគឺដប់។ ពាក្យណាមួយនៃលំដាប់ដែលអ្នកយក វាធំជាងពាក្យមុន។ ដប់ដង។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរនេះគឺជាពីរ: សមាជិកនីមួយៗគឺធំជាងមុន។ ពីរដង។

វាស្ថិតនៅក្នុងចំណុចសំខាន់នេះ ដែលដំណើរការធរណីមាត្រខុសពីលេខនព្វន្ធ។ នៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗត្រូវបានទទួល ការបន្ថែមនៃតម្លៃដូចគ្នាទៅនឹងពាក្យមុន។ ហើយនៅទីនេះ - គុណពាក្យមុនដោយចំនួនដូចគ្នា។ នោះហើយជាភាពខុសគ្នា។ )

ពេលវេលាសំខាន់ # 3

ចំណុចសំខាន់នេះគឺដូចគ្នាបេះបិទទាំងស្រុងទៅនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ។ ពោលគឺ៖ សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺនៅនឹងកន្លែងរបស់វា។អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាទៅនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ និងមតិយោបល់ ខ្ញុំគិតថាមិនចាំបាច់ទេ។ មាន​ពាក្យ​ទីមួយ មាន​មួយ​រយ​ដំបូង​។ល។ ចូររៀបចំឡើងវិញយ៉ាងហោចណាស់សមាជិកពីរនាក់ - លំនាំ (ហើយជាមួយវា ដំណើរការធរណីមាត្រ) នឹងរលាយបាត់។ អ្វី​ដែល​នៅ​សល់​គឺ​គ្រាន់​តែ​ជា​លំដាប់​នៃ​លេខ​ដោយ​មិន​មាន​តក្កវិជ្ជា​ណាមួយ​ឡើយ។

អស់ហើយ។ នោះហើយជាចំណុចទាំងមូលនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។

លក្ខខណ្ឌ និងការកំណត់។

ហើយឥឡូវនេះ ដោយបានដោះស្រាយអត្ថន័យ និងចំណុចសំខាន់ៗនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ យើងអាចបន្តទៅទ្រឹស្តីបាន។ បើ​មិន​ដូច្នេះ​ទេ អ្វី​ទៅ​ជា​ទ្រឹស្ដី​ដោយ​មិន​យល់​អត្ថន័យ​នោះ​ទេ?

តើអ្វីជាដំណើរការធរណីមាត្រ?

តើវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានសរសេរក្នុងន័យទូទៅយ៉ាងដូចម្តេច? គ្មាន​បញ្ហា! សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពក៏ត្រូវបានសរសេរជាសំបុត្រផងដែរ។ សម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធតែប៉ុណ្ណោះ អក្សរនេះជាធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់ "ក", សម្រាប់ធរណីមាត្រ - អក្សរ "ខ" លេខសមាជិកជាធម្មតាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ សន្ទស្សន៍ខាងស្តាំទាប. សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពខ្លួនឯងត្រូវបានរាយបញ្ជីយ៉ាងសាមញ្ញដោយបំបែកដោយសញ្ញាក្បៀស ឬសញ្ញាក្បៀស។

ដូចនេះ៖

b1,ខ 2 , ខ 3 , ខ 4 , ខ 5 , ខ 6 , …

ដោយសង្ខេប ការវិវត្តបែបនេះត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖ (b n) .

ឬដូចនេះ សម្រាប់ដំណើរការកំណត់៖

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 ។

b 1 , b 2 , ... , b 29 , b 30 ។

ឬនិយាយឱ្យខ្លី៖

(b n), ន=30 .

នោះតាមការពិត គឺជាការចាត់តាំងទាំងអស់។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា, មានតែអក្សរខុសគ្នា, បាទ) ហើយឥឡូវនេះយើងទៅដោយផ្ទាល់ទៅនិយមន័យ។

និយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

ការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខ ដែលពាក្យទីមួយមិនមែនជាសូន្យ ហើយពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗស្មើនឹងពាក្យមុន គុណនឹងចំនួនមិនមែនសូន្យដូចគ្នា។

នោះជានិយមន័យទាំងមូល។ ពាក្យ និងឃ្លាភាគច្រើនគឺច្បាស់ និងស្គាល់អ្នក។ លុះត្រាតែអ្នកយល់ពីអត្ថន័យនៃដំណើរការធរណីមាត្រ "នៅលើម្រាមដៃ" និងជាទូទៅ។ ប៉ុន្តែក៏មានឃ្លាថ្មីមួយចំនួនដែលខ្ញុំចង់ទាក់ទាញជាពិសេស។

ទីមួយពាក្យ៖ "ពាក្យដំបូងដែល ខុសពីសូន្យ".

ការដាក់កម្រិតនេះលើពាក្យដំបូងមិនត្រូវបានណែនាំដោយចៃដន្យទេ។ តើ​អ្នក​គិត​ថា​នឹង​មាន​អ្វី​កើត​ឡើង​ប្រសិន​បើ​វគ្គ​ដំបូង ខ 1 ប្រែទៅជាសូន្យ? តើ​អ្វី​នឹង​ក្លាយ​ទៅ​ជា​ពាក្យ​ទី​ពីរ ប្រសិន​បើ​ពាក្យ​នីមួយៗ​ធំ​ជាង​ពាក្យ​មុន។ ចំនួនដងដូចគ្នា?តោះនិយាយបីដង? សូមមើល... គុណពាក្យទីមួយ (ឧ. ០) គុណនឹង ៣ ហើយទទួលបាន... សូន្យ! ហើយសមាជិកទីបី? សូន្យដែរ! ហើយ​ពាក្យ​ទី​បួន​ក៏​សូន្យ​ដែរ! ល…

យើងទទួលបានតែមួយថង់នៃ bagels លំដាប់នៃសូន្យ:

0, 0, 0, 0, …

ជាការពិតណាស់លំដាប់បែបនេះមានសិទ្ធិរស់រានមានជីវិតប៉ុន្តែវាមិនមានផលប្រយោជន៍ជាក់ស្តែងទេ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ណាស់។ សមាជិកណាមួយរបស់វាគឺសូន្យ។ ផលបូកនៃចំនួនសមាជិកណាមួយក៏សូន្យដែរ... តើអ្នកអាចធ្វើអ្វីគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាមួយវា? គ្មានអ្វី…

ពាក្យគន្លឹះខាងក្រោម៖ msgstr "គុណ​នឹង​ចំនួន​មិន​សូន្យ​ដូចគ្នា"។

លេខដូចគ្នានេះក៏មានឈ្មោះពិសេសរបស់វាផងដែរ - ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ. តោះចាប់ផ្តើមណាត់ជួប។ )

ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ។

ភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺជាលេខមិនមែនសូន្យ (ឬតម្លៃ) ដែលបង្ហាញប៉ុន្មាន​ដងសមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាព ច្រើនជាងលើកមុន។

ជាថ្មីម្តងទៀត ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងដំណើរការនព្វន្ធ ពាក្យគន្លឹះដែលត្រូវយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងនិយមន័យនេះគឺពាក្យ "ច្រើនទៀត". វាមានន័យថាពាក្យនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានទទួល គុណដល់ភាគបែងនេះ។ សមាជិកមុន។

ខ្ញុំពន្យល់។

ដើម្បីគណនាសូមនិយាយ ទីពីរសមាជិកដើម្បីយក ដំបូងសមាជិក និង គុណវាទៅភាគបែង។ សម្រាប់ការគណនា ទីដប់សមាជិកដើម្បីយក ទីប្រាំបួនសមាជិក និង គុណវាទៅភាគបែង។

ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រខ្លួនវាអាចជាអ្វីទាំងអស់។ ពិត​ជា​នរណា​ម្នាក់! ចំនួនគត់, ប្រភាគ, វិជ្ជមាន, អវិជ្ជមាន, មិនសមហេតុផល - គ្រប់គ្នា។ លើកលែងតែសូន្យ។ នេះគឺជាអ្វីដែលពាក្យ "មិនសូន្យ" នៅក្នុងនិយមន័យប្រាប់យើងអំពី។ ហេតុអ្វីបានជាពាក្យនេះត្រូវការនៅទីនេះ - បន្ថែមទៀតនៅពេលក្រោយ។

ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ q.

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកមួយនេះ q? គ្មាន​បញ្ហា! យើងត្រូវតែទទួលយកលក្ខខណ្ឌណាមួយនៃវឌ្ឍនភាពនិង បែងចែកដោយពាក្យមុន។. ផ្នែកគឺ ប្រភាគ. ដូច្នេះឈ្មោះ - "ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព" ។ ភាគបែង វាជាធម្មតាអង្គុយក្នុងប្រភាគ បាទ...) ទោះបីជា, តក្កវិជ្ជា, តម្លៃ qគួរតែត្រូវបានហៅ ឯកជនវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រស្រដៀងនឹង ភាពខុសគ្នាសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធ។ ប៉ុន្តែយល់ព្រមហៅ ភាគបែង. ហើយយើងនឹងមិនបង្កើតកង់ឡើងវិញទេ។)

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ឧទាហរណ៍តម្លៃ qសម្រាប់ដំណើរការធរណីមាត្រនេះ៖

2, 6, 18, 54, …

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺបឋម។ ពួក​យើង​យក ណាមួយ។លេខ​លំដាប់។ អ្វីដែលយើងចង់បានគឺជាអ្វីដែលយើងយក។ លើកលែងតែទីមួយ។ ឧទាហរណ៍ 18. ហើយចែកដោយ លេខមុន។. នោះគឺនៅម៉ោង ៦ ។

យើង​ទទួល​បាន:

q = 18/6 = 3

អស់ហើយ។ នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ដំណើរការធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ ភាគបែងគឺបី។

ចូរយើងស្វែងរកភាគបែង qសម្រាប់ដំណើរការធរណីមាត្រផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖

1, -2, 4, -8, 16, …

ដូចគ្នា​ទាំងអស់។ អ្វីក៏ដោយដែលសមាជិកខ្លួនមានសញ្ញា យើងនៅតែទទួលយក ណាមួយ។លេខលំដាប់ (ឧទាហរណ៍ ១៦) ហើយចែកដោយ លេខមុន។(ឧ. -៨)។

យើង​ទទួល​បាន:

ឃ = 16/(-8) = -2

ហើយនោះហើយជាវា។) លើកនេះ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពបានប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ដកពីរ។ វា​កើតឡើង។)

ចូរយើងទទួលយកវឌ្ឍនភាពនេះ៖

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

ហើយម្តងទៀតដោយមិនគិតពីប្រភេទនៃលេខនៅក្នុងលំដាប់ (សូម្បីតែចំនួនគត់ ប្រភាគ សូម្បីតែអវិជ្ជមាន សូម្បីតែមិនសមហេតុផល) យើងយកលេខណាមួយ (ឧទាហរណ៍ 1/9) ហើយចែកដោយលេខមុន (1/3)។ យោងទៅតាមច្បាប់នៃប្រតិបត្តិការជាមួយប្រភាគជាការពិតណាស់។

យើង​ទទួល​បាន:

នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់) នៅទីនេះភាគបែងបានប្រែក្លាយទៅជាប្រភាគ៖ q = 1/3.

ប៉ុន្តែដូចជា "វឌ្ឍនភាព" ដូចអ្នក?

