ចូរយើងពិចារណាជាមុនអំពីករណីនៃមុខងារនៃអថេរពីរ។ កម្រិតជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$ នៅចំណុច $M_0(x_0;y_0)$ គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍នេះ ដែលឈានដល់ក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលអថេរ $x$ និង $y$ នៅក្នុង បរិវេណនៃចំណុចនេះបំពេញសមីការកម្រិត $\varphi(x,y)=0$ ។
ឈ្មោះ "លក្ខខណ្ឌ" extremum គឺដោយសារតែលក្ខខណ្ឌបន្ថែម $\varphi(x,y)=0$ ត្រូវបានដាក់លើអថេរ។ ប្រសិនបើអាចបង្ហាញអថេរមួយក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយទៀតពីសមីការការតភ្ជាប់ នោះបញ្ហានៃការកំណត់ភាពខ្លាំងតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាបញ្ហានៃអថេរធម្មតានៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ $y=\psi(x)$ តាមពីសមីការកំហិត បន្ទាប់មកជំនួស $y=\psi(x)$ ទៅជា $z=f(x,y)$ យើងទទួលបានមុខងារនៃអថេរមួយ $ z=f\left (x,\psi(x)\right)$។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងករណីទូទៅ វិធីសាស្រ្តនេះគឺមានការប្រើប្រាស់តិចតួច ដូច្នេះក្បួនដោះស្រាយថ្មីមួយត្រូវបានទាមទារ។
វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណ Lagrange សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ។
វិធីសាស្ត្រនៃមេគុណ Lagrange គឺថា ដើម្បីស្វែងរកលក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម មុខងារ Lagrange ត្រូវបានផ្សំឡើង៖ $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $\lambda $ ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ Lagrange ) ។ លក្ខខណ្ឌខ្លាំងបំផុតចាំបាច់ត្រូវបានផ្តល់ដោយប្រព័ន្ធសមីការដែលចំនុចស្ថានីត្រូវបានកំណត់៖
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$
សញ្ញា $d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(")dy^2$ ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចស្ថានី $d^2F > 0$ នោះមុខងារ $z=f(x,y)$ មានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមានៅចំណុចនេះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ $d^2F< 0$, то условный максимум.
មានវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីកំណត់ពីធម្មជាតិនៃជ្រុល។ ពីសមីការកម្រិតយើងទទួលបាន៖ $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$ ដូច្នេះ នៅចំណុចស្ថានីណាមួយ យើងមាន៖
$$d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^(")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^(")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^(")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\ ត្រូវ)$$
កត្តាទីពីរ (ដែលមានទីតាំងនៅតង្កៀប) អាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់នេះ៖
ធាតុនៃ $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (អារេ) \right|$ ដែលជា Hessian នៃអនុគមន៍ Lagrange ។ ប្រសិនបើ $H > 0$ បន្ទាប់មក $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ឧ. យើងមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$។
ចំណាំលើទម្រង់នៃកត្តាកំណត់ $H$ ។ បង្ហាញ/លាក់
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ | $$
ក្នុងស្ថានភាពនេះ ច្បាប់ដែលបានបង្កើតខាងលើផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ $H > 0$ នោះមុខងារមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា ហើយសម្រាប់ $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់សិក្សាមុខងារនៃអថេរពីរសម្រាប់ extremum តាមលក្ខខណ្ឌ
- តែងមុខងារ Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- ដោះស្រាយប្រព័ន្ធ $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \\ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
- កំណត់លក្ខណៈនៃចំនុចខ្លាំងនៅចំនុចស្ថានីនីមួយៗដែលមានក្នុងកថាខណ្ឌមុន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមប្រើវិធីណាមួយខាងក្រោម៖
- សរសេរកត្តាកំណត់ $H$ ហើយស្វែងរកសញ្ញារបស់វា។
- ដោយគិតពីសមីការកម្រិត សូមគណនាសញ្ញា $d^2F$
វិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange សម្រាប់មុខងារនៃអថេរ n
ឧបមាថាយើងមានមុខងារនៃ $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ និង $m$ constraint equations ($n > m$)៖
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
ដោយកំណត់សញ្ញាមេគុណ Lagrange ជា $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ យើងបង្កើតមុខងារ Lagrange៖
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់វត្តមាននៃលក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយមត្រូវបានផ្តល់ដោយប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលកូអរដោនេនៃចំណុចស្ថានី និងតម្លៃនៃមេគុណ Lagrange ត្រូវបានរកឃើញ៖
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
វាអាចទៅរួចដើម្បីរកមើលថាតើមុខងារមួយមានអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌ ឬអតិបរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៅចំណុចដែលបានរកឃើញដូចពីមុន ដោយប្រើសញ្ញា $d^2F$ ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចដែលបានរកឃើញ $d^2F > 0$ នោះមុខងារមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា ប៉ុន្តែប្រសិនបើ $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស $\left| \begin(array) (cccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( អារេ) \right|$ បន្លិចជាពណ៌ក្រហមនៅក្នុងម៉ាទ្រីស $L$ គឺជា Hessian នៃអនុគមន៍ Lagrange ។ យើងប្រើក្បួនដូចខាងក្រោមៈ
- ប្រសិនបើសញ្ញានៃអនីតិជនជ្រុងគឺ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrices $L$ ស្របគ្នានឹងសញ្ញា $(-1)^m$ បន្ទាប់មកចំនុចស្ថានីដែលកំពុងសិក្សាគឺជាចំនុចអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ $z =f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ។
- ប្រសិនបើសញ្ញានៃអនីតិជនជ្រុងគឺ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ឆ្លាស់គ្នា ហើយសញ្ញាអនីតិជន $H_(2m+1)$ ស្របគ្នានឹងសញ្ញានៃលេខ $(-1)^(m+1 )$ បន្ទាប់មកចំនុចដែលបានសិក្សានៅស្ថានី គឺជាចំណុចអតិបរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ។
ឧទាហរណ៍ #1
ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌអតិបរមានៃអនុគមន៍ $z(x,y)=x+3y$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $x^2+y^2=10$។
ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃបញ្ហានេះមានដូចខាងក្រោម៖ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃការអនុវត្តនៃយន្តហោះ $z=x+3y$ សម្រាប់ចំនុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយស៊ីឡាំង $x^2+y^2 =10$។
វាពិបាកក្នុងការបង្ហាញអថេរមួយក្នុងន័យមួយទៀតពីសមីការកម្រិត ហើយជំនួសវាទៅក្នុងអនុគមន៍ $z(x,y)=x+3y$ ដូច្នេះយើងនឹងប្រើវិធីសាស្ត្រ Lagrange ។
ដោយកំណត់ $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ យើងតែងមុខងារ Lagrange៖
