សមីការមិនលីនេអ៊ែរជាមួយមិនស្គាល់ពីរ

និយមន័យ ១. ឱ្យ A ខ្លះ សំណុំនៃលេខគូ (x; y) ។ ពួកគេនិយាយថាសំណុំ A ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ មុខងារលេខ z ពីអថេរពីរ x និង y ប្រសិនបើក្បួនត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយជំនួយដែលលេខនីមួយៗពីសំណុំ A ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយលេខជាក់លាក់មួយ។

ការបញ្ជាក់អនុគមន៍លេខ z នៃអថេរពីរ x និង y ជាញឹកញាប់ សម្គាល់ដូច្នេះ៖

កន្លែងណា f (x , y) - មុខងារណាមួយក្រៅពីមុខងារ

f (x , y) = ax+by+c ,

ដែល a, b, c ត្រូវបានផ្តល់លេខ។

និយមន័យ ៣. ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ (2​)ហៅ​លេខ​មួយ​គូ ( x; y) ដែលរូបមន្ត (2) គឺជាសមភាពពិត។

ឧទាហរណ៍ ១. ដោះស្រាយសមីការ

ដោយសារការេនៃចំនួនណាមួយមិនអវិជ្ជមាន វាធ្វើតាមរូបមន្ត (4) ដែលមិនស្គាល់ x និង y បំពេញប្រព័ន្ធសមីការ។

ដំណោះស្រាយដែលជាគូនៃលេខ (6; 3) ។

ចម្លើយ៖ (៦; ៣)

ឧទាហរណ៍ ២. ដោះស្រាយសមីការ

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃសមីការ (6) គឺ ចំនួនគ្មានកំណត់នៃគូនៃលេខប្រភេទ

(1 + y ; y) ,

ដែល y ជាលេខណាមួយ។

លីនេអ៊ែរ

និយមន័យ ៤. ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ហៅ​លេខ​មួយ​គូ ( x; y) នៅពេលជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធនេះ សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ ដែលមួយក្នុងនោះជាលីនេអ៊ែរ មានទម្រង់

g(x , y)

ឧទាហរណ៍ 4 ។ ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងបង្ហាញ y មិនស្គាល់ពីសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ (7) តាមរយៈ x មិនស្គាល់ ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖

ការដោះស្រាយសមីការ

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

អាស្រ័យហេតុនេះ

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ ដែលមួយក្នុងនោះមានភាពដូចគ្នា

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ ដែលមួយក្នុងនោះមានភាពដូចគ្នា មានទម្រង់

ដែល a, b, c ត្រូវបានផ្តល់លេខ និង g(x , y) - មុខងារនៃអថេរពីរ x និង y ។

ឧទាហរណ៍ ៦. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា។

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

ចាត់​ទុក​វា​ជា​សមីការ​បួន​ជ្រុង​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង x ដែល​មិន​ស្គាល់៖

.

ក្រែងលោ​រ x = - 5yពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (11) យើងទទួលបានសមីការ

5y 2 = - 20 ,

ដែលមិនមានឫស។

ក្រែងលោ​រ

ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (11) យើងទទួលបានសមីការ

,

ឫសរបស់ពួកគេគឺជាលេខ y 1 = 3 , y 2 = - 3 . ការស្វែងរកតម្លៃនីមួយៗនៃតម្លៃទាំងនេះ y តម្លៃដែលត្រូវគ្នា x យើងទទួលបានដំណោះស្រាយពីរចំពោះប្រព័ន្ធ៖ (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) ។

ចម្លើយ៖ (-២ ; ៣) , (២ ; - ៣)

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃប្រភេទផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ៨. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (MIPT)

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងណែនាំអ្នកមិនស្គាល់ថ្មី u និង v ដែលត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ x និង y តាមរូបមន្ត៖

ដើម្បីសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញ (12) ទាក់ទងនឹងការមិនស្គាល់ថ្មី ដំបូងយើងបង្ហាញពីមិនស្គាល់ x និង y ក្នុងន័យ u និង v ។ ពីប្រព័ន្ធ (១៣) វាធ្វើតាមនោះ។

ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរ (14) ដោយលុបបំបាត់អថេរ x ចេញពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធនេះ។ ចំពោះគោលបំណងនេះ យើងអនុវត្តការបំប្លែងដូចខាងក្រោមលើប្រព័ន្ធ (14)។

បញ្ហា 12 ។

ដោះស្រាយជាលេខទាំងមូល 5x² + 5y² + 8xy + 2y − 2y + 2 = 0.

ដំណោះស្រាយ។

ប្រសិនបើអ្នកព្យាយាមដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកត្តា នោះនេះគឺជាការងារដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងលើកម្លាំងពលកម្ម ដូច្នេះសមីការនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រឆើតឆាយជាងនេះ។ ពិចារណាសមីការដូច ការ៉េទាក់ទងអូ x 5x²+(8y-2 )x+5y²+2y+2=0 , x1.2 = (1 – 4y ± √(1 – 4y)² - 5(5y² + 2y + 2))/5 = (1 – 4y ± √ -9(y + 1)²)/5 ។

សមីការ​នេះ​មាន​ដំណោះ​ស្រាយ​នៅ​ពេល​ដែល​អ្នក​រើស​អើង​ស្មើ​នឹង​សូន្យ ឧ. –9(y + 1) = 0, ពី​ទីនេះ y = −1. ប្រសិនបើ y = −1, នោះ។ x =1.

ចម្លើយ។

បញ្ហា ១៣.

ដោះស្រាយជាលេខទាំងមូល 3(x² + xy + y²) = x + 8y

ដំណោះស្រាយ។

ពិចារណាសមីការជាបួនជ្រុងដោយគោរព x 3x² + (3y − 1)x + 3y² − 8y = 0 ។ចូរយើងស្វែងរកការរើសអើងនៃសមីការ D = = (3y − 1) ² - 4 * 3 (3y² - 8y) = 9y² - 6y + 1 – 36y² + 96y = -27y² + 90y + 1 ។

បានផ្តល់ឱ្យ សមីការការអប់រំមានឫសគល់ ប្រសិនបើD³ ០, i.e. –27у² + 90 у + 1³ 0

(-45 + √2052)/ (-27) £y £ (-45 -√2052)/ (-27)(4)

ដោយសារតែ y О Zបន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌ (4) គឺពេញចិត្តតែប៉ុណ្ណោះ 0, 1, 2, 3 . ដោយឆ្លងកាត់តម្លៃទាំងនេះ យើងឃើញថាសមីការក្នុងចំនួនគត់មានដំណោះស្រាយ (0; 0) និង (1; 1) .

ចម្លើយ។

(0; 0) , (1; 1) .

បញ្ហា ១៤.

ដោះស្រាយសមីការ 5x² - 2xy + 2y² - 2x - 2y + 1 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

ពិចារណាសមីការនេះថាជាចតុកោណដោយគោរព Xជាមួយនឹងមេគុណអាស្រ័យលើ y, 5x² - 2(y + 1)x + 2y² - 2y + 1= 0 ។

ចូរយើងរកឃើញមួយភាគបួននៃអ្នករើសអើង D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)².

វាដូចខាងក្រោមថាសមីការមានដំណោះស្រាយតែនៅពេលដែល -(3у − 2)² = 0, នេះបង្កប់ន័យ y = ⅔,បន្ទាប់មកយើងរកឃើញ x = ⅓ ។

ចម្លើយ។

(⅓; ⅔).

វិធីសាស្រ្តសំណល់។

បញ្ហា ១៥.

ដោះស្រាយជាលេខទាំងមូល 3ª = 1 + y²

ដំណោះស្រាយ។

វាច្បាស់ណាស់។ (0; 0) - ដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាមិនមានដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទេ។

តោះពិចារណាករណី៖

1) x О N, y О N(5)

ប្រសិនបើ x О N, នោះ។ ៣ចែក​ដោយ 3 ដោយគ្មានដាននិង y² + 1នៅពេលបែងចែកដោយ 3 ផ្តល់ឱ្យនៅសល់ 1 , ឬ 2 . ដូច្នេះសមភាព (5) សម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិ Xនិង នៅមិនអាចទៅរួច។

2) ប្រសិនបើ X- ចំនួន​គត់​អវិជ្ជមាន y О Z,បន្ទាប់មក 0<3ª<1, ក 1+y²³0ហើយសមភាព (៥) ក៏មិនអាចទៅរួចទេ។ ដូច្នេះ (0; 0) គឺជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ចម្លើយ។

បញ្ហា ១៦ .

បង្ហាញថាប្រព័ន្ធសមីការ

ì x² − y² = 7

î z² − 2y² = 1

មិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរសន្មតថាប្រព័ន្ធត្រូវបានបើក។ ពីសមីការទីពីរ z²=2у+1, i.e. z²–លេខសេស និង z- មធ្យោបាយចម្លែក z=2m+1. បន្ទាប់មក y²+2m²+2m ,មានន័យថា y² -ចំនួន​គូ នៅ- សូម្បីតែ, y = 2n, n О Z ។

x²=8n³+7, i.e. x² -លេខសេស និង X -លេខសេស, x=2k+1, k О Z ។

ចូរយើងជំនួសតម្លៃ Xនិង នៅនៅក្នុងសមីការទីមួយយើងទទួលបាន 2(k² + k - 2n³) = 3,ដែល​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ទេ ព្រោះ​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង​ត្រូវ​បែងចែក​ដោយ 2 ប៉ុន្តែ​ការ​ត្រឹមត្រូវ​មិន​បាន​។

នេះ​មាន​ន័យ​ថា​ការ​សន្មត់​របស់​យើង​គឺ​មិន​ត្រឹមត្រូវ, i.e. ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ទេ។

វិធីសាស្រ្តនៃការចុះចូលគ្មានកំណត់។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្រ្តនៃតំណពូជគ្មានកំណត់ ដំណើរការទៅតាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖ ដោយសន្មតថាសមីការមានដំណោះស្រាយ យើងបង្កើតដំណើរការគ្មានកំណត់មួយចំនួន ខណៈដែលដោយអត្ថន័យនៃបញ្ហា ដំណើរការនេះត្រូវតែបញ្ចប់នៅកន្លែងណាមួយ។

ជាញឹកញាប់ វិធីសាស្ត្រចុះចូលគ្មានកំណត់ ត្រូវបានប្រើក្នុងទម្រង់សាមញ្ញជាង។ ដោយសន្មតថាយើងបានឈានដល់ទីបញ្ចប់ធម្មជាតិរួចហើយ យើងឃើញថាយើងមិនអាច "បញ្ឈប់" បានទេ។

បញ្ហា ១៧.

ដោះស្រាយជាលេខទាំងមូល 29x + 13y + 56z = 17 (6)

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញការមិនស្គាល់ជាមួយនឹងមេគុណតូចបំផុតនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមិនស្គាល់ដែលនៅសល់។

y=(17-29x-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)

ចូរយើងសម្គាល់ (4-3x-4z)/13 = t1(8)

ពី (7) វាធ្វើតាមនោះ។ t1អាចយកតែតម្លៃចំនួនគត់។ ពី (8) យើងមាន 13t1 + 3x + 4z = 14(9)

យើងទទួលបានសមីការ Diophantine ថ្មី ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមេគុណតូចជាងក្នុង (6)។ ចូរយើងអនុវត្តការពិចារណាដូចគ្នាចំពោះ (៩)៖ x=(4-13t1-4z)/3==(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3

(1-t1-z)/3 = t2 , t2- ទាំងមូល, 3t2+t1+z=1(10)

នៅក្នុង (10) មេគុណនៅ z- មិនស្គាល់នៃសមីការដើមគឺស្មើនឹង 1 - នេះគឺជាចំណុចចុងក្រោយនៃ "ការចុះចូល" ។ ឥឡូវ​នេះ យើង​បញ្ចេញ​មតិ​ជា​ប្រចាំ z, x, yតាមរយៈ t1និង t2.

ì z = -t1 − 3t2 + 1

í x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2

î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1 = 11t1 + 4t2 − 3

ដូច្នេះ ì x = −3t1 + 4t2

í y = 11t1 + 4t2 − 3

î z = -t1 − 3t2 + 1

t1, t2- ចំនួនគត់ - ដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទាំងអស់ចំពោះសមីការ (6)

បញ្ហា 18 ។

ដោះស្រាយជាលេខទាំងមូល x³ − 3y³ − 9z³ = 0(11)

ដំណោះស្រាយ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (11) មិនអាចទទួលយកបានចំពោះការបំប្លែងណាមួយឡើយ។ ដូច្នេះការស្វែងយល់ពីធម្មជាតិនៃចំនួនគត់ x³=3(y³-z³)។ចំនួន x³ច្រើន 3 ដែលមានន័យថាលេខ Xច្រើន 3 , i.e. x = 3x1(12) ចូរជំនួស (12) ទៅជា (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)

y³=3(3x1³-z³)។បន្ទាប់មក y³ច្រើន 3 , ដែលមានន័យថា នៅច្រើន 3 , i.e. y=3y1(១៤). ចូរជំនួស (14) ទៅជា (13) 9х1³ −27у1³ − 3z³=0. ពីសមីការនេះវាធ្វើតាមនោះ។ z³ច្រើន 3, ហើយ​ដូច្នេះ zច្រើន 3 , i.e. z=3z1.

ដូច្នេះ វាបានប្រែក្លាយថា សមីការដែលពេញចិត្ត លេខ (11) គឺគុណនឹងបី ហើយមិនថាយើងបែងចែកវាដោយប៉ុន្មានដង។ 3 យើងទទួលបានលេខដែលគុណនឹងបី។ ចំនួនគត់តែមួយគត់ដែលបំពេញបី។ ចំនួនគត់តែមួយគត់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះនឹងក្លាយជាសូន្យ ពោលគឺដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ (0; 0; 0)

ការដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់។

សមីការមិនច្បាស់លាស់គឺជាសមីការដែលមានច្រើនជាងមួយមិនស្គាល់។ តាម​ដំណោះ​ស្រាយ​មួយ​ចំពោះ​សមីការ​មិន​កំណត់ យើង​មាន​ន័យ​ថា​សំណុំ​នៃ​តម្លៃ​នៃ​ការ​មិន​ស្គាល់​ដែល​ប្រែ​ក្លាយ​សមីការ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ​ទៅ​ជា​សមភាព​ពិត។

ដើម្បីដោះស្រាយជាចំនួនគត់ សមីការនៃទម្រង់ អា + ដោយ = គ , កន្លែងណា ក ខ , គ - ចំនួនគត់ក្រៅពីសូន្យ យើងបង្ហាញនូវបទប្បញ្ញត្តិទ្រឹស្តីមួយចំនួនដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតច្បាប់នៃការសម្រេចចិត្ត។ បទប្បញ្ញត្តិទាំងនេះក៏ផ្អែកលើការពិតដែលបានដឹងរួចមកហើយនៃទ្រឹស្តីនៃការបែងចែក។

ទ្រឹស្តីបទ ១.ប្រសិនបើ gcd (ក, ខ ) = ឃ , បន្ទាប់មកមានចំនួនគត់បែបនេះ Xនិង នៅដែលសមភាពទទួលបាន អា + ខ y = ឃ . (សមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ ឬតំណាងលីនេអ៊ែរនៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនពីរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលេខខ្លួនឯង។ )

ភ័ស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទគឺផ្អែកលើការប្រើប្រាស់សមភាពនៃក្បួនដោះស្រាយ Euclidean ដើម្បីស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនពីរ (ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃកូតាភាគ និងនៅសល់ ដោយចាប់ផ្តើមពីសមភាពចុងក្រោយនៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយ Euclidean)។

ឧទាហរណ៍.