3, 3, 3, 3, 3, …

ជាក់ស្តែងនៅទីនេះ q = 1 . ជាផ្លូវការ នេះក៏ជាដំណើរការធរណីមាត្រដែរ មានតែជាមួយ សមាជិកដូចគ្នា។.) ប៉ុន្តែការរីកចំរើនបែបនេះមិនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់ការសិក្សា និងការអនុវត្តជាក់ស្តែងទេ។ ដូច​ជា​ការ​រីក​ចម្រើន​ដែល​មាន​សូន្យ​រឹង។ ដូច្នេះយើងនឹងមិនពិចារណាពួកគេទេ។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពអាចជាអ្វីទាំងអស់ - ចំនួនគត់ ប្រភាគ វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន - អ្វីទាំងអស់! វា​មិន​អាច​ត្រឹម​តែ​សូន្យ​ទេ។ មិននឹកស្មានថាហេតុអ្វី?

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយចំនួន តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង ប្រសិនបើយើងយកជាភាគបែង qសូន្យ។) អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានឧទាហរណ៍ ខ 1 = 2 , ក q = 0 . តើអាណត្តិទីពីរនឹងទៅជាយ៉ាងណា?

យើងជឿថា៖

ខ 2 = ខ 1 · q= 2 0 = 0

ហើយសមាជិកទីបី?

ខ 3 = ខ 2 · q= 0 0 = 0

ប្រភេទ និងឥរិយាបថនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។

ជាមួយនឹងអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់លាស់ច្រើនឬតិច: ប្រសិនបើភាពខុសគ្នានៃការវិវត្ត ឃមានភាពវិជ្ជមាន វឌ្ឍនភាពកំពុងកើនឡើង។ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នាគឺអវិជ្ជមាននោះការវិវត្តថយចុះ។ មានតែជម្រើសពីរប៉ុណ្ណោះ។ មិនមានទីបីទេ។ )

ប៉ុន្តែជាមួយនឹងអាកប្បកិរិយានៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងកាន់តែគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងចម្រុះ!)

ដរាបណាសមាជិកមានឥរិយាបទនៅទីនេះ៖ ពួកគេកើនឡើង និងថយចុះ ហើយមិនកំណត់ទៅជិតសូន្យ ហើយថែមទាំងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ឆ្លាស់គ្នាប្រញាប់ទៅ "បូក" ឬ "ដក"! ហើយនៅក្នុងភាពចម្រុះនេះ ត្រូវតែអាចយល់បានល្អ បាទ...

យើងយល់?) ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណីសាមញ្ញបំផុត។

ភាគបែងគឺវិជ្ជមាន ( q >0)

ជាមួយនឹងភាគបែងវិជ្ជមាន ជាដំបូង សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រអាចចូលទៅក្នុង បូកគ្មានដែនកំណត់(ឧ. កើនឡើងឥតកំណត់) ហើយអាចចូលទៅបាន។ ដកគ្មានកំណត់(ឧ. ថយចុះដោយគ្មានកំណត់)។ យើង​បាន​ស៊ាំ​នឹង​ឥរិយាបថ​នៃ​ការ​វិវត្ត​បែប​នេះ​រួច​ទៅ​ហើយ។

ឧទាហរណ៍:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ។ សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពគឺ ច្រើនជាងមុន។. ហើយសមាជិកម្នាក់ៗទទួលបាន គុណសមាជិកពីមុននៅលើ វិជ្ជមានលេខ +2 (ឧ។ q = 2 ) ឥរិយាបថនៃវឌ្ឍនភាពបែបនេះគឺជាក់ស្តែង: សមាជិកទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពរីកចម្រើនដោយគ្មានកំណត់នឹងចូលទៅក្នុងលំហ។ បូកនឹងភាពមិនចេះចប់...

ឥឡូវនេះនេះគឺជាការវិវត្ត៖

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

នៅទីនេះផងដែរពាក្យនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានទទួល គុណសមាជិកពីមុននៅលើ វិជ្ជមានលេខ +2 ។ ប៉ុន្តែអាកប្បកិរិយានៃការវិវត្តន៍បែបនេះគឺផ្ទុយគ្នាដោយផ្ទាល់រួចទៅហើយ: សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានទទួល តិចជាងមុន។ហើយ​លក្ខខណ្ឌ​ទាំងអស់​របស់​វា​ថយចុះ​ដោយ​មិន​កំណត់​នឹង​ទៅជា​ដក​គ្មានកំណត់។

ឥឡូវ​យើង​គិត​ថា តើ​ការ​រីក​ចម្រើន​ទាំង​ពីរ​នេះ​មាន​អ្វី​ដូច​គ្នា? ត្រូវហើយ ភាគបែង! ទីនេះ​និង​ទីនោះ q = +2 . លេខវិជ្ជមាន។ Deuce ។ ហើយនៅទីនេះ អាកប្បកិរិយាវឌ្ឍនភាពទាំងពីរនេះខុសគ្នាជាមូលដ្ឋាន! មិននឹកស្មានថាហេតុអ្វី? បាទ! វាទាំងអស់អំពី សមាជិកដំបូង!វាគឺជាគាត់ ដូចដែលពួកគេនិយាយ ជាអ្នកបញ្ជាតន្ត្រី។) មើលសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។

ក្នុងករណីដំបូងពាក្យដំបូងនៃការវិវត្ត វិជ្ជមាន(+1) ហើយដូច្នេះ ពាក្យបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់ដែលទទួលបានដោយគុណនឹង វិជ្ជមានភាគបែង q = +2 , នឹង វិជ្ជមាន។

ប៉ុន្តែក្នុងករណីទី 2 អាណត្តិទី 1 អវិជ្ជមាន(-មួយ) ។ ដូច្នេះសមាជិកបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពដែលទទួលបានដោយគុណនឹង វិជ្ជមាន q = +2 នឹងត្រូវបានទទួលផងដែរ។ អវិជ្ជមាន។សម្រាប់ "ដក" ទៅ "បូក" តែងតែផ្តល់ "ដក" បាទ។ )

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ មិនដូចការវិវត្តនព្វន្ធទេ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រអាចមានឥរិយាបទក្នុងវិធីផ្សេងគ្នាទាំងស្រុង មិនត្រឹមតែអាស្រ័យ ពីភាគបែងqប៉ុន្តែក៏អាស្រ័យ ពីសមាជិកដំបូងបាទ។ )

ចងចាំ៖ ឥរិយាបទនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសដោយសមាជិកដំបូងរបស់វា។ ខ 1 និងភាគបែងq .

ហើយឥឡូវនេះយើងចាប់ផ្តើមការវិភាគនៃករណីដែលមិនសូវស្គាល់ ប៉ុន្តែគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើនទៀត!

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយកលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

លំដាប់នេះក៏ជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែរ! សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនេះក៏ទទួលបានផងដែរ។ គុណពាក្យមុនដោយលេខដូចគ្នា។ មានតែលេខប៉ុណ្ណោះ។ ប្រភាគ៖ q = +1/2 . ឬ +0,5 . និង (សំខាន់!) លេខ, តូចជាងនេះ៖q = 1/2<1.

តើអ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍អំពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនេះ? តើសមាជិករបស់ខ្លួនទៅណា? តោះទស្សនាទាំងអស់គ្នា៖

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

តើមានអ្វីគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៅទីនេះ? ទីមួយការថយចុះនៃសមាជិកនៃដំណើរការគឺមានភាពទាក់ទាញភ្លាមៗ: សមាជិកនីមួយៗរបស់វា។ តូចជាងមុននេះយ៉ាងពិតប្រាកដ 2 ដង។ឬយោងទៅតាមនិយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រពាក្យនីមួយៗ ច្រើនទៀតមុន 1/2 ដង, ដោយសារតែ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព q = 1/2 . ហើយពីការគុណនឹងចំនួនវិជ្ជមានតិចជាងមួយ លទ្ធផលជាធម្មតាថយចុះ បាទ...

អ្វី ច្រើនទៀតអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងឥរិយាបថនៃការវិវត្តនេះ? តើសមាជិករបស់ខ្លួនបាត់ខ្លួនទេ? គ្មានដែនកំណត់ទៅជាដកគ្មានកំណត់? ទេ! ពួកគេបាត់ខ្លួនតាមរបៀបពិសេស។ ដំបូង​ពួក​គេ​ថយ​ចុះ​យ៉ាង​លឿន ហើយ​បន្ទាប់​មក​កាន់​តែ​យឺត។ ហើយគ្រប់ពេលស្នាក់នៅ វិជ្ជមាន. ទោះបីជាតូចខ្លាំងណាស់។ ហើយ​គេ​ខំ​ដើម្បី​អ្វី? មិនបានទាយ? បាទ! ពួកគេមានទំនោរទៅសូន្យ!) ហើយយកចិត្តទុកដាក់ សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពរបស់យើង។ មិនដែលឈានដល់!តែប៉ុណ្ណោះ ជិតស្និទ្ធនឹងគាត់ជារៀងរហូត. វា​ពិតជា​សំខាន់ណាស់។)

ស្ថានភាពស្រដៀងគ្នានឹងមានការវិវត្តបែបនេះ៖

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

នៅទីនេះ ខ 1 = -1 , ក q = 1/2 . អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា មានតែពេលនេះសមាជិកនឹងចូលទៅជិតសូន្យពីម្ខាងទៀត ពីខាងក្រោម។ ស្នាក់នៅគ្រប់ពេលវេលា អវិជ្ជមាន.)

ដំណើរ​ធរណីមាត្រ​បែប​នេះ សមាជិក​ទាំងឡាយ ខិតជិតសូន្យដោយគ្មានកំណត់។(វាមិនសំខាន់ទេ នៅខាងវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន) នៅក្នុងគណិតវិទ្យា វាមានឈ្មោះពិសេសមួយ - ការថយចុះឥតឈប់ឈរនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ការវិវឌ្ឍន៍នេះពិតជាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ និងមិនធម្មតាដែលវានឹងក្លាយទៅជា មេរៀនដាច់ដោយឡែក .)

ដូច្នេះ យើង​បាន​គិត​ថា​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ទាំង​អស់ វិជ្ជមានភាគបែងមានទាំងធំ និងតូច។ យើង​មិន​ចាត់​ទុក​ខ្លួន​ឯង​ថា​ជា​ភាគបែង​សម្រាប់​ហេតុ​ផល​ដែល​មាន​ចែង​ខាង​លើ​ទេ (សូម​ចងចាំ​ឧទាហរណ៍​ជាមួយ​នឹង​លំដាប់​នៃ​បី...)

សង្ខេប:

វិជ្ជមាននិង លើស​ពី​មួយ (q> 1) បន្ទាប់មកសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព៖

ក) កើនឡើងឥតកំណត់ (ប្រសិនបើខ 1 >0);

ខ) ថយចុះដោយគ្មានកំណត់ (ប្រសិនបើខ 1 <0).

ប្រសិនបើភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ វិជ្ជមាន និង តិចជាងមួយ។ (0< q<1), то члены прогрессии:

ក) ជិតសូន្យ ខាងលើ(ប្រសិនបើខ 1 >0);

ខ) ជិតសូន្យ ពី​ខាងក្រោម(ប្រសិនបើខ 1 <0).

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនេះ។ ភាគបែងអវិជ្ជមាន។

ភាគបែងគឺអវិជ្ជមាន ( q <0)

យើងនឹងមិនទៅឆ្ងាយសម្រាប់ឧទាហរណ៍មួយ។ ហេតុអ្វីបានជាការពិតលោកយាយ shaggy?!) អនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍សមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព ខ 1 = 1 ហើយយកភាគបែង q = −2.

យើងទទួលបានលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

ហើយដូច្នេះនៅលើ។) ពាក្យនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានទទួល គុណសមាជិកពីមុននៅលើ លេខអវិជ្ជមាន-២. ក្នុងករណីនេះ សមាជិកទាំងអស់នៅក្នុងកន្លែងសេស (ទីមួយ ទីបី ទីប្រាំ ។ល។) វិជ្ជមាននិងនៅកន្លែងគូ (ទីពីរទីបួន។ ល។ ) - អវិជ្ជមាន។សញ្ញាត្រូវបានជ្រៀតជ្រែកយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ បូក-ដក-បូក-ដក... វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្របែបនេះត្រូវបានគេហៅថា - ការកើនឡើងសញ្ញាជំនួស។

តើសមាជិករបស់ខ្លួនទៅណា? ហើយគ្មានកន្លែងណាទេ) បាទ! ក្នុង​តម្លៃ​ដាច់ខាត (ឧ. ម៉ូឌុល)លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​របស់​យើង​កើន​ឡើង​ដោយ​មិន​កំណត់ (ហេតុ​ដូច្នេះ​ហើយ​បាន​ជា​ឈ្មោះ "កើន")។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានោះសមាជិកនីមួយៗនៃការវិវត្តន៍ឆ្លាស់គ្នាបោះវាទៅក្នុងកំដៅបន្ទាប់មកចូលទៅក្នុងត្រជាក់។ ទាំងបូកឬដក។ វឌ្ឍនភាពរបស់យើងប្រែប្រួល... ម្យ៉ាងទៀត ជួរនៃការប្រែប្រួលក៏រីកចម្រើនយ៉ាងលឿនទៅតាមជំហាននីមួយៗ បាទ) ដូច្នេះហើយ សេចក្តីប្រាថ្នារបស់សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពគឺត្រូវទៅកន្លែងណាមួយ ជាពិសេសនៅទីនេះ ទេទាំង​បូក​នឹង​ភាព​គ្មាន​ដែន​កំណត់ ឬ​ដក​គ្មាន​កំណត់ ឬ​ដល់​សូន្យ - គ្មាន​កន្លែង​ណា​ទេ។

ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាភាគបែងប្រភាគមួយចំនួនរវាងសូន្យ និងដកមួយ។

ជាឧទាហរណ៍សូមឱ្យវាក្លាយជា ខ 1 = 1 , ក q = -1/2.

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវឌ្ឍនភាព៖

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

ហើយម្តងទៀតយើងមានសញ្ញាជំនួស! ប៉ុន្តែ មិនដូចឧទាហរណ៍មុនទេ នៅទីនេះមានទំនោរច្បាស់លាស់សម្រាប់លក្ខខណ្ឌដើម្បីខិតជិតសូន្យ។) មានតែពេលនេះទេដែលលក្ខខណ្ឌរបស់យើងខិតជិតសូន្យ មិនមែនតឹងរ៉ឹងពីខាងលើ ឬខាងក្រោមនោះទេ ប៉ុន្តែម្តងទៀត ស្ទាក់ស្ទើរ. ឆ្លាស់គ្នាយកតម្លៃវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែក្នុងពេលតែមួយពួកគេ។ ម៉ូឌុលកាន់តែខិតទៅជិតសូន្យដែលស្រលាញ់។ )

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនេះត្រូវបានគេហៅថា ការថយចុះជាលំដាប់នៃសញ្ញាជំនួស។

ហេតុអ្វីបានជាឧទាហរណ៍ទាំងពីរនេះគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍? ហើយការពិតដែលថានៅក្នុងករណីទាំងពីរកើតឡើង តួអក្សរជំនួស!បន្ទះឈីបបែបនេះគឺធម្មតាសម្រាប់តែវឌ្ឍនភាពជាមួយភាគបែងអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ បាទ។) ដូច្នេះហើយ ប្រសិនបើនៅក្នុងកិច្ចការមួយចំនួនដែលអ្នកឃើញវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយសមាជិកជំនួស នោះអ្នកនឹងដឹងយ៉ាងមុតមាំថាភាគបែងរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន 100% ហើយអ្នកនឹងមិនច្រឡំឡើយ។ នៅក្នុងសញ្ញា។ )

ដោយវិធីនេះនៅក្នុងករណីនៃភាគបែងអវិជ្ជមានសញ្ញានៃពាក្យទីមួយមិនប៉ះពាល់ដល់អាកប្បកិរិយានៃការវិវត្តខ្លួនវាទាល់តែសោះ។ អ្វីក៏ដោយដែលសញ្ញានៃសមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពគឺក្នុងករណីណាក៏ដោយ សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរសមាជិកនឹងត្រូវបានគេសង្កេតឃើញ។ សំណួរទាំងមូលគឺគ្រាន់តែ នៅកន្លែងណា(គូ ឬសេស) នឹងមានសមាជិកដែលមានសញ្ញាជាក់លាក់។

ចងចាំ៖

ប្រសិនបើភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ អវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកសញ្ញានៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពគឺតែងតែ ឆ្លាស់គ្នា។

ទន្ទឹមនឹងនេះសមាជិកខ្លួនឯង៖

ក) កើនឡើងឥតកំណត់ម៉ូឌុល, ប្រសិនបើq<-1;

ខ) ខិតជិតសូន្យដោយគ្មានកំណត់ប្រសិនបើ -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

អស់ហើយ។ ករណីធម្មតាទាំងអស់ត្រូវបានវិភាគ។ )

នៅក្នុងដំណើរការនៃការញែកឧទាហរណ៍ផ្សេងៗនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ខ្ញុំបានប្រើពាក្យជាទៀងទាត់៖ "ទំនោរទៅសូន្យ", "ទំនោរបូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់", ទំនោរទៅរកការដកគ្មានកំណត់... វាមិនអីទេ) ការនិយាយទាំងនេះ (និងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់) គឺគ្រាន់តែជាអ្នកស្គាល់គ្នាដំបូងប៉ុណ្ណោះ។ អាកប្បកិរិយាលំដាប់លេខផ្សេងៗគ្នា។ ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការធរណីមាត្រ។

ហេតុអ្វី​បាន​ជា​យើង​ត្រូវ​តែ​ដឹង​ពី​ការ​វិវត្តន៍​នៃ​អាកប្បកិរិយា? តើ​វា​ធ្វើ​ឲ្យ​នាង​ទៅ​ណា​មាន​ភាព​ខុស​គ្នា​អ្វី? ដល់សូន្យ បូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដល់ដកអណ្តែត... តើយើងខ្វល់នឹងរឿងអ្វី?

រឿងនេះគឺថារួចហើយនៅសាកលវិទ្យាល័យក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះអ្នកនឹងត្រូវការសមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការជាមួយលំដាប់លេខជាច្រើន (ជាមួយណាមួយ មិនមែនគ្រាន់តែជាវឌ្ឍនភាពទេ!) ហើយសមត្ថភាពក្នុងការស្រមៃមើលថាតើលំដាប់នេះឬលំដាប់នោះប្រព្រឹត្តយ៉ាងដូចម្តេច។ - ថាតើវាកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ ថាតើវាថយចុះ ថាតើវាមានទំនោរទៅរកចំនួនជាក់លាក់មួយ (ហើយមិនចាំបាច់ដល់សូន្យ) ឬសូម្បីតែមិនមានទំនោរទៅរកអ្វីទាំងអស់ ... ផ្នែកទាំងមូលត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ប្រធានបទនេះក្នុងវគ្គនៃការ ការវិភាគគណិតវិទ្យា - ទ្រឹស្តីកំណត់។កាន់តែពិសេសជាងនេះទៅទៀត គំនិត ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ។ប្រធានបទគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់! វាសមហេតុផលក្នុងការទៅមហាវិទ្យាល័យ ហើយដោះស្រាយវាចេញ។ )

ឧទាហរណ៍មួយចំនួនពីផ្នែកនេះ (លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់) និងជាពិសេស។ ការថយចុះឥតឈប់ឈរនៃដំណើរការធរណីមាត្រចាប់ផ្តើមរៀននៅសាលា។ ប្រើប្រាស់។ )

ជាងនេះទៅទៀត សមត្ថភាពក្នុងការសិក្សាឥរិយាបថនៃលំដាប់លំដោយបានល្អនាពេលអនាគតនឹងដើរតួយ៉ាងសំខាន់នៅក្នុងដៃ ហើយនឹងមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅក្នុង ការស្រាវជ្រាវមុខងារ។ចម្រុះបំផុត។ ប៉ុន្តែសមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការជាមួយមុខងារ (គណនានិស្សន្ទវត្ថុ រុករកពួកវាឱ្យបានពេញលេញ បង្កើតក្រាហ្វរបស់ពួកគេ) បានបង្កើនកម្រិតគណិតវិទ្យារបស់អ្នកយ៉ាងខ្លាំងរួចទៅហើយ! សង្ស័យ? មិន​ត្រូវ​ការ។ ចងចាំពាក្យរបស់ខ្ញុំផងដែរ។ )

សូមក្រឡេកមើលវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រក្នុងជីវិត?

នៅក្នុងជីវិតជុំវិញយើង យើងជួបប្រទះនឹងការវិវត្តន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ជាញឹកញាប់ណាស់។ ដោយមិនដឹងខ្លួន។ )

ជាឧទាហរណ៍ អតិសុខុមប្រាណជាច្រើនដែលនៅជុំវិញយើងនៅគ្រប់ទីកន្លែងក្នុងបរិមាណដ៏ច្រើន ហើយដែលយើងមើលមិនឃើញដោយគ្មានមីក្រូទស្សន៍បានគុណយ៉ាងជាក់លាក់នៅក្នុងដំណើរការធរណីមាត្រ។

ឧបមាថា បាក់តេរីមួយបន្តពូជដោយបែងចែកជាពាក់កណ្តាល ផ្តល់កូនចៅជា 2 បាក់តេរី។ នៅក្នុងវេន, គ្នានៃពួកគេ, គុណ, ក៏បែងចែកជាពាក់កណ្តាល, ផ្តល់ឱ្យកូនចៅទូទៅនៃ 4 បាក់តេរី។ ជំនាន់ក្រោយនឹងផ្តល់ឱ្យបាក់តេរីចំនួន 8 បន្ទាប់មកបាក់តេរី 16, 32, 64 និងផ្សេងៗទៀត។ ជាមួយនឹងជំនាន់បន្តបន្ទាប់គ្នា ចំនួនបាក់តេរីកើនឡើងទ្វេដង។ ឧទាហរណ៍ធម្មតានៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ )

ដូចគ្នានេះផងដែរ, សត្វល្អិតមួយចំនួន - aphids, រុយ - គុណនិទស្សន្ត។ ហើយពេលខ្លះទន្សាយផងដែរ)

ឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ដែលខិតទៅជិតជីវិតប្រចាំថ្ងៃ គឺជាអ្វីដែលគេហៅថា ការប្រាក់រួម។បាតុភូតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បែបនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងប្រាក់បញ្ញើរបស់ធនាគារហើយត្រូវបានគេហៅថា មូលធនប័ត្រការប្រាក់។តើ​វា​ជា​អ្វី?

