និងលក្ខខណ្ឌ និង ២ ( T, x) = 0.

សូមឱ្យវាក្លាយជាពេលវេលានៃការឈានដល់ព្រំដែនដំបូង ឃតំបន់ គន្លងនៃដំណើរការ បន្ទាប់មកនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មុខងារ

បំពេញសមីការ

ហើយយកតម្លៃ cp នៅលើសំណុំ

ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាតម្លៃព្រំដែនទី 1 សម្រាប់ប៉ារ៉ាបូលលីនេអ៊ែរទូទៅ។ សមីការលំដាប់ទី២

នៅក្រោមការសន្មត់ទូទៅដោយយុត្តិធម៌អាចត្រូវបានសរសេរជា

ក្នុងករណីនៅពេលដែល L និងមុខងារ c, fមិនអាស្រ័យលើ ស,តំណាងស្រដៀងនឹង (9) ក៏អាចធ្វើទៅបានសម្រាប់ការដោះស្រាយរាងអេលីបលីនេអ៊ែរ។ សមីការ។ ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀតមុខងារ

នៅក្រោមការសន្មត់មួយចំនួនមានបញ្ហា

ក្នុងករណីនៅពេលដែលប្រតិបត្តិករ L degenerate (del b( s, x) = 0 ) ឬ ឃមិនគ្រប់គ្រាន់ "ល្អ" តម្លៃព្រំដែនអាចមិនត្រូវបានទទួលយកដោយមុខងារ (9), (10) នៅចំណុចបុគ្គលឬនៅលើសំណុំទាំងមូល។ គំនិតនៃចំណុចព្រំដែនធម្មតាសម្រាប់ប្រតិបត្តិករ អិលមានការបកស្រាយប្រូបាប៊ីលីតេ។ នៅចំណុចធម្មតានៃព្រំដែនតម្លៃព្រំដែនត្រូវបានឈានដល់ដោយមុខងារ (9), (10) ។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា (8), (11) ធ្វើឱ្យវាអាចសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការសាយភាយដែលត្រូវគ្នា និងមុខងារពីពួកគេ។

មានវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការសាងសង់ M. p. ដែលមិនពឹងផ្អែកលើការសាងសង់នៃដំណោះស្រាយទៅនឹងសមីការ (6), (7) ឧទាហរណ៍។ វិធីសាស្រ្ត សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល stochastic,ការផ្លាស់ប្តូររង្វាស់ជាបន្ត។ល។ កាលៈទេសៈនេះរួមជាមួយនឹងរូបមន្ត (9), (10) អនុញ្ញាតឱ្យយើងសាងសង់ និងសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃបញ្ហាតម្លៃព្រំដែនសម្រាប់សមីការ (8) ក្នុងវិធីប្រូបាប៊ីលីក ក៏ដូចជាលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ ដំណោះស្រាយនៃរាងអេលីបដែលត្រូវគ្នា។ សមីការ។

ចាប់តាំងពីដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល stochastic គឺមិនមានប្រតិកម្មទៅនឹង degeneration នៃ matrix b( s, x)បន្ទាប់មកវិធីសាស្រ្ត probabilistic ត្រូវបានប្រើដើម្បីសាងសង់ដំណោះស្រាយដើម្បី degenerate elliptic និង parabolic សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ការបន្ថែមនៃគោលការណ៍ជាមធ្យមនៃ N. M. Krylov និង N. N. Bogolyubov ទៅនឹងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល stochastic បានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដោយប្រើ (9) ដើម្បីទទួលបានលទ្ធផលដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលរាងអេលីបនិងប៉ារ៉ាបូល។ បញ្ហាលំបាកមួយចំនួននៃការសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនៃប្រភេទនេះជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រតូចមួយនៅដេរីវេខ្ពស់បំផុតបានប្រែទៅជាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយដោយមានជំនួយពីការពិចារណាប្រូបាប៊ីលីតេ។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាតម្លៃព្រំដែនទី 2 សម្រាប់ Eq. (6) ក៏មានអត្ថន័យប្រូបាប៊ីលីតេផងដែរ។ ការបង្កើតបញ្ហាតម្លៃព្រំដែនសម្រាប់ដែនដែលគ្មានដែនកំណត់គឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការកើតឡើងវិញនៃដំណើរការសាយភាយដែលត្រូវគ្នា។

នៅក្នុងករណីនៃដំណើរការដូចគ្នានៃពេលវេលា (L មិនអាស្រ័យលើ s) ដំណោះស្រាយវិជ្ជមាននៃសមីការរហូតដល់ថេរគុណនឹងស្របគ្នានៅក្រោមការសន្មត់ជាក់លាក់ជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយស្ថានីនៃ M.p. សមីការ។ R. 3. Khasminsky ។