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់កំណត់ចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ Lagrange៖
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (តម្រឹម)\right.$$
ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថា $\lambda=0$ នោះសមីការទីមួយនឹងក្លាយទៅជា៖ $1=0$ ។ លទ្ធផលផ្ទុយគ្នានិយាយថា $\lambda\neq 0$ ។ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $\lambda\neq 0$ ពីសមីការទីមួយ និងទីពីរ យើងមាន៖ $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $ ការជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានទៅក្នុងសមីការទីបី យើងទទួលបាន៖
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \\right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda)\right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2)។ \end(aligned) \\right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយពីរ៖ $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ និង $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងយល់ពីធម្មជាតិនៃកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុចស្ថានីយនីមួយៗ៖ $M_1(1;3)$ និង $M_2(-1;-3)$ ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាកត្តាកំណត់ $H$ នៅចំនុចនីមួយៗ។
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^(")=2\lambda;\; F_(xy)^(")=0;\; F_(yy)^(")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^(") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^(") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \\ end(array) \right| $$
នៅចំណុច $M_1(1;3)$ យើងទទួលបាន៖ $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \\ end(array) \\right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40> 0$ ដូច្នេះនៅចំណុច $M_1(1;3)$ មុខងារ $z(x,y)=x+3y$ មានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា $z_(\max)=z(1;3)=10$។
ដូចគ្នានេះដែរ នៅចំណុច $M_2(-1;-3)$ យើងរកឃើញ៖ $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \\ end(array) \\right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$ ។ ចាប់តាំងពី $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាជំនួសឱ្យការគណនាតម្លៃនៃកត្តាកំណត់ $H$ នៅចំណុចនីមួយៗ វាងាយស្រួលជាងក្នុងការបើកវាតាមរបៀបទូទៅ។ ដើម្បីកុំឱ្យពង្រាយអត្ថបទដោយព័ត៌មានលម្អិត ខ្ញុំនឹងលាក់វិធីសាស្ត្រនេះនៅក្រោមកំណត់ចំណាំ។
កំណត់ចំណាំ $H$ ក្នុងទម្រង់ទូទៅ។ បង្ហាញ/លាក់
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right)។ $$
ជាគោលការណ៍ វាច្បាស់ហើយថា សញ្ញា $H$ មាន។ ដោយសារគ្មានចំណុចណាមួយ $M_1$ ឬ $M_2$ ស្របគ្នាជាមួយនឹងប្រភពដើម បន្ទាប់មក $y^2+x^2>0$។ ដូច្នេះ សញ្ញា $H$ គឺទល់មុខនឹងសញ្ញា $\lambda$ ។ អ្នកក៏អាចបំពេញការគណនាបានដែរ៖
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40; \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40។ \end(តម្រឹម) $$
សំណួរអំពីលក្ខណៈនៃភាពខ្លាំងបំផុតនៅចំណុចស្ថានី $M_1(1;3)$ និង $M_2(-1;-3)$ អាចដោះស្រាយបានដោយមិនប្រើកត្តាកំណត់ $H$។ ស្វែងរកសញ្ញា $d^2F$ នៅចំណុចស្ថានីយនីមួយៗ៖
$$ d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^(")dxdy+F_(yy)^(")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
ខ្ញុំចំណាំថាសញ្ញាណ $dx^2$ មានន័យថាពិតប្រាកដ $dx$ ដែលត្រូវបានលើកឡើងទៅថាមពលទីពីរ ពោលគឺឧ។ $\left(dx\right)^2$។ ដូច្នេះយើងមាន៖ $dx^2+dy^2>0$ ដូច្នេះសម្រាប់ $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ យើងទទួលបាន $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
ចម្លើយ៖ នៅចំណុច $(-1;-3)$ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា $z_(\min)=-10$ ។ នៅចំណុច $(1;3)$ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា $z_(\max)=10$
ឧទាហរណ៍ #2
ស្វែងរកលក្ខខណ្ឌអតិបរមានៃអនុគមន៍ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $x+y=0$។
វិធីទីមួយ (វិធីសាស្ត្រនៃមេគុណ Lagrange)
កំណត់ $\varphi(x,y)=x+y$ យើងតែងមុខងារ Lagrange៖ $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$ ។
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$
ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន៖ $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ និង $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$ ។ យើងមានចំណុចពីរ៖ $M_1(0;0)$ និង $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9)\right)$។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងយល់ពីធម្មជាតិនៃកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុចស្ថានីនីមួយៗ ដោយប្រើកត្តាកំណត់ $H$ ។
$$ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^(") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^(") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
នៅចំណុច $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$ ដូច្នេះនៅចំណុចនេះ អនុគមន៍មានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា $z_(\max)=\frac(500)(243)$ ។
យើងស៊ើបអង្កេតពីលក្ខណៈនៃភាពជ្រុលនិយមនៅចំនុចនីមួយៗដោយវិធីផ្សេងគ្នា ដោយផ្អែកលើសញ្ញា $d^2F$៖
$$ d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2$$
ពីសមីការកម្រិត $x+y=0$ យើងមាន៖ $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$ ។
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
ចាប់តាំងពី $d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2> 0$ បន្ទាប់មក $M_1(0;0)$ គឺជាចំណុចអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$ ។ ដូចគ្នាដែរ $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
វិធីទីពីរ
ពីសមីការកម្រិត $x+y=0$ យើងទទួលបាន៖ $y=-x$។ ការជំនួស $y=-x$ ទៅក្នុងអនុគមន៍ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ យើងទទួលបានមុខងារមួយចំនួននៃអថេរ $x$។ ចូរកំណត់មុខងារនេះថា $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2 ។ $$
ដូច្នេះហើយ យើងបានកាត់បន្ថយបញ្ហានៃការស្វែងរក extremum តាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរទៅជាបញ្ហានៃការកំណត់ extremum នៃ function នៃ variable មួយ។
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \\ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9)។$$
ទទួលបានពិន្ទុ $M_1(0;0)$ និង $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$។ ការស្រាវជ្រាវបន្ថែមត្រូវបានគេស្គាល់ពីវគ្គនៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ ការពិនិត្យមើលសញ្ញា $u_(xx)^(")$ នៅចំណុចស្ថានីនីមួយៗ ឬពិនិត្យមើលការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា $u_(x)^(")$ នៅចំនុចដែលបានរកឃើញ យើងទទួលបានការសន្និដ្ឋានដូចគ្នានឹងពេលដោះស្រាយដំបូងដែរ។ វិធីសាស្រ្ត។ ឧទាហរណ៍ ពិនិត្យសញ្ញា $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
