សញ្ញានៃកម្មសិទ្ធិត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ពីដំណើរនៃភព។ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺពិចារណាពួកវាទាក់ទងនឹងការព្យាករណ៍នៃវត្ថុធរណីមាត្រ។

ចំនុចមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ ប្រសិនបើវាជារបស់បន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនោះ។

ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះត្រង់ត្រូវបានកំណត់ដោយសញ្ញាមួយក្នុងចំណោមសញ្ញាពីរ៖

ក) ខ្សែមួយឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ;

ខ) បន្ទាត់មួយឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ ហើយស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះយើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាជាឧទាហរណ៍។ សូមឱ្យយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយត្រីកោណ ABC. វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបង្កើតការព្យាករដែលបាត់ ឃ 1 ពិន្ទុ ឃជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះនេះ។ លំដាប់នៃសំណង់មានដូចខាងក្រោម (រូបភាព 2.5) ។

អង្ករ។ ២.៥. ដើម្បីសាងសង់ការព្យាករណ៍នៃចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ

តាមរយៈចំណុច ឃ 2 យើងអនុវត្តការព្យាករនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ឃដេកនៅក្នុងយន្តហោះ  ABCប្រសព្វមួយជ្រុងនៃត្រីកោណ និងចំនុច ប៉ុន្តែ២. បន្ទាប់មកចំនុចទី 1 2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ ប៉ុន្តែ 2 ឃ 2 និង គ 2 អេ២. ដូច្នេះ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានការព្យាករណ៍ផ្ដេក 1 1 លើ គ 1 អេ 1 នៅលើខ្សែទំនាក់ទំនង។ ដោយភ្ជាប់ចំណុច ១១ និង ប៉ុន្តែ 1, យើងទទួលបានការព្យាករណ៍ផ្ដេក ឃមួយ។ វាច្បាស់ណាស់ថាចំណុច ឃ 1 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់វាហើយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នៃការតភ្ជាប់ការព្យាករជាមួយចំណុច ឃ 2 .

វាគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដើម្បីកំណត់ថាតើចំនុចមួយ ឬបន្ទាត់ត្រង់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ។ នៅលើរូបភព។ 2.6 បង្ហាញពីដំណើរនៃការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់នៃការបង្ហាញនៃបញ្ហាយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយត្រីកោណ។

អង្ករ។ ២.៦. ភារកិច្ចសម្រាប់កំណត់កម្មសិទ្ធិនៃចំណុចមួយនិងយន្តហោះត្រង់។

ដើម្បីកំណត់ថាតើចំណុចណាមួយជាកម្មសិទ្ធិ អ៊ីយន្តហោះ  ABCគូសបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈការព្យាករផ្នែកខាងមុខរបស់វា E 2 ក២. សន្មតថាបន្ទាត់ a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ  ABCបង្កើតការព្យាករណ៍ផ្ដេករបស់វា។ ក 1 នៅចំណុចប្រសព្វ 1 និង 2. ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ (រូបភាព 2.6, ក) បន្ទាត់ត្រង់ ក 1 មិនឆ្លងកាត់ចំណុច អ៊ីមួយ។ ដូច្នេះចំណុច អ៊ី ABC.

នៅក្នុងបញ្ហានៃការជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់មួយ។ ក្នុងយន្តហោះត្រីកោណ ABC(រូបភាព 2.6, ខ) វាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការព្យាករមួយនៃបន្ទាត់ត្រង់ ក្នុង 2 សាងសង់មួយទៀត ក្នុង១ * ពិចារណា ក្នុង ABC. ដូចដែលយើងឃើញ, ក្នុង 1 * និង ក្នុង 1 មិនត្រូវគ្នា។ ដូច្នេះបន្ទាត់ត្រង់ ក្នុង   ABC.

