មេរៀន និងបទបង្ហាញលើប្រធានបទ៖ "ប្រព័ន្ធសមីការ។ វិធីសាស្ត្រជំនួស វិធីសាស្ត្របន្ថែម វិធីសាស្ត្រណែនាំអថេរថ្មី"
សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ មតិកែលម្អ ការផ្តល់យោបល់! សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីកំចាត់មេរោគ។
ជំនួយការបង្រៀន និងការក្លែងធ្វើនៅក្នុងហាងអនឡាញ "អាំងតេក្រាល" សម្រាប់ថ្នាក់ទី 9
ក្លែងធ្វើសម្រាប់សៀវភៅសិក្សា Atanasyan L.S. ក្លែងធ្វើសម្រាប់សៀវភៅសិក្សា Pogorelova A.V.
វិធីដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមភាព
បុរស យើងបានសិក្សាប្រព័ន្ធសមីការ ហើយបានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយពួកវាដោយប្រើក្រាហ្វ។ ឥឡូវយើងមើលថាតើមានវិធីអ្វីផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធ?វិធីដោះស្រាយស្ទើរតែទាំងអស់មិនខុសពីវិធីដែលយើងសិក្សានៅថ្នាក់ទី៧នោះទេ។ ឥឡូវនេះយើងត្រូវធ្វើការកែតម្រូវខ្លះទៅតាមសមីការដែលយើងបានរៀនដើម្បីដោះស្រាយ។
ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តទាំងអស់ដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងមេរៀននេះគឺការជំនួសប្រព័ន្ធជាមួយនឹងប្រព័ន្ធសមមូលជាមួយនឹងទម្រង់សាមញ្ញជាង និងវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយ។ បុរសទាំងឡាយ ចូរចាំថាប្រព័ន្ធសមមូលជាអ្វី។
វិធីសាស្រ្តជំនួស
វិធីដំបូងដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលមានអថេរពីរត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ចំពោះយើង - នេះគឺជាវិធីសាស្ត្រជំនួស។ យើងបានប្រើវិធីនេះដើម្បីដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។ ឥឡូវនេះសូមមើលពីរបៀបដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងករណីទូទៅ?តើគួរធ្វើបែបណាពេលធ្វើការសម្រេចចិត្ត?
1. បង្ហាញអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។ អថេរទូទៅបំផុតដែលប្រើក្នុងសមីការគឺ x និង y ។ នៅក្នុងសមីការមួយ យើងបង្ហាញអថេរមួយក្នុងន័យមួយទៀត។ គន្លឹះ៖ សូមក្រឡេកមើលសមីការទាំងពីរឱ្យបានល្អ មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមដោះស្រាយ ហើយជ្រើសរើសមួយ ដែលវានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញអថេរ។
2. ជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការទីពីរ ជំនួសឱ្យអថេរដែលបានសម្តែង។
3. ដោះស្រាយសមីការដែលយើងទទួលបាន។
4. ជំនួសដំណោះស្រាយលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការទីពីរ។ ប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយជាច្រើន នោះចាំបាច់ត្រូវជំនួសវាជាបន្តបន្ទាប់ ដើម្បីកុំឱ្យបាត់បង់ដំណោះស្រាយមួយចំនួន។
5. ជាលទ្ធផល អ្នកនឹងទទួលបានលេខគូ $(x;y)$ ដែលត្រូវតែសរសេរជាចម្លើយ។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលមានអថេរពីរដោយប្រើវិធីជំនួស៖ $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$ ។
ដំណោះស្រាយ។
សូមក្រឡេកមើលសមីការរបស់យើង។ ជាក់ស្តែង ការបង្ហាញ y ក្នុងន័យ x ក្នុងសមីការទីមួយគឺងាយស្រួលជាង។
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$។
ជំនួសកន្សោមទីមួយទៅក្នុងសមីការទីពីរ $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ ។
តោះដោះស្រាយសមីការទីពីរដោយឡែកពីគ្នា៖
$x(5-x)=6$។
$-x^2+5x-6=0$ ។
$x^2-5x+6=0$ ។
$(x-2)(x-3)=0$។
យើងទទួលបានដំណោះស្រាយពីរនៃសមីការទីពីរ $x_1=2$ និង $x_2=3$ ។
ជំនួសជាបន្តបន្ទាប់ទៅក្នុងសមីការទីពីរ។
បើ $x=2$ នោះ $y=3$។ បើ $x=3$ នោះ $y=2$។
ចម្លើយនឹងជាលេខពីរគូ។
ចម្លើយ៖ $(2;3)$ និង $(3;2)$។
វិធីសាស្ត្របន្ថែមពិជគណិត
យើងក៏បានសិក្សាវិធីសាស្ត្រនេះនៅថ្នាក់ទី ៧ ដែរ។វាត្រូវបានគេដឹងថាយើងអាចគុណសមីការសមហេតុផលក្នុងអថេរពីរដោយចំនួនណាមួយដោយចងចាំគុណទាំងពីរនៃសមីការ។ យើងគុណសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ ដូច្នេះនៅពេលដែលសមីការលទ្ធផលត្រូវបានបន្ថែមទៅសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ នោះអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរត្រូវបានបំផ្លាញ។ បន្ទាប់មកសមីការត្រូវបានដោះស្រាយសម្រាប់អថេរដែលនៅសល់។
វិធីសាស្រ្តនេះនៅតែដំណើរការទោះបីជាវាមិនតែងតែអាចបំផ្លាញអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរក៏ដោយ។ ប៉ុន្តែវាអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ធ្វើឱ្យទម្រង់នៃសមីការមួយមានភាពសាមញ្ញយ៉ាងសំខាន់។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖ $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$ ។
ដំណោះស្រាយ។
គុណសមីការទីមួយដោយ 2 ។
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$។
ដកទីពីរចេញពីសមីការទីមួយ។
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញទម្រង់នៃសមីការលទ្ធផលគឺសាមញ្ញជាងទម្រង់ដើម។ ឥឡូវនេះយើងអាចប្រើវិធីជំនួស។
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$។
ចូរបង្ហាញ x ដល់ y ក្នុងសមីការលទ្ធផល។
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$។
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$។
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$។
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$។
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$។
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$។
ទទួលបាន $y=-1$ និង $y=-3$ ។
ជំនួសតម្លៃទាំងនេះតាមលំដាប់លំដោយទៅក្នុងសមីការទីមួយ។ យើងទទួលបានលេខពីរ៖ $(1;-1)$ និង $(-1;-3)$ ។
ចម្លើយ៖ $(1;-1)$ និង $(-1;-3)$ ។
វិធីសាស្រ្តណែនាំអថេរថ្មី។
យើងក៏បានសិក្សាវិធីសាស្ត្រនេះដែរ ប៉ុន្តែសូមមើលវាម្ដងទៀត។ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖ $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$ ។
ដំណោះស្រាយ។
ចូរយើងណែនាំការជំនួស $t=\frac(x)(y)$ ។
ចូរសរសេរសមីការទីមួយឡើងវិញជាមួយនឹងអថេរថ្មី៖ $t+\frac(2)(t)=3$ ។
តោះដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល៖
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$ ។
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$ ។
ទទួលបាន $t=2$ ឬ $t=1$។ ចូរយើងណែនាំការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាស $t=\frac(x)(y)$ ។
ទទួលបាន៖ $x=2y$ និង $x=y$។
សម្រាប់កន្សោមនីមួយៗ ប្រព័ន្ធដើមត្រូវតែដោះស្រាយដោយឡែកពីគ្នា៖
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$។ $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$ ។
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$។ $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$ ។
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$។ $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$។
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$។ $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$។
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$។ $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$។
យើងបានទទួលដំណោះស្រាយចំនួនបួនគូ។
ចម្លើយ៖ $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$ ។
ឧទាហរណ៍។
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ៖ $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9)(2x+y)=1\end(cases)$។
ដំណោះស្រាយ។
យើងណែនាំការជំនួស៖ $z=\frac(2)(x-3y)$ និង $t=\frac(3)(2x+y)$ ។
ចូរយើងសរសេរសមីការដើមឡើងវិញជាមួយនឹងអថេរថ្មី៖
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$។
តោះប្រើវិធីបន្ថែមពិជគណិត៖
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$។
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$។
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$ ។
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$។
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$ ។
សូមណែនាំការជំនួសបញ្ច្រាស៖
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$។
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$។
តោះប្រើវិធីជំនួស៖
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$។
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$។
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$។