ជាការពិត អ្នកនៅក្មេងនៅឡើយ។ អ្នក​រៀន​នៅ​សាលា អ្នក​មិន​អនុវត្ត​ទៅ​ធនាគារ។ ប៉ុន្តែឪពុកម្តាយរបស់អ្នកគឺជាមនុស្សពេញវ័យ និងជាមនុស្សឯករាជ្យ។ គេ​ទៅ​ធ្វើ​ការ​រក​ប្រាក់​សម្រាប់​ធ្វើ​ជា​អាហារ​ប្រចាំ​ថ្ងៃ ហើយ​យក​ប្រាក់​ខ្លះ​ដាក់​ក្នុង​ធនាគារ​សន្សំ​ប្រាក់)។

ចូរនិយាយថាឪពុករបស់អ្នកចង់សន្សំប្រាក់មួយចំនួនសម្រាប់វិស្សមកាលគ្រួសារនៅប្រទេសទួរគី ហើយដាក់ 50,000 rubles នៅក្នុងធនាគារនៅ 10% ក្នុងមួយឆ្នាំសម្រាប់រយៈពេល 3 ឆ្នាំ។ ជាមួយនឹងមូលធនប័ត្រការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំ។លើសពីនេះទៅទៀត គ្មានអ្វីអាចធ្វើបានជាមួយការដាក់ប្រាក់ក្នុងអំឡុងពេលទាំងមូលនេះទេ។ អ្នកមិនអាចបញ្ចូលប្រាក់បន្ថែម ឬដកប្រាក់ពីគណនីបានទេ។ តើគាត់នឹងចំណេញអ្វីក្នុងរយៈពេលបីឆ្នាំនេះ?

ជាដំបូង អ្នកត្រូវស្វែងយល់ថាតើ 10% ក្នុងមួយឆ្នាំគឺជាអ្វី។ វាមានន័យថា ក្នុងមួយឆ្នាំ 10% នឹងត្រូវបញ្ចូលទៅក្នុងចំនួនប្រាក់បញ្ញើដំបូងដោយធនាគារ។ មកពីអ្វី? ជាការពិតណាស់ពី ចំនួនប្រាក់បញ្ញើដំបូង។

គណនាចំនួនគណនីក្នុងមួយឆ្នាំ។ ប្រសិនបើចំនួនទឹកប្រាក់ដំបូងនៃការដាក់ប្រាក់គឺ 50,000 rubles (ពោលគឺ 100%) នោះក្នុងមួយឆ្នាំតើការប្រាក់នឹងមានចំនួនប៉ុន្មាននៅលើគណនី? ត្រូវហើយ 110%! ពី 50,000 rubles ។

ដូច្នេះយើងពិចារណា 110% នៃ 50,000 rubles:

50,000 1.1 \u003d 55,000 rubles ។

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកយល់ថាការស្វែងរក 110% នៃតម្លៃមានន័យថាគុណតម្លៃនេះដោយលេខ 1.1? បើ​មិន​យល់​ថា​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​បែប​នេះ សូម​ចាំ​ថ្នាក់​ទី ៥ និង​ទី ៦។ ពោលគឺ - ទំនាក់ទំនងនៃភាគរយជាមួយប្រភាគ និងផ្នែក។ )

ដូច្នេះការកើនឡើងសម្រាប់ឆ្នាំដំបូងនឹងមាន 5000 rubles ។

តើលុយនឹងមាននៅក្នុងគណនីប៉ុន្មានបន្ទាប់ពីពីរឆ្នាំ? 60,000 rubles? ជាអកុសល (ឬជាសំណាងល្អ) វាមិនសាមញ្ញទេ។ ល្បិចទាំងមូលនៃមូលធនការប្រាក់គឺថាជាមួយនឹងការកើនឡើងការប្រាក់ថ្មីនីមួយៗ ការប្រាក់ដូចគ្នាទាំងនេះនឹងត្រូវបានពិចារណារួចហើយ ពីចំនួនថ្មី!ពីអ្នកដែល រួចហើយគឺនៅលើគណនី នៅ​ពេល​នេះ។ហើយការប្រាក់ដែលទទួលបានសម្រាប់អាណត្តិមុនត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងចំនួនទឹកប្រាក់ដំបូងនៃការដាក់ប្រាក់ ហើយដូច្នេះពួកគេខ្លួនឯងចូលរួមក្នុងការគណនាការប្រាក់ថ្មី! នោះគឺពួកគេក្លាយជាផ្នែកពេញលេញនៃគណនីសរុប។ ឬទូទៅ រាជធានី។ដូច្នេះឈ្មោះ - មូលធនប័ត្រការប្រាក់។

វាស្ថិតនៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ច។ ហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាភាគរយបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ការប្រាក់រួម។ឬ ភាគរយនៃភាគរយ។) ល្បិចរបស់ពួកគេគឺថានៅក្នុងការគណនាតាមលំដាប់លំដោយភាគរយត្រូវបានគណនារាល់ពេល ពីតម្លៃថ្មី។មិនមែនមកពីដើម...

ដូច្នេះដើម្បីគណនាផលបូក ពីរ​ឆ្នាំយើងត្រូវគណនា 110% នៃចំនួនដែលនឹងមាននៅក្នុងគណនី ក្នុងមួយឆ្នាំ។នោះគឺរួចទៅហើយពី 55,000 rubles ។

យើងពិចារណា 110% នៃ 55,000 rubles:

55000 1.1 \u003d 60500 rubles ។

នេះមានន័យថាការកើនឡើងភាគរយសម្រាប់ឆ្នាំទី 2 នឹងមានចំនួន 5,500 រូប្លិ៍ហើយសម្រាប់រយៈពេលពីរឆ្នាំ - 10,500 រូប្លិ៍។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចទាយរួចហើយថាក្នុងរយៈពេលបីឆ្នាំចំនួនទឹកប្រាក់នៅក្នុងគណនីនឹងមាន 110% នៃ 60,500 រូប្លិ៍។ នោះគឺ 110% ម្តងទៀត ពីឆ្នាំមុន (ឆ្នាំមុន)បរិមាណ។

នៅទីនេះយើងពិចារណា៖

60500 1.1 \u003d 66550 rubles ។

ហើយឥឡូវនេះយើងបង្កើតចំនួនរូបិយវត្ថុរបស់យើងតាមឆ្នាំតាមលំដាប់លំដោយ៖

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

ដូច្នេះ​យ៉ាង​ម៉េច? ហេតុអ្វីបានជាមិនដំណើរការធរណីមាត្រ? សមាជិកដំបូង ខ 1 = 50000 , និងភាគបែង q = 1,1 . ពាក្យនីមួយៗគឺយ៉ាងតឹងរឹង 1.1 ដងច្រើនជាងពាក្យមុន។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្របតាមនិយមន័យ។ )

ហើយតើប្រាក់រង្វាន់បន្ថែមប៉ុន្មានភាគរយដែលប៉ារបស់អ្នកនឹង "ទម្លាក់ចូល" ខណៈពេលដែលប្រាក់ 50,000 rubles របស់គាត់នៅក្នុងគណនីធនាគារអស់រយៈពេល 3 ឆ្នាំ?

យើងជឿថា៖

66550 - 50000 = 16550 rubles

វាពិតជាអាក្រក់។ ប៉ុន្តែនេះគឺប្រសិនបើចំនួនទឹកប្រាក់ដំបូងនៃការរួមចំណែកមានចំនួនតិចតួច។ ចុះបើមានទៀត? និយាយថាមិនមែន 50 ទេប៉ុន្តែ 200 ពាន់រូប្លិ៍? បន្ទាប់មកការកើនឡើងសម្រាប់រយៈពេលបីឆ្នាំនឹងមាន 66,200 រូប្លិរួចហើយ (ប្រសិនបើអ្នករាប់) ។ មួយណាល្អណាស់) ហើយប្រសិនបើការរួមចំណែកកាន់តែច្រើន? នោះហើយជាអ្វីដែលវាគឺជា ...

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ការរួមចំណែកដំបូងកាន់តែខ្ពស់ មូលធននីយកម្មការប្រាក់ទទួលបានផលចំណេញកាន់តែច្រើន។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលប្រាក់បញ្ញើដែលមានមូលធនការប្រាក់ត្រូវបានផ្តល់ដោយធនាគារសម្រាប់រយៈពេលវែង។ ចូរនិយាយថាប្រាំឆ្នាំ។

ដូចគ្នានេះផងដែរ ជំងឺអាក្រក់គ្រប់ប្រភេទដូចជា គ្រុនផ្តាសាយ កញ្ជ្រឹល និងជំងឺដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាចជាច្រើនទៀត (SARS ដូចគ្នានៅដើមទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 2000 ឬប៉េស្តនៅយុគសម័យកណ្តាល) ចូលចិត្តរីករាលដាលយ៉ាងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ដូច្នេះទំហំនៃជំងឺរាតត្បាត បាទ ...) ហើយទាំងអស់ដោយសារតែការពិតដែលថាការវិវត្តនៃធរណីមាត្រជាមួយ ភាគបែងវិជ្ជមានទាំងមូល (q>1) - របស់ដែលលូតលាស់លឿនណាស់! ចងចាំការបន្តពូជនៃបាក់តេរី៖ ពីបាក់តេរីមួយ ពីរត្រូវបានទទួល ពីពីរទៅបួន ពីបួនទៅប្រាំបី ហើយដូច្នេះនៅលើ ... ជាមួយនឹងការរីករាលដាលនៃការឆ្លងមេរោគណាមួយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា) ។

បញ្ហាសាមញ្ញបំផុតក្នុងដំណើរការធរណីមាត្រ។

ចូរចាប់ផ្តើមដូចរាល់ដងជាមួយនឹងបញ្ហាសាមញ្ញ។ យល់ច្បាស់ពីអត្ថន័យ។

1. គេដឹងថាពាក្យទីពីរនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ 6 ហើយភាគបែងគឺ -0.5 ។ ស្វែងរកពាក្យទីមួយ ទីបី និងទីបួន។

ដូច្នេះយើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ គ្មានទីបញ្ចប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលគេស្គាល់ច្បាស់ សមាជិកទីពីរវឌ្ឍនភាពនេះ៖

b2 = 6

លើសពីនេះទៀតយើងក៏ដឹងដែរ។ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព:

q = -0.5

ហើយអ្នកត្រូវស្វែងរក ទីមួយ ទីបីនិង ទីបួនសមាជិកនៃដំណើរការនេះ។

នៅទីនេះយើងកំពុងសម្តែង។ យើងសរសេរលំដាប់លំដោយយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ដោយផ្ទាល់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌទូទៅដែលសមាជិកទីពីរគឺប្រាំមួយ:

b1,6,ខ 3 , ខ 4 , …

ឥឡូវនេះសូមចាប់ផ្តើមស្វែងរក។ យើងចាប់ផ្តើមដូចរាល់ដង ដោយសាមញ្ញបំផុត។ អ្នកអាចគណនាឧទាហរណ៍ពាក្យទីបី b ៣? អាច! យើងដឹងរួចហើយ (ដោយផ្ទាល់នៅក្នុងន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ) ថាពាក្យទីបី (ខ ៣)ច្រើនជាងមួយវិនាទី (ខ 2 ) ក្នុង "q"ម្តង!

