Fractals ត្រូវបានគេស្គាល់អស់រយៈពេលជិតមួយសតវត្សមកហើយ ត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងល្អ និងមានកម្មវិធីជាច្រើនក្នុងជីវិត។ បាតុភូតនេះគឺផ្អែកលើគំនិតដ៏សាមញ្ញមួយ៖ ចំនួនដ៏គ្មានកំណត់នៃរូបសម្រស់ និងភាពខុសគ្នាអាចទទួលបានពីរចនាសម្ព័ន្ធសាមញ្ញដោយគ្រាន់តែប្រើប្រតិបត្តិការពីរប៉ុណ្ណោះគឺការចម្លង និងការធ្វើមាត្រដ្ឋាន។

គំនិតនេះមិនមាននិយមន័យតឹងរ៉ឹងទេ។ ដូច្នេះហើយ ពាក្យ «ប្រភាគ» មិនមែនជាពាក្យគណិតវិទ្យាទេ។ នេះជាធម្មតាឈ្មោះនៃតួលេខធរណីមាត្រដែលបំពេញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិមួយ ឬច្រើនខាងក្រោម៖

• មានរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញនៅការពង្រីកណាមួយ;
• គឺ (ប្រហែល) ស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង;
• មានវិមាត្រប្រភាគ Hausdorff (fractal) ដែលធំជាងផ្នែក topological ។
• អាច​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​នីតិវិធី​ដដែលៗ។

នៅវេននៃសតវត្សទី 19 និងទី 20 ការសិក្សាអំពី fractals គឺមានលក្ខណៈជាប្រព័ន្ធ ពីព្រោះគណិតវិទូសម័យមុនភាគច្រើនសិក្សាវត្ថុ "ល្អ" ដែលអាចសិក្សាបានដោយប្រើវិធីសាស្រ្ត និងទ្រឹស្តីទូទៅ។ នៅឆ្នាំ 1872 គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ Karl Weierstrass បានបង្កើតឧទាហរណ៍នៃមុខងារបន្តដែលមិនមានកន្លែងណាខុសគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសាងសង់របស់វាមានលក្ខណៈអរូបី និងពិបាកយល់។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងឆ្នាំ 1904 ស៊ុយអែត Helge von Koch បានបង្កើតជាខ្សែកោងជាប់គ្នា ដែលមិនមានតង់សង់នៅកន្លែងណាមួយ ហើយវាសាមញ្ញណាស់ក្នុងការគូរវា។ វាបានប្រែក្លាយថាវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃ fractal មួយ។ បំរែបំរួលមួយនៃខ្សែកោងនេះត្រូវបានគេហៅថា Koch snowflake ។

គំនិតនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃតួលេខត្រូវបានជ្រើសរើសដោយជនជាតិបារាំង Paul Pierre Levy ដែលជាអ្នកណែនាំអនាគតរបស់ Benoit Mandelbrot ។ នៅឆ្នាំ 1938 អត្ថបទរបស់គាត់ "ខ្សែកោងយន្តហោះ និងលំហ និងផ្ទៃដែលមានផ្នែកស្រដៀងនឹងទាំងមូល" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះ ប្រភាគមួយទៀតត្រូវបានពិពណ៌នា - ខ្សែកោង Lévy C-curve ។ ទាំងអស់នៃ fractal ខាងលើអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈតាមលក្ខខណ្ឌទៅនឹងថ្នាក់មួយនៃ constructive (geometric) fractal ។

ថ្នាក់មួយទៀតគឺថាមវន្ត (ពិជគណិត) fractal ដែលរួមបញ្ចូលសំណុំ Mandelbrot ។ ការសិក្សាដំបូងក្នុងទិសដៅនេះមានតាំងពីដើមសតវត្សទី 20 ហើយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Gaston Julia និង Pierre Fatou ។ នៅឆ្នាំ 1918 ស្ទើរតែពីររយទំព័រនៃការងាររបស់ Julia ត្រូវបានបោះពុម្ពដោយឧទ្ទិសដល់ការធ្វើឡើងវិញនៃមុខងារសនិទានភាពស្មុគ្រស្មាញដែលក្នុងនោះសំណុំ Julia ត្រូវបានពិពណ៌នា - ក្រុមគ្រួសារទាំងមូលនៃ fractal ដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងសំណុំ Mandelbrot ។ ស្នាដៃនេះត្រូវបានប្រគល់រង្វាន់ពីបណ្ឌិតសភាបារាំង ប៉ុន្តែវាមិនមានរូបគំនូរតែមួយទេ ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកោតសរសើរចំពោះភាពស្រស់ស្អាតនៃវត្ថុដែលបានរកឃើញ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាការងារនេះបានធ្វើឱ្យ Julia ល្បីល្បាញក្នុងចំណោមគណិតវិទូសម័យនោះវាត្រូវបានបំភ្លេចចោលយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

ត្រឹមតែកន្លះសតវត្សក្រោយមក ជាមួយនឹងការមកដល់នៃកុំព្យូទ័រ ការយកចិត្តទុកដាក់បានងាកទៅរកការងាររបស់ Julia និង Fatou៖ វាគឺជាអ្នកដែលបានធ្វើឱ្យភាពសម្បូរបែប និងភាពស្រស់ស្អាតនៃពិភពនៃ fractals មើលឃើញ។ យ៉ាងណាមិញ Fatou មិនអាចមើលរូបភាពដែលឥឡូវនេះយើងដឹងថាជារូបភាពនៃឈុត Mandelbrot ទេ ពីព្រោះចំនួនដែលត្រូវការនៃការគណនាមិនអាចធ្វើដោយដៃបានទេ។ មនុស្សដំបូងគេដែលប្រើកុំព្យូទ័រសម្រាប់នេះគឺ Benoit Mandelbrot ។

នៅឆ្នាំ 1982 សៀវភៅរបស់ Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះអ្នកនិពន្ធបានប្រមូល និងរៀបចំជាប្រព័ន្ធនូវព័ត៌មានស្ទើរតែទាំងអស់អំពី fractal ដែលមាននៅពេលនោះ ហើយបង្ហាញវាក្នុងលក្ខណៈងាយស្រួល និងអាចចូលដំណើរការបាន។ Mandelbrot បានសង្កត់ធ្ងន់ជាចម្បងនៅក្នុងបទបង្ហាញរបស់គាត់ មិនមែនលើរូបមន្តសញ្ជឹងគិត និងការស្ថាបនាគណិតវិទ្យានោះទេ ប៉ុន្តែនៅលើវិចារណញាណធរណីមាត្ររបស់អ្នកអាន។ សូមអរគុណដល់កុំព្យូទ័រដែលបានបង្កើតរូបភាព និងរឿងប្រវត្តិសាស្ត្រ ដែលអ្នកនិពន្ធបានបំប្លែងសមាសធាតុវិទ្យាសាស្ត្រនៃអក្សរកាត់យ៉ាងប៉ិនប្រសប់ សៀវភៅនេះបានក្លាយជាសៀវភៅលក់ដាច់បំផុត ហើយ Fractal ត្រូវបានគេស្គាល់ដល់សាធារណជនទូទៅ។ ភាពជោគជ័យរបស់ពួកគេក្នុងចំណោមអ្នកមិនគណិតវិទ្យាគឺភាគច្រើនដោយសារតែការពិតដែលថាដោយមានជំនួយពីសំណង់សាមញ្ញបំផុតនិងរូបមន្តដែលសូម្បីតែសិស្សវិទ្យាល័យក៏អាចយល់បានរូបភាពនៃភាពស្មុគស្មាញនិងភាពស្រស់ស្អាតដ៏អស្ចារ្យត្រូវបានទទួល។ នៅពេលដែលកុំព្យូទ័រផ្ទាល់ខ្លួនមានថាមពលគ្រប់គ្រាន់ សូម្បីតែទំនោរសិល្បៈទាំងមូលក៏លេចចេញមកដែរ - ការគូររូបប្រភាគ ហើយស្ទើរតែគ្រប់ម្ចាស់កុំព្យូទ័រអាចធ្វើវាបាន។ ឥឡូវនេះនៅលើអ៊ីនធឺណិតអ្នកអាចស្វែងរកគេហទំព័រជាច្រើនយ៉ាងងាយស្រួលដែលឧទ្ទិសដល់ប្រធានបទនេះ។

ទ្រឹស្តីប្រភាគ

អ្នកទាក់ទាញចម្លែកតែងតែមានវិមាត្រប្រភាគ។ ដូច្នេះ ដើម្បីពណ៌នាអំពីភាពវឹកវរ ឧបករណ៍នៃធរណីមាត្រ fractal ត្រូវបានប្រើ ដែលពិពណ៌នាអំពី "រចនាសម្ព័ន្ធនៃភាពវឹកវរ" ។

ពាក្យ "Fractal" ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Benoit Mandelbrot ។ នៅក្នុងសៀវភៅចំនួនបីរបស់គាត់ (“Fractal Objects: Form, Chance and Dimension”, 1975, “Fractals: Form, Chance and Dimension”, 1977; “Fractal Geometry of Nature”, 1977) Mandelbrot បានស្នើរសុំនូវធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean ។ - រលោង, គ្រើម, កន្ត្រាក់, រណ្តៅ និងរន្ធ, រដុប ។ល។ វត្ថុ។ វាគឺជាវត្ថុ "ខុស" ដែលបង្កើតបានជាវត្ថុភាគច្រើននៅក្នុងធម្មជាតិ។ B. Mandelbrot ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានពិពណ៌នាអំពីទ្រឹស្តីដែលគាត់បានបង្កើតថាជា morphology នៃ formless ។

"ធរណីមាត្រនៃធម្មជាតិ" ដោយ B. Mandelbrot បើកដោយពាក្យដូចខាងក្រោម: "ហេតុអ្វីបានជាធរណីមាត្រត្រូវបានគេហៅថា "ត្រជាក់" និង "ស្ងួត"? ហេតុផលមួយគឺនាងអសមត្ថភាពក្នុងការពណ៌នាអំពីរូបរាងពពក ភ្នំ ឆ្នេរសមុទ្រ ឬដើមឈើ។ ពពកមិនមែនជារាងស្វ៊ែរ ភ្នំមិនមែនជាកោណ ឆ្នេរសមុទ្រមិនមែនជារង្វង់ សំបកដើមឈើមិនរលោង ផ្លេកបន្ទោរមិនធ្វើដំណើរត្រង់។ ជាទូទៅ ខ្ញុំកំពុងជជែកវែកញែកថា វត្ថុជាច្រើននៅក្នុង Nature មានភាពមិនទៀងទាត់ និងបែកខ្ញែកគ្នា បើប្រៀបធៀបទៅនឹង Euclid ដែលជាពាក្យដែលនៅក្នុងការងារនេះមានន័យថាធរណីមាត្រស្តង់ដារទាំងអស់ - ធម្មជាតិមិនត្រឹមតែមានភាពស្មុគស្មាញជាងនោះទេ ប៉ុន្តែកម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញខុសគ្នាទាំងស្រុង។ ចំនួនមាត្រដ្ឋានប្រវែងខុសៗគ្នានៃវត្ថុធម្មជាតិសម្រាប់គោលបំណងជាក់ស្តែងទាំងអស់គឺគ្មានកំណត់” Danilov Yu.A. ភាពស្រស់ស្អាតនៃ fractals ។ គេហទំព័រ៖ http://sky.kuban.ru/socio_etno/iphrRAS/~mifs/work.htm ។

Euclid បានកាត់បន្ថយធម្មជាតិទៅជាវត្ថុសុទ្ធ និងស៊ីមេទ្រី៖ ចំណុចមួយ បន្ទាត់មួយវិមាត្រ យន្តហោះពីរវិមាត្រ តួបីវិមាត្រ។ គ្មានវត្ថុទាំងនេះមានរន្ធ និងភាពមិនប្រក្រតីខាងក្រៅទេ។ នីមួយៗមានរាងរលោងត្រឹមត្រូវ។ វត្ថុធម្មជាតិនៃទម្រង់រដុបមិនមែនជាពូជនៃរចនាសម្ព័ន្ធ Euclidean សុទ្ធទេ។ ទម្រង់ធម្មជាតិ និងស៊េរីពេលវេលាភាគច្រើនត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងល្អបំផុតដោយ fractal ។

Mandelbrot បានបង្កើតពាក្យ fractal (មកពីពាក្យឡាតាំង "fractus" - ប្រភាគ, បែងចែក) ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តី Besikovich-Hausdorff នៃវិមាត្រ fractal (ប្រភាគ) ដែលបានស្នើឡើងនៅឆ្នាំ 1919 ។

វិមាត្រ Besicovich-Hausdorff ស្របគ្នានឹង Euclidean សម្រាប់វត្ថុធរណីមាត្រធម្មតា (សម្រាប់ខ្សែកោង ផ្ទៃ និងតួដែលបានសិក្សានៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាទំនើបនៃធរណីមាត្រ Euclidean)។ វិមាត្រ Besicovich-Hausdorff នៃវត្ថុទាក់ទាញ Lorentz ចម្លែកគឺធំជាង 2 ប៉ុន្តែតិចជាង 3៖ កន្លែងទាក់ទាញ Lorentz លែងជាផ្ទៃរលោងទៀតហើយ ប៉ុន្តែមិនទាន់មានរូបរាងបីវិមាត្រនៅឡើយ។

យើង​មាន​ទំនោរ​គិត​ថា​រាល់​វត្ថុ​សំប៉ែត​គឺ​មាន​ពីរ​វិមាត្រ។ ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា បើ​និយាយ​តាម​គណិត​វិទ្យា នេះ​មិន​មែន​ជា​ករណី​នោះ​ទេ។ យន្តហោះ Euclidean គឺជាផ្ទៃរាបស្មើ គ្មានស្នាមប្រេះ និងបែក។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងសន្មត់ថាវត្ថុដែលមានជម្រៅគឺបីវិមាត្រ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean វត្ថុបីវិមាត្រ គឺជារូបកាយរឹង គ្មានរន្ធ ឬស្នាមប្រេះ។ វត្ថុពិតភាគច្រើនមិនរឹងទេ - ពួកវាមានចន្លោះប្រហោង និងប្រហោង ហើយមានទីតាំងនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ។ ជាឧទាហរណ៍ ភ្នំ និងពពកមានទំហំចន្លោះពីពីរទៅបី។ លក្ខណៈមួយនៃវត្ថុ fractal គឺថាពួកវាទុកវិមាត្រផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេនៅពេលដាក់ក្នុងចន្លោះនៃវិមាត្រធំជាង fractal របស់វា។ ការចែកចាយដោយចៃដន្យ (សម្លេងពណ៌ស) មិនមានលក្ខណៈនេះទេ។ សំឡេង​ស​បំពេញ​ចន្លោះ​របស់​វា ដូច​ជា​ឧស្ម័ន​បំពេញ​បរិមាណ។ ប្រសិនបើបរិមាណឧស្ម័នជាក់លាក់មួយត្រូវបានដាក់ក្នុងធុងដែលមានបរិមាណធំជាង នោះឧស្ម័ននឹងរាលដាលយ៉ាងសាមញ្ញទៅក្នុងលំហធំជាង ព្រោះគ្មានអ្វីអាចភ្ជាប់ម៉ូលេគុលឧស្ម័នជាមួយគ្នាបានទេ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត អង្គធាតុរឹងមានម៉ូលេគុលនៅជាប់គ្នា។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ នៅក្នុងស៊េរីពេលវេលា fractal ទីតាំងនៃពិន្ទុត្រូវបានកំណត់ដោយការជាប់ទាក់ទងគ្នាដែលមិនមាននៅក្នុងស៊េរីចៃដន្យមួយ។ ស៊េរីពេលវេលានឹងចៃដន្យតែប៉ុណ្ណោះ ប្រសិនបើវាជាលទ្ធផលនៃចំនួនដ៏ច្រើននៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលប្រហែលស្មើគ្នា។ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃស្ថិតិ - វាមានចំនួនច្រើននៃដឺក្រេនៃសេរីភាព។ ស៊េរីពេលវេលាដែលមិនចៃដន្យនឹងឆ្លុះបញ្ចាំងពីធម្មជាតិមិនចៃដន្យនៃឥទ្ធិពល។ ការលោតនៅក្នុងទិន្នន័យនឹងផ្គូផ្គងការលោតនៅក្នុងកត្តាដែលមានឥទ្ធិពល ដោយឆ្លុះបញ្ចាំងពីការជាប់ទាក់ទងគ្នារបស់វា។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ស៊េរីពេលវេលានឹងជាប្រភាគ។ វិមាត្រប្រភាគត្រូវបានកំណត់ដោយរបៀបដែលវត្ថុឬស៊េរីពេលវេលាបំពេញចន្លោះ។ វត្ថុប្រភាគមួយបំពេញចន្លោះមិនស្មើគ្នា ដោយសារផ្នែករបស់វាអាស្រ័យ ឬជាប់ទាក់ទងគ្នា។ ដើម្បីកំណត់វិមាត្រប្រភាគ យើងត្រូវកំណត់ពីរបៀបដែលវត្ថុមួយត្រូវបានដាក់ជាក្រុមជាមួយគ្នានៅក្នុងចន្លោះ Peters របស់វា។ E. ភាពវឹកវរ និងសណ្តាប់ធ្នាប់នៅក្នុងទីផ្សារមូលធន។ ទស្សនវិស័យវិភាគថ្មីលើវដ្ត តម្លៃ និងការប្រែប្រួលទីផ្សារ។ M.: Mir, 2000. P.80..

នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean កាលណាយើងក្រឡេកទៅជិតវត្ថុមួយ វាកាន់តែសាមញ្ញ។ ប្លុក 3D ក្លាយជាយន្តហោះ 2D បន្ទាប់មកជាបន្ទាត់ 1D រហូតដល់វាក្លាយជាចំណុច។ នៅក្នុងវត្ថុ fractal (ធម្មជាតិ) នៅពេលអ្នកកើនឡើង ព័ត៌មានលម្អិតកាន់តែច្រើនត្រូវបានបង្ហាញ។ លក្ខណៈពិសេសប្លែកនៃវត្ថុ fractal គឺថាព័ត៌មានលម្អិតនីមួយៗមានរចនាសម្ព័ន្ធរួម។ និយមន័យមួយនៃ fractal និយាយថា: fractal គឺជារចនាសម្ព័ន្ធស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។ ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង (វិវាទមាត្រដ្ឋាន) គឺជាបាតុភូតមួយដែលមាននៅក្នុងការពិតដែលថាផ្នែកតូចៗនៃវត្ថុមានគុណភាពដូចគ្នាទៅនឹងវត្ថុទាំងមូល ឬស្រដៀងនឹងវា ម្យ៉ាងវិញទៀត ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមើលទៅប្រហាក់ប្រហែលគ្នាលើទំហំតូចតាមអំពើចិត្ត។ នៅក្នុងស៊េរីពេលវេលាប្រភាគ ចន្លោះពេលតូចនឹងមានលក្ខណៈស្ថិតិស្រដៀងនឹងចន្លោះពេលធំ។ ទម្រង់ Fractal បង្ហាញពីភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃលំហ។ ស៊េរីពេលវេលា Fractal មានស្ថិតិស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៅក្នុងពេលវេលា។

ដូច្នេះ យើងបានជួបជាមួយនឹងនិយមន័យពីរនៃ fractal (តាមរយៈវិមាត្រប្រភាគ និងតាមរយៈលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមាត្រដ្ឋាន invariance)។ និយមន័យចុងក្រោយនៃ fractal មិនទាន់ត្រូវបានរកឃើញនៅឡើយទេ។ វាអាចទៅរួចដែលថាវានឹងមិនកើតឡើងទេព្រោះធរណីមាត្រ fractal គឺជាធរណីមាត្រនៃធម្មជាតិ។

ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថា វិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញកំណត់ទីតាំងនៃចំណុចនៅចំណុចជាក់លាក់មួយក្នុងពេលវេលា តាមរយៈទីតាំងរបស់វានៅចំណុចមុនក្នុងពេលវេលា នោះគឺជាមតិកែលម្អដំណើរការ។ នៅក្នុងទម្រង់នៃក្បួនដោះស្រាយ នេះអាចត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម: "រដ្ឋដំបូង" + "ការបង្កើតនីតិវិធីមួយជំហានម្តង ៗ" = "រចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគដែលបានលាតត្រដាង" ។ សំណុំ Fractal ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ដោយ​មាន​ជំនួយ​នៃ​សមីការ​មិនមែន​លីនេអ៊ែរ​ដែល​ពិពណ៌នា​អំពី​ប្រព័ន្ធ​មតិកែលម្អ​ថាមវន្ត។ ប្រភាគគឺជាដែនកំណត់នៃច្បាប់បង្កើត។ Fractal គឺជារចនាសម្ព័ន្ធរៀបចំដោយខ្លួនឯង ហើយច្បាប់បង្កើតអាចត្រូវបានគេយល់ថាជាអ្នកចម្លង ដែលជា "ប្រធានបទ" នៃការរៀបចំខ្លួនឯង។

ជាគោលការណ៍ ធរណីមាត្រ fractal គឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឯករាជ្យទាំងស្រុង ប៉ុន្តែគំនិតរបស់វាត្រូវបាន "បញ្ចូលគ្នា" យ៉ាងទូលំទូលាយដោយ synergetics ហើយ synergetics ធ្លាប់បានបំផុសគំនិត Benoit Mandelbrot ក្នុងការសិក្សាអំពីវត្ថុ fractal ។ ដូច្នេះហើយ យើងនឹងមិនគូសព្រំដែនតឹងរឹងរវាងវិធីសាស្រ្តរួមផ្សំ និងទ្រឹស្តីនៃប្រភាគទេ។

មានពីរប្រភេទនៃ fractal: កំណត់និងចៃដន្យ។ កំណត់ fractals គឺស៊ីមេទ្រីនៅក្នុងករណីភាគច្រើន។ ប៉ុន្តែធម្មជាតិបដិសេធស៊ីមេទ្រី ដូច្នេះវត្ថុធម្មជាតិត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រើ fractal ចៃដន្យ។ Fractal ចៃដន្យមិនតែងតែរួមបញ្ចូលផ្នែកដែលមើលទៅដូចទាំងមូលនោះទេ។ ផ្នែក និងទាំងមូលអាចទាក់ទងគ្នាតាមគុណភាព។ Fractal ចៃដន្យគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃច្បាប់បង្កើតដែលត្រូវបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យតាមមាត្រដ្ឋានផ្សេងៗគ្នា។

ដូចដែលវាបានក្លាយទៅជាច្បាស់លាស់នៅក្នុងប៉ុន្មានទសវត្សរ៍ថ្មីៗនេះ (ទាក់ទងនឹងការវិវត្តនៃទ្រឹស្តីនៃការរៀបចំដោយខ្លួនឯង) ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងកើតឡើងនៅក្នុងភាពខុសគ្នាដ៏ធំទូលាយនៃវត្ថុនិងបាតុភូត។ ជាឧទាហរណ៍ ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងអាចត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅក្នុងមែកឈើ និងគុម្ពឈើ នៅក្នុងការបែងចែកនៃហ្សីហ្គោតដែលមានជីជាតិ ផ្កាព្រិល គ្រីស្តាល់ទឹកកក ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ប្រព័ន្ធសេដ្ឋកិច្ច នៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធនៃប្រព័ន្ធភ្នំ ពពក។

វត្ថុដែលបានរាយបញ្ជីទាំងអស់ និងវត្ថុផ្សេងទៀតស្រដៀងនឹងពួកវានៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធរបស់ពួកគេគឺ fractal ។ នោះគឺពួកគេមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ឬភាពមិនប្រែប្រួលនៃមាត្រដ្ឋាន។ ហើយនេះមានន័យថាបំណែកខ្លះនៃរចនាសម្ព័ន្ធរបស់ពួកគេត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅចន្លោះពេលជាក់លាក់។ ជាក់ស្តែង វត្ថុទាំងនេះអាចមានលក្ខណៈធម្មជាតិណាមួយ ហើយរូបរាង និងរូបរាងរបស់វានៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរដោយមិនគិតពីមាត្រដ្ឋាន។ ទាំងនៅក្នុងធម្មជាតិ និងនៅក្នុងសង្គម ការនិយាយដដែលៗកើតឡើងលើទំហំធំគ្រប់គ្រាន់។ ដូច្នេះពពកធ្វើឡើងវិញនូវរចនាសម្ព័ន្ធរដុបរបស់វាពី 10 4 ម៉ែត្រ (10 គីឡូម៉ែត្រ) ដល់ 10 -4 ម៉ែត្រ (0.1 មម) ។ ការបែកមែកត្រូវបានធ្វើឡើងម្តងទៀតនៅក្នុងដើមឈើពី 10 -2 ទៅ 10 2 ម៉ែត្រ។ សម្ភារៈដួលរលំដែលបង្កើតស្នាមប្រេះក៏ធ្វើម្តងទៀតនូវភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៅលើមាត្រដ្ឋានជាច្រើន។ ផ្កាព្រិលដែលធ្លាក់នៅលើដៃរលាយ។ កំឡុងពេលរលាយ ការផ្លាស់ប្តូរពីដំណាក់កាលមួយទៅដំណាក់កាលមួយទៀត តំណក់ទឹកកកក៏ជាប្រភាគផងដែរ។

Fractal គឺជាវត្ថុនៃភាពស្មុគ្រស្មាញគ្មានកំណត់ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមើលឃើញព័ត៌មានលម្អិតមិនតិចជាងនៅជិតជាងពីចម្ងាយ។ ឧទាហរណ៍បុរាណនៃនេះគឺផែនដី។ ពីលំហ វាមើលទៅដូចជាបាល់។ ចូលទៅជិតវា យើងនឹងឃើញមហាសមុទ្រ ទ្វីប ឆ្នេរសមុទ្រ និងជួរភ្នំ។ ក្រោយមក ព័ត៌មានលម្អិតតូចជាងនឹងលេចឡើង៖ ដីមួយដុំលើផ្ទៃភ្នំ ស្មុគស្មាញ និងមិនស្មើគ្នាដូចភ្នំ។ បន្ទាប់មកភាគល្អិតតូចៗនៃដីនឹងលេចឡើង ដែលនីមួយៗគឺជាវត្ថុប្រភាគ។

Fractal គឺជារចនាសម្ព័ន្ធដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ដែលរក្សាភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង នៅពេលដែលធ្វើមាត្រដ្ឋានឡើងលើ ឬចុះក្រោមគ្មានកំណត់។ មានតែនៅប្រវែងតូចប៉ុណ្ណោះដែល nonlinearity បំប្លែងទៅជា linearity ។ នេះជាភស្តុតាងជាពិសេសនៅក្នុងនីតិវិធីគណិតវិទ្យានៃភាពខុសគ្នា។

ដូច្នេះយើងអាចនិយាយបានថា fractal ជាគំរូត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅពេលដែលវត្ថុពិតមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់នៃគំរូបុរាណ។ ហើយនេះមានន័យថាយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងទំនាក់ទំនងមិនមែនលីនេអ៊ែរ និងលក្ខណៈមិនកំណត់នៃទិន្នន័យ។ ភាពមិនស្មើគ្នាក្នុងន័យមនោគមវិជ្ជាមានន័យថា ភាពចម្រុះនៃផ្លូវអភិវឌ្ឍន៍ លទ្ធភាពនៃជម្រើសពីផ្លូវជំនួស និងល្បឿនជាក់លាក់នៃការវិវត្តន៍ ក៏ដូចជាភាពមិនអាចត្រឡប់វិញនៃដំណើរការវិវត្តន៍។ ក្នុងន័យគណិតវិទ្យា សមីការមិនលីនេអ៊ែរ គឺជាប្រភេទសមីការគណិតវិទ្យាមួយប្រភេទ (សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនលីនេអ៊ែរ) ដែលមានបរិមាណដែលចង់បាននៅក្នុងអំណាចធំជាងមួយ ឬមេគុណដែលអាស្រ័យលើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឧបករណ៍ផ្ទុក។ នោះគឺនៅពេលដែលយើងអនុវត្តគំរូបុរាណ (ឧទាហរណ៍ និន្នាការ តំរែតំរង់។ ហើយយើងអាចទស្សន៍ទាយវាដោយដឹងពីអតីតកាលនៃវត្ថុ (ទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់ការធ្វើគំរូ)។ ហើយ fractal ត្រូវបានប្រើក្នុងករណីដែលវត្ថុមានជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍ ហើយស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកំណត់ដោយទីតាំងដែលវាស្ថិតនៅបច្ចុប្បន្ន។ នោះគឺយើងកំពុងព្យាយាមក្លែងធ្វើការអភិវឌ្ឍន៍ដ៏ច្របូកច្របល់។

នៅពេលដែលពួកគេនិយាយអំពីការកំណត់នៃប្រព័ន្ធជាក់លាក់មួយ ពួកគេមានន័យថាអាកប្បកិរិយារបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនងបុព្វហេតុដែលមិនច្បាស់លាស់។ នោះគឺការដឹងពីលក្ខខណ្ឌដំបូង និងច្បាប់នៃចលនានៃប្រព័ន្ធ វាអាចព្យាករណ៍បានយ៉ាងត្រឹមត្រូវអំពីអនាគតរបស់វា។ វា​គឺ​ជា​គំនិត​នៃ​ចលនា​នេះ​នៅ​ក្នុង​សកលលោក​ដែល​ជា​លក្ខណៈ​នៃ​ឌីណាមិក​បែប​បុរាណ ញូតុន។ ផ្ទុយទៅវិញ ភាពច្របូកច្របល់ បង្កប់ន័យនូវដំណើរការវឹកវរ និងចៃដន្យ នៅពេលដែលដំណើរនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចព្យាករណ៍ ឬបង្កើតឡើងវិញបានទេ។

ភាពវឹកវរត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយសក្ដានុពលខាងក្នុងនៃប្រព័ន្ធមិនលីនេអ៊ែរ - ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់វាដើម្បីបំបែកគន្លងជិតៗតាមអំពើចិត្តយ៉ាងឆាប់រហ័សដោយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ជាលទ្ធផល រូបរាងនៃគន្លងគឺអាស្រ័យយ៉ាងខ្លាំងទៅលើលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នៅពេលសិក្សាប្រព័ន្ធដែលនៅ glance ដំបូងអភិវឌ្ឍភាពវឹកវរពួកគេតែងតែប្រើទ្រឹស្តីនៃ fractal ដោយសារតែ វាគឺជាវិធីសាស្រ្តនេះដែលធ្វើឱ្យវាអាចឃើញលំនាំជាក់លាក់មួយនៅក្នុងការកើតឡើងនៃ "ចៃដន្យ" គម្លាតនៅក្នុងការអភិវឌ្ឍនៃប្រព័ន្ធ។

ការសិក្សាអំពីរចនាសម្ព័ន្ធ fractal ធម្មជាតិផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីដំណើរការនៃការរៀបចំដោយខ្លួនឯងនិងការអភិវឌ្ឍនៃប្រព័ន្ធ nonlinear ។ យើងបានរកឃើញរួចហើយថា ប្រភាគធម្មជាតិនៃខ្សែរបត់ផ្សេងៗ ត្រូវបានរកឃើញនៅជុំវិញខ្លួនយើង។ នេះគឺជាឆ្នេរសមុទ្រ ដើមឈើ ពពក ផ្លេកបន្ទោរ រចនាសម្ព័ន្ធដែក ប្រព័ន្ធសរសៃប្រសាទ ឬសរសៃឈាមរបស់មនុស្ស។ បន្ទាត់ស្មុគស្មាញ និងផ្ទៃរដុបទាំងនេះបានចាប់អារម្មណ៍លើការស្រាវជ្រាវវិទ្យាសាស្ត្រ ពីព្រោះធម្មជាតិបានបង្ហាញពីកម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញខុសគ្នាទាំងស្រុងជាងប្រព័ន្ធធរណីមាត្រដ៏ល្អ។ រចនាសម្ព័ន្ធដែលកំពុងសិក្សាបានប្រែទៅជាស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៅក្នុងទំនាក់ទំនង spatio-temporal ។ ពួកគេបានចម្លងដោយខ្លួនឯងដោយគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយធ្វើម្តងទៀតដោយខ្លួនឯងតាមមាត្រដ្ឋានផ្សេងៗនៃរយៈពេល និងពេលវេលា។ ដំណើរការដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរនៅទីបំផុតនាំទៅរកការបំបែក។ ប្រព័ន្ធក្នុងករណីនេះនៅចំណុចសាខាជ្រើសរើសផ្លូវមួយឬផ្សេងទៀត។ គន្លងនៃការអភិវឌ្ឍន៍ប្រព័ន្ធនឹងមើលទៅដូច fractal ពោលគឺបន្ទាត់ខូច រូបរាងដែលអាចត្រូវបានពិពណ៌នាថាជាផ្លូវបំបែក និងស្មុគស្មាញដែលមានតក្កវិជ្ជា និងលំនាំរបស់វា។