ស្វែងរកតំណាងលីនេអ៊ែរនៃការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 1232 និង 1672 ។

ដំណោះស្រាយ។

1. ចូរបង្កើតភាពស្មើគ្នានៃក្បួនដោះស្រាយ Euclidean៖

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, i.e. (1672.352) = 88 ។

2) អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញ 88 ជាបន្តបន្ទាប់តាមរយៈ quotient មិនពេញលេញ និងនៅសល់ ដោយប្រើសមភាពដែលទទួលបានខាងលើ ដោយចាប់ផ្តើមពីចុងបញ្ចប់៖

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, i.e. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4)។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ប្រសិនបើសមីការ អា + ខ y = 1 ប្រសិនបើ gcd (ក, ខ ) = 1 វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្រមៃលេខ 1 ជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃលេខ a និង ខ.

សុពលភាពនៃទ្រឹស្តីបទនេះធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទ 1។ ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំនួនគត់តែមួយចំពោះសមីការ អា + ខ y = 1, ប្រសិនបើ gcd (a, b) = 1 វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីតំណាងឱ្យលេខ 1 ជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃលេខ ក និង វ .

ឧទាហរណ៍។

រកដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការ 15x + 37y = 1 ។

ដំណោះស្រាយ។

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

ទ្រឹស្តីបទ ៣. ប្រសិនបើនៅក្នុង Eq ។ អា + ខ y = c gcd(a, ខ ) = ឃ >1 និង ជាមួយមិនបែងចែកដោយ ឃ , បន្ទាប់មកសមីការមិនមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទេ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីសន្មត់ផ្ទុយ។

ឧទាហរណ៍.

រកដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការ 16x − 34y = 7 ។

ដំណោះស្រាយ.

(16.34)=2; 7 មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 សមីការមិនមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទេ។

ទ្រឹស្តីបទ ៤. ប្រសិនបើនៅក្នុង Eq ។ អា + ខ y = c gcd(a, ខ ) = ឃ > 1 និង គ ឃ , បន្ទាប់មកវាគឺជា

នៅពេលបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ វាគួរតែត្រូវបានបង្ហាញថាដំណោះស្រាយចំនួនគត់តាមអំពើចិត្តចំពោះសមីការទីមួយក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការទីពីរ និងច្រាសមកវិញ។

ទ្រឹស្តីបទ ៥. ប្រសិនបើនៅក្នុង Eq ។ អា + ខ y = c gcd(a, ខ ) = 1, បន្ទាប់មក ដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការនេះមាននៅក្នុងរូបមន្ត៖

t - ចំនួនគត់ណាមួយ។

នៅពេលបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ វាគួរតែបង្ហាញជាដំបូងថា រូបមន្តខាងលើពិតជាផ្តល់នូវដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះហើយ ទីពីរថាដំណោះស្រាយចំនួនគត់តាមអំពើចិត្តចំពោះសមីការនេះមាននៅក្នុងរូបមន្តខាងលើ។

ទ្រឹស្តីបទខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតច្បាប់ខាងក្រោមសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនគត់ អា+ ខ y = c gcd(a, ខ ) = 1:

1) ដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការត្រូវបានរកឃើញ អា + ខ y = 1 ដោយតំណាង 1 ជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃលេខ ក និងខ (មានវិធីផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការនេះ ឧទាហរណ៍ដោយប្រើប្រភាគបន្ត);

រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ដំណោះស្រាយចំនួនគត់នៃចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ

ការផ្តល់ t តម្លៃចំនួនគត់ជាក់លាក់ អ្នកអាចទទួលបានដំណោះស្រាយមួយផ្នែកចំពោះសមីការនេះ៖ តូចបំផុតក្នុងតម្លៃដាច់ខាត វិជ្ជមានតូចបំផុត (ប្រសិនបើអាច) ល។

ឧទាហរណ៍.

ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការ 407x − 2816y = 33.

ដំណោះស្រាយ។

1. យើងសម្រួលសមីការនេះដោយនាំវាទៅជាទម្រង់ 37x − 256y = 3 ។

2. ដោះស្រាយសមីការ 37x − 256y = 1 ។

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. ទិដ្ឋភាពទូទៅនៃដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទាំងអស់នៃសមីការនេះ៖

x = -83∙3 − 256 t = -249 − 256 t,

y = −12∙3 − 37 t = −36 − 37 t ។

វិធីសាស្រ្តនៃការរាប់បញ្ចូលពេញលេញនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរ,

រួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការ។

រកសំណុំនៃចំនួនគូធម្មជាតិទាំងអស់ ដែលជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ 49x + 51y = 602 ។

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរយើងបង្ហាញអថេរ x ពីសមីការតាមរយៈ y x =ចាប់តាំងពី x និង y គឺជាលេខធម្មជាតិ បន្ទាប់មក x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

ការស្វែងរកពេញលេញនៃជម្រើសបង្ហាញថាដំណោះស្រាយធម្មជាតិចំពោះសមីការគឺ x=5, y=7 ។

ចម្លើយ៖ (៥; ៧) ។

ការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកត្តា។

Diophantus រួមជាមួយនឹងសមីការលីនេអ៊ែរ ចាត់ទុកថាជាសមីការមិនកំណត់រាងបួនជ្រុង និងគូប។ ការដោះស្រាយពួកវាជាធម្មតាពិបាក។

ចូរយើងពិចារណាករណីមួយដែលភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការេ ឬវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតនៃកត្តាកត្តាអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះសមីការ។

ដោះស្រាយសមីការជាលេខទាំងមូល៖ x 2 + 23 = y 2

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖ y 2 - x 2 = 23, (y − x)(y + x) = 23

ដោយសារ x និង y ជាចំនួនគត់ ហើយ 23 គឺជាចំនួនបឋម ករណីខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផលយើងរកឃើញ:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

បង្ហាញអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយទៀត និងញែកផ្នែកទាំងមូលនៃប្រភាគ។

ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនទាំងមូល៖ x 2 + xy – y – 2 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ៖

ចូរយើងបង្ហាញ y ដល់ x ពីសមីការនេះ៖

y(x − 1) = 2 − x 2,

ក្នុង​វគ្គ​គណិតវិទ្យា​ថ្នាក់​ទី​៧ យើង​ជួប​គ្នា​ជា​លើក​ដំបូង សមីការជាមួយអថេរពីរប៉ុន្តែពួកគេត្រូវបានសិក្សាតែនៅក្នុងបរិបទនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលមានពីរមិនស្គាល់។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលស៊េរីទាំងមូលនៃបញ្ហាដែលលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនត្រូវបានណែនាំនៅលើមេគុណនៃសមីការដែលកំណត់ពួកវាមិនអាចមើលឃើញ។ លើសពីនេះ វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដូចជា "ដោះស្រាយសមីការជាលេខធម្មជាតិ ឬចំនួនគត់" ក៏ត្រូវបានគេមិនអើពើ ទោះបីជាបញ្ហាប្រភេទនេះត្រូវបានរកឃើញកាន់តែច្រើនឡើងៗនៅក្នុងឯកសារប្រឡងរដ្ឋ និងនៅក្នុងការប្រឡងចូលក៏ដោយ។

តើសមីការមួយណានឹងត្រូវបានគេហៅថាសមីការដែលមានអថេរពីរ?

ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ សមីការ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ឬ xy = 12 គឺជាសមីការក្នុងអថេរពីរ។

ពិចារណាសមីការ 2x – y = 1 ។ វាក្លាយជាការពិតនៅពេលដែល x = 2 និង y = 3 ដូច្នេះគូនៃតម្លៃអថេរនេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនៅក្នុងសំណួរ។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយចំពោះសមីការណាមួយដែលមានអថេរពីរគឺជាសំណុំនៃគូលំដាប់ (x; y) តម្លៃនៃអថេរដែលបង្វែរសមីការនេះទៅជាសមភាពលេខពិត។

សមីការដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ពីរអាច៖

ក) មានដំណោះស្រាយមួយ។ឧទាហរណ៍ សមីការ x 2 + 5y 2 = 0 មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (0; 0);

ខ) មានដំណោះស្រាយជាច្រើន។ឧទាហរណ៍ (5 -|x|) 2 + (|y|–2) 2 = 0 មាន 4 ដំណោះស្រាយ៖ (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - ២);

វី) មិនមានដំណោះស្រាយទេ។ឧទាហរណ៍ សមីការ x 2 + y 2 + 1 = 0 មិនមានដំណោះស្រាយ;

ឆ) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។ឧទាហរណ៍ x + y = 3. ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះនឹងជាលេខដែលផលបូកស្មើនឹង 3 ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះអាចសរសេរជាទម្រង់ (k; 3 – k) ដែល k គឺពិតប្រាកដ។ ចំនួន។

វិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដែលមានអថេរពីរគឺវិធីសាស្ត្រផ្អែកលើកន្សោមកត្តា ញែកការេពេញលេញ ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមីការការ៉េ កន្សោមមានកំណត់ និងវិធីសាស្ត្រប៉ាន់ស្មាន។ សមីការជាធម្មតាត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់មួយដែលប្រព័ន្ធសម្រាប់ស្វែងរកអ្វីដែលមិនស្គាល់អាចទទួលបាន។

ការបំបែកឯកតា

ឧទាហរណ៍ ១.

ដោះស្រាយសមីការ៖ xy − 2 = 2x – y ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌសម្រាប់គោលបំណងនៃកត្តាកត្តា៖

(xy + y) – (2x + 2) = 0. ពីតង្កៀបនីមួយៗ យើងដកកត្តារួមមួយ៖

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y − 2) = 0. យើងមាន៖

y = 2, x – ចំនួនពិតណាមួយ ឬ x = -1, y – ចំនួនពិតណាមួយ។

ដូច្នេះ ចម្លើយគឺជាគូទាំងអស់នៃទម្រង់ (x; 2), x € R និង (-1; y), y € R ។

សមភាពនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានដល់សូន្យ

ឧទាហរណ៍ ២.

ដោះស្រាយសមីការ៖ 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y) ។

ដំណោះស្រាយ។

ការដាក់ជាក្រុម៖

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. ឥឡូវតង្កៀបនីមួយៗអាចបត់បានដោយប្រើរូបមន្តភាពខុសគ្នាការ៉េ។

(3x − 2) 2 + (2y − 3) 2 = 0 ។

ផលបូកនៃកន្សោមមិនអវិជ្ជមានពីរគឺសូន្យលុះត្រាតែ 3x – 2 = 0 និង 2y – 3 = 0 ។

នេះមានន័យថា x = 2/3 និង y = 3/2 ។

ចម្លើយ៖ (២/៣; ៣/២) ។

វិធីសាស្រ្តប៉ាន់ស្មាន

ឧទាហរណ៍ ៣.

ដោះស្រាយសមីការ៖ (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2 ។

ដំណោះស្រាយ។

នៅ​ក្នុង​តង្កៀប​នីមួយៗ យើង​រំលេច​ការ៉េ​ពេញលេញ៖

((x + 1) 2 + 1)((y − 2) 2 + 2) = 2. ចូរយើងប៉ាន់ស្មាន អត្ថន័យនៃកន្សោមក្នុងវង់ក្រចក។

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 និង (y − 2) 2 + 2 ≥ 2 បន្ទាប់មកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការគឺតែងតែយ៉ាងហោចណាស់ 2 ។ សមភាពអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើ៖

(x + 1) 2 + 1 = 1 និង (y − 2) 2 + 2 = 2 ដែលមានន័យថា x = −1, y = 2 ។

ចម្លើយ៖ (-១; ២) ។

ចូរយើងស្គាល់វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងអថេរពីរនៃដឺក្រេទីពីរ។ វិធីសាស្រ្តនេះមានការព្យាបាលសមីការ ការ៉េដោយគោរពទៅអថេរមួយចំនួន.

ឧទាហរណ៍ 4 ។

ដោះស្រាយសមីការ៖ x 2 − 6x + y − 4√y + 13 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរដោះស្រាយសមីការជាសមីការការ៉េសម្រាប់ x ។ តោះស្វែងរកអ្នករើសអើង៖

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) ២. សមីការ​នឹង​មាន​ដំណោះ​ស្រាយ​តែ​នៅ​ពេល D = 0 នោះ​គឺ​ប្រសិន​បើ y = 4 ។ យើង​ជំនួស​តម្លៃ y ទៅ​ក្នុង​សមីការ​ដើម ហើយ​រក​ឃើញ​ថា x = 3 ។

ចម្លើយ៖ (៣; ៤)។

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងសមីការជាមួយនឹងការមិនស្គាល់ពីរដែលពួកគេចង្អុលបង្ហាញ ការរឹតបន្តឹងលើអថេរ.

ឧទាហរណ៍ 5 ។

ដោះស្រាយសមីការជាលេខទាំងមូល៖ x 2 + 5y 2 = 20x + 2 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ x 2 = −5y 2 + 20x + 2 ។ ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការលទ្ធផលនៅពេលចែកនឹង 5 ផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 2 ។ ដូច្នេះ x 2 មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ។ ប៉ុន្តែការេនៃ a លេខដែលមិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 1 ឬ 4 ។ ដូច្នេះសមភាពគឺមិនអាចទៅរួចទេហើយមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ចម្លើយ៖ គ្មានឫស។

ឧទាហរណ៍ ៦.

