សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ គឺជាសមីការនៃទម្រង់
ដែល f ជាមុខងារ។

របៀបកំណត់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។

ដើម្បីកំណត់ថាតើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយមានភាពដូចគ្នាឬអត់ អ្នកត្រូវតែណែនាំ t ថេរ ហើយជំនួស y ជាមួយ ty និង x ដោយ tx : y → ty , x → tx ។ ប្រសិនបើ t ត្រូវបានកាត់បន្ថយបន្ទាប់មកនេះ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។. ដេរីវេទី y′ មិនផ្លាស់ប្តូរក្រោមការបំប្លែងបែបនេះទេ។
.

ឧទាហរណ៍

កំណត់ថាតើសមីការដែលបានផ្តល់គឺដូចគ្នាឬអត់

ការសម្រេចចិត្ត

យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ y → ty , x → tx ។


ចែកដោយ t 2 .

.
សមីការមិនមាន t ។ ដូច្នេះនេះគឺជាសមីការដូចគ្នា។

វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយដូចគ្នាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបានដោយប្រើការជំនួស y = ux ។ សូមបង្ហាញវា។ ពិចារណាសមីការ៖
(i)
យើងធ្វើការជំនួស៖
y=ux
កន្លែងដែលអ្នកជាមុខងារនៃ x ។ បែងចែកដោយ x:
y' =
យើងជំនួសសមីការដើម (i).
,
,
(ii) .
អថេរដាច់ដោយឡែក។ គុណនឹង dx ហើយចែកនឹង x (f(u) - u).

សម្រាប់ f (u) - u ≠ 0និង x ≠ 0 យើង​ទទួល​បាន:

យើងរួមបញ្ចូលៈ

ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ (i)ក្នុង​ការ៉េ​:

យើងជំនួសការរួមបញ្ចូលថេរ C ដោយ កំណត់ហេតុ គបន្ទាប់មក

យើងលុបចោលសញ្ញានៃម៉ូឌុល ចាប់តាំងពីសញ្ញាដែលចង់បានត្រូវបានកំណត់ដោយជម្រើសនៃសញ្ញា C ថេរ។ បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលទូទៅនឹងមានទម្រង់៖

បន្ទាប់មក សូមពិចារណាករណី f (u) - u = 0.
ប្រសិនបើសមីការនេះមានឫសគល់ នោះពួកវាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (ii). ចាប់តាំងពីសមីការ (ii)មិនស្របគ្នានឹងសមីការដើមទេ ដូច្នេះអ្នកគួរតែប្រាកដថាដំណោះស្រាយបន្ថែមបំពេញសមីការដើម (i).

នៅពេលណាក៏ដោយ នៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរ យើងបែងចែកសមីការណាមួយដោយមុខងារមួយចំនួន ដែលយើងកំណត់ថា g (x, y)បន្ទាប់មកការបំប្លែងបន្ថែមមានសុពលភាពសម្រាប់ g (x, y) ≠ 0. ដូច្នេះករណី g (x, y) = 0.

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលំដាប់ទីមួយ

ដោះស្រាយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត

សូមពិនិត្យមើលថាតើសមីការនេះគឺដូចគ្នាឬអត់។ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ y → ty , x → tx ។ ក្នុងករណីនេះ y′ → y′ ។
,
,
.
យើងកាត់បន្ថយដោយ t ។

ថេរ t ត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ ដូច្នេះសមីការគឺដូចគ្នា។

យើងធ្វើការជំនួស y = ux ដែល u ជាអនុគមន៍ x ។
y' = (ux)′ = u′ x + u (x)′ = u′ x + u
ជំនួសនៅក្នុងសមីការដើម។
,
,
,
.
សម្រាប់ x ≥ 0 , |x| =x។ សម្រាប់ x ≤ 0 , |x| = - x ។ យើងសរសេរ |x| = x មានន័យថាសញ្ញាខាងលើសំដៅលើតម្លៃ x ≥ 0 , និងទាបជាងមួយ - ទៅតម្លៃ x ≤ 0 .
,
គុណនឹង dx និងចែកដោយ .

សម្រាប់​អ្នក 2 - 1 ≠ 0 យើង​មាន:

យើងរួមបញ្ចូលៈ

អាំងតេក្រាលតារាង,
.

តោះអនុវត្តរូបមន្ត៖
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2.
អនុញ្ញាតឱ្យ a = u , ។
.
យកផ្នែកទាំងពីរម៉ូឌុល និងលោការីត
.
ពី​ទីនេះ
.

