មេរៀន និងបទបង្ហាញលើប្រធានបទ៖ "Arxine. តារាង Arcsine. រូបមន្ត y=arcsin(x)"

សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ មតិកែលម្អ ការផ្តល់យោបល់! សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីកំចាត់មេរោគ។

សៀវភៅណែនាំ និងការក្លែងធ្វើនៅក្នុងហាងអនឡាញ "អាំងតេក្រាល" សម្រាប់ថ្នាក់ទី 10 ចាប់ពី 1C
បរិស្ថានកម្មវិធី "1C: Mathematical constructor 6.1"
យើងដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុងធរណីមាត្រ។ កិច្ចការអន្តរកម្មសម្រាប់ការសាងសង់ក្នុងលំហ

តើយើងនឹងសិក្សាអ្វីខ្លះ៖
1. តើអាកស៊ីនជាអ្វី?
2. ការកំណត់នៃ arcsine ។
3. បន្តិចនៃប្រវត្តិសាស្រ្ត។
4. និយមន័យ។

6. ឧទាហរណ៍។

តើអាកស៊ីនជាអ្វី?

បុរស ពួកយើងបានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការសម្រាប់កូស៊ីនុសរួចហើយ ឥឡូវនេះ តោះរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ស៊ីនុស។ ពិចារណា sin(x) = √3/2 ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ អ្នកត្រូវបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់ y= √3/2 ហើយមើល៖ តើចំនុចណាដែលវាប្រសព្វរង្វង់លេខ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាបន្ទាត់កាត់រង្វង់នៅចំនុចពីរ F និង G ។ ចំនុចទាំងនេះនឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការរបស់យើង។ ប្តូរឈ្មោះ F ជា x1 និង G ជា x2 ។ យើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះរួចហើយ ហើយទទួលបាន៖ x1= π/3 + 2πk,
និង x2 = 2π/3 + 2πk ។

ការដោះស្រាយសមីការនេះគឺសាមញ្ញណាស់ ប៉ុន្តែរបៀបដោះស្រាយឧទាហរណ៍សមីការ
sin(x)=5/6។ ជាក់ស្តែងសមីការនេះក៏នឹងមានឫសពីរដែរ ប៉ុន្តែតើតម្លៃអ្វីនឹងឆ្លើយតបទៅនឹងដំណោះស្រាយនៅលើរង្វង់លេខ? សូមក្រឡេកមើលសមីការ sin(x)=5/6 របស់យើង។
ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការរបស់យើងនឹងមានពីរចំណុច៖ F = x1 + 2πk និង G = x2 ​​+ 2πk,
ដែល x1 ជាប្រវែងនៃ arc AF, x2 គឺជាប្រវែងនៃ arc AG ។
ចំណាំ៖ x2 = π − x1 ពីព្រោះ AF = AC - FC ប៉ុន្តែ FC = AG, AF = AC - AG = π - x1 ។
ប៉ុន្តែតើចំណុចទាំងនេះជាអ្វី?

ប្រឈមមុខនឹងស្ថានភាពស្រដៀងគ្នា គណិតវិទូបានបង្កើតនិមិត្តសញ្ញាថ្មី - arcsin (x) ។ វាអានដូចជា arcsine ។

បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយនៃសមីការរបស់យើងនឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6) ។

ហើយដំណោះស្រាយទូទៅ៖ x= arcsin(5/6) + 2πk និង x= π - arcsin(5/6) + 2πk។
arcsine គឺជាមុំ (ប្រវែងធ្នូ AF, AG) sine ដែលស្មើនឹង 5/6 ។

បន្តិចនៃប្រវត្តិសាស្រ្ត arcsine

ប្រវត្តិនៃប្រភពដើមនៃនិមិត្តសញ្ញារបស់យើងគឺដូចគ្នាទៅនឹង arccos ដែរ។ ជាលើកដំបូងនិមិត្តសញ្ញា arcsin លេចឡើងនៅក្នុងស្នាដៃរបស់គណិតវិទូ Scherfer និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របារាំងដ៏ល្បីល្បាញ J.L. Lagrange។ មុននេះបន្តិច គំនិតនៃ arcsine ត្រូវបានពិចារណាដោយ D. Bernuli ទោះបីជាគាត់បានសរសេរវាជាមួយនិមិត្តសញ្ញាផ្សេងទៀតក៏ដោយ។

និមិត្តសញ្ញាទាំងនេះត្រូវបានទទួលយកជាទូទៅតែនៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 18 ប៉ុណ្ណោះ។ បុព្វបទ "ធ្នូ" មកពីឡាតាំង "arcus" (ធ្នូ, ធ្នូ) ។ នេះគឺស្របនឹងអត្ថន័យនៃគោលគំនិត៖ arcsin x គឺជាមុំមួយ (ឬអ្នកអាចនិយាយបានថា arc) ស៊ីនុសដែលស្មើនឹង x ។

និយមន័យនៃ arcsine

ប្រសិនបើ |а|≤ 1 នោះ arcsin(a) គឺជាលេខបែបនេះពីចន្លោះ [- π/2; π/2] ដែលស៊ីនុសគឺ a.