ដោះស្រាយសមីការ៖ (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3 ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរគូសបញ្ជាក់ការេពេញលេញនៅក្នុងតង្កៀបនីមួយៗ៖

((|x|– 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការតែងតែធំជាង ឬស្មើ 3 ។ សមភាពគឺអាចធ្វើទៅបាន |x| – 2 = 0 និង y + 3 = 0 ។ដូច្នេះ x = ± 2, y = −3 ។

ចម្លើយ៖ (២; -៣) និង (-២; -៣) ។

ឧទាហរណ៍ ៧.

សម្រាប់រាល់គូនៃចំនួនគត់អវិជ្ជមាន (x;y) បំពេញសមីការ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33 គណនាផលបូក (x + y) ។ សូមបញ្ជាក់ចំនួនតិចបំផុតនៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញ៖

(x 2 − 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. ដោយសារ x និង y ជាចំនួនគត់ នោះការេរបស់ពួកគេក៏ជាចំនួនគត់ផងដែរ។ យើងទទួលបានផលបូកនៃការេនៃចំនួនគត់ពីរស្មើនឹង 37 ប្រសិនបើយើងបូក 1 + 36។ ដូច្នេះ៖

(x − y) 2 = 36 និង (y + 2) 2 = 1

(x − y) 2 = 1 និង (y + 2) 2 = 36 ។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធទាំងនេះ ហើយពិចារណាថា x និង y ជាអវិជ្ជមាន យើងរកឃើញដំណោះស្រាយ៖ (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8) ។

ចម្លើយ៖ -១៧.

កុំអស់សង្ឃឹម ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកក្នុងការដោះស្រាយសមីការដោយមិនស្គាល់ពីរ។ ជាមួយនឹងការអនុវត្តតិចតួច អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការណាមួយ។

នៅតែមានសំណួរ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការក្នុងអថេរពីរ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូបង្រៀន សូមចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

គេហទំព័រ នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

មានផ្លូវជាច្រើនដែលនាំពីគែមព្រៃចូលទៅក្នុងព្រៃ។ ពួក​វា​ជា​មនុស្ស​ច្របូកច្របល់ បង្រួប​បង្រួម​គ្នា​ម្ដង​ទៀត ហើយ​ប្រសព្វ​គ្នា​ម្ដង​ទៀត។ ពេលកំពុងដើរ ​​អ្នកគ្រាន់តែអាចកត់សម្គាល់ពីភាពសម្បូរបែបនៃផ្លូវទាំងនេះ ដើរតាមខ្លះៗ ហើយតាមដានទិសដៅរបស់ពួកគេទៅក្នុងជម្រៅនៃព្រៃ។ ដើម្បីសិក្សាព្រៃឈើឱ្យបានហ្មត់ចត់ អ្នកត្រូវដើរតាមគន្លងផ្លូវ រហូតដល់ពួកវាអាចមើលឃើញនៅក្នុងចំណោមម្ជុលស្រល់ស្ងួត និងគុម្ពោតព្រៃ។

ដូច្នេះហើយ ខ្ញុំចង់សរសេរគម្រោងមួយ ដែលអាចចាត់ទុកថាជាការពិពណ៌នាអំពីការដើរដែលអាចធ្វើទៅបានតាមគែមនៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។

ពិភពលោកជុំវិញ តម្រូវការនៃសេដ្ឋកិច្ចជាតិ និងការព្រួយបារម្ភជាញឹកញយប្រចាំថ្ងៃ បង្កើតឱ្យមានការងារថ្មីកាន់តែច្រើនឡើងសម្រាប់មនុស្សម្នាក់ ដំណោះស្រាយដែលមិនតែងតែច្បាស់នោះទេ។ ជួនកាលសំណួរជាក់លាក់មួយមានចម្លើយដែលអាចកើតមានជាច្រើន ដែលបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកក្នុងការដោះស្រាយកិច្ចការ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីជ្រើសរើសជម្រើសត្រឹមត្រូវនិងល្អបំផុត?

ដំណោះស្រាយនៃសមីការមិនច្បាស់លាស់គឺទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងបញ្ហានេះ។ សមីការបែបនេះដែលមានអថេរពីរ ឬច្រើន ដែលចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកចំនួនគត់ ឬដំណោះស្រាយធម្មជាតិ ត្រូវបានគេពិចារណាតាំងពីបុរាណកាលមក។ ឧទាហរណ៍ គណិតវិទូក្រិច Pythagoras (សតវត្សទី IV មុនគ.ស)។ គណិតវិទូអាឡិចសាន់ឌឺ Diophantus (សតវត្សទី II-III នៃគ។

ការចូលរួមក្នុងការប្រកួតប្រជែងការឆ្លើយឆ្លងរបស់រុស្សី > នៅ Obninsk ការប្រកួតប្រជែងហ្គេមអន្តរជាតិ > និង Olympiad of the Ural Federal District ជាញឹកញាប់ខ្ញុំជួបប្រទះនឹងកិច្ចការបែបនេះ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេមានភាពច្នៃប្រឌិត។ បញ្ហាដែលកើតឡើងនៅពេលដោះស្រាយសមីការក្នុងចំនួនគត់គឺបណ្តាលមកពីភាពស្មុគស្មាញ និងដោយការពិតដែលថាពេលវេលាតិចតួចត្រូវបានលះបង់សម្រាប់ពួកគេនៅក្នុងសាលារៀន។

Diophantus បង្ហាញពីអាថ៌កំបាំងដ៏លំបាកបំផុតមួយក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រវិទ្យាសាស្ត្រ។ យើង​មិន​ដឹង​ពី​ពេល​វេលា​ដែល​គាត់​រស់​នៅ ឬ​អ្នក​កាន់​តំណែង​មុន​របស់​គាត់​ដែល​នឹង​ធ្វើ​ការ​ក្នុង​វិស័យ​ដូច​គ្នា​នោះ​ទេ។ ស្នាដៃ​របស់​គាត់​ប្រៀប​ដូច​ជា​ភ្លើង​ឆេះ​នៅ​កណ្ដាល​ភាព​ងងឹត​ដែល​មិន​អាច​ចូល​បាន។

រយៈពេលដែល Diophantus អាចរស់នៅបានគឺពាក់កណ្តាលសហស្សវត្សរ៍! ព្រំដែនទាបត្រូវបានកំណត់ដោយគ្មានការលំបាក: នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់អំពីលេខពហុកោណ Diophantus បាននិយាយម្តងហើយម្តងទៀតអំពីគណិតវិទូ Hypsicles of Alexandria ដែលរស់នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 2 ។ BC អ៊ី

ម្យ៉ាងវិញទៀត នៅក្នុងការអត្ថាធិប្បាយរបស់ Theon of Alexandria ទៅកាន់តារាវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Ptolemy មានការដកស្រង់ចេញពីការងាររបស់ Diophantus ។ Theon រស់នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 4 ។ ន. អ៊ី វាកំណត់ព្រំដែនខាងលើនៃចន្លោះពេលនេះ។ ដូច្នេះ 500 ឆ្នាំ!

លោក Paul Tannry អ្នកប្រវត្តិសាស្រ្តបារាំងផ្នែកវិទ្យាសាស្ត្រ ដែលជានិពន្ធនាយកនៃអត្ថបទពេញលេញបំផុតរបស់ Diophantus បានព្យាយាមបង្រួមគម្លាតនេះ។ នៅក្នុងបណ្ណាល័យ Escurial គាត់បានរកឃើញការដកស្រង់ចេញពីសំបុត្ររបស់ Michael Psellus ដែលជាអ្នកប្រាជ្ញ Byzantine នៃសតវត្សទី 11 ។ ដែលជាកន្លែងដែលវាត្រូវបានគេនិយាយថា Anatoly ដែលបានរៀនច្រើនបំផុតបន្ទាប់ពីប្រមូលផ្នែកសំខាន់បំផុតនៃវិទ្យាសាស្រ្តនេះយើងកំពុងនិយាយអំពីការណែនាំនៃដឺក្រេនៃមិនស្គាល់និង (ការរចនា) របស់ពួកគេឧទ្ទិសពួកគេទៅមិត្តរបស់គាត់ Diophantus ។ Anatoly of Alexandria ពិត​ជា​បាន​និពន្ធ​ឡើង >, សម្រង់​ដែល​ត្រូវ​បាន​លើក​ឡើង​នៅ​ក្នុង​ការងារ​ដែល​មាន​ស្រាប់​របស់ Iamblichus និង Eusenius ។ ប៉ុន្តែអាណាតូលីបានរស់នៅក្នុងអាឡិចសាន់ឌ្រីនៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 111 មុនគ។ e និងកាន់តែច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត - រហូតដល់ឆ្នាំ 270 នៅពេលដែលគាត់បានក្លាយជាប៊ីស្សពរបស់ Laodacia ។ នេះមានន័យថាមិត្តភាពរបស់គាត់ជាមួយ Diophantus ដែលមនុស្សគ្រប់គ្នាហៅថា Alexandria ត្រូវតែបានកើតឡើងមុនពេលនេះ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើគណិតវិទូអាឡិចសាន់ឌ្រីដ៏ល្បី និងមិត្តរបស់អាណាតូលីឈ្មោះ ឌីអូហ្វានទូស គឺជាមនុស្សម្នាក់នោះ ពេលវេលានៃជីវិតរបស់ឌីអូផាន់ថុស គឺពាក់កណ្តាលសតវត្សរ៍ទី១១១នៃគ.ស។

ប៉ុន្តែកន្លែងស្នាក់នៅរបស់ Diophantus ត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ - អាឡិចសាន់ឌ្រីដែលជាមជ្ឈមណ្ឌលនៃគំនិតវិទ្យាសាស្ត្រនិងពិភព Hellenistic ។

មួយនៃ epigrams នៃ Palatine Anthology បានរស់រានមានជីវិតរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ:

ផេះរបស់ Diophantus សម្រាកនៅក្នុងផ្នូរ: ភ្ញាក់ផ្អើលនឹងវា - និងថ្ម

អាយុរបស់អ្នកស្លាប់នឹងនិយាយតាមរយៈសិល្បៈដ៏ឈ្លាសវៃរបស់គាត់។

តាមឆន្ទៈរបស់ព្រះ គាត់បានរស់នៅមួយភាគប្រាំមួយនៃជីវិតរបស់គាត់កាលពីកុមារភាព។

ហើយ​ខ្ញុំ​បាន​ជួប​គ្នា​ម៉ោង​ប្រាំ​កន្លះ​ដោយ​មាន​ស្នាម​លើ​ថ្ពាល់​របស់​ខ្ញុំ។

វាគ្រាន់តែជាថ្ងៃទីប្រាំពីរប៉ុណ្ណោះដែលគាត់បានភ្ជាប់ពាក្យជាមួយមិត្តស្រីរបស់គាត់។

បន្ទាប់ពីបានចំណាយពេលប្រាំឆ្នាំជាមួយនាង ឥសីបានរង់ចាំកូនប្រុសរបស់គាត់។

កូនប្រុសជាទីស្រឡាញ់របស់ឪពុកគាត់រស់នៅបានតែពាក់កណ្តាលជីវិតរបស់គាត់។

គាត់ត្រូវបានគេយកពីឪពុករបស់គាត់ដោយផ្នូរដំបូងរបស់គាត់។

ពីរដងសម្រាប់រយៈពេលពីរឆ្នាំ ឪពុកម្តាយបានកាន់ទុក្ខយ៉ាងក្រៀមក្រំ។

នៅទីនេះខ្ញុំបានឃើញដែនកំណត់នៃជីវិតដ៏សោកសៅរបស់ខ្ញុំ។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទំនើបនៃការដោះស្រាយសមីការ គេអាចគណនាថាតើ Diophantus រស់នៅបានប៉ុន្មានឆ្នាំ។

អនុញ្ញាតឱ្យ Diophantus រស់នៅ x ឆ្នាំ។ តោះបង្កើត និងដោះស្រាយសមីការ៖

ចូរគុណសមីការដោយ 84 ដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគ៖

ដូច្នេះ Diophantus រស់នៅបាន 84 ឆ្នាំ។

អាថ៌កំបាំងបំផុតគឺការងាររបស់ Diophantus ។ សៀវភៅចំនួនប្រាំមួយក្នុងចំណោមសៀវភៅទាំង 13 ដែលត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាជា > បានមកដល់ពួកយើង រចនាប័ទ្ម និងខ្លឹមសារនៃសៀវភៅទាំងនេះខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីស្នាដៃបុរាណបុរាណស្តីពីទ្រឹស្តីលេខ និងពិជគណិត ជាឧទាហរណ៍ដែលយើងស្គាល់ពី > Euclid, his >, lemmas ពីស្នាដៃ។ នៃ Archimedes និង Apollonius ។ > ច្បាស់ជាលទ្ធផលនៃការសិក្សាជាច្រើនដែលនៅតែមិនស្គាល់ទាំងស្រុង។

យើងអាចស្មានបានតែឫសគល់របស់វា ហើយភ្ញាក់ផ្អើលជាមួយនឹងភាពសម្បូរបែប និងភាពស្រស់ស្អាតនៃវិធីសាស្រ្ត និងលទ្ធផលរបស់វា។

> Diophanta គឺជាបណ្តុំនៃបញ្ហា (189 សរុប) ដែលនីមួយៗមានដំណោះស្រាយ។ បញ្ហានៅក្នុងវាត្រូវបានជ្រើសរើសយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្ន និងបម្រើដើម្បីបង្ហាញពីវិធីសាស្ត្រជាក់លាក់ និងគិតយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ ដូចទម្លាប់នៅសម័យបុរាណ វិធីសាស្រ្តមិនត្រូវបានបង្កើតជាទម្រង់ទូទៅទេ ប៉ុន្តែត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នា។

ជីវប្រវត្តិតែមួយគត់របស់ Diophantus ត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងគួរឱ្យទុកចិត្ត ដែលយោងទៅតាមរឿងព្រេង ត្រូវបានគេឆ្លាក់នៅលើផ្នូររបស់គាត់ ហើយបានបង្ហាញនូវកិច្ចការផ្ដុំរូបមួយ៖

ល្បែងផ្គុំរូបនេះដើរតួជាឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាដែល Diophantus បានដោះស្រាយ។ គាត់មានជំនាញក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាចំនួនគត់។ បញ្ហាបែបនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាបញ្ហា Diophantine ។

ការសិក្សាអំពីសមីការ Diophantine ជាធម្មតាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការលំបាកដ៏អស្ចារ្យ។

