ឧទាហរណ៍
ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ។ Xនិង នៅត្រូវបានទាក់ទងដោយសមាមាត្រ: . តាមធរណីមាត្រ បញ្ហាមានន័យដូចតទៅ៖ នៅលើរាងពងក្រពើ 
យន្តហោះ 
.
បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម: ពីសមីការ 
ស្វែងរក 
X:
បានផ្តល់ថា 
កាត់បន្ថយទៅនឹងបញ្ហានៃការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរមួយ នៅចន្លោះពេល 
.
តាមធរណីមាត្រ បញ្ហាមានន័យដូចតទៅ៖ នៅលើរាងពងក្រពើ 
ទទួលបានដោយការឆ្លងកាត់ស៊ីឡាំង 
យន្តហោះ 
វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃកម្មវិធី 
(រូបភាពទី 9) ។ បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម: ពីសមីការ 
ស្វែងរក 
. ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញរបស់ y ទៅក្នុងសមីការនៃយន្តហោះ យើងទទួលបានមុខងារនៃអថេរមួយ X:
ដូច្នេះបញ្ហានៃការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ 
បានផ្តល់ថា 
កាត់បន្ថយទៅនឹងបញ្ហានៃការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរមួយ នៅលើផ្នែកមួយ។
ដូច្នេះ បញ្ហានៃការស្វែងរកជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌគឺជាបញ្ហានៃការស្វែងរកអតិបរមានៃមុខងារគោលបំណង 
បានផ្តល់ថាអថេរ Xនិង នៅស្ថិតក្រោមការរឹតបន្តឹង 
បានហៅ សមីការនៃការតភ្ជាប់។
យើងនឹងនិយាយបែបនោះ។ ចំណុច
បំពេញសមីការកំហិត, គឺជាចំណុចនៃអតិបរិមាតាមលក្ខខណ្ឌក្នុងស្រុក (អប្បបរមា) ប្រសិនបើមានសង្កាត់ 
ដូច្នេះសម្រាប់ចំណុចណាមួយ។ 
ដែលសំរបសំរួលដែលបំពេញសមីការកំហិត វិសមភាពមាន។
ប្រសិនបើពីសមីការទំនាក់ទំនងវាអាចទៅរួចក្នុងការស្វែងរកកន្សោមសម្រាប់ នៅបន្ទាប់មក ការជំនួសកន្សោមនេះទៅជាអនុគមន៍ដើម យើងបង្វែរក្រោយទៅជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរមួយ។ X.
វិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌគឺ វិធីសាស្រ្តមេគុណ Lagrange. តោះបង្កើតមុខងារជំនួយ កន្លែងណា 
─លេខមួយចំនួន។ មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា មុខងារ Lagrange, ក 
─មេគុណ Lagrange ។ ដូច្នេះហើយ បញ្ហានៃការស្វែងរកភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការស្វែងរកចំណុចជ្រុលក្នុងមូលដ្ឋានសម្រាប់មុខងារ Lagrange ។ ដើម្បីស្វែងរកចំណុចនៃភាពជ្រុលនិយមដែលអាចកើតមាន ចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួន 3 ដែលមិនស្គាល់ចំនួនបី x, yនិង។
បន្ទាប់មកគេគួរតែប្រើលក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរគ្រប់គ្រាន់ដូចខាងក្រោម។
ទ្រឹស្តីបទ.
ទុកចំណុចនោះជាចំណុចនៃភាពខ្លាំងដែលអាចកើតមានសម្រាប់មុខងារ Lagrange ។ យើងសន្មត់ថានៅជិតចំណុច 
មានដេរីវេនៃផ្នែកលំដាប់ទីពីរជាបន្តបន្ទាប់នៃមុខងារ 
និង 
. បញ្ជាក់
បន្ទាប់មកប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មក 
─ចំណុចជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារ 
នៅសមីការកម្រិត 
ទន្ទឹមនឹងនេះប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មក 
─ចំណុចអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌ ប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មក 
─ចំណុចនៃអតិបរមាតាមលក្ខខណ្ឌ។
§ ប្រាំបី។ ដេរីវេតាមជម្រាល និងទិសដៅ
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ 
កំណត់នៅក្នុងដែន (បើកចំហ) មួយចំនួន។ ពិចារណាចំណុចណាមួយ។ 
តំបន់នេះ និងបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយ (អ័ក្ស) 
ឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ (រូបភាពទី 1) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ 
- ចំណុចផ្សេងទៀតនៃអ័ក្សនេះ 
- ប្រវែងនៃផ្នែករវាង 
និង 
យកដោយសញ្ញាបូក ប្រសិនបើទិសដៅ 
ស្របគ្នានឹងទិសដៅនៃអ័ក្ស 
ហើយជាមួយនឹងសញ្ញាដក ប្រសិនបើទិសដៅរបស់ពួកគេផ្ទុយ។
អនុញ្ញាតឱ្យ 
ខិតជិតមិនកំណត់ 
. ដែនកំណត់
បានហៅ ដេរីវេនៃមុខងារ 
ឆ្ពោះទៅរក
(ឬតាមអ័ក្ស 
) និងត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ
.
ដេរីវេនេះកំណត់លក្ខណៈ "អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរ" នៃមុខងារនៅចំណុច 
ឆ្ពោះទៅរក 
. ជាពិសេស និងនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកធម្មតា។ 
,
ក៏អាចត្រូវបានគេគិតថាជានិស្សន្ទវត្ថុ "ដោយគោរពតាមទិសដៅ"។
ឧបមាថាឥឡូវនេះមុខងារ 
មាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តនៅក្នុងតំបន់ដែលកំពុងត្រូវបានពិចារណា។ អនុញ្ញាតឱ្យអ័ក្ស 
បង្កើតមុំជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ 
និង 
. ក្រោមការសន្មត់ ដេរីវេទិសដៅ 
មាន និងត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត
.
ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ 
កំណត់ដោយកូអរដោនេរបស់វា។ 
បន្ទាប់មក ដេរីវេនៃមុខងារ 
ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ 
អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត៖
.
វ៉ិចទ័រជាមួយកូអរដោនេ 
បានហៅ វ៉ិចទ័រជម្រាលមុខងារ 
នៅចំណុច 
. វ៉ិចទ័រជម្រាលបង្ហាញពីទិសដៅនៃការកើនឡើងលឿនបំផុតនៃមុខងារនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ឧទាហរណ៍
ផ្តល់អនុគមន៍ ចំណុច A(1, 1) និងវ៉ិចទ័រ 
. ស្វែងរក៖ 1) grad z នៅចំណុច A; 2) ដេរីវេនៅចំណុច A ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ 
.
ដេរីវេដោយផ្នែកនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចំណុចមួយ។ 
:
;
.
បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រជម្រាលនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះគឺ៖ 
. វ៉ិចទ័រជម្រាលក៏អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើការពង្រីកវ៉ិចទ័រផងដែរ។ 
និង 
:
. ដេរីវេនៃមុខងារ 
ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ 
:
ដូច្នេះ 
,
.◄
លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ
1. អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មានភាពខុសប្លែកគ្នាជាបន្តបន្ទាប់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច ហើយមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តបន្ទាប់ទីពីរ (សុទ្ធ និងចម្រុះ)។
2. បញ្ជាក់ដោយអ្នកកំណត់លំដាប់ទីពីរ
មុខងារបង្រៀនអថេរខ្លាំង
ទ្រឹស្តីបទ
ប្រសិនបើចំណុចដែលមានកូអរដោណេជាចំណុចស្ថានីសម្រាប់អនុគមន៍ នោះ៖
ក) នៅពេលដែលវាជាចំណុចនៃភាពជ្រុលនិយមក្នុងស្រុក និងអតិបរមាក្នុងស្រុក - អប្បរមាក្នុងស្រុក។
គ) នៅពេលដែលចំណុចមិនមែនជាចំណុចខ្លាំងក្នុងតំបន់;
គ) ប្រសិនបើ ប្រហែលជាទាំងពីរ។
ភស្តុតាង
យើងសរសេររូបមន្ត Taylor សម្រាប់មុខងារ ដោយកំណត់ខ្លួនយើងត្រឹមសមាជិកពីរនាក់៖
ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទចំណុចគឺស្ថានី និស្សន្ទវត្ថុភាគទីពីរគឺស្មើនឹងសូន្យ i.e. និង។ បន្ទាប់មក
បញ្ជាក់
បន្ទាប់មកការបង្កើនមុខងារនឹងមានទម្រង់៖
ដោយសារតែការបន្តនៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ (សុទ្ធ និងចម្រុះ) យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទនៅចំណុចមួយ យើងអាចសរសេរបាន៖
កន្លែងណាឬ; ,
1. អនុញ្ញាតឱ្យ និង, ឧ. ឬ។
2. យើងគុណចំនួនបន្ថែមនៃអនុគមន៍ និងចែកដោយ យើងទទួលបាន៖
3. បំពេញកន្សោមក្នុងតង្កៀបអង្កាញ់ទៅការ៉េពេញនៃផលបូក៖
4. កន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបអង្កាញ់គឺមិនអវិជ្ជមានចាប់តាំងពី
5. ដូេចនះ if and hence, and, then and, as the definition, the point is a local minimum.
