ទ្រឹស្តីបទលើម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង។ ទម្រង់ចតុកោណច្បាស់លាស់វិជ្ជមាន

និយមន័យ.ទម្រង់បួនជ្រុងដែលត្រូវគ្នានឹងទម្រង់ស៊ីមេទ្រី bilinear នៅលើលំហលីនេអ៊ែរ វ ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់វ៉ិចទ័រមួយ។ .

អនុញ្ញាតឱ្យទម្រង់បួនជ្រុង ក្លាយជាទម្រង់ស៊ីមេទ្រី bilinear ដែលត្រូវគ្នានឹងវា។ បន្ទាប់មក

នៅពេលដែលវាកើតឡើងពីទម្រង់បួនជ្រុង ទម្រង់ស៊ីមេទ្រី bilinear ដែលត្រូវគ្នាក៏ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសផងដែរ។ ដូច្នេះ រវាងទម្រង់ស៊ីមេទ្រី bilinear និង quadratic នៅលើលំហលីនេអ៊ែរ វ ការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយត្រូវបានបង្កើតឡើង ដូច្នេះទម្រង់ចតុកោណអាចត្រូវបានសិក្សាដោយប្រើទម្រង់ស៊ីមេទ្រី bilinear ។

ពិចារណា ន- វិមាត្រលីនេអ៊ែរលំហ។ ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង នៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃលំហលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ប៊ីលីនេអ៊ែរស៊ីមេទ្រីដែលត្រូវគ្នាក្នុងមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ ម៉ាទ្រីស quadratic គឺតែងតែស៊ីមេទ្រី។

សម្គាល់ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងក្នុងមូលដ្ឋានលំហមួយចំនួន។ ប្រសិនបើជាធម្មតាយើងសម្គាល់ Xជួរឈរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋានដូចគ្នាបន្ទាប់មកពីសមភាព 5.5 យើងទទួលបានទម្រង់ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ការ៉េ:

ទ្រឹស្តីបទ ៥.៤។សូមឱ្យមូលដ្ឋានពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះលីនេអ៊ែរ

(5.10)

, (5.11)

ហើយអនុញ្ញាតឱ្យនិងជាម៉ាទ្រីស quadratic នៅក្នុងមូលដ្ឋាន (5.10) និង (5.11) រៀងគ្នា។ បន្ទាប់មកកន្លែងណា ធគឺជាម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរពី (5.10) ទៅ (5.11) ។

ភ័ស្តុតាងនេះធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទ 5.2 និងនិយមន័យនៃម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង។

ដោយសារតែការពិតដែលថាម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរ ធគឺមិន degenerate បន្ទាប់មកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ quadratic មិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលឆ្លងកាត់ទៅមូលដ្ឋានថ្មី។ ដូច្នេះយើងអាចបង្កើតនិយមន័យដូចខាងក្រោម។

និយមន័យ. ចំណាត់ថ្នាក់ នៃទម្រង់បួនជ្រុងដែលបានកំណត់នៅលើលំហលីនេអ៊ែរ ត្រូវបានគេហៅថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសរបស់វានៅក្នុងមួយចំនួន ហើយហេតុដូច្នេះហើយនៅក្នុងមូលដ្ឋានណាមួយនៃលំហ (តំណាងដោយ )។

ឥឡូវនេះយើងសរសេរទម្រង់ quadratic ក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងពង្រីកវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន (5.10): ។ ប្រសិនបើជាម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងក្នុងមូលដ្ឋានដូចគ្នា នោះស្របតាមសមភាព (5.4) យើងមាន

– (5.12)

សំរបសំរួលទម្រង់នៃទម្រង់បួនជ្រុង។ ចូរយើងសរសេរ (5.12) លម្អិតសម្រាប់ ន= 3, ផ្តល់ឱ្យនោះ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើមូលដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះទម្រង់បួនជ្រុងក្នុងសំណេរសំរបសំរួលមើលទៅដូចជាពហុនាមដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីពីរនៅក្នុង នអថេរ - កូអរដោនេវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ពហុនាមនេះត្រូវបានគេហៅថា ទិដ្ឋភាព ទម្រង់បួនជ្រុងក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងកម្មវិធី ពហុនាមបែបនេះច្រើនតែកើតឡើងដោយឯករាជ្យ ដោយគ្មានការតភ្ជាប់ដែលអាចមើលឃើញជាមួយចន្លោះលីនេអ៊ែរ (ឧទាហរណ៍ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរនៃមុខងារ) ដូច្នេះយើងបង្កើតនិយមន័យមួយបន្ថែមទៀតនៃទម្រង់បួនជ្រុង។

និយមន័យ. ទម្រង់បួនជ្រុងពី នអថេរ គឺជាពហុនាមសញ្ញាប័ត្រទីពីរដូចគ្នានៅក្នុងអថេរទាំងនេះ ពោលគឺមុខងារនៃទម្រង់ (5.12)។ ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង (5.12) គឺជាម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី។

ឧទាហរណ៍ការចងក្រងម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពី (5.12) និង (5.13) ដែលមេគុណនៃនៅស្របគ្នាជាមួយ , i.e. ធាតុអង្កត់ទ្រូងនៃម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងគឺជាមេគុណនៃការ៉េ។ នៅក្នុងវិធីដូចគ្នានេះដែរយើងឃើញថានោះគឺពាក់កណ្តាលនៃមេគុណនៃផលិតផល។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសទម្រង់ការ៉េ (៥.១៤) មើលទៅដូចនេះ៖

ឥឡូវនេះយើងជ្រើសរើសក្នុងលំហម្តងទៀតនូវមូលដ្ឋានពីរ (5.10) និង (5.11) ហើយបញ្ជាក់ដូចធម្មតា គឺជាជួរឈរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាន (5.10) និង (5.11) រៀងគ្នា។ នៅពេលឆ្លងកាត់ពីមូលដ្ឋាន (5.10) ទៅមូលដ្ឋាន (5.11) កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រផ្លាស់ប្តូរយោងទៅតាមច្បាប់:

