ប្រភេទសមីការ f(x; ក) = 0 ត្រូវបានហៅ សមីការអថេរ Xនិងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ក.
ដោះស្រាយសមីការជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កនេះមានន័យថាសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗ កស្វែងរកតម្លៃ Xបំពេញសមីការនេះ។
ឧទាហរណ៍ ១ អូ= 0
ឧទាហរណ៍ ២ អូ = ក
ឧទាហរណ៍ ៣
x + 2 = ពូថៅ
x - ax \u003d -2
x (1 - ក) \u003d -2
ប្រសិនបើ 1 - ក= 0, i.e. ក= 1 បន្ទាប់មក X 0 = -2 គ្មានឫស
ប្រសិនបើ 1 - ក 0, i.e. ក 1 បន្ទាប់មក X =
ឧទាហរណ៍ 4
(ក 2 – 1) X = 2ក 2 + ក – 3
(ក – 1)(ក + 1)X = 2(ក – 1)(ក – 1,5)
(ក – 1)(ក + 1)X = (1ក – 3)(ក – 1)
ប្រសិនបើ ក ក= 1 បន្ទាប់មក 0 X = 0
X- ចំនួនពិតណាមួយ។
ប្រសិនបើ ក ក= -1 បន្ទាប់មក 0 X = -2
គ្មានឫស
ប្រសិនបើ ក ក 1, ក-1 បន្ទាប់មក X= (ដំណោះស្រាយតែមួយគត់) ។
នេះមានន័យថាសម្រាប់រាល់តម្លៃត្រឹមត្រូវ។ កផ្គូផ្គងតម្លៃតែមួយ X.
ឧទាហរណ៍:
ប្រសិនបើ ក= 5 បន្ទាប់មក X = = ;
ប្រសិនបើ ក= 0 បន្ទាប់មក X= 3 ល។
សម្ភារៈ Didactic
1. អូ = X + 3
2. 4 + អូ = 3X – 1
3. ក = +
នៅ ក= 1 មិនមានឫសទេ។
នៅ ក= 3 គ្មានឫស។
នៅ ក = 1 Xលើកលែងតែចំនួនពិត X = 1
នៅ ក = -1, ក= 0 មិនមានដំណោះស្រាយទេ។
នៅ ក = 0, ក= 2 គ្មានដំណោះស្រាយ។
នៅ ក = -3, ក = 0, 5, ក= -2 គ្មានដំណោះស្រាយ
នៅ ក = -ជាមួយ, ជាមួយ= 0 មិនមានដំណោះស្រាយទេ។
សមីការការ៉េដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយសមីការ
(ក – 1)X 2 = 2(2ក + 1)X + 4ក + 3 = 0
នៅ ក = 1 6X + 7 = 0
ពេលណា ក 1 ជ្រើសរើសតម្លៃទាំងនោះនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែល ឃទៅសូន្យ។
ឃ = (២(២ ក + 1)) 2 – 4(ក – 1)(4ក + 30 = 16ក 2 + 16ក + 4 – 4(4ក 2 + 3ក – 4ក – 3) = 16ក 2 + 16ក + 4 – 16ក 2 + 4ក + 12 = 20ក + 16
20ក + 16 = 0
20ក = -16
ប្រសិនបើ ក ក < -4/5, то ឃ < 0, уравнение имеет действительный корень.
ប្រសិនបើ ក ក> -4/5 និង ក 1 បន្ទាប់មក ឃ > 0,
X = 
ប្រសិនបើ ក ក= 4/5 បន្ទាប់មក ឃ = 0,
ឧទាហរណ៍ ២នៅតម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a សមីការ
x 2 + 2 ( ក + 1)X + 9ក– 5 = 0 មានឫសអវិជ្ជមានពីរផ្សេងគ្នា?
