ចំនួនគ្មានកំណត់នៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

យើងបន្តដោះស្រាយជាមួយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានពិចារណាលើប្រព័ន្ធដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមមធ្យោបាយណាមួយ: វិធីសាស្រ្តជំនួស("សាលា") ដោយរូបមន្តរបស់ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស, វិធីសាស្រ្ត Gauss. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ករណីពីរបន្ថែមទៀតគឺរីករាលដាលនៅក្នុងការអនុវត្តនៅពេលដែល៖

1) ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ);

2) ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។

សម្រាប់ប្រព័ន្ធទាំងនេះ វិធីសាស្ត្រជាសកលបំផុតនៃដំណោះស្រាយទាំងអស់ត្រូវបានប្រើប្រាស់ - វិធីសាស្រ្ត Gauss. តាមពិតវិធីសាស្ត្រ "សាលា" ក៏នឹងនាំទៅរកចម្លើយដែរ ប៉ុន្តែនៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង វាជាទម្លាប់ក្នុងការប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian នៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់។ អ្នកដែលមិនស៊ាំនឹងក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្ត្រ Gauss សូមសិក្សាមេរៀនជាមុនសិន វិធីសាស្រ្ត Gauss

ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋមគឺដូចគ្នាបេះបិទភាពខុសគ្នានឹងនៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ។ ជាដំបូង សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)។

ឧទាហរណ៍ ១

តើអ្វីចាប់ភ្នែកអ្នកភ្លាមៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ? ចំនួនសមីការគឺតិចជាងចំនួនអថេរ។ មានទ្រឹស្តីបទមួយដែលនិយាយថា៖ “ប្រសិនបើចំនួនសមីការក្នុងប្រព័ន្ធមានតិចជាងចំនួនអថេរ, បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធគឺមិនជាប់លាប់ ឬមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។ហើយវានៅសល់តែដើម្បីស្វែងយល់។

ការចាប់ផ្តើមនៃដំណោះស្រាយគឺសាមញ្ញណាស់ - យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធហើយដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរបឋមយើងនាំវាទៅជាទម្រង់ជំហានមួយ:

(មួយ)។ នៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេង យើងត្រូវយក (+1) ឬ (-1)។ មិនមានលេខបែបនេះនៅក្នុងជួរទីមួយទេ ដូច្នេះការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនឹងមិនដំណើរការទេ។ អង្គភាពនឹងត្រូវរៀបចំដោយឯករាជ្យ ហើយនេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ យើងបានធ្វើដូច្នេះ។ ទៅជួរទីមួយយើងបន្ថែមជួរទីបីគុណនឹង (-1) ។

(២). ឥឡូវនេះយើងទទួលបានសូន្យពីរនៅក្នុងជួរទីមួយ។ ទៅជួរទីពីរ បន្ថែមជួរទីមួយ គុណនឹង 3។ ទៅជួរទីបី បន្ថែមទីមួយ គុណនឹង 5។

(៣). បន្ទាប់ពីការបំប្លែងត្រូវបានធ្វើរួច វាតែងតែត្រូវបានណែនាំដើម្បីមើលថាតើវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលខ្សែលទ្ធផល? អាច។ យើងបែងចែកជួរទីពីរដោយ 2 ក្នុងពេលតែមួយទទួលបានមួយដែលអ្នកចង់បាន (-1) នៅលើជំហានទីពីរ។ ចែកជួរទីបីដោយ (-3) ។

(៤). បន្ថែមខ្សែទីពីរទៅជួរទីបី។ ប្រហែលជាមនុស្សគ្រប់គ្នាបានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះខ្សែបន្ទាត់អាក្រក់ដែលប្រែទៅជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម:

. វាច្បាស់ណាស់ថាវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។

ជាការពិត យើងសរសេរម៉ាទ្រីសលទ្ធផលឡើងវិញ

ត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

ប្រសិនបើជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងបឋម ខ្សែអក្សរនៃទម្រង់ កន្លែងណាλ គឺជាលេខដែលមិនមែនសូន្យ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (គ្មានដំណោះស្រាយ)។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកត់ត្រាចុងបញ្ចប់នៃភារកិច្ច? អ្នកត្រូវសរសេរឃ្លា៖

“ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ខ្សែនៃទម្រង់ត្រូវបានទទួល λ ≠ 0 "។ ចម្លើយ៖ "ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)"។

សូមចំណាំថាក្នុងករណីនេះមិនមានការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាសនៃក្បួនដោះស្រាយ Gaussian ទេមិនមានដំណោះស្រាយទេហើយគ្មានអ្វីដែលត្រូវស្វែងរកទេ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងរំលឹកអ្នកថាដំណើរការសម្រេចចិត្តរបស់អ្នកអាចខុសពីដំណើរការសម្រេចចិត្តរបស់យើង វិធីសាស្ត្រ Gauss មិនកំណត់ក្បួនដោះស្រាយដែលមិនច្បាស់លាស់ទេ អ្នកត្រូវទាយនីតិវិធី និងសកម្មភាពដោយខ្លួនឯងនៅក្នុងករណីនីមួយៗដោយឯករាជ្យ។

លក្ខណៈបច្ចេកទេសមួយទៀតនៃដំណោះស្រាយ៖ ការបំប្លែងបឋមអាចត្រូវបានបញ្ឈប់ ក្នុងពេលតែមួយដរាបណាបន្ទាត់ដូច កន្លែងណា λ ≠ 0 . ពិចារណាឧទាហរណ៍តាមលក្ខខណ្ឌ៖ ឧបមាថាបន្ទាប់ពីការបំលែងដំបូងយើងទទួលបានម៉ាទ្រីស

ម៉ាទ្រីសនេះមិនទាន់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ជំហានមួយនៅឡើយទេ ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់មានការបំប្លែងបឋមបន្ថែមទៀតទេ ចាប់តាំងពីបន្ទាត់នៃទម្រង់មួយបានលេចឡើង ជាកន្លែងដែល λ ≠ 0 . វាគួរតែត្រូវបានឆ្លើយភ្លាមៗថាប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នា។

នៅពេលដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយ នេះស្ទើរតែជាអំណោយដល់សិស្ស ដោយសារតែដំណោះស្រាយខ្លីមួយត្រូវបានទទួល ជួនកាលតាមព្យញ្ជនៈក្នុង 2-3 ជំហាន។ ប៉ុន្តែអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងពិភពលោកនេះគឺមានតុល្យភាព ហើយបញ្ហាដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់គឺយូរជាងនេះ។

ឧទាហរណ៍ 3៖

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

មានសមីការ 4 និង 4 មិនស្គាល់ ដូច្នេះប្រព័ន្ធអាចមានដំណោះស្រាយតែមួយ ឬគ្មានដំណោះស្រាយ ឬមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។ មិនថាវាជាអ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ Gauss ក្នុងករណីណាក៏ដោយនឹងនាំយើងទៅរកចម្លើយ។ នេះគឺជាភាពបត់បែនរបស់វា។

ការចាប់ផ្តើមគឺជាស្តង់ដារម្តងទៀត។ ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

នោះហើយជាទាំងអស់ ហើយអ្នកខ្លាច។

(មួយ)។ សូមចំណាំថាលេខទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ដូច្នេះនៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេងយើងក៏ពេញចិត្តជាមួយនឹង deuce ផងដែរ។ ទៅជួរទីពីរយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង (-4) ។ ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង (-2) ។ ទៅជួរទីបួនយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង (-1) ។

យកចិត្តទុកដាក់!មនុស្សជាច្រើនអាចនឹងត្រូវបានល្បួងពីជួរទីបួន ដកបន្ទាត់ទីមួយ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើប៉ុន្តែវាមិនចាំបាច់ទេបទពិសោធន៍បង្ហាញថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុសក្នុងការគណនាកើនឡើងច្រើនដង។ យើងគ្រាន់តែបន្ថែម៖ ទៅជួរទី ៤ យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង (-១) - យ៉ាងពិតប្រាកដ!

(២). បន្ទាត់បីចុងក្រោយគឺសមាមាត្រ ពីរក្នុងចំណោមពួកវាអាចត្រូវបានលុប។ នៅទីនេះម្តងទៀតវាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញ បង្កើនការយកចិត្តទុកដាក់ប៉ុន្តែតើបន្ទាត់ពិតជាសមាមាត្រមែនទេ? សម្រាប់ការធានារ៉ាប់រងឡើងវិញ វានឹងមិនត្រូវបាននាំអោយក្នុងការគុណជួរទីពីរដោយ (-1) ហើយបែងចែកជួរទី 4 ដោយ 2 ដែលបណ្តាលឱ្យមានជួរដេកដូចគ្នាបី។ ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះយកចេញពីរ។ ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

នៅពេលបំពេញកិច្ចការក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើកំណត់ចំណាំដូចគ្នានៅក្នុងខ្មៅដៃ ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់។

យើងសរសេរឡើងវិញនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលត្រូវគ្នា៖

ដំណោះស្រាយតែមួយគត់របស់ប្រព័ន្ធ "ធម្មតា" មិនមានក្លិននៅទីនេះទេ។ បន្ទាត់អាក្រក់ទៅណា λ ≠ 0, ទេ ដូច្នេះហើយ នេះជាករណីទីបីដែលនៅសល់ - ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។

សំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់នៃប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបនៅក្នុងទម្រង់នៃអ្វីដែលគេហៅថា ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធទូទៅ.

យើងនឹងរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើចលនាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការជាមួយនឹងសំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ គំនិតថ្មីលេចឡើង៖ "អថេរមូលដ្ឋាន"និង "អថេរឥតគិតថ្លៃ". ដំបូងយើងកំណត់អថេរអ្វីដែលយើងមាន មូលដ្ឋាននិងអថេរអ្វីខ្លះ - ឥតគិតថ្លៃ. វាមិនចាំបាច់ក្នុងការពន្យល់លម្អិតអំពីលក្ខខណ្ឌនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរនោះទេ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចងចាំថាមាន អថេរមូលដ្ឋាននិង អថេរឥតគិតថ្លៃ.

អថេរមូលដ្ឋានតែងតែ "អង្គុយ" យ៉ាងតឹងរ៉ឹងលើជំហាននៃម៉ាទ្រីស. ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អថេរមូលដ្ឋានគឺ x 1 និង x 3 .

អថេរឥតគិតថ្លៃគឺជាអ្វីគ្រប់យ៉ាង នៅសល់អថេរដែលមិនទទួលបានជំហានមួយ។ ក្នុងករណីរបស់យើងមានពីរ៖ x 2 និង x 4 - អថេរឥតគិតថ្លៃ។

ឥឡូវនេះអ្នកត្រូវការ ទាំងអស់។អថេរមូលដ្ឋានបង្ហាញ តែតាមរយៈអថេរឥតគិតថ្លៃ. ចលនាបញ្ច្រាសនៃក្បួនដោះស្រាយ Gaussian ដំណើរការពីបាតឡើងលើ។ ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋាន x 3:

ឥឡូវនេះសូមមើលសមីការទីមួយ៖ . ដំបូងយើងជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវា៖

វានៅសល់ដើម្បីបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋាន x 1 តាមរយៈអថេរឥតគិតថ្លៃ x 2 និង x 4:

លទ្ធផលគឺអ្វីដែលអ្នកត្រូវការ - ទាំងអស់។អថេរមូលដ្ឋាន ( x 1 និង x 3) បានបង្ហាញ តែតាមរយៈអថេរឥតគិតថ្លៃ ( x 2 និង x 4):

តាមពិតដំណោះស្រាយទូទៅគឺរួចរាល់ហើយ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅ? ជាដំបូងអថេរឥតគិតថ្លៃត្រូវបានសរសេរទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ "ដោយខ្លួនឯង" និងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅកន្លែងរបស់ពួកគេ។ ក្នុងករណីនេះអថេរឥតគិតថ្លៃ x 2 និង x 4 គួរតែត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងមុខតំណែងទីពីរនិងទីបួន:

កន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់អថេរមូលដ្ឋាន ហើយច្បាស់ណាស់ចាំបាច់ត្រូវសរសេរក្នុងមុខតំណែងទីមួយ និងទីបី៖

ពីដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធមួយអាចរកឃើញជាច្រើនគ្មានកំណត់ ការសម្រេចចិត្តឯកជន. វាសាមញ្ញណាស់។ អថេរឥតគិតថ្លៃ x 2 និង x 4 ត្រូវបានគេហៅដូច្នេះដោយសារតែពួកគេអាចផ្តល់ឱ្យ តម្លៃចុងក្រោយណាមួយ។. តម្លៃដែលពេញនិយមបំផុតគឺតម្លៃសូន្យ ចាប់តាំងពីនេះគឺជាមធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

ការជំនួស ( x 2 = 0; x 4 = 0) ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយពិសេសមួយ៖

ឬជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលត្រូវគ្នានឹងអថេរសេរីដែលមានតម្លៃ ( x 2 = 0; x 4 = 0).

មួយគូជាគូស្នេហ៍ផ្អែមល្ហែមមួយទៀត តោះជំនួស ( x 2 = 1 និង x 4 = 1) ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ៖

ពោលគឺ (-1; 1; 1; 1) គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសមួយផ្សេងទៀត។

វាងាយមើលឃើញថាប្រព័ន្ធសមីការមាន ដំណោះស្រាយជាច្រើន។ចាប់តាំងពីយើងអាចផ្តល់អថេរដោយឥតគិតថ្លៃ ណាមួយ។តម្លៃ។

គ្នា។ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវតែពេញចិត្ត ដល់គ្នា។សមីការប្រព័ន្ធ។ នេះគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យ "រហ័ស" នៃភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមយកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ (-1; 1; 1; 1) ហើយជំនួសវាទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវមកជាមួយគ្នា។ ហើយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយពិសេសណាមួយដែលអ្នកទទួលបាន អ្វីគ្រប់យ៉ាងក៏គួរតែបញ្ចូលគ្នាផងដែរ។

និយាយយ៉ាងតឹងរឹង ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ ពេលខ្លះបញ្ឆោត ពោលគឺឧ។ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំនួនអាចបំពេញសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ ហើយដំណោះស្រាយទូទៅខ្លួនឯងត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមត្រូវ។ ដូច្នេះជាដំបូង ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដំណោះស្រាយទូទៅគឺមានភាពហ្មត់ចត់ និងអាចទុកចិត្តបានជាង។

របៀបពិនិត្យមើលលទ្ធផលទូទៅនៃដំណោះស្រាយ ?

វាមិនពិបាកទេ ប៉ុន្តែវាទាមទារការផ្លាស់ប្តូរដ៏យូរអង្វែង។ យើងត្រូវទទួលយកការបញ្ចេញមតិ មូលដ្ឋានអថេរក្នុងករណីនេះ និង ហើយជំនួសពួកវាទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។

ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ៖

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានទទួល។

ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរដើមនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានទទួល។

ហើយបន្ថែមទៀត - ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីបីនិងទីបួននៃប្រព័ន្ធ។ ការត្រួតពិនិត្យនេះគឺយូរជាងនេះ ប៉ុន្តែវាធានានូវភាពត្រឹមត្រូវ 100% នៃដំណោះស្រាយទាំងមូល។ លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងភារកិច្ចមួយចំនួនវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយទូទៅ។

ឧទាហរណ៍ទី 4៖

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងឯកជនពីរ។ ពិនិត្យដំណោះស្រាយរួម។

ឧទាហរណ៍ 5៖

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ចូរស្វែងរកដំណោះស្រាយពិសេសពីរ ហើយពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយទូទៅ

ការសម្រេចចិត្ត៖ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

(មួយ)។ បន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយទៅជួរទីពីរ។ ទៅជួរទីបី យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង 2។ ទៅជួរទីបួន យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង 3។

(២). ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង (-5) ។ ទៅជួរទីបួនយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង (-7) ។

(៣). ជួរទីបីនិងទីបួនគឺដូចគ្នាយើងលុបមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។ ខាងក្រោមនេះជាភាពស្រស់ស្អាត៖

អថេរមូលដ្ឋានស្ថិតនៅលើជំហាន ដូច្នេះពួកវាជាអថេរមូលដ្ឋាន។

មានអថេរឥតគិតថ្លៃតែមួយគត់ ដែលមិនទទួលបានជំហាន៖ .

(៤). ចលនាបញ្ច្រាស។ យើងបង្ហាញអថេរជាមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ៖

ពីសមីការទីបី៖

ពិចារណាសមីការទីពីរ ហើយជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវា៖

, , ,

ពិចារណាសមីការទីមួយ ហើយជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ ហើយចូលទៅក្នុងវា៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅជាមួយនឹងអថេរឥតគិតថ្លៃមួយ។ x 4:

ម្តងនេះ តើវាកើតឡើងដោយរបៀបណា? អថេរឥតគិតថ្លៃ x៤ អង្គុយតែម្នាក់ឯងក្នុងទី ៤ ត្រឹមត្រូវរបស់វា។ កន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់អថេរមូលដ្ឋាន , , ក៏មាននៅក្នុងកន្លែងរបស់ពួកគេផងដែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយទូទៅភ្លាមៗ។

យើងជំនួសអថេរមូលដ្ឋាន , ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ៖

ផ្នែកខាងស្តាំដែលត្រូវគ្នានៃសមីការត្រូវបានទទួល ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅត្រឹមត្រូវត្រូវបានរកឃើញ។

ឥឡូវនេះពីដំណោះស្រាយទូទៅដែលបានរកឃើញ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយពិសេសពីរ។ អថេរទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញនៅទីនេះតាមរយៈតែមួយ អថេរ x៤. អ្នកមិនចាំបាច់បំបែកក្បាលរបស់អ្នកទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន x 4 = 0 បន្ទាប់មក គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសទីមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន x 4 = 1 បន្ទាប់មក គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសមួយទៀត។

ចម្លើយ៖ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖ . ដំណោះស្រាយឯកជន៖

និង .