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$។
ចម្លើយ៖ $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$។
បញ្ហាប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ
ប្រព័ន្ធដោះស្រាយ៖1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$ ។
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$ ។
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$ ។
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ បញ្ចប់ (ករណី) $ ។
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$ ។
ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យនៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការក្នុងអថេរពីរ។
និយមន័យ ១
លេខគូត្រូវបានគេហៅថាជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការដែលមានអថេរពីរ ប្រសិនបើនៅពេលដែលពួកវាត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការ នោះសមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល។
នៅខាងក្រោម យើងនឹងពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរ។
មាន វិធីជាមូលដ្ឋានចំនួនបួនដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖ វិធីសាស្ត្រជំនួស វិធីសាស្ត្របន្ថែម វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក វិធីសាស្ត្រគ្រប់គ្រងអថេរថ្មី។ សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តទាំងនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។ ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីគោលការណ៍នៃការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្តបីដំបូង យើងនឹងពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរ៖
វិធីសាស្រ្តជំនួស
វិធីសាស្ត្រជំនួសមានដូចខាងក្រោម៖ សមីការណាមួយនៃសមីការទាំងនេះត្រូវបានយក ហើយ $y$ ត្រូវបានបង្ហាញជា $x$ បន្ទាប់មក $y$ ត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ ពីកន្លែងដែលអថេរ $x.$ ត្រូវបានរកឃើញ។ បន្ទាប់ពីនោះ យើងអាចគណនាអថេរ $y.$ យ៉ាងងាយស្រួល
ឧទាហរណ៍ ១
ចូរយើងបង្ហាញពីសមីការទីពីរ $y$ ក្នុងលក្ខខណ្ឌ $x$៖
ជំនួសក្នុងសមីការទីមួយ ស្វែងរក $x$៖
\ \ \
ស្វែងរក $y$៖
ចម្លើយ៖ $(-2,\ 3)$
វិធីសាស្រ្តបន្ថែម។
ពិចារណាវិធីសាស្ត្រនេះជាមួយឧទាហរណ៍៖
ឧទាហរណ៍ ២
\[\left\(\begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right។\]
គុណសមីការទីពីរដោយ 3 យើងទទួលបាន៖
\[\left\(\begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right។\]
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្ថែមសមីការទាំងពីរជាមួយគ្នា៖
\ \ \
ស្វែងរក $y$ ពីសមីការទីពីរ៖
\[-6-y=-9\] \\
ចម្លើយ៖ $(-2,\ 3)$
ចំណាំ ១
ចំណាំថានៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការគុណសមីការមួយ ឬទាំងពីរដោយលេខបែបនេះ ដែលនៅពេលបន្ថែមអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរ "បាត់" ។
វិធីក្រាហ្វិក
វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិចមានដូចខាងក្រោម៖ សមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបង្ហាញនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ ហើយចំណុចនៃចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេត្រូវបានរកឃើញ។
ឧទាហរណ៍ ៣
\[\left\(\begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right។\]
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញ $y$ ពីសមីការទាំងពីរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ $x$:
\[\left\(\begin(array)(c)(y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]
តោះគូរក្រាហ្វទាំងពីរនៅលើយន្តហោះតែមួយ៖
រូបភាពទី 1 ។
ចម្លើយ៖ $(-2,\ 3)$
របៀបណែនាំអថេរថ្មី។
យើងនឹងពិចារណាវិធីសាស្ត្រនេះក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖
ឧទាហរណ៍ 4
\[\left\(\begin(array)(c)(2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]
ដំណោះស្រាយ។
ប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ
\[\left\(\begin(array)(c)((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ ត្រូវហើយ។\]
អនុញ្ញាតឱ្យ $2^x=u\ (u>0)$ និង $3^y=v\(v>0)$ យើងទទួលបាន៖
\[\left\(\begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]
យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផលដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម។ ចូរយើងបន្ថែមសមីការ៖
\ \
បន្ទាប់មកពីសមីការទីពីរយើងទទួលបានវា។
ត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធថ្មីនៃសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖
\[\left\(\begin(array)(c)(2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]
យើងទទួលបាន:
\[\left\(\begin(array)(c)(x=0) \\(y=1)\end(array)\right.\]
ចូរយើងពិចារណាករណីដំបូងនៅពេលដែលចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនអថេរ i.e. m = ន. បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធគឺការ៉េ ហើយកត្តាកំណត់របស់វាត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ។
វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
ពិចារណាក្នុងន័យទូទៅប្រព័ន្ធនៃសមីការ AX = B ជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ A. ក្នុងករណីនេះមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ។ ចូរគុណភាគីទាំងពីរដោយ A -1 នៅខាងឆ្វេង។ យើងទទួលបាន A -1 AX \u003d A -1 B. ពីទីនេះ EX \u003d A -1 B និង
សមភាពចុងក្រោយគឺជារូបមន្តម៉ាទ្រីសសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះ។ ការប្រើប្រាស់រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រើវិធីនេះដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធខាងក្រោម៖
;
នៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ ការត្រួតពិនិត្យអាចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីនេះពួកគេត្រូវតែប្រែទៅជាសមភាពពិត។
សម្រាប់ឧទាហរណ៍នេះ សូមពិនិត្យមើល៖
វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយម៉ាទ្រីសការ៉េដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer
អនុញ្ញាតឱ្យ n=2:
ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីមួយត្រូវបានគុណនឹង 22 ហើយផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីពីរដោយ (-a 12) ហើយបន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានបន្ថែម នោះយើងនឹងដកអថេរ x 2 ចេញពីប្រព័ន្ធ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចលុបបំបាត់អថេរ x 1 (ដោយគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការទីមួយដោយ (-a 21) និងភាគីទាំងពីរនៃទីពីរដោយ 11) ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ៖
កន្សោមក្នុងតង្កៀបគឺជាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ
បញ្ជាក់
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖
វាធ្វើតាមប្រព័ន្ធលទ្ធផលដែលថាប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធគឺ 0 នោះប្រព័ន្ធនឹងមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងច្បាស់លាស់។ ដំណោះស្រាយតែមួយគត់របស់វាអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
ប្រសិនបើ = 0, a 1 0 និង/ឬ 2 0 នោះសមីការនៃប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់ 0*х 1 = 2 និង/ឬ 0*х 1 = 2 ។ ក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធនឹងមិនជាប់លាប់។
ក្នុងករណីដែល = 1 = 2 = 0 ប្រព័ន្ធនឹងមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងគ្មានកំណត់ (វានឹងមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់) ដូចដែលវានឹងយកទម្រង់៖
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer(យើងលុបចោលភស្តុតាង) ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ n នៃសមីការ មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
,
ដែល j គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីស A ដោយជំនួសជួរឈរ j-th ជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកទំនេរ។
រូបមន្តខាងលើត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តរបស់ Cramer.
