អ្វី កត្តា?វា​ជា​វិធី​បង្វែរ​ឧទាហរណ៍​ដ៏​ឆ្គាំឆ្គង និង​ស្មុគស្មាញ​ទៅ​ជា​គំរូ​ដ៏​សាមញ្ញ និង​គួរ​ឱ្យ​ស្រឡាញ់។) ល្បិច​ដ៏​មាន​ឥទ្ធិពល​ខ្លាំង​ណាស់! វាកើតឡើងនៅគ្រប់ជំហានទាំងក្នុងគណិតវិទ្យាបឋម និងក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់។

ការបំប្លែងបែបនេះនៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថា ការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទនៃកន្សោម។ អ្នកណាមិននៅក្នុងប្រធានបទ - ដើរលើតំណភ្ជាប់។ មានតិចតួចណាស់ សាមញ្ញ និងមានប្រយោជន៍។) អត្ថន័យនៃការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទគឺការសរសេរកន្សោម ក្នុងទម្រង់ផ្សេងគ្នាខណៈពេលដែលរក្សាខ្លឹមសាររបស់វា។

អត្ថន័យ កត្តាកត្តាសាមញ្ញបំផុតនិងអាចយល់បាន។ ត្រឹមត្រូវពីចំណងជើងខ្លួនឯង។ អ្នកអាចភ្លេច (ឬមិនដឹងថា) អ្វីជាមេគុណ ប៉ុន្តែអ្នកអាចយល់បានថាពាក្យនេះមកពីពាក្យ "គុណ"?) កត្តាមានន័យថា៖ តំណាងឱ្យកន្សោមជាគុណនៃអ្វីមួយដោយអ្វីមួយ។ អត់ទោសឱ្យខ្ញុំគណិតវិទ្យានិងភាសារុស្ស៊ី ...) ហើយនោះហើយជាវា។

ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវបំបែកលេខ ១២។ អ្នកអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាព៖

ដូច្នេះ យើងបង្ហាញលេខ 12 ជាគុណនឹង 3 គុណនឹង 4។ សូមចំណាំថាលេខនៅខាងស្តាំ (3 និង 4) គឺខុសគ្នាទាំងស្រុងជាងនៅខាងឆ្វេង (1 និង 2)។ ប៉ុន្តែយើងដឹងច្បាស់ថា ១២ និង ៣ ៤ ដូចគ្នាខ្លឹមសារនៃលេខ ១២ ពីការផ្លាស់ប្តូរ មិនបានផ្លាស់ប្តូរទេ។

តើអាចបំបែក 12 តាមវិធីផ្សេងបានទេ? យ៉ាង​ងាយស្រួល!

12=3 4=2 6=3 2 2=0.5 24=........

ជម្រើសនៃការរលួយគឺគ្មានទីបញ្ចប់។

ការបំបែកលេខទៅជាកត្តាគឺជារឿងមានប្រយោជន៍។ វាជួយច្រើនឧទាហរណ៍នៅពេលដោះស្រាយឫស។ ប៉ុន្តែការធ្វើកត្តានៃកន្សោមពិជគណិតមិនមែនជាអ្វីដែលមានប្រយោជន៍នោះទេ វាគឺជា - ចាំបាច់!គ្រាន់តែឧទាហរណ៍៖

ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

អ្នក​ដែល​មិន​ចេះ​កត្តា​បញ្ចេញ​មតិ សម្រាក​នៅ​ខាង​ក្រៅ។ តើអ្នកណាដឹងពីរបៀប - ធ្វើឱ្យសាមញ្ញនិងទទួលបាន:

ប្រសិទ្ធភាពគឺអស្ចារ្យណាស់មែនទេ?) ដោយវិធីនេះ ដំណោះស្រាយគឺសាមញ្ញណាស់។ អ្នកនឹងឃើញដោយខ្លួនឯងខាងក្រោម។ ឬឧទាហរណ៍ភារកិច្ចបែបនេះ៖

ដោះស្រាយសមីការ៖

x 5 − x 4 = 0

សម្រេចចិត្តនៅក្នុងចិត្ត, ដោយវិធីនេះ។ ដោយមានជំនួយពីកត្តា។ ខាងក្រោមនេះយើងនឹងដោះស្រាយឧទាហរណ៍នេះ។ ចម្លើយ៖ x 1 = 0; x2 = 1.

ឬដូចគ្នា ប៉ុន្តែសម្រាប់មនុស្សចាស់)៖

ដោះស្រាយសមីការ៖

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងនេះខ្ញុំបានបង្ហាញ គោលបំណង​ចម្បងកត្តាកត្តា៖ ភាពសាមញ្ញនៃកន្សោមប្រភាគ និងដំណោះស្រាយនៃប្រភេទសមីការមួយចំនួន។ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យចងចាំច្បាប់មេដៃ៖

ប្រសិនបើយើងមានកន្សោមប្រភាគដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាចនៅពីមុខយើង យើងអាចព្យាយាមធ្វើកត្តាភាគយក និងភាគបែង។ ជាញឹកញាប់ណាស់ ប្រភាគត្រូវបានកាត់បន្ថយ និងធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។

ប្រសិនបើយើងមានសមីការនៅពីមុខយើង ដែលនៅខាងស្តាំគឺសូន្យ ហើយនៅខាងឆ្វេង - មិនយល់អ្វីទេ អ្នកអាចព្យាយាមធ្វើកត្តាខាងឆ្វេង។ ពេលខ្លះវាជួយ។ )

វិធីសាស្រ្តមូលដ្ឋាននៃកត្តា។

នេះជាវិធីពេញនិយមបំផុត៖

4. ការបំបែកនៃត្រីកោណការ៉េ។

វិធីសាស្រ្តទាំងនេះត្រូវតែចងចាំ។ វាស្ថិតនៅក្នុងលំដាប់នោះ។ ឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញត្រូវបានពិនិត្យ សម្រាប់វិធីសាស្រ្តបំបែកដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ហើយវាជាការប្រសើរក្នុងការត្រួតពិនិត្យតាមលំដាប់លំដោយ ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំ ... ចូរចាប់ផ្តើមតាមលំដាប់លំដោយ។ )

1. យកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប។

វិធីសាមញ្ញនិងអាចទុកចិត្តបាន។ វាមិនអាក្រក់ពីគាត់ទេ! វាកើតឡើងទាំងល្អ ឬអត់។) ដូច្នេះ គាត់គឺជាមនុស្សទីមួយ។ យើង​យល់។

មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹង (ខ្ញុំជឿ!) ច្បាប់៖

a(b+c) = ab+ac

ឬជាទូទៅ៖

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

សមភាពទាំងអស់ដំណើរការទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំ និងច្រាសមកវិញពីស្តាំទៅឆ្វេង។ អ្នកអាចសរសេរ៖

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

នោះហើយជាចំណុចទាំងមូលនៃការដាក់កត្តារួមចេញពីតង្កៀប។

នៅផ្នែកខាងឆ្វេង ក - កត្តាទូទៅសម្រាប់លក្ខខណ្ឌទាំងអស់។ គុណនឹងអ្វីៗទាំងអស់។ ) សិទ្ធិគឺច្រើនបំផុត ករួច​ហើយ នៅខាងក្រៅតង្កៀប។

យើងនឹងពិចារណាការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃវិធីសាស្រ្តជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។ ដំបូង វ៉ារ្យ៉ង់គឺសាមញ្ញ សូម្បីតែបុព្វកាល។) ប៉ុន្តែនៅក្នុងវ៉ារ្យ៉ង់នេះ ខ្ញុំនឹងសម្គាល់ចំណុចសំខាន់ៗ (ជាពណ៌បៃតង) សម្រាប់កត្តាណាមួយ

គុណ៖

ah+9x

ដែល ទូទៅតើមេគុណនៅក្នុងពាក្យទាំងពីរ? X ពិតណាស់! យើងនឹងយកវាចេញពីតង្កៀប។ យើងធ្វើដូច្នេះ។ យើងសរសេរ x ភ្លាមៗនៅខាងក្រៅតង្កៀប៖

ax+9x=x(

ហើយនៅក្នុងតង្កៀបយើងសរសេរលទ្ធផលនៃការបែងចែក ពាក្យនីមួយៗនៅលើនេះ x ។ នៅ​ក្នុង​លំដាប់:

អស់ហើយ។ ជាការពិតណាស់វាមិនចាំបាច់ក្នុងការគូរនៅក្នុងលម្អិតបែបនេះ, នេះត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងចិត្ត។ ប៉ុន្តែដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលជាអ្វី វាជាការចង់បាន) ។ យើងជួសជុលក្នុងការចងចាំ៖

យើងសរសេរកត្តាទូទៅនៅខាងក្រៅតង្កៀប។ នៅក្នុងវង់ក្រចក យើងសរសេរលទ្ធផលនៃការបែងចែកពាក្យទាំងអស់ដោយកត្តាទូទៅនេះ។ នៅ​ក្នុង​លំដាប់។

នៅទីនេះយើងបានពង្រីកការបញ្ចេញមតិ ah+9xសម្រាប់មេគុណ។ ប្រែក្លាយវាទៅជាគុណនឹង x (a + 9) ។ខ្ញុំ​កត់​សម្គាល់​ថា ក្នុង​កន្សោម​ដើម​ក៏​មាន​ការ​គុណ​ដែរ សូម្បី​តែ​ពីរ៖ a x និង 9 x ។ប៉ុន្តែ​វា មិន​ទាន់​មាន​កត្តា​!ព្រោះ​បន្ថែម​លើ​គុណ កន្សោម​នេះ​ក៏​មាន​បូក​ផង​ដែរ សញ្ញា "+"! ហើយនៅក្នុងការបញ្ចេញមតិ x(a+9) គ្មានអ្វីក្រៅពីគុណ!

ម៉េចដែរ!? - ខ្ញុំលឺសំលេងខឹងរបស់ប្រជាជន - ហើយនៅក្នុងតង្កៀប!?)

បាទ មានការបន្ថែមនៅខាងក្នុងតង្កៀប។ ប៉ុន្តែល្បិចគឺថាខណៈពេលដែលតង្កៀបមិនត្រូវបានបើកយើងពិចារណាពួកគេ។ ដូចជាអក្សរមួយ។ហើយយើងធ្វើសកម្មភាពទាំងអស់ដោយតង្កៀបទាំងស្រុង ដូចជាអក្សរមួយ។ក្នុងន័យនេះ ក្នុងការបញ្ចេញមតិ x(a+9)គ្មានអ្វីក្រៅពីគុណ។ នេះគឺជាចំណុចទាំងមូលនៃកត្តា។

និយាយអីញ្ចឹង តើមានវិធីណាមួយដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើយើងបានធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រឹមត្រូវដែរឬទេ? ស្រួល! វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណនូវអ្វីដែលត្រូវបានយកចេញ (x) ដោយតង្កៀប ហើយមើលថាតើវាដំណើរការឬអត់ ដំបូងការបញ្ចេញមតិ? ប្រសិនបើវាដំណើរការ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺកំពូល!)

x(a+9)=ax+9x

បានកើតឡើង។ )

មិនមានបញ្ហានៅក្នុងឧទាហរណ៍បឋមនេះទេ។ តែ​បើ​មាន​ពាក្យ​ច្រើន​ហើយ​ក៏​មាន​សញ្ញា​ខុស​គ្នា​ដែរ… និយាយ​ឲ្យ​ខ្លី សិស្ស​ទី​បី​រញ៉េរញ៉ៃ)។ ដូច្នេះ៖

បើចាំបាច់ សូមពិនិត្យមើលកត្តាដោយគុណបញ្ច្រាស។

គុណ៖

3ax+9x

យើងកំពុងស្វែងរកកត្តារួមមួយ។ ជាការប្រសើរណាស់, អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់លាស់ជាមួយ X, វាអាចត្រូវបានស៊ូទ្រាំ។ តើមានទៀតទេ ទូទៅកត្តា? បាទ! នេះគឺជាបី។ អ្នកក៏អាចសរសេរកន្សោមដូចនេះ៖

៣x+៣ ៣x

នៅទីនេះវាច្បាស់ភ្លាមៗថាកត្តាទូទៅនឹងមាន 3x. នៅទីនេះយើងយកវាចេញ៖

3ax+3 3x=3x(a+3)

រីក​រាលដាល​ចេញ។

ហើយតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើអ្នកយក តែ x?គ្មានអ្វី​ពិសេស​ទេ:

3ax+9x=x(3a+9)

នេះក៏នឹងក្លាយជាកត្តាមួយផងដែរ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងដំណើរការដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នេះ វាជាទម្លាប់ក្នុងការដាក់អ្វីៗគ្រប់យ៉ាងរហូតដល់វាឈប់ ខណៈពេលដែលមានឱកាស។ នៅទីនេះក្នុងតង្កៀបមានឱកាសមួយដើម្បីដកបីដង។ ទទួលបាន៖

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

រឿងដដែលនេះ មានតែសកម្មភាពបន្ថែមមួយប៉ុណ្ណោះ។) ចងចាំ៖

នៅពេលយកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប យើងព្យាយាមដកចេញ អតិបរមាមេគុណទូទៅ។

តោះបន្តការសប្បាយ?

ការចាត់ថ្នាក់កន្សោម៖

3ax+9x-8a-24

តើ​យើង​នឹង​យក​អ្វី​ចេញ? បី, X? ទេ... អ្នកមិនអាចទេ។ ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថាអ្នកអាចយកបាន។ ទូទៅមេគុណ នោះគឺ ជា​រួមលក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចេញមតិ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលគាត់ ទូទៅ។គ្មានមេគុណបែបនេះទេ... ស្អីគេមិនចេញ!? បាទ សប្បាយ​ចិត្ត​យ៉ាង​ណា… ជួប៖

2. ការដាក់ជាក្រុម។

តាមពិត ការដាក់ជាក្រុមស្ទើរតែមិនអាចហៅថាជាវិធីឯករាជ្យនៃកត្តាកំណត់។ នេះ​ជា​វិធី​មួយ​ដើម្បី​ចេញ​ពី​ឧទាហរណ៍​ដ៏​ស្មុគស្មាញ។) អ្នក​ត្រូវ​ដាក់​ពាក្យ​ជា​ក្រុម​ដើម្បី​ឱ្យ​អ្វីៗ​ដំណើរការ​ទៅ​មុខ។ នេះអាចបង្ហាញតែជាមួយឧទាហរណ៍ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះយើងមានការបញ្ចេញមតិ៖

3ax+9x-8a-24

វា​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​មើល​ឃើញ​ថា​មាន​អក្សរ​និង​លេខ​ធម្មតា​មួយ​ចំនួន​។ ប៉ុន្តែ... ទូទៅមិនមានមេគុណក្នុងគ្រប់លក្ខខណ្ឌទេ។ កុំបាត់បង់បេះដូងនិង យើងបំបែកកន្សោមទៅជាបំណែក។យើងជាក្រុម។ ដូច្នេះថានៅក្នុងដុំនីមួយៗមានកត្តារួម មានអ្វីដែលត្រូវយកចេញ។ តើយើងបំបែកដោយរបៀបណា? បាទ គ្រាន់តែវង់ក្រចក។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា តង្កៀបអាចដាក់បានគ្រប់ទីកន្លែង និងគ្រប់មធ្យោបាយ។ ប្រសិនបើមានតែខ្លឹមសារនៃឧទាហរណ៍ មិនបានផ្លាស់ប្តូរទេ។ឧទាហរណ៍អ្នកអាចធ្វើដូចនេះ៖

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

សូមយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះតង្កៀបទីពីរ! ពួកវាត្រូវបាននាំមុខដោយសញ្ញាដក និង ៨ កនិង 24 ក្លាយជាវិជ្ជមាន! ប្រសិនបើសម្រាប់ការផ្ទៀងផ្ទាត់ យើងបើកតង្កៀបត្រឡប់មកវិញ សញ្ញានឹងផ្លាស់ប្តូរ ហើយយើងទទួលបាន ដំបូងកន្សោម។ ទាំងនោះ។ ខ្លឹមសារនៃកន្សោមពីតង្កៀបមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

ប៉ុន្តែ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​គ្រាន់​តែ​ដាក់​ក្នុង​វង់​ក្រចក​ដោយ​មិន​គិត​ពី​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​សញ្ញា​ឧទាហរណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) -(8a-24 )

វានឹងមានកំហុស។ ត្រូវហើយ ផ្សេងទៀតកន្សោម។ ពង្រីកតង្កៀបហើយអ្វីៗនឹងច្បាស់។ អ្នក​មិន​អាច​សម្រេច​ចិត្ត​ទៀត​ទេ បាទ...)

