រូបមន្ត Bernoulli- រូបមន្តនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង A (\ រចនាប័ទ្ម A)នៅក្នុងការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ។ រូបមន្ត Bernoulli អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកម្ចាត់ចំនួនដ៏ច្រើននៃការគណនា - ការបន្ថែមនិងគុណនៃប្រូបាប - ជាមួយនឹងចំនួនគ្រប់គ្រាន់នៃការធ្វើតេស្ត។ ដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូជនជាតិស្វីសដ៏ឆ្នើម Jacob Bernoulli ដែលបានចេញរូបមន្តនេះ។

សព្វវចនាធិប្បាយ YouTube

1 / 3

✪ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ 22. រូបមន្ត Bernoulli ។ ដោះស្រាយបញ្ហា

✪ រូបមន្ត Bernoulli

✪ 20 ការធ្វើតេស្តម្តងទៀត Bernoulli Formula

ចំណងជើងរង

ពាក្យ

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ p (\ ទម្រង់បង្ហាញ ទំ)ព្រឹត្តិការណ៍ A (\ រចនាប័ទ្ម A)គឺថេរនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេ P k , n (\displaystyle P_(k,n))ព្រឹត្តិការណ៍នោះ។ A (\ រចនាប័ទ្ម A)មកយ៉ាងពិតប្រាកដ k (\ រចនាប័ទ្ម k)ម្តង n (\displaystyle n)ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យគឺស្មើនឹង៖ P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k))កន្លែងណា q = 1 − p (\ displaystyle q = 1-p).

ភស្តុតាង

សូម​ឲ្យ​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រារព្ធ​ធ្វើ n (\displaystyle n)ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ ហើយវាត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តនីមួយៗ ព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ A (\ រចនាប័ទ្ម A)មកជាមួយប្រូបាប៊ីលីតេ P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p)ដូច្នេះហើយមិនកើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេទេ។ P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). អនុញ្ញាតឱ្យផងដែរនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការធ្វើតេស្តប្រូបាប៊ីលីតេ p (\ ទម្រង់បង្ហាញ ទំ)និង q (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម q)នៅ​តែ​មិន​ផ្លាស់​ប្តូ​រ។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលជាលទ្ធផល n (\displaystyle n)ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ, ព្រឹត្តិការណ៍ A (\ រចនាប័ទ្ម A)មកយ៉ាងពិតប្រាកដ k (\ រចនាប័ទ្ម k)ម្តង?

វាប្រែថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគណនាបានត្រឹមត្រូវនូវចំនួននៃបន្សំ "ជោគជ័យ" នៃលទ្ធផលតេស្តដែលព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ A (\ រចនាប័ទ្ម A)មក k (\ រចនាប័ទ្ម k)ម្តង n (\displaystyle n)ការសាកល្បងឯករាជ្យ គឺពិតជាចំនួនបន្សំនៃ n (\displaystyle n)នៅលើ k (\ រចនាប័ទ្ម k) :

C n (k) = ន! ក! (n−k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ដោយសារការសាកល្បងទាំងអស់គឺឯករាជ្យ ហើយលទ្ធផលរបស់ពួកគេគឺមិនឆបគ្នា (ព្រឹត្តិការណ៍ A (\ រចនាប័ទ្ម A)កើតឡើងឬអត់) បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានការរួមបញ្ចូលគ្នា "ជោគជ័យ" គឺពិតប្រាកដ: .

ជាចុងក្រោយ ដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។ n (\displaystyle n)ព្រឹត្តិការណ៍សាកល្បងឯករាជ្យ A (\ រចនាប័ទ្ម A)មកយ៉ាងពិតប្រាកដ k (\ រចនាប័ទ្ម k)ដង អ្នកត្រូវបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានបន្សំ "ជោគជ័យ" ទាំងអស់។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានបន្សំ "ជោគជ័យ" ទាំងអស់គឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), ចំនួននៃបន្សំ "ជោគជ័យ" គឺ C n (k) (\displaystyle C_(n)(k))ដូច្នេះទីបំផុតយើងទទួលបាន៖

P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).