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រើវិធីនេះដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលត្រូវបានដោះស្រាយពីមុនដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖
គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្ត្រពិចារណា៖
1) ភាពស្មុគស្មាញសំខាន់ៗ (ការគណនាកត្តាកំណត់និងការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស);
2) វិសាលភាពមានកំណត់ (សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានម៉ាទ្រីសការ៉េ)។
ស្ថានភាពសេដ្ឋកិច្ចពិតប្រាកដជារឿយៗត្រូវបានយកគំរូតាមប្រព័ន្ធដែលចំនួនសមីការ និងអថេរមានសមីការច្រើន ហើយមានសមីការច្រើនជាងអថេរ។
វិធីសាស្រ្ត Gauss (វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់អថេរជាបន្តបន្ទាប់)
វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយអថេរ n តាមរបៀបទូទៅ។ ខ្លឹមសាររបស់វាស្ថិតនៅក្នុងការអនុវត្តប្រព័ន្ធនៃការបំប្លែងសមមូលទៅនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ដោយមានជំនួយពីប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានបំលែងទៅជាទម្រង់ នៅពេលដែលដំណោះស្រាយរបស់វាងាយស្រួលរក (ប្រសិនបើមាន)។
នេះគឺជាទិដ្ឋភាពដែលផ្នែកខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធនឹងជាម៉ាទ្រីសដែលបានបោះជំហាន។ នេះត្រូវបានសម្រេចដោយប្រើបច្ចេកទេសដូចគ្នាដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីសជំហានដើម្បីកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់។ ក្នុងករណីនេះ ការបំប្លែងបឋមត្រូវបានអនុវត្តចំពោះម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូលនៃសមីការ។ បន្ទាប់ពីនោះ ម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនឹងមានទម្រង់៖
ការទទួលបានម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា នៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។វិធីសាស្រ្ត Gauss ។
ការស្វែងរកតម្លៃនៃអថេរពីប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានៃសមីការត្រូវបានគេហៅថា ថយក្រោយវិធីសាស្រ្ត Gauss ។ ចូរយើងពិចារណា។
ចំណាំថាសមីការចុងក្រោយ (m – r) នឹងមានទម្រង់៖
ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយ។ 
មិនស្មើនឹងសូន្យទេ នោះសមភាពដែលត្រូវគ្នានឹងមិនពិត ហើយប្រព័ន្ធទាំងមូលនឹងមិនជាប់លាប់។
ដូច្នេះសម្រាប់ប្រព័ន្ធរួមគ្នាណាមួយ។ 
. ក្នុងករណីនេះសមីការ (m – r) ចុងក្រោយសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរនឹងជាអត្តសញ្ញាណ 0 = 0 ហើយពួកគេអាចត្រូវបានគេមិនអើពើនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធ (គ្រាន់តែបោះបង់ជួរដែលត្រូវគ្នា)។
បន្ទាប់ពីនោះប្រព័ន្ធនឹងមើលទៅដូចនេះ:
ពិចារណាករណីដំបូងនៅពេលដែល r = n ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនឹងយកទម្រង់៖
ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ គេអាចរកឃើញ x r បាន។
ដោយដឹងថា x r មនុស្សម្នាក់អាចបង្ហាញ x r -1 ពីវា។ បន្ទាប់មកពីសមីការមុន ដោយដឹងថា x r និង x r -1 យើងអាចបង្ហាញ x r -2 ជាដើម។ រហូតដល់ x 1 ។
ដូច្នេះក្នុងករណីនេះប្រព័ន្ធនឹងមានការសហការគ្នានិងច្បាស់លាស់។
ឥឡូវនេះពិចារណាករណីនៅពេលដែល r
ពីសមីការនេះ យើងអាចបង្ហាញអថេរមូលដ្ឋាន x r ក្នុងន័យមិនជាមូលដ្ឋាន៖
សមីការចុងក្រោយនឹងមើលទៅដូចនេះ៖
ការជំនួសកន្សោមលទ្ធផលជំនួសឱ្យ x r វានឹងអាចបង្ហាញអថេរមូលដ្ឋាន x r -1 តាមរយៈអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន។ ល។ ទៅអថេរ x 1 ។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ អ្នកអាចគណនាអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋានទៅនឹងតម្លៃបំពាន ហើយបន្ទាប់មកគណនាអថេរមូលដ្ឋានដោយប្រើរូបមន្តដែលទទួលបាន។ ដូច្នេះក្នុងករណីនេះ ប្រព័ន្ធនឹងមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងមិនអាចកំណត់បាន (មានដំណោះស្រាយចំនួនមិនកំណត់)។
ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
សំណុំនៃអថេរមូលដ្ឋាននឹងត្រូវបានហៅ មូលដ្ឋានប្រព័ន្ធ។ សំណុំនៃជួរឈរនៃមេគុណសម្រាប់ពួកវាក៏នឹងត្រូវបានហៅផងដែរ។ មូលដ្ឋាន(ជួរឈរមូលដ្ឋាន) ឬ អនីតិជនមូលដ្ឋានម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនោះ ដែលអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋានទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ នឹងត្រូវបានហៅ ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន.
