ធរណីមាត្រគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រពហុមុខ។ វាអភិវឌ្ឍតក្កវិជ្ជា ការស្រមើលស្រមៃ និងបញ្ញា។ ជាការពិតណាស់ ដោយសារតែភាពស្មុគស្មាញរបស់វា និងចំនួនទ្រឹស្តីបទ និង axioms ដ៏ច្រើន សិស្សសាលាមិនតែងតែចូលចិត្តវាទេ។ លើសពីនេះទៀត ចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ការសន្និដ្ឋានរបស់ពួកគេជានិច្ច ដោយប្រើស្តង់ដារ និងច្បាប់ដែលទទួលយកជាទូទៅ។

មុំជាប់និងបញ្ឈរគឺជាផ្នែកសំខាន់នៃធរណីមាត្រ។ ប្រាកដណាស់ សិស្សសាលាជាច្រើនគ្រាន់តែគោរពពួកគេដោយហេតុផលថាលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេច្បាស់លាស់ និងងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់។

ការបង្កើតជ្រុង

មុំណាមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ ឬដោយការគូរកាំរស្មីពីរពីចំណុចមួយ។ ពួកវាអាចត្រូវបានគេហៅថាអក្សរមួយឬបីដែលកំណត់ចំណុចនៃការសាងសង់ជ្រុងជាបន្តបន្ទាប់។

មុំត្រូវបានវាស់ជាដឺក្រេហើយអាច (អាស្រ័យលើតម្លៃរបស់វា) ត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នា។ ដូច្នេះ មានមុំខាងស្តាំ ស្រួច ស្រួច និងដាក់ពង្រាយ។ ឈ្មោះនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងរង្វាស់កម្រិតជាក់លាក់ ឬចន្លោះពេលរបស់វា។

មុំស្រួចគឺជាមុំដែលរង្វាស់មិនលើសពី 90 ដឺក្រេ។

មុំ obtuse គឺជាមុំធំជាង 90 ដឺក្រេ។

មុំមួយត្រូវបានគេហៅថាត្រឹមត្រូវនៅពេលដែលរង្វាស់របស់វាគឺ 90 ។

ក្នុងករណីដែលវាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់បន្តមួយ ហើយរង្វាស់ដឺក្រេរបស់វាគឺ 180 វាត្រូវបានគេហៅថាដាក់ពង្រាយ។

ជ្រុង​ដែល​មាន​ជ្រុង​រួម ចំណែក​ជ្រុង​ទី​ពីរ​ដែល​បន្ត​គ្នា​ទៅ​វិញ​ទៅ​មក ហៅថា​ជ្រុង​ម្ខាង ។ ពួកវាអាចស្រួចឬមិនច្បាស់។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់បង្កើតជាមុំជាប់គ្នា។ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេមានដូចខាងក្រោម៖

1. ផលបូកនៃមុំបែបនេះនឹងស្មើនឹង 180 ដឺក្រេ (មានទ្រឹស្តីបទបញ្ជាក់នេះ)។ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកគេអាចគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួលប្រសិនបើមួយទៀតត្រូវបានគេស្គាល់។
2. វាធ្វើតាមពីចំណុចដំបូងដែលមុំជាប់គ្នាមិនអាចបង្កើតបានដោយមុំស្រួចពីរឬពីរ។

សូមអរគុណចំពោះលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ មនុស្សម្នាក់តែងតែអាចគណនារង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំដែលផ្តល់តម្លៃនៃមុំមួយផ្សេងទៀត ឬយ៉ាងហោចណាស់សមាមាត្ររវាងពួកវា។

មុំបញ្ឈរ

មុំ​ដែល​ភាគី​ជាប់​គ្នា​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​បញ្ឈរ។ ពូជណាមួយរបស់ពួកគេអាចដើរតួជាគូបែបនេះ។ មុំបញ្ឈរតែងតែស្មើគ្នា។

ពួកវាត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅពេលដែលបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា។ រួមគ្នាជាមួយពួកគេជ្រុងជាប់គ្នាតែងតែមានវត្តមាន។ មុំមួយអាចនៅជាប់គ្នាសម្រាប់មួយ និងបញ្ឈរសម្រាប់មួយទៀត។

នៅពេលឆ្លងកាត់បន្ទាត់បំពាន មុំជាច្រើនប្រភេទទៀតក៏ត្រូវបានពិចារណាផងដែរ។ បន្ទាត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា secant ហើយវាបង្កើតជាមុំដែលត្រូវគ្នា មួយចំហៀង និងឆ្លងកាត់។ ពួកគេស្មើគ្នា។ ពួកគេអាចត្រូវបានមើលដោយពន្លឺនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមុំបញ្ឈរនិងនៅជាប់គ្នា។