កន្សោមចុងក្រោយគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីរូបមន្ត Bernoulli ។ វាក៏មានប្រយោជន៍ផងដែរក្នុងការកត់សម្គាល់ថាដោយសារតែភាពពេញលេញនៃក្រុមនៃព្រឹត្តិការណ៍វានឹងជាការពិត:

∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).

នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ មនុស្សម្នាក់តែងតែជួបប្រទះនឹងបញ្ហាដែលការពិសោធន៍ដូចគ្នា ឬពិសោធន៍ស្រដៀងគ្នាត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតច្រើនជាងម្តង។ ជាលទ្ធផលនៃបទពិសោធន៍នីមួយៗ ព្រឹត្តិការណ៍អាចឬមិនលេចឡើង។ ប៉ុន្តែហើយយើងមិនចាប់អារម្មណ៍លើលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍បុគ្គលនីមួយៗនោះទេ ប៉ុន្តែ រូបរាងសរុបព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែជាលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ជាបន្តបន្ទាប់។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើការបាញ់មួយក្រុមត្រូវបានបាញ់ចំគោលដៅតែមួយ យើងមិនចាប់អារម្មណ៍នឹងលទ្ធផលនៃការបាញ់នីមួយៗនោះទេ ប៉ុន្តែគិតជាចំនួនសរុបនៃការបាញ់។ បញ្ហាបែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញប្រសិនបើការពិសោធន៍ ឯករាជ្យ.

និយមន័យ. ការសាកល្បងដែលឯករាជ្យនៃព្រឹត្តិការណ៍ A គឺជាការសាកល្បងដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A នៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺឯករាជ្យនៃលទ្ធផលនៃការសាកល្បងផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍។គំនូរបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើនសន្លឹកនៃសន្លឹកបៀ គឺជាការពិសោធន៍ឯករាជ្យ ផ្តល់ថាសន្លឹកបៀដែលបានគូរត្រូវបានបញ្ជូនត្រឡប់ទៅតុរាល់ពេល ហើយសន្លឹកបៀត្រូវបានសាប់។ បើមិនដូច្នោះទេពួកគេគឺជាបទពិសោធន៍ដែលពឹងផ្អែក។

ឧទាហរណ៍. ការបាញ់ប្រហារជាច្រើនគឺជាការពិសោធដោយឯករាជ្យ លុះត្រាតែមានគោលបំណងត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតមុនពេលបាញ់ម្តងៗ។ ក្នុងករណីដែលគោលដៅត្រូវបានអនុវត្តម្តងមុនពេលការបាញ់ទាំងមូលឬត្រូវបានអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់នៅក្នុងវគ្គនៃការបាញ់ (បាញ់នៅក្នុងការផ្ទុះការទម្លាក់គ្រាប់បែកជាបន្តបន្ទាប់) ការបាញ់គឺជាការពិសោធន៍អាស្រ័យ។

ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យអាចត្រូវបានអនុវត្តក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចគ្នា ឬខុសគ្នា។ ក្នុងករណីដំបូងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការពិសោធន៍ទាំងអស់ដូចគ្នា ក្នុងករណីទីពីរ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែប្រែប្រួលពីបទពិសោធន៍ទៅបទពិសោធន៍។ ករណីទីមួយត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងបញ្ហាជាច្រើននៃទ្រឹស្តីភាពអាចជឿជាក់បាន ទ្រឹស្តីបាញ់ប្រហារ និងនាំទៅដល់អ្វីដែលគេហៅថា គ្រោងការណ៍ Bernoulli, ដែល​មាន​ដូច​ខាង​ក្រោម​:

1) លំដាប់ត្រូវបានអនុវត្ត នការសាកល្បងឯករាជ្យ ដែលក្នុងនោះព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ ប៉ុន្តែអាចឬមិនលេចឡើង;

2) ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការធ្វើតេស្តនីមួយៗគឺថេរ និងស្មើនឹង ក៏ដូចជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមិនកើតឡើងរបស់វា។ .

រូបមន្តរបស់ Bernoulli សម្រាប់ការស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង ក កម្តង នការសាកល្បងឯករាជ្យ ដែលក្នុងនោះព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ ប៉ុន្តែលេចឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ទំ:

. (1)

ចំណាំ ១. ជាមួយនឹងការកើនឡើង ននិង kការអនុវត្តរូបមន្ត Bernoulli ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការលំបាកក្នុងការគណនា ដូច្នេះរូបមន្ត (1) ត្រូវបានប្រើជាចម្បងប្រសិនបើ kមិនលើសពី 5 និង នមិនអស្ចារ្យទេ។

ចំណាំ ២.ដោយសារតែការពិតដែលថាប្រូបាប៊ីលីតេនៅក្នុងទម្រង់គឺជាសមាជិកនៃការពង្រីក binomial ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃទម្រង់ (1) ត្រូវបានគេហៅថា លេខពីរការចែកចាយ។

ឧទាហរណ៍. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺ 0.8 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំនួនប្រាំជាមួយនឹងការបាញ់ចំនួនប្រាំមួយ។

ការសម្រេចចិត្ត។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក , ក្រៅពី និង . ដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍. ការបាញ់ប្រហារឯករាជ្យចំនួនបួនត្រូវបានបាញ់នៅគោលដៅដូចគ្នាពីចម្ងាយខុសៗគ្នា។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបាញ់ប្រហារទាំងនេះគឺរៀងៗខ្លួន៖

ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃគ្មាន, មួយ, ពីរ, បី, និងបួនចុច៖

ការសម្រេចចិត្ត។យើងបង្កើតមុខងារបង្កើត៖

ឧទាហរណ៍. ការបាញ់ប្រហារឯករាជ្យចំនួន 5 ត្រូវបានបាញ់ទៅលើគោលដៅដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយលុក 0.2 ។ ការវាយបីដងគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបំផ្លាញគោលដៅ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលគោលដៅនឹងត្រូវបានបំផ្លាញ។

ការសម្រេចចិត្ត។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបំផ្លាញគោលដៅត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍. ការបាញ់ប្រហារឯករាជ្យចំនួន 10 ត្រូវបានបាញ់ចំគោលដៅ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយវាដោយការបាញ់មួយគឺ 0.1 ។ ការ​វាយ​មួយ​គឺ​គ្រប់គ្រាន់​ដើម្បី​វាយ​ចំ​គោលដៅ​។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយលុកគោលដៅ។

ការសម្រេចចិត្ត។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយយ៉ាងហោចណាស់មួយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

3. ទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace ក្នុងស្រុក

នៅក្នុងកម្មវិធី ជាញឹកញាប់ចាំបាច់ត្រូវគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងៗដែលទាក់ទងនឹងចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុង នការធ្វើតេស្តនៃគ្រោងការណ៍ Bernoulli ក្នុងតម្លៃដ៏ធំ ន. ក្នុងករណីនេះការគណនាតាមរូបមន្ត (1) ក្លាយជាការលំបាក។ ភាពលំបាកកើនឡើងនៅពេលដែលមនុស្សម្នាក់ត្រូវបន្ថែមប្រូបាបទាំងនេះ។ ភាពលំបាកក្នុងការគណនាក៏កើតឡើងចំពោះតម្លៃតូចដែរ។ ទំឬ q.

