អត្ថបទនៃការងារត្រូវបានដាក់ដោយគ្មានរូបភាពនិងរូបមន្ត។
កំណែពេញលេញនៃការងារមាននៅក្នុងផ្ទាំង "ឯកសារការងារ" ជាទម្រង់ PDF

ការណែនាំ

"សមីការគឺជាគន្លឹះមាសដែលដោះសោល្ងគណិតវិទ្យាទាំងអស់"

S. Koval

ការអប់រំគណិតវិទ្យាដែលទទួលបាននៅសាលាគឺជាផ្នែកមួយដ៏សំខាន់បំផុតនៃជីវិតរបស់មនុស្សសម័យទំនើប។ ស្ទើរតែអ្វីៗទាំងអស់ដែលនៅជុំវិញយើងត្រូវបានភ្ជាប់ក្នុងវិធីមួយឬមួយផ្សេងទៀតជាមួយនឹងគណិតវិទ្យា។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយសមីការនៃប្រភេទផ្សេងៗ។

សមីការគឺជាប្រធានបទដ៏ភ្លឺបំផុតនៃវគ្គពិជគណិតទាំងមូល។ កាលពីឆ្នាំមុន នៅក្នុងមេរៀនពិជគណិត យើងបានស្គាល់សមីការបួនជ្រុង។ សមីការ​ការ៉េ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​យ៉ាង​ទូលំទូលាយ​ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ផ្សេងៗ​ទាំង​ក្នុង​ផ្នែក​គណិតវិទ្យា និង​ក្នុង​វិស័យ​រូបវិទ្យា និង​គីមីវិទ្យា។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា វិធីសាស្ត្រមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េត្រូវបានសិក្សា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ដែលមួយចំនួនអាចឱ្យអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនោះបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

យើងបានធ្វើការស្ទង់មតិក្នុងចំណោមសិស្ស 84 នាក់នៅថ្នាក់ទី 8-9 លើសំណួរពីរ៖

តើ​វិធី​អ្វី​ខ្លះ​ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ​?

តើអ្នកប្រើមួយណាច្រើនជាងគេ?

ផ្អែកលើលទ្ធផលនៃការស្ទង់មតិ លទ្ធផលដូចខាងក្រោមត្រូវបានទទួល៖

បន្ទាប់ពីការវិភាគលទ្ធផល យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថា សិស្សភាគច្រើនប្រើរូបមន្តឫសនៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើអ្នករើសអើង ហើយមិនដឹងច្បាស់ពីរបៀបដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

ដូច្នេះប្រធានបទដែលយើងបានជ្រើសរើសគឺពាក់ព័ន្ធ។

យើងកំណត់នៅចំពោះមុខខ្លួនយើង គោលដៅ៖ ដើម្បីសិក្សាវិធីមិនមែនប្រពៃណីនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ ដើម្បីណែនាំសិស្សថ្នាក់ទី 8 និងទី 9 អំពីវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗនៃការដោះស្រាយ ដើម្បីបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការជ្រើសរើសវិធីសមហេតុផលដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

ដើម្បីសម្រេចបាននូវគោលដៅនេះ អ្នកត្រូវដោះស្រាយដូចខាងក្រោម ភារកិច្ច:

ប្រមូលព័ត៌មានអំពីវិធីផ្សេងគ្នាដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ,

សរសេរកម្មវិធីសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic ដោយប្រើរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េក្នុង Excel,

អភិវឌ្ឍសម្ភារៈ Didactic សម្រាប់មេរៀន ឬសកម្មភាពក្រៅកម្មវិធីសិក្សាលើវិធីសាស្រ្តមិនស្តង់ដារសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ធ្វើមេរៀន "វិធីមិនធម្មតានៃការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង" ជាមួយសិស្សថ្នាក់ទី 8-9 ។

កម្មវត្ថុនៃការសិក្សា៖ សមីការការ៉េ។

ប្រធានបទនៃការស្រាវជ្រាវ៖ វិធីផ្សេងគ្នានៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

យើងជឿថាសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងនៃការងារស្ថិតនៅក្នុងលទ្ធភាពនៃការប្រើប្រាស់ធនាគារនៃបច្ចេកទេស និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េនៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យា និងសកម្មភាពក្រៅកម្មវិធីសិក្សា ក៏ដូចជាក្នុងការស្គាល់សិស្សនៅថ្នាក់ទី 8-9 ជាមួយនឹងសម្ភារៈនេះ។

ជំពូកទី 1. វិធីសាស្រ្តមិនធម្មតាសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ quadratic

1. 1. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាព (a,b,c)

វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមេគុណ a,b,c:

ប្រសិនបើ ក a+b+c=0,បន្ទាប់មក = 1, =

ឧទាហរណ៍៖

-6x 2 + 2x +4=0,បន្ទាប់មក = 1, = = ។

ប្រសិនបើ ក a-b+c=0,បន្ទាប់មក = -1, = -

ឧទាហរណ៍៖

2017x 2 + ២០០១x +១៦ = ០,បន្ទាប់មក = -1, - ។

1. 1. ភាពអាស្រ័យនៃសមភាព (a,b,c)

ការពឹងផ្អែកខាងក្រោមនៃមេគុណមានសុពលភាព a,b,c:

ប្រសិនបើ b=a 2 +1, c=a, បន្ទាប់មក x 1 =-a; x 2 \u003d - ។

ប្រសិនបើ b=-(a 2 +1), a=c, បន្ទាប់មក x 1 =a; x 2 = .

ប្រសិនបើ b=a 2 -1, c=-a, បន្ទាប់មក x 1 =-a; x 2 = .

ប្រសិនបើ b=-(a 2 -1), -a=c, បន្ទាប់មក x 1 =a; x 2 \u003d - ។

តោះដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម៖

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 − 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x − 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 − 99x − 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. "ការបញ្ច្រាស" នៃសហករណ៍ចម្បង

មេគុណ កត្រូវបានគុណដោយសមាជិកឥតគិតថ្លៃ ដូចជាប្រសិនបើ "ផ្ទេរ" ទៅវា ដូច្នេះវាត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ "ផ្ទេរ" ។ លើសពីនេះទៀតឫសត្រូវបានរកឃើញដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ឫសដែលរកឃើញត្រូវបានបែងចែកដោយមេគុណដែលបានផ្ទេរពីមុន អរគុណដែលយើងរកឃើញឫសនៃសមីការ។

ឧទាហរណ៍៖

2x 2 − 3x + 1 = 0 ។

ចូរ "ផ្ទេរ" មេគុណ 2 ទៅពាក្យឥតគិតថ្លៃ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការ

នៅ 2 - 3y + 2 = 0 ។

នេះ​បើ​តាម​ទ្រឹស្ដី​របស់ Vieta

នៅ 1 = 2, x 1 = 2/2, x 1 = 1,

នៅ 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

ចម្លើយ៖ ០.៥; មួយ។

1. 1. វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ក x 2 + bx + គ= 0 ផ្លាស់ទីពាក្យទីពីរ និងទីបីទៅផ្នែកខាងស្តាំ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន a x 2 = -bx-គ .

ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វភាពអាស្រ័យ នៅ= ពូថៅ 2 និង នៅ= -bx-គនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយ។

ក្រាហ្វនៃការពឹងផ្អែកដំបូងគឺប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ ក្រាហ្វនៃការពឹងផ្អែកទីពីរគឺជាបន្ទាត់ត្រង់។

ករណីខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

បន្ទាត់ត្រង់ និងប៉ារ៉ាបូឡាអាចប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរ ចំនុចប្រសព្វនៃចំនុចប្រសព្វគឺជាឫសនៃសមីការបួនជ្រុង។

បន្ទាត់ និងប៉ារ៉ាបូឡាអាចប៉ះ (ចំណុចរួមតែមួយ) i.e. សមីការមានដំណោះស្រាយមួយ;

បន្ទាត់ត្រង់ និងប៉ារ៉ាបូឡា មិនមានចំណុចរួមទេ i.e. សមីការ​រាង​បួន​ជ្រុង​គ្មាន​ឫស។

តោះដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម៖

1) x 2 + 2x − 3 = 0

x 2 \u003d - 2x + 3

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយ យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d x 2 និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d - 2x + 3 ។ ដោយកំណត់ពី abscissas នៃចំនុចប្រសព្វ យើងទទួលបានចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d ១.

2) x 2 + 6x +9 = 0

x 2 \u003d - 6x - 9

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេមួយ យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d x 2 និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d -6x - 9 ។ ការបញ្ជាក់ abscissa នៃចំណុចប៉ះ យើងទទួលបានចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ x = − ៣.