ឃ = 4( ក + 1) 2 – 4(9ក – 5) = 4ក 2 – 28ក + 24 = 4(ក – 1)(ក – 6)
4(ក – 1)(ក – 6) > 0
យោងតាម t. Vieta: X 1 + X 2 = -2(ក + 1)
X 1 X 2 = 9ក – 5
តាមលក្ខខណ្ឌ X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(ក + 1) < 0 и 9ក – 5 > 0
| នៅទីបំផុត | 4(ក – 1)(ក – 6) > 0 - 2(ក + 1) < 0 9ក – 5 > 0 |
ក < 1: а > 6 ក > - 1 ក > 5/9 |
 (អង្ករ។ មួយ។) < ក < 1, либо ក > 6 |
ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកតម្លៃ កដែលសមីការនេះមានដំណោះស្រាយ។
x 2 - 2( ក – 1)X + 2ក + 1 = 0
ឃ = 4( ក – 1) 2 – 4(2ក + 10 = 4ក 2 – 8ក + 4 – 8ក – 4 = 4ក 2 – 16ក
4ក 2 – 16 0
4ក(ក – 4) 0
ក( ក – 4)) 0
ក( ក – 4) = 0
a = 0 ឬ ក – 4 = 0
ក = 4
(អង្ករ។ ២)
ចម្លើយ៖ ក 0 និង ក 4
សម្ភារៈ Didactic
1. នៅតម្លៃអ្វី កសមីការ អូ 2 – (ក + 1) X + 2ក- 1 = 0 មានឫសមួយ?
2. នៅតម្លៃអ្វី កសមីការ ( ក + 2) X 2 + 2(ក + 2)X+ 2 = 0 មានឫសតែមួយ?
3. សម្រាប់តម្លៃនៃ a គឺជាសមីការ ( ក 2 – 6ក + 8) X 2 + (ក 2 – 4) X + (10 – 3ក – ក 2) = 0 មានឫសច្រើនជាងពីរ?
4. សម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃសមីការ 2 X 2 + X – ក= 0 មានឫសរួមមួយយ៉ាងតិចជាមួយសមីការ 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. សម្រាប់អ្វីដែលតម្លៃនៃមួយធ្វើសមីការ X 2 +អូ+ 1 = 0 និង X 2 + X + ក= 0 មានឫសទូទៅយ៉ាងតិចមួយ?
1. ពេលណា ក = - 1/7, ក = 0, ក = 1
2. ពេលណា ក = 0
3. ពេលណា ក = 2
4. ពេលណា ក = 10
5. ពេលណា ក = - 2
សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ឧទាហរណ៍ ១.ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់។ កដែលសមីការ
9 x - ( ក+ 2) * 3 x-1 / x +2 ក*3 -2/x = 0 (1) មានឫសពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ។
ការសម្រេចចិត្ត។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (1) ដោយ 3 2/x យើងទទួលបានសមីការសមមូល
3 2(x+1/x) – ( ក+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 ក = 0 (2)
អនុញ្ញាតឱ្យ 3 x + 1 / x = នៅបន្ទាប់មកសមីការ (2) យកទម្រង់ នៅ 2 – (ក + 2)នៅ + 2ក= 0, ឬ
(នៅ – 2)(នៅ – ក) = 0, មកពីណា នៅ 1 =2, នៅ 2 = ក.
ប្រសិនបើ ក នៅ= 2, i.e. 3 x + 1/x = 2 បន្ទាប់មក X + 1/X= កំណត់ហេតុ 3 2 ឬ X 2 – Xកំណត់ហេតុ 3 2 + 1 = 0 ។
សមីការនេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេព្រោះវា ឃ= កំណត់ហេតុ ២ ៣ ២–៤< 0.
ប្រសិនបើ ក នៅ = ក, i.e. 3 x + 1 / x = កបន្ទាប់មក X + 1/X= កំណត់ហេតុ ៣ ក, ឬ X 2 –Xកំណត់ហេតុ 3 a + 1 = 0. (3)
សមីការ (3) មានឫសពីរយ៉ាងពិតប្រាកដប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើ
D = log 2 3 2 – 4 > 0 ឬ |log 3 a| > ២.
ប្រសិនបើកំណត់ហេតុ 3 a > 2 បន្ទាប់មក ក> 9 ហើយប្រសិនបើ log 3 a< -2, то 0 < ក < 1/9.
ចម្លើយ៖ ០< ក < 1/9, ក > 9.
ឧទាហរណ៍ ២. នៅតម្លៃអ្វីនៃសមីការ 2 2x - ( ក - 3) 2 x − 3 ក=0 មានដំណោះស្រាយ?
ដើម្បីឱ្យសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានដំណោះស្រាយ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលសមីការ t 2 – (ក - 3) t – 3ក= 0 មានឫសវិជ្ជមានយ៉ាងហោចណាស់មួយ។ ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ X 1 = -3, X 2 = ក = >
a គឺជាលេខវិជ្ជមាន។
ចម្លើយ៖ ពេលណា ក > 0
សម្ភារៈ Didactic
1. ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃ a ដែលសមីការ
២៥ x − (២ ក+ 5) * 5 x-1 / x + 10 ក* 5 -2/x = 0 មានដំណោះស្រាយ 2 យ៉ាងពិតប្រាកដ។
2. សម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃ a ធ្វើសមីការ
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 មានឫសតែមួយ?
3. សម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a សមីការ
៤ x − (៥ ក-3) 2 x +4 ក 2 – 3ក= 0 មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់?
សមីការលោការីតជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់។ កដែលសមីការ
កំណត់ហេតុ 4x (1 + អូ) = 1/2 (1)
មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
ការសម្រេចចិត្ត។ សមីការ (១) ស្មើនឹងសមីការ
1 + អូ = 2Xនៅ X > 0, X 1/4 (3)
X = នៅ
អូ 2 - នៅ + 1 = 0 (4)
លក្ខខណ្ឌ (2) ពី (3) មិនពេញចិត្ត។
អនុញ្ញាតឱ្យមាន ក 0 បន្ទាប់មក អូ ២ – 2នៅ+ 1 = 0 មានឫសពិតប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើ ឃ = 4 – 4ក 0, i.e. នៅ ក 1. ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព (3) យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I.ការសិក្សាស៊ីជម្រៅលើវគ្គសិក្សាពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ១៩៩០
ទៅ ភារកិច្ចជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្ររួមបញ្ចូលឧទាហរណ៍ ការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណក្នុងទម្រង់ទូទៅ ការសិក្សាសមីការសម្រាប់ចំនួនឫសដែលមាន អាស្រ័យលើតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
ដោយមិនផ្តល់និយមន័យលម្អិត សូមពិចារណាសមីការខាងក្រោមជាឧទាហរណ៍៖
y = kx ដែល x, y ជាអថេរ, k ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ;
y = kx + b ដែល x, y ជាអថេរ, k និង b ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ;
ax 2 + bx + c = 0 ដែល x ជាអថេរ a, b និង c ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការមួយ (វិសមភាពប្រព័ន្ធ) ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រមានន័យថាជាក្បួនដោះស្រាយសមីការគ្មានកំណត់ (វិសមភាពប្រព័ន្ធ)។
ភារកិច្ចដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រអាចបែងចែកតាមលក្ខខណ្ឌជាពីរប្រភេទ៖
ក)លក្ខខណ្ឌនិយាយថា: ដោះស្រាយសមីការ (វិសមភាពប្រព័ន្ធ) - នេះមានន័យថាសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់។ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ករណីមួយនៅតែមិនត្រូវបានរុករក ដំណោះស្រាយបែបនេះមិនអាចចាត់ទុកថាជាការពេញចិត្តនោះទេ។
ខ)វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីចង្អុលបង្ហាញតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលសមីការ (វិសមភាពប្រព័ន្ធ) មានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់។ ឧទាហរណ៍ វាមានដំណោះស្រាយតែមួយ គ្មានដំណោះស្រាយ មានដំណោះស្រាយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល។ល។ ក្នុងកិច្ចការបែបនេះ ចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញឱ្យច្បាស់អំពីតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលលក្ខខណ្ឌតម្រូវត្រូវបានពេញចិត្ត។
ប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលជាលេខថេរដែលមិនស្គាល់ មានដូចដែលវាមាន ភាពទ្វេពិសេស។ ជាដំបូងវាត្រូវតែត្រូវបានយកទៅក្នុងគណនីដែលកិត្តិនាមដែលបានចោទប្រកាន់បង្ហាញថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវតែត្រូវបានយល់ថាជាលេខ។ ទីពីរ សេរីភាពក្នុងការដោះស្រាយប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានកំណត់ដោយមិនស្គាល់របស់វា។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ប្រតិបត្តិការនៃការបែងចែកដោយកន្សោមដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ឬស្រង់ឫសនៃកម្រិតគូពីកន្សោមស្រដៀងគ្នា ទាមទារការស្រាវជ្រាវបឋម។ ដូច្នេះត្រូវយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងការដោះស្រាយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
ឧទាហរណ៍ ដើម្បីប្រៀបធៀបលេខពីរ -6a និង 3a ករណីបីចាំបាច់ត្រូវយកមកពិចារណា៖
1) -6a នឹងធំជាង 3a ប្រសិនបើ a ជាលេខអវិជ្ជមាន។
2) -6a = 3a ក្នុងករណីដែល a = 0;
3) -6a នឹងតិចជាង 3a ប្រសិនបើ a ជាលេខវិជ្ជមាន 0។
ការសម្រេចចិត្តនឹងក្លាយជាចម្លើយ។
ចូរឱ្យសមីការ kx = b ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ សមីការនេះគឺខ្លីសម្រាប់សំណុំសមីការគ្មានកំណត់ក្នុងអថេរមួយ។
នៅពេលដោះស្រាយសមីការបែបនេះ អាចមានករណី៖
1. សូមអោយ k ជាចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ និង b លេខណាមួយពី R បន្ទាប់មក x = b/k ។
2. ចូរ k = 0 និង b ≠ 0 សមីការដើមនឹងយកទម្រង់ 0 · x = b ។ ជាក់ស្តែង សមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
3. សូមអោយ k និង b ជាលេខស្មើសូន្យ បន្ទាប់មកយើងមានសមភាព 0 · x = 0 ។ ដំណោះស្រាយរបស់វាគឺចំនួនពិតណាមួយ។
ក្បួនដោះស្រាយសមីការប្រភេទនេះ៖
1. កំណត់តម្លៃ "គ្រប់គ្រង" នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
2. ដោះស្រាយសមីការដើមសម្រាប់ x ជាមួយនឹងតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវបានកំណត់ក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ។
3. ដោះស្រាយសមីការដើមសម្រាប់ x ជាមួយនឹងតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលខុសពីអ្វីដែលបានជ្រើសរើសក្នុងកថាខណ្ឌទីមួយ។
4. អ្នកអាចសរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
1) នៅពេលដែល ... (តម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ) សមីការមានឫស ... ;
2) នៅពេលដែល ... (តម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ) មិនមានឫសនៅក្នុងសមីការទេ។
ឧទាហរណ៍ ១
ដោះស្រាយសមីការជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ |6 – x| = ក.
ការសម្រេចចិត្ត។
វាងាយស្រួលមើលថានៅទីនេះ ≥ 0 ។
ដោយច្បាប់នៃម៉ូឌុល 6 – x = ±a យើងបង្ហាញ x:
ចម្លើយ៖ x = 6 ± a ដែល a ≥ 0 ។
ឧទាហរណ៍ ២
ដោះស្រាយសមីការ a(x − 1) + 2(x − 1) = 0 ទាក់ទងនឹងអថេរ x ។
ការសម្រេចចិត្ត។
តោះបើកតង្កៀប៖ ax - a + 2x - 2 \u003d 0
ចូរសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ៖ x(a + 2) = a + 2 ។
ប្រសិនបើកន្សោម a + 2 មិនមែនជាសូន្យ ពោលគឺប្រសិនបើ a ≠ −2 យើងមានដំណោះស្រាយ x = (a + 2) / (a + 2) i.e. x = ១.
ប្រសិនបើ a + 2 ស្មើសូន្យ ឧ. a \u003d -2 បន្ទាប់មកយើងមានសមភាពត្រឹមត្រូវ 0 x \u003d 0 ដូច្នេះ x គឺជាចំនួនពិតណាមួយ។
ចម្លើយ៖ x \u003d 1 សម្រាប់ ≠ -2 និង x € R សម្រាប់ \u003d -2 ។
ឧទាហរណ៍ ៣
ដោះស្រាយសមីការ x/a + 1 = a + x ទាក់ទងនឹងអថេរ x ។
ការសម្រេចចិត្ត។
ប្រសិនបើ \u003d 0 នោះយើងបំលែងសមីការទៅជាទម្រង់ a + x \u003d a 2 + ax ឬ (a - 1) x \u003d -a (a - 1) ។ សមីការចុងក្រោយសម្រាប់ a = 1 មានទម្រង់ 0 · x = 0 ដូច្នេះ x គឺជាចំនួនណាមួយ។
ប្រសិនបើ ≠ 1 នោះសមីការចុងក្រោយនឹងយកទម្រង់ x = -a ។
ដំណោះស្រាយនេះអាចត្រូវបានបង្ហាញនៅលើបន្ទាត់កូអរដោនេ (រូបទី 1)
ចម្លើយ៖ មិនមានដំណោះស្រាយសម្រាប់ a = 0; x - លេខណាមួយនៅ a = 1; x \u003d -a ជាមួយ ≠ 0 និង a ≠ 1 ។
វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក
ពិចារណាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយសមីការជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ - ក្រាហ្វិក។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។
ឧទាហរណ៍ 4
តើមានឫសប៉ុន្មានអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a តើសមីការ ||x| – ២| = ក?
ការសម្រេចចិត្ត។
ដើម្បីដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = ||x| – ២| និង y = ក (រូបទី 2).
គំនូរបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នូវករណីដែលអាចកើតមាននៃទីតាំងនៃបន្ទាត់ y = a និងចំនួនឫសនៅក្នុងពួកវានីមួយៗ។
ចម្លើយ៖ សមីការនឹងមិនមានឫសគល់ទេ ប្រសិនបើ a< 0; два корня будет в случае, если a >2 និង a = 0; សមីការនឹងមានឫសបីនៅក្នុងករណី a = 2; ឫសបួន - នៅ 0< a < 2.
ឧទាហរណ៍ ៥
សម្រាប់សមីការ 2|x| + |x–១| = a មានឫសតែមួយ?
ការសម្រេចចិត្ត។
ចូរគូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 2|x| + |x–១| និង y = ក។ សម្រាប់ y = 2|x| + |x - 1| ពង្រីកម៉ូឌុលដោយវិធីសាស្ត្រគម្លាត យើងទទួលបាន៖
(-3x + 1 នៅ x< 0,
y = (x + 1, សម្រាប់ 0 ≤ x ≤ 1,
(3x − 1 សម្រាប់ x> 1 ។
នៅលើ រូបភាពទី 3វាត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ថាសមីការនឹងមានឫសតែមួយគត់នៅពេលដែល a = 1 ។
ចម្លើយ៖ a = ១.
ឧទាហរណ៍ ៦
កំណត់ចំនួននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការ |x + 1| +|x+2| =a អាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a?
ការសម្រេចចិត្ត។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = |x + 1| +|x+2| នឹងក្លាយជាបន្ទាត់ខូច។ ចំនុចកំពូលរបស់វានឹងស្ថិតនៅចំនុច (-2; 1) និង (-1; 1) (រូបភាពទី 4).
ចម្លើយ៖ ប្រសិនបើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a តិចជាងមួយ នោះសមីការនឹងមិនមានឫសគល់ទេ។ ប្រសិនបើ a = 1 នោះដំណោះស្រាយនៃសមីការគឺជាសំណុំលេខគ្មានកំណត់ពីផ្នែក [-2; - មួយ]; ប្រសិនបើតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ធំជាងមួយ នោះសមីការនឹងមានឫសពីរ។
តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!
គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។
សម្រាប់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ តើវិសមភាព $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ មានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ?
ការសម្រេចចិត្ត
យើងកាត់បន្ថយវិសមភាពនេះទៅជាមេគុណវិជ្ជមានសម្រាប់ $x^2$៖
$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$
គណនាការរើសអើង៖ $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$ ។ ដើម្បីឱ្យវិសមភាពនេះ មានដំណោះស្រាយ ចាំបាច់ត្រូវមានយ៉ាងហោចណាស់ចំណុចមួយនៃប៉ារ៉ាបូឡាស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស $x$ ។ ដោយសារមែករបស់ប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ នេះតម្រូវឱ្យត្រីកោណការ៉េនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពមានឫសពីរ ពោលគឺការរើសអើងរបស់វាគឺវិជ្ជមាន។ យើងមកដល់តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាពការ៉េ $a^2 - 28a > 0$។ ត្រីកោណការ៉េ $a^2 - 28a$ មានឫសពីរ៖ $a_1 = 0$, $a_2 = 28$ ។ ដូច្នេះ វិសមភាព $a^2 - 28a> 0$ ត្រូវបានពេញចិត្តដោយចន្លោះពេល $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$ ។
ចម្លើយ។$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$ ។
សម្រាប់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ តើសមីការ $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ មានឫសយ៉ាងតិចមួយ ហើយឬសទាំងអស់គឺវិជ្ជមាន?
ការសម្រេចចិត្ត
អនុញ្ញាតឱ្យ $a=2$ ។ បន្ទាប់មកសមីការយកទម្រង់ $() - 4x +5 = 0$ នោះយើងទទួលបានថា $x=\dfrac(5)(4)$ គឺជាឫសវិជ្ជមាន។
ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យ $a\ne 2$ ។ វាប្រែចេញសមីការការ៉េ។ ចូរយើងកំណត់ជាមុនថាតើតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមានឫសគល់អ្វីខ្លះ។ វាចាំបាច់ដែលការរើសអើងរបស់វាមិនមានលក្ខណៈអវិជ្ជមាន។ I.e:
$D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Leftrightarrow a\leqslant 6.$
ឫសត្រូវតែមានលក្ខណៈវិជ្ជមានតាមលក្ខខណ្ឌ ដូច្នេះពីទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងទទួលបានប្រព័ន្ធ៖
$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (cases) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ begin (cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty; -3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6].$
យើងបញ្ចូលគ្នានូវចម្លើយ យើងទទួលបានសំណុំដែលចង់បាន៖ $a\in(-\infty;-3)\cup$ ។
ចម្លើយ។$a\in(-\infty;-3)\cup$។
សម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ តើវិសមភាព $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ មិនមានដំណោះស្រាយទេ?
ការសម្រេចចិត្ត
- ប្រសិនបើ $a = 0$ នោះវិសមភាពនេះធ្លាក់ចូលទៅក្នុងវិសមភាព $5 \leqslant 0$ ដែលមិនមានដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះតម្លៃ $a = 0$ បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។
- ប្រសិនបើ $a > 0$ នោះក្រាហ្វនៃត្រីកោណការ៉េនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពគឺជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានសាខាឡើងលើ។ យើងគណនា $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$ ។ វិសមភាពមិនមានដំណោះស្រាយទេ ប្រសិនបើប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស x នោះគឺជាពេលដែលត្រីកោណកែងគ្មានឫស ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
- ប្រសិនបើ $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.
ចម្លើយ។$a \in \left$ ស្ថិតនៅចន្លោះឫស ដូច្នេះត្រូវតែមានឫសពីរ (ហេតុនេះ $a\ne 0$)។ ប្រសិនបើសាខារបស់ប៉ារ៉ាបូឡា $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ ចង្អុលឡើងលើ នោះ $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ និង $y(1) > 0$ ។
ករណី I.អនុញ្ញាតឱ្យ $a > 0$ ។ បន្ទាប់មក
$\left\(\begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ។ \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $
នោះគឺក្នុងករណីនេះវាប្រែថា $a ទាំងអស់ > 3$ សម។
ករណីទី២.អនុញ្ញាតឱ្យ $a< 0$. Тогда
$\left\(\begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$
នោះគឺក្នុងករណីនេះវាប្រែថា $a ទាំងអស់។< -1$.
ចម្លើយ។$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$
ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ សម្រាប់ប្រព័ន្ធសមីការនីមួយៗ
$ \begin(cases) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(cases) $
មានដំណោះស្រាយពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ។
ការសម្រេចចិត្ត
ដកទីពីរចេញពីទីមួយ៖ $(x-y)^2 = 1$ ។ បន្ទាប់មក
$ \left[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\right។ \quad \\ ឆ្វេងស្តាំ \\ quad \\ ឆ្វេង [\begin(អារេ)(l) x = y+1, \\ x = y-1 ។ \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ។ $
ការជំនួសកន្សោមដែលទទួលបានទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបានសមីការការ៉េពីរ៖ $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ និង $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$ ។ ការរើសអើងនៃពួកគេម្នាក់ៗស្មើនឹង $D = 16a-4$ ។
សូមចំណាំថា វាមិនអាចកើតឡើងបានទេដែលថាគូនៃឫសនៃសមីការការ៉េទីមួយត្រូវគ្នានឹងគូនៃឫសនៃសមីការការ៉េទីពីរ ចាប់តាំងពីផលបូកនៃឫសនៃទីមួយគឺស្មើនឹង $-1$ ហើយទីពីរគឺ ១.
នេះមានន័យថាសមីការទាំងនេះនីមួយៗត្រូវតែមានឫសតែមួយ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធដើមនឹងមានដំណោះស្រាយពីរ។ នោះគឺ $D = 16a - 4 = 0$ ។
ចម្លើយ។$a=\dfrac(1)(4)$
ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ សម្រាប់នីមួយៗដែលសមីការ $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ មានឫសពីរ។
ការសម្រេចចិត្ត
ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖
$9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$
ពិចារណាមុខងារ $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$ ។
សម្រាប់ $x\geqslant 3$ ម៉ូឌុលទីមួយត្រូវបានពង្រីកដោយសញ្ញាបូក ហើយមុខងារក្លាយជា៖ $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$ ។ វាច្បាស់ណាស់ថា ជាមួយនឹងការពង្រីកម៉ូឌុលណាមួយ ជាលទ្ធផល មុខងារលីនេអ៊ែរដែលមានមេគុណ $k\geqslant 5-3-1=1>0$ នឹងត្រូវបានទទួល នោះគឺជាមុខងារនេះលូតលាស់ដោយគ្មានដែនកំណត់លើចន្លោះពេលនេះ។
សូមពិចារណាឥឡូវនេះចន្លោះពេល $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.
ដូច្នេះ យើងទទួលបានថា $x=3$ គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារនេះ។ ហើយនេះមានន័យថា ដើម្បីឱ្យសមីការដើមមានដំណោះស្រាយពីរ តម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចអប្បបរមាត្រូវតែតិចជាងសូន្យ។ នោះគឺ វិសមភាពកើតឡើង៖ $f(3)<0$.
$12-|9-|3+a||>0 \quad \Leftrightarrow \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$
$\leftrightarrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24 ចម្លើយ។$a \in (-24; 18)$ សម្រាប់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ តើសមីការ $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ មានឫសតែមួយទេ? តោះធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ៖ $t = 5^x > 0$ ។ បន្ទាប់មកសមីការដើមមានទម្រង់នៃសមីការការ៉េ៖ $t^2-3t+a-1=0$។ សមីការដើមនឹងមានឫសតែមួយ ប្រសិនបើសមីការនេះមានឫសវិជ្ជមានមួយ ឬឫសពីរ ដែលមួយគឺវិជ្ជមាន មួយទៀតគឺអវិជ្ជមាន។ ការរើសអើងនៃសមីការគឺ៖ $D = 13-4a$ ។ សមីការនេះនឹងមានឫសមួយប្រសិនបើការរើសអើងលទ្ធផលស្មើនឹងសូន្យ នោះគឺសម្រាប់ $a = \dfrac(13)(4)$ ។ ក្នុងករណីនេះ ឫស $t=\dfrac(3)(2)> 0$ ដូច្នេះតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃ $a$ គឺសមរម្យ។ ប្រសិនបើមានឫសពីរ មួយវិជ្ជមាន និងមួយមិនវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ និង $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$ ។ នោះគឺ $a\in(-\infty;1]$ ចម្លើយ។$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$ ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ ដែលប្រព័ន្ធ $ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(cases) $ មានដំណោះស្រាយពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ។ ចូរបំប្លែងប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ខាងក្រោម៖ $ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2 ។ \end(cases) $ ដោយសារប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ គឺនៅមូលដ្ឋាននៃលោការីត ការដាក់កម្រិតខាងក្រោមត្រូវបានដាក់លើវា៖ $a>0$, $a \ne 1$ ។ ដោយសារអថេរ $y$ គឺជាអាគុយម៉ង់នៃលោការីត បន្ទាប់មក $y > 0$ ។ រួមបញ្ចូលគ្នានូវសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងឆ្លងទៅសមីការ៖ $\log_a y = y^2$ ។ អាស្រ័យលើតម្លៃដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $a$ យក ករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន៖ ចម្លើយ។$a\in(0;1)$ ពិចារណាករណីនៅពេលដែល $a > 1$ ។ ដោយសារតម្លៃធំនៃ $t$ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $f(t) = a^t$ ស្ថិតនៅពីលើបន្ទាត់ត្រង់ $g(t) = t$ ចំណុចធម្មតាតែមួយគត់អាចគ្រាន់តែជាចំណុចទំនាក់ទំនងប៉ុណ្ណោះ។ . សូមឱ្យ $t_0$ ជាចំណុចប៉ះ។ នៅចំណុចនេះ ដេរីវេទៅ $f(t) = a^t$ គឺស្មើនឹងមួយ (តង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់) លើសពីនេះទៀត តម្លៃនៃមុខងារទាំងពីរគឺដូចគ្នា ពោលគឺ ប្រព័ន្ធខាងក្រោមកើតឡើង៖ $ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(cases) $ ពេលណា $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$ ។ $a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e))។ $ ទន្ទឹមនឹងនេះ មុខងារផ្ទាល់ និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ច្បាស់ជាមិនមានចំណុចរួមផ្សេងទៀតទេ។ ចម្លើយ។$a \in (0;1] \cup \left\(e^(e^(-1))\right\)$ 1. កិច្ចការ។ 1. ការសម្រេចចិត្ត។ 1. ចម្លើយ៖សមីការមានឫសតែមួយនៅ ក O(0; 1; 2) ។ 2. ភារកិច្ច។ 2. ចម្លើយ៖ 3. ភារកិច្ច។ 3. ដំណោះស្រាយ។ 4. ភារកិច្ច។ 4. ដំណោះស្រាយ។ 5. ការសម្រេចចិត្ត។ 5. ចម្លើយ៖ 3.
6. កិច្ចការ (10 ក្រឡា) 6. ចម្លើយ៖ កអូ)
ការសម្រេចចិត្ត
ការសម្រេចចិត្ត
នៅតម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កសមីការ ( ក - 1)x 2 + 2x + ក- 1 = 0 មានឫសមួយពិតប្រាកដ?
នៅ ក= 1 សមីការមានទម្រង់ 2 x= 0 ហើយច្បាស់ជាមានឫសតែមួយ x= 0. ប្រសិនបើ កលេខ 1 បន្ទាប់មកសមីការនេះគឺ quadratic និងមានឫសតែមួយសម្រាប់តម្លៃទាំងនោះនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលការរើសអើងនៃត្រីកោណការ៉េស្មើនឹងសូន្យ។ សមីការអ្នករើសអើងទៅសូន្យ យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ក
4ក 2 - 8ក= 0, មកពីណា ក= 0 ឬ ក = 2.
ស្វែងរកតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងអស់។ កដែលសមីការមានឫសពីរផ្សេងគ្នា x 2 +4ពូថៅ+8ក+3 = 0.
2. ការសម្រេចចិត្ត។
សមីការ x 2 +4ពូថៅ+8ក+3 = 0 មានឫសពីរផ្សេងគ្នាប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើ ឃ =
16ក 2 -4(8ក+3) > 0. យើងទទួលបាន (បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយដោយកត្តារួមនៃ 4) 4 ក 2 -8ក-3> 0 មកពីណា កអូ (-Ґ ; 1 -
គ ៧ ២
) និង (1 +
គ ៧ ២
; Ґ
).
វាត្រូវបានគេស្គាល់ថា
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ក) ក្រាហ្វនៃមុខងារ f 1 (x) នៅ ក = 1.
ខ) តម្លៃអ្វី កក្រាហ្វិកមុខងារ f 1 (x) និង f 2 (x) មានចំណុចរួមតែមួយ?
3. ក.តោះប្រែក្លាយ f 1 (x) តាមវិធីខាងក្រោម
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះ។ ក= 1 ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបនៅខាងស្តាំ។
3. ខ.យើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗថាក្រាហ្វមុខងារ y =
kx+ខនិង y = ពូថៅ 2 +bx+គ
(កលេខ 0) ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុចតែមួយ ប្រសិនបើសមីការការ៉េ kx+ខ =
ពូថៅ 2 +bx+គមានឫសតែមួយ។ ការប្រើប្រាស់ទិដ្ឋភាព f 1 នៃ 3. ក, យើងស្មើភាពរើសអើងនៃសមីការ ក = 6x-x២-៦ ដល់សូន្យ។ ពីសមីការ 36-24-4 ក= 0 យើងទទួលបាន ក= 3. ធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងសមីការ 2 x-ក = 6x-x២-៦ រក ក= 2. វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ចម្លើយ៖ ក= 2 ឬ ក = 3.
ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់។ កក្រោមដែលសំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃវិសមភាព x 2 -2ពូថៅ-3ក i 0 មានផ្នែក។
កូអរដោនេទីមួយនៃចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡា f(x) =
x 2 -2ពូថៅ-3កគឺស្មើនឹង x 0 =
ក. ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ quadratic លក្ខខណ្ឌ f(x) i 0 នៅលើចន្លោះពេលគឺស្មើនឹងចំនួនសរុបនៃប្រព័ន្ធបី
មានដំណោះស្រាយពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ?
ចូរយើងសរសេរសមីការនេះឡើងវិញក្នុងទម្រង់ x 2 + (2ក-2)x - 3ក+7 = 0. នេះគឺជាសមីការបួនជ្រុង វាមានដំណោះស្រាយពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ ប្រសិនបើការរើសអើងរបស់វាខ្លាំងជាងសូន្យ។ ការគណនាការរើសអើង យើងទទួលបានថាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការមានឫសគល់ពីរយ៉ាងពិតប្រាកដគឺការបំពេញវិសមភាព។ ក 2 +ក-6 > 0. ការដោះស្រាយវិសមភាព យើងរកឃើញ ក < -3 или ក> 2. ជាក់ស្តែង វិសមភាពទីមួយមិនមានដំណោះស្រាយជាលេខធម្មជាតិទេ ហើយដំណោះស្រាយធម្មជាតិតូចបំផុតទីពីរគឺលេខ 3 ។
ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់។ កដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ឬបន្ទាប់ពីការបំលែងជាក់ស្តែង។ ក-2 = |
2-ក| . សមីការចុងក្រោយគឺស្មើនឹងវិសមភាព កខ្ញុំ ២.