ការបែកមែកធាងនៃប្រព័ន្ធមួយអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងការកាត់មែកធាង ដែលសាខានីមួយៗត្រូវគ្នានឹងមួយភាគបីនៃប្រព័ន្ធទាំងមូល។ ការបែងចែកអនុញ្ញាតឱ្យរចនាសម្ព័ន្ធលីនេអ៊ែរបំពេញចន្លោះបីវិមាត្រ ឬច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត៖ រចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគសម្របសម្រួលចន្លោះផ្សេងៗ។ Fractal អាចលូតលាស់ បំពេញចន្លោះជុំវិញ ដូចជាគ្រីស្តាល់មួយដុះនៅក្នុងដំណោះស្រាយ supersaturated ។ ក្នុងករណីនេះ ធម្មជាតិនៃមែកធាងនឹងទាក់ទងមិនមែនដោយចៃដន្យទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងលំនាំជាក់លាក់មួយ។

រចនាសម្ព័ន្ធ fractal ធ្វើឡើងវិញដោយខ្លួនវាស្រដៀងគ្នានៅកម្រិតផ្សេងទៀតនៅកម្រិតខ្ពស់នៃការរៀបចំជីវិតរបស់មនុស្សឧទាហរណ៍នៅកម្រិតនៃការរៀបចំខ្លួនឯងនៃសមូហភាពឬក្រុម។ ការរៀបចំបណ្តាញ និងទម្រង់ដោយខ្លួនឯងផ្លាស់ទីពីកម្រិតមីក្រូទៅកម្រិតម៉ាក្រូ។ ជាសមូហភាព ពួកគេតំណាងឱ្យការរួបរួមរួម ដែលមនុស្សម្នាក់អាចវិនិច្ឆ័យទាំងមូលដោយផ្នែក។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានេះ ធ្វើការជាឧទាហរណ៍ លក្ខណៈសម្បត្តិ fractal នៃដំណើរការសង្គមត្រូវបានពិចារណា ដែលបង្ហាញពីភាពជាសកលនៃទ្រឹស្តីនៃ fractal និងភាពស្មោះត្រង់របស់វាចំពោះវិស័យផ្សេងៗគ្នានៃវិទ្យាសាស្ត្រ។

វាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថា fractal គឺជាវិធីនៃអន្តរកម្មដែលបានរៀបចំនៃចន្លោះនៃវិមាត្រនិងធម្មជាតិខុសៗគ្នា។ វាគួរតែត្រូវបានបន្ថែមទៅខាងលើដែលមិនត្រឹមតែ spatial, ប៉ុន្តែក៏ខាងសាច់ឈាម។ បន្ទាប់មកសូម្បីតែខួរក្បាលមនុស្ស និងបណ្តាញសរសៃប្រសាទនឹងជារចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគ។

ធម្មជាតិពិតជាចូលចិត្តទម្រង់ fractal ។ វត្ថុប្រភាគមានរចនាសម្ព័ន្ធធំទូលាយ និងកម្រ។ នៅពេលសង្កេតវត្ថុបែបនេះជាមួយនឹងការបង្កើនការពង្រីក មនុស្សម្នាក់អាចមើលឃើញថាពួកវាបង្ហាញគំរូដែលកើតឡើងម្តងទៀតនៅកម្រិតផ្សេងៗគ្នា។ យើងបាននិយាយរួចមកហើយថា វត្ថុប្រភាគអាចមើលទៅដូចគ្នាបេះបិទ មិនថាយើងសង្កេតលើមាត្រដ្ឋានមួយម៉ែត្រ មិល្លីម៉ែត្រ ឬមីក្រូ (1:1,000,000 នៃម៉ែត្រ) នោះទេ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃស៊ីមេទ្រីនៃវត្ថុ fractal ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងភាពខុសប្លែកគ្នាទាក់ទងនឹងមាត្រដ្ឋាន។ Fractals គឺស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុចកណ្តាលនៃការលាត ឬពង្រីកឡើងវិញ ដូចគ្នានឹងតួរាងមូលគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សនៃការបង្វិល។

សព្វថ្ងៃនេះ ការវិវឌ្ឍន៍ក្នុងក្របខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីនៃ ហ្វ្រេតាល់ ត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រជាក់លាក់ណាមួយ - រូបវិទ្យា សង្គមវិទ្យា ចិត្តវិទ្យា ភាសាវិទ្យា។ល។ បន្ទាប់មក សង្គម និងស្ថាប័នសង្គម និងភាសា និងសូម្បីតែការគិតគឺជាប្រភាគ។

វិទ្យាសាស្រ្តសម័យទំនើបបានសម្របខ្លួនដោយជោគជ័យនូវទ្រឹស្តីនៃ fractal សម្រាប់ផ្នែកផ្សេងៗនៃចំណេះដឹង។ ដូច្នេះនៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ច ទ្រឹស្តីនៃ fractal ត្រូវបានប្រើក្នុងការវិភាគបច្ចេកទេសនៃទីផ្សារហិរញ្ញវត្ថុដែលមាននៅក្នុងប្រទេសអភិវឌ្ឍន៍នៃពិភពលោកអស់រយៈពេលជាងមួយរយឆ្នាំមកហើយ។ ជាលើកដំបូង សមត្ថភាពក្នុងការទស្សន៍ទាយអាកប្បកិរិយានាពេលអនាគតនៃតម្លៃភាគហ៊ុន ប្រសិនបើទិសដៅរបស់វាសម្រាប់រយៈពេលថ្មីៗនេះត្រូវបានគេដឹងនោះ ត្រូវបានកត់សម្គាល់ដោយ C. Dow ។ ក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1990 បន្ទាប់ពីការបោះពុម្ពផ្សាយអត្ថបទមួយចំនួន Dow បានកត់សម្គាល់ឃើញថាតម្លៃភាគហ៊ុនមានការប្រែប្រួលតាមវដ្តៈ បន្ទាប់ពីការកើនឡើងដ៏យូរ ការធ្លាក់ចុះដ៏យូរមួយបន្ទាប់មកម្តងទៀតកើនឡើង និងធ្លាក់ចុះ។

នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សរ៍ទី 20 នៅពេលដែលពិភពវិទ្យាសាស្ត្រទាំងមូលចាប់អារម្មណ៍នឹងទ្រឹស្ដីដែលទើបលេចចេញថ្មីនៃ fractal អ្នកហិរញ្ញវត្ថុអាមេរិកដ៏ល្បីម្នាក់ទៀតគឺ R. Elliot បានស្នើទ្រឹស្តីរបស់គាត់អំពីឥរិយាបទតម្លៃភាគហ៊ុនដែលផ្អែកលើការប្រើប្រាស់ fractal ។ ទ្រឹស្តី។ Elliot បានបន្តពីការពិតដែលថាធរណីមាត្រនៃ fractal កើតឡើងមិនត្រឹមតែនៅក្នុងធម្មជាតិរស់នៅប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏នៅក្នុងដំណើរការសង្គមផងដែរ។ គាត់ក៏បានចាត់ទុកការជួញដូរភាគហ៊ុននៅលើផ្សារហ៊ុនជាដំណើរការសង្គម។

មូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីគឺជាអ្វីដែលគេហៅថាដ្យាក្រាមរលក។ ទ្រឹស្ដីនេះធ្វើឱ្យវាអាចទស្សន៍ទាយអាកប្បកិរិយាបន្ថែមទៀតនៃនិន្នាការតម្លៃដោយផ្អែកលើចំណេះដឹងនៃបុរេប្រវត្តិនៃអាកប្បកិរិយារបស់វានិងអនុវត្តតាមច្បាប់សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍនៃអាកប្បកិរិយាផ្លូវចិត្តដ៏ធំ។

ទ្រឹស្ដីនៃ fractal បានរកឃើញការអនុវត្តផងដែរនៅក្នុងជីវវិទ្យា។ ភាគច្រើន ប្រសិនបើមិនមែនទាំងអស់ទេ រចនាសម្ព័ន្ធ និងប្រព័ន្ធជីវសាស្រ្តនៃរុក្ខជាតិ សត្វ និងមនុស្សមានលក្ខណៈប្រភាគ ដែលមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នាមួយចំនួនដូចជា៖ ប្រព័ន្ធសរសៃប្រសាទ ប្រព័ន្ធសួត ប្រព័ន្ធឈាមរត់ និងប្រព័ន្ធឡាំហ្វាទិច។ល។ ភ័ស្តុតាងបានលេចឡើងថាការវិវត្តនៃដុំសាច់សាហាវក៏ដំណើរការទៅតាមគោលការណ៍ fractal ។ វត្ថុ Fractal ក៏ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយលក្ខណៈដូចជាការបង្ហាញពីការបំពេញបន្ថែម។ ការបំពេញបន្ថែមនៅក្នុងជីវគីមីគឺជាការឆ្លើយឆ្លងគ្នាទៅវិញទៅមកនៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធគីមីនៃ macromolecules ពីរដែលធានានូវអន្តរកម្មរបស់ពួកគេ - ការផ្គូផ្គងនៃ DNA ពីរខ្សែ ការភ្ជាប់អង់ស៊ីមជាមួយស្រទាប់ខាងក្រោម អង់ទីហ្សែនជាមួយអង្គបដិប្រាណ។ រចនាសម្ព័ន្ធបំពេញបន្ថែមត្រូវគ្នាដូចគន្លឹះសម្រាប់សោ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានកាន់កាប់ដោយខ្សែសង្វាក់ DNA polynucleotide ។

មួយនៃកម្មវិធីដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតនៃ fractal គឺនៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ ទីមួយ នេះគឺជាការបង្រួមនៃរូបភាព និងទីពីរ ការសាងសង់ទេសភាព ដើមឈើ រុក្ខជាតិ និងការបង្កើតវាយនភាព fractal ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ សម្រាប់ការបង្ហាប់ ការកត់ត្រាព័ត៌មាន ការកាត់បន្ថយភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃ fractal គឺចាំបាច់ ហើយសម្រាប់ការអានរបស់វារៀងគ្នា ការកើនឡើងស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។

គុណសម្បត្តិនៃក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាប់រូបភាព fractal គឺទំហំតូចបំផុតនៃឯកសារដែលបានខ្ចប់ និងពេលវេលាសង្គ្រោះរូបភាពខ្លី។ រូបភាពដែលខ្ចប់ដោយប្រភាគអាចត្រូវបានធ្វើមាត្រដ្ឋានដោយគ្មានរូបរាងនៃភីកសែល។ ប៉ុន្តែដំណើរការបង្ហាប់ត្រូវចំណាយពេលយូរ ហើយជួនកាលមានរយៈពេលរាប់ម៉ោង។ ក្បួនដោះស្រាយការវេចខ្ចប់ fractal ដែលបាត់បង់អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់កម្រិតនៃការបង្ហាប់ដែលស្រដៀងទៅនឹងទម្រង់ jpeg ។ ក្បួនដោះស្រាយគឺផ្អែកលើការស្វែងរកផ្នែកធំនៃរូបភាពស្រដៀងនឹងផ្នែកតូចៗមួយចំនួន។ ហើយមានតែព័ត៌មានអំពីភាពស្រដៀងគ្នានៃផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀតប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសរសេរទៅកាន់ឯកសារលទ្ធផល។ នៅពេលបង្ហាប់ ក្រឡាចត្រង្គការ៉េជាធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់ ដែលនាំឱ្យមានភាពជ្រុងបន្តិចនៅពេលស្តាររូបភាពឡើងវិញ ក្រឡាចត្រង្គរាងប្រាំមួយមិនមានគុណវិបត្តិបែបនេះទេ។

ជារឿយៗ ការរកឃើញដ៏អស្ចារ្យដែលធ្វើឡើងក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រអាចផ្លាស់ប្តូរជីវិតរបស់យើងយ៉ាងខ្លាំង។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ការបង្កើតវ៉ាក់សាំងអាចជួយសង្គ្រោះមនុស្សជាច្រើន ហើយការបង្កើតអាវុធថ្មីនាំទៅរកការសម្លាប់មនុស្ស។ តាមព្យញ្ជនៈកាលពីម្សិលមិញ (តាមមាត្រដ្ឋានប្រវត្តិសាស្ត្រ) មនុស្សម្នាក់ "ជាប់" អគ្គិសនីហើយថ្ងៃនេះគាត់មិនអាចស្រមៃពីជីវិតរបស់គាត់ដោយគ្មានវាទៀតទេ។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ក៏មានការរកឃើញបែបនេះដែរ ដែលដូចដែលពួកគេនិយាយថា នៅតែស្ថិតក្នុងស្រមោល ហើយទោះបីជាការពិតដែលថាពួកគេក៏មានឥទ្ធិពលខ្លះមកលើជីវិតរបស់យើងដែរ។ ការរកឃើញមួយក្នុងចំណោមរបកគំហើញទាំងនេះគឺ fractal ។ មនុស្សភាគច្រើនមិនបានឮសូម្បីតែគំនិតបែបនេះ ហើយនឹងមិនអាចពន្យល់អត្ថន័យរបស់វាបានទេ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងព្យាយាមដោះស្រាយជាមួយនឹងសំណួរនៃអ្វីដែលជា fractal ពិចារណាអត្ថន័យនៃពាក្យនេះពីទស្សនៈនៃវិទ្យាសាស្រ្តនិងធម្មជាតិ។

បញ្ជានៅក្នុងភាពវឹកវរ

ដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលជា fractal មួយគួរតែចាប់ផ្តើម debriefing ពីមុខតំណែងនៃគណិតវិទ្យាទោះជាយ៉ាងណាមុនពេល delving ចូលទៅក្នុងវាយើង philosophize បន្តិច។ មនុស្សគ្រប់រូបមានការចង់ដឹងចង់ឃើញពីធម្មជាតិ អរគុណដែលគាត់បានរៀនពិភពលោកជុំវិញគាត់។ ជាញឹកញាប់នៅក្នុងបំណងប្រាថ្នារបស់គាត់សម្រាប់ចំណេះដឹងគាត់ព្យាយាមធ្វើប្រតិបត្តិការដោយតក្កវិជ្ជាក្នុងការវិនិច្ឆ័យរបស់គាត់។ ដូច្នេះ ការវិភាគដំណើរការដែលកើតឡើងនៅជុំវិញ គាត់ព្យាយាមគណនាទំនាក់ទំនង និងទទួលបានលំនាំជាក់លាក់។ គំនិតដ៏ធំបំផុតនៅលើភពផែនដីកំពុងរវល់ដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ។ និយាយដោយប្រយោល អ្នកវិទ្យាសាស្ត្ររបស់យើងកំពុងស្វែងរកគំរូដែលពួកគេមិនមែន និងមិនគួរ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ សូម្បី​តែ​ក្នុង​ភាព​ចលាចល​ក៏​មាន​ទំនាក់​ទំនង​រវាង​ព្រឹត្តិការណ៍​ខ្លះ​ដែរ។ ការតភ្ជាប់នេះគឺ fractal ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាមែកឈើដែលបាក់នៅលើផ្លូវ។ បើយើងក្រឡេកមើលវាឱ្យជិត យើងនឹងឃើញថា វាមានមែក និងមែករបស់វា មើលទៅហាក់ដូចជាដើមឈើ។ ភាពស្រដៀងគ្នានៃផ្នែកដាច់ដោយឡែកមួយជាមួយនឹងផ្នែកទាំងមូលផ្តល់សក្ខីកម្មដល់អ្វីដែលគេហៅថាគោលការណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងឡើងវិញ។ Fractals នៅក្នុងធម្មជាតិអាចត្រូវបានរកឃើញគ្រប់ពេលវេលា ពីព្រោះទម្រង់អសរីរាង្គ និងសរីរាង្គជាច្រើនត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ ទាំងនេះគឺជាពពក និងសំបកសមុទ្រ សំបកខ្យង និងមកុដដើមឈើ និងសូម្បីតែប្រព័ន្ធឈាមរត់។ បញ្ជីនេះអាចបន្តដោយគ្មានកំណត់។ រាងចៃដន្យទាំងអស់នេះត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងងាយស្រួលដោយក្បួនដោះស្រាយ fractal ។ នៅទីនេះយើងមកពិចារណាពីអ្វីដែល fractal មកពីទស្សនៈនៃវិទ្យាសាស្រ្តពិតប្រាកដ។