ចាប់តាំងពី $u_(xx)^(")(M_1)>0$ បន្ទាប់មក $M_1$ គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $u(x)$ ខណៈដែល $u_(\min)=u(0)=0 $ ។ ចាប់តាំងពី $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
តម្លៃនៃអនុគមន៍ $u(x)$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃការតភ្ជាប់ដែលបានផ្ដល់ឱ្យស្របនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z(x,y)$, i.e. extrema ដែលបានរកឃើញនៃអនុគមន៍ $u(x)$ គឺជា extrema តាមលក្ខខណ្ឌដែលចង់បាននៃអនុគមន៍ $z(x,y)$ ។
ចម្លើយ៖ នៅចំណុច $(0;0)$ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអប្បបរមា $z_(\min)=0$ ។ នៅចំណុច $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា $z_(\max)=\frac(500)(243 )$។
ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍មួយបន្ថែមទៀត ដែលយើងរកឃើញពីធម្មជាតិនៃភាពជ្រុលនិយម ដោយកំណត់សញ្ញានៃ $d^2F$។
ឧទាហរណ៍ #3
ស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z=5xy-4$ ប្រសិនបើអថេរ $x$ និង $y$ គឺវិជ្ជមាន ហើយបំពេញសមីការកម្រិត $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$ ។
តែងមុខងារ Lagrange៖ $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)$ ។ ស្វែងរកចំណុចស្ថានីនៃមុខងារ Lagrange៖
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \\ F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; y > 0. \end(តម្រឹម) \\right.$$
ការបំប្លែងបន្ថែមទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តដោយគិតគូរពី $x > 0; \; y > 0$ (នេះត្រូវបានចែងក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា)។ ពីសមីការទីពីរ យើងបង្ហាញ $\lambda=-\frac(5x)(y)$ ហើយជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការទីមួយ៖ $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$។ ការជំនួស $x=2y$ ទៅក្នុងសមីការទីបី យើងទទួលបាន៖ $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$ ។
ចាប់តាំងពី $y=1$ បន្ទាប់មក $x=2$, $\lambda=-10$។ ធម្មជាតិនៃកម្រិតខ្លាំងនៅចំណុច $(2;1)$ ត្រូវបានកំណត់ពីសញ្ញា $d^2F$ ។
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^(")=5; \; F_(yy)^(")=\lambda ។ $$
ចាប់តាំងពី $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ បន្ទាប់មក៖
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8)\right)+d\left(\frac(y^2)(2)\right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y)។ $$
ជាគោលការណ៍ នៅទីនេះអ្នកអាចជំនួសកូអរដោណេនៃចំណុចស្ថានី $x=2$, $y=1$ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $\lambda=-10$ ដូច្នេះវាទទួលបាន៖
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^(")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2)\right)-10\cdot\left(-\frac(dx)) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងបញ្ហាផ្សេងទៀតសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមដែលមានលក្ខខណ្ឌ អាចមានចំណុចស្ថានីមួយចំនួន។ ក្នុងករណីបែបនេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការតំណាងឱ្យ $d^2F$ ក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ ហើយបន្ទាប់មកជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចស្ថានីនីមួយៗដែលបានរកឃើញទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល៖
$$ d^2 F=F_(xx)^(")dx^2+2F_(xy)^(")dxdy+F_(yy)^(")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \\right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \\right)\cdot dx^2 $$
ការជំនួស $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ យើងទទួលបាន៖
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10\cdot4)(16)\right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
ចាប់តាំងពី $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
ចម្លើយ៖ នៅចំណុច $(2;1)$ មុខងារមានលក្ខខណ្ឌអតិបរមា $z_(\max)=6$ ។
នៅផ្នែកបន្ទាប់ យើងនឹងពិចារណាលើការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Lagrange សម្រាប់មុខងារនៃចំនួនអថេរកាន់តែច្រើន។
វិធីសាស្ត្រសម្រាប់កំណត់កម្រិតជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌចាប់ផ្តើមដោយការសាងសង់មុខងារ Lagrange ជំនួយ ដែលនៅក្នុងតំបន់នៃដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានឈានដល់អតិបរមាសម្រាប់តម្លៃដូចគ្នានៃអថេរ។ x 1 , x 2 , ... , x ន ដែលជាមុខងារគោលបំណង z . អនុញ្ញាតឱ្យបញ្ហានៃការកំណត់លក្ខខណ្ឌអតិបរមានៃមុខងារ z=f(X) នៅក្រោមការរឹតបន្តឹង φ ខ្ញុំ ( x 1 , x 2 , ..., x ន ) = 0, ខ្ញុំ = 1, 2, ..., ម , ម < ន
តែងមុខងារ
ដែលត្រូវបានគេហៅថា មុខងារ Lagrange. X , - កត្តាថេរ ( មេគុណ Lagrange) ចំណាំថាមេគុណ Lagrange អាចត្រូវបានផ្តល់អត្ថន័យសេដ្ឋកិច្ច។ ប្រសិនបើ ក f(x 1 , x 2 , ... , x ន ) - ប្រាក់ចំណូលតាមផែនការ X = (x 1 , x 2 , ... , x ន ) និងមុខងារ φ ខ្ញុំ (x 1 , x 2 , ... , x ន ) គឺជាការចំណាយនៃធនធាន i-th ដែលត្រូវគ្នានឹងផែនការនេះ បន្ទាប់មក X , - តម្លៃ (ការប៉ាន់ស្មាន) នៃធនធាន i-th ដែលកំណត់លក្ខណៈនៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃខ្លាំងនៃមុខងារគោលបំណងអាស្រ័យលើការផ្លាស់ប្តូរទំហំនៃធនធាន i-th (ការប៉ាន់ស្មានរឹម) ។ L(X) - មុខងារ n+m អថេរ (x 1 , x 2 , ... , x ន , λ 1 , λ 2 , ..., λ ន ) . ការកំណត់ចំណុចស្ថានីនៃមុខងារនេះនាំទៅរកដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ
|
|
វាងាយស្រួលមើលនោះ។
. ដូច្នេះបញ្ហានៃការស្វែងរកលក្ខខណ្ឌជ្រុលនៃមុខងារ z=f(X)
កាត់បន្ថយការស្វែងរកភាពខ្លាំងក្នុងតំបន់នៃមុខងារ L(X)
. ប្រសិនបើចំណុចស្ថានីត្រូវបានរកឃើញនោះ សំណួរនៃអត្ថិភាពនៃអត្ថិភាពនៅក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម - ការសិក្សាអំពីសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរ ឃ
2
L(X)
នៅចំណុចស្ថានី បានផ្តល់ថាការបង្កើនអថេរ Δx
ខ្ញុំ
- ទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង
|
|
ទទួលបានដោយភាពខុសគ្នានៃសមីការកម្រិត។
ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរដោយប្រើឧបករណ៍ដោះស្រាយ
ការកំណត់ ការស្វែងរកដំណោះស្រាយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកដំណោះស្រាយមួយទៅប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងការមិនស្គាល់ពីរ:
កន្លែងណា 
- មុខងារមិនលីនេអ៊ែរនៃអថេរ x
និង
y
,
គឺជាថេរដែលបំពាន។
គេដឹងថាគូនេះ។ x , y ) គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ (10) ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែវាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការខាងក្រោមដោយមិនស្គាល់ពីរ៖
ពីម៉្យាងទៀតដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (១០) គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងពីរ៖ f ] (x, y) = គ និង f 2 (x, y) = C 2 លើផ្ទៃ XOយ.