២.៤. បន្ទាត់កម្រិតយន្តហោះ

និយមន័យនៃបន្ទាត់កម្រិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យមុន។ បន្ទាត់កម្រិតដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា មេ . បន្ទាត់ទាំងនេះ (បន្ទាត់ត្រង់) ដើរតួយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួននៅក្នុងធរណីមាត្រពិពណ៌នា។

ពិចារណាលើការសាងសង់បន្ទាត់កម្រិតនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានបញ្ជាក់ដោយត្រីកោណ (រូបភាព 2.7) ។

អង្ករ។ ២.៧. ការសាងសង់បន្ទាត់សំខាន់នៃយន្តហោះដែលកំណត់ដោយត្រីកោណ

វណ្ឌវង្កនៃយន្តហោះ  ABCយើងចាប់ផ្តើមដោយគូរការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខរបស់វា។ ម៉ោង 2, ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ. ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ផ្តេកនេះជារបស់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យវាឆ្លងកាត់ពីរចំណុចនៃយន្តហោះ  ABCពោលគឺចំណុច ប៉ុន្តែនិង 1. មានការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខរបស់ពួកគេ។ ប៉ុន្តែ 2 និង 1 2 តាមខ្សែទំនាក់ទំនង យើងទទួលបានការព្យាករណ៍ផ្ដេក ( ប៉ុន្តែ 1 មានរួចហើយ) 11 . ដោយភ្ជាប់ចំណុច ប៉ុន្តែ 1 និង 1 1 យើងមានការព្យាករណ៍ផ្ដេក ម៉ោង 1 យន្តហោះផ្ដេក  ABC. ការព្យាករណ៍ទម្រង់ ម៉ោង 3 វណ្ឌវង្កនៃយន្តហោះ  ABCនឹងស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូតាម​និយមន័យ។

យន្តហោះខាងមុខ  ABCត្រូវបានសាងសង់ស្រដៀងគ្នា (រូបភាព 2.7) ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាតែមួយគត់ដែលគំនូររបស់វាចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការព្យាករផ្តេក។ f 1 ចាប់តាំងពីវាត្រូវបានគេដឹងថាវាស្របទៅនឹងអ័ក្ស OX ។ ការព្យាករណ៍ទម្រង់ fផ្នែកខាងមុខ 3 គួរតែស្របទៅនឹងអ័ក្ស OZ ហើយឆ្លងកាត់ការព្យាករណ៍ ពី៣ , ២ ៣ ពិន្ទុដូចគ្នា។ ពីនិង ២.

បន្ទាត់ទម្រង់យន្តហោះ  ABCមានផ្ដេក រ 1 និងខាងមុខ រការព្យាករណ៍ 2 ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូយនិង អោននិងការព្យាករទម្រង់ រ 3 អាចចូលបានដោយផ្នែកខាងមុខដោយប្រើចំនុចប្រសព្វ អេនិង 3 s  ABC.

នៅពេលសាងសង់បន្ទាត់សំខាន់នៃយន្តហោះ អ្នកត្រូវចាំច្បាប់តែមួយប៉ុណ្ណោះ៖ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកតែងតែត្រូវការចំណុចប្រសព្វពីរជាមួយនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការសាងសង់ខ្សែសំខាន់ៗដែលដេកនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមរបៀបផ្សេងគឺមិនពិបាកជាងអ្វីដែលបានពិភាក្សាខាងលើនោះទេ។ នៅលើរូបភព។ 2.8 បង្ហាញពីការសាងសង់ផ្តេក និងផ្នែកខាងមុខនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ កនិង ក្នុង.

អង្ករ។ ២.៨. ការសាងសង់បន្ទាត់សំខាន់នៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយកាត់បន្ទាត់ត្រង់។

ចំណុច និងបន្ទាត់គឺជាតួលេខធរណីមាត្រសំខាន់នៅលើយន្តហោះ។

និយមន័យនៃចំណុចមួយ និងបន្ទាត់ត្រង់មិនត្រូវបានណែនាំនៅក្នុងធរណីមាត្រទេ គំនិតទាំងនេះត្រូវបានពិចារណាក្នុងកម្រិតគំនិតវិចារណញាណ។

ពិន្ទុត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយអក្សរធំ (ធំ) អក្សរឡាតាំង៖ A, B, C, D, ...

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានតាងដោយអក្សរតូច (តូច) ឡាតាំង ឧទាហរណ៍

- បន្ទាត់ត្រង់ ក.