6. ប្រសិនបើ និងមានន័យថា ហើយបើតាមនិយមន័យ ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ គឺជាចំណុចអតិបរមាក្នុងតំបន់។
2. ពិចារណាត្រីកោណមាត្រការ៉េ ដែលជាការរើសអើងរបស់វា។
3. ប្រសិនបើ នោះមានចំណុចដូចថាពហុធា
4. ការកើនឡើងសរុបនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយស្របតាមកន្សោមដែលទទួលបានក្នុង I យើងសរសេរក្នុងទម្រង់៖
5. ដោយសារតែការបន្តនៃនិស្សន្ទវត្ថុភាគលំដាប់ទីពីរ ដោយលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទនៅចំណុចមួយ យើងអាចសរសេរថា
ដូច្នេះ មានសង្កាត់នៃចំណុចមួយ ដែលសម្រាប់ចំណុចណាមួយ ត្រីកោណការ៉េគឺធំជាងសូន្យ៖
6. ពិចារណា - សង្កាត់នៃចំណុច។
ចូរយើងជ្រើសរើសតម្លៃណាមួយ នោះហើយជាចំណុច។ សន្មតថានៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ការបង្កើនមុខងារ
អ្វីដែលយើងទទួលបាន៖
7. ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។
8. អំណះអំណាងដូចគ្នាចំពោះឫសគល់ យើងយល់បានថា ក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចណាមួយ មានចំណុចមួយ ដែលហេតុដូច្នេះហើយ ក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចនោះ វាមិនរក្សាសញ្ញានោះទេ ដូច្នេះគ្មានចំណុចជ្រុលនិយមទេ។
លក្ខខណ្ឌជ្រុលនៃមុខងារនៃអថេរពីរ
នៅពេលស្វែងរក extrema នៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរ ជារឿយៗបញ្ហាកើតឡើងទាក់ទងនឹងអ្វីដែលគេហៅថា conditional extremum។ គំនិតនេះអាចត្រូវបានពន្យល់ដោយឧទាហរណ៍នៃមុខងារនៃអថេរពីរ។
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ និងបន្ទាត់ L ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ 0xy ។ ភារកិច្ចគឺស្វែងរកចំណុច P (x, y) នៅលើបន្ទាត់ L ដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍គឺធំជាងគេឬតូចបំផុតបើប្រៀបធៀបទៅនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នេះនៅចំណុចនៃបន្ទាត់ L ដែលមានទីតាំងនៅជិត។ ចំនុច P. ចំនុច P បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាមុខងារចំនុច extremum តាមលក្ខខណ្ឌនៅលើបន្ទាត់ L. ផ្ទុយទៅនឹងចំនុច extremum ធម្មតា តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច extremum តាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានប្រៀបធៀបជាមួយនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍មិននៅគ្រប់ចំនុចទេ។ នៃសង្កាត់មួយចំនួនរបស់វា ប៉ុន្តែមានតែអ្នកដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ L.
វាច្បាស់ណាស់ថាចំណុចនៃជ្រុលធម្មតា (ពួកគេក៏និយាយថាភាពជ្រុលនិយមដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ) ក៏ជាចំណុចនៃភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌសម្រាប់បន្ទាត់ណាមួយដែលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ។ ពិតណាស់ ការសន្ទនាគឺមិនពិតទេ៖ ចំណុចជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌអាចមិនមែនជាចំណុចជ្រុលនិយមធម្មតានោះទេ។ ចូរយើងបង្ហាញពីអ្វីដែលបាននិយាយជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។
ឧទាហរណ៍ #1 ។ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺជាអឌ្ឍគោលខាងលើ (រូបភាពទី 2) ។
អង្ករ។ 2.
មុខងារនេះមានអតិបរមានៅប្រភពដើម; វាត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនុចកំពូល M នៃអឌ្ឍគោល។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ L ជាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច A និង B (សមីការរបស់វា) នោះវាច្បាស់ណាស់តាមធរណីមាត្រថាសម្រាប់ចំនុចនៃបន្ទាត់នេះ តម្លៃអតិបរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានទៅដល់ចំនុចដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលរវាងចំនុច A និង ខ. នេះគឺជាមុខងារចំណុចជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌ (អតិបរមា) នៅលើបន្ទាត់នេះ; វាត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុច M 1 នៅលើអឌ្ឍគោល ហើយគេអាចមើលឃើញពីតួលេខថា មិនអាចមានចម្ងល់អំពីភាពជ្រុលនិយមធម្មតានៅទីនេះទេ។
ចំណាំថានៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយនៃបញ្ហានៃការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅក្នុងតំបន់បិទជិត មួយត្រូវស្វែងរកតម្លៃខ្លាំងបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើព្រំដែននៃតំបន់នេះ i.e. នៅលើបន្ទាត់មួយចំនួន ហើយដោយហេតុនេះដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌ។
និយមន័យ ១.ពួកគេនិយាយថាកន្លែងណាដែលមានអតិបរិមាតាមលក្ខខណ្ឌ ឬទាក់ទង (អប្បបរមា) នៅចំណុចដែលបំពេញសមីការ៖ ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយដែលបំពេញសមីការ វិសមភាព
និយមន័យ ២.សមីការនៃទម្រង់ត្រូវបានគេហៅថាសមីការកម្រិត។
ទ្រឹស្តីបទ
ប្រសិនបើអនុគមន៍ និងមានភាពខុសប្លែកគ្នាជាបន្តបន្ទាប់នៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចមួយ ហើយដេរីវេដោយផ្នែក និងចំណុចគឺជាចំណុចនៃលក្ខខណ្ឌជ្រុលនៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងសមីការកម្រិត នោះកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរគឺស្មើនឹងសូន្យ៖
ភស្តុតាង
1. ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ ដេរីវេដោយផ្នែក និងតម្លៃនៃអនុគមន៍ បន្ទាប់មកនៅក្នុងចតុកោណកែងមួយចំនួន
មុខងារបង្កប់ន័យដែលបានកំណត់
អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញនៃអថេរពីរនៅចំណុចមួយនឹងមានភាពជ្រុលនិយមក្នុងតំបន់ ដូច្នេះ ឬ។
2. ជាការពិតណាស់ យោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិ invariance នៃរូបមន្តឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ
3. សមីការការតភ្ជាប់អាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់នេះដែលមានន័យថា
4. គុណសមីការ (2) ដោយ និង (3) ដោយ ហើយបន្ថែមពួកវា
ដូច្នេះនៅ
បំពាន។ h.t.d.
ផលវិបាក
ការស្វែងរកចំណុចជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនៃអថេរពីរក្នុងការអនុវត្តត្រូវបានអនុវត្តដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។
ដូច្នេះក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើលេខ 1 ពីសមីការទំនាក់ទំនងដែលយើងមាន។ ពីទីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាតើអ្វីដែលឈានដល់កម្រិតអតិបរមា។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកពីសមីការនៃការទំនាក់ទំនង។ យើងទទួលបានចំនុច P ដែលរកឃើញតាមធរណីមាត្រ។
ឧទាហរណ៍ #2 ។ស្វែងរកចំណុចជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ដោយគោរពតាមសមីការកម្រិត។
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងសមីការការតភ្ជាប់៖
ចូរយើងបង្កើតកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ៖
ចូរសរសេរប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់ការស្វែងរកចំណុចជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌ៖
ដូចនេះ មានចំណុចខ្លាំងបំផុតតាមលក្ខខណ្ឌចំនួនបួននៃមុខងារដែលមានកូអរដោណេ៖ .
ឧទាហរណ៍ #3 ។ស្វែងរកចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ។
ដោយស្មើនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកទៅសូន្យ៖ យើងរកឃើញចំណុចស្ថានីមួយគឺប្រភពដើម។ នៅទីនេះ។ ដូច្នេះចំនុច (0, 0) មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងពេកទេ។ សមីការគឺជាសមីការនៃអ៊ីពែរបូលប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត (រូបភាពទី 3) តួរលេខបង្ហាញថាចំនុច (0, 0) មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។
អង្ករ។ 3.
តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅក្នុងតំបន់បិទជិត
1. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅក្នុងដែនបិទជិតដែលមានព្រំដែន D ។
2. អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មាននិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកកំណត់នៅក្នុងតំបន់នេះ លើកលែងតែចំណុចនីមួយៗនៃតំបន់។
3. អនុលោមតាមទ្រឹស្ដី Weierstrass នៅក្នុងតំបន់នេះមានចំណុចមួយដែលអនុគមន៍យកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត។
4. ប្រសិនបើចំនុចទាំងនេះជាចំនុចខាងក្នុងនៃតំបន់ D នោះវាច្បាស់ណាស់ថាពួកគេនឹងមានអតិបរមា ឬអប្បបរមា។
5. ក្នុងករណីនេះ ចំណុចដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺស្ថិតក្នុងចំណោមចំណុចដែលគួរឲ្យសង្ស័យបំផុត។
6. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មុខងារក៏អាចទទួលយកតម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមានៅលើព្រំដែននៃតំបន់ D ។
7. ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃអនុគមន៍នៅក្នុងតំបន់ D អ្នកត្រូវស្វែងរកចំណុចខាងក្នុងទាំងអស់ដែលគួរឱ្យសង្ស័យសម្រាប់ភាពខ្លាំងមួយ គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅក្នុងពួកវា បន្ទាប់មកប្រៀបធៀបជាមួយនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅ ចំណុចព្រំដែននៃតំបន់ ហើយធំបំផុតនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញទាំងអស់នឹងធំជាងគេនៅក្នុងតំបន់បិទ D ។
8. វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកអតិបរិមាឬអប្បបរមាក្នុងស្រុកត្រូវបានពិចារណាមុននេះនៅក្នុងផ្នែក 1.2 ។ និង 1.3 ។
9. វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាវិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកតម្លៃអតិបរមានិងអប្បបរមានៃមុខងារនៅលើព្រំដែននៃតំបន់។
10. ក្នុងករណីមុខងារនៃអថេរពីរ ផ្ទៃជាធម្មតាប្រែទៅជាត្រូវបានចងដោយខ្សែកោង ឬខ្សែកោងជាច្រើន។
11. តាមខ្សែកោងបែបនេះ (ឬខ្សែកោងជាច្រើន) អថេរ និងអាស្រ័យគ្នាទៅវិញទៅមក ឬទាំងពីរអាស្រ័យទៅលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ។
12. ដូច្នេះនៅលើព្រំដែន អនុគមន៍ប្រែទៅជាអាស្រ័យលើអថេរមួយ។
13. វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារនៃអថេរមួយត្រូវបានពិភាក្សាពីមុន។
14. សូមអោយព្រំដែននៃតំបន់ D ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាមេតៈ
បន្ទាប់មកនៅលើខ្សែកោងនេះ មុខងារនៃអថេរពីរនឹងជាមុខងារស្មុគស្មាញនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ . សម្រាប់មុខងារបែបនេះ តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្ត្រនៃការកំណត់តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតសម្រាប់មុខងារនៃអថេរមួយ។
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ z - f(x, y) ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងដែន D មួយចំនួន ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ Mo(xo, y0) ជាចំណុចខាងក្នុងនៃដែននេះ។ និយមន័យ។ ប្រសិនបើមានចំនួនបែបនេះដែលវិសមភាពគឺពិតសម្រាប់ទាំងអស់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ នោះចំណុច Mo(xo, yo) ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចនៃអតិបរមាមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍ f(x, y); ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយសម្រាប់ Dx ទាំងអស់ Du បំពេញលក្ខខណ្ឌ | បន្ទាប់មកចំនុច Mo(x0, y0) ត្រូវបានគេហៅថាអប្បបរមាក្នុងស្រុកដ៏ល្អ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំណុច M0(x0, y0) គឺជាចំណុចអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍ f(x, y) ប្រសិនបើមាន 6-neighborhood នៃចំនុច A/o(x0, y0) ដូចនេះ។ ចំណុច M (x, y) នៃសង្កាត់នេះ ការបង្កើនមុខងាររក្សាសញ្ញា។ ឧទាហរណ៍។ 1. សម្រាប់អនុគមន៍ ចំនុចមួយគឺជាចំនុចអប្បបរមា (រូបភាព 17)។ 2. សម្រាប់អនុគមន៍ ចំនុច 0(0,0) គឺជាចំនុចអតិបរិមា (រូបភាព 18)។ 3. សម្រាប់អនុគមន៍ ចំណុច 0(0,0) គឺជាចំណុចអតិបរមាក្នុងតំបន់។ 4 ជាការពិតណាស់ មានសង្កាត់មួយនៃចំណុច 0(0, 0) ឧទាហរណ៍ រង្វង់កាំ j (សូមមើលរូបទី 19) នៅចំនុចណាមួយដែលខុសពីចំនុច 0(0, 0) តម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x, y) តិចជាង 1 = យើងនឹងពិចារណាតែចំណុចនៃអតិបរមាដ៏តឹងរឹង និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ នៅពេលដែលវិសមភាពដ៏តឹងរឹង ឬវិសមភាពដ៏តឹងរឹងមានសម្រាប់គ្រប់ពិន្ទុ M(x) y) ពី 6-neighborhood មួយចំនួនដែលបានវាយ ចំណុច Mq ។ តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចអតិបរមាត្រូវបានគេហៅថាអតិបរមា ហើយតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថាអប្បបរមានៃអនុគមន៍នេះ។ ចំណុចអតិបរិមា និងអប្បរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ ហើយអតិបរិមា និងអប្បរមានៃអនុគមន៍គេហៅថា ជ្រុលរបស់វា។ ទ្រឹស្តីបទ ១១ (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម)។ If function Extremum of a function of several variables គោលគំនិតនៃ extremum នៃ function នៃ variables ជាច្រើន។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ extremum Conditional extremum តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍បន្តមាន extremum នៅចំណុចបន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកនីមួយៗ ហើយ u បាត់ឬមិនមាន។ សូមអោយអនុគមន៍ z = f(x) y) មានចំនុចខ្លាំងនៅចំនុច M0(x0, y0)។ ចូរឱ្យអថេរ y នូវតម្លៃ yo ។ បន្ទាប់មកអនុគមន៍ z = /(x, y) នឹងក្លាយជាអនុគមន៍នៃអថេរមួយ x\ ចាប់តាំងពីនៅ x = xo វាមានអតិបរិមា (អតិបរមា ឬអប្បបរមា រូបភាពទី 20) បន្ទាប់មកដេរីវេរបស់វាទាក់ទងទៅនឹង x = “o, | (*o,l>)" គឺស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងផ្ទៀងផ្ទាត់ថា) ឬស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។ ចំនុចដែល = 0 និង u = 0 ឬមិនមានគឺ ហៅថាចំនុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ z = Dx, y) ចំនុចដែល $£ = u = 0 ត្រូវបានគេហៅថាចំនុចស្ថានីនៃអនុគមន៍។ទ្រឹស្តីបទ 11 បង្ហាញតែលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ extremum ដែលមិនគ្រប់គ្រាន់។ 18 Fig.20 និស្សន្ទវត្ថុ immt ដែលបាត់នៅ។ ប៉ុន្តែមុខងារនេះគឺស្តើងជាងនៅលើ imvat “straumum ។ ជាការពិត អនុគមន៍គឺស្មើនឹងសូន្យនៅចំណុច 0(0, 0) ហើយយកចំណុច M(x, y) ដូចអ្នកចូលចិត្តដល់ចំនុច 0(0, 0) kkk តម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ សម្រាប់វា ដូច្នេះនៅចំនុច (0, y) សម្រាប់ចំនុចតូចៗតាមអំពើចិត្ត ចំនុច 0(0, 0) នៃប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថា mini-max point (រូបភាព 21)។ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់មុខងារខ្លាំងនៃអថេរពីរត្រូវបានបង្ហាញដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។ ទ្រឹស្តីបទ 12 (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អថេរអថេរអថេរ)។ សូមឲ្យចំណុច Mo(xo, y0) ជាចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ f(x, y) ហើយនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច / រួមទាំងចំណុច Mo ខ្លួនឯង អនុគមន៍ f(r, y) មាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តបន្ទាប់។ ទៅលំដាប់ទីពីររួមបញ្ចូល។ បន្ទាប់មក "1) នៅចំណុច Mq(xq, V0) អនុគមន៍ f(x, y) មានអតិបរមា ប្រសិនបើកត្តាកំណត់គឺនៅចំណុចនេះ 2) នៅចំណុច Mo(x0, V0) មុខងារ f(x, y) មានអប្បរមាប្រសិនបើនៅចំណុច Mo(xo, yo) មុខងារ f(x, y) មិនមានខ្លាំងទេ ប្រសិនបើ D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) អតិបរមានៃអនុគមន៍ f(x, y) អាចឬមិនមែន។ ក្នុងករណីនេះការស្រាវជ្រាវបន្ថែមត្រូវបានទាមទារ។ យើងបង្ខាំងខ្លួនយើងក្នុងការបញ្ជាក់ការអះអាង 1) និង 2) នៃទ្រឹស្តីបទ។ ចូរយើងសរសេររូបមន្ត Taylor នៃលំដាប់ទីពីរសម្រាប់អនុគមន៍ /(i,y): where. ដោយការសន្មត់ថាមកពីណា វាច្បាស់ណាស់ថាសញ្ញានៃការកើនឡើង D/ ត្រូវបានកំណត់ដោយសញ្ញានៃ trinomial នៅជ្រុងខាងស្តាំនៃ (1) i.e. សញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរ d2f ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយសង្ខេប។ បន្ទាប់មកសមភាព (l) អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: អនុញ្ញាតឱ្យនៅចំណុច MQ (ដូច្នេះ, y0) យើងមានសង្កាត់នៃចំណុច M0 (s0, yo) ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ (នៅចំណុច A/0) ត្រូវបានពេញចិត្ត ហើយដោយសារតែការបន្ត និស្សន្ទវត្ថុ /,z(s, y) នឹងរក្សាសញ្ញារបស់វានៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច Af0។ នៅក្នុងតំបន់ដែល A ∆ 0, យើងមាន 0 នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច M0(x0) y0) បន្ទាប់មកសញ្ញានៃ trinomial AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 ស្របគ្នានឹងសញ្ញា A នៅចំណុច C មិនអាចមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា)។ ចាប់តាំងពីសញ្ញានៃផលបូក AAs2 + 2BAxAy + CAy2 នៅចំណុច (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) កំណត់សញ្ញានៃភាពខុសគ្នានោះយើងមកដល់ការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម: ប្រសិនបើមុខងារ f (s, y) នៅ ចំណុចស្ថានី (s0, yo) បំពេញលក្ខខណ្ឌ បន្ទាប់មកសម្រាប់ទំហំតូចគ្រប់គ្រាន់ || វិសមភាពនឹងកាន់។ ដូច្នេះនៅចំណុច (sq, y0) មុខងារ / (s, y) មានអតិបរមា។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានពេញចិត្តនៅចំណុចស្ថានី (s0, y0) បន្ទាប់មកសម្រាប់ទាំងអស់តូចគ្រប់គ្រាន់ |Ar| និង |ធ្វើ| វិសមភាពគឺពិត ដែលមានន័យថា អនុគមន៍ /(s, y) មានអប្បបរមានៅចំណុច (ដូច្នេះ, yo) ។ ឧទាហរណ៍។ 1. ស៊ើបអង្កេតអនុគមន៍ទី 4 សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពខ្លាំងមួយ យើងរកមើលចំណុចស្ថានីនៃមុខងារ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក u ហើយយកវាទៅសូន្យ។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការពីកន្លែងដែល - ចំណុចស្ថានី។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងប្រើទ្រឹស្តីបទ 12។ យើងមាន ហេតុដូច្នេះហើយ មានភាពជ្រុលនិយមនៅចំណុច Ml ។ ព្រោះនេះជាអប្បបរមា។ ប្រសិនបើយើងបំប្លែងអនុគមន៍ g ទៅជាទម្រង់ នោះវាងាយស្រួលឃើញថាផ្នែកខាងស្តាំ (")" នឹងមានតិចតួចបំផុត នៅពេលដែលអប្បបរមាដាច់ខាតនៃអនុគមន៍នេះ។ 2. ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ភាពខ្លាំងមួយ។ យើងរកឃើញចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ដែលយើងចងក្រងប្រព័ន្ធនៃសមីការពីទីនេះដើម្បីឱ្យចំណុចនៅស្ថានី។ ដោយហេតុថា ទ្រឹស្តីបទ 12 មិនមានភាពជ្រុលនិយមនៅចំណុច M. * 3. ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ខ្លាំងបំផុត ស្វែងរកចំណុចស្ថានីនៃមុខងារ។ ពីប្រព័ន្ធនៃសមីការយើងទទួលបាននោះ ដូច្នេះចំណុចគឺនៅស្ថានី។ លើសពីនេះ យើងមានដូច្នេះថា ទ្រឹស្តីបទ 12 មិនផ្តល់ចម្លើយចំពោះសំណួរអំពីវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមនោះទេ។ តោះធ្វើវាតាមវិធីនេះ។ សម្រាប់អនុគមន៍អំពីចំណុចទាំងអស់ក្រៅពីចំណុចមួយ ដូច្នេះតាមនិយមន័យ នៅចំណុច A/o(0,0) អនុគមន៍ r មានអប្បបរមាដាច់ខាត។ ដោយការសម្ងួតតាមបែបអាណាឡូក យើងកំណត់ថាមុខងារមានអតិបរមានៅចំណុច ប៉ុន្តែមុខងារមិនមានកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុចនោះទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍នៃ η អថេរអថេរអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុចមួយ។ ចំនុច Mo ត្រូវបានគេហៅថាជាចំនុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើទ្រឹស្តីបទ 13 (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម)។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់ និងមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តនៃលំដាប់ទីពីរនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃបន្ទាត់ពិន័យ Mc(xi... ដែលជាអនុគមន៍ផាកពិន័យស្ថានី ប្រសិនបើទម្រង់រាងចតុកោណ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរនៃអនុគមន៍ f នៅក្នុងការផាកពិន័យ។ ចំណុចគឺវិជ្ជមាន-កំណត់ (អវិជ្ជមាន-កំណត់) ចំណុចអប្បបរមា (រៀងគ្នា អតិបរមាពិន័យជាប្រាក់) នៃអនុគមន៍ f គឺល្អ ប្រសិនបើទម្រង់រាងចតុកោណ (4) ជាសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា នោះមិនមានកម្រិតខ្លាំងនៅក្នុងការផាកពិន័យ LG0 ។ 15.2 លក្ខខណ្ឌ extremum រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានស្វែងរក local extrema នៃអនុគមន៍មួយនៅក្នុងដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យរបស់វា នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍មិនត្រូវបានចងភ្ជាប់ដោយលក្ខខណ្ឌបន្ថែមណាមួយទេ។ extrema បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា unconditional។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហានៃការស្វែងរកដែលគេហៅថា ភាពជ្រុលនៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ z \u003d / (x, y) ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងតំបន់ D. អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាខ្សែកោង L ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងតំបន់នេះ ហើយវាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍ f (x> y) តែប៉ុណ្ណោះ ក្នុងចំណោមតម្លៃរបស់វាដែលត្រូវគ្នានឹងចំនុចនៃខ្សែកោង L. ភាពខ្លាំងដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា extrema តាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ z = f(x) y) នៅលើខ្សែកោង L. និយមន័យវាត្រូវបានគេនិយាយថានៅចំណុចមួយនិយាយកុហក។ នៅលើខ្សែកោង L អនុគមន៍ f(x,y) មានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា (អប្បបរមា) ប្រសិនបើវិសមភាពត្រូវបានពេញចិត្ត រៀងគ្នានៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ M (s, y) ខ្សែកោង L ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច M0(x0, Yo) និងខុសគ្នាពីចំណុច M0 (ប្រសិនបើខ្សែកោង L ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ នោះបញ្ហានៃការស្វែងរកភាពខ្លាំងតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ r - f(x, y) នៅលើខ្សែកោង! អាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម: ស្វែងរក extrema នៃអនុគមន៍ x = / (z, y) នៅក្នុងតំបន់ D បានផ្តល់ថាដូច្នេះនៅពេលស្វែងរក extrema តាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ z = y) អាគុយម៉ង់ zn មិនអាចត្រូវបានគេពិចារណាទៀតទេ។ ជាអថេរឯករាជ្យ៖ ពួកវាត្រូវបានតភ្ជាប់គ្នាដោយទំនាក់ទំនង y ) = 0 ដែលត្រូវបានគេហៅថាសមីការកម្រិត។ ដើម្បីពន្យល់ពីភាពខុសគ្នារវាង m «* D y ជាអតិបរិមាដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ និងតាមលក្ខខណ្ឌ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត អតិបរមាដែលគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ (រូបភាពទី. 