នៅឆ្នាំ 1900 នៅឯសមាជគណិតវិទូពិភពលោកនៅទីក្រុងប៉ារីស លោក David Hilbert ដែលជាគណិតវិទូឈានមុខគេរបស់ពិភពលោកបានកំណត់បញ្ហាចំនួន 23 ពីផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា។ បញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនេះគឺបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការ Diophantine ។ បញ្ហានេះមានដូចខាងក្រោម៖ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ និងមេគុណចំនួនគត់តាមអំពើចិត្តតាមវិធីជាក់លាក់មួយ - ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ។ ភារកិច្ចមានដូចខាងក្រោម៖ សម្រាប់សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវស្វែងរកចំនួនគត់ ឬតម្លៃធម្មជាតិនៃអថេរដែលរួមបញ្ចូលក្នុងសមីការ ដែលវាប្រែទៅជាសមភាពពិត។ Diophantus បានបង្កើតដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នាជាច្រើនសម្រាប់សមីការបែបនេះ។ ដោយសារសមីការ Diophantine មានភាពចម្រុះគ្មានកំណត់ គ្មានក្បួនដោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវាទេ ហើយសម្រាប់សមីការស្ទើរតែនីមួយៗ ត្រូវតែបង្កើតបច្ចេកទេសបុគ្គល។

សមីការ Diophantine នៃដឺក្រេទី 1 ឬសមីការ Diophantine លីនេអ៊ែរដែលមានពីរមិនស្គាល់ គឺជាសមីការនៃទម្រង់៖ ax+by=c ដែល a,b,c ជាចំនួនគត់, GCD(a,b)=1។

ខ្ញុំនឹងផ្តល់រូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទដោយផ្អែកលើមូលដ្ឋានដែលក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីមួយដែលមិនអាចកំណត់បាននៃអថេរពីរនៅក្នុងចំនួនគត់អាចត្រូវបានចងក្រង។

ទ្រឹស្តីបទ 1. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ នោះសមីការមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ។

ភស្តុតាង៖

យើងអាចសន្មត់ថា a>0. ដោយបានដោះស្រាយសមីការសម្រាប់ x យើងទទួលបាន: x = c-vua ។ ខ្ញុំនឹងបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើក្នុងរូបមន្តនេះជំនួសឱ្យ y យើងជំនួសលេខធម្មជាតិទាំងអស់តិចជាង a និង 0 ពោលគឺលេខ 0;1;2;3;។ ;a-1 ហើយរាល់ពេលដែលអ្នកធ្វើការបែងចែក នោះនៅសល់ទាំងអស់នឹងខុសគ្នា។ ជាការពិតណាស់ ជំនួសឱ្យ y ខ្ញុំនឹងជំនួសលេខ m1 និង m2 ដែលតូចជាង a ។ ជាលទ្ធផល ខ្ញុំនឹងទទួលបានប្រភាគពីរ៖ c-bm1a និង c-bm2a ។ ដោយបានអនុវត្តការបែងចែក និងកំណត់ចំនួនកូតាមិនពេញលេញដោយ q1 និង q2 ហើយនៅសល់ដោយ r1 និង r2 ខ្ញុំនឹងរកឃើញ с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а ។

ខ្ញុំនឹងសន្មត់ថានៅសល់ r1 និង r2 ស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មក ដកទីពីរចេញពីសមភាពទីមួយ ខ្ញុំទទួលបាន៖ c-bm1a- c-bm2a = q1-q2 ឬ b(m1 - m2)a = q1-q2 ។

ដោយសារ q1-q2 គឺជាចំនួនគត់ ដូច្នេះផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវតែជាចំនួនគត់។ ដូច្នេះ bm1 - m2 ត្រូវតែបែងចែកដោយ a, i.e. ភាពខុសគ្នានៃចំនួនធម្មជាតិពីរ ដែលលេខនីមួយៗតិចជាង a ត្រូវតែបែងចែកដោយ a ដែលមិនអាចទៅរួចទេ។ នេះមានន័យថានៅសល់ r1 និង r2 ស្មើគ្នា។ នោះគឺសំណល់ទាំងអស់គឺខុសគ្នា។

នោះ។ ខ្ញុំបានទទួលសមតុល្យផ្សេងៗតិចជាង a. ប៉ុន្តែ​ចំនួន​ធម្មជាតិ​ខុស​គ្នា​ដែល​មិន​លើស​ពី a គឺ​លេខ 0;1;2;3;។ ;a-1 ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ក្នុងចំណោមអ្នកដែលនៅសល់ ប្រាកដជាមានមួយ ហើយមានតែមួយស្មើនឹងសូន្យ។ តម្លៃនៃ y ការជំនួសដែលចូលទៅក្នុងកន្សោម (c-vu)a ផ្តល់ឱ្យនៅសល់នៃ 0 ហើយប្រែ x = (c-vu) a ទៅជាចំនួនគត់។ Q.E.D.

ទ្រឹស្តីបទ 2. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ និង c មិនបែងចែកដោយ នោះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទេ។

ភស្តុតាង៖

អនុញ្ញាតឱ្យ d=GCD(a;b) ដូច្នេះ a=md, b=nd, ដែល m និង n ជាចំនួនគត់។ បន្ទាប់មកសមីការនឹងយកទម្រង់៖ mdх+ ndу=с, ឬ d(mх+ nу)=с ។

ដោយសន្មតថាមានចំនួនគត់ x និង y ដែលបំពេញសមីការ ខ្ញុំឃើញថាមេគុណ c ត្រូវបានបែងចែកដោយ d ។ ភាពផ្ទុយគ្នាជាលទ្ធផលបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទ។

ទ្រឹស្តីបទ 3. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ និងបន្ទាប់មកវាស្មើនឹងសមីការដែលនៅក្នុងនោះ។

ទ្រឹស្តីបទ 4. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ នោះដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទាំងអស់ចំពោះសមីការនេះមាននៅក្នុងរូបមន្ត៖

ដែល x0, y0 គឺជាដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការ គឺជាចំនួនគត់ណាមួយ។

ទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្កើតធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ជាចំនួនគត់។

1. រកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ a និង b ប្រសិនបើ c មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ នោះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទេ។ ប្រសិនបើហើយបន្ទាប់មក

2. បែងចែកពាក្យសមីការដោយពាក្យដោយទទួលបានសមីការដែលក្នុងនោះ។

3. ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំនួនគត់ (x0, y0) នៃសមីការដោយតំណាង 1 ជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃលេខ និង;

4. បង្កើតរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការនេះ ដែល x0, y0 គឺជាដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការ ហើយជាចំនួនគត់ណាមួយ។

2. 1 វិធីសាស្រ្ត DESCENT

ច្រើន > ត្រូវបានផ្អែកលើវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនច្បាស់លាស់។ ជាឧទាហរណ៍ ល្បិចមួយដែលទាក់ទងនឹងការទាយថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើត។

អញ្ជើញមិត្តរបស់អ្នកឱ្យទាយថ្ងៃកំណើតរបស់គាត់ដោយផលបូកនៃលេខដែលស្មើនឹងផលិតផលនៃថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតរបស់គាត់ដោយ 12 និងចំនួននៃខែកំណើតដោយ 31 ។

ដើម្បីទាយថ្ងៃកំណើតរបស់មិត្តអ្នក អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការ៖ 12x + 31y = A ។

អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកត្រូវបានផ្តល់លេខ 380 ពោលគឺ យើងមានសមីការ 12x + 31y = 380 ។ ដើម្បីស្វែងរក x និង y អ្នកអាចហេតុផលដូចនេះ៖ លេខ 12x + 24y ត្រូវបានបែងចែកដោយ 12 ដូច្នេះយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ ការបែងចែក (ទ្រឹស្តីបទ 4.4) លេខ 7y និង 380 ត្រូវតែមាននៅសល់ដូចគ្នានៅពេលចែកនឹង 12។ លេខ 380 នៅពេលចែកនឹង 12 ផ្តល់ចំនួនដែលនៅសល់នៃ 8 ដូច្នេះ 7y នៅពេលចែកនឹង 12 ក៏ត្រូវទុកនៅសល់នៃ 8 ហើយចាប់តាំងពី y គឺជាចំនួននៃខែ បន្ទាប់មក 1

សមីការដែលយើងបានដោះស្រាយគឺជាសមីការ Diophantine ដឺក្រេទី 1 ដែលមិនស្គាល់ពីរ។ ដើម្បី​ដោះស្រាយ​សមីការ​បែប​នេះ គេ​អាច​ប្រើ​អ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​វិធី​ចុះ​ពូជ។ ខ្ញុំនឹងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្តនេះដោយប្រើសមីការជាក់លាក់ 5x + 8y = 39 ។

1. ខ្ញុំនឹងជ្រើសរើសមិនស្គាល់ដែលមានមេគុណតូចបំផុត (ក្នុងករណីរបស់យើងវាជា x) ហើយបង្ហាញវាតាមរយៈមិនស្គាល់មួយទៀត៖ ។ ខ្ញុំនឹងគូសបញ្ជាក់ផ្នែកទាំងមូល៖ ជាក់ស្តែង x នឹងក្លាយជាចំនួនគត់ ប្រសិនបើកន្សោមប្រែទៅជាចំនួនគត់ ដែលនៅក្នុងវេននឹងជាករណីនៅពេលដែលលេខ 4 - 3y ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់។

2. ខ្ញុំនឹងណែនាំអថេរចំនួនគត់បន្ថែម z ដូចខាងក្រោមៈ 4 − 3y = 5z ។ ជាលទ្ធផល ខ្ញុំនឹងទទួលបានសមីការនៃប្រភេទដូចគ្នាទៅនឹងប្រភេទដើម ប៉ុន្តែមានមេគុណតូចជាង។ ខ្ញុំនឹងដោះស្រាយវាទាក់ទងនឹងអថេរ y: ។ ការជ្រើសរើសផ្នែកទាំងមូលខ្ញុំទទួលបាន៖

ការវែកញែកស្រដៀងគ្នាទៅនឹងលេខមុន ខ្ញុំណែនាំអថេរថ្មី u: 3u = 1 - 2z ។

3. ខ្ញុំនឹងបង្ហាញការមិនស្គាល់ជាមួយនឹងមេគុណតូចបំផុត ក្នុងករណីនេះអថេរ z: = ។ ដោយតម្រូវឱ្យវាជាចំនួនគត់ ខ្ញុំទទួលបាន៖ 1 - u = 2v, wherece u = 1 - 2v ។ មិនមានប្រភាគទៀតទេ ការបន្តពូជគឺពេញលេញ។

4. ឥឡូវនេះអ្នកត្រូវការ > ។ ខ្ញុំនឹងបង្ហាញតាមរយៈអថេរ v ដំបូង z បន្ទាប់មក y ហើយបន្ទាប់មក x: z = = = 3v − 1; = 3 - 5 វ៉។

5. រូបមន្ត x = 3+8v និង y = 3 − 5v ដែល v ជាចំនួនគត់តាមអំពើចិត្ត តំណាងឱ្យដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការដើមជាចំនួនគត់។

មតិយោបល់។ ដូច្នេះ វិធីសាស្ត្រចុះមកជាប់ពាក់ព័ន្ធនឹងការបង្ហាញពីអថេរមួយជាលំដាប់ក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយទៀត រហូតដល់គ្មានប្រភាគដែលនៅសល់ក្នុងការតំណាងនៃអថេរ ហើយបន្ទាប់មកបន្តបន្ទាប់គ្នាតាមខ្សែសង្វាក់នៃសមភាព ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការ។

2. 2 វិធីសាស្រ្តស្ទង់មតិ

ទន្សាយ និងសត្វក្ងានអង្គុយក្នុងទ្រុងមួយ ពួកគេមានជើងសរុប 18 ។ រកមើលថាតើទាំងពីរមានប៉ុន្មាននៅក្នុងក្រឡា?

ខ្ញុំ​សូម​បង្កើត​សមីការ​មួយ​ដែល​មិន​ស្គាល់​ចំនួន​ពីរ​ដែល x ជា​ចំនួន​ទន្សាយ ហើយ y ជា​ចំនួន​សត្វពាហនៈ

4x + 2y = 18 ឬ 2x + y = 9 ។

ចម្លើយ។ 1) ទន្សាយ 1 និង 7 pheasants; 2) ទន្សាយ 2 និង 5 pheasants; 3) ទន្សាយ 3 និង pheasants 3; 4) ទន្សាយ 4 ក្បាល និង 1 pheasant ។

1. ផ្នែកជាក់ស្តែង

3.1 ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដោយមិនស្គាល់ពីរ

1. ដោះស្រាយសមីការ 407x − 2816y = 33 ជាចំនួនសរុប។

ខ្ញុំនឹងប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលបានចងក្រង។

1. ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ Euclidean ខ្ញុំនឹងរកឃើញអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 407 និង 2816៖

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

៣៧៤ = ៣៣ ១១ + ១១;

ដូច្នេះ (407.2816) = 11 ដោយ 33 ចែកដោយ 11 ។

2. ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយ 11 យើងទទួលបានសមីការ 37x − 256y = 3 និង (37, 256) = 1

3. ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ Euclidean ខ្ញុំនឹងស្វែងរកតំណាងលីនេអ៊ែរនៃលេខ 1 តាមរយៈលេខ 37 និង 256 ។

256 = 37 6 + 34;

ខ្ញុំនឹងបង្ហាញ 1 ពីសមភាពចុងក្រោយ, បន្ទាប់មកបន្តបន្ទាប់គ្នាឡើងសមភាពដែលខ្ញុំនឹងបង្ហាញ 3; 34 ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជាកន្សោមសម្រាប់ 1 ។

1 = 34 − 3 11 = 34 − (37 − 34 1) 11 = 34 12 − 37 11 = (256 − 37 6) 12 − 37 11 =

៨៣ ៣៧ - ២៥៦ (-១២)

ដូច្នេះ 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1 ដូច្នេះគូនៃលេខ x0 = − 83 និង y0 = − 12 គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ 37x − 256y = 3 ។

4. ខ្ញុំនឹងសរសេររូបមន្តទូទៅសម្រាប់ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើមដែល t ជាចំនួនគត់។

ចម្លើយ។ (-83c+bt; -12c-at), t є Z ។

មតិយោបល់។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាប្រសិនបើគូ (x1,y1) គឺជាដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការដែលនោះ ដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការនេះត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ x=x1+bty=y1-at

2. ដោះស្រាយសមីការ 14x − 33y = 32 ជាចំនួនសរុប។

ដំណោះស្រាយ៖ x = (32 + 33y): 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [ ។ ] 2y + 5y + 14 [។ ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = ទំ; p є Z

ស្វែងរកពី 1 ដល់ 13

ពេល y = 2; ( 5 [ ។ ] 2 + 4): 14

អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំជំនួស y = 2 ទៅក្នុងសមីការដើម

14x = 32 +33 [ . ] ២

14x = 32 + 66 x = 98:14 = 7

ខ្ញុំនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទាំងអស់ពី quotient ដែលបានរកឃើញ៖

14(x − 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14(x − 7) - 33(y − 2) = 0

14(x − 7) = 33(y − 2) -> 14(x − 7): 33 -> (x − 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z

ខ្ញុំសូមជំនួសសមីការដើម៖

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 − 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7 ដែល k є Z. រូបមន្តទាំងនេះបញ្ជាក់ដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការដើម។

ចម្លើយ។ (33k + 7; 14k + 2), k є Z ។

3. ស្រាយសមីការ x − 3y = 15 ជាចំនួនសរុប។

ខ្ញុំនឹងរកឃើញ GCD(1,3)=1

ខ្ញុំនឹងកំណត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ៖ x=(15+3y):1 ដោយប្រើវិធីរាប់លេខ ខ្ញុំរកឃើញតម្លៃ y=0 បន្ទាប់មក x=(15+3 [.]0) =15

(15; 0) - ដំណោះស្រាយឯកជន។

ដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖ x = 3k + 15, k є Z y = 1k + 0 = k, k є Z សម្រាប់ k = 0 ខ្ញុំទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ (15; 0)

ចម្លើយ៖ (3k+15; k), k є Z ។

4. ដោះស្រាយសមីការ 7x - y = 3 ជាចំនួនទាំងមូល។

ខ្ញុំនឹងរកឃើញ GCD(7, -1)=1

ខ្ញុំនឹងកំណត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ៖ x = (3+y): 7

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ brute force យើងរកឃើញតម្លៃ y є y = 4, x = 1

នេះមានន័យថា (1;4) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ខ្ញុំរកឃើញដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ដោយប្រើរូបមន្ត៖ x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

ចម្លើយ៖ (k+1;7k+4); k є Z ។

5. ដោះស្រាយសមីការ 15x+11 y = 14 integers ។

ខ្ញុំនឹងរកឃើញ GCD(15, -14)=1

ខ្ញុំនឹងកំណត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ៖ x = (14 - 11y): 15

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ brute force ខ្ញុំរកឃើញតម្លៃ y є y = 4, x = -2

(-២;៤) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ខ្ញុំរកឃើញដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ដោយប្រើរូបមន្ត៖ x = -11k − 2, k є Z y = 15k + 4, k є Z

ចម្លើយ៖ (-11k-2; 15k+4); k є Z ។

6. ស្រាយសមីការ 3x − 2y = 12 integers ។

ខ្ញុំនឹងរកឃើញ GCD(3; 2)=1

ខ្ញុំនឹងកំណត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ៖ x = (12 + 2y): 3

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ brute force ខ្ញុំរកឃើញតម្លៃ y є y = 0, x = 4

(4;0) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ខ្ញុំរកឃើញដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ដោយប្រើរូបមន្ត៖ x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

ចម្លើយ៖ (2k+4; 3k); k є Z ។

7. ដោះស្រាយសមីការ xy = x + y ជាចំនួនសរុប។

ខ្ញុំមាន xy − x − y + 1 = 1 ឬ (x − 1)(y − 1) = 1

ដូច្នេះ x − 1 = 1, y – 1 = 1, whence x = 2, y = 2 ឬ x – 1 = – 1, y – 1 = – 1, whence x = 0, y = 0 ដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតក្នុងចំនួនគត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ សមីការមិនមានទេ។

ចម្លើយ។ 0;0;(2;2)។

8. ដោះស្រាយសមីការ 60x − 77y = 1 ក្នុងចំនួនទាំងមូល។

ខ្ញុំសូមដោះស្រាយសមីការនេះសម្រាប់ x: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60 ។

អនុញ្ញាតឱ្យ (17y + 1) / 60 = z បន្ទាប់មក y = (60z − 1) / 17 = 3z + (9z − 1) / 17. ប្រសិនបើយើងសម្គាល់ (9z − 1) / 17 ដោយ t បន្ទាប់មក z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. ចុងបញ្ចប់សូមឱ្យ (- t + 1) / 9 = n បន្ទាប់មក t = 1- 9n ។ ដោយសារខ្ញុំរកតែដំណោះស្រាយចំនួនគត់ចំពោះសមីការ z, t, n ត្រូវតែជាចំនួនគត់។

ដូច្នេះ z = 2 − 18n + 2 = 2 − 17n ហើយដូច្នេះ y = 6 − 51n + 1 − 9n = 7 − 60n , x = 2 − 17n +7 − 60n = 9 − 77n ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ x និង y គឺជាចំនួនគត់ដំណោះស្រាយនៃសមីការដែលបានផ្តល់ នោះមានចំនួនគត់ n ដូចនេះ x = 9 - 77n, y = 7 - 60n ។ ផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើ y = 9 - 77n, x = 7 - 60n នោះជាក់ស្តែង x, y គឺជាចំនួនគត់។ ពិនិត្យបង្ហាញថាពួកគេបំពេញសមីការដើម។

ចម្លើយ។ (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z ។

9. ដោះស្រាយសមីការ 2x+11y =24 ជាចំនួនសរុប។

ខ្ញុំនឹងរកឃើញ GCD(2; 11)=1

ខ្ញុំនឹងកំណត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ៖ x = (24-11y): 2

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ brute force ខ្ញុំរកឃើញតម្លៃ y є y = 0, x = 12

(12; 0) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ខ្ញុំរកឃើញដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ដោយប្រើរូបមន្ត៖ x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0 = 2k, k є Z

ចម្លើយ៖ (-11k+12; 2k); k є Z ។

10. ស្រាយសមីការ 19x − 7y = 100 ជាចំនួនសរុប។

ខ្ញុំនឹងរកឃើញ GCD(19, -7)=1

ខ្ញុំនឹងកំណត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ៖ x = (100+7y): 19

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ brute force ខ្ញុំរកឃើញតម្លៃ y є y = 2, x = 6

(6; 2) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ខ្ញុំរកឃើញដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ដោយប្រើរូបមន្ត៖ x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

ចម្លើយ៖ (7k+6; 19k+2); kє Z ។

11. ស្រាយសមីការ 24x − 6y = 144 ជាចំនួនសរុប

ខ្ញុំនឹងរកឃើញ GCD(24, 6)=3។

សមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេព្រោះ GCD(24, 6)!=1 ។

ចម្លើយ។ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

12. ដោះស្រាយសមីការជាចំនួនទាំងមូល។

ខ្ញុំបំប្លែងសមាមាត្រនៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់។

ជាដំបូង ខ្ញុំនឹងគូសបញ្ជាក់ផ្នែកទាំងមូលនៃប្រភាគដែលមិនត្រឹមត្រូវ។

ខ្ញុំនឹងជំនួសប្រភាគត្រឹមត្រូវដោយប្រភាគស្មើគ្នា។

បន្ទាប់មកខ្ញុំនឹងទទួលបានវា។

ខ្ញុំនឹងធ្វើការបំប្លែងដូចគ្នាជាមួយនឹងប្រភាគដែលមិនត្រឹមត្រូវដែលទទួលបាននៅក្នុងភាគបែង។

ឥឡូវនេះប្រភាគដើមនឹងមានទម្រង់៖

ការលើកហេតុផលដូចគ្នាសម្រាប់ប្រភាគ ខ្ញុំទទួលបាន។

ដោយញែកផ្នែកទាំងមូលនៃប្រភាគដែលមិនសមរម្យ ខ្ញុំមកដល់លទ្ធផលចុងក្រោយ៖

ខ្ញុំបានទទួលកន្សោមមួយហៅថាប្រភាគបន្តកំណត់។ ដោយបានបោះបង់តំណភ្ជាប់ចុងក្រោយនៃប្រភាគបន្តនេះ - មួយភាគប្រាំ ខ្ញុំនឹងបំប្លែងប្រភាគបន្តថ្មីដែលជាលទ្ធផលទៅជាប្រភាគធម្មតា ហើយដកវាចេញពីប្រភាគដើម។

ខ្ញុំនឹងកាត់បន្ថយកន្សោមលទ្ធផលទៅជាភាគបែងរួម ហើយបោះវាចោល

ពីការប្រៀបធៀបសមភាពលទ្ធផលជាមួយនឹងសមីការ វាធ្វើតាមនោះ វានឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ ហើយយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ ដំណោះស្រាយទាំងអស់របស់វានឹងមាននៅក្នុង , ។

ចម្លើយ។ (9+52t; 22+127t), t є Z ។

លទ្ធផលដែលទទួលបានបង្ហាញថា ក្នុងករណីទូទៅ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ វាចាំបាច់ក្នុងការពង្រីកសមាមាត្រនៃមេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ទៅជាប្រភាគបន្ត បោះបង់តំណចុងក្រោយរបស់វា ហើយអនុវត្តការគណនាស្រដៀងគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានអនុវត្ត។ ខាងលើ។

13. ស្រាយសមីការ 3xy + 2x + 3y = 0 ជាចំនួនគត់។

3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 − 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =

=(x + 1)(3y + 2) - 2,

(x + 1)(3y + 2) = 2,

3y + 2 = 1 ឬ 3y + 1 = 2 ឬ 3y + 1 = −1 ឬ 3y + 1 = −2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = −2, x + 1 = −1 ; x = 2 ឬ x = 0 ឬ x = −3 ឬ x = −2 y cent z, y = 0, y = −1, y cent z ។

ចម្លើយ៖ (០;០);(-៣;-១)។

14. ស្រាយសមីការ y − x − xy = 2 ជាចំនួនសរុប។

ដំណោះស្រាយ៖ y - xy − x + 1 = 3, (y + 1)(1 − x) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (−3)·(-1)។

y + 1 = 1 ឬ y + 1 = 3 ឬ y + 1 = −1 ឬ y + 1 = −3

1 − x = 3, 1 − x = 1, 1 − x = −3, 1 − x = −1 ។

y = 0 ឬ y = 2 ឬ y = −2 ឬ y = −4 x = −2, x = 0, x = 4, x = 2

ចម្លើយ៖ (-២;០);(០;២);(២;-៤);(៤;-២)។

15. ស្រាយសមីការ y + 4x + 2xy = 0 ជាចំនួនសរុប។

ដំណោះស្រាយ៖ y + 4x + 2xy + 2 − 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2x + 1= 1 ឬ 2x + 1= 2 ឬ 2x + 1= −1 ឬ 2x + 1= −2

2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = −2, 2 + y = -1; y = 0 ឬ y = −1 ឬ y = −4 ឬ y = −3 x = 0, x cent Z, x = −1, x cent Z ។

ចម្លើយ៖ (-១;-៤);(០;០)។

16. ស្រាយសមីការ 5x + 10y = 21 ជាចំនួនសរុប។

5(x + 2y) = 21 ចាប់តាំងពី 21 != 5n បន្ទាប់មកគ្មានឫសទេ។

ចម្លើយ។ មិនមានឫសទេ។

17. ស្រាយសមីការ 3x + 9y = 51 ជាលេខធម្មជាតិ។

3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = −1, −1cent N ។

ចម្លើយ៖ (២; ៥); (៥; ៤); (៨; ៣); (១១; ២; (១៤: ១) ។

18. ដោះស្រាយសមីការ 7x+5y=232 ជាចំនួនសរុប។

ខ្ញុំនឹងដោះស្រាយសមីការនេះទាក់ទងនឹងការមិនស្គាល់ដែលមេគុណតូចបំផុត (ម៉ូឌុល) ត្រូវបានរកឃើញ នោះគឺក្នុងករណីនេះទាក់ទងនឹង y: y = 232-7x5 ។

អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំជំនួសលេខជំនួសឱ្យ x នៅក្នុងកន្សោមនេះ: 0; 1; 2; 3; 4 ។ ខ្ញុំទទួលបាន៖ x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43.6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40.8

ចម្លើយ។ (1; 45) ។

19. ស្រាយសមីការ 3x + 4y + 5xy = 6 ជាចំនួនសរុប។

ខ្ញុំមាន 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn

ការបែងចែក 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42) ។

x = m − 45, y = n − 35 ខ្ញុំរកឃើញថា m = −1, −6, 14, −21 n = −42, −7, 3, −2 ដំណោះស្រាយគឺ x = −1, −2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, −1 ។

ដូច្នេះសមីការនេះមាន 4 ដំណោះស្រាយជាចំនួនគត់ និងគ្មានលេខធម្មជាតិ

ចម្លើយ។ -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1) ។

20. ដោះស្រាយសមីការ 8x+65y=81 ជាចំនួនធម្មជាតិ។

81⋮GCD(8;65)=>

8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8។

អនុញ្ញាតឱ្យ 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 t t = 0 ។

នៅ t=0 x=2y=1

ចម្លើយ។ (២;១)។

21. ស្វែងរកចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមានចំពោះសមីការ 3x+7y=250។

250⋮GCD(3;7) =>សមីការអាចត្រូវបានដោះស្រាយជាចំនួនគត់។

x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.