ពីនេះធ្វើតាមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃប្រព័ន្ធ។ សមីការមិនលីនេអ៊ែរ៖
កំណត់ (យ៉ាងហោចណាស់ប្រមាណ) ចន្លោះពេលនៃអត្ថិភាពនៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ (១០) ឬសមីការ (១១)។ នៅទីនេះវាចាំបាច់ដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីប្រភេទនៃសមីការរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធ, ដែននៃនិយមន័យនៃសមីការគ្នារបស់ពួកគេ, ល. ពេលខ្លះការជ្រើសរើសនៃការប្រហាក់ប្រហែលដំបូងនៃដំណោះស្រាយត្រូវបានប្រើ;
កំណត់តារាងដំណោះស្រាយនៃសមីការ (11) សម្រាប់អថេរ x និង y នៅលើចន្លោះពេលដែលបានជ្រើសរើស ឬបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f 1 (x, y) = គ, និង f 2 (x, y) = C 2 (ប្រព័ន្ធ (១០)) ។
ធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មឫសប៉ាន់ស្មាននៃប្រព័ន្ធសមីការ - ស្វែងរកតម្លៃអប្បបរមាជាច្រើនពីតារាងតារាងនៃឫសសមីការ (១១) ឬកំណត់ចំណុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងដែលរួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធ (១០)។
4. ស្វែងរកឫសសម្រាប់ប្រព័ន្ធសមីការ (10) ដោយប្រើកម្មវិធីបន្ថែម ស្វែងរកដំណោះស្រាយ។
| ឈ្មោះប៉ារ៉ាម៉ែត្រ | អត្ថន័យ |
| ប្រធានបទអត្ថបទ៖ | វិធីសាស្រ្ត Lagrange ។ |
| Rubric (ប្រភេទប្រធានបទ) | គណិតវិទ្យា |
ដើម្បីស្វែងរកពហុធាមានន័យថាដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃមេគុណរបស់វា។ 
. ដើម្បីធ្វើដូចនេះដោយប្រើលក្ខខណ្ឌអន្តរប៉ូល អ្នកអាចបង្កើតប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (SLAE)។
កត្តាកំណត់នៃ SLAE នេះជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់ Vandermonde ។ កត្តាកំណត់ Vandermonde មិនស្មើនឹងសូន្យនៅពេលដែលសម្រាប់ នោះគឺក្នុងករណីដែលមិនមានថ្នាំងដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងតារាងរកមើល។ Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ វាអាចត្រូវបានអះអាងថា SLAE មានដំណោះស្រាយ ហើយដំណោះស្រាយនេះគឺមានតែមួយគត់។ ដោះស្រាយ SLAE និងកំណត់មេគុណដែលមិនស្គាល់ គេអាចបង្កើតពហុនាមអន្តរប៉ូល។
ពហុនាមដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃអន្តរប៉ូល នៅពេលដែលត្រូវបានបញ្ចូលដោយវិធីសាស្ត្រ Lagrange ត្រូវបានសាងសង់ជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី n:
ពហុនាមត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋានពហុនាម។ ទៅ ពហុនាម Lagrangeបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការបំភាន់ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ដែលលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្តសម្រាប់ពហុនាមមូលដ្ឋានរបស់វា៖
សម្រាប់ 
.
ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងនេះត្រូវបានបំពេញ នោះយើងមាន៖
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ ការបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ពហុនាមមូលដ្ឋាន មានន័យថា លក្ខខណ្ឌ interpolation ក៏ពេញចិត្តផងដែរ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ទម្រង់នៃពហុនាមមូលដ្ឋានដោយផ្អែកលើការរឹតបន្តឹងដែលដាក់លើពួកវា។
លក្ខខណ្ឌទី១៖នៅ។
លក្ខខណ្ឌទី២៖ .
ជាចុងក្រោយ សម្រាប់ពហុនាមមូលដ្ឋាន យើងអាចសរសេរបាន៖
បន្ទាប់មក ការជំនួសកន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់ពហុនាមមូលដ្ឋានទៅជាពហុនាមដើម យើងទទួលបានទម្រង់ចុងក្រោយនៃពហុនាម Lagrange៖
ទម្រង់ជាក់លាក់នៃពហុនាម Lagrange នៅ ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តអន្តរប៉ូលលីនេអ៊ែរ៖
.
ពហុធា Lagrange ដែលយកនៅ ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តធ្វើអន្តរប៉ូល quadratic៖
វិធីសាស្រ្ត Lagrange ។ - គំនិតនិងប្រភេទ។ ការចាត់ថ្នាក់ និងលក្ខណៈនៃប្រភេទ "វិធីសាស្ត្រ Lagrange"។ ឆ្នាំ 2017, 2018 ។
ឧបករណ៍បញ្ជាពីចម្ងាយលីនេអ៊ែរ។ និយមន័យ។ ការគ្រប់គ្រងប្រភេទ i.e. លីនេអ៊ែរ ទាក់ទងនឹងមុខងារមិនស្គាល់ ហើយដេរីវេរបស់វាត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ។ សម្រាប់ដំណោះស្រាយនៃប្រភេទនេះ ur-th ពិចារណាវិធីសាស្រ្តពីរ៖ វិធីសាស្ត្រ Lagrange និងវិធីសាស្ត្រ Bernoulli ។ ចូរយើងពិចារណា DE ដូចគ្នា ។
និយមន័យ។ DU ត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នាប្រសិនបើ f-i អាចត្រូវបានតំណាងជា f-i ទាក់ទងនឹងអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេឧទាហរណ៍។ F-th ត្រូវបានគេហៅថាការវាស់វែង f-th ដូចគ្នា ប្រសិនបើឧទាហរណ៍៖ 1) - លំដាប់ទី 1 នៃភាពដូចគ្នា 2) - លំដាប់ទី 2 នៃភាពដូចគ្នា 3) - លំដាប់សូន្យនៃភាពដូចគ្នា (គ្រាន់តែដូចគ្នា ....
ភារកិច្ចខ្លាំងគឺមានសារៈសំខាន់យ៉ាងខ្លាំងក្នុងការគណនាសេដ្ឋកិច្ច។ នេះគឺជាការគណនាឧទាហរណ៍ ប្រាក់ចំណូលអតិបរមា ប្រាក់ចំណេញ ការចំណាយអប្បបរមា អាស្រ័យលើអថេរជាច្រើន៖ ធនធាន ទ្រព្យសម្បត្តិផលិតកម្ម។ល។ ទ្រឹស្ដីនៃការស្វែងរកមុខងារខ្លាំងៗ....
3. 2. 1. DE ជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន S.R. 3. នៅក្នុងវិទ្យាសាស្រ្តធម្មជាតិ បច្ចេកវិទ្យា និងសេដ្ឋកិច្ច ជារឿយៗគេត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងរូបមន្តជាក់ស្តែង ពោលគឺឧ។ រូបមន្តចងក្រងដោយឈរលើមូលដ្ឋាននៃដំណើរការទិន្នន័យស្ថិតិ ឬ...
វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណ Lagrange ។
វិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange គឺជាវិធីសាស្រ្តមួយដែលអនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាការសរសេរកម្មវិធីដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ។
ការសរសេរកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរ គឺជាផ្នែកមួយនៃការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាខ្លាំងបំផុតជាមួយនឹងមុខងារគោលបំណងមិនមែនលីនេអ៊ែរ និងដែននៃដំណោះស្រាយដែលអាចសម្រេចបានដែលកំណត់ដោយឧបសគ្គមិនមែនលីនេអ៊ែរ។ នៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ច នេះត្រូវគ្នាទៅនឹងការពិតដែលថាលទ្ធផល (ប្រសិទ្ធភាព) កើនឡើង ឬថយចុះមិនសមាមាត្រទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរទំហំនៃការប្រើប្រាស់ធនធាន (ឬស្មើនឹងទំហំផលិតកម្ម)៖ ឧទាហរណ៍ ដោយសារការបែងចែកតម្លៃផលិតកម្មនៅក្នុងសហគ្រាសទៅជាអថេរ។ និងថេរតាមលក្ខខណ្ឌ; ដោយសារតែការតិត្ថិភាពនៃតម្រូវការទំនិញ នៅពេលដែលអង្គភាពបន្តបន្ទាប់នីមួយៗពិបាកលក់ជាងប្រភេទមុន ។ល។
បញ្ហានៃការសរសេរកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរត្រូវបានចោទជាបញ្ហានៃការស្វែងរកល្អបំផុតនៃមុខងារគោលបំណងជាក់លាក់មួយ។
F(x 1,…x n), ច (x) → អតិបរមា
នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ
g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x) ≤ ខ , x ≥ 0
កន្លែងណា x- វ៉ិចទ័រនៃអថេរដែលត្រូវការ;
ច (x- មុខងារគោលបំណង;
g (x) គឺជាមុខងារកំហិត (អាចផ្លាស់ប្តូរបានជាបន្តបន្ទាប់);
ខ - វ៉ិចទ័រនៃកម្រិតថេរ។
ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាការសរសេរកម្មវិធីដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ (អតិបរមា ឬអប្បបរមាជាសកល) អាចជារបស់ព្រំដែន ឬផ្នែកខាងក្នុងនៃសំណុំដែលអាចទទួលយកបាន។
ផ្ទុយទៅនឹងបញ្ហាសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ ក្នុងបញ្ហាសរសេរកម្មវិធីដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ភាពល្អប្រសើរបំផុតមិនចាំបាច់ស្ថិតនៅលើព្រំដែននៃតំបន់ដែលកំណត់ដោយឧបសគ្គនោះទេ។ ម៉្យាងទៀតបញ្ហាគឺជ្រើសរើសតម្លៃដែលមិនអវិជ្ជមាននៃអថេរដែលជាកម្មវត្ថុនៃប្រព័ន្ធនៃឧបសគ្គក្នុងទម្រង់នៃវិសមភាពដែលអតិបរមា (ឬអប្បបរមា) នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានឈានដល់។ ក្នុងករណីនេះ ទម្រង់នៃមុខងារកម្មវត្ថុ ឬវិសមភាពមិនត្រូវបានចែងទេ។ វាអាចមានករណីផ្សេងៗគ្នា៖ មុខងារគោលបំណងគឺមិនមែនលីនេអ៊ែរ ហើយឧបសគ្គគឺលីនេអ៊ែរ។ មុខងារគោលបំណងគឺលីនេអ៊ែរ ហើយឧបសគ្គ (យ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវា) គឺមិនមែនលីនេអ៊ែរ។ ទាំងមុខងារគោលបំណង និងឧបសគ្គគឺមិនមែនលីនេអ៊ែរទេ។
បញ្ហានៃការសរសេរកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ វិស្វកម្ម សេដ្ឋកិច្ច គណិតវិទ្យា ទំនាក់ទំនងអាជីវកម្ម និងវិទ្យាសាស្ត្ររដ្ឋាភិបាល។
ជាឧទាហរណ៍ ការសរសេរកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរ ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងបញ្ហាសេដ្ឋកិច្ចជាមូលដ្ឋាន។ ដូច្នេះនៅក្នុងបញ្ហានៃការបែងចែកធនធានមានកម្រិត ប្រសិទ្ធភាពត្រូវបានពង្រីកជាអតិបរមា ឬប្រសិនបើអ្នកប្រើប្រាស់ត្រូវបានសិក្សា ការប្រើប្រាស់នៅក្នុងវត្តមាននៃឧបសគ្គដែលបង្ហាញពីលក្ខខណ្ឌនៃភាពខ្វះខាតនៃធនធាន។ ក្នុងទម្រង់ទូទៅបែបនេះ រូបមន្តគណិតវិទ្យានៃបញ្ហាអាចប្រែទៅជាមិនអាចទៅរួច ប៉ុន្តែនៅក្នុងកម្មវិធីជាក់លាក់ ទម្រង់បរិមាណនៃអនុគមន៍ទាំងអស់អាចត្រូវបានកំណត់ដោយផ្ទាល់។ ជាឧទាហរណ៍ សហគ្រាសឧស្សាហកម្មផលិតផលិតផលផ្លាស្ទិច។ ប្រសិទ្ធភាពផលិតកម្មនៅទីនេះត្រូវបានវាស់ដោយប្រាក់ចំណេញ ហើយឧបសគ្គត្រូវបានបកស្រាយថាជាកម្លាំងពលកម្មដែលមាន កន្លែងផលិត ផលិតភាពឧបករណ៍។ល។
វិធីសាស្រ្ត "ប្រសិទ្ធភាពចំណាយ" ក៏សមទៅនឹងគ្រោងការណ៍នៃការសរសេរកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរដែរ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ប្រើប្រាស់ក្នុងការសម្រេចចិត្តក្នុងរដ្ឋាភិបាល។ មុខងារប្រសិទ្ធភាពសរុបគឺសុខុមាលភាព។ បញ្ហាការសរសេរកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរចំនួនពីរកើតឡើងនៅទីនេះ៖ ទីមួយគឺការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពជាមួយនឹងការចំណាយមានកំណត់ ទីពីរគឺការបង្រួមអប្បបរមានៃការចំណាយ ដែលផ្តល់ថាឥទ្ធិពលគឺលើសពីកម្រិតអប្បបរមាជាក់លាក់មួយ។ បញ្ហានេះជាធម្មតាត្រូវបានយកគំរូតាមយ៉ាងល្អដោយប្រើកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរ។
លទ្ធផលនៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរគឺមានប្រយោជន៍ក្នុងការសម្រេចចិត្តរបស់រដ្ឋាភិបាល។ ជាការពិតណាស់ ដំណោះស្រាយជាលទ្ធផលត្រូវបានណែនាំ ដូច្នេះចាំបាច់ត្រូវធ្វើការស៊ើបអង្កេតលើការសន្មត់ និងភាពត្រឹមត្រូវនៃការបង្កើតបញ្ហាកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរ មុនពេលធ្វើការសម្រេចចិត្តចុងក្រោយ។
បញ្ហាដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរគឺស្មុគស្មាញ ដែលជារឿយៗពួកគេត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញដោយនាំទៅរកបញ្ហាលីនេអ៊ែរ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ វាត្រូវបានសន្មត់តាមលក្ខខណ្ឌថានៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយ មុខងារគោលបំណងកើនឡើង ឬថយចុះសមាមាត្រទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរអថេរឯករាជ្យ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ប្រមាណលីនេអ៊ែរជាដុំៗ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាអាចអនុវត្តបានតែចំពោះប្រភេទមួយចំនួននៃបញ្ហាដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរប៉ុណ្ណោះ។
បញ្ហាដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើមុខងារ Lagrange៖ ដោយបានរកឃើញចំណុចស្នូលរបស់វា ពួកគេក៏ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាផងដែរ។ វិធីសាស្ត្រជម្រាលកាន់កាប់កន្លែងសំខាន់ក្នុងចំណោមក្បួនដោះស្រាយគណនាសម្រាប់ N.P. មិនមានវិធីសាស្រ្តសកលសម្រាប់បញ្ហាដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរទេ ហើយតាមមើលទៅវាប្រហែលជាមិនមានទេ ដោយសារពួកវាមានភាពចម្រុះខ្លាំង។ បញ្ហាច្រើនជ្រុលគឺពិបាកដោះស្រាយជាពិសេស។
វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យកាត់បន្ថយបញ្ហានៃការសរសេរកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការគឺវិធីសាស្ត្រ Lagrange នៃមេគុណមិនកំណត់។
ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណ Lagrange ជាខ្លឹមសារ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់កំណត់ចំណុចល្អបំផុតក្នុងបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាពជាមួយនឹងឧបសគ្គក្នុងទម្រង់សមភាព។ ក្នុងករណីនេះ បញ្ហាជាមួយការរឹតត្បិតត្រូវបានបំប្លែងទៅជាបញ្ហាសមមូលនៃការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពដែលគ្មានការរឹតត្បិត ដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនស្គាល់មួយចំនួនលេចឡើង ហៅថា មេគុណ Lagrange ។
វិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange មាននៅក្នុងការកាត់បន្ថយបញ្ហាសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌទៅនឹងបញ្ហាសម្រាប់មុខងារជំនួយដ៏លើសលប់ដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ - អ្វីដែលគេហៅថា។ មុខងារ Lagrange ។
ចំពោះបញ្ហានៃភាពជ្រុលនៃមុខងារ f(x 1 , x 2 , ... , x n) នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ (សមីការគូ) φ ខ្ញុំ(x 1 , x 2 , ... , x n) = 0, ខ្ញុំ= 1, 2,..., មមុខងារ Lagrange មានទម្រង់
L(x 1, x 2… x n ,λ 1, λ 2 ,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i −1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
មេគុណ λ 1 , λ 2 , ... , λmបានហៅ មេគុណ Lagrange ។
ប្រសិនបើបរិមាណ x 1 , x 2 , ... , x n , λ 1 , λ 2 , ... , λmគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការដែលកំណត់ចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ Lagrange ពោលគឺសម្រាប់មុខងារផ្សេងគ្នា ពួកវាជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ។
បន្ទាប់មកនៅក្រោមការសន្មត់ទូទៅគ្រប់គ្រាន់ x 1 , x 2 , ... , x n ផ្តល់នូវមុខងារ f ។
ពិចារណាពីបញ្ហានៃការបង្រួមមុខងារនៃ n អថេរដោយគិតគូរពីឧបសគ្គមួយក្នុងទម្រង់សមភាព៖
បង្រួមអប្បបរមា f(x 1, x 2… x n) (1)
ជាមួយនឹងការរឹតបន្តឹង h 1 (x 1, x 2… x n) = 0 (2)
ដោយអនុលោមតាមវិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange បញ្ហានេះត្រូវបានបំលែងទៅជាបញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាពដែលមិនមានការរឹតបន្តឹងដូចខាងក្រោម៖
បង្រួមអប្បបរមា L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
ដែលមុខងារ L(х;λ) ត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍ Lagrange,
λ គឺជាចំនួនថេរដែលមិនស្គាល់ ដែលត្រូវបានគេហៅថាមេគុណ Lagrange ។ គ្មានតម្រូវការណាមួយត្រូវបានដាក់លើសញ្ញា λ ទេ។
អនុញ្ញាតឱ្យ សម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ λ=λ 0 អប្បបរមាដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ L(x,λ) ទាក់ទងទៅនឹង x ត្រូវបានឈានដល់ចំនុច x=x 0 និង x 0 បំពេញសមីការ h 1 (x 0)=0 . បន្ទាប់មក ដូចដែលវាងាយស្រួលមើល x 0 បង្រួមអប្បបរមា (1) យកទៅក្នុងគណនី (2) ចាប់តាំងពីសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ x ពេញចិត្ត (2), h 1 (x) = 0 និង L(x,λ)= អប្បបរមា f(x) ។
ជាការពិតណាស់ វាចាំបាច់ក្នុងការជ្រើសរើសតម្លៃ λ=λ 0 តាមរបៀបដែលសំរបសំរួលនៃចំនុចអប្បបរមាដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ x 0 បំពេញសមភាព (2) ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើប្រសិនបើដោយពិចារណា λ ជាអថេរមួយ រកឃើញអប្បបរមាដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ (3) ក្នុងទម្រង់ជាអនុគមន៍ λ ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសតម្លៃនៃ λ ដែលសមភាព (2) ពេញចិត្ត។ ចូរយើងបង្ហាញវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។
បង្រួមអប្បបរមា f(x)=x 1 2 +x 2 2 = 0
ជាមួយនឹងការដាក់កម្រិត h 1 (x) = 2x 1 + x 2 -2 = 0 = 0
បញ្ហាបង្កើនប្រសិទ្ធភាពដែលមិនមានកម្រិតត្រូវគ្នាត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖
បង្រួមអប្បបរមា L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
ដំណោះស្រាយ។ ដោយស្មើធាតុផ្សំពីរនៃជម្រាល L ដល់សូន្យ យើងទទួលបាន
→ x 1 0 = λ
→ x 2 0 = λ/2
ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើចំនុចស្ថានី x° ត្រូវគ្នានឹងអប្បរមា យើងគណនាធាតុនៃម៉ាទ្រីស Hessian នៃអនុគមន៍ L(x; u) ដែលចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍ x,
ដែលប្រែទៅជានិយមន័យវិជ្ជមាន។
នេះមានន័យថា L(x,u) គឺជាមុខងារប៉ោងនៃ x ។ ដូច្នេះ កូអរដោនេ x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 កំណត់ចំណុចអប្បបរមាសកល។ តម្លៃដ៏ល្អប្រសើរនៃ λ ត្រូវបានរកឃើញដោយការជំនួសតម្លៃ x 1 0 និង x 2 0 ទៅក្នុងសមីការ 2x 1 + x 2 = 2, wherece 2λ+λ/2=2 ឬ λ 0 = 4/5 ។ ដូច្នេះអប្បបរមាតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានឈានដល់ x 1 0 = 4/5 និង x 2 0 = 2/5 ហើយស្មើនឹង min f (x) = 4/5 ។
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាពីឧទាហរណ៍ យើងបានចាត់ទុក L(x;λ) ជាមុខងារនៃអថេរពីរ x 1 និង x 2 ហើយលើសពីនេះទៀត សន្មតថាតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ ត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះការដាក់កម្រិតត្រូវបានពេញចិត្ត។ ប្រសិនបើដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ
J=1,2,3,…,n
មិនអាចទទួលបានក្នុងទម្រង់នៃមុខងារច្បាស់លាស់នៃ λ ទេ បន្ទាប់មកតម្លៃនៃ x និង λ ត្រូវបានរកឃើញដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធខាងក្រោមដែលមានសមីការ n + 1 ជាមួយ n + 1 មិនស្គាល់៖
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
វិធីសាស្រ្តស្វែងរកជាលេខ (ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន) អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សម្រាប់ដំណោះស្រាយនីមួយៗ () គួរតែគណនាធាតុនៃម៉ាទ្រីស Hessian នៃអនុគមន៍ L ដែលចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍ x ហើយរកមើលថាតើម៉ាទ្រីសនេះកំណត់វិជ្ជមាន (អប្បរមាក្នុងស្រុក) ឬកំណត់អវិជ្ជមាន (អតិបរមាក្នុងស្រុក )
វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណ Lagrange អាចត្រូវបានពង្រីកទៅករណីនៅពេលដែលបញ្ហាមានឧបសគ្គជាច្រើនក្នុងទម្រង់នៃភាពស្មើគ្នា។ ពិចារណាបញ្ហាទូទៅដែលទាមទារ
បង្រួមអប្បបរមា f(x)
នៅក្រោមការរឹតបន្តឹង h k = 0, k = 1, 2, ..., K ។
មុខងារ Lagrange មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
នៅទីនេះ λ 1 , λ 2 , ... , λk-Lagrange មេគុណ, i.e. ប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនស្គាល់ដែលតម្លៃត្រូវកំណត់។ សមីការដេរីវេផ្នែកនៃ L ទាក់ទងនឹង x ដល់សូន្យ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមនៃសមីការ n ជាមួយ n មិនស្គាល់៖
ប្រសិនបើវាពិបាកក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធខាងលើក្នុងទម្រង់ជាមុខងារនៃវ៉ិចទ័រ λ នោះប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានពង្រីកដោយរួមបញ្ចូលការរឹតបន្តឹងក្នុងទម្រង់សមភាព។
ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធពង្រីកដែលមានសមីការ n + K ជាមួយនឹងការមិនស្គាល់ n + K កំណត់ចំណុចស្ថានីនៃមុខងារ L. បន្ទាប់មកនីតិវិធីសម្រាប់ពិនិត្យមើលអប្បបរមាឬអតិបរមាត្រូវបានអនុវត្តដែលត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្អែកលើការគណនា ធាតុនៃម៉ាទ្រីស Hessian នៃអនុគមន៍ L ដែលចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍ x ស្រដៀងនឹងធាតុដូចដែលវាត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងករណីនៃបញ្ហាជាមួយនឹងឧបសគ្គមួយ។ សម្រាប់បញ្ហាមួយចំនួន ប្រព័ន្ធដែលបានពង្រីកនៃសមីការ n+K ជាមួយ n+K មិនស្គាល់អាចមិនមានដំណោះស្រាយ ហើយវិធីសាស្ត្រមេគុណ Lagrange ប្រែថាមិនអាចអនុវត្តបានទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគួរកត់សំគាល់ថាការងារបែបនេះកម្រមានណាស់ក្នុងការអនុវត្ត។
ចូរយើងពិចារណាករណីពិសេសនៃបញ្ហាទូទៅនៃការសរសេរកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរ ដោយសន្មតថាប្រព័ន្ធនៃឧបសគ្គមានតែសមីការ គ្មានលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការមិនអវិជ្ជមាននៃអថេរ ហើយនិងជាមុខងារបន្តរួមជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែករបស់វា។ ដូច្នេះដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (7) ចំណុចទាំងអស់ត្រូវបានទទួលដែលមុខងារ (6) អាចមានតម្លៃខ្លាំងបំផុត។
ក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណ Lagrange
1. យើងតែងមុខងារ Lagrange ។
2. យើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ Lagrange ទាក់ទងនឹងអថេរ x J ,λ i ហើយយកពួកវាទៅសូន្យ។
3. យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការ (7) ស្វែងរកចំណុចដែលមុខងារគោលបំណងនៃបញ្ហាអាចមានកម្រិតខ្លាំង។
4. ក្នុងចំណោមចំនុចដែលសង្ស័យពីភាពជ្រុលនិយម យើងរកឃើញចំណុចទាំងនោះដែលឈានដល់កម្រិតខ្លាំង ហើយគណនាតម្លៃនៃមុខងារ (6) នៅចំណុចទាំងនេះ។
ឧទាហរណ៍។
ទិន្នន័យដំបូង៖យោងតាមផែនការផលិតកម្ម សហគ្រាសត្រូវការផលិតផលិតផលចំនួន 180 ។ ផលិតផលទាំងនេះអាចត្រូវបានផលិតតាមវិធីបច្ចេកវិទ្យាពីរ។ នៅក្នុងការផលិតផលិតផល x 1 ក្នុងវិធីទី 1 ការចំណាយគឺ 4x 1 + x 1 2 rubles ហើយក្នុងការផលិតផលិតផល x 2 ក្នុងវិធីសាស្រ្ត 2 គឺ 8x 2 + x 2 2 rubles ។ កំណត់ថាតើផលិតផលនីមួយៗគួរផលិតប៉ុន្មាន ដើម្បីឱ្យតម្លៃផលិតកម្មមានតិចតួចបំផុត។
មុខងារគោលបំណងសម្រាប់បញ្ហាមានទម្រង់
® នាទីនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ x 1 + x 2 = 180, x 2 ≥0 ។
1. តែងមុខងារ Lagrange
.
2.
យើងគណនានិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកទាក់ទងនឹង x 1, x 2, λ ហើយស្មើនឹងសូន្យ៖ 
3.
ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការ យើងរកឃើញ x 1 \u003d 91, x 2 \u003d 89
4. ដោយបានធ្វើការជំនួសក្នុងមុខងារគោលបំណង x 2 \u003d 180-x 1 យើងទទួលបានអនុគមន៍មួយនៃអថេរមួយគឺ f 1 \u003d 4x 1 + x 1 2 +8 (180-x 1) + (180- x ១) ២
គណនា ឬ 4x 1 -364=0 ,
តើនៅពេលណាដែលយើងមាន x 1 * = 91, x 2 * = 89 ។
ចម្លើយ៖ ចំនួនផលិតផលដែលផលិតដោយវិធីសាស្ត្រទីមួយគឺ x 1 \u003d 91 ដោយវិធីសាស្ត្រទីពីរ x 2 \u003d 89 ខណៈពេលដែលតម្លៃនៃមុខងារគោលបំណងគឺ 17278 រូប្លិ៍។
ពីខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្ត Lagrange គឺដើម្បីកាត់បន្ថយបញ្ហាជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជ្រុលដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ។ ពិចារណាគំរូកម្មវិធីមិនមែនលីនេអ៊ែរ៖
(5.2)
កន្លែងណា 
មានមុខងារល្បី,
ក 
ត្រូវបានផ្តល់មេគុណ។
ចំណាំថានៅក្នុងរូបមន្តនៃបញ្ហានេះ ឧបសគ្គត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមភាព ហើយមិនមានលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អថេរដែលមិនអវិជ្ជមាននោះទេ។ លើសពីនេះទៀតយើងសន្មតថាមុខងារ 
គឺបន្តជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកដំបូងរបស់ពួកគេ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ប្តូរលក្ខខណ្ឌ (5.2) តាមរបៀបដែលផ្នែកខាងឆ្វេងឬខាងស្តាំនៃសមភាពមាន សូន្យ:
(5.3)
ចូរយើងបង្កើតមុខងារ Lagrange ។ វារួមបញ្ចូលមុខងារគោលបំណង (5.1) និងផ្នែកខាងស្តាំនៃឧបសគ្គ (5.3) ដែលយករៀងគ្នាជាមួយមេគុណ 
. វានឹងមានមេគុណ Lagrange ច្រើនដូចដែលមានឧបសគ្គនៅក្នុងបញ្ហា។
ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ (5.4) គឺជាចំណុចខ្លាំងបំផុតនៃបញ្ហាដើម និងផ្ទុយមកវិញ៖ ផែនការដ៏ប្រសើរបំផុតនៃបញ្ហា (5.1)-(5.2) គឺជាចំណុចជ្រុលនៃមុខងារ Lagrange ។
ពិតហើយ សូមឲ្យដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញ 
បញ្ហា (5.1)-(5.2) បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌ (5.3) ត្រូវបានពេញចិត្ត។ ចូរជំនួសផែនការ 
ចូលទៅក្នុងអនុគមន៍ (5.4) និងផ្ទៀងផ្ទាត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃសមភាព (5.5) ។
ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកផែនការដ៏ល្អប្រសើរនៃបញ្ហាដើម ចាំបាច់ត្រូវធ្វើការស៊ើបអង្កេតលើមុខងារ Lagrange ឱ្យបានខ្លាំងបំផុត។ អនុគមន៍មានតម្លៃខ្លាំងនៅចំណុចដែលដេរីវេភាគរបស់វាស្មើ សូន្យ. ចំណុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ស្ថានី។
យើងកំណត់ដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍ (5.4)
,
.