Laplace ទទួលបានរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែលដ៏សំខាន់មួយសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង ប៉ុន្តែយ៉ាង​ពិតប្រាកដ មដង ប្រសិនបើជាចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ នោះគឺជាពេលណា។

ទ្រឹស្តីបទ Local de Moivre-Laplace. ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ p នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺថេរ និងខុសពីសូន្យ និងមួយ តម្លៃ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ស្មើ​គ្នា​ក្នុង m និង n បន្ទាប់​មក​ប្រូបាប៊ីលីតេ​នៃ​ការ​កើត​ឡើង​នៃ​ព្រឹត្តិការណ៍ A ពិតប្រាកដ m ដង​ក្នុង n ការ​សាកល្បង​ឯករាជ្យ​គឺ​ប្រហែល​ស្មើ​នឹង

អនុញ្ញាតឱ្យ n ដំណើរការសាកល្បងទាក់ទងនឹងព្រឹត្តិការណ៍ A. សូមណែនាំព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោម៖ Аk -- ព្រឹត្តិការណ៍ А ត្រូវបានគេដឹងក្នុងអំឡុងពេលធ្វើតេស្ត k-th $ k = 1,2, \ dots , n$ ។ បន្ទាប់មក $\bar(A)_(k) $ គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ (ព្រឹត្តិការណ៍ A មិនបានកើតឡើងកំឡុងពេលសាកល្បង k-th, $k=1,2,\dots, n$)។

អ្វី​ទៅ​ជា​ការ​សាកល្បង​ដោយ​ឯករាជ​និង​មិត្ត​ភក្តិ

និយមន័យ

ការធ្វើតេស្តត្រូវបានហៅប្រភេទដូចគ្នាទាក់ទងនឹងព្រឹត្តិការណ៍ A ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A1, A2, \dots, An$ គឺដូចគ្នា៖ $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (ឧ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង A នៅក្នុងការសាកល្បងមួយគឺថេរនៅក្នុងការសាកល្បងទាំងអស់)។

ជាក់ស្តែង ក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយក៏ស្របគ្នាដែរ៖ $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( ក) _(ន))$។

និយមន័យ

ការសាកល្បងត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យទាក់ទងនឹងព្រឹត្តិការណ៍ A ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ $A1, A2, \dots, An$ គឺឯករាជ្យ។

ក្នុងករណី​នេះ

ក្នុងករណីនេះ សមភាពត្រូវបានរក្សាទុកនៅពេលដែលព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ Ak ត្រូវបានជំនួសដោយ $\bar(A)_(k) $ ។

អនុញ្ញាតឱ្យស៊េរីនៃការសាកល្បងឯករាជ្យស្រដៀងគ្នាមួយត្រូវបានធ្វើឡើងទាក់ទងនឹងព្រឹត្តិការណ៍ A ។ យើងអនុវត្តសញ្ញាណៈ ទំ - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ក្នុងការធ្វើតេស្តមួយ; q គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ។ ដូច្នេះ P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ សម្រាប់ k និង p+q=1 ណាមួយ។

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុងស៊េរីនៃព្រឹត្តិការណ៍សាកល្បង n A នឹងកើតឡើងយ៉ាងពិតប្រាកដ k ដង (0 ≤ k ≤ n) ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

សមភាព (1) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Bernoulli ។

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុងស៊េរីនៃការសាកល្បងឯករាជ្យ n នៃព្រឹត្តិការណ៍ប្រភេទដូចគ្នា A នឹងកើតឡើងយ៉ាងហោចណាស់ k1 ដង ហើយ k2 ដងភាគច្រើនត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

ការអនុវត្តរូបមន្ត Bernoulli សម្រាប់តម្លៃដ៏ធំនៃ n នាំឱ្យមានការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញ ដូច្នេះនៅក្នុងករណីទាំងនេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើរូបមន្តផ្សេងទៀត - asymptotic ។

ទូទៅនៃគ្រោងការណ៍ Bernoulli

ពិចារណាអំពីភាពទូទៅនៃគ្រោងការណ៍ Bernoulli ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងស៊េរីនៃការសាកល្បងឯករាជ្យ n ដែលនីមួយៗមាន m មិនត្រូវគ្នា និងលទ្ធផលដែលអាចកើតមាន Ak ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា Рk= рk(Аk)។ បន្ទាប់មករូបមន្តបែងចែកពហុនាមមានសុពលភាព៖