ដូច្នេះយើងសរសេរ៖

b 3 =ខ 2 · q

យើងជំនួសប្រាំមួយនៅក្នុងកន្សោមនេះជំនួសឱ្យ b ២និង -0.5 ជំនួសវិញ។ qហើយយើងគិត។ ហើយដកក៏មិនត្រូវបានគេអើពើដែរ ពិតណាស់...

b 3 \u003d 6 (-0.5) \u003d -3

ដូចនេះ។ ពាក្យទីបីប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ គ្មានឆ្ងល់ទេ៖ ភាគបែងរបស់យើង។ q- អវិជ្ជមាន។ ហើយបូកគុណនឹងដក វានឹងជាដក។)

ឥឡូវ​នេះ យើង​ពិចារណា​អំពី​អាណត្តិ​ទី​បួន​បន្ទាប់​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន៖

b 4 =ខ 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0.5) \u003d 1.5

ពាក្យទីបួនគឺម្តងទៀតជាមួយនឹងបូក។ អាណត្តិទីប្រាំនឹងម្តងទៀតជាមួយដក ទីប្រាំមួយនឹងបូក។ល។ សញ្ញា - ឆ្លាស់គ្នា!

ដូច្នេះ សមាជិកទីបី និងទីបួនត្រូវបានរកឃើញ។ លទ្ធផល​គឺ​ជា​លំដាប់​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

b1; ៦; -៣; ១.៥; …

វានៅសល់ឥឡូវនេះដើម្បីស្វែងរកពាក្យដំបូង b ១នេះបើយោងតាមទីពីរល្បី។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបោះជំហានទៅទិសផ្សេងទៀតទៅខាងឆ្វេង។ នេះមានន័យថា ក្នុងករណីនេះ យើងមិនចាំបាច់គុណពាក្យទីពីរនៃវឌ្ឍនភាពដោយភាគបែងទេ ប៉ុន្តែ ចែករំលែក។

យើងបែងចែកនិងទទួលបាន៖

នោះហើយជាទាំងអស់។) ចម្លើយចំពោះបញ្ហានឹងមានដូចខាងក្រោម៖

-12; 6; -3; 1,5; …

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញគោលការណ៍នៃដំណោះស្រាយគឺដូចគ្នានឹងនៅក្នុង . យើង​ដឹង ណាមួយ។សមាជិក និង ភាគបែងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ - យើងអាចរកឃើញពាក្យផ្សេងទៀត។ អ្វីក៏ដោយដែលយើងចង់បាន យើងនឹងរកឃើញមួយ។) ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាការបូក/ដកត្រូវបានជំនួសដោយគុណ/ចែក។

ចងចាំ៖ ប្រសិនបើយើងស្គាល់យ៉ាងហោចណាស់សមាជិកម្នាក់ និងភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ នោះយើងតែងតែអាចស្វែងរកសមាជិកផ្សេងទៀតនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

ភារកិច្ចដូចខាងក្រោមនេះបើយោងតាមប្រពៃណីគឺមកពីកំណែពិតនៃ OGE:

2.

… ; ១៥០; X; ៦; ១.២; …

ដូច្នេះ​យ៉ាង​ម៉េច? លើក​នេះ​មិន​មាន​ពាក្យ​ដំបូង គ្មាន​ភាគបែង qគ្រាន់​តែ​ជា​លំដាប់​នៃ​លេខ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ ... អ្វី​ដែល​ធ្លាប់​ស្គាល់​ហើយ​មែន​ទេ? បាទ! បញ្ហាស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានដោះស្រាយរួចហើយនៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ!

នៅទីនេះយើងមិនខ្លាចទេ។ ដូចគ្នា​ទាំងអស់។ បើកក្បាលរបស់អ្នក ហើយចងចាំអត្ថន័យបឋមនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ យើងពិនិត្យមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលំដាប់របស់យើង ហើយរកមើលថាតើប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាមួយនៃដំណើរការធរណីមាត្រនៃធាតុសំខាន់ទាំងបី (សមាជិកទីមួយ ភាគបែង លេខសមាជិក) ត្រូវបានលាក់នៅក្នុងនោះ។

លេខសមាជិក? គ្មាន​លេខ​សមាជិក​ទេ បាទ… ប៉ុន្តែ​មាន​បួន បន្តបន្ទាប់លេខ។ តើពាក្យនេះមានន័យយ៉ាងណា ខ្ញុំមិនឃើញចំណុចក្នុងការពន្យល់នៅដំណាក់កាលនេះទេ។) តើមានពីរ អ្នកជិតខាងស្គាល់លេខ?មាន! ទាំងនេះគឺ 6 និង 1.2 ។ ដូច្នេះយើងអាចរកឃើញ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។ដូច្នេះយើងយកលេខ 1.2 ហើយចែក ទៅលេខមុន។សម្រាប់ប្រាំមួយ។

យើង​ទទួល​បាន:

យើង​ទទួល​បាន:

x= 150 0.2 = 30

ចម្លើយ៖ x = 30 .

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ ការលំបាកចម្បងគឺមានតែនៅក្នុងការគណនាប៉ុណ្ណោះ។ វាមានការលំបាកជាពិសេសនៅក្នុងករណីនៃភាគបែងអវិជ្ជមាន និងប្រភាគ។ ដូច្នេះ​អ្នក​ដែល​មាន​បញ្ហា ចូរ​ធ្វើ​លេខ​នព្វន្ធ​ឡើងវិញ! របៀបធ្វើការជាមួយប្រភាគ របៀបធ្វើការជាមួយលេខអវិជ្ជមាន ហើយដូច្នេះនៅលើ ... បើមិនដូច្នេះទេ អ្នកនឹងបន្ថយល្បឿនដោយគ្មានមេត្តានៅទីនេះ។

ឥឡូវនេះសូមផ្លាស់ប្តូរបញ្ហាបន្តិច។ ឥឡូវនេះវានឹងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍! ចូរយើងដកលេខចុងក្រោយ 1.2 នៅក្នុងនោះ។ តោះដោះស្រាយបញ្ហានេះឥឡូវនេះ៖

3. លក្ខខណ្ឌជាប់ៗគ្នាជាច្រើននៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានសរសេរចេញ៖

… ; ១៥០; X; ៦; …

ស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាព តំណាងដោយអក្សរ x ។

អ្វីៗគឺដូចគ្នា មានតែអ្នកជិតខាងពីរនាក់ប៉ុណ្ណោះ។ ល្បីយើងលែងមានសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពទៀតហើយ។ នេះគឺជាបញ្ហាចម្បង។ ដោយសារតែទំហំ qតាមរយៈពាក្យដែលនៅជិតខាងពីរ យើងអាចកំណត់បានយ៉ាងងាយស្រួល យើងមិនអាច។តើយើងមានឱកាសជួបបញ្ហាទេ? ប្រាកដណាស់!

ចូរយើងសរសេរពាក្យដែលមិនស្គាល់ " x"ដោយផ្ទាល់នៅក្នុងន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ! នៅក្នុងពាក្យទូទៅ។

បាទ​បាទ! ដោយផ្ទាល់ជាមួយភាគបែងដែលមិនស្គាល់!

នៅលើដៃមួយសម្រាប់ x យើងអាចសរសេរសមាមាត្រដូចខាងក្រោម:

x= ១៥០q

ម៉្យាងវិញទៀត យើងមានសិទ្ធិគ្រប់បែបយ៉ាងក្នុងការគូររូប X ដូចគ្នា។ បន្ទាប់សមាជិកតាមរយៈប្រាំមួយ! ចែកប្រាំមួយដោយភាគបែង។

ដូចនេះ៖

x = 6/ q

ជាក់ស្តែង ឥឡូវនេះ យើងអាចស្មើគ្នានូវសមាមាត្រទាំងពីរនេះ។ ចាប់តាំងពីយើងកំពុងបង្ហាញ ដូច​គ្នាតម្លៃ (x) ប៉ុន្តែពីរ វិធី​ផ្សេង​គ្នា។

យើងទទួលបានសមីការ៖

គុណនឹងអ្វីៗទាំងអស់។ qធ្វើឱ្យសាមញ្ញ កាត់បន្ថយ យើងទទួលបានសមីការ៖

q 2 \u003d 1/25

យើងដោះស្រាយនិងទទួលបាន៖

q = ±1/5 = ±0.2

ឱ! ភាគបែងគឺទ្វេដង! +0.2 និង -0.2 ។ ហើយត្រូវជ្រើសរើសមួយណា? ចុង​បញ្ចប់​បាន​ស្លាប់?

ស្ងប់ស្ងាត់! បាទ បញ្ហាពិតជាមាន ដំណោះស្រាយពីរ!មិនមានអ្វីខុសជាមួយនោះទេ។ វាកើតឡើង។) អ្នកមិនភ្ញាក់ផ្អើលទេ នៅពេលដែលឧទាហរណ៍ អ្នកទទួលបានឫសពីរដោយការដោះស្រាយធម្មតា? វាជារឿងដូចគ្នានៅទីនេះ។ )

សម្រាប់ q = +0.2យើងនឹងទទួលបាន៖

X \u003d 150 0.2 \u003d ៣០

និងសម្រាប់ q = -0,2 នឹង៖

X = 150 (-0.2) = −30

យើងទទួលបានចម្លើយពីរដង៖ x = 30; x = -30.

តើការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នេះមានន័យយ៉ាងណា? ហើយអ្វីដែលមាន វឌ្ឍនភាពពីរ, បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា!

ដូចអ្នកទាំងនេះ៖

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

ទាំងពីរគឺសមរម្យ។) តើអ្នកគិតថាអ្វីជាហេតុផលសម្រាប់ចំលើយនៃចម្លើយ? គ្រាន់តែដោយសារតែការលុបបំបាត់សមាជិកជាក់លាក់នៃវឌ្ឍនភាព (1,2) កើតឡើងបន្ទាប់ពីប្រាំមួយ។ ហើយការដឹងតែសមាជិកមុន (n-1)-th និងបន្តបន្ទាប់ (n+1)-th នៃដំណើរការធរណីមាត្រ យើងមិនអាចនិយាយអ្វីបានច្បាស់លាស់អំពីសមាជិក n-th ដែលឈរនៅចន្លោះពួកវាទៀតទេ។ មានជម្រើសពីរ - បូកនិងដក។

ប៉ុន្តែវាមិនមានបញ្ហាទេ។ តាមក្បួនមួយនៅក្នុងភារកិច្ចសម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រមានព័ត៌មានបន្ថែមដែលផ្តល់ចម្លើយមិនច្បាស់លាស់។ ចូរនិយាយពាក្យ៖ "ការវិវត្តនៃសញ្ញាជំនួស"ឬ "វឌ្ឍនភាពជាមួយភាគបែងវិជ្ជមាន"ហើយដូច្នេះនៅលើ... វាគឺជាពាក្យទាំងនេះ ដែលគួរតែប្រើជាតម្រុយមួយ ដែលសញ្ញាបូក ឬដក គួរតែត្រូវបានជ្រើសរើស នៅពេលបង្កើតចម្លើយចុងក្រោយ។ ប្រសិនបើមិនមានព័ត៌មានបែបនេះទេនោះ - បាទភារកិច្ចនឹងមាន ដំណោះស្រាយពីរ។)

ហើយឥឡូវនេះយើងសម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង។

4. កំណត់ថាតើលេខ 20 នឹងក្លាយជាសមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែរឬទេ៖

4 ; 6; 9; …

5. វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រឆ្លាស់គ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

…; 5; x ; 45; …

ស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាពដែលបង្ហាញដោយអក្សរ x .

6. ស្វែងរកពាក្យវិជ្ជមានទីបួននៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖

625; -250; 100; …

7. ពាក្យទីពីរនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺ -360 ហើយពាក្យទីប្រាំរបស់វាគឺ 23.04 ។ ស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

ចំលើយ (ក្នុងភាពច្របូកច្របល់): -15; ៩០០; ទេ ២.៥៦.