អនុញ្ញាតឱ្យ 1-y3=t, t Є Z ។

x=81+7t>=0y=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10; ;0.

x=81+7tу=1-3t t=-11 ​​x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1

ចម្លើយ។ 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. ដោះស្រាយសមីការ xy+x+y3=1988 ជាចំនួនគត់។

ចូរគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 3។ យើងទទួលបាន៖

3x+3xy+y=5964

3x+3xy+y+1=5965

(3х+1)+(3х+у)=5965

(3x+1) + y(3x+1)=5965

(3x+1)(y+1)=5965

5965=1∙5965 ឬ 5965=5965∙1 ឬ 5965=-1∙(-5965) ឬ 5965=-5965∙(-1) ឬ 5965=5∙1193 ឬ 5965=(1195∙1) ឬ -1193) ឬ 5965=-1193∙(-5)

1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0

3) 3x+1=5y+1=1193 4) ដំណោះស្រាយ 3x+1=1193y+1=5 ក្នុងចំនួនគត់ គ្មានដំណោះស្រាយក្នុងចំនួនគត់ទេ

5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 គ្មានដំណោះស្រាយក្នុងចំនួនគត់ គ្មានដំណោះស្រាយក្នុងចំនួនគត់

7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6

ចម្លើយ។ 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6)។

3. 2 ការដោះស្រាយបញ្ហា

មាន​បញ្ហា​ជាច្រើន​ប្រភេទ ដែល​ភាគច្រើន​ទាំងនេះ​គឺជា​បញ្ហា​នៃ​លក្ខណៈ​អូឡាំពិក ដែល​ពុះកញ្ជ្រោល​ដល់​ការដោះស្រាយ​សមីការ Diophantine ។ ឧទាហរណ៍៖ ក) ភារកិច្ចលើការផ្លាស់ប្តូរផលបូកនៃប្រាក់នៃនិកាយជាក់លាក់មួយ។

ខ) បញ្ហាទាក់ទងនឹងការបញ្ចូល និងការបែងចែកវត្ថុ។

1. យើងបានទិញខ្មៅដៃពណ៌ចំនួន 390 ក្នុងប្រអប់ 7 និង 12 ខ្មៅដៃ។ តើអ្នកបានទិញប៉ុន្មានប្រអប់នេះ និងប្រអប់ផ្សេងទៀត?

ខ្ញុំនឹងចាត់តាំង៖ x ប្រអប់ខ្មៅដៃ ៧ ប្រអប់ y ប្រអប់ខ្មៅដៃ ១២ ។

ខ្ញុំសូមបង្កើតសមីការ៖ 7x + 12y = 390

ខ្ញុំនឹងរកឃើញ GCD(7, 12)=1

ខ្ញុំនឹងកំណត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ៖ x = (390 - 12y): 7

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ brute force ខ្ញុំរកឃើញតម្លៃ y є y = 1, x = 54

(54; 1) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ខ្ញុំរកឃើញដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ដោយប្រើរូបមន្ត៖ x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

ខ្ញុំបានរកឃើញដំណោះស្រាយជាច្រើនចំពោះសមីការ។ ដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាខ្ញុំនឹងកំណត់ចំនួនដែលអាចធ្វើបាននៃប្រអប់ទាំងពីរ។

ចម្លើយ។ អ្នកអាចទិញ 54 ប្រអប់ 7 ខ្មៅដៃ និង 1 ប្រអប់ 12 ខ្មៅដៃ ឬ 42 ប្រអប់ ខ្មៅដៃ 7 និង 8 ប្រអប់ 12 ខ្មៅដៃ ឬ 30 ប្រអប់ 7 ខ្មៅដៃ និង 15 ប្រអប់ 12 ខ្មៅដៃ ឬ 28 ប្រអប់ 7 ខ្មៅដៃ និង 22 ប្រអប់ខ្មៅដៃ 12 ប្រអប់ ឬ 6 ប្រអប់ 7 ខ្មៅដៃ និង 29 ប្រអប់ 12 ខ្មៅដៃ។

2. ជើង​ម្ខាង​នៃ​ត្រីកោណ​កែង​មួយ​មាន​ទំហំ 7 សង់ទីម៉ែត្រ​ធំ​ជាង​ម្ខាង​ទៀត ហើយ​បរិវេណ​នៃ​ត្រីកោណ​គឺ 30 សង់ទីម៉ែត្រ​រក​ជ្រុង​ទាំងអស់​នៃ​ត្រីកោណ។

ខ្ញុំនឹងកំណត់៖ x cm - ជើងមួយ (x+7) cm - ជើងម្ខាងទៀត y cm - អ៊ីប៉ូតេនុស

ខ្ញុំនឹងសរសេរ និងដោះស្រាយសមីការ Diophantine៖ x+(x+7)+y=30

ខ្ញុំនឹងរកឃើញ GCD(2; 1)=1

ខ្ញុំនឹងកំណត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ៖ x = (23 - y): 2

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ brute force ខ្ញុំរកឃើញតម្លៃ y = 1 y = 1, x = 11

(11; 1) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ខ្ញុំរកឃើញដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ចំពោះសមីការដោយប្រើរូបមន្ត៖ x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

ដោយពិចារណាថាផ្នែកណាមួយនៃត្រីកោណមួយតិចជាងផលបូកនៃភាគីទាំងពីរទៀត យើងមកសន្និដ្ឋានថាមានត្រីកោណបីដែលមានជ្រុង 7, 9 និង 14; ៦, ១១ និង ១៣; 5, 13 និង 12. យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា ត្រីកោណកែងមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ នេះគឺជាត្រីកោណដែលមានជ្រុង 5, 13 និង 12 (ទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រកាន់) ។

ចម្លើយ៖ ជើងមួយមាន 5 សង់ទីម៉ែត្រ មួយទៀតមាន 12 សង់ទីម៉ែត្រ អ៊ីប៉ូតេនុសគឺ 13 សង់ទីម៉ែត្រ។

3. កុមារជាច្រើននាក់កំពុងរើសផ្លែប៉ោម។ ក្មេងប្រុសម្នាក់ៗប្រមូលបាន ២១ គីឡូក្រាម ហើយក្មេងស្រីប្រមូលបាន ១៥ គីឡូក្រាម។ សរុប​មក​ប្រមូល​បាន ១៧៤ គីឡូក្រាម។ តើក្មេងប្រុសប៉ុន្មាននាក់ និងក្មេងស្រីប៉ុន្មាននាក់រើសផ្លែប៉ោម?

សូមឱ្យមាន x ក្មេងប្រុស និងក្មេងស្រី ដោយ x និង y ជាលេខធម្មជាតិ។ ខ្ញុំសូមបង្កើតសមីការ៖

ខ្ញុំដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រជ្រើសរើស៖ x

6 មានតែ x = 4 ប៉ុណ្ណោះដែលមិនស្គាល់ទីពីរទទួលបានតម្លៃចំនួនគត់វិជ្ជមាន (y = 6) ។ សម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀតនៃ x y នឹងជាប្រភាគ ឬអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះបញ្ហាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ចម្លើយ។ ប្រុស​៤​នាក់ ស្រី​៦​នាក់ ។

4. តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតសំណុំខ្មៅដៃតម្លៃ 3 រូប្លិ និងប៊ិចតម្លៃ 6 រូប្លិ មានតម្លៃ 20 រូប្លិ?

សូមឱ្យចំនួនខ្មៅដៃនៅក្នុងសំណុំគឺ x ហើយចំនួនប៊ិចគឺ y ។

ខ្ញុំសូមបង្កើតសមីការ៖

សម្រាប់ចំនួនគត់ x និង y ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវតែបែងចែកដោយ 3; ផ្នែកខាងស្តាំមិនអាចបែងចែកដោយ 3 ។ នេះមានន័យថាមិនមានចំនួនគត់ x និង y ដែលនឹងបំពេញសមីការរបស់យើង។ សមីការនេះមិនអាចដោះស្រាយជាចំនួនគត់បានទេ។ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតឈុតបែបនេះ។

ចម្លើយ។ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

5. រកចំនួនធម្មជាតិដែលនៅពេលចែកនឹង 3 ទុកសល់នៃ 2 ហើយនៅពេលចែកនឹង 5 ទុកសល់ 3 ។

ខ្ញុំនឹងសម្គាល់លេខដែលត្រូវការដោយ x ។ ប្រសិនបើខ្ញុំសម្គាល់កូតានៃ x ដោយ 3 ដោយ y ហើយកូតានៃការបែងចែកដោយ 5 ដោយ z នោះខ្ញុំទទួលបាន: x = 3y + 2x = 5z + 3

យោងតាមអត្ថន័យនៃបញ្ហា x, y និង z ត្រូវតែជាលេខធម្មជាតិ។ នេះមានន័យថាយើងត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធមិនកំណត់នៃសមីការក្នុងចំនួនគត់។

សម្រាប់ចំនួនគត់ y និង z, x ក៏នឹងក្លាយជាចំនួនគត់។ ខ្ញុំដកទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ ហើយទទួលបាន៖

5z − 3y + 1 = 0 ។

ដោយបានរកឃើញចំនួនគត់វិជ្ជមានទាំងអស់ y និង z ខ្ញុំនឹងទទួលបានភ្លាមៗនូវតម្លៃចំនួនគត់វិជ្ជមានទាំងអស់នៃ x ។

ពីសមីការនេះខ្ញុំរកឃើញ៖

ដំណោះស្រាយមួយគឺជាក់ស្តែង៖ សម្រាប់ z = 1 យើងទទួលបាន y = 2 ហើយ x និង y គឺជាចំនួនគត់។ ដំណោះស្រាយ x = 8 ត្រូវគ្នានឹងពួកគេ។

ខ្ញុំនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយផ្សេងទៀត។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះខ្ញុំនឹងណែនាំជំនួយមិនស្គាល់ u កំណត់ z = 1 + u ។ ខ្ញុំនឹងទទួលបាន៖

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, i.e. 5u = 3y - 6 ឬ 5u = 3(y − 2)។

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការចុងក្រោយត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 សម្រាប់ចំនួនគត់ y នេះមានន័យថាផ្នែកខាងឆ្វេងក៏ត្រូវតែបែងចែកដោយ 3 ។ ប៉ុន្តែលេខ 5 គឺ coprime ទៅលេខ 3 ។ ដូច្នេះអ្នកត្រូវតែបែងចែកដោយ 3 ពោលគឺមានទម្រង់ 3n ដែល n ជាចំនួនគត់។ ក្នុងករណីនេះ y នឹងស្មើ

15n/3 + 2 = 5n + 2, i.e. ក៏ជាចំនួនគត់។ ដូច្នេះ z = 1 + u = 1 + 3n, whence x = 5z + 3 = 8 + 15n ។

លទ្ធផលមិនមែនជាមួយទេ ប៉ុន្តែជាសំណុំតម្លៃគ្មានកំណត់សម្រាប់ x: x = 8 + 15n ដែល n ជាចំនួនគត់ (វិជ្ជមាន ឬសូន្យ)៖

ចម្លើយ។ x=8+15n; n є 0;1;2;

6. ប្រធានបទបាននាំយកត្បូងមានតម្លៃចំនួន 300 ជាអំណោយដល់ Shah: ក្នុងប្រអប់តូចៗចំនួន 15 ដុំនីមួយៗនិងក្នុងប្រអប់ធំ - 40 ដុំ។ តើប្រអប់ទាំងនេះ និងប្រអប់ផ្សេងទៀតមានចំនួនប៉ុន្មាន បើដឹងថាមានប្រអប់តូចតិចជាងប្រអប់ធំ?

ខ្ញុំសូមបញ្ជាក់ដោយ x ចំនួនប្រអប់តូច និងដោយ y ចំនួនធំ។

15x+40y=300។ ខ្ញុំនឹងកាត់វាដោយ 5 ។

3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3

X=20-2y-2y3

សម្រាប់តម្លៃនៃប្រភាគជាចំនួនគត់ 2y ត្រូវតែជាពហុគុណនៃ 3 ពោលគឺ 2y = 3c។

ខ្ញុំនឹងបង្ហាញអថេរ y ហើយជ្រើសរើសផ្នែកទាំងមូល៖

Z ត្រូវតែជាពហុគុណនៃ 2 ពោលគឺ z=2u ។

ខ្ញុំនឹងបង្ហាញអថេរ x និង y ក្នុងន័យ u៖

X=20-2y-2y3

Х=20-2∙3u-2∙3u3

ខ្ញុំនឹងសរសេរ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមភាព៖

ខ្ញុំនឹងសរសេរដំណោះស្រាយទាំងមូល៖ ១; 2. ឥឡូវនេះខ្ញុំនឹងស្វែងរកតម្លៃនៃ x និង y សម្រាប់ u=1; ២.

1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3

2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6

ចម្លើយ។ 4 ប្រអប់តូច; 6 ប្រអប់ធំ។

7. រថយន្ត Ural 5557 ចំនួនពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យរថយន្តត្រូវបានបញ្ជូននៅលើជើងហោះហើរ Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk ។ ជាសរុប ប្រេងម៉ាស៊ូត 4 តោន និងអ្នកបើកបរ 2 នាក់ត្រូវការដើម្បីបញ្ចប់ការហោះហើរនេះ។ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ថ្លៃដឹកជញ្ជូន ពោលគឺថ្លៃប្រេងម៉ាស៊ូត 1 តោន និងប្រាក់ឈ្នួលសម្រាប់អ្នកបើកបរដែលធ្វើការហោះហើរនេះ ប្រសិនបើគេដឹងថាសរុបចំនួន 76,000 រូប្លិ៍ត្រូវបានចំណាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យ x រូប្លិជាថ្លៃដើមនៃប្រេងម៉ាស៊ូត 1 តោន ហើយឱ្យ x រូប្លែជាប្រាក់ឈ្នួលរបស់អ្នកបើកបរ។ បន្ទាប់មក (4x + 2y) rubles ត្រូវបានចំណាយលើការហោះហើរ។ ហើយយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានោះ 76,000 rubles ត្រូវបានចំណាយ។

ខ្ញុំទទួលបានសមីការ៖

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ វិធីសាស្ត្រ brute-force នឹងជាដំណើរការដែលពឹងផ្អែកលើកម្លាំងពលកម្ម។ ដូច្នេះខ្ញុំនឹងប្រើ > វិធីសាស្ត្រ។

ខ្ញុំនឹងបង្ហាញអថេរ y ដល់ x: ជ្រើសរើសផ្នែកទាំងមូល និងទទួលបាន: (1) ។

សម្រាប់តម្លៃនៃប្រភាគជាចំនួនគត់ 2x ត្រូវតែជាពហុគុណនៃ 4។ នោះគឺ 2x = 4z ដែល z ជាចំនួនគត់។ ពី​ទីនេះ:

ខ្ញុំនឹងជំនួសតម្លៃនៃ x ទៅជាកន្សោម (1)៖

ចាប់តាំងពី x, y 0, បន្ទាប់មក 19000 z 0, ដូច្នេះការផ្តល់ឱ្យ z តម្លៃចំនួនគត់ពី 0 ទៅ 19000 ខ្ញុំទទួលបានតម្លៃដូចខាងក្រោមនៃ x និង y: z

ពីទិន្នន័យពិតប្រាកដនៃថ្លៃដឹកជញ្ជូន គេដឹងថា ប្រេងម៉ាស៊ូត 1 តោន (x) មានតម្លៃ 18,000 រូប្លិ៍។ ហើយការទូទាត់សម្រាប់អ្នកបើកបរដែលកំពុងហោះហើរ (y) គឺ 10,000 រូប្លិ៍។ (ទិន្នន័យដែលបានយកប្រហែល) ។ ពីតារាងយើងឃើញថាតម្លៃ x ស្មើនឹង 18000 ហើយតម្លៃ y ស្មើនឹង 10000 ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃ z ស្មើនឹង 9000 ពិត៖ ;.