ក្នុងឧទាហរណ៍មុន ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាននឹងជា (4/5; -17/5; 0; 0) (អថេរ x 3 និង x 4 (c 1 និង c 2) ត្រូវបានកំណត់ទៅសូន្យ ហើយអថេរមូលដ្ឋាន x 1 និង x 2 ត្រូវបានគណនាតាមរយៈពួកវា) ។ ដើម្បីផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន វាចាំបាច់ក្នុងការស្មើគ្នា x 3 និង x 4 (c 1 និង c 2) ទៅនឹងចំនួនបំពានដែលមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ ហើយគណនាអថេរដែលនៅសល់តាមរយៈ ពួកគេ។ ឧទាហរណ៍ជាមួយ c 1 = 1 និង c 2 = 0 យើងទទួលបានដំណោះស្រាយដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន - (4/5; -12/5; 1; 0) ។ តាមរយៈការជំនួស វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាដំណោះស្រាយទាំងពីរគឺត្រឹមត្រូវ។
ជាក់ស្តែង នៅក្នុងប្រព័ន្ធមិនកំណត់នៃដំណោះស្រាយដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន វាអាចមានចំនួនដំណោះស្រាយមិនកំណត់។ តើមានដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានប៉ុន្មាន? ជួរនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដែលបានបំប្លែងត្រូវតែឆ្លើយតបទៅនឹងអថេរមូលដ្ឋានមួយ។ សរុបមក មានអថេរ n នៅក្នុងបញ្ហា និង r ជួរមូលដ្ឋាន។ ដូច្នេះចំនួននៃសំណុំអថេរមូលដ្ឋានដែលអាចធ្វើបានមិនអាចលើសពីចំនួនបន្សំពី n ដល់ 2 ទេ។ វាអាចតិចជាង 
ដោយសារតែវាមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបំប្លែងប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់បែបនោះ ដែលសំណុំនៃអថេរពិសេសនេះគឺជាមូលដ្ឋាន។
តើនេះជាប្រភេទអ្វី? នេះគឺជាទម្រង់បែបនោះ នៅពេលដែលម៉ាទ្រីសបង្កើតចេញពីជួរឈរនៃមេគុណសម្រាប់អថេរទាំងនេះនឹងមានលក្ខណៈជាជំហានៗ ហើយក្នុងករណីនេះនឹងមានជួរ។ ទាំងនោះ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់អថេរទាំងនេះត្រូវតែស្មើនឹង r ។ វាមិនអាចធំជាងនេះបានទេ ដោយសារចំនួនជួរឈរស្មើនឹង r ។ ប្រសិនបើវាប្រែជាតិចជាង r នោះវាបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃជួរឈរដែលមានអថេរ។ ជួរឈរបែបនេះមិនអាចបង្កើតជាមូលដ្ឋានបានទេ។
ចូរយើងពិចារណាថាតើដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានអ្វីផ្សេងទៀតអាចរកបាននៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណាបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចំនួនបួនជាមួយនឹងមូលដ្ឋានពីរ។ បន្សំបែបនេះនឹង 
ហើយមួយក្នុងចំណោមពួកគេ (x 1 និង x 2) ត្រូវបានពិចារណារួចហើយ។
ចូរយើងយកអថេរ x 1 និង x 3 ។ ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់ពួកគេ៖
ដោយសារវាស្មើនឹងពីរ ពួកគេអាចជាមូលដ្ឋាន។ យើងគណនាអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន x 2 និង x 4 ទៅសូន្យ៖ x 2 \u003d x 4 \u003d 0 ។ បន្ទាប់មកពីរូបមន្ត x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 វាធ្វើតាមនោះ x 1 \u003d 4/5 និងពីរូបមន្ត x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 វាធ្វើតាមនោះ x 3 \u003d x 2 + ១៧/៥ \u003d ១៧/៥ ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាន (4/5; 0; 17/5; 0) ។
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ អ្នកអាចទទួលបានដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានសម្រាប់អថេរមូលដ្ឋាន x 1 និង x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 និង x 4 − (0; -9; 0; 4); x 3 និង x 4 - (0; 0; 9; 4) ។
អថេរ x 2 និង x 3 ក្នុងឧទាហរណ៍នេះមិនអាចត្រូវបានយកជាមូលដ្ឋានទេព្រោះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើនឹងមួយ, i.e. តិចជាងពីរ៖
.
វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់ថាតើវាអាចទៅរួចឬអត់ដើម្បីបង្កើតមូលដ្ឋានពីអថេរមួយចំនួន។ នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ ជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ជំហាន វាបានយកទម្រង់៖
ដោយជ្រើសរើសគូនៃអថេរ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគណនាអនីតិជនដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសនេះ។ វាងាយស្រួលមើលថាសម្រាប់គូទាំងអស់ លើកលែងតែ x 2 និង x 3 វាមិនស្មើនឹងសូន្យទេ i.e. ជួរឈរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ហើយសម្រាប់តែជួរឈរដែលមានអថេរ x 2 និង x 3 ប៉ុណ្ណោះ។ 
ដែលបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេ។
សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយទៀត។ ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
ដូច្នេះសមីការដែលត្រូវគ្នានឹងជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសចុងក្រោយគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា - វានាំឱ្យមានសមភាពខុស 0 = -1 ដូច្នេះប្រព័ន្ធនេះមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។
វិធីសាស្រ្ត Jordan-Gauss 3 គឺជាការអភិវឌ្ឍន៍នៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ ខ្លឹមសាររបស់វាគឺថាម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបំលែងទៅជាទម្រង់នៅពេលដែលមេគុណនៃអថេរបង្កើតជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណរហូតដល់ការផ្លាស់ប្តូរជួរឬជួរទី 4 (កន្លែងណាជាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ)។
តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីនេះ៖
ពិចារណាម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖
នៅក្នុងម៉ាទ្រីសនេះ យើងជ្រើសរើសធាតុអត្តសញ្ញាណ។ ឧទាហរណ៍ មេគុណ x 2 ក្នុងកម្រិតទីបីគឺ 5 ។ ចូរប្រាកដថានៅក្នុងជួរដែលនៅសល់ក្នុងជួរឈរនេះមានសូន្យ ពោលគឺឧ។ ធ្វើឱ្យជួរឈរតែមួយ។ នៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរ, យើងនឹងហៅរឿងនេះ ជួរឈរអនុញ្ញាត(នាំមុខ, គន្លឹះ) ។ ឧបសគ្គទីបី (ទីបី ខ្សែអក្សរ) នឹងត្រូវបានហៅផងដែរ។ អនុញ្ញាត. ខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់ ធាតុដែលឈរនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេក និងជួរឈរដែលអនុញ្ញាត (នៅទីនេះវាជាឯកតា) ត្រូវបានហៅផងដែរ។ អនុញ្ញាត.
