ភាពខុសឆ្គងដ៏ល្បីល្បាញបំផុតដែលបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងសតវត្សរបស់យើងគឺអនាមិកដែលរកឃើញដោយ B. Russell ។ គំនិតនេះគឺនៅលើអាកាស ហើយការបោះពុម្ពផ្សាយរបស់វាបានបង្កើតចំណាប់អារម្មណ៍នៃគ្រាប់បែកដែលកំពុងផ្ទុះ។ ភាពផ្ទុយគ្នានេះបង្កឡើងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា យោងតាមលោក D. Hilbert "ឥទ្ធិពលនៃមហន្តរាយពេញលេញ" ។ វិធីសាស្រ្តឡូជីខលដ៏សាមញ្ញបំផុត និងសំខាន់បំផុត ដែលជាគំនិតទូទៅ និងមានប្រយោជន៍បំផុតគឺស្ថិតនៅក្រោមការគំរាមកំហែង។ ភ្លាមៗនោះ វាច្បាស់ណាស់ថា ទាំងក្នុងតក្កវិជ្ជា ឬក្នុងគណិតវិទ្យា ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រដ៏វែងអន្លាយនៃអត្ថិភាពរបស់វា គឺជាអ្វីដែលសម្រេចបានដោយការសម្រេចចិត្តដែលអាចបម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការលុបបំបាត់អង្គបដិបក្ខ។ ច្បាស់ណាស់ថា ការចាកចេញពីវិធីគិតបែបទម្លាប់គឺជាការចាំបាច់។

ភាពផ្ទុយស្រឡះរបស់ រ័សុល នៅក្នុងទម្រង់ដើមរបស់វាត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតនៃសំណុំ ឬថ្នាក់មួយ។ យើងអាចនិយាយអំពីសំណុំនៃវត្ថុផ្សេងៗគ្នា ឧទាហរណ៍អំពីសំណុំនៃមនុស្សទាំងអស់ ឬអំពីសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ។ ធាតុនៃសំណុំទីមួយនឹងជាបុគ្គលណាមួយដែលជាធាតុនៃទីពីរ - រាល់លេខធម្មជាតិ។ វាក៏អាចធ្វើទៅបានដើម្បីពិចារណាសំណុំខ្លួនឯងជាវត្ថុមួយចំនួនហើយនិយាយអំពីសំណុំនៃសំណុំ។ សូម្បីតែមួយអាចណែនាំគំនិតដូចជាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ឬសំណុំនៃគំនិតទាំងអស់។ ទាក់ទងទៅនឹងសំណុំណាមួយដែលយកតាមអំពើចិត្ត វាហាក់ដូចជាសមហេតុផលក្នុងការសួរថាតើវាជាធាតុរបស់វាឬអត់។ សំណុំដែលមិនមានខ្លួនវាជាធាតុនឹងត្រូវបានគេហៅថាធម្មតា។ ឧទាហរណ៍ៈ សំណុំនៃមនុស្សទាំងអស់មិនមែនជាមនុស្សទេ ដូចសំណុំនៃអាតូមមិនមែនជាអាតូម។ ឈុតដែលមានធាតុត្រឹមត្រូវនឹងមិនធម្មតាទេ។ ឧទាហរណ៍ សំណុំ​ដែល​បង្រួប​បង្រួម​សំណុំ​ទាំងអស់​គឺ​ជា​សំណុំ ដូច្នេះ​ហើយ​មាន​ខ្លួន​វា​ជា​ធាតុ។ ជាក់ស្តែង រាល់ឈុតគឺធម្មតា ឬមិនធម្មតា។

សូមពិចារណាឥឡូវនេះនូវសំណុំនៃឈុតធម្មតាទាំងអស់។ ដោយសារ​វា​ជា​ឈុត អ្នក​ក៏​អាច​សួរ​អំពី​វា​ដែរ​ថា​វា​ធម្មតា ឬ​មិន​ធម្មតា​។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ ចម្លើយ​គឺ​បាក់​ទឹក​ចិត្ត។ ប្រសិនបើវាជារឿងធម្មតា នោះតាមនិយមន័យ វាត្រូវតែមានខ្លួនវាជាធាតុមួយ ព្រោះវាមានសំណុំធម្មតាទាំងអស់។ ប៉ុន្តែនេះមានន័យថាវាជាឈុតមិនធម្មតា។ ការសន្មត់ថាឈុតរបស់យើងជាឈុតធម្មតា ដូច្នេះនាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះវាមិនអាចជារឿងធម្មតាទេ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត វាមិនអាចមិនធម្មតាទេ៖ ឈុតមិនធម្មតាមានខ្លួនវាជាធាតុមួយ ហើយធាតុនៃឈុតរបស់យើងគឺគ្រាន់តែជាឈុតធម្មតាប៉ុណ្ណោះ។ ជាលទ្ធផល យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថា សំណុំនៃឈុតធម្មតាទាំងអស់មិនអាចមានលក្ខណៈធម្មតា ឬមិនធម្មតានោះទេ។

ដូចនេះ សំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ដែលមិនមែនជាធាតុត្រឹមត្រូវគឺជាធាតុត្រឹមត្រូវប្រសិនបើហើយតែប៉ុណ្ណោះប្រសិនបើវាមិនមែនជាធាតុបែបនេះ។ នេះគឺជាភាពផ្ទុយគ្នាច្បាស់លាស់។

ភាពផ្ទុយគ្នានិយាយថាឈុតបែបនេះមិនមានទេ។ ប៉ុន្តែហេតុអ្វីបានជាវាមិនអាចមាន? យ៉ាងណាមិញ វាមានវត្ថុដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អ ហើយលក្ខខណ្ឌខ្លួនវាហាក់ដូចជាមិនពិសេស ឬមិនច្បាស់លាស់។ ប្រសិនបើសំណុំដែលកំណត់យ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់មិនអាចមាន នោះជាការពិត តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាងសំណុំដែលអាចធ្វើបាន និងមិនអាចទៅរួច? ការ​សន្និដ្ឋាន​អំពី​ការ​មិន​មាន​នៃ​សំណុំ​ដែល​បាន​ពិចារណា​ស្តាប់​ទៅ​ជា​ការ​នឹក​ស្មាន​មិន​ដល់​និង​ជំរុញ​ឱ្យ​មាន​ការ​ថប់​បារម្ភ​។ វាធ្វើឱ្យការយល់ឃើញជាទូទៅរបស់យើងអំពីសំណុំអាម៉ូនិក និងវឹកវរ ហើយមិនមានការធានាថាវាមិនអាចបង្កឱ្យមានភាពចម្លែកថ្មីមួយចំនួននោះទេ។

ភាពខុសឆ្គងរបស់ រ័សុល គឺគួរអោយកត់សំគាល់ចំពោះភាពទូទៅរបស់វា។ សម្រាប់ការសាងសង់របស់វា មិនចាំបាច់មានគំនិតបច្ចេកទេសស្មុគ្រស្មាញទេ ដូចជានៅក្នុងករណីនៃពាក្យប្រៀបធៀបមួយចំនួនផ្សេងទៀត គំនិតនៃ "សំណុំ" និង "ធាតុនៃសំណុំ" គឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។ ប៉ុន្តែភាពសាមញ្ញនេះគ្រាន់តែនិយាយអំពីលក្ខណៈជាមូលដ្ឋានរបស់វាប៉ុណ្ណោះ៖ វាប៉ះពាល់ដល់មូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏ជ្រៅបំផុតនៃការវែកញែករបស់យើងអំពីសំណុំ ចាប់តាំងពីវាមិននិយាយអំពីករណីពិសេសមួយចំនួន ប៉ុន្តែអំពីសំណុំជាទូទៅ។

ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ រ័សុល មិនមែនជាគណិតវិទ្យាពិសេសនោះទេ។ វាប្រើគោលគំនិតនៃសំណុំ ប៉ុន្តែមិនប៉ះលើលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសណាមួយដែលទាក់ទងជាពិសេសជាមួយគណិតវិទ្យា។ នេះក្លាយជាជាក់ស្តែងនៅពេលដែលភាពផ្ទុយគ្នាត្រូវបានកែទម្រង់ក្នុងន័យសមហេតុសមផលសុទ្ធសាធ។

នៃរាល់ទ្រព្យសម្បត្តិ មនុស្សម្នាក់អាចសួរថាតើវាអាចអនុវត្តបានចំពោះខ្លួនវាឬអត់។ ទ្រព្យ​នៃ​ការ​ក្តៅ ជា​ឧទាហរណ៍ មិន​អនុវត្ត​ចំពោះ​ខ្លួន​ឡើយ ព្រោះ​ខ្លួន​មិន​ក្តៅ; ទ្រព្យ​នៃ​ការ​ជាក់​ស្ដែង​ក៏​មិន​សំដៅ​លើ​ខ្លួន​ឯង​ដែរ ព្រោះ​វា​ជា​ទ្រព្យ​អរូបី។ ប៉ុន្តែ​ទ្រព្យ​នៃ​ភាព​អរូបី ភាព​អរូបី​គឺ​អាច​អនុវត្ត​បាន​ចំពោះ​ខ្លួន។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងហៅទ្រព្យសម្បត្តិទាំងនេះថាមិនអាចអនុវត្តបានចំពោះខ្លួនពួកគេថាមិនអាចអនុវត្តបាន។ តើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​មិន​អាច​អនុវត្ត​បាន​ចំពោះ​ខ្លួន​ឯង​ឬ​ទេ? វាប្រែថាភាពមិនអាចអនុវត្តបានគឺមិនអាចអនុវត្តបានលុះត្រាតែវាមិនមាន។ នេះជាការពិតណាស់ ភាពខុសឆ្គង។ ភាពច្របូកច្របល់ដែលទាក់ទងនឹងទ្រព្យសម្បត្តិនៃអង្គបដិបក្ខរបស់ Russell គឺមានលក្ខណៈផ្ទុយគ្នាដូចទៅនឹងប្រភេទគណិតវិទ្យា ដែលទាក់ទងនឹងសំណុំ។

B. រ័សុលក៏បានស្នើកំណែដ៏ពេញនិយមខាងក្រោមនៃពាក្យប្រៀបធៀបដែលគាត់បានរកឃើញ។ “អ្នក​កាត់សក់​កោរ​ពុកមាត់​ទាំង​អស់ ហើយ​មាន​តែ​អ្នក​រស់​នៅ​ក្នុង​ទីក្រុង​ប៉ុណ្ណោះ​ដែល​មិន​កោរ​សក់។ អ្នកណាកោរសក់? ភាពផ្ទុយគ្នានៃជាងកាត់សក់គឺស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការឆ្លើយសំណួរនេះ។

ដើម្បីយល់ពីស្ថានភាពនេះ យើងនឹងបែងចែកអ្នករស់នៅទីក្រុងជាបីក្រុម។ ការបំបែកនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបខាងឆ្វេង: អ្នកដែលកោរសក់ខ្លួនឯងគឺនៅលើកំពូល; អ្នកដែលត្រូវបានកោរសក់ - ពីខាងក្រោម; អ្នកដែលមិនកោរសក់ទាល់តែសោះ (ព្រះសង្ឃ កុមារ ស្ត្រី...) គឺនៅក្រៅរាងពងក្រពើ។

ពិចារណាជាដំបូងអំពីសកម្មភាពនៃលក្ខខណ្ឌ (1) ។ ឲ្យ​ជាង​កោរ​សក់​ទាំង​អស់​ដែល​មិន​កោរ​ខ្លួន​ឯង ពោល​គឺ​ពាក់​កណ្ដាល​ខាង​ក្រោម​នៃ​រាង​ពង​ក្រពើ (ញាស់​សម្គាល់​អតិថិជន​របស់​ជាង​កាត់សក់)។ ប៉ុន្តែលក្ខខណ្ឌ (1) អនុញ្ញាតឱ្យគាត់កោរពុកមាត់ហើយអ្នកដែលកោរសក់ខ្លួនឯង។ លក្ខខណ្ឌ (1) អនុញ្ញាតឱ្យគាត់ដាក់ខ្លួនគាត់នៅពាក់កណ្តាលខាងលើនៃរាងពងក្រពើដែលជាកន្លែងដែលអ្នកស្រុកខ្លួនឯងកោរសក់ហើយកោរខ្លួនឯងនៅទីនោះ។ នេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភាពកណ្តាល។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ (២) ត្រូវបានអនុវត្ត ហើយជាងកាត់សក់កោរតែអ្នកដែលមិនកោរសក់ដោយខ្លួនឯង នោះមានន័យថា គាត់កោរផ្នែកនៃផ្នែកខាងក្រោមនៃពងក្រពើ ហើយមិនកោរសក់ខ្លួនឯង ពោលគឺមិននៅពាក់កណ្តាលខាងលើនៃរាងពងក្រពើ។ . ប៉ុន្តែ​អ្នក​នៅ​ពាក់​កណ្តាល​ទាប​ប្រហែល​មិន​ត្រូវ​កោរ​សក់​ដោយ​ជាង​កាត់សក់​ទេ ប៉ុន្តែ​ដោយ​អ្នក​ផ្សេង។ ហើយជាងកាត់សក់អាចស្ថិតក្នុងចំណោមមនុស្សទាំងនេះ (រូបត្រឹមត្រូវ)។ ដូច្នេះជាងកាត់សក់អាចកោរសក់មិត្តរបស់គាត់ ហើយជាងកាត់សក់នឹងកោរផ្នែកដែលមានស្រមោលនៃពាក់កណ្តាលខាងក្រោមនៃរាងពងក្រពើ។

