អ្វីទៅជាការបញ្ចូលលីនេអ៊ែរ។ រូបមន្តអន្តរប៉ូលរវាងតម្លៃពីរ

ពួកយើងជាច្រើនបានឆ្លងកាត់ពាក្យដែលមិនអាចយល់បាននៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងៗគ្នា។ ប៉ុន្តែមានមនុស្សតិចតួចណាស់ដែលមិនខ្លាចពាក្យដែលមិនអាចយល់បាន ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ ពួកគេលើកទឹកចិត្ត និងបង្ខំពួកគេឱ្យចូលជ្រៅទៅក្នុងប្រធានបទដែលកំពុងសិក្សា។ ថ្ងៃនេះយើងនឹងនិយាយអំពីរឿងដូចជា interpolation ។ នេះគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការរៀបចំក្រាហ្វពីចំណុចដែលគេស្គាល់ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យទស្សន៍ទាយឥរិយាបថរបស់វានៅលើផ្នែកជាក់លាក់នៃខ្សែកោងជាមួយនឹងចំនួនព័ត៌មានអប្បបរមាអំពីមុខងារ។

មុននឹងឈានទៅរកខ្លឹមសារនៃនិយមន័យដោយខ្លួនវា ហើយប្រាប់អំពីវាឱ្យកាន់តែលម្អិតនោះ ចូរយើងពិចារណាបន្តិចទៅក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ។

រឿង

Interpolation ត្រូវបានគេស្គាល់តាំងពីសម័យបុរាណ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ បាតុភូតនេះជំពាក់គុណការវិវឌ្ឍន៍របស់វាចំពោះគណិតវិទូដ៏លេចធ្លោមួយចំនួនកាលពីអតីតកាល៖ ញូតុន លីបនីស និងហ្គ្រេហ្គោរី។ វាគឺជាពួកគេដែលបង្កើតគំនិតនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ដែលមាននៅពេលនោះ។ មុននោះ ពិតណាស់ interpolation ត្រូវបានប្រើប្រាស់ និងប្រើប្រាស់ក្នុងការគណនា ប៉ុន្តែពួកគេបានធ្វើវាក្នុងវិធីមិនត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង ដោយទាមទារទិន្នន័យមួយចំនួនធំដើម្បីបង្កើតគំរូដែលជិតឬតិចជាងការពិត។

សព្វថ្ងៃនេះ យើងថែមទាំងអាចជ្រើសរើសយកវិធីផ្សំមួយណាដែលស័ក្តិសមជាង។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានបកប្រែទៅជាភាសាកុំព្យូទ័រដែលអាចទស្សន៍ទាយដោយភាពត្រឹមត្រូវដ៏អស្ចារ្យអំពីឥរិយាបថនៃមុខងារនៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយ ដែលកំណត់ដោយចំណុចដែលគេស្គាល់។

Interpolation គឺជាគោលគំនិតតូចចង្អៀត ដូច្នេះប្រវត្តិសាស្ត្ររបស់វាមិនសូវសម្បូរទៅដោយការពិតទេ។ នៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់ យើងនឹងយល់ពីអ្វីដែលជាការបកស្រាយការពិត និងរបៀបដែលវាខុសគ្នាពីការផ្ទុយរបស់វា - extrapolation ។

តើអ្វីទៅជាការជ្រៀតជ្រែក?

ដូចដែលយើងបាននិយាយរួចមកហើយនេះគឺជាឈ្មោះទូទៅនៃវិធីសាស្រ្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នករៀបចំក្រាហ្វដោយចំណុច។ នៅសាលារៀន នេះត្រូវបានធ្វើឡើងជាចម្បងដោយការចងក្រងតារាង កំណត់ចំណុចនៅលើក្រាហ្វ និងបង្កើតបន្ទាត់តភ្ជាប់ពួកវា។ សកម្មភាពចុងក្រោយត្រូវបានធ្វើឡើងដោយផ្អែកលើការពិចារណាអំពីភាពស្រដៀងគ្នានៃមុខងារដែលកំពុងសិក្សាចំពោះអ្នកផ្សេងទៀត ប្រភេទនៃក្រាហ្វដែលយើងស្គាល់។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានវិធីផ្សេងទៀត ដែលស្មុគស្មាញ និងច្បាស់លាស់ជាងនេះ ដើម្បីសម្រេចកិច្ចការនៃការរៀបចំផែនការមួយចំណុចដោយចំណុច។ ដូច្នេះ interpolation គឺពិតជា "ការព្យាករណ៍" នៃឥរិយាបថនៃមុខងារនៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយ ដែលកំណត់ដោយចំណុចដែលគេស្គាល់។

មានគំនិតស្រដៀងគ្នាដែលទាក់ទងនឹងតំបន់ដូចគ្នា - ការបន្ថែម។ វាក៏ជាការព្យាករណ៍នៃក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ ប៉ុន្តែលើសពីចំណុចដែលគេស្គាល់នៃក្រាហ្វ។ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះ ការទស្សន៍ទាយត្រូវបានធ្វើឡើងដោយផ្អែកលើឥរិយាបថនៃអនុគមន៍លើចន្លោះពេលដែលគេស្គាល់ ហើយបន្ទាប់មកមុខងារនេះត្រូវបានអនុវត្តចំពោះចន្លោះពេលមិនស្គាល់ផងដែរ។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺងាយស្រួលណាស់សម្រាប់ការអនុវត្តជាក់ស្តែង ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្ម ឧទាហរណ៍ក្នុងសេដ្ឋកិច្ច ដើម្បីទស្សន៍ទាយការកើនឡើង និងការធ្លាក់ចុះនៅក្នុងទីផ្សារ និងដើម្បីទស្សន៍ទាយស្ថានភាពប្រជាសាស្រ្តនៅក្នុងប្រទេស។

ប៉ុន្តែយើងបានងាកចេញពីប្រធានបទសំខាន់។ នៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់ យើងនឹងយល់ពីអ្វីដែល interpolation គឺជាអ្វី និងរូបមន្តអ្វីដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការនេះ។

ប្រភេទនៃ interpolation

ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតគឺការបញ្ចូលអ្នកជិតខាងដែលនៅជិតបំផុត។ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះ យើងទទួលបានគ្រោងប្រហាក់ប្រហែលដែលមានចតុកោណកែង។ ប្រសិនបើអ្នកបានឃើញយ៉ាងហោចណាស់ម្តងនូវការពន្យល់អំពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលនៅលើក្រាហ្វ នោះអ្នកនឹងយល់ថាទម្រង់ក្រាហ្វិកប្រភេទណាដែលយើងកំពុងនិយាយ។

លើសពីនេះទៀតមានវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតនៃការ interpolation ។ ភាពល្បីល្បាញនិងពេញនិយមបំផុតត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងពហុនាម។ ពួកវាមានភាពសុក្រឹតជាងមុន និងអនុញ្ញាតឱ្យទស្សន៍ទាយឥរិយាបថនៃមុខងារជាមួយនឹងសំណុំនៃតម្លៃតិចតួច។ វិធីសាស្រ្ត interpolation ដំបូងដែលយើងនឹងពិនិត្យមើលគឺ linear polynomial interpolation ។ នេះគឺជាវិធីសាស្រ្តងាយស្រួលបំផុតពីប្រភេទនេះ ហើយប្រាកដណាស់ថាអ្នកម្នាក់ៗបានប្រើវានៅសាលា។ ខ្លឹមសាររបស់វាស្ថិតនៅក្នុងការសាងសង់បន្ទាត់ត្រង់រវាងចំណុចដែលគេស្គាល់។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាបន្ទាត់ត្រង់តែមួយឆ្លងកាត់ចំនុចពីរនៃយន្តហោះ សមីការអាចត្រូវបានរកឃើញដោយផ្អែកលើកូអរដោនេនៃចំនុចទាំងនេះ។ ដោយបានសាងសង់បន្ទាត់ត្រង់ទាំងនេះ យើងទទួលបានក្រាហ្វដែលខូច ដែលយ៉ាងហោចណាស់ ប៉ុន្តែឆ្លុះបញ្ចាំងពីតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃមុខងារ ហើយក្នុងន័យទូទៅស្របគ្នានឹងការពិត។ នេះជារបៀបដែលការអន្តរប៉ូលលីនេអ៊ែរដំណើរការ។

ប្រភេទនៃអន្តរកម្មស្មុគស្មាញ

មានការចាប់អារម្មណ៍ជាងនេះ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានេះមានវិធីស្មុគស្មាញជាងនេះទៀតនៃ interpolation ។ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Joseph Louis Lagrange ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលការគណនានៃ interpolation ដោយវិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគាត់: interpolation ដោយវិធីសាស្រ្ត Lagrange ។ ល្បិចនៅទីនេះគឺនេះ៖ ប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងកថាខណ្ឌមុនប្រើតែអនុគមន៍លីនេអ៊ែរសម្រាប់ការគណនា នោះការពង្រីក Lagrange ក៏ពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់ពហុនាមនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងផងដែរ។ ប៉ុន្តែវាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការស្វែងរករូបមន្ត interpolation ដោយខ្លួនឯងសម្រាប់មុខងារផ្សេងៗគ្នា។ ហើយពិន្ទុកាន់តែច្រើនត្រូវបានគេស្គាល់ រូបមន្តអន្តរប៉ូលគឺកាន់តែត្រឹមត្រូវ។ ប៉ុន្តែមានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនទៀតផងដែរ។

វាក៏មានវិធីសាស្ត្រគណនាដ៏ល្អឥតខ្ចោះ និងកាន់តែជិតទៅនឹងការពិតផងដែរ។ រូបមន្ត interpolation ដែលប្រើក្នុងវាគឺជាបណ្តុំនៃពហុនាម ការអនុវត្តនីមួយៗអាស្រ័យលើផ្នែកនៃអនុគមន៍។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេហៅថាមុខងារ spline ។ លើសពីនេះ វាក៏មានវិធីដើម្បីធ្វើរឿងដូចជាការបញ្ចូលមុខងារនៃអថេរពីរ។ មានតែវិធីពីរយ៉ាងនៅទីនេះ។ ក្នុងចំនោមពួកគេមាន bilinear ឬ double interpolation ។ វិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើតក្រាហ្វបានយ៉ាងងាយស្រួលដោយចំណុចក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ។ វិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតនឹងមិនរងផលប៉ះពាល់ទេ។ ជាទូទៅ Interpolation គឺជាឈ្មោះសកលសម្រាប់វិធីសាស្រ្តទាំងអស់នៃការគូសវាសក្រាហ្វ ប៉ុន្តែភាពខុសគ្នានៃវិធីដែលសកម្មភាពនេះអាចត្រូវបានអនុវត្ត បង្ខំឱ្យយើងបែងចែកពួកវាជាក្រុម អាស្រ័យលើប្រភេទមុខងារដែលត្រូវនឹងសកម្មភាពនេះ។ នោះគឺជា អន្តរប៉ូល ជាឧទាហរណ៍មួយដែលយើងបានពិចារណាខាងលើ សំដៅលើវិធីសាស្ត្រផ្ទាល់។ វាក៏មានការបញ្ចូលបញ្ច្រាសផងដែរ ដែលខុសគ្នាត្រង់ថាវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាមិនមែនដោយផ្ទាល់ទេ ប៉ុន្តែជាមុខងារបញ្ច្រាស (នោះគឺ x ពី y) ។ យើងនឹងមិនពិចារណាជម្រើសចុងក្រោយទេ ព្រោះវាពិតជាពិបាក និងទាមទារមូលដ្ឋានចំណេះដឹងគណិតវិទ្យាដ៏ល្អ។

ចូរបន្តទៅប្រហែលជាផ្នែកសំខាន់បំផុតមួយ។ ពីវា យើងរៀនពីរបៀប និងកន្លែងដែលសំណុំនៃវិធីសាស្រ្តដែលយើងកំពុងពិភាក្សាត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងជីវិត។

ការដាក់ពាក្យ

ដូចដែលអ្នកដឹងស្រាប់ហើយ គណិតវិទ្យាគឺជាមហាក្សត្រីនៃវិទ្យាសាស្ត្រ។ ដូច្នេះហើយ ទោះបីជាដំបូងអ្នកមិនឃើញចំណុចនៅក្នុងប្រតិបត្តិការជាក់លាក់ក៏ដោយ នេះមិនមែនមានន័យថាពួកគេគ្មានប្រយោជន៍នោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ វាហាក់បីដូចជាការបញ្ចូលអន្តរកម្មគឺជារឿងគ្មានប្រយោជន៍ ដោយមានជំនួយពីក្រាហ្វដែលអាចបង្កើតបាន ដែលមនុស្សតិចណាស់ត្រូវការឥឡូវនេះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការគណនាណាមួយនៅក្នុងវិស្វកម្ម រូបវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត (ឧទាហរណ៍ ជីវវិទ្យា) វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការបង្ហាញរូបភាពពេញលេញនៃបាតុភូត ខណៈពេលដែលមានតម្លៃជាក់លាក់មួយ។ តម្លៃខ្លួនវាខ្ចាត់ខ្ចាយនៅលើក្រាហ្វមិនតែងតែផ្តល់គំនិតច្បាស់លាស់អំពីឥរិយាបថនៃមុខងារនៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយតម្លៃនៃនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វានិងចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស។ ហើយនេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ផ្នែកជាច្រើននៃជីវិតរបស់យើង។

ហើយតើវានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងជីវិតយ៉ាងដូចម្តេច?