តើម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរពី (5.10) ទៅ (5.11) នៅឯណា។ ចំណាំថាម៉ាទ្រីសគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយ។ យើងសរសេរសមភាព (5.15) ក្នុងទម្រង់សំរបសំរួល៖

ឬលម្អិត៖

(5.17)

ដោយមានជំនួយពីសមភាព (5.17) (ឬ (5.16) ដែលដូចគ្នា) យើងឆ្លងកាត់ពីអថេរទៅអថេរ។

និយមន័យ. ការបំប្លែងអថេរលីនេអ៊ែរមិនខូចទ្រង់ទ្រាយ គឺជាការបំប្លែងនៃអថេរដែលកំណត់ដោយប្រព័ន្ធសមភាព (5.16) ឬ (5.17) ឬសមភាពម៉ាទ្រីសតែមួយ (5.15) ដែលផ្តល់ថាជាម៉ាទ្រីសមិនឯកវចនៈ។ ម៉ាទ្រីស ធត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនេះ។

ប្រសិនបើនៅក្នុង (5.12) ជំនួសឱ្យអថេរ យើងជំនួសកន្សោមរបស់ពួកគេនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរយោងតាមរូបមន្ត (5.17) តង្កៀបបើក និងផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា នោះយើងទទួលបានពហុនាមដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីពីរ៖

ក្នុងករណីនេះ ការបំប្លែងអថេរលីនេអ៊ែរនៃអថេរ (៥.១៧) ត្រូវបានគេនិយាយថាយកទម្រង់បួនជ្រុងទៅជាទម្រង់បួនជ្រុង។ តម្លៃនៃអថេរ និងទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង (5.15) (ឬទំនាក់ទំនង (5.16) ឬ (5.17)) នឹងត្រូវបានគេហៅថា ពាក់ព័ន្ធ សម្រាប់ការបំប្លែងអថេរលីនេអ៊ែរដែលផ្តល់អោយ។

និយមន័យ។សំណុំនៃអថេរត្រូវបានគេហៅថា មិនតូចតាច ប្រសិនបើតម្លៃយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃអថេរនៅក្នុងវាមិនសូន្យ។ បើមិនដូច្នោះទេសំណុំនៃអថេរត្រូវបានគេហៅថា តូចតាច .

លេម៉ា ៥.២.នៅក្រោមការបំប្លែងអថេរលីនេអ៊ែរ សំណុំអថេរមួយត្រូវគ្នាទៅនឹងសំណុំអថេរ។

វាច្បាស់ណាស់ធ្វើតាមពីសមភាព (5.15): ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក និង . ម៉្យាងវិញទៀត ការប្រើភាពឯកានៃម៉ាទ្រីស ធម្តងទៀតពី (5.15) យើងទទួលបានពីណា វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ .◄

ផលវិបាក។នៅក្រោមការបំប្លែងអថេរលីនេអ៊ែរ សំណុំអថេរដែលមិនសំខាន់ត្រូវគ្នាទៅនឹងសំណុំអថេរ។

ទ្រឹស្តីបទ ៥.៥។ប្រសិនបើការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរមិន degenerate (5.15) យកទម្រង់បួនជ្រុង ជាមួយម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែទៅជាទម្រង់បួនជ្រុង ជាមួយម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ"បន្ទាប់មក (រូបមន្តមួយទៀតនៃទ្រឹស្តីបទ ៥.៤)។

ផលវិបាក។នៅក្រោមការបំប្លែងអថេរលីនេអ៊ែរ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ចតុកោណមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទេ។

មតិយោបល់។មិនដូចម៉ាទ្រីសអន្តរកាល និងម៉ាទ្រីសនៃប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរទេ ម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងអថេរលីនេអ៊ែរមិនត្រូវបានសរសេរដោយជួរឈរទេ ប៉ុន្តែដោយជួរដេក។

អនុញ្ញាតឱ្យបំប្លែងអថេរលីនេអ៊ែរចំនួនពីរនៃអថេរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

តោះអនុវត្តពួកវាតាមលំដាប់លំដោយ៖

សមាសភាពនៃការបំប្លែងអថេរលីនេអ៊ែរមិនខូចទ្រង់ទ្រាយ(5.18) និង (5.19) គឺជាកម្មវិធីបន្តបន្ទាប់របស់ពួកគេ ពោលគឺ ការបំប្លែងអថេរ ពី (5.20) វាច្បាស់ណាស់ថា សមាសភាពនៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរមិន degenerate ពីរនៃអថេរ ក៏ជាការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរមិន degenerate នៃអថេរផងដែរ។

និយមន័យ។ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា សមមូល ប្រសិនបើមានការបំប្លែងអថេរលីនេអ៊ែរដែលបំប្លែងអថេរមួយក្នុងចំនោមពួកវាទៅជាមួយទៀត។

ទម្រង់បួនជ្រុង

ទម្រង់បួនជ្រុង f(x 1, x 2,..., x n) នៃអថេរ n ត្រូវបានគេហៅថា ផលបូក ដែលពាក្យនីមួយៗគឺជាការ៉េនៃអថេរមួយ ឬផលនៃអថេរពីរផ្សេងគ្នា ដែលយកដោយមេគុណជាក់លាក់មួយ៖ f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji) ។

ម៉ាទ្រីស A ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសទម្រង់បួនជ្រុង។ វាតែងតែ ស៊ីមេទ្រីម៉ាទ្រីស (ឧ. ស៊ីមេទ្រីម៉ាទ្រីសអំពីអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ a ij = a ji) ។