ដូច្នេះយើងមាន៖
,
.
យើងលុបចោលសញ្ញានៃម៉ូឌុល ចាប់តាំងពីសញ្ញាដែលត្រូវការត្រូវបានផ្តល់ដោយជ្រើសរើសសញ្ញានៃ C ថេរ។

គុណនឹង x និងជំនួស ux = y ។
,
.
ចូរ​ធ្វើ​ការ៉េ​។
,
,
.

ឥឡូវពិចារណាករណី, យូ 2 - 1 = 0 .
ឫសគល់នៃសមីការនេះ។
.
វាងាយមើលឃើញថាអនុគមន៍ y = x បំពេញសមីការដើម។

ចម្លើយ

,
,
.

ឯកសារយោង៖
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, បណ្តុំនៃបញ្ហាក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់, Lan, 2003 ។

ឈប់! តោះព្យាយាមស្វែងយល់ពីរូបមន្តដ៏លំបាកនេះទាំងអស់គ្នា។

នៅក្នុងកន្លែងដំបូងគួរតែជាអថេរទីមួយនៅក្នុងដឺក្រេជាមួយនឹងមេគុណមួយចំនួន។ ក្នុងករណីរបស់យើងនេះ។

ក្នុងករណីរបស់យើងវាគឺ។ ដូចដែលយើងបានរកឃើញ វាមានន័យថានៅទីនេះ ដឺក្រេសម្រាប់អថេរទីមួយបានមកជាមួយគ្នា។ ហើយអថេរទីពីរនៅក្នុងសញ្ញាបត្រទីមួយគឺនៅនឹងកន្លែង។ មេគុណ។

យើងមានវា។

អថេរទីមួយគឺអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ហើយអថេរទីពីរគឺការ៉េដែលមានមេគុណ។ នេះគឺជាពាក្យចុងក្រោយនៅក្នុងសមីការ។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ សមីការរបស់យើងសមនឹងនិយមន័យក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្ត។

សូមក្រឡេកមើលផ្នែកទីពីរ (ពាក្យសំដី) នៃនិយមន័យ។

យើង​មាន​ពីរ​នាក់​ដែល​មិន​ស្គាល់​និង. វាបង្រួបបង្រួមនៅទីនេះ។

តោះពិចារណាលក្ខខណ្ឌទាំងអស់។ នៅក្នុងពួកគេផលបូកនៃដឺក្រេនៃមិនស្គាល់ត្រូវតែដូចគ្នា។

ផលបូកនៃអំណាចគឺស្មើគ្នា។

ផលបូកនៃអំណាចគឺស្មើនឹង (នៅ និងនៅ)។

ផលបូកនៃអំណាចគឺស្មើគ្នា។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងសម!

ឥឡូវនេះ ចូរយើងអនុវត្តការកំណត់សមីការដូចគ្នា។

កំណត់សមីការណាមួយដែលដូចគ្នា៖

សមីការដូចគ្នា - សមីការដែលមានលេខ៖

ចូរយើងពិចារណាសមីការដោយឡែកពីគ្នា។

ប្រសិនបើយើងបែងចែកពាក្យនីមួយៗដោយពង្រីកពាក្យនីមួយៗ យើងទទួលបាន

ហើយសមីការនេះស្ថិតនៅក្រោមនិយមន័យនៃសមីការដូចគ្នាទាំងស្រុង។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា?

ឧទាហរណ៍ ២

ចូរបែងចែកសមីការដោយ។

យោងតាមលក្ខខណ្ឌរបស់យើង y មិនអាចស្មើគ្នាបានទេ។ ដូច្នេះយើងអាចបែងចែកដោយសុវត្ថិភាព

ដោយការជំនួស យើងទទួលបានសមីការការ៉េសាមញ្ញមួយ៖

ដោយសារនេះជាសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta៖

ធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស យើងទទួលបានចម្លើយ

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ចែកសមីការដោយ (តាមលក្ខខណ្ឌ) ។

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកប្រសិនបើ។

នៅទីនេះអ្នកមិនចាំបាច់បែងចែកទេ ប៉ុន្តែត្រូវគុណ។ គុណសមីការទាំងមូលដោយ៖

ចូរធ្វើការជំនួស និងដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖

ធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស យើងទទួលបានចម្លើយ៖

ចម្លើយ៖

ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នា។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នាគឺមិនខុសពីវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយដែលបានពិពណ៌នាខាងលើនោះទេ។ មានតែនៅទីនេះប៉ុណ្ណោះ ក្នុងចំណោមរបស់ផ្សេងទៀត អ្នកត្រូវដឹងពីត្រីកោណមាត្របន្តិច។ និងអាចដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ (សម្រាប់នេះអ្នកអាចអានផ្នែក) ។