វាអាចពិបាកឆ្លើយសំណួរបែបនេះ។ ប៉ុន្តែចម្លើយគឺសាមញ្ញ៖ គ្មានផ្លូវទេ។ ចំណេះដឹងនេះគ្មានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នកទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកយល់ពីសម្ភារៈនេះនិងវិធីសាស្រ្តដែលសកម្មភាពទាំងនេះត្រូវបានអនុវត្តអ្នកនឹងហ្វឹកហាត់តក្កវិជ្ជារបស់អ្នកដែលនឹងមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងជីវិត។ រឿងចំបងគឺមិនមែនជាចំណេះដឹងខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែជាជំនាញដែលមនុស្សម្នាក់ទទួលបានក្នុងដំណើរការសិក្សា។ យ៉ាងណាមិញវាមិនមែនសម្រាប់គ្មានអ្វីទេដែលមានពាក្យថា "រស់នៅមួយសតវត្ស - រៀនមួយសតវត្ស" ។

គំនិតដែលពាក់ព័ន្ធ

អ្នកអាចយល់ដោយខ្លួនឯងថាតើផ្នែកនៃគណិតវិទ្យានេះមានសារៈសំខាន់ប៉ុណ្ណា (ហើយនៅតែជា) ដោយមើលទៅភាពខុសគ្នានៃគោលគំនិតផ្សេងទៀតដែលទាក់ទងនឹងចំណុចនេះ។ យើងបាននិយាយរួចហើយអំពី extrapolation ប៉ុន្តែក៏មានការប៉ាន់ស្មានមួយផងដែរ។ ប្រហែលជាអ្នកធ្លាប់លឺពាក្យនេះពីមុនមក។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយ យើងក៏បានវិភាគថាតើវាមានន័យយ៉ាងណានៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ ការប៉ាន់ប្រមាណ ដូចជាការបញ្ចូលអន្តរប៉ូល គឺជាគោលគំនិតដែលទាក់ទងនឹងការគូសក្រាហ្វិកមុខងារ។ ប៉ុន្តែភាពខុសគ្នារវាងទីមួយ និងទីពីរគឺថាវាគឺជាការស្ថាបនាប្រហាក់ប្រហែលនៃក្រាហ្វដោយផ្អែកលើក្រាហ្វដែលគេស្គាល់ស្រដៀងគ្នា។ គោលគំនិតទាំងពីរនេះគឺស្រដៀងគ្នាខ្លាំងណាស់ ហើយអ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងនេះទៅទៀតនោះគឺការសិក្សាអំពីពួកគេនីមួយៗ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

គណិតវិទ្យាមិនពិបាកដូចជាវិទ្យាសាស្ត្រដូចដែលវាមើលទៅមើលដំបូងឡើយ។ នាងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាង។ ហើយនៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងបានព្យាយាមបង្ហាញវាដល់អ្នក។ យើងបានក្រឡេកមើលគោលគំនិតដែលភ្ជាប់ជាមួយគំនូសតាងក្រាហ្វ រៀនពីអ្វីដែលជាការបញ្ចូលទ្វេរដង និងវិភាគជាមួយឧទាហរណ៍ដែលវាត្រូវបានប្រើ។

ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើល Interpolation ។ អំពីមុខងារ សូមមើល៖ Interpolant ។

អន្តរប៉ូល។, អន្តរប៉ូល។ (ពីឡាតាំង អន្តរប៉ូលីស - « រលោងចេញ, ថ្មី, ជាថ្មី; បានបំប្លែង"") - នៅក្នុងគណិតវិទ្យាគណនា វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកតម្លៃមធ្យមនៃបរិមាណពីសំណុំដាច់ពីគ្នាដែលមានស្រាប់នៃតម្លៃដែលគេស្គាល់។ ពាក្យ "interpolation" ត្រូវបានប្រើជាលើកដំបូងដោយ John Vallis នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ The Arithmetic of the Infinite (1656) ។

នៅក្នុងការវិភាគមុខងារ អន្តរប៉ូលនៃប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ គឺជាផ្នែកដែលចាត់ទុកលំហ Banach ជាធាតុនៃប្រភេទជាក់លាក់មួយ។

ភាគច្រើននៃអ្នកដែលដោះស្រាយជាមួយនឹងការគណនាបែបវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិស្វកម្ម ជារឿយៗត្រូវធ្វើការជាមួយសំណុំនៃតម្លៃដែលទទួលបានជាក់ស្តែង ឬដោយការយកគំរូចៃដន្យ។ តាមក្បួនមួយនៅលើមូលដ្ឋាននៃសំណុំទាំងនេះវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបង្កើតមុខងារដែលតម្លៃដែលទទួលបានផ្សេងទៀតអាចធ្លាក់ចុះជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវខ្ពស់។ ភារកិច្ចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រហាក់ប្រហែល។ Interpolation គឺជាប្រភេទនៃការប៉ាន់ស្មានដែលខ្សែកោងនៃមុខងារដែលបានសាងសង់ឆ្លងកាត់យ៉ាងពិតប្រាកដតាមរយៈចំណុចទិន្នន័យដែលមាន។

វាក៏មានបញ្ហានៅជិត interpolation ដែលមាននៅក្នុងការប៉ាន់ស្មានមុខងារស្មុគស្មាញមួយចំនួនដោយមុខងារសាមញ្ញមួយទៀត។ ប្រសិនបើមុខងារជាក់លាក់មួយគឺស្មុគស្មាញពេកសម្រាប់ការគណនាប្រកបដោយផលិតភាព អ្នកអាចព្យាយាមគណនាតម្លៃរបស់វានៅចំណុចជាច្រើន ហើយបង្កើត ពោលគឺបញ្ចូលមុខងារសាមញ្ញជាងពីពួកវា។ ជាការពិតណាស់ ការប្រើប្រាស់មុខងារសាមញ្ញមិនអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានលទ្ធផលពិតប្រាកដដូចមុខងារដើមនឹងផ្តល់ឱ្យនោះទេ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងថ្នាក់នៃបញ្ហាមួយចំនួន ការកើនឡើងនៃភាពសាមញ្ញ និងល្បឿននៃការគណនាអាចលើសពីកំហុសនៃលទ្ធផលនៅក្នុងលទ្ធផល។

យើងក៏គួរលើកឡើងពីប្រភេទផ្សេងគ្នាទាំងស្រុងនៃការធ្វើអន្តរប៉ូលគណិតវិទ្យា ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា "ការអន្តរប៉ូលរបស់ប្រតិបត្តិករ"។ ស្នាដៃបុរាណលើការបកស្រាយរបស់ប្រតិបត្តិកររួមមានទ្រឹស្តីបទ Riesz-Thorin និងទ្រឹស្តីបទ Marcinkiewicz ដែលជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការងារជាច្រើនទៀត។

និយមន័យ

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃចំនុចដែលមិនចៃដន្យ x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N)))) ពីដែនមួយចំនួន D ( \ ទម្រង់បង្ហាញ ឃ) ។ អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃនៃមុខងារ f (\displaystyle f) ត្រូវបានដឹងតែនៅចំណុចទាំងនេះប៉ុណ្ណោះ៖

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N ។ (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

បញ្ហានៃ interpolation គឺដើម្បីស្វែងរកមុខងារ F (\displaystyle F) ពីថ្នាក់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអនុគមន៍ដូចនោះ។

F (x i) = y i , i = 1 , … , N ។ (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

ចំនុច x i (\displaystyle x_(i)) ត្រូវបានហៅ ថ្នាំង interpolationហើយចំនួនសរុបរបស់ពួកគេគឺ ក្រឡាចត្រង្គ interpolation.
គូ (x i, y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចទិន្នន័យឬ ចំណុចមូលដ្ឋាន.
ភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃ Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - ជំហានក្រឡាចត្រង្គ interpolation. វាអាចមានទាំងអថេរ និងថេរ។
អនុគមន៍ F (x) (\ displaystyle F(x)) - មុខងារ interpolatingឬ interpolant.

