ការផ្តោតអារម្មណ៍នៃអត្ថបទនេះគឺ លោការីត. នៅទីនេះយើងនឹងផ្តល់និយមន័យនៃលោការីត បង្ហាញសញ្ញាណដែលទទួលយក ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃលោការីត និងនិយាយអំពីលោការីតធម្មជាតិ និងគោលដប់។ បន្ទាប់ពីនោះ សូមពិចារណាអំពីអត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋាន។
ការរុករកទំព័រ។
និយមន័យលោការីត
គោលគំនិតនៃលោការីតកើតឡើងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងន័យជាក់លាក់មួយបញ្ច្រាស នៅពេលដែលអ្នកត្រូវការស្វែងរកនិទស្សន្តពីតម្លៃដែលគេស្គាល់នៃដឺក្រេ និងមូលដ្ឋានដែលគេស្គាល់។
ប៉ុន្តែបុព្វកថាគ្រប់គ្រាន់ វាដល់ពេលឆ្លើយសំណួរថា «តើលោការីតជាអ្វី? ចូរយើងផ្តល់និយមន័យសមស្របមួយ។
និយមន័យ។
លោការីតនៃ b ទៅមូលដ្ឋាន aដែល a>0, a≠1 និង b>0 គឺជានិទស្សន្តដែលអ្នកត្រូវបង្កើនចំនួន a ដើម្បីទទួលបាន b ជាលទ្ធផល។
នៅដំណាក់កាលនេះ យើងកត់សំគាល់ថាពាក្យ "លោការីត" គួរតែលើកឡើងភ្លាមៗនូវសំណួរបន្ទាប់ពីរគឺ "លេខអ្វី" និង "នៅលើមូលដ្ឋានអ្វី" ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត វាមិនមានលោការីតទេ ប៉ុន្តែមានតែលោការីតនៃចំនួនក្នុងគោលខ្លះប៉ុណ្ណោះ។
យើងនឹងណែនាំភ្លាមៗ សញ្ញាណលោការីត៖ លោការីតនៃលេខ b ដល់គោល a ជាធម្មតាត្រូវបានគេបង្ហាញថាជា log a b ។ លោការីតនៃលេខ b ដល់គោល e និងលោការីតដល់គោល 10 មានការរចនាពិសេសរៀងៗខ្លួន lnb និង lgb រៀងៗខ្លួន ពោលគឺពួកគេសរសេរមិនមែនជាកំណត់ហេតុ e b ប៉ុន្តែ lnb និងមិនមែន log 10 b ប៉ុន្តែ lgb ។
ឥឡូវនេះអ្នកអាចនាំយក: .
និងកំណត់ត្រា 
មិនសមហេតុសមផលទេព្រោះដំបូងគេមានលេខអវិជ្ជមាននៅក្រោមសញ្ញាលោការីតហើយទីពីរ - លេខអវិជ្ជមាននៅក្នុងមូលដ្ឋាននិងទីបី - ទាំងលេខអវិជ្ជមាននៅក្រោមសញ្ញាលោការីតនិង ឯកតានៅក្នុងមូលដ្ឋាន។
ឥឡូវនេះសូមនិយាយអំពី ច្បាប់សម្រាប់អានលោការីត. កំណត់ហេតុធាតុ a b ត្រូវបានអានជា "លោការីតនៃ b ទៅមូលដ្ឋាន a" ។ ឧទាហរណ៍ log 2 3 គឺជាលោការីតពីបីដល់គោល 2 ហើយជាលោការីតនៃចំនួនគត់ពីរគោលពីរភាគបីនៃឫសការ៉េនៃប្រាំ។ លោការីតទៅមូលដ្ឋានអ៊ីត្រូវបានគេហៅថា លោការីតធម្មជាតិហើយសញ្ញាណ lnb ត្រូវបានអានថាជា "លោការីតធម្មជាតិនៃ ខ"។ ឧទាហរណ៍ ln7 គឺជាលោការីតធម្មជាតិនៃប្រាំពីរ ហើយយើងនឹងអានវាជាលោការីតធម្មជាតិនៃ pi ។ លោការីតដល់គោល ១០ ក៏មានឈ្មោះពិសេសដែរ - លោការីតទសភាគហើយសញ្ញាណ lgb ត្រូវបានអានជា "លោការីតទសភាគ ខ"។ ឧទាហរណ៍ lg1 គឺជាលោការីតទសភាគនៃមួយ ហើយ lg2.75 គឺជាលោការីតទសភាគនៃពីរចំនុចចិតសិបប្រាំរយ។
វាមានតម្លៃស្នាក់នៅដាច់ដោយឡែកពីគ្នាលើលក្ខខណ្ឌ a>0, a≠1 និង b>0 ដែលនិយមន័យនៃលោការីតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពន្យល់ពីកន្លែងដែលការរឹតបន្តឹងទាំងនេះមកពី។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងនឹងត្រូវបានជួយដោយសមភាពនៃទម្រង់ដែលគេហៅថា ដែលតាមពីក្រោយដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យលោការីតដែលបានផ្ដល់ឱ្យខាងលើ។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ a≠1 ។ ដោយសារមួយស្មើនឹងមួយទៅថាមពលណាមួយ នោះសមភាពអាចជាការពិតសម្រាប់ b=1 ប៉ុន្តែកំណត់ហេតុ 1 1 អាចជាចំនួនពិតណាមួយ។ ដើម្បីជៀសវាងភាពមិនច្បាស់លាស់នេះ a≠1 ត្រូវបានទទួលយក។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីភាពយឺតយ៉ាវនៃលក្ខខណ្ឌ a> 0 ។ ជាមួយនឹង a=0 តាមនិយមន័យលោការីត យើងនឹងមានភាពស្មើគ្នា ដែលអាចធ្វើទៅបានតែជាមួយ b=0 ប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក log 0 0 អាចជាចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ ព្រោះថាសូន្យទៅថាមពលដែលមិនមែនជាសូន្យគឺសូន្យ។ ភាពមិនច្បាស់លាស់នេះអាចត្រូវបានជៀសវាងដោយលក្ខខណ្ឌ a≠0 ។ ហើយសម្រាប់ ក<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
ជាចុងក្រោយ លក្ខខណ្ឌ b>0 ធ្វើតាមវិសមភាព a>0 ចាប់តាំងពី ហើយតម្លៃនៃដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានវិជ្ជមាន a គឺតែងតែវិជ្ជមាន។
នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃកថាខណ្ឌនេះ យើងនិយាយថា និយមន័យដែលបញ្ចេញសំឡេងនៃលោការីត អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកចង្អុលបង្ហាញភ្លាមៗនូវតម្លៃរបស់លោការីត នៅពេលដែលលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺជាកម្រិតជាក់លាក់នៃមូលដ្ឋាន។ ជាការពិតណាស់ និយមន័យនៃលោការីតអនុញ្ញាតឱ្យយើងអះអាងថា ប្រសិនបើ b=a p នោះលោការីតនៃចំនួន b ទៅគោល a គឺស្មើនឹង p ។ នោះគឺសមភាព log a p = p គឺពិត។ ឧទាហរណ៍ យើងដឹងថា 2 3 = 8 បន្ទាប់មក កំណត់ 2 8 = 3 ។ យើងនឹងនិយាយបន្ថែមទៀតអំពីរឿងនេះនៅក្នុងអត្ថបទ។
ជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍន៍សង្គម ភាពស្មុគ្រស្មាញនៃការផលិត គណិតវិទ្យាក៏បានអភិវឌ្ឍផងដែរ។ ចលនាពីសាមញ្ញទៅស្មុគស្មាញ។ ពីវិធីសាស្រ្តគណនេយ្យធម្មតានៃការបូក និងដក ជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗ ពួកគេបានមកដល់គោលគំនិតនៃគុណ និងចែក។ ការកាត់បន្ថយនៃប្រតិបត្តិការម្តងហើយម្តងទៀតបានក្លាយទៅជាគំនិតនៃនិទស្សន្ត។ តារាងទីមួយនៃការពឹងផ្អែកនៃលេខនៅលើមូលដ្ឋាន និងចំនួននៃនិទស្សន្តត្រូវបានចងក្រងឡើងវិញនៅក្នុងសតវត្សទី 8 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា Varasena ។ ពីពួកគេ អ្នកអាចរាប់ពេលវេលានៃការកើតឡើងនៃលោការីត។
គ្រោងប្រវត្តិសាស្ត្រ
ការរស់ឡើងវិញនៃទ្វីបអឺរ៉ុបក្នុងសតវត្សទី 16 ក៏ជំរុញឱ្យមានការអភិវឌ្ឍន៍ផ្នែកមេកានិចផងដែរ។ ធ តម្រូវឱ្យមានចំនួនដ៏ច្រើននៃការគណនាទាក់ទងនឹងការគុណនិងចែកលេខច្រើនខ្ទង់។ តុបុរាណបានបម្រើយ៉ាងអស្ចារ្យ។ ពួកគេបានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជំនួសប្រតិបត្តិការស្មុគ្រស្មាញជាមួយនឹងអ្វីដែលសាមញ្ញជាង - ការបូកនិងដក។ ជំហានដ៏ធំមួយឆ្ពោះទៅមុខគឺជាស្នាដៃរបស់គណិតវិទូ Michael Stiefel ដែលបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1544 ដែលគាត់បានដឹងពីគំនិតរបស់គណិតវិទូជាច្រើន។ នេះធ្វើឱ្យវាអាចប្រើតារាងមិនត្រឹមតែសម្រាប់ដឺក្រេក្នុងទម្រង់ជាលេខបឋមប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងសម្រាប់សនិទានភាពតាមអំពើចិត្តផងដែរ។
នៅឆ្នាំ 1614 ជនជាតិស្កុតឡេនលោក John Napier បានបង្កើតគំនិតទាំងនេះជាលើកដំបូងបានណែនាំពាក្យថ្មី "លោការីតនៃចំនួនមួយ" ។ តារាងស្មុគស្មាញថ្មីត្រូវបានចងក្រងសម្រាប់គណនាលោការីតនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ក៏ដូចជាតង់ហ្សង់។ នេះបានកាត់បន្ថយការងាររបស់តារាវិទូយ៉ាងខ្លាំង។
តារាងថ្មីបានចាប់ផ្តើមលេចឡើងដែលត្រូវបានប្រើដោយជោគជ័យដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអស់រយៈពេលបីសតវត្សមកហើយ។ ពេលវេលាជាច្រើនបានកន្លងផុតទៅ មុនពេលប្រតិបត្តិការថ្មីនៅក្នុងពិជគណិតបានទទួលទម្រង់ដែលបានបញ្ចប់របស់វា។ លោការីតត្រូវបានកំណត់ ហើយលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាត្រូវបានសិក្សា។
មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 20 ជាមួយនឹងការមកដល់នៃម៉ាស៊ីនគិតលេខនិងកុំព្យូទ័រមនុស្សជាតិបានបោះបង់ចោលតារាងបុរាណដែលបានដំណើរការដោយជោគជ័យពេញមួយសតវត្សទី 13 ។
សព្វថ្ងៃនេះយើងហៅលោការីតនៃ b ដើម្បីដាក់មូលដ្ឋាន a លេខ x ដែលជាអំណាចនៃ a ដើម្បីទទួលបានលេខ b ។ នេះត្រូវបានសរសេរជារូបមន្ត៖ x = log a(b) ។
ឧទាហរណ៍ កំណត់ហេតុ 3(9) នឹងស្មើនឹង 2។ វាច្បាស់ណាស់ប្រសិនបើអ្នកធ្វើតាមនិយមន័យ។ ប្រសិនបើយើងបង្កើន 3 ដល់កម្លាំង 2 យើងទទួលបាន 9 ។
ដូច្នេះ និយមន័យដែលបានបង្កើតដាក់កម្រិតតែមួយ លេខ a និង b ត្រូវតែពិតប្រាកដ។
ប្រភេទនៃលោការីត
និយមន័យបុរាណត្រូវបានគេហៅថា លោការីតពិត ហើយពិតជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ a x = b ។ ជម្រើស a = 1 គឺបន្ទាត់ព្រំដែន ហើយមិនមានការចាប់អារម្មណ៍។ ចំណាំ៖ 1 ដល់ថាមពលណាមួយគឺ 1 ។
តម្លៃពិតនៃលោការីតកំណត់បានលុះត្រាតែមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ធំជាង 0 ហើយមូលដ្ឋានមិនត្រូវស្មើនឹង 1 ។
កន្លែងពិសេសក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាលេងលោការីត ដែលនឹងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះអាស្រ័យលើតម្លៃនៃមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេ៖
ច្បាប់ និងការរឹតបន្តឹង
ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺជាច្បាប់៖ លោការីតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកលោការីត។ log abp = log a(b) + log a(p)។
ជាវ៉ារ្យ៉ង់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ វានឹងជា៖ log c (b/p) \u003d log c (b) - log c (p) អនុគមន៍ quotient គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។
វាងាយស្រួលមើលពីច្បាប់ពីរមុនដែល៖ log a(b p) = p * log a(b) ។
ទ្រព្យសម្បត្តិផ្សេងទៀតរួមមាន:
មតិយោបល់។ កុំធ្វើឱ្យមានកំហុសជាទូទៅ - លោការីតនៃផលបូកមិនស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីត។
អស់ជាច្រើនសតវត្សមកហើយ ប្រតិបត្តិការស្វែងរកលោការីត គឺជាកិច្ចការដែលចំណាយពេលវេលាច្រើន។ គណិតវិទូបានប្រើរូបមន្តដ៏ល្បីនៃទ្រឹស្តីលោការីតនៃការពង្រីកទៅជាពហុនាម៖
ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n) ដែល n ជាចំនួនធម្មជាតិធំជាង 1 ដែលកំណត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនា។
លោការីតជាមួយមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតត្រូវបានគណនាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទលើការផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋានមួយទៅមូលដ្ឋានមួយទៀត និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃផលិតផល។
ចាប់តាំងពីវិធីសាស្រ្តនេះគឺ laborious ណាស់និង នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងការលំបាកក្នុងការអនុវត្ត ពួកគេបានប្រើតារាងលោការីតដែលបានចងក្រងជាមុន ដែលបង្កើនល្បឿនការងារទាំងមូល។
ក្នុងករណីខ្លះ ក្រាហ្វដែលចងក្រងជាពិសេសនៃលោការីតត្រូវបានប្រើ ដែលផ្តល់ភាពត្រឹមត្រូវតិច ប៉ុន្តែបានបង្កើនល្បឿនយ៉ាងខ្លាំងក្នុងការស្វែងរកតម្លៃដែលចង់បាន។ ខ្សែកោងនៃអនុគមន៍ y = log a(x) ដែលបង្កើតឡើងនៅលើចំណុចជាច្រើន អនុញ្ញាតឱ្យប្រើបន្ទាត់ធម្មតាដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចផ្សេងទៀត។ អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយវិស្វករបានប្រើអ្វីដែលគេហៅថាក្រដាសក្រាហ្វសម្រាប់គោលបំណងទាំងនេះ។
នៅសតវត្សទី 17 លក្ខខណ្ឌគណនាអាណាឡូកជំនួយដំបូងបានលេចឡើងដែលនៅសតវត្សទី 19 បានទទួលទម្រង់បញ្ចប់។ ឧបករណ៍ដែលទទួលបានជោគជ័យបំផុតត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់ស្លាយ។ ថ្វីបើមានភាពសាមញ្ញនៃឧបករណ៍ក៏ដោយ រូបរាងរបស់វាបានបង្កើនល្បឿនដំណើរការនៃការគណនាវិស្វកម្មទាំងអស់យ៉ាងខ្លាំង ហើយនេះជាការពិបាកក្នុងការប៉ាន់ស្មានលើស។ បច្ចុប្បន្ននេះមានមនុស្សតិចណាស់ដែលស្គាល់ឧបករណ៍នេះ។
ការមកដល់នៃម៉ាស៊ីនគិតលេខ និងកុំព្យូទ័របានធ្វើឱ្យវាគ្មានប្រយោជន៍ក្នុងការប្រើប្រាស់ឧបករណ៍ផ្សេងទៀតណាមួយឡើយ។
សមីការ និងវិសមភាព
រូបមន្តខាងក្រោមត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពផ្សេងៗដោយប្រើលោការីត៖
- ការផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋានមួយទៅមូលដ្ឋានមួយទៀត៖ log a(b) = log c(b) / log c(a);
- ជាលទ្ធផលនៃកំណែមុន៖ log a(b) = 1 / log b(a) ។
ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹង៖
- តម្លៃនៃលោការីតនឹងមានភាពវិជ្ជមាន ប្រសិនបើទាំងមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ទាំងពីរធំជាង ឬតិចជាងមួយ; ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយត្រូវបានបំពាន តម្លៃនៃលោការីតនឹងអវិជ្ជមាន។
- ប្រសិនបើអនុគមន៍លោការីតត្រូវបានអនុវត្តទៅផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព ហើយមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺធំជាងមួយ នោះសញ្ញានៃវិសមភាពត្រូវបានរក្សាទុក។ បើមិនដូច្នោះទេវាផ្លាស់ប្តូរ។
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ
ពិចារណាជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការប្រើប្រាស់លោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការ៖
ពិចារណាជម្រើសនៃការដាក់លោការីតក្នុងកម្រិត:
- កិច្ចការទី 3. គណនា 25^log 5(3)។ ដំណោះស្រាយ៖ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា ការសម្គាល់គឺស្រដៀងនឹងខាងក្រោម (5^2)^log5(3) ឬ 5^(2 * log 5(3))។ តោះសរសេរវាខុសគ្នា៖ 5^log 5(3*2) ឬការ៉េនៃលេខដែលជាអាគុយម៉ង់មុខងារអាចត្រូវបានសរសេរជាការ៉េនៃអនុគមន៍ខ្លួនវា (5^log 5(3))^2។ ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិលោការីត កន្សោមនេះគឺ 3^2 ។ ចម្លើយ៖ ជាលទ្ធផលនៃការគណនាយើងទទួលបាន ៩ ។
ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង
ក្នុងនាមជាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធ វាហាក់បីដូចជានៅឆ្ងាយពីជីវិតពិត ដែលលោការីតភ្លាមៗបានក្លាយជាសារៈសំខាន់ដ៏អស្ចារ្យក្នុងការពិពណ៌នាអំពីវត្ថុនៅក្នុងពិភពពិត។ វាពិបាកក្នុងការស្វែងរកវិទ្យាសាស្ត្រដែលវាមិនត្រូវបានប្រើ។ នេះអនុវត្តយ៉ាងពេញលេញមិនត្រឹមតែចំពោះធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងចំពោះវិស័យចំណេះដឹងរបស់មនុស្សផងដែរ។
ភាពអាស្រ័យលោការីត
នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃភាពអាស្រ័យលេខ៖
មេកានិច និងរូបវិទ្យា
តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ មេកានិក និងរូបវិទ្យាតែងតែបង្កើតដោយប្រើវិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា ហើយក្នុងពេលតែមួយបានបម្រើជាការលើកទឹកចិត្តសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យា រួមទាំងលោការីត។ ទ្រឹស្តីនៃច្បាប់រូបវិទ្យាភាគច្រើនត្រូវបានសរសេរជាភាសាគណិតវិទ្យា។ យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍តែពីរនៃការពិពណ៌នាអំពីច្បាប់រូបវន្តដោយប្រើលោការីត។
វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃការគណនាបរិមាណស្មុគស្មាញដូចជាល្បឿននៃគ្រាប់រ៉ុក្កែតដោយប្រើរូបមន្ត Tsiolkovsky ដែលបានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃការរុករកអវកាស:
V = I * ln(M1/M2), កន្លែងណា
- V គឺជាល្បឿនចុងក្រោយរបស់យន្តហោះ។
- ខ្ញុំគឺជាកម្លាំងជំរុញជាក់លាក់នៃម៉ាស៊ីន។
- M 1 គឺជាម៉ាស់ដំបូងនៃគ្រាប់រ៉ុក្កែត។
- M 2 - ម៉ាស់ចុងក្រោយ។
ឧទាហរណ៍សំខាន់មួយទៀត- នេះគឺជាការប្រើប្រាស់រូបមន្តរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យម្នាក់ទៀតគឺ Max Planck ដែលបម្រើដើម្បីវាយតម្លៃស្ថានភាពលំនឹងនៅក្នុងទែរម៉ូឌីណាមិក។
S = k * ln (Ω), ដែលជាកន្លែងដែល
- S គឺជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃទែរម៉ូឌីណាមិក។
- k គឺជាថេរ Boltzmann ។
- Ω គឺជាទម្ងន់ស្ថិតិនៃរដ្ឋផ្សេងៗគ្នា។
គីមីវិទ្យា
មិនសូវច្បាស់ទេគឺការប្រើរូបមន្តក្នុងគីមីវិទ្យាដែលមានសមាមាត្រលោការីត។ នេះគ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍ពីរប៉ុណ្ណោះ៖
- សមីការ Nernst លក្ខខណ្ឌនៃសក្ដានុពល redox នៃមធ្យម ទាក់ទងនឹងសកម្មភាពនៃសារធាតុ និងលំនឹងថេរ។
- ការគណនានៃថេរដូចជាសន្ទស្សន៍ autoprolysis និងអាស៊ីតនៃដំណោះស្រាយក៏មិនពេញលេញដែរបើគ្មានមុខងាររបស់យើង។
ចិត្តវិទ្យា និងជីវវិទ្យា
ហើយវាមិនអាចយល់បានទាំងស្រុងនូវអ្វីដែលចិត្តវិទ្យាទាក់ទងនឹងវា។ វាប្រែថាភាពខ្លាំងនៃអារម្មណ៍ត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងល្អដោយមុខងារនេះថាជាសមាមាត្របញ្ច្រាសនៃតម្លៃអាំងតង់ស៊ីតេនៃការរំញោចទៅនឹងតម្លៃអាំងតង់ស៊ីតេទាប។
បន្ទាប់ពីឧទាហរណ៍ខាងលើ វាលែងមានការភ្ញាក់ផ្អើលទៀតហើយដែលប្រធានបទលោការីតក៏ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងជីវវិទ្យា។ បរិមាណទាំងមូលអាចត្រូវបានសរសេរអំពីទម្រង់ជីវសាស្រ្តដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងវង់លោការីត។
តំបន់ផ្សេងទៀត។
វាហាក់ដូចជាថាអត្ថិភាពនៃពិភពលោកគឺមិនអាចទៅរួចទេបើគ្មានទំនាក់ទំនងជាមួយមុខងារនេះ ហើយវាគ្រប់គ្រងច្បាប់ទាំងអស់។ ជាពិសេសនៅពេលដែលច្បាប់នៃធម្មជាតិត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ វាមានតម្លៃយោងទៅគេហទំព័រ MatProfi ហើយមានឧទាហរណ៍ជាច្រើននៅក្នុងផ្នែកនៃសកម្មភាពខាងក្រោម៖
បញ្ជីអាចគ្មានទីបញ្ចប់។ ដោយបានស្ទាត់ជំនាញច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃមុខងារនេះ អ្នកអាចចូលទៅក្នុងពិភពនៃប្រាជ្ញាគ្មានកំណត់។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតនៃការរួបរួម. រូបមន្តរបស់វាមានដូចខាងក្រោម៖ លោការីតនៃការរួបរួមគឺស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺ កំណត់ហេតុ a 1=0សម្រាប់ a>0, a≠1 ណាមួយ។ ភ័ស្តុតាងគឺត្រង់៖ ចាប់តាំងពី 0 = 1 សម្រាប់ a ណាមួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌខាងលើ a> 0 និង a≠1 បន្ទាប់មកកំណត់ហេតុសមភាពដែលបានបញ្ជាក់ a 1 = 0 ភ្លាមៗពីនិយមន័យនៃលោការីត។
ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តនៃទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណា៖ log 3 1=0, lg1=0 និង .
តោះបន្តទៅអចលនទ្រព្យបន្ទាប់៖ លោការីតនៃចំនួនដែលស្មើនឹងគោលគឺស្មើនឹងមួយ។, ឧ. កំណត់ហេតុ a=1សម្រាប់ a> 0, a≠1 ។ ជាការពិតណាស់ចាប់តាំងពី 1 = a សម្រាប់ a ណាមួយ បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យនៃលោការីត កត់ត្រា a = 1 ។
ឧទាហរណ៍នៃការប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃលោការីតនេះគឺ log 5 5=1, log 5.6 5.6 និង lne=1 ។
ឧទាហរណ៍ log 2 2 7 = 7 , log10 -4 = -4 និង 
.
លោការីតនៃផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ x និង y គឺស្មើនឹងផលគុណនៃលោការីតនៃលេខទាំងនេះ៖ log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិរបស់លោការីតនៃផលិតផល។ ដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ a log a x+log a y = a log a x a log a yហើយចាប់តាំងពីដោយអត្តសញ្ញាណលោការីតមេ កំណត់ហេតុ a x = x និងកំណត់ហេតុមួយ y = y បន្ទាប់មកកំណត់ហេតុ a x កំណត់ហេតុមួយ y = x y ។ ដូច្នេះ log a x+log a y =x y នោះសមភាពដែលត្រូវការតាមនិយមន័យនៃលោការីត។
ចូរបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតរបស់ផលិតផល៖ log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 និង 
.
លក្ខណសម្បត្តិលោការីតផលិតផលអាចត្រូវបានធ្វើជាទូទៅទៅជាផលិតផលនៃចំនួនកំណត់ n នៃចំនួនវិជ្ជមាន x 1 , x 2 , …, x n ជា log a(x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . សមភាពនេះត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួល។
ឧទាហរណ៍ លោការីតធម្មជាតិនៃផលិតផលអាចត្រូវបានជំនួសដោយផលបូកនៃលោការីតធម្មជាតិចំនួនបីនៃលេខ 4 , អ៊ី , និង .
លោការីតនៃកូតានៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ x និង y គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងលោការីតនៃលេខទាំងនេះ។ លក្ខណៈនៃលោការីតសម្រង់ត្រូវនឹងរូបមន្តនៃទម្រង់ ដែល a> 0, a≠1, x និង y ជាចំនួនវិជ្ជមានមួយចំនួន។ សុពលភាពនៃរូបមន្តនេះត្រូវបានបង្ហាញដូចរូបមន្តសម្រាប់លោការីតនៃផលិតផល៖ តាំងពី 
បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យលោការីត។
នេះជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនេះ៖ 
.
តោះបន្តទៅ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃដឺក្រេ. លោការីតនៃដឺក្រេគឺស្មើនឹងផលគុណនៃនិទស្សន្ត និងលោការីតនៃម៉ូឌុលនៃគោលនៃដឺក្រេនេះ។ យើងសរសេរទ្រព្យសម្បត្តិនេះនៃលោការីតនៃដឺក្រេក្នុងទម្រង់ជារូបមន្ត៖ log a b p =p log a |b|ដែល a> 0 , a≠1 , b និង p គឺជាលេខដែលកម្រិតនៃ b p មានន័យ និង b p > 0 ។
ដំបូងយើងបង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិនេះសម្រាប់វិជ្ជមាន ខ. អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋានអនុញ្ញាតឱ្យយើងតំណាងឱ្យលេខ b ជាកំណត់ហេតុ a b បន្ទាប់មក b p =(a log a b) p ហើយកន្សោមលទ្ធផលដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិអំណាចគឺស្មើនឹង p log a b ។ ដូច្នេះយើងមកដល់សមភាព b p = a p log a b ដែលតាមនិយមន័យលោការីត យើងសន្និដ្ឋានថា log a b p = p log a b ។
វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះសម្រាប់អវិជ្ជមាន ខ . នៅទីនេះយើងកត់សម្គាល់ថាកន្សោម a b p សម្រាប់អវិជ្ជមាន b មានន័យសម្រាប់តែនិទស្សន្ត p ប៉ុណ្ណោះ (ចាប់តាំងពីតម្លៃនៃដឺក្រេ b p ត្រូវតែធំជាងសូន្យ បើមិនដូច្នេះទេលោការីតនឹងមិនសមហេតុផលទេ) ហើយក្នុងករណីនេះ b p =|b| ទំ។ បន្ទាប់មក b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, whence log a b p =p log a |b| .
ឧទាហរណ៍, 
និង ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 ។
វាធ្វើតាមពីទ្រព្យសម្បត្តិមុន។ ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតពីឫស៖ លោការីតនៃឫសនៃសញ្ញាបត្រទី n គឺស្មើនឹងផលគុណនៃប្រភាគ 1/n និងលោការីតនៃកន្សោមឫស ពោលគឺ 
ដែល a>0 , a≠1 , n គឺជាចំនួនធម្មជាតិធំជាងមួយ, b>0 ។
ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើសមភាព (សូមមើល) ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ b វិជ្ជមានណាមួយ និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃដឺក្រេ៖ 
.
នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះ៖ 
.
ឥឡូវនេះសូមបញ្ជាក់ រូបមន្តបំប្លែងទៅជាគោលថ្មីនៃលោការីតប្រភេទ 
. ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសមភាព log c b=log a b log c a ។ អត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋានអនុញ្ញាតឱ្យយើងតំណាងឱ្យលេខ b ជាកំណត់ហេតុ a b បន្ទាប់មកកត់ត្រា c b = កំណត់ហេតុ c កំណត់ហេតុ a b ។ វានៅសល់ដើម្បីប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃដឺក្រេ: log c a log a b = log a b log c a. ដូច្នេះ កំណត់ហេតុសមភាព c b=log a b log c a ត្រូវបានបង្ហាញ ដែលមានន័យថារូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីតក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរ។
ចូរបង្ហាញឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនេះ៖ និង 
.
រូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មីអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបន្តទៅធ្វើការជាមួយលោការីតដែលមានមូលដ្ឋាន "ងាយស្រួល" ។ ឧទាហរណ៍ វាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីទៅលោការីតធម្មជាតិ ឬគោលដប់ ដូច្នេះអ្នកអាចគណនាតម្លៃលោការីតពីតារាងលោការីត។ រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីតក៏អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងករណីខ្លះដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលដែលតម្លៃនៃលោការីតមួយចំនួនជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតត្រូវបានគេដឹង។
ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីតសម្រាប់ c=b នៃទម្រង់ 
. នេះបង្ហាញថា log a b និង log b a – . ឧទាហរណ៍, 
.
ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើផងដែរគឺរូបមន្ត 
ដែលមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃលោការីត។ ដើម្បីបញ្ជាក់ពាក្យរបស់យើង យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលតម្លៃនៃលោការីតនៃទម្រង់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើវា។ យើងមាន 
. ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្ត 
វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីត a: 
.
វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិប្រៀបធៀបនៃលោការីត។
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ b 1 និង b 2 , b 1 កំណត់ហេតុ a b 2 និងសម្រាប់ a> 1 វិសមភាពកំណត់ហេតុ a b 1 ជាចុងក្រោយ វានៅតែជាការបញ្ជាក់ចុងក្រោយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយបញ្ជីនៃលោការីត។ យើងបង្ខាំងខ្លួនយើងក្នុងការបញ្ជាក់ផ្នែកទីមួយរបស់វា ពោលគឺយើងបង្ហាញថា ប្រសិនបើ 1 > 1 , 2 > 1 និង 1 1 គឺជាកំណត់ហេតុពិត a 1 b>log a 2 b ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលនៅសល់នៃទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយគោលការណ៍ស្រដៀងគ្នា។ ចូរយើងប្រើវិធីផ្ទុយ។ ឧបមាថាសម្រាប់ 1 > 1 , 2 > 1 និង 1 1 log a 1 b≤log a 2 b គឺពិត។ ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត វិសមភាពទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា 
និង 
រៀងគ្នា ហើយពីពួកវា វាធ្វើតាមថា log b a 1 ≤log b a 2 និង log b a 1 ≥log b a 2 រៀងគ្នា។ បន្ទាប់មកដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា សមភាព b log b a 1 ≥b log b a 2 និង b log b a 1 ≥b log b a 2 ត្រូវតែពេញចិត្ត នោះគឺ a 1 ≥a 2 ។ ដូច្នេះហើយ យើងបានមកដល់ចំណុចផ្ទុយទៅនឹងលក្ខខណ្ឌ ក១
គន្ថនិទ្ទេស។
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. និងផ្សេងៗទៀត។ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 នៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ។
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យចូលសាលាបច្ចេកទេស)។
មានទំនាក់ទំនងជាមួយ
ភារកិច្ចនៃការស្វែងរកលេខណាមួយនៃចំនួនបីពីពីរផ្សេងទៀតដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានកំណត់។ ដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ហើយបន្ទាប់មក N ត្រូវបានរកឃើញដោយនិទស្សន្ត។ ប្រសិនបើ N ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយបន្ទាប់មក a ត្រូវបានរកឃើញដោយការស្រង់ឫសនៃថាមពល x (ឬនិទស្សន្ត) ។ ឥឡូវពិចារណាករណីនៅពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ a និង N វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរក x ។
ឲ្យលេខ N វិជ្ជមាន៖ លេខ a គឺវិជ្ជមាន ហើយមិនស្មើនឹងមួយ៖ .
និយមន័យ។ លោការីតនៃលេខ N ទៅមូលដ្ឋាន a គឺជានិទស្សន្តដែលអ្នកត្រូវលើក a ដើម្បីទទួលបានលេខ N ។ លោការីតត្រូវបានតំណាងដោយ
ដូច្នេះនៅក្នុងសមភាព (26.1) និទស្សន្តត្រូវបានរកឃើញជាលោការីតនៃ N ទៅមូលដ្ឋាន a ។ ធាតុ
មានអត្ថន័យដូចគ្នា។ សមភាព (26.1) ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីលោការីត។ តាមពិតទៅ វាបង្ហាញពីនិយមន័យនៃគោលគំនិតលោការីត។ តាមនិយមន័យនេះ មូលដ្ឋាននៃលោការីត a គឺតែងតែវិជ្ជមាន និងខុសពីការរួបរួម។ លេខលោការីត N គឺវិជ្ជមាន។ លេខអវិជ្ជមាន និងសូន្យមិនមានលោការីតទេ។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាលេខណាមួយដែលមានមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យមានលោការីតដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អ។ ដូច្នេះសមភាពត្រូវបានបញ្ចូល។ ចំណាំថាលក្ខខណ្ឌគឺចាំបាច់នៅទីនេះ បើមិនដូច្នេះទេការសន្និដ្ឋាននឹងមិនត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតទេព្រោះសមភាពគឺពិតសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x និង y ។
ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរក
ការសម្រេចចិត្ត។ ដើម្បីទទួលបានលេខ អ្នកត្រូវលើកមូលដ្ឋានទី 2 ឡើងទៅកាន់អំណាច ដូច្នេះ។
អ្នកអាចកត់ត្រានៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍បែបនេះក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរក។
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងមាន
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 និងទី 2 យើងបានរកឃើញលោការីតដែលចង់បានយ៉ាងងាយស្រួលដោយតំណាងឱ្យលេខលោការីតជាដឺក្រេនៃមូលដ្ឋានជាមួយនឹងនិទស្សន្តសមហេតុផល។ ក្នុងករណីទូទៅ ជាឧទាហរណ៍ ល វាមិនអាចធ្វើបានទេ ព្រោះលោការីតមានតម្លៃមិនសមហេតុផល។ ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះសំណួរមួយដែលទាក់ទងនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ។ នៅក្នុង§ 12 យើងបានផ្តល់នូវគំនិតនៃលទ្ធភាពនៃការកំណត់អំណាចពិតប្រាកដណាមួយនៃចំនួនវិជ្ជមានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នេះគឺចាំបាច់សម្រាប់ការណែនាំលោការីត ដែលជាទូទៅអាចជាលេខមិនសមហេតុផល។
ពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃលោការីត។
Property 1. ប្រសិនបើចំនួន និងគោលស្មើគ្នា នោះលោការីតស្មើនឹងមួយ ហើយផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើលោការីតស្មើនឹងមួយ នោះលេខ និងគោលគឺស្មើគ្នា។
ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យតាមនិយមន័យលោការីត យើងមាន និងមកពីណា
ផ្ទុយទៅវិញអនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ
ទ្រព្យសម្បត្តិ 2. លោការីតនៃការរួបរួមទៅនឹងមូលដ្ឋានណាមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ។
ភស្តុតាង។ តាមនិយមន័យនៃលោការីត (ថាមពលសូន្យនៃមូលដ្ឋានវិជ្ជមានណាមួយគឺស្មើនឹងមួយ សូមមើល (10.1)) ។ ពីទីនេះ
Q.E.D.
សេចក្តីថ្លែងការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក N = 1. ជាការពិត យើងមាន .
មុននឹងបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតខាងក្រោម អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ស្របថា លេខពីរ a និង b ស្ថិតនៅខាងដូចគ្នានៃលេខទីបី c ប្រសិនបើពួកវាទាំងពីរធំជាង c ឬតិចជាង c ។ ប្រសិនបើលេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះធំជាង c និងមួយទៀតតិចជាង c នោះយើងនឹងនិយាយថាពួកវាស្ថិតនៅទល់មុខគ។
ទ្រព្យសម្បត្តិ 3. ប្រសិនបើចំនួន និងមូលដ្ឋានស្ថិតនៅលើផ្នែកតែមួយនៃការរួបរួម នោះលោការីតគឺវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើចំនួន និងមូលដ្ឋានស្ថិតនៅលើជ្រុងម្ខាងនៃឯកភាព នោះលោការីតគឺអវិជ្ជមាន។
ភ័ស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ 3 គឺផ្អែកលើការពិតដែលថាដឺក្រេនៃ a ធំជាងមួយ ប្រសិនបើមូលដ្ឋានធំជាងមួយ ហើយនិទស្សន្តគឺវិជ្ជមាន ឬមូលដ្ឋានគឺតិចជាងមួយ ហើយនិទស្សន្តគឺអវិជ្ជមាន។ ដឺក្រេគឺតិចជាងមួយ ប្រសិនបើមូលដ្ឋានធំជាងមួយ ហើយនិទស្សន្តគឺអវិជ្ជមាន ឬមូលដ្ឋានគឺតិចជាងមួយ ហើយនិទស្សន្តគឺវិជ្ជមាន។
មានករណីចំនួនបួនដែលត្រូវពិចារណា៖
យើងបង្ខាំងខ្លួនយើងទៅនឹងការវិភាគដំបូងនៃពួកគេអ្នកអាននឹងពិចារណាអ្វីដែលនៅសល់ដោយខ្លួនឯង។
អនុញ្ញាតឱ្យនិទស្សន្តក្នុងសមភាពមិនអវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះវាជាវិជ្ជមាន ពោលគឺ ដែលត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់។
ឧទាហរណ៍ 3. ស្វែងយល់ថាតើលោការីតខាងក្រោមមួយណាជាវិជ្ជមាន និងមួយណាជាអវិជ្ជមាន៖
ដំណោះស្រាយ ក) ចាប់តាំងពីលេខ 15 និងមូលដ្ឋាន 12 មានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃអង្គភាព។
ខ) ចាប់តាំងពី 1000 និង 2 មានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃអង្គភាព។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ វាមិនសំខាន់ទេដែលមូលដ្ឋានធំជាងលេខលោការីត។
គ) ចាប់តាំងពី 3.1 និង 0.8 ស្ថិតនៅលើភាគីផ្ទុយគ្នានៃការរួបរួម។
ជី); ហេតុអ្វី?
អ៊ី) ; ហេតុអ្វី?
លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោម ៤-៦ ត្រូវបានគេហៅថាជាក្បួនលោការីត៖ ពួកគេអនុញ្ញាត ដោយដឹងពីលោការីតនៃលេខមួយចំនួន ដើម្បីស្វែងរកលោការីតនៃផលិតផល គុណតម្លៃ កម្រិតនៃពួកវានីមួយៗ។
ទ្រព្យសម្បត្តិ 4 (ច្បាប់សម្រាប់លោការីតនៃផលិតផល) ។ លោការីតនៃផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានជាច្រើននៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីតនៃលេខទាំងនេះនៅក្នុងមូលដ្ឋានតែមួយ។
ភស្តុតាង។ សូមឱ្យលេខវិជ្ជមានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។
សម្រាប់លោការីតនៃផលិតផលរបស់ពួកគេ យើងសរសេរសមភាព (26.1) ដែលកំណត់លោការីត៖
ពីទីនេះយើងរកឃើញ
ការប្រៀបធៀបនិទស្សន្តនៃកន្សោមទីមួយ និងចុងក្រោយ យើងទទួលបានសមភាពដែលត្រូវការ៖
ចំណាំថាលក្ខខណ្ឌគឺចាំបាច់; លោការីតនៃផលគុណនៃលេខអវិជ្ជមានពីរមានន័យ ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីនេះយើងទទួលបាន។
ជាទូទៅ ប្រសិនបើផលិតផលនៃកត្តាជាច្រើនមានភាពវិជ្ជមាន នោះលោការីតរបស់វាគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីតនៃម៉ូឌុលនៃកត្តាទាំងនេះ។
ទ្រព្យសម្បត្តិ 5 (ច្បាប់លោការីតចំរុះ) ។ លោការីតនៃកូតានៃចំនួនវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងលោការីតនៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក ដែលយកក្នុងមូលដ្ឋានតែមួយ។ ភស្តុតាង។ ស្វែងរកជាប់លាប់
Q.E.D.
ទ្រព្យ ៦ (ក្បួនលោការីតនៃដឺក្រេ) ។ លោការីតនៃអំណាចនៃចំនួនវិជ្ជមានណាមួយគឺស្មើនឹងលោការីតនៃចំនួននោះដងនៃនិទស្សន្ត។
ភស្តុតាង។ យើងសរសេរម្តងទៀតនូវអត្តសញ្ញាណចម្បង (26.1) សម្រាប់លេខ៖
Q.E.D.
ផលវិបាក។ លោការីតនៃឫសនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងលោការីតនៃចំនួនឫសដែលបែងចែកដោយនិទស្សន្តនៃឫស៖
យើងអាចបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃកូរ៉ូឡារីនេះដោយការបង្ហាញពីរបៀប និងការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិ ៦.
ឧទាហរណ៍ 4. លោការីតទៅមូលដ្ឋាន a:
a) (វាត្រូវបានសន្មត់ថាតម្លៃទាំងអស់ b, c, d, e គឺវិជ្ជមាន);
ខ) (សន្មតថា) ។
ដំណោះស្រាយ ក) វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជូនក្នុងកន្សោមនេះទៅអំណាចប្រភាគ៖
ដោយផ្អែកលើសមភាព (26.5)-(26.7) ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរបាន៖
យើងកត់សំគាល់ថាប្រតិបត្តិការសាមញ្ញជាងត្រូវបានអនុវត្តលើលោការីតនៃលេខជាជាងលើលេខខ្លួនឯង៖ នៅពេលគុណលេខ លោការីតរបស់វាត្រូវបានបន្ថែម ពេលចែក ពួកគេត្រូវបានដក។ល។
នោះហើយជាមូលហេតុដែលលោការីតត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្តការគណនា (សូមមើលវគ្គទី 29)។
សកម្មភាពបញ្ច្រាសទៅលោការីតត្រូវបានគេហៅថា potentiation ពោលគឺ: potentiation គឺជាសកម្មភាពដែលលេខនេះខ្លួនឯងត្រូវបានរកឃើញដោយលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃចំនួនមួយ។ សរុបមក សក្តានុពលមិនមែនជាសកម្មភាពពិសេសណាមួយឡើយ៖ វាមកលើការបង្កើនមូលដ្ឋានទៅជាថាមពល (ស្មើនឹងលោការីតនៃចំនួន)។ ពាក្យ "សក្តានុពល" អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាមានន័យដូចនឹងពាក្យ "និទស្សន្ត" ។
នៅពេលដែលមានសក្តានុពល ចាំបាច់ត្រូវប្រើក្បួនដែលបញ្ច្រាស់ទៅនឹងច្បាប់លោការីត៖ ជំនួសផលបូកលោការីតជាមួយនឹងលោការីតនៃផលិតផល ភាពខុសគ្នានៃលោការីតជាមួយលោការីតនៃកូតាត។ល។ជាពិសេសប្រសិនបើមាន កត្តាណាមួយនៅពីមុខសញ្ញាលោការីត បន្ទាប់មកក្នុងអំឡុងពេលមានសក្តានុពល វាត្រូវតែផ្ទេរទៅដឺក្រេសូចនាករក្រោមសញ្ញាលោការីត។
ឧទាហរណ៍ 5. រក N ប្រសិនបើវាត្រូវបានគេស្គាល់
ការសម្រេចចិត្ត។ នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងច្បាប់សក្តានុពលដែលទើបតែបានចែង កត្តា 2/3 និង 1/3 ដែលនៅពីមុខសញ្ញាលោការីតនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនេះ នឹងត្រូវបានផ្ទេរទៅនិទស្សន្តនៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីតទាំងនេះ។ យើងទទួលបាន
ឥឡូវនេះយើងជំនួសភាពខុសគ្នានៃលោការីតជាមួយលោការីតនៃកូតាតៈ
ដើម្បីទទួលបានប្រភាគចុងក្រោយនៅក្នុងខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពនេះ យើងបានដោះលែងប្រភាគមុនពីភាពមិនសមហេតុផលនៅក្នុងភាគបែង (ផ្នែកទី 25)។
ទ្រព្យសម្បត្តិ 7. ប្រសិនបើមូលដ្ឋានធំជាងមួយ នោះលេខធំមានលោការីតធំជាង (ហើយលេខតូចមានលេខតូចជាង) ប្រសិនបើមូលដ្ឋានតិចជាងមួយ នោះលេខធំមានលោការីតតូចជាង (ហើយតូចជាង។ មួយមានធំជាង) ។
ទ្រព្យសម្បត្តិនេះក៏ត្រូវបានបង្កើតជាក្បួនសម្រាប់លោការីតនៃវិសមភាព ដែលផ្នែកទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន៖
នៅពេលយកលោការីតនៃវិសមភាពទៅមូលដ្ឋានធំជាងមួយ សញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានរក្សាទុក ហើយនៅពេលយកលោការីតទៅមូលដ្ឋានតិចជាងមួយ សញ្ញានៃវិសមភាពត្រូវបានបញ្ច្រាស់ (សូមមើលផងដែរ ចំណុច 80) ។
ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិ 5 និង 3 ។ ពិចារណាករណីនៅពេលដែល If , then and , take the logarithm , we get
(a និង N/M ស្ថិតនៅលើផ្នែកតែមួយនៃការរួបរួម) ។ ពីទីនេះ
ករណីខាងក្រោមនេះ អ្នកអាននឹងដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង ។
លោការីតនៃ b (b> 0) ទៅមូលដ្ឋាន a (a> 0, a ≠ 1)គឺជានិទស្សន្តដែលអ្នកត្រូវបង្កើនចំនួន a ដើម្បីទទួលបាន b ។
លោការីតគោល ១០ នៃ ខ អាចត្រូវបានសរសេរជា កំណត់ហេតុ(ខ)និងលោការីតទៅមូលដ្ឋានអ៊ី (លោការីតធម្មជាតិ) - ln(b).
ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយលោការីត៖
លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត
មានបួនសំខាន់ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត.
អនុញ្ញាតឱ្យ a > 0, a ≠ 1, x > 0 និង y > 0 ។
ទ្រព្យសម្បត្តិ 1. លោការីតនៃផលិតផល
លោការីតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីត៖
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
អចលនៈទ្រព្យ 2. លោការីតនៃចំណោត
លោការីតនៃកូតាតគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃលោការីត៖
log a (x / y) = log a x – log a y
ទ្រព្យសម្បត្តិ 3. លោការីតនៃសញ្ញាបត្រ
លោការីតដឺក្រេគឺស្មើនឹងផលគុណនៃដឺក្រេ និងលោការីត៖
ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃលោការីតស្ថិតនៅក្នុងនិទស្សន្ត នោះរូបមន្តផ្សេងទៀតត្រូវបានអនុវត្ត៖
ទ្រព្យសម្បត្តិ 4. លោការីតនៃឫស
ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចទទួលបានពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃដឺក្រេ ដោយហេតុថាឫសនៃសញ្ញាបត្រទី ស្មើនឹងអំណាចនៃ 1/n:
រូបមន្តសម្រាប់ចេញពីលោការីតក្នុងគោលមួយទៅលោការីតក្នុងគោលមួយទៀត។
រូបមន្តនេះក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ផងដែរនៅពេលដោះស្រាយកិច្ចការផ្សេងៗសម្រាប់លោការីត៖
ករណីពិសេស៖
ការប្រៀបធៀបលោការីត (វិសមភាព)
ឧបមាថាយើងមានអនុគមន៍ 2 f(x) និង g(x) នៅក្រោមលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ហើយមានសញ្ញាវិសមភាពរវាងពួកវា៖
ដើម្បីប្រៀបធៀបពួកវា ដំបូងអ្នកត្រូវមើលមូលដ្ឋាននៃលោការីត a:
- ប្រសិនបើ a > 0 នោះ f(x) > g(x) > 0
- ប្រសិនបើ 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
វិធីដោះស្រាយបញ្ហាលោការីត៖ ឧទាហរណ៍
កិច្ចការជាមួយលោការីតរួមបញ្ចូលក្នុង USE ក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 11 នៅក្នុងកិច្ចការទី 5 និងកិច្ចការទី 7 អ្នកអាចស្វែងរកភារកិច្ចជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៅលើគេហទំព័ររបស់យើងនៅក្នុងផ្នែកដែលសមស្រប។ ដូចគ្នានេះផងដែរ, ភារកិច្ចជាមួយលោការីតត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងធនាគារនៃភារកិច្ចនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ អ្នកអាចស្វែងរកឧទាហរណ៍ទាំងអស់ដោយស្វែងរកគេហទំព័រ។
តើលោការីតគឺជាអ្វី
លោការីតតែងតែត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រធានបទដ៏លំបាកមួយនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា។ មាននិយមន័យផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃលោការីត ប៉ុន្តែសម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួន សៀវភៅសិក្សាភាគច្រើនប្រើភាពស្មុគស្មាញបំផុត និងជាអកុសលរបស់ពួកគេ។
យើងនឹងកំណត់លោការីតយ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។ តោះបង្កើតតារាងសម្រាប់រឿងនេះ៖
ដូច្នេះ យើងមានអំណាចពីរ។
លោការីត - លក្ខណៈសម្បត្តិ, រូបមន្ត, របៀបដោះស្រាយ
ប្រសិនបើអ្នកយកលេខពីបន្ទាត់ខាងក្រោម នោះអ្នកអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយនូវថាមពលដែលអ្នកត្រូវលើកពីរដើម្បីទទួលបានលេខនេះ។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បីទទួលបាន 16 អ្នកត្រូវបង្កើនថាមពលពី 2 ទៅ 4 ។ ហើយដើម្បីទទួលបាន 64 អ្នកត្រូវបង្កើនពីរទៅថាមពលទីប្រាំមួយ។ នេះអាចមើលឃើញពីតារាង។
ហើយឥឡូវនេះ - តាមពិតនិយមន័យនៃលោការីត៖
មូលដ្ឋាន a នៃអាគុយម៉ង់ x គឺជាអំណាចដែលលេខ a ត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីទទួលបានលេខ x ។
កំណត់សម្គាល់៖ កត់ត្រា a x \u003d b ដែល a ជាមូលដ្ឋាន x គឺជាអាគុយម៉ង់ b គឺជាអ្វីដែលលោការីតស្មើនឹង។
ឧទាហរណ៍ 2 3 = 8 ⇒ កំណត់ហេតុ 2 8 = 3 (លោការីតគោល 2 នៃ 8 គឺបីព្រោះ 2 3 = 8) ។ ក៏អាចកត់ត្រា 2 64 = 6 ដែរ ព្រោះ 2 6 = 64 ។
ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកលោការីតនៃចំនួនមួយទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា។ ដូច្នេះសូមបន្ថែមជួរថ្មីទៅតារាងរបស់យើង៖
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| កំណត់ហេតុ 2 2 = 1 | កំណត់ហេតុ 2 4 = 2 | កំណត់ហេតុ 2 8 = 3 | កំណត់ហេតុ ២ ១៦ = ៤ | កំណត់ហេតុ 2 32 = 5 | កំណត់ហេតុ 2 64 = 6 |
ជាអកុសល មិនមែនលោការីតទាំងអស់ត្រូវបានចាត់ទុកថាងាយស្រួលនោះទេ។ ឧទាហរណ៍ ព្យាយាមស្វែងរកកំណត់ហេតុ 2 5. លេខ 5 មិនមាននៅក្នុងតារាងទេ ប៉ុន្តែតក្កវិជ្ជាកំណត់ថាលោការីតនឹងស្ថិតនៅកន្លែងណាមួយនៅលើផ្នែក។ ព្រោះ ២ ២< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាមិនសមហេតុផល៖ លេខបន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគអាចត្រូវបានសរសេរដោយគ្មានកំណត់ ហើយពួកគេមិនដែលនិយាយម្តងទៀតទេ។ ប្រសិនបើលោការីតប្រែទៅជាមិនសមហេតុផល វាជាការប្រសើរក្នុងការទុកវាដូចនេះ៖ កំណត់ហេតុ 2 5, កំណត់ហេតុ 3 8, កំណត់ហេតុ 5 100 ។
វាជាការសំខាន់ក្នុងការយល់ថាលោការីតគឺជាកន្សោមដែលមានអថេរពីរ (មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់)។ ដំបូងឡើយ មនុស្សជាច្រើនយល់ច្រឡំថាតើមូលដ្ឋាននៅទីណា និងការជជែកវែកញែកនៅទីណា។ ដើម្បីកុំឲ្យមានការយល់ច្រលំនោះ សូមទស្សនារូបភាពទាំងអស់គ្នា៖
មុនពេលយើងគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីនិយមន័យនៃលោការីតនោះទេ។ ចងចាំ៖ លោការីតគឺជាថាមពលដែលអ្នកចាំបាច់ត្រូវលើកមូលដ្ឋាន ដើម្បីទទួលបានអាគុយម៉ង់។ វាគឺជាមូលដ្ឋានដែលត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពល - នៅក្នុងរូបភាពវាត្រូវបានបន្លិចជាពណ៌ក្រហម។ វាប្រែថាមូលដ្ឋានគឺតែងតែនៅខាងក្រោម! ខ្ញុំប្រាប់ច្បាប់ដ៏អស្ចារ្យនេះដល់សិស្សរបស់ខ្ញុំនៅមេរៀនដំបូង - ហើយគ្មានការភាន់ច្រលំទេ។
របៀបរាប់លោការីត
យើងបានរកឃើញនិយមន័យ - វានៅសល់ដើម្បីរៀនពីរបៀបរាប់លោការីតពោលគឺឧ។ កម្ចាត់សញ្ញា "កំណត់ហេតុ" ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងកត់សំគាល់ថា ការពិតសំខាន់ៗចំនួនពីរកើតឡើងពីនិយមន័យ៖
- អាគុយម៉ង់ និងមូលដ្ឋានត្រូវតែធំជាងសូន្យជានិច្ច។ វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃដឺក្រេដោយនិទស្សន្តនិទស្សន្ត ដែលនិយមន័យនៃលោការីតត្រូវបានកាត់បន្ថយ។
- មូលដ្ឋានត្រូវតែខុសពីការរួបរួម ចាប់តាំងពីអង្គភាពមួយទៅអំណាចណាមួយនៅតែជាឯកតា។ ដោយសារតែបញ្ហានេះ សំណួរដែលថា «តើអ្នកត្រូវលើកឡើងទៅកាន់អំណាចអ្វីដើម្បីបានពីរ» គឺគ្មានន័យទេ។ មិនមានសញ្ញាបត្របែបនេះទេ!
ការរឹតបន្តឹងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ជួរត្រឹមត្រូវ។(ODZ) ។ វាប្រែថា ODZ នៃលោការីតមើលទៅដូចនេះ៖ កំណត់ហេតុ a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1 ។
ចំណាំថាមិនមានការរឹតបន្តឹងលើលេខ b (តម្លៃនៃលោការីត) មិនត្រូវបានដាក់។ ឧទាហរណ៍ លោការីតប្រហែលជាអវិជ្ជមាន៖ log 2 0.5 = −1 ព្រោះ 0.5 = 2 −1 ។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ឥឡូវនេះយើងកំពុងពិចារណាតែកន្សោមលេខប៉ុណ្ណោះ ដែលវាមិនតម្រូវឱ្យដឹងពី ODZ នៃលោការីតនោះទេ។ ការរឹតបន្តឹងទាំងអស់ត្រូវបានយកមកពិចារណារួចហើយដោយអ្នកចងក្រងបញ្ហា។ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលសមីការលោការីត និងវិសមភាពចូលដំណើរការ តម្រូវការ DHS នឹងក្លាយជាកាតព្វកិច្ច។ ជាការពិតណាស់ នៅក្នុងមូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាង វាអាចមានសំណង់រឹងមាំខ្លាំង ដែលមិនចាំបាច់ត្រូវគ្នាទៅនឹងការរឹតបន្តឹងខាងលើ។
ឥឡូវពិចារណាគ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការគណនាលោការីត។ វាមានបីជំហាន៖
- បង្ហាញមូលដ្ឋាន a និងអាគុយម៉ង់ x ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋានតូចបំផុតដែលអាចធ្វើបានធំជាងមួយ។ នៅតាមផ្លូវ វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគទសភាគ;
- ដោះស្រាយសមីការសម្រាប់អថេរ b: x = a b ;
- លេខលទ្ធផល b នឹងជាចម្លើយ។
អស់ហើយ! ប្រសិនបើលោការីតប្រែទៅជាមិនសមហេតុផល វានឹងត្រូវបានគេមើលឃើញរួចហើយនៅជំហានដំបូង។ តម្រូវការដែលមូលដ្ឋានធំជាងមួយគឺពាក់ព័ន្ធខ្លាំងណាស់៖ នេះកាត់បន្ថយលទ្ធភាពនៃកំហុស និងជួយសម្រួលដល់ការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។ ស្រដៀងគ្នាជាមួយប្រភាគទសភាគ៖ ប្រសិនបើអ្នកបំប្លែងពួកវាភ្លាមៗទៅជាប្រភាគធម្មតា វានឹងមានកំហុសតិចជាងច្រើនដង។
តោះមើលពីរបៀបដែលគ្រោងការណ៍នេះដំណើរការជាមួយឧទាហរណ៍ជាក់លាក់៖
កិច្ចការ។ គណនាលោការីត៖ log 5 25
- ចូរតំណាងមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់ជាអនុភាពនៃប្រាំ ៖ 5 = 5 1 ; ២៥ = ៥២;
- បានទទួលចម្លើយ៖ ២.
ចូរយើងបង្កើត និងដោះស្រាយសមីការ៖
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
កិច្ចការ។ គណនាលោការីត៖
កិច្ចការ។ គណនាលោការីត៖ log 4 64
- ចូរតំណាងមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ជាអំណាចនៃពីរ៖ 4 = 2 2 ; ៦៤ = ២៦;
- ចូរយើងបង្កើត និងដោះស្រាយសមីការ៖
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - បានទទួលចម្លើយ៖ ៣.
កិច្ចការ។ គណនាលោការីត៖ កំណត់ហេតុ ១៦ ១
- ចូរតំណាងមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ជាអំណាចនៃពីរ៖ 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- ចូរយើងបង្កើត និងដោះស្រាយសមីការ៖
កំណត់ហេតុ 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - បានទទួលការឆ្លើយតប៖ ០.
កិច្ចការ។ គណនាលោការីត៖ កំណត់ហេតុ ៧ ១៤
- ចូរតំណាងមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់ជាអំណាចនៃប្រាំពីរ៖ 7 = 7 1 ; ១៤ មិនត្រូវបានតំណាងថាជាអំណាចនៃប្រាំពីរទេព្រោះ ៧ ១< 14 < 7 2 ;
- វាធ្វើតាមពីកថាខណ្ឌមុនដែលលោការីតមិនត្រូវបានគេពិចារណា។
- ចំលើយគឺគ្មានការផ្លាស់ប្តូរទេ៖ កំណត់ហេតុ ៧ ១៤.
កំណត់ចំណាំតូចមួយនៅលើឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីប្រាកដថាលេខមួយមិនមែនជាអំណាចពិតប្រាកដនៃចំនួនផ្សេងទៀត? សាមញ្ញណាស់ - គ្រាន់តែបំបែកវាទៅជាកត្តាសំខាន់។ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មានកត្តាពីរផ្សេងគ្នានៅក្នុងការពង្រីក នោះចំនួនមិនមែនជាថាមពលពិតប្រាកដនោះទេ។
កិច្ចការ។ រកមើលថាតើអំណាចពិតប្រាកដនៃលេខគឺ: 8; ៤៨; ៨១; ៣៥; ដប់បួន។
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - សញ្ញាបត្រពិតប្រាកដ ពីព្រោះ មានមេគុណតែមួយ;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 មិនមែនជាអំណាចពិតប្រាកដទេ ព្រោះមានកត្តាពីរគឺ៖ 3 និង 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ដឺក្រេពិតប្រាកដ;
35 = 7 5 - ជាថ្មីម្តងទៀតមិនមែនជាសញ្ញាបត្រពិតប្រាកដ;
14 \u003d 7 2 - ជាថ្មីម្តងទៀតមិនមែនជាសញ្ញាបត្រពិតប្រាកដ;
ចំណាំផងដែរថាលេខបឋមខ្លួនឯងតែងតែជាអំណាចពិតប្រាកដរបស់ខ្លួនឯង។
លោការីតទសភាគ
លោការីតខ្លះគឺជារឿងធម្មតាណាស់ ដែលពួកគេមានឈ្មោះពិសេស និងការរចនា។
នៃអាគុយម៉ង់ x គឺជាលោការីតគោល 10 ពោលគឺឧ។ អំណាចដែល 10 ត្រូវតែត្រូវបានលើកឡើងដើម្បីទទួលបាន x ។ ការដាក់ឈ្មោះ៖ lgx ។
ឧទាហរណ៍ log 10 = 1; កំណត់ហេតុ 100 = 2; lg 1000 = 3 - ល។
ចាប់ពីពេលនេះតទៅ នៅពេលដែលឃ្លាដូចជា "Find lg 0.01" លេចឡើងក្នុងសៀវភៅសិក្សា សូមដឹងថានេះមិនមែនជាការវាយអក្សរនោះទេ។ នេះគឺជាលោការីតទសភាគ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើអ្នកមិនធ្លាប់ប្រើការកំណត់បែបនេះទេ អ្នកអាចសរសេរវាឡើងវិញបានជានិច្ច៖
log x = log 10 x
អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលពិតសម្រាប់លោការីតធម្មតាក៏ពិតសម្រាប់លេខទសភាគផងដែរ។
លោការីតធម្មជាតិ
មានលោការីតមួយទៀតដែលមានសញ្ញាណផ្ទាល់ខ្លួន។ ក្នុងន័យមួយ វាសំខាន់ជាងលេខទសភាគ។ នេះគឺជាលោការីតធម្មជាតិ។
នៃអាគុយម៉ង់ x គឺជាលោការីតទៅមូលដ្ឋាន e, i.e. អំណាចដែលលេខ e ត្រូវតែលើកឡើង ដើម្បីទទួលបានលេខ x ។ ការដាក់ឈ្មោះ៖ lnx ។
មនុស្សជាច្រើននឹងសួរថា អ៊ី ជាអ្វី? នេះគឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល តម្លៃពិតប្រាកដរបស់វាមិនអាចត្រូវបានរកឃើញ និងសរសេរចុះ។ នេះគ្រាន់តែជាលេខដំបូងប៉ុណ្ណោះ៖
e = 2.718281828459…
យើងនឹងមិនស្វែងយល់ថាតើលេខនេះជាអ្វី និងហេតុអ្វីចាំបាច់នោះទេ។ សូមចាំថា អ៊ី គឺជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ៖
ln x = log e x
ដូច្នេះ ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ល។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ln 2 គឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល។ ជាទូទៅលោការីតធម្មជាតិនៃចំនួនសនិទានណាមួយគឺមិនសមហេតុផល។ លើកលែងតែ, ជាការពិតណាស់, ឯកភាព: ln 1 = 0 ។
សម្រាប់លោការីតធម្មជាតិ ច្បាប់ទាំងអស់ដែលពិតសម្រាប់លោការីតធម្មតាមានសុពលភាព។
សូមមើលផងដែរ:
លោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត (អំណាចនៃលោការីត) ។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីតំណាងឱ្យលេខជាលោការីត?
យើងប្រើនិយមន័យនៃលោការីត។
លោការីតគឺជារង្វាស់នៃអំណាចដែលមូលដ្ឋានត្រូវតែលើកឡើងដើម្បីទទួលបានលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីត។
ដូច្នេះ ដើម្បីតំណាងឱ្យចំនួនជាក់លាក់ c ជាលោការីតដល់គោល a ចាំបាច់ត្រូវដាក់សញ្ញាប័ត្រនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នានឹងមូលដ្ឋានលោការីត ហើយសរសេរលេខនេះ c ទៅក្នុងនិទស្សន្ត។ :
ក្នុងទម្រង់ជាលោការីត អ្នកអាចតំណាងឱ្យលេខណាមួយ - វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ចំនួនគត់ ប្រភាគ សនិទានភាព មិនសមហេតុផល៖
ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំ a និង c ក្នុងស្ថានភាពស្ត្រេសនៃការធ្វើតេស្ត ឬការប្រឡង អ្នកអាចប្រើច្បាប់ខាងក្រោមដើម្បីចងចាំ៖
អ្វីដែលនៅខាងក្រោមធ្លាក់ចុះ អ្វីដែលនៅខាងលើឡើងទៅ។
ឧទាហរណ៍ អ្នកចង់តំណាងឱ្យលេខ 2 ជាលោការីតទៅគោល 3 ។
យើងមានលេខពីរ - 2 និង 3. លេខទាំងនេះគឺជាគោល និងនិទស្សន្តដែលយើងនឹងសរសេរនៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីត។ វានៅសល់ដើម្បីកំណត់ថាតើលេខណាមួយទាំងនេះគួរតែត្រូវបានសរសេរចុះក្នុងមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេ និងមួយណា - ឡើងក្នុងនិទស្សន្ត។
គោល 3 ក្នុងកំណត់ត្រាលោការីតគឺនៅខាងក្រោមដែលមានន័យថានៅពេលដែលយើងតំណាងឱ្យ deuce ជាលោការីតទៅមូលដ្ឋាននៃ 3 យើងក៏នឹងសរសេរ 3 ចុះទៅមូលដ្ឋាន។
2 គឺខ្ពស់ជាង 3 ។ ហើយក្នុងសញ្ញាប័ត្រយើងសរសេរពីរខាងលើទាំងបីនោះគឺក្នុងនិទស្សន្ត៖
លោការីត។ កម្រិតដំបូង។
លោការីត
លោការីតលេខវិជ្ជមាន ខដោយហេតុផល កកន្លែងណា a > 0, a ≠ 1គឺជានិទស្សន្តដែលចំនួនត្រូវតែលើកឡើង។ ក, ទទួល ខ.
និយមន័យលោការីតអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្លីដូចនេះ៖
សមភាពនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ b> 0, a> 0, a ≠ 1 ។គាត់ត្រូវបានគេហៅថាជាធម្មតា អត្តសញ្ញាណលោការីត។
សកម្មភាពនៃការស្វែងរកលោការីតនៃចំនួនមួយត្រូវបានគេហៅថា លោការីត។
លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត៖
លោការីតនៃផលិតផល៖
លោការីតនៃកូតានពីការចែក៖
ការជំនួសមូលដ្ឋាននៃលោការីត៖
លោការីតដឺក្រេ៖
លោការីតឫស៖
លោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានថាមពល៖
លោការីតទសភាគ និងធម្មជាតិ។
លោការីតទសភាគលេខហៅលោការីតគោល 10 នៃលេខនោះ ហើយសរសេរ lg ខ
លោការីតធម្មជាតិលេខហៅលោការីតនៃលេខនេះទៅមូលដ្ឋាន អ៊ីកន្លែងណា អ៊ីជាចំនួនមិនសមហេតុផល ប្រហែលស្មើនឹង 2.7។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះពួកគេសរសេរ ln ខ.
កំណត់ចំណាំផ្សេងទៀតអំពីពិជគណិត និងធរណីមាត្រ
លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត
លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត
លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ មានច្បាប់នៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.
ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវតែដឹង - គ្មានបញ្ហាលោការីតធ្ងន់ធ្ងរអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានពួកវាទេ។ លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចរៀនបានក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។
ការបូកនិងដកលោការីត
ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ កត់ត្រា a x និងកត់ត្រា y ។ បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក និង៖
- log a x + log a y = log a(x y);
- log a x - log a y = log a (x:y) ។
ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺលោការីតនៃកូតាត។ សូមចំណាំ៖ ចំណុចសំខាន់នៅទីនេះគឺ - មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. ប្រសិនបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!
រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយគណនាកន្សោមលោការីត ទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន "អ្វីជាលោការីត")។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ហើយមើល៖
កំណត់ហេតុ ៦ ៤ + កំណត់ហេតុ ៦ ៩.
ដោយសារមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2 ។
កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 2 48 − log 2 ៣.
មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4 ។
កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 3 135 − log 3 5 ។
ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3 ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាដាច់ដោយឡែក។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរចំនួនធម្មតាពិតជាចេញ។ ការធ្វើតេស្តជាច្រើនគឺផ្អែកលើការពិតនេះ។ បាទ/ចាស ការគ្រប់គ្រង - ការបញ្ចេញមតិស្រដៀងគ្នាក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាល - ស្ទើរតែគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ) ត្រូវបានផ្តល់ជូននៅពេលប្រឡង។
ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត
ឥឡូវនេះសូមធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញបន្តិច។ ចុះបើមានដឺក្រេក្នុងគោល ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីត? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ
វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូងរបស់ពួកគេ។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។
ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើលោការីត ODZ ត្រូវបានសង្កេតឃើញ៖ a> 0, a ≠ 1, x> 0។ ហើយរឿងមួយទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងច្រាសមកវិញផងដែរ ពោលគឺឧ។ អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនសញ្ញាលោការីតទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។
វិធីដោះស្រាយលោការីត
នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។
កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ កំណត់ហេតុ ៧ ៤៩ ៦ .
ចូរយើងកម្ចាត់ដឺក្រេនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយរូបមន្តទីមួយ៖
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖
ចំណាំថាភាគបែងគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់មានអំណាចពិតប្រាកដ៖ 16 = 2 4 ; ៤៩ = ៧២. យើងមាន:
ខ្ញុំគិតថាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយត្រូវការការបំភ្លឺ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូតដល់ពេលចុងក្រោយបំផុត យើងធ្វើការតែជាមួយភាគបែងប៉ុណ្ណោះ។ ពួកគេបានបង្ហាញពីមូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងនៃលោការីតឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់ជាដឺក្រេ ហើយយកសូចនាករចេញ - ពួកគេទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log 2 7. ចាប់តាំងពី log 2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគ - 2/4 នឹងនៅតែមាននៅក្នុងភាគបែង។ យោងទៅតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលបានធ្វើរួច។ លទ្ធផលគឺចម្លើយ៖ ២.
ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។
និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា? ចុះបើពួកគេមិនមែនជាលេខដូចគ្នា?
រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីមកជួយសង្គ្រោះ។ យើងបង្កើតវាក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖
អនុញ្ញាតឱ្យលោការីតកត់ត្រា a x ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖
ជាពិសេសប្រសិនបើយើងដាក់ c = x យើងទទួលបាន៖
វាធ្វើតាមរូបមន្តទីពីរដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននិងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតគឺនៅក្នុងភាគបែង។
រូបមន្តទាំងនេះកម្រត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកន្សោមលេខធម្មតា។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកវាមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅកាន់គ្រឹះថ្មីមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពីរបីចំណុចនេះ៖
កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 5 16 log 2 25 ។
ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរគឺជានិទស្សន្តពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
ឥឡូវយើងត្រឡប់លោការីតទីពីរ៖
ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការបំប្លែងកត្តា យើងគុណនឹងបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មករកលោការីត។
កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 9 100 lg ៣.
មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទី 1 គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករ៖
ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖
អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន
ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ក្នុងករណីនេះរូបមន្តនឹងជួយយើង:
ក្នុងករណីទីមួយ លេខ n ក្លាយជានិទស្សន្តនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ លេខ n អាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃនៃលោការីតប៉ុណ្ណោះ។
រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបានបកស្រាយ។ វាត្រូវបានគេហៅថាដូចនេះ៖
ជាការពិត តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង ប្រសិនបើលេខ b ត្រូវបានលើកឡើងដល់កម្រិតដែលលេខ b ក្នុងសញ្ញាបត្រនេះផ្តល់លេខ a? ត្រឹមត្រូវ៖ នេះគឺជាលេខដូចគ្នា a ។ អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើន "ព្យួរ" លើវា។
ដូចរូបមន្តបំប្លែងមូលដ្ឋានថ្មី អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ជួនកាលជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។
កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖
ចំណាំថា log 25 64 = log 5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េចេញពីមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖
ប្រសិនបើនរណាម្នាក់មិនស្គាល់ នោះគឺជាកិច្ចការពិតប្រាកដមួយពីការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម🙂
ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត
សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលពិបាកហៅលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ទាំងនេះគឺជាផលវិបាកពីនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេត្រូវបានរកឃើញជានិច្ចនៅក្នុងបញ្ហា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល បង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ក៏ដោយ។
- កំណត់ហេតុ a = 1 គឺ។ ចងចាំម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយ a ពីមូលដ្ឋាននោះវាស្មើនឹងមួយ។
- កំណត់ហេតុ a 1 = 0 គឺ។ គោល a អាចជាអ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអាគុយម៉ង់គឺមួយ នោះលោការីតគឺសូន្យ! ដោយសារតែ 0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។
នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវអនុវត្តឲ្យបានជាក់ជាមិនខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ និងដោះស្រាយបញ្ហា។