ការពិតស្ងួតមួយចំនួន

ពាក្យ "fractal" ត្រូវបានបកប្រែពីឡាតាំងថា "ផ្នែក", "បែងចែក", "បំណែក" ហើយចំពោះខ្លឹមសារនៃពាក្យនេះ ពាក្យបែបនេះមិនមានទេ។ ជាធម្មតាវាត្រូវបានចាត់ទុកជាសំណុំស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងដែលជាផ្នែកមួយនៃទាំងមូលដែលត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតដោយរចនាសម្ព័ន្ធរបស់វានៅកម្រិតមីក្រូ។ ពាក្យនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទសវត្សរ៍ទី 70 នៃសតវត្សទី 20 ដោយ Benoit Mandelbrot ដែលត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាជាបិតា។ សព្វថ្ងៃនេះ គំនិតនៃ fractal មានន័យថាតំណាងក្រាហ្វិកនៃរចនាសម្ព័ន្ធជាក់លាក់មួយ ដែលនៅពេលពង្រីកវានឹងស្រដៀងនឹងខ្លួនវាដែរ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មូលដ្ឋានគណិតវិទ្យាសម្រាប់ការបង្កើតទ្រឹស្ដីនេះត្រូវបានដាក់សូម្បីតែមុនពេលកំណើតរបស់ Mandelbrot ខ្លួនគាត់ក៏ដោយ ប៉ុន្តែវាមិនអាចអភិវឌ្ឍរហូតដល់កុំព្យូទ័រអេឡិចត្រូនិចបានបង្ហាញខ្លួន។

ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ ឬរបៀបដែលវាបានចាប់ផ្តើម

នៅវេននៃសតវត្សទី 19 និងទី 20 ការសិក្សាអំពីធម្មជាតិនៃ fractals គឺជាដំណាក់កាល។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាគណិតវិទូចូលចិត្តសិក្សាវត្ថុដែលអាចត្រូវបានស៊ើបអង្កេតដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីទូទៅនិងវិធីសាស្រ្ត។ នៅឆ្នាំ 1872 គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ K. Weierstrass បានបង្កើតឧទាហរណ៍នៃមុខងារបន្តដែលមិនមានកន្លែងណាខុសគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សំណង់នេះប្រែទៅជាអរូបីទាំងស្រុង និងពិបាកយល់។ បន្ទាប់បានមកដល់ជនជាតិស៊ុយអែត Helge von Koch ដែលនៅឆ្នាំ 1904 បានសាងសង់ខ្សែកោងបន្តដែលមិនមានតង់សង់គ្រប់ទីកន្លែង។ វា​គឺ​ជា​ការ​ងាយ​ស្រួល​ណាស់​ក្នុង​ការ​គូរ ហើយ​ដូច​ដែល​វា​បាន​ប្រែ​ក្លាយ វា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​លក្ខណៈ​ដោយ​លក្ខណៈ​ប្រភាគ។ វ៉ារ្យ៉ង់មួយនៃខ្សែកោងនេះត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមអ្នកនិពន្ធរបស់វា - "ផ្កាព្រិលរបស់ Koch" ។ លើសពីនេះ គំនិតនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃតួលេខត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយអ្នកណែនាំនាពេលអនាគតរបស់ B. Mandelbrot ដែលជាជនជាតិបារាំង Paul Levy ។ នៅឆ្នាំ 1938 គាត់បានបោះពុម្ភក្រដាស "ខ្សែកោងយន្តហោះ និងលំហ និងផ្ទៃដែលមានផ្នែកដូចជាទាំងមូល"។ នៅក្នុងនោះ គាត់បានពិពណ៌នាអំពីប្រភេទសត្វថ្មីមួយទៀតគឺ Levy C-curve។ តួលេខខាងលើទាំងអស់សំដៅលើទម្រង់ដូចជា fractal ធរណីមាត្រ។

ថាមវន្ត ឬពិជគណិត fractal

ឈុត Mandelbrot ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ថ្នាក់នេះ។ គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Pierre Fatou និង Gaston Julia បានក្លាយជាអ្នកស្រាវជ្រាវដំបូងគេក្នុងទិសដៅនេះ។ នៅឆ្នាំ 1918 Julia បានបោះពុម្ភក្រដាសមួយដោយផ្អែកលើការសិក្សាអំពីការធ្វើឡើងវិញនៃមុខងារស្មុគស្មាញសនិទាន។ នៅទីនេះគាត់បានពិពណ៌នាអំពីក្រុមគ្រួសារនៃ fractal ដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងសំណុំ Mandelbrot ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាការងារនេះបានលើកតម្កើងអ្នកនិពន្ធក្នុងចំណោមគណិតវិទូក៏ដោយក៏វាត្រូវបានបំភ្លេចចោលយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ហើយត្រឹមតែកន្លះសតវត្សក្រោយមក ដោយសារកុំព្យូទ័រ ការងាររបស់ Julia បានទទួលជីវិតទីពីរ។ កុំព្យូទ័របានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីធ្វើឱ្យមនុស្សគ្រប់រូបមើលឃើញភាពស្រស់ស្អាតនិងភាពសម្បូរបែបនៃពិភពនៃ fractal ដែលអ្នកគណិតវិទូអាច "មើលឃើញ" ដោយបង្ហាញពួកគេតាមរយៈមុខងារ។ Mandelbrot គឺជាអ្នកដំបូងដែលប្រើកុំព្យូទ័រដើម្បីធ្វើការគណនា (បរិមាណបែបនេះមិនអាចអនុវត្តដោយដៃបានទេ) ដែលធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតរូបភាពនៃតួលេខទាំងនេះ។

បុរសដែលមានការស្រមើលស្រមៃ spatial

Mandelbrot បានចាប់ផ្តើមអាជីពវិទ្យាសាស្ត្ររបស់គាត់នៅមជ្ឈមណ្ឌលស្រាវជ្រាវ IBM ។ ដោយសិក្សាពីលទ្ធភាពនៃការបញ្ជូនទិន្នន័យក្នុងចម្ងាយឆ្ងាយ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រត្រូវប្រឈមមុខនឹងការពិតនៃការបាត់បង់ដ៏ធំដែលកើតឡើងដោយសារតែការរំខានដោយសំឡេង។ Benoit កំពុងស្វែងរកវិធីដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ដោយក្រឡេកមើលលទ្ធផលរង្វាស់ គាត់បានទាក់ទាញការចាប់អារម្មណ៍ទៅលើគំរូចម្លែកមួយ ពោលគឺ ក្រាហ្វសំលេងរំខានមើលទៅដូចគ្នានៅលើមាត្រដ្ឋានពេលវេលាផ្សេងៗគ្នា។

រូបភាពស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានគេសង្កេតឃើញទាំងរយៈពេលមួយថ្ងៃ និងរយៈពេលប្រាំពីរថ្ងៃ ឬរយៈពេលមួយម៉ោង។ Benoit Mandelbrot ខ្លួនគាត់ជារឿយៗនិយាយម្តងទៀតថាគាត់មិនដំណើរការជាមួយរូបមន្តទេតែលេងជាមួយរូបភាព។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនេះត្រូវបានសម្គាល់ដោយការស្រមើលស្រមៃ គាត់បានបកប្រែបញ្ហាពិជគណិតណាមួយទៅជាតំបន់ធរណីមាត្រ ដែលចម្លើយត្រឹមត្រូវគឺជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះវាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលត្រូវបានសម្គាល់ដោយអ្នកមានហើយបានក្លាយជាឪពុកនៃធរណីមាត្រ fractal ។ យ៉ាងណាមិញ ការយល់ដឹងអំពីតួលេខនេះអាចកើតឡើងបានលុះត្រាតែអ្នកសិក្សាគំនូរ និងគិតអំពីអត្ថន័យនៃការបង្វិលចម្លែកទាំងនេះដែលបង្កើតជាគំរូ។ គំនូរ Fractal មិនមានធាតុដូចគ្នាបេះបិទទេ ប៉ុន្តែពួកវាស្រដៀងគ្នានៅគ្រប់ខ្នាត។

Julia - Mandelbrot

គំនូរមួយក្នុងចំណោមគំនូរដំបូងនៃតួលេខនេះគឺជាការបកស្រាយក្រាហ្វិកនៃឈុតដែលបានកើតមកដោយសារការងាររបស់ Gaston Julia ហើយត្រូវបានបញ្ចប់ដោយ Mandelbrot ។ Gaston កំពុងព្យាយាមស្រមៃមើលថាតើឈុតមួយមើលទៅដូចអ្វី នៅពេលដែលវាត្រូវបានបង្កើតចេញពីរូបមន្តសាមញ្ញ ដែលត្រូវបានធ្វើឡើងវិញដោយរង្វិលជុំមតិត្រឡប់។ ចូរយើងព្យាយាមពន្យល់ពីអ្វីដែលបាននិយាយនៅក្នុងភាសារបស់មនុស្ស ដូច្នេះដើម្បីនិយាយនៅលើម្រាមដៃ។ សម្រាប់តម្លៃលេខជាក់លាក់មួយ ដោយប្រើរូបមន្ត យើងរកឃើញតម្លៃថ្មី។ យើងជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្ត ហើយស្វែងរកដូចខាងក្រោម។ លទ្ធផលគឺធំមួយ។ ដើម្បីតំណាងឱ្យសំណុំបែបនេះ អ្នកត្រូវធ្វើប្រតិបត្តិការនេះច្រើនដង៖ រាប់រយ រាប់ពាន់លាន។ នេះជាអ្វីដែល Benoit បានធ្វើ។ គាត់បានដំណើរការលំដាប់ និងផ្ទេរលទ្ធផលទៅជាទម្រង់ក្រាហ្វិក។ ក្រោយមកគាត់បានដាក់ពណ៌លើតួលេខលទ្ធផល (ពណ៌នីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនជាក់លាក់នៃការធ្វើឡើងវិញ)។ រូបភាពក្រាហ្វិកនេះត្រូវបានគេហៅថា Mandelbrot fractal ។

L. Carpenter: សិល្បៈបង្កើតដោយធម្មជាតិ

ទ្រឹស្តីនៃ fractal បានរកឃើញការអនុវត្តជាក់ស្តែងយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ដោយសារវាមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការមើលឃើញនៃរូបភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង អ្នកដំបូងដែលទទួលយកគោលការណ៍ និងក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការសាងសង់ទម្រង់មិនធម្មតាទាំងនេះគឺជាសិល្បករ។ ទីមួយនៃទាំងនេះគឺជាស្ថាបនិកនាពេលអនាគតនៃស្ទូឌីយោ Pixar Lauren Carpenter ។ ពេលកំពុងធ្វើការលើការបង្ហាញគំរូយន្តហោះ គាត់បានបង្កើតគំនិតក្នុងការប្រើប្រាស់រូបភាពភ្នំជាផ្ទៃខាងក្រោយ។ សព្វថ្ងៃនេះ ស្ទើរតែគ្រប់អ្នកប្រើប្រាស់កុំព្យូទ័រទាំងអស់អាចស៊ូទ្រាំនឹងកិច្ចការបែបនេះបាន ហើយនៅក្នុងទសវត្សរ៍ទី 70 នៃសតវត្សចុងក្រោយនេះ កុំព្យូទ័រមិនអាចអនុវត្តដំណើរការបែបនេះបានទេ ដោយសារមិនមានកម្មវិធីនិពន្ធក្រាហ្វិក និងកម្មវិធីសម្រាប់ក្រាហ្វិកបីវិមាត្រនៅពេលនោះ។ Loren បានឆ្លងកាត់ Fractals របស់ Mandelbrot: រូបរាង ចៃដន្យ និងវិមាត្រ។ នៅក្នុងនោះ Benois បានផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាច្រើន ដោយបង្ហាញថាមាន fractal នៅក្នុងធម្មជាតិ (fiva) គាត់បានពណ៌នាអំពីទម្រង់ផ្សេងៗរបស់ពួកគេ ហើយបង្ហាញថាពួកគេត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងងាយស្រួលដោយកន្សោមគណិតវិទ្យា។ គណិតវិទូ​បាន​លើក​ឡើង​ពី​ការ​ប្រៀប​ធៀប​នេះ​ថា​ជា​អំណះអំណាង​មួយ​សម្រាប់​ប្រយោជន៍​នៃ​ទ្រឹស្ដី​ដែល​គាត់​កំពុង​បង្កើត​ឡើង​ដើម្បី​ឆ្លើយ​តប​នឹង​ការ​រិះ​គន់​ពី​សហសេវិក​របស់​គាត់។ ពួកគេបានប្រកែកថា Fractal គ្រាន់តែជារូបភាពដ៏ស្រស់ស្អាតគ្មានតម្លៃ ដែលជាផលផ្លែនៃម៉ាស៊ីនអេឡិចត្រូនិច។ ជាងឈើបានសម្រេចចិត្តសាកល្បងវិធីនេះក្នុងការអនុវត្ត។ ដោយបានសិក្សាសៀវភៅនេះយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់ អ្នកគំនូរជីវចលនាពេលអនាគតបានចាប់ផ្តើមស្វែងរកវិធីដើម្បីអនុវត្តធរណីមាត្រ fractal នៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ គាត់ចំណាយពេលត្រឹមតែបីថ្ងៃប៉ុណ្ណោះ ដើម្បីបង្ហាញរូបភាពពិតនៃទេសភាពភ្នំនៅលើកុំព្យូទ័ររបស់គាត់។ ហើយសព្វថ្ងៃនេះគោលការណ៍នេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ ដូចដែលវាបានប្រែក្លាយការបង្កើត fractal មិនត្រូវការពេលវេលានិងការខំប្រឹងប្រែងច្រើនទេ។

ការសម្រេចចិត្តរបស់ជាងឈើ

គោលការណ៍ដែលបានប្រើដោយ Lauren ប្រែទៅជាសាមញ្ញ។ វា​មាន​ក្នុង​ការ​បែង​ចែក​ធំ​ជាង​ទៅ​ជា​ធាតុ​តូច​ជាង ហើយ​វា​ទៅ​ជា​ធាតុ​តូច​ស្រដៀង​គ្នា​ជាដើម។ ជាងឈើ​ប្រើ​ឈើ​ជ្រុង​ធំៗ​បុក​ជា​៤​តូច​ៗ​រហូត​ទទួលបាន​ទេសភាព​ភ្នំ​ជាក់ស្តែង​។ ដូច្នេះ គាត់​បាន​ក្លាយ​ជា​វិចិត្រករ​ដំបូង​គេ​ដែល​អនុវត្ត​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ប្រភាគ​ក្នុង​ក្រាហ្វិក​កុំព្យូទ័រ​ដើម្បី​បង្កើត​រូបភាព​ដែលត្រូវការ។ សព្វថ្ងៃនេះ គោលការណ៍នេះត្រូវបានប្រើដើម្បីក្លែងធ្វើទម្រង់ធម្មជាតិជាក់ស្តែងផ្សេងៗ។

ការមើលឃើញ 3D ដំបូងដោយផ្អែកលើក្បួនដោះស្រាយ fractal

ប៉ុន្មានឆ្នាំក្រោយមក Lauren បានអនុវត្តការងាររបស់គាត់នៅក្នុងគម្រោងខ្នាតធំមួយ ដែលជាវីដេអូគំនូរជីវចល Vol Libre ដែលបង្ហាញនៅលើ Siggraph ក្នុងឆ្នាំ 1980 ។ វីដេអូនេះធ្វើឲ្យមនុស្សជាច្រើនភ្ញាក់ផ្អើល ហើយអ្នកបង្កើតរបស់វាត្រូវបានអញ្ជើញឱ្យធ្វើការនៅ Lucasfilm។ នៅទីនេះ គំនូរជីវចលអាចដឹងខ្លួនគាត់យ៉ាងពេញលេញ គាត់បានបង្កើតទេសភាពបីវិមាត្រ (ភពផែនដីទាំងមូល) សម្រាប់ខ្សែភាពយន្តរឿង "Star Trek" ។ កម្មវិធីទំនើបណាមួយ ("Fractals") ឬកម្មវិធីសម្រាប់បង្កើតក្រាហ្វិកបីវិមាត្រ (Terragen, Vue, Bryce) ប្រើក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នាសម្រាប់ការធ្វើគំរូវាយនភាព និងផ្ទៃ។