នៅក្នុងសញ្ញាណម៉ាទ្រីស ទម្រង់បួនជ្រុងមានទម្រង់ f(X) = X T AX ដែលជាកន្លែងដែល

ជាការពិត

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងសរសេរទម្រង់ quadratic ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង។ ធាតុអង្កត់ទ្រូងរបស់វាគឺស្មើនឹងមេគុណនៅការ៉េនៃអថេរ ហើយធាតុដែលនៅសល់គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នានៃទម្រង់ការ៉េ។ ដូច្នេះ

អនុញ្ញាតឱ្យជួរឈរម៉ាទ្រីសនៃអថេរ X ត្រូវបានទទួលដោយការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលមិនខូចទ្រង់ទ្រាយនៃជួរឈរម៉ាទ្រីស Y, i.e. X = CY ដែល C ជាម៉ាទ្រីសមិន degenerate នៃលំដាប់ n ។ បន្ទាប់មកទម្រង់ការ៉េ
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y ។

ដូច្នេះនៅក្រោមការបំលែងលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate C ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងយកទម្រង់៖ A * = C T AC ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកទម្រង់ការ៉េ f(y 1, y 2) ដែលទទួលបានពីទម្រង់រាងចតុកោណ f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ដោយការបំលែងលីនេអ៊ែរ។

ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា Canonical(វាមាន ទិដ្ឋភាព Canonical) ប្រសិនបើមេគុណរបស់វា a ij = 0 សម្រាប់ i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = ។

ម៉ាទ្រីសរបស់វាគឺអង្កត់ទ្រូង។

ទ្រឹស្តីបទ(ភស្តុតាងមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនេះ) ។ ទម្រង់បួនជ្រុងណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ដោយប្រើការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate ។

ជាឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ទម្រង់បួនជ្រុង
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងត្រូវជ្រើសរើសការ៉េពេញសម្រាប់អថេរ x 1៖

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 − 5x 2 2 − x 2 x 3 ។

ឥឡូវនេះយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញសម្រាប់អថេរ x 2៖

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2 ។

បន្ទាប់មកការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលមិនខូចទ្រង់ទ្រាយ y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 និង y 3 \u003d x 3 នាំទម្រង់ការ៉េនេះទៅជាទម្រង់ Canonical f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20) y 3 2 ។

ចំណាំថាទម្រង់ Canonical នៃទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានកំណត់មិនច្បាស់លាស់ (ទម្រង់ការ៉េដូចគ្នាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយទម្រង់ Canonical ដែលទទួលបានដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗមានលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅមួយចំនួន។ ជាពិសេស ចំនួននៃពាក្យដែលមានមេគុណវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) នៃទម្រង់បួនជ្រុងមិនអាស្រ័យលើរបៀបដែលទម្រង់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់នេះទេ (ឧទាហរណ៍ ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វាតែងតែមានមេគុណអវិជ្ជមានពីរ និងមេគុណវិជ្ជមានមួយ)។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់នៃនិចលភាពនៃទម្រង់បួនជ្រុង.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់វាដោយកាត់បន្ថយទម្រង់បួនជ្រុងដូចគ្នាទៅជាទម្រង់ Canonical ក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា។ ចូរចាប់ផ្តើមការបំប្លែងដោយអថេរ x 2៖
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2 ដែល y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 និង y 3 = x 1 ។ នៅទីនេះ មេគុណវិជ្ជមាន 2 នៅ y 3 និងមេគុណអវិជ្ជមានពីរ (-3) នៅ y 1 និង y 2 (ហើយដោយប្រើវិធីមួយផ្សេងទៀត យើងទទួលបានមេគុណវិជ្ជមាន 2 នៅ y 1 និងមេគុណអវិជ្ជមានពីរ - (-5) នៅ y 2 និង (-1/20) សម្រាប់ y 3) ។

វាគួរតែត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ផងដែរថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់រាងបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា ចំណាត់ថ្នាក់នៃទម្រង់បួនជ្រុង, គឺស្មើនឹងចំនួនមេគុណមិនសូន្យនៃទម្រង់ Canonical និងមិនផ្លាស់ប្តូរក្រោមការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ។

ទម្រង់បួនជ្រុង f(X) ត្រូវបានគេហៅថា ជាវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) ជាក់លាក់, ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរដែលមិនក្នុងពេលដំណាលគ្នាស្មើនឹងសូន្យនោះវាវិជ្ជមាន, i.e. f(X) > 0 (អវិជ្ជមាន, i.e.
f(X)< 0).

ឧទាហរណ៍ ទម្រង់រាងបួនជ្រុង f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 ត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន ពីព្រោះ គឺជាផលបូកនៃការ៉េ ហើយទម្រង់ចតុកោណ f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 គឺជានិយមន័យអវិជ្ជមាន ពីព្រោះ តំណាងវាអាចត្រូវបានតំណាងជា f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2 ។

នៅក្នុងស្ថានភាពជាក់ស្តែងភាគច្រើន វាមានការលំបាកជាងក្នុងការកំណត់សញ្ញា-កំណត់នៃទម្រង់បួនជ្រុង ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទមួយក្នុងចំណោមទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការនេះ (យើងបង្កើតពួកវាដោយគ្មានភស្តុតាង)។

ទ្រឹស្តីបទ. ទម្រង់បួនជ្រុងគឺវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) កំណត់ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែតម្លៃ eigenvalue ទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសរបស់វាគឺវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន)។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester). ទម្រង់ quadratic គឺវិជ្ជមានកំណត់ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែអនីតិជនសំខាន់ៗទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់នេះគឺវិជ្ជមាន។

ធំ (ជ្រុង) អនីតិជនលំដាប់ k-th នៃម៉ាទ្រីស A នៃលំដាប់ n-th ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ដែលផ្សំឡើងពីជួរ k ដំបូង និងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A ()។