ចូរយើងពិចារណាសមីការបែបនេះនៅលើឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ៥

ដោះស្រាយសមីការ។

យើងឃើញសមីការដូចគ្នាធម្មតា៖ ហើយមិនស្គាល់ ហើយផលបូកនៃអំណាចរបស់ពួកគេនៅក្នុងពាក្យនីមួយៗគឺស្មើគ្នា។

សមីការ​ដូចគ្នា​នេះ​មិន​ពិបាក​ដោះស្រាយ​ទេ ប៉ុន្តែ​មុន​នឹង​បែងចែក​សមីការ​ទៅ​ក្នុង​នោះ សូម​ពិចារណា​ករណី​ដែល

ក្នុងករណីនេះ សមីការនឹងមានទម្រង់៖ ប៉ុន្តែស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស មិនអាចស្មើគ្នាក្នុងពេលតែមួយបានទេ ពីព្រោះយោងទៅតាមអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។ ដូច្នេះយើងអាចបែងចែកវាដោយសុវត្ថិភាពជា៖

ចាប់តាំងពីសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដូច្នេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta៖

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ៦

ដោះស្រាយសមីការ។

ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវចែកសមីការដោយ។ ពិចារណាករណីនៅពេល៖

ប៉ុន្តែស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស មិនអាចស្មើគ្នាក្នុងពេលតែមួយបានទេ ពីព្រោះយោងទៅតាមអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។ ដូច្នេះ។

ចូរធ្វើការជំនួស និងដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖

ចូរយើងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស ហើយស្វែងរក និង៖

ចម្លើយ៖

ដំណោះស្រាយនៃសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដូចគ្នា។

សមីការដូចគ្នាត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នានឹងអ្វីដែលបានពិចារណាខាងលើ។ ប្រសិនបើអ្នកភ្លេចពីរបៀបដោះស្រាយសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល - មើលផ្នែកដែលត្រូវគ្នា ()!

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយសមីការ

ស្រមៃមើលពីរបៀប៖

យើងឃើញសមីការដូចគ្នាធម្មតា ដែលមានអថេរពីរ និងផលបូកនៃអំណាច។ ចូរបែងចែកសមីការជា៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបន្ទាប់ពីធ្វើការជំនួសយើងទទួលបានសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ (ក្នុងករណីនេះមិនចាំបាច់ខ្លាចការបែងចែកដោយសូន្យទេ - វាតែងតែតឹងរ៉ឹងជាងសូន្យ)៖

យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖

ចម្លើយ៖ .

ឧទាហរណ៍ ៨

ដោះស្រាយសមីការ

ស្រមៃមើលពីរបៀប៖

ចូរបែងចែកសមីការជា៖

ចូរធ្វើការជំនួស និងដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖

ឫសមិនពេញចិត្តនឹងលក្ខខណ្ឌ។ យើងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស ហើយរកឃើញ៖

ចម្លើយ៖

សមីការដូចគ្នា។ កម្រិតមធ្យម

ជាដំបូង ដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាមួយ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក។ តើអ្វីជាសមីការដូចគ្នា និងអ្វីជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ homogeneous ។

ដោះស្រាយបញ្ហា:

ស្វែងរកប្រសិនបើ។

នៅទីនេះអ្នកអាចកត់សម្គាល់រឿងដែលចង់ដឹងចង់ឃើញ: ប្រសិនបើយើងបែងចែកពាក្យនីមួយៗដោយយើងទទួលបាន:

នោះគឺឥឡូវនេះមិនមានដាច់ដោយឡែកទេហើយ - ឥឡូវនេះតម្លៃដែលចង់បានគឺជាអថេរនៅក្នុងសមីការ។ ហើយនេះគឺជាសមីការការ៉េធម្មតា ដែលងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖ ផលិតផលនៃឫសគឺស្មើគ្នា ហើយផលបូកគឺជាលេខ និង។

ចម្លើយ៖

សមីការនៃទម្រង់

ហៅថាដូចគ្នា នោះគឺជាសមីការមួយដែលមានចំនួនមិនស្គាល់ពីរ ដែលនៅក្នុងពាក្យនីមួយៗមានផលបូកដូចគ្នានៃអំណាចនៃមិនស្គាល់ទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើចំនួននេះគឺស្មើនឹង។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាត្រូវបានអនុវត្តដោយការបែងចែកដោយមិនស្គាល់មួយក្នុងកម្រិតនេះ៖

និងការផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់នៃអថេរ: . ដូច្នេះ យើងទទួលបានសមីការដឺក្រេជាមួយមិនស្គាល់មួយ៖