ឧទាហរណ៍ ៦៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។

យើងបានពិនិត្យដំណោះស្រាយទូទៅរួចហើយ ចម្លើយអាចទុកចិត្តបាន។ សកម្មភាពរបស់អ្នកអាចខុសពីសកម្មភាពរបស់យើង។ រឿងចំបងគឺថាដំណោះស្រាយទូទៅស្របគ្នា។ ប្រហែលជា មនុស្សជាច្រើនបានកត់សម្គាល់ឃើញពីពេលវេលាមិនល្អនៅក្នុងដំណោះស្រាយ៖ ជាញឹកញាប់ ក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងត្រូវដើរលេងជាមួយប្រភាគធម្មតា។ នៅក្នុងការអនុវត្ត នេះជាការពិត ករណីដែលគ្មានប្រភាគគឺជារឿងធម្មតាតិចជាង។ ត្រូវត្រៀមខ្លួនខាងផ្លូវចិត្ត ហើយសំខាន់បំផុតគឺបច្ចេកទេស។

ចូរយើងរស់នៅលើលក្ខណៈពិសេសនៃដំណោះស្រាយដែលមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានដោះស្រាយ។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធជួនកាលអាចរួមបញ្ចូលថេរ (ឬថេរ) ។

ឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយទូទៅ៖ ។ ខាងក្រោមនេះជាអថេរមូលដ្ឋានមួយគឺស្មើនឹងចំនួនថេរ៖ . មិនមានអ្វីកម្រនិងអសកម្មនៅក្នុងរឿងនេះទេវាកើតឡើង។ ជាក់ស្តែង ក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយពិសេសណាមួយនឹងមានប្រាំនៅក្នុងទីតាំងដំបូង។

កម្រណាស់ ប៉ុន្តែមានប្រព័ន្ធ ចំនួនសមីការគឺធំជាងចំនួនអថេរ. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ដំណើរការក្រោមលក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរបំផុត។ អ្នកគួរតែនាំយកម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់មួយជំហានដោយស្ងប់ស្ងាត់យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដារ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា អាចមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយអ្វីដែលចម្លែកគ្រប់គ្រាន់ អាចមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

យើងនិយាយម្តងទៀតនៅក្នុងដំបូន្មានរបស់យើង - ដើម្បីមានអារម្មណ៍ស្រួលនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss អ្នកគួរតែបំពេញដៃរបស់អ្នកហើយដោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់ប្រព័ន្ធរាប់សិប។

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 2៖

ការសម្រេចចិត្ត៖ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។

ការផ្លាស់ប្តូរបឋមដែលបានអនុវត្ត៖

(1) ខ្សែទីមួយនិងទីបីត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។

(2) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរគុណនឹង (-6) ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង (-7) ។

(3) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង (-1) ។

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម, ខ្សែនៃទម្រង់មួយ។កន្លែងណា λ ≠ 0 .ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ចម្លើយ៖ មិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ឧទាហរណ៍ទី 4៖

ការសម្រេចចិត្ត៖ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

ការបំប្លែងបានអនុវត្ត៖

(មួយ)។ ជួរទីមួយគុណនឹង 2 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ បន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង 3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

មិនមានឯកតាសម្រាប់ជំហានទីពីរទេ។ ហើយការផ្លាស់ប្តូរ (2) មានគោលបំណងដើម្បីទទួលបានវា។

(២). ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -3 ។

(៣). ជួរទីពីរនិងទីបីត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ (លទ្ធផល -1 ត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅជំហានទីពីរ)

(៤). ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង 3 ។

(៥). សញ្ញានៃបន្ទាត់ពីរដំបូងត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ (គុណនឹង -1) បន្ទាត់ទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ 14 ។

ចលនាបញ្ច្រាស៖

(មួយ)។ នៅទីនេះ គឺជាអថេរមូលដ្ឋាន (ដែលស្ថិតនៅលើជំហាន) និង គឺជាអថេរឥតគិតថ្លៃ (ដែលមិនទទួលបានជំហាន) ។

(២). យើងបង្ហាញអថេរមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ៖

ពីសមីការទីបី៖ .

(៣). ពិចារណាសមីការទីពីរ៖ដំណោះស្រាយពិសេស៖

ចម្លើយ៖ ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖

លេខស្មុគស្មាញ

នៅក្នុងផ្នែកនេះយើងនឹងណែនាំអំពីគំនិត ចំនួនកុំផ្លិច, ពិចារណា ពិជគណិត, ត្រីកោណមាត្រនិង ទម្រង់ចង្អុលបង្ហាញចំនួនកុំផ្លិច។ ហើយក៏រៀនពីរបៀបអនុវត្តប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិចផងដែរ៖ បូក ដក គុណ ចែក និទស្សន្ត និងដកឫស។

ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃចំនួនកុំផ្លិច អ្នកមិនត្រូវការចំណេះដឹងពិសេសណាមួយពីមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់នោះទេ ហើយសម្ភារៈអាចរកបានសូម្បីតែសិស្សសាលាក៏ដោយ។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអាចធ្វើប្រតិបត្តិការពិជគណិតជាមួយនឹងលេខ "ធម្មតា" ហើយចងចាំត្រីកោណមាត្រ។

ជាដំបូង ចូរយើងចងចាំលេខ "ធម្មតា" ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាពួកគេត្រូវបានគេហៅថា សំណុំនៃចំនួនពិតហើយត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ Rឬ R (ក្រាស់) ។ លេខពិតទាំងអស់ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់លេខដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

ក្រុមហ៊ុននៃចំនួនពិតមានពណ៌ច្រើន - នេះគឺជាចំនួនគត់ និងប្រភាគ និងលេខមិនសមហេតុផល។ ក្នុងករណីនេះ ចំនុចនីមួយៗនៃអ័ក្សលេខត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនពិតមួយចំនួន។

ប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងឧស្សាហកម្មសេដ្ឋកិច្ចក្នុងការធ្វើគំរូគណិតវិទ្យានៃដំណើរការផ្សេងៗ។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃការគ្រប់គ្រងផលិតកម្ម និងការធ្វើផែនការ ផ្លូវដឹកជញ្ជូន (បញ្ហាដឹកជញ្ជូន) ឬការដាក់ឧបករណ៍។

ប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានប្រើប្រាស់មិនត្រឹមតែក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងផ្នែករូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា និងជីវវិទ្យាផងដែរ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកទំហំប្រជាជន។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាពាក្យសម្រាប់សមីការពីរ ឬច្រើនដែលមានអថេរជាច្រើន ដែលវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយរួមមួយ។ លំដាប់នៃលេខបែបនេះ ដែលសមីការទាំងអស់ក្លាយជាសមភាពពិត ឬបង្ហាញថា លំដាប់នោះមិនមានទេ។

សមីការលីនេអ៊ែរ

សមីការនៃទម្រង់ ax+by=c ត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ។ ការរចនា x, y គឺមិនស្គាល់ តម្លៃដែលត្រូវតែរកឃើញ, b, a គឺជាមេគុណនៃអថេរ, c គឺជាពាក្យសេរីនៃសមីការ។
ការដោះស្រាយសមីការដោយការគូសគំនូសក្រាហ្វរបស់វានឹងមើលទៅដូចជាបន្ទាត់ត្រង់ ចំណុចទាំងអស់គឺជាដំណោះស្រាយនៃពហុនាម។

ប្រភេទនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

សាមញ្ញបំផុតគឺជាឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរពីរ X និង Y ។

F1(x,y) = 0 និង F2(x, y) = 0 ដែល F1,2 ជាអនុគមន៍ និង (x, y) គឺជាអថេរអនុគមន៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ - វាមានន័យថាដើម្បីរកឃើញតម្លៃដូចនេះ (x, y) ដែលប្រព័ន្ធក្លាយទៅជាសមភាពពិត, ឬដើម្បីបង្កើតថាមិនមានតម្លៃសមរម្យនៃ x និង y ។

គូនៃតម្លៃ (x, y) ដែលសរសេរជាចំណុចកូអរដោណេត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយរួមមួយ ឬមិនមានដំណោះស្រាយ នោះគេហៅថាសមមូល។

ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាប្រព័ន្ធដែលផ្នែកខាងស្តាំស្មើនឹងសូន្យ។ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំបន្ទាប់ពីសញ្ញា "ស្មើគ្នា" មានតម្លៃឬត្រូវបានបង្ហាញដោយមុខងារនោះប្រព័ន្ធបែបនេះមិនដូចគ្នាទេ។

ចំនួនអថេរអាចមានច្រើនជាងពីរ បន្ទាប់មកយើងគួរតែនិយាយអំពីឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរបី ឬច្រើនជាងនេះ។

ប្រឈមមុខនឹងប្រព័ន្ធ សិស្សសាលាសន្មតថាចំនួនសមីការត្រូវតែស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ប៉ុន្តែនេះមិនមែនដូច្នោះទេ។ ចំនួនសមីការក្នុងប្រព័ន្ធមិនអាស្រ័យលើអថេរទេ វាអាចមានចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្ត។

វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញ និងស្មុគស្មាញសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

មិនមានវិធីវិភាគទូទៅដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះទេ វិធីសាស្រ្តទាំងអស់គឺផ្អែកលើដំណោះស្រាយជាលេខ។ មុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យារបស់សាលាពិពណ៌នាយ៉ាងលម្អិតអំពីវិធីសាស្រ្តដូចជា ការបំប្លែង ការបន្ថែមពិជគណិត ការជំនួស ក៏ដូចជាវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក និងម៉ាទ្រីស ដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ភារកិច្ចចម្បងក្នុងការបង្រៀនវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយគឺបង្រៀនពីរបៀបវិភាគប្រព័ន្ធឱ្យបានត្រឹមត្រូវ និងស្វែងរកក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយដ៏ល្អប្រសើរសម្រាប់ឧទាហរណ៍នីមួយៗ។ រឿងចំបងគឺមិនត្រូវទន្ទេញនូវប្រព័ន្ធនៃច្បាប់ និងសកម្មភាពសម្រាប់វិធីសាស្រ្តនីមួយៗនោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវយល់ពីគោលការណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តជាក់លាក់មួយ។

ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃកម្មវិធីសាលាអប់រំទូទៅថ្នាក់ទី៧គឺសាមញ្ញណាស់ ហើយត្រូវបានពន្យល់យ៉ាងលម្អិត។ នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាណាមួយស្តីពីគណិតវិទ្យា ផ្នែកនេះត្រូវបានផ្តល់ការយកចិត្តទុកដាក់គ្រប់គ្រាន់។ ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss និង Cramer ត្រូវបានសិក្សាលម្អិតបន្ថែមទៀតនៅក្នុងវគ្គសិក្សាដំបូងនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តជំនួស

សកម្មភាពនៃវិធីសាស្រ្តជំនួសគឺសំដៅបង្ហាញពីតម្លៃនៃអថេរមួយតាមរយៈទីពីរ។ កន្សោមត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់អថេរតែមួយ។ សកម្មភាពត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតអាស្រ័យលើចំនួនមិនស្គាល់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ

សូមលើកឧទាហរណ៍អំពីប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃថ្នាក់ទី ៧ ដោយវិធីជំនួស៖

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ អថេរ x ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ F(X) = 7 + Y ។ កន្សោមលទ្ធផលដែលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការទី 2 នៃប្រព័ន្ធជំនួស X បានជួយឱ្យទទួលបានអថេរ Y នៅក្នុងសមីការទី 2 . ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នេះមិនបង្កឱ្យមានការលំបាក និងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានតម្លៃ Y ជំហានចុងក្រោយគឺត្រូវពិនិត្យមើលតម្លៃដែលទទួលបាន។

វាមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយការជំនួស។ សមីការអាចមានភាពស្មុគ្រស្មាញ ហើយការបញ្ចេញមតិនៃអថេរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការមិនស្គាល់ទីពីរនឹងមានភាពស្មុគ្រស្មាញពេកសម្រាប់ការគណនាបន្ថែមទៀត។ នៅពេលដែលមានការមិនស្គាល់ច្រើនជាង 3 នៅក្នុងប្រព័ន្ធ ដំណោះស្រាយជំនួសក៏មិនអាចអនុវត្តបានដែរ។

ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ៖

ដំណោះស្រាយដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិត

នៅពេលស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម ការបន្ថែម និងគុណនៃសមីការដោយលេខផ្សេងៗត្រូវបានអនុវត្ត។ គោលដៅចុងក្រោយនៃប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាគឺសមីការដែលមានអថេរមួយ។

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះទាមទារការអនុវត្ត និងការសង្កេត។ វាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែមជាមួយនឹងចំនួនអថេរ 3 ឬច្រើនជាងនេះ។ ការបន្ថែមពិជគណិតមានប្រយោជន៍នៅពេលដែលសមីការមានប្រភាគ និងលេខទសភាគ។

ក្បួនដោះស្រាយសកម្មភាព៖

គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយចំនួនមួយចំនួន។ ជាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែស្មើនឹង 1 ។
បន្ថែមពាក្យកន្សោមលទ្ធផលតាមពាក្យ និងស្វែងរកពាក្យមួយដែលមិនស្គាល់។
ជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការទី 2 នៃប្រព័ន្ធ ដើម្បីស្វែងរកអថេរដែលនៅសល់។

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយដោយការណែនាំអថេរថ្មី។

អថេរថ្មីមួយអាចត្រូវបានណែនាំ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធត្រូវការស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់សមីការមិនលើសពីពីរ នោះចំនួននៃមិនស្គាល់ក៏មិនគួរលើសពីពីរដែរ។

វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីសម្រួលសមីការមួយដោយណែនាំអថេរថ្មីមួយ។ សមីការថ្មីត្រូវបានដោះស្រាយដោយទាក់ទងទៅនឹងមិនស្គាល់ដែលបានបញ្ចូល ហើយតម្លៃលទ្ធផលត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់អថេរដើម។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ថាដោយការណែនាំអថេរថ្មី t វាអាចកាត់បន្ថយសមីការទី 1 នៃប្រព័ន្ធទៅជា trinomial ការ៉េស្តង់ដារ។ អ្នកអាចដោះស្រាយពហុនាមដោយស្វែងរកអ្នករើសអើង។

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃអ្នករើសអើងដោយប្រើរូបមន្តល្បី៖ D = b2 - 4*a*c ដែល D គឺជាអ្នករើសអើងដែលចង់បាន b, a, c គឺជាមេគុណនៃពហុនាម។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ a=1, b=16, c=39 ដូច្នេះ D=100 ។ ប្រសិនបើការរើសអើងធំជាងសូន្យ នោះមានដំណោះស្រាយពីរ៖ t = -b±√D / 2*a ប្រសិនបើការរើសអើងតិចជាងសូន្យ នោះមានដំណោះស្រាយតែមួយប៉ុណ្ណោះ៖ x= -b/2*a ។

ដំណោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធលទ្ធផលត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្របន្ថែម។

វិធីសាស្រ្តមើលឃើញសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ

សាកសមសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានសមីការ 3 ។ វិធីសាស្រ្តមាននៅក្នុងគំនូសតាងក្រាហ្វនៃសមីការនីមួយៗដែលរួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។ កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងនឹងជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ។

វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកមានចំនួននៃការ nuances ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរតាមរបៀបដែលមើលឃើញ។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ចំណុចពីរត្រូវបានសាងសង់សម្រាប់បន្ទាត់នីមួយៗតម្លៃនៃអថេរ x ត្រូវបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត: 0 និង 3. ដោយផ្អែកលើតម្លៃនៃ x តម្លៃសម្រាប់ y ត្រូវបានរកឃើញ: 3 និង 0. ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (0, 3) និង (3, 0) ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើក្រាហ្វ ហើយភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់មួយ។

ជំហានត្រូវធ្វើម្តងទៀតសម្រាប់សមីការទីពីរ។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់គឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖ 0.5x-y+2=0 និង 0.5x-y-1=0 ។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ ពីព្រោះក្រាហ្វគឺស្របគ្នា និងមិនប្រសព្វតាមបណ្តោយប្រវែងទាំងមូលរបស់វា។

ប្រព័ន្ធពីឧទាហរណ៍ទី 2 និងទី 3 គឺស្រដៀងគ្នា ប៉ុន្តែនៅពេលសាងសង់ វាច្បាស់ថាដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេខុសគ្នា។ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំថាវាមិនតែងតែអាចនិយាយបានថាតើប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយឬអត់នោះទេវាតែងតែចាំបាច់ដើម្បីបង្កើតក្រាហ្វ។

ម៉ាទ្រីសនិងពូជរបស់វា។

Matrices ត្រូវបានប្រើដើម្បីសរសេរយ៉ាងខ្លីនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ម៉ាទ្រីសគឺជាប្រភេទតារាងពិសេសដែលមានលេខ។ n * m មាន n - ជួរដេក និង m - ជួរឈរ។

ម៉ាទ្រីសមួយគឺការ៉េនៅពេលដែលចំនួនជួរឈរនិងជួរដេកស្មើ។ ម៉ាទ្រីស-វ៉ិចទ័រ គឺជាម៉ាទ្រីសជួរឈរតែមួយដែលមានចំនួនជួរដេកដែលអាចធ្វើទៅបានគ្មានកំណត់។ ម៉ាទ្រីសដែលមានឯកតាតាមអង្កត់ទ្រូងមួយ និងធាតុសូន្យផ្សេងទៀតត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណ។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺម៉ាទ្រីសបែបនេះ ពេលគុណនឹងមួយដើមប្រែទៅជាឯកតាមួយ ម៉ាទ្រីសបែបនេះមានសម្រាប់តែការ៉េដើមប៉ុណ្ណោះ។

ច្បាប់សម្រាប់បំប្លែងប្រព័ន្ធសមីការទៅជាម៉ាទ្រីស

ទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការ មេគុណ និងសមាជិកសេរីនៃសមីការត្រូវបានសរសេរជាលេខនៃម៉ាទ្រីស សមីការមួយគឺជួរដេកមួយនៃម៉ាទ្រីស។

ជួរម៉ាទ្រីសត្រូវបានហៅថាមិនសូន្យ ប្រសិនបើធាតុយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃជួរដេកមិនស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការណាមួយចំនួនអថេរខុសគ្នា នោះចាំបាច់ត្រូវបញ្ចូលលេខសូន្យជំនួសកន្លែងមិនស្គាល់ដែលបាត់។

ជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសត្រូវតែត្រូវគ្នាយ៉ាងតឹងរ៉ឹងទៅនឹងអថេរ។ នេះមានន័យថាមេគុណនៃអថេរ x អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរឈរមួយប៉ុណ្ណោះ ឧទាហរណ៍ ទីមួយ មេគុណនៃអថេរ y - តែនៅក្នុងទីពីរប៉ុណ្ណោះ។

នៅពេលគុណម៉ាទ្រីស ធាតុម៉ាទ្រីសទាំងអស់ត្រូវបានគុណជាលំដាប់ដោយលេខ។

ជម្រើសសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺសាមញ្ញណាស់៖ K -1 = 1 / |K| ដែល K -1 ជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស និង |K| - កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស។ |K| មិនត្រូវស្មើនឹងសូន្យទេ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយ។

កត្តាកំណត់ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលសម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2 គុណនឹង 2 វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ក្នុងការគុណធាតុតាមអង្កត់ទ្រូងដោយគ្នាទៅវិញទៅមក។ សម្រាប់ជម្រើស "បីនឹងបី" មានរូបមន្ត |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c ៣ + ក ៣ ខ ២ គ ១ . អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត ឬអ្នកអាចចាំថាអ្នកត្រូវយកធាតុមួយពីជួរដេកនីមួយៗ និងជួរឈរនីមួយៗ ដើម្បីកុំឱ្យលេខជួរឈរ និងជួរដេកនៃធាតុមិនកើតឡើងម្តងទៀតក្នុងផលិតផល។

ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស

វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយធ្វើឱ្យវាអាចកាត់បន្ថយធាតុស្មុគស្មាញនៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធជាមួយនឹងចំនួនអថេរ និងសមីការជាច្រើន។

ក្នុងឧទាហរណ៍ a nm គឺជាមេគុណនៃសមីការ ម៉ាទ្រីសគឺជាវ៉ិចទ័រ x n គឺជាអថេរ ហើយ b n គឺជាលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss

នៅក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ វិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានសិក្សារួមគ្នាជាមួយនឹងវិធីសាស្ត្រ Cramer ហើយដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ Gauss-Cramer នៃដំណោះស្រាយ។ វិធីសាស្រ្តទាំងនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកអថេរនៃប្រព័ន្ធដែលមានសមីការលីនេអ៊ែរមួយចំនួនធំ។

វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺស្រដៀងទៅនឹងការជំនួស និងដំណោះស្រាយបន្ថែមពិជគណិត ប៉ុន្តែមានលក្ខណៈជាប្រព័ន្ធជាង។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា ដំណោះស្រាយ Gaussian ត្រូវបានប្រើសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការ 3 និង 4 ។ គោលបំណងនៃវិធីសាស្រ្តគឺដើម្បីនាំយកប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់នៃ trapezoid ដាក់បញ្ច្រាស។ ដោយការបំប្លែងពិជគណិត និងការជំនួសតម្លៃនៃអថេរមួយត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធ។ សមីការទីពីរគឺជាកន្សោមដែលមាន 2 មិនស្គាល់ និង 3 និង 4 - ជាមួយអថេរ 3 និង 4 រៀងគ្នា។

បន្ទាប់ពីនាំយកប្រព័ន្ធទៅទម្រង់ដែលបានពិពណ៌នា ដំណោះស្រាយបន្ថែមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការជំនួសជាបន្តបន្ទាប់នៃអថេរដែលគេស្គាល់ទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ។

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់សាលាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 7 ឧទាហរណ៏នៃដំណោះស្រាយ Gaussian ត្រូវបានពិពណ៌នាដូចខាងក្រោម:

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍នៅជំហាន (3) សមីការពីរត្រូវបានទទួល 3x 3 -2x 4 =11 និង 3x 3 +2x 4 =7 ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការណាមួយនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកអថេរមួយ x n ។

ទ្រឹស្តីបទ 5 ដែលត្រូវបានរៀបរាប់នៅក្នុងអត្ថបទ ចែងថា ប្រសិនបើសមីការមួយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានជំនួសដោយសមមូលមួយ នោះប្រព័ន្ធលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងតម្លៃដើមផងដែរ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺពិបាកសម្រាប់សិស្សថ្នាក់កណ្តាលក្នុងការយល់ ប៉ុន្តែជាវិធីដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតមួយក្នុងការអភិវឌ្ឍភាពប៉ិនប្រសប់របស់កុមារដែលកំពុងសិក្សានៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សាកម្រិតខ្ពស់ក្នុងថ្នាក់គណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា។

ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការកត់ត្រាការគណនា វាជាទម្លាប់ក្នុងការធ្វើដូចខាងក្រោមៈ

មេគុណសមីការ និងពាក្យឥតគិតថ្លៃត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលជួរនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសត្រូវគ្នានឹងសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ បំបែកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការពីផ្នែកខាងស្តាំ។ លេខរ៉ូម៉ាំងបង្ហាញពីចំនួនសមីការនៅក្នុងប្រព័ន្ធ។

ដំបូងពួកគេសរសេរម៉ាទ្រីសដែលនឹងដំណើរការបន្ទាប់មកសកម្មភាពទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តជាមួយជួរដេកមួយ។ ម៉ាទ្រីសលទ្ធផលត្រូវបានសរសេរបន្ទាប់ពីសញ្ញា "ព្រួញ" ហើយបន្តអនុវត្តប្រតិបត្តិការពិជគណិតចាំបាច់រហូតដល់លទ្ធផលត្រូវបានសម្រេច។

ជាលទ្ធផល ម៉ាទ្រីសមួយគួរតែទទួលបាន ដែលអង្កត់ទ្រូងមួយគឺ 1 ហើយមេគុណផ្សេងទៀតទាំងអស់គឺស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺម៉ាទ្រីសត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់តែមួយ។ យើងមិនត្រូវភ្លេចធ្វើការគណនាជាមួយនឹងលេខនៃសមីការទាំងសងខាងនោះទេ។

សញ្ញាណនេះមិនសូវពិបាកទេ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមិនត្រូវរំខានដោយការរាយបញ្ជីមិនស្គាល់ជាច្រើន។

កម្មវិធីឥតគិតថ្លៃនៃវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយណាមួយនឹងត្រូវការការថែទាំ និងបទពិសោធន៍ជាក់លាក់។ មិនមែនវិធីសាស្រ្តទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តទេ។ មធ្យោបាយមួយចំនួនក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយគឺមានភាពពេញនិយមជាងនៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្ស ខណៈពេលដែលវិធីផ្សេងទៀតមានសម្រាប់គោលបំណងនៃការរៀនសូត្រ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ករណីពីរបន្ថែមទៀតគឺរីករាលដាលនៅក្នុងការអនុវត្ត៖

- ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ);
ប្រព័ន្ធនេះមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ចំណាំ ៖ ពាក្យ "ភាពជាប់លាប់" បង្កប់ន័យថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយយ៉ាងតិច។ នៅក្នុងកិច្ចការមួយចំនួនវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពិនិត្យមើលប្រព័ន្ធជាមុនសម្រាប់ភាពឆបគ្នារបៀបធ្វើ - សូមមើលអត្ថបទនៅលើ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស.

ឧទាហរណ៍ ១

តើអ្វីចាប់ភ្នែកអ្នកភ្លាមៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ? ចំនួនសមីការគឺតិចជាងចំនួនអថេរ។ ប្រសិនបើចំនួនសមីការគឺតិចជាងចំនួនអថេរបន្ទាប់មក យើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថា ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ឬមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។ ហើយវានៅសល់តែដើម្បីស្វែងយល់។

(1) នៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេង យើងត្រូវយក +1 ឬ -1។ មិនមានលេខបែបនេះនៅក្នុងជួរទីមួយទេ ដូច្នេះការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនឹងមិនដំណើរការទេ។ អង្គភាពនឹងត្រូវរៀបចំដោយឯករាជ្យ ហើយនេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ ខ្ញុំធ្វើដូចនេះ៖ ទៅជួរទីមួយ បន្ថែមជួរទីបី គុណនឹង -1។

(2) ឥឡូវនេះយើងទទួលបានសូន្យពីរនៅក្នុងជួរទីមួយ។ ទៅជួរទីពីរ យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង 3។ ទៅជួរទីបី យើងបន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង 5។

(3) បន្ទាប់ពីការបំប្លែងត្រូវបានបញ្ចប់ វាត្រូវបានណែនាំជានិច្ចដើម្បីមើលថាតើវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសម្រួលខ្សែលទ្ធផលដែរឬទេ? អាច។ យើងបែងចែកជួរទីពីរដោយ 2 ក្នុងពេលតែមួយទទួលបាន -1 ដែលចង់បាននៅលើជំហានទីពីរ។ ចែកជួរទីបីដោយ -3 ។

(4) បន្ថែមបន្ទាត់ទីពីរទៅជួរទីបី។

ប្រហែលជាមនុស្សគ្រប់គ្នាបានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះខ្សែបន្ទាត់អាក្រក់ដែលប្រែទៅជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម: . វាច្បាស់ណាស់ថាវាមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ ជាការពិត យើងសរសេរម៉ាទ្រីសលទ្ធផលឡើងវិញ ត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

ប្រសិនបើជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងបឋម ខ្សែនៃទម្រង់ត្រូវបានទទួល ដែលជាលេខមិនមែនសូន្យ នោះប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ)។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកត់ត្រាចុងបញ្ចប់នៃភារកិច្ច? ចូរគូរជាមួយដីសពណ៌ស៖ "ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម បន្ទាត់នៃទម្រង់ត្រូវបានទទួល កន្លែងណា" ហើយផ្តល់ចម្លើយ៖ ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)។

ប្រសិនបើយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីរុករកប្រព័ន្ធសម្រាប់ភាពឆបគ្នានោះ វាចាំបាច់ក្នុងការចេញដំណោះស្រាយនៅក្នុងរចនាប័ទ្មដ៏រឹងមាំបន្ថែមទៀតដែលពាក់ព័ន្ធនឹងគំនិត។ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស និងទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli.