បន្ទាប់ពីការស្មើគ្នា សូន្យនិស្សន្ទវត្ថុយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ m+nសមីការជាមួយ m+nមិនស្គាល់
,
(5.6)
ក្នុងករណីទូទៅ ប្រព័ន្ធ (5.6)-(5.7) នឹងមានដំណោះស្រាយជាច្រើន ដែលរួមបញ្ចូលនូវអតិបរមា និងអប្បបរមាទាំងអស់នៃមុខងារ Lagrange ។ ដើម្បីរំលេចអតិបរិមា ឬអប្បបរមាជាសកល តម្លៃនៃមុខងារគោលបំណងត្រូវបានគណនានៅគ្រប់ចំណុចដែលបានរកឃើញ។ តម្លៃធំបំផុតនៃតម្លៃទាំងនេះនឹងជាអតិបរមាសកល ហើយតូចបំផុតនឹងជាអប្បបរមាសកល។ ក្នុងករណីខ្លះវាអាចប្រើបាន។ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពតឹងរ៉ឹងមុខងារបន្ត (សូមមើលបញ្ហា 5.2 ខាងក្រោម)៖
អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ 
គឺបន្ត និងខុសគ្នាពីរដងនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចស្ថានីរបស់វា។ 
(ទាំងនោះ។ 
)). បន្ទាប់មក៖
ក
) ប្រសិនបើ 
,
(5.8)
បន្ទាប់មក 
គឺជាចំណុចអតិបរមាដ៏តឹងរឹងនៃមុខងារ 
;
ខ)
ប្រសិនបើ 
,
(5.9)
បន្ទាប់មក 
គឺជាចំណុចអប្បបរមាដ៏តឹងរឹងនៃមុខងារ 
;
ជី
) ប្រសិនបើ 
,
បន្ទាប់មកសំណួរនៃវត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមនៅតែបើកចំហ។
លើសពីនេះទៅទៀត ដំណោះស្រាយមួយចំនួននៃប្រព័ន្ធ (5.6)-(5.7) អាចនឹងអវិជ្ជមាន។ ដែលមិនស្របនឹងអត្ថន័យសេដ្ឋកិច្ចនៃអថេរ។ ក្នុងករណីនេះលទ្ធភាពនៃការជំនួសតម្លៃអវិជ្ជមានដោយសូន្យគួរតែត្រូវបានវិភាគ។
អត្ថន័យសេដ្ឋកិច្ចនៃមេគុណ Lagrange ។តម្លៃមេគុណល្អបំផុត 
បង្ហាញថាតើតម្លៃនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនឹងផ្លាស់ប្តូរប៉ុន្មាន Z
នៅពេលបង្កើនឬបន្ថយធនធាន jក្នុងមួយឯកតា, ដោយសារតែ
វិធីសាស្ត្រ Lagrange ក៏អាចត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែលឧបសគ្គមានវិសមភាព។ ដូច្នេះការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ 
នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ
,
អនុវត្តក្នុងដំណាក់កាលជាច្រើន៖
1. កំណត់ចំនុចស្ថានីនៃអនុគមន៍គោលបំណង ដែលពួកគេដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
.
2. ពីចំនុចស្ថានី អ្នកទាំងនោះត្រូវបានជ្រើសរើសដែលសំរបសំរួលបំពេញតាមលក្ខខណ្ឌ
3. វិធីសាស្ត្រ Lagrange ត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងឧបសគ្គសមភាព (5.1)-(5.2)។
4. ចំណុចដែលរកឃើញនៅដំណាក់កាលទីពីរ និងទីបីត្រូវបានពិនិត្យសម្រាប់អតិបរិមាសកល៖ តម្លៃនៃមុខងារគោលបំណងនៅចំណុចទាំងនេះត្រូវបានប្រៀបធៀប - តម្លៃធំបំផុតត្រូវគ្នាទៅនឹងផែនការដ៏ល្អប្រសើរ។
កិច្ចការ 5.1អនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហា 1.3 ពិចារណាក្នុងផ្នែកទីមួយដោយវិធីសាស្ត្រ Lagrange ។ ការចែកចាយធនធានទឹកដ៏ល្អប្រសើរត្រូវបានពិពណ៌នាដោយគំរូគណិតវិទ្យា
.
តែងមុខងារ Lagrange
ស្វែងរកអតិបរមាដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងគណនានិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក ហើយយកវាទៅសូន្យ
,
ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់
ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការគឺជាផែនការដ៏ល្អប្រសើរសម្រាប់ការចែកចាយធនធានទឹកលើតំបន់ស្រោចស្រព
,
.
បរិមាណ 
វាស់វែងរាប់សែនម៉ែត្រគូប។ 
- ចំនួនប្រាក់ចំណូលសុទ្ធក្នុងមួយទឹកស្រោចស្រពមួយរយពាន់ម៉ែត្រគូប។ ដូេចនះ រតឹមតៃម្ល 1 ម 3 ៃនទឹកធារាសាស្រ្តគឺ 
កន្លែង ឯកតា
ប្រាក់ចំណូលសុទ្ធបន្ថែមអតិបរមាពីប្រព័ន្ធធារាសាស្រ្តនឹងមាន
160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=
172391.02 (គ្រឿង)
កិច្ចការ 5.2ដោះស្រាយបញ្ហាកម្មវិធីមិនលីនេអ៊ែរ
យើងតំណាងឱ្យឧបសគ្គដូចជា៖
.
ផ្សំអនុគមន៍ Lagrange និងកំណត់ដេរីវេដោយផ្នែករបស់វា។
.
ដើម្បីកំណត់ចំណុចស្ថានីនៃអនុគមន៍ Lagrange គួរតែស្មើនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែករបស់វាទៅសូន្យ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ
.
ពីសមីការទីមួយដូចខាងក្រោម
. (5.10)
កន្សោម 
ជំនួសសមីការទីពីរ
,
ពីនោះមានដំណោះស្រាយពីរសម្រាប់ 
:
និង 
. (5.11)
ការជំនួសដំណោះស្រាយទាំងនេះទៅក្នុងសមីការទីបី យើងទទួលបាន
, 
.
តម្លៃនៃមេគុណ Lagrange និងមិនស្គាល់ 
យើងគណនាដោយកន្សោម (5.10) - (5.11)៖
, 
,
,
.
ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានចំណុចខ្លាំងពីរ៖
; 
.
ដើម្បីស្វែងយល់ថាតើចំណុចទាំងនេះជាពិន្ទុអតិបរមា ឬអប្បបរមា យើងប្រើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កម្រិតខ្លាំង (5.8)-(5.9)។ កន្សោមមុនសម្រាប់ 
ដែលទទួលបានពីការរឹតបន្តឹងនៃគំរូគណិតវិទ្យា យើងជំនួសមុខងារគោលបំណង 
,
. (5.12)
ដើម្បីពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពតឹងរ៉ឹងខ្លាំង យើងគួរតែកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍ (5.11) នៅចំណុចខ្លាំងដែលយើងបានរកឃើញ 
និង 
.
, 
;
.
ដោយវិធីនេះ (·) 
គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃបញ្ហាដើម ( 
), ក (·) 
- ចំណុចអតិបរមា។
ផែនការល្អបំផុត:
, 
,
,
.