ភាគច្រើន យើងនឹងជួបប្រទះសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ (នោះគឺ quadratic) ហើយយើងអាចដោះស្រាយវាបាន៖

ចំណាំថាការបែងចែក (និងគុណ) សមីការទាំងមូលដោយអថេរគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែយើងជឿជាក់ថាអថេរនេះមិនអាចស្មើនឹងសូន្យ! ឧទាហរណ៍ បើ​យើង​ត្រូវ​គេ​សួរ​រក យើង​យល់​ភ្លាម ព្រោះ​មិន​អាច​ចែក​បាន។ ក្នុង​ករណី​ដែល​វា​មិន​ច្បាស់​លាស់​នោះ វា​ជា​ការ​ចាំបាច់​ក្នុង​ការ​ពិនិត្យ​ករណី​ដោយ​ឡែក​ពី​គ្នា​ពេល​អថេរ​នេះ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ។ ឧទាហរណ៍:

ដោះស្រាយសមីការ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

យើងឃើញនៅទីនេះសមីការដូចគ្នាធម្មតា៖ ហើយមិនស្គាល់ ហើយផលបូកនៃអំណាចរបស់ពួកគេនៅក្នុងពាក្យនីមួយៗគឺស្មើគ្នា។

ប៉ុន្តែមុននឹងបែងចែកដោយ និងទទួលបានសមីការការ៉េដោយគោរព យើងត្រូវពិចារណាករណីនេះថានៅពេលណា។ ក្នុង​ករណី​នេះ សមីការ​នឹង​មាន​ទម្រង់៖ ដូចនេះ . ប៉ុន្តែស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសមិនអាចស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយបានទេ ព្រោះយោងទៅតាមអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន៖ ។ ដូច្នេះយើងអាចបែងចែកវាដោយសុវត្ថិភាពជា៖

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាដំណោះស្រាយនេះគឺច្បាស់លាស់ទាំងស្រុង? បើមិនដូច្នោះទេសូមអានផ្នែក។ ប្រសិនបើវាមិនច្បាស់ថាវាមកពីណាទេអ្នកត្រូវត្រលប់មកវិញមុននេះ - ទៅផ្នែក។

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

1. ស្វែងរកប្រសិនបើ។
2. ស្វែងរកប្រសិនបើ។
3. ដោះស្រាយសមីការ។

ខាងក្រោមនេះខ្ញុំនឹងសរសេរដោយសង្ខេបអំពីដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នា៖

ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖ ។

ហើយនៅទីនេះ មិនចាំបាច់បែងចែកទេ ប៉ុន្តែត្រូវគុណ៖

ចម្លើយ៖

ប្រសិនបើអ្នកមិនទាន់បានឆ្លងកាត់សមីការត្រីកោណមាត្រទេ អ្នកអាចរំលងឧទាហរណ៍នេះ។

ដោយសារនៅទីនេះយើងត្រូវបែងចែកជាដំបូង យើងត្រូវប្រាកដថាមួយរយមិនស្មើនឹងសូន្យ៖

ហើយនេះមិនអាចទៅរួចទេ។

ចម្លើយ៖ ។

សមីការដូចគ្នា។ សង្ខេបអំពីមេ

ដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាទាំងអស់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការបែងចែកដោយភាពមិនស្គាល់មួយក្នុងកម្រិត និងការផ្លាស់ប្តូរអថេរបន្ថែមទៀត។

ក្បួនដោះស្រាយ៖

ចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេចចំពោះឧទាហរណ៍សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។សិស្សជាច្រើនកំពុងស្វែងរកលំដាប់ទីមួយ (DEs នៃលំដាប់ទី 1 គឺជារឿងធម្មតាបំផុតក្នុងការបណ្តុះបណ្តាល) បន្ទាប់មកអ្នកអាចវិភាគវាយ៉ាងលម្អិត។ ប៉ុន្តែមុននឹងបន្តការពិចារណាលើឧទាហរណ៍ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវសម្ភារៈទ្រឹស្តីខ្លីៗ។
សមីការនៃទម្រង់ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 ដែលមុខងារ P(x,y) និង Q(x,y) គឺជាមុខងារដូចគ្នានៃលំដាប់ដូចគ្នា ត្រូវបានគេហៅថា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។(ODR) ។