ឧទាហរណ៍

1. ឧបមាថាយើងមានអនុគមន៍តារាងដូចតារាងខាងក្រោម ដែលសម្រាប់តម្លៃច្រើននៃ x (\displaystyle x) កំណត់តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ f (\displaystyle f) :

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))


0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolation ជួយយើងឱ្យដឹងពីតម្លៃដែលមុខងារបែបនេះអាចមាននៅចំណុចផ្សេងក្រៅពីចំណុចដែលបានបញ្ជាក់ (ឧទាហរណ៍ នៅពេល x = 2,5).

រហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះមានវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃការ interpolation ។ ជម្រើសនៃក្បួនដោះស្រាយដែលសមស្របបំផុតអាស្រ័យទៅលើចម្លើយចំពោះសំណួរ៖ តើវិធីសាស្ត្រដែលបានជ្រើសរើសត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណា តម្លៃនៃការប្រើប្រាស់វា ដំណើរការរលូនកម្រិតណា តើវាត្រូវការចំណុចទិន្នន័យប៉ុន្មាន។ល។

2. ស្វែងរកតម្លៃមធ្យមមួយ (ដោយ interpolation លីនេអ៊ែរ) ។

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15.5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19.2 − 15.5) 1 = 16.1993 (\displaystyle ?=15.5+(\frac ((6378-6000)))(8000-6000)(9000-6000)(9. 15.5))(1))=16.1993)

នៅក្នុងភាសាសរសេរកម្មវិធី

ឧទាហរណ៍នៃការបញ្ចូលលីនេអ៊ែរសម្រាប់អនុគមន៍ y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) ។ អ្នកប្រើប្រាស់អាចបញ្ចូលលេខរវាង 1 និង 10។

ហ្វរត្រាន

កម្មវិធី interpol ចំនួនគត់ i real x, y, xv, yv, yv2 dimension x(10) dimension y(10) call prisv(x,i) call func(x, y, i) write(*,*) "បញ្ចូលលេខ៖ " អាន(*,*) xv ប្រសិនបើ ((xv >= 1).and.(xv xv)) បន្ទាប់មក yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end subroutine

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, ស្ថានភាព; system("echo Interpolate X1 - X2"); system("echo Enter លេខ៖ "); cin >> ob; system("echo ឧទាហរណ៍ 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; ស្ថានភាព = x2 + (pi * skolko); cout

វិធីសាស្រ្តអន្តរប៉ូល។

ការជ្រៀតជ្រែកអ្នកជិតខាងដែលនៅជិតបំផុត។

វិធីសាស្រ្តអន្តរប៉ូលដ៏សាមញ្ញបំផុតគឺការជ្រៀតជ្រែកអ្នកជិតខាង។

អន្តរប៉ូលដោយពហុនាម

នៅក្នុងការអនុវត្ត ការបកស្រាយដោយពហុនាម ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត។ នេះជាចម្បងដោយសារតែការពិតដែលថាពហុនាមមានភាពងាយស្រួលក្នុងការគណនាវាងាយស្រួលក្នុងការវិភាគរកនិស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេ ហើយសំណុំនៃពហុនាមគឺក្រាស់នៅក្នុងចន្លោះនៃមុខងារបន្ត (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Weierstrass)។

ការបញ្ចូលលីនេអ៊ែរ
រូបមន្តអន្តរប៉ូលរបស់ញូតុន
វិធីសាស្រ្តនៃភាពខុសគ្នា
IMN-1 និង IMN-2
Lagrange polynomial (ពហុនាមអន្តរប៉ូល)
គ្រោងការណ៍របស់ Aitken
មុខងារ spline
spline គូប

ការបញ្ចូលបញ្ច្រាស (ការគណនា x ផ្តល់ y)

ពហុនាម Lagrange
ការបញ្ចូលបញ្ច្រាសដោយរូបមន្តរបស់ញូតុន
ការបកស្រាយបញ្ច្រាស Gauss

អនុគមន៍អថេរចម្រុះ

ការបកស្រាយទ្វេលីនេអ៊ែរ
ការជ្រៀតជ្រែក Bicubic

វិធីសាស្រ្តអន្តរប៉ូលផ្សេងទៀត។

អន្តរប៉ូលសនិទាន
ការបញ្ចូលត្រីកោណមាត្រ

គំនិតដែលពាក់ព័ន្ធ

Extrapolation - វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកចំណុចនៅខាងក្រៅចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ផ្នែកបន្ថែមខ្សែកោង)
ការប៉ាន់ស្មាន - វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការសាងសង់ខ្សែកោងប្រហាក់ប្រហែល

ការបញ្ចូលបញ្ច្រាស

នៅលើថ្នាក់នៃមុខងារពីលំហ C2 ដែលក្រាហ្វឆ្លងកាត់ចំនុចនៃអារេ (xi, yi), i = 0, 1, ។ . . , ម.

ការសម្រេចចិត្ត។ ក្នុងចំណោមមុខងារទាំងអស់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចយោង (xi, f(xi)) និងជាកម្មសិទ្ធិរបស់លំហដែលបានរៀបរាប់ វាគឺជាគូបគូប S(x) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌព្រំដែន S00(a) = S00(b) = 0 ដែលផ្តល់នូវមុខងារ I(f) ខ្លាំងបំផុត (អប្បបរមា) ។

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងការអនុវត្តមានបញ្ហាក្នុងការស្វែងរកតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃមុខងារនៃតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់។ បញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្របញ្ច្រាស។ ប្រសិនបើមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ monotonic នោះវិធីងាយស្រួលបំផុតដើម្បីអនុវត្តការបំប្លែងថយក្រោយគឺត្រូវជំនួសមុខងារដោយអាគុយម៉ង់មួយ និងច្រាសមកវិញ ហើយបន្ទាប់មក interpolate ។ ប្រសិនបើមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមែនជា monotonic នោះបច្ចេកទេសនេះមិនអាចប្រើបានទេ។ បន្ទាប់មក ដោយមិនផ្លាស់ប្តូរតួនាទីនៃមុខងារ និងអាគុយម៉ង់ យើងសរសេរចុះរូបមន្តនេះ ឬថា interpolation; ដោយប្រើតម្លៃដែលគេស្គាល់នៃអាគុយម៉ង់ ហើយសន្មតថាមុខងារត្រូវបានគេស្គាល់ យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់។