ពន្លឺ។: Markov A. A., "Izv. Phys.-Mat. Ob. Kazan. University", 1906, v. 15, No. 4, p. ១៣៥–៥៦; B a ជាមួយ h e l i e r L., "Ann. scient. Ecole norm, super", 1900, v. ១៧, ទំ។ ២១–៨៦; Kolmogorov A. N., "Math. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415-458; រុស្សី transl.-"វឌ្ឍនភាពក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យា", ឆ្នាំ 1938, គ. 5, ទំ។ ៥–៤១; Chzhu n Kai-lai, Homogeneous Markov chains, transl ។ ពីភាសាអង់គ្លេស M. , 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, ទំ។ ៤១៧–៣៦; Dynkin E.B., Yushkevitch A.A., "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងកម្មវិធីរបស់វា", 1956, vol. 1, c. 1, ទំ។ ១៤៩–៥៥; X និង n t J.-A., ដំណើរការ Markov និងសក្តានុពល, trans ។ ពីភាសាអង់គ្លេស M. , 1962; Dellasher និង K., សមត្ថភាព និងដំណើរការចៃដន្យ, trans ។ ពីបារាំង, ម៉ូស្គូ, ឆ្នាំ 1975; D y n k និង n E. V. , មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃដំណើរការ Markov, M. , 1959; របស់គាត់ផ្ទាល់ ដំណើរការ Markov, M. , 1963; I. I. G និង Khman, A. V. S ko r oh o d, ទ្រឹស្ដីនៃដំណើរការចៃដន្យ, លេខ 2, M., 1973; Freidlin M.I. នៅក្នុងសៀវភៅ៖ លទ្ធផលវិទ្យាសាស្ត្រ។ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ, ។ - ទ្រឹស្តី។ ឆ្នាំ 1966, M. , 1967, ទំ។ ៧–៥៨; Xa's'minskii R. 3., "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងកម្មវិធីរបស់វា", 1963, vol. 8, in

ដំណើរការ Markov- ដំណើរការចៃដន្យឬបន្តចៃដន្យ X(t) ដែលអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ទាំងស្រុងដោយប្រើបរិមាណពីរ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេ P(x,t) ដែលអថេរចៃដន្យ x(t) នៅពេល t គឺស្មើនឹង x និងប្រូបាប៊ីលីតេ P(x2, t2½x1t1) នោះ …… វចនានុក្រមសេដ្ឋកិច្ច និងគណិតវិទ្យា

ដំណើរការ Markov- ដំណើរការចៃដន្យឬបន្តចៃដន្យ X(t) ដែលអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ទាំងស្រុងដោយប្រើបរិមាណពីរ៖ ប្រូបាប៊ីលីតេ P(x,t) ដែលអថេរចៃដន្យ x(t) នៅពេល t គឺស្មើនឹង x និងប្រូបាប៊ីលីតេ P(x2, t2? x1t1) ថាប្រសិនបើ x នៅ t = t1…… សៀវភៅណែនាំអ្នកបកប្រែបច្ចេកទេស

ប្រភេទពិសេសសំខាន់នៃដំណើរការចៃដន្យ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការ Markov គឺជាការពុកផុយនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្ម ដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃការពុកផុយនៃអាតូមដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លីមួយមិនអាស្រ័យលើដំណើរការនៃដំណើរការនៅក្នុងរយៈពេលមុននោះទេ។ ...... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយធំ - Markovo procesas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl ។ Markov ដំណើរការ vok ។ Markovprozess, m rus ។ ដំណើរការ Markov, m; ដំណើរការ Markov, m pranc ។ processus markovien, m … Automatikos terminų žodynas

ដំណើរការ Markov- Markovo vyksmas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl ។ ដំណើរការ Markov; ដំណើរការ Markovian vok ។ Markow Prozess, m; Markowscher Prozess, m rus ។ ដំណើរការ Markov, m; ដំណើរការ Markov, m pranc ។ processus de Markoff, m; processus marcovien, m;… … Fizikos terminų žodynas

ប្រភេទពិសេសសំខាន់នៃដំណើរការចៃដន្យ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការ Markov គឺជាការពុកផុយនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្ម ដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃការពុកផុយនៃអាតូមដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លីមួយមិនអាស្រ័យលើដំណើរការនៃដំណើរការនៅក្នុងរយៈពេលមុននោះទេ។ ...... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ

ប្រភេទពិសេសសំខាន់នៃដំណើរការ stochastic ដែលមានសារៈសំខាន់យ៉ាងខ្លាំងក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេទៅសាខាផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងបច្ចេកវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍នៃ M. p. គឺជាការពុកផុយនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្ម ...... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ

ការ​រក​ឃើញ​ដ៏​អស្ចារ្យ​មួយ​ក្នុង​វិស័យ​គណិតវិទ្យា ដែល​ធ្វើ​ឡើង​ក្នុង​ឆ្នាំ ១៩០៦ ដោយ​អ្នក​វិទ្យាសាស្ត្រ​រុស្ស៊ី A.A. ម៉ាកកូវ។

រចនាសម្ព័ន្ធ និងការចាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធតម្រង់ជួរ

ប្រព័ន្ធតម្រង់ជួរ

ជារឿយៗមានតំរូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដែលអាចកើតមានទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធតម្រង់ជួរ (QS) ឧទាហរណ៍ដែលអាចជា៖

ការិយាល័យលក់សំបុត្រ;

ហាងជួសជុល;

ពាណិជ្ជកម្ម ការដឹកជញ្ជូន ប្រព័ន្ធថាមពល;

ប្រព័ន្ធទំនាក់ទំនង;

ភាពសាមញ្ញនៃប្រព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងការរួបរួមនៃវិធីសាស្ត្រ និងគំរូគណិតវិទ្យាដែលប្រើក្នុងការសិក្សាអំពីសកម្មភាពរបស់ពួកគេ។

អង្ករ។ ៤.១. ផ្នែកសំខាន់ៗនៃការអនុវត្ត TMT

ការបញ្ចូលទៅក្នុង QS ទទួលបានសំណើរសេវាកម្ម។ ឧទាហរណ៍ អតិថិជន ឬអ្នកជំងឺ ការខូចឧបករណ៍ ការហៅទូរស័ព្ទ។ សំណើមកដល់មិនទៀងទាត់ ក្នុងពេលចៃដន្យ។ រយៈពេលនៃសេវាកម្មក៏ចៃដន្យផងដែរ។ នេះបង្កើតភាពមិនប្រក្រតីនៅក្នុងការងាររបស់ QS បណ្តាលឱ្យផ្ទុកលើសទម្ងន់ និងបន្ទុកលើសរបស់វា។

ប្រព័ន្ធតម្រង់ជួរមានរចនាសម្ព័ន្ធផ្សេងគ្នា ប៉ុន្តែជាធម្មតាពួកគេអាចសម្គាល់បាន។ ធាតុសំខាន់បួន:

1. លំហូរតម្រូវការចូល។

2. Accumulator (ជួរ) ។

3. ឧបករណ៍ (បណ្តាញសេវាកម្ម) ។

4. លំហូរទិន្នផល។

អង្ករ។ ៤.២. គ្រោងការណ៍ទូទៅនៃប្រព័ន្ធតម្រង់ជួរ

អង្ករ។ ៤.៣. គំរូប្រតិបត្តិការប្រព័ន្ធ

(ព្រួញបង្ហាញពីពេលវេលានៃការមកដល់នៃតម្រូវការនៅក្នុង

ប្រព័ន្ធ, ចតុកោណ - ពេលវេលាសេវាកម្ម)

រូបភាព 4.3a បង្ហាញគំរូនៃប្រព័ន្ធដែលមានលំហូរទៀងទាត់នៃតម្រូវការ។ ដោយសារចន្លោះពេលរវាងការមកដល់នៃការទាមទារត្រូវបានដឹង ពេលវេលានៃសេវាកម្មត្រូវបានជ្រើសរើស ដើម្បីផ្ទុកប្រព័ន្ធពេញលេញ។ សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានតម្រូវការលំហូរ stochastic ស្ថានភាពគឺខុសគ្នាទាំងស្រុង - តម្រូវការកើតឡើងនៅចំណុចផ្សេងគ្នានៅក្នុងពេលវេលាហើយពេលវេលានៃសេវាកម្មក៏ជាអថេរចៃដន្យដែលអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយច្បាប់ចែកចាយជាក់លាក់មួយ (រូបភាព 4.3 ខ) ។

ដោយផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់ការបង្កើតជួរ QS ខាងក្រោមត្រូវបានសម្គាល់៖

1) ប្រព័ន្ធជាមួយនឹងការបរាជ័យ ដែលក្នុងនោះ នៅពេលដែលបណ្តាញសេវាទាំងអស់ជាប់រវល់ សំណើនេះទុកឱ្យប្រព័ន្ធមិនដំណើរការ។

2) ប្រព័ន្ធដែលមានជួរគ្មានដែនកំណត់ ដែលក្នុងនោះសំណើចូលជួរ ប្រសិនបើនៅពេលមកដល់ បណ្តាញសេវាកម្មទាំងអស់ជាប់រវល់។

3) ប្រព័ន្ធជាមួយនឹងការរង់ចាំ និងជួរមានកំណត់ ដែលក្នុងនោះពេលវេលារង់ចាំត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌមួយចំនួន ឬមានការរឹតបន្តឹងលើចំនួនកម្មវិធីដែលកំពុងឈរក្នុងជួរ។

ពិចារណាពីលក្ខណៈនៃលំហូរចូលនៃតម្រូវការ។

លំហូរនៃសំណើត្រូវបានគេហៅថា ស្ថានី ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍មួយ ឬចំនួនផ្សេងទៀតនឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងផ្នែកពេលវេលានៃប្រវែងជាក់លាក់មួយអាស្រ័យតែលើប្រវែងនៃផ្នែកនេះប៉ុណ្ណោះ។

ចរន្តនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា ហូរដោយគ្មានផលវិបាក ប្រសិនបើចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ដែលធ្លាក់លើចន្លោះពេលជាក់លាក់ណាមួយមិនអាស្រ័យលើចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ដែលធ្លាក់លើអ្នកដទៃ។

ចរន្តនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតា។ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ឬច្រើនមិនអាចកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

លំហូរនៃសំណើត្រូវបានគេហៅថា ពុលសុន (ឬសាមញ្ញបំផុត) ប្រសិនបើវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិបីយ៉ាង៖ ស្ថានី ធម្មតា និងគ្មានផលវិបាក។ ឈ្មោះនេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់ចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលធ្លាក់លើចន្លោះពេលថេរណាមួយនឹងត្រូវបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ Poisson ។

អាំងតង់ស៊ីតេលំហូរនៃកម្មវិធី λ គឺជាចំនួនមធ្យមនៃកម្មវិធីដែលមកពីលំហូរក្នុងមួយឯកតានៃពេលវេលា។

សម្រាប់លំហូរថេរអាំងតង់ស៊ីតេគឺថេរ។ ប្រសិនបើ τ គឺជាតម្លៃមធ្យមនៃចន្លោះពេលរវាងសំណើពីរដែលនៅជាប់គ្នា នោះនៅក្នុងករណីនៃលំហូរ Poisson ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបញ្ចូលសេវាកម្ម មសំណើសម្រាប់រយៈពេលមួយ។ tត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់របស់ Poisson៖

ពេលវេលារវាងសំណើដែលនៅជាប់គ្នាត្រូវបានចែកចាយជានិទស្សន្តជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ

ពេលវេលានៃសេវាកម្មគឺជាអថេរចៃដន្យ ហើយគោរពច្បាប់ចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ ដែល μ គឺជាអាំងតង់ស៊ីតេនៃលំហូរសេវាកម្ម ឧ។ ចំនួនមធ្យមនៃសំណើដែលបានបម្រើក្នុងមួយឯកតានៃពេលវេលា,

សមាមាត្រនៃអាំងតង់ស៊ីតេនៃលំហូរចូលទៅនឹងអាំងតង់ស៊ីតេនៃលំហូរសេវាកម្មត្រូវបានគេហៅថា ការចាប់ផ្ដើមប្រព័ន្ធ

ប្រព័ន្ធតម្រង់ជួរគឺជាប្រព័ន្ធប្រភេទដាច់ពីគ្នាជាមួយនឹងសំណុំរដ្ឋកំណត់ ឬរាប់បាន ហើយការផ្លាស់ប្តូរនៃប្រព័ន្ធពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋមួយទៀតកើតឡើងភ្លាមៗនៅពេលដែលព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនកើតឡើង។

ដំណើរការត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការរដ្ឋដាច់ដោយឡែក ប្រសិនបើរដ្ឋអាចធ្វើទៅបានរបស់វាអាចត្រូវបានប្តូរលេខជាមុន ហើយការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋកើតឡើងស្ទើរតែភ្លាមៗ។

ដំណើរការបែបនេះមានពីរប្រភេទ៖ ជាមួយនឹងពេលវេលាដាច់ដោយឡែក ឬបន្ត។

នៅក្នុងករណីនៃពេលវេលាដាច់ដោយឡែក ការផ្លាស់ប្តូរពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋអាចកើតឡើងនៅពេលភ្លាមៗដែលបានកំណត់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ ដំណើរការដែលមានពេលវេលាបន្តខុសគ្នាត្រង់ថាការផ្លាស់ប្តូរនៃប្រព័ន្ធទៅរដ្ឋថ្មីគឺអាចធ្វើទៅបានគ្រប់ពេល។

ដំណើរការចៃដន្យគឺជាការឆ្លើយឆ្លងដែលតម្លៃនីមួយៗនៃអាគុយម៉ង់ (ក្នុងករណីនេះមួយភ្លែតពីចន្លោះពេលនៃការពិសោធន៍) ត្រូវបានផ្តល់អថេរចៃដន្យ (ក្នុងករណីនេះស្ថានភាព QS) ។ អថេរចៃដន្យ ត្រូវបានគេហៅថាបរិមាណដែល ជាលទ្ធផលនៃបទពិសោធន៍ អាចយកមួយ ប៉ុន្តែមិនស្គាល់ជាមុន ដែលតម្លៃលេខពីសំណុំលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃទ្រឹស្តីតម្រង់ជួរ ចាំបាច់ត្រូវសិក្សាពីដំណើរការចៃដន្យនេះ ពោលគឺឧ។ បង្កើតនិងវិភាគគំរូគណិតវិទ្យារបស់វា។

ដំណើរការចៃដន្យបានហៅ ម៉ាកូវីន ប្រសិនបើសម្រាប់ពេលណាមួយ លក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីតេនៃដំណើរការនាពេលអនាគតអាស្រ័យតែលើស្ថានភាពរបស់វានៅពេលនេះ ហើយមិនអាស្រ័យលើពេលណា និងរបៀបដែលប្រព័ន្ធមកដល់រដ្ឋនេះ។

ការផ្លាស់ប្តូរនៃប្រព័ន្ធពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋកើតឡើងក្រោមឥទ្ធិពលនៃលំហូរមួយចំនួន (លំហូរនៃកម្មវិធីលំហូរនៃការបរាជ័យ) ។ ប្រសិនបើលំហូរនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់ដែលនាំប្រព័ន្ធទៅរដ្ឋថ្មីមួយគឺ Poisson សាមញ្ញបំផុតនោះដំណើរការដែលកើតឡើងនៅក្នុងប្រព័ន្ធនឹងទៅជា Markovian ចាប់តាំងពីលំហូរសាមញ្ញបំផុតមិនមានផលវិបាកទេ: នៅក្នុងវានាពេលអនាគតមិនអាស្រ័យលើអតីតកាលទេ។

ការវិវត្តន៍ដែលបន្ទាប់ពីតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យណាមួយនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រពេលវេលា t (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ t) មិនអាស្រ័យពីការវិវត្តន៍មុននេះ។ t (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ t)បានផ្តល់ថាតម្លៃនៃដំណើរការនៅពេលនេះត្រូវបានជួសជុល ("អនាគត" នៃដំណើរការមិនអាស្រ័យលើ "អតីតកាល" ជាមួយ "បច្ចុប្បន្ន" ដែលគេស្គាល់ទេ ការបកស្រាយមួយផ្សេងទៀត (Wentzel): "អនាគត" នៃដំណើរការអាស្រ័យ នៅលើ "អតីតកាល" តាមរយៈ "បច្ចុប្បន្ន") ។

សព្វវចនាធិប្បាយ YouTube

1 / 3

✪ មេរៀនទី ១៥៖ ដំណើរការ Markov Stochastic

✪ ប្រភពដើមនៃខ្សែសង្វាក់ Markov

✪ គំរូដំណើរការ Markov ទូទៅ

ចំណងជើងរង

រឿង

ទ្រព្យសម្បត្តិដែលកំណត់ដំណើរការ Markov ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាទ្រព្យសម្បត្តិ Markov ។ ជាលើកដំបូងដែលវាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ A. A. Markov ដែលនៅក្នុងការងារឆ្នាំ 1907 បានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការសិក្សាអំពីលំដាប់នៃការសាកល្បងអាស្រ័យ និងផលបូកនៃអថេរចៃដន្យដែលទាក់ទងនឹងពួកគេ។ បន្ទាត់នៃការស្រាវជ្រាវនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាទ្រឹស្តីនៃខ្សែសង្វាក់ Markov ។

មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីទូទៅនៃដំណើរការ Markov ជាមួយនឹងពេលវេលាបន្តត្រូវបានដាក់ដោយ Kolmogorov ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ Markov

ករណីទូទៅ

អនុញ្ញាតឱ្យ (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- ទំហំប្រូបាប៊ីលីតេជាមួយនឹងការត្រង (F t, t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\t\in T))លើសំណុំមួយចំនួន (បញ្ជាដោយផ្នែក) T (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម T); តោះ​ទៅ (S , S) (\displaystyle (S,(\mathcal (S))))- ទំហំដែលអាចវាស់វែងបាន។ ដំណើរការចៃដន្យ X = (X t, t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\t\in T))ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេដែលបានត្រង ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាពេញចិត្ត ទ្រព្យសម្បត្តិ Markovប្រសិនបើសម្រាប់គ្នា។ A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S)))និង s , t ∈ T : s< t {\displaystyle s,t\in T:s,

ដំណើរការ Markovគឺជាដំណើរការចៃដន្យដែលពេញចិត្ត ទ្រព្យសម្បត្តិ Markovជាមួយនឹងការច្រោះធម្មជាតិ។

សម្រាប់ខ្សែសង្វាក់ Markov ជាមួយនឹងពេលវេលាដាច់ដោយឡែក

ប្រសិនបើ S (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម S)គឺជាសំណុំដាច់ពីគ្នា និង T = N (\displaystyle T=\mathbb (N))និយមន័យអាចត្រូវបានកែទម្រង់៖

ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការ Markov

ពិចារណាឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃដំណើរការ Markov stochastic ។ ចំណុចមួយផ្លាស់ទីដោយចៃដន្យតាមអ័ក្ស x ។ នៅពេលសូន្យ ចំណុចគឺនៅដើម ហើយនៅសល់មួយវិនាទី។ មួយវិនាទីក្រោយមកកាក់មួយត្រូវបានបោះចោល - ប្រសិនបើអាវធំធ្លាក់ចេញនោះចំនុច X ផ្លាស់ទីមួយឯកតានៃប្រវែងទៅខាងស្តាំប្រសិនបើលេខ - ទៅខាងឆ្វេង។ មួយវិនាទីក្រោយមក កាក់ត្រូវបានបោះម្តងទៀត ហើយចលនាចៃដន្យដូចគ្នាត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរទីតាំងនៃចំណុចមួយ ("វង្វេង") គឺជាដំណើរការចៃដន្យជាមួយនឹងពេលវេលាដាច់ដោយឡែក (t=0, 1, 2, ... ) និងសំណុំនៃរដ្ឋដែលអាចរាប់បាន។ ដំណើរការចៃដន្យបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា Markovian ចាប់តាំងពីស្ថានភាពបន្ទាប់នៃចំណុចអាស្រ័យតែលើស្ថានភាពបច្ចុប្បន្ន (បច្ចុប្បន្ន) និងមិនអាស្រ័យលើរដ្ឋអតីតកាល (វាមិនមានបញ្ហាថាតើវិធីណានិងពេលវេលាណាដែលចំណុចឈានដល់កូអរដោណេបច្ចុប្បន្ន) .

នៅក្រោម ដំណើរការចៃដន្យស្វែងយល់ពីការផ្លាស់ប្តូរពេលវេលានៃស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធរូបវន្តមួយចំនួនតាមរបៀបចៃដន្យដែលមិនស្គាល់ពីមុន។ ឯណា តាមប្រព័ន្ធរូបវន្តដែលយើងចង់មានន័យឧបករណ៍បច្ចេកទេសណាមួយ ក្រុមឧបករណ៍ សហគ្រាស ឧស្សាហកម្ម ប្រព័ន្ធជីវសាស្រ្ត។ល។

ដំណើរការចៃដន្យលំហូរនៅក្នុងប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា Markovsky - ប្រសិនបើសម្រាប់ពេលណាមួយ លក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីតេនៃដំណើរការ នៅ​ពេល​អនាគត (t > ) អាស្រ័យតែលើស្ថានភាពរបស់វានៅពេលណាមួយ ( បច្ចុប្បន្ន ) ហើយ​មិន​អាស្រ័យ​លើ​ពេល​ណា និង​របៀប​ដែល​ប្រព័ន្ធ​មក​ដល់​រដ្ឋ​នេះ​ទេ។ ក្នុង​អតីតកាល .(ឧទាហរណ៍ បញ្ជរ Geiger ដែលចុះឈ្មោះចំនួនភាគល្អិតលោហធាតុ)។

ដំណើរការ Markov ជាធម្មតាត្រូវបានបែងចែកជា 3 ប្រភេទ:

1. ខ្សែសង្វាក់ Markov - ដំណើរការ​ដែល​រដ្ឋ​មិន​ដាច់​ពី​គ្នា (ឧ. គេ​អាច​ប្តូរ​លេខ​បាន) ហើយ​ពេល​វេលា​ដែល​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ក៏​ដាច់​ដោយ​ឡែក​ផង​ដែរ (ឧ. ដំណើរ​ការ​អាច​ផ្លាស់​ប្តូរ​រដ្ឋ​របស់​វា​បាន​តែ​នៅ​ចំណុច​ជាក់លាក់​ក្នុង​ពេល​វេលា)។ ដំណើរការបែបនេះទៅ (ការផ្លាស់ប្តូរ) ក្នុងជំហាន (និយាយម្យ៉ាងទៀតក្នុងវដ្ត) ។