ជួរទីមួយឥឡូវនេះមានមេគុណ (-1) ។ ដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅកន្លែងរបស់វា គុណជួរទីបីដោយ (-1) ហើយដកលទ្ធផលចេញពីជួរទីមួយ (ឧ. គ្រាន់តែបន្ថែមជួរទីមួយទៅជួរទីបី)។
ជួរទីពីរមានមេគុណ 2។ ដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅកន្លែងរបស់វា គុណជួរទីបីដោយ 2 ហើយដកលទ្ធផលចេញពីជួរទីមួយ។
លទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរនឹងមើលទៅ៖
ម៉ាទ្រីសនេះបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាឧបសគ្គមួយក្នុងចំណោមឧបសគ្គពីរដំបូងអាចត្រូវបានលុបចេញ (ជួរដែលត្រូវគ្នាគឺសមាមាត្រ ពោលគឺសមីការទាំងនេះតាមពីគ្នា)។ តោះឆ្លងវគ្គទីពីរ៖
ដូច្នេះមានសមីការពីរនៅក្នុងប្រព័ន្ធថ្មី។ ជួរឈរតែមួយ (ទីពីរ) ត្រូវបានទទួល ហើយឯកតានៅទីនេះគឺនៅជួរទីពីរ។ ចូរចាំថាអថេរមូលដ្ឋាន x 2 នឹងឆ្លើយតបទៅនឹងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធថ្មី។
តោះជ្រើសរើសអថេរមូលដ្ឋានសម្រាប់ជួរទីមួយ។ វាអាចជាអថេរណាមួយ លើកលែងតែ x 3 (ព្រោះនៅ x 3 ឧបសគ្គទីមួយមានមេគុណសូន្យ ពោលគឺ សំណុំនៃអថេរ x 2 និង x 3 មិនអាចជាមូលដ្ឋាននៅទីនេះទេ)។ អ្នកអាចយកអថេរទីមួយ ឬទីបួន។
តោះជ្រើសរើស x 1 ។ បន្ទាប់មកធាតុដោះស្រាយនឹងមាន 5 ហើយភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោះស្រាយនឹងត្រូវបែងចែកដោយប្រាំ ដើម្បីទទួលបានមួយនៅក្នុងជួរទីមួយនៃជួរទីមួយ។
ចូរប្រាកដថាជួរដេកដែលនៅសល់ (ឧទាហរណ៍ ជួរទីពីរ) មានសូន្យនៅក្នុងជួរទីមួយ។ ចាប់តាំងពីពេលនេះបន្ទាត់ទីពីរមិនមានសូន្យទេ ប៉ុន្តែ 3 វាចាំបាច់ក្នុងការដកធាតុនៃបន្ទាត់ទីមួយដែលបានបំប្លែងដោយគុណនឹង 3 ពីជួរទីពីរ។
ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានមួយអាចទាញយកដោយផ្ទាល់ពីម៉ាទ្រីសលទ្ធផលដោយស្មើអថេរដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋានទៅសូន្យ ហើយអថេរមូលដ្ឋានទៅនឹងពាក្យសេរីនៅក្នុងសមីការដែលត្រូវគ្នា៖ (0.8; -3.4; 0; 0) ។ អ្នកក៏អាចទាញយករូបមន្តទូទៅដែលបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋានតាមរយៈរូបមន្តដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន៖ x 1 \u003d 0.8 - 1.2 x 4; x 2 \u003d -3.4 + x 3 + 1.6x 4 ។ រូបមន្តទាំងនេះពិពណ៌នាអំពីសំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានដែនកំណត់ទាំងមូលចំពោះប្រព័ន្ធ (ដោយសមីការ x 3 និង x 4 ទៅលេខតាមអំពើចិត្ត អ្នកអាចគណនា x 1 និង x 2) ។
ចំណាំថាខ្លឹមសារនៃការផ្លាស់ប្តូរនៅដំណាក់កាលនីមួយៗនៃវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss មានដូចខាងក្រោម៖
1) ខ្សែអក្សរអនុញ្ញាតត្រូវបានបែងចែកដោយធាតុអនុញ្ញាតដើម្បីទទួលបានឯកតានៅកន្លែងរបស់វា
2) ពីជួរផ្សេងទៀតទាំងអស់ ថាមពលដោះស្រាយបំប្លែងគុណនឹងធាតុដែលមាននៅក្នុងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងជួរឈរដោះស្រាយត្រូវបានដកដើម្បីទទួលបានសូន្យជំនួសធាតុនេះ។
សូមពិចារណាម្តងទៀតនូវម៉ាទ្រីសដែលបានបំប្លែងបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីធាតុនេះថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ A គឺ r ។
នៅក្នុងដំណើរការនៃហេតុផលខាងលើ យើងបានបង្កើតឡើងថាប្រព័ន្ធគឺស្របប្រសិនបើ និងតែប៉ុណ្ណោះប្រសិនបើ 
. នេះមានន័យថាម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនឹងមើលទៅដូច៖
ការបោះបង់ជួរដេកសូន្យ យើងទទួលបានថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធក៏ស្មើនឹង r ផងដែរ។
ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺស្របប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធនេះ។
សូមចាំថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺស្មើនឹងចំនួនអតិបរមានៃជួរដេកឯករាជ្យលីនេអ៊ែររបស់វា។ វាធ្វើតាមពីនេះថា ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកគឺតិចជាងចំនួនសមីការ នោះសមីការនៃប្រព័ន្ធគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ហើយមួយក្នុងចំណោមពួកគេអាចត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធ (ព្រោះវាជាលីនេអ៊ែរ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃអ្នកផ្សេងទៀត) ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការនឹងមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកគឺស្មើនឹងចំនួនសមីការ។
ជាងនេះទៅទៀត សម្រាប់ប្រព័ន្ធស្របនៃសមីការលីនេអ៊ែរ វាអាចប្រកែកបានថា ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសស្មើនឹងចំនួនអថេរ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ហើយប្រសិនបើវាតិចជាងចំនួនអថេរ នោះ ប្រព័ន្ធគឺគ្មានកំណត់ និងមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។
1 ឧទាហរណ៍ ឧបមាថាមានជួរប្រាំក្នុងម៉ាទ្រីស (លំដាប់ជួរដំបូងគឺ 12345)។ យើងត្រូវផ្លាស់ប្តូរខ្សែទីពីរនិងទីប្រាំ។ ដើម្បីឱ្យខ្សែទីពីរជំនួសកន្លែងទី 5 ដើម្បី "ផ្លាស់ទី" ចុះក្រោម យើងប្តូរជួរជាប់គ្នាបីដង: ទីពីរនិងទីបី (13245) ទីពីរនិងទីបួន (13425) និងទីពីរនិងទីប្រាំ ( ១៣៤៥២)។ បន្ទាប់មកដើម្បីឱ្យជួរទីប្រាំជំនួសទីពីរនៅក្នុងម៉ាទ្រីសដើមវាចាំបាច់ត្រូវ "ផ្លាស់ប្តូរ" ជួរទីប្រាំឡើងដោយការផ្លាស់ប្តូរពីរជាប់គ្នា: ជួរទីប្រាំនិងទីបួន (13542) និងទីប្រាំនិងទីបី។ (១៥៣៤២)។
2 ចំនួននៃបន្សំពី n ដល់ r 
ហៅទៅលេខនៃសំណុំរងធាតុ r ផ្សេងគ្នាទាំងអស់នៃសំណុំធាតុ n (សំណុំផ្សេងគ្នាគឺជាសំណុំដែលមានធាតុផ្សំផ្សេងគ្នា លំដាប់ជ្រើសរើសមិនសំខាន់ទេ)។ វាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖ 
. ចងចាំអត្ថន័យនៃសញ្ញា "!" (រោងចក្រ)៖ 
0!=1.)
3 ដោយសារវិធីសាស្រ្តនេះគឺជារឿងធម្មតាជាងវិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលបានពិភាក្សាមុននេះ ហើយនៅក្នុងខ្លឹមសារគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ទៅមុខ និងបញ្ច្រាស ជួនកាលវាក៏ត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ Gauss ដោយលុបផ្នែកដំបូងនៃឈ្មោះ។
4 ឧទាហរណ៍ 
.