លោក Tom Beddard

អតីតអ្នករូបវិទ្យាឡាស៊ែរ និងបច្ចុប្បន្នជាវិចិត្រករ និងជាវិចិត្រករឌីជីថល លោក Beddard បានបង្កើតស៊េរីនៃរាងធរណីមាត្រដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយ ដែលគាត់ហៅថា ហ្វ្រេបហ្កេត។ ខាងក្រៅពួកវាស្រដៀងនឹងស៊ុតតុបតែងរបស់គ្រឿងអលង្ការរុស្ស៊ី ពួកគេមានលំនាំស្មុគ្រស្មាញដ៏អស្ចារ្យដូចគ្នា។ Beddard បានប្រើវិធីសាស្ត្រគំរូមួយ ដើម្បីបង្កើតការបង្ហាញគំរូឌីជីថលរបស់គាត់។ ផលិតផលលទ្ធផលគឺមានភាពទាក់ទាញនៅក្នុងភាពស្រស់ស្អាតរបស់ពួកគេ។ ទោះបីជាមនុស្សជាច្រើនបដិសេធមិនប្រៀបធៀបផលិតផលធ្វើដោយដៃជាមួយកម្មវិធីកុំព្យូទ័រក៏ដោយ ក៏ត្រូវតែទទួលស្គាល់ថាទម្រង់លទ្ធផលគឺស្រស់ស្អាតខុសពីធម្មតា។ ការបន្លិចគឺថានរណាម្នាក់អាចបង្កើត fractal បែបនេះដោយប្រើបណ្ណាល័យកម្មវិធី WebGL ។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងយល់ពីរចនាសម្ព័ន្ធ fractal ផ្សេងៗក្នុងពេលវេលាជាក់ស្តែង។

fractal នៅក្នុងធម្មជាតិ

មានមនុស្សតិចណាស់ដែលយកចិត្តទុកដាក់ ប៉ុន្តែតួលេខដ៏អស្ចារ្យទាំងនេះមាននៅគ្រប់ទីកន្លែង។ ធម្មជាតិ​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​តួ​លេខ​ស្រដៀង​គ្នា​ដោយ​ខ្លួន​ឯង យើង​មិន​បាន​កត់​សម្គាល់​វា​ទេ។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការមើលតាមកញ្ចក់កែវពង្រីកនៅស្បែករបស់យើង ឬស្លឹកឈើ ហើយយើងនឹងឃើញប្រភាគ។ ឬយកឧទាហរណ៍ម្នាស់ឬសូម្បីតែកន្ទុយក្ងោក - ពួកវាមានតួលេខស្រដៀងគ្នា។ ហើយពូជប្រូខូលី Romanescu ជាទូទៅមានភាពទាក់ទាញនៅក្នុងរូបរាងរបស់វា ព្រោះវាពិតជាអាចត្រូវបានគេហៅថាអព្ភូតហេតុនៃធម្មជាតិ។

ការផ្អាកតន្ត្រី

វាប្រែថា fractals មិនត្រឹមតែមានរាងធរណីមាត្រប៉ុណ្ណោះទេពួកគេក៏អាចជាសំឡេងផងដែរ។ ដូច្នេះតន្ត្រីករ Jonathan Colton សរសេរតន្ត្រីដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ fractal ។ គាត់​អះអាង​ថា​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​ភាព​សុខដុម​ធម្មជាតិ។ អ្នកនិពន្ធបោះពុម្ពផ្សាយស្នាដៃរបស់គាត់ទាំងអស់ក្រោមអាជ្ញាប័ណ្ណ CreativeCommons Attribution-Noncommercial ដែលផ្តល់ការចែកចាយដោយឥតគិតថ្លៃ ការចម្លង ការផ្ទេរស្នាដៃដោយអ្នកដ៏ទៃ។

សូចនាករប្រភាគ

បច្ចេកទេសនេះបានរកឃើញកម្មវិធីដែលមិននឹកស្មានដល់។ នៅលើមូលដ្ឋានរបស់វា ឧបករណ៍សម្រាប់ការវិភាគទីផ្សារភាគហ៊ុនត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយជាលទ្ធផល វាបានចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់នៅក្នុងទីផ្សារ Forex ។ ឥឡូវនេះសូចនាករ fractal ត្រូវបានរកឃើញនៅលើវេទិកាពាណិជ្ជកម្មទាំងអស់ ហើយត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងបច្ចេកទេសជួញដូរដែលហៅថាការបំបែកតម្លៃ។ លោក Bill Williams បានបង្កើតបច្ចេកទេសនេះ។ ដូចដែលអ្នកនិពន្ធបានអធិប្បាយលើការច្នៃប្រឌិតរបស់គាត់ ក្បួនដោះស្រាយនេះគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ "ទៀន" ជាច្រើនដែលក្នុងនោះចំណុចកណ្តាលឆ្លុះបញ្ចាំងពីអតិបរមា ឬផ្ទុយទៅវិញ ចំណុចខ្លាំងអប្បបរមា។

ទីបំផុត

ដូច្នេះ​ហើយ​បាន​ជា​យើង​បាន​ពិចារណា​ថា​អ្វី​ជា​ប្រភាគ វាប្រែថានៅក្នុងភាពវឹកវរដែលនៅជុំវិញយើងតាមការពិតមានទម្រង់ដ៏ល្អ។ ធម្មជាតិគឺជាស្ថាបត្យករដ៏ល្អបំផុត អ្នកសាងសង់ និងវិស្វករដ៏ល្អម្នាក់។ វាត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងឡូជីខល ហើយប្រសិនបើយើងមិនអាចរកឃើញគំរូមួយ នេះមិនមែនមានន័យថាវាមិនមាននោះទេ។ ប្រហែលជាអ្នកត្រូវមើលមាត្រដ្ឋានផ្សេង។ យើង​អាច​និយាយ​ដោយ​មាន​ទំនុក​ចិត្ត​ថា Fractals នៅ​តែ​រក្សា​អាថ៌កំបាំង​ជា​ច្រើន​ដែល​យើង​មិន​ទាន់​រក​ឃើញ។

ស្ថាប័នអប់រំថវិកាក្រុង

"អនុវិទ្យាល័យ Siverskaya លេខ 3"

ស្រាវជ្រាវ

គណិតវិទ្យា។

បានធ្វើកិច្ចការ

សិស្សថ្នាក់ទី ៨

Emelin Pavel

អ្នកគ្រប់គ្រង

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា

Tupitsyna Natalya Alekseevna

ទំ.ស៊ីវើរស្គី

ឆ្នាំ 2014

គណិត​វិទ្យា​ត្រូវ​បាន​បញ្ចូល​ទៅ​នឹង​សម្រស់​និង​ភាព​សុខដុម​,

អ្នកគ្រាន់តែឃើញភាពស្រស់ស្អាតនេះ។

B. Mandelbrot

សេចក្តីផ្តើម

ជំពូកទី 1. ប្រវត្តិនៃការកើតឡើងនៃ fractals _______ 5-6 ទំព័រ។

ជំពូកទី 2. ការចាត់ថ្នាក់នៃ fractals.____________________6-10pp ។

fractal ធរណីមាត្រ

ពិជគណិត fractal

Stochastic fractal

ជំពូកទី 3. "ធរណីមាត្រ Fractal នៃធម្មជាតិ" ______ 11-13pp ។

ជំពូកទី 4. ការអនុវត្តនៃ fractal _______________13-15pp ។

ជំពូកទី 5 ការងារជាក់ស្តែង __________________ 16-24 ទំព័រ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន _________________________________25.ទំព័រ

បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ និងធនធានអ៊ីនធឺណិត _______ 26 ទំ។

សេចក្តីផ្តើម

គណិតវិទ្យា,

ប្រសិនបើអ្នកមើលវាត្រឹមត្រូវ,

ឆ្លុះបញ្ចាំងមិនត្រឹមតែការពិតប៉ុណ្ណោះទេ

ប៉ុន្តែក៏មានភាពស្រស់ស្អាតដែលមិនអាចប្រៀបផ្ទឹមបាន។

ប៊ែរត្រាន រ័សសែល

ពាក្យ "Fractal" គឺ​ជា​អ្វី​ដែល​មនុស្ស​ជា​ច្រើន​កំពុង​និយាយ​អំពី​សម័យ​នេះ តាំង​ពី​អ្នក​វិទ្យាសាស្ត្រ​រហូត​ដល់​សិស្ស​វិទ្យាល័យ។ វាបង្ហាញនៅលើក្របសៀវភៅសិក្សាគណិតវិទ្យា ទិនានុប្បវត្តិវិទ្យាសាស្ត្រ និងប្រអប់កម្មវិធីកុំព្យូទ័រជាច្រើន។ រូបភាពពណ៌នៃ fractal សព្វថ្ងៃនេះអាចរកបាននៅគ្រប់ទីកន្លែង: ពីកាតប៉ុស្តាល់អាវយឺតទៅរូបភាពនៅលើផ្ទៃតុនៃកុំព្យូទ័រផ្ទាល់ខ្លួន។ ដូច្នេះ តើ​រាង​ពណ៌​អ្វី​ខ្លះ​ដែល​យើង​ឃើញ​នៅ​ជុំវិញ?

គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រចំណាស់ជាងគេ។ វាហាក់ដូចជាមនុស្សភាគច្រើនថាធរណីមាត្រនៅក្នុងធម្មជាតិត្រូវបានកំណត់ចំពោះរាងសាមញ្ញដូចជា បន្ទាត់ រង្វង់ ពហុកោណ ស្វ៊ែរ។ល។ ដូចដែលវាបានប្រែក្លាយ ប្រព័ន្ធធម្មជាតិជាច្រើនមានភាពស្មុគ្រស្មាញណាស់ដែលការប្រើតែវត្ថុដែលធ្លាប់ស្គាល់នៃធរណីមាត្រធម្មតាដើម្បីធ្វើគំរូពួកវាហាក់ដូចជាអស់សង្ឃឹម។ ជាឧទាហរណ៍ តើត្រូវសាងសង់គំរូជួរភ្នំ ឬមកុដដើមឈើតាមធរណីមាត្រយ៉ាងដូចម្តេច? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីពិពណ៌នាអំពីភាពចម្រុះនៃជីវសាស្រ្តដែលយើងសង្កេតឃើញនៅក្នុងពិភពនៃរុក្ខជាតិនិងសត្វ? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្រមៃមើលភាពស្មុគស្មាញទាំងមូលនៃប្រព័ន្ធឈាមរត់ដែលមាន capillaries និងនាវាជាច្រើននិងការបញ្ជូនឈាមទៅគ្រប់កោសិកានៃរាងកាយរបស់មនុស្ស? ស្រមៃមើលរចនាសម្ព័ន្ធនៃសួត និងតម្រងនោម ស្រដៀងនឹងដើមឈើដែលមានមកុដមែកនៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធ?

Fractals គឺជាមធ្យោបាយដ៏សមស្របមួយសម្រាប់ការស្វែងយល់ពីសំណួរដែលបានដាក់។ ជាញឹកញាប់អ្វីដែលយើងឃើញនៅក្នុងធម្មជាតិធ្វើឱ្យយើងចាប់អារម្មណ៍ជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗគ្មានទីបញ្ចប់នៃគំរូដូចគ្នា ពង្រីក ឬកាត់បន្ថយជាច្រើនដង។ ឧទាហរណ៍ដើមឈើមានមែក។ សាខាទាំងនេះមានសាខាតូចៗ។ល។ តាមទ្រឹស្ដី ធាតុ "សម" ធ្វើឡើងវិញច្រើនដងគ្មានកំណត់ ដោយកាន់តែតូចទៅៗ។ វត្ថុដូចគ្នាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅពេលមើលរូបថតនៃដីភ្នំ។ សាកល្បងពង្រីកបន្តិចនៅលើជួរភ្នំ --- អ្នកនឹងឃើញភ្នំម្តងទៀត។ នេះជារបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃ fractals បង្ហាញដោយខ្លួនឯង។

ការសិក្សាអំពី fractal បើកនូវលទ្ធភាពដ៏អស្ចារ្យ ទាំងនៅក្នុងការសិក្សានៃកម្មវិធីចំនួនគ្មានកំណត់ និងក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យា។ ការប្រើប្រាស់ fractal គឺទូលំទូលាយណាស់! យ៉ាងណាមិញ វត្ថុទាំងនេះគឺស្រស់ស្អាតខ្លាំងណាស់ ដែលពួកវាត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយអ្នករចនា វិចិត្រករ ដោយមានជំនួយពីពួកគេ ធាតុជាច្រើននៃដើមឈើ ពពក ភ្នំ ជាដើម ត្រូវបានគូរជាក្រាហ្វិក។ ប៉ុន្តែ fractal សូម្បីតែត្រូវបានគេប្រើជាអង់តែននៅក្នុងទូរស័ព្ទដៃជាច្រើន។

សម្រាប់អ្នកចលាចលជាច្រើន (អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដែលសិក្សាផ្នែកប្រភាគនិងភាពច្របូកច្របល់) នេះមិនមែនគ្រាន់តែជាចំណេះដឹងថ្មីមួយដែលរួមបញ្ចូលគ្នារវាងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្ដីរូបវិទ្យា សិល្បៈ និងបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រនោះទេ - នេះគឺជាបដិវត្តន៍។ នេះគឺជារបកគំហើញនៃប្រភេទថ្មីនៃធរណីមាត្រ ដែលជាធរណីមាត្រដែលពិពណ៌នាអំពីពិភពលោកជុំវិញយើង ហើយដែលអាចមើលឃើញមិនត្រឹមតែនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងនៅក្នុងធម្មជាតិ និងគ្រប់ទីកន្លែងនៅក្នុងសកលលោកដែលគ្មានព្រំដែន។.

នៅក្នុងការងាររបស់ខ្ញុំ ខ្ញុំក៏បានសម្រេចចិត្ត "ប៉ះ" ពិភពនៃភាពស្រស់ស្អាត ហើយប្តេជ្ញាចិត្តសម្រាប់ខ្លួនខ្ញុំ…

កម្មវត្ថុ៖ បង្កើតវត្ថុដែលស្រដៀងនឹងធម្មជាតិ។

វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវពាក្យគន្លឹះ៖ ការវិភាគប្រៀបធៀប ការសំយោគ គំរូ។

ភារកិច្ច:

ការស្គាល់ជាមួយនឹងគំនិត ប្រវត្តិនៃការកើតឡើង និងការស្រាវជ្រាវរបស់ B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky និងអ្នកដទៃ;

ស្គាល់ជាមួយប្រភេទផ្សេងគ្នានៃសំណុំ fractal;

សិក្សាអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រពេញនិយមលើបញ្ហានេះ ស្គាល់គ្នាជាមួយ

សម្មតិកម្មវិទ្យាសាស្ត្រ;

ការស្វែងរកការបញ្ជាក់ពីទ្រឹស្តីនៃភាពប្រេះស្រាំនៃពិភពលោកជុំវិញ។

ការសិក្សាអំពីការប្រើប្រាស់ fractal នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត និងក្នុងការអនុវត្ត។

ធ្វើការពិសោធន៍ដើម្បីបង្កើតរូបភាព fractal ផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។

សំណួរស្នូលនៃការងារ៖

បង្ហាញថាគណិតវិទ្យាមិនមែនជាមុខវិជ្ជាស្ងួត គ្មានព្រលឹងទេ វាអាចបង្ហាញពីពិភពខាងវិញ្ញាណរបស់មនុស្សម្នាក់ៗ និងក្នុងសង្គមទាំងមូល។

ប្រធានបទនៃការសិក្សា៖ ធរណីមាត្រប្រភាគ។

វត្ថុនៃការសិក្សា៖ fractal នៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងក្នុងពិភពពិត។

សម្មតិកម្ម៖ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលមាននៅក្នុងពិភពពិតគឺជាប្រភាគ។

វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវ: វិភាគ, ស្វែងរក។

ភាពពាក់ព័ន្ធនៃប្រធានបទដែលបានប្រកាសត្រូវបានកំណត់ ជាដំបូងដោយប្រធានបទនៃការស្រាវជ្រាវ ដែលជាធរណីមាត្រ fractal ។

លទ្ធផលរំពឹងទុក៖នៅក្នុងវគ្គសិក្សា ខ្ញុំនឹងអាចពង្រីកចំណេះដឹងរបស់ខ្ញុំក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យា មើលឃើញភាពស្រស់ស្អាតនៃធរណីមាត្រ fractal ហើយចាប់ផ្តើមធ្វើការបង្កើត fractal ផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ខ្ញុំ។

លទ្ធផលនៃការងារនឹងជាការបង្កើតបទបង្ហាញកុំព្យូទ័រ ព្រឹត្តិបត្រ និងកូនសៀវភៅ។

ជំពូកទី 1

ខ Enua Mandelbrot

ពាក្យ "Fractal" ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Benoit Mandelbrot ។ ពាក្យនេះមកពីឡាតាំង "fractus" មានន័យថា "ខូច, ខ្ទេចខ្ទាំ" ។