ដូច្នេះ ប្រធានបទនៃជ្រុងហាក់ដូចជាសាមញ្ញ និងអាចយល់បាន។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់របស់ពួកគេគឺងាយស្រួលក្នុងការចងចាំនិងបញ្ជាក់។ ការដោះស្រាយបញ្ហាមិនពិបាកទេ ដរាបណាមុំត្រូវគ្នានឹងតម្លៃលេខ។ លើសពីនេះទៅទៀត នៅពេលដែលការសិក្សាអំពីអំពើបាប និង cos ចាប់ផ្តើម អ្នកនឹងត្រូវទន្ទេញចាំរូបមន្តស្មុគស្មាញជាច្រើន ការសន្និដ្ឋាន និងផលវិបាករបស់វា។ រហូតមកដល់ពេលនោះ អ្នកគ្រាន់តែអាចរីករាយជាមួយល្បែងផ្គុំរូបងាយៗ ដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកជ្រុងដែលនៅជាប់គ្នា។

ជំពូក I.

គំនិតជាមូលដ្ឋាន។

§ ដប់មួយ មុំជាប់គ្នា និងបញ្ឈរ។

1. ជ្រុងជាប់គ្នា។

ប្រសិនបើយើងបន្តផ្នែកម្ខាងនៃជ្រុងណាមួយហួសពីចំនុចកំពូលរបស់វា យើងនឹងទទួលបានជ្រុងពីរ (រូបភាព 72)៖ / ព្រះអាទិត្យមួយនិង / SVD ដែលផ្នែកម្ខាង BC គឺជារឿងធម្មតា ហើយពីរទៀត AB និង BD បង្កើតជាបន្ទាត់ត្រង់។

មុំពីរដែលមានជ្រុងម្ខាងដូចគ្នា ហើយពីរទៀតបង្កើតជាបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថាមុំជាប់គ្នា។

មុំជាប់គ្នាក៏អាចទទួលបានតាមរបៀបនេះផងដែរ៖ ប្រសិនបើយើងគូរកាំរស្មីពីចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ (មិនដេកលើបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ) នោះយើងទទួលបានមុំនៅជាប់គ្នា។
ឧទាហរណ៍, / ADF និង / FDВ - ជ្រុងជាប់គ្នា (រូបភាព 73) ។

ជ្រុងជាប់គ្នាអាចមានមុខតំណែងច្រើនប្រភេទ (រូបភាព 74)។

មុំជាប់គ្នា បន្ថែមទៅមុំត្រង់ ដូច្នេះ អ៊ុំម៉ានៃមុំជាប់គ្នាគឺ 2ឃ.

ដូច្នេះ មុំខាងស្តាំអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាមុំស្មើនឹងមុំជាប់របស់វា។

ដោយដឹងពីតម្លៃនៃមុំមួយនៅជាប់គ្នា យើងអាចរកឃើញតម្លៃនៃមុំដែលនៅជាប់គ្នាផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើមុំមួយនៅជាប់គ្នាគឺ 3/5 ឃបន្ទាប់មកមុំទីពីរនឹងស្មើនឹង៖

2ឃ- 3 / 5 ឃ= លីត្រ 2/5 ឃ.

2. មុំបញ្ឈរ។

ប្រសិនបើយើងពង្រីកជ្រុងនៃមុំហួសពីចំនុចកំពូលរបស់វា យើងទទួលបានមុំបញ្ឈរ។ ក្នុងគំនូរ 75 មុំ EOF និង AOC គឺបញ្ឈរ។ មុំ AOE និង COF ក៏បញ្ឈរផងដែរ។

មុំពីរត្រូវបានគេហៅថាបញ្ឈរប្រសិនបើជ្រុងនៃមុំមួយគឺជាផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងនៃមុំផ្សេងទៀត។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន / 1 = 7 / 8 ឃ(រូបភាព 76) ។ នៅជាប់នឹងវា។ / 2 នឹងស្មើ 2 ឃ- 7 / 8 ឃ, ឧ. 1 1/8 ឃ.