សូមអបអរសាទរប្រសិនបើអ្វីៗដំណើរការ!

មានអ្វីមួយមិនសម? តើមានចម្លើយពីរដងនៅកន្លែងណាមួយទេ? យើងអានលក្ខខណ្ឌនៃការងារដោយយកចិត្តទុកដាក់!

ល្បែងផ្គុំរូបចុងក្រោយមិនដំណើរការទេ? មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញទេ។) យើងធ្វើការដោយផ្ទាល់ទៅតាមអត្ថន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកអាចគូររូបភាពមួយ។ វា​អាច​ជួយ។)

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺបឋម។ ប្រសិនបើវឌ្ឍនភាពខ្លី។ ចុះបើវាវែង? ឬចំនួនសមាជិកដែលចង់បានគឺធំណាស់? ខ្ញុំចង់ដោយការប្រៀបធៀបជាមួយនឹងដំណើរការនព្វន្ធ ដើម្បីដូចម្ដេចបាននូវរូបមន្តងាយស្រួលដែលធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក ណាមួយ។សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រណាមួយ។ តាមលេខរបស់គាត់។ដោយមិនគុណច្រើន ច្រើនដង q. ហើយមានរូបមន្តបែបនេះ!) ព័ត៌មានលម្អិត - នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។

លំដាប់លេខ VI

§ l48 ។ ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់

រហូតមកដល់ពេលនេះ បើនិយាយអំពីផលបូក យើងតែងតែសន្មតថាចំនួននៃពាក្យនៅក្នុងផលបូកទាំងនេះគឺកំណត់ (ឧទាហរណ៍ 2, 15, 1000 ។ល។)។ ប៉ុន្តែនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន (ជាពិសេសគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង) មនុស្សម្នាក់ត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងផលបូកនៃចំនួនពាក្យដែលគ្មានកំណត់។

ស = ក 1 + ក 2 + ... + ក ន + ... . (1)

តើបរិមាណទាំងនេះជាអ្វី? A-priory ផលបូកនៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃពាក្យ ក 1 , ក 2 , ..., ក ន , ... ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃផលបូក S ន ដំបូង ទំ លេខនៅពេល ទំ -> ∞ :

S=S ន = (ក 1 + ក 2 + ... + ក ន ). (2)

ដែនកំណត់ (2) ពិតណាស់អាចមាន ឬមិនអាចមាន។ ដូច្នោះ ផលបូក (១) ត្រូវបានគេនិយាយថាមាន ឬមិនមាន។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកឱ្យឃើញថាតើផលបូក (1) មាននៅក្នុងករណីជាក់លាក់នីមួយៗ? ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសំណួរនេះហួសពីវិសាលភាពនៃកម្មវិធីរបស់យើង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានករណីពិសេសដ៏សំខាន់មួយដែលយើងត្រូវពិចារណាឥឡូវនេះ។ យើងនឹងនិយាយអំពីការបូកសរុបនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះជាលំដាប់។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ក 1 , ក 1 q , ក 1 q 2 , ... គឺ​ជា​ការ​រីក​ចម្រើន​ធរណីមាត្រ​ដែល​មាន​ការ​ថយ​ចុះ​មិន​ចេះ​ចប់។ មានន័យថា | q |< 1. Сумма первых ទំ សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនេះគឺស្មើនឹង

ពីទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានលើដែនកំណត់នៃអថេរ (សូមមើល§ ១៣៦) យើងទទួលបាន៖

ប៉ុន្តែ 1 = 1, ក q ន = 0. ដូច្នេះ

ដូច្នេះ ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់គឺស្មើនឹងពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ ចែកដោយមួយដកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

1) ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... គឺ

ហើយផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺ 12; -៦; ៣; - ៣/២ , ... ស្មើ

2) ប្រភាគតាមកាលកំណត់សាមញ្ញ 0.454545 ... ប្រែទៅជាធម្មតា។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងតំណាងឱ្យប្រភាគនេះជាផលបូកគ្មានកំណត់៖

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនេះគឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះជាលំដាប់ ដែលពាក្យទីមួយគឺ 45/100 ហើយភាគបែងគឺ 1/100។ ដូច្នេះ

តាមរបៀបដែលបានពិពណ៌នា ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការបំប្លែងប្រភាគតាមកាលកំណត់ធម្មតាទៅជាប្រភាគធម្មតាក៏អាចទទួលបានដែរ (សូមមើលជំពូកទី II § 38)៖

ដើម្បីបំប្លែងប្រភាគតាមកាលកំណត់ធម្មតាទៅជាប្រភាគធម្មតា អ្នកត្រូវបន្តដូចខាងក្រោម៖ ដាក់រយៈពេលនៃប្រភាគទសភាគក្នុងភាគយក និងក្នុងភាគបែង - លេខដែលមានប្រាំបួនយកច្រើនដងដូចដែលមានលេខក្នុងលេខ នៃប្រភាគទសភាគ។

3) ប្រភាគតាមកាលកំណត់ចម្រុះ 0.58333 .... ប្រែទៅជាប្រភាគធម្មតា។

ចូរតំណាងឱ្យប្រភាគនេះជាផលបូកគ្មានកំណត់៖

នៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនេះ ពាក្យទាំងអស់ ចាប់ផ្តើមពី 3/1000 បង្កើតជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ ដែលពាក្យទីមួយគឺ 3/1000 ហើយភាគបែងគឺ 1/10។ ដូច្នេះ

នៅក្នុងលក្ខណៈដែលបានពិពណ៌នា ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការបំប្លែងប្រភាគតាមកាលកំណត់ចម្រុះទៅជាប្រភាគធម្មតាក៏អាចទទួលបានដែរ (សូមមើលជំពូកទី II § 38)។ យើងមិនបញ្ចូលវានៅទីនេះដោយចេតនាទេ។ មិនចាំបាច់ទន្ទេញច្បាប់ដ៏លំបាកនេះទេ។ វាមានប្រយោជន៍ជាងក្នុងការដឹងថាប្រភាគតាមកាលកំណត់ចម្រុះណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ និងចំនួនមួយចំនួន។ និងរូបមន្ត

សម្រាប់ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះមិនចេះចប់ ត្រូវតែចងចាំ។

ក្នុងនាមជាលំហាត់មួយ យើងស្នើឱ្យអ្នកបន្ថែមលើបញ្ហាលេខ 995-1000 ដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម ជាថ្មីម្តងទៀត ងាកទៅរកបញ្ហាលេខ 301 § 38 ។

លំហាត់

995. អ្វីទៅដែលហៅថាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់?

996. ស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់៖

997. សម្រាប់តម្លៃអ្វី X វឌ្ឍនភាព

ថយចុះជាលំដាប់? ស្វែងរកផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពបែបនេះ។

998. នៅក្នុងត្រីកោណសមមូលដែលមានចំហៀង ក ត្រីកោណថ្មីត្រូវបានចារឹកដោយភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃភាគីរបស់វា។ ត្រីកោណថ្មីត្រូវបានចារឹកក្នុងត្រីកោណនេះតាមរបៀបដូចគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានដែនកំណត់។

ក) ផលបូកនៃបរិវេណនៃត្រីកោណទាំងនេះ;

ខ) ផលបូកនៃតំបន់របស់ពួកគេ។

999. នៅក្នុងការ៉េដែលមានចំហៀង ក ការ៉េថ្មីត្រូវបានចារឹកដោយភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃភាគីរបស់វា។ ការ៉េមួយត្រូវបានចារឹកក្នុងការ៉េនេះតាមរបៀបដូចគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានកំណត់។ រកផលបូកនៃបរិវេណនៃការ៉េទាំងអស់នេះ និងផលបូកនៃតំបន់របស់វា។

1000. ធ្វើឱ្យដំណើរការធរណីមាត្រថយចុះឥតកំណត់ ដូចជាផលបូករបស់វាស្មើនឹង 25/4 ហើយផលបូកនៃការ៉េនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វាស្មើនឹង 625/24 ។

ឧទាហរណ៍, លំដាប់ \(3\); \(6\); \\(១២\); \(24\); \(48\)... គឺជាការវិវឌ្ឍធរណីមាត្រ ពីព្រោះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីធាតុមុនដោយកត្តាពីរ (និយាយម្យ៉ាងទៀត វាអាចទទួលបានពីធាតុមុនដោយគុណនឹងពីរ)៖

ដូច​លំដាប់​ណា​មួយ ការ​វិវត្ត​ធរណីមាត្រ​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​អក្សរ​ឡាតាំង​តូច។ លេខដែលបង្កើតបានជាវឌ្ឍនភាពត្រូវបានគេហៅថា សមាជិក(ឬធាតុ) ។ ពួកវាត្រូវបានតាងដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងដំណើរការធរណីមាត្រ ប៉ុន្តែមានលិបិក្រមលេខស្មើនឹងលេខធាតុតាមលំដាប់លំដោយ។

ឧទាហរណ៍វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\) មានធាតុ \(b_1=3\); \\(b_2=6\); \(b_3=12\) និងបន្តបន្ទាប់ទៀត។ ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត:

ប្រសិនបើអ្នកយល់ពីព័ត៌មានខាងលើ អ្នកនឹងអាចដោះស្រាយបញ្ហាភាគច្រើនលើប្រធានបទនេះរួចហើយ។

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ : \(-686\).

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ ដែលបានផ្តល់ឱ្យលក្ខខណ្ឌបីដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព \(324\); \(-១០៨\); \(៣៦\)…. ស្វែងរក \(b_5\) ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

	ដើម្បីបន្តលំដាប់ យើងត្រូវស្គាល់ភាគបែង។ ចូរយើងស្វែងរកវាពីធាតុជិតខាងពីរ៖ តើអ្វីគួរ \(324\) ត្រូវគុណនឹង \(-108\)?
\(324 q=-108\)	ពីទីនេះយើងអាចគណនាភាគបែងបានយ៉ាងងាយស្រួល។
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	ឥឡូវនេះយើងអាចស្វែងរកធាតុដែលយើងត្រូវការបានយ៉ាងងាយស្រួល។
	ចម្លើយរួចរាល់។

ចម្លើយ : \(4\).

ឧទាហរណ៍៖ វឌ្ឍនភាពត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_n=0.8 5^n\) ។ តើលេខមួយណាជាសមាជិកនៃដំណើរការនេះ៖

ក) \(-៥\) ខ) \(១០០\) គ) \(២៥\) ឃ) \(០.៨\) ?

ការសម្រេចចិត្ត៖ ពីពាក្យនៃភារកិច្ចវាច្បាស់ណាស់ថាលេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះគឺពិតជានៅក្នុងដំណើរការរបស់យើង។ ដូច្នេះហើយ យើងគ្រាន់តែអាចគណនាសមាជិករបស់វាម្តងមួយៗ រហូតដល់យើងរកឃើញតម្លៃដែលយើងត្រូវការ។ ដោយសារការវិវត្តរបស់យើងត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត យើងគណនាតម្លៃនៃធាតុដោយជំនួសភាពខុសគ្នា \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – មិនមានលេខបែបនេះនៅក្នុងបញ្ជីទេ។ យើងបន្ត។
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - ហើយនេះក៏មិននៅទីនោះដែរ។
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – ហើយនេះគឺជាជើងឯករបស់យើង!

ចម្លើយ៖ \(100\).