សូមចំណាំថាមិនមានចលនាបញ្ច្រាសនៃក្បួនដោះស្រាយ Gaussian នៅទីនេះទេ - មិនមានដំណោះស្រាយ ហើយគ្មានអ្វីដែលត្រូវស្វែងរកទេ។

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនអ្នក។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ ជាថ្មីម្តងទៀត ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ផ្លូវដំណោះស្រាយរបស់អ្នកអាចខុសពីផ្លូវដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំ ក្បួនដោះស្រាយ Gaussian មិនមាន "ភាពរឹង" ខ្លាំងនោះទេ។

លក្ខណៈបច្ចេកទេសមួយទៀតនៃដំណោះស្រាយ៖ ការបំប្លែងបឋមអាចត្រូវបានបញ្ឈប់ ក្នុងពេលតែមួយដរាបណាបន្ទាត់ដូច កន្លែងណា។ ពិចារណាឧទាហរណ៍តាមលក្ខខណ្ឌ៖ ឧបមាថាបន្ទាប់ពីការបំលែងដំបូងយើងទទួលបានម៉ាទ្រីស . ម៉ាទ្រីសមិនទាន់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ជំហានទេ ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់មានការបំប្លែងបឋមបន្ថែមទៀតទេ ចាប់តាំងពីបន្ទាត់នៃទម្រង់មួយបានលេចឡើងជាកន្លែង។ វាគួរតែត្រូវបានឆ្លើយភ្លាមៗថាប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នា។

នៅពេលដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមិនមានដំណោះស្រាយ នេះស្ទើរតែជាអំណោយមួយ ពីព្រោះដំណោះស្រាយខ្លីមួយត្រូវបានទទួល ជួនកាលតាមព្យញ្ជនៈក្នុង 2-3 ជំហាន។

ប៉ុន្តែអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងពិភពលោកនេះគឺមានតុល្យភាព ហើយបញ្ហាដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់គឺយូរជាងនេះ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

មានសមីការ 4 និង 4 មិនស្គាល់ ដូច្នេះប្រព័ន្ធអាចមានដំណោះស្រាយតែមួយ ឬគ្មានដំណោះស្រាយ ឬមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។ មិនថាវាជាអ្វីក៏ដោយ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ Gauss ក្នុងករណីណាក៏ដោយនឹងនាំយើងទៅរកចម្លើយ។ វាស្ថិតនៅលើភាពបត់បែនរបស់វា។

នោះហើយជាទាំងអស់ ហើយអ្នកខ្លាច។

(1) ចំណាំថាលេខទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ដូច្នេះលេខ 2 គឺល្អនៅលើជួរកំពូលខាងឆ្វេង។ ទៅជួរទីពីរយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -4 ។ ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2 ។ ទៅជួរទីបួនយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -1 ។

យកចិត្តទុកដាក់!មនុស្សជាច្រើនអាចនឹងត្រូវបានល្បួងពីជួរទីបួន ដកបន្ទាត់ទីមួយ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើប៉ុន្តែវាមិនចាំបាច់ទេបទពិសោធន៍បង្ហាញថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃកំហុសក្នុងការគណនាកើនឡើងច្រើនដង។ គ្រាន់តែបន្ថែម៖ ទៅជួរទី ៤ បន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -១ - យ៉ាងពិតប្រាកដ!

(2) បន្ទាត់បីចុងក្រោយគឺសមាមាត្រ ពីរនៃពួកវាអាចត្រូវបានលុប។

នៅទីនេះម្តងទៀតវាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញ បង្កើនការយកចិត្តទុកដាក់ប៉ុន្តែតើបន្ទាត់ពិតជាសមាមាត្រមែនទេ? សម្រាប់ការធានាឡើងវិញ (ជាពិសេសសម្រាប់តែចាន) វានឹងមិននាំឱ្យខាតពេលក្នុងការគុណជួរទីពីរដោយ -1 ហើយបែងចែកជួរទីបួនដោយ 2 ដែលបណ្តាលឱ្យមានជួរដេកដូចគ្នាចំនួនបី។ ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះយកចេញពីរ។

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

នៅពេលបំពេញកិច្ចការក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើកំណត់ចំណាំដូចគ្នានៅក្នុងខ្មៅដៃ ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់។

យើងសរសេរឡើងវិញនូវប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលត្រូវគ្នា៖

ដំណោះស្រាយតែមួយគត់របស់ប្រព័ន្ធ "ធម្មតា" មិនមានក្លិននៅទីនេះទេ។ មិនមានបន្ទាត់អាក្រក់ផងដែរ។ នេះមានន័យថានេះគឺជាករណីទីបីដែលនៅសល់ - ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់។ ពេលខ្លះតាមលក្ខខណ្ឌ ចាំបាច់ត្រូវស៊ើបអង្កេតពីភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធ (ឧ. ដើម្បីបញ្ជាក់ថាមានដំណោះស្រាយ) អ្នកអាចអានអំពីរឿងនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌចុងក្រោយនៃអត្ថបទ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមួយ?ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះ ចូរយើងបំបែកមូលដ្ឋានគ្រឹះ៖

សំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់នៃប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបនៅក្នុងទម្រង់នៃអ្វីដែលគេហៅថា ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធទូទៅ .

យើងនឹងរកឃើញដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើចលនាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ដំបូងយើងត្រូវកំណត់ថាតើអថេរអ្វីខ្លះដែលយើងមាន មូលដ្ឋាននិងអថេរមួយណា ឥតគិតថ្លៃ. វាមិនចាំបាច់ក្នុងការរំខានជាមួយលក្ខខណ្ឌនៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរនោះទេ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចងចាំថាមាន អថេរមូលដ្ឋាននិង អថេរឥតគិតថ្លៃ.

អថេរមូលដ្ឋានតែងតែ "អង្គុយ" យ៉ាងតឹងរ៉ឹងលើជំហាននៃម៉ាទ្រីស.
ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អថេរមូលដ្ឋានគឺ និង

អថេរឥតគិតថ្លៃគឺជាអ្វីគ្រប់យ៉ាង នៅសល់អថេរដែលមិនទទួលបានជំហានមួយ។ ក្នុងករណីរបស់យើងមានពីរក្នុងចំណោមពួកគេ៖ - អថេរឥតគិតថ្លៃ។

ឥឡូវនេះអ្នកត្រូវការ ទាំងអស់។ អថេរមូលដ្ឋានបង្ហាញ តែតាមរយៈ អថេរឥតគិតថ្លៃ.

ចលនាបញ្ច្រាសនៃក្បួនដោះស្រាយ Gaussian ដំណើរការពីបាតឡើងលើ។
ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋាន៖

ឥឡូវនេះសូមមើលសមីការទីមួយ៖ . ដំបូងយើងជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវា៖

វានៅសល់ដើម្បីបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ៖

លទ្ធផលគឺអ្វីដែលអ្នកត្រូវការ - ទាំងអស់។អថេរមូលដ្ឋាន (និង) ត្រូវបានបង្ហាញ តែតាមរយៈអថេរឥតគិតថ្លៃ៖

តាមពិតដំណោះស្រាយទូទៅគឺរួចរាល់ហើយ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅ?
អថេរឥតគិតថ្លៃត្រូវបានសរសេរទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ "ដោយខ្លួនឯង" និងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅកន្លែងរបស់ពួកគេ។ ក្នុងករណីនេះ អថេរឥតគិតថ្លៃ គួរតែត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងទីតាំងទីពីរ និងទីបួន៖
.

ផ្តល់អថេរឥតគិតថ្លៃ តម្លៃបំពានមានច្រើនឥតកំណត់ ការសម្រេចចិត្តឯកជន. តម្លៃដែលពេញនិយមបំផុតគឺសូន្យចាប់តាំងពីដំណោះស្រាយពិសេសគឺងាយស្រួលបំផុតដើម្បីទទួលបាន។ ជំនួសនៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ៖

គឺជាការសម្រេចចិត្តឯកជន។

មួយគូជាគូស្នេហ៍ផ្អែមល្ហែមមួយគូទៀត តោះជំនួសដំណោះស្រាយទូទៅ៖

គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសមួយទៀត។

វាងាយមើលឃើញថាប្រព័ន្ធសមីការមាន ដំណោះស្រាយជាច្រើន។(ចាប់តាំងពីយើងអាចផ្តល់អថេរឥតគិតថ្លៃ ណាមួយ។តម្លៃ)

គ្នា។ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវតែពេញចិត្ត ដល់គ្នា។សមីការប្រព័ន្ធ។ នេះគឺជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យ "រហ័ស" នៃភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម៖

ប៉ុន្តែនិយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយពេលខ្លះបញ្ឆោត។ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំនួនអាចបំពេញសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ ហើយដំណោះស្រាយទូទៅខ្លួនឯងត្រូវបានរកឃើញមិនត្រឹមត្រូវ។

ដូច្នេះការផ្ទៀងផ្ទាត់ដំណោះស្រាយទូទៅគឺមានភាពហ្មត់ចត់ និងអាចទុកចិត្តបានជាង។ របៀបពិនិត្យមើលលទ្ធផលទូទៅនៃដំណោះស្រាយ ?

