ភាគបែងសាមញ្ញតិចបំផុតត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្រួលសមីការនេះ។វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលអ្នកមិនអាចសរសេរសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងកន្សោមសនិទានមួយនៅផ្នែកម្ខាងៗនៃសមីការ (ហើយប្រើវិធីសាស្ត្រគុណឆ្លង)។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលអ្នកត្រូវបានផ្តល់សមីការសមហេតុផលដែលមានប្រភាគ 3 ឬច្រើន (ក្នុងករណីប្រភាគពីរ ការគុណឆ្លងគឺប្រសើរជាង)។
ស្វែងរកភាគបែងសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភាគ (ឬភាគបែងធម្មតាតិចបំផុត)។ NOZ គឺជាចំនួនតូចបំផុតដែលបែងចែកស្មើៗគ្នាដោយភាគបែងនីមួយៗ។
- ពេលខ្លះ NOZ គឺជាលេខជាក់ស្តែង។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6 នោះវាច្បាស់ណាស់ថាផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខ 3, 2 និង 6 នឹងមាន 6 ។
- ប្រសិនបើ NOD មិនច្បាស់ទេ ចូរសរសេរពហុគុណនៃភាគបែងធំជាងគេ ហើយរកក្នុងចំនោមពួកវាមួយ ដែលជាពហុគុណនៃភាគបែងផ្សេងទៀតផងដែរ។ ជាញឹកញាប់អ្នកអាចរកឃើញ NOD ដោយគ្រាន់តែគុណភាគបែងពីរជាមួយគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើសមីការ x/8 + 2/6 = (x − 3)/9 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះ NOZ = 8 * 9 = 72 ។
- ប្រសិនបើភាគបែងមួយ ឬច្រើនមានអថេរ នោះដំណើរការគឺស្មុគ្រស្មាញជាងបន្តិច (ប៉ុន្តែមិនអាចទៅរួច)។ ក្នុងករណីនេះ NOZ គឺជាកន្សោម (មានអថេរ) ដែលបែងចែកដោយភាគបែងនីមួយៗ។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងសមីការ 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) ពីព្រោះកន្សោមនេះត្រូវបានបែងចែកដោយភាគបែងនីមួយៗ៖ 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x=3(x-1)។
គុណទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗដោយចំនួនដែលស្មើនឹងលទ្ធផលនៃការបែងចែក NOZ ដោយភាគបែងដែលត្រូវគ្នានៃប្រភាគនីមួយៗ។ ដោយសារអ្នកកំពុងគុណទាំងភាគយក និងភាគបែងដោយចំនួនដូចគ្នា អ្នកកំពុងគុណប្រភាគដោយ 1 (ឧទាហរណ៍ 2/2 = 1 ឬ 3/3 = 1)។
- ដូច្នេះក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង គុណ x/3 ដោយ 2/2 ដើម្បីទទួលបាន 2x/6 ហើយគុណ 1/2 ដោយ 3/3 ដើម្បីទទួលបាន 3/6 (3x + 1/6 មិនចាំបាច់ត្រូវគុណទេព្រោះវាជាភាគបែងគឺ ៦).
- បន្តដូចគ្នានៅពេលដែលអថេរស្ថិតនៅក្នុងភាគបែង។ ក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីររបស់យើង NOZ = 3x(x-1) ដូច្នេះ 5/(x-1) ដង (3x)/(3x) គឺ 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x គុណ 3(x-1)/3(x-1) ដើម្បីទទួលបាន 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) គុណនឹង (x-1)/(x-1) ហើយអ្នកទទួលបាន 2(x-1)/3x(x-1)។
ស្វែងរក x ។ឥឡូវនេះអ្នកបានកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាភាគបែងរួមមួយ អ្នកអាចកម្ចាត់ភាគបែង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណផ្នែកនីមួយៗនៃសមីការដោយភាគបែងធម្មតា។ បន្ទាប់មកដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល នោះគឺស្វែងរក "x" ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ញែកអថេរនៅម្ខាងនៃសមីការ។
- ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖ 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6 ។ អ្នកអាចបន្ថែមប្រភាគ 2 ជាមួយភាគបែងដូចគ្នា ដូច្នេះសូមសរសេរសមីការជា៖ (2x+3)/6=(3x+1)/6។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 6 ហើយកម្ចាត់ភាគបែង៖ 2x + 3 = 3x +1 ។ ដោះស្រាយនិងទទួលបាន x = 2 ។
- នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីររបស់យើង (ជាមួយនឹងអថេរនៅក្នុងភាគបែង) សមីការមើលទៅដូច (បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងធម្មតា): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1) ។ ដោយការគុណទាំងសងខាងនៃសមីការដោយ NOZ អ្នកកម្ចាត់ភាគបែងហើយទទួលបាន៖ 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) ឬ 15x = 3x - 3 + 2x -2 ឬ 15x = x − 5 ដោះស្រាយ និងទទួលបាន៖ x = −5/14 ។
យើងបានណែនាំសមីការខាងលើនៅក្នុង§ 7។ ជាដំបូង យើងរំលឹកឡើងវិញនូវអ្វីដែលជាការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល។ នេះគឺជាកន្សោមពិជគណិតដែលបង្កើតឡើងដោយលេខ និងអថេរ x ដោយប្រើប្រតិបត្តិការបូក ដក គុណ ចែក និងនិទស្សន្តជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។
ប្រសិនបើ r(x) ជាកន្សោមសមហេតុផល នោះសមីការ r(x) = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការសនិទាន។
ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការអនុវត្តវាកាន់តែងាយស្រួលប្រើការបកស្រាយដ៏ទូលំទូលាយនៃពាក្យ "សមីការសមហេតុផល"៖ នេះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ h(x) = q(x) ដែល h(x) និង q(x) គឺ កន្សោមសមហេតុផល។
រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងមិនអាចដោះស្រាយសមីការសមហេតុសមផលណាមួយបានឡើយ ប៉ុន្តែមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ ដែលជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ និងហេតុផលផ្សេងៗ ត្រូវបានកាត់បន្ថយមកត្រឹម សមីការលីនេអ៊ែរ. ឥឡូវនេះលទ្ធភាពរបស់យើងគឺធំជាងនេះ៖ យើងនឹងអាចដោះស្រាយសមីការសនិទានកម្ម ដែលកាត់បន្ថយមិនត្រឹមតែជាលីនេអ៊ែរប៉ុណ្ណោះទេ
mu, ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់សមីការការ៉េ។
រំលឹកពីរបៀបដែលយើងដោះស្រាយសមីការសនិទានមុននេះ ហើយព្យាយាមបង្កើតក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ។
ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយសមីការ
ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់
ក្នុងករណីនេះដូចធម្មតា យើងប្រើការពិតដែលថាសមភាព A \u003d B និង A - B \u003d 0 បង្ហាញពីទំនាក់ទំនងដូចគ្នារវាង A និង B ។ វាអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទេរពាក្យទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការជាមួយ សញ្ញាផ្ទុយ។
ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ។ យើងមាន
រំលឹកឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌសមភាព ប្រភាគសូន្យ៖ ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើទំនាក់ទំនងពីរត្រូវបានពេញចិត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា៖
1) ភាគយកនៃប្រភាគគឺសូន្យ (a = 0); 2) ភាគបែងនៃប្រភាគគឺខុសពីសូន្យ)។
សមីការទៅសូន្យ ភាគយកនៃប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (1) យើងទទួលបាន
វានៅសល់ដើម្បីពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌទីពីរដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ។ សមាមាត្រមានន័យថាសម្រាប់សមីការ (1) នោះ។ តម្លៃ x 1 = 2 និង x 2 = 0.6 បំពេញទំនាក់ទំនងដែលបានចង្អុលបង្ហាញហើយដូច្នេះបម្រើជាឫសគល់នៃសមីការ (1) ហើយនៅពេលជាមួយគ្នាឫសនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
1) ចូរយើងបំប្លែងសមីការទៅជាទម្រង់
2) ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះ៖
(ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុងភាគយកនិង
ប្រភាគ) ។
ដូច្នេះ សមីការដែលបានផ្តល់ឲ្យយកទម្រង់
3) ស្រាយសមីការ x 2 − 6x + 8 = 0. រក
4) សម្រាប់តម្លៃដែលបានរកឃើញ សូមពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌ 
. លេខ 4 បំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ ប៉ុន្តែលេខ 2 មិនពេញចិត្ត។ ដូច្នេះ 4 គឺជាឫសគល់នៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយ 2 គឺជាឫសខាងក្រៅ។
ចម្លើយ៖ ៤.