ចំណាំថាសម្រាប់ទម្រង់រាងចតុកោណដែលកំណត់និយមន័យអវិជ្ជមាន សញ្ញានៃអនីតិជនចម្បងឆ្លាស់គ្នា ហើយអនីតិជនលំដាប់ទីមួយត្រូវតែអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍ យើងពិនិត្យទម្រង់រាងការ៉េ f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 សម្រាប់ការកំណត់សញ្ញា។

= (2 - លីត្រ)*
*(3 - លីត្រ) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; ឃ \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. ដូច្នេះទម្រង់ quadratic គឺវិជ្ជមានកំណត់។

វិធីសាស្រ្ត 2. អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A D 1 = a 11 = 2 > 0. អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទីពីរ D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0 ។ ដូច្នេះយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester ។ ទម្រង់បួនជ្រុងគឺជាការកំណត់វិជ្ជមាន។

យើងពិនិត្យមើលទម្រង់បួនជ្រុងផ្សេងទៀតសម្រាប់ការកំណត់សញ្ញា f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 ។

វិធីសាស្រ្ត 1. ចូរយើងបង្កើតម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង А = ។ សមីការលក្ខណៈនឹងមានទម្រង់ = (-2 - លីត្រ)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; ឃ \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. ដូច្នេះទម្រង់ quadratic គឺអវិជ្ជមានកំណត់។

ទម្រង់បួនជ្រុង f(x 1, x 2,..., x n) នៃអថេរ n ត្រូវបានគេហៅថា ផលបូក ដែលពាក្យនីមួយៗគឺជាការ៉េនៃអថេរមួយ ឬផលនៃអថេរពីរផ្សេងគ្នា ដែលយកដោយមេគុណជាក់លាក់មួយ៖ f(x 1, x 2, ...,х n) = (a ij = a ji) ។

ម៉ាទ្រីស A ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសទម្រង់បួនជ្រុង។ វាតែងតែ ស៊ីមេទ្រីម៉ាទ្រីស (ឧទាហរណ៍ម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ a ij = a ji) ។

នៅក្នុងសញ្ញាណម៉ាទ្រីស ទម្រង់បួនជ្រុងមានទម្រង់ f(X) = X T AX ដែលជាកន្លែងដែល

ជាការពិត

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងសរសេរទម្រង់ quadratic ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

អនុញ្ញាតឱ្យជួរឈរម៉ាទ្រីសនៃអថេរ X ត្រូវបានទទួលដោយការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលមិនខូចទ្រង់ទ្រាយនៃជួរឈរម៉ាទ្រីស Y, i.e. X = CY ដែល C ជាម៉ាទ្រីសមិន degenerate នៃលំដាប់ n ។ បន្ទាប់មកទម្រង់ការ៉េ f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y ។

ដូច្នេះជាមួយនឹងការបំលែងលីនេអ៊ែរដែលមិន degenerate C ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ quadratic ទទួលបានទម្រង់: A * = C T AC ។

ទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា Canonical(វាមាន ទិដ្ឋភាព Canonical) ប្រសិនបើមេគុណរបស់វាទាំងអស់ a ij \u003d 0 នៅ i≠j ពោលគឺ f (x 1, x 2,..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

ម៉ាទ្រីសរបស់វាគឺអង្កត់ទ្រូង។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងនាំយកទម្រង់ចតុកោណកែង f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 − 3x 2 2 − x 2 x 3 ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងត្រូវជ្រើសរើសការ៉េពេញសម្រាប់អថេរ x 1៖

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2 ) 2 − 5x 2 2 − x 2 x 3 ។

ឥឡូវនេះយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញសម្រាប់អថេរ x 2៖

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2 ។

បន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរមិន degenerate y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 និង y 3 \u003d x 3 នាំទម្រង់ការ៉េនេះទៅជាទម្រង់ Canonical f (y 1 , y 2, y 3) \u003d 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 ។

ចំណាំថាទម្រង់ Canonical នៃទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានកំណត់មិនច្បាស់លាស់ (ទម្រង់ការ៉េដូចគ្នាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា1)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយទម្រង់ Canonical ដែលទទួលបានដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗមានលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅមួយចំនួន។ ជាពិសេស ចំនួននៃពាក្យដែលមានមេគុណវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) នៃទម្រង់បួនជ្រុងមិនអាស្រ័យលើរបៀបដែលទម្រង់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់នេះទេ (ឧទាហរណ៍ ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វាតែងតែមានមេគុណអវិជ្ជមានពីរ និងមេគុណវិជ្ជមានមួយ)។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់នៃនិចលភាពនៃទម្រង់បួនជ្រុង.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់វាដោយកាត់បន្ថយទម្រង់បួនជ្រុងដូចគ្នាទៅជាទម្រង់ Canonical ក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា។ ចូរចាប់ផ្តើមការបំប្លែងដោយអថេរ x 2: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = −3 (x 2 − (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d - 3y 1 2 − −3y 2 2 + 2y 3 2 ដែល y 1 = − (2/3) x 1 + x 2 − (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1 /6) x 3 និង y 3 = x 1 ។ នេះគឺជាមេគុណវិជ្ជមាន 2 នៅ y 3 និងមេគុណអវិជ្ជមានពីរ (-3) នៅ y 1 និង y 2 ) ។

ទម្រង់បួនជ្រុង f(X) ត្រូវបានគេហៅថា ជាវិជ្ជមាន(អវិជ្ជមាន)ជាក់លាក់ប្រសិនបើសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរដែលមិនស្មើគ្នានឹងសូន្យ វាគឺវិជ្ជមាន ពោលគឺ f(X) > 0 (អវិជ្ជមាន ពោលគឺ f(X)< 0).