3) 2x 2 + 4x +7 = 0

2x 2 = − 4x − 7

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយ យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d 2x 2 និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

ប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d 2x 2 និងបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d - 4x - 7 មិនមានចំណុចរួមទេ ដូច្នេះសមីការមិនមានឫសគល់ទេ។

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស។

1. 1. ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយជំនួយពីត្រីវិស័យ និងបន្ទាត់

យើងដោះស្រាយសមីការ ax 2 + bx + c \u003d 0:

ចូរយើងបង្កើតចំនុច S(-b:2a,(a+c):2a) - កណ្តាលរង្វង់ និងចំនុច A(0,1)។

គូររង្វង់នៃកាំ SA ។

abscissas នៃចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស Ox គឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម។

ក្នុងករណីនេះករណីបីអាចធ្វើទៅបាន:

1) កាំនៃរង្វង់គឺធំជាងការចាត់តាំងកណ្តាល ( AS>SK, ឬ រ >) រង្វង់កាត់អ័ក្ស អូនៅ​ចំណុច​ពីរ..B( X 1 ; 0) និង ឃ(x 2 ;0), កន្លែងណា X 1 និង X 2 - ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ អូ 2 + bx + គ = 0.

2) កាំនៃរង្វង់គឺស្មើនឹងការចាត់តាំងកណ្តាល ( អេស = អេស, ឬ R =) រង្វង់ប៉ះអ័ក្ស អូនៅចំណុច B ( X 1 ; 0), កន្លែងណា X 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

3) កាំនៃរង្វង់គឺតិចជាងការចាត់តាំងនៃមជ្ឈមណ្ឌល ( អេស< SВ , ឬ រ< ) រង្វង់មិនមានចំណុចរួមជាមួយនឹងអ័ក្ស x ទេ ក្នុងករណីនេះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ក) AS > SВឬ រ >, ខ) អេស = អេសឬ R =ក្នុង) អេស< SВ, ឬ រ< .

ដំណោះស្រាយពីរ X 1 និង X 2 . ដំណោះស្រាយមួយ។ X 1.. មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ឧទាហរណ៍ 1៖ 2x2 - 8x + 6 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

តោះគូររង្វង់កាំ SAកន្លែងណា ប៉ុន្តែ (0;1).

ចម្លើយ៖ x 1 \u003d 1, x 2 \u003d ៣.

ឧទាហរណ៍ 2៖ x ២ - 6x + 9 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ ស្វែងរកកូអរដោនេ S: x=3, y=5 ។

ចម្លើយ៖ x=3 ។

ឧទាហរណ៍ 3៖ x ២ + 4 x + 5 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖កូអរដោណេកណ្តាលរង្វង់៖ x= − 2 និង y = 3 ។

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស

1. 1. ដំណោះស្រាយ NOMOGRAM

Nomogram (មកពីភាសាក្រិច "nomos" - law and gram) ដែលជាតំណាងក្រាហ្វិកនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន ដែលអនុញ្ញាតឱ្យប្រើប្រតិបត្តិការធរណីមាត្រសាមញ្ញ (ឧទាហរណ៍ ការប្រើប្រាស់បន្ទាត់) ដើម្បីស្វែងរកមុខងារអាស្រ័យដោយមិនចាំបាច់គណនា។ ឧទាហរណ៍ ដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយមិនប្រើរូបមន្ត។

នេះគឺជាវិធីចាស់ ហើយបច្ចុប្បន្នត្រូវបានបំភ្លេចចោល ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ដែលដាក់នៅទំព័រ 83 នៃបណ្តុំ៖ Bradis V.M. "តារាងគណិតវិទ្យាបួនវិមាត្រ" ។ - M. , "DROFA", 2000. តារាង XXII ។ Nomogram សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ z 2 + pz + q = 0(សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធទី 1) ។

nomogram អនុញ្ញាតឱ្យ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការ quadratic ដើម្បីកំណត់ឫសនៃសមីការដោយមេគុណរបស់វា។

មាត្រដ្ឋាន curvilinear នៃ nomogram ត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរូបមន្ត៖ អូ= , AB =

សន្មត់ OS = p, ED = q, OE = ក(ទាំងអស់គិតជាសង់ទីម៉ែត្រ) ពីត្រីកោណស្រដៀងគ្នា សាននិង CDFយើងទទួលបានសមាមាត្រពីកន្លែងណា បន្ទាប់ពីការជំនួស និងការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ សមីការ z 2 + pz + q = 0 ដូចខាងក្រោម ហើយអក្សរ z មានន័យថាស្លាកនៃចំណុចណាមួយនៅលើមាត្រដ្ឋាន curvilinear ។

ឧទាហរណ៍ ១: z 2 − 9z + 8 = 0.

នៅលើមាត្រដ្ឋាន p យើងរកឃើញសញ្ញាសម្គាល់ -9 ហើយនៅលើមាត្រដ្ឋាន q សញ្ញាសម្គាល់ 8 ។ យើងគូសបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈសញ្ញាទាំងនេះដែលកាត់ខ្សែកោងនៃមាត្រដ្ឋាន nomogram នៅសញ្ញា 1 និង 8 ។ ដូច្នេះឫសនៃសមីការ 1 និង ៨.

ចម្លើយ៖ ១; ប្រាំបី។

វាគឺជាសមីការនេះដែលត្រូវបានដោះស្រាយនៅក្នុងតារាង Bradys នៅទំព័រ 83 (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធទី 1) ។

ឧទាហរណ៍ 2៖ 2z 2 − 9z + 2 = 0 ។

យើងបែងចែកមេគុណនៃសមីការនេះដោយ 2 យើងទទួលបានសមីការ៖

z 2 - 4.5z + 1 = 0 ។ Nomogram ផ្តល់ឫស z 1 = 4 និង z 2 = 0,5.

ចម្លើយ៖ ៤; ០.៥.

ឧទាហរណ៍ 3៖x 2 − 25x + 66 = 0

មេគុណ p និង q គឺនៅក្រៅមាត្រដ្ឋាន។ តោះអនុវត្តការជំនួស x=5zយើងទទួលបានសមីការ៖

z 2 - 5z + 2.64 = 0,

ដែល​ត្រូវ​បាន​ដោះស្រាយ​តាម​រយៈ nomogram ។

ទទួលបាន z 1 = 0,6 និង z 2 = 4,4,

កន្លែងណា x 1 = 5z 1 = 3,0 និង x 2 = 5z 2 = 22,0.

ចម្លើយ៖ ៣; ២២.

ឧទាហរណ៍ 4៖ z 2 + 5z − 6 = 0, 1 =1 ហើយឫសអវិជ្ជមានត្រូវបានរកឃើញដោយដកឫសវិជ្ជមានពី - ទំ , ទាំងនោះ។ z 2 = - ទំ -1= − 5 − 1= −6 ។

ចម្លើយ៖ ១; -៦.

ឧទាហរណ៍ 5៖ z 2 - 2z − 8 = 0, nomogram ផ្តល់ឫសវិជ្ជមាននៃ z 1 =4, ហើយអវិជ្ជមានគឺ z 2 =-p-4=

= 2 - 4= -2.

ចម្លើយ៖ ៤; -២.

ជំពូក 2

យើងបានសម្រេចចិត្តសរសេរកម្មវិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើ Excel ដែលជាកម្មវិធីកុំព្យូទ័រដែលគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយ។ វាត្រូវការសម្រាប់ការគណនា គូរតារាង និងដ្យាក្រាម គណនាមុខងារសាមញ្ញ និងស្មុគស្មាញ។ វាគឺជាផ្នែកមួយនៃកញ្ចប់ Microsoft Office ។

សន្លឹក Excel បង្ហាញរូបមន្ត៖

សន្លឹក Excel បង្ហាញឧទាហរណ៍ជាក់លាក់នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ x 2 − 14x − 15 = 0:

ជំពូកទី 3

រូបមន្តនៃឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើការរើសអើង D និង D1	វិចារណញាណ, ដោយសារតែ អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េទាំងអស់។	ការរើសអើងដ៏ស្មុគស្មាញ មិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងតារាងការ៉េទេ។
ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា	ដំណោះស្រាយរហ័សនៅក្នុងករណីជាក់លាក់និងសន្សំពេលវេលា	ប្រសិនបើការរើសអើងមិនមែនជាការេដ៏ល្អឥតខ្ចោះនៃចំនួនគត់។ មេគុណដែលមិនមែនជាចំនួនគត់ b និង c ។
ការជ្រើសរើសការ៉េពេញ	ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរត្រឹមត្រូវទៅការ៉េនៃ binomial យើងទទួលបានសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ហើយដូច្នេះឫសត្រូវបានរកឃើញលឿនជាងមុន	ភាពស្មុគស្មាញនៃការជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញសម្រាប់មេគុណប្រភាគនៃសមីការ
វិធីសាស្រ្តដាក់ជាក្រុម	អាចដោះស្រាយដោយមិនដឹងរូបមន្ត	វាមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបំបែកពាក្យកណ្តាលទៅជាពាក្យសមរម្យសម្រាប់ការដាក់ជាក្រុមនោះទេ។
វិធីក្រាហ្វិក	មិនត្រូវការរូបមន្តទេ។ អ្នកអាចរកឃើញចំនួនឫសនៃសមីការបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស	ការប៉ាន់ស្មាននៃដំណោះស្រាយ
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមេគុណ a,b,c	ល្បឿននៃការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់សមីការដែលមានមេគុណធំ	សាកសមសម្រាប់សមីការមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។
"Reroll" នៃមេគុណមេ	ល្បឿននៃដំណោះស្រាយប្រសិនបើឫសមានចំនួនគត់	ដូចគ្នានឹងការប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ដែរ។
នាមត្រកូល	ភាពមើលឃើញ អ្វីទាំងអស់ដែលវាត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយគឺ nomogram	អ្នកមិនតែងតែមាន nomogram ជាមួយអ្នកទេ។ ភាពមិនត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយ
ស្វែងរកឫសដោយប្រើត្រីវិស័យ និងត្រង់	ភាពមើលឃើញ	ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃមជ្ឈមណ្ឌលគឺជាលេខដែលមិនមែនជាចំនួនគត់។ ស្វែងរកឫសនៃសមីការដែលមានមេគុណធំ

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

“ជារឿយៗ វាមានប្រយោជន៍ជាងសម្រាប់សិស្សពិជគណិតក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដូចគ្នាក្នុងវិធីបីផ្សេងគ្នា ជាជាងដោះស្រាយបញ្ហាបី ឬបួនផ្សេងគ្នា។ ដោយការដោះស្រាយបញ្ហាមួយជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នា អ្នកអាចរកឃើញដោយការប្រៀបធៀបថាមួយណាខ្លីជាង និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង។ នោះ​ជា​របៀប​ដែល​បទពិសោធន៍​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង»។

លោក Walter Warwick Sawyer

នៅក្នុងដំណើរការការងារ យើងបានប្រមូលសម្ភារៈ និងសិក្សាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយ (ស្វែងរកឫសគល់) នៃសមីការការ៉េ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការតាមវិធីផ្សេងគ្នាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងឧបសម្ព័ន្ធទី 2 ។

ដោយសិក្សាពីវិធីផ្សេងគ្នានៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ យើងបានសន្និដ្ឋានថា សម្រាប់សមីការនីមួយៗ អ្នកអាចជ្រើសរើសវិធីដែលមានប្រសិទ្ធភាព និងសមហេតុផលបំផុតរបស់អ្នក ដើម្បីស្វែងរកឫសគល់។ ដំណោះស្រាយនីមួយៗមានលក្ខណៈប្លែក និងងាយស្រួលក្នុងករណីជាក់លាក់។ វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយមួយចំនួនជួយសន្សំសំចៃពេលវេលា ដែលមានសារៈសំខាន់នៅពេលដោះស្រាយកិច្ចការសម្រាប់ OGE ខ្លះទៀតជួយដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងមេគុណធំណាស់។ យើងបានព្យាយាមប្រៀបធៀបដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នាដោយចងក្រងតារាងដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីគុណសម្បត្តិ និងគុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនីមួយៗ។

យើងបានបង្កើតសម្ភារៈផ្សព្វផ្សាយ។ អ្នកអាចស្គាល់ធនាគារនៃកិច្ចការលើប្រធានបទនៅក្នុងឧបសម្ព័ន្ធទី 3 ។

ដោយប្រើ Microsoft Excel យើងបានចងក្រងសៀវភៅបញ្ជីដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាឫសនៃសមីការការ៉េដោយស្វ័យប្រវត្តិដោយប្រើរូបមន្តឫស។

យើងបានធ្វើមេរៀនស្តីពីវិធីមិនធម្មតាដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 9 ។ សិស្សពិតជាចូលចិត្តវិធីសាស្រ្ត ពួកគេកត់សម្គាល់ថាចំណេះដឹងដែលទទួលបាននឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់ពួកគេក្នុងការអប់រំបន្ថែមរបស់ពួកគេ។ លទ្ធផលនៃមេរៀនគឺជាការងាររបស់សិស្ស ដែលក្នុងនោះពួកគេបានបង្ហាញពីជម្រើសផ្សេងៗសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធទី 4) ។

សម្ភារៈនៃការងារអាចត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយអ្នកដែលស្រលាញ់គណិតវិទ្យា និងអ្នកដែលចង់ដឹងបន្ថែមអំពីគណិតវិទ្យា។

អក្សរសាស្ត្រ

Bradis V. M. "តារាងគណិតវិទ្យាបួនខ្ទង់សម្រាប់វិទ្យាល័យ", M.: Drofa, 2000 ។

Vilenkin N.Ya. "ពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8", M.: ការអប់រំ, 2000 ។

Galitsky M.L. "ការប្រមូលភារកិច្ចជាពិជគណិត", M.: Education 2002 ។

Glazer G. I. "ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលា", M.: Education, 1982 ។

Zvavich L.I. "ពិជគណិតថ្នាក់ទី 8", M.: Mnemozina, 2002 ។

Makarychev Yu.N. "ពិជគណិតថ្នាក់ទី 8", ទីក្រុងម៉ូស្គូ: ការអប់រំ, 2015 ។

Pluzhnikov I. "វិធី 10 យ៉ាងដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic" // គណិតវិទ្យានៅសាលា។ - 2000.- លេខ 40 ។

Presman A.A. "ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េដោយប្រើត្រីវិស័យនិងបន្ទាត់" // M., Kvant, លេខ 4/72, p.34 ។

សាវិន A.P. "វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយរបស់គណិតវិទូវ័យក្មេង",

ទីក្រុងម៉ូស្គូ៖ គរុកោសល្យឆ្នាំ ១៩៨៩ ។

ធនធានអ៊ីនធឺណិត៖

http://revolution.allbest.ru/

ឧបសម្ព័ន្ធ ១

"ការប្រមូល BRADIS V.M."

ឧបសម្ព័ន្ធ ២

"ដោះស្រាយសមីការតាមគ្រប់មធ្យោបាយ"

សមីការដំបូង៖4x 2 +3x −1 = 0 ។

1. រូបមន្តនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដោយប្រើការរើសអើង D

4x 2 +3x −1 = 0

ឃ=ខ 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, =>សមីការមានឫសពីរ

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2. ទ្រឹស្តីបទ Vieta

4x 2 +3x −1 = 0,ចែកសមីការដោយ 4 ដើម្បីកាត់បន្ថយ

X 2 +x −=0

X 1 = -1

X 2 =

3. វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើសការ៉េពេញ

4x 2 +3x −1 = 0

(4x 2 +2*2x*+)-1=0

(2x+) 2 -=0

(2x + −) (2x + +) = 0,

(2x −)=0 (2x +2)=0

X 1 = x 2 = -1

4. វិធីសាស្រ្តដាក់ជាក្រុម

4x 2 +3x −1 = 0

4x 2 +4x-1x-1=0

4x(x+1)-1(x+1)=0

(4x-1)(x+1)=0,ផលិតផល = 0 នៅពេលដែលកត្តាមួយ = 0

(4x-1)=0 (x+1)=0

X 1 = x 2 = -1

5. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមេគុណ

4x 2 +3x −1 = 0

ប្រសិនបើ a - b+c=0 បន្ទាប់មក = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. វិធីសាស្រ្ត "ផ្ទេរ" នៃមេគុណមេ

4x 2 +3x −1 = 0

y 2 +3y − 4 = 0

ទ្រឹស្តីបទរបស់វៀតតា៖

y 1 = -4

y 2 = 1

យើងបែងចែកឫសដែលរកឃើញដោយមេគុណមេ ហើយទទួលបានឫសនៃសមីការរបស់យើង៖

X 1 = -1

X 2 =

7. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic ដោយប្រើត្រីវិស័យ និងបន្ទាត់

4x 2 +3x −1 = 0

កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ដោយរូបមន្ត៖

X 1 = -1

X 2 =

8. ដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក

4x 2 +3x −1 = 0

4x 2 = − 3x + 1

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយ យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 4x 2 និងក្រាហ្វនៃមុខងារ

y \u003d - 3x + 1 ។ដោយកំណត់ពី abscissas នៃចំនុចប្រសព្វ យើងទទួលបានចម្លើយ៖

X 1 = -1

9. ការប្រើ nomogram

4x 2 +3x −1 = 0,យើងបែងចែកមេគុណនៃសមីការ 1/ ដោយ 4 យើងទទួលបានសមីការ

X 2 +x −= 0 ។

nomogram ផ្តល់ឫសវិជ្ជមាន = ,

ហើយឫសអវិជ្ជមានត្រូវបានរកឃើញដោយដកឫសវិជ្ជមានពី - ទំ , ទាំងនោះ។

x 2 =-p-=--=-1.

10. ដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះក្នុង EXCEL

ឧបសម្ព័ន្ធ ៣

"សម្ភារៈសិក្សាសម្រាប់ប្រធានបទ

“ដំណោះស្រាយនៃសមីការបួនជ្រុង” »

10x 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200.7

-10x 2 + 7x + 3 = 0 −1 0.3

៣៥៤x 2 −52x −302 = 0 1 -

100x 2 -99x-1 \u003d 0 1 -0.01

5x 2 + 9x + 4 \u003d 0 -1 -0.8

2017x 2 + x −2016 = 0 −1

22x 2 +10x-12 = 0 −1

5432x 2 -3087x-2345 = 0 1 -

4x 2 + 2x -6s \u003d 0 1 -1.5

55x 2 −44x −11= 0 1 −0.2

6x 2 - 7x - 3 \u003d 0 -, 1.5

4x 2 −17x−15 = 0 −0.75.5

4271x 2 −៤២៧២x + ១ = ០ ១,

3x 2 + 10x + 7 \u003d 0 -1, - 2

5x 2 - 11x + 2 \u003d 0 2, 0.2

2x 2 − 11x + 15 = 0 2.5, ៣

4x 2 + 4x -3 \u003d 0 -1.5, 0.5

5x 2 −12x + 7 = 0 1.4, ១

2x 2 + 13x + 15 = 0 −1.5 −5

3x 2 −7x + 2 = 0 1/3 ២

ឧបសម្ព័ន្ធ ៤

សិស្សធ្វើការ

សមីការ​ដែល​ជា​ត្រីកោណមាត្រ​ចតុកោណ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ជា​ទូទៅ​ថា​សមីការ​ការ៉េ។ តាមទស្សនៈពិជគណិត វាត្រូវបានពិពណ៌នាដោយរូបមន្ត a*x^2+b*x+c=0។ នៅក្នុងរូបមន្តនេះ x គឺមិនស្គាល់ត្រូវបានរកឃើញ (វាត្រូវបានគេហៅថាអថេរឥតគិតថ្លៃ); a, b និង c គឺជាមេគុណលេខ។ ទាក់ទងនឹងធាតុផ្សំនៃចំនុចនេះ មានការរឹតបន្តឹងមួយចំនួន៖ ឧទាហរណ៍ មេគុណ a មិនគួរស្មើនឹង 0 ទេ។

ការដោះស្រាយសមីការ៖ គំនិតនៃអ្នករើសអើង

តម្លៃនៃ x មិនស្គាល់ ដែលសមីការបួនជ្រុងប្រែទៅជាសមភាពពិត ត្រូវបានគេហៅថាឫសនៃសមីការបែបនេះ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic ដំបូងអ្នកត្រូវតែស្វែងរកតម្លៃនៃមេគុណពិសេស - ភាពរើសអើង ដែលនឹងបង្ហាញចំនួនឫសនៃសមភាពដែលបានពិចារណា។ ការរើសអើងត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត D=b^2-4ac ។ លទ្ធផលនៃការគណនាអាចវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹងសូន្យ។

ក្នុងករណីនេះ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា គោលគំនិតតម្រូវឱ្យមានតែមេគុណ a ដែលខុសគ្នាយ៉ាងតឹងរ៉ឹងពី 0។ ដូច្នេះមេគុណ b អាចស្មើនឹង 0 ហើយសមីការខ្លួនវាក្នុងករណីនេះគឺ a*x^2+ c=0។ ក្នុងស្ថានភាពបែបនេះ តម្លៃមេគុណស្មើនឹង 0 គួរតែត្រូវបានប្រើក្នុងរូបមន្តសម្រាប់គណនាការរើសអើង និងឫស។ ដូច្នេះ ការរើសអើងក្នុងករណីនេះនឹងត្រូវបានគណនាជា D=-4ac។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការជាមួយអ្នករើសអើងវិជ្ជមាន

ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការ quadratic ប្រែទៅជាវិជ្ជមាន យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថាសមភាពនេះមានឫសពីរ។ ឫសទាំងនេះអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖ x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a។ ដូច្នេះ ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃឫសនៃសមីការ quadratic ជាមួយនឹងតម្លៃវិជ្ជមាននៃអ្នករើសអើងនោះ តម្លៃដែលគេស្គាល់នៃមេគុណដែលមាននៅក្នុង ត្រូវបានប្រើ។ សូមអរគុណចំពោះការប្រើប្រាស់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់គណនាឫស លទ្ធផលនៃការគណនានឹងជាតម្លៃពីរដែលប្រែក្លាយសមភាពនៅក្នុងសំណួរទៅជាត្រឹមត្រូវ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការជាមួយការរើសអើងសូន្យ និងអវិជ្ជមាន

ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការការ៉េប្រែទៅជាស្មើ 0 យើងអាចសន្និដ្ឋានថាសមីការដែលបានចង្អុលបង្ហាញមានឫសតែមួយ។ និយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹងក្នុងស្ថានភាពនេះសមីការនៅតែមានឫសពីរប៉ុន្តែដោយសារការរើសអើងសូន្យពួកគេនឹងស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ក្នុងករណីនេះ x=-b/2a ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការគណនាតម្លៃនៃអ្នករើសអើងប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន វាគួរតែត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាសមីការការ៉េដែលត្រូវបានពិចារណាមិនមានឫសគល់ទេ នោះគឺជាតម្លៃនៃ x ដែលវាប្រែទៅជាសមភាពពិត។

សមីការលីនេអ៊ែរ។ ដំណោះស្រាយ, ឧទាហរណ៍។

យកចិត្តទុកដាក់!
មានបន្ថែម
សម្ភារៈនៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ។
សម្រាប់អ្នកដែលខ្លាំង "មិនខ្លាំងណាស់ ... "
ហើយសម្រាប់អ្នកដែល "ខ្លាំងណាស់ ... ")

សមីការលីនេអ៊ែរ។

សមីការលីនេអ៊ែរមិនមែនជាប្រធានបទពិបាកបំផុតក្នុងគណិតវិទ្យាសាលាទេ។ ប៉ុន្តែ​មាន​ល្បិច​មួយ​ចំនួន​នៅ​ទីនោះ​ដែល​អាច​ផ្គុំ​បាន​សូម្បី​តែ​សិស្ស​ដែល​បាន​ហ្វឹកហាត់​ក៏​ដោយ។ តើ​យើង​គួរ​ដោះស្រាយ​វា​ទេ?)

សមីការលីនេអ៊ែរ ជាធម្មតាត្រូវបានកំណត់ថាជាសមីការនៃទម្រង់៖

ពូថៅ + ខ = 0 កន្លែងណា ក និង ខ- លេខណាមួយ។

2x + 7 = 0. នៅទីនេះ a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 នៅទីនេះ a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 នៅទីនេះ a=12, b=1/2

គ្មានអ្វីស្មុគស្មាញទេមែនទេ? ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកមិនកត់សំគាល់ពាក្យ៖ "កន្លែងដែល a និង b ជាលេខណាមួយ"... ហើយប្រសិនបើអ្នកកត់សម្គាល់ ប៉ុន្តែគិតដោយមិនដឹងខ្លួនអំពីវា?) បន្ទាប់ពីទាំងអស់ប្រសិនបើ a=0, b=0(លេខណាមួយអាចធ្វើទៅបាន?) បន្ទាប់មកយើងទទួលបានការបញ្ចេញមតិគួរឱ្យអស់សំណើច៖

ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់ទេ! ប្រសិនបើនិយាយថា a=0,ក b=5,វាប្រែចេញនូវអ្វីដែលមិនទំនងទាល់តែសោះ៖

អ្វី​ដែល​ប៉ះពាល់​និង​ធ្វើ​ឲ្យ​ខូច​ទំនុក​ចិត្ត​លើ​គណិតវិទ្យា​បាទ…) ជាពិសេស​ក្នុង​ការ​ប្រឡង។ ប៉ុន្តែ​ការ​បញ្ចេញ​មតិ​ប្លែក​ៗ​ទាំង​នេះ អ្នក​ក៏​ត្រូវ​ស្វែង​រក X! ដែលមិនមានទាល់តែសោះ។ ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល X នេះងាយស្រួលរកណាស់។ យើងនឹងរៀនពីរបៀបធ្វើវា។ នៅក្នុងមេរៀននេះ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសម្គាល់សមីការលីនេអ៊ែរនៅក្នុងរូបរាង? វាអាស្រ័យលើរូបរាងអ្វី។) ល្បិចគឺថាសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាមិនត្រឹមតែសមីការនៃទម្រង់ប៉ុណ្ណោះទេ។ ពូថៅ + ខ = 0 ប៉ុន្តែក៏មានសមីការណាមួយដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់នេះដោយការបំប្លែង និងភាពសាមញ្ញ។ ហើយអ្នកណាដឹងថាកាត់បន្ថយឬអត់?)

សមីការលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានទទួលស្គាល់យ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងករណីមួយចំនួន។ និយាយថាប្រសិនបើយើងមានសមីការដែលមានតែមិនស្គាល់នៅក្នុងដឺក្រេទី 1 បាទលេខ។ ហើយសមីការមិនដំណើរការទេ។ ប្រភាគចែកដោយ មិនស្គាល់ , វាសំខាន់! និងបែងចែកដោយ ចំនួន,ឬប្រភាគជាលេខ - នោះហើយជាវា! ឧទាហរណ៍:

នេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរ។ មានប្រភាគនៅទីនេះ ប៉ុន្តែមិនមាន x នៅក្នុងការ៉េ ក្នុងគូប។ល។ ហើយមិនមាន x នៅក្នុងភាគបែងទេ i.e. ទេ ការបែងចែកដោយ x. ហើយនេះគឺជាសមីការ

មិនអាចហៅថាលីនេអ៊ែរបានទេ។ នៅទីនេះ x គឺទាំងអស់នៅក្នុងសញ្ញាបត្រទី 1 ប៉ុន្តែមាន ការបែងចែកដោយកន្សោមជាមួយ x. បន្ទាប់ពីភាពសាមញ្ញ និងការបំប្លែង អ្នកអាចទទួលបានសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណកែង និងអ្វីដែលអ្នកចូលចិត្ត។

វាប្រែថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកសមីការលីនេអ៊ែរនៅក្នុងឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញមួយចំនួនរហូតដល់អ្នកស្ទើរតែដោះស្រាយវា។ វាពិបាកចិត្ត។ ប៉ុន្តែ​ក្នុង​កិច្ចការ​ជា​ក្បួន គេ​មិន​សួរ​អំពី​ទម្រង់​នៃ​សមីការ​ទេ មែនទេ? នៅក្នុងភារកិច្ចសមីការត្រូវបានបញ្ជា សម្រេចចិត្ត។នេះធ្វើឱ្យខ្ញុំសប្បាយចិត្ត។ )

ដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ឧទាហរណ៍។

ដំណោះស្រាយទាំងមូលនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានបំរែបំរួលដូចគ្នាបេះបិទនៃសមីការ។ ដោយវិធីនេះ ការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះ (ជាច្រើនដូចជាពីរ!) បង្កប់ន័យដំណោះស្រាយ សមីការទាំងអស់នៃគណិតវិទ្យា។និយាយម្យ៉ាងទៀតការសម្រេចចិត្ត ណាមួយ។សមីការចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការបំប្លែងដូចគ្នាទាំងនេះ។ ក្នុងករណីសមីការលីនេអ៊ែរ វា (ដំណោះស្រាយ) លើការបំប្លែងទាំងនេះបញ្ចប់ដោយចម្លើយពេញលេញ។ វាសមហេតុផលក្នុងការធ្វើតាមតំណ មែនទេ?) លើសពីនេះទៅទៀត វាក៏មានឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរផងដែរ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុត។ ដោយគ្មានបញ្ហា។ ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម។

x − 3 = 2 − 4x

នេះគឺជាសមីការលីនេអ៊ែរ។ Xs គឺទាំងអស់ទៅកាន់អំណាចទីមួយ មិនមានការបែងចែកដោយ X ទេ។ ប៉ុន្តែតាមពិតទៅ យើងមិនខ្វល់ថាសមីការនោះជាអ្វីនោះទេ។ យើងត្រូវដោះស្រាយវា។ គ្រោងការណ៍នៅទីនេះគឺសាមញ្ញ។ ប្រមូលអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយ x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយគ្មាន x (លេខ) នៅខាងស្តាំ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវផ្ទេរ - 4x ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៃសញ្ញា, ជាការពិតណាស់, ប៉ុន្តែ - 3 - ទៅខាងស្តាំ។ ដោយវិធីនេះគឺ ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាដំបូងនៃសមីការ។ភ្ញាក់ផ្អើល? ដូច្នេះ ពួកគេមិនបានធ្វើតាមតំណនេះទេ ប៉ុន្តែឥតប្រយោជន៍...) យើងទទួលបាន៖

x + 4x = 2 + 3

យើងផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នាយើងពិចារណា:

តើ​យើង​ត្រូវ​ការ​អ្វី​ដើម្បី​មាន​សុភមង្គល​ទាំង​ស្រុង? បាទ / ចាសដើម្បីឱ្យមាន X ស្អាតនៅខាងឆ្វេង! ប្រាំនាក់ចូលតាមផ្លូវ។ កម្ចាត់ទាំងប្រាំជាមួយ ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាទីពីរនៃសមីការ។មានន័យថា យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 5។ យើងទទួលបានចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេច៖

ជាឧទាហរណ៍បឋម។ នេះគឺសម្រាប់ការឡើងកំដៅផែនដី។) វាមិនច្បាស់ទេថាហេតុអ្វីបានជាខ្ញុំនឹកឃើញការបំប្លែងដូចគ្នានៅទីនេះ? យល់ព្រម។ យើងយកគោដោយស្នែង។) ចូរយើងសម្រេចចិត្តអ្វីមួយដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងនេះ។

ឧទាហរណ៍នេះគឺជាសមីការនេះ៖

តើយើងចាប់ផ្តើមនៅឯណា? ជាមួយ X - ទៅខាងឆ្វេងដោយគ្មាន X - ទៅខាងស្តាំ? អាចជាដូច្នេះ។ ជំហានតូចៗនៅលើផ្លូវវែង។ ហើយអ្នកអាចភ្លាមៗនៅក្នុងវិធីសកលនិងដ៏មានឥទ្ធិពល។ ជាការពិតណាស់ លុះត្រាតែនៅក្នុងឃ្លាំងអាវុធរបស់អ្នកមានការបំប្លែងដូចគ្នានៃសមីការ។

ខ្ញុំសួរអ្នកនូវសំណួរសំខាន់មួយ៖ តើអ្នកមិនចូលចិត្តអ្វីជាងគេអំពីសមីការនេះ?

មនុស្ស 95 នាក់ក្នុងចំណោម 100 នាក់នឹងឆ្លើយថា: ប្រភាគ ! ចម្លើយគឺត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះ ចូរយើងកម្ចាត់ពួកគេ។ ដូច្នេះយើងចាប់ផ្តើមភ្លាមៗ ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាទីពីរ. តើអ្នកត្រូវការអ្វីដើម្បីគុណប្រភាគនៅខាងឆ្វេងដោយ ដើម្បីឱ្យភាគបែងត្រូវបានកាត់បន្ថយទាំងស្រុង? នោះហើយជាសិទ្ធិ 3. ហើយនៅខាងស្ដាំ? ដោយ 4. ប៉ុន្តែគណិតវិទ្យាអនុញ្ញាតឱ្យយើងគុណទាំងពីរដោយ លេខដូចគ្នា។. តើ​យើង​ចេញ​ដោយ​របៀប​ណា? តោះគុណទាំងសងខាងដោយ 12! ទាំងនោះ។ ទៅភាគបែងរួម។ បន្ទាប់មកទាំងបីនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយហើយចំនួនបួន។ កុំភ្លេចថាអ្នកត្រូវគុណផ្នែកនីមួយៗ ទាំងស្រុង. នេះជាអ្វីដែលជំហានដំបូងមើលទៅ៖

ការពង្រីកតង្កៀប៖

ចំណាំ! លេខភាគ (x+2)ខ្ញុំបានយកតង្កៀប! នេះ​ដោយ​សារ​តែ​ពេល​គុណ​ប្រភាគ ភាគ​នឹង​ត្រូវ​គុណ​នឹង​ទាំង​ស្រុង! ហើយឥឡូវនេះ អ្នកអាចកាត់បន្ថយប្រភាគ និងកាត់បន្ថយ៖

បើកវង់ក្រចកដែលនៅសល់៖

មិន​មែន​ជា​ឧទាហរណ៍​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​ការ​សប្បាយ​ចិត្ត​ដ៏​បរិសុទ្ធ!) ឥឡូវ​នេះ​យើង​បាន​រំលឹក​ពី​អក្ខរាវិរុទ្ធ​ពី​ថ្នាក់​ក្រោម៖ ជាមួយ x - ទៅខាងឆ្វេងដោយគ្មាន x - ទៅខាងស្តាំ!ហើយអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរនេះ៖