វាងាយស្រួល ប៉ុន្តែគួរឱ្យធុញទ្រាន់ណាស់។ យើងត្រូវទទួលយកការបញ្ចេញមតិ មូលដ្ឋានអថេរក្នុងករណីនេះ និង ហើយជំនួសពួកវាទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ។

ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ៖

ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដើមត្រូវបានទទួល។

ឧទាហរណ៍ 4

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនអ្នក។ នៅទីនេះដោយវិធីនេះម្តងទៀតចំនួនសមីការគឺតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ដែលមានន័យថាវាច្បាស់ភ្លាមៗថាប្រព័ន្ធនឹងមិនជាប់លាប់ឬមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ តើអ្វីសំខាន់នៅក្នុងដំណើរការសម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង? ការយកចិត្តទុកដាក់ ហើយម្តងទៀតការយកចិត្តទុកដាក់. ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

និងឧទាហរណ៍ពីរបីបន្ថែមទៀតដើម្បីពង្រឹងសម្ភារៈ

ឧទាហរណ៍ ៥

ការសម្រេចចិត្ត៖ ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ និងដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋម យើងនាំវាទៅជាទម្រង់ជំហាន៖

(1) បន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយទៅជួរទីពីរ។ ទៅជួរទីបី យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង 2។ ទៅជួរទីបួន យើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង 3។
(2) ទៅជួរទីបី បន្ថែមជួរទីពីរ គុណនឹង -5 ។ ទៅជួរទីបួនយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -7 ។
(3) ជួរទី 3 និងទី 4 គឺដូចគ្នា យើងលុបមួយក្នុងចំណោមពួកគេ។

ខាងក្រោមនេះជាភាពស្រស់ស្អាត៖

អថេរមូលដ្ឋានស្ថិតនៅលើជំហាន ដូច្នេះពួកវាជាអថេរមូលដ្ឋាន។
មានអថេរឥតគិតថ្លៃតែមួយគត់ ដែលមិនទទួលបានជំហាន៖

ចលនាបញ្ច្រាស៖
យើងបង្ហាញអថេរជាមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ៖
ពីសមីការទីបី៖

ពិចារណាសមីការទីពីរ ហើយជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវា៖

ពិចារណាសមីការទីមួយ ហើយជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ ហើយចូលទៅក្នុងវា៖

បាទ ម៉ាស៊ីនគិតលេខដែលរាប់ប្រភាគធម្មតានៅតែងាយស្រួល។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

ម្តងនេះ តើវាកើតឡើងដោយរបៀបណា? អថេរឥតគិតថ្លៃអង្គុយតែម្នាក់ឯងនៅក្នុងកន្លែងទីបួនត្រឹមត្រូវរបស់វា។ កន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់អថេរមូលដ្ឋានក៏បានយកកន្លែងធម្មតារបស់ពួកគេផងដែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយទូទៅភ្លាមៗ។ ធ្វើការឱ្យស្បែកខ្មៅ ប៉ុន្តែខ្ញុំបានធ្វើវារួចហើយ ដូច្នេះចាប់ =)

យើងជំនួសវីរបុរសបី , ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ៖

ផ្នែកខាងស្តាំដែលត្រូវគ្នានៃសមីការត្រូវបានទទួល ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ឥឡូវនេះពីដំណោះស្រាយទូទៅដែលបានរកឃើញ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយពិសេសពីរ។ មេចុងភៅនៅទីនេះគឺជាអថេរឥតគិតថ្លៃតែមួយគត់។ អ្នកមិនចាំបាច់បំបែកក្បាលរបស់អ្នកទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាប់មក គឺជាការសម្រេចចិត្តឯកជន។
អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាប់មក គឺជាដំណោះស្រាយពិសេសមួយទៀត។

ចម្លើយការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖ ដំណោះស្រាយពិសេស៖ , .

ខ្ញុំមិនគួរចងចាំអំពីជនជាតិស្បែកខ្មៅនៅទីនេះទេ ... ... ពីព្រោះការជម្រុញសោកនាដកម្មគ្រប់ប្រភេទបានចូលមកក្នុងក្បាលរបស់ខ្ញុំ ហើយខ្ញុំក៏នឹកឃើញរូបភាព Fotozhaba ដ៏ល្បីល្បាញដែល Ku Klux Klansmen ក្នុងឈុតពណ៌សរត់ពេញវាលបន្ទាប់ពីបាល់ទាត់ខ្មៅ។ អ្នកលេង។ ខ្ញុំអង្គុយហើយញញឹមយ៉ាងស្ងប់ស្ងាត់។ ដឹងថារំខានដល់កម្រិតណា…

គណិតវិទ្យាជាច្រើនគឺមានគ្រោះថ្នាក់ ដូច្នេះឧទាហរណ៍ចុងក្រោយស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។

ខ្ញុំបានពិនិត្យដំណោះស្រាយទូទៅរួចហើយ ចម្លើយអាចទុកចិត្តបាន។ ដំណោះស្រាយរបស់អ្នកអាចខុសពីដំណោះស្រាយរបស់ខ្ញុំ រឿងសំខាន់គឺថាដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវគ្នា។

ប្រហែលជា មនុស្សជាច្រើនបានកត់សម្គាល់ឃើញពីពេលវេលាមិនល្អនៅក្នុងដំណោះស្រាយ៖ ជាញឹកញាប់ ក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងត្រូវដើរលេងជាមួយប្រភាគធម្មតា។ នៅក្នុងការអនុវត្ត នេះជាការពិត ករណីដែលគ្មានប្រភាគគឺជារឿងធម្មតាតិចជាង។ ត្រូវត្រៀមខ្លួនខាងផ្លូវចិត្ត ហើយសំខាន់បំផុតគឺបច្ចេកទេស។

ខ្ញុំនឹងរស់នៅលើលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួននៃដំណោះស្រាយដែលមិនត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានដោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធជួនកាលអាចរួមបញ្ចូលថេរ (ឬថេរ) ឧទាហរណ៍៖ . ខាងក្រោមនេះជាអថេរមូលដ្ឋានមួយគឺស្មើនឹងចំនួនថេរ៖ . មិនមានអ្វីកម្រនិងអសកម្មនៅក្នុងរឿងនេះទេវាកើតឡើង។ ជាក់ស្តែង ក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយពិសេសណាមួយនឹងមានប្រាំនៅក្នុងទីតាំងដំបូង។

កម្រណាស់ ប៉ុន្តែមានប្រព័ន្ធ ចំនួនសមីការគឺធំជាងចំនួនអថេរ. វិធីសាស្ត្រ Gaussian ដំណើរការក្នុងស្ថានភាពធ្ងន់ធ្ងរបំផុត អ្នកគួរតែនាំយកម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់មួយជំហានដោយស្ងប់ស្ងាត់យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដារ។ ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា អាចមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយអ្វីដែលចម្លែកគ្រប់គ្រាន់ អាចមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់។
ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាសំណុំនៃលេខ ( x 1 , x 2 , … , x n) ការជំនួសដែលទៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ នោះសមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល។
កន្លែងណា a ij, i = 1, …, m; j = 1, …, នគឺជាមេគុណនៃប្រព័ន្ធ;
b i , i = 1, …, m- សមាជិកឥតគិតថ្លៃ;
x j , j = 1, …, n- មិនស្គាល់។
ប្រព័ន្ធខាងលើអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖ A X = B,

កន្លែងណា ( ក|ខ) គឺជាម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ;
ក- ម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ;
X- ជួរនៃមិនស្គាល់;
ខគឺជាជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។
ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស ខមិនមែនជាម៉ាទ្រីសទទេ ∅ ទេ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនេះត្រូវបានគេហៅថា inhomogeneous ។
ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស ខ= ∅ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនេះត្រូវបានគេហៅថា homogeneous ។ ប្រព័ន្ធដូចគ្នាតែងតែមានដំណោះស្រាយសូន្យ (មិនសំខាន់)៖ x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
ប្រព័ន្ធរួមនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយ។
ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ដែលមិនមានដំណោះស្រាយ។
ប្រព័ន្ធជាក់លាក់នៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
ប្រព័ន្ធមិនកំណត់នៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ n មិនស្គាល់
ប្រសិនបើចំនួនមិនស្គាល់ស្មើនឹងចំនួនសមីការ នោះម៉ាទ្រីសគឺការ៉េ។ កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា Δ ។
វិធីសាស្រ្ត Cramerសម្រាប់ប្រព័ន្ធដោះស្រាយ នសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់។
ច្បាប់របស់ Cramer ។
ប្រសិនបើកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះប្រព័ន្ធគឺស្រប និងកំណត់ ហើយដំណោះស្រាយតែមួយគត់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Cramer៖
ដែល Δ i គឺជាកត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ Δ ដោយជំនួស ខ្ញុំ th column ទៅជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ .
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ m ជាមួយ n មិនស្គាល់
ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Cappelli.

ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ។ ចំណាត់ថ្នាក់(Α) = ចំណាត់ថ្នាក់(Α|B).
ប្រសិនបើ ក rang(Α) ≠ rang(Α|B)បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធច្បាស់ជាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។
ប្រសិនបើ ចំណាត់ថ្នាក់(Α) = ចំណាត់ថ្នាក់(Α|B)បន្ទាប់មកករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន៖
1) rang(Α) = ន(ចំពោះចំនួនមិនស្គាល់) - ដំណោះស្រាយគឺមានតែមួយគត់ហើយអាចទទួលបានដោយរូបមន្តរបស់ Cramer ។
2) ចំណាត់ថ្នាក់(Α)< n - មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនកំណត់។
វិធីសាស្រ្ត Gaussសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ចូរយើងចងក្រងម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម ( ក|ខ) នៃប្រព័ន្ធមេគុណដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅផ្នែកមិនស្គាល់ និងខាងស្តាំ។
វិធីសាស្ត្រ Gaussian ឬការលុបបំបាត់វិធីសាស្រ្តមិនស្គាល់មាននៅក្នុងការកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម ( ក|ខ) ដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមលើជួរដេករបស់វាទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូង (ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណខាងលើ) ។ ត្រឡប់ទៅប្រព័ន្ធនៃសមីការវិញ ភាពមិនស្គាល់ទាំងអស់ត្រូវបានកំណត់។
ការបំប្លែងបឋមលើខ្សែអក្សររួមមានដូចខាងក្រោម៖
1) ការផ្លាស់ប្តូរពីរបន្ទាត់;
2) គុណលេខមួយដោយលេខក្រៅពី 0;
3) បន្ថែមទៅខ្សែអក្សរ ខ្សែមួយទៀតគុណនឹងលេខបំពាន។
4) ការបោះបង់ខ្សែអក្សរទទេ។
ម៉ាទ្រីសពង្រីកដែលកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូងត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរដែលស្មើនឹងអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដំណោះស្រាយដែលមិនបង្កឱ្យមានការលំបាក។ .
ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។
ប្រព័ន្ធដូចគ្នាមានទម្រង់៖