តាមរបៀបដូចគ្នាអ្នកអាចគណនាអ្វីដែលស្មើនឹង / 3 និង / 4.
/ 3 = 2ឃ - 1 1 / 8 ឃ = 7 / 8 ឃ; / 4 = 2ឃ - 7 / 8 ឃ = 1 1 / 8 ឃ(រូបភាព 77) ។

យើងឃើញនោះ។ / 1 = / 3 និង / 2 = / 4.

អ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាដូចគ្នាមួយចំនួនទៀត ហើយរាល់ពេលដែលអ្នកទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា៖ មុំបញ្ឈរគឺស្មើគ្នា។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីធ្វើឱ្យប្រាកដថាមុំបញ្ឈរតែងតែស្មើគ្នា វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេក្នុងការពិចារណាលើឧទាហរណ៍ជាលេខរៀងៗខ្លួន ព្រោះការសន្និដ្ឋានដែលដកចេញពីឧទាហរណ៍ជាក់លាក់អាចពេលខ្លះខុស។

វាចាំបាច់ក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃមុំបញ្ឈរដោយហេតុផលដោយភស្តុតាង។

ភស្តុតាងអាចត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម (រូបភាព 78):

/ ក +/ គ = 2ឃ;
/ b+/ គ = 2ឃ;

(ចាប់តាំងពីផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាគឺ 2 ឃ).

/ ក +/ គ = / b+/ គ

(ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពនេះគឺស្មើនឹង 2 ឃហើយផ្នែកខាងស្តាំរបស់វាក៏ស្មើនឹង 2 ផងដែរ។ ឃ).

សមភាពនេះរួមបញ្ចូលមុំដូចគ្នា។ ជាមួយ.

ប្រសិនបើយើងដកស្មើគ្នាពីតម្លៃស្មើគ្នា នោះវានឹងនៅដដែល។ លទ្ធផលនឹងជា៖ / ក = / ខពោលគឺ មុំបញ្ឈរគឺស្មើគ្នា។

នៅពេលពិចារណាលើសំណួរនៃមុំបញ្ឈរ យើងបានពន្យល់ដំបូងថាមុំមួយណាត្រូវបានគេហៅថាបញ្ឈរ ពោលគឺយើងបានផ្តល់ឱ្យ និយមន័យជ្រុងបញ្ឈរ។

បន្ទាប់មកយើងបានធ្វើការវិនិច្ឆ័យ (សេចក្តីថ្លែងការណ៍) អំពីសមភាពនៃមុំបញ្ឈរ ហើយយើងជឿជាក់លើសុពលភាពនៃការវិនិច្ឆ័យនេះដោយភស្តុតាង។ ការវិនិច្ឆ័យបែបនេះ សុពលភាពដែលត្រូវតែបញ្ជាក់ ហៅថា ទ្រឹស្តីបទ. ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងបានផ្ដល់និយមន័យនៃមុំបញ្ឈរ ហើយក៏បានបញ្ជាក់ និងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទអំពីទ្រព្យសម្បត្តិរបស់វា។

នៅពេលអនាគត នៅពេលសិក្សាធរណីមាត្រ យើងនឹងត្រូវជួបជានិច្ចជាមួយនឹងនិយមន័យ និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ។

3. ផលបូកនៃមុំដែលមានចំនុចកំពូលរួម។

នៅលើគំនូរ 79 / 1, / 2, / 3 និង / 4 មានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយមានចំនុចកំពូលធម្មតានៅលើបន្ទាត់ត្រង់នេះ។ សរុបមក មុំទាំងនេះបង្កើតបានជាមុំត្រង់ ពោលគឺឧ។
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2ឃ.

នៅលើគំនូរ 80 / 1, / 2, / 3, / 4 និង / 5 មានកំពូលធម្មតា។ សរុបមក មុំទាំងនេះបង្កើតបានជាមុំពេញលេញ ពោលគឺ។ / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ឃ.

លំហាត់។

1. មុំមួយនៅជាប់គ្នាគឺ 0.72 ឃ.គណនាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយ bisectors នៃមុំជាប់គ្នាទាំងនេះ។

2. បង្ហាញថា bisectors នៃមុំជាប់គ្នាពីរបង្កើតជាមុំខាងស្តាំ។

3. បញ្ជាក់​ថា​ប្រសិនបើ​មុំ​ពីរ​ស្មើគ្នា​នោះ​មុំ​ជាប់​គ្នា​ក៏​ស្មើគ្នា​ដែរ។

4. តើជ្រុងជាប់គ្នាប៉ុន្មានគូក្នុងគំនូរ 81?