Fractal (lat. fractus - កំទេច, ខូច, ខូច) - ពាក្យដែលមានន័យថាជាតួលេខធរណីមាត្រស្មុគស្មាញដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងពោលគឺមានផ្នែកជាច្រើនដែលនីមួយៗស្រដៀងនឹងតួលេខទាំងមូល។

វត្ថុគណិតវិទ្យាដែលវាសំដៅលើត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយលក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុត។ នៅក្នុងធរណីមាត្រធម្មតា បន្ទាត់មួយមានវិមាត្រមួយ ផ្ទៃមួយមានវិមាត្រពីរ ហើយតួលេខលំហមានបីវិមាត្រ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត Fractals មិនមែនជាបន្ទាត់ ឬផ្ទៃទេ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកអាចស្រមៃមើលវា មានអ្វីនៅចន្លោះនោះ។ ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃទំហំ បរិមាណនៃ fractal ក៏កើនឡើងដែរ ប៉ុន្តែវិមាត្ររបស់វា (និទស្សន្ត) មិនមែនជាចំនួនគត់ ប៉ុន្តែជាតម្លៃប្រភាគ ហើយដូច្នេះព្រំដែននៃតួរលេខ fractal មិនមែនជាបន្ទាត់ទេ៖ នៅការពង្រីកខ្ពស់ វាកាន់តែច្បាស់។ ថា​វា​មិន​ច្បាស់ ហើយ​មាន​វង់ និង​អង្កាញ់ ធ្វើ​ឡើង​វិញ​ក្នុង​ទំហំ​តូច​នៃ​រូប​ខ្លួន​វា។ ភាពទៀងទាត់នៃធរណីមាត្របែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ភាពមិនប្រែប្រួលនៃមាត្រដ្ឋាន ឬភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។ វាគឺជានាងដែលកំណត់វិមាត្រប្រភាគនៃតួលេខប្រភាគ។

មុនពេលការមកដល់នៃធរណីមាត្រ fractal វិទ្យាសាស្រ្តបានដោះស្រាយជាមួយនឹងប្រព័ន្ធដែលមាននៅក្នុងវិមាត្រ spatial បី។ សូមអរគុណដល់ Einstein វាបានក្លាយទៅជាច្បាស់ថាលំហបីវិមាត្រគ្រាន់តែជាគំរូនៃការពិតប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនមែនជាការពិតនោះទេ។ តាមពិតទៅ ពិភពលោករបស់យើងមានទីតាំងនៅក្នុងលំហអវកាសបួនវិមាត្រ។
សូមអរគុណដល់ Mandelbrot វាបានក្លាយទៅជាច្បាស់នូវអ្វីដែលលំហរបួនវិមាត្រមើលទៅដូចដែលនិយាយក្នុងន័យធៀប មុខប្រភាគនៃ Chaos ។ Benoit Mandelbrot បានរកឃើញថាវិមាត្រទីបួនរួមបញ្ចូលមិនត្រឹមតែវិមាត្របីដំបូងប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏ (នេះសំខាន់ណាស់!) ចន្លោះពេលរវាងពួកវា។

ធរណីមាត្រ Recursive (ឬ fractal) កំពុងជំនួស Euclidean ។ វិទ្យាសាស្ត្រថ្មីមានសមត្ថភាពពិពណ៌នាអំពីធម្មជាតិពិតនៃរូបកាយ និងបាតុភូត។ ធរណីមាត្រ Euclidean ដោះស្រាយតែជាមួយវត្ថុសិប្បនិម្មិតដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់វិមាត្របីប៉ុណ្ណោះ។ មានតែវិមាត្រទីបួនប៉ុណ្ណោះដែលអាចប្រែក្លាយពួកវាឱ្យទៅជាការពិត។

រាវ ឧស្ម័ន រឹង គឺជាស្ថានភាពរូបវន្តធម្មតាទាំងបីនៃរូបធាតុដែលមាននៅក្នុងពិភពបីវិមាត្រ។ ប៉ុន្តែតើអ្វីទៅជាទំហំនៃផ្សែង ពពក ឬព្រំដែនរបស់វា ដែលបន្តព្រិលៗដោយចលនាខ្យល់ដ៏ច្របូកច្របល់?

ជាទូទៅ fractal ត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ជាបីក្រុម៖

Fractal ពិជគណិត

Stochastic fractal

fractal ធរណីមាត្រ

ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់អំពីពួកគេម្នាក់ៗ។

ជំពូកទី 2. ការចាត់ថ្នាក់នៃ fractal

fractal ធរណីមាត្រ

Benoit Mandelbrot បានស្នើគំរូ fractal ដែលបានក្លាយជាបុរាណរួចហើយ ហើយត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីបង្ហាញទាំងឧទាហរណ៍ធម្មតានៃ fractal ខ្លួនវា និងដើម្បីបង្ហាញពីភាពស្រស់ស្អាតនៃ fractal ដែលទាក់ទាញអ្នកស្រាវជ្រាវ សិល្បករ និងមនុស្សដែលចាប់អារម្មណ៍ផងដែរ។

វាគឺនៅជាមួយពួកគេដែលប្រវត្តិសាស្រ្តនៃ fractals បានចាប់ផ្តើម។ ប្រភេទនៃ fractal នេះត្រូវបានទទួលដោយសំណង់ធរណីមាត្រសាមញ្ញ។ ជាធម្មតានៅពេលបង្កើត fractal ទាំងនេះ មួយបន្តដូចខាងក្រោម: "គ្រាប់ពូជ" មួយត្រូវបានយក - axiom - សំណុំនៃចម្រៀកមួយនៅលើមូលដ្ឋាននៃ fractal នឹងត្រូវបានសាងសង់។ លើសពីនេះ ច្បាប់មួយត្រូវបានអនុវត្តចំពោះ "គ្រាប់ពូជ" ដែលបំប្លែងវាទៅជារូបធរណីមាត្រមួយចំនួន។ លើសពីនេះ ច្បាប់ដដែលនេះត្រូវបានអនុវត្តម្តងទៀតចំពោះផ្នែកនីមួយៗនៃតួលេខនេះ។ ជាមួយនឹងជំហាននីមួយៗ តួលេខនឹងកាន់តែស្មុគ្រស្មាញ ហើយប្រសិនបើយើងអនុវត្ត (យ៉ាងហោចណាស់ក្នុងចិត្ត) ចំនួននៃការបំប្លែងដែលគ្មានកំណត់ យើងនឹងទទួលបានប្រភាគធរណីមាត្រ។

Fractals នៃថ្នាក់នេះគឺជាការមើលឃើញច្រើនបំផុត ព្រោះវាអាចមើលឃើញភ្លាមៗនូវភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៅកម្រិតនៃការសង្កេតណាមួយ។ ក្នុងករណីពីរវិមាត្រ fractal បែបនេះអាចទទួលបានដោយការបញ្ជាក់បន្ទាត់ខូចមួយចំនួនដែលហៅថាម៉ាស៊ីនភ្លើង។ នៅក្នុងជំហានមួយនៃក្បួនដោះស្រាយ ផ្នែកនីមួយៗដែលបង្កើតជាបន្ទាត់ដែលខូចត្រូវបានជំនួសដោយម៉ាស៊ីនបង្កើតបន្ទាត់ដែលខូច ក្នុងមាត្រដ្ឋានសមស្រប។ ជាលទ្ធផលនៃពាក្យដដែលៗគ្មានទីបញ្ចប់នៃនីតិវិធីនេះ (ឬច្បាស់ជាងនេះទៅទៀតនៅពេលឆ្លងដល់ដែនកំណត់) ខ្សែកោង fractal ត្រូវបានទទួល។ ជាមួយនឹងភាពស្មុគស្មាញជាក់ស្តែងនៃខ្សែកោងលទ្ធផលទម្រង់ទូទៅរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបរាងរបស់ម៉ាស៊ីនភ្លើងប៉ុណ្ណោះ។ ឧទាហរណ៍នៃខ្សែកោងបែបនេះគឺ: ខ្សែកោង Koch (Fig.7), ខ្សែកោង Peano (Fig.8), ខ្សែកោង Minkowski ។

នៅដើមសតវត្សទី 20 អ្នកគណិតវិទូកំពុងស្វែងរកខ្សែកោងដែលមិនមានតង់សង់នៅចំណុចណាមួយ។ នេះមានន័យថាខ្សែកោងបានផ្លាស់ប្តូរទិសដៅរបស់វាភ្លាមៗ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត ក្នុងល្បឿនដ៏ខ្លាំងមួយ (ដេរីវេគឺស្មើនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់)។ ការស្វែងរកខ្សែកោងទាំងនេះ មិនមែនដោយសារការចាប់អារម្មណ៍ទំនេររបស់អ្នកគណិតវិទូប៉ុណ្ណោះទេ។ ការពិតគឺថានៅដើមសតវត្សទី 20 មេកានិចកង់ទិចបានអភិវឌ្ឍយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ អ្នកស្រាវជ្រាវ M. Brown បានគូសវាសគន្លងនៃភាគល្អិតផ្អាកនៅក្នុងទឹក ហើយពន្យល់ពីបាតុភូតនេះដូចខាងក្រោម៖ អាតូមរាវដែលរំកិលដោយចៃដន្យបានបុកភាគល្អិតព្យួរ ហើយដោយហេតុនេះកំណត់ពួកវាក្នុងចលនា។ បន្ទាប់ពីការពន្យល់បែបនេះអំពីចលនា Brownian អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រត្រូវប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចក្នុងការស្វែងរកខ្សែកោងដែលនឹងបង្ហាញចលនានៃភាគល្អិត Brownian បានល្អបំផុត។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ខ្សែកោងត្រូវបំពេញលក្ខណៈដូចខាងក្រោម៖ មិនមានតង់សង់នៅចំណុចណាមួយឡើយ។ គណិតវិទូ Koch បានស្នើខ្សែកោងបែបនេះ។

ទៅ ខ្សែកោង Koch គឺជា fractal ធរណីមាត្រធម្មតា។ ដំណើរការនៃការសាងសង់របស់វាមានដូចខាងក្រោម: យើងយកផ្នែកតែមួយចែកវាទៅជាបីផ្នែកស្មើគ្នាហើយជំនួសចន្លោះកណ្តាលដោយត្រីកោណសមភាពដោយគ្មានផ្នែកនេះ។ ជាលទ្ធផលខ្សែដែលខូចត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលមានតំណភ្ជាប់ចំនួនបួនដែលមានប្រវែង 1/3 ។ នៅជំហានបន្ទាប់ យើងធ្វើប្រតិបត្តិការម្តងទៀតសម្រាប់តំណលទ្ធផលនីមួយៗនៃតំណភ្ជាប់ទាំងបួន ហើយដូច្នេះនៅលើ ...

ខ្សែកោងដែនកំណត់គឺ ខ្សែកោង Koch ។

Snowflake Koch ។ដោយអនុវត្តការបំប្លែងស្រដៀងគ្នានៅលើជ្រុងនៃត្រីកោណស្មើគ្នា អ្នកអាចទទួលបានរូបភាពប្រភាគនៃផ្កាព្រិល Koch ។

ធ
អ្នកតំណាងសាមញ្ញមួយទៀតនៃ fractal ធរណីមាត្រគឺ ការ៉េ Sierpinski ។វាត្រូវបានសាងសង់យ៉ាងសាមញ្ញ៖ ការ៉េត្រូវបានបែងចែកដោយបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងជ្រុងរបស់វាទៅជា 9 ការ៉េស្មើគ្នា។ ការ៉េកណ្តាលត្រូវបានយកចេញពីការ៉េ។ វាប្រែចេញសំណុំមួយដែលមាន 8 ការេដែលនៅសល់នៃ "ចំណាត់ថ្នាក់ទីមួយ" ។ ធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងការ៉េនីមួយៗនៃចំណាត់ថ្នាក់ទីមួយ យើងទទួលបានសំណុំមួយដែលមាន 64 ការេនៃចំណាត់ថ្នាក់ទីពីរ។ ការបន្តដំណើរការនេះដោយគ្មានកំណត់ យើងទទួលបានលំដាប់គ្មានកំណត់ ឬការ៉េ Sierpinski ។

ពិជគណិត fractal

នេះគឺជាក្រុមធំបំផុតនៃ fractal ។ ពិជគណិត fractal បានទទួលឈ្មោះរបស់ពួកគេ ដោយសារតែពួកគេត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយប្រើរូបមន្តពិជគណិតសាមញ្ញ។

ពួកវាត្រូវបានទទួលដោយប្រើដំណើរការដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរនៅក្នុង ន- ចន្លោះវិមាត្រ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាប្រព័ន្ធថាមវន្តមិនលីនេអ៊ែរមានស្ថានភាពស្ថិរភាពជាច្រើន។ ស្ថានភាពដែលប្រព័ន្ធថាមវន្តរកឃើញដោយខ្លួនឯងបន្ទាប់ពីចំនួនជាក់លាក់នៃការធ្វើម្តងទៀតអាស្រ័យលើស្ថានភាពដំបូងរបស់វា។ ដូច្នេះរដ្ឋស្ថិរភាពនីមួយៗ (ឬដូចដែលពួកគេនិយាយថាអ្នកទាក់ទាញ) មានតំបន់ជាក់លាក់មួយនៃរដ្ឋដំបូងដែលប្រព័ន្ធនឹងចាំបាច់ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងរដ្ឋចុងក្រោយដែលត្រូវបានពិចារណា។ ដូច្នេះចន្លោះដំណាក់កាលនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបែងចែកទៅជា តំបន់នៃការទាក់ទាញអ្នកទាក់ទាញ។ ប្រសិនបើលំហដំណាក់កាលមានពីរវិមាត្រ នោះដោយការលាបពណ៌តំបន់ទាក់ទាញដោយពណ៌ផ្សេងគ្នា មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបាន ដំណាក់កាលពណ៌បញ្ឈរប្រព័ន្ធនេះ (ដំណើរការដដែលៗ) ។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរក្បួនដោះស្រាយការជ្រើសរើសពណ៌ អ្នកអាចទទួលបានគំរូប្រភាគដ៏ស្មុគស្មាញជាមួយនឹងលំនាំចម្រុះពណ៌។ ការភ្ញាក់ផ្អើលមួយសម្រាប់គណិតវិទូគឺសមត្ថភាពក្នុងការបង្កើតរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយបុព្វកាល។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាឈុត Mandelbrot ។ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយប្រើចំនួនកុំផ្លិច។

ផ្នែកមួយនៃព្រំដែននៃសំណុំ Mandelbrot ពង្រីក 200 ដង។

សំណុំ Mandelbrot មានចំណុចដែលក្នុងអំឡុងពេលគ្មានទីបញ្ចប់ ចំនួននៃការធ្វើម្តងទៀតមិនដល់ភាពគ្មានកំណត់ទេ (ចំណុចដែលមានពណ៌ខ្មៅ) ។ ចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ព្រំដែននៃសំណុំ(នេះគឺជាកន្លែងដែលរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគ្រស្មាញកើតឡើង) ទៅកាន់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ក្នុងចំនួនកំណត់នៃការធ្វើម្តងទៀត ហើយចំនុចដែលស្ថិតនៅខាងក្រៅសំណុំទៅកាន់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់បន្ទាប់ពីការធ្វើម្តងទៀតជាច្រើន (ផ្ទៃខាងក្រោយពណ៌ស) ។

ទំ



ឧទាហរណ៏នៃ fractal ពិជគណិតមួយផ្សេងទៀតគឺសំណុំ Julia ។ មាន 2 ប្រភេទនៃ fractal នេះ។គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលដែលឈុត Julia ត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរូបមន្តដូចគ្នានឹងឈុត Mandelbrot ។ ឈុត Julia ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​គណិតវិទូ​ជនជាតិ​បារាំង Gaston Julia ដែល​ឈុត​នោះ​ត្រូវ​បាន​ដាក់​ឈ្មោះ​តាម​នោះ។

និង
ការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំណែកពិជគណិតមួយចំនួនមានលក្ខណៈស្រដៀងនឹងរូបភាពសត្វ រុក្ខជាតិ និងវត្ថុជីវសាស្រ្តផ្សេងទៀត ជាលទ្ធផលដែលពួកវាត្រូវបានគេហៅថា biomorphs ។

Stochastic fractal

ថ្នាក់ fractal ល្បីមួយទៀតគឺ stochastic fractal ដែលត្រូវបានទទួលប្រសិនបើប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាមួយរបស់វាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយចៃដន្យនៅក្នុងដំណើរការម្តងហើយម្តងទៀត។ លទ្ធផលនេះធ្វើឱ្យវត្ថុស្រដៀងនឹងវត្ថុធម្មជាតិ - ដើមឈើមិនស្មើគ្នា ឆ្នេរសមុទ្រចូលបន្ទាត់។ល។