23) ស្មើនឹងមួយ ហើយឈានដល់ចំនុច (0,0)។ វាត្រូវគ្នាទៅនឹង M - vertex នៃ pvvboloid ។ ចូរយើងបន្ថែមសមីការកំហិត y = j ។ បន្ទាប់មកអតិបរិមាតាមលក្ខខណ្ឌច្បាស់ជានឹងស្មើ។ វាត្រូវបានឈានដល់ចំណុច (o, |) ហើយវាត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនុចកំពូល Afj នៃ pvvboloid ដែលជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃ pvvboloid ជាមួយយន្តហោះ y = j ។ ក្នុងករណី s អប្បបរមាដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ យើងមានកម្មវិធីតូចបំផុតក្នុងចំណោមការពន្យល់ទាំងអស់នៃផ្ទៃ * = 1 - n; 2 ~ y1; slumvv លក្ខខណ្ឌ - តែក្នុងចំណោមចំណុច vllkvt pvrboloidv ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុច * នៃបន្ទាត់ត្រង់ y = j មិនមែននៃយន្តហោះ xOy ។ វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការស្វែងរកលក្ខខណ្ឌជ្រុលនៃមុខងារមួយនៅក្នុងវត្តមាន និងការតភ្ជាប់គឺដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យសមីការការតភ្ជាប់ y)-0 កំណត់ y ជាមុខងារខុសគ្នាតម្លៃតែមួយនៃអាគុយម៉ង់ x: ការជំនួសអនុគមន៍ជំនួសឱ្យ y ទៅក្នុងអនុគមន៍ យើងទទួលបានអនុគមន៍នៃអាគុយម៉ង់មួយដែលលក្ខខណ្ឌនៃការតភ្ជាប់ត្រូវបានយកមកពិចារណារួចហើយ។ . ភាពខ្លាំងបំផុត (ដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ) នៃមុខងារ គឺជា extremum តាមលក្ខខណ្ឌដែលចង់បាន។ ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរក extremum នៃអនុគមន៍មួយនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ Extremum of a function of several variables គោលគំនិតនៃ extremum នៃ function នៃ variables ជាច្រើន។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ extremum Conditional extremum តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍បន្ត A \u003d 1 - ចំនុចសំខាន់; ដូច្នេះហើយទើបផ្តល់នូវអប្បរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ r (រូបភាព 24) អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយ។ បញ្ហានៃភាពជ្រុលហួសលក្ខខណ្ឌដែលហៅថាវិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange សូមឲ្យមានចំណុចនៃមុខងារជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារក្នុងវត្តមាននៃការតភ្ជាប់។ ចូរយើងសន្មត់ថាសមីការនៃការតភ្ជាប់កំណត់មុខងារខុសគ្នាបន្តបន្ទាប់តែមួយគត់ក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច xi សន្មត់ថាយើងទទួលបានដេរីវេដែលទាក់ទងនឹង x នៃអនុគមន៍ /(r, ip(x)) នៅចំណុច xq ត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ ឬដែលស្មើនឹងនេះ ឌីផេរ៉ង់ស្យែល f (x, y ) នៅចំណុច Mo "O) ពីសមីការការតភ្ជាប់យើងមាន (5) បន្ទាប់មក ដោយសារការបំពាននៃ dx យើងទទួលបានសមភាព (6) និង (7) បង្ហាញពីលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៅចំណុចនៃអនុគមន៍មួយហៅថា អនុគមន៍ Lagrange ។ ដូច្នេះចំណុចនៃលក្ខខណ្ឌជ្រុលនៃអនុគមន៍ / (x, y) ប្រសិនបើ ចាំបាច់ជាចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ Lagrange ដែល A ជាមេគុណលេខមួយចំនួន។ ពីទីនេះយើងទទួលបានច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរក extrema តាមលក្ខខណ្ឌ៖ ដើម្បីស្វែងរកចំណុចដែលអាចជាចំណុចនៃភាពជ្រុលនិយមនៃមុខងារមួយនៅក្នុងវត្តមាននៃការភ្ជាប់ 1) យើងបង្កើតមុខងារ Lagrange 2) សមីការនិស្សន្ទវត្ថុ និង W នៃអនុគមន៍នេះ។ ដល់សូន្យ ហើយបន្ថែមសមីការតភ្ជាប់ទៅសមីការលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបី ដែលយើងរកឃើញតម្លៃនៃ A និងកូអរដោនេ x, y នៃចំណុចខ្លាំងដែលអាចកើតមាន។ សំណួរនៃអត្ថិភាព និងធម្មជាតិនៃលក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយមត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្អែកលើការសិក្សាអំពីសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរនៃអនុគមន៍ Lagrange សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលបានពិចារណានៃតម្លៃ x0, Yo, A ដែលទទួលបានពី (8) ក្រោមលក្ខខណ្ឌ ថាប្រសិនបើ នៅចំណុច (x0, Yo) អនុគមន៍ f(x, y) មានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា។ ប្រសិនបើ d2F > 0 - បន្ទាប់មកអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌ។ ជាពិសេស ប្រសិនបើនៅចំណុចស្ថានី (xo, J/o) កត្តាកំណត់ D សម្រាប់អនុគមន៍ F(x, y) គឺវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកនៅចំណុច (®o, V0) មានលក្ខខណ្ឌអតិបរមានៃអនុគមន៍ /( x, y) ប្រសិនបើ និងលក្ខខណ្ឌអប្បបរមានៃអនុគមន៍ /(x, y) ប្រសិនបើឧទាហរណ៍។ ចូរយើងងាកទៅរកលក្ខខណ្ឌនៃឧទាហរណ៍មុនម្តងទៀត៖ ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ថា x + y = 1 ។ យើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange ។ អនុគមន៍ Lagrange ក្នុងករណីនេះមានទម្រង់ដើម្បីស្វែងរកចំណុចស្ថានី យើងតែងប្រព័ន្ធមួយពីសមីការពីរដំបូងរបស់ប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន x = y ។ បន្ទាប់មកពីសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ (សមីការគូ) យើងរកឃើញថា x - y = j - កូអរដោនេនៃចំនុចនៃចំនុចខ្លាំងដែលអាចកើតមាន។ ក្នុងករណីនេះ (វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញថា A \u003d -1 ។ ដូច្នេះ អនុគមន៍ Lagrange ។ គឺជាចំណុចអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ * \u003d x2 + y2 ក្រោមលក្ខខណ្ឌថាមិនមានលក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយមសម្រាប់អនុគមន៍ Lagrangian ។ P ( x, y) មិនទាន់មានន័យថាអវត្តមាននៃលក្ខខណ្ឌជ្រុលសម្រាប់អនុគមន៍ /(x, y) ក្នុងវត្តមាននៃការតភ្ជាប់ ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍ក្រោមលក្ខខណ្ឌ y 4 តែងអនុគមន៍ Lagrange ហើយសរសេរចេញ ប្រព័ន្ធសម្រាប់កំណត់ A និងកូអរដោនេនៃចំណុចខ្លាំងដែលអាចធ្វើបាន៖ y = A = 0. ដូច្នេះ អនុគមន៍ Lagrange ដែលត្រូវគ្នាមានទម្រង់នៅចំណុច (0, 0) មុខងារ F(x, y; 0) មិនមាន unconditional extremum ប៉ុន្តែ extremum តាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ r = xy ។ នៅពេល y = x វាមាន "ជាការពិត ក្នុងករណីនេះ r = x2 ។ ពីទីនេះ វាច្បាស់ណាស់ថានៅចំណុច (0,0) មានអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌ . " វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណ Lagrange ត្រូវបានផ្ទេរទៅករណីនៃមុខងារនៃចំនួនអាគុយម៉ង់ណាមួយ / អនុញ្ញាតឱ្យភាពខ្លាំងនៃមុខងារត្រូវបានស្វែងរកនៅក្នុងវត្តមាននៃសមីការការតភ្ជាប់ Sostaalyaem អនុគមន៍ Lagrange ដែល A|, Az, ... , A ", - ទេ។ កត្តាអថេរជាក់លាក់។ សមីការទៅនឹងសូន្យដេរីវេភាគទាំងអស់នៃលំដាប់ទីមួយនៃអនុគមន៍ F និងបន្ថែមទៅសមីការដែលទទួលបាន សមីការការតភ្ជាប់ (9) យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការ n + m ដែលយើងកំណត់ Ab A3|... , Am និង កូអរដោណេ x\) x2) ។ » xn ចំណុចដែលអាចកើតមាននៃកម្រិតជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌ។ សំណួរថាតើចំណុចដែលរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ Lagrange គឺពិតជាចំណុចជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌ ជាញឹកញាប់អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្អែកលើការពិចារណានៃធម្មជាតិរូបវន្ត ឬធរណីមាត្រ។ ១៥.៣. តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍បន្ត អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា (តូចបំផុត) នៃអនុគមន៍ z = /(x, y) បន្តនៅក្នុងដែនព្រំដែនដែលបានពង្រីកមួយចំនួន D ។ តាមទ្រឹស្តីបទ 3 នៅក្នុងតំបន់នេះមានចំណុចមួយ (xo, V0) ដែលអនុគមន៍យកតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) ។ ប្រសិនបើចំណុច (xo, y0) ស្ថិតនៅខាងក្នុងដែន D នោះមុខងារ / មានអតិបរមា (អប្បបរមា) នៅក្នុងវា ដូច្នេះហើយក្នុងករណីនេះចំណុចចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងគឺស្ថិតនៅក្នុងចំណោមចំណុចសំខាន់ៗនៃអនុគមន៍ /(x , y) ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មុខងារ /(x, y) ក៏អាចឈានដល់តម្លៃអតិបរមា (តូចបំផុត) របស់វានៅព្រំដែននៃតំបន់។ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) ដែលយកដោយអនុគមន៍ z = /(x, y) នៅក្នុងតំបន់បិទជិត 2) ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកអតិបរមា (អប្បបរមា) នៃអនុគមន៍ដែលសម្រេចបាននៅក្នុងតំបន់នេះ។ ក៏ដូចជាតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃមុខងារនៅលើព្រំដែននៃតំបន់នេះ។ ធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃលេខទាំងអស់នេះនឹងជាតម្លៃអតិបរមាដែលចង់បាន (តូចបំផុត) នៃអនុគមន៍ z = /(x, y) ក្នុងតំបន់ 27. ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងករណីនៃមុខងារផ្សេងគ្នា។ ព្រីម ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៃតំបន់ 4. យើងរកឃើញចំណុចសំខាន់នៃអនុគមន៍នៅក្នុងផ្ទៃ D. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការ។ ពីទីនេះយើងទទួលបាន x \u003d y \u003e 0 ដូច្នេះចំនុច 0 (0,0) គឺជាចំនុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ x ។ ចាប់តាំងពីពេលនេះយើងរកឃើញតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៅលើព្រំដែន Г នៃតំបន់ D. នៅលើផ្នែកនៃព្រំដែនដែលយើងមាន ដូច្នេះ y \u003d 0 គឺជាចំណុចសំខាន់ ហើយចាប់តាំងពី \u003d ពេលនោះមក ចង្អុលមុខងារ z \u003d 1 + y2 មានអប្បបរមាស្មើនឹងមួយ។ នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក G", នៅចំណុច (, យើងមាន។ ដោយប្រើការពិចារណាស៊ីមេទ្រីយើងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នាសម្រាប់ផ្នែកផ្សេងទៀតនៃព្រំដែន។ ទីបំផុតយើងទទួលបាន: តម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ z \u003d x2 + y2 ក្នុង តំបន់ "B" គឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយវាត្រូវបានឈានដល់ចំណុចខាងក្នុង 0 (0, 0) តំបន់ ហើយតម្លៃអតិបរមានៃមុខងារនេះស្មើនឹងពីរត្រូវបានទៅដល់ចំណុចបួននៃព្រំដែន (Fig ។ 25) Fig.25 អនុគមន៍លំហាត់៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបរបស់វា៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ៖ 3 ស្វែងរក J. Extremum នៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើន គោលគំនិតនៃភាពជ្រុលនៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើន លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ an extremum Conditional extremum តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍បន្ត 34. ការប្រើប្រាស់រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ពីរអថេរ ស្វែងរក និងអនុគមន៍ 35. ការប្រើប្រាស់រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ ក្នុងអថេរពីរ រក |J និងអនុគមន៍៖ រក jj implicit functions: 40. រកចំណោទនៃខ្សែកោងតង់ហ្សង់នៅចំណុចប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ x = 3 ។ 41. រកចំនុចដែលតង់សង់នៃខ្សែកោង x ស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ។ . ក្នុងកិច្ចការខាងក្រោម ស្វែងរក និង Z៖ សរសេរសមីការនៃប្លង់តង់សង់ និងផ្ទៃធម្មតានៃផ្ទៃ៖ 49. សរសេរសមីការនៃប្លង់តង់សង់នៃផ្ទៃ x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21 ស្របទៅនឹងយន្តហោះ x + 4y + 6z \u003d 0. ស្វែងរកពាក្យបីទៅបួនដំបូងនៃការពង្រីកដោយប្រើរូបមន្ត Taylor : 50. y ក្នុងសង្កាត់នៃចំនុច (0, 0)។ ដោយប្រើនិយមន័យនៃមុខងារខ្លាំងបំផុត ស៊ើបអង្កេតមុខងារខាងក្រោមសម្រាប់ភាពខ្លាំងបំផុត :)។ ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរពីរ ស៊ើបអង្កេតភាពខ្លាំងបំផុតនៃអនុគមន៍៖ 84. រកតម្លៃធំបំផុតនិងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ z \u003d x2 - y2 ក្នុងរង្វង់បិទជិត 85. រកតម្លៃធំបំផុតនិងតូចបំផុត តម្លៃ \u200b\u200bo នៃអនុគមន៍ * \u003d x2y (4-x-y) ក្នុងត្រីកោណដែលចងដោយបន្ទាត់ x \u003d 0, y = 0, x + y = b ។ 88. កំណត់វិមាត្រនៃអាងបើកចំហរាងចតុកោណជាមួយនឹងផ្ទៃតូចបំផុតដោយផ្តល់ថាបរិមាណរបស់វាស្មើនឹង V. 87 ។ ស្វែងរកវិមាត្រនៃរាងចតុកោណស្របគ្នាជាមួយនឹងផ្ទៃសរុបដែលបានផ្តល់ឱ្យ 5 បរិមាណអតិបរមា។ ចំលើយ 1. និង | ការ៉េដែលបង្កើតឡើងដោយផ្នែកបន្ទាត់ x រួមទាំងជ្រុងរបស់វា។ 3. គ្រួសារនៃរង្វង់មូល 2= 0,1,2,….4. ប្លង់ទាំងមូលលើកលែងតែចំណុចនៃបន្ទាត់ត្រង់ y ។ ផ្នែកនៃយន្តហោះដែលស្ថិតនៅពីលើប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d -x?. 8. ចំនុចរង្វង់ x ។ ប្លង់ទាំងមូលលើកលែងតែបន្ទាត់ត្រង់ x កន្សោមរ៉ាឌីកាល់គឺមិនអវិជ្ជមានក្នុងករណីពីរ j * ^ ឬ j x ^ ^ ដែលស្មើនឹងស៊េរីនៃវិសមភាពគ្មានដែនកំណត់រៀងគ្នា។ ដែននៃនិយមន័យគឺរាងការ៉េ (រូបភាព 26) ។ ; l ដែលស្មើនឹងស៊េរីគ្មានកំណត់ មុខងារត្រូវបានកំណត់នៅចំណុច។ ក) បន្ទាត់ស្របនឹងបន្ទាត់ x ខ) រង្វង់ផ្ចិតនៅកណ្តាលដើម។ 10. ក) ប៉ារ៉ាបូឡា y) ប៉ារ៉ាបូឡា y ក) ប៉ារ៉ាបូឡា ខ) អ៊ីពែបូឡាស | .យន្តហោះ xc. 13.Prim - one-cavity hyperboloids of revolution around the Oz axis; សម្រាប់ និងជាសន្លឹកអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹកនៃបដិវត្តជុំវិញអ័ក្ស Oz គ្រួសារទាំងពីរនៃផ្ទៃត្រូវបានបំបែកដោយកោណមួយ។ មិនមានដែនកំណត់ b) 0. 18. អនុញ្ញាតឱ្យ y = kxt បន្ទាប់មក z lim z = −2 ដូច្នេះមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចំណុច (0,0) មិនមានដែនកំណត់។ 19. ក) ចំណុច (0.0); ខ) ចំណុច (0,0) ។ 20. ក) បន្ទាត់បំបែក - រង្វង់ x2 + y2 = 1; ខ) បន្ទាត់បំបែកគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d x ។ 21. ក) បំបែកបន្ទាត់ - សំរបសំរួលអ័ក្ស Ox និង Oy; ខ) 0 (សំណុំទទេ) ។ 22. ចំនុចទាំងអស់ (m, n) ដែលនិង n ជាចំនួនគត់
កម្រិតខ្លាំងតាមលក្ខខណ្ឌ
តម្លៃអប្បបរមា ឬអតិបរមាដែលសម្រេចបានដោយមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ឬមុខងារ) បានផ្តល់ថាមុខងារផ្សេងទៀតមួយចំនួន (មុខងារ) យកតម្លៃពីសំណុំដែលអាចទទួលយកបានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើមិនមានលក្ខខណ្ឌដែលកំណត់ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអថេរឯករាជ្យ (មុខងារ) ក្នុងន័យដែលបានចង្អុលបង្ហាញនោះ មនុស្សម្នាក់និយាយអំពីភាពជ្រុលនិយមដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ។
បុរាណ ភារកិច្ចសម្រាប់ W. e. គឺជាបញ្ហានៃការកំណត់អប្បបរមានៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើន។
បានផ្តល់ថាមុខងារមួយចំនួនផ្សេងទៀតយកតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
នៅក្នុងបញ្ហានេះ G ដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍វ៉ិចទ័រ g=(g 1 , ...,g m),
រួមបញ្ចូលក្នុងលក្ខខណ្ឌបន្ថែម (2) គឺជាចំណុចថេរ c=(គ ១, ..., ជាមួយ t) នៅក្នុងលំហអឺគ្លីឌានវិមាត្រ m
ប្រសិនបើនៅក្នុង (2) រួមជាមួយសញ្ញាស្មើគ្នា សញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានអនុញ្ញាត
នេះនាំឱ្យមានបញ្ហា កម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរ(១៣). នៅក្នុងបញ្ហា (1), (3) សំណុំ G នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃមុខងារវ៉ិចទ័រ g គឺជា curvilinear ជាក់លាក់ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ (n-m 1)-dimensional hypersurface ដែលកំណត់ដោយ m 1 , ម 1
ករណីពិសេសនៃបញ្ហា (1), (3) នៅលើ U.v. គឺជាភារកិច្ច កម្មវិធីលីនេអ៊ែរ,ដែលក្នុងនោះមុខងារទាំងអស់ត្រូវបានពិចារណា f និង ជីមានលីនេអ៊ែរក្នុង x l , ... , x ទំ។នៅក្នុងបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ កំណត់ G នៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃមុខងារវ៉ិចទ័រ g,រួមបញ្ចូលក្នុងលក្ខខណ្ឌកំណត់ជួរនៃអថេរ x 1 , .....x n ,គឺជា , ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ (n-t 1)-dimensional hyperplane កំណត់ដោយ m 1 លក្ខខណ្ឌប្រភេទសមភាពក្នុង (3)។
ដូចគ្នានេះដែរ បញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាពភាគច្រើនសម្រាប់មុខងារដែលតំណាងឱ្យការអនុវត្តជាក់ស្តែង ការប្រាក់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅភារកិច្ចលើ U. e. (សង់ទីម៉ែត។ បញ្ហា Isoperimetric, បញ្ហាចិញ្ចៀន, បញ្ហា Lagrange, បញ្ហារបៀប).
ដូចនៅក្នុងគណិតវិទ្យាដែរ។ ការសរសេរកម្មវិធី បញ្ហាចម្បងនៃការគណនាបំរែបំរួល និងទ្រឹស្តីនៃការគ្រប់គ្រងដ៏ល្អប្រសើរគឺជាបញ្ហានៅលើប៉ោងអ៊ី។
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៅ U. e. ជាពិសេសនៅពេលពិចារណាទ្រឹស្តី។ សំណួរទាក់ទងនឹងបញ្ហានៅលើ C. e. វាប្រែថាមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការប្រើគ្មានកំណត់ មេគុណ Lagrangian,អនុញ្ញាតឱ្យកាត់បន្ថយបញ្ហាដល់ U.e. ចំពោះបញ្ហាដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ និងសម្រួលលក្ខខណ្ឌសុទិដ្ឋិនិយមចាំបាច់។ ការប្រើប្រាស់មេគុណ Lagrange បង្កប់ន័យភាគច្រើននៃបុរាណ វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៅ U.e.
ពន្លឺ។៖ Hadley J., Nonlinear និង , trans ។ ពីភាសាអង់គ្លេស M. , 1967; Bliss G.A., ការបង្រៀនអំពីការគណនានៃការប្រែប្រួល, trans ។ ពីភាសាអង់គ្លេស M. , 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2nd ed., M., 1969 ។
I. B. Vapnyarsky ។
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា។ - អិមៈសព្វវចនាធិប្បាយសូវៀត. I.M. Vinogradov ។ ១៩៧៧-១៩៨៥។
សូមមើលអ្វីដែល "លក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរ" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖
Relative extremum, extremum នៃអនុគមន៍ f (x1,..., xn + m) នៃ n + m variables ដោយសន្មត់ថា variable ទាំងនេះជាកម្មវត្ថុនៃ m សមីការ coupling (លក្ខខណ្ឌ): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (សូមមើល Extremum)… …
អនុញ្ញាតឱ្យសំណុំបើកចំហ និងនៅលើត្រូវបានផ្តល់មុខងារ។ អនុញ្ញាតឱ្យ។ សមីការទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការកម្រិត (វាក្យស័ព្ទត្រូវបានខ្ចីពីមេកានិច) ។ សូមឱ្យមុខងារមួយត្រូវបានកំណត់នៅលើ G ... វិគីភីឌា
- (ពីឡាតាំងខ្លាំងជ្រុល) តម្លៃនៃអនុគមន៍បន្ត f (x) ដែលជាអតិបរមា ឬអប្បបរមា។ កាន់តែច្បាស់៖ អនុគមន៍ f (x) បន្តនៅចំណុច x0 មានអតិបរមា (អប្បបរមា) នៅ x0 ប្រសិនបើមានសង្កាត់ (x0 + δ, x0 δ) នៃចំណុចនេះ ... ... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើល Extreme (អត្ថន័យ)។ Extremum (ឡាតាំង extremum extreme) នៅក្នុងគណិតវិទ្យាគឺជាតម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍នៅលើសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចំណុចដែលឈានដល់កម្រិតបំផុតគឺ ... ... វិគីភីឌា
អនុគមន៍ដែលប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់មុខងារលើសលប់តាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនៃអថេរ និងមុខងារជាច្រើន។ ដោយមានជំនួយពី L. f. លក្ខខណ្ឌសុទិដ្ឋិនិយមចាំបាច់ត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងបញ្ហាសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌ។ មិនចាំបាច់បង្ហាញតែអថេរ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
វិន័យគណិតវិទ្យាដែលឧទ្ទិសដល់ការស្វែងរកតម្លៃខ្លាំង (អតិបរមា និងអប្បបរមា) នៃមុខងារនៃអថេរអាស្រ័យលើជម្រើសនៃមុខងារមួយ ឬច្រើន។ នៅក្នុង និង។ គឺជាការអភិវឌ្ឍន៍ធម្មជាតិនៃជំពូកនោះ ...... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
អថេរ ដោយមានជំនួយដែលមុខងារ Lagrange ត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងការសិក្សាអំពីបញ្ហាសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌ។ ការប្រើប្រាស់ L. m. និងមុខងារ Lagrange ធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានលក្ខខណ្ឌសុទិដ្ឋិនិយមចាំបាច់ក្នុងរបៀបឯកសណ្ឋានក្នុងបញ្ហាសម្រាប់លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
ការគណនានៃបំរែបំរួលគឺជាផ្នែកនៃការវិភាគមុខងារដែលសិក្សាពីការប្រែប្រួលនៃមុខងារ។ ភារកិច្ចធម្មតាបំផុតនៃការគណនាបំរែបំរួលគឺស្វែងរកមុខងារដែលមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យឈានដល់ ... ... វិគីភីឌា
សាខានៃគណិតវិទ្យាដែលឧទ្ទិសដល់ការសិក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកមុខងារខ្លាំងបំផុត ដែលអាស្រ័យលើជម្រើសនៃអនុគមន៍មួយ ឬច្រើនក្រោមការរឹតបន្តឹងផ្សេងៗ (ដំណាក់កាល ឌីផេរ៉ង់ស្យែល អាំងតេក្រាល ។ល។) ដែលដាក់លើទាំងនេះ ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
ការគណនានៃបំរែបំរួលគឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីការប្រែប្រួលនៃមុខងារ។ ភារកិច្ចធម្មតាបំផុតនៃការគណនាបំរែបំរួលគឺស្វែងរកមុខងារដែលមុខងារឈានដល់តម្លៃខ្លាំង។ វិធីសាស្រ្ត ... ... វិគីភីឌា
សៀវភៅ
- ការបង្រៀនអំពីទ្រឹស្តីគ្រប់គ្រង។ កម្រិតសំឡេង 2. ការគ្រប់គ្រងល្អបំផុត, V. Boss ។ បញ្ហាបុរាណនៃទ្រឹស្តីនៃការគ្រប់គ្រងដ៏ល្អប្រសើរត្រូវបានពិចារណា។ ការបង្ហាញចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការធ្វើឱ្យប្រសើរនៅក្នុងចន្លោះវិមាត្រកំណត់៖ ជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌ និងគ្មានលក្ខខណ្ឌ, ...
ចូរយើងពិចារណាជាមុនអំពីករណីនៃមុខងារនៃអថេរពីរ។ កម្រិតជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$ ត្រង់ចំណុច $M_0(x_0;y_0)$ គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍នេះ ដែលឈានដល់ក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលអថេរ $x$ និង $y$ នៅក្នុង បរិវេណនៃចំណុចនេះបំពេញសមីការកម្រិត $\varphi(x,y)=0$ ។
ឈ្មោះ "លក្ខខណ្ឌ" extremum គឺដោយសារតែលក្ខខណ្ឌបន្ថែម $\varphi(x,y)=0$ ត្រូវបានដាក់លើអថេរ។ ប្រសិនបើអាចបង្ហាញអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយទៀតពីសមីការការតភ្ជាប់ នោះបញ្ហានៃការកំណត់ភាពខ្លាំងតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាបញ្ហានៃអថេរធម្មតានៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ $y=\psi(x)$ តាមពីសមីការកំហិត នោះការជំនួស $y=\psi(x)$ ទៅជា $z=f(x,y)$ យើងទទួលបានមុខងារនៃអថេរមួយ $ z=f\left (x,\psi(x)\right)$។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងករណីទូទៅ វិធីសាស្រ្តនេះគឺមានការប្រើប្រាស់តិចតួច ដូច្នេះក្បួនដោះស្រាយថ្មីមួយត្រូវបានទាមទារ។
វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណ Lagrange សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ។
វិធីសាស្ត្រនៃមេគុណ Lagrange គឺថា ដើម្បីស្វែងរកលក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម មុខងារ Lagrange ត្រូវបានផ្សំឡើង៖ $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $\lambda $ ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ Lagrange ) ។ លក្ខខណ្ឌខ្លាំងបំផុតចាំបាច់ត្រូវបានផ្តល់ដោយប្រព័ន្ធសមីការដែលចំនុចស្ថានីត្រូវបានកំណត់៖
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$
សញ្ញា $d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(")dy^2$ ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចស្ថានី $d^2F > 0$ នោះមុខងារ $z=f(x,y)$ មានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមានៅចំណុចនេះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ $d^2F< 0$, то условный максимум.
មានវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីកំណត់ពីធម្មជាតិនៃជ្រុល។ ពីសមីការកម្រិតយើងទទួលបាន៖ $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$ ដូច្នេះ នៅចំណុចស្ថានីណាមួយ យើងមាន៖
$$d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^(")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^(")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^(")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\ ត្រូវ)$$
កត្តាទីពីរ (ដែលមានទីតាំងនៅតង្កៀប) អាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់នេះ៖
ធាតុនៃ $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (អារេ) \right|$ ដែលជា Hessian នៃអនុគមន៍ Lagrange ។ ប្រសិនបើ $H > 0$ បន្ទាប់មក $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ឧ. យើងមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$។
ចំណាំលើទម្រង់នៃកត្តាកំណត់ $H$ ។ បង្ហាញ/លាក់
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ | $$
ក្នុងស្ថានភាពនេះ ច្បាប់ដែលបានបង្កើតខាងលើផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ $H > 0$ នោះមុខងារមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា ហើយសម្រាប់ $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់សិក្សាមុខងារនៃអថេរពីរសម្រាប់ extremum តាមលក្ខខណ្ឌ
- តែងមុខងារ Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \\ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
- កំណត់លក្ខណៈនៃចំនុចខ្លាំងនៅចំនុចស្ថានីនីមួយៗដែលមានក្នុងកថាខណ្ឌមុន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមប្រើវិធីណាមួយខាងក្រោម៖
- សរសេរកត្តាកំណត់ $H$ ហើយស្វែងរកសញ្ញារបស់វា។
- ដោយគិតពីសមីការកម្រិត សូមគណនាសញ្ញា $d^2F$
វិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange សម្រាប់មុខងារនៃអថេរ n
ឧបមាថាយើងមានមុខងារនៃ $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ និង $m$ constraint equations ($n > m$)៖
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
ដោយកំណត់សញ្ញាមេគុណ Lagrange ជា $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ យើងបង្កើតមុខងារ Lagrange៖
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់វត្តមាននៃលក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយមត្រូវបានផ្តល់ដោយប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលកូអរដោនេនៃចំណុចស្ថានី និងតម្លៃនៃមេគុណ Lagrange ត្រូវបានរកឃើញ៖
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
វាអាចទៅរួចដើម្បីរកមើលថាតើមុខងារមួយមានអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌ ឬអតិបរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៅចំណុចដែលបានរកឃើញដូចពីមុន ដោយប្រើសញ្ញា $d^2F$ ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចដែលបានរកឃើញ $d^2F > 0$ នោះមុខងារមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា ប៉ុន្តែប្រសិនបើ $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស $\left| \begin(array) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( អារេ) \right|$ បន្លិចជាពណ៌ក្រហមនៅក្នុងម៉ាទ្រីស $L$ គឺជា Hessian នៃអនុគមន៍ Lagrange ។ យើងប្រើក្បួនដូចខាងក្រោមៈ
- ប្រសិនបើសញ្ញានៃអនីតិជនជ្រុងគឺ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrices $L$ ស្របគ្នានឹងសញ្ញា $(-1)^m$ បន្ទាប់មក ចំនុចស្ថានីដែលកំពុងសិក្សាគឺជាចំនុចអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ $z =f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ។
- ប្រសិនបើសញ្ញានៃអនីតិជនជ្រុងគឺ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ឆ្លាស់គ្នា ហើយសញ្ញាអនីតិជន $H_(2m+1)$ ស្របគ្នានឹងសញ្ញានៃលេខ $(-1)^(m+1 )$ បន្ទាប់មកចំនុចដែលបានសិក្សានៅស្ថានី គឺជាចំណុចអតិបរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ។
ឧទាហរណ៍ #1
ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌអតិបរមានៃអនុគមន៍ $z(x,y)=x+3y$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $x^2+y^2=10$។
ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃបញ្ហានេះមានដូចខាងក្រោម៖ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃការអនុវត្តនៃយន្តហោះ $z=x+3y$ សម្រាប់ចំនុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយស៊ីឡាំង $x^2+y^2 =10$។
វាពិបាកបន្តិចក្នុងការបញ្ចេញអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយទៀតពីសមីការកម្រិត ហើយជំនួសវាទៅក្នុងអនុគមន៍ $z(x,y)=x+3y$ ដូច្នេះយើងនឹងប្រើវិធីសាស្ត្រ Lagrange ។
ដោយកំណត់ $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ យើងតែងមុខងារ Lagrange៖
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់កំណត់ចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ Lagrange៖
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (តម្រឹម)\right.$$
ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថា $\lambda=0$ នោះសមីការទីមួយនឹងក្លាយទៅជា៖ $1=0$ ។ លទ្ធផលផ្ទុយគ្នានិយាយថា $\lambda\neq 0$ ។ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $\lambda\neq 0$ ពីសមីការទីមួយ និងទីពីរ យើងមាន៖ $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $ ការជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានទៅក្នុងសមីការទីបី យើងទទួលបាន៖
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \\right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda)\right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2)។ \end(aligned) \\right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយពីរ៖ $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ និង $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងយល់ពីធម្មជាតិនៃកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុចស្ថានីយនីមួយៗ៖ $M_1(1;3)$ និង $M_2(-1;-3)$ ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាកត្តាកំណត់ $H$ នៅចំនុចនីមួយៗ។
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^(")=2\lambda;\; F_(xy)^(")=0;\; F_(yy)^(")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^(") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^(") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \\ end(array) \right| $$
នៅចំណុច $M_1(1;3)$ យើងទទួលបាន៖ $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \\ end(array) \\right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40> 0$ ដូច្នេះនៅចំណុច $M_1(1;3)$ មុខងារ $z(x,y)=x+3y$ មានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា $z_(\max)=z(1;3)=10$។
ដូចគ្នានេះដែរ នៅចំណុច $M_2(-1;-3)$ យើងរកឃើញ៖ $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \\ end(array) \\right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$ ។ ចាប់តាំងពី $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាជំនួសឱ្យការគណនាតម្លៃនៃកត្តាកំណត់ $H$ នៅចំណុចនីមួយៗ វាងាយស្រួលជាងក្នុងការបើកវាតាមរបៀបទូទៅ។ ដើម្បីកុំឱ្យពង្រាយអត្ថបទដោយព័ត៌មានលម្អិត ខ្ញុំនឹងលាក់វិធីសាស្ត្រនេះនៅក្រោមកំណត់ចំណាំ។
កំណត់ចំណាំ $H$ ក្នុងទម្រង់ទូទៅ។ បង្ហាញ/លាក់
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right)។ $$
ជាគោលការណ៍ វាច្បាស់ហើយថា សញ្ញា $H$ មាន។ ដោយសារគ្មានចំណុចណាមួយ $M_1$ ឬ $M_2$ ស្របគ្នាជាមួយនឹងប្រភពដើម បន្ទាប់មក $y^2+x^2>0$។ ដូច្នេះ សញ្ញា $H$ គឺទល់មុខនឹងសញ្ញា $\lambda$ ។ អ្នកក៏អាចបំពេញការគណនាបានដែរ៖
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40; \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40។ \end(តម្រឹម) $$
សំណួរអំពីលក្ខណៈនៃភាពខ្លាំងបំផុតនៅចំណុចស្ថានី $M_1(1;3)$ និង $M_2(-1;-3)$ អាចដោះស្រាយបានដោយមិនប្រើកត្តាកំណត់ $H$។ ស្វែងរកសញ្ញា $d^2F$ នៅចំណុចស្ថានីយនីមួយៗ៖
$$ d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^(")dxdy+F_(yy)^(")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
ខ្ញុំចំណាំថាសញ្ញាណ $dx^2$ មានន័យថាពិតប្រាកដ $dx$ ដែលត្រូវបានលើកឡើងទៅថាមពលទីពីរ ពោលគឺឧ។ $\left(dx\right)^2$។ ដូច្នេះយើងមាន៖ $dx^2+dy^2>0$ ដូច្នេះសម្រាប់ $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ យើងទទួលបាន $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
ចម្លើយ៖ នៅចំណុច $(-1;-3)$ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា $z_(\min)=-10$ ។ នៅចំណុច $(1;3)$ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា $z_(\max)=10$
ឧទាហរណ៍ #2
ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌអតិបរមានៃអនុគមន៍ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $x+y=0$។
វិធីទីមួយ (វិធីសាស្ត្រនៃមេគុណ Lagrange)
កំណត់ $\varphi(x,y)=x+y$ យើងតែងមុខងារ Lagrange៖ $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$ ។
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$
ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន៖ $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ និង $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$ ។ យើងមានចំណុចពីរ៖ $M_1(0;0)$ និង $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9)\right)$។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងយល់ពីធម្មជាតិនៃកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុចស្ថានីនីមួយៗ ដោយប្រើកត្តាកំណត់ $H$ ។
$$ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^(") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^(") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
នៅចំណុច $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$ ដូច្នេះនៅចំណុចនេះ អនុគមន៍មានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា $z_(\max)=\frac(500)(243)$ ។
យើងស៊ើបអង្កេតពីលក្ខណៈនៃភាពជ្រុលនិយមនៅចំនុចនីមួយៗដោយវិធីផ្សេងគ្នា ដោយផ្អែកលើសញ្ញា $d^2F$៖
$$ d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2$$
ពីសមីការកម្រិត $x+y=0$ យើងមាន៖ $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$ ។
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
ចាប់តាំងពី $d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2> 0$ បន្ទាប់មក $M_1(0;0)$ គឺជាចំណុចអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$ ។ ដូចគ្នាដែរ $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
វិធីទីពីរ
ពីសមីការកម្រិត $x+y=0$ យើងទទួលបាន៖ $y=-x$។ ការជំនួស $y=-x$ ទៅក្នុងអនុគមន៍ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ យើងទទួលបានមុខងារមួយចំនួននៃអថេរ $x$។ ចូរកំណត់មុខងារនេះថា $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2 ។ $$
ដូច្នេះហើយ យើងបានកាត់បន្ថយបញ្ហានៃការស្វែងរក extremum តាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរទៅជាបញ្ហានៃការកំណត់ extremum នៃ function នៃ variable មួយ។
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \\ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9)។$$
ទទួលបានពិន្ទុ $M_1(0;0)$ និង $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$។ ការស្រាវជ្រាវបន្ថែមត្រូវបានគេស្គាល់ពីវគ្គនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ ការស៊ើបអង្កេតសញ្ញា $u_(xx)^("")$ នៅចំណុចស្ថានីនីមួយៗ ឬពិនិត្យមើលការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា $u_(x)^(")$ នៅចំនុចដែលបានរកឃើញ យើងទទួលបានការសន្និដ្ឋានដូចគ្នានឹងពេលដោះស្រាយលើកទីមួយដែរ។ វិធីសាស្រ្ត។ ឧទាហរណ៍ ពិនិត្យសញ្ញា $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
ចាប់តាំងពី $u_(xx)^(")(M_1)>0$ បន្ទាប់មក $M_1$ គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $u(x)$ ខណៈដែល $u_(\min)=u(0)=0 $ ។ ចាប់តាំងពី $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
តម្លៃនៃអនុគមន៍ $u(x)$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃការតភ្ជាប់ដែលបានផ្ដល់ឱ្យស្របនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z(x,y)$, i.e. extrema ដែលបានរកឃើញនៃអនុគមន៍ $u(x)$ គឺជា extrema តាមលក្ខខណ្ឌដែលចង់បាននៃអនុគមន៍ $z(x,y)$ ។
ចម្លើយ៖ នៅចំណុច $(0;0)$ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា $z_(\min)=0$ ។ នៅចំណុច $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា $z_(\max)=\frac(500)(243 )$។
ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍មួយបន្ថែមទៀត ដែលយើងរកឃើញពីធម្មជាតិនៃភាពជ្រុលនិយម ដោយកំណត់សញ្ញានៃ $d^2F$។
ឧទាហរណ៍ #3
ស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z=5xy-4$ ប្រសិនបើអថេរ $x$ និង $y$ គឺវិជ្ជមាន ហើយបំពេញសមីការកម្រិត $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$ ។
តែងមុខងារ Lagrange៖ $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)$ ។ ស្វែងរកចំណុចស្ថានីនៃមុខងារ Lagrange៖
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \\ F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; y > 0. \end(តម្រឹម) \\right.$$
ការបំប្លែងបន្ថែមទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តដោយគិតគូរពី $x > 0; \; y > 0$ (នេះត្រូវបានចែងក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា)។ ពីសមីការទីពីរ យើងបង្ហាញ $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ហើយជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការទីមួយ៖ $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$។ ការជំនួស $x=2y$ ទៅក្នុងសមីការទីបី យើងទទួលបាន៖ $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$ ។
ចាប់តាំងពី $y=1$ បន្ទាប់មក $x=2$, $\lambda=-10$។ ធម្មជាតិនៃកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុច $(2;1)$ ត្រូវបានកំណត់ពីសញ្ញា $d^2F$ ។
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^(")=5; \; F_(yy)^(")=\lambda ។ $$
ចាប់តាំងពី $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ បន្ទាប់មក៖
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8)\right)+d\left(\frac(y^2)(2)\right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y)។ $$
ជាគោលការណ៍ នៅទីនេះអ្នកអាចជំនួសកូអរដោណេនៃចំណុចស្ថានី $x=2$, $y=1$ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $\lambda=-10$ ដូច្នេះវាទទួលបាន៖
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^(")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2)\right)-10\cdot\left(-\frac(dx)) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងបញ្ហាផ្សេងទៀតសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមដែលមានលក្ខខណ្ឌ អាចមានចំណុចស្ថានីមួយចំនួន។ ក្នុងករណីបែបនេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការតំណាងឱ្យ $d^2F$ ក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ ហើយបន្ទាប់មកជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចស្ថានីនីមួយៗដែលបានរកឃើញទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល៖
$$ d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^(")dxdy+F_(yy)^(")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \\right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \\right)\cdot dx^2 $$
ការជំនួស $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ យើងទទួលបាន៖
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10\cdot4)(16)\right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
ចាប់តាំងពី $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
ចម្លើយ៖ នៅចំណុច $(2;1)$ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា $z_(\max)=6$ ។
នៅផ្នែកបន្ទាប់ យើងនឹងពិចារណាលើការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Lagrange សម្រាប់មុខងារនៃចំនួនអថេរកាន់តែច្រើន។