ធំ (ជ្រុង) អនីតិជនលំដាប់ k-th នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ An-th ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ដែលផ្សំឡើងពីជួរ k ដំបូង និងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A()។

ឧទាហរណ៍ យើងពិនិត្យទម្រង់រាងការ៉េ f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 សម្រាប់ការកំណត់សញ្ញា។

= (2 -)* *(3 -) - 4 = (6 − 2- 3+ 2) - 4 = 2 − 5+ 2 = 0; D= 25 − 8 = 17; . ដូច្នេះទម្រង់ quadratic គឺវិជ្ជមានកំណត់។

វិធីសាស្រ្ត 2. អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A  1 = a 11 = 2 > 0. អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទីពីរ  2 = = 6 − 4 = 2 > 0. ដូច្នេះយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ស៊ីលវេស្ទឺ ទម្រង់ quadratic គឺវិជ្ជមានច្បាស់លាស់។

វិធីសាស្រ្ត 1. ចូរយើងបង្កើតម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង А = ។ សមីការលក្ខណៈនឹងមានទម្រង់ = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 =  2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; . ដូច្នេះទម្រង់ quadratic គឺអវិជ្ជមានកំណត់។

វិធីសាស្រ្ត 2. អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. ដូច្នេះយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Sylvester ទម្រង់រាងចតុកោណគឺអវិជ្ជមានកំណត់ (សញ្ញានៃអនីតិជនចម្បងឆ្លាស់គ្នា ចាប់ផ្តើមពីដក)។

ហើយជាឧទាហរណ៍មួយទៀត យើងពិនិត្យមើលទម្រង់ការ៉េ f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 សម្រាប់ការកំណត់សញ្ញា។

វិធីសាស្រ្ត 1. ចូរយើងបង្កើតម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង А = ។ សមីការលក្ខណៈនឹងមានទម្រង់ = (2 -)* *(−3 -) - 4 = (−6 − 2+ 3+ 2) − 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; . លេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះគឺអវិជ្ជមាន ហើយមួយទៀតគឺវិជ្ជមាន។ សញ្ញានៃ eigenvalues គឺខុសគ្នា។ ដូច្នេះ ទម្រង់រាងបួនជ្រុងមិនអាចកំណត់បានទាំងអវិជ្ជមាន ឬវិជ្ជមានទេ ឧ. ទម្រង់ការ៉េនេះមិនមានសញ្ញាកំណត់ទេ (វាអាចយកតម្លៃនៃសញ្ញាណាមួយ)។

វិធីសាស្រ្ត 2. អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A  1 = a 11 = 2 > 0. អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទីពីរ  2 = = -6 − 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 វិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណានៃការកាត់បន្ថយទម្រង់បួនជ្រុងទៅជាទម្រង់ Canonical គឺងាយស្រួលប្រើនៅពេលដែលមេគុណមិនសូន្យកើតឡើងនៅក្រោមការេនៃអថេរ។ ប្រសិនបើពួកគេមិននៅទីនោះ វានៅតែអាចអនុវត្តការបំប្លែងបាន ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវប្រើល្បិចផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យ f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 − x 1 2 − x 2 2 =

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 − − (x 1 − x 2) 2 − 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1 + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, ដែល y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2 ។

រាងការ៉េ។
សារៈសំខាន់នៃទម្រង់។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester

គុណនាម "ការ៉េ" ណែនាំភ្លាមៗថាអ្វីមួយនៅទីនេះត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយការ៉េ (ដឺក្រេទីពីរ) ហើយឆាប់ៗនេះយើងនឹងដឹងថា "អ្វីមួយ" នេះហើយទម្រង់ជាអ្វី។ ចេញមកភ្លាម :)

សូមស្វាគមន៍មកកាន់មេរៀនថ្មីរបស់ខ្ញុំ ហើយជាការកក់ក្តៅភ្លាមៗ យើងនឹងពិនិត្យមើលរូបរាងឆ្នូត លីនេអ៊ែរ. ទម្រង់លីនេអ៊ែរ អថេរបានហៅ ដូចគ្នាពហុនាមដឺក្រេទី 1៖

- លេខជាក់លាក់មួយចំនួន * (យើងសន្មត់ថាយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺខុសពីសូន្យ)និងជាអថេរដែលអាចយកតម្លៃតាមអំពើចិត្ត។

* នៅក្នុងប្រធានបទនេះយើងនឹងពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ ចំនួនពិត .

យើងបានជួបប្រទះពាក្យ "ដូចគ្នា" រួចហើយនៅក្នុងមេរៀនអំពី ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ ហើយក្នុងករណីនេះ វាបង្កប់ន័យថាពហុនាមមិនមានថេរបន្ថែមទេ។

ឧទាហរណ៍: - ទម្រង់លីនេអ៊ែរនៃអថេរពីរ

ឥឡូវនេះរូបរាងគឺបួនជ្រុង។ ទម្រង់បួនជ្រុង អថេរបានហៅ ដូចគ្នាពហុធាដឺក្រេទី 2, ពាក្យនីមួយៗមានទាំងការ៉េនៃអថេរ ឬ ទ្វេផលិតផលនៃអថេរ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ទម្រង់ចតុកោណនៃអថេរពីរមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

យកចិត្តទុកដាក់!នេះគឺជាធាតុស្តង់ដារ ហើយអ្នកមិនចាំបាច់ផ្លាស់ប្តូរអ្វីទាំងអស់នៅក្នុងវា! ទោះបីជាមើលទៅ "គួរឱ្យភ័យខ្លាច" អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនេះ - សញ្ញារងពីរដងនៃសញ្ញាថេរដែលអថេរត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងពាក្យមួយឬមួយផ្សេងទៀត:
- ពាក្យនេះមានផលិតផល និង (ការ៉េ);
- នេះគឺជាការងារ;
- ហើយនេះគឺជាការងារ។