ឧទាហរណ៍ ១

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតជំងឺគ្រុនផ្តាសាយអំឡុងពេលមានការរាតត្បាតគឺ 0.4 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោមបុគ្គលិក 6 នាក់របស់ក្រុមហ៊ុននឹងធ្លាក់ខ្លួនឈឺ

1. យ៉ាងពិតប្រាកដ 4 បុគ្គលិក;
2. បុគ្គលិកមិនលើសពី 4 នាក់។

ការសម្រេចចិត្ត។ 1) ជាក់ស្តែង ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ រូបមន្ត Bernoulli អាចអនុវត្តបាន ដែល n=6; k=4; p=0.4; q=1-p=0.6 ។ ការអនុវត្តរូបមន្ត (1) យើងទទួលបាន៖ $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ រូបមន្ត (2) អាចអនុវត្តបាន ដែល k1=0 និង k2=4 ។ យើង​មាន:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ approx 0.959.) \end(array)\]

គួរកត់សម្គាល់ថាកិច្ចការនេះងាយស្រួលដោះស្រាយដោយប្រើព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ - បុគ្គលិកច្រើនជាង 4 នាក់បានធ្លាក់ខ្លួនឈឺ។ បន្ទាប់មក ដោយពិចារណាលើរូបមន្ត (៧) លើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគ្នា យើងទទួលបាន៖

ចម្លើយ៖ $\ $0.959 ។

ឧទាហរណ៍ ២

កោដ្ឋ​មួយ​មាន​គ្រាប់​ពណ៌​ស​ចំនួន ២០ និង​គ្រាប់​ខ្មៅ ១០ ។ បាល់ចំនួន 4 ត្រូវបានដកចេញ ហើយបាល់នីមួយៗដែលដកចេញត្រូវត្រលប់ទៅកោដ្ឋវិញ មុនពេលដែលគ្រាប់បន្ទាប់ត្រូវបានគូរ ហើយបាល់នៅក្នុងកោដ្ឋត្រូវបានលាយបញ្ចូលគ្នា។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចំណោមបាល់ទាំងបួនដែលបានគូរ នឹងមានបាល់ពណ៌សចំនួន 2 នៅក្នុងរូបភាពទី 1 ។

រូបភាពទី 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ សូមឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ A ក្លាយជានោះ - បាល់ពណ៌សត្រូវបានគូរ។ បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេ $D (A)=\frac(2)(3) ,\,\,D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ ។

យោងតាមរូបមន្ត Bernoulli ប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការគឺ $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3)\right)^(2) \left(\frac (1)(3) \right)^(2) =\frac(8)(27)$ ។

ចម្លើយ៖ $\frac(8)(27)$។

ឧទាហរណ៍ ៣

កំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលគ្រួសារដែលមានកូន 5 នាក់នឹងមានក្មេងស្រីមិនលើសពី 3 នាក់។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមានក្មេងប្រុសនិងក្មេងស្រីត្រូវបានគេសន្មត់ថាដូចគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមានក្មេងស្រី $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមានកូនប្រុស។ គ្រួសារមួយមិនមានក្មេងស្រីលើសពីបីនាក់ទេ ដែលមានន័យថា មួយ ឬពីរ ឬក្មេងស្រីបីនាក់កើតមក ឬក្មេងប្រុសទាំងអស់នៅក្នុងគ្រួសារ។

ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាមិនមានក្មេងស្រីនៅក្នុងគ្រួសារ ក្មេងស្រីម្នាក់ ពីរ ឬបីនាក់បានកើត៖ $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការគឺ $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16)$ .

ចម្លើយ៖ $\frac(13)(16)$។

ឧទាហរណ៍ 4

អ្នកបាញ់ដំបូងដែលមានការបាញ់មួយអាចឈានដល់កំពូលទាំងដប់ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.6, ប្រាំបួនដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.3 និងប្រាំបីដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.1 ។ តើ​ការ​វាយ​១០​ដង​អាច​នឹង​មាន​អ្វី​ទៅ​ដែល​គាត់​នឹង​វាយ​ដប់​ប្រាំមួយ​ដង ប្រាំបួន​បី​ដង និង​ប្រាំបី​ដង?

n ការពិសោធន៍ត្រូវបានអនុវត្តតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ p. សូមឱ្យ X ជាចំនួនជោគជ័យ។ អថេរចៃដន្យ X មានជួរ (0,1,2,...,n)។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ ដែល C m n គឺជាចំនួនបន្សំពី n ដល់ m ។
ស៊េរីចែកចាយមានទម្រង់៖

x	0	1	...	ម	ន
ទំ	(១-ព.) ន	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	ទំ ន

ច្បាប់ចែកចាយនេះត្រូវបានគេហៅថា binomial ។

ការផ្តល់សេវា. ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតត្រូវប្រើដើម្បីគូរ ស៊េរីការចែកចាយ binomialនិងការគណនាលក្ខណៈទាំងអស់នៃស៊េរី៖ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ភាពខុសគ្នា និងគម្លាតស្តង់ដារ។ របាយការណ៍ដែលមានការសម្រេចចិត្តត្រូវបានគូរឡើងជាទម្រង់ Word (ឧទាហរណ៍)។

ចំនួននៃការសាកល្បង៖ n= , ប្រូបាប៊ីលីតេ p =
ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេតូច p និងមួយចំនួនធំនៃ n (រូបមន្ត np Poisson ។

ការណែនាំវីដេអូ

គ្រោងការណ៍ការធ្វើតេស្ត Bernoulli

លក្ខណៈជាលេខនៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ binomial

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យ X ចែកចាយដោយយោងតាមច្បាប់លេខពីរ។
M[X]=np

ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃអថេរ X ដែលចែកចាយដោយយោងតាមច្បាប់ binomial ។
D[X]=npq

ឧទាហរណ៍ #1 ។ ផលិតផលអាចមានបញ្ហាជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p = 0.3 នីមួយៗ។ ធាតុបីត្រូវបានជ្រើសរើសពីក្រុមមួយ។ X គឺជាចំនួននៃផ្នែកដែលមានបញ្ហាក្នុងចំណោមផ្នែកដែលបានជ្រើសរើស។ ស្វែងរក (បញ្ចូលចម្លើយទាំងអស់ក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគទសភាគ)៖ ក) ស៊េរីចែកចាយ X; ខ) មុខងារចែកចាយ F(x) ។
ការសម្រេចចិត្ត. អថេរចៃដន្យ X មានជួរ (0,1,2,3)។
តោះស្វែងរកស៊េរីចែកចាយ X ។
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0.3) 3 = 0.34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0.3) 3-1 = 0.44

P 3 (3) = p n = 0.3 3 = 0.027

x ខ្ញុំ	0	1	2	3
ភី	0.34	0.44	0.19	0.027

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត M[X]= np = 3*0.3 = 0.9
ការប្រឡង៖ m = ∑ x i p i .
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា M[X].
M[x] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9
ការបែកខ្ញែកត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63
ការប្រឡង៖ d = ∑x 2 i p i − M[x] 2 ។
ការបែកខ្ញែក D[X].
D[X] = 0 2 * 0.34 + 1 2 * 0.44 + 2 2 * 0.19 + 3 2 * 0.027 - 0.9 2 = 0.63
គម្លាត​ស្តង់ដារ σ(x).

មុខងារចែកចាយ F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3))) = 1

1. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងមួយគឺ 0.6 ។ ការធ្វើតេស្តចំនួន 5 ត្រូវបានធ្វើឡើង។ បង្កើតច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ X - ចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។
2. ចងក្រងច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ X នៃចំនួននៃការចុចចូលចំនួនបួនដង ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺ 0.8 ។
3. កាក់មួយត្រូវបានបោះ 7 ដង។ ស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងភាពខុសគ្នានៃចំនួននៃការលេចឡើងនៃអាវធំ។ ចំណាំ៖ នៅទីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃរូបរាងរបស់អាវធំគឺ p = 1/2 (ព្រោះកាក់មានពីរជ្រុង)។

ឧទាហរណ៍ #2 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងតែមួយគឺ 0.6 ។ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Bernoulli កំណត់ចំនួននៃការសាកល្បងឯករាជ្យ ដោយចាប់ផ្តើមពីដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃគម្លាតនៃប្រេកង់នៃព្រឹត្តិការណ៍មួយពីប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វានៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាតគឺតិចជាង 0.1 ធំជាង 0.97 ។ (ចម្លើយ៖ ៨០១)

ឧទាហរណ៍ #3 ។ សិស្សធ្វើតេស្ដក្នុងថ្នាក់វិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ។ ការងារនេះមានបីភារកិច្ច។ ដើម្បីទទួលបានចំណាត់ថ្នាក់ល្អ អ្នកត្រូវស្វែងរកចម្លើយត្រឹមត្រូវចំពោះបញ្ហាយ៉ាងហោចណាស់ពីរ។ បញ្ហានីមួយៗមាន 5 ចម្លើយ ដែលក្នុងនោះមានតែមួយត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណោះ។ សិស្សជ្រើសរើសចម្លើយដោយចៃដន្យ។ តើប្រូបាប៊ីលីតេដែលគាត់នឹងទទួលបានចំណាត់ថ្នាក់ល្អគឺជាអ្វី?
ការសម្រេចចិត្ត. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឆ្លើយសំណួរត្រឹមត្រូវ៖ p=1/5=0.2; n=3.
ទិន្នន័យទាំងនេះត្រូវតែបញ្ចូលទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ សូមមើល P(2)+P(3) សម្រាប់ចម្លើយ។

ឧទាហរណ៍ #4 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេ​នៃ​អ្នក​បាញ់​ប្រហារ​ចំ​គោលដៅ​ដោយ​ការ​បាញ់​មួយ​គ្រាប់​គឺ (m+n)/(m+n+2)។ n + 4 គ្រាប់ត្រូវបានបាញ់។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលគាត់នឹកមិនលើសពីពីរដង។

ចំណាំ. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលគាត់នឹងខកខានមិនលើសពីពីរដងរួមមានព្រឹត្តិការណ៍ដូចខាងក្រោមៈ មិនដែលនឹក P(4) នឹកម្តង P(3) នឹកពីរដង P(2)។

ឧទាហរណ៍លេខ 5 ។ កំណត់ការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំនួនយន្តហោះដែលបរាជ័យ ប្រសិនបើយន្តហោះ 4 ហោះ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃប្រតិបត្តិការមិនបរាជ័យរបស់យន្តហោះ Р=0.99 ។ ចំនួនយន្តហោះដែលបរាជ័យក្នុងប្រភេទនីមួយៗត្រូវបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ binomial ។

ប្រសិនបើការសាកល្បងជាច្រើនត្រូវបានអនុវត្ត ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗមិនអាស្រ័យលើលទ្ធផលនៃការសាកល្បងផ្សេងទៀតទេ នោះការសាកល្បងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យទាក់ទងនឹងព្រឹត្តិការណ៍ A .

នៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យផ្សេងៗគ្នា ព្រឹត្តិការណ៍ A អាចមានប្រូបាប៊ីលីតេខុសៗគ្នា ឬប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា។ យើងនឹងពិចារណាបន្ថែមលើតែការសាកល្បងឯករាជ្យបែបនេះ ដែលព្រឹត្តិការណ៍ A មានប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា។

ខាងក្រោមនេះយើងប្រើគំនិត ស្មុគស្មាញ ព្រឹត្តិការណ៍, ការយល់ដឹងដោយវា។ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ដាច់ដោយឡែកជាច្រើនដែលត្រូវបានគេហៅថា សាមញ្ញ .

អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផលិត ន ការសាកល្បងឯករាជ្យ ក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗ A អាចឬមិនកើតឡើង។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ព្រមសន្មតថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A នៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺដូចគ្នា ពោលគឺវាស្មើនឹង រ . ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមិនកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗក៏ថេរ និងស្មើនឹង q = 1 - ទំ .

ចូរយើងកំណត់ខ្លួនយើងនូវភារកិច្ចនៃការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។ នការធ្វើតេស្តព្រឹត្តិការណ៍ A នឹងកើតឡើងយ៉ាងពិតប្រាកដ k ដង​ហើយ​ដូច្នេះ​នឹង​មិន​ត្រូវ​បាន​ដឹង​ n-k ម្តង។ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការបញ្ជាក់ថាវាមិនតម្រូវឱ្យព្រឹត្តិការណ៍ A កើតឡើងម្តងទៀតពិតប្រាកដនោះទេ។ k ដងក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែបីដងក្នុងការសាកល្បងចំនួនបួន ព្រឹត្តិការណ៍ស្មុគស្មាញខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖ AAA, AAA, AAA, AAA. ការថត អេអេអេមានន័យថា នៅក្នុងការសាកល្បងលើកទីមួយ ទីពីរ និងទីបី ព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ ប៉ុន្តែបានមកប៉ុន្តែនៅក្នុងការធ្វើតេស្តទីបួនវាមិនលេចឡើងទេ i.e. ភាពផ្ទុយគ្នាបានកើតឡើង ប៉ុន្តែ;ធាតុផ្សេងទៀតមានអត្ថន័យដែលត្រូវគ្នា។

សម្គាល់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន R p (k) . ឧទាហរណ៍និមិត្តសញ្ញា R 5 (3) មានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុងការសាកល្បងចំនួនប្រាំ ព្រឹត្តិការណ៍នឹងលេចឡើងយ៉ាងពិតប្រាកដ 3 ដង ហើយដូច្នេះវានឹងមិនកើតឡើង 2 ដងទេ។

បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli ។

ដេរីវេនៃរូបមន្ត Bernoulli. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្សំមួយដែលមាននៅក្នុងការពិតដែលថានៅក្នុង ទំ ព្រឹត្តិការណ៍សាកល្បង ប៉ុន្តែនិង​មក k ម្តងហើយនឹងមិនមកទេ។ n - ក ដង យោងតាមទ្រឹស្តីបទនៃការគុណនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យគឺស្មើនឹង p k q n - k . វា​អាច​មាន​ព្រឹត្តិការណ៍​ស្មុគស្មាញ​ច្រើន​ដូច​ជា​មាន​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​នៃ​ ទំ ធាតុដោយ k ធាតុ, i.e. គ n k .

ចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញទាំងនេះ មិនឆបគ្នា។បន្ទាប់មក យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទនៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ស្មុគស្មាញដែលអាចកើតមានទាំងអស់។. ដោយសារប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ស្មុគស្មាញទាំងអស់នេះគឺដូចគ្នា ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន (នៃការកើតឡើង k ដងព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ ក្នុង ទំ tests) គឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ស្មុគស្មាញមួយ គុណនឹងចំនួនរបស់ពួកគេ៖

រូបមន្តលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត Bernoulli .

ឧទាហរណ៍ ១. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីក្នុងអំឡុងពេលមួយថ្ងៃនឹងមិនលើសពីបទដ្ឋានដែលបានបង្កើតឡើងគឺស្មើនឹង p = 0.75 . ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងរយៈពេល 6 ថ្ងៃបន្ទាប់ ការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីរយៈពេល 4 ថ្ងៃនឹងមិនលើសពីបទដ្ឋាន។

ការសម្រេចចិត្ត. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីធម្មតាក្នុងអំឡុងពេល 6 ថ្ងៃនីមួយៗគឺថេរនិងស្មើនឹង p = 0.75 . ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចំណាយលើសនៃអគ្គិសនីជារៀងរាល់ថ្ងៃក៏ថេរនិងស្មើនឹង q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0.75 \u003d 0.25 ។

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានយោងទៅតាមរូបមន្ត Bernoulli គឺស្មើនឹង៖