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ សមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការធរណីមាត្រ …\(8\) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ \(x\); \\ (ហាសិប \\); \(-១២៥\)…។ ស្វែងរកតម្លៃនៃធាតុដែលតំណាងដោយអក្សរ \(x\) ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(-20\).

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ វឌ្ឍនភាពត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូង \(4\) នៃដំណើរការនេះ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(105\).

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ វាត្រូវបានគេដឹងថាអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល \(b_6=-11\),\(b_9=704\) ។ ស្វែងរកភាគបែង \(q\) ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

	វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីដ្យាក្រាមនៅខាងឆ្វេងថាដើម្បី "ទទួលបាន" ពី \ (b_6 \) ទៅ \ (b_9 \) - យើងយក "ជំហាន" ចំនួនបី នោះគឺយើងគុណ \ (b_6 \) បីដងដោយ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\) ។
\(b_9=b_6 q^3\)	ជំនួសតម្លៃដែលយើងដឹង។
\(704=(-11)q^3\)	"បញ្ច្រាស" សមីការហើយចែកវាដោយ \((-១១)\) ។
\\(q^3=\) \\(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\:⇔ \:\:\:\)\(q^3=-\) \(64 \)	តើលេខគូបមួយណាផ្តល់ឱ្យ \(-64\)? ជាការពិតណាស់ \(-៤\)!
	បានរកឃើញចម្លើយ។ វាអាចត្រូវបានពិនិត្យដោយស្ដារខ្សែសង្វាក់លេខពី \(-11\) ទៅ \(704\) ។
	ទាំងអស់យល់ព្រម - ចម្លើយគឺត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ៖ \(-4\).

រូបមន្តសំខាន់បំផុត

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ បញ្ហាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រភាគច្រើនអាចដោះស្រាយបានដោយតក្កវិជ្ជាសុទ្ធ ដោយគ្រាន់តែស្វែងយល់ពីខ្លឹមសារ (ជាទូទៅនេះគឺជាលក្ខណៈនៃគណិតវិទ្យា)។ ប៉ុន្តែពេលខ្លះ ចំណេះដឹងអំពីរូបមន្ត និងគំរូមួយចំនួនបង្កើនល្បឿន និងជួយសម្រួលដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។ យើងនឹងសិក្សារូបមន្តពីរបែបនេះ។

រូបមន្តសម្រាប់ \(n\) សមាជិកទីគឺ៖ \(b_n=b_1 q^(n-1)\) ដែល \(b_1\) គឺជាសមាជិកទីមួយនៃដំណើរការ។ \(n\) - ចំនួននៃធាតុដែលត្រូវការ; \(q\) គឺជាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព; \(b_n\) គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការដែលមានលេខ \(n\) ។

ជាឧទាហរណ៍ ដោយប្រើរូបមន្តនេះ អ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាពីឧទាហរណ៍ដំបូងត្រឹមតែមួយជំហានប៉ុណ្ណោះ។

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_1=-2\); \\(q=7\) ។ ស្វែងរក \(b_4\) ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(-686\).

ឧទាហរណ៍នេះគឺសាមញ្ញ ដូច្នេះរូបមន្តមិនធ្វើឱ្យការគណនាងាយស្រួលសម្រាប់យើងច្រើនពេកទេ។ សូមក្រឡេកមើលបញ្ហាកាន់តែស្មុគស្មាញបន្តិច។

ឧទាហរណ៍៖ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_1=20480\); \\ (q = \\ frac (1) (2) \\) ។ ស្វែងរក \(b_(12)\) ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(10\).

ជាការពិតណាស់ ការបង្កើន \(\frac(1)(2)\) ទៅ \(11\)th power គឺមិនរីករាយខ្លាំងនោះទេ ប៉ុន្តែនៅតែងាយស្រួលជាង \(11\) បែងចែក \(20480\) ជាពីរ។

ផលបូក \(n\) នៃពាក្យទីមួយ៖ \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) ដែល \(b_1\) ជាពាក្យដំបូង នៃការវិវត្តន៍; \(n\) - ចំនួន​ធាតុ​សរុប; \(q\) គឺជាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព; \(S_n\) គឺជាផលបូក \(n\) នៃសមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ បានផ្ដល់ឱ្យនូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ \(b_n\) ដែលភាគបែងគឺ \(5\) និងពាក្យទីមួយ \(b_1=\frac(2)(5)\) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(1562,4\).

ហើយម្តងទៀតយើងអាចដោះស្រាយបញ្ហា "នៅលើថ្ងាស" - ស្វែងរកធាតុទាំងប្រាំមួយនៅក្នុងវេនហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមលទ្ធផល។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំនួននៃការគណនា ដូច្នេះហើយឱកាសនៃកំហុសចៃដន្យនឹងកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំង។

សម្រាប់ដំណើរការធរណីមាត្រ មានរូបមន្តជាច្រើនទៀតដែលយើងមិនបានពិចារណានៅទីនេះ ដោយសារការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែងទាប។ អ្នកអាចរកឃើញរូបមន្តទាំងនេះ។

ការកើនឡើងនិងការថយចុះវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

វឌ្ឍនភាព \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\) ដែលពិចារណានៅដើមអត្ថបទមានភាគបែង \(q\) ធំជាងមួយ ហើយដូច្នេះពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗគឺធំជាង មួយមុន។ វឌ្ឍនភាពបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង.

ប្រសិនបើ \(q\) តិចជាងមួយ ប៉ុន្តែជាវិជ្ជមាន (នោះគឺស្ថិតនៅចន្លោះសូន្យ និងមួយ) នោះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗនឹងតិចជាងធាតុមុន។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងដំណើរការ \(4\); \\(2\); \(មួយ\); \(0.5\); \(0.25\)… ភាគបែងនៃ \(q\) គឺ \(\frac(1)(2)\) ។

វឌ្ឍនភាពទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ថយចុះ. ចំណាំថាគ្មានធាតុណាមួយនៃដំណើរការនេះមានលក្ខណៈអវិជ្ជមានទេ ពួកគេគ្រាន់តែកាន់តែតូចទៅៗជាមួយនឹងជំហាននីមួយៗ។ នោះ​គឺ​យើង​នឹង​ឈាន​ដល់​សូន្យ​បន្តិច​ម្ដងៗ ប៉ុន្តែ​យើង​នឹង​មិន​ទៅ​ដល់​វា​ឡើយ ហើយ​យើង​នឹង​មិន​ទៅ​ហួស​វា​ឡើយ។ គណិតវិទូនៅក្នុងករណីបែបនេះនិយាយថា "ទំនោរទៅសូន្យ" ។

ចំណាំថាជាមួយនឹងភាគបែងអវិជ្ជមាន ធាតុនៃដំណើរការធរណីមាត្រនឹងចាំបាច់ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។ ឧទាហរណ៍, វឌ្ឍនភាព \(5\); \(-ដប់ប្រាំ\); \(45\); \\(-១៣៥\); \(675\)... ភាគបែងនៃ \(q\) គឺ \(-3\) ហើយដោយសារតែនេះ សញ្ញានៃធាតុ "ព្រិចភ្នែក" ។

តោះពិចារណាស៊េរី។

7 28 112 448 1792...

វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃនៃធាតុណាមួយរបស់វាពិតជាធំជាងចំនួនមុន 4 ដង។ ដូច្នេះស៊េរីនេះគឺជាការវិវត្ត។

ការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខគ្មានកំណត់ ដែលលក្ខណៈពិសេសចម្បងនោះគឺថាលេខបន្ទាប់ត្រូវបានទទួលពីលេខមុនដោយគុណនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយចំនួន។ នេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម។

a z +1 =a z q ដែល z ជាចំនួននៃធាតុដែលបានជ្រើសរើស។

ដូច្នោះហើយ z ∈ N ។

រយៈពេលដែលការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រត្រូវបានសិក្សានៅសាលាគឺថ្នាក់ទី 9 ។ ឧទាហរណ៍នឹងជួយអ្នកឱ្យយល់អំពីគំនិត៖

0.25 0.125 0.0625...

ផ្អែកលើរូបមន្តនេះ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពអាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម៖

ទាំង q ឬ b z មិនអាចជាសូន្យបានទេ។ ផងដែរ ធាតុនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពមិនគួរស្មើនឹងសូន្យទេ។

ដូច្នោះហើយ ដើម្បីស្វែងរកលេខបន្ទាប់ក្នុងស៊េរី អ្នកត្រូវគុណលេខចុងក្រោយដោយ q ។

ដើម្បីបញ្ជាក់វឌ្ឍនភាពនេះ អ្នកត្រូវតែបញ្ជាក់ធាតុទីមួយ និងភាគបែងរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនោះ គេអាចស្វែងរកពាក្យបន្តបន្ទាប់ណាមួយ និងផលបូករបស់វា។

ពូជ

អាស្រ័យលើ q និង a 1 ការវិវត្តនេះត្រូវបានបែងចែកជាប្រភេទជាច្រើន៖

• ប្រសិនបើទាំង 1 និង q ធំជាងមួយ នោះលំដាប់បែបនេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែលកើនឡើងជាមួយនឹងធាតុបន្ទាប់នីមួយៗ។ ឧទាហរណ៍នៃការបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍៖ a 1 =3, q=2 - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺធំជាងមួយ។

បន្ទាប់មក លំដាប់លេខអាចសរសេរដូចនេះ៖

3 6 12 24 48 ...

• បើ |q| តិចជាងមួយ នោះគឺការគុណដោយវាស្មើនឹងការបែងចែក បន្ទាប់មកការវិវឌ្ឍន៍ដែលមានលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាគឺជាការថយចុះនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ឧទាហរណ៍នៃការបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍៖ a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 គឺធំជាងមួយ, q គឺតិចជាង។

បន្ទាប់មក លំដាប់លេខអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖

6 2 2/3 ... - ធាតុណាមួយគឺធំជាងធាតុបន្ទាប់ 3 ដង។

• សញ្ញា-អថេរ។ ប្រសិនបើ q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ឧទាហរណ៍៖ a 1 = -3 , q = -2 - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺតិចជាងសូន្យ។

បន្ទាប់មកលំដាប់អាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

3, 6, -12, 24,...