ប៉ុន្តែត្រលប់ទៅកត្តា។ សូមមើលតង្កៀបទីមួយ (3ax + 9x)ហើយគិតថាតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការស៊ូទ្រាំនឹងអ្វីមួយ? ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងលើ, យើងអាចយកវាចេញ 3x៖

(3ax+9x)=3x(a+3)

យើងសិក្សាតង្កៀបទីពីរ នៅទីនោះអ្នកអាចដកឃ្លាទាំងប្រាំបីបាន៖

(8a+24)=8(a+3)

កន្សោមទាំងមូលរបស់យើងនឹងមានៈ

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

គុណ? ទេ ការរលួយគួរតែជាលទ្ធផល គុណតែ,ហើយយើងមានសញ្ញាដកដែលបំផ្លាញអ្វីៗទាំងអស់។ ប៉ុន្តែ... ពាក្យទាំងពីរមានកត្តារួម! វា។ (a+3). វាមិនមែនជាការឥតប្រយោជន៍ទេដែលខ្ញុំនិយាយថាតង្កៀបទាំងមូលគឺដូចជាវា លិខិតមួយ។ ដូច្នេះតង្កៀបទាំងនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីតង្កៀប។ បាទ នោះហើយជាអ្វីដែលវាស្តាប់ទៅ។ )

យើងធ្វើដូចបានរៀបរាប់ខាងលើ។ សរសេរកត្តារួម (a+3)នៅក្នុងតង្កៀបទីពីរ យើងសរសេរលទ្ធផលនៃការបែងចែកពាក្យដោយ (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

គ្រប់យ៉ាង! នៅខាងស្តាំគ្មានអ្វីក្រៅពីគុណ! ដូច្នេះកត្តាត្រូវបានបញ្ចប់ដោយជោគជ័យ!) នេះគឺជា៖

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

ចូរយើងសង្ខេបខ្លឹមសារនៃក្រុម។

ប្រសិនបើការបញ្ចេញមតិមិនមាន ទូទៅមេគុណសម្រាប់ ទាំងអស់។ពាក្យ យើងបំបែកកន្សោមជាមួយតង្កៀប ដូច្នេះនៅខាងក្នុងតង្កៀបមានកត្តាទូទៅ គឺតោះយកវាចេញ ហើយមើលថាមានអ្វីកើតឡើង។ ប្រសិនបើយើងមានសំណាង ហើយពាក្យដដែលៗនៅតែមាននៅក្នុងតង្កៀប យើងដកតង្កៀបទាំងនេះចេញពីតង្កៀប។

ខ្ញុំ​នឹង​បន្ថែម​ថា​ការ​ដាក់​ជា​ក្រុម​គឺ​ជា​ដំណើរការ​ច្នៃប្រឌិត​មួយ)។ វាមិនតែងតែដំណើរការជាលើកដំបូងទេ។ មិន​អី​ទេ។ ពេលខ្លះអ្នកត្រូវប្តូរលក្ខខណ្ឌ ពិចារណាជម្រើសនៃក្រុមផ្សេងៗគ្នា រហូតដល់អ្នករកឃើញមួយល្អ។ រឿងសំខាន់នៅទីនេះគឺមិនត្រូវបាត់បង់បេះដូង!)

ឧទាហរណ៍។

ឥឡូវនេះ ដោយបានបង្កើនចំណេះដឹង អ្នកក៏អាចដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដ៏លំបាកបានដែរ។) នៅដើមមេរៀន មានបីចំណុចនេះ...

ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

តាម​ពិត យើង​បាន​ដោះស្រាយ​ឧទាហរណ៍​នេះ​រួច​ហើយ។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក៖ ប្រសិនបើយើងទទួលបានប្រភាគដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច យើងព្យាយាមបំបែកភាគយក និងភាគបែងទៅជាកត្តា។ ជម្រើសសាមញ្ញផ្សេងទៀត។ ធម្មតាទេ។

ភាគបែង​មិន​ត្រូវ​បាន​បំបែក​នៅ​ទី​នេះ​ទេ ប៉ុន្តែ​ភាគ​ភាគ... យើង​បាន​បំបែក​ភាគបែង​រួច​ហើយ​ក្នុង​វគ្គ​នៃ​មេរៀន! ដូចនេះ៖

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

យើងសរសេរលទ្ធផលនៃការពង្រីកទៅជាភាគយកនៃប្រភាគ៖

យោងទៅតាមច្បាប់នៃការកាត់បន្ថយប្រភាគ (ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគ) យើងអាចបែងចែក (ក្នុងពេលដំណាលគ្នា!) ភាគយកនិងភាគបែងដោយចំនួនដូចគ្នាឬកន្សោម។ ប្រភាគពីនេះ។ មិនផ្លាស់ប្តូរ។ដូច្នេះ យើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយកន្សោម (3x-8). ហើយនៅទីនេះនិងទីនោះយើងទទួលបានឯកតា។ លទ្ធផលសាមញ្ញចុងក្រោយ៖

ខ្ញុំបញ្ជាក់ជាពិសេស៖ ការកាត់បន្ថយប្រភាគគឺអាចធ្វើទៅបាន ប្រសិនបើនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង បន្ថែមពីលើការគុណកន្សោម មិនមានអ្វីទាំងអស់។នោះហើយជាមូលហេតុដែលការបំប្លែងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) ទៅជា គុណមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។ ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើការបញ្ចេញមតិ ផ្សេងៗបន្ទាប់មកគ្មានអ្វីនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ Byvet ។ ប៉ុន្តែកត្តា ផ្តល់ឱកាស។ឱកាសនេះដោយគ្មានការរលួយ - ជាធម្មតាមិនមានទេ។

ឧទាហរណ៍សមីការ៖

ដោះស្រាយសមីការ៖

x 5 − x 4 = 0

ការដកកត្តារួម x ៤សម្រាប់តង្កៀប។ យើង​ទទួល​បាន:

x 4 (x-1)=0

យើងសន្មត់ថាផលិតផលនៃកត្តាគឺស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មក ហើយមានតែពេលនោះទេ។នៅពេលណាមួយនៃពួកវាស្មើនឹងសូន្យ។ ប្រសិនបើមានការសង្ស័យ សូមរកឱ្យខ្ញុំនូវចំនួនដែលមិនមែនជាសូន្យដែលនៅពេលគុណនឹងផ្តល់សូន្យ។) ដូច្នេះយើងសរសេរជាដំបូងកត្តាទីមួយ៖

ជាមួយនឹងសមភាពនេះកត្តាទីពីរមិនរំខានយើងទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកណាក៏ដោយ ទីបំផុតសូន្យនឹងប្រែជាចេញ។ តើលេខអ្វីទៅជាថាមពលទីបួននៃសូន្យ? សូន្យ! ហើយគ្មានអ្វីផ្សេងទៀត ... ដូច្នេះ៖

យើងរកឃើញកត្តាទីមួយ យើងរកឃើញឫសមួយ។ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយកត្តាទីពីរ។ ឥឡូវនេះយើងមិនខ្វល់អំពីមេគុណទីមួយទេ។)៖

នៅទីនេះយើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយមួយ៖ x 1 = 0; x2 = 1. ឫសទាំងនេះណាមួយសមនឹងសមីការរបស់យើង។

កំណត់ចំណាំសំខាន់ណាស់។ ចំណាំថាយើងបានដោះស្រាយសមីការ បន្តិច!កត្តានីមួយៗត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យ។ ដោយមិនគិតពីកត្តាផ្សេងទៀត។ដោយវិធីនេះ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការបែបនេះមិនមានកត្តាពីរដូចដែលយើងមាន ប៉ុន្តែបី ប្រាំ ច្រើនតាមតែអ្នកចូលចិត្ត យើងនឹងសម្រេចចិត្ត។ ស្រដៀងគ្នា។មួយដុំ។ ឧទាហរណ៍:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

អ្នកដែលបើកតង្កៀប គុណនឹងអ្វីៗទាំងអស់នឹងព្យួរលើសមីការនេះជារៀងរហូត។) សិស្សត្រឹមត្រូវនឹងឃើញភ្លាមៗថាគ្មានអ្វីនៅខាងឆ្វេងទេ លើកលែងតែការគុណ នៅខាងស្តាំ - សូន្យ។ ហើយគាត់នឹងចាប់ផ្តើម (ក្នុងគំនិតរបស់គាត់!) ដើម្បីស្មើនឹងសូន្យតង្កៀបទាំងអស់តាមលំដាប់លំដោយ។ ហើយគាត់នឹងទទួលបាន (ក្នុងរយៈពេល 10 វិនាទី!) ដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវ៖ x 1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = −2 ។

អស្ចារ្យណាស់មែនទេ?) ដំណោះស្រាយដ៏ប្រណិតបែបនេះអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ បំបែកជាពហុគុណ។តម្រុយច្បាស់ទេ?)

ជាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយសម្រាប់មនុស្សចាស់)៖

ដោះស្រាយសមីការ៖

វា​ស្រដៀង​គ្នា​នឹង​រឿង​មុន​ខ្លះ​ដែរ​តើ​អ្នក​មិន​គិត​ទេ?) ជា​ការ​ពិត។ វាដល់ពេលដែលត្រូវចងចាំថានៅក្នុងពិជគណិតថ្នាក់ទីប្រាំពីរ ស៊ីនុស លោការីត និងអ្វីផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានលាក់នៅក្រោមអក្សរ! កត្តាធ្វើការនៅក្នុងគណិតវិទ្យាទាំងអស់។

ការដកកត្តារួម lg4xសម្រាប់តង្កៀប។ យើង​ទទួល​បាន:

lg 4x=0

នេះគឺជាឫសមួយ។ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយកត្តាទីពីរ។

នេះជាចម្លើយចុងក្រោយ៖ x 1 = 1; x2 = 10.

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកបានដឹងពីអំណាចនៃកត្តាក្នុងការធ្វើឱ្យប្រភាគសាមញ្ញ និងដោះស្រាយសមីការ។ )

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានស្គាល់ពីការដកចេញនូវកត្តារួម និងការដាក់ជាក្រុម។ វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយជាមួយរូបមន្តសម្រាប់គុណអក្សរកាត់ និងត្រីកោណការ៉េ។

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ សិក្សាដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

កត្តាពហុនាម។ ផ្នែកទី 1

ការបំបែកឯកតាគឺជាបច្ចេកទេសសកលដែលជួយដោះស្រាយសមីការស្មុគស្មាញ និងវិសមភាព។ គំនិតដំបូងដែលគួរគិតដល់ពេលដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពដែលសូន្យនៅខាងស្តាំគឺត្រូវព្យាយាមធ្វើកត្តាខាងឆ្វេង។

យើងរាយបញ្ជីសំខាន់ មធ្យោបាយ​ក្នុង​ការ​ធ្វើ​កត្តា​ពហុធា:

• យកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប
• ការប្រើប្រាស់រូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់
• ដោយ​រូបមន្ត​សម្រាប់​បង្កើត​ត្រីកោណមាត្រ​ការ៉េ
• វិធីសាស្រ្តនៃក្រុម
• ការបែងចែកពហុធាដោយទ្វេនាម
• វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីវិធីសាស្រ្តបីដំបូងដោយលម្អិត នៅសល់នឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទខាងក្រោម។

1. យកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប។

ដើម្បីយកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប អ្នកត្រូវតែរកវាជាមុនសិន។ មេគុណមេគុណទូទៅគឺស្មើនឹងផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃមេគុណទាំងអស់។

ផ្នែកអក្សរកត្តាទូទៅគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកន្សោមដែលបង្កើតជាពាក្យនីមួយៗដែលមាននិទស្សន្តតូចបំផុត។

គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការយកកត្តាទូទៅមើលទៅដូចនេះ:

យកចិត្តទុកដាក់!
ចំនួនពាក្យនៅក្នុងតង្កៀបគឺស្មើនឹងចំនួនពាក្យនៅក្នុងកន្សោមដើម។ ប្រសិនបើពាក្យមួយស្របគ្នានឹងកត្តារួម នោះនៅពេលដែលវាត្រូវបានបែងចែកដោយកត្តារួម យើងទទួលបានមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

ធ្វើកត្តាពហុនាម៖

ចូរយកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងរកឃើញ។

1. ស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃមេគុណទាំងអស់នៃពហុធា ពោលគឺឧ។ លេខ 20, 35 និង 15 វាស្មើនឹង 5 ។

2. យើងកំណត់ថាអថេរមាននៅក្នុងពាក្យទាំងអស់ ហើយនិទស្សន្តតូចបំផុតរបស់វាគឺ 2. អថេរមាននៅក្នុងគ្រប់ពាក្យ ហើយនិទស្សន្តតូចបំផុតរបស់វាគឺ 3 ។

អថេរ​មាន​តែ​ក្នុង​ពាក្យ​ទី​ពីរ​ប៉ុណ្ណោះ ដូច្នេះ​វា​មិន​មែន​ជា​ផ្នែក​នៃ​កត្តា​ទូទៅ​ទេ។

ដូច្នេះកត្តាទូទៅគឺ

3. យើងដកកត្តាដោយប្រើគ្រោងការណ៍ខាងលើ៖

ឧទាហរណ៍ ២ដោះស្រាយសមីការ៖

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ ចូរយកកត្តាចេញពីតង្កៀប៖

ដូច្នេះយើងទទួលបានសមីការ

កំណត់កត្តានីមួយៗស្មើនឹងសូន្យ៖

យើងទទួលបាន - ឫសនៃសមីការទីមួយ។

ឫស៖

ចម្លើយ៖ -១, ២, ៤

2. ការបំបែកកត្តាដោយប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់។

ប្រសិនបើចំនួននៃពាក្យនៅក្នុងពហុនាមដែលយើងនឹងធ្វើកត្តាគឺតិចជាង ឬស្មើនឹងបី នោះយើងព្យាយាមអនុវត្តរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់។

1. ប្រសិនបើពហុនាមគឺភាពខុសគ្នានៃពាក្យពីរបន្ទាប់មកយើងព្យាយាមដាក់ពាក្យ ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ:

ឬ រូបមន្តភាពខុសគ្នាគូប:

នេះគឺជាអក្សរ ហើយបញ្ជាក់លេខ ឬកន្សោមពិជគណិត។

2. ប្រសិនបើពហុនាមគឺជាផលបូកនៃពាក្យពីរ នោះប្រហែលជាវាអាចជាកត្តាដោយប្រើ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃគូប:

3. ប្រសិនបើពហុធាមានបីពាក្យ នោះយើងព្យាយាមអនុវត្ត រូបមន្ត​ការ៉េ​សរុប:

ឬ ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ:

ឬយើងព្យាយាមធ្វើកត្តាដោយ រូបមន្ត​សម្រាប់​បង្កើត​ត្រីកោណមាត្រ​ការ៉េ:

នៅទីនេះ និងជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ

ឧទាហរណ៍ ៣ការចាត់ថ្នាក់កន្សោម៖

ដំណោះស្រាយ។ យើងមានផលបូកនៃពាក្យពីរ។ ចូរយើងព្យាយាមអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃគូប។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងអ្នកត្រូវតែតំណាងឱ្យពាក្យនីមួយៗជាគូបនៃកន្សោមមួយចំនួនហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃគូប:

ឧទាហរណ៍ 4កំណត់​កន្សោម៖

ដំណោះស្រាយ។ មុនពេលយើងគឺជាភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃកន្សោមពីរ។ កន្សោមទីមួយ៖ , កន្សោមទីពីរ៖

ចូរយើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ៖

តោះបើកតង្កៀប ហើយផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូចយើងទទួលបាន៖

យើងដឹងរួចហើយពីរបៀបប្រើកត្តាកត្តានៃភាពខុសគ្នានៃដឺក្រេ - នៅពេលសិក្សាប្រធានបទ "ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ" និង "ភាពខុសគ្នានៃគូប" យើងបានរៀនដើម្បីតំណាងឱ្យផលិតផលភាពខុសគ្នានៃកន្សោមដែលអាចតំណាងជាការ៉េឬជា គូបនៃកន្សោម ឬលេខមួយចំនួន។

រូបមន្តគុណសង្ខេប

យោងតាមរូបមន្តគុណដោយសង្ខេប៖

ភាពខុសគ្នានៃការ៉េអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរ ឬកន្សោមដោយផលបូករបស់វា។