អ្នកតំណាងធម្មតានៃក្រុម fractal នេះគឺ "ប្លាស្មា" ។

ឃ
ដើម្បីសាងសង់វា ចតុកោណកែងមួយត្រូវបានគេយក ហើយពណ៌ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ជ្រុងនីមួយៗរបស់វា។ បន្ទាប់មក ចំណុចកណ្តាលនៃចតុកោណកែងត្រូវបានរកឃើញ ហើយលាបពណ៌ស្មើទៅនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃពណ៌នៅជ្រុងនៃចតុកោណ បូកនឹងចំនួនចៃដន្យមួយចំនួន។ លេខចៃដន្យកាន់តែច្រើន រូបភាពនឹងកាន់តែ "រហែក" ។ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាពណ៌នៃចំណុចគឺជាកម្ពស់ខាងលើកម្រិតទឹកសមុទ្រ យើងនឹងទទួលបានជួរភ្នំជំនួសឱ្យប្លាស្មា។ វាស្ថិតនៅលើគោលការណ៍នេះ ដែលភ្នំត្រូវបានគេយកគំរូតាមកម្មវិធីភាគច្រើន។ ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដូចប្លាស្មា ផែនទីកម្ពស់ត្រូវបានសាងសង់ តម្រងផ្សេងៗត្រូវបានអនុវត្តលើវា វាយនភាពត្រូវបានអនុវត្ត និងភ្នំដែលមានរូបភាពប្រាកដនិយមគឺរួចរាល់។

អ៊ី
ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើល fractal នេះនៅក្នុងផ្នែកមួយ នោះយើងនឹងឃើញថា fractal នេះគឺមានពន្លឺ ហើយមាន "roughness" ដោយសារតែ "roughness" នេះមានកម្មវិធីសំខាន់នៃ fractal នេះ។

ចូរនិយាយថាអ្នកចង់ពណ៌នាអំពីរូបរាងនៃភ្នំមួយ។ តួលេខធម្មតាពីធរណីមាត្រ Euclidean នឹងមិនជួយនៅទីនេះទេព្រោះវាមិនគិតពីសណ្ឋានដី។ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលរួមបញ្ចូលគ្នានូវធរណីមាត្រធម្មតាជាមួយនឹងធរណីមាត្រ fractal អ្នកអាចទទួលបាន "ភាពរដុប" នៃភ្នំ។ ប្លាស្មាត្រូវតែត្រូវបានអនុវត្តទៅកោណធម្មតាហើយយើងនឹងទទួលបានភាពធូរស្រាលនៃភ្នំ។ ប្រតិបត្តិការបែបនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយវត្ថុផ្សេងទៀតជាច្រើននៅក្នុងធម្មជាតិ អរគុណចំពោះ fractal stochastic ធម្មជាតិខ្លួនឯងអាចត្រូវបានពិពណ៌នា។

ឥឡូវនេះសូមនិយាយអំពី fractal ធរណីមាត្រ។

.

ជំពូកទី 3 "ធរណីមាត្រ Fractal នៃធម្មជាតិ"

ហេតុអ្វីបានជាធរណីមាត្រត្រូវបានគេហៅថា "ត្រជាក់" និង "ស្ងួត" ហេតុផលមួយគឺអសមត្ថភាពក្នុងការពិពណ៌នាអំពីរូបរាងនៃពពក ភ្នំ ឆ្នេរសមុទ្រ ឬដើមឈើ។ ពពកមិនមែនជារាងស្វ៊ែរ ភ្នំមិនមែនជាកោណ ឆ្នេរសមុទ្រមិនមែនជារង្វង់ ដើមឈើ សំបកឈើមិនរលោងទេ ប៉ុន្តែភាពស្មុគស្មាញនៃកម្រិតខុសគ្នាទាំងស្រុង។ ចំនួននៃមាត្រដ្ឋានប្រវែងខុសៗគ្នានៃវត្ថុធម្មជាតិសម្រាប់គោលបំណងជាក់ស្តែងទាំងអស់គឺគ្មានកំណត់”។

(បេណយ Mandelbrot "ធរណីមាត្រ Fractal នៃធម្មជាតិ" ).

ទៅ ភាពស្រស់ស្អាតនៃ fractals គឺពីរដង៖ វាធ្វើឱ្យភ្នែករីករាយ ដូចដែលបានបង្ហាញដោយយ៉ាងហោចណាស់ការតាំងពិព័រណ៍ពិភពលោកនៃរូបភាព fractal ដែលរៀបចំដោយក្រុមគណិតវិទូ Bremen ក្រោមការដឹកនាំរបស់ Peitgen និង Richter ។ ក្រោយមក វត្ថុតាំងពិពណ៌ដ៏អស្ចារ្យនេះត្រូវបានថតជាគំនូរសម្រាប់សៀវភៅ "សម្រស់នៃ Fractals" ដោយអ្នកនិពន្ធដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែមានទិដ្ឋភាពមួយទៀតដែលមានលក្ខណៈអរូបី ឬអស្ចារ្យជាងនេះទៅទៀត ទិដ្ឋភាពនៃភាពស្រស់ស្អាតនៃ fractals បើកចំហ យោងទៅតាម R. Feynman បានត្រឹមតែសម្លឹងមើលផ្លូវចិត្តរបស់អ្នកទ្រឹស្តីប៉ុណ្ណោះ ក្នុងន័យនេះ fractals គឺស្រស់ស្អាតជាមួយនឹងភាពស្រស់ស្អាតនៃបញ្ហាគណិតវិទ្យាដ៏លំបាកមួយ។ Benoit Mandelbrot បានចង្អុលបង្ហាញទៅកាន់សហសម័យរបស់គាត់ (ហើយសន្មតថាជាកូនចៅរបស់គាត់) គម្លាតអកុសលនៅក្នុង Euclid's Elements យោងទៅតាមការដែលមិនបានកត់សម្គាល់ការខកខាននេះសម្រាប់មនុស្សជាតិស្ទើរតែពីរសហស្សវត្សរ៍បានយល់ពីធរណីមាត្រនៃពិភពលោកជុំវិញហើយបានសិក្សាពីភាពម៉ត់ចត់នៃគណិតវិទ្យា។ បទ​បង្ហាញ។ ជាការពិតណាស់ ទិដ្ឋភាពទាំងពីរនៃភាពស្រស់ស្អាតនៃ fractals មានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងជិតស្និទ្ធ និងមិនរាប់បញ្ចូល ប៉ុន្តែត្រូវបំពេញគ្នាទៅវិញទៅមក ទោះបីជាពួកគេម្នាក់ៗមានលក្ខណៈគ្រប់គ្រាន់ក៏ដោយ។

ធរណីមាត្រ fractal នៃធម្មជាតិ យោងតាមលោក Mandelbrot គឺជាធរណីមាត្រពិតប្រាកដដែលបំពេញនិយមន័យនៃធរណីមាត្រដែលបានស្នើឡើងនៅក្នុង "កម្មវិធី Erlangen" របស់ F. Klein ។ ការពិតគឺថាមុនពេលការមកដល់នៃធរណីមាត្រដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដ N.I. Lobachevsky - L. Bolyai មានធរណីមាត្រតែមួយគត់ - មួយដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុង "ការចាប់ផ្តើម" ហើយសំណួរនៃធរណីមាត្រគឺជាអ្វីហើយធរណីមាត្រមួយណាជាធរណីមាត្រនៃពិភពពិតមិនបានកើតឡើងហើយមិនអាច ក្រោកឡើង ប៉ុន្តែជាមួយនឹងការមកដល់នៃធរណីមាត្រមួយផ្សេងទៀត សំណួរបានកើតមានឡើងថា តើធរណីមាត្រជាទូទៅជាអ្វី ហើយតើធរណីមាត្រណាមួយដែលត្រូវគ្នានឹងពិភពពិត។ យោងទៅតាម F. Klein ធរណីមាត្រសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិបែបនេះនៃវត្ថុដែលមិនប្រែប្រួលនៅក្រោមការបំប្លែង៖ Euclidean - invariants នៃក្រុមចលនា (ការបំប្លែងដែលមិនផ្លាស់ប្តូរចំងាយរវាងចំនុចពីរណាមួយ ពោលគឺតំណាងឱ្យ superposition នៃការបកប្រែស្របគ្នា និងការបង្វិលជាមួយ ឬ ដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរការតំរង់ទិស) ធរណីមាត្រ Lobachevsky-Bolyai - ការប្រែប្រួលនៃក្រុម Lorentz ។ ធរណីមាត្រ Fractal ទាក់ទង​នឹង​ការ​សិក្សា​អំពី​បំរែបំរួល​នៃ​ក្រុម​នៃ​ការ​បំប្លែង​ខ្លួន​ឯង ឧ. លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបង្ហាញដោយច្បាប់អំណាច។

ចំពោះការឆ្លើយឆ្លងទៅកាន់ពិភពពិត ធរណីមាត្រ fractal ពិពណ៌នាអំពីដំណើរការ និងបាតុភូតធម្មជាតិដ៏ធំទូលាយមួយ ដូច្នេះហើយ យើងអាចនិយាយតាម B. Mandelbrot ដោយត្រឹមត្រូវអំពីធរណីមាត្រ fractal នៃធម្មជាតិ។ ថ្មី - វត្ថុប្រភាគមានលក្ខណៈសម្បត្តិមិនធម្មតា។ ប្រវែង តំបន់ និងបរិមាណនៃប្រភាគខ្លះស្មើនឹងសូន្យ ហើយខ្លះទៀតប្រែទៅជាគ្មានកំណត់។

ធម្មជាតិតែងតែបង្កើត fractal ដ៏អស្ចារ្យ និងស្រស់ស្អាត ជាមួយនឹងធរណីមាត្រដ៏ល្អឥតខ្ចោះ និងភាពសុខដុមរមនាដែលអ្នកគ្រាន់តែបង្កកដោយការកោតសរសើរ។ ហើយនេះគឺជាឧទាហរណ៍របស់ពួកគេ៖

សំបកសមុទ្រ

ផ្លេកបន្ទោរកោតសរសើរភាពស្រស់ស្អាតរបស់ពួកគេ។ Fractal ដែលបង្កើតឡើងដោយផ្លេកបន្ទោរគឺមិនចៃដន្យឬទៀងទាត់។

រាងប្រភាគ ប្រភេទរងនៃផ្កាខាត់ណាខៀវ(ផ្កាខាត់ណាខៀវ) ។ ប្រភេទពិសេសនេះគឺជា fractal ស៊ីមេទ្រីពិសេស។

ទំ fernក៏ជាឧទាហរណ៍ដ៏ល្អនៃ fractal ក្នុងចំណោមរុក្ខជាតិ។

ក្ងោកមនុស្សគ្រប់គ្នាត្រូវបានគេស្គាល់ថាសម្រាប់ plumage ចម្រុះពណ៌របស់ពួកគេដែលក្នុងនោះ fractals រឹងត្រូវបានលាក់។

ទឹកកក លំនាំសាយសត្វនៅលើបង្អួច ទាំងនេះក៏ជា fractal ផងដែរ។

អូ
t រូបភាពពង្រីក ខិត្តប័ណ្ណពីមុន មែកធាង- អ្នកអាចរកឃើញ fractal នៅក្នុងអ្វីគ្រប់យ៉ាង

Fractals មាននៅគ្រប់ទីកន្លែង និងគ្រប់ទីកន្លែងនៅក្នុងធម្មជាតិជុំវិញខ្លួនយើង។ សកលលោកទាំងមូលត្រូវបានសាងសង់ឡើងដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដែលចុះសម្រុងគ្នាគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលជាមួយនឹងភាពជាក់លាក់គណិតវិទ្យា។ តើវាអាចទៅរួចទេបន្ទាប់ពីនោះ ក្នុងការគិតថា ភពផែនដីរបស់យើង គឺជាបណ្តុំនៃភាគល្អិតចៃដន្យ? ស្ទើរតែ។

ជំពូកទី 4

Fractals កំពុងស្វែងរកកម្មវិធីកាន់តែច្រើនឡើងនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។ ហេតុផលចម្បងសម្រាប់រឿងនេះគឺថា ពួកគេពិពណ៌នាអំពីពិភពលោកពិត ជួនកាលប្រសើរជាងរូបវិទ្យា ឬគណិតវិទ្យាបុរាណ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

អូ
ថ្ងៃនៃកម្មវិធីដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតនៃ fractal ស្ថិតនៅក្នុង ក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ. នេះគឺជាការបង្រួមប្រភាគនៃរូបភាព។ រូបវិទ្យា និងមេកានិចទំនើបទើបតែចាប់ផ្តើមសិក្សាពីឥរិយាបទនៃវត្ថុប្រភាគ។

គុណសម្បត្តិនៃក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាប់រូបភាព fractal គឺទំហំតូចបំផុតនៃឯកសារដែលបានខ្ចប់ និងពេលវេលាសង្គ្រោះរូបភាពខ្លី។ រូបភាពដែលខ្ចប់ដោយប្រភាគអាចត្រូវបានធ្វើមាត្រដ្ឋានដោយគ្មានរូបរាងនៃភីកសែល (គុណភាពរូបភាពមិនល្អ - ការ៉េធំ) ។ ប៉ុន្តែដំណើរការបង្ហាប់ត្រូវចំណាយពេលយូរ ហើយជួនកាលមានរយៈពេលរាប់ម៉ោង។ ក្បួនដោះស្រាយការវេចខ្ចប់ fractal ដែលបាត់បង់អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់កម្រិតនៃការបង្ហាប់ដែលស្រដៀងទៅនឹងទម្រង់ jpeg ។ ក្បួនដោះស្រាយគឺផ្អែកលើការស្វែងរកបំណែកធំនៃរូបភាពស្រដៀងនឹងបំណែកតូចៗមួយចំនួន។ ហើយមានតែបំណែកណាដែលស្រដៀងនឹងដែលត្រូវបានសរសេរទៅឯកសារលទ្ធផល។ នៅពេលបង្ហាប់ ក្រឡាចត្រង្គការ៉េជាធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់ (បំណែកគឺជាការ៉េ) ដែលនាំឱ្យមានមុំបន្តិចនៅពេលស្តាររូបភាពឡើងវិញ ក្រឡាចត្រង្គរាងប្រាំមួយគឺមិនមានគុណវិបត្តិបែបនេះទេ។

Iterated បានបង្កើតទម្រង់រូបភាពថ្មី "Sting" ដែលរួមបញ្ចូលគ្នានូវ fractal និង "wave" (ដូចជា jpeg) ការបង្ហាប់ដែលគ្មានការបាត់បង់។ ទម្រង់ថ្មីអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើតរូបភាពជាមួយនឹងលទ្ធភាពនៃការធ្វើមាត្រដ្ឋានគុណភាពខ្ពស់ជាបន្តបន្ទាប់ ហើយទំហំឯកសារក្រាហ្វិកគឺ 15-20% នៃទំហំរូបភាពដែលមិនបានបង្ហាប់។

នៅក្នុងមេកានិចនិងរូបវិទ្យា fractal ត្រូវបានប្រើដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិតែមួយគត់នៃការធ្វើឡើងវិញនូវគ្រោងនៃវត្ថុធម្មជាតិជាច្រើន។ Fractals អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប៉ាន់ស្មានដើមឈើ ផ្ទៃភ្នំ និងការប្រេះស្រាំជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវខ្ពស់ជាងការប៉ាន់ស្មានជាមួយនឹងផ្នែកបន្ទាត់ ឬពហុកោណ (ជាមួយនឹងបរិមាណដូចគ្នានៃទិន្នន័យដែលបានរក្សាទុក)។ គំរូ Fractal ដូចជាវត្ថុធម្មជាតិមាន "ភាពរដុប" ហើយទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានរក្សាទុកដោយការកើនឡើងដ៏ធំតាមអំពើចិត្តនៅក្នុងគំរូ។ វត្តមាននៃរង្វាស់ឯកសណ្ឋាននៅលើ fractal ធ្វើឱ្យវាអាចអនុវត្តការរួមបញ្ចូល ទ្រឹស្តីសក្តានុពល ដើម្បីប្រើពួកវាជំនួសឱ្យវត្ថុស្តង់ដារនៅក្នុងសមីការដែលបានសិក្សារួចហើយ។