បន្ទាត់​ត្រង់​មាន​ចំនួន​គ្មាន​កំណត់​នៃ​ចំណុច​និង​មិន​មាន​ការ​ចាប់​ផ្តើ​ម​ឬ​បញ្ចប់​។ តួលេខនេះបង្ហាញតែផ្នែកនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែវាត្រូវបានគេយល់ថាវាលាតសន្ធឹងឆ្ងាយឥតកំណត់ក្នុងលំហ ដោយបន្តមិនកំណត់ក្នុងទិសដៅទាំងពីរ។

ចំណុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយត្រូវបានគេនិយាយថាស្ថិតនៅលើបន្ទាត់នោះ។ សមាជិកភាពត្រូវបានសម្គាល់ដោយសញ្ញា∈។ ចំនុចនៅខាងក្រៅបន្ទាត់ត្រូវបាននិយាយថាមិនមែនជារបស់បន្ទាត់នោះ។ សញ្ញា "មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិ" គឺ∉។

ឧទាហរណ៍ ចំណុច B ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ a (សរសេរ៖ B∈a)

ចំនុច F មិនមែនជារបស់បន្ទាត់ a ទេ (ពួកគេសរសេរ៖ F∉a)។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃសមាជិកភាពនៃចំនុច និងបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ៖

មិនថាបន្ទាត់ណាក៏ដោយ មានចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់នេះ ហើយចំនុចដែលមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់វា។

វាអាចទៅរួចក្នុងការគូសបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈចំណុចពីរណាមួយ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

បន្ទាត់ក៏ត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំងធំពីរផងដែរ យោងទៅតាមឈ្មោះនៃចំនុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់។

- បន្ទាត់ត្រង់ AB ។

- ខ្សែនេះអាចត្រូវបានគេហៅថា MK ឬ MN ឬ NK ។

បន្ទាត់ពីរអាចឬមិនប្រសព្វ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់មិនប្រសព្វគ្នានោះ ពួកវាមិនមានចំណុចរួមទេ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា ពួកគេមានចំណុចរួមមួយ។ សញ្ញាឆ្លងកាត់ - ∩ .

ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O

(សរសេរ៖ ក ∩ b=O)។

បន្ទាត់ c និង d ក៏ប្រសព្វគ្នាដែរ ទោះបីជាចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេមិនត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបក៏ដោយ។

អង្ករ។ ៣.២ការរៀបចំបន្ទាត់ទៅវិញទៅមក

បន្ទាត់ក្នុងលំហអាចកាន់កាប់ទីតាំងមួយក្នុងចំណោមទីតាំងបីដែលទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមក៖

1) ស្របគ្នា;

2) ប្រសព្វ;

3) បង្កាត់ពូជ។

ប៉ារ៉ាឡែលហៅថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលស្ថិតនៅលើប្លង់តែមួយ ហើយមិនមានចំណុចរួម។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ស្របគ្នា នោះការព្យាករនៃឈ្មោះដូចគ្នានៅលើ CC ក៏ស្របគ្នាដែរ (សូមមើលវគ្គ 1.2)។

ប្រសព្វហៅថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលដេកក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយមានចំណុចរួមមួយ។

សម្រាប់បន្ទាត់ប្រសព្វនៅលើ CC ការព្យាករនៃឈ្មោះដូចគ្នាប្រសព្វគ្នានៅក្នុងការព្យាករនៃចំណុច ប៉ុន្តែ. លើសពីនេះទៅទៀត ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខ () និងផ្ដេក () នៃចំណុចនេះគួរតែស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ទំនាក់ទំនងដូចគ្នា។

ការបង្កាត់ពូជហៅថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលដេកក្នុងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល ហើយមិនមានចំណុចរួម។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា នោះនៅលើ CC ការព្យាករនៃឈ្មោះដូចគ្នាអាចប្រសព្វគ្នា ប៉ុន្តែចំនុចប្រសព្វនៃការព្យាករនៃឈ្មោះដូចគ្នានឹងមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ទំនាក់ទំនងដូចគ្នានោះទេ។

នៅលើរូបភព។ 3.4 ពិន្ទុ ពីជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ ខ, និងចំណុច ឃ- ត្រង់ ក. ចំនុចទាំងនេះស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីយន្តហោះព្យាករណ៍ខាងមុខ។ ចំណុចស្រដៀងគ្នា អ៊ីនិង ចជាកម្មសិទ្ធិរបស់ខ្សែផ្សេងគ្នា ប៉ុន្តែស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីយន្តហោះព្យាករណ៍ផ្ដេក។ ដូច្នេះ ការព្យាករណ៍ផ្នែកខាងមុខរបស់ពួកគេស្របគ្នានឹង CC ។