2. ដំណោះស្រាយនៃសមីការសនិទានភាពដោយការណែនាំអថេរថ្មីមួយ
វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីគឺស៊ាំនឹងអ្នក យើងបានប្រើវាច្រើនជាងម្តង។ ចូរយើងបង្ហាញដោយឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដែលវាត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការសនិទាន។
ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយសមីការ x 4 + x 2 − 20 = 0 ។
ដំណោះស្រាយ។ យើងណែនាំអថេរថ្មី y \u003d x 2 ។ ចាប់តាំងពី x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2 បន្ទាប់មកសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់
y 2 + y − 20 = 0 ។
នេះគឺជាសមីការ quadratic, ឫសគល់នៃការដែលយើងនឹងរកឃើញដោយប្រើស្គាល់ រូបមន្ត; យើងទទួលបាន y 1 = 4, y 2 = − 5 ។
ប៉ុន្តែ y \u003d x 2 ដែលមានន័យថាបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីដោះស្រាយសមីការពីរ៖
x2=4; x 2 \u003d -5 ។
ពីសមីការទីមួយ យើងឃើញថាសមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ទេ។
ចម្លើយ៖ ។
សមីការនៃទម្រង់ ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ biquadratic ("bi" - two, i.e. ដូចដែលវាគឺ សមីការ "ពីរដងការ៉េ")។ សមីការដែលទើបតែបានដោះស្រាយគឺពិតជា biquadratic ។ សមីការ biquadratic ណាមួយត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នានឹងសមីការពីឧទាហរណ៍ទី 3៖ អថេរថ្មី y \u003d x 2 ត្រូវបានណែនាំ សមីការការ៉េជាលទ្ធផលត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពទៅអថេរ y ហើយបន្ទាប់មកត្រឡប់ទៅអថេរ x ។
ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយសមីការ
ដំណោះស្រាយ។ ចំណាំថាកន្សោមដូចគ្នា x 2 + 3x កើតឡើងពីរដងនៅទីនេះ។ ដូច្នេះហើយ វាសមហេតុផលក្នុងការណែនាំអថេរថ្មី y = x 2 + Zx ។ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញ និងរីករាយជាងនេះ (ដែលតាមពិត គឺជាគោលបំណងនៃការណែនាំថ្មីមួយ។ អថេរ- ហើយការថតគឺងាយស្រួលជាង
ហើយរចនាសម្ព័ន្ធនៃសមីការកាន់តែច្បាស់)៖
ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងប្រើក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការសនិទាន។
1) ចូរផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការទៅជាផ្នែកមួយ៖
= 0
2) ចូរយើងបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ
ដូច្នេះ យើងបានបំប្លែងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់
3) ពីសមីការ - 7y 2 + 29y -4 = 0 យើងរកឃើញ (យើងបានដោះស្រាយសមីការការ៉េជាច្រើនរួចហើយ ដូច្នេះវាប្រហែលជាមិនមានតម្លៃដែលតែងតែផ្តល់ការគណនាលម្អិតនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា)។
4) ចូរយើងពិនិត្យមើលឫសដែលបានរកឃើញដោយប្រើលក្ខខណ្ឌ 5 (y - 3) (y + 1) ។ ឫសទាំងពីរបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ។
ដូច្នេះ សមីការការ៉េសម្រាប់អថេរ y ត្រូវបានដោះស្រាយ៖ 
ចាប់តាំងពី y \u003d x 2 + Zx និង y ដូចដែលយើងបានបង្កើត យកតម្លៃពីរ៖ 4 និង, - យើងនៅតែត្រូវដោះស្រាយសមីការពីរ៖ x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d ។ ឫសនៃសមីការទីមួយគឺលេខ 1 និង - 4 ឫសនៃសមីការទីពីរគឺជាលេខ
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីមួយ គឺដូចដែលគណិតវិទូចង់និយាយថា គ្រប់គ្រាន់ទៅនឹងស្ថានភាព ពោលគឺវាត្រូវគ្នាយ៉ាងល្អទៅនឹងវា។ ហេតុអ្វី? បាទ/ចាស ដោយសារកន្សោមដូចគ្នាត្រូវបានជួបប្រទះយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងកំណត់ត្រាសមីការជាច្រើនដង ហើយវាសមហេតុផលក្នុងការកំណត់កន្សោមនេះជាមួយនឹងអក្សរថ្មី។ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនតែងតែជាករណីនោះទេ ជួនកាលអថេរថ្មី "លេចឡើង" តែនៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរប៉ុណ្ណោះ។ នេះគឺជាអ្វីដែលនឹងកើតឡើងនៅក្នុងឧទាហរណ៍បន្ទាប់។