គ្រោងការណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។

1. ដំបូងអ្នកត្រូវអនុវត្តការជំនួស y=z*x ដែល z=z(x) គឺជាមុខងារមិនស្គាល់ថ្មី (ដូច្នេះសមីការដើមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងអថេរដែលអាចបំបែកបាន។
2. ដេរីវេនៃផលិតផលគឺ y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z ឬក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែល dy=d(zx)=z*dx+x* dz
3. បន្ទាប់មក យើងជំនួសមុខងារថ្មី y និងដេរីវេរបស់វា y "(ឬ dy) ទៅជា DE ជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ទាក់ទងនឹង x និង z ។
4. ដោយបានដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងអថេរដែលអាចបំបែកបាន យើងនឹងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស y=z*x ដូច្នេះ z= y/x ហើយយើងទទួលបាន ដំណោះស្រាយទូទៅ (អាំងតេក្រាលទូទៅ) នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល.
5. ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌដំបូង y(x 0) = y 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះបញ្ហា Cauchy ។ តាមទ្រឹស្ដី អ្វីគ្រប់យ៉ាងស្តាប់ទៅងាយស្រួល ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត មិនមែនគ្រប់គ្នាសុទ្ធតែរីករាយក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនោះទេ។ ដូច្នេះ ដើម្បីបង្កើនចំណេះដឹង ពិចារណាឧទាហរណ៍ទូទៅ។ ចំពោះកិច្ចការងាយស្រួល មិនមានអ្វីច្រើនដើម្បីបង្រៀនអ្នកទេ ដូច្នេះយើងនឹងបន្តទៅការងារដែលស្មុគស្មាញជាងនេះភ្លាមៗ។

ការគណនានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ

ឧទាហរណ៍ ១

ដំណោះស្រាយ៖ ចែកផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដោយអថេរដែលជាកត្តានៅជិតដេរីវេ។ ជាលទ្ធផលយើងមកដល់ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ 0

ហើយនៅទីនេះវាបានក្លាយជាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់មនុស្សជាច្រើន, តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់លំដាប់នៃមុខងារនៃសមីការដូចគ្នា?
សំណួរគឺពាក់ព័ន្ធគ្រប់គ្រាន់ ហើយចម្លើយចំពោះវាមានដូចខាងក្រោម៖
នៅផ្នែកខាងស្តាំ យើងជំនួសតម្លៃ t*x, t*y ជំនួសឲ្យមុខងារ និងអាគុយម៉ង់។ នៅពេលធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ "t" ត្រូវបានទទួលដល់កម្រិតជាក់លាក់មួយ k ហើយវាត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់នៃសមីការ។ ក្នុងករណីរបស់យើង "t" នឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយដែលស្មើនឹងសញ្ញាប័ត្រទី 0 ឬ លំដាប់សូន្យនៃសមីការដូចគ្នា។
បន្ថែមទៀតនៅជ្រុងខាងស្តាំ យើងអាចបន្តទៅអថេរថ្មី y=zx; z=y/x ។
ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ កុំភ្លេចបង្ហាញពីដេរីវេនៃ "y" តាមរយៈដេរីវេនៃអថេរថ្មី។ តាមក្បួនផ្នែកយើងរកឃើញ

សមីការក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងយកទម្រង់

យើងកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌរួមនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង ហើយឆ្លងទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដាច់ដោយឡែក។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃ DE

ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការបំប្លែងបន្ថែម យើងណែនាំភ្លាមៗនូវថេរនៅក្រោមលោការីត

ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត សមីការលោការីតលទ្ធផលគឺស្មើនឹងដូចខាងក្រោម

ធាតុនេះមិនទាន់ជាដំណោះស្រាយទេ (ចម្លើយ) អ្នកត្រូវត្រលប់ទៅការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរដែលបានអនុវត្ត

ដូច្នេះពួកគេរកឃើញ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល. ប្រសិនបើអ្នកអានមេរៀនមុនដោយយកចិត្តទុកដាក់ នោះយើងបាននិយាយថា អ្នកគួរតែអាចអនុវត្តគ្រោងការណ៍សម្រាប់ការគណនាសមីការជាមួយនឹងអថេរដាច់ដោយឡែកពីគ្នាដោយសេរី ហើយសមីការបែបនេះនឹងត្រូវគណនាសម្រាប់ប្រភេទស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតនៃការបញ្ជាពីចម្ងាយ។

ឧទាហរណ៍ ២ ស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដំណោះស្រាយ៖ គ្រោងការណ៍សម្រាប់គណនា DEs ដូចគ្នា និងសង្ខេប ពេលនេះស្គាល់អ្នកហើយ។ យើងផ្ទេរអថេរទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ ហើយនៅក្នុងភាគបែង និងភាគបែង យើងយក x 2 ជាកត្តាទូទៅ

ដូច្នេះ យើងទទួលបានលំដាប់សូន្យដូចគ្នា DE ។
ជំហានបន្ទាប់គឺត្រូវណែនាំការផ្លាស់ប្តូរអថេរ z=y/x, y=z*x ដែលយើងនឹងរំលឹកអ្នកឱ្យទន្ទេញចាំជានិច្ច។