- ខ្ញុំប្រមើលមើលកំហុសដ៏ធំភ្លាមៗនៅពេលដែលពួកគេបាត់បង់ "ដក" នៃមេគុណ ដោយមិនដឹងថាវាសំដៅលើពាក្យនេះទេ៖

ជួនកាលមានកំណែ "សាលា" នៃការរចនានៅក្នុងស្មារតីប៉ុន្តែបន្ទាប់មកមានតែពេលខ្លះប៉ុណ្ណោះ។ ដោយវិធីនេះ ចំណាំថាថេរនៅទីនេះមិនប្រាប់យើងអ្វីទាំងអស់ ហើយដូច្នេះវាកាន់តែពិបាកក្នុងការចងចាំ "សញ្ញាណងាយស្រួល" ។ ជាពិសេសនៅពេលដែលមានអថេរច្រើនទៀត។

ហើយទម្រង់ quadratic នៃអថេរបីមានពាក្យប្រាំមួយរួចហើយ៖

... ហេតុអ្វីបានជាមេគុណ "ពីរ" ដាក់ក្នុងពាក្យ "លាយ"? នេះងាយស្រួល ហើយវានឹងកាន់តែច្បាស់ថាហេតុអ្វី។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងសរសេររូបមន្តទូទៅ វាងាយស្រួលក្នុងការរៀបចំវាជាមួយ "សន្លឹក"៖

- សិក្សាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវបន្ទាត់នីមួយៗ - មិនមានអ្វីខុសជាមួយនោះ!

ទម្រង់រាងបួនជ្រុងមានពាក្យដែលមានអថេរការ៉េ និងពាក្យជាមួយនឹងផលិតផលគូរបស់ពួកគេ។ (សង់ទីម៉ែត។ រូបមន្តផ្សំនៃបន្សំ ) . គ្មានអ្វីផ្សេងទៀតទេ - គ្មាន "ឯកោ x" និងមិនមានបន្ថែមថេរ (បន្ទាប់មកអ្នកទទួលបានមិនមែនជាទម្រង់បួនជ្រុងទេប៉ុន្តែ ខុសគ្នាពហុនាមសញ្ញាប័ត្រទី ២) ។

ការសម្គាល់ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង

អាស្រ័យលើតម្លៃ ទម្រង់ដែលបានពិចារណាអាចយកទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន ហើយអនុវត្តដូចគ្នាចំពោះទម្រង់លីនេអ៊ែរ - ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយក្នុងចំណោមមេគុណរបស់វាមិនសូន្យ នោះវាអាចប្រែជាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន (អាស្រ័យលើ លើតម្លៃ) ។

ទម្រង់នេះត្រូវបានគេហៅថា ឆ្លាស់គ្នា។. ហើយប្រសិនបើអ្វីៗមានតម្លាភាពជាមួយនឹងទម្រង់លីនេអ៊ែរ នោះអ្វីៗកាន់តែគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាមួយនឹងទម្រង់បួនជ្រុង៖

វាច្បាស់ណាស់ថាទម្រង់នេះអាចទទួលយកតម្លៃនៃសញ្ញាណាមួយ ដូច្នេះ ទម្រង់បួនជ្រុងក៏អាចឆ្លាស់គ្នាបានដែរ។.

វាប្រហែលជាមិនមែនជា៖

- ជានិច្ច លុះត្រាតែទាំងពីរស្មើសូន្យ។

- សម្រាប់នរណាម្នាក់ វ៉ិចទ័រលើកលែងតែសូន្យ។

ហើយជាទូទៅនិយាយប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ មិនមែនសូន្យវ៉ិចទ័រ , , បន្ទាប់មកទម្រង់បួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថា និយមន័យវិជ្ជមាន; ប្រសិនបើ - បន្ទាប់មក និយមន័យអវិជ្ជមាន.

ហើយអ្វីៗនឹងល្អ ប៉ុន្តែភាពច្បាស់លាស់នៃទម្រង់រាងបួនជ្រុងអាចមើលឃើញតែក្នុងឧទាហរណ៍សាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ ហើយការមើលឃើញនេះត្រូវបានបាត់បង់រួចទៅហើយជាមួយនឹងភាពស្មុគស្មាញបន្តិច៖
– ?

មនុស្សម្នាក់អាចសន្មតថាទម្រង់ត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែតើវាពិតជាដូច្នេះមែនឬ? ភ្លាមៗនោះមានតម្លៃដែលវាតិចជាងសូន្យ?

នៅលើគណនីនេះនៅទីនោះ ទ្រឹស្តីបទ: ខ្ញុំធ្លាក់ eigenvalues ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងគឺវិជ្ជមាន * បន្ទាប់មកវាត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន។ បើទាំងអស់សុទ្ធតែអវិជ្ជមាន នោះជាអវិជ្ជមាន។

* វាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងទ្រឹស្ដីថា eigenvalues ទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីពិតប្រាកដ ត្រឹមត្រូវ។

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ខាងលើ៖
និងពីសមីការ តោះស្វែងរកនាង eigenvalues :

យើងដោះស្រាយចាស់ សមីការការ៉េ :

ដូច្នេះទម្រង់ ត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន, i.e. សម្រាប់តម្លៃដែលមិនមែនជាសូន្យ វាគឺធំជាងសូន្យ។

វិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណាហាក់ដូចជាដំណើរការ ប៉ុន្តែមានមួយធំ។ រួចហើយសម្រាប់ម៉ាទ្រីស "បីដោយបី" ការស្វែងរក eigenvalues គឺជាកិច្ចការដ៏វែងឆ្ងាយនិងមិនរីករាយ។ ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់ អ្នកទទួលបានពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 3 ជាមួយនឹងឫសមិនសមហេតុផល។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីឱ្យមាន? មានវិធីងាយស្រួលជាង!