ខាងក្រោមនេះជាមួយចំនួនដូចជា៖

ហើយយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ 25, i.e. អនុវត្តការបំប្លែងទីពីរម្តងទៀត៖

អស់ហើយ។ ចម្លើយ៖ X=0,16

ចំណាំ៖ ដើម្បីនាំយកសមីការច្របូកច្របល់ដើមទៅជាទម្រង់ដ៏រីករាយ យើងបានប្រើពីរ (មានតែពីរប៉ុណ្ណោះ!) ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ- ការបកប្រែពីឆ្វេងទៅស្តាំជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា និងគុណ-ចែកសមីការដោយលេខដូចគ្នា។ នេះជាវិធីសកល! យើងនឹងធ្វើការតាមរបៀបនេះ។ ណាមួយ។ សមីការ! យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំបន្តធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទទាំងនេះគ្រប់ពេល។ )

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញគោលការណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរគឺសាមញ្ញ។ យើង​យក​សមីការ​ហើយ​សម្រួល​វា​ដោយ​ជំនួយ​នៃ​ការ​បំប្លែង​ដូចគ្នា​រហូត​ដល់​យើង​ទទួល​បាន​ចម្លើយ។ បញ្ហាចម្បងនៅទីនេះគឺនៅក្នុងការគណនា ហើយមិនមែននៅក្នុងគោលការណ៍នៃដំណោះស្រាយនោះទេ។

ប៉ុន្តែ ... មានការភ្ញាក់ផ្អើលបែបនេះនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរបឋមបំផុតដែលពួកគេអាចជំរុញឱ្យទៅជា stupor ខ្លាំង ... ) ជាសំណាងល្អអាចមានការភ្ញាក់ផ្អើលបែបនេះតែពីរប៉ុណ្ណោះ។ ចូរហៅពួកគេថាករណីពិសេស។

ករណីពិសេសក្នុងការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។

ភ្ញាក់ផ្អើលជាលើកដំបូង។

ឧបមាថាអ្នកជួបសមីការបឋម អ្វីមួយដូចជា៖

2x+3=5x+5 − 3x − 2

ធុញទ្រាន់បន្តិចយើងផ្ទេរជាមួយ X ទៅខាងឆ្វេងដោយគ្មាន X - ទៅខាងស្តាំ ... ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺ chin-chinar ... យើងទទួលបាន:

2x-5x+3x=5-2-3

យើង​ជឿ​ហើយ… ឱ! យើង​ទទួល​បាន:

នៅក្នុងខ្លួនវាសមភាពនេះមិនត្រូវបានគេជំទាស់ទេ។ សូន្យពិតជាសូន្យ។ ប៉ុន្តែ X បានបាត់! ហើយយើងត្រូវសរសេរចម្លើយ តើ x ស្មើនឹងអ្វី។បើ​មិន​ដូច្នេះ​ទេ ដំណោះស្រាយ​មិន​រាប់​ទេ បាទ...) ចុង​បញ្ចប់?

ស្ងប់ស្ងាត់! ក្នុងករណីគួរឱ្យសង្ស័យបែបនេះ ច្បាប់ទូទៅបំផុតរក្សាទុក។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការ? តើការដោះស្រាយសមីការមានន័យដូចម្តេច? វា​មាន​ន័យ​ថា, ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃ x ដែលនៅពេលជំនួសទៅក្នុងសមីការដើមនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវសមភាពត្រឹមត្រូវ។

ប៉ុន្តែយើងមានសមភាពត្រឹមត្រូវ។ រួចហើយបានកើតឡើង! 0=0 ឯណាទៅ?! វានៅសល់ដើម្បីស្វែងយល់ថាតើ x នេះទទួលបានអ្វី។ តើតម្លៃអ្វីខ្លះនៃ x អាចត្រូវបានជំនួសដោយ ដើមសមីការប្រសិនបើ x ទាំងនេះ នៅតែធ្លាក់ចុះដល់សូន្យ?ឆាប់​ឡើង?)

បាទ!!! អាចត្រូវបានជំនួសដោយ Xs ណាមួយ!តើ​អ្នក​ចង់បាន​អ្វី។ យ៉ាងហោចណាស់ 5 យ៉ាងហោចណាស់ 0.05 យ៉ាងហោចណាស់ -220 ។ ពួកគេនឹងនៅតែធ្លាក់ចុះ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនជឿខ្ញុំ អ្នកអាចពិនិត្យមើលវាបាន។) ជំនួសតម្លៃ x ណាមួយនៅក្នុង ដើមសមីការនិងគណនា។ គ្រប់ពេលវេលា ការពិតសុទ្ធនឹងត្រូវបានទទួល៖ 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 ជាដើម។

នេះជាចម្លើយរបស់អ្នក៖ x គឺជាលេខណាមួយ។

ចម្លើយ​អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា​និមិត្ត​សញ្ញា​គណិតវិទ្យា​ផ្សេង​គ្នា ខ្លឹមសារ​មិន​ផ្លាស់ប្តូរ​ទេ។ នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ និងពេញលេញ។

ការភ្ញាក់ផ្អើលទីពីរ។

ចូរយកសមីការលីនេអ៊ែរបឋមដូចគ្នា ហើយប្តូរលេខតែមួយនៅក្នុងវា។ នេះជាអ្វីដែលយើងនឹងសម្រេចចិត្ត៖

2x+1=5x+5 − 3x − 2

បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ យើងទទួលបានអ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍៖

ដូចនេះ។ ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ ទទួលបានសមភាពចម្លែក។ និយាយតាមគណិតវិទ្យា យើងមាន សមភាពខុស។ហើយ​ក្នុង​ន័យ​សាមញ្ញ នេះ​មិន​ពិត​ទេ។ រ៉ាវ។ ប៉ុន្តែទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភាពសមហេតុសមផលនេះពិតជាហេតុផលដ៏ល្អសម្រាប់ដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវនៃសមីការ។ )

ជាថ្មីម្តងទៀតយើងគិតលើមូលដ្ឋាននៃច្បាប់ទូទៅ។ តើ x អ្វីនៅពេលជំនួសសមីការដើមនឹងផ្តល់ឱ្យយើង ត្រឹមត្រូវ។សមភាព? បាទ គ្មាន! មិនមាន xes បែបនេះទេ។ អ្វីក៏ដោយដែលអ្នកជំនួស អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយ មិនសមហេតុសមផលនឹងនៅតែមាន។ )

នេះជាចម្លើយរបស់អ្នក៖ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

នេះក៏ជាចម្លើយត្រឹមត្រូវឥតខ្ចោះផងដែរ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ចម្លើយបែបនេះកើតឡើងជាញឹកញាប់។

ដូចនេះ។ ឥឡូវនេះ ខ្ញុំសង្ឃឹមថា ការបាត់បង់ x នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការណាមួយ (មិនមែនគ្រាន់តែជាលីនេអ៊ែរ) នឹងមិនរំខានអ្នកទាល់តែសោះ។ បញ្ហា​គឺ​ធ្លាប់​ស្គាល់។ )

ឥឡូវនេះ យើងបានដោះស្រាយរាល់បញ្ហានៅក្នុងសមីការលីនេអ៊ែរ វាសមហេតុផលក្នុងការដោះស្រាយពួកគេ។

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ សិក្សាដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

ជាធម្មតា សមីការលេចឡើងនៅក្នុងបញ្ហាដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃជាក់លាក់មួយ។ សមីការអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតបញ្ហាជាភាសាពិជគណិត។ ដោយការដោះស្រាយសមីការយើងទទួលបានតម្លៃនៃបរិមាណដែលចង់បានដែលត្រូវបានគេហៅថាមិនស្គាល់។ “ Andrey មានលុយពីរបីនៅក្នុងកាបូបរបស់គាត់។ ប្រសិនបើអ្នកគុណលេខនេះដោយ 2 ហើយបន្ទាប់មកដក 5 អ្នកនឹងទទួលបាន 10 ។ តើ Andrey មានលុយប៉ុន្មាន? ចូរកំណត់ចំនួនលុយដែលមិនស្គាល់ជា x ហើយសរសេរសមីការ៖ 2x-5=10 ។