8. តើអ្នកអាចប្រមូលចំនួន 27 រូប្លិបានតាមវិធីប៉ុន្មាន? មានកាក់ 2 រូប និង 5 រូប៊ល ច្រើនណាស់មែនទេ?

ខ្ញុំសូមបញ្ជាក់៖ x កាក់ពីររូបល និង y កាក់ប្រាំរូបល។

ខ្ញុំនឹងបង្កើតសមីការដោយគិតគូរពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា 2x + 5y = 27 ។

ខ្ញុំនឹងរកឃើញ GCD(2;5)=1

ខ្ញុំនឹងកំណត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ៖ x = (27-5y): 2

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ brute force ខ្ញុំរកឃើញតម្លៃ y є y = 1, x = 11

(11; 1) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖ x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

សមីការនេះមានដំណោះស្រាយជាច្រើន។ ចូរយើងស្វែងរកវិធីទាំងអស់ដែលអ្នកអាចប្រមូលចំនួន 27 រូប្លិជាមួយនឹងកាក់ដែលបានផ្តល់ជូន។ k

ចម្លើយ។ មានវិធីបីយ៉ាងដែលអ្នកអាចប្រមូលចំនួននេះ ប្រសិនបើអ្នកមានកាក់ 2-ruble និង 5-ruble ច្រើន។

9. ចូរនិយាយថារតីយាវហឺនិងត្រីផ្កាយរស់នៅក្នុងអាងចិញ្ចឹមត្រី។ Octopuses មានជើង 8 ហើយត្រីផ្កាយមាន 5. មានអវយវៈចំនួន 39 សរុបមានសត្វប៉ុន្មាននៅក្នុងអាងចិញ្ចឹមត្រី?

សូមឱ្យ x ជាចំនួនត្រីផ្កាយ y ចំនួនរតីយាវហឺ។ បន្ទាប់មករតីយាវហឺទាំងអស់មានជើង ៨ ហើយផ្កាយទាំងអស់មានជើង ៥ ។

ខ្ញុំសូមបង្កើតសមីការ៖ 5x + 8y = 39 ។

សូមចំណាំថាចំនួនសត្វមិនអាចបង្ហាញជាចំនួនគត់ ឬអវិជ្ជមានបានទេ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ x ជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន នោះ y = (39 ដល់ 5x)/8 ក៏ត្រូវតែជាចំនួនគត់ និងមិនអវិជ្ជមាន ហើយដូច្នេះវាចាំបាច់ដែលកន្សោម 39 - 5x ត្រូវបានបែងចែកដោយ 8 ដោយគ្មាន នៅសល់ ការស្វែងរកជម្រើសដ៏សាមញ្ញបង្ហាញថា វាអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ x = 3 បន្ទាប់មក y = 3 ។

ចម្លើយ៖ (៣; ៣) ។

10. រោងចក្រគ្រឿងសង្ហារឹមមួយផលិតលាមកដែលមានជើងបីនិងបួន។ មេបានធ្វើជើងចំនួន 18 ។ តើ​លាមក​ប៉ុន្មាន​ដែល​អាច​ធ្វើ​ឱ្យ​ជើង​ទាំង​អស់​អាច​ប្រើ​បាន?

ចូរ x ជាចំនួនលាមកបីជើង និង y ជាចំនួនជើងបួន។ បន្ទាប់មក 3x + 4y = 18 ។

ខ្ញុំមាន, 4y = 18 - 3x; y = 3(6 − x): 4 ។

ខ្ញុំទទួលបាន: x = 2; y = 3 ឬ x = 6; y = 0 ។

មិនមានដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតទេចាប់តាំងពី x 6 ។

ចម្លើយ។ ២;៣;(៦;០)។

11. តើអាចផ្ទុកមនុស្សបាន 718 នាក់ក្នុងកាប៊ីន 4 និង 8 គ្រែ ដើម្បីកុំឱ្យមានកៅអីទំនេរនៅក្នុងកាប៊ីន?

ទុកកាប៊ីន 4 គ្រែជា x ហើយកាប៊ីន 8 គ្រែ y បន្ទាប់មក៖

2(x + 2y) = 309

ចម្លើយ។ វាត្រូវបានហាមឃាត់។

12. បង្ហាញថានៅលើបន្ទាត់ 124x + 216y = 515 មិនមានចំណុចតែមួយដែលមានកូអរដោណេចំនួនគត់ទេ។

GCD(124,216) = 4, 515 != 4n ដែលមានន័យថាមិនមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ទេ។

ចម្លើយ។ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

13. ថ្លៃទំនិញគឺ 23 រូប្លិ អ្នកទិញមានកាក់ត្រឹមតែ 2 រូល ហើយអ្នកគិតលុយមានកាក់ 5 រូល។ តើអាចធ្វើការទិញដោយមិនចាំបាច់ប្តូរប្រាក់មុនបានទេ?

សូមឱ្យ x ជាចំនួនកាក់ 2 រូប្លិ y ជាចំនួនកាក់ 5 រូប្លិ បន្ទាប់មក 2x - 5y = 23 ដែល x,y є N ។

ខ្ញុំទទួលបាន៖ 2x = 23 + 5y ពីកន្លែងដែល x = 23 + 5y2 = 11 + 2y + (1 + y)2 x នឹងជាចំនួនគត់ ប្រសិនបើ 1 + y2 ជាចំនួនគត់។

1 + y2 = t ដែល t អឺរ៉ូ Z បន្ទាប់មក y = 2t − 1 ។

x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t − 2 + 1 + 2t −12 = 5t + 9 ។

T. o. x = 5t + 9 និង y = 2t − 1 ដែល t є z ។

បញ្ហាមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់ជាច្រើន។ ភាពសាមញ្ញបំផុតនៃពួកគេគឺសម្រាប់ t = 1, x = 14, y = 1, ពោលគឺអ្នកទិញនឹងផ្តល់កាក់ដប់បួន 2-ruble និងទទួលបានកាក់ 5-ruble មួយនៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរ។

ចម្លើយ។ អាច។

14. ក្នុងអំឡុងពេលធ្វើសវនកម្មលើសៀវភៅពាណិជ្ជកម្មរបស់ហាង ធាតុមួយក្នុងចំណោមធាតុទាំងនោះបានប្រែក្លាយទៅជាទឹកថ្នាំ ហើយមើលទៅដូចនេះ៖

> វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតចំនួនម៉ែត្រដែលបានលក់ ប៉ុន្តែមានការងឿងឆ្ងល់ថាចំនួននោះមិនមែនជាប្រភាគទេ។ នៅក្នុងប្រាក់ចំណូល គេអាចសម្គាល់បានតែបីខ្ទង់ចុងក្រោយប៉ុណ្ណោះ ហើយវាក៏អាចកំណត់ថាមានខ្ទង់បីផ្សេងទៀតនៅពីមុខពួកគេ។ តើវាអាចទៅរួចក្នុងការស្តារកំណត់ត្រាដោយប្រើទិន្នន័យនេះទេ?

សូមឱ្យចំនួនម៉ែត្រជា x បន្ទាប់មកតម្លៃទំនិញក្នុង kopecks គឺ 4936x ។ យើងសម្គាល់ចំនួនសរុបចំនួនបីដែលបំពេញក្នុងខ្ទង់ជា y នេះគឺជាចំនួនរាប់ពាន់នៃ kopecks ហើយចំនួនទាំងមូលនៅក្នុង kopecks នឹងត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម (1000y + 728) ។

ខ្ញុំទទួលបានសមីការ 4936x = 1000y + 728 ខ្ញុំចែកវាដោយ 8 ។

617x − 125y = 91 ដែល x,y є z, x, y

125y = 617x − 91 y = 5x − 1 +34 − 8x125 = 5x − 1 + 2 17 − 4x125 =

5x - 1 + 2t, ដែល t = 17 - 4x125, t អឺរ៉ូ Z ។

ពីសមីការ t = (17 - 4x)/125 ខ្ញុំទទួលបាន x = 4 - 31t + 1 - t4 =

4 − 31t + t1 ដែល t1 = 1 − t4 ដូច្នេះហើយ t = 1 − 4t1, a x = 125t1 − 27, y = 617t1 − 134 ។

តាមលក្ខខណ្ឌ ខ្ញុំដឹងថា ១០០

100 = 234/617 និង t1

នេះមានន័យថា 98 ម៉ែត្រត្រូវបានលក់ក្នុងតម្លៃ 4837.28 រូប្លិ៍។ ការថតត្រូវបានស្តារឡើងវិញ។

ចម្លើយ។ 98 ម៉ែត្រត្រូវបានដោះលែង។

15. វាត្រូវបានតម្រូវឱ្យទិញតែមប្រៃសណីយ៍ចំនួន 40 សម្រាប់មួយរូប - kopek, 4 kopeck និង 12 kopeck ។ តើអ្នកអាចទិញត្រានីមួយៗបានប៉ុន្មាន?

អ្នកអាចបង្កើតសមីការពីរ៖ x + 4y + 12z = 100 និង x + y + z = 40 ដែល x ជាចំនួនកាក់កាក់ y ជាចំនួនសញ្ញា 4-kopeck z ជាចំនួនសញ្ញា 12-kopeck . ខ្ញុំដកទីពីរចេញពីសមីការទីមួយ ហើយទទួលបាន៖

3y + 11z = 60, y = 60 − 11z3 = 20 − 11· z3 ។

សូមឱ្យ z3 = t, z = 3t, ដែល t អឺរ៉ូ Z. បន្ទាប់មកខ្ញុំទទួលបានប្រសិនបើ x + y + z = 40 និង z = 3t, និង y = 20 - 11t, x = 20 + 8t ។

ចាប់តាំងពី x >= 0, y >= 0, z >= 0 បន្ទាប់មក 0

បន្ទាប់មកតាមខ្ញុំទទួលបាន៖ t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3 ។

ដូច្នេះ ការទិញត្រាអាចធ្វើឡើងបានតែពីរវិធីប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រសិនបើមានលក្ខខណ្ឌថា យ៉ាងហោចតែត្រានៃនិកាយនីមួយៗត្រូវទិញ នោះមានតែក្នុងមធ្យោបាយមួយប៉ុណ្ណោះ។

ចម្លើយ។ 28 សញ្ញានៃ 1 kopeck, 9 សញ្ញានៃ 4 kopecks និង 3 សញ្ញានៃ 12 kopecks ។

16. សិស្សម្នាក់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនូវភារកិច្ចចំនួន 20 ។ សម្រាប់សំណួរដែលដោះស្រាយបានត្រឹមត្រូវនីមួយៗ គាត់ទទួលបាន 8 ពិន្ទុ សម្រាប់សំណួរដែលមិនបានដោះស្រាយនីមួយៗ 5 ពិន្ទុត្រូវបានកាត់ចេញពីគាត់។ សម្រាប់កិច្ចការដែលគាត់មិនបានអនុវត្ត - 0 ពិន្ទុ។ សិស្សទទួលបានពិន្ទុសរុប ១៣ ពិន្ទុ។ តើ​គាត់​យក​បញ្ហា​ប៉ុន្មាន​មក​ដោះស្រាយ?

សូមឱ្យបញ្ហាដែលដោះស្រាយបានត្រឹមត្រូវជា x បញ្ហាដែលដោះស្រាយមិនត្រឹមត្រូវជា y ហើយបញ្ហាដែលមិនត្រូវបានចាត់ទុកថាជា z ។

បន្ទាប់មក x + y + z = 20 និង 8x − 5y = 13 ។

y = 8x − 135= x − 2 +3(x − 1)5 = x − 2 + 3t, ​​ដែល t = x − 15, និង x = 5t + 1។

តាមលក្ខខណ្ឌ x + y

ចម្លើយ៖ សិស្ស​បាន​យក​បញ្ហា​ចំនួន ១៣ មក​ដោះស្រាយ ៦ និង​បរាជ័យ ៧។

17. Ivanushka the Fool ប្រយុទ្ធជាមួយ Serpent Gorynych ដែលមានក្បាលឆ្នាំ 2001 ។ ការ​យោល​ដាវ​ទៅ​ខាង​ឆ្វេង លោក Ivan បាន​កាត់​ក្បាល​ចំនួន ១០ ហើយ​ជា​ថ្នូរ​នឹង​ការ​បង្វិល​ដាវ​របស់​លោក​ទៅ​ខាង​ស្ដាំ​ចំនួន ១៥ ហើយ​លោក Ivan បាន​កាត់​ក្បាល​ទាំង​អស់​ចេញ​អស់​ចំនួន ១៦ ក្បាល។ អ្នកអាចយោលតាមលំដាប់ណាមួយ ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានតិចជាង 15 គ្រាប់ នោះគ្រាន់តែទៅខាងឆ្វេង ហើយប្រសិនបើមានតិចជាង 10 នោះមិនមែនទាល់តែសោះ។ តើ Ivanushka the Fool អាចកម្ចាត់សត្វពស់ Gorynych បានទេ?

ខ្ញុំសូមបកស្រាយឡើងវិញនូវបញ្ហា៖ តើអាចកាត់ក្បាលឆ្នាំ ១៩៨៦ បានទេ? បន្ទាប់មក Ivan នឹងកាត់បន្ថយ 15 ដែលនៅសល់ដោយផ្លុំមួយទៅខាងស្តាំហើយគ្មានអ្នកថ្មីនឹងកើនឡើងទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យ x ជាចំនួនដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលទៅខាងស្តាំ ហើយ y ចំនួននៃជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលទៅខាងឆ្វេង បន្ទាប់មក 1986 - 9x + 6y = 0 ។

ខ្ញុំចែកសមីការទាំងមូលដោយ 6 ខ្ញុំទទួលបាន

3x − 2y = 662 ។

y = 3x − 6622 = x − 331 + x2 ។

ចូរ x2 = t បន្ទាប់មក x = 2t និង y = 3t − 331 ។

ចាប់តាំងពី x >= 0, y >= 0 បន្ទាប់មក t >= 111 ដូច្នេះហើយ t = 111, x = 222, y = 2 ។

ខ្ញុំទទួលបាន: ដោយគ្រាន់តែចុច 220 ដងទៅខាងស្តាំ Ivan កាត់ក្បាល 1980 ហើយ Serpent មាន 21 ក្បាលខាងឆ្វេង។ បន្ទាប់មក 2 បុកទៅខាងឆ្វេង ហើយពស់ដុះក្បាល 12 សរុប 33; ផ្លុំ 2 បន្ទាប់ទៅខាងស្តាំដកពស់ 18 ក្បាលហើយ Ivan កាត់ផ្តាច់ 15 ដែលនៅសល់ដោយផ្លុំចុងក្រោយទៅខាងស្តាំហើយមិនមានក្បាលថ្មីទេ។

ចម្លើយ៖ កូដកម្ម ២២០ ទៅស្តាំ ២ ដងទៅឆ្វេង និង ៣ ដងទៀតទៅខាងស្តាំ។

18. ផ្នែកនៃគ្រាប់ឡុកឡាក់ត្រូវបានលេខ - 1, 2, 3, 4, 5, 6 ថយចុះដោយ 19 តើលេខមួយណាដែលក្លាយជាគែមខាងលើនៃគូបខាងលើ?