ធ
ធរណីមាត្រ Fractal ក៏ត្រូវបានគេប្រើផងដែរ។ ការរចនាឧបករណ៍អង់តែន. នេះ​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ជា​លើក​ដំបូង​ដោយ​វិស្វករ​ជនជាតិ​អាមេរិក Nathan Cohen ដែល​កាល​នោះ​រស់​នៅ​កណ្តាល​ទីក្រុង Boston ដែល​ការ​ដំឡើង​អង់តែន​ខាង​ក្រៅ​លើ​អគារ​ត្រូវ​បាន​ហាម​ឃាត់។ Cohen បានកាត់ចេញនូវរូបរាងកោង Koch ពីបន្ទះអាលុយមីញ៉ូម ហើយបន្ទាប់មកបិទភ្ជាប់វានៅលើក្រដាសមួយ មុនពេលភ្ជាប់វាទៅនឹងអ្នកទទួល។ វាបានប្រែក្លាយថាអង់តែនបែបនេះដំណើរការមិនអាក្រក់ជាងធម្មតាទេ។ ហើយទោះបីជាគោលការណ៍រូបវន្តនៃអង់តែនបែបនេះមិនត្រូវបានគេសិក្សារហូតមកដល់ពេលនេះក៏ដោយ នេះមិនបានរារាំង Cohen ពីការបង្កើតក្រុមហ៊ុនផ្ទាល់ខ្លួនរបស់គាត់ និងការបង្កើតការផលិតសៀរៀលរបស់ពួកគេនោះទេ។ នៅពេលនេះក្រុមហ៊ុនអាមេរិក "ប្រព័ន្ធអង់តែន Fractal" បានបង្កើតអង់តែនប្រភេទថ្មី។ ឥឡូវនេះ អ្នកអាចឈប់ប្រើអង់តែនខាងក្រៅដែលលេចចេញនៅក្នុងទូរសព្ទដៃ។ អ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​អង់តែន fractal មាន​ទីតាំង​ផ្ទាល់​នៅ​លើ​បន្ទះ​មេ​នៅ​ក្នុង​ឧបករណ៍។

វាក៏មានសម្មតិកម្មជាច្រើនអំពីការប្រើប្រាស់ fractal ផងដែរ - ឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធឡាំហ្វាទិច និងប្រព័ន្ធឈាមរត់ សួត និងច្រើនទៀតក៏មានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal ផងដែរ។

ជំពូកទី 5. ការងារជាក់ស្តែង។

ជាដំបូង ចូរយើងផ្តោតលើប្រភាគ "ខ្សែក" "ជ័យជំនះ" និង "ការ៉េ"។

ដំបូង - "ខ្សែក"(រូបភាពទី 7) ។ រង្វង់គឺជាអ្នកផ្តួចផ្តើមនៃ fractal នេះ។ រង្វង់នេះមានចំនួនជាក់លាក់នៃរង្វង់ដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានទំហំតូចជាង ហើយវាជារង្វង់មួយក្នុងចំណោមរង្វង់ជាច្រើនដែលដូចគ្នា ប៉ុន្តែមានទំហំធំជាង។ ដូច្នេះដំណើរការនៃការអប់រំគឺគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយវាអាចត្រូវបានអនុវត្តទាំងក្នុងទិសដៅមួយ និងក្នុងទិសដៅផ្ទុយ។ ទាំងនោះ។ តួរលេខអាចត្រូវបានពង្រីកដោយយកតែធ្នូតូចមួយ ឬវាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយពិចារណាលើការសាងសង់របស់វាពីតូចជាង។

អង្ករ។ ៧.

Fractal "ខ្សែក"

ប្រភាគទីពីរគឺ "ជ័យជំនះ"(រូបភាពទី 8) ។ គាត់បានទទួលឈ្មោះនេះព្រោះវាស្រដៀងនឹងអក្សរឡាតាំង "V" មានន័យថា "ជ័យជំនះ" - ជ័យជំនះ។ ប្រភាគនេះមានចំនួនជាក់លាក់នៃ "v" តូចដែលបង្កើតជា "V" ធំមួយហើយនៅពាក់កណ្តាលខាងឆ្វេងដែលតូចត្រូវបានដាក់ដើម្បីឱ្យពាក់កណ្តាលខាងឆ្វេងរបស់ពួកគេបង្កើតជាបន្ទាត់ត្រង់មួយផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានសាងសង់។ នៅ​ផ្លូវ​តែមួយ។ "v" ទាំងនេះនីមួយៗត្រូវបានសាងសង់តាមរបៀបដូចគ្នា ហើយបន្តវារហូតដល់គ្មានទីបញ្ចប់។

រូប ៨. Fractal "ជ័យជំនះ"

ប្រភាគទីបីគឺ "ការ៉េ" (រូបភាពទី 9). ជ្រុងនីមួយៗរបស់វាមានកោសិកាមួយជួរ ដែលមានរាងដូចការ៉េ ដែលភាគីរបស់វាតំណាងឱ្យជួរកោសិកាជាដើម។

រូបទី 9. Fractal "Square"

Fractal ត្រូវបានគេហៅថា "ផ្កាកុលាប" (រូបភាពទី 10) ដោយសារតែខាងក្រៅរបស់វាស្រដៀងនឹងផ្កានេះ។ ការសាងសង់នៃ fractal ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការសាងសង់ស៊េរីនៃរង្វង់ប្រមូលផ្តុំដែលជាកាំដែលផ្លាស់ប្តូរសមាមាត្រទៅនឹងសមាមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ក្នុងករណីនេះ R m / R b = ¾ = 0.75 ។ ) ។ បន្ទាប់ពីនោះ ឆកោនធម្មតាមួយត្រូវបានចារឹកក្នុងរង្វង់នីមួយៗ ដែលផ្នែកម្ខាងៗស្មើនឹងកាំនៃរង្វង់ដែលបានពិពណ៌នាជុំវិញវា។

អង្ករ។ 11. Fractal "Rose *"

បន្ទាប់មកយើងងាកទៅ pentagon ធម្មតាដែលយើងគូរអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។ បន្ទាប់មកនៅក្នុង pentagon ដែលទទួលបាននៅចំណុចប្រសព្វនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នាយើងគូរអង្កត់ទ្រូងម្តងទៀត។ ចូរបន្តដំណើរការនេះទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយទទួលបាន "Pentagram" fractal (រូបភាព 12) ។

សូមណែនាំធាតុនៃភាពច្នៃប្រឌិត ហើយ fractal របស់យើងនឹងយកទម្រង់នៃវត្ថុដែលមើលឃើញកាន់តែច្រើន (រូបភាព 13) ។

រ
គឺ 12. Fractal "Pentagram" ។

អង្ករ។ 13. Fractal "Pentagram *"

អង្ករ។ 14 ប្រភាគ "ប្រហោងខ្មៅ"

ការពិសោធន៍លេខ 1 "ដើមឈើ"

ពេល​នេះ​ខ្ញុំ​យល់​ថា​អ្វី​ជា fractal និង​របៀប​បង្កើត​មួយ ខ្ញុំ​បាន​ព្យាយាម​បង្កើត​រូបភាព fractal ផ្ទាល់​ខ្លួន​របស់​ខ្ញុំ។ នៅក្នុងកម្មវិធី Adobe Photoshop ខ្ញុំបានបង្កើតទម្រង់បែបបទរងតូចមួយ ឬសកម្មភាព ដែលលក្ខណៈពិសេសនៃសកម្មភាពនេះគឺថាវាធ្វើម្តងទៀតនូវសកម្មភាពដែលខ្ញុំធ្វើ ហើយនេះជារបៀបដែលខ្ញុំទទួលបាន fractal ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ ខ្ញុំបានបង្កើតផ្ទៃខាងក្រោយសម្រាប់ fractal នាពេលអនាគតរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃ 600 គុណនឹង 600 ។ បន្ទាប់មកខ្ញុំបានគូរ 3 បន្ទាត់នៅលើផ្ទៃខាងក្រោយនេះ - មូលដ្ឋាននៃ fractal នាពេលអនាគតរបស់យើង។

ជាមួយជំហានបន្ទាប់គឺសរសេរស្គ្រីប។

ស្រទាប់ស្ទួន ( ស្រទាប់ > ស្ទួន) ហើយប្តូរប្រភេទលាយទៅជា " អេក្រង់" .

តោះហៅគាត់ទៅ " fr1"។ ស្ទួនស្រទាប់នេះ (" fr1") 2 ដងទៀត។

ឥឡូវនេះយើងត្រូវប្តូរទៅស្រទាប់ចុងក្រោយ (fr3) ហើយបញ្ចូលវាពីរដងជាមួយលេខមុន ( ctrl+e) បន្ថយពន្លឺស្រទាប់ ( រូបភាព > ការលៃតម្រូវ > ពន្លឺ/កម្រិតពណ៌ , កំណត់ពន្លឺ 50% ) ជាថ្មីម្តងទៀតបញ្ចូលគ្នាជាមួយស្រទាប់មុនហើយកាត់គែមនៃគំនូរទាំងមូលដើម្បីយកផ្នែកដែលមើលមិនឃើញ។

ជា​ជំហាន​ចុង​ក្រោយ ខ្ញុំ​បាន​ចម្លង​រូបភាព​នេះ ហើយ​បិទភ្ជាប់​វា​ចុះ​ទំហំ និង​បង្វិល។ នេះគឺជាលទ្ធផលចុងក្រោយ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ការងារនេះគឺជាការណែនាំទៅកាន់ពិភពនៃ fractals ។ យើងបានពិចារណាតែផ្នែកតូចបំផុតនៃអ្វីដែលជា fractal ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍អ្វីដែលពួកគេត្រូវបានបង្កើតឡើង។

ក្រាហ្វិច Fractal មិនគ្រាន់តែជាសំណុំនៃរូបភាពដែលធ្វើឡើងវិញដោយខ្លួនឯងនោះទេ វាគឺជាគំរូនៃរចនាសម្ព័ន្ធ និងគោលការណ៍នៃវត្ថុណាមួយ។ ជីវិតរបស់យើងទាំងមូលត្រូវបានតំណាងដោយ fractals ។ ធម្មជាតិទាំងអស់ដែលនៅជុំវិញយើងរួមមានពួកគេ។ វាគួរតែត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ថា fractals ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងហ្គេមកុំព្យូទ័រ ដែលទីតាំងជារឿយៗជារូបភាព fractal ដោយផ្អែកលើគំរូបីវិមាត្រនៃសំណុំស្មុគស្មាញ។ Fractals ជួយសម្រួលដល់ការគូររូបក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ ដោយមានជំនួយពី Fractal បែបផែនពិសេសជាច្រើន រូបភាពដ៏អស្ចារ្យ និងមិនគួរឱ្យជឿផ្សេងៗ ជាដើមត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ផងដែរ ដោយមានជំនួយពីធរណីមាត្រ fractal ដើមឈើ ពពក ឆ្នេរសមុទ្រ និងធម្មជាតិផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានគូរ។ ក្រាហ្វិក Fractal គឺចាំបាច់នៅគ្រប់ទីកន្លែង ហើយការអភិវឌ្ឍន៍នៃ "បច្ចេកវិទ្យា fractal" គឺជាកិច្ចការសំខាន់បំផុតមួយនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ។

នៅពេលអនាគត ខ្ញុំមានគម្រោងរៀនពីរបៀបបង្កើត fractal ពិជគណិត នៅពេលដែលខ្ញុំសិក្សាចំនួនកុំផ្លិចដោយលម្អិតបន្ថែមទៀត។ ខ្ញុំក៏ចង់ព្យាយាមបង្កើតរូបភាព fractal របស់ខ្ញុំនៅក្នុងភាសាកម្មវិធី Pascal ដោយប្រើ cycles ។

វាគួរតែត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ពីការប្រើប្រាស់ fractal នៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ បន្ថែមពីលើការបង្កើតរូបភាពដ៏ស្រស់ស្អាតនៅលើអេក្រង់កុំព្យូទ័រ។ Fractals នៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងផ្នែកខាងក្រោម៖

1. បង្រួមរូបភាព និងព័ត៌មាន

2. លាក់ព័ត៌មានក្នុងរូបភាព ក្នុងសំឡេង...

3. ការអ៊ិនគ្រីបទិន្នន័យដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ fractal

4. ការបង្កើតតន្ត្រី fractal

5. គំរូប្រព័ន្ធ

នៅក្នុងការងាររបស់យើង មិនមែនគ្រប់ផ្នែកនៃចំណេះដឹងរបស់មនុស្សត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ ដែលទ្រឹស្តីនៃ fractal បានរកឃើញការអនុវត្តរបស់វា។ យើងគ្រាន់តែចង់និយាយថាមិនលើសពីមួយភាគបីនៃសតវត្សបានកន្លងផុតទៅចាប់តាំងពីការលេចចេញនៃទ្រឹស្តីនេះ ប៉ុន្តែក្នុងអំឡុងពេលនេះ ហ្វ្រេត្រាល់សម្រាប់អ្នកស្រាវជ្រាវជាច្រើនបានក្លាយជាពន្លឺភ្លឺភ្លាមៗនៅពេលយប់ ដែលបំភ្លឺរហូតមកដល់ពេលនេះ ការពិត និងលំនាំដែលមិនស្គាល់ជាក់លាក់។ តំបន់ទិន្នន័យ។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីនៃ fractal ពួកគេបានចាប់ផ្តើមពន្យល់ពីការវិវត្តនៃកាឡាក់ស៊ី និងការអភិវឌ្ឍនៃកោសិកា ការកើតនៃភ្នំ និងការបង្កើតពពក ចលនានៃតម្លៃនៅលើផ្សារហ៊ុន និងការអភិវឌ្ឍន៍សង្គម និងគ្រួសារ។ ប្រហែលជាដំបូងឡើយ ចំណង់ចំណូលចិត្តចំពោះ fractals នេះគឺមានព្យុះខ្លាំងពេក ហើយការព្យាយាមពន្យល់អ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយប្រើទ្រឹស្តីនៃ fractal គឺមិនសមហេតុផល។ ប៉ុន្តែដោយគ្មានការសង្ស័យ ទ្រឹស្ដីនេះមានសិទ្ធិមាន ហើយយើងសោកស្តាយដែលថ្មីៗនេះវាត្រូវបានគេបំភ្លេចចោល ហើយនៅតែជាឥស្សរជនច្រើន។ ក្នុងការរៀបចំការងារនេះ វាពិតជាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់សម្រាប់ពួកយើងក្នុងការស្វែងរកកម្មវិធីទ្រឹស្តីក្នុងការអនុវត្ត។ ពីព្រោះជាញឹកញាប់មានអារម្មណ៍ថា ចំណេះដឹងខាងទ្រឹស្ដីគឺខុសពីការពិតនៃជីវិត។

ដូច្នេះ គោលគំនិតនៃ ហ្វ្រេថល ក្លាយមិនត្រឹមតែជាផ្នែកមួយនៃវិទ្យាសាស្ត្រ "សុទ្ធ" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏ជាធាតុផ្សំនៃវប្បធម៌មនុស្សផងដែរ។ វិទ្យាសាស្ត្រ Fractal នៅក្មេងនៅឡើយ ហើយមានអនាគតដ៏អស្ចារ្យនៅខាងមុខ។ ភាពស្រស់ស្អាតនៃ fractals គឺនៅឆ្ងាយពីការហត់នឿយហើយនឹងនៅតែផ្តល់ឱ្យយើងនូវស្នាដៃជាច្រើន - អ្នកដែលរីករាយនឹងភ្នែកនិងអ្នកដែលនាំមកនូវសេចក្តីរីករាយពិតប្រាកដដល់ចិត្ត។

10. ឯកសារយោង

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fractals និង multifractals ។ RHD 2001 .

Vitolin D. ការប្រើប្រាស់ fractal ក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ // Computerworld-Russia.-1995

Mandelbrot B. Self-affine fractal sets "Fractals in Physics"។ អិមៈ Mir 1988

Mandelbrot B. ធរណីមាត្រ Fractal នៃធម្មជាតិ។ - M. : "វិទ្យាស្ថានស្រាវជ្រាវកុំព្យូទ័រ", ឆ្នាំ 2002 ។

Morozov A.D. សេចក្តីផ្តើមអំពីទ្រឹស្តីនៃប្រភាគ។ Nizhny Novgorod: គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព Nizhegorod ។ សាកលវិទ្យាល័យ 1999

Paytgen H.-O., Richter P.H. ភាពស្រស់ស្អាតនៃ fractals ។ - M.: "Mir", ឆ្នាំ 1993 ។

ធនធានអ៊ីនធឺណិត

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html