វាត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការម៉ាទ្រីស A X = 0.
1) ប្រព័ន្ធដូចគ្នាគឺតែងតែស្រប, ចាប់តាំងពី r(A) = r(A|B)តែងតែមានដំណោះស្រាយសូន្យ (0, 0, …, 0)។
2) សម្រាប់ប្រព័ន្ធដូចគ្នាដើម្បីឱ្យមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ r = r(A)< n ដែលស្មើនឹង Δ = 0 ។
3) ប្រសិនបើ r< n បន្ទាប់មក Δ = 0 បន្ទាប់មកមានការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ c 1 , c 2 , … , c n-rប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់ ហើយមានច្រើនមិនចេះចប់។
4) ដំណោះស្រាយទូទៅ Xនៅ r< n អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសដូចខាងក្រោមៈ
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
តើដំណោះស្រាយនៅឯណា X 1 , X 2 , … , X n-rបង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។
៥) ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយអាចទទួលបានពីដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នា៖

,
ប្រសិនបើយើងសន្មត់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រជា (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1)។
ការរលាយនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយគឺជាកំណត់ត្រានៃដំណោះស្រាយទូទៅដែលជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃដំណោះស្រាយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាន។
ទ្រឹស្តីបទ. ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល Δ ≠ 0 ។
ដូច្នេះ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់គឺ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
ប្រសិនបើ Δ ≠ 0 នោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។
ទ្រឹស្តីបទ. ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធដូចគ្នាមានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ r(A)< n .
ភស្តុតាង:
1) rមិនអាចលើសពីនេះទេ។ ន(ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសមិនលើសពីចំនួនជួរឈរឬជួរដេក);
2) r< n , ដោយសារតែ ប្រសិនបើ r=nបន្ទាប់មកកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ Δ ≠ 0 ហើយយោងទៅតាមរូបមន្តរបស់ Cramer មានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់តែមួយគត់ x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0ដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ។ មានន័យថា r(A)< n .
ផលវិបាក. ដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធមានភាពដូចគ្នា។ នសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់មានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល Δ = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត. ក = . ស្វែងរក r (A) ។ ជា ម៉ាទ្រីស A មានលំដាប់ 3x4 បន្ទាប់មកលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃអនីតិជនគឺ 3។ ជាងនេះទៅទៀត អនីតិជនទាំងអស់នៃលំដាប់ទីបីគឺស្មើនឹងសូន្យ (ពិនិត្យវាដោយខ្លួនឯង)។ មធ្យោបាយ, r(A)< 3. Возьмем главный អនីតិជនមូលដ្ឋាន = -5-4 = -9 ≠ 0. ដូចនេះ r(A) =2.

ពិចារណា ម៉ាទ្រីស ជាមួយ = .

អនីតិជនទីបី លំដាប់ ≠ 0. ដូចនេះ r(C) = 3 ។

ចាប់តាំងពី r (A) ≠ r(C) បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២កំណត់ភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធសមីការ

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះប្រសិនបើវាត្រូវគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត.

A = , C = . ជាក់ស្តែង r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. ចាប់តាំងពី detC = 0, បន្ទាប់មក r(C)< 4. ពិចារណា អនីតិជន ទីបី លំដាប់ដែលមានទីតាំងនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីស A និង C: = -23 ≠ 0. ដូចនេះ r(A) = r(C) = 3 ។

ចំនួន មិនស្គាល់ នៅក្នុងប្រព័ន្ធ n=3. ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ក្នុងករណីនេះសមីការទីបួនគឺជាផលបូកនៃបីដំបូង ហើយអាចត្រូវបានគេមិនអើពើ។

នេះបើយោងតាមរូបមន្តរបស់ Cramerយើងទទួលបាន x 1 = −98/23, x 2 = −47/23, x 3 = −123/23 ។

២.៤. វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស។ វិធីសាស្រ្ត Gauss

ប្រព័ន្ធ នសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់អាចដោះស្រាយបាន។ វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសយោងតាមរូបមន្ត X \u003d A -1 B (សម្រាប់ Δ ≠ 0) ដែលទទួលបានពី (2) ដោយគុណផ្នែកទាំងពីរដោយ A -1 ។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដោយវិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស (នៅក្នុងផ្នែកទី 2.2 ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្ត Cramer)

ការសម្រេចចិត្ត. Δ=១០ ≠ 0 A = - ម៉ាទ្រីស nonsingular ។

= (ផ្ទៀងផ្ទាត់វាសម្រាប់ខ្លួនអ្នកដោយធ្វើការគណនាចាំបាច់) ។

A -1 \u003d (1 / Δ) x \u003d .

X \u003d A -1 B \u003d x=។

ចម្លើយ: .

តាមទស្សនៈជាក់ស្តែងរូបមន្ត និងវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ក្រមាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងចំនួនដ៏ច្រើននៃការគណនា ដូច្នេះចំណង់ចំណូលចិត្តត្រូវបានផ្តល់ទៅឱ្យ វិធីសាស្រ្ត Gaussដែលមាននៅក្នុងការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះប្រព័ន្ធសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធសមមូលដែលមានម៉ាទ្រីសពង្រីករាងត្រីកោណ (ធាតុទាំងអស់នៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺស្មើនឹងសូន្យ)។ សកម្មភាពទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាចលនាផ្ទាល់។ ពីប្រព័ន្ធត្រីកោណលទ្ធផល អថេរត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើការជំនួសជាបន្តបន្ទាប់ (ថយក្រោយ)។

ឧទាហរណ៍ ២. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

(ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានដោះស្រាយខាងលើដោយប្រើរូបមន្ត Cramer និងវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស)។

ការសម្រេចចិត្ត.

ចលនាផ្ទាល់។ យើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ៖

~ ~ ~ ~ .

ទទួលបាន ប្រព័ន្ធ

ចលនាបញ្ច្រាស។ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងរកឃើញ X 3 = -6 ហើយជំនួសតម្លៃនេះទៅក្នុងសមីការទីពីរ៖

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

ចម្លើយ: .

២.៥. ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ = b i(ខ្ញុំ=) ចូរ r(A) = r(C) = r, i.e. ប្រព័ន្ធគឺសហការ។ អនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ r គឺ អនីតិជនមូលដ្ឋាន។ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ យើងនឹងសន្មត់ថាអនីតិជនមូលដ្ឋានមានទីតាំងនៅក្នុងជួរ r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) ដំបូងបង្អស់ និងជួរឈរនៃម៉ាទ្រីស A. ការបោះបង់សមីការ m-r ចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ យើងសរសេរខ្លីៗ ប្រព័ន្ធ៖

ដែលស្មើនឹងដើម។ តោះដាក់ឈ្មោះអ្នកដែលមិនស្គាល់ x 1 ,….x rមូលដ្ឋាន និង x r +1 ,… , x rឥតគិតថ្លៃ ហើយផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌដែលមានការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធកាត់។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹងការមិនស្គាល់ជាមូលដ្ឋាន៖

ដែលសម្រាប់សំណុំនៃតម្លៃនីមួយៗនៃមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ x r +1 \u003d C 1, ... , x n \u003d C n-rមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ x 1 (C 1, ..., C n-r), ..., x r (C 1, ..., C n-r),បានរកឃើញដោយច្បាប់របស់ Cramer ។

ការសម្រេចចិត្តសមស្របខ្លី ហើយដូច្នេះប្រព័ន្ធដើមមានទម្រង់៖

Х(С 1,…, С n-r) = - ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ ការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃត្រូវបានផ្តល់តម្លៃជាលេខមួយចំនួន នោះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរ ដែលហៅថាឯកជន។

ឧទាហរណ៍. បង្កើតភាពឆបគ្នា និងស្វែងរកដំណោះស្រាយរួមនៃប្រព័ន្ធ

ការសម្រេចចិត្ត. ក = , ស៊ី = .

ដូច្នេះ ជា r(A)= r(C) = 2 (មើលដោយខ្លួនឯង) បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធដើមគឺត្រូវគ្នា និងមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ (ចាប់តាំងពី r< 4).

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

សមីការលីនេអ៊ែរ

ប្រភេទនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញ និងស្មុគស្មាញសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តជំនួស

ដំណោះស្រាយដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិត

វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយដោយការណែនាំអថេរថ្មី។

វិធីសាស្រ្តមើលឃើញសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ

ម៉ាទ្រីសនិងពូជរបស់វា។

ច្បាប់សម្រាប់បំប្លែងប្រព័ន្ធសមីការទៅជាម៉ាទ្រីស

ជម្រើសសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss

២.៤. វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស។ វិធីសាស្រ្ត Gauss

២.៥. ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ

ការសម្រេចចិត្តសមស្របខ្លី ហើយដូច្នេះប្រព័ន្ធដើមមានទម្រង់៖

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង