នៅក្នុងអត្ថបទនេះ ខ្ញុំនឹងនិយាយអំពីរបៀបអនុវត្តសមត្ថភាពស្វែងរកក្នុងការសិក្សាមុខងារមួយ៖ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតរបស់វា។ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនពី Task B15 ពី Open Task Bank សម្រាប់ .

ដូចធម្មតា ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយទ្រឹស្តីជាមុនសិន។

នៅដើមដំបូងនៃការសិក្សាមុខងារណាមួយ យើងរកឃើញវា។

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ អ្នកត្រូវធ្វើការស៊ើបអង្កេតថាតើចន្លោះពេលណាដែលមុខងារកើនឡើង និងដែលវាថយចុះ។

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ ហើយសិក្សាចន្លោះពេលនៃសញ្ញាថេររបស់វា ពោលគឺចន្លោះពេលដែលនិស្សន្ទវត្ថុរក្សាសញ្ញារបស់វា។

ចន្លោះពេលដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍មានភាពវិជ្ជមានគឺជាចន្លោះពេលនៃមុខងារកើនឡើង។

ចន្លោះពេលដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺអវិជ្ជមាន គឺជាចន្លោះពេលនៃការថយចុះមុខងារ។

មួយ។ តោះដោះស្រាយកិច្ចការ B15 (លេខ 245184)

ដើម្បី​ដោះស្រាយ​វា យើង​នឹង​ធ្វើ​តាម​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

ក) ស្វែងរកដែននៃមុខងារ

ខ) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។

គ) កំណត់វាស្មើនឹងសូន្យ។

ឃ) អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញចន្លោះពេលនៃសញ្ញាថេរនៃមុខងារ។

ង) ស្វែងរកចំណុចដែលអនុគមន៍យកតម្លៃធំបំផុត។

f) រកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។

ខ្ញុំប្រាប់ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃកិច្ចការនេះនៅក្នុងមេរៀនវីដេអូ៖

ប្រហែលជាកម្មវិធីរុករករបស់អ្នកមិនត្រូវបានគាំទ្រទេ។ ដើម្បីប្រើកម្មវិធីក្លែងធ្វើ "ម៉ោងប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម" សូមសាកល្បងទាញយក
Firefox

២. តោះដោះស្រាយកិច្ចការ B15 (លេខ 282862)

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ នៅលើផ្នែក

វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារយកតម្លៃធំបំផុតនៅលើផ្នែកនៅចំណុចអតិបរមាគឺ x=2 ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចនេះ៖

ចម្លើយ៖ ៥

៣. តោះដោះស្រាយកិច្ចការ B15 (លេខ 245180)៖

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ

1.title="(!LANG:ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. ចាប់តាំងពីវិសាលភាពនៃមុខងារដើម title="(!LANG:4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. លេខភាគគឺសូន្យនៅ . តោះពិនិត្យមើលថាតើ ODZ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់មុខងារដែរឬទេ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិនិត្យមើលថាតើចំណងជើងលក្ខខណ្ឌ = "(!LANG:4-2x-x^2>0"> при .!}

ចំណងជើង="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

ដូច្នេះចំណុចជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ODZ នៃអនុគមន៍

យើងពិនិត្យមើលសញ្ញានៃដេរីវេនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃចំនុច៖

យើងឃើញថាមុខងារយកតម្លៃធំបំផុតនៅចំណុច។ ឥឡូវ​យើង​ស្វែង​រក​តម្លៃ​នៃ​មុខងារ​នៅ៖

ចំណាំ 1. ចំណាំថានៅក្នុងបញ្ហានេះ យើងរកមិនឃើញដែននៃអនុគមន៍ទេ៖ យើងគ្រាន់តែជួសជុលឧបសគ្គ និងពិនិត្យមើលថាតើចំនុចដែលដេរីវេទីវស្មើនឹងសូន្យជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃអនុគមន៍ឬអត់។ នៅក្នុងបញ្ហានេះវាបានប្រែទៅជាគ្រប់គ្រាន់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមែនតែងតែជាករណីនោះទេ។ វាអាស្រ័យលើភារកិច្ច។

កំណត់សម្គាល់ 2. នៅពេលសិក្សាពីឥរិយាបថនៃមុខងារស្មុគស្មាញ មនុស្សម្នាក់អាចប្រើក្បួនដូចខាងក្រោមៈ

• ប្រសិនបើមុខងារខាងក្រៅនៃអនុគមន៍បរិវេណកំពុងកើនឡើង នោះមុខងារនឹងយកតម្លៃដ៏ធំបំផុតរបស់វានៅចំណុចដូចគ្នា ដែលមុខងារខាងក្នុងយកតម្លៃធំបំផុតរបស់វា។ វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃអនុគមន៍កើនឡើង៖ មុខងារកើនឡើងនៅចន្លោះពេល I ប្រសិនបើតម្លៃធំជាងនៃអាគុយម៉ង់ពីចន្លោះពេលនេះត្រូវគ្នានឹងតម្លៃធំជាងនៃអនុគមន៍។
• ប្រសិនបើមុខងារខាងក្រៅនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញកំពុងថយចុះ នោះអនុគមន៍យកតម្លៃធំបំផុតនៅចំណុចដូចគ្នា ដែលមុខងារខាងក្នុងយកតម្លៃតូចបំផុត . វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃអនុគមន៍ថយចុះ៖ មុខងារថយចុះនៅចន្លោះពេល I ប្រសិនបើតម្លៃធំជាងនៃអាគុយម៉ង់ពីចន្លោះពេលនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃតូចជាងនៃអនុគមន៍

ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង មុខងារខាងក្រៅ - កើនឡើងលើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ។ នៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺជាកន្សោមមួយ - ត្រីកោណការ៉េដែលមានមេគុណជាន់ខ្ពស់អវិជ្ជមានយកតម្លៃធំបំផុតនៅចំណុច . បន្ទាប់យើងជំនួសតម្លៃ x នេះទៅក្នុងសមីការនៃអនុគមន៍ និងស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតរបស់វា។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y=f(X)បន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ មុខងារបែបនេះឈានដល់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមារបស់វានៅលើផ្នែកនេះ។ អនុគមន៍​អាច​យក​តម្លៃ​ទាំង​នេះ​នៅ​ចំណុច​ខាង​ក្នុង​នៃ​ផ្នែក [ ក, ខ] ឬនៅលើព្រំដែននៃផ្នែក។

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍មួយនៅលើ segment [ ក, ខ] ចាំបាច់៖

1) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃមុខងារក្នុងចន្លោះពេល ( ក, ខ);

2) គណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ;

3) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក នោះគឺសម្រាប់ x=កនិង x = ខ;

4) ពីតម្លៃដែលបានគណនាទាំងអស់នៃអនុគមន៍ សូមជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត។

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។

នៅលើផ្នែក។

ស្វែងរកចំណុចសំខាន់៖

ចំណុចទាំងនេះស្ថិតនៅក្នុងផ្នែក។ y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

នៅចំណុច x= 3 និងនៅចំណុច x= 0.

ការស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ប៉ោង និងចំណុចបញ្ឆេះ។

មុខងារ y = f (x) បានហៅ ប៉ោងនៅក្នុង​ចន្លោះ (ក, ខ) ប្រសិនបើក្រាហ្វរបស់វាស្ថិតនៅក្រោមតង់ហ្សង់ដែលគូសនៅចំណុចណាមួយនៃចន្លោះពេលនេះ ហើយត្រូវបានគេហៅថា ប៉ោងចុះក្រោម (ប៉ោង)ប្រសិនបើក្រាហ្វរបស់វាស្ថិតនៅពីលើតង់សង់។

ចំណុចនៅការផ្លាស់ប្តូរដែលប៉ោងត្រូវបានជំនួសដោយ concavity ឬផ្ទុយមកវិញត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចឆ្លង.

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់សិក្សាសម្រាប់ចំណុចប៉ោង និងចំណុចបញ្ឆេះ៖

1. រកចំនុចសំខាន់នៃប្រភេទទីពីរ នោះគឺចំនុចដែលដេរីវេទី 2 ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។

2. ដាក់ចំនុចសំខាន់នៅលើបន្ទាត់លេខ ដោយបំបែកវាជាចន្លោះពេល។ ស្វែងរកសញ្ញានៃដេរីវេទី 2 នៅចន្លោះពេលនីមួយៗ។ if នោះអនុគមន៍គឺប៉ោងឡើងលើ ប្រសិនបើ នោះមុខងារគឺប៉ោងចុះក្រោម។

3. ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុចសំខាន់នៃប្រភេទទីពីរ វាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ហើយនៅចំណុចនេះ ដេរីវេទី 2 ស្មើនឹងសូន្យ នោះចំនុចនេះគឺជា abscissa នៃចំនុច inflection ។ ស្វែងរកការចាត់តាំងរបស់វា។

Asymtotes នៃក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ។ ការស៊ើបអង្កេតមុខងារចូលទៅក្នុង asymtotes ។

និយមន័យ។ asymptote នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថា ត្រង់ដែល​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ថា​ចម្ងាយ​ពី​ចំណុច​ណា​មួយ​នៃ​ក្រាហ្វ​ទៅ​បន្ទាត់​នេះ​មាន​ទំនោរ​ទៅ​សូន្យ​ដោយ​ការ​ដក​ចេញ​ដោយ​គ្មាន​ដែន​កំណត់​នៃ​ចំណុច​ក្រាហ្វ​ពី​ដើម។

មាន asymtotes បីប្រភេទ៖ បញ្ឈរ ផ្ដេក និងទំនោរ។

និយមន័យ។ហៅផ្ទាល់ asymptote បញ្ឈរក្រាហ្វមុខងារ y = f(x)ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ដែនកំណត់ម្ខាងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះស្មើនឹងភាពគ្មានកំណត់ នោះគឺជា

កន្លែងដែលជាចំណុចមិនបន្តនៃមុខងារ នោះគឺវាមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននិយមន័យ។

ឧទាហរណ៍។

ឃ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - ចំណុចបំបែក។

និយមន័យ។ត្រង់ y=កបានហៅ asymptote ផ្ដេកក្រាហ្វមុខងារ y = f(x)នៅ, ប្រសិនបើ

ឧទាហរណ៍។

x
y

និយមន័យ។ត្រង់ y=kx +ខ (k≠ 0) ត្រូវបានគេហៅថា oblique asymptoteក្រាហ្វមុខងារ y = f(x)នៅ​កន្លែងណា

គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារនិងគ្រោង។

ក្បួនដោះស្រាយស្រាវជ្រាវមុខងារy = f(x) :

1. ស្វែងរកដែននៃមុខងារ ឃ (y).

2. ស្វែងរក (ប្រសិនបើអាច) ចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ (ជាមួយ x= 0 និងនៅ y = 0).

3. ស៊ើបអង្កេតសម្រាប់មុខងារគូ និងសេស ( y (‒ x) = y (x) ‒ ភាពស្មើគ្នា; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ សេស)

4. ស្វែងរក asymtotes នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។

5. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍។

6. ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

7. ស្វែងរកចន្លោះប្រហោង (concavity) និងចំនុច inflection នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។

8. នៅលើមូលដ្ឋាននៃការស្រាវជ្រាវដែលបានធ្វើឡើង បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ។

ឧទាហរណ៍។ស៊ើបអង្កេតមុខងារ និងគ្រោងក្រាហ្វរបស់វា។

1) ឃ (y) =

x= 4 - ចំណុចបំបែក។

2) ពេលណា x = 0,

(0; - 5) - ចំណុចប្រសព្វជាមួយ អូយ.

នៅ y = 0,

3) y(‒ x)= មុខងារទូទៅ (សូម្បីតែឬសេស) ។

4) យើងស៊ើបអង្កេតរករោគសញ្ញា។

ក) បញ្ឈរ

ខ) ផ្ដេក

គ) ស្វែងរក asymptotes oblique នៅកន្លែងណា

- សមីការ asymptote oblique

5) នៅក្នុងសមីការនេះ វាមិនត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍នោះទេ។

6)

ចំណុចសំខាន់ៗទាំងនេះបែងចែកដែនទាំងមូលនៃមុខងារនៅលើចន្លោះពេល (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) និង (10; +∞) ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញលទ្ធផលដែលទទួលបានក្នុងទម្រង់តារាងខាងក្រោម។

តោះមើលរបៀបរុករកមុខងារដោយប្រើក្រាហ្វ។ វាប្រែថាក្រឡេកមើលក្រាហ្វអ្នកអាចរកឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ដូចជា:

• វិសាលភាពមុខងារ
• ជួរមុខងារ
• មុខងារសូន្យ
• រយៈពេលនៃការកើនឡើងនិងថយចុះ
• ចំណុចខ្ពស់និងទាប
• តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅចន្លោះពេល។

ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​អំពី​វាក្យ​សព្ទ​៖

អាបស៊ីសាគឺជាកូអរដោណេផ្តេកនៃចំណុច។
ចាត់តាំង- កូអរដោនេបញ្ឈរ។
abscissa- អ័ក្សផ្តេក ដែលភាគច្រើនហៅថា អ័ក្ស។
អ័ក្ស Y- អ័ក្ស​បញ្ឈរ​ឬ​អ័ក្ស​។

អាគុយម៉ង់គឺជាអថេរឯករាជ្យដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍អាស្រ័យ។ ភាគច្រើនត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ។
នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត យើងខ្លួនយើងជ្រើសរើស ជំនួសនៅក្នុងរូបមន្តមុខងារ និងទទួលបាន .

ដែនមុខងារ - សំណុំនៃតម្លៃទាំងនោះ (និងតែទាំងនោះ) នៃអាគុយម៉ង់ដែលមុខងារមាន។
តំណាង៖ ឬ។

នៅក្នុងតួលេខរបស់យើង ដែននៃមុខងារគឺជាផ្នែកមួយ។ វាស្ថិតនៅលើផ្នែកនេះដែលក្រាហ្វនៃមុខងារត្រូវបានគូរ។ មានតែមុខងារនេះនៅទីនេះប៉ុណ្ណោះ។

ជួរមុខងារគឺជាសំណុំនៃតម្លៃដែលអថេរយក។ នៅក្នុងតួលេខរបស់យើងនេះគឺជាផ្នែកមួយ - ពីតម្លៃទាបបំផុតដល់តម្លៃខ្ពស់បំផុត។

មុខងារសូន្យ- ចំណុចដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ ឧ. នៅក្នុងតួលេខរបស់យើង ទាំងនេះគឺជាចំណុច និង។

តម្លៃមុខងារគឺវិជ្ជមានកន្លែងណា។ នៅក្នុងតួលេខរបស់យើង ទាំងនេះគឺជាចន្លោះពេល និង .
តម្លៃមុខងារគឺអវិជ្ជមានកន្លែងណា។ យើងមានចន្លោះពេលនេះ (ឬចន្លោះពេល) ពីទៅ។

គំនិតសំខាន់បំផុត - បង្កើននិងបន្ថយមុខងារនៅលើសំណុំមួយចំនួន។ ជាសំណុំ អ្នកអាចយកផ្នែកមួយ ចន្លោះពេល សហជីពនៃចន្លោះពេល ឬបន្ទាត់លេខទាំងមូល។

មុខងារ កើនឡើង

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត កាន់តែច្រើន កាន់តែច្រើន នោះគឺក្រាហ្វទៅខាងស្តាំ និងឡើងលើ។

មុខងារ ថយចុះនៅលើសំណុំ ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ និងជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ វិសមភាពមានន័យថាវិសមភាព។

សម្រាប់មុខងារថយចុះ តម្លៃធំជាងត្រូវនឹងតម្លៃតូចជាង។ ក្រាហ្វចុះទៅស្តាំ។

នៅក្នុងតួលេខរបស់យើង មុខងារកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេល និងថយចុះនៅលើចន្លោះពេល និង .

ចូរយើងកំណត់នូវអ្វីដែលជាអ្វី ចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារ.

ចំណុចអតិបរមា- នេះគឺជាចំណុចខាងក្នុងនៃ domain នៃនិយមន័យ ដូចជាតម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវាគឺធំជាងចំនុចទាំងអស់ដែលនៅជិតវា។
នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ចំណុចអតិបរមាគឺជាចំណុចបែបនេះ តម្លៃនៃមុខងារដែល ច្រើនទៀតជាងអ្នកជិតខាង។ នេះគឺជា "ភ្នំ" ក្នុងស្រុកនៅលើតារាង។

នៅក្នុងតួលេខរបស់យើង - ចំណុចអតិបរមា។

ចំណុចទាប- ចំណុចខាងក្នុងនៃដែននៃនិយមន័យ ដូចជាតម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវាគឺតិចជាងគ្រប់ចំណុចដែលនៅជិតវាគ្រប់គ្រាន់។
នោះគឺចំណុចអប្បបរមាគឺថាតម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវាគឺតិចជាងអ្នកជិតខាង។ នៅលើក្រាហ្វនេះគឺជា "រន្ធ" ក្នុងស្រុក។

នៅក្នុងតួលេខរបស់យើង - ចំណុចអប្បបរមា។

ចំណុចគឺព្រំដែន។ វា​មិន​មែន​ជា​ចំណុច​ខាង​ក្នុង​នៃ​ដែន​និយមន័យ​ទេ ហើយ​ដូច្នេះ​មិន​សម​នឹង​និយមន័យ​នៃ​ចំណុច​អតិបរមា​ទេ។ យ៉ាងណាមិញនាងមិនមានអ្នកជិតខាងនៅខាងឆ្វេងទេ។ ដូចគ្នាដែរ មិនអាចមានចំណុចអប្បបរមានៅលើតារាងរបស់យើងទេ។

ពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថាជាសមូហភាព ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ. ក្នុងករណីរបស់យើងនេះគឺជានិង។

ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើអ្នកត្រូវស្វែងរកឧទាហរណ៍។ មុខងារអប្បបរមានៅលើការកាត់? ក្នុងករណីនេះចម្លើយគឺ៖ ដោយសារតែ មុខងារអប្បបរមាគឺជាតម្លៃរបស់វានៅចំណុចអប្បបរមា។

ដូចគ្នានេះដែរ អតិបរមានៃមុខងាររបស់យើងគឺ . វាត្រូវបានឈានដល់ចំណុច។

យើងអាចនិយាយបានថា extrema នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹង និង .

ពេលខ្លះក្នុងកិច្ចការដែលអ្នកត្រូវស្វែងរក តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ពួកគេមិនចាំបាច់ស្របគ្នាជាមួយនឹងភាពជ្រុលនិយមនោះទេ។

ក្នុងករណីរបស់យើង។ តម្លៃមុខងារតូចបំផុត។នៅលើចន្លោះពេលគឺស្មើនឹង និងស្របគ្នាជាមួយនឹងអប្បបរមានៃអនុគមន៍។ ប៉ុន្តែតម្លៃដ៏ធំបំផុតរបស់វានៅលើផ្នែកនេះគឺស្មើនឹង . វាត្រូវបានឈានដល់នៅចុងខាងឆ្វេងនៃផ្នែក។

ក្នុងករណីណាក៏ដោយ តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍បន្តនៅលើផ្នែកមួយត្រូវបានសម្រេចទាំងនៅចំនុចខ្លាំង ឬនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ?

សម្រាប់​ការ​នេះ យើងធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយដ៏ល្បីល្បាញ:

1 . យើងរកឃើញមុខងារ ODZ ។

2 . ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

3 . ស្មើ​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ

4 . យើងរកឃើញចន្លោះពេលដែលនិស្សន្ទវត្ថុរក្សាសញ្ញារបស់វា ហើយពីពួកវាយើងកំណត់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងថយចុះនៃអនុគមន៍៖

ប្រសិនបើនៅចន្លោះពេល I ដេរីវេនៃអនុគមន៍ 0" title="(!LANG:f^(prime)(x)>0">, то функция !} កើនឡើងក្នុងចន្លោះពេលនេះ។

ប្រសិនបើនៅចន្លោះពេល I ដេរីវេនៃអនុគមន៍ នោះអនុគមន៍ ថយចុះក្នុងរយៈពេលនេះ។

5 . យើង​ស្វែងរក ចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារ.

អេ ចំណុចអតិបរិមានៃមុខងារ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "+" ទៅ "-".

អេ ចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពី "-" ទៅ "+".

6 . យើងរកឃើញតម្លៃនៃមុខងារនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក

• បន្ទាប់មកយើងប្រៀបធៀបតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក និងនៅចំណុចអតិបរមា និង ជ្រើសរើសធំបំផុតនៃពួកវា ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ
• ឬយើងប្រៀបធៀបតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក និងនៅចំនុចអប្បបរមា និង ជ្រើសរើសតម្លៃតូចបំផុតនៃពួកវា ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារ

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ អាស្រ័យលើរបៀបដែលមុខងារមានឥរិយាបថនៅលើចន្លោះពេល ក្បួនដោះស្រាយនេះអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងខ្លាំង។

ពិចារណាមុខងារ . ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះមើលទៅដូចនេះ៖

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃការដោះស្រាយបញ្ហាពី Open Task Bank សម្រាប់

មួយ។ កិច្ចការ B15 (#26695)

នៅលើការកាត់។

1. អនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃពិតទាំងអស់នៃ x

ជាក់ស្តែងសមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ ហើយដេរីវេគឺវិជ្ជមានសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ។ ដូច្នេះ អនុគមន៍កើនឡើង និងយកតម្លៃធំបំផុតនៅចុងខាងស្តាំនៃចន្លោះពេល នោះគឺ x=0។

ចម្លើយ៖ ៥.