បន្ទាប់ពីនោះយើងសរសេរ DE នៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែល

បន្ទាប់​មក យើង​បំប្លែង​ភាព​អាស្រ័យ​ទៅ​ជា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដាច់ដោយឡែក

និងដោះស្រាយវាដោយការរួមបញ្ចូល។

អាំងតេក្រាលគឺសាមញ្ញ ការបំប្លែងដែលនៅសល់គឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត។ សកម្មភាពចុងក្រោយពាក់ព័ន្ធនឹងការលាតត្រដាងលោការីត។ ជាចុងក្រោយ យើងត្រលប់ទៅការជំនួសដើមវិញ ហើយសរសេរក្នុងទម្រង់

ថេរ "C" យកតម្លៃណាមួយ។ សិស្សទាំងអស់ដែលសិក្សាដោយកំបាំងមុខមានបញ្ហាក្នុងការប្រឡងជាមួយនឹងសមីការប្រភេទនេះ ដូច្នេះសូមពិនិត្យមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន និងចងចាំគ្រោងការណ៍គណនា។

ឧទាហរណ៍ ៣ ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដំណោះស្រាយ៖ តាមបច្ចេកទេសខាងលើ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប្រភេទនេះដោះស្រាយ ដោយណែនាំអថេរថ្មី។ចូរសរសេរការពឹងផ្អែកឡើងវិញ ដើម្បីឱ្យដេរីវេគឺគ្មានអថេរ

លើសពីនេះទៀតដោយការវិភាគផ្នែកខាងស្តាំយើងឃើញថាផ្នែក -ee មានវត្តមាននៅគ្រប់ទីកន្លែងហើយត្រូវបានតំណាងដោយមិនស្គាល់ថ្មី
z=y/x, y=z*x ។
ការស្វែងរកដេរីវេនៃ y

ដោយគិតពីការជំនួស យើងសរសេរ DE ដើមឡើងវិញក្នុងទម្រង់

សម្រួលលក្ខខណ្ឌដូចគ្នា ហើយកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌដែលទទួលបានទាំងអស់ទៅ DE ជាមួយអថេរដាច់ដោយឡែក

ដោយការរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមភាព

យើងមករកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់លោការីត

ដោយបង្ហាញភាពអាស្រ័យដែលយើងរកឃើញ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដែលបន្ទាប់ពីជំនួសការផ្លាស់ប្តូរដំបូងនៃអថេរទៅក្នុងវា យកទម្រង់

នៅទីនេះ C គឺជាថេរដែលអាចត្រូវបានពង្រីកពីលក្ខខណ្ឌ Cauchy ។ ប្រសិនបើបញ្ហា Cauchy មិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះវាក្លាយជាតម្លៃពិតដែលបំពាន។
នោះហើយជាប្រាជ្ញាទាំងអស់នៅក្នុងការគណនានៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។

មុខងារ f(x,y) ត្រូវបានគេហៅថា មុខងារដូចគ្នា។នៃអាគុយម៉ង់វិមាត្ររបស់ពួកគេ n ប្រសិនបើអត្តសញ្ញាណ f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ f(x,y)=x^2+y^2-xy គឺជាមុខងារដូចគ្នានៃវិមាត្រទីពីរ ចាប់តាំងពី

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y)។

សម្រាប់ n=0 យើងមានអនុគមន៍សូន្យ។ ឧទាហរណ៍, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)គឺជាមុខងារសូន្យដូចគ្នា ចាប់តាំងពី

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y))

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃទម្រង់ \frac(dy)(dx)=f(x,y)ត្រូវបានគេនិយាយថាមានភាពដូចគ្នាដោយគោរពទៅនឹង x និង y ប្រសិនបើ f (x, y) គឺជាមុខងារដូចគ្នានៃអាគុយម៉ង់ទំហំ null របស់វា។ សមីការដូចគ្នាអាចត្រូវបានតំណាងថាជា

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right)។

ដោយការណែនាំមុខងារដែលចង់បានថ្មី u=\frac(y)(x) សមីការ (1) អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលមានអថេរបំបែក៖

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

ប្រសិនបើ u=u_0 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ \varphi(u)-u=0 នោះដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដូចគ្នានឹងមាន u=u_0 ឬ y=u_0x (បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម)។

មតិយោបល់។នៅពេលដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា វាមិនចាំបាច់ក្នុងការកាត់បន្ថយពួកវាទៅជាទម្រង់ (1) នោះទេ។ អ្នកអាចធ្វើការជំនួសបានភ្លាមៗ y=ux ។