ការប៉ាន់ប្រមាណនៃពាក្យដែលនៅសេសសល់នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រទីមួយនឹងដូចគ្នានឹងការបញ្ចូលដោយផ្ទាល់ដែរ មានតែដេរីវេនៃអនុគមន៍ផ្ទាល់ប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវជំនួសដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស។ ចូរយើងប៉ាន់ស្មានកំហុសនៃវិធីសាស្ត្រទីពីរ។ ប្រសិនបើយើងត្រូវបានផ្តល់អនុគមន៍ f(x) និង Ln(x) គឺជាពហុធានភាពអន្តរប៉ូល Lagrange ដែលត្រូវបានសាងសង់សម្រាប់អនុគមន៍នេះនៅលើថ្នាំង x0, x1, x2, ។ . . , xn, បន្ទាប់មក

f (x) − Ln (x) = (n + 1) ! (x − x0) ។ . . (x − xn) ។

ឧបមាថាយើងត្រូវរកតម្លៃ x¯ ដូចជា f (¯x) = y¯ (y¯ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ) ។ យើងនឹងដោះស្រាយសមីការ Ln (x) = y¯ ។ តោះមកមើលតម្លៃ x¯ ។ ជំនួសសមីការមុន យើងទទួលបាន៖

Mn+1


f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
ការអនុវត្តរូបមន្ត Langrange យើងទទួលបាន
(x¯ − x¯) f0 (η) =


ដែល η ស្ថិតនៅចន្លោះ x¯ និង x¯ ។ ប្រសិនបើជាចន្លោះពេលដែលមាន x¯ និង x¯ និង min

ពីកន្សោមចុងក្រោយដូចខាងក្រោមៈ

|x¯−x¯| 6m1(n+1)! |$n (x¯)| .

ក្នុងករណីនេះ ប្រាកដណាស់ គេសន្មត់ថាយើងបានដោះស្រាយសមីការ Ln(x) = y¯ យ៉ាងពិតប្រាកដ។

ការប្រើប្រាស់ interpolation សម្រាប់ tabulation

ទ្រឹស្តីនៃអន្តរប៉ូលមានកម្មវិធីក្នុងការចងក្រងតារាងនៃមុខងារ។ ដោយបានទទួលបញ្ហាបែបនេះ គណិតវិទូត្រូវតែដោះស្រាយសំណួរមួយចំនួន មុនពេលចាប់ផ្តើមការគណនា។ រូបមន្តដែលការគណនានឹងត្រូវបានអនុវត្តត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើស។ រូបមន្តនេះអាចប្រែប្រួលពីគេហទំព័រមួយទៅគេហទំព័រមួយ។ ជាធម្មតា រូបមន្តសម្រាប់គណនាតម្លៃមុខងារគឺមានភាពលំបាក ហើយដូច្នេះវាត្រូវបានគេប្រើដើម្បីទទួលបានតម្លៃយោងមួយចំនួន ហើយបន្ទាប់មកដោយ subtabulation ពួកគេធ្វើឱ្យតារាងក្រាស់។ រូបមន្តដែលផ្តល់តម្លៃយោងនៃអនុគមន៍ត្រូវតែផ្តល់នូវភាពត្រឹមត្រូវដែលចង់បាននៃតារាងដោយគិតគូរពីតារាងរងខាងក្រោម។ ប្រសិនបើអ្នកចង់ចងក្រងតារាងជាមួយនឹងជំហានថេរ នោះដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់ជំហានរបស់វា។

ថយក្រោយ First Previous Next Last Last Skip Index

ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ តារាងមុខងារត្រូវបានចងក្រង ដូច្នេះការបញ្ចូលលីនេអ៊ែរ (មានន័យថា ការបញ្ចូលពាក្យដែលប្រើពាក្យពីរដំបូងនៃរូបមន្ត Taylor) គឺអាចធ្វើទៅបាន។ ក្នុងករណីនេះពាក្យដែលនៅសល់នឹងមើលទៅដូច

R1 (x) = f00 (ξ)h2t(t − 1) ។

នៅទីនេះ ξ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលរវាងតម្លៃតារាងជាប់គ្នាពីរនៃអាគុយម៉ង់ដែល x ស្ថិតនៅ ហើយ t ស្ថិតនៅចន្លោះ 0 និង 1។ ផលិតផល t(t − 1) យកម៉ូឌុលធំបំផុត

តម្លៃនៅ t = 12. តម្លៃនេះស្មើនឹង 14 ។ ដូច្នេះ

វាត្រូវតែចងចាំថានៅជាប់នឹងកំហុសនេះ - កំហុសនៃវិធីសាស្រ្តក្នុងការគណនាជាក់ស្តែងនៃតម្លៃមធ្យម កំហុសដែលមិនអាចយកមកវិញបាន និងកំហុសក្នុងការបង្គត់នឹងនៅតែកើតឡើង។ ដូចដែលយើងបានឃើញមុននេះ កំហុសធ្ងន់ធ្ងរនៅក្នុងការអន្តរប៉ូលលីនេអ៊ែរនឹងស្មើនឹងកំហុសនៃតម្លៃតារាងនៃមុខងារ។ កំហុសក្នុងការបង្គត់នឹងអាស្រ័យលើមធ្យោបាយគណនា និងនៅលើកម្មវិធីគណនា។

ថយក្រោយ First Previous Next Last Last Skip Index

សន្ទស្សន៍ប្រធានបទ

ភាពខុសគ្នានៃលំដាប់ទីពីរ, 8 នៃលំដាប់ទីមួយ, 8

spline, ១៥

ថ្នាំង interpolation, ៤

ថយក្រោយ First Previous Next Last Last Skip Index

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / របៀបធ្វើអន្តរប៉ូល។

រូបមន្តសម្រាប់បញ្ចូលទិន្នន័យតារាង

ប្រើក្នុងជំហានទី 2 នៅពេលដែលបរិមាណ NXR (Q, t) ពីលក្ខខណ្ឌ គឺកម្រិតមធ្យមរវាង 100 t និង 300 t ។

(ការលើកលែង:ប្រសិនបើ Q ស្មើនឹង 100 ឬ 300 តាមលក្ខខណ្ឌ នោះការជ្រៀតជ្រែកមិនចាំបាច់ទេ)។

y o- ចំនួន NHR ដំបូងរបស់អ្នកពីលក្ខខណ្ឌគិតជាតោន

(ត្រូវនឹងអក្សរ Q)

y 1 – តិច

( តារាង ១១-១៦, ជាធម្មតា 100).

y 2 – ច្រើនទៀត នៅជិតបំផុតទៅនឹងតម្លៃរបស់អ្នកនៃបរិមាណ NCR គិតជាតោន

( តារាង ១១-១៦, ជាធម្មតា 300).

x 1 y 1 (x 1 ដែលមានទីតាំងនៅទល់មុខ y 1 ), គ។

x 2 - តម្លៃតារាងនៃជម្រៅនៃការសាយភាយនៃពពកនៃខ្យល់កខ្វក់ (G t) រៀងគ្នា។ y 2 (x 2 ដែលមានទីតាំងនៅទល់មុខ y 2 ), គ។

x 0 - តម្លៃដែលចង់បាន ជី tដែលត្រូវគ្នា។ y o(យោងទៅតាមរូបមន្ត) ។

ឧទាហរណ៍។

NCR - ក្លរីន; Q = 120 t;

ប្រភេទនៃ SVSP (កម្រិតនៃភាពធន់ទ្រាំខ្យល់បញ្ឈរ) - ការដាក់បញ្ច្រាស។

ដើម្បីស្វែងរក ជី t- តម្លៃតារាងនៃជម្រៅរាលដាលនៃពពកនៃខ្យល់កខ្វក់។

យើងមើលតាមតារាងទី 11-16 ហើយស្វែងរកទិន្នន័យដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌរបស់អ្នក (ក្លរីន បញ្ច្រាស)។

តារាងសមស្រប ១១.

ការជ្រើសរើសតម្លៃ y 1 , y 2, x 1 , x 2 . សំខាន់ - យើងយកល្បឿនខ្យល់ 1 m / s ។ យើងយកសីតុណ្ហភាព - 20 ° C ។

ជំនួសតម្លៃដែលបានជ្រើសរើសក្នុងរូបមន្ត ហើយស្វែងរក x 0 .

សំខាន់ - ការគណនាត្រឹមត្រូវប្រសិនបើ x 0 នឹងមានតម្លៃនៅកន្លែងណាមួយរវាង x 1 , x 2 .

១.៤. រូបមន្តធ្វើអន្តរប៉ូល Lagrange

ក្បួនដោះស្រាយដែលបានស្នើឡើងដោយ Lagrange សម្រាប់ការសាងសង់ interpolating

អនុគមន៍យោងទៅតាមតារាង (1) ផ្តល់សម្រាប់ការសាងសង់ពហុធានអន្តរប៉ូល Ln(x) ក្នុងទម្រង់

ជាក់ស្តែង ការបំពេញលក្ខខណ្ឌ (11) សម្រាប់ (10) កំណត់ការបំពេញលក្ខខណ្ឌ (2) នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហា interpolation ។

ពហុនាម li(x) ត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម

ចំណាំថាមិនមែនកត្តាតែមួយនៅក្នុងភាគបែងនៃរូបមន្ត (14) ស្មើនឹងសូន្យទេ។ ដោយបានគណនាតម្លៃនៃថេរ ci អ្នកអាចប្រើពួកវាដើម្បីគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ interpolated នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

រូបមន្តពហុនាមនៃ Lagrange interpolation (11) ដោយគិតគូរពីរូបមន្ត (13) និង (14) អាចត្រូវបានសរសេរជា

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.ការរៀបចំការគណនាដោយដៃយោងទៅតាមរូបមន្ត Lagrange

ការអនុវត្តដោយផ្ទាល់នៃរូបមន្ត Lagrange នាំឱ្យមានការគណនាមួយចំនួនធំនៃប្រភេទដូចគ្នា។ សម្រាប់តារាងនៃទំហំតូច ការគណនាទាំងនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តទាំងដោយដៃ និងក្នុងបរិយាកាសកម្មវិធី។

នៅដំណាក់កាលដំបូងយើងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយនៃការគណនាដែលបានអនុវត្តដោយដៃ។ នៅពេលអនាគតការគណនាដូចគ្នាគួរតែត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតនៅក្នុងបរិយាកាស

Microsoft Excel ឬ OpenOffice.org Calc ។

នៅលើរូបភព។ 6 បង្ហាញឧទាហរណ៍នៃតារាងប្រភពនៃអនុគមន៍ interpolated ដែលកំណត់ដោយថ្នាំងចំនួនបួន។

រូប ៦. តារាងដែលមានទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់ថ្នាំងទាំងបួននៃមុខងារ interpolated

នៅក្នុងជួរឈរទីបីនៃតារាងយើងសរសេរតម្លៃនៃមេគុណ qi ដែលគណនាដោយរូបមន្ត (14) ។ ខាងក្រោមនេះគឺជាកំណត់ត្រានៃរូបមន្តទាំងនេះសម្រាប់ n=3។

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

ជំហានបន្ទាប់ក្នុងការអនុវត្តការគណនាដោយដៃគឺការគណនាតម្លៃ li(x) (j=0,1,2,3) ដែលអនុវត្តដោយរូបមន្ត (13)។

ចូរយើងសរសេររូបមន្តទាំងនេះសម្រាប់កំណែតារាងដែលយើងកំពុងពិចារណាជាមួយនឹងថ្នាំងចំនួនបួន៖

l0(x)=q0(x-x1)(x-x2)(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)(x-x2)(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) ។

ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃពហុនាម li(xj) (j=0,1,2,3) ហើយសរសេរវាចុះក្នុងក្រឡានៃតារាង។ តម្លៃនៃអនុគមន៍ Ycalc(x) យោងតាមរូបមន្ត (11) នឹងត្រូវបានទទួលជាលទ្ធផលនៃការបូកសរុបតម្លៃនៃ li(xj) ក្នុងជួរដេក។

ទម្រង់តារាងដែលរួមបញ្ចូលជួរឈរនៃតម្លៃដែលបានគណនា li(xj) និងជួរឈរនៃតម្លៃ Ycalc(x) ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 8 ។

អង្ករ។ 8. តារាងជាមួយនឹងលទ្ធផលនៃការគណនាដោយដៃដែលបានអនុវត្តដោយរូបមន្ត (16), (17) និង (11) សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអាគុយម៉ង់ xi

ដោយបានបញ្ចប់ការបង្កើតតារាងដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ 8 ដោយរូបមន្ត (17) និង (11) វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ interpolated សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអាគុយម៉ង់ X ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ X=1 យើងគណនាតម្លៃ li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0.7763; l1(1)= 3.5889; l2(1)=-1.5155;l3(1)=0.2966 ។

ការបូកសរុបតម្លៃនៃ li(1) យើងទទួលបានតម្លៃ Yinterp(1)=3.1463 ។

១.៤.២. ការអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយអន្តរប៉ូលដោយរូបមន្ត Lagrange ក្នុងបរិយាកាសនៃកម្មវិធី Microsoft Excel

ការអនុវត្តនៃក្បួនដោះស្រាយ interpolation ចាប់ផ្តើមដូចនៅក្នុងការគណនាដោយដៃ ដោយសរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាមេគុណ qi ។ 9 បង្ហាញជួរឈរនៃតារាងជាមួយនឹងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអាគុយម៉ង់, មុខងារ interpolated និងមេគុណ qi ។ នៅខាងស្តាំតារាងនេះគឺជារូបមន្តដែលត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងក្រឡានៃជួរឈរ C ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃមេគុណ qi ។

ВС2៖ "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3៖ "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4៖ "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5៖ "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

អង្ករ។ 9 តារាងមេគុណ qi និងរូបមន្តគណនា

បន្ទាប់ពីបញ្ចូលរូបមន្ត q0 ក្នុងក្រឡា C2 វាត្រូវបានទាញតាមរយៈក្រឡាពី C3 ទៅ C5 ។ បន្ទាប់ពីនោះ រូបមន្តក្នុងក្រឡាទាំងនេះត្រូវបានកែតម្រូវដោយអនុលោមតាម (16) ទៅនឹងទម្រង់ដែលបង្ហាញក្នុងរូបភព។ ប្រាំបួន

Ycalc(xi),

ការអនុវត្តរូបមន្ត (17) យើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាតម្លៃ li(x) (i=0,1,2,3) នៅក្នុងក្រឡានៃជួរឈរ D, E, F និង G ។ ក្នុងក្រឡា D2 ដើម្បីគណនាតម្លៃ l0(x0) យើងសរសេររូបមន្ត៖

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

យើងទទួលបានតម្លៃ l0 (xi) (i = 0,1,2,3) ។

ទម្រង់តំណ $A2 អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកលាតរូបមន្តតាមជួរ E, F, G ដើម្បីបង្កើតរូបមន្តគណនាសម្រាប់គណនា li(x0) (i=1,2,3)។ ការអូសរូបមន្តលើជួរដេកមិនផ្លាស់ប្ដូរសន្ទស្សន៍ជួរឈរនៃអាគុយម៉ង់ទេ។ ដើម្បីគណនា li(x0) (i=1,2,3) បន្ទាប់ពីគូររូបមន្ត l0(x0) វាចាំបាច់ត្រូវកែពួកវាតាមរូបមន្ត (17)។

នៅក្នុងជួរឈរ H យើងដាក់រូបមន្ត Excel សម្រាប់បូកសរុប li(x) តាមរូបមន្ត

(11) ក្បួនដោះស្រាយ។

នៅលើរូបភព។ 10 បង្ហាញតារាងដែលបានអនុវត្តនៅក្នុងបរិយាកាសកម្មវិធី Microsoft Excel ។ សញ្ញានៃភាពត្រឹមត្រូវនៃរូបមន្តដែលសរសេរនៅក្នុងក្រឡានៃតារាង និងប្រតិបត្តិការគណនាដែលបានអនុវត្តគឺជាលទ្ធផលម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូង li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3) ធ្វើម្តងទៀតនូវលទ្ធផលដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ 8, និងជួរឈរនៃតម្លៃដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ interpolated នៅក្នុងថ្នាំងនៃតារាងដើម។

អង្ករ។ 10. តារាងតម្លៃ li(xj)(j=0,1,2,3) និង Ycalc(xj)

ដើម្បីគណនាតម្លៃនៅចំណុចមធ្យមមួយចំនួនវាគ្រប់គ្រាន់ហើយ។

នៅក្នុងក្រឡានៃជួរឈរ A ចាប់ផ្តើមពីក្រឡា A6 បញ្ចូលតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ X ដែលអ្នកចង់កំណត់តម្លៃនៃអនុគមន៍ interpolated ។ បន្លិច

នៅក្នុងជួរចុងក្រោយ (ទី 5) នៃតារាងក្រឡាពី l0(xn) ទៅ Ycalc(xn) ហើយលាតរូបមន្តដែលសរសេរក្នុងក្រឡាដែលបានជ្រើសរើសទៅបន្ទាត់ដែលមានចុងក្រោយ

តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអាគុយម៉ង់ x ។

នៅលើរូបភព។ 11 បង្ហាញតារាងដែលការគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍មានបីចំណុចគឺ x=1, x=2 និង x=3។ ជួរឈរបន្ថែមដែលមានលេខជួរដេកនៃតារាងទិន្នន័យប្រភពត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងតារាង។

អង្ករ។ 11. ការគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ interpolated ដោយប្រើរូបមន្ត Lagrange

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់កាន់តែច្រើននៃការបង្ហាញលទ្ធផល interpolation យើងនឹងសាងសង់តារាងដែលរួមបញ្ចូលជួរឈរនៃតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ X បានតម្រៀបតាមលំដាប់ឡើង ជួរឈរនៃតម្លៃដំបូងនៃអនុគមន៍ Y(X) និងជួរឈរមួយ។

ប្រាប់ខ្ញុំពីរបៀបប្រើរូបមន្ត interpolation និងមួយណាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុងទែរម៉ូឌីណាមិក (វិស្វកម្មកំដៅ)

លោក Ivan Shestakovich

ការបកស្រាយដ៏សាមញ្ញបំផុត ប៉ុន្តែជារឿយៗមិនមានភាពត្រឹមត្រូវគ្រប់គ្រាន់ទេ គឺលីនេអ៊ែរ។ នៅពេលដែលអ្នកមានចំនុចដែលគេស្គាល់ពីរ (X1 Y1) និង (X2 Y2) ហើយអ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃ Y នៃថ្ងៃនៃ X មួយចំនួនដែលស្ថិតនៅចន្លោះ X1 និង X2។ បន្ទាប់មករូបមន្តគឺសាមញ្ញ។
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
ដោយវិធីនេះ រូបមន្តនេះក៏ដំណើរការសម្រាប់តម្លៃ X នៅខាងក្រៅចន្លោះពេល X1..X2 ប៉ុន្តែនេះត្រូវបានគេហៅថា extropolation រួចហើយ ហើយនៅចម្ងាយដ៏សំខាន់ពីចន្លោះពេលនេះ វាផ្តល់នូវកំហុសដ៏ធំមួយ។
មានកន្ទេលជាច្រើនទៀត។ វិធីសាស្រ្ត interpolation - ខ្ញុំណែនាំអ្នកឱ្យអានសៀវភៅសិក្សាឬ rummage តាមរយៈអ៊ីនធឺណិត។
វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលក្រាហ្វិកក៏មិនត្រូវបានច្រានចោលដែរ - គូរក្រាហ្វដោយដៃតាមរយៈចំណុចដែលគេស្គាល់ និងស្វែងរក Y ពីក្រាហ្វសម្រាប់ X ដែលត្រូវការ។ ;)

ប្រលោមលោក

អ្នកមានអត្ថន័យពីរ។ និងប្រមាណភាពអាស្រ័យ (លីនេអ៊ែរ, ចតុកោណ, .. )
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងពីររបស់អ្នក។ អ្នកត្រូវការតម្លៃនៅកន្លែងណាមួយនៅចន្លោះ។ ជាការប្រសើរណាស់!
ឧទាហរណ៍។ នៅក្នុងតារាងនៅសីតុណ្ហភាព 22 ដឺក្រេសម្ពាធចំហាយឆ្អែតគឺ 120,000 Pa និងនៅ 26, 124,000 Pa ។ បន្ទាប់មកនៅសីតុណ្ហភាព 23 ដឺក្រេ 121000 Pa ។

Interpolation (កូអរដោនេ)

មានក្រឡាចត្រង្គកូអរដោនេនៅលើផែនទី (រូបភាព)។
វាមានចំណុចត្រួតពិនិត្យល្បីមួយចំនួន (n>3) ដែលមានតម្លៃ x,y ពីរ - កូអរដោណេជាភីកសែល និងកូអរដោនេជាម៉ែត្រ។
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃមធ្យមនៃកូអរដោនេជាម៉ែត្រដោយដឹងពីកូអរដោនេជាភីកសែល។
ការបញ្ចូលលីនេអ៊ែរមិនសមស្របទេ - កំហុសច្រើនពេកនៅខាងក្រៅបន្ទាត់។
ដូចនេះ៖ (Xc - សំរបសំរួលជាម៉ែត្រគុណនឹង x, Xp - សំរបសំរួលជាភីកសែលដោយ x, Xc3 - តម្លៃដែលចង់បានដោយ x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរករូបមន្តដូចគ្នាសម្រាប់ការស្វែងរក Xc និង Yc ដែលផ្តល់ឱ្យមិនមែនពីរ (ដូចនៅទីនេះ) ប៉ុន្តែ N ស្គាល់ចំណុចយោង?

Joka fern ទាប

វិនិច្ឆ័យដោយរូបមន្តសរសេរ តើអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេគិតជាភីកសែល និងម៉ែត្រស្របគ្នាទេ?
នោះគឺ Xp -> Xc ត្រូវបាន interpolated ដោយឯករាជ្យ ហើយ Yp -> Yc ត្រូវបាន interpolated ដោយឯករាជ្យ។ ប្រសិនបើមិនមានទេ នោះអ្នកត្រូវប្រើការបញ្ចូលពីរវិមាត្រ Xp,Yp->Xc និង Xp,Yp->Yc ដែលធ្វើអោយកិច្ចការមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច។
លើសពីនេះទៀតវាត្រូវបានសន្មត់ថាកូអរដោនេ Xp និង Xc ត្រូវបានទាក់ទងដោយការពឹងផ្អែកមួយចំនួន។
ប្រសិនបើធម្មជាតិនៃការពឹងផ្អែកត្រូវបានគេដឹង (ឬវាត្រូវបានសន្មត់ថាជាឧទាហរណ៍យើងសន្មតថា Xc = a * Xp^2 + b * Xp + c) នោះវាអាចទទួលបានប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការពឹងផ្អែកនេះ (សម្រាប់ការផ្តល់ឱ្យ ការពឹងផ្អែក a, b, c) ដោយប្រើការវិភាគតំរែតំរង់ (វិធីសាស្រ្តយ៉ាងហោចណាស់ការេ) ។ នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះ ប្រសិនបើអ្នកបញ្ជាក់ការពឹងផ្អែកជាក់លាក់មួយ Xc(Xp) អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការពឹងផ្អែកលើទិន្នន័យយោង។ វិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតជាពិសេសដើម្បីស្វែងរកទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរដែលសមស្របបំផុតជាមួយនឹងសំណុំទិន្នន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
គុណវិបត្តិ៖ នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះ កូអរដោនេ Xc ដែលទទួលបានពីទិន្នន័យនៃចំណុចត្រួតពិនិត្យ Xp អាចខុសពីអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ប្រហាក់ប្រហែលដែលគូសតាមរយៈចំណុចពិសោធន៍មិនឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះដោយខ្លួនឯងទេ។
ប្រសិនបើការផ្គូផ្គងជាក់លាក់មួយត្រូវបានទាមទារ ហើយលក្ខណៈនៃការពឹងផ្អែកមិនត្រូវបានគេដឹងនោះ វិធីសាស្ត្រ interpolation គួរតែត្រូវបានប្រើ។ គណិតវិទ្យាដ៏សាមញ្ញបំផុតគឺ ពហុនាមការបកស្រាយ Lagrange ដែលឆ្លងកាត់យ៉ាងពិតប្រាកដតាមរយៈចំណុចយោង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយសារតែកម្រិតខ្ពស់នៃពហុនាមនេះជាមួយនឹងចំណុចត្រួតពិនិត្យមួយចំនួនធំ និងគុណភាពនៃការជ្រៀតជ្រែកមិនល្អ វាជាការប្រសើរជាងកុំប្រើវា។ អត្ថប្រយោជន៍គឺរូបមន្តសាមញ្ញ។
វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើការបញ្ចូល spline ។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថានៅក្នុងផ្នែកនីមួយៗរវាងចំណុចជិតខាងពីរ ការពឹងផ្អែកដែលកំពុងសិក្សាត្រូវបានបញ្ចូលដោយពហុធា ហើយលក្ខខណ្ឌរលោងត្រូវបានសរសេរនៅចំណុចនៃការភ្ជាប់ចន្លោះពេលពីរ។ អត្ថប្រយោជន៍នៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺគុណភាពនៃ interpolation នេះ។ គុណវិបត្តិ - វាស្ទើរតែមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការទាញយករូបមន្តទូទៅអ្នកត្រូវស្វែងរកមេគុណនៃពហុធានៅក្នុងផ្នែកនីមួយៗតាមក្បួនដោះស្រាយ។ គុណវិបត្តិមួយទៀតគឺការលំបាកក្នុងការធ្វើឱ្យទូទៅទៅជា 2D interpolation ។

Interpolation គឺជាប្រភេទនៃការប៉ាន់ស្មានដែលខ្សែកោងនៃមុខងារដែលបានសាងសង់ឆ្លងកាត់យ៉ាងពិតប្រាកដតាមរយៈចំណុចទិន្នន័យដែលមាន។

យើងក៏គួរលើកឡើងពីប្រភេទផ្សេងគ្នាទាំងស្រុងនៃការធ្វើអន្តរប៉ូលគណិតវិទ្យា ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា "ការអន្តរប៉ូលរបស់ប្រតិបត្តិករ"។ ស្នាដៃបុរាណស្តីពីការបញ្ចូលអន្តរកម្មរបស់ប្រតិបត្តិកររួមមានទ្រឹស្តីបទ Riesz-Thorin និងទ្រឹស្តីបទ Marcinkiewicz ដែលជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការងារជាច្រើនទៀត។

និយមន័យ

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃចំណុចដែលមិនស្របគ្នា () ពីតំបន់មួយចំនួន។ អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃនៃមុខងារត្រូវបានដឹងតែនៅចំណុចទាំងនេះប៉ុណ្ណោះ:

បញ្ហានៃ interpolation គឺដើម្បីស្វែងរកមុខងារបែបនេះពីថ្នាក់អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ។

ឧទាហរណ៍

ឧបមាថាយើងមានអនុគមន៍តារាងមួយ ដូចអ្វីដែលបានពិពណ៌នាខាងក្រោម ដែលសម្រាប់តម្លៃជាច្រើន កំណត់តម្លៃដែលត្រូវគ្នា៖


0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolation ជួយយើងឱ្យដឹងពីតម្លៃដែលមុខងារបែបនេះអាចមាននៅចំណុចផ្សេងក្រៅពីអ្វីដែលបានបញ្ជាក់ (ឧទាហរណ៍ នៅពេល x = 2,5).

2. ស្វែងរកតម្លៃមធ្យមមួយ (ដោយ interpolation លីនេអ៊ែរ) ។

6000	15.5
6378	?
8000	19.2