ឧទាហរណ៍ ៥ដោះស្រាយសមីការ
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24 ។
ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន
x (x − 3) \u003d x 2 - 3x;
(x − 1) (x − 2) \u003d x 2 -3x + 2 ។
ដូច្នេះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់
(x 2 − 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
ឥឡូវនេះអថេរថ្មីមួយបាន "លេចឡើង": y = x 2 - Zx ។
ដោយមានជំនួយរបស់វា សមីការអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ y (y + 2) \u003d 24 ហើយបន្ទាប់មក y 2 + 2y - 24 \u003d 0 ។ ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺលេខ 4 និង -6 ។
ត្រលប់ទៅអថេរ x ដើម យើងទទួលបានសមីការពីរ x 2 - Zx \u003d 4 និង x 2 - Zx \u003d - 6 ។ ពីសមីការដំបូងយើងរកឃើញ x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; សមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ទេ។
ចម្លើយ៖ ៤, – ១។
រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានដោះស្រាយសមីការចំនួនគត់ទាក់ទងនឹងការមិនស្គាល់ ពោលគឺសមីការដែលភាគបែង (ប្រសិនបើមាន) មិនមានមិនស្គាល់។
ជារឿយៗអ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការដែលមានភាពមិនស្គាល់នៅក្នុងភាគបែង៖ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រភាគ។
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ យើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃវាដោយនោះ គឺដោយពហុនាមដែលមានមិនស្គាល់។ តើសមីការថ្មីនឹងស្មើនឹងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនេះ។
គុណផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ យើងទទួលបាន៖
ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាប័ត្រទីមួយនេះ យើងរកឃើញ៖
ដូច្នេះ សមីការ (២) មានឫសតែមួយ
ជំនួសវាទៅជាសមីការ (១) យើងទទួលបាន៖
ដូច្នេះហើយ ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការ (១)។
សមីការ (១) មិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញឧទាហរណ៍ពីការពិតដែលថានៅក្នុងសមីការ (1)
របៀបបែងចែកដែលមិនស្គាល់ត្រូវតែស្មើនឹងភាគលាភ 1 ចែកដោយ quotient 2, i.e.
ដូច្នេះ សមីការ (1) និង (2) មានឫសតែមួយ ដូច្នេះហើយ ពួកវាគឺសមមូល។
2. ឥឡូវនេះ យើងដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម៖
ភាគបែងសាមញ្ញបំផុត៖ ; គុណពាក្យទាំងអស់នៃសមីការដោយវា៖
បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយយើងទទួលបាន៖
តោះពង្រីកតង្កៀប៖
ដោយនាំយកលក្ខខណ្ឌដូចជា យើងមាន៖
ការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងរកឃើញ៖
ជំនួសដោយសមីការ (១) យើងទទួលបាន៖
នៅផ្នែកខាងឆ្វេង យើងបានទទួលកន្សោមដែលមិនសមហេតុផល។
ដូច្នេះឫសនៃសមីការ (1) គឺមិនមែនទេ។ នេះបញ្ជាក់ថាសមីការ (១) និងមិនសមមូល។
ក្នុងករណីនេះ យើងនិយាយថា សមីការ (1) បានទទួលឫសបន្ថែម។
ចូរយើងប្រៀបធៀបដំណោះស្រាយនៃសមីការ (1) ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការដែលយើងបានពិចារណាមុននេះ (សូមមើល§ 51) ។ ក្នុងការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងត្រូវអនុវត្តប្រតិបត្តិការពីរដែលមិនធ្លាប់ឃើញពីមុនមក៖ ទីមួយ យើងបានគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយកន្សោមដែលមិនស្គាល់ (ភាគបែងទូទៅ) ហើយទីពីរ យើងកាត់បន្ថយប្រភាគពិជគណិតដោយកត្តាដែលមាន មិនស្គាល់។
ការប្រៀបធៀបសមីការ (1) ជាមួយសមីការ (2) យើងឃើញថាមិនមែនតម្លៃ x ទាំងអស់ដែលត្រឹមត្រូវសម្រាប់សមីការ (2) មានសុពលភាពសម្រាប់សមីការ (1) នោះទេ។
វាគឺជាលេខ 1 និង 3 ដែលមិនមែនជាតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃសមីការមិនស្គាល់ (1) ហើយជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងពួកគេបានក្លាយជាតម្លៃដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់សមីការ (2) ។ លេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះបានក្លាយទៅជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (2) ប៉ុន្តែជាការពិតណាស់ វាមិនអាចជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (1) បានទេ។ សមីការ (១) មិនមានដំណោះស្រាយទេ។
ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញថា នៅពេលគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយកត្តាដែលមិនស្គាល់ ហើយនៅពេលកាត់បន្ថយប្រភាគពិជគណិត សមីការអាចទទួលបានដែលមិនស្មើនឹងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ ពោលគឺ៖ ឫស extraneous អាចលេចឡើង។
ដូច្នេះយើងទាញការសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោម។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងភាគបែង ឫសលទ្ធផលត្រូវតែពិនិត្យដោយការជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម។ ឫសខាងក្រៅត្រូវតែបោះចោល។
យើងបានរៀនរួចហើយអំពីរបៀបដោះស្រាយសមីការការ៉េ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពង្រីកវិធីសាស្រ្តដែលបានសិក្សាទៅសមីការសនិទាន។
តើអ្វីជាការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល? យើងបានជួបប្រទះគំនិតនេះរួចហើយ។ កន្សោមសមហេតុផលហៅថាកន្សោមដែលបង្កើតឡើងដោយលេខ អថេរ ដឺក្រេ និងសញ្ញានៃប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យា។
ដូច្នោះហើយសមីការសមហេតុផលគឺជាសមីការនៃទម្រង់៖ , កន្លែងណា 
- ការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល។
ពីមុន យើងបានពិចារណាតែសមីការសនិទានទាំងនោះដែលកាត់បន្ថយទៅជាលីនេអ៊ែរ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាសមីការសមហេតុសមផលទាំងនោះ ដែលអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាចតុកោណ។
ឧទាហរណ៍ ១
ដោះស្រាយសមីការ៖ .
ដំណោះស្រាយ៖
ប្រភាគគឺ 0 ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើភាគបែងរបស់វាគឺ 0 ហើយភាគបែងរបស់វាមិនមែនជា 0 ។
យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមៈ
សមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការការ៉េ។ មុននឹងដោះស្រាយវា យើងបែងចែកមេគុណរបស់វាទាំងអស់ដោយ 3។ យើងទទួលបាន៖
យើងទទួលបានឫសពីរ៖ .
ដោយសារ 2 មិនស្មើនឹង 0 លក្ខខណ្ឌពីរត្រូវតែបំពេញ៖ 
. ដោយសារគ្មានឫសគល់នៃសមីការដែលទទួលបានខាងលើត្រូវគ្នានឹងតម្លៃមិនត្រឹមត្រូវនៃអថេរដែលទទួលបាននៅពេលដោះស្រាយវិសមភាពទីពីរ ពួកគេទាំងពីរគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។
ចម្លើយ៖.
ដូច្នេះ ចូរយើងបង្កើត algorithm សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការសនិទាន៖
1. ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង ដូច្នេះ 0 ទទួលបាននៅផ្នែកខាងស្តាំ។
2. បំប្លែង និងសម្រួលផ្នែកខាងឆ្វេង នាំប្រភាគទាំងអស់ទៅជាភាគបែងរួម។
3. ស្មើប្រភាគលទ្ធផលទៅ 0 យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោម៖ 
.
4. សរសេរឫសទាំងនោះដែលទទួលបានក្នុងសមីការទីមួយ ហើយបំពេញវិសមភាពទីពីរជាការឆ្លើយតប។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀត។
ឧទាហរណ៍ ២
ដោះស្រាយសមីការ៖ 
.
ដំណោះស្រាយ
នៅដើមដំបូង យើងផ្ទេរលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ទៅខាងឆ្វេង ដូច្នេះ 0 នៅខាងស្តាំ។ យើងទទួលបាន៖
ឥឡូវនេះយើងនាំយកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទៅជាភាគបែងរួម៖
សមីការនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ៖
សមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការការ៉េ។
មេគុណនៃសមីការនេះ៖ . យើងគណនាការរើសអើង៖
យើងទទួលបានឫសពីរ៖ .
ឥឡូវនេះយើងដោះស្រាយវិសមភាពទីពីរ៖ ផលិតផលនៃកត្តាមិនស្មើនឹង 0 ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែគ្មានកត្តាណាមួយស្មើនឹង 0 ។
លក្ខខណ្ឌពីរត្រូវតែបំពេញ៖ 
. យើងទទួលបានឫសពីរនៃសមីការទីមួយ មានតែមួយគត់គឺសមរម្យ - 3 ។
ចម្លើយ៖.
នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានចងចាំពីអ្វីដែលជាការបញ្ចេញមតិសនិទាន ហើយក៏បានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការសនិទានដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការបួនជ្រុង។
នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងពិចារណាសមីការសនិទានភាពជាគំរូនៃស្ថានភាពជាក់ស្តែង ហើយក៏ពិចារណាអំពីបញ្ហាចលនាផងដែរ។
គន្ថនិទ្ទេស
- Bashmakov M.I. ពិជគណិតថ្នាក់ទី៨។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ២០០៤។
- Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al.ពិជគណិត, 8. 5th ed. - M. : ការអប់រំ, ឆ្នាំ 2010 ។
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. ពិជគណិតថ្នាក់ទី៨។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។ - M. : ការអប់រំ, 2006 ។
- ពិធីបុណ្យនៃគំនិតគរុកោសល្យ "បើកមេរៀន" () ។
- School.xvatit.com () ។
- Rudocs.exdat.com () ។
កិច្ចការផ្ទះ
T. Kosyakova,
សាលា N№ 80, Krasnodar
ដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic និង fractional-rational ដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
មេរៀនទី៤
ប្រធានបទមេរៀន៖
គោលបំណងនៃមេរៀន៖ដើម្បីបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការប្រភាគ-សមហេតុផលដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
ប្រភេទមេរៀន៖ការណែនាំអំពីសម្ភារៈថ្មី។
១.(ផ្ទាល់មាត់) ដោះស្រាយសមីការ៖
ឧទាហរណ៍ ១. ដោះស្រាយសមីការ 
ដំណោះស្រាយ។ 
ស្វែងរកតម្លៃមិនត្រឹមត្រូវ ក: 
ចម្លើយ។ ប្រសិនបើ ក 
ប្រសិនបើ ក = – 19
បន្ទាប់មកមិនមានឫសទេ។
ឧទាហរណ៍ ២. ដោះស្រាយសមីការ 
ដំណោះស្រាយ។
ស្វែងរកតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនត្រឹមត្រូវ ក :
10 – ក = 5, ក = 5;
10 – ក = ក, ក = 5.
ចម្លើយ។ ប្រសិនបើ ក ក = 5 ក № 5 បន្ទាប់មក x=10– ក .
ឧទាហរណ៍ ៣. នៅតម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ខ
សមីការ 
វាមាន:
ក) ឫសពីរ ខ) ឫសតែមួយគត់?
ដំណោះស្រាយ។
1) ស្វែងរកតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនត្រឹមត្រូវ ខ :
x= ខ, ខ 2 (ខ 2
– 1) – 2ខ 3 + ខ 2 = 0, ខ 4
– 2ខ 3 = 0,
ខ= 0 ឬ ខ = 2;
x = 2, 4( ខ 2 – 1) – 4ខ 2 + ខ 2
= 0, ខ 2 – 4 = 0, (ខ – 2)(ខ + 2) = 0,
ខ= 2 ឬ ខ = – 2.
2) ដោះស្រាយសមីការ x 2 ( ខ 2 – 1) – 2ខ 2x+ ខ 2 = 0:
ឃ=៤ ខ 4 – 4ខ 2 (ខ 2 − 1), D = 4 ខ 2 .
ក) 
មិនរាប់បញ្ចូលតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនត្រឹមត្រូវ ខ យើងទទួលបានថាសមីការមានឫសពីរ ប្រសិនបើ ខ № – 2, ខ № – 1, ខ № 0, ខ № 1, ខ № 2 .