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា។ xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

ការសម្រេចចិត្ត។យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !}ដូច្នេះសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យប្រែទៅជាដូចគ្នាដោយគោរពទៅនឹង x និង y ។ ចូរយើងដាក់ u=\frac(y)(x) ឬ y=ux ។ បន្ទាប់មក y"=xu"+u ។ ការជំនួសកន្សោមសម្រាប់ y ​​និង y" ទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបាន x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). បែងចែកអថេរ៖ \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). ពីទីនេះដោយការរួមបញ្ចូលយើងរកឃើញ

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), ឬ \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

ចាប់តាំងពី C_1|x|=\pm(C_1x) តំណាង \pm(C_1)=C យើងទទួលបាន \arcsin(u)=\ln(Cx)កន្លែងណា |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)ឬ e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). ការជំនួសអ្នកដោយ \frac(y)(x) យើងនឹងមានអាំងតេក្រាលទូទៅ \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅ៖ y=x\sin\ln(Cx) ។

នៅពេលបំបែកអថេរ យើងបានបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយផលិតផល x\sqrt(1-u^2) ដូច្នេះយើងអាចបាត់បង់ដំណោះស្រាយដែលប្រែផលិតផលនេះទៅជាសូន្យ។

ឥឡូវ​យើង​ដាក់ x=0 និង \sqrt(1-u^2)=0 ។ ប៉ុន្តែ x\ne0 ដោយសារតែការជំនួស u=\frac(y)(x) និងពីទំនាក់ទំនង \sqrt(1-u^2)=0 យើងទទួលបានវា 1-\frac(y^2)(x^2)=0ពេលណា y=\pm(x) ។ តាមរយៈការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ យើងធ្វើឱ្យប្រាកដថាមុខងារ y=-x និង y=x ក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ ២ពិចារណាគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាល C_\alpha នៃសមីការដូចគ្នា។ y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). បង្ហាញថាតង់សង់នៅចំណុចដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងខ្សែកោងដែលកំណត់ដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានេះគឺស្របគ្នាទៅវិញទៅមក។

ចំណាំ៖យើងនឹងហៅ ពាក់ព័ន្ធចំនុចទាំងនោះនៅលើខ្សែកោង C_\alpha ដែលស្ថិតនៅលើកាំរស្មីដូចគ្នាដែលចាប់ផ្តើមពីប្រភពដើម។

ការសម្រេចចិត្ត។តាមនិយមន័យនៃចំណុចដែលត្រូវគ្នាយើងមាន \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1)ដូច្នេះ ដោយគុណធម៌នៃសមីការខ្លួនវា y"=y"_1 ដែល y" និង y"_1 គឺជាជម្រាលនៃតង់ហ្សង់ទៅខ្សែកោងអាំងតេក្រាល C_\alpha និង C_(\alpha_1) នៅចំណុច M និង M_1 រៀងគ្នា (រូបភាពទី 12) ។

សមីការកាត់បន្ថយទៅជាភាពដូចគ្នា។

ប៉ុន្តែពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃទម្រង់

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right)។

ដែល a,b,c,a_1,b_1,c_1 ជាថេរ ហើយ f(u) គឺជាមុខងារបន្តនៃអាគុយម៉ង់របស់វា u ។

ប្រសិនបើ c=c_1=0 នោះសមីការ (3) គឺដូចគ្នា ហើយវារួមបញ្ចូលដូចខាងលើ។

ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយ c,c_1 ខុសពីលេខសូន្យ នោះករណីពីរគួរតែត្រូវបានសម្គាល់។

1) កត្តាកំណត់ \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. ការណែនាំអថេរថ្មី \xi និង \eta យោងតាមរូបមន្ត x=\xi+h,~y=\eta+k ដែល h និង k នៅតែមិនទាន់កំណត់ យើងនាំយកសមីការ (3) ទៅជាទម្រង់

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 \\ ស្តាំ) ។

ការជ្រើសរើស h និង k ជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

យើងទទួលបានសមីការដូចគ្នា។ \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). ដោយបានរកឃើញអាំងតេក្រាលទូទៅរបស់វា ហើយជំនួស \xi ជាមួយ x-h នៅក្នុងវា ហើយ \eta ជាមួយ y-k យើងទទួលបានអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ (3)