ផលបូកនៃចំនុចនៃគូបមួយគឺ 21 ។

ឲ្យ x ជាចំនួនពិន្ទុនៅលើមុខខាងក្រោមនៃគូបខាងលើ ហើយ y ជាចំនួនពិន្ទុនៅលើមុខកំពូលនៃគូបបន្ទាប់។ នៅពេលអ្នកដកគូបខាងលើ ចំនុចទាំង 5 នៃមុខគូបខាងលើបាត់ ផលបូកនៃចំនុចនោះគឺ (21 - x) និងមុខដែលចំនុចលេចឡើង ដែលមានន័យថាផលបូកនៃចំនុចមាន ថយចុះដោយ (21 - x) - y ហើយយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌវាគឺ 19 ដូច្នេះ៖

(21 − x) − y = 19, x + y = 2 ។

ដូច្នេះ y = 2 − x ហើយតាមលក្ខខណ្ឌ 1

19. មាននរណាម្នាក់បានទិញសត្វស្លាបចំនួន 30 ក្បាលសម្រាប់ 30 កាក់នៃនិកាយដូចគ្នា។ សម្រាប់រាល់សត្វចាប 3 ក្បាល អ្នកបង់ 1 កាក់ សម្រាប់ 2 bullfinches - 1 កាក់ សម្រាប់សត្វព្រាប 1 - 2 កាក់។ តើមានសត្វស្លាបប៉ុន្មានប្រភេទ?

សូមឱ្យមានចាប x, y bullfinches, និង z pigeons ។ បនា្ទាប់មកតាមលក្ខខណ្ឌ x + y + z = 30 និង 13x + 12y + 2z = 30 ។

ខ្ញុំទទួលបាន x + y + z = 30 និង 2x + 3y + 12z = 180 ឬ y + 10z = 120, y = 120 - 10z ដែលតាមលក្ខខណ្ឌ x

ដូច្នេះជម្រើសខាងក្រោម (0; 20; 10); (៩;១០;១១); (១៨; ០; ១២) ។

ចម្លើយ៖ ចាប - ០, bullfinches - ២០, ព្រាប - ១០; ចាប - 9, bullfinches - 10, pigeons - 11; ចាប - 18, bullfinches - 0, pigeons - 12 ។

20. រកលេខពីរខ្ទង់ទាំងអស់ ដែលលេខនីមួយៗនៅពេលកាត់បន្ថយដោយ 2 គឺស្មើនឹងប្រាំដងនៃលទ្ធផលនៃខ្ទង់របស់វា។

ទុក xy ជាលេខពីរខ្ទង់ដែលត្រូវការ។

សម្រាប់សមីការ xy - 2 = 5xy ឬ (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 ហើយខ្ញុំនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយធម្មជាតិទាំងអស់ពីសំណុំ (x; 2) ។

ដោយសារ x គឺជាខ្ទង់ទីមួយនៃលេខពីរខ្ទង់ វាអាចយកត្រឹមតែ 9 តម្លៃប៉ុណ្ណោះ។

នោះ។ លេខដែលត្រូវការនឹងមានៈ 12, ​​22, 32, ។ , ៩២.

ចម្លើយ។ ១២; ២២, ៣២; ៤២; ៥២; ៦២; ៧២; ៨២; ៩២.

21. ខ្សែលួសប្រវែង 102 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវកាត់ជាបំណែកៗ ប្រវែង 15 សង់ទីម៉ែត្រ និង 12 សង់ទីម៉ែត្រ ដើម្បីអោយខ្សែទាំងអស់ត្រូវប្រើ។ តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច?

ចូរ x ជាចំនួនបំណែកនៃខ្សែប្រវែង 15 សង់ទីម៉ែត្រ y ជាចំនួនបំណែកនៃខ្សែប្រវែង 12 សង់ទីម៉ែត្រ ចូរបង្កើតសមីការមួយ។

១៥x+១២y=១០២ /:៣

4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5 ។

អនុញ្ញាតឱ្យ 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=>4t>-6-5t>-1 => t>-1.5t t=0;-1 ។

ប្រសិនបើ t=0 នោះ x=6y=1

ប្រសិនបើ t=-1 នោះ x=2y=6

ចម្លើយ។ បញ្ហាមានដំណោះស្រាយពីរ៖

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. Petya ក្នុងឆ្នាំ 1987 មានអាយុដូចចំនួននៃខ្ទង់នៃឆ្នាំកំណើតរបស់គាត់។ តើគាត់កើតនៅឆ្នាំណា?

សូមឱ្យ Petya កើតនៅឆ្នាំ 1919 ។ បន្ទាប់មកនៅឆ្នាំ 1987 គាត់មានអាយុ 1987-19xy ឬ (1+9+x+y) ឆ្នាំ។ យើងមានសមីការ៖

87-(10x+y)=10+x+y

77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12 ។

ដោយពិចារណាថា x និង y គឺជាខ្ទង់នៃប្រព័ន្ធលេខទសភាគ យើងរកឃើញដោយការជ្រើសរើស៖ x=3, y=1។

ចម្លើយ។ Petya កើតនៅឆ្នាំ 1970 ។

23. នរណាម្នាក់ទិញទំនិញដែលមានតម្លៃ 19 រូប្លិ៍នៅក្នុងហាងមួយ។ គាត់មានក្រដាសប្រាក់ 15-3 រូប្លរ ខណៈពេលដែលអ្នកគិតលុយមានត្រឹមតែ 20-5-ruble។ តើខ្ញុំអាចបង់ប្រាក់បានហើយដោយរបៀបណា?

បញ្ហាគឺមកដោះស្រាយសមីការ Diophantine ក្នុងចំនួនគត់វិជ្ជមាន៖ 3x - 5y = 19 ដែល x

ដោយសារ x> 0 និង y> 0 ហើយពិចារណាលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថា 0

នេះនាំឱ្យមានតម្លៃ 2 ដែលអាចធ្វើទៅបាន: x

ចម្លើយ។ 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5។

24. តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការថ្លឹងទម្ងន់ 28 ក្រាមនៃសារធាតុជាក់លាក់មួយនៅលើជញ្ជីងពែង ដែលមានទម្ងន់ត្រឹមតែ 4 ទម្ងន់ 3 ក្រាម និង 7 ទម្ងន់ 5 ក្រាម?

ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការ៖

x = 9 − 2(3y1 − 1) + y1 = 11–5y1 ។

ដូច្នេះ x = 11 − 5 y1 y = 3 y1 − 1 ។

វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែល y1 មិនអាចត្រូវបានផ្តល់តម្លៃអវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់គួរតែជា y1

ចម្លើយ។ ទម្ងន់ 1 ក្នុង 3 ក្រាម និង 5 ទម្ងន់ក្នុង 5 ក្រាម។

25. អ្នកទិញបានទិញនៅក្នុងហាងក្នុងតម្លៃ 21 រូប្លិ៍។ ទំនិញ។ ប៉ុន្តែគាត់មានក្រដាសប្រាក់ត្រឹមតែ 5 រូលប៉ុណ្ណោះ ចំណែកអ្នកគិតលុយមាន 3 រូប្លិ។ ចង់​ដឹង​ថា​តើ​អ្នក​អាច​បង់​លុយ​ឱ្យ​អ្នក​គិត​លុយ​បាន​ឬ​អត់​បើ​មាន​លុយ​ហើយ​យ៉ាង​ម៉េច?

សូមឱ្យ x ជាលេខ 5 - rubles, y - 3 - rubles ។

តាមលក្ខខណ្ឌ x> 0, y> 0 មានន័យថា។

ដូចគ្នាដែរ t គឺគូ បើមិនដូច្នោះទេ x ឬ y មិនមែនជាចំនួនគត់ទេ។

នៅ t = 4, 6, 8, ។ យើងមាន: t

ចម្លើយ។ 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43)។

26. ក្រដាស់110សន្លឹក។ វាត្រូវបានតម្រូវឱ្យដេរសៀវភៅកត់ត្រាចំនួន 8 សន្លឹក និង 10 សន្លឹកនីមួយៗ។ តើអ្នកត្រូវការដេរប៉ុន្មាន?

សូមឱ្យ x ជាចំនួនសៀវភៅកត់ត្រាចំនួន 8 សន្លឹក y លេខ 10 សៀវភៅកត់ត្រា។

ដូច្នេះ t = 0 ឬ t = − 1

ចម្លើយ។ ៥;៧;(១០;៣)។

27. វិធីសាស្រ្តបុរាណជាច្រើនក្នុងការទាយលេខ និងថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើតគឺផ្អែកលើការដោះស្រាយសមីការ Diophantine ។ ជាឧទាហរណ៍ ដើម្បីទស្សន៍ទាយថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើត (ខែ និងថ្ងៃ) របស់អ្នកប្រាស្រ័យទាក់ទងគ្នា វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីសុំឱ្យគាត់នូវផលបូកដែលទទួលបានពីការបន្ថែមផលិតផលពីរ៖ លេខកាលបរិច្ឆេទ (x) ដោយ 12 និងលេខខែ (y) ដោយ 31 .

សូមឱ្យផលបូកនៃផលិតផលនៅក្នុងសំណួរគឺស្មើនឹង 330 ។ ស្វែងរកថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើត។

ចូរដោះស្រាយសមីការដែលមិនអាចកំណត់បាន៖ y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 − 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y3 y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

ដូច្នេះថ្ងៃខែឆ្នាំកំណើត៖ ថ្ងៃទី ១២ នៃខែទី ៦ ។

28. តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការប្រមូលចំនួន 51 រូប្លិជាមួយនឹងកាក់ពីររូប និងប្រាំរូប? បើអាច តើមានវិធីប៉ុន្មាន?

សូមឱ្យមានកាក់ x ពីររូបល និងកាក់ប្រាំរូប្ល។

អនុញ្ញាតឱ្យ 1+y2=z បន្ទាប់មក

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

ចម្លើយ៖ ៥ វិធី។

29. តើអាចដាក់ពងពីររយក្នុងប្រអប់ 10 និង 12 ដុំបានទេ? បើអាច រកវិធីបែបនេះទាំងអស់គ្នា។

សូមឱ្យមានប្រអប់ x នៃ 10 បំណែកនីមួយៗហើយឱ្យប្រអប់មាន 12 បំណែកនីមួយៗ។ ខ្ញុំសូមបង្កើតសមីការ៖ z = 1, 2, 3

ចម្លើយ៖ ១៤; ៥; ៨; ១០; (២; ១៥)

30. ស្រមៃមើលលេខ 257 ជាផលបូកនៃពាក្យធម្មជាតិពីរ៖ ក) មួយក្នុងចំណោមនោះជាពហុគុណនៃ 3 និងមួយទៀតជាពហុគុណនៃ 4; ខ) មួយក្នុងចំណោមនោះជាពហុគុណនៃ 5 និងមួយទៀតជាពហុគុណនៃ 8 ។

ចម្លើយ៖ ១) ២៤៩ និង ៨; 2) 225 និង 32 ។

នៅក្នុងបញ្ហាដែលទាក់ទងនឹងសមីការមិនកំណត់ ខ្ញុំបានជួបប្រទះករណីជាច្រើន៖ បញ្ហាអាចមិនអាចដោះស្រាយបានទាំងស្រុង (បញ្ហាទី 4) អាចមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់ (បញ្ហាទី 2) អាចមានដំណោះស្រាយច្បាស់លាស់មួយចំនួន។ ជាពិសេស វាអាចមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (បញ្ហាទី១)។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

គោលដៅ​ដែល​ខ្ញុំ​កំណត់​សម្រាប់​ខ្លួន​ឯង​បាន​សម្រេច​ហើយ។ ការ​ធ្វើ​ការ​លើ​គម្រោង​នេះ​បាន​ជំរុញ​ការ​ចាប់​អារម្មណ៍ និង​ចាប់​អារម្មណ៍​ខ្ញុំ។ ការងារនេះទាមទារពីខ្ញុំមិនត្រឹមតែចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា និងការតស៊ូជាក់លាក់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងផ្តល់ឱកាសឱ្យខ្ញុំមានអារម្មណ៍រីករាយដ៏អស្ចារ្យនៃការរកឃើញឯករាជ្យផងដែរ។

សមីការ Diophantine ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកិច្ចការ Olympiad ដូច្នេះពួកគេអភិវឌ្ឍការគិតឡូជីខល បង្កើនកម្រិតនៃវប្បធម៌គណិតវិទ្យា និងបណ្តុះជំនាញក្នុងការងារស្រាវជ្រាវឯករាជ្យក្នុងគណិតវិទ្យា។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការ និងបញ្ហាដែលកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ Diophantine លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលេខបឋម វិធីសាស្ត្រនៃកត្តាពហុធា វិធីសាស្ត្ររាប់លេខ វិធីសាស្ត្រចុះមក និងក្បួនដោះស្រាយ Euclidean ត្រូវបានប្រើ។ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ វិធីសាស្ត្រចុះចូលគឺពិបាកបំផុត។ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ brute force ប្រែទៅជាស្អាតជាងសម្រាប់ខ្ញុំ។

ខ្ញុំបានដោះស្រាយបញ្ហាចំនួន 54 នៅក្នុងការងាររបស់ខ្ញុំ។

ការងារនេះបានរួមចំណែកដល់ការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា និងពង្រីកការយល់ដឹងរបស់ខ្ញុំ។

សម្ភារៈនេះនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សដែលចាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យា។ វាអាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងមេរៀនមួយចំនួន និងសកម្មភាពក្រៅកម្មវិធីសិក្សា។