5 ប្រសិនបើមិនមានឯកតានៅក្នុងម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធទេ នោះវាអាចជាឧទាហរណ៍ ដើម្បីបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីមួយដោយពីរ ហើយបន្ទាប់មកមេគុណទីមួយនឹងក្លាយទៅជាឯកភាព។ ឬដូច។
ជាមួយនឹងកម្មវិធីគណិតវិទ្យានេះ អ្នកអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរដោយប្រើវិធីជំនួស និងវិធីសាស្ត្របន្ថែម។
កម្មវិធីនេះមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងផ្តល់នូវដំណោះស្រាយលម្អិតជាមួយនឹងការពន្យល់អំពីជំហាននៃដំណោះស្រាយតាមពីរវិធី៖ វិធីសាស្ត្រជំនួស និងវិធីសាស្ត្របន្ថែម។
កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្ត និងការប្រឡង នៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រឡង Unified State សម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកដើម្បីជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើលំហាត់គណិតវិទ្យា ឬពិជគណិតរបស់អ្នកឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។
តាមរបៀបនេះ អ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាលដោយខ្លួនឯង និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលរបស់បងប្អូនប្រុសស្រីរបស់អ្នក ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំក្នុងវិស័យការងារដែលត្រូវដោះស្រាយត្រូវបានកើនឡើង។
ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលសមីការ
អក្សរឡាតាំងណាមួយអាចដើរតួជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍៖ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) ។ល។
នៅពេលបញ្ចូលសមីការ អ្នកអាចប្រើតង្កៀប. ក្នុងករណីនេះសមីការត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញជាដំបូង។ សមីការបន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញត្រូវតែជាលីនេអ៊ែរ, i.e. នៃទម្រង់ ax+by+c=0 ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃលំដាប់នៃធាតុ។
ឧទាហរណ៍៖ ៦x+១=៥(x+y)+២
នៅក្នុងសមីការ អ្នកអាចប្រើមិនត្រឹមតែចំនួនគត់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាលេខប្រភាគក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគទសភាគ និងប្រភាគធម្មតា។
ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគទសភាគ។
ផ្នែកចំនួនគត់ និងប្រភាគនៅក្នុងប្រភាគទសភាគអាចត្រូវបានបំបែកដោយចំនុច ឬសញ្ញាក្បៀស។
ឧទាហរណ៍ៈ 2.1n + 3.5m = 55
ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគធម្មតា។
មានតែចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះដែលអាចដើរតួជាភាគបែង ភាគបែង និងចំនួនគត់នៃប្រភាគ។
ភាគបែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។
នៅពេលបញ្ចូលប្រភាគលេខ ភាគយកត្រូវបានបំបែកចេញពីភាគបែងដោយសញ្ញាចែក៖ /
ផ្នែកចំនួនគត់ត្រូវបានបំបែកចេញពីប្រភាគដោយ ampersand៖ &
ឧទាហរណ៍។
−1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)
ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយកិច្ចការនេះមិនត្រូវបានផ្ទុកទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។
JavaScript ត្រូវតែបើកដំណើរការដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង។
នេះគឺជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនដែលចង់ដោះស្រាយបញ្ហាសំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
បន្ទាប់ពីពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូមមេត្តារង់ចាំ វិ...
ប្រសិនបើអ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីវានៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញកិច្ចការណាមួយ។អ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.
ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖
ទ្រឹស្តីបន្តិច។
ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្រ្តជំនួស
លំដាប់នៃសកម្មភាពនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រជំនួស៖
1) បង្ហាញអថេរមួយពីសមីការមួយចំនួននៃប្រព័ន្ធក្នុងន័យមួយទៀត។
2) ជំនួសកន្សោមលទ្ធផលនៅក្នុងសមីការមួយផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធជំនួសឱ្យអថេរនេះ;
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right។$$
ចូរបង្ហាញពីសមីការទីមួយ y ដល់ x: y = 7-3x ។ ការជំនួសកន្សោម 7-3x ជំនួសឱ្យ y ទៅក្នុងសមីការទីពីរ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធ៖
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right។$$
វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាប្រព័ន្ធទីមួយ និងទីពីរមានដំណោះស្រាយដូចគ្នា។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធទីពីរ សមីការទីពីរមានអថេរតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ តោះដោះស្រាយសមីការនេះ៖
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11\Rightarrow x=1$$
ការជំនួសលេខ 1 ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងសមីការ y = 7-3x យើងរកឃើញតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4$$
គូ (1; 4) - ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ
ប្រព័ន្ធនៃសមីការនៅក្នុងអថេរពីរដែលមានដំណោះស្រាយដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា សមមូល. ប្រព័ន្ធដែលមិនមានដំណោះស្រាយក៏ត្រូវបានចាត់ទុកថាសមមូលដែរ។
ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយបន្ថែម
ពិចារណាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ - វិធីសាស្ត្របន្ថែម។ នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធតាមវិធីនេះ ក៏ដូចជានៅពេលដោះស្រាយដោយវិធីជំនួស យើងឆ្លងពីប្រព័ន្ធមួយទៅប្រព័ន្ធមួយផ្សេងទៀតដែលស្មើនឹងវា ដែលនៅក្នុងសមីការមួយមានអថេរតែមួយ។
លំដាប់នៃសកម្មភាពនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម៖
1) គុណសមីការនៃពាក្យប្រព័ន្ធដោយពាក្យ ដោយជ្រើសរើសកត្តា ដូច្នេះមេគុណសម្រាប់អថេរមួយក្លាយជាលេខផ្ទុយ។
2) បន្ថែមពាក្យតាមពាក្យផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ។
3) ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលជាមួយនឹងអថេរមួយ;
4) ស្វែងរកតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអថេរទីពីរ។
ឧទាហរណ៍។ តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
$$ \left\(\begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right។ $$
នៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធនេះ មេគុណនៃ y គឺជាលេខផ្ទុយ។ ការបន្ថែមពាក្យតាមពាក្យ ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ យើងទទួលបានសមីការដែលមានអថេរមួយ 3x=33។ ចូរជំនួសសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការនៃប្រព័ន្ធ ឧទាហរណ៍ ទីមួយជាមួយនឹងសមីការ 3x=33។ ចូរយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$
ពីសមីការ 3x=33 យើងរកឃើញថា x=11។ ការជំនួសតម្លៃ x នេះទៅក្នុងសមីការ \(x-3y=38 \) យើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរ y: \(11-3y=38 \) ។ តោះដោះស្រាយសមីការនេះ៖
\(-3y=27 ព្រួញស្ដាំ y=-9 \\)
ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការដោយបន្ថែម៖ \(x=11; y=-9\) ឬ \((11; -9) \)
ទាញយកប្រយោជន៍ពីការពិតដែលថានៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ មេគុណនៃ y គឺជាលេខផ្ទុយគ្នា យើងបានកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយរបស់វាទៅជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមមូល (ដោយបូកសរុបផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនីមួយៗនៃសមីការដើម) ដែលក្នុងនោះមួយ នៃសមីការមានអថេរតែមួយ។
សៀវភៅ (សៀវភៅសិក្សា) អរូបីនៃការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម និងការធ្វើតេស្ត OGE តាមអ៊ីនធឺណិត ល្បែងផ្គុំរូប ក្រាហ្វិកនៃមុខងារ វចនានុក្រមអក្ខរាវិរុទ្ធនៃភាសារុស្សី វចនានុក្រមពាក្យស្លោកយុវជន កាតាឡុកសាលារុស្ស៊ី កាតាឡុកសាលាមធ្យមសិក្សាក្នុងប្រទេសរុស្ស៊ី កាតាឡុកនៃសាកលវិទ្យាល័យរុស្ស៊ី បញ្ជីកិច្ចការគួរឱ្យទុកចិត្តជាងវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកដែលបានពិភាក្សាក្នុងកថាខណ្ឌមុន។
វិធីសាស្រ្តជំនួស
យើងបានប្រើវិធីសាស្រ្តនេះនៅថ្នាក់ទី 7 ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ក្បួនដោះស្រាយដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅថ្នាក់ទី 7 គឺពិតជាសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរណាមួយ (មិនចាំបាច់លីនេអ៊ែរ) ជាមួយនឹងអថេរពីរ x និង y (ជាការពិតណាស់ អថេរអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរផ្សេងទៀតដែលមិនមានបញ្ហា) ។ តាមពិតទៅ យើងបានប្រើក្បួនដោះស្រាយនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន នៅពេលដែលបញ្ហានៃលេខពីរខ្ទង់នាំទៅដល់គំរូគណិតវិទ្យា ដែលជាប្រព័ន្ធនៃសមីការ។ យើងបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការខាងលើដោយវិធីសាស្ត្រជំនួស (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 ពី§ 4) ។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ប្រើវិធីជំនួសពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរ x, y ។
1. បញ្ចេញ y ក្នុងន័យ x ពីសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធ។
2. ជំនួសកន្សោមលទ្ធផលជំនួសឱ្យ y ទៅក្នុងសមីការមួយផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធ។
3. ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលសម្រាប់ x ។
4. ជំនួសនៅក្នុងវេននៃឫសនីមួយៗនៃសមីការដែលបានរកឃើញនៅជំហានទីបីជំនួសឱ្យ x ចូលទៅក្នុងកន្សោម y ដល់ x ដែលទទួលបាននៅជំហានដំបូង។
5. សរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់ជាគូនៃតម្លៃ (x; y) ដែលត្រូវបានរកឃើញរៀងៗខ្លួនក្នុងជំហានទីបី និងទីបួន។
4) ជំនួសនៅក្នុងវេននីមួយៗនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញរបស់ y ទៅក្នុងរូបមន្ត x \u003d 5 - Zy ។ បើអញ្ចឹង 
5) គូ (2; 1) និងដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ចម្លើយ៖ (២; ១);
វិធីសាស្ត្របន្ថែមពិជគណិត
វិធីសាស្រ្តនេះ ដូចជាវិធីសាស្ត្រជំនួស គឺធ្លាប់ស្គាល់អ្នកពីវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 7 ដែលវាត្រូវបានគេប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ យើងរំលឹកពីខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍ ២ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
យើងគុណលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធដោយ 3 ហើយទុកសមីការទីពីរមិនផ្លាស់ប្តូរ៖ 
ដកសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធចេញពីសមីការទីមួយរបស់វា៖
ជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែមពិជគណិតនៃសមីការពីរនៃប្រព័ន្ធដើម សមីការមួយត្រូវបានទទួលដែលសាមញ្ញជាងសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាមួយនឹងសមីការដ៏សាមញ្ញនេះ យើងមានសិទ្ធិជំនួសសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ ទីពីរ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការនឹងត្រូវបានជំនួសដោយប្រព័ន្ធសាមញ្ញជាងនេះ៖
ប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តជំនួស។ ពីសមីការទីពីរ យើងរកឃើញ ការជំនួសកន្សោមនេះជំនួសឱ្យ y ទៅក្នុងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន
វានៅសល់ដើម្បីជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ នៃ x ទៅក្នុងរូបមន្ត
ប្រសិនបើ x = 2 បន្ទាប់មក
ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញដំណោះស្រាយពីរចំពោះប្រព័ន្ធ៖ 
វិធីសាស្រ្តណែនាំអថេរថ្មី។
អ្នកបានស្គាល់វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីមួយ នៅពេលដោះស្រាយសមីការសមហេតុផលជាមួយនឹងអថេរមួយនៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 8 ។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការគឺដូចគ្នា ប៉ុន្តែតាមទស្សនៈបច្ចេកទេសមានលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួនដែលយើងនឹងពិភាក្សាក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
ចូរណែនាំអថេរថ្មីមួយ បន្ទាប់មកសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញមួយ៖ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនេះទាក់ទងនឹងអថេរ t:
តម្លៃទាំងពីរនេះបំពេញលក្ខខណ្ឌ ដូច្នេះហើយគឺជាឫសគល់នៃសមីការសមហេតុផលជាមួយអថេរ t ។ ប៉ុន្តែនោះមានន័យថា ពីកន្លែងដែលយើងរកឃើញថា x = 2y ឬ
ដូច្នេះ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មី យើងបានគ្រប់គ្រងដូចដែលវាគឺដើម្បី "តម្រៀប" សមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធដែលមានលក្ខណៈស្មុគស្មាញក្នុងរូបរាងទៅជាសមីការសាមញ្ញពីរ៖
x = 2 y; y - 2x ។
មានអ្វីបន្ទាប់? ហើយបន្ទាប់មកសមីការសាមញ្ញទាំងពីរដែលទទួលបានត្រូវតែយកមកពិចារណានៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលមានសមីការ x 2 - y 2 \u003d 3 ដែលយើងមិនទាន់បានចងចាំ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត បញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការពីរ៖
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធទីមួយ ប្រព័ន្ធទីពីរ និងរួមបញ្ចូលតម្លៃលទ្ធផលទាំងអស់នៅក្នុងចម្លើយ។ តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការទីមួយ៖
ចូរយើងប្រើវិធីជំនួស ជាពិសេសចាប់តាំងពីអ្វីគ្រប់យ៉ាងរួចរាល់សម្រាប់វានៅទីនេះ៖ យើងជំនួសកន្សោម 2y ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ទទួលបាន
ចាប់តាំងពី x \u003d 2y យើងរកឃើញ x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2 រៀងគ្នា។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយពីរចំពោះប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានទទួល៖ (2; 1) និង (-2; -1) ។ តោះដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការទីពីរ៖
ចូរប្រើវិធីជំនួសម្តងទៀត៖ យើងជំនួសកន្សោម 2x ជំនួសឱ្យ y ក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ទទួលបាន
សមីការនេះមិនមានឫសគល់ ដែលមានន័យថា ប្រព័ន្ធសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេ។ ដូច្នេះមានតែដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទីមួយប៉ុណ្ណោះដែលគួរតែត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងចំលើយ។
ចម្លើយ៖ (២; ១); (-២;-១)។
វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំអថេរថ្មីក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរត្រូវបានប្រើជាពីរកំណែ។ ជម្រើសទីមួយ៖ អថេរថ្មីមួយត្រូវបានណែនាំ និងប្រើក្នុងសមីការតែមួយនៃប្រព័ន្ធ។ នេះគឺជាអ្វីដែលបានកើតឡើងនៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 3 ។ ជម្រើសទីពីរ៖ អថេរថ្មីពីរត្រូវបានណែនាំ និងប្រើប្រាស់ក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ។ នេះនឹងជាករណីក្នុងឧទាហរណ៍ទី ៤ ។
ឧទាហរណ៍ 4ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
សូមណែនាំអថេរថ្មីពីរ៖
យើងរៀនវានៅពេលនោះ។
វានឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញជាង ប៉ុន្តែទាក់ទងនឹងអថេរថ្មី a និង b៖
ចាប់តាំងពី \u003d 1 បន្ទាប់មកពីសមីការ a + 6 \u003d 2 យើងរកឃើញ: 1 + 6 \u003d 2; ៦=១. ដូច្នេះសម្រាប់អថេរ a និង b យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមួយ៖
ត្រលប់ទៅអថេរ x និង y យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ
យើងអនុវត្តវិធីសាស្ត្របន្ថែមពិជគណិតដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ៖
ចាប់ពីពេលនោះមក ពីសមីការ 2x + y = 3 យើងរកឃើញ៖
ដូច្នេះសម្រាប់អថេរ x និង y យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមួយ៖
ចូរយើងបញ្ចប់ផ្នែកនេះដោយការពិភាក្សាដោយសង្ខេប ប៉ុន្តែជាទ្រឹស្តីដ៏ធ្ងន់ធ្ងរ។ អ្នកបានទទួលបទពិសោធន៍ខ្លះហើយក្នុងការដោះស្រាយសមីការផ្សេងៗ៖ លីនេអ៊ែរ ការ៉េ សនិទានភាព មិនសមហេតុផល។ អ្នកដឹងថាគំនិតចម្បងនៃការដោះស្រាយសមីការគឺដើម្បីផ្លាស់ទីបន្តិចម្តង ៗ ពីសមីការមួយទៅសមីការមួយទៀតដែលសាមញ្ញជាង ប៉ុន្តែស្មើនឹងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងផ្នែកមុន យើងបានណែនាំអំពីសញ្ញាណនៃសមមូលសម្រាប់សមីការដែលមានអថេរពីរ។ គំនិតនេះក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់សម្រាប់ប្រព័ន្ធសមីការផងដែរ។
និយមន័យ។
ប្រព័ន្ធពីរនៃសមីការដែលមានអថេរ x និង y ត្រូវបានគេនិយាយថាសមមូលប្រសិនបើពួកគេមានដំណោះស្រាយដូចគ្នា ឬប្រសិនបើប្រព័ន្ធទាំងពីរមិនមានដំណោះស្រាយ។
វិធីសាស្រ្តទាំងបី (ការជំនួស ការបន្ថែមពិជគណិត និងការណែនាំអថេរថ្មី) ដែលយើងបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកនេះគឺពិតជាត្រឹមត្រូវតាមទស្សនៈនៃសមមូល។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទាំងនេះ យើងជំនួសប្រព័ន្ធមួយនៃសមីការជាមួយប្រព័ន្ធមួយទៀត ដែលសាមញ្ញជាង ប៉ុន្តែស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើម។
វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
យើងបានសិក្សារួចហើយអំពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការនៅក្នុងវិធីទូទៅ និងគួរឱ្យទុកចិត្តដូចជាវិធីសាស្រ្តនៃការជំនួស ការបន្ថែមពិជគណិត និងការណែនាំនៃអថេរថ្មី។ ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងចងចាំវិធីសាស្រ្តដែលអ្នកបានសិក្សារួចហើយនៅក្នុងមេរៀនមុន។ នោះគឺ ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវអ្វីដែលអ្នកដឹងអំពីវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក។
វិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការក្រាហ្វិកគឺការកសាងក្រាហ្វសម្រាប់សមីការជាក់លាក់នីមួយៗដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ និងនៅក្នុងប្លង់កូអរដោនេដូចគ្នា ហើយក៏ជាកន្លែងដែលវាទាមទារដើម្បីស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃចំនុចនៃក្រាហ្វទាំងនេះផងដែរ។ . ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការនេះគឺជាកូអរដោនេនៃចំណុចនេះ (x; y) ។
វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថា វាជារឿងធម្មតាសម្រាប់ប្រព័ន្ធក្រាហ្វិកនៃសមីការដែលមានដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវតែមួយ ឬចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ឬមិនមានដំណោះស្រាយទាល់តែសោះ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់អំពីដំណោះស្រាយនីមួយៗទាំងនេះ។ ដូច្នេះហើយ ប្រព័ន្ធនៃសមីការអាចមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ប្រសិនបើបន្ទាត់ដែលជាក្រាហ្វនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធប្រសព្វគ្នា។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ទាំងនេះស្របគ្នា នោះប្រព័ន្ធសមីការបែបនេះពិតជាគ្មានដំណោះស្រាយទេ។ ក្នុងករណីចៃដន្យនៃក្រាហ្វដោយផ្ទាល់នៃសមីការនៃប្រព័ន្ធបន្ទាប់មកប្រព័ន្ធបែបនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកដំណោះស្រាយជាច្រើន។
ជាការប្រសើរណាស់, ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរជាមួយ 2 មិនស្គាល់ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក:
ដំបូង យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការទី 1 ។
ជំហានទីពីរនឹងជាគ្រោងក្រាហ្វដែលទាក់ទងនឹងសមីការទីពីរ។
ទីបី យើងត្រូវស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វ។
ហើយជាលទ្ធផល យើងទទួលបានកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនីមួយៗ ដែលនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ។
សូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្រ្តនេះឱ្យបានលំអិតជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ យើងផ្តល់ប្រព័ន្ធសមីការដែលត្រូវដោះស្រាយ៖
ការដោះស្រាយសមីការ
1. ជាដំបូង យើងនឹងបង្កើតក្រាហ្វនៃសមីការនេះ៖ x2+y2=9។
ប៉ុន្តែគួរកត់សំគាល់ថាក្រាហ្វនៃសមីការនេះនឹងជារង្វង់ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលដើម ហើយកាំរបស់វានឹងស្មើនឹងបី។
2. ជំហានបន្ទាប់របស់យើងគឺការគ្រោងសមីការដូចជា: y = x − 3 ។
ក្នុងករណីនេះ យើងត្រូវបង្កើតបន្ទាត់ ហើយរកចំណុច (0;−3) និង (3;0)។
3. តោះមើលអ្វីដែលយើងទទួលបាន។ យើងឃើញថាបន្ទាត់កាត់រង្វង់នៅចំណុចពីររបស់វា A និង B ។
ឥឡូវនេះយើងកំពុងស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងនេះ។ យើងឃើញថាកូអរដោនេ (៣;០) ត្រូវនឹងចំណុច A ហើយកូអរដោនេ (០;−៣) ត្រូវនឹងចំណុចខ។
ហើយតើយើងទទួលបានលទ្ធផលអ្វី?
លេខ (3;0) និង (0;−3) ដែលទទួលបាននៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានរង្វង់គឺច្បាស់ណាស់ដំណោះស្រាយនៃសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ។ ហើយពីនេះវាដូចខាងក្រោមថាលេខទាំងនេះក៏ជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការនេះ។
នោះគឺចម្លើយនៃដំណោះស្រាយនេះគឺជាលេខ៖ (3;0) និង (0;−3) ។