5. តើមុំជាប់គ្នាអាចមានមុំស្រួចពីរបានទេ? ពីជ្រុង obtuse? ពីមុំខាងស្តាំ និងមុំស្រួច? ពីមុំខាងស្តាំ និងស្រួច?

6. ប្រសិនបើមុំមួយនៅជាប់គ្នាត្រឹមត្រូវ នោះតើអ្វីអាចនិយាយបានអំពីតម្លៃនៃមុំដែលនៅជាប់នឹងវា?

7. ប្រសិនបើនៅចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីរមានមុំខាងស្តាំមួយ តើអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីទំហំនៃមុំបីដែលនៅសល់?

មេរៀនទី ៨ មុំពីរត្រូវបានគេហៅថាបញ្ឈរ ប្រសិនបើជ្រុងនៃមុំមួយគឺជាផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងម្ខាងទៀត។ ទ្រឹស្តីបទ។ មុំបញ្ឈរគឺស្មើគ្នា។ ភស្តុតាង៖ = = 180 ស្រដៀងគ្នា = = = 3 2 = 4 ការដោះស្រាយបញ្ហា៖ 64, 66 កិច្ចការផ្ទះ៖ ធាតុ 11, 66, 67

ការសរសេរតាមរូបមន្តគណិតវិទ្យា។ ជម្រើស 1 ។ 1. បំពេញប្រយោគ៖ "ប្រសិនបើមុំ 1 និង 2 នៅជាប់គ្នា នោះផលបូករបស់វា ... " 2. តើមុំដែលនៅជាប់នឹងមុំ 30 ដឺក្រេ ស្រួច ស្រួច ឬត្រូវ? 3. ផលបូកនៃមុំពីរគឺ 180 ដឺក្រេ។ តើមុំទាំងនេះត្រូវតែនៅជាប់គ្នាទេ? 4. បន្ទាត់ AM និង CE ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O ដែលស្ថិតនៅចន្លោះពួកវា។ តើ​នេះ​បាន​លទ្ធផល​ជា​មុំ​បញ្ឈរ​ទេ? បើបាទ/ចាស សូមដាក់ឈ្មោះពួកគេ។ 5. តើមុំមួយណាប្រសិនបើមុំបញ្ឈរជាមួយវាគឺ 34 ដឺក្រេ? 6. មុំមួយក្នុងចំណោមមុំទាំងបួនដែលកើតចេញពីចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីរគឺ 140 ដឺក្រេ។ តើមុំនៅសល់អ្វីខ្លះ? 7. ជ្រុងពីរមានកំពូលរួម ជ្រុងទីមួយគឺ 40 ដឺក្រេ ទីពីរគឺ 140 ដឺក្រេ។ តើជ្រុងទាំងនេះបញ្ឈរទេ? ជម្រើសទី 2 ។ 1. បំពេញប្រយោគ៖ "មុំពីរត្រូវបានគេហៅថានៅជាប់គ្នា ប្រសិនបើម្ខាងធម្មតា និងមួយទៀត... 3. ផលបូកនៃមុំពីរដែលមានជ្រុងរួមនៃ 180 ដឺក្រេ។ តើមុំទាំងនេះត្រូវតែនៅជាប់គ្នាទេ? 4. សិស្សសង់ 2 ជ្រុងបញ្ឈរ។ តើ​បន្ទាត់​ត្រង់​នេះ​បាន​លទ្ធផល​ប៉ុន្មាន​គូ? 5. ជ្រុងពីរមានចំនុចកំពូលរួម ដែលជ្រុងនីមួយៗគឺស្មើនឹង 60 ដឺក្រេ។ តើមុំទាំងនេះត្រូវតែបញ្ឈរទេ? 6. មុំមួយក្នុងចំណោមមុំទាំងបួនដែលកើតចេញពីចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីរគឺ 80 ដឺក្រេ។ តើមុំនៅសល់អ្វីខ្លះ? 7. តើមុំមួយណាប្រសិនបើមុំបញ្ឈរជាមួយវាគឺ 120 ដឺក្រេ?

ចម្លើយ។ 1. ស្មើ 180 ដឺក្រេ 2. មុំ Obtuse 3. ទេ 4. មុំ AOC និង EOM, AOE និង COM ដឺក្រេ និង 40 ដឺក្រេ 7. បាទ 1. កាំរស្មីបន្ថែម 2. មុំស្រួច 3. ទេ 4. មួយគូ 5. គ្មាន និង 100 ដឺក្រេដឺក្រេ