ប្រសិនបើ |a|≤ 1 នោះសមីការ sin(x)= a មានដំណោះស្រាយ៖ x= arcsin(a) + 2πk និង
x = π - arcsin(a) + 2πk

តោះសរសេរឡើងវិញ៖

x = π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k) ។

បុរសៗ មើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវដំណោះស្រាយទាំងពីររបស់យើង។ តើ​អ្នក​គិត​យ៉ាង​ណា៖ តើ​គេ​អាច​សរសេរ​តាម​រូបមន្ត​ទូទៅ​បាន​ទេ? ចំណាំថាប្រសិនបើមានសញ្ញាបូកនៅពីមុខ arcsine នោះπត្រូវបានគុណនឹងលេខគូ 2πk ហើយប្រសិនបើសញ្ញាគឺដក នោះមេគុណគឺសេស 2k+1។
ជាមួយនេះក្នុងចិត្ត យើងសរសេររូបមន្តដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់សមីការ sin(x)=a:

មានករណីបីដែលមនុស្សម្នាក់ចូលចិត្តសរសេរដំណោះស្រាយតាមរបៀបសាមញ្ញជាងនេះ៖

sin(x)=0, បន្ទាប់មក x=πk,

sin(x)=1, បន្ទាប់មក x=π/2+2πk,

sin(x)=-1 បន្ទាប់មក x= -π/2 + 2πk។

សម្រាប់ -1 ≤ a ≤ 1 ណាមួយ សមភាពខាងក្រោមទទួលបាន៖ arcsin(-a)=-arcsin(a) ។

ចូរយើងសរសេរតារាងតម្លៃកូស៊ីនុសបញ្ច្រាស ហើយទទួលបានតារាងសម្រាប់អាកស៊ីនុស។

ឧទាហរណ៍

1. គណនា៖ arcsin(√3/2)។
ដំណោះស្រាយ៖ អនុញ្ញាតឱ្យ arcsin(√3/2)= x បន្ទាប់មក sin(x)= √3/2។ តាមនិយមន័យ៖ − π/2 ≤x≤ π/2 ។ សូមក្រឡេកមើលតម្លៃនៃស៊ីនុសក្នុងតារាង៖ x= π/3 ព្រោះ sin(π/3)= √3/2 និង −π/2 ≤ π/3 ≤ π/2 ។
ចម្លើយ៖ arcsin(√3/2) = π/3 ។

2. គណនា៖ arcsin(-1/2)។
ដំណោះស្រាយ៖ អនុញ្ញាតឱ្យ arcsin(-1/2) = x បន្ទាប់មក sin(x) = -1/2 ។ តាមនិយមន័យ៖ − π/2 ≤x≤ π/2 ។ សូមក្រឡេកមើលតម្លៃនៃស៊ីនុសក្នុងតារាង៖ x= -π/6 ព្រោះ sin(-π/6)= -1/2 និង -π/2 ≤-π/6≤ π/2 ។
ចម្លើយ៖ arcsin(-1/2)=-π/6.

3. គណនា៖ arcsin(0)។
ដំណោះស្រាយ៖ អនុញ្ញាតឱ្យ arcsin(0)= x បន្ទាប់មក sin(x)= 0. តាមនិយមន័យ៖ - π/2 ≤x≤ π/2 ។ សូមក្រឡេកមើលតម្លៃនៃស៊ីនុសក្នុងតារាង៖ វាមានន័យថា x = 0 ព្រោះ sin(0)= 0 និង − π/2 ≤ 0 ≤ π/2 ។ ចម្លើយ៖ arcsin(0)=0។

4. ដោះស្រាយសមីការ៖ sin(x) = -√2/2 ។
x = arcsin(-√2/2) + 2πk និង x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk ។
សូមក្រឡេកមើលតម្លៃក្នុងតារាង៖ arcsin (-√2/2)= -π/4 ។
ចម្លើយ៖ x= −π/4 + 2πk និង x= 5π/4 + 2πk ។

5. ដោះស្រាយសមីការ: sin(x) = 0 ។
ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងប្រើនិយមន័យ នោះដំណោះស្រាយនឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់៖
x = arcsin(0) + 2πk និង x= π - arcsin(0) + 2πk ។ តោះមើលតម្លៃក្នុងតារាង៖ arcsin(0)=0។
ចម្លើយ៖ x = 2πk និង x = π + 2πk

6. ដោះស្រាយសមីការ: sin(x) = 3/5 ។
ដំណោះស្រាយ៖ ចូរយើងប្រើនិយមន័យ នោះដំណោះស្រាយនឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់៖
x = arcsin(3/5) + 2πk និង x= π - arcsin(3/5) + 2πk។
ចម្លើយ៖ x= (−1) n - arcsin(3/5) + πk។

7. ដោះស្រាយវិសមភាព sin(x) ដំណោះស្រាយ៖ ស៊ីនុសគឺជាការកំណត់ចំនុចនៃរង្វង់លេខ។ ដូច្នេះ៖ យើង​ត្រូវ​រក​ចំណុច​បែប​នេះ ដែល​ការ​ចាត់តាំង​ដែល​មាន​ចំនួន​តិច​ជាង ០.៧។ តោះគូរបន្ទាត់ត្រង់ y=0.7 ។ វាប្រសព្វរង្វង់លេខនៅពីរចំណុច។ វិសមភាព y បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយវិសមភាពនឹងមានៈ -π – arcsin(0.7) + 2πk

បញ្ហានៅលើ arcsine សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ

1) គណនា៖ a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0.8)។
2) ដោះស្រាយសមីការ៖ ក) sin(x) = 1/2, ខ) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0.25,
e) sin(x) = -1.2 ។
៣) ដោះស្រាយវិសមភាព៖ ក) sin (x) > 0.6, b) sin (x) ≤ 1/2 ។