ខ) 4ខ 2 = 0, ខ = 0, ប៉ុន្តែនេះគឺជាតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនត្រឹមត្រូវ ខ ; ប្រសិនបើ ខ 2 –1=0 , i.e. ខ=1 ឬ។
ចម្លើយ៖ ក) ប្រសិនបើ ខ № –2 , ខ № –1, ខ № 0, ខ № 1, ខ № 2 , បន្ទាប់មកឫសពីរ; ខ) ប្រសិនបើ ខ=1 ឬ b=-1 បន្ទាប់មកជា root តែមួយគត់។
ការងារឯករាជ្យ
ជម្រើសទី 1
ដោះស្រាយសមីការ៖
ជម្រើសទី 2
ដោះស្រាយសមីការ៖
ចម្លើយ
ក្នុង ១. ចុះបើ ក=3
បន្ទាប់មកមិនមានឫស; ប្រសិនបើ 
ខ) ប្រសិនបើ ក
№
2
បន្ទាប់មកមិនមានឫសទេ។
IN 2ប្រសិនបើ ក ក=2
បន្ទាប់មកមិនមានឫស; ប្រសិនបើ ក=0
បន្ទាប់មកមិនមានឫស; ប្រសិនបើ 
ខ) ប្រសិនបើ ក=– 1
បន្ទាប់មកសមីការបាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា។ ប្រសិនបើមិនមានឫស;
ប្រសិនបើ
កិច្ចការផ្ទះ។
ដោះស្រាយសមីការ៖
ចម្លើយ៖ ក) ប្រសិនបើ ក № –2 បន្ទាប់មក x= ក ; ប្រសិនបើ ក=–2 បន្ទាប់មកមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ខ) ប្រសិនបើ ក № –2 បន្ទាប់មក x=2; ប្រសិនបើ ក=–2 បន្ទាប់មកមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ គ) ប្រសិនបើ ក=–2 បន្ទាប់មក x- លេខណាមួយក្រៅពី 3 ; ប្រសិនបើ ក № –2 បន្ទាប់មក x=2; ឃ) ប្រសិនបើ ក=–8 បន្ទាប់មកមិនមានឫស; ប្រសិនបើ ក=2 បន្ទាប់មកមិនមានឫស; ប្រសិនបើ
មេរៀនទី៥
ប្រធានបទមេរៀន៖"ដំណោះស្រាយនៃសមីការប្រភាគ-សនិទានភាពដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ" ។
គោលបំណងនៃមេរៀន៖
រៀនដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌមិនស្តង់ដារ;
assimilation ដឹងដោយសិស្សនៃគំនិតពិជគណិត និងទំនាក់ទំនងរវាងពួកគេ។
ប្រភេទមេរៀន៖ការរៀបចំប្រព័ន្ធ និងទូទៅ។
ពិនិត្យកិច្ចការផ្ទះ។
ឧទាហរណ៍ ១. ដោះស្រាយសមីការ 
ក) ទាក់ទងទៅនឹង x; ខ) ទាក់ទងទៅនឹង y ។
ដំណោះស្រាយ។
ក) ស្វែងរកតម្លៃមិនត្រឹមត្រូវ y: y=0, x=y, y2=y2 −2y,
y=0- តម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនត្រឹមត្រូវ y.
ប្រសិនបើ ក y№ 0 បន្ទាប់មក x=y-2; ប្រសិនបើ y=0បន្ទាប់មកសមីការបាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា។
ខ) ស្វែងរកតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនត្រឹមត្រូវ x: y=x, 2x–x 2 +x 2 = 0, x=0- តម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនត្រឹមត្រូវ x; y(2+x-y)=0, y=0ឬ y=2+x;
y=0មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ y(y–x)№ 0 .
ចម្លើយ៖ ក) ប្រសិនបើ y=0បន្ទាប់មកសមីការបាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា។ ប្រសិនបើ y№ 0 បន្ទាប់មក x=y-2; ខ) ប្រសិនបើ x=0 x№ 0 បន្ទាប់មក y=2+x .
ឧទាហរណ៍ ២. ចំពោះតម្លៃចំនួនគត់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a គឺជាឫសគល់នៃសមីការ 
ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល 
ឃ = (៣ ក + 2) 2 – 4ក(ក+ 1) 2 = 9 ក 2 + 12ក + 4 – 8ក 2 – 8ក,
ឃ = ( ក + 2) 2 .
ប្រសិនបើ ក ក № 0 ឬ ក № – 1 បន្ទាប់មក
ចម្លើយ៖ 5 .
ឧទាហរណ៍ ៣. ស្វែងរកដោយទាក់ទង xដំណោះស្រាយទាំងមូលនៃសមីការ 
ចម្លើយ។ ប្រសិនបើ ក y=0បន្ទាប់មកសមីការមិនសមហេតុផលទេ។ ប្រសិនបើ y=–1បន្ទាប់មក x- ចំនួនគត់ក្រៅពីសូន្យ; ប្រសិនបើ y# 0, y# – 1បន្ទាប់មកមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយសមីការ 
ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ក
និង ខ
.
ប្រសិនបើ ក ក№
– ខ
បន្ទាប់មក 
ចម្លើយ។ ប្រសិនបើ ក a= 0 ឬ b= 0 បន្ទាប់មកសមីការបាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា។ ប្រសិនបើ ក№ 0, ខ№ 0, a=-b បន្ទាប់មក x- លេខណាមួយក្រៅពីសូន្យ; ប្រសិនបើ ក№ 0, ខ№ 0, ក№ - ខ បន្ទាប់មក x=-a, x=-b .
ឧទាហរណ៍ ៥. បង្ហាញថាសម្រាប់តម្លៃដែលមិនមែនជាសូន្យនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ n សមីការ 
មានឫសតែមួយស្មើនឹង – ន
.