2. ដំណើរការ Markov ដាច់ដោយឡែក - សំណុំនៃរដ្ឋគឺដាច់ពីគ្នា (អាចត្រូវបានរាប់បញ្ចូល) ហើយពេលវេលាគឺបន្ត (ការផ្លាស់ប្តូរពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋមួយទៀត - នៅពេលណាមួយ) ។

3. ដំណើរការ Markov បន្ត - សំណុំនៃរដ្ឋនិងពេលវេលាគឺបន្ត។

នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង ដំណើរការ Markov នៅក្នុងទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធរបស់ពួកគេមិនត្រូវបានជួបប្រទះញឹកញាប់នោះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ជារឿយៗគេត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណើរការដែលឥទ្ធិពលនៃបុរេប្រវត្តិអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់។ លើសពីនេះទៀតប្រសិនបើប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងអស់ពី "អតីតកាល" ដែល "អនាគត" អាស្រ័យត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធនៅក្នុង "បច្ចុប្បន្ន" នោះវាក៏អាចចាត់ទុកថាជា Markovian ផងដែរ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះច្រើនតែនាំទៅរកការកើនឡើងគួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃចំនួនអថេរដែលត្រូវយកមកពិចារណា និងភាពមិនអាចទៅរួចនៃការទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា។

នៅក្នុងការស្រាវជ្រាវប្រតិបត្តិការ, អ្វីដែលគេហៅថា Markov ដំណើរការ stochastic ជាមួយនឹងរដ្ឋដាច់ពីគ្នានិងពេលវេលាបន្ត.

ដំណើរការត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការរដ្ឋដាច់ដោយឡែកប្រសិនបើរដ្ឋដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ , ,... អាចត្រូវបានរាប់បញ្ចូល (ប្តូរលេខ) ជាមុន។ ការផ្លាស់ប្តូរនៃប្រព័ន្ធពីរដ្ឋទៅរដ្ឋឆ្លងកាត់ស្ទើរតែភ្លាមៗ - លោត។

ដំណើរការត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការពេលវេលាបន្តប្រសិនបើគ្រានៃការផ្លាស់ប្តូរពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋអាចយកតម្លៃចៃដន្យណាមួយនៅលើអ័ក្សពេលវេលា។

ឧទាហរណ៍ ៖ ឧបករណ៍បច្ចេកទេស S មានថ្នាំងពីរ ដែលនីមួយៗក្នុងពេលចៃដន្យអាចបរាជ័យ ( បដិសេធ) បន្ទាប់ពីនោះ ការជួសជុលថ្នាំងចាប់ផ្តើមភ្លាមៗ ( ការងើបឡើងវិញ) ដែលបន្តសម្រាប់ពេលវេលាចៃដន្យ។

ស្ថានភាពប្រព័ន្ធខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

ថ្នាំងទាំងពីរគឺយល់ព្រម;

ថ្នាំងទីមួយកំពុងត្រូវបានជួសជុល ទីពីរកំពុងដំណើរការ។

- ថ្នាំងទីពីរកំពុងត្រូវបានជួសជុល ទីមួយកំពុងដំណើរការ

ថ្នាំងទាំងពីរកំពុងត្រូវបានជួសជុល។

ការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋកើតឡើងនៅពេលចៃដន្យស្ទើរតែភ្លាមៗ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញស្ថានភាពប្រព័ន្ធ និងទំនាក់ទំនងរវាងពួកវាដោយប្រើ ក្រាហ្វរដ្ឋ .

រដ្ឋ

ដំណើរផ្លាស់ប្តូរ

ដំណើរផ្លាស់ប្តូរ និងអវត្តមានដោយសារតែ ការបរាជ័យ និងការស្ដារឡើងវិញនៃធាតុកើតឡើងដោយឯករាជ្យ និងចៃដន្យ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យក្នុងពេលដំណាលគ្នា (ការស្ដារឡើងវិញ) នៃធាតុពីរគឺគ្មានកំណត់ ហើយអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់។

ប្រសិនបើស្ទ្រីមទាំងអស់នៃព្រឹត្តិការណ៍បកប្រែប្រព័ន្ធ សពីរដ្ឋទៅរដ្ឋ ប្រូតូហ្សូបន្ទាប់មក ដំណើរការ,ហូរនៅក្នុងប្រព័ន្ធបែបនេះ នឹងក្លាយជា Markovsky. នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាលំហូរសាមញ្ញបំផុតមិនមានផលប៉ះពាល់, i.e. នៅក្នុងវា "អនាគត" មិនអាស្រ័យលើ "អតីតកាល" ទេហើយលើសពីនេះទៀតវាមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពសាមញ្ញ - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរឬច្រើនគឺតូចមិនចេះចប់ពោលគឺវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការផ្លាស់ទីពីរដ្ឋ។ ទៅរដ្ឋដោយមិនឆ្លងកាត់រដ្ឋកម្រិតមធ្យមជាច្រើន។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ នៅលើក្រាហ្វរដ្ឋ វាងាយស្រួលក្នុងការដាក់ចុះនូវអាំងតង់ស៊ីតេនៃលំហូរនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលផ្ទេរប្រព័ន្ធពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋមួយតាមព្រួញដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅព្រួញផ្លាស់ប្តូរនីមួយៗ (-អាំងតង់ស៊ីតេនៃលំហូរនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលផ្ទេរប្រព័ន្ធ។ ពីរដ្ឋ ក្នុង. ក្រាហ្វបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា បានសម្គាល់។

ដោយប្រើក្រាហ្វដែលមានស្លាកនៃរដ្ឋប្រព័ន្ធ វាអាចបង្កើតគំរូគណិតវិទ្យានៃដំណើរការនេះ។

ពិចារណាការផ្លាស់ប្តូរនៃប្រព័ន្ធពីរដ្ឋមួយចំនួនទៅមុន ឬបន្ទាប់។ បំណែកនៃក្រាហ្វរដ្ឋក្នុងករណីនេះនឹងមើលទៅដូចនេះ:

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៅពេលនោះ។ tស្ថិតក្នុងស្ថានភាព។

សម្គាល់ (ត)- ប្រូបាប៊ីលីតេនៃស្ថានភាព i-th នៃប្រព័ន្ធគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រព័ន្ធនៅពេលនោះ។ tស្ថិតក្នុងស្ថានភាព។ សម្រាប់ពេលណាមួយ t = 1 គឺពិត។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅពេលបច្ចុប្បន្ន t+∆t ប្រព័ន្ធនឹងស្ថិតនៅក្នុងរដ្ឋ។ នេះអាចជាករណីដូចខាងក្រោមៈ

1) ហើយមិនបានទុកវាចោលក្នុងអំឡុងពេល ∆ t ។ នេះមានន័យថាក្នុងអំឡុងពេល ∆t មិនបានកើតឡើងព្រឹត្តិការណ៍ដែលនាំប្រព័ន្ធចូលទៅក្នុងស្ថានភាពមួយ (លំហូរដោយអាំងតង់ស៊ីតេ) ឬព្រឹត្តិការណ៍ដែលដាក់វាចូលទៅក្នុងស្ថានភាពមួយ (លំហូរដោយអាំងតង់ស៊ីតេ) ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការនេះសម្រាប់តូច∆t។

នៅក្រោមច្បាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការចែកចាយពេលវេលារវាងតម្រូវការជិតខាងពីរ ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងលំហូរសាមញ្ញបំផុតនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចន្លោះពេល ∆t គ្មានតម្រូវការណាមួយនឹងកើតឡើងនៅក្នុងលំហូរជាមួយនឹងអាំងតង់ស៊ីតេនោះទេ។ λ1នឹងស្មើនឹង

ការពង្រីកមុខងារ f(t) នៅក្នុងស៊េរី Taylor (t>0) យើងទទួលបាន (សម្រាប់ t=∆t)

f(∆t)=f(0)+(0)*∆t+*∆+*∆+…=

= +(-l) *∆t+ (∆ + *(∆ +…” 1-l*∆t សម្រាប់∆t®0

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សម្រាប់លំហូរដែលមានអាំងតង់ស៊ីតេ λ 2 យើងទទួលបាន .

ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅចន្លោះពេល ∆t (សម្រាប់ ∆t®0) គ្មានតម្រូវការនឹងស្មើនឹង

(∆t)/ = (∆t/ * (∆t/ = (1- *∆t)(1- *∆t) =

១ - - *∆t + 1 - ( + )*∆t + b.m.

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រព័ន្ធមិនបានចាកចេញពីស្ថានភាពក្នុងអំឡុងពេល ∆t សម្រាប់តូច ∆t នឹងស្មើនឹង

P( / )=1 – ( + )* ∆t

2) ប្រព័ន្ធនេះស្ថិតក្នុងស្ថានភាពមួយ។ S i -1 និងសម្រាប់ពេលវេលា បានចូលទៅក្នុងរដ្ឋ S i . នោះគឺយ៉ាងហោចណាស់ព្រឹត្តិការណ៍មួយបានកើតឡើងនៅក្នុងលំហូរជាមួយនឹងអាំងតង់ស៊ីតេ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការនេះគឺស្មើនឹងលំហូរសាមញ្ញបំផុតជាមួយនឹងអាំងតង់ស៊ីតេ λ នឹងត្រូវបាន

សម្រាប់ករណីរបស់យើង ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះនឹងស្មើនឹង

3)ប្រព័ន្ធនេះស្ថិតក្នុងស្ថានភាពមួយ។ ហើយក្នុងអំឡុងពេល∆មិនបានចូលទៅក្នុងរដ្ឋ . ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការនេះនឹងមាន

បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រព័ន្ធនៅពេល (t+∆t) នឹងស្ថិតក្នុងស្ថានភាព S i គឺស្មើនឹង

ដក P i (t) ចេញពីផ្នែកទាំងពីរ ចែកដោយ ∆t និង ឆ្លងដល់ដែនកំណត់ ដោយ ∆t → 0 យើងទទួលបាន

ការជំនួសតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអាំងតង់ស៊ីតេនៃការផ្លាស់ប្តូរពីរដ្ឋទៅរដ្ឋមួយ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលពិពណ៌នាអំពីការផ្លាស់ប្តូរប្រូបាប៊ីលីតេនៃប្រព័ន្ធរដ្ឋថាជាមុខងារនៃពេលវេលា។

សមីការទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការ Kolmogorov-Chapman សម្រាប់ដំណើរការ Markov ដាច់ដោយឡែក។

ដោយបានកំណត់លក្ខខណ្ឌដំបូង (ឧទាហរណ៍ P 0 (t = 0) = 1, P i (t = 0) = 0 i≠0) ហើយដោះស្រាយពួកវា យើងទទួលបានកន្សោមសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃស្ថានភាពប្រព័ន្ធជាមុខងារនៃពេលវេលា . ដំណោះស្រាយវិភាគគឺមានភាពងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានប្រសិនបើចំនួនសមីការ ≤ 2.3 ។ ប្រសិនបើមានច្រើននៃពួកវា នោះសមីការជាធម្មតាត្រូវបានដោះស្រាយជាលេខនៅលើកុំព្យូទ័រ (ឧទាហរណ៍ដោយវិធីសាស្ត្រ Runge-Kutta)។

នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ បញ្ជាក់ អ្វី ប្រសិនបើលេខ n រដ្ឋប្រព័ន្ធ ប្រាកដណាស់ ហើយពីពួកគេម្នាក់ៗវាអាចទៅរួច (ក្នុងចំនួនជំហានកំណត់) ដើម្បីទៅផ្សេងទៀត បន្ទាប់មកមានដែនកំណត់ ដែលប្រូបាប៊ីលីតេមាននិន្នាការនៅពេល t → . ប្រូបាប៊ីលីតេបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ប្រូបាប៊ីលីតេចុងក្រោយ រដ្ឋ និងស្ថានភាពស្ថិរភាព របៀបស្ថានី ដំណើរការនៃប្រព័ន្ធ។

ចាប់តាំងពីនៅក្នុងរបៀបស្ថានីអ្វីគ្រប់យ៉ាង ដូច្នេះ ទាំងអស់ =0 ។ សមីការផ្នែកខាងឆ្វេងនៃប្រព័ន្ធសមីការជាមួយ 0 និងបន្ថែមពួកវាជាមួយសមីការ = 1 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដោះស្រាយដែលយើងរកឃើញតម្លៃនៃប្រូបាប៊ីលីតេចុងក្រោយ។

ឧទាហរណ៍។ សូមឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់យើងការបរាជ័យនិងអត្រាការស្ដារឡើងវិញនៃធាតុមានដូចខាងក្រោម

បរាជ័យ 1el:

2el៖

ជួសជុល 1el:

2el៖

P 0 + P 1 + P 2 + P 3 \u003d ១

0=-(1+2)P 0 +2P 1 +3 P 2

0=-(2+2)P 1 +1P 0 +3P ៣

0=-(1+3)P 2 +2P 0 +2P ៣

0=-(2+3)P 3 +2P 1 +1P ២

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះយើងទទួលបាន

P 0 =6/15=0.4; P 1 =3/15=0.2; P2=4/15=0.27; P3=2/15≈0.13។

ទាំងនោះ។ នៅក្នុងស្ថានភាពស្ថានី ប្រព័ន្ធជាមធ្យម

40% ស្ថិតនៅក្នុងរដ្ឋ S 0 (ថ្នាំងទាំងពីរមានសុខភាពល្អ)

20% - នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ S 1 (ធាតុទី 1 កំពុងត្រូវបានជួសជុល, ទី 2 គឺនៅក្នុងស្ថានភាពល្អ),

27% - នៅក្នុងស្ថានភាព S 2 (អគ្គីសនីទី 2 កំពុងត្រូវបានជួសជុល 1 គឺនៅក្នុងស្ថានភាពល្អ)

13% - នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ S 3 - ធាតុទាំងពីរកំពុងជួសជុល។

ការដឹងពីប្រូបាប៊ីលីតេចុងក្រោយអនុញ្ញាត វាយតម្លៃការអនុវត្តប្រព័ន្ធជាមធ្យម និងបន្ទុកសេវាកម្មជួសជុល។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៅក្នុងរដ្ឋ S 0 នាំមកនូវប្រាក់ចំណូលចំនួន 8 ឯកតា។ ក្នុងមួយឯកតានៃពេលវេលា; នៅក្នុងរដ្ឋ S 1 - ប្រាក់ចំណូល 3 sr.u.; នៅក្នុងរដ្ឋ S 2 - ប្រាក់ចំណូល 5; នៅក្នុងរដ្ឋ S 3 - ប្រាក់ចំណូល \u003d 0

តម្លៃ ជួសជុល ក្នុងមួយឯកតាពេលវេលាសម្រាប់ el-ta 1- 1 (S 1, S 3) arb. units, el-ta 2- (S 2, S 3) 2 arb ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងរបៀបស្ថានី៖

ប្រាក់ចំណូលប្រព័ន្ធក្នុងមួយឯកតាពេលវេលានឹងមានៈ

W អតិបរមា =8P 0 +3P 1 +5P 2 +0P 3 =8 0.4+3 0.2+5 0.27+0 0.13=5.15 c.u.

ថ្លៃជួសជុលក្នុងឯកតា ពេលវេលា៖

W rem =0P 0 +1P 1 +2P 2 +(1+2)P 3 =0 0.4+1 0.2+2 0.27+3 0.13=1.39 c.u.

ប្រាក់ចំណេញក្នុងមួយឯកតានៃពេលវេលា

W \u003d W doh -W rem \u003d 5.15-1.39 \u003d 3.76 គ្រឿង

ដោយបានចំណាយលើការចំណាយមួយចំនួន វាអាចផ្លាស់ប្តូរអាំងតង់ស៊ីតេ λ និង μ ហើយស្របទៅតាមប្រសិទ្ធភាពនៃប្រព័ន្ធ។ លទ្ធភាពនៃការចំណាយបែបនេះអាចត្រូវបានវាយតម្លៃដោយការគណនាឡើងវិញ P i ។ និងសូចនាករដំណើរការប្រព័ន្ធ។