មុននេះ យោងទៅតាមកម្មវិធី សិស្សទទួលបានគំនិតអំពីការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ បានស្គាល់គោលគំនិតនៃ arc cosine និង arc sine ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ cos t = a និង sin t = a ។ នៅក្នុងវីដេអូបង្រៀននេះ យើងនឹងពិចារណាពីដំណោះស្រាយនៃសមីការ tg x = a និង ctg x = a ។

នៅដើមដំបូងនៃការសិក្សាប្រធានបទនេះ សូមពិចារណាសមីការ tg x = 3 និង tg x = − 3 ។ ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយសមីការ tg x = 3 ដោយប្រើក្រាហ្វ យើងនឹងឃើញថាចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = tg x និង y = 3 មាន​ចំនួន​ដំណោះ​ស្រាយ​គ្មាន​កំណត់ ដែល x = x 1 + πk ។ តម្លៃ x 1 គឺជា x កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = tg x និង y = 3 ។ ចន្លោះពេលពី -π/2 ទៅ π/2 ។ ដោយប្រើគោលគំនិតនៃអាកតង់សង់ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ tan x = 3 អាចត្រូវបានសរសេរជា x = arctan 3 + πk ។

ដោយភាពស្រដៀងគ្នា សមីការ tg x \u003d - 3 ត្រូវបានដោះស្រាយ។ យោងតាមក្រាហ្វដែលបានបង្កើតនៃអនុគមន៍ y \u003d tg x និង y \u003d - 3 វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វ ហើយដូច្នេះដំណោះស្រាយ នៃសមីការនឹងមាន x \u003d x 2 + πk ។ ដោយប្រើតង់សង់ធ្នូ ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានសរសេរជា x = arctan (- 3) + πk ។ ក្នុងរូបខាងក្រោម យើងនឹងឃើញថា arctg (- 3) = - arctg 3 ។

និយមន័យទូទៅនៃតង់សង់ធ្នូមានដូចខាងក្រោម៖ តង់សង់ធ្នូ a គឺជាលេខបែបនេះពីចន្លោះពេលពី -π / 2 ដល់ π / 2 ដែលតង់សង់គឺ a ។ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយនៃសមីការ tg x = a គឺ x = arctg a + πk ។

អ្នកនិពន្ធផ្តល់ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះកន្សោម Arctg សូមណែនាំសញ្ញាណៈ តង់សង់អ័ក្សនៃលេខគឺ x បន្ទាប់មក tg x នឹងស្មើនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែល x ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកពី -π/ 2 ទៅ π/2 ។ ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ក្នុងប្រធានបទមុន យើងនឹងប្រើតារាងតម្លៃ។ យោងតាមតារាងនេះតង់សង់នៃលេខនេះត្រូវគ្នានឹងតម្លៃ x = π/3 ។ យើងសរសេរដំណោះស្រាយទៅនឹងសមីការនៃតង់សង់ធ្នូនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យស្មើនឹង π / 3, π / 3 ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលពី -π / 2 ទៅ π / 2 ។

ឧទាហរណ៍ទី 2 - គណនាតង់សង់ធ្នូនៃចំនួនអវិជ្ជមាន។ ដោយប្រើសមភាព arctg (- a) = - arctg a បញ្ចូលតម្លៃ x ។ ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងឧទាហរណ៍ទី 2 យើងសរសេរតម្លៃនៃ x ដែលជារបស់ចន្លោះពេលពី -π/2 ទៅ π/2 ។ យោងតាមតារាងតម្លៃយើងរកឃើញថា x = π/3 ដូច្នេះ -- tg x = − π/3 ។ ចម្លើយចំពោះសមីការគឺ - π/3 ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ទី 3. ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ tan x = 1 ។ ចូរសរសេរថា x = arctan 1 + πk ។ នៅក្នុងតារាងតម្លៃនៃ tg 1 ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃ x \u003d π / 4 ដូច្នេះ arctg 1 \u003d π / 4 ។ ជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងរូបមន្តដើម x ហើយសរសេរចម្លើយ x = π/4 + πk ។

ឧទាហរណ៍ទី 4៖ គណនា tg x = − 4.1 ។ ក្នុងករណីនេះ x = arctg (- 4.1) + πk ។ ដោយសារតែ វាមិនអាចស្វែងរកតម្លៃនៃ arctg ក្នុងករណីនេះទេ ចម្លើយនឹងមើលទៅដូចជា x = arctg (- 4.1) + πk ។

ឧទាហរណ៍ទី 5 ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃវិសមភាព tg x > 1។ ដើម្បីដោះស្រាយវា យើងរៀបចំក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = tg x និង y = 1 ។ ដូចដែលអាចមើលឃើញក្នុងរូប ក្រាហ្វទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុច x = π /4 + πk ។ ដោយសារតែ ក្នុងករណីនេះ tg x > 1 នៅលើក្រាហ្វ យើងជ្រើសរើសតំបន់នៃតង់សង់ទីត ដែលនៅខាងលើក្រាហ្វ y = 1 ដែល x ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលពី π/4 ដល់ π/2 ។ យើងសរសេរចម្លើយជា π/4 + πk< x < π/2 + πk.

បន្ទាប់មក ពិចារណាសមីការ ctg x = a ។ រូបបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = ctg x, y = a, y = - a ដែលមានចំនុចប្រសព្វជាច្រើន។ ដំណោះស្រាយអាចសរសេរជា x = x 1 + πk ដែល x 1 = arcctg a និង x = x 2 + πk ដែល x 2 = arcctg (-a) ។ វាត្រូវបានកត់សម្គាល់ថា x 2 \u003d π - x 1 ។ នេះបង្កប់ន័យសមភាព arcctg (- a) = π - arcctg a ។ លើសពីនេះ និយមន័យនៃកូតង់សង់ធ្នូត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ កូតង់សង់ធ្នូនៃ a គឺជាលេខបែបនេះពីចន្លោះពេលពី 0 ដល់ π ដែលកូតង់សង់របស់វាស្មើនឹង a ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ сtg x = a ត្រូវបានសរសេរជា: x = arcctg a + πk ។

នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀនវីដេអូ ការសន្និដ្ឋានសំខាន់មួយទៀតត្រូវបានធ្វើឡើង - កន្សោម ctg x = a អាចត្រូវបានសរសេរជា tg x = 1/a ដែលផ្តល់ថា a មិនស្មើនឹងសូន្យ។

ការបកស្រាយអត្ថបទ៖

ពិចារណាពីដំណោះស្រាយនៃសមីការ tg x \u003d 3 និង tg x \u003d - 3. ការដោះស្រាយសមីការទីមួយតាមក្រាហ្វិច យើងឃើញថាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d tg x និង y \u003d 3 មានចំនុចប្រសព្វជាច្រើនគ្មានកំណត់។ abscissas ដែលយើងសរសេរក្នុងទម្រង់

x \u003d x 1 + πk ដែល x 1 គឺជា abscissa នៃចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ y \u003d 3 ជាមួយសាខាសំខាន់នៃតង់ហ្សង់ទីត (រូបភាពទី 1) ដែលការរចនាត្រូវបានបង្កើត

Arctan 3 (អ័ក្សតង់សង់នៃ 3) ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពី Arctg 3?

នេះគឺជាលេខដែលតង់សង់គឺ 3 ហើយលេខនេះជារបស់ចន្លោះពេល (-;) ។ បន្ទាប់មកឫសទាំងអស់នៃសមីការ tg x \u003d 3 អាចត្រូវបានសរសេរដោយរូបមន្ត x \u003d arctan 3 + πk ។

ដូចគ្នានេះដែរ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ tg x \u003d - 3 អាចត្រូវបានសរសេរជា x \u003d x 2 + πk ដែល x 2 គឺជា abscissa នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ y \u003d - 3 ជាមួយនឹងសាខាសំខាន់នៃ តង់ហ្សង់ទីន (រូបទី 1) ដែលកំណត់សម្គាល់ arctg (- 3) (អ័ក្សតង់សង់ដកបី) ។ បន្ទាប់មកឫសទាំងអស់នៃសមីការអាចត្រូវបានសរសេរដោយរូបមន្ត៖ x \u003d arctg (-3) + πk ។ រូបបង្ហាញថា arctg(- 3)= - arctg 3 ។

ចូរយើងបង្កើតនិយមន័យនៃតង់សង់ធ្នូ។ តង់សង់ធ្នូ a គឺជាលេខបែបនេះពីចន្លោះពេល (-;) ដែលតង់សង់គឺស្មើនឹង a ។

សមភាពត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់៖ arctg(-a) = -arctg a ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ a ណាមួយ។

ដោយដឹងពីនិយមន័យនៃតង់សង់ធ្នូ យើងទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានទូទៅអំពីដំណោះស្រាយនៃសមីការ

tg x \u003d a៖ សមីការ tg x \u003d a មានដំណោះស្រាយ x \u003d arctg a + πk ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ 1. គណនា Arctg ។

ការសម្រេចចិត្ត។ អនុញ្ញាតឱ្យ arctg = x បន្ទាប់មក tgx = និង xϵ (-;) ។ បង្ហាញតារាងតម្លៃដូច្នេះ x = ចាប់តាំងពី tg = និង ϵ (- ;) ។

ដូច្នេះ arctg = ។

ឧទាហរណ៍ 2 គណនា Arctan (-) ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយប្រើសមភាព arctg (- a) \u003d - arctg a យើងសរសេរ៖

arctg(-) = - arctg ។ អនុញ្ញាតឱ្យ - arctg = x បន្ទាប់មក - tgx = និង xϵ (-;) ។ ដូច្នេះ x = ចាប់តាំងពី tg = និង ϵ (- ;) ។ បង្ហាញតារាងតម្លៃ

ដូច្នេះ - arctg =- tgх= - ។

ឧទាហរណ៍ 3. ដោះស្រាយសមីការ tgх = 1 ។

1. ចូរសរសេររូបមន្តដំណោះស្រាយ៖ x = arctg 1 + πk ។

2. រកតម្លៃនៃតង់សង់ធ្នូ

ចាប់តាំងពី tg = ។ បង្ហាញតារាងតម្លៃ

ដូច្នេះ arctg1= ។

3. ដាក់តម្លៃដែលបានរកឃើញក្នុងរូបមន្តដំណោះស្រាយ៖

ឧទាហរណ៍ 4. ដោះស្រាយសមីការ tgx \u003d - 4.1 (តង់សង់ x ស្មើនឹងដកបួនចំណុច មួយភាគដប់)។

ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរសរសេររូបមន្តដំណោះស្រាយ៖ x \u003d arctg (- 4.1) + πk ។

យើងមិនអាចគណនាតម្លៃនៃតង់សង់ធ្នូបានទេ ដូច្នេះយើងនឹងទុកដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចដែលវាមាន។

ឧទាហរណ៍ 5. ដោះស្រាយវិសមភាពtgх 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ តោះធ្វើវាតាមក្រាហ្វិក។

1. ចូរយើងបង្កើតតង់សង់

y \u003d tgx និងបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d 1 (រូបភាព 2) ។ ពួកវាប្រសព្វគ្នានៅចំណុចនៃទម្រង់ x = + πk ។

2. ជ្រើសរើសចន្លោះពេលនៃអ័ក្ស x ដែលសាខាសំខាន់នៃតង់សង់តេតស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d 1 ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ tgх 1. នេះគឺជាចន្លោះពេល (;) ។

3. យើងប្រើរយៈពេលនៃមុខងារ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ 2. y \u003d tg x - អនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេលជាមូលដ្ឋានπ។

ដោយគិតពីភាពទៀងទាត់នៃមុខងារ y \u003d tgx យើងសរសេរចម្លើយ៖

(;) ចម្លើយអាចត្រូវបានសរសេរជាវិសមភាពទ្វេ៖

ចូរបន្តទៅសមីការ ctg x \u003d a ។ សូមបង្ហាញរូបភាពក្រាហ្វិកនៃដំណោះស្រាយនៃសមីការសម្រាប់វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន a (រូបភាពទី 3) ។

ក្រាហ្វនៃមុខងារ y \u003d ctg x និង y \u003d a និង

y=ctg x និង y=-a

មានចំណុចរួមជាច្រើនគ្មានកំណត់ ដែល abscissas ដែលមានទម្រង់៖

x \u003d x 1 + ដែល x 1 គឺជា abscissa នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ y \u003d a ជាមួយសាខាសំខាន់នៃតង់ហ្សង់ទីន និង

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 + ដែល x 2 គឺជា abscissa នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់

y \u003d - ប៉ុន្តែជាមួយនឹងសាខាសំខាន់នៃតង់សង់ទីត និង x 2 \u003d arcсtg (- a) ។

ចំណាំថា x 2 \u003d π - x 1 ។ ដូច្នេះយើងសរសេរសមីការសំខាន់ៗ៖

arcctg (-a) = π - arcctg a ។

ចូរយើងបង្កើតនិយមន័យ៖ កូតង់សង់ធ្នូនៃ a គឺជាលេខបែបនេះពីចន្លោះពេល (0; π) ដែលកូតង់សង់ស្មើនឹង a ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ ctg x \u003d a ត្រូវបានសរសេរជា៖ x \u003d arcсtg a + ។

ចំណាំថាសមីការ ctg x = a អាចបំប្លែងទៅជាទម្រង់

tg x = លើកលែងតែពេល a = 0 ។

អ្វី​ទៅ​ជា Arcsine, Arccosine? តើតង់ហ្សង់ធ្នូ តង់ហ្សង់ធ្នូគឺជាអ្វី?

យកចិត្តទុកដាក់!
មានបន្ថែម
សម្ភារៈនៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ។
សម្រាប់អ្នកដែលខ្លាំង "មិនខ្លាំងណាស់ ... "
ហើយសម្រាប់អ្នកដែល "ខ្លាំងណាស់ ... ")

ដល់គោលគំនិត arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent សិស្សានុសិស្សមានការប្រុងប្រយ័ត្ន។ គាត់​មិន​យល់​លក្ខខណ្ឌ​ទាំង​នេះ​ទេ ដូច្នេះ​ហើយ​មិន​ទុក​ចិត្ត​គ្រួសារ​ដ៏​រុងរឿង​នេះ​ទេ។) ប៉ុន្តែ​ឥត​ប្រយោជន៍។ ទាំងនេះគឺជាគំនិតសាមញ្ញណាស់។ ដោយវិធីនេះធ្វើឱ្យជីវិតកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកដែលមានចំណេះដឹងនៅពេលដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ!

ច្រលំអំពីភាពសាមញ្ញ? ដោយឥតប្រយោជន៍។) នៅទីនេះ ហើយឥឡូវនេះ អ្នកនឹងជឿជាក់លើរឿងនេះ។

ជាការពិតណាស់ សម្រាប់ការយល់ដឹង វាជាការល្អក្នុងការដឹងថា ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ជាអ្វី។ បាទតម្លៃតារាងរបស់ពួកគេសម្រាប់មុំមួយចំនួន ... យ៉ាងហោចណាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌទូទៅបំផុត។ បន្ទាប់មកក៏នឹងមិនមានបញ្ហានៅទីនេះដែរ។

ដូច្នេះ​យើង​ភ្ញាក់​ផ្អើល ប៉ុន្តែ​ត្រូវ​ចាំ​ថា​៖ arcsine, arccosine, arctangent និង arctangent គឺគ្រាន់តែជាមុំមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។គ្មានទៀតទេ មិនតិចទេ។ មានមុំមួយនិយាយថា 30° ។ ហើយមានមុំមួយ។ arcsin0.4 ។ ឬ arctg(-1.3) ។ មានមុំគ្រប់ប្រភេទ។) អ្នកអាចសរសេរមុំតាមរបៀបផ្សេងៗ។ អ្នកអាចសរសេរមុំជាដឺក្រេ ឬរ៉ាដ្យង់។ ឬអ្នកអាច - តាមរយៈស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់...

តើកន្សោមមានន័យដូចម្តេច

arcsin 0.4?

នេះគឺជាមុំដែលស៊ីនុសគឺ 0.4! បាទ​បាទ។ នេះគឺជាអត្ថន័យនៃអាកស៊ីន។ ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតជាពិសេស៖ arcsin 0.4 គឺជាមុំដែលស៊ីនុសគឺ 0.4 ។

ហើយនោះហើយជាវា។

ដើម្បីរក្សាការគិតដ៏សាមញ្ញនេះនៅក្នុងក្បាលរបស់ខ្ញុំឱ្យបានយូរ ខ្ញុំនឹងផ្តល់ការវិភាគអំពីពាក្យដ៏អាក្រក់នេះ - arcsine:

ធ្នូ អំពើបាប 0,4
ការចាក់, ស៊ីនុសរបស់អ្នកណា ស្មើនឹង 0.4

ដូចដែលវាត្រូវបានសរសេរដូច្នេះត្រូវបានគេឮ។) ស្ទើរតែ។ បុព្វបទ ធ្នូមធ្យោបាយ ធ្នូ(ពាក្យ ធ្នូដឹង?), ដោយសារតែ មនុស្សបុរាណបានប្រើធ្នូជំនួសឱ្យជ្រុង ប៉ុន្តែនេះមិនផ្លាស់ប្តូរខ្លឹមសារនៃបញ្ហានោះទេ។ ចងចាំការឌិកូដបឋមនៃពាក្យគណិតវិទ្យានេះ! លើសពីនេះទៅទៀត សម្រាប់ arc cosine, arc tangent និង arc tangent ការឌិកូដខុសគ្នាតែនៅក្នុងឈ្មោះនៃអនុគមន៍ប៉ុណ្ណោះ។

តើ Arccos 0.8 ជាអ្វី?
នេះគឺជាមុំដែលកូស៊ីនុសគឺ 0.8 ។

តើអាកតាន (-១,៣) ជាអ្វី?
នេះគឺជាមុំដែលតង់សង់គឺ -1.3 ។

តើ arcctg 12 ជាអ្វី?
នេះគឺជាមុំដែលកូតង់សង់គឺ 12 ។

ការ​ឌិកូដ​បឋម​បែប​នេះ​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​ជៀស​វាង​ការ​ភាន់​ច្រឡំ។) ឧទាហរណ៍ កន្សោម arccos1,8 មើល​ទៅ​រឹង​មាំ។ តោះចាប់ផ្តើមឌិកូដ៖ arccos1,8 ជាមុំដែលកូស៊ីនុសស្មើនឹង 1.8... Hop-hop!? ១.៨! កូស៊ីនុសមិនអាចធំជាងមួយបានទេ!

ត្រូវហើយ។ កន្សោម arccos1,8 មិនសមហេតុផលទេ។ ហើយ​ការ​សរសេរ​កន្សោម​បែបនេះ​ក្នុង​ចម្លើយ​មួយ​ចំនួន​នឹង​ធ្វើឱ្យ​អ្នក​ផ្ទៀងផ្ទាត់​រីករាយ​យ៉ាងខ្លាំង​។​)

បឋមសិក្សា ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ។) មុំនីមួយៗមានស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសផ្ទាល់ខ្លួន។ ហើយស្ទើរតែគ្រប់គ្នាមានតង់សង់ និងកូតង់សង់រៀងៗខ្លួន។ ដូច្នេះដោយដឹងពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ អ្នកអាចសរសេរមុំដោយខ្លួនឯង។ ចំពោះបញ្ហានេះ arcsines, arccosines, arctangents និង arccotangents ត្រូវបានបម្រុងទុក។ លើសពីនេះ ខ្ញុំនឹងហៅគ្រួសារទាំងមូលនេះថាតូចតាច - ធ្នូ។វាយតិច។ )

យកចិត្តទុកដាក់! ពាក្យសំដីបឋមនិង ដឹងខ្លួនការឌិគ្រីបធ្នូអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយកិច្ចការផ្សេងៗដោយភាពស្ងប់ស្ងាត់ និងទំនុកចិត្ត។ ហើយនៅក្នុង មិនធម្មតាកិច្ចការដែលនាងរក្សាទុកតែប៉ុណ្ណោះ។

តើអាចប្តូរពីកាំទៅដឺក្រេធម្មតា ឬរ៉ាដ្យង់បានទេ?- ខ្ញុំឮសំណួរប្រុងប្រយ័ត្ន។ )

ម៉េចអត់!? យ៉ាង​ងាយស្រួល។ អ្នកអាចទៅទីនោះ និងត្រឡប់មកវិញ។ លើសពីនេះទៅទៀត ជួនកាលវាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ។ Arches គឺ​ជា​រឿង​សាមញ្ញ ប៉ុន្តែ​បើ​គ្មាន​វា វា​នឹង​ស្ងប់ស្ងាត់​ជាង​នេះ​ទេ?)

ឧទាហរណ៍៖ តើ arcsin 0.5 ជាអ្វី?