ភាពខុសគ្នានៃគូបអាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរដោយការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូក

ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាភាពខុសគ្នានៃការបញ្ចេញមតិនៅក្នុង 4 អំណាច

ដោយផ្អែកលើភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការេ សូមព្យាយាមបំបែកកន្សោម $a^4-b^4$

រំលឹកឡើងវិញពីរបៀបដែលអំណាចមួយត្រូវបានលើកទៅជាថាមពល - សម្រាប់នេះ មូលដ្ឋាននៅតែដដែល ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ ពោលគឺ $((a^n))^m=a^(n*m)$

បន្ទាប់មកអ្នកអាចស្រមៃ:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((b)^2))^2$

ដូច្នេះកន្សោមរបស់យើងអាចត្រូវបានតំណាងជា $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$

ឥឡូវនេះនៅក្នុងតង្កៀបទីមួយ យើងទទួលបានភាពខុសគ្នានៃលេខម្តងទៀត ដែលមានន័យថាយើងអាចធ្វើកត្តាម្តងទៀតជាផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរ ឬកន្សោមដោយផលបូករបស់ពួកគេ៖ $a^2-b^2=\left(a-b\right) (a+b)$។

ឥឡូវនេះយើងគណនាផលិតផលនៃតង្កៀបទីពីរនិងទីបីដោយប្រើក្បួនសម្រាប់ផលិតផលនៃពហុធា - យើងគុណនឹងពាក្យនីមួយៗនៃពហុធាទីមួយដោយពាក្យនីមួយៗនៃពហុធាទីពីរហើយបន្ថែមលទ្ធផល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងគុណពាក្យដំបូងនៃពហុធាដំបូង - $a$ - ដោយពាក្យទីមួយនិងទីពីរនៃទីពីរ (ដោយ $a^2$ និង $b^2$) i.e. យើងទទួលបាន $a\cdot a^2+a\cdot b^2$ បន្ទាប់មកយើងគុណនឹងពាក្យទីពីរនៃពហុនាមទីមួយ -$b$- ដោយពាក្យទីមួយ និងទីពីរនៃពហុធាទីពីរ (ដោយ $a^2$ និង $b^2$), ទាំងនោះ។ ទទួលបាន $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ ហើយបូកសរុបកន្សោមលទ្ធផល

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

យើងសរសេរភាពខុសគ្នានៃ monomial នៃដឺក្រេទី 4 ដោយគិតគូរពីផលិតផលដែលបានគណនា:

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\$=

ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាភាពខុសគ្នានៃការបញ្ចេញមតិនៅក្នុងអំណាចទី 6

ដោយផ្អែកលើភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការេ សូមព្យាយាមបំបែកកន្សោម $a^6-b^6$

រំលឹកឡើងវិញពីរបៀបដែលថាមពលត្រូវបានលើកទៅជាថាមពល - សម្រាប់នេះ មូលដ្ឋាននៅតែដដែល ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ ពោលគឺ $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

បន្ទាប់មកអ្នកអាចស្រមៃ:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((b)^3))^2$

ដូច្នេះកន្សោមរបស់យើងអាចត្រូវបានតំណាងជា $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$

នៅក្នុងតង្កៀបទីមួយយើងទទួលបានភាពខុសគ្នានៃគូបនៃ monomials នៅក្នុងទីពីរផលបូកនៃគូបនៃ monomials ឥឡូវនេះយើងអាចធ្វើកត្តាម្តងទៀតភាពខុសគ្នានៃគូបនៃ monomials ជាផលិតផលនៃភាពខុសគ្នានៃចំនួនពីរដោយការ៉េមិនពេញលេញនៃផលបូក $a^3-b^3=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)$

កន្សោមដើមយកទម្រង់

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

យើងគណនាផលិតផលនៃតង្កៀបទីពីរ និងទីបី ដោយប្រើក្បួនសម្រាប់ផលគុណនៃពហុធា - យើងគុណនឹងពាក្យនីមួយៗនៃពហុធាទីមួយដោយពាក្យនីមួយៗនៃពហុធាទីពីរ ហើយបន្ថែមលទ្ធផល។

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

យើងសរសេរភាពខុសគ្នានៃ monomial នៃដឺក្រេទី 6 ដោយគិតគូរពីផលិតផលដែលបានគណនា:

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

ការគណនាភាពខុសគ្នានៃថាមពល

ចូរយើងវិភាគរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគូប ភាពខុសគ្នានៃ $4$ ដឺក្រេ ភាពខុសគ្នានៃ $6$ ដឺក្រេ

យើងឃើញថា នៅក្នុងការពង្រីកនីមួយៗនេះ មានភាពស្រដៀងគ្នាមួយចំនួន ជាទូទៅដែលយើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ ១

ធ្វើកត្តា $(32x)^(10)-(243y)^(15)$

ដំណោះស្រាយ៖ដំបូងយើងតំណាងឱ្យ monomial នីមួយៗជា monomial មួយចំនួនទៅនឹងអំណាចនៃ 5:

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

យើងប្រើរូបមន្តភាពខុសគ្នាថាមពល

រូបភាពទី 1 ។

ជាញឹកញាប់ណាស់ ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ គឺជាកន្សោមពិជគណិតដែលដំបូងត្រូវតែត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តា ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកដូចគ្នាក្នុងចំនោមពួកគេ បែងចែកទាំងភាគយក និងភាគបែងចូលទៅក្នុងពួកវា ពោលគឺកាត់បន្ថយប្រភាគ។ ជំពូកទាំងមូលនៃសៀវភៅសិក្សាអំពីពិជគណិតនៅថ្នាក់ទី 7 ត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ភារកិច្ចដើម្បីធ្វើកត្តាពហុធា។ កត្តាអាចត្រូវបានធ្វើ 3 វិធីក៏ដូចជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្រ្តទាំងនេះ។

1. ការអនុវត្តរូបមន្តគុណអក្សរកាត់

ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ គុណពហុធាដោយពហុធាអ្នកត្រូវគុណពាក្យនីមួយៗនៃពហុធាមួយដោយពាក្យនីមួយៗនៃពហុធាផ្សេងទៀត ហើយបន្ថែមផលិតផលលទ្ធផល។ មានករណីទូទៅយ៉ាងហោចណាស់ 7 (ប្រាំពីរ) នៃការគុណពហុនាមដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងគំនិត។ ឧទាហរណ៍,

តារាងទី 1. ការបំបែកកត្តាតាមវិធីទី 1

2. យកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប

វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើការអនុវត្តច្បាប់ចែកចាយនៃគុណ។ ឧទាហរណ៍,

យើងបែងចែកពាក្យនីមួយៗនៃកន្សោមដើមដោយកត្តាដែលយើងដកចេញ ហើយនៅពេលដំណាលគ្នាយើងទទួលបានកន្សោមក្នុងតង្កៀប (នោះគឺជាលទ្ធផលនៃការបែងចែកអ្វីដែលមានដោយអ្វីដែលយើងដកចេញនៅតែមាននៅក្នុងតង្កៀប)។ ដំបូងអ្នកត្រូវការ កំណត់មេគុណឱ្យបានត្រឹមត្រូវដែលត្រូវតែតោង។

ពហុធានៅក្នុងតង្កៀបក៏អាចជាកត្តាទូទៅមួយដែរ៖

នៅពេលអនុវត្តកិច្ចការ "កត្តា" មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែប្រុងប្រយ័ត្នជាពិសេសជាមួយនឹងសញ្ញានៅពេលយកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប។ ដើម្បីផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យនីមួយៗក្នុងវង់ក្រចក (ខ - ក)យើងដកកត្តារួម -1 ខណៈពេលដែលពាក្យនីមួយៗនៅក្នុងតង្កៀបត្រូវបានបែងចែកដោយ -1: (b - a) = - (a - b) ។

នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍ដែលកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបត្រូវបានការ៉េ (ឬអំណាចសូម្បីតែណាមួយ) បន្ទាប់មក លេខនៅក្នុងតង្កៀបអាចប្តូរបាន។ ឥតគិតថ្លៃទាំងស្រុង ចាប់តាំងពីការដកយកចេញពីតង្កៀបនឹងនៅតែប្រែទៅជាបូកនៅពេលគុណ៖ (b − a) 2 = (a − ខ) ២, (b - a) 4 = (a - b) 4 ល​ល…