ប៉ុន្តែប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងពីរ (1) និង (2) ត្រូវបានអនុវត្ត នោះជាងកាត់សក់មិនមានកន្លែងនៅក្នុងរាងពងក្រពើទេ។ គាត់មិនកោរសក់ទាល់តែសោះ។ ហើយ​មិន​មាន​ភាព​ខុស​គ្នា​នៅ​ទី​នេះ​ទេ។ ដូច្នេះហើយ គាត់គឺជាព្រះសង្ឃ ឬមនុស្សយន្ត ឬកូនក្មេង ឬស្ត្រី ឬជាអ្នកមិនរស់នៅក្នុងទីក្រុង ... ហើយប្រសិនបើគ្មាននរណាម្នាក់នៅក្នុងទីក្រុងនោះទេ លើកលែងតែបុរសកោរសក់ ហើយដូច្នេះ រូបរាងនៃពងក្រពើគឺទទេបន្ទាប់មកជាងកាត់សក់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ (1) និង (2) មិនមានទេ។ វាមិនសមហេតុផលទេក្នុងការសួរក្នុងករណីនេះ តើអ្នកណាកោរសក់គាត់ ជាងកាត់សក់បែបនេះជាច្រើនគឺទទេ។

ហើយនៅទីនេះយើងកត់សំគាល់ថាសំណួរដែលសួរថា "អ្នកណាកោរសក់?" គឺមិនត្រឹមត្រូវតាំងពីដំបូងមក ដូចសំណួរបុរាណដែរថា "ហេតុអ្វីបានជាអ្នកវាយឪពុករបស់អ្នក?" មុន​នឹង​សួរ​ថា​នរណា​កោរ​សក់​អ្នក​ណា​ម្នាក់​ត្រូវ​តែ​ទទួល​បាន​កិច្ច​ព្រម​ព្រៀង​ថា​នរណា​ម្នាក់​កោរ​ឱ្យ​គាត់​។

អាគុយម៉ង់អំពីជាងកាត់សក់អាចត្រូវបានគេហៅថា pseudo-paradox ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់វា វាគឺស្រដៀងគ្នាយ៉ាងតឹងរឹងទៅនឹងភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Russell ហើយនេះគឺជាអ្វីដែលធ្វើឱ្យមានការចាប់អារម្មណ៍។ ប៉ុន្តែ​វា​នៅ​តែ​មិន​មែន​ជា​ការ​ខុស​គ្នា​ពិត​។

ឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃ pseudo-paradox ដូចគ្នាគឺអាគុយម៉ង់កាតាឡុកល្បី។

បណ្ណាល័យជាក់លាក់មួយបានសម្រេចចិត្តចងក្រងកាតាឡុកគន្ថនិទ្ទេសដែលនឹងរួមបញ្ចូលទាំងអស់ និងមានតែកាតាឡុកគន្ថនិទ្ទេសទាំងនោះដែលមិនមានឯកសារយោងចំពោះខ្លួនពួកគេ។ តើ​ថត​ឯកសារ​បែប​នេះ​គួរ​បញ្ចូល​តំណ​ទៅ​ខ្លួន​វា​ដែរ​ឬ​ទេ? វាជាការងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាគំនិតនៃការបង្កើតកាតាឡុកបែបនេះគឺមិនអាចធ្វើទៅបាន; វាមិនអាចមានទេព្រោះវាត្រូវតែរួមបញ្ចូលឯកសារយោងទៅខ្លួនវាក្នុងពេលដំណាលគ្នា និងមិនរួមបញ្ចូល។ វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថា កាតាឡុកថតទាំងអស់ដែលមិនមានឯកសារយោងទៅខ្លួនគេអាចត្រូវបានគេគិតថាជាដំណើរការគ្មានទីបញ្ចប់ គ្មានទីបញ្ចប់។

ចូរនិយាយថា នៅចំណុចខ្លះ ថតមួយត្រូវបានចងក្រង និយាយថា K1 ដែលរួមបញ្ចូលថតផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលមិនមានឯកសារយោងចំពោះខ្លួនគេ។ ជាមួយនឹងការបង្កើត K1 ថតមួយទៀតបានលេចចេញមកដែលមិនមានឯកសារយោងទៅខ្លួនវាទេ។ ដោយសារគោលដៅគឺដើម្បីបង្កើតកាតាឡុកពេញលេញនៃថតទាំងអស់ដែលមិននិយាយពីខ្លួនវា ច្បាស់ណាស់ថា K1 មិនមែនជាដំណោះស្រាយទេ។ គាត់​មិន​បាន​និយាយ​ពី​បញ្ជី​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ថត​ទាំង​នោះ​ទេ គឺ​ខ្លួន​គាត់។ រួមទាំងការលើកឡើងអំពីខ្លួនគាត់នៅក្នុង K1 យើងទទួលបានកាតាឡុក K2 ។ វានិយាយអំពី K1 ប៉ុន្តែមិនមែន K2 ខ្លួនឯងទេ។ ការបន្ថែមការលើកឡើងបែបនេះទៅ K2 យើងទទួលបាន K3 ដែលវាមិនទាន់ពេញលេញទេ ដោយសារតែវាមិនបានលើកឡើងពីខ្លួនវាផ្ទាល់។ ហើយដូច្នេះនៅលើដោយគ្មានទីបញ្ចប់។

ជំពូកសង្ខេប និងវិសោធនកម្មពីការងារ
"ភាពផ្ទុយគ្នាឡូជីខល។ ដំណោះស្រាយ»

B. Russell's paradox "អំពីជាងកាត់សក់ (ជាងកាត់សក់)"

ជាងកាត់សក់ឬម្តងទៀតអំពីជាងកាត់សក់

នៅដើមសតវត្សទី 20 លោក Bertrand Russell បានរកឃើញភាពផ្ទុយគ្នាដ៏ឡូជីខល។ គាត់បានរាយការណ៍អំពីវានៅក្នុងសំបុត្ររបស់គាត់ទៅកាន់គណិតវិទូ ទស្សនវិទូ និងតក្កវិជ្ជាដ៏ល្បីល្បាញ Gottlob Frege ដែលជាស្ថាបនិកនៃសទ្ទានុក្រមតក្កវិជ្ជាទំនើប - នៅពេលដែលគាត់ "នៅឆ្នាំ 1902 បានដាក់ស្នើនូវភាគទីពីរនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនព្វន្ធសម្រាប់ការបោះពុម្ព" ។ សំបុត្រ "បានរាយការណ៍ពីភាពផ្ទុយគ្នាជាផ្លូវការនៅក្នុងយុត្តិកម្មដែលបានស្នើឡើងរបស់ Frege សម្រាប់នព្វន្ធ (ការប្រៀបធៀបរបស់ Russell) ដែល Frege បានព្យាយាមដោយឥតប្រយោជន៍ដើម្បីដោះស្រាយរហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃជីវិតរបស់គាត់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាគឺជា រ័សុល ដែលបាននាំមកនូវកិត្តិនាមដ៏ធំទូលាយរបស់ Frege ពីព្រោះនៅក្នុងបទបង្ហាញរបស់ Russell (ការបន្ថែមពិសេសចំពោះមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា ឆ្នាំ 1903) គំនិតរបស់ Frege បានក្លាយជាអ្នកអានដ៏ធំទូលាយមួយ។ ចុងបញ្ចប់នៃសម្រង់ http://www.krugosvet.ru/articles/92/1009213/1009213a1.htm) ។
មិនត្រឹមតែ Frege ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់ផ្សេងទៀតអស់រយៈពេលជាងមួយរយឆ្នាំរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះមិនអាចដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នាឡូជីខលនេះបានឡើយ។ គ្មានអ្នកណាក្រៅពីខ្ញុំ។

“ភាពផ្ទុយស្រឡះរបស់ រ័សុល នៅក្នុងទម្រង់ដើមរបស់វាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងគោលគំនិតនៃសំណុំមួយ ឬថ្នាក់” (Ivin A. A. The art of thinking. - M.: Education. - 1998)។ នៅក្នុងទម្រង់នេះ ដំណោះស្រាយគឺនៅក្នុងអត្ថបទមួយផ្សេងទៀត៖ ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ រ័សុល - កំណែដើម - អំពីសំណុំ ប៉ុន្តែពិភពលោកទាំងមូលស្គាល់វានៅក្នុងទម្រង់ផ្សេងគ្នា។ រ័សុល «បានផ្ដល់ជូននូវកំណែដ៏ពេញនិយមខាងក្រោមនៃពាក្យប្រៀបធៀបដែលគាត់បានរកឃើញនៅក្នុងទ្រឹស្តីសំណុំគណិតវិទ្យា។
ចូរយើងស្រមៃថាក្រុមប្រឹក្សានៃភូមិមួយបានកំណត់ភារកិច្ចរបស់ជាងកាត់សក់នៃភូមិនោះដូចខាងក្រោម: កោរបុរសទាំងអស់នៃភូមិដែលមិនកោរសក់ខ្លួនឯងហើយមានតែបុរសទាំងនេះប៉ុណ្ណោះ។ តើគាត់គួរកោរសក់ខ្លួនឯងទេ? (Ivin A. A. សិល្បៈនៃការគិតឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ - M.: Education ។ - 1990, ទំព័រ 205 - 206, http://www.koob.ru/books/iskusstvo_pravilno_mislit.rar) ។

មាន​ការ​បង្ខូច​ទ្រង់ទ្រាយ​ជា​ច្រើន​នៃ​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា ព្រម​ទាំង​ការ​ព្យាយាម​ដោះស្រាយ​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​នេះ ប៉ុន្តែ​ជា​មូលដ្ឋាន​ដំណោះស្រាយ​ទាំង​អស់​បាន​ធ្លាក់​ចុះ​ដូច​ខាង​ក្រោម។
"ប្រសិនបើបាទ (ឧទាហរណ៍ជាងកាត់សក់ត្រូវកោរសក់ខ្លួនឯង - ការបញ្ចូលរបស់ខ្ញុំ) នោះគាត់នឹងសំដៅទៅលើអ្នកដែលកោរសក់ខ្លួនឯង ហើយអ្នកដែលកោរសក់ខ្លួនឯង គាត់មិនគួរកោរឡើយ។ បើ​មិន​ដូច្នោះ​ទេ គាត់​នឹង​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​អ្នក​ដែល​មិន​កោរ​សក់ ហើយ​ដូច្នេះ គាត់​នឹង​ត្រូវ​កោរ​សក់​ខ្លួនឯង។ ដូច្នេះហើយ ទើបយើងសន្និដ្ឋានថា ជាងកាត់សក់ម្នាក់នេះកោរសក់ខ្លួនឯង ប្រសិនបើគាត់មិនកោរសក់ខ្លួនឯង។ ដែលជាការពិតគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

អំណះអំណាងអំពីជាងកាត់សក់គឺផ្អែកលើការសន្មត់ថាមានជាងកាត់សក់បែបនេះ។ លទ្ធផលផ្ទុយគ្នាមានន័យថា ការសន្មត់នេះគឺមិនពិត ហើយគ្មានអ្នកភូមិណាម្នាក់ដែលកោរសក់ទាំងអស់នោះទេ ហើយមានតែអ្នកស្រុកប៉ុណ្ណោះដែលមិនកោរសក់ខ្លួនឯង។ ភារកិច្ចរបស់ជាងកាត់សក់ហាក់ដូចជាមិនមានភាពផ្ទុយគ្នានៅ glance ដំបូងដូច្នេះការសន្និដ្ឋានថាមិនអាចមានសំឡេងមួយដែលមិននឹកស្មានដល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសន្និដ្ឋាននេះមិនមានលក្ខណៈផ្ទុយគ្នាទេ។ តាមពិតលក្ខខណ្ឌដែលជាងកាត់សក់ភូមិត្រូវបំពេញគឺផ្ទុយពីខ្លួនឯង ដូច្នេះហើយមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ ភូមិ​មួយ​នេះ​មិន​អាច​មាន​ជាង​អ៊ុត​សក់​បែប​នេះ​ទេ ដោយ​ហេតុផល​ដូច​គ្នា​ថា​គ្មាន​អ្នក​ណា​ចាស់​ជាង​ខ្លួន ឬ​អ្នក​ណា​ដែល​កើត​មុន​កើត​នោះ​ទេ។ ទឡ្ហីករណ៍អំពីជាងកាត់សក់អាចត្រូវបានគេហៅថា pseudo-paradox ។ ចុងបញ្ចប់នៃសម្រង់ (ibid ។ ) ។

ការសម្រេចចិត្ត

នៅឆ្នាំ 1992 នៅថ្ងៃទី 19 ខែធ្នូហ្គេមទូរទស្សន៍ "អ្វី? កន្លែងណា? ពេលណា​?"។ ជាមួយនឹងពិន្ទុ 2:6 ដូចដែលវាកើតឡើងជាញឹកញាប់ ស្ថានភាពជម្លោះមួយបានកើតឡើង។ ហើយបន្ទាប់មកវ្ល៉ាឌីមៀ Yakovlevich Voroshilov បានសួរសំណួរដែលសន្មតថានាំមកនូវជ័យជំនះឬបរាជ័យដល់អ្នកជំនាញ។ វា​ជា​សំណួរ​របស់​ជាង​កាត់សក់ ដែល​ជា​រឿង​ចម្លែក​របស់​រ័សុល។ ជា​ការ​ពិត​ណាស់ អ្នក​ជំនាញ​ចាញ់​ថ្វី​បើ​ពួក​គេ​អាច​ឈ្នះ​ក៏​ដោយ។ ដោយសារតែគាត់បានសួរសំណួរដែលបំភ្លៃបន្តិច៖ “សំណួរគឺ៖ តើជាងកាត់សក់កោរសក់ខ្លួនឯងទេ បើជាងកាត់សក់កោរពុកមាត់គ្រប់គ្នាដែលមិនកោរសក់?
ចម្លើយរបស់អ្នកជំនាញ៖ ទេ គាត់មិនកោរសក់ទេ។ (Chronicle / "អ្វី? កន្លែងណា? ពេលណា? មជ្ឈមណ្ឌលផលិតកម្ម IGRA-TV", http://chgk.tvigra.ru/letopis/?19921219#cur) ។ ពួកគេត្រូវឆ្លើយថា៖ «តាមព័ត៌មានដែលជាងកាត់សក់ម្នាក់កោរពុកមាត់ អ្នកណាដែលមិនកោរសក់ មិនអាចសន្និដ្ឋានបានថាគាត់កោរសក់ខ្លួនឯង ឬអ្នកផ្សេងកោរសក់ ឬមិនកោរសក់ទាល់តែសោះ។ ដោយសារតែមិនមានហេតុផលគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការសន្និដ្ឋានបែបនេះ។
ប៉ុន្តែភាពចម្លែកនេះបានលងខ្ញុំ។ វាហាក់ដូចជាថាចម្លើយកំពុងវិលនៅក្នុងក្បាលរបស់ខ្ញុំ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវ "ចាប់វាដោយកន្ទុយ" ។ ហើយ​មួយ​រយៈ​ក្រោយ​មក ខ្ញុំ​បាន​ជោគជ័យ។

ការ​សម្រេច​ចិត្ត​ជា​ញឹក​ញាប់​គឺ​ជា​រឿង​ឆ្កួត​លីលា។ ការពិភាក្សាទាំងមូលដោយលម្អិត និងដោយពិចារណាលើជម្រើសដែលបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយត្រូវចំណាយពេលច្រើនទំព័រ។ ខ្ញុំនឹងផ្តល់តែកំណែអក្សរកាត់នៃអាគុយម៉ង់ប៉ុណ្ណោះ។

ចម្លើយចំពោះសំណួរនៃភាពផ្ទុយគ្នារបស់ រ័សុល គឺអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើយើងសន្មតថាជាងកាត់សក់ទៅជាបុរសណាមួយ៖ "ពួកគេកោរសក់ខ្លួនឯង" ឬ "ពួកគេមិនកោរសក់ខ្លួនឯង" ។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការវិភាគសមហេតុសមផលនៃហេតុផលដែលអាចមានសម្រាប់ការចាត់តាំងមនុស្សទៅថ្នាក់ទាំងនេះ ការសន្និដ្ឋានតែមួយគត់ដែលកើតឡើងនោះគឺថា វាមិនអាចទៅរួចនោះទេ ព្រោះហេតុផលសមហេតុផលបែបនេះមិនមានទេ។ ដោយផ្អែកលើការសន្និដ្ឋាននេះ មនុស្សជាច្រើន រួមទាំង A. A. Ivin បានសន្និដ្ឋានថា ភាពផ្ទុយគ្នាមិនអាចដោះស្រាយបាន ដោយហៅវាថា ក្លែងក្លាយ។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកភាពផ្ទុយគ្នាផ្សេងទៀតទាំងអស់គួរតែត្រូវបាន "ដោះស្រាយ" តាមរបៀបនេះម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា។ យ៉ាងណាមិញគ្មាននរណាម្នាក់គិតថាតាមពិតអាចមានស្ថានភាពនៃការសន្ទនារវាងម្តាយនិងក្រពើអ្នកផ្សព្វផ្សាយសាសនានិងមនុស្សស៊ីសាច់សត្វនិងអ្នកដទៃទៀតទេ។ ដូច្នេះ ការបដិសេធនៃការសន្មត់ឡូជីខលមិនមែនជាដំណោះស្រាយទេ។ ហើយដំណោះស្រាយគឺ៖

ប្រសិនបើវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសន្មតថាជាងកាត់សក់ទៅនឹងថ្នាក់ណាមួយ "កោរសក់ខ្លួនឯង" និង "កុំកោរសក់" នោះគាត់ត្រូវតែបញ្ចូលក្នុងថ្នាក់ទីបី - "កុំកោរសក់" ។ ហើយបន្ទាប់មកជាងកាត់សក់មិនបំពានលើលក្ខខណ្ឌឡូជីខលណាមួយទេព្រោះវាមិនអនុវត្តចំពោះបុរសប្រភេទនេះទេ។

បុរសទាំងអស់នៃភូមិ

ក-កោរសក់ ១-ខ្លួនឯង ២-មិនមែនខ្លួន B. កុំកោរសក់

ហើយឥឡូវនេះ ជាងកាត់សក់ត្រូវស្លាប់ដោយពុកចង្ការ។

សម្រាប់ការយល់ដឹងត្រឹមត្រូវអំពីកិច្ចការនេះ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ក្នុងការរៀបចំផ្នែកផ្លូវចិត្តឡើងវិញនូវភាគល្អិត "មិន" មុនពេលកិរិយាស័ព្ទ "កោរសក់" ទៅកន្លែងបន្ទាប់ពីវា។ ហើយបន្ទាប់មកអត្ថន័យនៃស្ថានភាពផ្ទុយគ្នានៃបញ្ហានឹងលេចឡើងដូចជានៅលើក្រដាសរូបថតអំឡុងពេលបោះពុម្ព។ យ៉ាងណាមិញឃ្លាថា "កុំកោរសក់ខ្លួនឯង" ភ្លាមៗបានក្លាយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញមួយដែលមិនមានការភ័ន្តច្រឡំនិងអាចយល់បានចំពោះនរណាម្នាក់។ មានន័យថា - "កុំកោរសក់ខ្លួនឯង" មានន័យថា "កុំកោរសក់ខ្លួនឯង" ពោលគឺពួកគេនៅតែកោរទោះបីជាមិនមែនដោយដៃរបស់ពួកគេផ្ទាល់ក៏ដោយ។ ដូច្នេះហើយ កំហុសជាក់ស្តែង និងធ្ងន់ធ្ងរនៅក្នុងហេតុផលឡូជីខលរបស់អ្នកទាំងអស់ដែលបានព្យាយាមដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នានេះលេចឡើងភ្លាមៗ។ ខ្ញុំបានហៅកំហុសប្រភេទនេះថា "ការសន្និដ្ឋានមិនពិត" នៅពេលដែលការសន្និដ្ឋានដែលមិនត្រឹមត្រូវ និងផ្ទុយគ្នាទាំងស្រុងត្រូវបានធ្វើឡើងពីការសន្និដ្ឋានចាំបាច់ ("ភាពផ្ទុយគ្នាតក្កវិជ្ជា។ ដំណោះស្រាយ" ជំពូក "កំហុសនៃហេតុផល - ការសន្និដ្ឋានមិនពិត")។ នៅក្នុងបញ្ហានេះ "ការសន្និដ្ឋានមិនពិត" គឺថាឃ្លាក្នុងហេតុផលសមហេតុផលមិនគួរស្តាប់ទៅដូចជា: "ប្រសិនបើជាងកាត់សក់មិនគួរកោរសក់ទេនោះគាត់នឹងសំដៅទៅលើអ្នកដែលមិនកោរសក់ខ្លួនឯង" ដែលមិនត្រឹមត្រូវប៉ុន្តែនៅក្នុង ទម្រង់៖ "ប្រសិនបើជាងកាត់សក់មិនត្រូវកោរសក់ទេ គាត់នឹងសំដៅទៅលើអ្នកដែលមិនកោរសក់ ឬមិនកោរសក់"។

បន្ទាប់ពីការដោះស្រាយ "Russell paradox" ខ្ញុំក៏បានដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នាដែលល្បីល្បាញផ្សេងទៀតដោយអនុវត្តការប្រកាសទូទៅចំនួនពីរចំពោះពួកគេ: 1. នៅពេលខិតជិតដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាណាមួយ ការយល់ដឹងយ៉ាងច្បាស់អំពីបញ្ហាដោយខ្លួនឯងនៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិតទាំងអស់គឺចាំបាច់។ 2. ចំណេះដឹងគឺជាគំនិតដែលទាក់ទងគ្នា ("ភាពផ្ទុយគ្នាតក្កវិជ្ជា។ វិធីនៃដំណោះស្រាយ" ជំពូក "នៅលើគោលការណ៍នៃការដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នា"

ភាពផ្ទុយគ្នាដ៏ល្បីបំផុតដែលបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងសតវត្សចុងក្រោយគឺអនាមិកដែលបានរកឃើញដោយ Bertrand Russell ហើយបានទាក់ទងដោយគាត់នៅក្នុងសំបុត្រមួយទៅកាន់ G. Ferge ។ រ័សុល​បាន​រក​ឃើញ​ភាព​ចម្លែក​របស់​គាត់​ទាក់ទង​នឹង​វិស័យ​តក្កវិជ្ជា និង​គណិតវិទ្យា​ក្នុង​ឆ្នាំ ១៩០២។ អង្គបដិបក្ខដូចគ្នានេះត្រូវបានពិភាក្សាក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅហ្គោតធីងហ្គិនដោយគណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ Z. Zermelo (1871-1953) និង D. Hilbert ។ គំនិតនេះគឺនៅលើអាកាស ហើយការបោះពុម្ពផ្សាយរបស់វាបានផ្តល់ចំណាប់អារម្មណ៍ដល់គ្រាប់បែកដែលកំពុងផ្ទុះ Miroshnichenko P.N. តើអ្វីបានបំផ្លាញភាពចម្លែករបស់រ័សុលនៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់ហ្វ្រេជ? // តក្កវិជ្ជាទំនើប៖ បញ្ហាទ្រឹស្តី ប្រវត្តិ និងការអនុវត្តក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។ - SPb ។ , 2000. - S. 512-514 ។ . ភាពផ្ទុយគ្នានេះបង្កឡើងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា យោងតាមលោក Hilbert ឥទ្ធិពលនៃមហន្តរាយពេញលេញ។ វិធីសាស្រ្តឡូជីខលដ៏សាមញ្ញបំផុត និងសំខាន់បំផុត ដែលជាគំនិតទូទៅ និងមានប្រយោជន៍បំផុតគឺស្ថិតនៅក្រោមការគំរាមកំហែង។ វាបានប្រែក្លាយថានៅក្នុងទ្រឹស្ដីកំណត់របស់ Cantor ដែលត្រូវបានទទួលយកដោយអ្នកគណិតវិទូភាគច្រើន មានភាពផ្ទុយគ្នាចម្លែកដែលមិនអាចទៅរួច ឬយ៉ាងហោចណាស់ពិបាកបំផុតក្នុងការកម្ចាត់។ ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ រ័សុល បាននាំភាពផ្ទុយគ្នាទាំងនេះមកបំភ្លឺដោយភាពច្បាស់លាស់ជាក់លាក់។ គណិតវិទូឆ្នើមបំផុតនៃឆ្នាំទាំងនោះបានធ្វើការលើដំណោះស្រាយរបស់វា ក៏ដូចជាលើដំណោះស្រាយនៃភាពខុសគ្នាដែលបានរកឃើញផ្សេងទៀតនៃទ្រឹស្តីកំណត់របស់ Cantor ។ ភ្លាមៗនោះ វាច្បាស់ណាស់ថា ទាំងក្នុងតក្កវិជ្ជា ឬក្នុងគណិតវិទ្យា ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រដ៏វែងអន្លាយនៃអត្ថិភាពរបស់វា គឺជាអ្វីដែលសម្រេចបានដោយការសម្រេចចិត្តដែលអាចបម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការលុបបំបាត់អង្គបដិបក្ខ។ ច្បាស់ណាស់ថា ការចាកចេញពីវិធីគិតបែបទម្លាប់គឺជាការចាំបាច់។ ប៉ុន្តែ​តើ​មក​ពី​ណា និង​ទៅ​ទិស​ណា? Courant R., Robbins G. តើគណិតវិទ្យាជាអ្វី? - ឆ។ II, § 4.5 ។

តើ​ការ​បដិសេធ​នៃ​វិធី​បង្កើត​ទ្រឹស្ដី​ត្រូវ​បាន​គេ​សន្មត់​ថា​ជា​រ៉ាឌីកាល់​កម្រិត​ណា? ជាមួយនឹងការសិក្សាបន្ថែមទៀតអំពីអនាមិក ការជឿជាក់លើតម្រូវការសម្រាប់វិធីសាស្រ្តថ្មីជាមូលដ្ឋានបានកើនឡើងជាលំដាប់។ ពាក់កណ្តាលសតវត្សបន្ទាប់ពីការរកឃើញរបស់វា អ្នកឯកទេសខាងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃតក្កវិជ្ជា និងគណិតវិទ្យា L. Frenkel និង I. Bar-Hillel បាននិយាយរួចហើយដោយគ្មានការកក់ទុកថា: រហូតមកដល់ពេលនេះ បរាជ័យជាបន្តបន្ទាប់ ជាក់ស្តែងមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់គោលបំណងនេះទេ។ អ្នកតក្កវិជ្ជាជនជាតិអាមេរិកសម័យទំនើប H. Curry បានសរសេរបន្តិចក្រោយមកអំពីភាពផ្ទុយគ្នានេះថា “បើនិយាយពីតក្កវិជ្ជាដែលគេស្គាល់នៅសតវត្សរ៍ទី 19 ស្ថានការណ៍បានផ្គាប់ចិត្តការពន្យល់ ទោះបីជាជាការពិតក៏ដោយ ក្នុងយុគសម័យនៃការអប់រំរបស់យើង អាចមានមនុស្សដែលឃើញ (ឬ គិតថាពួកគេឃើញ) តើអ្វីជាកំហុស” Miroshnichenko P.N. តើអ្វីបានបំផ្លាញភាពចម្លែករបស់រ័សុលនៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់ហ្វ្រេជ? // តក្កវិជ្ជាទំនើប៖ បញ្ហាទ្រឹស្តី ប្រវត្តិ និងការអនុវត្តក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។ - SPb., 2000. - S. 512-514..

ភាពផ្ទុយស្រឡះរបស់ រ័សុល នៅក្នុងទម្រង់ដើមរបស់វាត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតនៃសំណុំ ឬថ្នាក់មួយ។ យើងអាចនិយាយអំពីសំណុំនៃវត្ថុផ្សេងៗគ្នា ឧទាហរណ៍អំពីសំណុំនៃមនុស្សទាំងអស់ ឬអំពីសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ។ ធាតុនៃសំណុំទីមួយនឹងជាបុគ្គលណាមួយដែលជាធាតុនៃទីពីរ - រាល់លេខធម្មជាតិ។ វាក៏អាចធ្វើទៅបានដើម្បីពិចារណាសំណុំខ្លួនឯងជាវត្ថុមួយចំនួនហើយនិយាយអំពីសំណុំនៃសំណុំ។ សូម្បីតែមួយអាចណែនាំគំនិតដូចជាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ឬសំណុំនៃគំនិតទាំងអស់។ ទាក់ទងទៅនឹងសំណុំណាមួយដែលយកតាមអំពើចិត្ត វាហាក់ដូចជាសមហេតុផលក្នុងការសួរថាតើវាជាធាតុរបស់វាឬអត់។ សំណុំដែលមិនមានខ្លួនវាជាធាតុនឹងត្រូវបានគេហៅថាធម្មតា។ ឧទាហរណ៍ៈ សំណុំនៃមនុស្សទាំងអស់មិនមែនជាមនុស្សទេ ដូចសំណុំនៃអាតូមមិនមែនជាអាតូម។ ឈុតដែលមានធាតុត្រឹមត្រូវនឹងមិនធម្មតាទេ។ ឧទាហរណ៍ សំណុំ​ដែល​បង្រួប​បង្រួម​សំណុំ​ទាំងអស់​គឺ​ជា​សំណុំ ដូច្នេះ​ហើយ​មាន​ខ្លួន​វា​ជា​ធាតុ។

ដោយសារ​វា​ជា​ឈុត អ្នក​ក៏​អាច​សួរ​អំពី​វា​ដែរ​ថា​វា​ធម្មតា ឬ​មិន​ធម្មតា​។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ ចម្លើយ​គឺ​បាក់​ទឹក​ចិត្ត។ ប្រសិនបើវាជារឿងធម្មតា នោះតាមនិយមន័យ វាត្រូវតែមានខ្លួនវាជាធាតុមួយ ព្រោះវាមានសំណុំធម្មតាទាំងអស់។ ប៉ុន្តែនេះមានន័យថាវាជាឈុតមិនធម្មតា។ ការសន្មត់ថាឈុតរបស់យើងជាឈុតធម្មតា ដូច្នេះនាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះវាមិនអាចជារឿងធម្មតាទេ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត វាមិនអាចមិនធម្មតាទេ៖ ឈុតមិនធម្មតាមានខ្លួនវាជាធាតុមួយ ហើយធាតុនៃឈុតរបស់យើងគឺគ្រាន់តែជាឈុតធម្មតាប៉ុណ្ណោះ។ ជាលទ្ធផល យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថា សំណុំនៃឈុតធម្មតាទាំងអស់មិនអាចមានលក្ខណៈធម្មតា ឬមិនធម្មតានោះទេ។

ដូចនេះ សំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ដែលមិនមែនជាធាតុត្រឹមត្រូវគឺជាធាតុត្រឹមត្រូវប្រសិនបើហើយតែប៉ុណ្ណោះប្រសិនបើវាមិនមែនជាធាតុបែបនេះ។ នេះគឺជាភាពផ្ទុយគ្នាច្បាស់លាស់។ ហើយ​វា​ត្រូវ​បាន​ទទួល​ដោយ​ផ្អែក​លើ​មូលដ្ឋាន​នៃ​ការ​សន្មត់​ដែល​អាច​ជឿ​ទុក​ចិត្ត​បំផុត និង​ដោយ​មាន​ជំនួយ​ពី​ជំហាន​ដែល​ហាក់​បី​ដូច​ជា​មិន​អាច​ប្រកែក​បាន។ ភាពផ្ទុយគ្នានិយាយថាឈុតបែបនេះមិនមានទេ។ ប៉ុន្តែហេតុអ្វីបានជាវាមិនអាចមាន? យ៉ាងណាមិញ វាមានវត្ថុដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អ ហើយលក្ខខណ្ឌខ្លួនវាហាក់ដូចជាមិនពិសេស ឬមិនច្បាស់លាស់។ ប្រសិនបើសំណុំដែលកំណត់យ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់មិនអាចមាន នោះជាការពិត តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាងសំណុំដែលអាចធ្វើបាន និងមិនអាចទៅរួច? ការ​សន្និដ្ឋាន​ថា​សំណុំ​ដែល​កំពុង​ពិចារណា​មិន​មាន​នោះ​ស្តាប់​ទៅ​មិន​នឹក​ស្មាន​ដល់​និង​គួរ​ឲ្យ​បារម្ភ។ វាធ្វើឱ្យការយល់ឃើញជាទូទៅរបស់យើងអំពីសំណុំអាម៉ូនិក និងវឹកវរ ហើយមិនមានការធានាថាវាមិនអាចបង្កឱ្យមានភាពចម្លែកថ្មីមួយចំនួននោះទេ។

ភាពខុសឆ្គងរបស់ រ័សុល គឺគួរអោយកត់សម្គាល់ចំពោះភាពទូទៅខ្លាំងរបស់វា Courant R., Robbins G. តើគណិតវិទ្យាជាអ្វី? - ឆ។ II, § 4.5 ។ . សម្រាប់ការសាងសង់របស់វា មិនចាំបាច់មានគំនិតបច្ចេកទេសស្មុគ្រស្មាញទេ ដូចជានៅក្នុងករណីនៃពាក្យប្រៀបធៀបមួយចំនួនផ្សេងទៀត គំនិតនៃ "សំណុំ" និង "ធាតុនៃសំណុំ" គឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។ ប៉ុន្តែភាពសាមញ្ញនេះគ្រាន់តែនិយាយអំពីលក្ខណៈជាមូលដ្ឋានរបស់វាប៉ុណ្ណោះ៖ វាប៉ះពាល់ដល់មូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏ជ្រៅបំផុតនៃការវែកញែករបស់យើងអំពីសំណុំ ចាប់តាំងពីវាមិននិយាយអំពីករណីពិសេសមួយចំនួន ប៉ុន្តែអំពីសំណុំជាទូទៅ។

បំរែបំរួលផ្សេងទៀតនៃ paradox របស់ Russell គឺមិនមែនជាគណិតវិទ្យាជាក់លាក់ទេ។ វាប្រើគោលគំនិតនៃសំណុំ ប៉ុន្តែមិនប៉ះលើលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសណាមួយដែលទាក់ទងជាពិសេសជាមួយគណិតវិទ្យា។

នេះក្លាយជាជាក់ស្តែងនៅពេលដែលភាពផ្ទុយគ្នាត្រូវបានកែទម្រង់ក្នុងន័យសមហេតុសមផលសុទ្ធសាធ។ នៃរាល់ទ្រព្យសម្បត្តិ មនុស្សម្នាក់អាចសួរថាតើវាអាចអនុវត្តបានចំពោះខ្លួនវាឬអត់។ ទ្រព្យ​នៃ​ការ​ក្តៅ ជា​ឧទាហរណ៍ មិន​អនុវត្ត​ចំពោះ​ខ្លួន​ឡើយ ព្រោះ​ខ្លួន​មិន​ក្តៅ; ទ្រព្យ​នៃ​ការ​ជាក់​ស្ដែង​ក៏​មិន​សំដៅ​លើ​ខ្លួន​ឯង​ដែរ ព្រោះ​វា​ជា​ទ្រព្យ​អរូបី។ ប៉ុន្តែ​ទ្រព្យ​នៃ​ភាព​អរូបី ភាព​អរូបី​គឺ​អាច​អនុវត្ត​បាន​ចំពោះ​ខ្លួន។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងហៅទ្រព្យសម្បត្តិទាំងនេះថាមិនអាចអនុវត្តបានចំពោះខ្លួនពួកគេថាមិនអាចអនុវត្តបាន។ តើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​មិន​អាច​អនុវត្ត​បាន​ចំពោះ​ខ្លួន​ឯង​ឬ​ទេ? វាប្រែថាភាពមិនអាចអនុវត្តបានគឺមិនអាចអនុវត្តបានលុះត្រាតែវាមិនមាន។ នេះ​ជា​ការ​ពិត​មែន​ទែន។ ភាពខុសឆ្គងដែលទាក់ទងនឹងទ្រព្យសម្បត្តិនៃអង្គបដិបក្ខរបស់ Russell គឺមានលក្ខណៈផ្ទុយស្រឡះដូចទៅនឹងប្រភេទគណិតវិទ្យា ដែលទាក់ទងនឹងសំណុំ។

រ័សុលក៏បានស្នើកំណែដ៏ពេញនិយមខាងក្រោមនៃពាក្យប្រៀបធៀបដែលបានរកឃើញដោយគាត់ Katechko S.L. Paradox របស់ Russell's Barber និង Dialectic របស់ Plato-Aristotle // តក្កវិជ្ជាទំនើប៖ បញ្ហានៃទ្រឹស្តី ប្រវត្តិសាស្រ្ត និងការអនុវត្តក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។ - SPb., 2002. - S. 239-242.. សូមស្រមៃថា ក្រុមប្រឹក្សាភូមិមួយបានកំណត់ភារកិច្ចរបស់ជាងកាត់សក់តាមរបៀបនេះ៖ កោរសក់បុរសក្នុងភូមិទាំងអស់ដែលមិនកោរសក់ខ្លួនឯង ហើយមានតែបុរសទាំងនេះប៉ុណ្ណោះ។ តើគាត់គួរកោរសក់ខ្លួនឯងទេ? បើ​ដូច្នេះ​មែន វា​នឹង​សំដៅ​លើ​អ្នក​កោរ​សក់ ហើយ​អ្នក​កោរ​សក់​គាត់​មិន​គួរ​កោរ​ទេ។ បើ​មិន​ដូច្នោះ​ទេ គាត់​នឹង​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​អ្នក​ដែល​មិន​កោរ​សក់ ដូច្នេះ​ហើយ​គាត់​នឹង​ត្រូវ​កោរ​សក់​ខ្លួន​ឯង។ ដូច្នេះហើយ ទើបយើងសន្និដ្ឋានថា ជាងកាត់សក់ម្នាក់នេះកោរសក់ខ្លួនឯង ប្រសិនបើគាត់មិនកោរសក់ខ្លួនឯង។ នេះពិតណាស់គឺមិនអាចទៅរួចទេ។

អំណះអំណាងអំពីជាងកាត់សក់គឺផ្អែកលើការសន្មត់ថាមានជាងកាត់សក់បែបនេះ។ លទ្ធផលផ្ទុយគ្នា មានន័យថា ការសន្មត់នេះគឺមិនពិត ហើយគ្មានអ្នកភូមិណាហ៊ានកោរសក់ទាំងអស់នោះទេ ហើយមានតែអ្នកភូមិដែលមិនកោរសក់ខ្លួនឯង។ ភារកិច្ចរបស់ជាងកាត់សក់ហាក់បីដូចជាមិនមានភាពផ្ទុយគ្នានៅ glance ដំបូង ដូច្នេះការសន្និដ្ឋានថាមិនអាចមានសំឡេងមួយដែលមិននឹកស្មានដល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសន្និដ្ឋាននេះមិនមានលក្ខណៈផ្ទុយគ្នាទេ។ តាមពិតលក្ខខណ្ឌដែលជាងកាត់សក់ភូមិត្រូវបំពេញគឺផ្ទុយពីខ្លួនឯង ដូច្នេះហើយមិនអាចទៅរួចនោះទេ។ មិនអាចមានជាងកាត់សក់បែបនេះនៅក្នុងភូមិសម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នាដែលថាគ្មាននរណាម្នាក់នៅក្នុងនោះដែលនឹងចាស់ជាងខ្លួនគាត់ឬអ្នកដែលនឹងកើតមុនកំណើតរបស់គាត់ Miroshnichenko P.N. តើអ្វីបានបំផ្លាញភាពចម្លែករបស់រ័សុលនៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់ហ្វ្រេជ? // តក្កវិជ្ជាទំនើប៖ បញ្ហាទ្រឹស្តី ប្រវត្តិ និងការអនុវត្តក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។ - SPb., 2000. - S. 512-514..

