គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត ដែលបានបញ្ជាក់ជាដំបូងដោយ Jacobi គឺស្រដៀងគ្នានឹងគោលការណ៍របស់ Hamilton ប៉ុន្តែមិនសូវមានលក្ខណៈទូទៅ និងពិបាកបញ្ជាក់ជាង។ គោលការណ៍នេះអាចអនុវត្តបានតែចំពោះករណីនៅពេលដែលការតភ្ជាប់ និងមុខងារកម្លាំងមិនអាស្រ័យលើពេលវេលា និងនៅពេលណា ដូច្នេះមានអាំងតេក្រាលនៃកម្លាំងរស់នៅ។
អាំងតេក្រាលនេះមើលទៅដូចជា៖
គោលការណ៍របស់ Hamilton ដែលបានបញ្ជាក់ខាងលើចែងថាការប្រែប្រួលនៃអាំងតេក្រាល។
គឺស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលចលនាពិតប្រាកដឆ្លងកាត់ទៅចលនាជិតស្និទ្ធគ្មានកំណត់ផ្សេងទៀតដែលយកប្រព័ន្ធពីទីតាំងដំបូងដូចគ្នាទៅទីតាំងចុងក្រោយដូចគ្នាក្នុងចន្លោះពេលដូចគ្នា។
ផ្ទុយទៅវិញ គោលការណ៍ Jacobi បង្ហាញពីទ្រព្យសម្បត្តិ ចលនា ដែលមិនអាស្រ័យលើពេលវេលា។ Jacobi ចាត់ទុកថាជាអាំងតេក្រាល។
កំណត់សកម្មភាព។ គោលការណ៍ដែលគាត់បានបង្កើតឡើងចែងថាបំរែបំរួលនៃអាំងតេក្រាលនេះគឺសូន្យនៅពេលដែលយើងប្រៀបធៀបចលនាពិតនៃប្រព័ន្ធជាមួយនឹងចលនាជិតស្និទ្ធគ្មានកំណត់ផ្សេងទៀតដែលយកប្រព័ន្ធពីទីតាំងដំបូងដូចគ្នាទៅទីតាំងចុងក្រោយដូចគ្នា។ ក្នុងករណីនេះ យើងមិនយកចិត្តទុកដាក់លើចន្លោះពេលដែលត្រូវចំណាយនោះទេ ប៉ុន្តែយើងសង្កេតឃើញសមីការ (1) ពោលគឺសមីការនៃកម្លាំងពលកម្មដែលមានតម្លៃដូចគ្នានៃ h ថេរ ដូចនៅក្នុងចលនាជាក់ស្តែង។
លក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរចាំបាច់នេះនាំឱ្យនិយាយជាទូទៅទៅអប្បបរមានៃអាំងតេក្រាល (2) ពីណាមកឈ្មោះនៃគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត។ លក្ខខណ្ឌអប្បបរមាហាក់ដូចជាធម្មជាតិបំផុត ដោយសារតម្លៃនៃ T គឺវិជ្ជមានជាសំខាន់ ដូច្នេះហើយអាំងតេក្រាល (2) ត្រូវតែមានអប្បបរមា។ អត្ថិភាពនៃអប្បបរមាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងម៉ត់ចត់លុះត្រាតែចន្លោះពេលតូចគ្រប់គ្រាន់។ ភស្តុតាងនៃសំណើនេះអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងវគ្គសិក្សាដ៏ល្បីរបស់ Darboux លើទ្រឹស្តីនៃផ្ទៃ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងនឹងមិនបង្ហាញវានៅទីនេះទេ ហើយបង្ខាំងខ្លួនយើងចំពោះការទាញយកលក្ខខណ្ឌ
432. ភស្តុតាងនៃគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត។
នៅក្នុងការគណនាជាក់ស្តែង យើងជួបប្រទះនឹងការលំបាកមួយដែលមិនមាននៅក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Hamilton ។ អថេរ t លែងឯករាជ្យនៃបំរែបំរួល។ ដូច្នេះបំរែបំរួលនៃ q i និង q ។ គឺទាក់ទងទៅនឹងបំរែបំរួលនៃ t ដោយទំនាក់ទំនងស្មុគ្រស្មាញដែលបន្តពី Eq (1)។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតក្នុងការធ្វើដំណើរជុំវិញការលំបាកនេះគឺដើម្បីផ្លាស់ប្តូរអថេរឯករាជ្យទៅអ្នកដែលតម្លៃស្ថិតនៅចន្លោះដែនកំណត់ឯករាជ្យនៃពេលវេលាថេរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ k ជាអថេរឯករាជ្យថ្មីដែលដែនកំណត់ត្រូវបានសន្មត់ថាឯករាជ្យនៃ t ។ នៅពេលផ្លាស់ទីប្រព័ន្ធ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និង t នឹងក្លាយជាមុខងារនៃអថេរនេះ។
អនុញ្ញាតឱ្យអក្សរបឋម q បង្ហាញពីដេរីវេនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ q ដោយគោរពតាមពេលវេលា។
ដោយសារតំណភ្ជាប់ត្រូវបានសន្មត់ថាឯករាជ្យនៃពេលវេលា កូអរដោនេ Cartesian x, y, z គឺជាមុខងាររបស់ q ដែលមិនមានពេលវេលា។ ដូច្នេះ និស្សន្ទវត្ថុរបស់វានឹងជាមុខងារដូចគ្នាលីនេអ៊ែរនៃ q និង 7 នឹងជាទម្រង់ការ៉េដូចគ្នានៃ q ដែលមេគុណជាមុខងាររបស់ q ។ យើងមាន
ដើម្បីបែងចែកនិស្សន្ទវត្ថុនៃពេលវេលានៃ q យើងសម្គាល់ដោយវង់ក្រចក (q) ដេរីវេនៃ q ដែលយកមកដោយគោរព និងដាក់ឱ្យស្របតាមនេះ
បន្ទាប់មកយើងនឹងមាន
ហើយអាំងតេក្រាល (2) ដែលបង្ហាញតាមរយៈអថេរឯករាជ្យថ្មី A នឹងយកទម្រង់។
និស្សន្ទវត្ថុអាចត្រូវបានលុបចោលដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកម្លាំងរស់នៅ។ ពិតប្រាកដណាស់ អាំងតេក្រាលនៃកម្លាំងរស់នៅនឹងមាន
ការជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ យើងនាំយកអាំងតេក្រាល (2) ទៅជាទម្រង់
អាំងតេក្រាលកំណត់សកម្មភាពដូច្នេះបានយកទម្រង់ចុងក្រោយ (3) ។ អាំងតេក្រាល គឺជាឫសការ៉េនៃទម្រង់បួនជ្រុងនៃបរិមាណ
ចូរយើងបង្ហាញថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអតិបរិមានៃអាំងតេក្រាល (3) គឺពិតជាសមីការ Lagrange ។ សមីការជ្រុល ដោយផ្អែកលើរូបមន្តទូទៅនៃការគណនាបំរែបំរួលនឹងមានៈ
យើងគុណសមីការដោយ 2 ហើយអនុវត្តភាពខុសគ្នាដោយផ្នែកដោយគិតគូរថាមិនមាន នោះយើងទទួលបាន ប្រសិនបើយើងមិនសរសេរលិបិក្រម ,
ទាំងនេះគឺជាសមីការខ្លាំងបំផុតដែលបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឯករាជ្យ។ កិច្ចការឥឡូវគឺត្រូវត្រឡប់ទៅអថេរឯករាជ្យវិញ។
ដោយសារ Г គឺជាមុខងារដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីពីរ និងជាមុខងារដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីមួយ យើងមាន
ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំពោះកត្តានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងសមីការនៃភាពជ្រុលនិយម គេអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកម្លាំងរស់នៅ ដែលនាំឱ្យដូចដែលយើងបានឃើញខាងលើ ចំពោះការជំនួស
ជាលទ្ធផលនៃការជំនួសទាំងអស់ សមីការខ្លាំងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់
ដូច្នេះហើយ យើងបានមកដល់សមីការ Lagrange ។
433. ករណីនៅពេលដែលគ្មានកម្លាំងបើកបរ។
ក្នុងករណីដែលគ្មានកម្លាំងជំរុញមានសមីការសម្រាប់កម្លាំងមនុស្សហើយយើងមាន
លក្ខខណ្ឌដែលអាំងតេក្រាលគឺអប្បបរមាគឺក្នុងករណីនេះ ដែលតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ -10 ត្រូវតែតូចបំផុត។ ដូច្នេះនៅពេលដែលគ្មានកម្លាំងជំរុញ នោះក្នុងចំណោមចលនាទាំងអស់ដែលកម្លាំងរស់នៅរក្សាបាននូវតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដូចគ្នា ចលនាពិតប្រាកដគឺការដែលនាំប្រព័ន្ធពីទីតាំងដំបូងទៅទីតាំងចុងក្រោយរបស់វាក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លីបំផុត។
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាចំណុចតែមួយដែលផ្លាស់ទីតាមបណ្តោយផ្ទៃថេរ នោះចលនាជាក់ស្តែងក្នុងចំណោមចលនាទាំងអស់នៅតាមបណ្តោយផ្ទៃដែលបានអនុវត្តក្នុងល្បឿនដូចគ្នា គឺជាចលនាដែលចំណុចឆ្លងកាត់ពីទីតាំងដំបូងរបស់វាទៅទីតាំងចុងក្រោយ។ ទៅខ្លីបំផុត។
ចន្លោះពេល។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំណុចមួយពណ៌នាលើផ្ទៃនៃបន្ទាត់ខ្លីបំផុតរវាងទីតាំងទាំងពីររបស់វា ពោលគឺ បន្ទាត់ភូមិសាស្ត្រ។
434. ចំណាំ។
គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុតសន្មត់ថាប្រព័ន្ធមានកម្រិតនៃសេរីភាពជាច្រើន ចាប់តាំងពីប្រសិនបើមានកម្រិតសេរីភាពតែមួយ នោះសមីការមួយនឹងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីកំណត់ចលនា។ ដោយសារចលនាក្នុងករណីនេះអាចត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយសមីការនៃកម្លាំងរស់នៅ ចលនាពិតប្រាកដនឹងជាចលនាតែមួយគត់ដែលបំពេញសមីការនេះ ដូច្នេះហើយមិនអាចប្រៀបធៀបជាមួយចលនាផ្សេងទៀតបានទេ។
យើងបានពិនិត្យដោយសង្ខេបនូវគោលការណ៍រូបវន្តដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់បំផុតមួយ - គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត ហើយបានដោះស្រាយលើឧទាហរណ៍មួយដែលហាក់ដូចជាផ្ទុយពីវា។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលឱ្យបានដិតដល់នូវគោលការណ៍នេះ ហើយមើលថាតើមានអ្វីកើតឡើងនៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។
លើកនេះយើងត្រូវការគណិតវិទ្យាបន្ថែមបន្តិច។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងព្យាយាមម្តងទៀត ដើម្បីបង្ហាញផ្នែកសំខាន់នៃអត្ថបទនៅកម្រិតបឋម។ ចំណុចតឹងរ៉ឹង និងស្មុគ្រស្មាញជាងនេះបន្តិច ខ្ញុំនឹងបន្លិចជាពណ៌ ពួកគេអាចរំលងបានដោយមិនមានការរើសអើងចំពោះការយល់ដឹងចម្បងនៃអត្ថបទ។
លក្ខខណ្ឌព្រំដែន
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងវត្ថុសាមញ្ញបំផុត - បាល់មួយផ្លាស់ទីដោយសេរីនៅក្នុងលំហ ដែលមិនត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយកម្លាំងណាមួយឡើយ។ បាល់បែបនេះដូចដែលគេដឹង ផ្លាស់ទីស្មើៗគ្នា និង rectilinearly ។ សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ ឧបមាថាវាផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស៖