3. វិធីសាស្រ្តដាក់ជាក្រុម

ពេលខ្លះមិនមែនគ្រប់ពាក្យនៅក្នុងកន្សោមមានកត្តារួមនោះទេ ប៉ុន្តែមានតែមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចព្យាយាម លក្ខខណ្ឌក្រុម នៅក្នុងតង្កៀប ដូច្នេះកត្តាមួយចំនួនអាចត្រូវបានយកចេញពីនីមួយៗ។ វិធីសាស្រ្តដាក់ជាក្រុមគឺជាការតង្កៀបទ្វេនៃកត្តាទូទៅ។

4. ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ

ពេលខ្លះអ្នកចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តមិនមែនមួយទេ ប៉ុន្តែមានវិធីជាច្រើនដើម្បីបែងចែកពហុនាមទៅជាកត្តាក្នុងពេលតែមួយ។

នេះគឺជាការសង្ខេបអំពីប្រធានបទ។ "ការធ្វើជាកត្តា". ជ្រើសរើសជំហានបន្ទាប់៖

• ទៅកាន់អរូបីបន្ទាប់៖

ដើម្បី​ធ្វើ​កត្តា​វា​ចាំបាច់​ដើម្បី​សម្រួល​កន្សោម។ នេះគឺចាំបាច់ដើម្បីអាចកាត់បន្ថយបន្ថែមទៀត។ ការរលាយនៃពហុធាមានអត្ថន័យនៅពេលដែលកម្រិតរបស់វាមិនទាបជាងទីពីរ។ ពហុធាដែលមានសញ្ញាប័ត្រទីមួយត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

អត្ថបទនឹងបង្ហាញពីគោលគំនិតទាំងអស់នៃការរលាយ មូលដ្ឋានគ្រឹះទ្រឹស្តី និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់បង្កើតពហុធា។

ទ្រឹស្ដី

ទ្រឹស្តីបទ ១

នៅពេលដែលពហុនាមណាមួយដែលមានសញ្ញាបត្រ n មានទម្រង់ P n x = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ។ . . + a 1 x + a 0 ត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលដែលមានកត្តាថេរដែលមានកំរិតខ្ពស់បំផុត a n និង n កត្តាលីនេអ៊ែរ (x - x i), i = 1 , 2 , … , n , បន្ទាប់មក P n (x) = a n (x − x n) (x − x n − 1) ។ . . · (x − x 1) ដែល x i , i = 1 , 2 , … , n - ទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃពហុធា។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ឫសនៃប្រភេទស្មុគស្មាញ x i , i = 1 , 2 , … , n និងសម្រាប់មេគុណស្មុគស្មាញ a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n ។ នេះគឺជាមូលដ្ឋាននៃការរលួយណាមួយ។

នៅពេលដែលមេគុណនៃទម្រង់ k , k = 0 , 1 , 2 , … , n គឺជាចំនួនពិត នោះឫសស្មុគ្រស្មាញនឹងកើតឡើងជាគូ។ ឧទាហរណ៍ ឫស x 1 និង x 2 ទាក់ទងនឹងពហុនាមនៃទម្រង់ P n x = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ។ . . + a 1 x + a 0 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជា conjugate ស្មុគ្រស្មាញ បន្ទាប់មកឫសផ្សេងទៀតគឺពិត ដូច្នេះយើងទទួលបានថាពហុធាយកទម្រង់ P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · ។ . . (x − x 3) x 2 + p x + q ដែល x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) ។

មតិយោបល់

ឫសនៃពហុធាអាចធ្វើម្តងទៀត។ ពិចារណាលើភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទពិជគណិត ផលវិបាកនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ។

ទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិត

ទ្រឹស្តីបទ ២

ពហុធាណាមួយដែលមានសញ្ញាបត្រ n មានឫសយ៉ាងតិចមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ Bezout

បន្ទាប់ពីបែងចែកពហុនាមនៃទម្រង់ P n x = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ។ . . + a 1 x + a 0 លើ (x - s) បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននៅសល់ដែលស្មើនឹងពហុនាមនៅចំណុច s បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

P n x = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x − s) Q n − 1 (x) + P n (s) ដែល Q n − 1 (x) ជាពហុនាមដែលមានសញ្ញាបត្រ n − 1 ។

Corollary ពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout

នៅពេលដែលឫសនៃពហុធា P n (x) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជា s នោះ P n x = a n x n + a n − 1 x n - 1 + ។ . . + a 1 x + a 0 = (x − s) Q n − 1 (x) ។ កូរ៉ូឡារីនេះគឺគ្រប់គ្រាន់នៅពេលប្រើដើម្បីពិពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយ។

ការបំបែកឯកតានៃត្រីកោណមាត្រការ៉េ

ត្រីកោណការ៉េនៃទម្រង់ a x 2 + b x + c អាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានថា a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) ដែល x 1 និង x 2 គឺជាឫស (ស្មុគស្មាញ ឬពិត) ។

នេះបង្ហាញថាការបំបែកខ្លួនវាកាត់បន្ថយទៅនឹងការដោះស្រាយសមីការការ៉េនៅពេលក្រោយ។

ឧទាហរណ៍ ១

ធ្វើកត្តាត្រីកោណមាត្រការ៉េ។

ដំណោះស្រាយ

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកឫសនៃសមីការ 4 x 2 − 5 x + 1 = 0 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃអ្នករើសអើងយោងទៅតាមរូបមន្តបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9 ។ ដូច្នេះ​ហើយ​យើង​មាន​នោះ។

x 1 = 5 − 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

ពីទីនេះយើងទទួលបាន 4 x 2 − 5 x + 1 = 4 x − 1 4 x − 1 ។

ដើម្បីអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យអ្នកត្រូវបើកតង្កៀប។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានទម្រង់បែបបទ៖

4 x − 1 4 x − 1 = 4 x 2 − x − 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 − 5 x + 1

បន្ទាប់ពីការផ្ទៀងផ្ទាត់ យើងទៅដល់កន្សោមដើម។ នោះគឺយើងអាចសន្និដ្ឋានថាការពង្រីកគឺត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ២

ធ្វើកត្តាត្រីកោណមាត្រការ៉េនៃទម្រង់ 3 x 2 - 7 x - 11 ។

ដំណោះស្រាយ

យើងទទួលបានថាវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាសមីការការ៉េលទ្ធផលនៃទម្រង់ 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 ។

ដើម្បីស្វែងរកឫសអ្នកត្រូវកំណត់តម្លៃនៃអ្នករើសអើង។ យើងទទួលបាននោះ។

3 x 2 − 7 x − 11 = 0 D = ( − 7 ) 2 − 4 3 ( − 11 ) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 − D 2 3 = 7 − ១៨១៦

ពីទីនេះយើងទទួលបាន 3 x 2 − 7 x − 11 = 3 x − 7 + 181 6 x − 7 − 181 6 ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ធ្វើកត្តាពហុធា 2 x 2 + 1 ។

ដំណោះស្រាយ

ឥឡូវអ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េ 2 x 2 + 1 = 0 ហើយស្វែងរកឫសរបស់វា។ យើងទទួលបាននោះ។

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = − 1 2 x 1 = − 1 2 = 1 2 i x 2 = − 1 2 = − 1 2 i

ឫសទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា complex conjugate ដែលមានន័យថា decomposition ខ្លួនវាអាចត្រូវបានតំណាងជា 2 x 2 + 1 = 2 x − 1 2 · i x + 1 2 · i ។

ឧទាហរណ៍ 4

ពង្រីកត្រីកោណការ៉េ x 2 + 1 3 x + 1 ។

ដំណោះស្រាយ

ដំបូងអ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េនៃទម្រង់ x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ហើយស្វែងរកឫសរបស់វា។

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 − 4 1 1 = − 35 9 x 1 = − 1 3 + D 2 1 = − 1 3 + 35 3 i 2 = − 1 + 35 i 6 = . − 1 6 + 35 6 i x 2 = − 1 3 − D 2 1 = − 1 3 − 35 3 i 2 = − 1 − 35 i 6 = − 1 6 − 35 6 i

ដោយទទួលបានឫសយើងសរសេរ

x 2 + 1 3 x + 1 = x − − 1 6 + 35 6 i x − − 1 6 − 35 6 i = = x + 1 6 − 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