រូបមន្ត

សម្រាប់ការប្រើប្រាស់ងាយស្រួលនៃដំណើរការធរណីមាត្រ មានរូបមន្តជាច្រើន៖

• រូបមន្តនៃសមាជិក z-th ។ អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាធាតុនៅក្រោមលេខជាក់លាក់មួយដោយមិនចាំបាច់គណនាលេខពីមុន។

ឧទាហរណ៍៖q = 3, ក 1 = 4. តំរូវអោយគណនាធាតុទី 4 នៃវឌ្ឍនភាព។

ការសម្រេចចិត្ត៖ក 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• ផលបូកនៃធាតុទីមួយដែលមានលេខ z. អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាផលបូកនៃធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់រហូតដល់a zបញ្ចូល​គ្នា។

ចាប់តាំងពី (1-q) គឺនៅក្នុងភាគបែង បន្ទាប់មក (1 - q)≠ 0 ដូច្នេះ q មិនស្មើនឹង 1 ។

ចំណាំ៖ ប្រសិនបើ q=1 នោះការវិវត្តនឹងជាស៊េរីនៃចំនួនដែលកើតឡើងដដែលៗគ្មានកំណត់។

ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ឧទាហរណ៍៖ក 1 = 2, q= -២. គណនា S 5 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ស 5 = 22 - ការគណនាតាមរូបមន្ត។

• ចំនួនទឹកប្រាក់ប្រសិនបើ |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ឧទាហរណ៍៖ក 1 = 2 , q= 0.5 ។ ស្វែងរកបរិមាណ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ស = 2 · = 4

ស = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន៖

• ទ្រព្យសម្បត្តិលក្ខណៈ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម បានអនុវត្តសម្រាប់ណាមួយ។zបន្ទាប់មក ស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖

a z 2 = a z -1 · កz+1

• ដូចគ្នានេះផងដែរ ការេនៃចំនួនណាមួយនៃដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានរកឃើញដោយបន្ថែមការេនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀតនៅក្នុងស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើពួកវាស្មើគ្នាពីធាតុនេះ។

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 កន្លែងណាtគឺជាចំងាយរវាងលេខទាំងនេះ។

• ធាតុខុសគ្នានៅក្នុង qម្តង។
• លោការីតនៃធាតុវឌ្ឍនភាពក៏បង្កើតជាវឌ្ឍនភាពដែរ ប៉ុន្តែនព្វន្ធរួចហើយ ពោលគឺពួកវានីមួយៗធំជាងធាតុមុនដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាបុរាណមួយចំនួន

ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់ថាតើការវិវត្តនៃធរណីមាត្រជាអ្វីនោះ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 អាចជួយបាន។

• លក្ខខណ្ឌ៖ក 1 = 3, ក 3 = 48. រកq.

ដំណោះស្រាយ៖ ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគឺធំជាងធាតុមុននៅក្នុងq ម្តង។វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញធាតុមួយចំនួនតាមរយៈធាតុផ្សេងទៀតដោយប្រើភាគបែង។

អាស្រ័យហេតុនេះក 3 = q 2 · ក 1

នៅពេលជំនួសq= 4

• លក្ខខណ្ឌ៖ក 2 = 6, ក 3 = 12. គណនា S 6 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការស្វែងរក q ដែលជាធាតុទីមួយហើយជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្ត។

ក 3 = q· ក 2 ដូចនេះq= 2

a 2 = q a 1 ,នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល a 1 = 3

ស ៦ = 189

• · ក 1 = 10, q= -២. ស្វែងរកធាតុទីបួននៃវឌ្ឍនភាព។

ដំណោះ​ស្រាយ៖ ដើម្បី​ធ្វើ​បែប​នេះ វា​គ្រប់គ្រាន់​ដើម្បី​បង្ហាញ​ធាតុ​ទី​បួន​តាម​រយៈ​ធាតុ​ទីមួយ និង​តាម​ភាគបែង។

a 4 = q 3· a 1 = -80

ឧទាហរណ៍កម្មវិធី៖

• អតិថិជនរបស់ធនាគារបានដាក់ប្រាក់បញ្ញើក្នុងចំនួន 10,000 rubles ក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលជារៀងរាល់ឆ្នាំអតិថិជននឹងបន្ថែម 6% នៃវាទៅក្នុងចំនួនទឹកប្រាក់ដើម។ តើលុយនឹងមាននៅក្នុងគណនីប៉ុន្មានបន្ទាប់ពី 4 ឆ្នាំ?

ដំណោះស្រាយ: ចំនួនទឹកប្រាក់ដំបូងគឺ 10 ពាន់រូប្លិ៍។ ដូច្នេះមួយឆ្នាំបន្ទាប់ពីការវិនិយោគ គណនីនឹងមានចំនួនទឹកប្រាក់ស្មើនឹង 10,000 + 10,000 ។ · 0.06 = 10000 1.06

ដូច្នោះហើយចំនួនទឹកប្រាក់នៅក្នុងគណនីបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំទៀតនឹងត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

នោះគឺជារៀងរាល់ឆ្នាំបរិមាណកើនឡើង 1.06 ដង។ នេះមានន័យថាដើម្បីស្វែងរកបរិមាណមូលនិធិនៅក្នុងគណនីបន្ទាប់ពី 4 ឆ្នាំវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកធាតុទី 4 នៃវឌ្ឍនភាពដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុទីមួយស្មើនឹង 10 ពាន់ហើយភាគបែងស្មើនឹង 1.06 ។

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់គណនាផលបូក៖

នៅក្នុងបញ្ហាផ្សេងៗ ដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដូចខាងក្រោម:

ក 1 = 4, q= 2, គណនាស៥.

ដំណោះស្រាយ៖ ទិន្នន័យទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការគណនាត្រូវបានគេស្គាល់ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ។

ស 5 = 124

• ក 2 = 6, ក 3 = 18. គណនាផលបូកនៃធាតុទាំងប្រាំមួយដំបូង។

ការសម្រេចចិត្ត៖

Geom វឌ្ឍនភាព ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគឺ q ដងធំជាងធាតុមុន ពោលគឺ ដើម្បីគណនាផលបូក អ្នកត្រូវដឹងពីធាតុក 1 និងភាគបែងq.

ក 2 · q = ក 3

q = 3

ដូចគ្នាដែរ យើងត្រូវស្វែងរកក 1 , ដឹងក 2 និងq.

ក 1 · q = ក 2

a 1 =2

ស 6 = 728.

សូមពិចារណាឥឡូវនេះនូវសំណួរនៃការបូកសរុបនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគ្មានកំណត់។ ចូរ​យើង​ហៅ​ផលបូក​ផ្នែក​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​គ្មាន​កំណត់​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​ជា​ផលបូក​នៃ​លក្ខខណ្ឌ​ដំបូង​របស់​វា។ សម្គាល់ផលបូកផ្នែកដោយនិមិត្តសញ្ញា

សម្រាប់រាល់ការវិវឌ្ឍន៍គ្មានកំណត់

មនុស្សម្នាក់អាចបង្កើតលំដាប់ (គ្មានកំណត់) នៃផលបូកផ្នែករបស់វា។

សូមឱ្យលំដាប់ដែលមានការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់មានដែនកំណត់

ក្នុងករណីនេះ លេខ S, i.e., ដែនកំណត់នៃផលបូកមួយផ្នែកនៃវឌ្ឍនភាព ត្រូវបានគេហៅថាផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពគ្មានកំណត់។ យើងនឹងបង្ហាញថា វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះគ្មានកំណត់ តែងតែមានផលបូក ហើយទាញយករូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនេះ (យើងក៏អាចបង្ហាញថា សម្រាប់វឌ្ឍនភាពគ្មានកំណត់ មិនមានផលបូក មិនមានទេ)។

យើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់ផលបូកផ្នែកដែលជាផលបូកនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពយោងតាមរូបមន្ត (91.1) ហើយពិចារណាដែនកំណត់នៃផលបូកផ្នែកនៅ

ពីទ្រឹស្តីបទនៃធាតុទី 89 វាត្រូវបានគេស្គាល់ថាសម្រាប់ការថយចុះនៃដំណើរការ ; ដូច្នេះហើយ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ភាពខុសគ្នា យើងរកឃើញ

(ច្បាប់នេះក៏ត្រូវបានគេប្រើនៅទីនេះផងដែរ៖ កត្តាថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដែនកំណត់) ។ អត្ថិភាព​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ ហើយ​ក្នុង​ពេល​ជាមួយ​គ្នា​នេះ​រូបមន្ត​សម្រាប់​ផល​បូក​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​ធរណីមាត្រ​ដែល​មាន​ការ​ថយ​ចុះ​គ្មាន​កំណត់​ត្រូវ​បាន​ទទួល៖

សមភាព (៩២.១) ក៏អាចសរសេរជា

នៅទីនេះវាហាក់ដូចជាផ្ទុយស្រឡះដែលតម្លៃកំណត់ដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អត្រូវបានផ្តល់ទៅឱ្យផលបូកនៃសំណុំពាក្យគ្មានកំណត់។

រូបភាពច្បាស់លាស់អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដើម្បីពន្យល់ពីស្ថានភាពនេះ។ ពិចារណាការ៉េដែលមានផ្នែកម្ខាងស្មើនឹងមួយ (រូបភាព 72) ។ ចូរ​យើង​បែងចែក​ការ៉េ​នេះ​ដោយ​បន្ទាត់​ផ្តេក​ជា​ពីរ​ផ្នែក​ស្មើៗ​គ្នា ហើយ​អនុវត្ត​ផ្នែក​ខាងលើ​ទៅ​ផ្នែក​ខាងក្រោម ដូច្នេះ​ចតុកោណ​មួយ​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ជា​ជ្រុង 2 និង . បន្ទាប់ពីនោះ យើងម្តងទៀតបែងចែកផ្នែកខាងស្តាំនៃចតុកោណកែងនេះជាពាក់កណ្តាលដោយបន្ទាត់ផ្តេក ហើយភ្ជាប់ផ្នែកខាងលើទៅផ្នែកខាងក្រោម (ដូចបង្ហាញក្នុងរូប 72)។ ដោយបន្តដំណើរការនេះ យើងកំពុងផ្លាស់ប្តូរការ៉េដើមដែលមានផ្ទៃដីស្មើ 1 ទៅជាតួលេខដែលមានទំហំស្មើគ្នា (យកទម្រង់ជាជណ្តើរដែលមានជំហានស្តើងៗ)។

ជាមួយនឹងការបន្តឥតកំណត់នៃដំណើរការនេះ តំបន់ទាំងមូលនៃការ៉េនឹងរលាយទៅជាចំនួនគ្មានកំណត់នៃពាក្យ - តំបន់នៃចតុកោណកែងដែលមានមូលដ្ឋានស្មើ 1 និងកម្ពស់។ តំបន់នៃចតុកោណកែងគ្រាន់តែបង្កើតជាដំណើរការថយចុះគ្មានកំណត់។ ផលបូករបស់វា។

i.e. ដូចដែលបានរំពឹងទុកគឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េ។

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការគ្មានកំណត់ខាងក្រោម៖

ដំណោះស្រាយ, ក) យើងកត់សំគាល់ថាការវិវត្តនេះ ដូច្នេះដោយរូបមន្ត (92.2) យើងរកឃើញ

ខ) នៅទីនេះវាមានន័យថាដោយរូបមន្តដូចគ្នា (92.2) យើងមាន

គ) យើងឃើញថាវឌ្ឍនភាពនេះ ដូច្នេះហើយ វឌ្ឍនភាពនេះមិនមានផលបូកទេ។

នៅក្នុងផ្នែកទី 5 ការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃការថយចុះឥតកំណត់ចំពោះការបំប្លែងប្រភាគទសភាគតាមកាលកំណត់ទៅជាប្រភាគធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញ។

លំហាត់

1. ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់គឺ 3/5 ហើយផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងបួនដំបូងរបស់វាគឺ 13/27 ។ ស្វែងរកពាក្យដំបូង និងភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។

2. រកលេខបួនដែលបង្កើតជាដំណើរការធរណីមាត្រឆ្លាស់គ្នា ដែលក្នុងនោះពាក្យទីពីរគឺតិចជាងលេខទីមួយដោយ 35 ហើយលេខទីបីធំជាងលេខបួនដោយ 560។

3. បង្ហាញអ្វីប្រសិនបើលំដាប់

បង្កើតជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ បន្ទាប់មកតាមលំដាប់លំដោយ

សម្រាប់ទម្រង់ណាមួយ ដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់។ តើការអះអាងនេះរក្សា

ទាញយករូបមន្តសម្រាប់ផលិតផលនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។