អំណះអំណាងអំពីជាងកាត់សក់អាចត្រូវបានគេហៅថា pseudo-paradox ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់វា វាគឺស្រដៀងគ្នាយ៉ាងតឹងរឹងទៅនឹងភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Russell ហើយនេះគឺជាអ្វីដែលធ្វើឱ្យមានការចាប់អារម្មណ៍។ ប៉ុន្តែ​វា​នៅ​តែ​មិន​មែន​ជា​ការ​ខុស​គ្នា​ពិត​។

ឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃ pseudo-paradox ដូចគ្នាគឺអាគុយម៉ង់កាតាឡុកល្បី។ បណ្ណាល័យជាក់លាក់មួយបានសម្រេចចិត្តចងក្រងកាតាឡុកគន្ថនិទ្ទេសដែលនឹងរួមបញ្ចូលទាំងអស់ និងមានតែកាតាឡុកគន្ថនិទ្ទេសទាំងនោះដែលមិនមានឯកសារយោងចំពោះខ្លួនពួកគេ។ តើ​ថត​ឯកសារ​បែប​នេះ​គួរ​បញ្ចូល​តំណ​ទៅ​ខ្លួន​វា​ដែរ​ឬ​ទេ? វាជាការងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាគំនិតនៃការបង្កើតកាតាឡុកបែបនេះគឺមិនអាចធ្វើទៅបាន; វាមិនអាចមានទេព្រោះវាត្រូវតែរួមបញ្ចូលឯកសារយោងទៅខ្លួនវាក្នុងពេលដំណាលគ្នា និងមិនរួមបញ្ចូល។

វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថា កាតាឡុកថតទាំងអស់ដែលមិនមានឯកសារយោងទៅខ្លួនគេអាចត្រូវបានគេគិតថាជាដំណើរការគ្មានទីបញ្ចប់ គ្មានទីបញ្ចប់។ ឧបមាថា នៅចំណុចខ្លះ បញ្ជីឈ្មោះ K1 ត្រូវបានចងក្រង រួមទាំងថតផ្សេងទៀតទាំងអស់ ដែលមិនមានឯកសារយោងចំពោះខ្លួនគេ។ ជាមួយនឹងការបង្កើត K1 ថតមួយទៀតបានលេចចេញមកដែលមិនមានតំណភ្ជាប់ទៅខ្លួនវាទេ។ ដោយសារគោលដៅគឺដើម្បីបង្កើតកាតាឡុកពេញលេញនៃថតទាំងអស់ដែលមិននិយាយពីខ្លួនវា ច្បាស់ណាស់ថា K1 មិនមែនជាដំណោះស្រាយទេ។ គាត់​មិន​បាន​និយាយ​ពី​បញ្ជី​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ថត​ទាំង​នោះ​ទេ គឺ​ខ្លួន​គាត់។ រួមទាំងការលើកឡើងអំពីខ្លួនគាត់នៅក្នុង K1 យើងទទួលបានកាតាឡុក K2 ។ វានិយាយអំពី K1 ប៉ុន្តែមិនមែន K2 ខ្លួនឯងទេ។ ការបន្ថែមការលើកឡើងបែបនេះទៅ K2 យើងទទួលបាន KZ ដែលជាថ្មីម្តងទៀតមិនពេញលេញដោយសារតែការពិតដែលថាវាមិននិយាយអំពីខ្លួនវាផ្ទាល់។ ហើយបន្តដោយគ្មានទីបញ្ចប់។

ភាពផ្ទុយគ្នាឡូជីខលមួយបន្ថែមទៀតអាចត្រូវបានលើកឡើង - ភាពផ្ទុយគ្នានៃអភិបាលក្រុងហូឡង់ដែលស្រដៀងនឹងភាពផ្ទុយគ្នានៃជាងកាត់សក់។ គ្រប់ក្រុងទាំងអស់ក្នុងប្រទេសហូឡង់ត្រូវតែមានអភិបាលក្រុង ហើយក្រុងពីរផ្សេងគ្នាមិនអាចមានអភិបាលក្រុងដូចគ្នាបានទេ។ ជួនកាលវាប្រែថាអភិបាលក្រុងមិនរស់នៅក្នុងក្រុងរបស់គាត់ទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មតថាច្បាប់មួយត្រូវបានអនុម័តដោយទឹកដីមួយចំនួន S ត្រូវបានបែងចែកសម្រាប់តែអភិបាលក្រុងបែបនេះដែលមិនរស់នៅក្នុងក្រុងរបស់ពួកគេហើយណែនាំអភិបាលក្រុងទាំងអស់នេះឱ្យតាំងទីលំនៅនៅក្នុងទឹកដីនេះ។ ឧបមាថាមានអភិបាលក្រុងទាំងនេះច្រើនណាស់ដែលទឹកដី S ខ្លួនវាបង្កើតជាក្រុងដាច់ដោយឡែក។ តើអភិបាលក្រុងពិសេស S គួរតែស្នាក់នៅឯណា? ហេតុផលសាមញ្ញបង្ហាញថា ប្រសិនបើអភិបាលក្រុងពិសេសរស់នៅក្នុងទឹកដី S នោះគាត់មិនគួររស់នៅទីនោះទេ ហើយផ្ទុយទៅវិញ ប្រសិនបើគាត់មិនរស់នៅក្នុងទឹកដីនោះ គាត់ត្រូវតែរស់នៅក្នុងទឹកដីនេះ។ ថាភាពផ្ទុយគ្នានេះគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការប្រៀបធៀបរបស់ជាងកាត់សក់គឺជាក់ស្តែងណាស់។

រ័សុល គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលស្នើដំណោះស្រាយចំពោះភាពផ្ទុយគ្នា "របស់គាត់" ។ ដំណោះស្រាយដែលគាត់បានស្នើឡើងត្រូវបានគេហៅថា "ទ្រឹស្ដីប្រភេទ"៖ សំណុំ (ថ្នាក់) និងធាតុរបស់វាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ប្រភេទឡូជីខលផ្សេងៗគ្នា ប្រភេទនៃសំណុំគឺខ្ពស់ជាងប្រភេទនៃធាតុរបស់វា ដែលលុបបំបាត់ភាពចម្លែករបស់រ័សុល (ទ្រឹស្ដីប្រភេទក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយ រ័សុល​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​រឿង​«​កុហក​»​ដ៏​ល្បីល្បាញ​)​។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គណិតវិទូជាច្រើនមិនបានទទួលយកដំណោះស្រាយរបស់ Russell ដោយជឿថាវាដាក់កម្រិតធ្ងន់ធ្ងរពេកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យារបស់ Katechko S.L. Paradox របស់ Russell's Barber និង Dialectic របស់ Plato-Aristotle // តក្កវិជ្ជាទំនើប៖ បញ្ហានៃទ្រឹស្តី ប្រវត្តិសាស្រ្ត និងការអនុវត្តក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។ - សាំងពេទឺប៊ឺគ ឆ្នាំ ២០០២។ - ស ២៣៩-២៤២ ..

ស្ថានភាពគឺស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងភាពផ្ទុយគ្នាឡូជីខលផ្សេងទៀត។ វ៉ុន រ៉ាយ សរសេរថា "ភាពផ្ទុយគ្នានៃតក្កវិជ្ជា" បានធ្វើឱ្យយើងងឿងឆ្ងល់ចាប់តាំងពីការរកឃើញរបស់ពួកគេ ហើយប្រហែលជាតែងតែធ្វើឱ្យយើងឆ្ងល់។ ខ្ញុំគិតថា យើងគួរតែចាត់ទុកវាមិនមែនជាបញ្ហាដែលរង់ចាំការដោះស្រាយនោះទេ ប៉ុន្តែជាវត្ថុធាតុដើមដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបានសម្រាប់ការគិត។ ពួកគេមានសារៈសំខាន់ណាស់ ពីព្រោះការគិតអំពីពួកគេ គឺប៉ះនឹងសំណួរជាមូលដ្ឋានបំផុតនៃតក្កវិជ្ជាទាំងអស់ ដូច្នេះហើយការគិតទាំងអស់” Wrigt G.Kh. ផ្ទៃខាងក្រោយ។ តក្កវិជ្ជានិងទស្សនវិជ្ជានៅសតវត្សទី XX // Vopr ។ ទស្សនវិជ្ជា។ ឆ្នាំ ១៩៩២ លេខ ៨..

ភាពផ្ទុយគ្នារបស់រ័សុល (បដិវត្តរបស់រ័សុលផងដែរ។ Russell-Zermelo paradox) - ទ្រឹស្តីសំណុំ (antinomy) បានរកឃើញនៅឆ្នាំ 1901 ដោយលោក Bertrand Russell ដែលបង្ហាញពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃប្រព័ន្ធតក្កវិជ្ជារបស់ Frege ដែលជាការប៉ុនប៉ងដំបូងដើម្បីធ្វើជាផ្លូវការនូវទ្រឹស្តីសំណុំឆោតល្ងង់របស់ Georg Cantor ។ ពីមុនបានរកឃើញ ប៉ុន្តែមិនត្រូវបានបោះពុម្ពដោយ Ernst Zermelo ។

នៅក្នុងភាសាក្រៅផ្លូវការ ភាពផ្ទុយគ្នាអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ព្រមហៅសំណុំ "ធម្មតា" ប្រសិនបើវាមិនមែនជាធាតុផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ សំណុំនៃមនុស្សទាំងអស់គឺ "ធម្មតា" ចាប់តាំងពីសំណុំខ្លួនវាមិនមែនជាមនុស្ស។ ឧទាហរណ៍នៃសំណុំ "មិនធម្មតា" គឺជាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ ដោយសារវាជាសំណុំមួយ ដូច្នេះហើយខ្លួនវាគឺជាធាតុត្រឹមត្រូវ។

មនុស្សម្នាក់អាចពិចារណាឈុតដែលមានតែឈុត "ធម្មតា" ទាំងអស់ ឈុតបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ឈុត Russell . ភាពផ្ទុយគ្នាកើតឡើងនៅពេលព្យាយាមកំណត់ថាតើឈុតនេះគឺ "ធម្មតា" ឬអត់ នោះគឺថាតើវាមានខ្លួនវាជាធាតុមួយ។ មានលទ្ធភាពពីរ។

• នៅលើដៃមួយប្រសិនបើវាជា "ធម្មតា" នោះវាត្រូវតែរួមបញ្ចូលខ្លួនវាជាធាតុមួយចាប់តាំងពីតាមនិយមន័យវាមានសំណុំ "ធម្មតា" ទាំងអស់។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវាមិនអាចជា "ធម្មតា" ទេ ចាប់តាំងពីសំណុំ "ធម្មតា" គឺជាឈុតដែលមិនរួមបញ្ចូលខ្លួនឯង។
• វានៅតែត្រូវសន្មតថាឈុតនេះគឺ "មិនធម្មតា" ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនអាចរួមបញ្ចូលខ្លួនវាជាធាតុមួយបានទេ ដោយសារតាមនិយមន័យ វាត្រូវតែមានសំណុំ "ធម្មតា" ប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើវាមិនរួមបញ្ចូលខ្លួនវាជាធាតុទេនោះវាគឺជាសំណុំ "ធម្មតា" ។

ក្នុងករណីណាក៏ដោយការផ្ទុយនឹងលទ្ធផល។

សព្វវចនាធិប្បាយ YouTube

1 / 5

✪ ធម្មទេសនា 1. និយមន័យនៃសំណុំមួយ។ ច្បាប់របស់ De Morgan ។ ភាពផ្ទុយគ្នារបស់រ័សុល។ ទ្រឹស្តីបទ Weierstrass

✪ 3 Russell's Paradox

✪ Bertrand Russell ដំបូន្មានដល់មនុស្សជំនាន់ក្រោយ

✪ មេរៀនទី ២១៖ ទ្រឹស្តីសំណុំឆោតល្ងង់ និងតក្កវិជ្ជាមិនច្បាស់

✪ Monty Hall Paradox - Numberphile

ចំណងជើងរង

រូបមន្តនៃ paradox

ភាពផ្ទុយស្រឡះរបស់ រ័សុល អាចត្រូវបានបង្កើតជាទ្រឹស្ដីឈុតឆោតល្ងង់។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីសំណុំឆោតល្ងង់គឺមិនជាប់លាប់។ បំណែកផ្ទុយគ្នានៃទ្រឹស្តីសំណុំឆោតល្ងង់ ដែលអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាទ្រឹស្តីលំដាប់ទីមួយជាមួយនឹងទំនាក់ទំនងសមាជិកភាពប្រព័ន្ធគោលពីរ ∈ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម\ក្នុង)និង គ្រោងការណ៍ជ្រើសរើស៖ សម្រាប់រាល់រូបមន្តឡូជីខលដែលមានអថេរឥតគិតថ្លៃមួយនៅក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំឆោតល្ងង់មាន axiom មួយ។

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff P(x))).

គ្រោងការណ៍ axiom នេះនិយាយថាសម្រាប់លក្ខខណ្ឌណាមួយ។ P (x) (\ រចនាប័ទ្ម P(x))មាន​ច្រើន y , (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y,)រួមមាន x , (\ រចនាប័ទ្ម x,)ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ P (x) (\ រចនាប័ទ្ម P(x)) .

នេះគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្កើតការប្រៀបធៀបរបស់ Russell ដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន P (x) (\ រចនាប័ទ្ម P(x))មានរូបមន្តមួយ។ x ∉ x . (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម x\notin x ។ )(I.e P (x) (\ រចនាប័ទ្ម P(x))មានន័យថាច្រើន។ x (\ រចនាប័ទ្ម x)មិនមានខ្លួនវាជាធាតុមួយ ឬនៅក្នុងវាក្យស័ព្ទរបស់យើង គឺជាសំណុំ "ធម្មតា"។) បន្ទាប់មក តាម axiom នៃជម្រើស មានសំណុំ y (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ y)(Russell កំណត់) បែបនោះ។

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

ចាប់តាំងពីនេះជាការពិតសម្រាប់ណាមួយ។ x , (\ រចនាប័ទ្ម x,)នោះក៏ជាការពិតសម្រាប់ x = y ។ (\ រចនាប័ទ្ម x = y ។ ) I.e

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម y\in y\iff y\notin y ។ )

វាកើតឡើងពីនេះដែលភាពផ្ទុយគ្នាត្រូវបានកាត់ចេញនៅក្នុងទ្រឹស្តីសំណុំឆោតល្ងង់។

ភាពផ្ទុយគ្នានឹងមិនកើតឡើងទេប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាសំណុំរ័សុលមិនមានទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសន្មត់នេះមានលក្ខណៈផ្ទុយគ្នា៖ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីកំណត់របស់ Cantor វាត្រូវបានគេជឿថាទ្រព្យសម្បត្តិណាមួយកំណត់សំណុំនៃធាតុដែលបំពេញនូវទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិនៃសំណុំទៅជា "ធម្មតា" ហាក់បីដូចជាកំណត់បានល្អ ត្រូវតែមានសំណុំ "ធម្មតា" ទាំងអស់។ ទ្រឹស្តីនេះត្រូវបានគេហៅថាឥឡូវនេះ ទ្រឹស្ដីសំណុំឆោតល្ងង់ .

កំណែពេញនិយមនៃ paradox

មានកំណែជាច្រើននៃពាក្យផ្ទុយរបស់រ័សុល។ មិនដូចភាពផ្ទុយគ្នាទេ ពួកវាជាក្បួនមិនអាចបង្ហាញជាភាសាផ្លូវការបានទេ។

ភូតកុហក

ភាពផ្ទុយស្រឡះរបស់ រ័សុល គឺទាក់ទងទៅនឹងភាពភូតភររបស់អ្នកភូតភរ ដែលស្គាល់តាំងពីបុរាណកាល ដែលជាសំណួរខាងក្រោម។ បានផ្តល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ៖

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺមិនពិត។

តើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះពិតឬអត់? វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះមិនអាចពិត ឬមិនពិតនោះទេ។

រ័សុលបានសរសេរអំពីភាពផ្ទុយគ្នានេះ៖

រ័សុល​ខ្លួន​គាត់​បាន​ពន្យល់​អំពី​ការ​ភូតកុហក​តាម​វិធី​នេះ។ ដើម្បីនិយាយអ្វីមួយអំពីការនិយាយ ទីមួយត្រូវតែកំណត់គោលគំនិតនៃ "ការនិយាយ" ជាដំបូង ខណៈពេលដែលមិនប្រើគោលគំនិតដែលមិនទាន់ត្រូវបានកំណត់។ ដូច្នេះ សេចក្តីថ្លែងការនៃប្រភេទទីមួយ អាចត្រូវបានកំណត់ ដែលនិយាយអ្វីអំពីសេចក្តីថ្លែង។ បន្ទាប់មកគេអាចកំណត់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃប្រភេទទីពីរដែលនិយាយអំពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃប្រភេទទីមួយ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ "សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺមិនពិត" មិនស្ថិតក្រោមនិយមន័យទាំងនេះទេ ហើយដូច្នេះមិនសមហេតុផលទេ។

The Barber's Paradox

រ័សុល លើក​ឡើង​អំពី​កំណែ​ដូច​ខាង​ក្រោម​នៃ​ពាក្យ​ផ្ទុយ ដែល​បាន​បង្កើត​ជា​ពាក្យ​ប្រឌិត​ដែល​មាន​នរណា​ម្នាក់​បាន​ស្នើ​ដល់​គាត់។

ឲ្យ​ជាង​កាត់សក់​ម្នាក់​រស់នៅក្នុង​ភូមិ​មួយ​ដែល​កោរសក់​អ្នកស្រុក​ទាំងអស់​ដែល​មិន​កោរ​សក់​ខ្លួនឯង ហើយ​មានតែ​ពួកគេ​ប៉ុណ្ណោះ​។ តើជាងកាត់សក់កោរសក់ខ្លួនឯងទេ?

ចម្លើយណាមួយនាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នា។ រ័សុល​កត់​សម្គាល់​ថា​ភាព​ចម្លែក​នេះ​មិន​ស្មើ​នឹង​ភាព​ចម្លែក​របស់​គាត់​ទេ ហើយ​អាច​ដោះស្រាយ​បាន​យ៉ាង​ងាយ។ ប្រាកដណាស់ ដូចពាក្យប្រឌិតរបស់ រ័សុល បង្ហាញថាមិនមានឈុត រ័សល ទេ ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ជាងកាត់សក់បង្ហាញថា គ្មានអ្នកកាត់សក់បែបនេះទេ។ ភាពខុសគ្នានោះគឺថាមិនមានអ្វីគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេក្នុងការមិនមានអ្នកកាត់សក់បែបនេះ: មិនមែនសម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិណាមួយទេមានជាងកាត់សក់ដែលកោរសក់មនុស្សជាមួយនឹងទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការពិតដែលថាមិនមានសំណុំនៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អនោះផ្ទុយនឹងគំនិតឆោតល្ងង់នៃសំណុំហើយតម្រូវឱ្យមានការពន្យល់។

ជម្រើសអំពីថត

ពាក្យដែលនៅជិតបំផុតទៅនឹងការប្រៀបធៀបរបស់ Russell គឺជាកំណែខាងក្រោមនៃបទបង្ហាញរបស់គាត់៖

កាតាឡុកគន្ថនិទ្ទេស គឺជាសៀវភៅដែលពិពណ៌នាអំពីសៀវភៅផ្សេងទៀត។ ថតខ្លះអាចពិពណ៌នាអំពីថតផ្សេងទៀត។ ថតខ្លះអាចពិពណ៌នាអំពីខ្លួនគេ។ តើ​វា​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ក្នុង​កាតាឡុក​ទាំងអស់​ដែល​មិន​ពិពណ៌នា​ខ្លួន​ឯង​ទេ?

ភាពផ្ទុយគ្នាកើតឡើងនៅពេលព្យាយាមសម្រេចចិត្តថាតើថតនេះគួរពណ៌នាខ្លួនឯងឬអត់។ ទោះបីជាមានភាពស្និទ្ធស្នាលជាក់ស្តែងនៃទម្រង់បែបបទក៏ដោយ (នេះពិតជាការប្រៀបធៀបរបស់ Russell ដែលកាតាឡុកត្រូវបានប្រើជំនួសឱ្យសំណុំ) ភាពផ្ទុយគ្នានេះ ដូចជាការប្រៀបធៀបរបស់ជាងកាត់សក់ត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ៖ កាតាឡុកបែបនេះមិនអាចចងក្រងបានទេ។

Grelling-Nelson paradox

ភាពផ្ទុយគ្នានេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ លោក Kurt Grellingនិង Leonard Nelson ក្នុងឆ្នាំ 1908 ។ ការពិតវាគឺជាការបកប្រែនៃកំណែដើមរបស់ Russell នៃពាក្យផ្ទុយដែលបានបញ្ជាក់ដោយគាត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃតក្កវិជ្ជាព្យាករណ៍ (សូមមើលលិខិតទៅ Frege) ទៅជាភាសាដែលមិនមែនជាគណិតវិទ្យា។

ចូរយើងហៅគុណនាម ឆ្លុះបញ្ចាំងប្រសិនបើគុណនាមនេះមានទ្រព្យសម្បត្តិកំណត់ដោយគុណនាមនេះ។ ឧទាហរណ៍ adjective "រុស្ស៊ី", "polysyllabic" - មានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលពួកគេកំណត់ (គុណនាម "រុស្ស៊ី" គឺរុស្ស៊ី, និងគុណនាម "polysyllabic" គឺ polysyllabic) ដូច្នេះពួកគេគឺជាការឆ្លុះបញ្ចាំង, និង adjectives "អាល្លឺម៉ង់", "monosyllabic" - គឺ មិនឆ្លុះបញ្ចាំង. តើគុណនាម "មិនឆ្លុះបញ្ចាំង" នឹងឆ្លុះបញ្ចាំងឬអត់?

ចម្លើយណាមួយនាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នា។ មិនដូចការប្រៀបធៀបរបស់ជាងកាត់សក់ទេ ដំណោះស្រាយចំពោះភាពចម្លែកនេះមិនសាមញ្ញទេ។ មនុស្សម្នាក់មិនអាចនិយាយដោយសាមញ្ញថាគុណនាមបែបនេះ ("មិនឆ្លុះបញ្ចាំង") មិនមានទេព្រោះយើងទើបតែបានកំណត់វា។ ភាពផ្ទុយគ្នាកើតឡើងពីការពិតដែលថានិយមន័យនៃពាក្យ "មិនឆ្លុះបញ្ចាំង" គឺមិនត្រឹមត្រូវនៅក្នុងខ្លួនវាផ្ទាល់។ និយមន័យនៃពាក្យនេះអាស្រ័យលើ តម្លៃគុណនាមដែលវាអនុវត្ត។ ហើយចាប់តាំងពីពាក្យ "មិនឆ្លុះបញ្ចាំង" គឺជាគុណនាមនៅក្នុងនិយមន័យ រង្វង់ដ៏កាចសាហាវកើតឡើង។

រឿង

រ័សុល​ប្រហែល​ជា​បាន​រក​ឃើញ​ភាព​ចម្លែក​របស់​គាត់​នៅ​ខែ​ឧសភា ឬ​ខែ​មិថុនា ឆ្នាំ 1901។ យោងទៅតាមលោក Russell ខ្លួនគាត់គាត់កំពុងព្យាយាមស្វែងរកកំហុសមួយនៅក្នុងភស្តុតាងរបស់ Cantor នៃការពិតដែលមានលក្ខណៈផ្ទុយគ្នា (ត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា Cantor's Paradox) ថាមិនមានលេខខាអតិបរមា (ឬសំណុំនៃឈុតទាំងអស់) ទេ។ ជា​លទ្ធផល រ័សុល​ទទួល​បាន​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​សាមញ្ញ​ជាង។ រ័សុល​បាន​ប្រាស្រ័យ​ទាក់ទង​នឹង​ភាព​ចម្លែក​របស់​គាត់​ទៅ​នឹង​អ្នក​តក្កវិជ្ជា​ផ្សេង​ទៀត ជាពិសេស​គឺ Whitehead និង Peano ។ នៅក្នុងសំបុត្ររបស់គាត់ទៅ Frege នៅថ្ងៃទី 16 ខែមិថុនាឆ្នាំ 1902 គាត់បានសរសេរថាគាត់បានរកឃើញភាពផ្ទុយគ្នានៅក្នុង " គំនិតគណនា" - សៀវភៅដោយ Frege បោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1879 ។ គាត់បានដាក់ចេញនូវភាពចម្លែករបស់គាត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃតក្កវិជ្ជា ហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីកំណត់ ដោយប្រើនិយមន័យរបស់ Frege នៃមុខងារមួយ៖

ខ្ញុំបានជួបប្រទះការលំបាកនៅកន្លែងតែមួយ។ អ្នកអះអាង (ទំព័រ 17) ថាមុខងារមួយអាចដើរតួជាអ្នកមិនស្គាល់។ ខ្ញុំក៏ធ្លាប់គិតដូច្នេះដែរ។ ប៉ុន្តែ​ឥឡូវ​ទស្សនៈ​នេះ​ហាក់​ដូច​ជា​សង្ស័យ​ចំពោះ​ខ្ញុំ​ដោយ​សារ​តែ​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​ខាង​ក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន វ predicate: "ដើម្បីក្លាយជា predicate ដែលមិនអាចត្រូវបានអនុវត្តទៅខ្លួនវាផ្ទាល់។" អាច វអាចអនុវត្តបានដោយខ្លួនឯង? ចម្លើយណាមួយមានន័យផ្ទុយ។ ដូច្នេះ​ហើយ​យើង​ត្រូវ​សន្និដ្ឋាន វមិនមែនជាការព្យាករណ៍ទេ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ មិនមានថ្នាក់ (ទាំងមូល) នៃថ្នាក់ទាំងនោះ ដែលគិតជារួម មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពួកគេទេ។ ពីនេះខ្ញុំសន្និដ្ឋានថាពេលខ្លះសំណុំជាក់លាក់មួយមិនបង្កើតជារួមទេ។

អត្ថបទដើម (អាល្លឺម៉ង់)

Nur ក្នុង eiem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begnet ។ Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden ។ Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirnt. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil ។ Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist ។ Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören។ Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet ។

Frege បានទទួលសំបុត្រនេះនៅពេលគាត់បានបញ្ចប់ការងារលើភាគទី 2 នៃច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃនព្វន្ធ (អាឡឺម៉ង់: Grundgesetze der Arithmetik) ។ Frege មិនមានពេលវេលាដើម្បីកែទ្រឹស្ដីកំណត់របស់គាត់ទេ។ គាត់គ្រាន់តែបន្ថែមឧបសម្ព័ន្ធទៅភាគទីពីរជាមួយនឹងការបង្ហាញ និងការវិភាគរបស់គាត់អំពីភាពផ្ទុយគ្នា ដែលបានចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការកត់សម្គាល់ដ៏ល្បីល្បាញ៖

វាមិនទំនងថាមានអ្វីអាក្រក់អាចកើតឡើងចំពោះអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជាងប្រសិនបើដីត្រូវបានទាញចេញពីក្រោមជើងរបស់គាត់នៅពេលគាត់បញ្ចប់ការងាររបស់គាត់។ វាស្ថិតនៅក្នុងទីតាំងនេះដែលខ្ញុំបានរកឃើញខ្លួនឯងនៅពេលដែលខ្ញុំបានទទួលសំបុត្រពី Bertrand Russell នៅពេលដែលការងាររបស់ខ្ញុំត្រូវបានបញ្ចប់រួចហើយ។

អត្ថបទដើម (អាល្លឺម៉ង់)

Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird ។ In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte ។

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)),

ដែលបាននិយាយថាវាអាចទៅរួចក្នុងការសាងសង់សំណុំនៃធាតុដែលពេញចិត្តនឹងទ្រព្យសម្បត្តិ P (x) , (\ displaystyle P(x),)គាត់បានស្នើឱ្យប្រើ axiom ដូចខាងក្រោម:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) & z ≠ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\colon P(x)\)),

ដូច្នេះការលុបបំបាត់លទ្ធភាពសម្រាប់សំណុំដើម្បីក្លាយជាសមាជិករបស់ខ្លួន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយតូចមួយ [ មួយណា?] ការកែប្រែភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Russell បង្ហាញថា axiom នេះក៏នាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នាផងដែរ។

រ័សុល​បាន​បោះ​ពុម្ព​ផ្សាយ​ភាព​ចម្លែក​របស់​គាត់​នៅ​ក្នុង​សៀវភៅ​របស់​គាត់ " គោលការណ៍នៃគណិតវិទ្យា"ឆ្នាំ 1903 ។

ខាងក្រោមនេះគឺជាវិធីសាស្រ្តដែលអាចធ្វើទៅបានក្នុងការសាងសង់ប្រព័ន្ធនៃ axioms ដោយឥតគិតថ្លៃពីភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Russell ។

ទ្រឹស្ដីប្រភេទរបស់រ័សុល

រ័សុល​ខ្លួន​គាត់​ជា​មនុស្ស​ដំបូង​គេ​ដែល​ស្នើ​ទ្រឹស្ដី​មួយ​ដោយ​គ្មាន​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​របស់​រ័សុល។ គាត់បានបង្កើតទ្រឹស្ដីមួយប្រភេទ ដែលជាកំណែដំបូងដែលបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងសៀវភៅរបស់ Russell និង Whitehead គោលការណ៍នៃគណិតវិទ្យា"ឆ្នាំ 1903 ។ ទ្រឹស្ដីនេះផ្អែកលើគំនិតដូចខាងក្រោមៈ វត្ថុសាមញ្ញក្នុងទ្រឹស្ដីនេះមានប្រភេទ 0 សំណុំវត្ថុសាមញ្ញមានប្រភេទ 1 សំណុំនៃវត្ថុសាមញ្ញមានប្រភេទ 2 ជាដើម។ ដូច្នេះ គ្មាន​ឈុត​ណា​អាច​មាន​ខ្លួន​ឯង​ជា​ធាតុ​មួយ​បាន​ឡើយ។ ទាំងសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ និងសំណុំ Russell មិនអាចត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងទ្រឹស្តីនេះទេ។ ឋានានុក្រមស្រដៀងគ្នាត្រូវបានណែនាំសម្រាប់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ និងលក្ខណៈសម្បត្តិ។ សំណើ​អំពី​វត្ថុ​សាមញ្ញ​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​ប្រភេទ​ទី ១ សំណើ​អំពី​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នៃ​សំណើ​ប្រភេទ ១ ជា​របស់​ប្រភេទ​ទី ២ ហើយ​ដូច្នេះ​នៅ​លើ។ ជាទូទៅ មុខងារមួយ តាមនិយមន័យ គឺជាប្រភេទខ្ពស់ជាងអថេរដែលវាអាស្រ័យ។ វិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកម្ចាត់មិនត្រឹមតែ paradox របស់ Russell ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏មានការប្រៀបធៀបផ្សេងទៀតជាច្រើនរួមទាំងការភូតកុហក () ភាពផ្ទុយគ្នា Grelling-Nelson paradox Burali-Forti ។ Russell និង Whitehead បានបង្ហាញពីរបៀបកាត់បន្ថយគណិតវិទ្យាទាំងអស់ទៅនឹង axioms នៃទ្រឹស្ដីប្រភេទ នៅក្នុង Principia Mathematica ដែលមានបីភាគរបស់ពួកគេ ដែលបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1910-1913 ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយវិធីសាស្រ្តនេះបានជួបការលំបាក។ ជាពិសេស បញ្ហាកើតឡើងក្នុងការកំណត់គោលគំនិតដូចជា ការកើនឡើងខ្ពស់បំផុតសម្រាប់សំណុំនៃចំនួនពិត។ តាមនិយមន័យ ព្រំដែនខាងលើតិចបំផុតគឺតូចបំផុតនៃព្រំដែនខាងលើទាំងអស់។ ដូច្នេះនៅពេលកំណត់ព្រំដែនខាងលើតិចបំផុត សំណុំនៃចំនួនពិតត្រូវបានប្រើ។ ដូច្នេះ ព្រំដែនខាងលើតិចបំផុត គឺជាវត្ថុនៃប្រភេទខ្ពស់ជាងចំនួនពិត។ នេះមានន័យថាវាមិនមែនជាចំនួនពិតទេ។ ដើម្បីជៀសវាងបញ្ហានេះវាចាំបាច់ត្រូវណែនាំអ្វីដែលគេហៅថា ការកាត់បន្ថយ axiom. ដោយសារតែភាពបំពានរបស់វា គណិតវិទូជាច្រើនបានបដិសេធមិនទទួលយក axiom កាត់បន្ថយ ហើយ Russell ខ្លួនឯងបានហៅវាថាជាកំហុសនៅក្នុងទ្រឹស្តីរបស់គាត់។ លើសពីនេះទៀតទ្រឹស្តីបានប្រែទៅជាស្មុគស្មាញណាស់។ ជាលទ្ធផលវាមិនបានទទួលកម្មវិធីទូលំទូលាយទេ។

ទ្រឹស្ដីកំណត់ Zermelo-Fraenkel

វិធីសាស្រ្តដែលគេស្គាល់ល្អបំផុតចំពោះ axiomatization នៃគណិតវិទ្យាគឺទ្រឹស្តីកំណត់ Zermelo-Fraenkel (ZF) ដែលមានដើមកំណើតជាផ្នែកបន្ថែមនៃ ទ្រឹស្តីរបស់ Zermelo(១៩០៨)។ មិនដូច Russell ទេ Zermelo បានរក្សាគោលការណ៍ឡូជីខល ហើយបានផ្លាស់ប្តូរតែទ្រឹស្ដីកំណត់ប៉ុណ្ណោះ។ គំនិតនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថាវាត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យប្រើតែសំណុំដែលបានបង្កើតឡើងពីសំណុំដែលបានសាងសង់រួចហើយដោយប្រើសំណុំជាក់លាក់នៃ axioms ។ ឧទាហរណ៍ មួយនៃ axioms របស់ Zermelo និយាយថា វាអាចទៅរួចក្នុងការសាងសង់សំណុំនៃ eg រងទាំងអស់នៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ ( axiom ប៊ូលីន ) ។ axiom មួយផ្សេងទៀត ( គ្រោងការណ៍ជ្រើសរើស) និយាយ​ថា​ពី​សំណុំ​នីមួយៗ​វា​អាច​ជ្រើសរើស​សំណុំ​រង​នៃ​ធាតុ​ដែល​មាន​លក្ខណៈសម្បត្តិ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ។ នេះគឺជាភាពខុសគ្នាដ៏សំខាន់រវាងទ្រឹស្តីសំណុំ Zermelo និងទ្រឹស្ដីសំណុំឆោតល្ងង់៖ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំឆោតល្ងង់ អ្នកអាចពិចារណាសំណុំនៃធាតុទាំងអស់ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយនៅក្នុងទ្រឹស្តីសំណុំ Zermelo អ្នកអាចជ្រើសរើសតែសំណុំរងពីសំណុំដែលបានសាងសង់រួចហើយប៉ុណ្ណោះ។ . នៅក្នុងទ្រឹស្ដីកំណត់ Zermelo វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសាងសង់សំណុំនៃសំណុំទាំងអស់។ ដូច្នេះហើយ ឈុត Russell ក៏មិនអាចត្រូវបានសាងសង់នៅទីនោះដែរ។

ថ្នាក់

ពេលខ្លះនៅក្នុងគណិតវិទ្យា វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការពិចារណាសំណុំទាំងអស់ទាំងមូល ឧទាហរណ៍ ដើម្បីពិចារណាចំនួនសរុបនៃក្រុមទាំងអស់។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ទ្រឹស្ដីសំណុំអាចត្រូវបានពង្រីកដោយសញ្ញាណនៃថ្នាក់ ដូចជាឧទាហរណ៍នៅក្នុងប្រព័ន្ធ Neumann- Bernays-Gödel (NBG) ។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនេះការប្រមូលផ្តុំនៃសំណុំទាំងអស់គឺ ថ្នាក់. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ថ្នាក់នេះមិនមែនជាសំណុំទេ ហើយក៏មិនមែនជាសមាជិកនៃថ្នាក់ណាមួយដែរ ដូច្នេះជៀសវាងការប្រៀបធៀបរបស់ Russell ។

ប្រព័ន្ធដែលខ្លាំងជាងដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់យកបរិមាណលើសពីថ្នាក់ ហើយមិនត្រឹមតែលើសសំណុំនោះទេ គឺជាឧទាហរណ៍។ ទ្រឹស្តីសំណុំ Morse - Kelly(MK) ។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនេះ គោលគំនិតសំខាន់គឺគោលគំនិត ថ្នាក់ប៉ុន្តែមិនមែនទេ។ សំណុំ. សំណុំនៅក្នុងទ្រឹស្ដីនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថ្នាក់បែបនេះដែលជាធាតុផ្សំនៃថ្នាក់មួយចំនួន។ នៅក្នុងទ្រឹស្តីនេះរូបមន្ត z ∈ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\))ត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងរូបមន្ត

P(z) & ∃ y . z ∈ y (\displaystyle P(z)\ \&\ \ មាន y.z\in y).

ជា ∃ y ។ z ∈ y (\displaystyle \ មាន y.z\in y)នៅក្នុងទ្រឹស្តីនេះមានន័យថាថ្នាក់ z (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម z)គឺជា ជាច្រើនរូបមន្តនេះគួរតែត្រូវបានយល់ថាជា ( x: P (x) ) (\displaystyle \(x\colon P(x)\))គឺជាថ្នាក់នៃទាំងអស់។ សំណុំ(មិនមែនថ្នាក់) z (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម z)បែបនោះ។ P(z) (\displaystyle P(z)). ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ រ័សុល នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយការពិតដែលថា មិនមែនគ្រប់ថ្នាក់ទាំងអស់សុទ្ធតែជាសំណុំនោះទេ។

មួយ​អាច​ទៅ​បន្ថែម​ទៀត​ហើយ​ពិចារណា​ការ​ប្រមូល​ផ្ដុំ​នៃ​ថ្នាក់ - ក្រុម​ហ៊ុន, បណ្តុំនៃក្រុមហ៊ុនសាជីវកម្ម។ល។

ផលប៉ះពាល់លើគណិតវិទ្យា

Axiomatization នៃគណិតវិទ្យា

ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Russell រួមជាមួយនឹងអនាមិកគណិតវិទ្យាផ្សេងទៀតដែលបានរកឃើញនៅដើមសតវត្សទី 20 បានជំរុញឱ្យមានការពិនិត្យឡើងវិញនូវមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា ដែលជាលទ្ធផលនៅក្នុងការសាងសង់ទ្រឹស្ដី axiomatic ដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃគណិតវិទ្យា ដែលមួយចំនួនត្រូវបានរៀបរាប់ខាងលើ។

នៅក្នុងទ្រឹស្តីថ្មីទាំងអស់ដែលបានសាងសង់ ភាពផ្ទុយគ្នាដែលគេស្គាល់ដោយពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 20 (រួមទាំងការប្រៀបធៀបរបស់ Russell) ត្រូវបានលុបចោល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីបង្ហាញថាភាពស្រដៀងគ្នាថ្មីមិនអាចត្រូវបានរកឃើញនាពេលអនាគត (នេះគឺជាបញ្ហានៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទ្រឹស្តី axiomatic ដែលបានសាងសង់) វាប្រែថានៅក្នុងការយល់ដឹងសម័យទំនើបនៃបញ្ហានេះគឺមិនអាចទៅរួចនោះទេ (សូមមើលទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ស្តីពីភាពមិនពេញលេញ) .

វិចារណញាណ

ស្របគ្នានោះ និន្នាការថ្មីក្នុងគណិតវិទ្យាបានកើតមានឡើង ដែលហៅថា វិចារណញាណ ដែលជាស្ថាបនិកគឺ L. E. Ya. Brouwer ។ វិចារណញាណនិយមកើតឡើងដោយឯករាជ្យពីភាពផ្ទុយគ្នារបស់រ័សុល និងអនាមិកផ្សេងទៀត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការរកឃើញនៃអង្គបដិបក្ខនៅក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំបានបង្កើនការមិនទុកចិត្តរបស់វិចារណញាណចំពោះគោលការណ៍ឡូជីខល និងពន្លឿនការបង្កើតវិចារណញាណនិយម។ និក្ខេបបទចម្បងនៃវិចារណញាណនិយមនិយាយថា ដើម្បីបញ្ជាក់ពីអត្ថិភាពនៃវត្ថុមួយចំនួន វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការសាងសង់របស់វា។ វិចារណញាណបដិសេធគំនិតអរូបីដូចជាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់។ វិចារណញាណនិយមបដិសេធច្បាប់នៃមជ្ឈិមដែលដកចេញ ប៉ុន្តែគួរកត់សំគាល់ថាច្បាប់នៃមជ្ឈិមដែលដកចេញគឺមិនចាំបាច់ក្នុងការទាញយកភាពផ្ទុយគ្នាពីអត្ដសញ្ញាណរបស់រ័សុល ឬផ្សេងទៀតទេ (នៅក្នុងអនាមិកណាមួយវាត្រូវបានបង្ហាញថា A (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម A)រួមបញ្ចូលការបដិសេធ A (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម A)និងការបដិសេធ A (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម A)បញ្ចូល A , (\ រចនាប័ទ្ម A,)ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយពី (A ⇒ ¬ A) & (¬ A ⇒ A) (\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A))សូម្បីតែនៅក្នុងតក្កវិជ្ជាវិចារណញាណ ភាពផ្ទុយគ្នានឹងកើតឡើង)។ វាក៏គួរអោយកត់សំគាល់ផងដែរថានៅក្នុង axiomatizations នៃគណិតវិទ្យាវិចារណញាណនៅពេលក្រោយ ភាពស្រដៀងគ្នានឹង Russell's ត្រូវបានរកឃើញ ដូចជាឧទាហរណ៍។ ភាពចម្លែករបស់ Girardនៅក្នុងពាក្យដើម លោក Martin Loef ។

អាគុយម៉ង់អង្កត់ទ្រូង (អាចអនុវត្តបានដោយខ្លួនឯង)

ទោះបីជាការពិតដែលថាការវែកញែករបស់ Russell នាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នាក៏ដោយ ក៏គំនិតចម្បងនៃហេតុផលនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទគណិតវិទ្យា។ ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ រ័សុល បានទទួលភាពផ្ទុយគ្នារបស់គាត់ដោយការវិភាគភស្តុតាងរបស់ Cantor នៃការមិនមាននៃលេខខាធំជាងគេ។ ការពិតនេះផ្ទុយពីអត្ថិភាពនៃសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ ចាប់តាំងពីខានីនីយកម្មរបស់វាត្រូវតែជាអតិបរមា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Cantor សំណុំនៃសំណុំរងទាំងអស់នៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យមានខាឌីនលីលីតធំជាងសំណុំខ្លួនវា។ ភស្តុតាងនៃការពិតនេះគឺផ្អែកលើមូលដ្ឋានដូចខាងក្រោម អំណះអំណាង?!:

អនុញ្ញាតឱ្យមានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ ដែលចំពោះធាតុនីមួយៗ x (\ រចនាប័ទ្ម x)សំណុំ X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)ផ្គូផ្គងសំណុំរងមួយ។ s x (\ ទម្រង់បង្ហាញ s_(x))សំណុំ x. (\ រចនាប័ទ្ម X ។ )អនុញ្ញាតឱ្យមាន d (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ ឃ)នឹងជាសំណុំនៃធាតុ x (\ រចនាប័ទ្ម x)បែបនោះ។ x ∈ s x (\ ទម្រង់បង្ហាញ x \ ក្នុង s_ (x)) (សំណុំអង្កត់ទ្រូង) បន្ទាប់មកការបំពេញបន្ថែមនៃឈុតនេះ។ s = d ¯ (\displaystyle s=(\overline (d)))មិនអាចជាផ្នែកមួយនៃ s x ។ (\displaystyle s_(x))ដូច្នេះ​ការ​ឆ្លើយឆ្លង​មិន​មាន​លក្ខណៈ​មួយ​ទល់​មួយ​ទេ។

Cantor បានប្រើអាគុយម៉ង់អង្កត់ទ្រូងដើម្បីបញ្ជាក់ភាពមិនអាចរាប់បាននៃចំនួនពិតក្នុងឆ្នាំ 1891 ។ (នេះមិនមែនជាភ័ស្តុតាងដំបូងរបស់គាត់អំពីភាពមិនអាចរាប់បាននៃចំនួនពិត ប៉ុន្តែសាមញ្ញបំផុត)។

ភាពផ្ទុយគ្នាដែលពាក់ព័ន្ធ

ការអនុវត្តដោយខ្លួនឯងគឺត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅក្នុងការប្រៀបធៀបជាច្រើនក្រៅពីអ្វីដែលបានពិភាក្សាខាងលើ៖

• ភាពផ្ទុយគ្នានៃ omnipotence គឺជាសំណួរនៅមជ្ឈិមសម័យ៖ "តើព្រះដ៏មានមហិទ្ធិឫទ្ធិអាចបង្កើតថ្មដែលខ្លួនគាត់មិនអាចលើកបានទេ?"
• ភាពផ្ទុយគ្នានៃ Burali-Forti (1897) គឺជា analogue នៃ paradox an Cantor សម្រាប់លេខលំដាប់។
• Mirimanov's paradox (1917) គឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃ Burali-Forti paradox សម្រាប់ថ្នាក់នៃថ្នាក់ដែលបានបង្កើតឡើងយ៉ាងល្អទាំងអស់។
• Richard's paradox (1905) គឺជាការប្រៀបធៀបន័យធៀបដែលបង្ហាញពីសារៈសំខាន់នៃការបំបែកភាសានៃគណិតវិទ្យា និងមេតាម៉ាទិក។
• Berry's paradox (1906) គឺ​ជា​កំណែ​សាមញ្ញ​មួយ​នៃ​ការ​ប្រៀបធៀប​របស់ Richard ដែល​បោះពុម្ព​ដោយ Russell ។
• Kleene-Rosser paradox(ឆ្នាំ 1935) - ការបង្កើតភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Richard នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ λ-calculus ។
• Curry's (1941) paradox គឺជាភាពសាមញ្ញនៃ Kleene-Rosser paradox ។
• ភាពចម្លែករបស់ Girard(1972) - ការបង្កើតភាពផ្ទុយគ្នានៃ Burali-Forti នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ ទ្រឹស្ដីប្រភេទវិចារណញាណ .
• គឺ​ជា​ការ​និយាយ​លេង​សើច​ពាក់​កណ្តាល​ដែល​នឹក​ឃើញ​ពី​ភាព​ចម្លែក​របស់ Berry។

កំណត់ចំណាំ

1. Godhard Link (2004) មួយរយឆ្នាំនៃការប្រែប្រួលរបស់ Russell, ជាមួយ។ 350, ISBN 9783110174380 , .
2. បដិវត្តរបស់រ័សុល // វចនានុក្រមនៃតក្កវិជ្ជា។ Ivin A.A., Nikiforov A.L.- M. : Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 ទំ។ - ISBN លេខ 5-691-00099-3 ។
3. Andrew David Irvine, Harry Deutsch ។ Russell "s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta ។ - 2014-01-01 ។
4. អនាធិបតេយ្យ- អត្ថបទពីសព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា។ A.G. Dragalin
5. A. S. Gerasimov ។វគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យា ភាពប្រែប្រួល និងទ្រឹស្តីនៃការគណនា។ - បោះពុម្ពលើកទី៣ កែប្រែ និងពង្រីក។ - St. Petersburg: LEMA, 2011. - S. 124-126 ។ - 284 ទំ។

នៅក្នុងច្រើនបំផុត ទូទៅទម្រង់ paradox ប៊ែរត្រាន រ័សសែលមើលទៅដូចនេះ៖

សូមឱ្យ M ជាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ដែលមិនមានខ្លួនវាជាធាតុរបស់វា។ សំណួរ៖ តើ M មានខ្លួនវាជាធាតុទេ?

ប្រសិនបើចម្លើយគឺ "បាទ / ចាស" នោះតាមនិយមន័យនៃ M វាមិនត្រូវជាធាតុនៃ M ហើយយើងមានភាពផ្ទុយគ្នា។

ប្រសិនបើចម្លើយគឺ "ទេ" - បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យនៃ M វាត្រូវតែជាធាតុនៃ M - ភាពផ្ទុយគ្នាម្តងទៀត ...

"តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃភាពផ្ទុយគ្នា? ថ្នាក់មួយគឺជួនកាល ហើយជួនកាលមិនមែនជាសមាជិកខ្លួនឯងទេ។ "ថ្នាក់ជាឧទាហរណ៍ ស្លាបព្រាកាហ្វេមិនមែនជាស្លាបព្រាកាហ្វេទេ ប៉ុន្តែថ្នាក់នៃអ្វីដែលមិនមែនជាស្លាបព្រាកាហ្វេគឺជារបស់មួយចំនួនដែលមិនមែនជាស្លាបព្រាកាហ្វេ។

ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ រ័សុល គឺទាក់ទងទៅនឹងការប្រើសញ្ញាណនៃថ្នាក់នៃថ្នាក់ត្រឹមត្រូវទាំងអស់។ "Own" គឺជាថ្នាក់ដែលមិនមានខ្លួនវាជាសមាជិករបស់វា។ "មិនសមរម្យ" គឺជាថ្នាក់ដែលសន្មត់ថាមានខ្លួនវាជាសមាជិករបស់វា។ សន្មតថានេះជាថ្នាក់នៃថ្នាក់ទាំងអស់។ ទាក់ទងទៅនឹងថ្នាក់នៃថ្នាក់ត្រឹមត្រូវទាំងអស់ ( "ថ្នាក់ Russell") សំណួរត្រូវបានលើកឡើង: តើវាជាអ្វី - ត្រឹមត្រូវឬមិនត្រឹមត្រូវ? ប្រសិនបើ​យើង​សន្មត​ថា​វា​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​វា នោះ​វា​គួរ​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ឱ្យ​ទៅ​ថ្នាក់​ដែល​មិន​មែន​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​ខ្លួន ហើយ​ផ្ទុយ​មក​វិញ ។

តាមរបៀបលេងសើចពាក់កណ្តាល រ័សុល បង្ហាញភាពផ្ទុយគ្នានេះតាមរយៈអ្វីដែលគេហៅថា "ជាងកាត់សក់" នៅក្នុងការណែនាំអំពីទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យា (1919) ។ ជាងកាត់សក់ក្នុងភូមិត្រូវតែកោរសក់ទាំងអស់ ហើយមានតែអ្នកភូមិរបស់គាត់ប៉ុណ្ណោះដែលមិនកោរសក់។ តើគាត់គួរកោរសក់ខ្លួនឯងទេ? បើ​កោរ​សក់​ខ្លួន​ឯង កោរ​ហើយ​គ្មាន​សិទ្ធិ​កោរ​ទេ។ ប៉ុន្តែ​បើ​គាត់​មិន​កោរ​សក់​ទេ គាត់​មាន​សិទ្ធិ​កោរ​រោម​ខ្លួន​ឯង។ តាមរបៀបនេះ គេក៏អាចបង្ហាញពីភាពផ្ទុយគ្នានៃ "សំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ដែលមិនមែនជាធាតុត្រឹមត្រូវ" ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថា "ជាងកាត់សក់" មិនមែនជា "ភាពផ្ទុយគ្នាសុទ្ធ" ទេព្រោះវាគ្រាន់តែធ្វើតាមវាថាជាងកាត់សក់បែបនេះមិនអាចមានទាល់តែសោះពោលគឺ "ជាគោលការណ៍គ្មានភាពច្បាស់លាស់និងមិនច្បាស់លាស់និងជាប់លាប់អាចត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់ឈុតដែលមានធាតុផ្សំនេះ។ បានកំណត់តែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃចំនួនសរុបនេះ ក៏ដូចជាធាតុដែលរួមបញ្ចូល ឬបង្កប់ន័យសរុបនេះ។ ភាពផ្ទុយគ្នាត្រូវបានលុបចោលដោយការសន្និដ្ឋានថាប្រសិនបើបរិវេណខ្លះធ្វើឱ្យមានភាពផ្ទុយគ្នានោះពួកគេខុស។

អង្គបដិបក្ខរបស់រ័សុលបានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។ វាបានធ្វើឱ្យខូចដល់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីសំណុំ ដែលជាតក្កវិជ្ជាថ្មីបំផុត បានក្លាយជាគ្រោះមហន្តរាយពិតប្រាកដ និងការដួលរលំនៃក្តីសង្ឃឹមរបស់អ្នកទាំងឡាយណាដែលដោះស្រាយបញ្ហានៃការបញ្ជាក់គណិតវិទ្យា និងតក្កវិជ្ជានៅវេននៃសតវត្សទី 19-20 ។

រ័សុលនៅឆ្នាំ 1903 មិនបានសារភាពដោយបើកចំហថាគាត់បានរកឃើញដំណោះស្រាយចំពោះភាពផ្ទុយគ្នានោះទេ។ នៅក្នុង "បុព្វបទ" នៃ "គោលការណ៍គណិតវិទ្យា" លោកបានកត់សម្គាល់ថា យុត្តិកម្មតែមួយគត់សម្រាប់ការបោះពុម្ពផ្សាយការងារដែលមានសំណួរជាច្រើនដែលមិនអាចដោះស្រាយបាននោះគឺថា ការសិក្សានេះបានធ្វើឱ្យវាអាចជ្រាបចូលកាន់តែជ្រៅទៅក្នុងលក្ខណៈនៃថ្នាក់។ រ័សុល​បាន​ស្នើ​ទ្រឹស្ដី​ប្រភេទ​សាមញ្ញ​ជា​ដំណោះ​ស្រាយ​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​នៅ​ក្នុង "ឧបសម្ព័ន្ធ B" ចំពោះ​ក្រដាស​នេះ។ នៅពេលអនាគត គាត់បានសន្និដ្ឋានថា វាគឺជាទ្រឹស្ដីនេះ បង្កើតជាប្រព័ន្ធ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចលុបបំបាត់ភាពផ្ទុយគ្នាបាន។

Kolesnikov A.S., ទស្សនវិជ្ជារបស់ Bertrand Russell, L., Leningrad University Press, 1991, p. ៨៤-៨៥។