ដើម្បីពណ៌នាឱ្យបានត្រឹមត្រូវនូវចលនារបស់វា ជាក្បួន លក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ថានៅពេលដំបូងនៃពេលវេលាដែលបាល់បាននៅចំណុចជាមួយកូអរដោណេនិងមានល្បឿនលឿន។ ដោយកំណត់លក្ខខណ្ឌដំបូងក្នុងទម្រង់នេះ យើងកំណត់ដោយឡែកពីចលនាបន្ថែមទៀតនៃបាល់ - វានឹងផ្លាស់ទីក្នុងល្បឿនថេរ ហើយទីតាំងរបស់វានៅពេលនោះនឹងស្មើនឹងទីតាំងដំបូង បូកនឹងល្បឿនគុណនឹងពេលវេលាដែលបានកន្លងផុតទៅ។ :. វិធីនៃការកំណត់លក្ខខណ្ឌដំបូងនេះគឺមានលក្ខណៈធម្មជាតិ និងស៊ាំនឹងវិចារណញាណ។ យើងបានផ្តល់ព័ត៌មានចាំបាច់ទាំងអស់អំពីចលនារបស់បាល់នៅពេលដំបូង ហើយបន្ទាប់មកចលនារបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់របស់ញូតុន។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមែនជាមធ្យោបាយតែមួយគត់ដើម្បីបញ្ជាក់ចលនារបស់បាល់នោះទេ។ វិធីជំនួសមួយទៀតគឺត្រូវបញ្ជាក់ទីតាំងរបស់បាល់នៅពេលវេលាពីរផ្សេងគ្នា និង . ទាំងនោះ។ កំណត់ថា:
1) នៅពេលនោះបាល់គឺនៅចំណុចមួយ (ជាមួយកូអរដោនេ);
2) នៅពេលដែលបាល់គឺនៅចំណុចមួយ (ជាមួយកូអរដោណេ) ។
កន្សោម "បាននៅចំណុច" មិនមានន័យថាបាល់បានសម្រាកនៅចំណុចនោះទេ។ នៅពេលនោះ វាអាចហោះកាត់ចំណុចនោះ។ វាមានន័យថាទីតាំងរបស់វានៅពេលវេលាស្របគ្នានឹងចំណុច។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ចំណុច។
លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះក៏កំណត់ដោយឡែកពីចលនារបស់បាល់ផងដែរ។ ចលនារបស់វាគឺងាយស្រួលក្នុងការគណនា។ ដើម្បីបំពេញលក្ខខណ្ឌទាំងពីរ ល្បឿននៃបាល់ត្រូវតែច្បាស់។ ទីតាំងរបស់បាល់នៅពេលនេះនឹងស្មើនឹងទីតាំងដំបូង បូកនឹងល្បឿនគុណនឹងពេលវេលាដែលបានកន្លងផុតទៅ៖
ចំណាំថានៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាយើងមិនចាំបាច់កំណត់ល្បឿនដំបូងទេ។ វាត្រូវបានកំណត់ដោយឡែកពីលក្ខខណ្ឌ 1) និង 2) ។
ការកំណត់លក្ខខណ្ឌក្នុងវិធីទីពីរមើលទៅមិនធម្មតា។ ប្រហែលជាវាមិនច្បាស់ថាហេតុអ្វីបានជាវាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ពួកវាក្នុងទម្រង់នេះទាល់តែសោះ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុតវាគឺជាលក្ខខណ្ឌក្នុងទម្រង់ 1) និង 2) ដែលត្រូវបានប្រើហើយមិនមែនជាទម្រង់នៃការបញ្ជាក់ទីតាំងដំបូងនិងល្បឿនដំបូងនោះទេ។
ទិសដៅដែលមានសកម្មភាពតិចបំផុត។
ឥឡូវនេះសូមរំសាយបន្តិចពីចលនាពិតប្រាកដរបស់បាល់ ហើយពិចារណាបញ្ហាគណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធខាងក្រោម។ ចូរនិយាយថាយើងមានបាល់ដែលយើងអាចផ្លាស់ទីដោយដៃតាមវិធីណាមួយដែលយើងចូលចិត្ត។ ក្នុងករណីនេះយើងត្រូវបំពេញលក្ខខណ្ឌ 1) និង 2) ។ ទាំងនោះ។ នៅក្នុងចន្លោះពេលរវាង ហើយយើងត្រូវផ្លាស់ទីវាពីចំណុចមួយទៅចំណុចមួយ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងវិធីផ្សេងគ្នាទាំងស្រុង។ វិធីនីមួយៗ យើងនឹងហៅគន្លងនៃបាល់ ហើយវាអាចត្រូវបានពិពណ៌នាថាជាមុខងារនៃទីតាំងរបស់បាល់ពីពេលវេលា។ ចូរយើងគូរគន្លងបែបនេះជាច្រើននៅលើក្រាហ្វនៃទីតាំងរបស់បាល់ធៀបនឹងពេលវេលា៖
ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចរំកិលបាល់បានក្នុងល្បឿនដូចគ្នា (គន្លងពណ៌បៃតង)។ ឬយើងអាចរក្សាវានៅពាក់កណ្តាលម៉ោង រួចរំកិលវាទៅចង្អុលក្នុងល្បឿនទ្វេដង (ផ្លូវខៀវ)។ ដំបូងអ្នកអាចរំកិលវាទៅទិសផ្ទុយ ហើយបន្ទាប់មកផ្លាស់ទីវាទៅ (ផ្លូវត្នោត)។ អ្នកអាចផ្លាស់ទីវាទៅក្រោយ (ផ្លូវក្រហម)។ ជាទូទៅ អ្នកអាចផ្លាស់ទីវាតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត ដរាបណាលក្ខខណ្ឌ 1) និង 2) ត្រូវបានបំពេញ។
សម្រាប់គន្លងនីមួយៗ យើងអាចផ្គូផ្គងលេខមួយ។ ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង i.e. អវត្ដមាននៃកម្លាំងណាមួយដែលធ្វើសកម្មភាពលើបាល់ លេខនេះគឺស្មើនឹងថាមពល kinetic សរុបសម្រាប់ពេលទាំងមូលនៃចលនារបស់វានៅក្នុងចន្លោះពេលរវាង និងត្រូវបានគេហៅថាសកម្មភាព។
ក្នុងករណីនេះពាក្យថា "បង្គរ" ថាមពល kinetic មិនបង្ហាញពីអត្ថន័យត្រឹមត្រូវទេ។ តាមពិតថាមពល kinetic មិនកកកុញនៅកន្លែងណាទេ ការប្រមូលផ្តុំត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាសកម្មភាពសម្រាប់គន្លងប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា មានគោលគំនិតល្អណាស់សម្រាប់ការប្រមូលផ្តុំបែបនេះ - អាំងតេក្រាល៖ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកបាល់ 1 គីឡូក្រាម កំណត់លក្ខខណ្ឌព្រំដែនមួយចំនួន ហើយគណនាសកម្មភាពសម្រាប់គន្លងពីរផ្សេងគ្នា។ ទុកអោយចំនុចនៅចំងាយ 1 ម៉ែត្រពីចំនុច ហើយពេលវេលាគឺ 1 វិនាទីដាច់ពីពេលវេលា។ ទាំងនោះ។ យើងត្រូវផ្លាស់ទីបាល់ដែលនៅគ្រាដំបូងនៃពេលវេលាគឺនៅចំណុចមួយវិនាទីនៅចម្ងាយ 1 ម៉ែត្រតាមអ័ក្ស។សកម្មភាពជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ។ និមិត្តសញ្ញាមានន័យថាថាមពល kinetic ។ អាំងតេក្រាលនេះមានន័យថាសកម្មភាពគឺស្មើនឹងថាមពលគីណេទិកបង្គរនៃបាល់ក្នុងចន្លោះពេលវេលាពីទៅ។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីមួយ (គន្លងពណ៌បៃតង) យើងបានផ្លាស់ទីបាល់ឱ្យស្មើគ្នាពោលគឺឧ។ ជាមួយនឹងល្បឿនដូចគ្នាដែលជាក់ស្តែងគួរតែស្មើនឹង: m / s ។ ថាមពល kinetic នៃបាល់នៅរាល់ពេលនៃពេលវេលាគឺ: = 1/2 J. ក្នុងមួយវិនាទី 1/2 J នៃថាមពល kinetic នឹងកកកុញ។ ទាំងនោះ។ សកម្មភាពសម្រាប់គន្លងបែបនេះគឺ៖ J s ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងកុំផ្ទេរបាល់ភ្លាមៗពីចំណុចមួយទៅចំណុចមួយ ប៉ុន្តែសង្កត់វានៅចំណុចមួយរយៈកន្លះ ហើយបន្ទាប់មក សម្រាប់ពេលវេលាដែលនៅសល់ ផ្ទេរវាឱ្យស្មើៗគ្នា។ នៅពាក់កណ្តាលទីពីរ បាល់បានសម្រាក ហើយថាមពល kinetic របស់វាគឺសូន្យ។ ដូច្នេះការរួមចំណែកដល់សកម្មភាពនៃផ្នែកនៃគន្លងនេះក៏ស្មើនឹងសូន្យដែរ។ សម្រាប់តង់ទីពីរ យើងផ្លាស់ទីបាល់ក្នុងល្បឿនពីរដង៖ m/s ។ ថាមពល kinetic ក្នុងករណីនេះនឹងស្មើនឹង = 2 J. ការរួមចំណែកនៃចន្លោះពេលនេះចំពោះសកម្មភាពនឹងស្មើនឹង 2 J គុណនឹងពាក់កណ្តាលវិនាទី, i.e. 1 ច។ ដូច្នេះសកម្មភាពសរុបសម្រាប់គន្លងបែបនេះគឺស្មើនឹង J s ។
ដូចគ្នានេះដែរគន្លងផ្សេងទៀតដែលមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែន 1) និង 2) ដែលផ្តល់ឱ្យដោយពួកយើងត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនមួយចំនួនដែលស្មើនឹងសកម្មភាពសម្រាប់គន្លងនេះ។ ក្នុងចំណោមគន្លងទាំងអស់នោះ មានគន្លងមួយដែលមានសកម្មភាពតិចបំផុត។ វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ថាគន្លងនេះគឺជាគន្លងពណ៌បៃតង, i.e. ចលនាស្មើគ្នានៃបាល់។ ចំពោះគន្លងណាមួយផ្សេងទៀត មិនថាវាពិបាកយ៉ាងណាទេ សកម្មភាពនឹងធំជាង 1/2 ។
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ការប្រៀបធៀបសម្រាប់មុខងារនីមួយៗនៃចំនួនជាក់លាក់ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារ។ ជាញឹកញាប់នៅក្នុងរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា មានបញ្ហាស្រដៀងនឹងយើង ពោលគឺឧ។ ដើម្បីស្វែងរកមុខងារបែបនេះ ដែលតម្លៃនៃមុខងារជាក់លាក់មួយគឺតិចតួចបំផុត។ ជាឧទាហរណ៍ បញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាដែលមានសារៈសំខាន់ជាប្រវត្តិសាស្ត្រសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យាគឺបញ្ហានៃ bachistochrone ។ ទាំងនោះ។ ស្វែងរកខ្សែកោងដែលបាល់រមៀលលឿនបំផុត។ ជាថ្មីម្តងទៀត ខ្សែកោងនីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងដោយមុខងារ h(x) ហើយមុខងារនីមួយៗអាចត្រូវបានផ្តល់ជាលេខ ក្នុងករណីនេះ ពេលវេលាដែលបាល់វិល។ ជាថ្មីម្តងទៀត បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការស្វែងរកមុខងារដែលតម្លៃនៃមុខងារមានតិចតួចបំផុត។ សាខានៃគណិតវិទ្យាដែលដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា calculus of variations ។
គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ យើងមានគន្លងពិសេសពីរដែលទទួលបានតាមវិធីពីរផ្សេងគ្នា។គន្លងទីមួយត្រូវបានទទួលពីច្បាប់នៃរូបវិទ្យា ហើយត្រូវគ្នាទៅនឹងគន្លងពិតនៃបាល់សេរី ដែលមិនត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយកម្លាំងណាមួយឡើយ ហើយសម្រាប់លក្ខខណ្ឌព្រំដែនត្រូវបានកំណត់ក្នុងទម្រង់ 1) និង 2)។
គន្លងទីពីរគឺទទួលបានពីបញ្ហាគណិតវិទ្យានៃការស្វែងរកគន្លងដែលមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដែលបានផ្តល់ឱ្យ 1) និង 2) ដែលសកម្មភាពមានតិចតួចបំផុត។
គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុតចែងថាផ្លូវទាំងពីរនេះត្រូវតែស្របគ្នា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើគេដឹងថាបាល់បានផ្លាស់ទីតាមរបៀបដែលលក្ខខណ្ឌព្រំដែន 1) និង 2) ត្រូវបានពេញចិត្ត នោះវាចាំបាច់ត្រូវតែផ្លាស់ទីតាមគន្លងដែលសកម្មភាពមានតិចតួចបើប្រៀបធៀបទៅនឹងគន្លងផ្សេងទៀតដែលមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដូចគ្នា។ .
នេះអាចចាត់ទុកថាជារឿងចៃដន្យ។ អ្នកមិនដែលដឹងពីបញ្ហាដែលគន្លងឯកសណ្ឋាន និងបន្ទាត់ត្រង់លេចឡើងទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត ប្រែទៅជាគោលការណ៍ទូទៅ ដែលមានសុពលភាពផងដែរនៅក្នុងស្ថានភាពផ្សេងទៀត ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ចលនារបស់បាល់នៅក្នុងវាលទំនាញឯកសណ្ឋាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសថាមពល kinetic ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នារវាងថាមពល kinetic និងសក្តានុពល។ ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានគេហៅថា មុខងារ Lagrangian ឬ Lagrange ហើយសកម្មភាពឥឡូវនេះបានក្លាយស្មើនឹង Lagrangian សរុបដែលបានបង្គរ។ តាមពិតមុខងារ Lagrange មានព័ត៌មានចាំបាច់ទាំងអស់អំពីលក្ខណៈសម្បត្តិថាមវន្តនៃប្រព័ន្ធ។
ប្រសិនបើយើងបាញ់គ្រាប់បាល់ក្នុងវាលទំនាញឯកសណ្ឋានក្នុងរបៀបដែលវាហោះកាត់ចំណុចមួយនៅពេលណាមួយ ហើយមកដល់ចំណុចនៅពេលនោះ នោះបើតាមច្បាប់របស់ Newton វានឹងហោះតាមប៉ារ៉ាបូឡា។ វាគឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលនឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងគន្លងដែលសកម្មភាពនឹងមានតិចតួចបំផុត។
ដូច្នេះ សម្រាប់រូបកាយដែលផ្លាស់ទីក្នុងវាលសក្តានុពលមួយ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងវាលទំនាញផែនដី មុខងារ Lagrange គឺ៖ . ថាមពល kinetic អាស្រ័យលើល្បឿននៃរាងកាយ ហើយថាមពលសក្តានុពលអាស្រ័យលើទីតាំងរបស់វា i.e. កូអរដោនេ។ នៅក្នុងមេកានិចវិភាគ សំណុំទាំងមូលនៃកូអរដោណេដែលកំណត់ទីតាំងនៃប្រព័ន្ធជាធម្មតាត្រូវបានតាងដោយអក្សរមួយ។ សម្រាប់បាល់ដែលផ្លាស់ទីដោយសេរីនៅក្នុងវាលទំនាញ មានន័យថា កូអរដោណេ និង .ដើម្បីបង្ហាញពីអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណមួយ ក្នុងរូបវិទ្យា វាជារឿងធម្មតាណាស់ក្នុងការគ្រាន់តែដាក់ចំនុចមួយពីលើបរិមាណនេះ។ ឧទាហរណ៍ វាបង្ហាញពីអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃកូអរដោណេ ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត ល្បឿននៃតួក្នុងទិសដៅ។ ដោយប្រើអនុសញ្ញាទាំងនេះ ល្បឿននៃបាល់របស់យើងនៅក្នុងមេកានិចវិភាគត្រូវបានតំណាងថាជា . ទាំងនោះ។ មានន័យថាសមាសធាតុល្បឿន។
ដោយសារមុខងារ Lagrange អាស្រ័យលើល្បឿន និងកូអរដោនេ ហើយក៏អាចអាស្រ័យលើពេលវេលាផងដែរ (ជាក់លាក់អាស្រ័យលើពេលវេលា ដែលមានន័យថាតម្លៃខុសគ្នានៅពេលវេលាខុសៗគ្នា សម្រាប់ល្បឿនដូចគ្នា និងទីតាំងរបស់បាល់) បន្ទាប់មកសកម្មភាពនៅក្នុង ទូទៅត្រូវបានសរសេរជា
មិនតែងតែតិចតួចទេ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកមុន យើងបានពិចារណាឧទាហរណ៍មួយដែលគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុតមិនដំណើរការ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងបានយកបាល់សេរីម្ដងទៀត ដែលគ្មានកម្លាំងណាមួយធ្វើ ហើយដាក់ជញ្ជាំងដែលមានទឹកនៅជាប់នឹងវា។
យើងកំណត់លក្ខខណ្ឌព្រំដែនដូចជាចំណុចនិងស្របគ្នា។ ទាំងនោះ។ ហើយនៅពេលនៃពេលវេលា និងនៅពេលនៃពេលវេលា បាល់ត្រូវតែស្ថិតនៅចំណុចដូចគ្នា . មួយក្នុងចំណោមគន្លងដែលអាចកើតមាននឹងជាបាល់ដែលនៅស្ងៀម។ ទាំងនោះ។ ចន្លោះពេលទាំងមូលរវាង ហើយវានឹងឈរនៅចំណុច . ថាមពល kinetic និងសក្តានុពលក្នុងករណីនេះនឹងស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះសកម្មភាពសម្រាប់គន្លងបែបនេះក៏នឹងស្មើនឹងសូន្យផងដែរ។
និយាយយ៉ាងតឹងរឹង ថាមពលសក្តានុពលអាចត្រូវបានគេយកស្មើមិនមែនសូន្យ ប៉ុន្តែជាលេខណាមួយ ចាប់តាំងពីភាពខុសគ្នានៃថាមពលសក្តានុពលនៅចំណុចផ្សេងៗគ្នាក្នុងលំហគឺមានសារៈសំខាន់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃថាមពលសក្តានុពលមិនប៉ះពាល់ដល់ការស្វែងរកគន្លងជាមួយនឹងសកម្មភាពតិចតួចបំផុតនោះទេ។ វាគ្រាន់តែថាសម្រាប់គន្លងទាំងអស់ តម្លៃនៃសកម្មភាពនឹងផ្លាស់ប្តូរដោយចំនួនដូចគ្នា ហើយគន្លងដែលមានសកម្មភាពអប្បបរមានឹងនៅតែជាគន្លងជាមួយនឹងសកម្មភាពអប្បបរមា។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល សម្រាប់បាល់របស់យើង យើងនឹងជ្រើសរើសថាមពលដែលមានសក្តានុពលស្មើនឹងសូន្យ។គន្លងរូបវន្តដែលអាចកើតមានមួយទៀតដែលមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដូចគ្នានឹងជាគន្លងដែលបាល់ដំបូងហោះទៅខាងស្តាំ ដោយឆ្លងកាត់ចំណុចនៅពេលនោះ។ បន្ទាប់មកគាត់បុកជាមួយនិទាឃរដូវបង្ហាប់វានិទាឃរដូវត្រង់រុញបាល់ត្រឡប់មកវិញហើយវាម្តងទៀតហោះឆ្លងកាត់ចំណុច។ អ្នកអាចជ្រើសរើសល្បឿនរបស់បាល់បាន ដូច្នេះហើយដោយបានលោតចេញពីជញ្ជាំង វាបានហោះទៅលើចំណុចជាក់ស្តែងនៅពេលនេះ។ សកម្មភាពនៅលើគន្លងបែបនេះនឹងជាមូលដ្ឋានស្មើនឹងថាមពល kinetic បង្គរក្នុងអំឡុងពេលហោះហើររវាងចំណុចនិងជញ្ជាំងនិងខាងក្រោយ។ វានឹងមានកំឡុងពេលខ្លះនៅពេលដែលបាល់បង្ហាប់និទាឃរដូវ ហើយថាមពលសក្តានុពលរបស់វាកើនឡើង ហើយក្នុងអំឡុងពេលនេះ ថាមពលសក្តានុពលនឹងរួមចំណែកអវិជ្ជមានដល់សកម្មភាព។ ប៉ុន្តែរយៈពេលបែបនេះនឹងមិនមានទំហំធំខ្លាំងទេ ហើយនឹងមិនកាត់បន្ថយឥទ្ធិពលខ្លាំងនោះទេ។
តួរលេខនេះបង្ហាញពីគន្លងដែលអាចធ្វើបានខាងរាងកាយរបស់បាល់។ គន្លងពណ៌បៃតងត្រូវគ្នាទៅនឹងបាល់មួយនៅពេលសម្រាក ខណៈពេលដែលពណ៌ខៀវត្រូវគ្នាទៅនឹងបាល់ដែលលោតចេញពីជញ្ជាំងនិទាឃរដូវ។
យ៉ាងណាមិញមានតែមួយគត់ដែលមានឥទ្ធិពលតិចតួចគឺទី១! គន្លងទីពីរមានសកម្មភាពច្រើនជាង។ វាប្រែថានៅក្នុងបញ្ហានេះមានគន្លងដែលអាចកើតមានខាងរាងកាយពីរហើយមានតែមួយគត់ដែលមានសកម្មភាពតិចតួចបំផុត។ ទាំងនោះ។ ក្នុងករណីនេះគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុតមិនដំណើរការទេ។
ចំណុចស្ថានី
ដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលកំពុងកើតឡើងនៅទីនេះ ចូរយើងពិចារណាពីគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត ហើយដោះស្រាយជាមួយមុខងារធម្មតា។ តោះយកមុខងារខ្លះហើយគូរក្រាហ្វរបស់វា៖
នៅលើក្រាហ្វ ខ្ញុំបានសម្គាល់ចំណុចពិសេសចំនួនបួនជាពណ៌បៃតង។ តើអ្វីជារឿងធម្មតាសម្រាប់ចំណុចទាំងនេះ? ស្រមៃថាក្រាហ្វនៃមុខងារគឺជាស្លាយពិតប្រាកដដែលបាល់អាចរមៀលបាន។ ចំណុចដែលបានកំណត់ទាំងបួនគឺពិសេសត្រង់ថា ប្រសិនបើអ្នកដាក់បាល់ត្រង់ចំណុចនេះ នោះវានឹងមិនរមៀលទៅណានោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ ចំណុច E គាត់នឹងមិនអាចឈរស្ងៀមបានទេ ហើយនឹងចាប់ផ្តើមរអិលចុះក្រោម។ ចំណុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាស្ថានី។ ការស្វែងរកចំណុចបែបនេះគឺជាកិច្ចការដ៏មានសារៈប្រយោជន៍មួយ ព្រោះថាមុខងារអតិបរមា ឬអប្បរមានៃណាមួយ ប្រសិនបើវាមិនមានការបំបែកខ្លាំងនោះ ត្រូវតែជាចំណុចស្ថានី។
ប្រសិនបើយើងចាត់ថ្នាក់ចំណុចទាំងនេះឱ្យកាន់តែច្បាស់នោះ ចំណុច A គឺជាអប្បបរមាដាច់ខាតនៃអនុគមន៍ ពោលគឺឧ។ តម្លៃរបស់វាគឺតិចជាងតម្លៃមុខងារផ្សេងទៀត។ ចំណុច B គឺមិនមែនជាអតិបរមា ឬអប្បរមាទេ ហើយត្រូវបានគេហៅថាចំណុចកែប។ ចំណុច C ត្រូវបានគេហៅថាអតិបរមាក្នុងស្រុក i.e. តម្លៃនៅក្នុងវាគឺធំជាងចំណុចជិតខាងនៃមុខងារ។ ហើយចំនុច D គឺជាអប្បបរមាក្នុងស្រុក ឧ។ តម្លៃនៅក្នុងវាគឺតិចជាងចំណុចជិតខាងនៃមុខងារ។
សាខានៃគណិតវិទ្យាដែលហៅថា ការគណនាត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងការស្វែងរកចំណុចបែបនេះ។ នៅក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀត ជួនកាលវាត្រូវបានគេហៅថាការវិភាគគ្មានកំណត់ផងដែរ ព្រោះវាអាចដំណើរការជាមួយនឹងបរិមាណគ្មានកំណត់។ តាមទស្សនៈនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ចំនុចស្ថានីមានទ្រព្យសម្បត្តិពិសេសមួយ ដោយសារពួកគេត្រូវបានរកឃើញ។ ដើម្បីស្វែងយល់ថាតើទ្រព្យសម្បត្តិនេះជាអ្វី យើងត្រូវយល់ថាមុខងារនេះមើលទៅដូចអ្វីនៅចម្ងាយតិចតួចបំផុតពីចំណុចទាំងនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងយកមីក្រូទស្សន៍ហើយពិនិត្យមើលវានៅចំណុចរបស់យើង។ តួរលេខបង្ហាញពីរបៀបដែលមុខងារមើលទៅក្នុងបរិវេណជុំវិញនៃចំណុចផ្សេងៗនៅការពង្រីកផ្សេងៗ។
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅការពង្រីកខ្ពស់ណាស់ (ឧទាហរណ៍សម្រាប់គម្លាតតូចបំផុតនៃ x) ចំនុចស្ថានីមើលទៅដូចគ្នាបេះបិទ និងខុសគ្នាខ្លាំងពីចំនុចមិនឋិតិវន្ត។ វាងាយស្រួលយល់ថាតើភាពខុសគ្នានេះជាអ្វី - ក្រាហ្វនៃមុខងារនៅចំណុចស្ថានីក្លាយជាបន្ទាត់ផ្តេកយ៉ាងតឹងរឹងជាមួយនឹងការកើនឡើង ហើយនៅចំណុចមិនឋិតិវន្តវាក្លាយជាទំនោរមួយ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលបាល់ដែលបានដំឡើងនៅចំណុចស្ថានីនឹងមិនរមៀលទេ។
ភាពផ្តេកនៃអនុគមន៍នៅចំណុចស្ថានីអាចបង្ហាញក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀត៖ មុខងារមួយនៅចំណុចស្ថានីអនុវត្តជាក់ស្តែងមិនផ្លាស់ប្តូរជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចបំផុតនៅក្នុងអាគុយម៉ង់របស់វា សូម្បីតែបើប្រៀបធៀបទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ខ្លួនវាក៏ដោយ។ មុខងារនៅចំណុចមិនឋិតិវន្តជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតូចមួយផ្លាស់ប្តូរសមាមាត្រទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរ។ ហើយជម្រាលមុខងារកាន់តែធំ មុខងារកាន់តែផ្លាស់ប្តូរនៅពេល . តាមការពិត នៅពេលដែលមុខងារកើនឡើង វាកាន់តែមានដូចជាតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៅចំណុចក្នុងសំណួរ។
នៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យាដ៏តឹងរឹង កន្សោម "មុខងារអនុវត្តមិនផ្លាស់ប្តូរនៅចំណុចជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចបំផុត" មានន័យថាសមាមាត្រនៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ និងការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអាគុយម៉ង់របស់វាមាននិន្នាការទៅ 0 ដូចដែលវាមានទំនោរទៅ 0:$$display$$\lim_(∆x\to 0) \frac (∆y(x_0))(∆x) = \lim_(x\to 0) \frac (y(x_0+∆x)-y(x_0) )(∆x) = 0$$ បង្ហាញ$$
សម្រាប់ចំនុចដែលមិនមែនជាស្ថានី សមាមាត្រនេះមានទំនោរទៅជាលេខមិនសូន្យ ដែលស្មើនឹងតង់ហ្សង់នៃជម្រាលនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។ លេខដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បង្ហាញពីរបៀបដែលមុខងារផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងលឿនជុំវិញចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតូចមួយនៅក្នុងអាគុយម៉ង់របស់វា។ ដូច្នេះ ចំណុចស្ថានី គឺជាចំណុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺ 0 ។
គន្លងស្ថានី
ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយចំនុចស្ថានី យើងអាចណែនាំគោលគំនិតនៃគន្លងស្ថានី។ សូមចាំថាសម្រាប់គន្លងនីមួយៗយើងមានតម្លៃជាក់លាក់នៃសកម្មភាពពោលគឺឧ។ លេខមួយចំនួន។ បន្ទាប់មកអាចមានគន្លងបែបនេះ ដែលសម្រាប់គន្លងនៅជិតវាជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដូចគ្នា តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃសកម្មភាពនឹងមិនខុសពីសកម្មភាពសម្រាប់គន្លងស្ថានីបំផុតនោះទេ។ គន្លងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាស្ថានី។ ម្យ៉ាងវិញទៀតគន្លងណាមួយដែលនៅជិតស្ថានការណ៍នឹងមានតម្លៃសកម្មភាពតិចតួចណាស់ដែលខុសពីសកម្មភាពសម្រាប់គន្លងស្ថានីនោះ។ជាថ្មីម្តងទៀត នៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា "ខុសគ្នាបន្តិច" មានន័យជាក់លាក់ដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាយើងមានមុខងារសម្រាប់មុខងារដែលមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដែលត្រូវការ 1) និង 2) i.e. និង . ចូរយើងសន្មត់ថាគន្លងគឺនៅស្ងៀម។យើងអាចយកមុខងារផ្សេងទៀតដូចដែលវាយកតម្លៃសូន្យនៅខាងចុង, i.e. = = 0. យកអថេរមួយផងដែរ ដែលយើងនឹងធ្វើឱ្យតូចជាង និងតូចជាង។ ពីមុខងារទាំងពីរនេះ និងអថេរ យើងអាចបង្កើតមុខងារទីបីដែលនឹងបំពេញលក្ខខណ្ឌព្រំដែន និង . នៅពេលដែលវាថយចុះ នោះគន្លងដែលត្រូវនឹងមុខងារនឹងកាន់តែខិតទៅជិតគន្លង។
ក្នុងករណីនេះ សម្រាប់គន្លងស្ថានីសម្រាប់តូច តម្លៃនៃមុខងារសម្រាប់គន្លងនឹងមានភាពខុសគ្នាតិចតួចពីតម្លៃនៃមុខងារសម្រាប់សូម្បីតែបើប្រៀបធៀបទៅនឹង . ទាំងនោះ។
$$display$$\lim_(ε \to 0) \frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=\lim_(ε\to 0) \frac (S(x( t)+εg(t))-S(x(t)))ε = 0$$ បង្ហាញ$$
លើសពីនេះទៅទៀត នេះគួរតែជាការពិតសម្រាប់គន្លងណាមួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌព្រំដែន = = 0 ។ការផ្លាស់ប្តូរមុខងារជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតូចមួយនៅក្នុងអនុគមន៍ (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត ផ្នែកលីនេអ៊ែរនៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារសមាមាត្រទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ) ត្រូវបានគេហៅថា បំរែបំរួលនៃមុខងារ ហើយត្រូវបានតាងដោយ . ពីពាក្យ "បំរែបំរួល" មកឈ្មោះ "ការគណនានៃការប្រែប្រួល" ។
សម្រាប់គន្លងស្ថានី ការប្រែប្រួលនៃមុខងារ។
វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកមុខងារស្ថានី (មិនត្រឹមតែសម្រាប់គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុតប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់បញ្ហាជាច្រើនទៀតផងដែរ) ត្រូវបានរកឃើញដោយគណិតវិទូពីរនាក់គឺ អយល័រ និង ឡាហ្គ្រេន។ វាប្រែថាមុខងារស្ថានីដែលមុខងារត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយអាំងតេក្រាលដូចជាអាំងតេក្រាលសកម្មភាពត្រូវតែបំពេញសមីការជាក់លាក់មួយ ដែលឥឡូវហៅថាសមីការអយល័រ-ឡាហ្គ្រេន។
គោលការណ៍នៃសកម្មភាពស្ថានី
ស្ថានភាពដែលមានសកម្មភាពអប្បបរមាសម្រាប់គន្លងគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងស្ថានភាពដែលមានអប្បបរមាសម្រាប់មុខងារ។ ដើម្បីឱ្យគន្លងមានសកម្មភាពតិចបំផុត វាត្រូវតែជាគន្លងស្ថានី។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនគន្លងស្ថានីទាំងអស់ គឺជាគន្លងដែលមានសកម្មភាពតិចតួចបំផុតនោះទេ។ ឧទាហរណ៍ គន្លងស្ថានីអាចមានសកម្មភាពអប្បបរមានៅក្នុងមូលដ្ឋាន។ ទាំងនោះ។ វានឹងមានសកម្មភាពតិចជាងគន្លងជិតខាងដទៃទៀត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅកន្លែងណាមួយឆ្ងាយ អាចមានគន្លងផ្សេងទៀត ដែលសកម្មភាពនឹងកាន់តែតិច។វាប្រែថារូបកាយពិតប្រហែលជាមិនចាំបាច់ផ្លាស់ទីតាមគន្លងដែលមានសកម្មភាពតិចបំផុតនោះទេ។ ពួកគេអាចផ្លាស់ទីតាមគន្លងពិសេសដែលធំទូលាយជាងមុន ពោលគឺគន្លងស្ថានី។ ទាំងនោះ។ គន្លងពិតរបស់រាងកាយនឹងស្ថិតស្ថេរជានិច្ច។ ដូច្នេះគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុតត្រូវបានគេហៅថាត្រឹមត្រូវជាងគោលការណ៍នៃសកម្មភាពស្ថានី។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យោងទៅតាមទំនៀមទម្លាប់ដែលបានបង្កើតឡើង វាច្រើនតែត្រូវបានគេហៅថាគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត ដែលបង្កប់ន័យមិនត្រឹមតែអប្បរមាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏ជាភាពស្ថិតស្ថេរនៃគន្លងផងដែរ។
ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរគោលការណ៍នៃសកម្មភាពស្ថានីជាភាសាគណិតវិទ្យា ដូចដែលវាត្រូវបានសរសេរជាធម្មតានៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា :.ប្រសិនបើយើងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍ដោយប្រើបាល់និងជញ្ជាំងយឺតនោះការពន្យល់អំពីស្ថានភាពនេះក្លាយជាសាមញ្ញណាស់ឥឡូវនេះ។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌព្រំដែនដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលបាល់ត្រូវតែនៅចំណុចទាំងនៅពេលនិងនៅពេលនោះមានគន្លងស្ថានីពីរ។ ហើយបាល់ពិតជាអាចផ្លាស់ទីតាមគន្លងណាមួយនៃគន្លងទាំងនេះ។ ដើម្បីជ្រើសរើសគន្លងណាមួយឱ្យបានច្បាស់លាស់ អ្នកអាចដាក់លក្ខខណ្ឌបន្ថែមលើចលនារបស់បាល់។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរនិយាយថាបាល់គួរតែលោតចេញពីជញ្ជាំង។ បន្ទាប់មកគន្លងនឹងត្រូវបានកំណត់ដោយមិនច្បាស់លាស់។នៅទីនេះ កូអរដោណេទូទៅ ឧ. សំណុំនៃអថេរដែលបញ្ជាក់ទីតាំងនៃប្រព័ន្ធ។
- អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃកូអរដោនេទូទៅ។
- មុខងារ Lagrange ដែលអាស្រ័យលើកូអរដោណេទូទៅ ល្បឿនរបស់វា និងពេលវេលា។
- សកម្មភាពដែលអាស្រ័យលើគន្លងជាក់លាក់នៃប្រព័ន្ធ (ឧទាហរណ៍ពី) ។គន្លងពិតប្រាកដនៃប្រព័ន្ធគឺស្ថានី, i.e. សម្រាប់ពួកគេ ការប្រែប្រួលនៃសកម្មភាព។
ពីគោលការណ៍នៃសកម្មភាពយ៉ាងហោចណាស់ (កាន់តែច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត ស្ថានី) ផលវិបាកគួរឱ្យកត់សម្គាល់មួយចំនួនកើតឡើង ដែលយើងនឹងពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់។
ពេលខ្ញុំរៀនអំពីគោលការណ៍នេះជាលើកដំបូង ខ្ញុំមានអារម្មណ៍នៃការធ្វើអាថ៌កំបាំងមួយចំនួន។ វាហាក់ដូចជាថាធម្មជាតិបានតម្រៀបយ៉ាងអាថ៌កំបាំងតាមគ្រប់មធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបាននៃចលនារបស់ប្រព័ន្ធ ហើយជ្រើសរើសអ្វីដែលល្អបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេ។
ថ្ងៃនេះខ្ញុំចង់និយាយបន្តិចអំពីគោលការណ៍រូបវន្តដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់បំផុតមួយ - គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត។
ផ្ទៃខាងក្រោយ
ចាប់តាំងពីសម័យកាលនៃកាលីលេ វាត្រូវបានគេដឹងថាសាកសពដែលមិនត្រូវបានធ្វើសកម្មភាពដោយកម្លាំងណាមួយផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ ពោលគឺនៅតាមបណ្តោយផ្លូវខ្លីបំផុត។ កាំរស្មីពន្លឺក៏ធ្វើដំណើរតាមបន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ។ពេលដែលឆ្លុះបញ្ចាំង ពន្លឺក៏ធ្វើចលនាក្នុងរបៀបមួយដើម្បីទទួលពីចំណុចមួយទៅចំណុចមួយក្នុងវិធីខ្លីបំផុត។ នៅក្នុងរូបភាព ផ្លូវខ្លីបំផុតនឹងជាផ្លូវពណ៌បៃតង ដែលមុំនៃឧប្បត្តិហេតុស្មើនឹងមុំឆ្លុះបញ្ចាំង។ ផ្លូវផ្សេងទៀតដូចជាផ្លូវក្រហមនឹងវែងជាង។
នេះគឺងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ដោយគ្រាន់តែឆ្លុះបញ្ចាំងពីផ្លូវនៃកាំរស្មីទៅផ្នែកម្ខាងនៃកញ្ចក់។ ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញជាបន្ទាត់ចំនុចនៅក្នុងរូបភាព។
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាផ្លូវពណ៌បៃតង ACB ប្រែទៅជា ACB បន្ទាត់ត្រង់។ ហើយផ្លូវក្រហមប្រែទៅជាបន្ទាត់ខូច ADB' ដែលជាការពិតណាស់គឺវែងជាងផ្លូវបៃតង។
នៅឆ្នាំ 1662 Pierre Fermat បានផ្តល់យោបល់ថាល្បឿននៃពន្លឺនៅក្នុងសារធាតុក្រាស់ដូចជាកញ្ចក់គឺតិចជាងនៅក្នុងខ្យល់។ មុននេះ កំណែដែលទទួលយកជាទូទៅគឺ Descartes ដែលយោងទៅតាមល្បឿននៃពន្លឺនៅក្នុងរូបធាតុត្រូវតែធំជាងនៅលើអាកាស ដើម្បីទទួលបានច្បាប់ចំណាំងបែរត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ Fermat ការសន្មត់ថាពន្លឺអាចផ្លាស់ទីបានលឿននៅក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកក្រាស់ជាងនៅក្នុងវត្ថុដ៏កម្រ ហាក់ដូចជាខុសពីធម្មជាតិ។ ដូច្នេះហើយ គាត់បានសន្មត់ថា អ្វីៗគឺផ្ទុយស្រលះ ហើយបានបង្ហាញពីភាពអស្ចារ្យមួយ - ក្រោមការសន្មត់នេះ ពន្លឺត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំង ដើម្បីទៅដល់គោលដៅរបស់វាក្នុងរយៈពេលអប្បបរមា។
នៅក្នុងរូបភាពម្តងទៀត ពណ៌បៃតងបង្ហាញពីផ្លូវដែលធ្នឹមពន្លឺពិតជាធ្វើដំណើរ។ ផ្លូវដែលសម្គាល់ជាពណ៌ក្រហមគឺខ្លីបំផុត ប៉ុន្តែមិនលឿនបំផុតទេ ព្រោះពន្លឺមានផ្លូវវែងជាងក្នុងការធ្វើដំណើរក្នុងកញ្ចក់ ហើយល្បឿនរបស់វាយឺតជាងនៅក្នុងនោះ។ លឿនបំផុតគឺជាផ្លូវពិតនៃធ្នឹមពន្លឺ។
ការពិតទាំងអស់នេះបានណែនាំថា ធម្មជាតិធ្វើសកម្មភាពតាមរបៀបសមហេតុផល ពន្លឺ និងរូបកាយផ្លាស់ទីតាមរបៀបដ៏ប្រសើរបំផុត ដោយចំណាយការខិតខំប្រឹងប្រែងតិចតួចតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែអ្វីទៅជាកិច្ចខិតខំប្រឹងប្រែងទាំងនេះ និងរបៀបគណនាវានៅតែជាអាថ៌កំបាំង។
នៅឆ្នាំ 1744 Maupertuis បានណែនាំគំនិតនៃ "សកម្មភាព" និងបង្កើតគោលការណ៍នេះបើយោងតាមដែលគន្លងពិតនៃភាគល្អិតខុសពីអ្វីផ្សេងទៀតដែលសកម្មភាពសម្រាប់វាគឺតិចតួចបំផុត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ Maupertuis ខ្លួនឯងមិនអាចផ្តល់និយមន័យច្បាស់លាស់នៃសកម្មភាពនេះស្មើនឹងអ្វីនោះទេ។ រូបមន្តគណិតវិទ្យាយ៉ាងម៉ត់ចត់នៃគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុតត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូផ្សេងទៀត - អយល័រ, ឡាហ្គែន ហើយចុងក្រោយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ វីលៀម ហាមីលតុន៖
នៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុតត្រូវបានបង្កើតយ៉ាងខ្លី ប៉ុន្តែមិនមែនអ្នកអានទាំងអស់អាចយល់ពីអត្ថន័យនៃសញ្ញាណដែលបានប្រើនោះទេ។ ខ្ញុំចង់ព្យាយាមពន្យល់គោលការណ៍នេះឱ្យកាន់តែច្បាស់ និងក្នុងន័យសាមញ្ញជាង
រាងកាយរលុង
ដូច្នេះ ស្រមៃថាអ្នកកំពុងអង្គុយក្នុងរថយន្តនៅចំណុចមួយ ហើយនៅចំណុចមួយក្នុងពេលដែលអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចសាមញ្ញមួយ: តាមពេលវេលាដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីបើកឡានទៅចំណុច។
ប្រេងឥន្ធនៈសម្រាប់រថយន្តមានតម្លៃថ្លៃ ហើយពិតណាស់អ្នកចង់ចំណាយវាឱ្យតិចបំផុតតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ រថយន្តរបស់អ្នកត្រូវបានផលិតដោយប្រើបច្ចេកវិជ្ជាទំនើបចុងក្រោយ ហើយអាចបង្កើនល្បឿន ឬបន្ថយបានលឿនតាមដែលអ្នកចង់បាន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាត្រូវបានរចនាឡើងតាមរបៀបដែលវាកាន់តែលឿន វាស៊ីប្រេងកាន់តែច្រើន។ លើសពីនេះទៅទៀត ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈគឺសមាមាត្រទៅនឹងការ៉េនៃល្បឿន។ ប្រសិនបើអ្នកបើកបរលឿនជាងពីរដង នោះអ្នកស៊ីប្រេងច្រើនជាង 4 ដងក្នុងបរិមាណដូចគ្នា។ បន្ថែមពីលើល្បឿនការប្រើប្រាស់ប្រេងពិតណាស់ត្រូវបានប៉ះពាល់ដោយម៉ាសរបស់រថយន្ត។ ឡានរបស់យើងកាន់តែធ្ងន់ វាស៊ីប្រេងកាន់តែច្រើន។ ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈរបស់រថយន្តយើងរាល់ពេលគឺ ពោលគឺឧ។ គឺពិតជាស្មើនឹងថាមពល kinetic របស់រថយន្ត។
ដូច្នេះតើអ្នកត្រូវបើកបរដោយរបៀបណាដើម្បីឱ្យដល់ចំណុចទាន់ពេលវេលា និងប្រើប្រេងតិចតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? វាច្បាស់ណាស់ថាអ្នកត្រូវទៅត្រង់។ ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចម្ងាយធ្វើដំណើរ ប្រេងឥន្ធនៈនឹងត្រូវប្រើប្រាស់យ៉ាងពិតប្រាកដមិនតិចទេ។ ហើយបន្ទាប់មកអ្នកអាចជ្រើសរើសយុទ្ធសាស្ត្រផ្សេងៗ។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកអាចទៅដល់ចំណុចមុនបានយ៉ាងលឿន ហើយគ្រាន់តែអង្គុយរង់ចាំពេលវេលានឹងមកដល់។ ល្បឿននៃការបើកបរ ហេតុដូច្នេះហើយ ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈនៅពេលនីមួយៗនឹងមានកម្រិតខ្ពស់ ប៉ុន្តែពេលវេលានៃការបើកបរក៏នឹងត្រូវកាត់បន្ថយផងដែរ។ ប្រហែលជាការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈជាទូទៅក្នុងករណីនេះនឹងមិនអស្ចារ្យទេ។ ឬអាចទៅបានស្មើគ្នាដោយមានល្បឿនដូចគ្នាដោយមិនប្រញាប់ទេ គឺមកដល់ពេលវេលាជាក់ជាមិនខាន។ ឬមួយផ្នែកនៃផ្លូវដើរលឿន ហើយផ្នែកយឺតជាង។ តើអ្វីជាវិធីល្អបំផុតដើម្បីទៅ?
វាប្រែថា មធ្យោបាយដែលសន្សំសំចៃបំផុត និងសន្សំសំចៃបំផុតក្នុងការបើកបរគឺត្រូវបើកបរក្នុងល្បឿនថេរ ដូចជាត្រូវដល់ចំណុចតាមពេលវេលាជាក់លាក់។ ជម្រើសណាមួយផ្សេងទៀតនឹងប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈកាន់តែច្រើន។ អ្នកអាចពិនិត្យមើលដោយខ្លួនឯងជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ មូលហេតុគឺដោយសារការស៊ីសាំងកើនឡើងជាមួយនឹងល្បឿនការ៉េ។ ដូច្នេះនៅពេលដែលល្បឿនកើនឡើង ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈកើនឡើងលឿនជាងពេលបើកបរថយចុះ ហើយការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈទាំងមូលក៏កើនឡើងផងដែរ។
ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញថា ប្រសិនបើរថយន្តស៊ីសាំងនៅពេលវេលាណាមួយក្នុងសមាមាត្រទៅនឹងថាមពលកលល្បិចរបស់វានោះ មធ្យោបាយសន្សំសំចៃបំផុតក្នុងការធ្វើដំណើរពីចំណុចមួយទៅចំណុចមួយតាមពេលវេលាដែលបានកំណត់គឺត្រូវបើកបរស្មើៗគ្នា និងត្រង់ដូច រាងកាយផ្លាស់ទីដោយមិនមានកម្លាំងធ្វើសកម្មភាពលើវា កម្លាំង។ វិធីផ្សេងទៀតនៃការបើកបរនឹងនាំឱ្យការប្រើប្រាស់ប្រេងសរុបខ្ពស់ជាង។
នៅក្នុងវាលទំនាញ
ឥឡូវយើងកែលម្អរថយន្តរបស់យើងបន្តិច។ ចូរភ្ជាប់ម៉ាស៊ីនយន្តហោះទៅវា ដើម្បីឱ្យវាអាចហោះហើរដោយសេរីក្នុងទិសដៅណាមួយ។ ជាទូទៅការរចនានៅតែដដែល ដូច្នេះការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈម្តងទៀតនៅតែសមាមាត្រយ៉ាងតឹងរឹងទៅនឹងថាមពល kinetic របស់រថយន្ត។ ប្រសិនបើឥឡូវនេះភារកិច្ចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដើម្បីចាកចេញពីចំណុចមួយនៅពេលមួយហើយមកដល់ចំណុចមួយនៅពេល t នោះវិធីសន្សំសំចៃបំផុតដូចពីមុនជាការពិតណាស់នឹងហោះហើរស្មើៗគ្នានិងក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ដើម្បីទៅដល់ចំណុចពិតប្រាកដ។ ពេលវេលាកំណត់ t ។ នេះម្តងទៀតទាក់ទងទៅនឹងចលនាសេរីនៃរាងកាយក្នុងលំហបីវិមាត្រ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយឧបករណ៍មិនធម្មតាមួយត្រូវបានដំឡើងនៅក្នុងម៉ូដែលចុងក្រោយនៃរថយន្ត។ អង្គភាពនេះអាចផលិតឥន្ធនៈតាមព្យញ្ជនៈពីអ្វីទាំងអស់។ ប៉ុន្តែការរចនាគឺថារថយន្តកាន់តែខ្ពស់ ឧបករណ៍នឹងផលិតប្រេងកាន់តែច្រើននៅពេលណាមួយ។ ទិន្នផលឥន្ធនៈគឺសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងកម្ពស់ដែលយានយន្តស្ថិតនៅបច្ចុប្បន្ន។ ម្យ៉ាងវិញទៀត រថយន្តកាន់តែធ្ងន់ ឧបករណ៍ដែលមានកម្លាំងខ្លាំងត្រូវបានដំឡើងនៅលើវា និងផលិតប្រេងកាន់តែច្រើន ហើយទិន្នផលគឺសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងម៉ាស់របស់រថយន្ត។ ឧបករណ៍បានប្រែទៅជាដូចដែលទិន្នផលប្រេងឥន្ធនៈគឺពិតជាស្មើនឹង (កន្លែងដែលការបង្កើនល្បឿនធ្លាក់ចុះដោយឥតគិតថ្លៃ) ពោលគឺឧ។ ថាមពលសក្តានុពលនៃរថយន្ត។
ការប្រើប្រាស់ឥន្ធនៈនៅពេលនីមួយៗគឺស្មើនឹងថាមពល kinetic ដកថាមពលសក្តានុពលរបស់រថយន្ត (ដកថាមពលសក្តានុពល ដោយសាររថយន្តដែលបានដំឡើងនោះផលិតប្រេង ហើយមិនចំណាយ)។ ឥឡូវនេះភារកិច្ចរបស់យើងគឺចលនាសន្សំសំចៃបំផុតនៃឡានរវាងចំនុចហើយវាកាន់តែពិបាក។ ចលនាឯកសណ្ឋាន rectilinear ក្នុងករណីនេះមិនមានប្រសិទ្ធភាពបំផុតនោះទេ។ វាប្រែថាវាល្អប្រសើរជាងក្នុងការឡើងភ្នំបន្តិច ដេកនៅទីនោះមួយសន្ទុះ ដោយបានបង្កើតឥន្ធនៈកាន់តែច្រើន ហើយបន្ទាប់មកចុះទៅចំណុច។ ជាមួយនឹងផ្លូវហោះហើរត្រឹមត្រូវ ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈសរុបដោយសារតែការឡើងភ្នំនឹងគ្របដណ្តប់លើថ្លៃប្រេងឥន្ធនៈបន្ថែមសម្រាប់ការបង្កើនប្រវែងផ្លូវ និងការបង្កើនល្បឿន។ ប្រសិនបើគណនាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន មធ្យោបាយសន្សំសំចៃបំផុតសម្រាប់រថយន្តគឺការហោះហើរក្នុងប៉ារ៉ាបូឡា ក្នុងគន្លងដូចគ្នា និងក្នុងល្បឿនដូចគ្នាទៅនឹងដុំថ្មនឹងហោះក្នុងវាលទំនាញផែនដី។
នៅទីនេះវាមានតម្លៃធ្វើឱ្យមានការពន្យល់។ ជាការពិតណាស់ វាអាចនឹងគប់ដុំថ្មពីចំណុចមួយតាមវិធីផ្សេងៗគ្នាដើម្បីឱ្យវាប៉ះដល់ចំណុចនោះ។ ប៉ុន្តែ អ្នកត្រូវបោះវាក្នុងរបៀបដែលដោយបានហោះចេញពីចំណុចមួយនៅពេលនោះ វានឹងប៉ះដល់ចំណុចមួយនៅពេលនោះ។ វាគឺជាចលនានេះដែលនឹងសន្សំសំចៃបំផុតសម្រាប់រថយន្តរបស់យើង។
មុខងារ Lagrange និងគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត។
ឥឡូវនេះយើងអាចផ្ទេរភាពស្រដៀងគ្នានេះទៅរូបកាយពិត។ analogue នៃអាំងតង់ស៊ីតេនៃការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈសម្រាប់សាកសពត្រូវបានគេហៅថាមុខងារ Lagrange ឬ Lagrangian (ជាកិត្តិយសនៃ Lagrange) ហើយត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ។ Lagrangian បង្ហាញពីចំនួន "ឥន្ធនៈ" ដែលរាងកាយប្រើប្រាស់នៅពេលកំណត់។ សម្រាប់រាងកាយដែលផ្លាស់ទីនៅក្នុងវាលសក្តានុពលមួយ Lagrangian គឺស្មើនឹងថាមពល kinetic របស់វាដកថាមពលសក្តានុពលរបស់វា។analogue នៃចំនួនសរុបនៃឥន្ធនៈប្រើប្រាស់សម្រាប់រយៈពេលទាំងមូលនៃចលនា, i.e. តម្លៃនៃ Lagrangian ដែលប្រមូលផ្តុំពេញមួយពេលនៃចលនាត្រូវបានគេហៅថា "សកម្មភាព" ។
គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត គឺរាងកាយធ្វើចលនាតាមរបៀបដែលសកម្មភាព (ដែលអាស្រ័យលើគន្លងនៃចលនា) មានតិចតួចបំផុត។ ក្នុងករណីនេះមនុស្សម្នាក់មិនគួរភ្លេចថាលក្ខខណ្ឌដំបូងនិងចុងក្រោយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ, i.e. កន្លែងដែលរាងកាយគឺនៅពេលនិងពេលវេលា។
ក្នុងករណីនេះរាងកាយមិនចាំបាច់ផ្លាស់ទីក្នុងវាលទំនាញឯកសណ្ឋានមួយដែលយើងចាត់ទុកថាសម្រាប់រថយន្តរបស់យើង។ អ្នកអាចពិចារណាស្ថានភាពខុសគ្នាទាំងស្រុង។ រាងកាយអាចយោលនៅលើក្រុមកៅស៊ូ យោលលើប៉ោល ឬហោះហើរជុំវិញព្រះអាទិត្យ ក្នុងករណីទាំងអស់នេះ វាធ្វើចលនាក្នុងវិធីមួយដើម្បីកាត់បន្ថយ "ការប្រើប្រាស់ប្រេងឥន្ធនៈសរុប" ពោលគឺឧ។ សកម្មភាព។
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានសាកសពជាច្រើន នោះ Lagrangian នៃប្រព័ន្ធបែបនេះនឹងស្មើនឹងថាមពល kinetic សរុបនៃសាកសពទាំងអស់ ដកថាមពលសក្តានុពលសរុបនៃសាកសពទាំងអស់។ ហើយម្តងទៀត រាងកាយទាំងអស់នឹងផ្លាស់ទីនៅក្នុងការប្រគុំតន្ត្រី ដូច្នេះឥទ្ធិពលនៃប្រព័ន្ធទាំងមូលក្នុងអំឡុងពេលចលនាបែបនេះមានតិចតួចបំផុត។
មិនសាមញ្ញទេ។
តាមពិតទៅ ខ្ញុំបានបោកបញ្ឆោតបន្តិចបន្តួចដោយនិយាយថា សាកសពតែងតែធ្វើចលនាក្នុងរបៀបមួយ ដើម្បីកាត់បន្ថយសកម្មភាព។ ទោះបីជាក្នុងករណីជាច្រើននេះជាការពិតក៏ដោយ វាអាចគិតពីស្ថានភាពដែលសកម្មភាពនេះច្បាស់ជាមិនតិចតួចទេ។ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកបាល់មួយ ហើយដាក់វាក្នុងចន្លោះទទេ។ នៅចម្ងាយខ្លះពីវាយើងដាក់ជញ្ជាំងយឺត។ ចូរនិយាយថាយើងចង់ឱ្យបាល់បញ្ចប់នៅកន្លែងដដែលបន្ទាប់ពីពេលខ្លះ។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យនេះ បាល់អាចផ្លាស់ទីក្នុងវិធីពីរផ្សេងគ្នា។ ដំបូងគាត់អាចនៅស្ងៀម។ ទីពីរអ្នកអាចរុញវាទៅជញ្ជាំង។ បាល់នឹងទៅដល់ជញ្ជាំង លោតចេញពីវា ហើយត្រលប់មកវិញ។ វាច្បាស់ណាស់ថាអ្នកអាចរុញវាជាមួយនឹងល្បឿនដែលវានឹងត្រលប់មកវិញនៅពេលវេលាត្រឹមត្រូវ។
បំរែបំរួលទាំងពីរនៃចលនារបស់បាល់គឺអាចធ្វើទៅបាន ប៉ុន្តែសកម្មភាពនៅក្នុងករណីទីពីរនឹងកាន់តែធំ ពីព្រោះគ្រប់ពេលវេលានេះ បាល់នឹងផ្លាស់ទីដោយថាមពល kinetic មិនសូន្យ។
តើគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុតអាចត្រូវបានសង្គ្រោះដោយរបៀបណាទើបវាក្លាយជាការពិតក្នុងស្ថានភាពបែបនេះ? យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅក្នុង។
ពួកគេគោរពតាមគាត់ ដោយភ្ជាប់ជាមួយនឹងគោលការណ៍នេះគឺជាបទប្បញ្ញត្តិដ៏សំខាន់មួយនៃរូបវិទ្យាទំនើប។ សមីការនៃចលនាដែលទទួលបានដោយមានជំនួយរបស់វាត្រូវបានគេហៅថាសមីការអយល័រ-ឡាហ្គ្រេន។
រូបមន្តដំបូងនៃគោលការណ៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ P. Maupertuis ក្នុងឆ្នាំ 1999 ដោយបានចង្អុលបង្ហាញភ្លាមៗពីលក្ខណៈសកលរបស់វា ដោយចាត់ទុកថាវាអាចអនុវត្តបានចំពោះអុបទិក និងមេកានិច។ ពីគោលការណ៍នេះ គាត់បានទាញយកច្បាប់នៃការឆ្លុះបញ្ចាំង និងការឆ្លុះនៃពន្លឺ។
រឿង
Maupertuis បានមករកគោលការណ៍នេះពីអារម្មណ៍ដែលថាភាពល្អឥតខ្ចោះនៃសាកលលោកតម្រូវឱ្យមានសេដ្ឋកិច្ចជាក់លាក់មួយនៅក្នុងធម្មជាតិ ហើយផ្ទុយទៅនឹងការចំណាយដែលគ្មានប្រយោជន៍នៃថាមពល។ ចលនាធម្មជាតិត្រូវតែមានដូចជា ដើម្បីធ្វើឱ្យបរិមាណអប្បបរមា។ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនេះ ដែលគាត់បានបន្តធ្វើ។ វាគឺជាផលិតផលនៃរយៈពេល (ពេលវេលា) នៃចលនានៅក្នុងប្រព័ន្ធដោយចំនួនពីរដង ដែលឥឡូវនេះយើងហៅថាថាមពល kinetic នៃប្រព័ន្ធ។