តោះមើលការឌិគ្រីប៖ arcsin 0.5 គឺជាមុំដែលស៊ីនុសគឺ 0.5 ។ឥឡូវនេះបើកក្បាលរបស់អ្នក (ឬ Google)) ហើយចាំថាតើមុំមួយណាមានស៊ីនុស 0.5? ស៊ីនុសគឺ 0.5 ឆ្នាំ។ មុំ 30 ដឺក្រេ។. នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់ដែលមានចំពោះវា៖ arcsin 0.5 គឺជាមុំ 30 °។អ្នកអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាព៖

arcsin 0.5 = 30 °

ឬកាន់តែរឹងមាំនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃរ៉ាដ្យង់៖

នោះហើយជាវា អ្នកអាចបំភ្លេចអំពី arcsine ហើយធ្វើការជាមួយនឹងដឺក្រេធម្មតា ឬរ៉ាដ្យង់។

ប្រសិនបើអ្នកបានដឹង អ្វី​ទៅ​ជា arcsine, arccosine ... អ្វី​ទៅ​ជា arctangent, arccotangent ...បន្ទាប់មកអ្នកអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយស្រួល ឧទាហរណ៍ដូចជាសត្វចម្លែក។ )

មនុស្សល្ងង់នឹងស្រៀវស្រើប បាទ...) ហើយជាអ្នកចេះដឹង ចងចាំការឌិគ្រីប៖ arcsine គឺជាមុំដែលស៊ីនុសគឺ ... អញ្ចឹងហើយដូច្នេះនៅលើ។ បើ​អ្នក​ចេះ​ដឹង​ក៏​ស្គាល់​តារាង​ស៊ីនុស​ដែរ… តារាង​នៃ​ស៊ីនុស។ តារាងតង់សង់ និងកូតង់សង់ នោះមិនមានបញ្ហាអ្វីទាំងអស់!

វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាថា:

ខ្ញុំនឹងបកស្រាយ, i.e. បកប្រែរូបមន្តទៅជាពាក្យ៖ មុំដែលមានតង់សង់គឺ 1 (arctg1)គឺជាមុំ 45 °។ ឬដែលដូចគ្នាគឺ Pi/4 ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖

ហើយនោះជាទាំងអស់... យើងជំនួសធ្នូទាំងអស់ដោយតម្លៃជារ៉ាដ្យង់ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានកាត់បន្ថយ វានៅសល់ដើម្បីគណនាថាតើ 1 + 1 នឹងមានចំនួនប៉ុន្មាន។ វានឹងមាន 2.) ដែលជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។

នេះជារបៀបដែលអ្នកអាច (និងគួរ) ផ្លាស់ទីពី arcsines, arccosines, arctangents និង arctangents ទៅដឺក្រេធម្មតា និងរ៉ាដ្យង់។ នេះ​ជួយ​សម្រួល​ឧទាហរណ៍​ដ៏​គួរ​ឲ្យ​ខ្លាច​យ៉ាង​ខ្លាំង!

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងឧទាហរណ៍បែបនេះនៅខាងក្នុង arches គឺ អវិជ្ជមានតម្លៃ។ ដូចជា arctg(-1.3) ឬឧទាហរណ៍ arccos(-0.8)... នោះមិនមែនជាបញ្ហាទេ។ នេះគឺជារូបមន្តសាមញ្ញមួយចំនួនសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរពីអវិជ្ជមានទៅវិជ្ជមាន៖

អ្នកត្រូវនិយាយថាដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃកន្សោម៖

អ្នកអាចដោះស្រាយវាដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ ប៉ុន្តែអ្នកមិនចង់គូរវាទេ។ មិនអីទេ។ កំពុង​ចេញ​ពី អវិជ្ជមានតម្លៃនៅខាងក្នុង arc cosine ទៅ វិជ្ជមានយោងតាមរូបមន្តទីពីរ៖

នៅខាងក្នុង arccosine នៅខាងស្តាំរួចហើយ វិជ្ជមានអត្ថន័យ។ អ្វី

អ្នកគ្រាន់តែត្រូវដឹង។ វានៅសល់ដើម្បីជំនួសរ៉ាដ្យង់ជំនួសឱ្យអាកកូស៊ីនុស ហើយគណនាចម្លើយ៖

អស់ហើយ។

ការរឹតបន្តឹងលើ arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent ។

តើមានបញ្ហាជាមួយឧទាហរណ៍ 7 - 9 ទេ? បាទ មានល្បិចខ្លះនៅទីនោះ។ )

ឧទាហរណ៍​ទាំង​អស់​នេះ ចាប់​ពី​ទី 1 ដល់​ទី 9 គឺ​ត្រូវ​បាន​តម្រៀប​យ៉ាង​យក​ចិត្ត​ទុក​ដាក់​នៅ​លើ​ធ្នើរ​ក្នុង​ផ្នែក 555។ តើ​អ្វី អ្វី និង​មូលហេតុ។ ជាមួយនឹងអន្ទាក់សម្ងាត់និងល្បិចទាំងអស់។ បូកវិធីដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។ ដោយវិធីនេះ ផ្នែកនេះមានព័ត៌មានមានប្រយោជន៍ និងគន្លឹះជាក់ស្តែងជាច្រើនអំពីត្រីកោណមាត្រជាទូទៅ។ ហើយមិនត្រឹមតែនៅក្នុងត្រីកោណមាត្រប៉ុណ្ណោះទេ។ ជួយបានច្រើន។

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ សិក្សាដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

Arctangent (y = arctg x) គឺជាអនុគមន៍បញ្ច្រាសនៃតង់សង់ (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x

តង់ហ្សង់ធ្នូត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ
.

ក្រាហ្វិក​អនុគមន៍​តង់សង់​ធ្នូ

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = arctg x

គ្រោងអាកតង់សង់ត្រូវបានទទួលពីគ្រោងតង់សង់ដោយការផ្លាស់ប្តូរអ័ក្ស abscissa និង ordinate axes ។ ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់ សំណុំនៃតម្លៃត្រូវបានកំណត់ដោយចន្លោះពេល ដែលមុខងារគឺ monotonic ។ និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃសំខាន់នៃតង់ហ្សង់ធ្នូ។

អ័ក្សតង់សង់, arcctg

អ័ក្សតង់សង់ (y = arcctg x) គឺជាអនុគមន៍បញ្ច្រាសនៃកូតង់សង់ (x = ctg y) វាមានវិសាលភាព និងសំណុំនៃតម្លៃ។
ctg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

តង់ហ្សង់ធ្នូត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ
.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍អាក

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = arcctg x

គ្រោងនៃតង់សង់អ័ក្សត្រូវបានទទួលពីគ្រោងនៃកូតង់សង់ដោយការផ្លាស់ប្តូរអ័ក្ស abscissa និង ordinate axes ។ ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់ជួរនៃតម្លៃត្រូវបានកំណត់ចំពោះចន្លោះពេលដែលមុខងារគឺ monotonic ។ និយមន័យបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃសំខាន់នៃតង់សង់ធ្នូ។

ភាពស្មើគ្នា

មុខងារ Arctangent គឺសេស៖
arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

អនុគមន៍ arc cotangent គឺមិនស្មើគ្នា ឬសេសទេ៖
arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

លក្ខណៈសម្បត្តិ - ខ្លាំង, កើនឡើង, ថយចុះ

អនុគមន៍ arc tangent និង arc cotangent គឺបន្តនៅលើដែនរបស់ពួកគេ ពោលគឺសម្រាប់ x ទាំងអស់។ (សូមមើលភស្តុតាងនៃការបន្ត)។ លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃ arctangent និង arccotangent ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងតារាង។

	y= arctg x	y= arcctg x
វិសាលភាពនិងភាពបន្ត	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
តម្លៃជាច្រើន។
ឡើង, ចុះ	កើនឡើងឯកតា	ថយចុះដោយឯកតា
ខ្ពស់, ទាប	ទេ	ទេ
សូន្យ, y = 0	x= 0	ទេ
ចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស y, x = 0	y= 0	y = π/ 2
	-	π
		0

តារាងតង់សង់ធ្នូ និងតង់សង់ធ្នូ

តារាងនេះបង្ហាញតម្លៃនៃតង់សង់ធ្នូ និងតង់សង់ធ្នូគិតជាដឺក្រេ និងរ៉ាដ្យង់ សម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃអាគុយម៉ង់។

x	arctg x		arcctg x
	deg ។	រីករាយ។	deg ។	រីករាយ។
- ∞	- 90 °	-	180°	π
-	- 60 °	-	150°
- 1	- 45 °	-	១៣៥°
-	- 30 °	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

រូបមន្ត

រូបមន្តបូកនិងភាពខុសគ្នា

នៅ

នៅ

នៅ

នៅ

នៅ

នៅ

កន្សោម​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​លោការីត លេខ​កុំផ្លិច

,
.

កន្សោមនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍អ៊ីពែរបូល

និស្សន្ទវត្ថុ

សូមមើលដេរីវេនៃដេរីវេនៃ arctangent និង arccotangent > > >

ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។:
អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ បន្ទាប់មក ដេរីវេនៃលំដាប់ទី n នៃតង់សង់ធ្នូអាចត្រូវបានតំណាងតាមវិធីមួយក្នុងចំណោមវិធីខាងក្រោម៖
;
.
និមិត្តសញ្ញាមានន័យថាផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៃកន្សោមខាងក្រោម។

សូមមើលដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងនៃតង់សង់ធ្នូ និងតង់សង់ធ្នូ >>
រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញប្រាំដំបូងក៏ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនោះផងដែរ។

ដូចគ្នានេះដែរសម្រាប់តង់សង់ធ្នូ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ បន្ទាប់មក
;
.

អាំងតេក្រាល។

យើងធ្វើការជំនួស x = tg tនិងរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖
;
;
;

យើងបង្ហាញតង់សង់ធ្នូតាមរយៈតង់សង់ធ្នូ៖
.

ការពង្រីកស៊េរីថាមពល

សម្រាប់ |x| ≤ 1 ការរលួយខាងក្រោមកើតឡើង៖
;
.

មុខងារបញ្ច្រាស

ច្រាសនៃ arctangent និង arccotangent គឺតង់សង់ និង cotangent រៀងគ្នា។

រូបមន្តខាងក្រោមមានសុពលភាពទូទាំងដែននៃនិយមន័យ៖
tg(arctg x) = x
ctg(arctg x) = x .

រូបមន្ត​ខាងក្រោម​មាន​សុពលភាព​តែ​លើ​សំណុំ​តម្លៃ​នៃ​តង់សង់​ធ្នូ និង​កូតង់សង់​ធ្នូ​ប៉ុណ្ណោះ៖
arctg(tg x) = xនៅ
arcctg(ctg x) = xនៅ។

ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា, Lan, 2009 ។