មានករណីពីរដែលចំណុចមួយស្ថិតនៅជាប់នឹងយន្តហោះ៖ ចំនុចមួយអាចឬមិនមែនជារបស់យន្តហោះ (រូបភាព 3.5)។

សញ្ញានៃភាពជាកម្មសិទ្ធិនៃចំណុចមួយ និងយន្តហោះត្រង់៖

ចំណុចជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះប្រសិនបើវាជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។

ខ្សែនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះប្រសិនបើវាមានចំនុចរួមពីរជាមួយវា ឬមានចំនុចរួមមួយជាមួយវា ហើយស្របទៅនឹងបន្ទាត់ផ្សេងទៀតដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។

នៅលើរូបភព។ 3.5 បង្ហាញយន្តហោះនិងចំណុច ឃនិង អ៊ី. ចំណុច ឃជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ ព្រោះវាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ខ្សែ លីត្រដែលមានចំណុចរួមពីរជាមួយយន្តហោះនេះ - 1 និង ប៉ុន្តែ. ចំណុច អ៊ីមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះនោះទេ ពីព្រោះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូសបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់វាដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅលើរូបភព។ 3.6 បង្ហាញយន្តហោះ និងបន្ទាត់ត្រង់ tដេកនៅក្នុងយន្តហោះនេះ, ដោយសារតែ មានចំណុចរួមជាមួយវា។ 1 និងស្របទៅនឹងបន្ទាត់ ក.

នៅលើផលិតផល Cartesian ដែល M ជាសំណុំនៃចំណុច យើងណែនាំទំនាក់ទំនង 3 កន្លែង ឃ។ ប្រសិនបើពិន្ទុបីដង (A, B, C) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទំនាក់ទំនងនេះ នោះយើងនឹងនិយាយថា ចំណុច B ស្ថិតនៅចន្លោះចំណុច A និង C ហើយប្រើសញ្ញាណៈ A-B-C ។ ទំនាក់ទំនងដែលបានណែនាំត្រូវតែបំពេញតាម axioms ខាងក្រោម៖

ប្រសិនបើចំណុច B ស្ថិតនៅចន្លោះចំណុច A និង C នោះ A, B, C គឺជាចំណុចបីផ្សេងគ្នានៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា ហើយ B ស្ថិតនៅចន្លោះ C និង A ។

មិនថាចំណុច A និង B ជាចំណុចណាក៏ដោយ យ៉ាងហោចណាស់មានចំណុច C ដែល B ស្ថិតនៅចន្លោះ A និង C ។

ក្នុងចំណោមចំណុចទាំងបីនៅលើបន្ទាត់មួយ ភាគច្រើនបំផុតមួយស្ថិតនៅចន្លោះចំណុចពីរផ្សេងទៀត។

ដើម្បីបង្កើត axiom ទីបួនចុងក្រោយនៃក្រុមទីពីរ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការណែនាំសញ្ញាណខាងក្រោម។

និយមន័យ 3.1. ដោយផ្នែកមួយ (យោងទៅតាម Hilbert) យើងមានន័យថាគូនៃចំណុច AB ។ ចំនុច A និង B នឹងត្រូវបានគេហៅថាចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក ចំនុចដែលស្ថិតនៅចន្លោះចុងរបស់វា - ចំនុចខាងក្នុងនៃផ្នែក ឬជាធម្មតាចំនុចនៃចម្រៀក និងចំនុចនៃបន្ទាត់ AB ដែលមិនស្ថិតនៅចន្លោះចុង A និង B - ចំណុចខាងក្រៅនៃផ្នែក។

. ( axiom របស់ Pasha ) សូមអោយ A, B និង C ជាចំនុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា ហើយអោយ l ជាបន្ទាត់នៃយន្តហោះ ABC ដែលមិនឆ្លងកាត់ចំនុចទាំងនេះ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើបន្ទាត់ l ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយនៃផ្នែក AB នោះវាមានទាំងចំនុចនៃផ្នែក AC ឬចំនុចនៃចម្រៀក BC។

លក្ខណៈសម្បត្តិធរណីមាត្រជាច្រើននៃចំនុច បន្ទាត់ និងចម្រៀក ធ្វើតាមពីអ័ក្សនៃក្រុមទីមួយ និងទីពីរ។ វាអាចបញ្ជាក់បានថាផ្នែកណាមួយមានចំណុចខាងក្នុងយ៉ាងហោចណាស់មួយ ក្នុងចំណោមចំនុចទាំងបីនៃបន្ទាត់មួយ តែងតែមានចំនុចមួយ និងតែមួយគត់នៅចន្លោះពីរផ្សេងទៀត រវាងចំនុចពីរនៃបន្ទាត់ វាតែងតែមានចំនុចជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់ ដែលមានន័យថានៅទីនោះ។ មានចំណុចជាច្រើននៅលើបន្ទាត់។ វាក៏អាចបញ្ជាក់បានថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់ Pasch axiom ក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ចំនុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នាដែរ៖ ប្រសិនបើចំនុច A, B និង C ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ដូចគ្នា នោះបន្ទាត់ l មិនឆ្លងកាត់ចំនុចទាំងនេះទេ ហើយប្រសព្វចំនុចមួយក្នុងចំណោមចំនុចទាំងនេះ។ ចម្រៀក ជាឧទាហរណ៍ AB នៅចំណុចខាងក្នុង បន្ទាប់មកវាប្រសព្វគ្នានៅចំណុចខាងក្នុង ទាំងផ្នែក AC ឬផ្នែក BC ។ ចំណាំផងដែរថាវាមិនធ្វើតាមពី axioms នៃក្រុមទីមួយនិងទីពីរដែលសំណុំនៃចំនុចនៃបន្ទាត់គឺមិនអាចរាប់បាន។ យើងនឹងមិនបង្ហាញភស្តុតាងនៃការអះអាងទាំងនេះទេ។ អ្នកអានអាចស្គាល់ពួកគេនៅក្នុងសៀវភៅដៃ និង។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរស់នៅយ៉ាងលម្អិតបន្ថែមទៀតលើគោលគំនិតធរណីមាត្រជាមូលដ្ឋាន ពោលគឺកាំរស្មី ពាក់កណ្តាលយន្តហោះ និងពាក់កណ្តាលលំហ ដែលត្រូវបានណែនាំដោយប្រើ axioms នៃសមាជិកភាព និងលំដាប់។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺពិត៖

ចំនុច O នៃបន្ទាត់ l បែងចែកសំណុំនៃចំនុចផ្សេងទៀតនៃបន្ទាត់នេះទៅជាសំណុំរងដែលមិនទទេពីរ ដូច្នេះសម្រាប់ចំនុចទាំងពីរ A និង B ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែករងដូចគ្នា ចំនុច O គឺជាចំនុចខាងក្រៅនៃផ្នែក AB ហើយ សម្រាប់ចំណុចពីរ C និង D ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែករងផ្សេងគ្នា ចំណុច O គឺជាចំណុចខាងក្នុងនៃផ្នែកស៊ីឌី។

សំណុំរងទាំងនេះនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថា ធ្នឹមបន្ទាត់ l ដែលមានប្រភពដើមនៅចំណុច O. កាំរស្មីនឹងត្រូវបានតាងដោយ h, l, k, …OA, OB, OC,… ដែល O គឺជាចំណុចចាប់ផ្តើមនៃកាំរស្មី ហើយ A, B, និង C គឺជាចំនុចនៃ កាំរស្មី។ ភស្តុតាងនៃការអះអាងនេះនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលក្រោយនៅក្នុងផ្នែកទី 7 ប៉ុន្តែការប្រើ axiomatics ផ្សេងគ្នានៃលំហ Euclidean បីវិមាត្រ។ គំនិតនៃកាំរស្មីអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់វត្ថុធរណីមាត្រសំខាន់បំផុត - មុំ។

និយមន័យ 3.2 ។តាមមុំមួយ (យោងទៅតាមហ៊ីលប៊ឺត) យើងមានន័យថាកាំរស្មីមួយគូ h និង k ដែលមានប្រភពដើមទូទៅ O ហើយមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយទេ។

ចំនុច O ត្រូវបានគេហៅថាចំនុចកំពូលនៃមុំ ហើយកាំរស្មី h និង k គឺជាជ្រុងរបស់វា។ សម្រាប់មុំ យើងនឹងប្រើសញ្ញាណសំគាល់ . ពិចារណាអំពីគោលគំនិតសំខាន់បំផុតនៃធរណីមាត្របឋម - គំនិតនៃយន្តហោះពាក់កណ្តាល។

ទ្រឹស្តីបទ ៣.១.បន្ទាត់ដែលដេកនៅក្នុងយន្តហោះ a បែងចែកសំណុំចំនុចរបស់វាដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ទៅជាក្រុមរងមិនទទេពីរ ដូច្នេះប្រសិនបើចំនុច A និង B ជារបស់រងដូចគ្នា នោះផ្នែក AB មិនមានចំនុចរួមជាមួយនឹង បន្ទាត់ l ហើយប្រសិនបើចំនុច A និង B B ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែករងផ្សេងគ្នា នោះផ្នែក AB កាត់បន្ទាត់ l នៅចំនុចខាងក្នុងរបស់វា.

ភស្តុតាង។នៅក្នុងភ័ស្តុតាង យើងនឹងប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមនៃទំនាក់ទំនងសមមូល។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងគោលពីរត្រូវបានណែនាំនៅលើសំណុំមួយចំនួន ដែលជាទំនាក់ទំនងសមមូល ពោលគឺឧ។ បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការឆ្លុះបញ្ជាំង ស៊ីមេទ្រី និងអន្តរកាល បន្ទាប់មកសំណុំទាំងមូលត្រូវបានបែងចែកទៅជាក្រុមរងដែលមិនប្រសព្វគ្នា - ថ្នាក់សមមូល ហើយធាតុទាំងពីរណាមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់ថ្នាក់ដូចគ្នា ប្រសិនបើ និងបានតែសមមូល។

ពិចារណាលើសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ a ។ យើងនឹងសន្មត់ថាចំណុចពីរ A និង B គឺនៅក្នុងទំនាក់ទំនងគោលពីរ d: AdB ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើគ្មានចំណុចខាងក្នុងនៅលើផ្នែក AB ដែលជារបស់បន្ទាត់ a ។ យើងក៏នឹងរាប់ផងដែរ។ ចូរយើងនិយាយថាចំណុចណាមួយគឺនៅក្នុងទំនាក់ទំនងគោលពីរ d ជាមួយខ្លួនវាផ្ទាល់។ ចូរយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ចំនុច A ណាមួយដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ a មានចំនុចខុសពី A ទាំងការមាន និងមិននៅជាមួយវានៅក្នុងទំនាក់ទំនងគោលពីរ។ យើងជ្រើសរើសចំណុចបំពាន P នៃបន្ទាត់ត្រង់ a (សូមមើលរូបភាពទី 6) ។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាម axiom មានចំណុច B នៃបន្ទាត់ AP ដូចជា P-A-B ។ បន្ទាត់ AB ប្រសព្វ a នៅចំនុច P ដែលមិនមែននៅចន្លោះចំនុច A និង B ដូច្នេះចំនុច A និង B គឺទាក់ទងទៅ d ។ យោងតាម ​​axiom ដូចគ្នាមានចំណុច C ដូចជា A-P-C ។ ដូច្នេះចំនុច P ស្ថិតនៅចន្លោះ A និង C ចំនុច A និង C មិនទាក់ទងនឹង d ទេ។

ចូរយើងបង្ហាញថាទំនាក់ទំនង d គឺជាទំនាក់ទំនងសមមូល។ លក្ខខណ្ឌនៃការឆ្លុះបញ្ចាំងគឺច្បាស់ជាពេញចិត្តដោយគុណធម៌នៃនិយមន័យនៃទំនាក់ទំនងគោលពីរ d: AdA ។ សូម​ឲ្យ​ចំណុច A និង B ទាក់ទង​នឹង d ។ បន្ទាប់មកមិនមានចំណុចនៃបន្ទាត់ a នៅលើផ្នែក AB ទេ។ វាធ្វើតាមពីនេះដែលមិនមានចំណុចនៃបន្ទាត់ត្រង់ a នៅលើផ្នែក BA ដូច្នេះ BdA ទំនាក់ទំនងស៊ីមេទ្រីគឺពេញចិត្ត។ ចុងក្រោយ សូមឲ្យពិន្ទុ A, B និង C ចំនួនបីដូចជា AdB និង BdC។ ចូរយើងបង្ហាញថាចំនុច A និង C គឺនៅក្នុងទំនាក់ទំនងគោលពីរ d ។ ឧបមាថាផ្ទុយគ្នានៅលើផ្នែក AC មានចំណុច P នៃបន្ទាត់ត្រង់ a (រូបភាព 7) ។ បន្ទាប់មក ដោយគុណធម៌នៃ axiom ដែលជា axiom របស់ Pasha បន្ទាត់មួយប្រសព្វគ្នាទាំងផ្នែក BC ឬផ្នែក AB (ក្នុងរូបភាពទី 7 បន្ទាត់ដែលកាត់ចម្រៀក BC)។ យើងបានឈានដល់ភាពផ្ទុយគ្នា ព្រោះវាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌ AdB និង BdC ដែលបន្ទាត់ a មិនប្រសព្វផ្នែកទាំងនេះទេ។ ដូច្នេះ ទំនាក់ទំនង d គឺជាទំនាក់ទំនងសមមូល ហើយវាបែងចែកសំណុំនៃចំណុចនៃយន្តហោះដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ a ទៅជាថ្នាក់សមមូល។

ចូរយើងពិនិត្យមើលថាមានថ្នាក់សមមូលពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាប្រសិនបើចំនុច A និង C និង B និង C មិនស្មើគ្នានោះចំនុច A និង B គឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ដោយសារចំនុច A និង C និង B និង C មិនស្ថិតនៅក្នុងទំនាក់ទំនងសមមូល d នោះ បន្ទាត់ a កាត់ចម្រៀក AC និង BC នៅចំនុច P និង Q (សូមមើលរូប 7)។ ប៉ុន្តែ អាស្រ័យ​លើ axiom របស់ Pasha បន្ទាត់​នេះ​មិន​អាច​ប្រសព្វ​ផ្នែក AB បានទេ។ ដូច្នេះចំនុច A និង B គឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ថ្នាក់សមមូលនីមួយៗដែលបានកំណត់ក្នុងទ្រឹស្តីបទ 3.2 ត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះពាក់កណ្តាល។ដូច្នេះ បន្ទាត់ត្រង់ណាមួយនៃយន្តហោះបែងចែកវាទៅជាយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរ ដែលវាបម្រើ ព្រំដែន.

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងគំនិតនៃយន្តហោះពាក់កណ្តាល គំនិតនៃលំហពាក់កណ្តាលត្រូវបានណែនាំ។ ទ្រឹស្តីបទ​មួយ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ឱ្យ​ឃើញ​ដែល​បញ្ជាក់​ថា​យន្តហោះ​ណា​មួយ​នៃ​លំហ​បែងចែក​ចំណុច​នៃ​លំហ​ជា​ពីរ​ឈុត។ ចម្រៀកមួយ ចុងដែលជាចំណុចនៃសំណុំមួយ មិនមានចំណុចដូចគ្នាជាមួយយន្តហោះ ក ប្រសិនបើចំនុចបញ្ចប់នៃផ្នែកមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំផ្សេងៗគ្នា នោះផ្នែកបែបនេះមានចំនុចខាងក្នុងនៃយន្តហោះ ក។ ភស្តុតាងនៃការអះអាងនេះគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ 3.2 យើងនឹងមិនបង្ហាញវានៅទីនេះទេ។

ចូរយើងកំណត់គំនិតនៃចំណុចខាងក្នុងនៃមុំមួយ។ សូមឱ្យមុំមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ពិចារណាបន្ទាត់ OA ដែលមានកាំរស្មី OA ផ្នែកម្ខាងនៃមុំនេះ។ វាច្បាស់ណាស់ថាចំនុចនៃកាំរស្មី OB ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះពាក់កណ្តាលដូចគ្នា ទាក់ទងទៅនឹងខ្សែ OA ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ចំនុចនៃកាំរស្មី OA ជ្រុងនៃមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពាក់កណ្តាលយន្តហោះ b ដូចគ្នា ព្រំដែនគឺ OB ដោយផ្ទាល់ (រូបភាពទី 8) ។ ចំនុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចំនុចប្រសព្វនៃពាក់កណ្តាលយន្តហោះ a និង b ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខាងក្នុងមុំ។ នៅក្នុងរូបភាពទី 8 ចំណុច M គឺជាចំណុចខាងក្នុង។ សំណុំនៃចំណុចខាងក្នុងទាំងអស់នៃមុំមួយត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ តំបន់ខាងក្នុង. កាំរស្មីដែលចំនុចកំពូលស្របគ្នានឹងចំនុចកំពូលនៃមុំមួយ ហើយចំនុចទាំងអស់នៃផ្នែកខាងក្នុងត្រូវបានគេហៅថា ធ្នឹមខាងក្នុងមុំ។ រូបភាពទី 8 បង្ហាញកាំរស្មីខាងក្នុង h នៃមុំ AOB ។

ការអះអាងខាងក្រោមគឺជាការពិត។

ដប់។ ប្រសិនបើកាំរស្មីដែលមានប្រភពដើមនៅចំនុចកំពូលនៃមុំមានយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃចំនុចខាងក្នុងរបស់វា នោះវាគឺជាកាំរស្មីខាងក្នុងនៃមុំនោះ។

ម្ភៃ។ ប្រសិនបើចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកស្ថិតនៅលើជ្រុងពីរផ្សេងគ្នានៃមុំ នោះចំនុចខាងក្នុងណាមួយនៃចម្រៀកគឺជាចំនុចខាងក្នុងនៃមុំ។

សាមសិប កាំរស្មីខាងក្នុងនៃមុំកាត់ផ្នែកដែលចុងរបស់វាស្ថិតនៅលើជ្រុងនៃមុំ។

យើងនឹងពិចារណាលើភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះនៅពេលក្រោយ នៅក្នុងផ្នែកទី 5។ ដោយប្រើ axioms នៃក្រុមទីពីរ យើងកំណត់គោលគំនិតនៃបន្ទាត់ដែលខូច ត្រីកោណ ពហុកោណ គំនិតនៃផ្នែកខាងក្នុងនៃពហុកោណសាមញ្ញ និងបង្ហាញថាសាមញ្ញមួយ។ ពហុកោណ​បែងចែក​យន្តហោះ​ជា​ពីរ​តំបន់ គឺ​ខាងក្នុង និង​ខាងក្រៅ​ដោយ​គោរព​តាម​វា។

ក្រុមទីបីនៃ axioms របស់ Hilbert នៃលំហអឺគ្លីឌានបីវិមាត្រ គឺជាអ្វីដែលហៅថា axioms នៃ congruence ។ សូមឱ្យ S ជាសំណុំនៃផ្នែក A ជាសំណុំនៃមុំ។ នៅលើផលិតផល Cartesian ហើយយើងណែនាំទំនាក់ទំនងគោលពីរ ដែលយើងនឹងហៅថាទំនាក់ទំនង congruence ។

ចំណាំថាទំនាក់ទំនងដែលបានណែនាំតាមរបៀបនេះមិនមែនជាទំនាក់ទំនងនៃវត្ថុសំខាន់នៃ axiomatics ដែលត្រូវបានពិចារណានោះទេពោលគឺឧ។ ចំណុចនៃបន្ទាត់និងយន្តហោះ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីណែនាំក្រុមទីបីនៃ axioms តែនៅពេលដែលគោលគំនិតនៃផ្នែកនិងមុំត្រូវបានកំណត់, i.e. ក្រុមទីមួយនិងទីពីរនៃ axioms របស់ Hilbert ត្រូវបានណែនាំ។

យើងក៏យល់ព្រមហៅផ្នែកដែលជាប់គ្នា ឬមុំផងដែរតាមធរណីមាត្រស្មើគ្នា ឬសាមញ្ញស្មើគ្នា ឬមុំស្មើគ្នា ពាក្យ "ស្រប" ក្នុងករណីដែលវាមិននាំឱ្យមានការយល់ច្រឡំ នឹងត្រូវបានជំនួសដោយពាក្យ "ស្មើគ្នា" និងតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា។ "=" ។