អយល័រ (ក្នុង "Reflexions sur quelques loix generales de la nature", ១៧៤៨) ប្រកាន់យកគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត ហៅសកម្មភាពថា “ការប្រឹងប្រែង”។ កន្សោមរបស់គាត់នៅក្នុងឋិតិវន្តត្រូវគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលយើងនឹងហៅថាថាមពលសក្តានុពល ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់គាត់អំពីសកម្មភាពតិចបំផុតនៅក្នុងឋិតិវន្តគឺស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌថាមពលអប្បបរមាសម្រាប់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធលំនឹង។
នៅក្នុងមេកានិចបុរាណ
គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត បម្រើជាមូលដ្ឋាន និងស្តង់ដារសម្រាប់រូបមន្តមេកានិក Lagrangian និង Hamiltonian ។
ដំបូងយើងពិចារណាការសាងសង់តាមរបៀបបែបនេះ មេកានិច Lagrangian. ដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធរូបវន្តដែលមានកម្រិតនៃសេរីភាពមួយ យើងចាំថាសកម្មភាពមួយគឺជាមុខងារដែលទាក់ទងទៅនឹង (ទូទៅ) កូអរដោណេ (ក្នុងករណីនៃសេរីភាពមួយកម្រិត - កូអរដោណេមួយ) ពោលគឺវាត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរយៈដូច្នេះ។ ថាកំណែដែលអាចយល់បាននៃអនុគមន៍នីមួយៗត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយ - សកម្មភាពមួយ (ក្នុងន័យនេះ យើងអាចនិយាយបានថា សកម្មភាពជាមុខងារគឺជាច្បាប់ដែលអនុញ្ញាតឱ្យសម្រាប់អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យណាមួយ ដើម្បីគណនាចំនួនដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អ - ហៅផងដែរថា សកម្មភាព)។ សកម្មភាពមើលទៅដូចនេះ៖
កន្លែងណាដែល Lagrangian នៃប្រព័ន្ធ អាស្រ័យលើកូអរដោណេទូទៅ ដេរីវេទី 1 របស់វាទាក់ទងនឹងពេលវេលា និងក៏អាចច្បាស់លាស់តាមពេលវេលាផងដែរ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានកម្រិតសេរីភាពច្រើនជាងនេះ នោះ Lagrangian អាស្រ័យលើចំនួនកូអរដោណេទូទៅ និងនិស្សន្ទវត្ថុដំបូងរបស់វា។ ដូច្នេះ សកម្មភាពគឺជាមាត្រដ្ឋានដែលមានមុខងារអាស្រ័យលើគន្លងនៃរាងកាយ។
ការពិតដែលថាសកម្មភាពគឺជាមាត្រដ្ឋានធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការសរសេរវានៅក្នុងកូអរដោនេទូទៅណាមួយ រឿងសំខាន់គឺថាទីតាំង (ការកំណត់) នៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយឡែកពីគេ (ឧទាហរណ៍ជំនួសឱ្យកូអរដោនេ Cartesian ទាំងនេះអាចជាប៉ូល កូអរដោណេ ចម្ងាយរវាងចំនុចនៃប្រព័ន្ធ មុំ ឬមុខងាររបស់វា ។ល។ ឃ)។
សកម្មភាពអាចត្រូវបានគណនាសម្រាប់គន្លងបំពានទាំងស្រុង មិនថា "ព្រៃ" និង "ខុសពីធម្មជាតិ" យ៉ាងណានោះទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងមេកានិចបុរាណ ក្នុងចំណោមសំណុំទាំងមូលនៃគន្លងដែលអាចកើតមាន មានតែមួយគត់ដែលរាងកាយនឹងទៅពិតប្រាកដ។ គោលការណ៍នៃភាពស្ថិតស្ថេរនៃសកម្មភាពគ្រាន់តែផ្តល់ចម្លើយចំពោះសំណួរអំពីរបៀបដែលរាងកាយនឹងផ្លាស់ទីពិតប្រាកដ៖
នេះមានន័យថា ប្រសិនបើប្រព័ន្ធ Lagrangian ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះការប្រើការគណនានៃការប្រែប្រួល យើងអាចកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់ពីរបៀបដែលរាងកាយនឹងផ្លាស់ទី ដោយដំបូងទទួលបានសមីការនៃចលនា - សមីការអយល័រ-ឡាហ្គ្រេន ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយវា។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យមិនត្រឹមតែធ្វើឱ្យទូទៅយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរនូវការបង្កើតមេកានិកប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងជ្រើសរើសកូអរដោនេដែលងាយស្រួលបំផុតសម្រាប់បញ្ហាជាក់លាក់នីមួយៗមិនកំណត់ចំពោះ Cartesian ដែលអាចមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការទទួលបានសមីការសាមញ្ញបំផុតនិងងាយស្រួលបំផុត។
តើមុខងារ Hamilton នៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅឯណា? - (ទូទៅ) កូអរដោណេ, - ការបង្រួបបង្រួម (ទូទៅ) ការជំរុញ, កំណត់លក្ខណៈរួមគ្នានៅរាល់ពេលនៃពេលវេលានៃស្ថានភាពថាមវន្តនៃប្រព័ន្ធ និងជាមុខងារនីមួយៗនៃពេលវេលា ដូច្នេះកំណត់លក្ខណៈនៃការវិវត្តន៍ (ចលនា) នៃប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីនេះ ដើម្បីទទួលបានសមីការនៃចលនានៃប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់នៃសមីការ Hamilton canonical វាចាំបាច់ក្នុងការផ្លាស់ប្តូរសកម្មភាពដែលបានសរសេរតាមរបៀបនេះដោយឯករាជ្យសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា និង។
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបានជាគោលការណ៍ដើម្បីស្វែងរកច្បាប់នៃចលនាពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានោះវានឹងដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ ទេ។មានន័យថាវាអាចបង្កើតមុខងារដែលយកតម្លៃស្ថានីក្នុងអំឡុងពេលចលនាពិត។ ឧទាហរណ៏មួយគឺចលនារួមគ្នានៃបន្ទុកអគ្គីសនី និង monopoles - បន្ទុកម៉ាញេទិក - នៅក្នុងវាលអេឡិចត្រូ។ សមីការនៃចលនារបស់ពួកគេមិនអាចកើតចេញពីគោលការណ៍នៃភាពស្ថិតស្ថេរនៃសកម្មភាពបានទេ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ប្រព័ន្ធ Hamiltonian មួយចំនួនមានសមីការនៃចលនាដែលមិនធ្វើតាមគោលការណ៍នេះ។
ឧទាហរណ៍
ឧទហរណ៍មិនសំខាន់ជួយវាយតម្លៃការប្រើប្រាស់គោលការណ៍ប្រតិបត្តិការតាមរយៈសមីការអយល័រ-ឡាហ្គ្រីន។ ភាគល្អិតឥតគិតថ្លៃ (ម៉ាស មនិងល្បឿន v) នៅក្នុងលំហ Euclidean ផ្លាស់ទីក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ដោយប្រើសមីការ Euler-Lagrange នេះអាចត្រូវបានបង្ហាញជាប៉ូលកូអរដោណេដូចខាងក្រោម។ អវត្ដមាននៃសក្តានុពល មុខងារ Lagrange គឺស្មើនឹងថាមពល kinetic
នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ orthogonal ។
នៅក្នុងកូអរដោណេប៉ូល ថាមពល kinetic ដូច្នេះហើយ មុខងារ Lagrange ក្លាយជា
សមាសធាតុរ៉ាឌីកាល់ និងមុំនៃសមីការក្លាយជារៀងគ្នា៖
ការដោះស្រាយសមីការទាំងពីរនេះ។
នេះគឺជាកំណត់ត្រាតាមលក្ខខណ្ឌនៃការរួមបញ្ចូលមុខងារគ្មានកំណត់លើគន្លង x(t) និងជាថេររបស់ Planck ។ យើងសង្កត់ធ្ងន់ថា ជាគោលការណ៍ សកម្មភាពនៅក្នុងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលលេចឡើង (ឬអាចលេចឡើង) ដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ នៅពេលសិក្សាអំពីប្រតិបត្តិករវិវត្តន៍នៅក្នុងមេកានិចកង់ទិច ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានអាណាឡូកបុរាណពិតប្រាកដ (មិនមែន quantum) វាពិតជាស្មើនឹង សកម្មភាពបុរាណធម្មតា។
ការវិភាគគណិតវិទ្យានៃការបញ្ចេញមតិនេះនៅក្នុងដែនកំណត់បុរាណ - សម្រាប់ទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ ពោលគឺសម្រាប់ការយោលយ៉ាងលឿននៃនិទស្សន្តនៃនិទស្សន្ត - បង្ហាញថាភាគច្រើននៃគន្លងដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៅក្នុងអាំងតេក្រាលនេះលុបចោលគ្នាទៅវិញទៅមកនៅក្នុងដែនកំណត់ (ជាផ្លូវការនៅ ) . សម្រាប់ផ្លូវស្ទើរតែទាំងអស់ មានផ្លូវមួយដែលការញុះញង់ដំណាក់កាលនឹងផ្ទុយស្រឡះ ហើយពួកគេនឹងបន្ថែមការរួមចំណែករហូតដល់សូន្យ។ មានតែគន្លងទាំងនោះដែលសកម្មភាពនៅជិតតម្លៃខ្លាំង (សម្រាប់ប្រព័ន្ធភាគច្រើន - អប្បបរមា) មិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ។ នេះគឺជាការពិតគណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធពីទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ; ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្រ្តដំណាក់កាលស្ថានីគឺផ្អែកលើវា។
ជាលទ្ធផល ភាគល្អិត ស្របតាមច្បាប់នៃមេកានិចកង់ទិច ផ្លាស់ទីតាមគន្លងទាំងអស់ក្នុងពេលដំណាលគ្នា ប៉ុន្តែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌធម្មតា មានតែគន្លងដែលនៅជិតស្ថានី (ពោលគឺបុរាណ) ដែលរួមចំណែកដល់តម្លៃដែលបានសង្កេត។ ចាប់តាំងពីមេកានិចកង់ទិចក្លាយជាបុរាណនៅក្នុងដែនកំណត់នៃថាមពលខ្ពស់ យើងអាចសន្មត់ថានេះគឺជា - ការទាញយកមេកានិចកង់ទិចនៃគោលការណ៍បុរាណនៃសកម្មភាពស្ថានី.
នៅក្នុងទ្រឹស្តីវាលកង់ទិច
នៅក្នុងទ្រឹស្ដី Quantum field គោលការណ៍នៃសកម្មភាពស្ថានីក៏ត្រូវបានអនុវត្តដោយជោគជ័យផងដែរ។ ដង់ស៊ីតេ Lagrangian នៅទីនេះរួមបញ្ចូលប្រតិបត្តិករនៃវាល quantum ដែលត្រូវគ្នា។ ទោះបីជាវាត្រឹមត្រូវជាងនៅទីនេះ (លើកលែងតែដែនកំណត់បុរាណ និងផ្នែកពាក់កណ្តាលបុរាណ) ដើម្បីនិយាយមិនមែនអំពីគោលការណ៍នៃភាពស្ថិតស្ថេរនៃសកម្មភាព ប៉ុន្តែអំពីការរួមបញ្ចូល Feynman លើគន្លងនៅក្នុងការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ ឬចន្លោះដំណាក់កាលនៃវាលទាំងនេះ - ដោយប្រើដង់ស៊ីតេ Lagrangian ទើបតែបានលើកឡើង។
ភាពទូទៅបន្ថែមទៀត
កាន់តែទូលំទូលាយ សកម្មភាពមួយត្រូវបានគេយល់ថាជាមុខងារដែលកំណត់ការគូសផែនទីពីចន្លោះកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធទៅសំណុំនៃចំនួនពិត ហើយជាទូទៅវាមិនចាំបាច់ជាអាំងតេក្រាលទេ ពីព្រោះសកម្មភាពដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋានគឺជាគោលការណ៍អាចធ្វើទៅបាន យ៉ាងហោចណាស់ តាមទ្រឹស្តី។ ជាងនេះទៅទៀត ចន្លោះកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធគឺមិនចាំបាច់ជាលំហមុខងារទេ ព្រោះវាអាចមានធរណីមាត្រមិនផ្លាស់ប្តូរ។
២.២. គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត។
នៅសតវត្សរ៍ទី 18 ការប្រមូលផ្តុំនិងការរៀបចំជាប្រព័ន្ធនៃលទ្ធផលវិទ្យាសាស្ត្របានធ្វើឡើង ដែលត្រូវបានសម្គាល់ដោយទំនោរក្នុងការបញ្ចូលគ្នានូវសមិទ្ធិផលវិទ្យាសាស្ត្របុគ្គលទៅជារូបភាពដែលមានលំដាប់លំដោយ និងស៊ីសង្វាក់គ្នានៃពិភពលោក តាមរយៈការអនុវត្តជាប្រព័ន្ធនៃវិធីសាស្រ្តនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាដល់ការសិក្សាអំពីបាតុភូតរូបវន្ត។ ការងារនៃគំនិតដ៏អស្ចារ្យជាច្រើននៅក្នុងទិសដៅនេះបាននាំឱ្យមានការបង្កើតទ្រឹស្តីជាមូលដ្ឋាននៃកម្មវិធីស្រាវជ្រាវមេកានិច - មេកានិចវិភាគដោយផ្អែកលើបទប្បញ្ញត្តិដែលទ្រឹស្តីជាមូលដ្ឋានផ្សេងៗត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលពិពណ៌នាអំពីថ្នាក់ជាក់លាក់នៃ con-
បាតុភូត៖ ធារាសាស្ត្រ ទ្រឹស្ដីភាពបត់បែន លំហអាកាស។ល។ លទ្ធផលដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៃមេកានិចវិភាគគឺគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត (គោលការណ៍បំរែបំរួល) ដែលមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ការយល់ដឹងអំពីដំណើរការដែលកើតឡើងនៅក្នុងរូបវិទ្យានៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 20 ។
ឫសគល់នៃការលេចឡើងនៃគោលការណ៍បំរែបំរួលនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រត្រលប់ទៅប្រទេសក្រិកបុរាណហើយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់ហេរ៉ុនពីអាឡិចសាន់ឌ្រី។ គំនិតនៃគោលការណ៍បំរែបំរួលណាមួយគឺផ្លាស់ប្តូរ (ផ្លាស់ប្តូរ) តម្លៃជាក់លាក់ដែលកំណត់លក្ខណៈនៃដំណើរការដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយជ្រើសរើសពីដំណើរការដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ ដែលតម្លៃនេះត្រូវចំណាយលើតម្លៃខ្លាំង (អតិបរមា ឬអប្បបរមា)។ ហេរ៉ុនបានព្យាយាមពន្យល់ពីច្បាប់នៃការឆ្លុះពន្លឺដោយការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃដែលកំណត់ប្រវែងនៃផ្លូវដែលឆ្លងកាត់ដោយធ្នឹមនៃពន្លឺពីប្រភពមួយទៅអ្នកសង្កេតនៅពេលដែលវាត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងពីកញ្ចក់។ គាត់បានសន្និដ្ឋានថា គ្រប់ផ្លូវដែលអាចធ្វើបាន កាំរស្មីពន្លឺជ្រើសរើសផ្លូវខ្លីបំផុត (តាមធរណីមាត្រទាំងអស់)។
នៅសតវត្សទី 17 ពីរពាន់ឆ្នាំក្រោយមកគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Fermat បានទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះគោលការណ៍របស់ Heron បានពង្រីកវាទៅប្រព័ន្ធផ្សព្វផ្សាយជាមួយនឹងសន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរផ្សេងគ្នាហើយដូច្នេះបានកែទម្រង់វាតាមពេលវេលា។ គោលការណ៍របស់ Fermat ចែងថា នៅក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកចំណាំងបែរ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលមិនអាស្រ័យលើពេលវេលា ពន្លឺដែលឆ្លងកាត់ចំណុចពីរជ្រើសរើសផ្លូវសម្រាប់ខ្លួនវា ដូច្នេះពេលវេលាដែលត្រូវធ្វើដំណើរពីចំណុចទីមួយទៅចំណុចទីពីរគឺតិចតួចបំផុត។ គោលការណ៍របស់ Heron ប្រែទៅជាករណីពិសេសនៃគោលការណ៍របស់ Fermat សម្រាប់ប្រព័ន្ធផ្សព្វផ្សាយដែលមានសន្ទស្សន៍ចំណាំងបែរថេរ។
គោលការណ៍របស់ Fermat បានទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់យ៉ាងជិតស្និទ្ធរបស់សហសម័យ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត គាត់គឺជាភស្តុតាងដ៏ល្អបំផុតនៃ "គោលការណ៍នៃសេដ្ឋកិច្ច" នៅក្នុងធម្មជាតិនៃផែនការដ៏ទេវភាពដែលសមហេតុផលដែលបានដឹងនៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធនៃពិភពលោក ផ្ទុយទៅវិញគាត់បានផ្ទុយពីទ្រឹស្តីនៃពន្លឺរបស់ញូតុន។ យោងតាមលោក Newton វាបានប្រែក្លាយថានៅក្នុងប្រព័ន្ធផ្សព្វផ្សាយក្រាស់ ល្បឿននៃពន្លឺគួរតែធំជាង ខណៈពេលដែលវាធ្វើតាមគោលការណ៍របស់ Fermat ដែលថានៅក្នុងប្រព័ន្ធផ្សព្វផ្សាយបែបនេះ ល្បឿននៃពន្លឺកាន់តែតូច។
នៅឆ្នាំ 1740 គណិតវិទូ Pierre Louis Moreau de Maupertuis បានវិភាគលើគោលការណ៍របស់ Fermat និងធ្វើតាមទ្រឹស្ដី។
ការជម្រុញឡូជីខលអំពីភាពល្អឥតខ្ចោះនិងឧបករណ៍សន្សំសំចៃបំផុតនៃសកលលោកដែលបានប្រកាសនៅក្នុងការងារ "នៅលើច្បាប់ផ្សេងៗនៃធម្មជាតិដែលហាក់ដូចជាមិនឆបគ្នា" គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត។ Maupertuis បានបោះបង់ចោលរយៈពេលខ្លីបំផុតរបស់ Fermat ហើយបានណែនាំគំនិតថ្មី - សកម្មភាព។ សកម្មភាពគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃសន្ទុះនៃរាងកាយ (សន្ទុះР = mV) និងផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយរាងកាយ។ ពេលវេលាមិនមានអត្ថប្រយោជន៍លើលំហទេ ហើយផ្ទុយទៅវិញ។ ហេតុដូច្នេះហើយ ពន្លឺមិនជ្រើសរើសផ្លូវខ្លីបំផុត ហើយមិនមែនជាពេលវេលាខ្លីបំផុតក្នុងការធ្វើដំណើរនោះទេ ប៉ុន្តែយោងទៅតាម Maupertuis “ជ្រើសរើសផ្លូវដែលផ្តល់សេដ្ឋកិច្ចពិតប្រាកដជាងនេះ៖ ផ្លូវដែលវាដើរតាម គឺជាផ្លូវដែលមានទំហំប៉ុននោះ។ សកម្មភាពគឺតិចតួចបំផុត។” គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុតត្រូវបានបង្កើតឡើងបន្ថែមទៀតនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ អយល័រ និង ឡាហ្គ្រេន។ គាត់គឺជាមូលដ្ឋានដែល Lagrange បានបង្កើតផ្នែកថ្មីនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា - ការគណនានៃការប្រែប្រួល។ គោលការណ៍នេះត្រូវបានធ្វើជាទូទៅបន្ថែមទៀត និងបានបញ្ចប់ក្នុងកិច្ចការរបស់ Hamilton ។ នៅក្នុងទម្រង់ទូទៅ គោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត ប្រើគំនិតនៃសកម្មភាពដែលបានបង្ហាញមិនមែននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសន្ទុះ ប៉ុន្តែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារ Lagrange ។ សម្រាប់ករណីនៃភាគល្អិតមួយផ្លាស់ទីក្នុងវាលសក្តានុពលមួយចំនួន អនុគមន៍ Lagrange អាចត្រូវបានតំណាងថាជាភាពខុសគ្នានៃ kinetic 
និងថាមពលសក្តានុពល៖
(គោលគំនិតនៃ "ថាមពល" ត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិតនៅក្នុងជំពូកទី 3 នៃផ្នែកនេះ។ )
ផលិតផលត្រូវបានគេហៅថាសកម្មភាពបឋម។ សកម្មភាពសរុបគឺជាផលបូកនៃតម្លៃទាំងអស់ក្នុងចន្លោះពេលទាំងមូលដែលកំពុងពិចារណា ម្យ៉ាងវិញទៀត សកម្មភាពសរុប A:
សមីការនៃចលនានៃភាគល្អិតអាចទទួលបានដោយប្រើគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត យោងទៅតាមចលនាពិតកើតឡើងតាមរបៀបដែលសកម្មភាពប្រែទៅជាខ្លាំង ពោលគឺការប្រែប្រួលរបស់វាប្រែទៅជា 0:
គោលការណ៍បំរែបំរួល Lagrange-Hamilton ងាយស្រួលអនុញ្ញាតឱ្យផ្នែកបន្ថែមទៅប្រព័ន្ធដែលមិនមាន
តើភាគល្អិតប៉ុន្មាន (ប៉ុន្មាន) ។ ចលនានៃប្រព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានពិចារណាជាធម្មតានៅក្នុងលំហអរូបី (បច្ចេកទេសគណិតវិទ្យាដ៏ងាយស្រួល) នៃវិមាត្រមួយចំនួនធំ។ និយាយថាសម្រាប់ចំនុច N ចន្លោះអរូបីមួយចំនួននៃកូអរដោណេ 3N នៃភាគល្អិត N ត្រូវបានណែនាំ បង្កើតជាប្រព័ន្ធមួយហៅថា ចន្លោះកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ។ លំដាប់នៃរដ្ឋផ្សេងគ្នានៃប្រព័ន្ធត្រូវបានតំណាងដោយខ្សែកោងនៅក្នុងចន្លោះការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធនេះ - គន្លងមួយ។ ដោយពិចារណាលើផ្លូវដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដែលតភ្ជាប់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៃលំហ 3N-dimensional នេះ មនុស្សម្នាក់អាចប្រាកដថាចលនាពិតនៃប្រព័ន្ធកើតឡើងស្របតាមគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចតួចបំផុត៖ ក្នុងចំណោមគន្លងដែលអាចកើតមានទាំងអស់ សកម្មភាពដែលសកម្មភាពគឺខ្លាំងបំផុត។ ចន្លោះពេលទាំងមូលនៃចលនាត្រូវបានដឹង។
នៅពេលដែលកាត់បន្ថយសកម្មភាពនៅក្នុងមេកានិចបុរាណ សមីការអយល័រ-ឡាហ្គ្រីនត្រូវបានទទួល ដែលការផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងច្បាប់របស់ញូតុនត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់។ សមីការ Euler-Lagrange សម្រាប់ Lagrangian នៃវាលអេឡិចត្រូម៉ាញេទិកបុរាណ ប្រែទៅជាសមីការរបស់ Maxwell ។ ដូច្នេះហើយ យើងឃើញថា ការប្រើប្រាស់ Lagrangian និងគោលការណ៍នៃសកម្មភាពតិចបំផុត អនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់កំណត់ថាមវន្តភាគល្អិត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ Lagrangian មានលក្ខណៈពិសេសសំខាន់មួយទៀតដែលធ្វើឱ្យ Lagrangian ផ្លូវការនិយមជាផ្នែកសំខាន់មួយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាស្ទើរតែទាំងអស់នៃរូបវិទ្យាទំនើប។ ការពិតគឺថា រួមជាមួយមេកានិកញូវតុនក្នុងរូបវិទ្យា រួចហើយនៅក្នុងសតវត្សទី 19 ច្បាប់អភិរក្សត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់បរិមាណរូបវន្តមួយចំនួន៖ ច្បាប់នៃការអភិរក្សថាមពល ច្បាប់នៃការអភិរក្សសន្ទុះ ច្បាប់នៃការអភិរក្សសន្ទុះមុំ ច្បាប់។ ការអភិរក្សបន្ទុកអគ្គីសនី។ ចំនួននៃច្បាប់អភិរក្សទាក់ទងនឹងការវិវឌ្ឍន៍នៃរូបវិទ្យា Quantum និងរូបវិទ្យាភាគល្អិតបឋមនៅក្នុងសតវត្សរបស់យើងកាន់តែមានកាន់តែច្រើន។ សំណួរកើតឡើងអំពីរបៀបស្វែងរកមូលដ្ឋានទូទៅសម្រាប់ការសរសេរទាំងសមីការនៃចលនា (និយាយថាច្បាប់របស់ញូតុន ឬសមីការរបស់ Maxwell) និងបរិមាណដែលបានរក្សាទុកក្នុងពេលវេលា។ វាបានប្រែក្លាយថាមូលដ្ឋានបែបនេះគឺជាការប្រើប្រាស់ទម្រង់បែបបទ Lagrangian ពីព្រោះ Lagrangian នៃទ្រឹស្តីជាក់លាក់មួយប្រែទៅជាមិនផ្លាស់ប្តូរ (មិនផ្លាស់ប្តូរ) ទាក់ទងនឹងការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងលំហអរូបីជាក់លាក់ដែលបានពិចារណានៅក្នុងទ្រឹស្តីនេះ ដែលនាំឱ្យមានការអភិរក្ស។ ច្បាប់។ លក្ខណៈពិសេសទាំងនេះនៃ Lagrangian
មិនបាននាំឱ្យមានភាពរហ័សរហួននៃការបង្កើតទ្រឹស្តីរូបវិទ្យាជាភាសា Lagrangians នោះទេ។ ការសម្រេចបាននូវកាលៈទេសៈនេះបានកើតឡើងចំពោះរូបវិទ្យាដោយសារការលេចចេញនូវទ្រឹស្ដីទំនាក់ទំនងរបស់អែងស្តែង។
| " |