2) កត្តាកំណត់ \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. ប្រព័ន្ធ (4) មិនមានដំណោះស្រាយនៅក្នុងករណីទូទៅទេ ហើយវិធីសាស្ត្រខាងលើមិនអាចអនុវត្តបានទេ។ ក្នុងករណី​នេះ \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambdaដូច្នេះហើយ សមីការ (៣) មានទម្រង់ \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). ការជំនួស z=ax+ដោយនាំវាទៅសមីការអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយសមីការ (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

ការសម្រេចចិត្ត។ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ \begin(cases)x+y-2=0,\\x-y+4=0។\end(cases)

កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះ។ \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ x_0=-1,~y_0=3 ។ យើងធ្វើការជំនួស x=\xi-1,~y=\eta+3 ។ បន្ទាប់មកសមីការ (5) យកទម្រង់

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0។

សមីការនេះគឺជាសមីការដូចគ្នា។ ការកំណត់ \eta=u\xi យើងទទួលបាន

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0កន្លែងណា (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

ការបំបែកអថេរ \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0។

ការរួមបញ្ចូលយើងរកឃើញ \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)ឬ \xi^2(1+2u-u^2)=C ។

ត្រលប់ទៅអថេរ x, ~ y៖

(x+1)^2\left=C_1ឬ x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14)។

ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយសមីការ (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

ការសម្រេចចិត្ត។ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ \begin(cases)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(cases)មិនឆបគ្នា។ ក្នុងករណីនេះវិធីសាស្ត្រដែលបានអនុវត្តក្នុងឧទាហរណ៍មុនគឺមិនសមរម្យទេ។ ដើម្បីរួមបញ្ចូលសមីការ យើងប្រើការជំនួស x+y=z, dy=dz-dx ។ សមីការនឹងយកទម្រង់

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0 ។

ការបំបែកអថេរយើងទទួលបាន

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0ដូច្នេះ x-2z-3\ln|z-2|=C ។

ត្រលប់ទៅអថេរ x, ~ y យើងទទួលបានអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការនេះ

X+2y+3\ln|x+y-2|=C ។

ខ.ពេលខ្លះសមីការអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដូចគ្នាដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ y = z^\alpha ។ នេះគឺជាករណីនៅពេលដែលពាក្យទាំងអស់នៅក្នុងសមីការមានវិមាត្រដូចគ្នា ប្រសិនបើអថេរ x ត្រូវបានផ្តល់វិមាត្រ 1 អថេរ y ត្រូវបានផ្តល់វិមាត្រ \ អាល់ហ្វា ហើយដេរីវេ \ frac (dy) (dx) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វិមាត្រ \alpha-1 ។

ឧទាហរណ៍ ៥ដោះស្រាយសមីការ (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

ការសម្រេចចិត្ត។ធ្វើការជំនួស y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dzដែលជាកន្លែងដែល \alpha គឺជាលេខបំពានសម្រាប់ពេលនេះ ដែលយើងនឹងជ្រើសរើសនៅពេលក្រោយ។ ការជំនួសកន្សោមសម្រាប់ y ​​និង dy ទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបាន

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0ឬ \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

ចំណាំថា x^2z^(3\alpha-1) មានវិមាត្រ 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) មានវិមាត្រ \alpha-1, xz^(3\alpha) មានវិមាត្រ 1+3\alpha ។ សមីការលទ្ធផលនឹងមានភាពដូចគ្នា ប្រសិនបើការវាស់វែងនៃពាក្យទាំងអស់ដូចគ្នា ពោលគឺឧ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ 3\alpha+1=\alpha-1ឬ \alpha-1 ។

តោះដាក់ y=\frac(1)(z); សមីការដើមមានទម្រង់

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0ឬ (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0 ។

តោះដាក់ឥឡូវនេះ z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. បន្ទាប់មកសមីការនេះនឹងយកទម្រង់ (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0កន្លែងណា u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

ការបំបែកអថេរនៅក្នុងសមីការនេះ។ \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. ការរួមបញ្ចូលយើងរកឃើញ

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C)ឬ \frac(x(u^2+1))(u)=C ។

ការជំនួសអ្នកដោយ \frac(1)(xy) យើងទទួលបានអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការនេះ 1+x^2y^2=Cy ។

សមីការក៏មានដំណោះស្រាយជាក់ស្តែង y=0 ដែលត្រូវបានទទួលពីអាំងតេក្រាលទូទៅនៅ C\to\infty ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលត្រូវបានសរសេរជា y=\frac(1+x^2y^2)(C)ហើយបន្ទាប់មកលោតទៅដែនកំណត់នៅ C\to\infty ។ ដូច្នេះ អនុគមន៍ y=0 គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការដើម។

Javascript ត្រូវបានបិទនៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
ការគ្រប់គ្រង ActiveX ត្រូវតែបើក ដើម្បីធ្វើការគណនា!