2 . កិច្ចការ B15 (លេខ 26702)

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ នៅលើផ្នែក។

មុខងារ ODZ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k,k(in)(bbZ)">!}

និស្សន្ទវត្ថុគឺសូន្យ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅចំណុចទាំងនេះ វាមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា៖

ដូច្នេះ title="(!LANG:3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} បង្កើន និងយកតម្លៃដ៏ធំបំផុតនៅចុងខាងស្តាំនៃចន្លោះពេល នៅ .

ដើម្បីធ្វើឱ្យវាច្បាស់ថាហេតុអ្វីបានជាដេរីវេទីវ័រមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា យើងបំលែងកន្សោមសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុដូចខាងក្រោម៖

Title="(!LANG:y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

ចម្លើយ៖ ៥.

៣. កិច្ចការ B15 (#26708)

ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល។

1. មុខងារ ODZ៖ title="(!LANG:x(pi)/2+(pi)k,k(in)(bbZ)">!}

ចូរដាក់ឫសនៃសមីការនេះនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។

ចន្លោះពេលមានលេខពីរ៖ និង

ចូរយើងដាក់សញ្ញា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចំណុច x = 0: . នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនិងសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេ។

ចូរពណ៌នាការផ្លាស់ប្តូរនៃសញ្ញានៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ៖

ជាក់ស្តែង ចំនុចគឺជាចំនុចអប្បបរមា (ដែលដេរីវេទីវ័រផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី "-" ទៅ "+") ហើយដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែក អ្នកត្រូវប្រៀបធៀបតម្លៃមុខងារនៅ ចំណុចអប្បបរមា និងនៅចុងខាងឆ្វេងនៃផ្នែក, .

ដំណើរការនៃការស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃមុខងារនៅលើផ្នែកមួយ គឺនឹកឃើញពីការហោះហើរដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជុំវិញវត្ថុមួយ (ក្រាហ្វនៃមុខងារ) នៅលើឧទ្ធម្ភាគចក្រជាមួយនឹងការបាញ់ចេញពីកាណុងរយៈចម្ងាយឆ្ងាយនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ ហើយជ្រើសរើសពី ចំណុចទាំងនេះ ចំណុចពិសេសសម្រាប់ការគ្រប់គ្រងការបាញ់ប្រហារ។ ពិន្ទុត្រូវបានជ្រើសរើសតាមរបៀបជាក់លាក់មួយ និងយោងទៅតាមច្បាប់ជាក់លាក់។ តាមច្បាប់អ្វី? យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះបន្ថែមទៀត។

ប្រសិនបើមុខងារ y = f(x) បន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] បន្ទាប់មកវាឈានដល់ផ្នែកនេះ។ យ៉ាងហោចណាស់ និង តម្លៃខ្ពស់បំផុត . នេះអាចកើតឡើងនៅក្នុង ចំណុចខ្លាំងឬនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរក យ៉ាងហោចណាស់ និង តម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ បន្តនៅចន្លោះពេល [ ក, ខ] អ្នកត្រូវគណនាតម្លៃរបស់វាទាំងអស់។ ចំណុចសំខាន់ហើយនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសផ្នែកតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃពួកគេ។

អនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់តម្លៃអតិបរមានៃមុខងារ f(x) នៅលើផ្នែក [ ក, ខ]។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗទាំងអស់របស់វា ដែលស្ថិតនៅលើ [ ក, ខ] .

ចំណុចសំខាន់ ត្រូវបានគេហៅថាចំណុច មុខងារដែលបានកំណត់និងនាង ដេរីវេគឺសូន្យ ឬមិនមាន។ បន្ទាប់មកអ្នកគួរតែគណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់ៗ។ ហើយជាចុងក្រោយ គេគួរតែប្រៀបធៀបតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់ៗ និងនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក ( f(ក) និង f(ខ)) ធំបំផុតនៃចំនួនទាំងនេះនឹងមាន តម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល [ក, ខ] .

បញ្ហានៃការស្វែងរក តម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារ .

យើងកំពុងស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃមុខងាររួមគ្នា

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក [-1, 2] .

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ។ ស្មើដេរីវេទៅសូន្យ () ហើយទទួលបានចំណុចសំខាន់ពីរ៖ និង . ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគណនាតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុច ដោយសារចំនុចមិនមែនជារបស់ផ្នែក [-1, ២]។ តម្លៃមុខងារទាំងនេះមានដូចខាងក្រោម៖ , , . វាធ្វើតាមនោះ។ តម្លៃមុខងារតូចបំផុត។(សម្គាល់ជាពណ៌ក្រហមនៅលើក្រាហ្វខាងក្រោម) ស្មើនឹង -7 ត្រូវបានទៅដល់ចុងខាងស្តាំនៃផ្នែក - នៅចំណុច និង អស្ចារ្យបំផុត។(ពណ៌ក្រហមនៅលើក្រាហ្វ) ស្មើនឹង 9 - នៅចំណុចសំខាន់។

ប្រសិនបើមុខងារបន្តក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ ហើយចន្លោះពេលនេះមិនមែនជាផ្នែកមួយ (ប៉ុន្តែជាឧទាហរណ៍ ចន្លោះពេល ភាពខុសគ្នារវាងចន្លោះពេល និងផ្នែកមួយ៖ ចំនុចព្រំដែននៃចន្លោះពេលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលនោះទេ ប៉ុន្តែ ចំណុចព្រំដែននៃផ្នែកត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងផ្នែក) បន្ទាប់មកក្នុងចំណោមតម្លៃនៃអនុគមន៍ប្រហែលជាមិនមានតូចបំផុត និងធំបំផុតនោះទេ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ មុខងារដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោមគឺបន្តនៅលើ ]-∞, +∞[ ហើយមិនមានតម្លៃធំបំផុតនោះទេ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់ចន្លោះពេលណាមួយ (បិទ បើក ឬគ្មានកំណត់) ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមនៃមុខងារបន្តមាន។

ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក [-1, 3] .

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះជាដេរីវេនៃកូតានិក៖

.

យើង​យក​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ ដែល​ផ្តល់​ឱ្យ​យើង​នូវ​ចំណុច​សំខាន់​មួយ៖ . វាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះ [-1, 3] ។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ៖

ចូរយើងប្រៀបធៀបតម្លៃទាំងនេះ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស្មើនឹង -៥/១៣ នៅចំណុច និង តម្លៃធំបំផុតស្មើនឹង 1 នៅចំណុច។

យើងបន្តស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃមុខងាររួមគ្នា

មានគ្រូបង្រៀនដែលលើប្រធានបទនៃការស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ មិនបានផ្តល់ឧទាហរណ៍ដល់សិស្សដែលស្មុគស្មាញជាងអ្វីដែលទើបតែបានពិចារណានោះទេ ពោលគឺអ្នកដែលនៅក្នុងអនុគមន៍ជាពហុនាម ឬប្រភាគ ភាគយក និងភាគបែងដែលជាពហុនាម។ ប៉ុន្តែ​យើង​នឹង​មិន​ដាក់​កម្រិត​ខ្លួន​យើង​ចំពោះ​ឧទាហរណ៍​បែប​នេះ​ទេ ព្រោះ​ក្នុង​ចំណោម​គ្រូ​មាន​អ្នក​ចូល​ចិត្ត​ធ្វើ​ឱ្យ​សិស្ស​គិត​ពេញ​លេញ (តារាង​និស្សន្ទវត្ថុ)។ ដូច្នេះ លោការីត និងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនឹងត្រូវបានប្រើ។

ឧទាហរណ៍ 6. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក .

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះជា ដេរីវេនៃផលិតផល :

យើង​យក​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ ដែល​ផ្តល់​ចំណុច​សំខាន់​មួយ៖ . វាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ៖

លទ្ធផលនៃសកម្មភាពទាំងអស់៖ មុខងារឈានដល់តម្លៃអប្បបរមារបស់វា។ស្មើ 0 នៅចំណុចមួយ និងនៅចំណុចមួយ និង តម្លៃធំបំផុតស្មើនឹង អ៊ី² នៅចំណុច។

ឧទាហរណ៍ 7. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក .

ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ៖

ស្មើ​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ៖

ចំណុចសំខាន់តែមួយគត់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ មុខងារឈានដល់តម្លៃអប្បបរមារបស់វា។, ស្មើនឹង , នៅចំណុច និង តម្លៃធំបំផុត, ស្មើនឹង , នៅចំណុច .