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester

ទេ មិនមែន Sylvester Stallone ទេ :) ជាដំបូង ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកពីអ្វី អនីតិជនជ្រុងម៉ាទ្រីស។ នេះគឺជា កត្តាកំណត់ ដែល "ដុះ" ពីជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើរបស់វា៖

ហើយចុងក្រោយគឺពិតជាស្មើនឹងកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស។

ឥឡូវនេះ តាមពិតទៅ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ:

1) ទម្រង់បួនជ្រុងដែលបានកំណត់ ជាវិជ្ជមានប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែអនីតិជនជ្រុងទាំងអស់របស់វាធំជាងសូន្យ៖ .

2) ទម្រង់បួនជ្រុងដែលបានកំណត់ អវិជ្ជមានប្រសិនបើអនីតិជនជ្រុងរបស់វាឆ្លាស់គ្នាជាសញ្ញា ខណៈអនីតិជនទី 1 គឺតិចជាងសូន្យ៖ , , បើជាគូ ឬ , បើគឺសេស។

ប្រសិនបើអនីតិជនមុំយ៉ាងហោចណាស់មួយមានសញ្ញាផ្ទុយ នោះទម្រង់ សញ្ញា - ឆ្លាស់គ្នា។. ប្រសិនបើអនីតិជន angular មានសញ្ញា "នោះ" ប៉ុន្តែមានសូន្យក្នុងចំណោមពួកគេ នោះគឺជាករណីពិសេស ដែលខ្ញុំនឹងវិភាគបន្តិចក្រោយមក បន្ទាប់ពីយើងបានឆ្លងកាត់ឧទាហរណ៍ទូទៅជាងនេះ។

ចូរយើងវិភាគអនីតិជនជ្រុងនៃម៉ាទ្រីស :

ហើយនេះប្រាប់យើងភ្លាមៗថាទម្រង់មិនត្រូវបានកំណត់ជាអវិជ្ជមានទេ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ អនីតិជនមុំទាំងអស់ធំជាងសូន្យ ដូច្នេះរូបរាង កំណត់ជាវិជ្ជមាន។

តើមានភាពខុសគ្នាជាមួយវិធីសាស្ត្រ eigenvalue ដែរឬទេ? ;)

យើងសរសេរម៉ាទ្រីសរាងពី ឧទាហរណ៍ ១:

អនីតិជនជ្រុងទីមួយរបស់វា និងទីពីរ នៅពេលណាដែលវាធ្វើតាមទម្រង់ជាសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា i.e. អាស្រ័យលើតម្លៃនៃ , អាចយកទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនេះច្បាស់ណាស់។

យកទម្រង់និងម៉ាទ្រីសរបស់វាពី ឧទាហរណ៍ ២:

នៅទីនេះដោយគ្មានការយល់ដឹង មិនអាចយល់បាន។ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Sylvester យើងមិនខ្វល់ទេ៖
ដូច្នេះទម្រង់គឺពិតជាមិនអវិជ្ជមាន។

ហើយច្បាស់ជាមិនវិជ្ជមានទេ។ (ព្រោះអនីតិជនគ្រប់មុំត្រូវតែវិជ្ជមាន).

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ រាងគឺឆ្លាស់គ្នា។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ 4

ស៊ើបអង្កេតទម្រង់បួនជ្រុងសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់នៃសញ្ញា

ក)

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងនេះ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺរលូន (សូមមើលចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន) ប៉ុន្តែការពិតដើម្បីបំពេញកិច្ចការបែបនេះ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester ប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។.

ចំណុចនោះគឺថាមានករណី "ព្រំដែន" គឺ: ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។ មិនមែនសូន្យវ៉ិចទ័រ បន្ទាប់មករូបរាងត្រូវបានកំណត់ មិនអវិជ្ជមាន, ប្រសិនបើ - បន្ទាប់មក មិនវិជ្ជមាន. ទម្រង់ទាំងនេះមាន មិនមែនសូន្យវ៉ិចទ័រដែល .

នៅទីនេះអ្នកអាចនាំយក "ប៊ូតុង accordion" បែបនេះ:

ការបន្លិច ការ៉េពេញ យើងឃើញភ្លាម ភាពមិនអវិជ្ជមានទម្រង់៖ លើសពីនេះ វាស្មើនឹងសូន្យសម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយដែលមានកូអរដោណេស្មើគ្នា ឧទាហរណ៍៖ .

ឧទាហរណ៍ "កញ្ចក់" មិនវិជ្ជមានទម្រង់ជាក់លាក់៖

និងឧទាហរណ៍មិនសូវច្បាស់មួយទៀត៖
- នៅទីនេះទម្រង់គឺស្មើនឹងសូន្យសម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយ ដែលជាលេខបំពាន។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនអវិជ្ជមាន ឬមិនវិជ្ជមាននៃទម្រង់មួយ?

សម្រាប់បញ្ហានេះយើងត្រូវការគំនិត អនីតិជនសំខាន់ៗ ម៉ាទ្រីស។ អនីតិជនសំខាន់គឺជាអនីតិជនដែលផ្សំឡើងដោយធាតុដែលស្ថិតនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេក និងជួរឈរដែលមានលេខដូចគ្នា។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសមានអនីតិជនសំខាន់ពីរនៃលំដាប់ទី 1៖
(ធាតុស្ថិតនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទី 1 និងជួរទី 1);
(ធាតុស្ថិតនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទី 2 និងជួរទី 2)

និងអនីតិជនលំដាប់ទី២៖
- មានធាតុផ្សំនៃជួរទី១ ជួរទី២ និងជួរទី១ ជួរទី២។

ម៉ាទ្រីស "បីដោយបី" មានអនីតិជនសំខាន់ៗចំនួនប្រាំពីរ ហើយនៅទីនេះអ្នកត្រូវគ្រវី biceps របស់អ្នករួចហើយ៖
-អនីតិជនចំនួន៣នាក់ នៃដីកាទី១,
អនីតិជន ៣ នាក់នៃលំដាប់ទី ២៖
- សមាសភាពនៃជួរទី 1 ទី 2 និងជួរទី 1 ទី 2 ។
- សមាសភាពនៃធាតុនៃជួរទី 1 ទី 3 និងទី 1 ជួរឈរទី 3 ។
- មានធាតុផ្សំនៃជួរទី 2 ទី 3 និងជួរទី 2 ទី 3 ។
និងអនីតិជនលំដាប់ទី៣៖
- មានធាតុផ្សំនៃជួរទី 1 ទី 2 ទី 3 និងជួរទី 1 ទី 2 និងទី 3 ។
លំហាត់ប្រាណសម្រាប់ការយល់ដឹង៖ សរសេរអនីតិជនសំខាន់ៗទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស .
យើងពិនិត្យមើលនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀនហើយបន្ត។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Schwarzenegger:

1) ទម្រង់មិនសូន្យ* បានកំណត់ មិនអវិជ្ជមានប្រសិនបើ និង លុះត្រាតែអនីតិជនសំខាន់ទាំងអស់របស់វា។ មិនអវិជ្ជមាន(ធំជាង ឬស្មើសូន្យ)។

* ទម្រង់រាងបួនជ្រុងសូន្យ (degenerate) មានមេគុណទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ.

2) Nonzero quadratic form ជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានកំណត់ មិនវិជ្ជមានប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែវា៖
- អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទី ១ មិនវិជ្ជមាន(តិចជាង ឬស្មើសូន្យ);
គឺជាអនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទី ២ មិនអវិជ្ជមាន;
- អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទី ៣ មិនវិជ្ជមាន(ការផ្លាស់ប្តូរបានចាប់ផ្តើម);
…
- អនីតិជនសំខាន់នៃលំដាប់ទី មិនវិជ្ជមានប្រសិនបើសេសឬ មិនអវិជ្ជមានប្រសិនបើសូម្បីតែ។

ប្រសិនបើអនីតិជនយ៉ាងហោចណាស់មួយមានសញ្ញាផ្ទុយ នោះទម្រង់ជាសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា។

តោះមើលរបៀបដែលលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដំណើរការក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ៖

តោះបង្កើតម៉ាទ្រីសរាង ហើយ ជាចម្បងចូរយើងគណនាអនីតិជនជ្រុង - ចុះបើវាត្រូវបានកំណត់ជាវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន?

តម្លៃដែលទទួលបានមិនបំពេញតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយអនីតិជនទីពីរ មិនអវិជ្ជមានហើយនេះធ្វើឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីពិនិត្យមើលលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទី 2 (នៅក្នុងករណីនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទី 2 វានឹងមិនត្រូវបានបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិទេ ពោលគឺការសន្និដ្ឋានត្រូវបានធ្វើឡើងភ្លាមៗអំពីការជំនួសសញ្ញានៃទម្រង់).

អនីតិជនសំខាន់ៗនៃលំដាប់ទី ១៖
- មានភាពវិជ្ជមាន
អនីតិជន លំដាប់ទី២៖
- មិនអវិជ្ជមាន។

ដូច្នេះ អនីតិជនសំខាន់ៗទាំងអស់គឺមិនអវិជ្ជមាន ដូច្នេះទម្រង់ មិនអវិជ្ជមាន.

ចូរយើងសរសេរទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលជាក់ស្តែង លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Sylvester មិនពេញចិត្តទេ។ ប៉ុន្តែយើងក៏មិនបានទទួលសញ្ញាផ្ទុយគ្នាដែរ (ព្រោះអនីតិជនជ្រុងទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ)។ ដូច្នេះហើយ យើងពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃភាពមិនអវិជ្ជមាន/មិនវិជ្ជមាន។ អនីតិជនសំខាន់ៗនៃលំដាប់ទី ១៖
- មិនវិជ្ជមាន
អនីតិជន លំដាប់ទី២៖
- មិនអវិជ្ជមាន។

ដូច្នេះយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Schwarzenegger (ចំណុច 2) ទម្រង់ត្រូវបានកំណត់មិនវិជ្ជមាន។

ឥឡូវនេះ ប្រដាប់ដោយអាវុធពេញលេញ យើងនឹងវិភាគបញ្ហាកម្សាន្តមួយបន្ថែមទៀត៖

ឧទាហរណ៍ ៥

ពិនិត្យទម្រង់រាងចតុកោណសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់នៃសញ្ញា

ទម្រង់នេះត្រូវបានតុបតែងដោយលំដាប់ "អាល់ហ្វា" ដែលអាចស្មើនឹងចំនួនពិតណាមួយ។ ប៉ុន្តែវានឹងកាន់តែសប្បាយ សម្រេចចិត្ត.

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសទម្រង់ ប្រហែលជាមនុស្សជាច្រើនបានសម្របខ្លួនរួចហើយដើម្បីធ្វើវាផ្ទាល់មាត់៖ លើ អង្កត់ទ្រូងសំខាន់យើងដាក់មេគុណនៅការ៉េ ហើយនៅកន្លែងស៊ីមេទ្រី - មេគុណពាក់កណ្តាលនៃផលិតផល "ចម្រុះ" ដែលត្រូវគ្នា៖

ចូរយើងគណនាអនីតិជនមុំ៖

ខ្ញុំនឹងពង្រីកកត្តាកំណត់ទី ៣ តាមខ្សែទី ៣៖

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

ទម្រង់បួនជ្រុង

រាងការ៉េ។ សារៈសំខាន់នៃទម្រង់។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester

ការសម្គាល់ម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុង

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

រាងការ៉េ។
សារៈសំខាន់នៃទម្រង់។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester

អត្ថបទដែលទាក់ទង