និយាយ​អំពី វិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការជាដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន និងស្គាល់សញ្ញាណដែលទទួលយកជាទូទៅ។ សម្រាប់ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃសមីការ មានក្បួនដោះស្រាយផ្សេងគ្នាសម្រាប់ដោះស្រាយពួកគេ។ សមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទីមួយជាមួយនឹងមិនស្គាល់មួយគឺងាយស្រួលបំផុតក្នុងការដោះស្រាយ។ មនុស្សជាច្រើនមកពីសាលាស្គាល់រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ បច្ចេកទេសនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់នឹងជួយដោះស្រាយសមីការនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង។ សំណុំនៃលេខដែលសមីការត្រូវបានកំណត់គឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងដំណោះស្រាយរបស់វា។ ទំនាក់ទំនងរវាងសមីការ និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ក៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ផងដែរ ចាប់តាំងពីការតំណាងនៃសមីការក្នុងទម្រង់ក្រាហ្វិកគឺជាជំនួយដ៏ល្អនៅក្នុងពួកគេ។

ការពិពណ៌នា. សមីការ​គឺ​ជា​សមីការ​គណិតវិទ្យា​ដែល​មិន​ស្គាល់​មួយ ឬ​ច្រើន​ដូច​ជា 2x+3y=0។

កន្សោមទាំងសងខាងនៃសញ្ញាស្មើគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ. អក្សរនៃអក្ខរក្រមឡាតាំងបង្ហាញពីមិនស្គាល់។ ទោះបីជាអាចមានចំនួនមិនស្គាល់ក៏ដោយ ខាងក្រោមនេះយើងនឹងនិយាយអំពីសមីការដែលមានមិនស្គាល់មួយ ដែលយើងនឹងសម្គាល់ដោយ x ។

សញ្ញាប័ត្រសមីការគឺជាថាមពលអតិបរមាដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានលើកឡើង។ ឧទាហរណ៍,
$3x^4+6x-1=0$ គឺជាសមីការដឺក្រេទីបួន $x-4x^2+6x=8$ គឺជាសមីការដឺក្រេទីពីរ។

លេខដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានគុណត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ. ក្នុងឧទាហរណ៍មុន ថាមពលទីបួនដែលមិនស្គាល់មានមេគុណ 3 ។ ប្រសិនបើនៅពេល x ត្រូវបានជំនួសដោយលេខនេះ សមភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺពេញចិត្ត នោះលេខនេះត្រូវបានគេនិយាយថាបំពេញសមីការ។ វាត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយនៃសមីការឬឫសរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ 3 គឺជាឫស ឬដំណោះស្រាយនៃសមីការ 2x+8=14 ចាប់តាំងពី 2*3+8=6+8=14។

ការដោះស្រាយសមីការ. ឧបមាថាយើងចង់ដោះស្រាយសមីការ 2x+5=11។

អ្នកអាចជំនួសតម្លៃ x ណាមួយទៅក្នុងវា ឧទាហរណ៍ x = 2 ។ ចូរជំនួស x ដោយ 2 ហើយទទួលបាន: 2 * 2 + 5 = 4 + 5 = 9 ។

មានអ្វីមួយខុសនៅទីនេះ ពីព្រោះនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការ យើងគួរតែទទួលបាន 11។ តោះសាកល្បង x=3:2*3+5=6+5=11។

ចម្លើយគឺត្រឹមត្រូវ។ វាប្រែថាប្រសិនបើមិនស្គាល់យកតម្លៃ 3 បន្ទាប់មក រក្សាសមភាព. ដូច្នេះហើយ យើងបានបង្ហាញថា លេខ 3 គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ។

វិធីដែលយើងប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើស. ជាក់ស្តែងវារអាក់រអួលក្នុងការប្រើប្រាស់។ ជាងនេះទៅទៀត វា​មិនអាច​ហៅ​ថា​ជា​វិធីសាស្ត្រ​បាន​ឡើយ​។ ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់វា វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការព្យាយាមអនុវត្តវាទៅសមីការនៃទម្រង់ $x^4-5x^2+16=2365$ ។

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយ. នៅពេលដែលមានអ្វីដែលហៅថា "ច្បាប់នៃល្បែង" ដែលនឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្គាល់ខ្លួនអ្នក។ គោលដៅរបស់យើងគឺដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃមិនស្គាល់ដែលបំពេញសមីការ។ ដូច្នេះ​ហើយ​ត្រូវ​ញែក​អ្នក​មិន​ស្គាល់​ឱ្យ​ដាច់​ដោយ​មធ្យោបាយ​ខ្លះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការផ្ទេរលក្ខខណ្ឌនៃសមីការពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀត។ ច្បាប់ទីមួយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការគឺ...

1. នៅពេលផ្ទេរពាក្យនៃសមីការពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀត សញ្ញារបស់វាផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយ៖ បូកប្តូរទៅជាដក និងច្រាសមកវិញ។ ពិចារណាសមីការ 2x+5=11 ជាឧទាហរណ៍។ ផ្លាស់ទី 5 ពីឆ្វេងទៅស្តាំ: 2x = 11-5 ។ សមីការនឹងយកទម្រង់ 2x=6 ។

ចូរយើងបន្តទៅច្បាប់ទីពីរ។
2. ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការអាចត្រូវបានគុណ និងបែងចែកដោយចំនួនមិនសូន្យ។ ចូរយើងអនុវត្តច្បាប់នេះចំពោះសមីការរបស់យើង៖ $x=\frac62=3$ ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ មានតែ x ដែលមិនស្គាល់ប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ ដូច្នេះយើងរកឃើញតម្លៃរបស់វា ហើយដោះស្រាយសមីការ។

យើងទើបតែបានពិចារណាបញ្ហាសាមញ្ញបំផុត - សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយមិនស្គាល់មួយ។. សមីការនៃប្រភេទនេះតែងតែមានដំណោះស្រាយ លើសពីនេះ ពួកវាតែងតែអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើប្រតិបត្តិការសាមញ្ញបំផុត៖ បូក ដក គុណ និងចែក។ Alas, មិនមែនសមីការទាំងអស់គឺសាមញ្ញដូចនោះទេ។ លើសពីនេះទៅទៀតកម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញរបស់ពួកគេកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ជាឧទាហរណ៍ សមីការនៃសញ្ញាបត្រទីពីរអាចដោះស្រាយបានយ៉ាងងាយដោយសិស្សវិទ្យាល័យណាមួយ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ឬសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងគឺសិក្សាតែនៅវិទ្យាល័យប៉ុណ្ណោះ។

ក្រសួងអប់រំទូទៅ និងវិជ្ជាជីវៈ នៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី

ស្ថាប័នអប់រំក្រុង

កន្លែង​ហាត់ប្រាណ​លេខ ១២

ការសរសេរ

លើប្រធានបទ៖ សមីការ និងវិធីដោះស្រាយវា។

បានបញ្ចប់៖ សិស្សថ្នាក់ទី១០ "ក"

Krutko Evgeny

បានពិនិត្យ៖ គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen ឆ្នាំ 2001

ផែនការ................................................ ………………………………………….. .............................. មួយ។

សេចក្តីផ្តើម ………………………………………. ………………………………………….. ....................... ២

ផ្នែក​ដ៏​សំខាន់................................................ ………………………………………….. .............. ៣

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ................................................... ………………………………………….. ................ ២៥

ឧបសម្ព័ន្ធ ................................................................ ………………………………………….. ............... ២៦

បញ្ជីឯកសារយោង ................................................... ……………………………………………………. ... ២៩

ផែនការ។

សេចក្តីផ្តើម។

ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ។

សមីការ។ សមីការពិជគណិត។

ក) និយមន័យមូលដ្ឋាន។

ខ) សមីការលីនេអ៊ែរ និងវិធីដោះស្រាយវា។

គ) សមីការ quadratic និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

ឃ) សមីការពីរពាក្យ ជាវិធីដោះស្រាយវា។

ង) សមីការគូប និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់វា។

f) សមីការ biquadratic និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

g) សមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបួន និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

g) សមីការនៃកំរិតខ្ពស់ និងវិធីសាស្រ្តពីដំណោះស្រាយ។

h) សមីការពិជគណិតសនិទាន និងវិធីសាស្រ្តរបស់វា។

i) សមីការមិនសមហេតុផល និងវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយរបស់វា។

j) សមីការដែលមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញា។

តម្លៃដាច់ខាត និងវិធីដោះស្រាយវា។

សមីការឆ្លងដែន។

ក) សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិធីដោះស្រាយវា។

ខ) សមីការលោការីត និងវិធីដោះស្រាយវា។

សេចក្តីផ្តើម

ការអប់រំគណិតវិទ្យាដែលទទួលបាននៅក្នុងសាលាអប់រំទូទៅគឺជាធាតុផ្សំដ៏សំខាន់នៃការអប់រំទូទៅ និងវប្បធម៌ទូទៅរបស់មនុស្សសម័យទំនើប។ ស្ទើរតែអ្វីៗទាំងអស់ដែលនៅជុំវិញមនុស្សសម័យទំនើបគឺត្រូវបានភ្ជាប់គ្នាក្នុងមធ្យោបាយមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតជាមួយនឹងគណិតវិទ្យា។ ហើយការជឿនលឿនចុងក្រោយបង្អស់នៃរូបវិទ្យា បច្ចេកវិទ្យា និងព័ត៌មានវិទ្យា ទុកឱ្យមានការងឿងឆ្ងល់ថា នៅពេលអនាគតស្ថានភាពនៃកិច្ចការនឹងនៅដដែល។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយប្រភេទផ្សេងៗនៃសមីការដែលត្រូវការរៀនដើម្បីដោះស្រាយ។

ការងារនេះគឺជាការប៉ុនប៉ងមួយដើម្បីធ្វើឱ្យទូទៅ និងជាប្រព័ន្ធនៃសម្ភារៈដែលបានសិក្សាលើប្រធានបទខាងលើ។ ខ្ញុំបានរៀបចំសម្ភារៈទៅតាមកម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញរបស់វា ដោយចាប់ផ្តើមពីភាពសាមញ្ញបំផុត។ វារួមបញ្ចូលទាំងប្រភេទនៃសមីការដែលគេស្គាល់យើងពីវគ្គសិក្សារបស់សាលាពិជគណិត និងសម្ភារៈបន្ថែម។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ខ្ញុំបានព្យាយាមបង្ហាញពីប្រភេទនៃសមីការដែលមិនត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា ប៉ុន្តែចំណេះដឹងដែលប្រហែលជាត្រូវការនៅពេលចូលរៀននៅគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា។ នៅក្នុងការងាររបស់ខ្ញុំ នៅពេលដោះស្រាយសមីការ ខ្ញុំមិនកំណត់ខ្លួនឯងត្រឹមតែដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញពីភាពស្មុគស្មាញមួយ ព្រោះខ្ញុំជឿថា បើមិនដូច្នេះទេ សមីការគឺមិនអាចដោះស្រាយបានទេ។ យ៉ាងណាមិញ ប្រសិនបើមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដនៅក្នុងសមីការទេ នោះមិនមែនមានន័យថាវាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ ជាអកុសល ដោយសារខ្វះពេលវេលា ខ្ញុំមិនអាចបង្ហាញសម្ភារៈទាំងអស់ដែលខ្ញុំមាន ប៉ុន្តែសូម្បីតែសម្ភារៈដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅទីនេះ សំណួរជាច្រើនអាចកើតឡើង។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាចំណេះដឹងរបស់ខ្ញុំគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឆ្លើយសំណួរភាគច្រើន។ ដូច្នេះខ្ញុំនឹងបង្ហាញសម្ភារៈ។

គណិតវិទ្យា ... បង្ហាញលំដាប់

ស៊ីមេទ្រីនិងភាពប្រាកដប្រជា,

ហើយទាំងនេះគឺជាប្រភេទសម្រស់សំខាន់បំផុត។

អារីស្តូត។

ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ

នៅគ្រាឆ្ងាយនោះ ពេលដែលអ្នកប្រាជ្ញចាប់ផ្តើមគិតអំពីសមភាពដែលមានបរិមាណមិនស្គាល់ ប្រហែលជាមិនមានកាក់ ឬកាបូបនៅឡើយ។ ប៉ុន្តែម្យ៉ាងវិញទៀត មានគំនរ ក៏ដូចជាផើង កន្ត្រក ដែលល្អឥតខ្ចោះសម្រាប់តួនាទីនៃឃ្លាំងសម្ងាត់ដែលមានរបស់របរមិនស្គាល់ចំនួន។ "យើងកំពុងស្វែងរកគំនរមួយដែលរួមជាមួយនឹងពីរភាគបីនៃវាពាក់កណ្តាលមួយនិងទីប្រាំពីរគឺ 37 ... ", អាចារ្យអេហ្ស៊ីបបានបង្រៀននៅសហវត្សទី II មុនគ។ នៅក្នុងបញ្ហាគណិតវិទ្យាបុរាណនៃ Mesopotamia ឥណ្ឌា ចិន ក្រិក បរិមាណដែលមិនស្គាល់បានបង្ហាញពីចំនួនសត្វក្ងោកនៅក្នុងសួនច្បារ ចំនួនគោឈ្មោលនៅក្នុងហ្វូង ចំនួនសរុបនៃវត្ថុដែលត្រូវយកមកពិចារណានៅពេលបែងចែកទ្រព្យសម្បត្តិ។ អាចារ្យ មន្ត្រី និងបូជាចារ្យបានផ្តួចផ្តើមគំនិតឱ្យទៅជាចំណេះដឹងសម្ងាត់ បានទទួលការបណ្តុះបណ្តាលយ៉ាងល្អនៅក្នុងវិទ្យាសាស្រ្តនៃការរាប់ បានស៊ូទ្រាំនឹងកិច្ចការទាំងនោះដោយជោគជ័យ។

ប្រភពដែលបានចុះមកយើងបង្ហាញថាអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របុរាណមានវិធីសាស្រ្តទូទៅមួយចំនួនសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងបរិមាណដែលមិនស្គាល់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនក្រដាសមួយដុំទេ មិនមែនគ្រាប់ដីឥដ្ឋតែមួយផ្តល់ការពិពណ៌នាអំពីបច្ចេកទេសទាំងនេះទេ។ អ្នក​និពន្ធ​បាន​ផ្តល់​ជូន​នូវ​ការ​គណនា​លេខ​របស់​ពួកគេ​ម្តងម្កាល​ជាមួយ​នឹង​ការ​បញ្ចេញ​មតិ​ដូច​ជា៖ "មើល!", "ធ្វើវា!", "អ្នក​យល់​ឃើញ​ថា​វា​ត្រឹមត្រូវ"។ ក្នុងន័យនេះ ករណីលើកលែងគឺ "នព្វន្ធ" របស់គណិតវិទូជនជាតិក្រិច Diophantus of Alexandria (សតវត្សទី III) ដែលជាបណ្តុំនៃបញ្ហាសម្រាប់ការចងក្រងសមីការជាមួយនឹងការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការងាររបស់អ្នកប្រាជ្ញបាដាដនៃសតវត្សទី 9 បានក្លាយជាសៀវភៅណែនាំដំបូងសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ លោក Muhammad bin Musa al-Khwarizmi ។ ពាក្យ "al-jabr" ពីចំណងជើងភាសាអារ៉ាប់នៃសន្ធិសញ្ញានេះ - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("The Book of Restoration and Contrasting") - យូរ ៗ ទៅប្រែទៅជាពាក្យ "ពិជគណិត" ដែលត្រូវបានគេស្គាល់គ្រប់គ្នា។ ហើយការងាររបស់ al-Khwarizmi ខ្លួនវាបានបម្រើជាចំណុចចាប់ផ្តើមក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រនៃការដោះស្រាយសមីការ។

សមីការ។ សមីការពិជគណិត

និយមន័យមូលដ្ឋាន

នៅក្នុងពិជគណិត ភាពស្មើគ្នាពីរប្រភេទត្រូវបានពិចារណា - អត្តសញ្ញាណ និងសមីការ។

អត្តសញ្ញាណគឺ​ជា​សមភាព​ដែល​មាន​សម្រាប់​តម្លៃ​ទាំងអស់ (អាច​ទទួល​យក​បាន​) នៃ​អក្សរ​)។ សរសេរអត្តសញ្ញាណជាមួយសញ្ញា

សញ្ញាក៏ត្រូវបានប្រើផងដែរ។

សមីការ- នេះគឺជាសមភាពដែលពេញចិត្តសម្រាប់តែតម្លៃមួយចំនួននៃអក្សរដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។ អក្សរដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសមីការ យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាអាចមិនស្មើគ្នា៖ ខ្លះអាចយកតម្លៃដែលអាចអនុញ្ញាតបានទាំងអស់ (ពួកវាត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រឬ មេគុណសមីការ និងជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរដំបូងនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង៖

, , ... – ឬអក្សរដូចគ្នា ដែលផ្តល់ដោយសន្ទស្សន៍៖ , , ... ឬ , , ...); អ្នកផ្សេងទៀតដែលមានតម្លៃដែលត្រូវរកឃើញត្រូវបានគេហៅថា មិនស្គាល់(ជាធម្មតាពួកវាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរចុងក្រោយនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង៖ , , , ... - ឬដោយអក្សរដូចគ្នាដែលផ្តល់ដោយសន្ទស្សន៍៖ , , ... ឬ , , ... )។

ជាទូទៅសមីការអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

(, , ..., ).

អាស្រ័យលើចំនួនមិនស្គាល់ សមីការត្រូវបានគេហៅថាសមីការដែលមានមួយ ពីរ។ល។