នៅក្នុងបញ្ហាធ្ងន់ធ្ងរដែលបានអនុវត្ត ការស្វែងរកតម្លៃមុខងារតូចបំផុត (ធំបំផុត) ជាក្បួនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរកអប្បបរមា (អតិបរមា)។ ប៉ុន្តែវាមិនមែនជា minima ឬ maxima ខ្លួនឯងដែលមានចំណាប់អារម្មណ៍ជាក់ស្តែងខ្លាំងជាងនោះទេ ប៉ុន្តែជាតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ដែលពួកគេត្រូវបានសម្រេច។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត ការលំបាកបន្ថែមកើតឡើង - ការចងក្រងមុខងារដែលពិពណ៌នាអំពីបាតុភូត ឬដំណើរការដែលកំពុងពិចារណា។

ឧទាហរណ៍ ៨ធុងដែលមានសមត្ថភាព 4 ដែលមានរាងដូចប៉ារ៉ាឡែលភីពជាមួយមូលដ្ឋានការ៉េ ហើយបើកនៅផ្នែកខាងលើ ត្រូវតែត្រូវបានសំណប៉ាហាំង។ តើធុងគួរមានទំហំប៉ុនណា ដើម្បីគ្របដណ្ដប់ដោយសម្ភារៈតិចបំផុត?

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ x- ផ្នែកមូលដ្ឋាន ម៉ោង- កម្ពស់ធុង, ស- ផ្ទៃរបស់វាដោយគ្មានគម្រប វ- កម្រិតសំឡេងរបស់វា។ ផ្ទៃនៃធុងត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត , i.e. គឺជាមុខងារនៃអថេរពីរ។ ដើម្បីបង្ហាញ សជាមុខងារនៃអថេរមួយ យើងប្រើការពិតថា មកពីណា។ ការជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ ម៉ោងចូលទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ ស:

ចូរ​យើង​ពិនិត្យ​មើល​មុខងារ​នេះ​សម្រាប់​កម្រិត​ខ្លាំង។ វាត្រូវបានកំណត់ និងអាចខុសគ្នាគ្រប់ទីកន្លែងក្នុង ]0, +∞[ , និង

.

យើង​យក​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ​សូន្យ () ហើយ​រក​ចំណុច​សំខាន់។ លើសពីនេះទៀត នៅ , ដេរីវេមិនមានទេ ប៉ុន្តែតម្លៃនេះមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងដែននៃនិយមន័យទេ ដូច្នេះហើយមិនអាចជាចំណុចខ្លាំងបានទេ។ ដូច្នេះ - ចំណុចសំខាន់តែមួយគត់។ សូមពិនិត្យមើលវាសម្រាប់វត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមដោយប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគ្រប់គ្រាន់ទីពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទីពីរ។ នៅពេលដែលដេរីវេទី 2 ធំជាងសូន្យ ()។ នេះមានន័យថានៅពេលដែលមុខងារឈានដល់អប្បបរមា . ដោយសារតែនេះ។ អប្បបរមា - អតិបរមាតែមួយគត់នៃមុខងារនេះ វាគឺជាតម្លៃតូចបំផុតរបស់វា។. ដូច្នេះផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាននៃធុងគួរតែស្មើនឹង 2 ម៉ែត្រនិងកម្ពស់របស់វា។

ឧទាហរណ៍ ៩ពីកថាខណ្ឌ កដែលមានទីតាំងនៅលើផ្លូវរថភ្លើងដល់ចំណុច ពីនៅចម្ងាយពីវា។ លីត្រ, ទំនិញត្រូវតែដឹកជញ្ជូន។ តម្លៃនៃការដឹកជញ្ជូនឯកតាទម្ងន់ក្នុងមួយឯកតាចម្ងាយផ្លូវដែកគឺស្មើនឹង ហើយដោយផ្លូវហាយវេវាស្មើនឹង . ដល់ចំណុចណា មខ្សែផ្លូវដែកគួរតែត្រូវបានរៀបចំជាផ្លូវហាយវេដើម្បីដឹកជញ្ជូនទំនិញពី ប៉ុន្តែក្នុង ពីគឺសន្សំសំចៃបំផុត។ ABផ្លូវដែកត្រូវបានសន្មត់ថាត្រង់)?