ដំណោះស្រាយ។ 
i.e. x=-nដែលត្រូវបញ្ជាក់។
កិច្ចការផ្ទះ។
1. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងមូលនៃសមីការ 
2. នៅតម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ គសមីការ 
វាមាន:
ក) ឫសពីរ ខ) ឫសតែមួយគត់?
3. ស្វែងរកឫសចំនួនគត់នៃសមីការ 
ប្រសិនបើ កអូ ន
.
4. ដោះស្រាយសមីការ 3xy − 5x + 5y = 7៖ក) ទាក់ទង y; ខ) ទាក់ទង x .
1. សមីការត្រូវបានគេពេញចិត្តដោយចំនួនគត់ដែលមានតម្លៃស្មើគ្នានៃ x និង y ផ្សេងទៀតជាងសូន្យ។
2. ក) ពេលណា
ខ) នៅ ឬ 
3. – 12; – 9; 0
.
4. ក) ប្រសិនបើគ្មានឫស។ ប្រសិនបើ 
ខ) ប្រសិនបើគ្មានឫស; ប្រសិនបើ 
សាកល្បង
ជម្រើសទី 1
1. កំណត់ប្រភេទនៃសមីការ 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 នៅ: ក) c=-3; ខ) c=2 ;ក្នុង) c=4 .
2. ដោះស្រាយសមីការ៖ ក) x 2 –bx=0;ខ) cx 2 −6x+1=0; ក្នុង) 
3. ដោះស្រាយសមីការ 3x-xy-2y=1៖
ក) ទាក់ទង x ;
ខ) ទាក់ទង y .
nx 2 - 26x + n \u003d 0,ដោយដឹងថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ n យកតែតម្លៃចំនួនគត់។
5. សម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃ b ធ្វើសមីការ 
វាមាន:
ក) ឫសពីរ
ខ) ឫសតែមួយគត់?
ជម្រើសទី 2
1. កំណត់ប្រភេទនៃសមីការ 5c(c+4)x 2 +(c–7)x+7=0នៅ: ក) c=-4 ;ខ) c=7 ;ក្នុង) c=1 .
2. ដោះស្រាយសមីការ៖ ក) y 2 + cy=0 ;ខ) ny2 –8y+2=0;ក្នុង) 
3. ដោះស្រាយសមីការ 6x-xy+2y=5៖
ក) ទាក់ទង x ;
ខ) ទាក់ទង y .
4. រកឫសចំនួនគត់នៃសមីការ nx 2 -22x+2n=0 ,ដោយដឹងថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ n យកតែតម្លៃចំនួនគត់។
5. សម្រាប់តម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a សមីការ 
វាមាន:
ក) ឫសពីរ
ខ) ឫសតែមួយគត់?
ចម្លើយ
ក្នុង ១. 1. ក) សមីការលីនេអ៊ែរ;
ខ) សមីការការ៉េមិនពេញលេញ; គ) សមីការការ៉េ។
2. ក) ប្រសិនបើ b=0បន្ទាប់មក x=0; ប្រសិនបើ b#0បន្ទាប់មក x=0, x=b;
ខ) 
ប្រសិនបើ cO (9;+Ґ)បន្ទាប់មកមិនមានឫស;
គ) ប្រសិនបើ ក=–4
បន្ទាប់មកសមីការបាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា។ ប្រសិនបើ ក№
–4
បន្ទាប់មក x=- ក
.
3. ក) ប្រសិនបើ y=៣បន្ទាប់មកមិនមានឫស; ប្រសិនបើ);
ខ) ក=–3, ក=1.
កិច្ចការបន្ថែម
ដោះស្រាយសមីការ៖
អក្សរសិល្ប៍
1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. អំពីប៉ារ៉ាម៉ែត្រតាំងពីដំបូង។ - គ្រូ, លេខ 2/1991, ទំ។ ៣–១៣។
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. លក្ខខណ្ឌចាំបាច់នៅក្នុងភារកិច្ចដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ – Kvant, លេខ 11/1991, ទំ។ ៤៤–៤៩។
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ផ្នែកទី 2. - M. , ទស្សនៈ, 1990, ទំ។ ២–៣៨។
4. Tynyakin S.A. កិច្ចការប្រាំរយដប់បួនដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ - ទីក្រុង Volgograd ឆ្នាំ ១៩៩១។
5. Yastrebinetsky G.A. ភារកិច្ចជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ - M. , ការអប់រំ, 1986 ។