មតិយោបល់

ប្រសិនបើតម្លៃនៃការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន នោះពហុធានឹងនៅតែជាពហុនាមលំដាប់ទីពីរ។ ដូច្នេះវាកើតឡើងថាយើងនឹងមិនបំបែកពួកវាទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរទេ។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់កត្តាពហុធានៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងទីពីរ

ការរលួយសន្មតថាជាវិធីសាស្រ្តសកល។ ភាគច្រើននៃករណីទាំងអស់គឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវជ្រើសរើសតម្លៃនៃឫស x 1 ហើយបន្ថយកម្រិតរបស់វាដោយបែងចែកដោយពហុធាដោយ 1 ដោយបែងចែកដោយ (x − x 1) ។ ពហុនាមលទ្ធផលត្រូវស្វែងរកឫស x 2 ហើយដំណើរការស្វែងរកគឺមានលក្ខណៈវដ្តរហូតដល់យើងទទួលបានការពង្រីកពេញលេញ។

ប្រសិនបើរកមិនឃើញឬសទេ នោះវិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតនៃកត្តាកំណត់ត្រូវបានប្រើ៖ ការដាក់ជាក្រុម ពាក្យបន្ថែម។ ប្រធានបទនេះសន្មត់ថាដំណោះស្រាយនៃសមីការដែលមានអំណាចខ្ពស់ជាង និងមេគុណចំនួនគត់។

យកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប

ពិចារណាករណីនៅពេលដែលពាក្យសេរីស្មើនឹងសូន្យ នោះទម្រង់ពហុនាមក្លាយជា P n (x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ។ . . + a 1 x ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាឫសនៃពហុនាមបែបនេះនឹងស្មើនឹង x 1 \u003d 0 បន្ទាប់មកអ្នកអាចតំណាងឱ្យពហុនាមក្នុងទម្រង់ជាកន្សោម P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 + ។ . . + a 1 x = = x (a n x n − 1 + a n − 1 x n − 2 + ... + a 1)

វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាកំពុងយកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប។

ឧទាហរណ៍ ៥

ធ្វើកត្តាពហុធាដឺក្រេទីបី 4 x 3 + 8 x 2 − x ។

ដំណោះស្រាយ

យើងឃើញថា x 1 \u003d 0 គឺជាឫសគល់នៃពហុនាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ បន្ទាប់មកយើងអាចតង្កៀប x ចេញពីកន្សោមទាំងមូល។ យើង​ទទួល​បាន:

4 x 3 + 8 x 2 − x = x (4 x 2 + 8 x − 1)

ចូរបន្តទៅការស្វែងរកឫសគល់នៃត្រីកោណការ៉េ 4 x 2 + 8 x − 1 ។ ចូរយើងស្វែងរកការរើសអើង និងឫសគល់៖

ឃ = 8 2 − 4 4 ( − 1 ) = 80 x 1 = − 8 + D 2 4 = − 1 + 5 2 x 2 = − 8 − D 2 4 = − 1 − 5 2

បន្ទាប់មកវាធ្វើតាមនោះ។

4 x 3 + 8 x 2 − x = x 4 x 2 + 8 x − 1 = = 4 x x − − 1 + 5 2 x − − 1 − 5 2 = = 4 x x + 1 − 5 2 x + 1 + 5 ២

ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តបំបែកដែលមានមេគុណចំនួនគត់នៃទម្រង់ P n (x) = x n + a n − 1 x n - 1 + ។ . . + a 1 x + a 0 ដែលមេគុណនៃថាមពលខ្ពស់បំផុតគឺ 1 ។

នៅពេលដែលពហុធាមានឫសចំនួនគត់ នោះពួកវាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការបែងចែកនៃពាក្យសេរី។

ឧទាហរណ៍ ៦

ពង្រីកកន្សោម f (x) = x 4 + 3 x 3 − x 2 − 9 x − 18 ។

ដំណោះស្រាយ

ពិចារណាថាតើមានឫសចំនួនគត់។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរការបែងចែកលេខ - 18 ។ យើងទទួលបានថា ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 ។ វាធ្វើតាមថាពហុធានេះមានឫសចំនួនគត់។ អ្នកអាចពិនិត្យមើលតាមគ្រោងការណ៍ Horner ។ វាងាយស្រួលណាស់ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានមេគុណពង្រីកនៃពហុនាមយ៉ាងឆាប់រហ័ស៖

វាធ្វើតាមថា x \u003d 2 និង x \u003d - 3 គឺជាឫសគល់នៃពហុនាមដើម ដែលអាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃទម្រង់៖

f (x) = x 4 + 3 x 3 − x 2 − 9 x − 18 = (x − 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x − 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

យើងបង្វែរទៅការបំបែកនៃត្រីកោណការ៉េនៃទម្រង់ x 2 + 2 x + 3 ។

ដោយសារ​ការ​រើសអើង​មាន​លក្ខណៈ​អវិជ្ជមាន វា​មាន​ន័យ​ថា​គ្មាន​ឫសគល់​ពិតប្រាកដ​ទេ។

ចម្លើយ៖ f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x − 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

មតិយោបល់

វាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យប្រើការជ្រើសរើសឫស និងការបែងចែកពហុនាមដោយពហុធា ជំនួសឱ្យគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ ចូរយើងបន្តពិចារណាលើការពង្រីកពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់នៃទម្រង់ P n (x) = x n + a n − 1 x n − 1 + ។ . . + a 1 x + a 0 ដែលខ្ពស់បំផុតមិនស្មើនឹងមួយ។

ករណីនេះកើតឡើងសម្រាប់ប្រភាគសនិទានភាព។

ឧទាហរណ៍ ៧

ធ្វើកត្តា f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 ។

ដំណោះស្រាយ

វាចាំបាច់ក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ y = 2 x មួយគួរតែឆ្លងទៅពហុនាមដែលមានមេគុណស្មើនឹង 1 នៅដឺក្រេខ្ពស់បំផុត។ អ្នកត្រូវចាប់ផ្តើមដោយគុណកន្សោមដោយ 4 ។ យើងទទួលបាននោះ។

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

នៅពេលដែលអនុគមន៍លទ្ធផលនៃទម្រង់ g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 មានឫសចំនួនគត់ នោះការរកឃើញរបស់ពួកគេគឺស្ថិតក្នុងចំណោមការបែងចែកនៃពាក្យសេរី។ ការចូលនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

ចូរបន្តទៅការគណនាអនុគមន៍ g (y) នៅចំណុចទាំងនេះ ដើម្បីទទួលបានលទ្ធផលសូន្យ។ យើងទទួលបាននោះ។

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (− 1) = (− 1) 3 + 19 (− 1) 2 + 82 (− 1) + 60 = − 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ក្រាម ( − 2 ) = ( − 2 ) 3 + 19 ( − 2 ) 2 + 82 ( − 2 ) + 60 = − 36 ក្រាម ( 3 ) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 ក្រាម (− 3) = (− 3) 3 + 19 (− 3) 2 + 82 (− 3) + 60 = − 42 ក្រាម (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 ក្រាម ( − 4 ) = ( − 4 ) 3 + 19 ( − 4 ) 2 + 82 ( − 4 ) + 60 = − 28 ក្រាម ( 5 ) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 ក្រាម ( − 5 ) = ( − 5 ) 3 + 19 ( − 5 ) 2 + 82 ( − 5 ) + 60

យើងទទួលបានថា y \u003d - 5 គឺជាឫសគល់នៃសមីការនៃទម្រង់ y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ដែលមានន័យថា x \u003d y 2 \u003d - 5 2 គឺជាឫសនៃមុខងារដើម។

ឧទាហរណ៍ ៨

វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកដោយជួរឈរ 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 ដោយ x + 5 2 ។

ដំណោះស្រាយ

យើងសរសេរនិងទទួលបាន៖

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

ការពិនិត្យមើលផ្នែកចែកនឹងចំណាយពេលច្រើន ដូច្នេះ វាមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការយកកត្តានៃលទ្ធផលត្រីកោណមាត្រនៃទម្រង់ x 2 + 7 x + 3 ។ ដោយស្មើសូន្យ យើងរកឃើញអ្នករើសអើង។

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 − 4 1 3 = 37 x 1 = − 7 + 37 2 x 2 = − 7 − 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 − 37 2 x + 7 2 + 37 ២

ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 − 37 2 x + 7 2 + 37 2

ល្បិច​សិប្បនិម្មិត​ពេល​បង្កើត​ពហុធា

ឫសសនិទានមិនមាននៅក្នុងពហុនាមទាំងអស់ទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវប្រើវិធីសាស្រ្តពិសេសដើម្បីស្វែងរកកត្តា។ ប៉ុន្តែមិនមែនពហុនាមទាំងអស់អាចត្រូវបាន decomposed ឬតំណាងជាផលិតផលមួយ។

វិធីសាស្រ្តដាក់ជាក្រុម

មាន​ករណី​ដែល​អាច​ដាក់​ជា​ក្រុម​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ពហុនាម​ដើម្បី​ស្វែងរក​កត្តា​រួម​មួយ ហើយ​យក​វា​ចេញ​ពី​តង្កៀប។

ឧទាហរណ៍ ៩

ធ្វើកត្តាពហុធា x 4 + 4 x 3 − x 2 − 8 x − 2 ។

ដំណោះស្រាយ

ដោយសារមេគុណជាចំនួនគត់ នោះឫសអាចសន្មតថាជាចំនួនគត់ផងដែរ។ ដើម្បីពិនិត្យ យើងយកតម្លៃ 1 , - 1 , 2 និង - 2 ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃពហុធានៅចំណុចទាំងនេះ។ យើងទទួលបាននោះ។

1 4 + 4 1 3 − 1 2 − 8 1 − 2 = − 6 ≠ 0 (− 1) 4 + 4 (– 1) 3 – (– 1) 2 – 8 (– 1) – 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 − 2 2 − 8 2 − 2 = 26 ≠ 0 (− 2) 4 + 4 (– 2) 3 – (– 2) 2 – 8 (– 2) – 2 = – 6 ≠ 0

នេះបង្ហាញថាមិនមានឫសទេវាចាំបាច់ក្នុងការប្រើវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នានៃការរលួយនិងដំណោះស្រាយ។

ការដាក់ជាក្រុមគឺចាំបាច់៖

x 4 + 4 x 3 − x 2 − 8 x − 2 = x 4 + 4 x 3 − 2 x 2 + x 2 − 8 x − 2 = = (x 4 − 2 x 2) + (4 x 3 − 8 x) + x 2 − 2 = = x 2 (x 2 − 2) + 4 x (x 2 − 2) + x 2 − 2 = = (x 2 − 2) (x 2 + 4 x + 1)

បន្ទាប់​ពី​ការ​ដាក់​ជា​ក្រុម​ពហុនាម​ដើម វា​ចាំបាច់​ដើម្បី​តំណាង​ឱ្យ​វា​ជា​ផលិតផល​នៃ​ត្រីកោណ​ការ៉េ​ពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវធ្វើកត្តា។ យើងទទួលបាននោះ។

x 2 − 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = − 2 ⇒ x 2 − 2 = x − 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 − 4 1 1 = 12 x 1 = − 4 − D 2 1 = − 2 − 3 x 2 = − 4 − D 2 1 = − 2 − 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 − 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 − x 2 − 8 x − 2 = x 2 − 2 x 2 + 4 x + 1 = = x − 2 x + 2 x + 2 − 3 x + 2 + 3

មតិយោបល់

ភាពសាមញ្ញនៃការដាក់ជាក្រុមមិនមានន័យថាវាងាយស្រួលគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការជ្រើសរើសលក្ខខណ្ឌនោះទេ។ មិនមានវិធីច្បាស់លាស់ដើម្បីដោះស្រាយនោះទេ ដូច្នេះចាំបាច់ត្រូវប្រើទ្រឹស្តីបទ និងច្បាប់ពិសេស។

ឧទាហរណ៍ 10

ធ្វើកត្តាពហុធា x 4 + 3 x 3 − x 2 − 4 x + 2 ។

ដំណោះស្រាយ

ពហុធាដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានឫសចំនួនគត់។ លក្ខខណ្ឌគួរតែត្រូវបានដាក់ជាក្រុម។ យើងទទួលបាននោះ។

x 4 + 3 x 3 − x 2 − 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + ( − 2 x 2 − 2 x) − x 2 − 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x − 2) = = (x 2 + x) ( x 2 + 2 x − 2) - (x 2 + 2 x − 2) = (x 2 + x − 1) (x 2 + 2 x − 2)

បន្ទាប់​ពី​ការ​ផលិត​រួច យើង​ទទួល​បាន​វា។

x 4 + 3 x 3 − x 2 − 4 x + 2 = x 2 + x − 1 x 2 + 2 x − 2 = = x + 1 + 3 x + 1 − 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 ២ – ៥ ២

ការ​ប្រើ​ការ​គុណ​ជា​អក្សរ​កាត់ និង​រូបមន្ត​ទ្វេ​គុណ​របស់​ញូតុន ដើម្បី​ធ្វើ​ជា​កត្តា​ពហុធា

រូបរាងជារឿយៗមិនតែងតែបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់ថាតើវិធីណាដែលត្រូវប្រើកំឡុងពេលរលួយ។ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរត្រូវបានបង្កើតឡើង អ្នកអាចបង្កើតបន្ទាត់ដែលមានត្រីកោណ Pascal បើមិនដូច្នេះទេពួកវាត្រូវបានគេហៅថា binomial របស់ Newton ។

ឧទាហរណ៍ 11

ធ្វើកត្តាពហុធា x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 2 ។

ដំណោះស្រាយ

វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងកន្សោមទៅជាទម្រង់

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 − 3

លំដាប់នៃមេគុណនៃផលបូកក្នុងតង្កៀបត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយកន្សោម x + 1 4 ។

ដូច្នេះ​យើង​មាន x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 − 3 = x + 1 4 − 3 ។

បន្ទាប់ពីអនុវត្តភាពខុសគ្នានៃការ៉េយើងទទួលបាន

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 − 3 = x + 1 4 − 3 = = x + 1 4 − 3 = x + 1 2 − 3 x + 1 2 + 3

ពិចារណាកន្សោមដែលមាននៅក្នុងវង់ក្រចកទីពីរ។ វាច្បាស់ណាស់ថាមិនមានសេះនៅទីនោះទេដូច្នេះរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃការ៉េគួរតែត្រូវបានអនុវត្តម្តងទៀត។ យើងទទួលបានការបញ្ចេញមតិដូចជា

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x − 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 − 3 = x + 1 4 − 3 = = x + 1 4 − 3 = x + 1 2 − 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 − 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

ឧទាហរណ៍ 12

ធ្វើកត្តា x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 ។

ដំណោះស្រាយ

តោះផ្លាស់ប្តូរកន្សោម។ យើងទទួលបាននោះ។

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 − 2 = (x + 2) 3 − 2

វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការគុណដោយអក្សរកាត់នៃភាពខុសគ្នានៃគូប។ យើង​ទទួល​បាន:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 − 2 = = x + 2 − 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 − 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

វិធី​សា​ស្រ្ត​សម្រាប់​ជំនួស​អថេរ​មួយ​នៅ​ពេល​ដែល​កត្តា​ពហុធា

នៅពេលផ្លាស់ប្តូរអថេរ ដឺក្រេត្រូវបានកាត់បន្ថយ ហើយពហុនាមត្រូវបានបំបែកជាកត្តា។

ឧទាហរណ៍ 13

ធ្វើកត្តាពហុនាមនៃទម្រង់ x 6 + 5 x 3 + 6 ។

ដំណោះស្រាយ

តាមលក្ខខណ្ឌ វាច្បាស់ណាស់ថាចាំបាច់ត្រូវធ្វើការជំនួស y = x 3 ។ យើង​ទទួល​បាន:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

ឫសគល់នៃសមីការការ៉េលទ្ធផលគឺ y = − 2 និង y = − 3 បន្ទាប់មក

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់គុណអក្សរកាត់នៃផលបូកនៃគូប។ យើងទទួលបានកន្សោមនៃទម្រង់៖

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 − 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 − 3 3 x + 9 3

នោះគឺយើងទទួលបានការពង្រីកដែលចង់បាន។

ករណីដែលបានពិភាក្សាខាងលើនឹងជួយក្នុងការពិចារណា និងបង្កើតពហុនាមតាមវិធីផ្សេងៗ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter