កម្រិតដំបូង

ដេរីវេនៃមុខងារ។ មគ្គុទ្ទេសក៍ទូលំទូលាយ (2019)

ស្រមៃមើលផ្លូវត្រង់ឆ្លងកាត់តំបន់ភ្នំ។ ពោល​គឺ​ឡើង​ចុះ ប៉ុន្តែ​មិន​បត់​ស្តាំ ឬ​ឆ្វេង​ទេ។ ប្រសិនបើអ័ក្សត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ដេកតាមបណ្តោយផ្លូវ និងបញ្ឈរ នោះខ្សែផ្លូវនឹងស្រដៀងទៅនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តមួយចំនួន៖

អ័ក្សគឺជាកម្រិតជាក់លាក់នៃកម្ពស់សូន្យនៅក្នុងជីវិតយើងប្រើកម្រិតទឹកសមុទ្រដូចវា។

ការឆ្ពោះទៅមុខតាមផ្លូវបែបនេះ យើងក៏កំពុងរំកិលឡើង ឬចុះក្រោម។ យើងក៏អាចនិយាយបានដែរថា: នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរ (ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស abscissa) តម្លៃនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ (ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សកំណត់)។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងគិតពីរបៀបដើម្បីកំណត់ "ភាពចោត" នៃផ្លូវរបស់យើង? តើតម្លៃនេះអាចជាអ្វី? សាមញ្ញ​ណាស់៖ តើ​កម្ពស់​នឹង​ផ្លាស់​ប្តូរ​ប៉ុន្មាន​នៅ​ពេល​ឈាន​ទៅ​មុខ​ចម្ងាយ​ជាក់លាក់។ ជាការពិតណាស់នៅលើផ្នែកផ្សេងគ្នានៃផ្លូវឆ្ពោះទៅមុខ (តាមបណ្តោយ abscissa) មួយគីឡូម៉ែត្រយើងនឹងកើនឡើងឬធ្លាក់ចុះចំនួនផ្សេងគ្នានៃម៉ែត្រទាក់ទងទៅនឹងកម្រិតទឹកសមុទ្រ (តាមលំដាប់) ។

យើងបង្ហាញពីវឌ្ឍនភាពទៅមុខ (អាន "delta x") ។

អក្សរក្រិក (ដីសណ្តរ) ត្រូវបានគេប្រើជាទូទៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាបុព្វបទមានន័យថា "ការផ្លាស់ប្តូរ" ។ នោះគឺ - នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរទំហំ, - ការផ្លាស់ប្តូរមួយ; បន្ទាប់មកតើវាជាអ្វី? ត្រឹមត្រូវហើយ ការផ្លាស់ប្តូរទំហំ។

សំខាន់៖ កន្សោមគឺជាអង្គភាពតែមួយ អថេរមួយ។ អ្នកមិនគួរហែក "ដីសណ្ត" ចេញពី "x" ឬអក្សរផ្សេងទៀតទេ! នោះគឺជាឧទាហរណ៍។

ដូច្នេះ យើង​បាន​ឈាន​ទៅ​មុខ​ដោយ​ផ្ដេក។ ប្រសិនបើយើងប្រៀបធៀបបន្ទាត់នៃផ្លូវជាមួយនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ តើយើងសម្គាល់ការកើនឡើងដោយរបៀបណា? ប្រាកដណាស់, ។ នោះ​គឺ​នៅ​ពេល​ដែល​ឈាន​ទៅ​មុខ​យើង​ឡើង​ខ្ពស់​នៅ​លើ​។

វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាតម្លៃ៖ ប្រសិនបើនៅដើមដំបូងយើងនៅកម្ពស់មួយ ហើយបន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីយើងនៅកម្ពស់មួយ ពេលនោះ។ ប្រសិនបើចំណុចបញ្ចប់ប្រែទៅជាទាបជាងចំណុចចាប់ផ្តើម វានឹងអវិជ្ជមាន - នេះមានន័យថាយើងមិនឡើងទេ ប៉ុន្តែចុះ។

ត្រលប់ទៅ "ភាពចោត"៖ នេះគឺជាតម្លៃដែលបង្ហាញថាកម្ពស់កើនឡើងប៉ុន្មាន (ចោត) នៅពេលផ្លាស់ទីទៅមុខក្នុងមួយឯកតាចម្ងាយ៖

ឧបមាថានៅលើផ្នែកខ្លះនៃផ្លូវនេះ នៅពេលទៅមុខដោយគីឡូម៉ែត្រ ផ្លូវឡើងដោយគីឡូម៉ែត្រ។ បន្ទាប់មកភាពចោតនៅកន្លែងនេះគឺស្មើគ្នា។ ហើយ​បើ​ផ្លូវ​ដែល​ហែល​តាម​ម៉ែត្រ​លិច​តាម​គីឡូម៉ែត្រ? បន្ទាប់មកជម្រាលគឺស្មើគ្នា។

ឥឡូវពិចារណាលើកំពូលភ្នំ។ ប្រសិនបើអ្នកយកដើមនៃផ្នែកពាក់កណ្តាលគីឡូម៉ែត្រទៅកំពូលហើយចុងបញ្ចប់ - ពាក់កណ្តាលគីឡូម៉ែត្របន្ទាប់ពីវាអ្នកអាចមើលឃើញថាកម្ពស់គឺស្ទើរតែដូចគ្នា។

នោះគឺយោងទៅតាមតក្កវិជ្ជារបស់យើងវាប្រែថាជម្រាលនៅទីនេះគឺស្ទើរតែស្មើនឹងសូន្យដែលវាច្បាស់ណាស់មិនពិត ជាច្រើនអាចផ្លាស់ប្តូរបានត្រឹមតែប៉ុន្មានម៉ាយពីចម្ងាយប៉ុណ្ណោះ។ តំបន់តូចៗចាំបាច់ត្រូវពិចារណាសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់ និងត្រឹមត្រូវបន្ថែមទៀតអំពីភាពចោត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកវាស់ការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់នៅពេលផ្លាស់ទីមួយម៉ែត្រ លទ្ធផលនឹងមានភាពត្រឹមត្រូវជាង។ ប៉ុន្តែសូម្បីតែភាពត្រឹមត្រូវនេះប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងទេ - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ប្រសិនបើមានបង្គោលនៅកណ្តាលផ្លូវយើងអាចរអិលឆ្លងកាត់វាបាន។ តើយើងត្រូវជ្រើសរើសចម្ងាយប៉ុន្មាន? សង់ទីម៉ែត្រ? មីលីម៉ែត្រ? តិចគឺល្អ!

នៅក្នុងជីវិតពិត ការវាស់ចម្ងាយទៅមីលីម៉ែត្រជិតបំផុតគឺច្រើនជាងគ្រប់គ្រាន់។ ប៉ុន្តែ​អ្នក​គណិត​វិទូ​តែង​តែ​ព្យាយាម​ដើម្បី​ភាព​ល្អឥតខ្ចោះ។ ដូច្នេះគំនិតគឺ គ្មានដែនកំណត់នោះគឺតម្លៃម៉ូឌុលគឺតិចជាងលេខណាមួយដែលយើងអាចដាក់ឈ្មោះបាន។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកនិយាយថា៖ មួយពាន់ពាន់លាន! តិច​ប៉ុន្មាន? ហើយអ្នកចែកលេខនេះដោយ - ហើយវានឹងតិចជាង។ ល។ បើ​យើង​ចង់​សរសេរ​ថា​តម្លៃ​គឺ​តូច​បំផុត យើង​សរសេរ​ដូចនេះ៖ (យើង​អាន “x ទំនោរ​ទៅ​សូន្យ”)។ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ ថាចំនួននេះមិនស្មើនឹងសូន្យ!ប៉ុន្តែនៅជិតវា។ នេះមានន័យថាវាអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជា។

គំនិតផ្ទុយពីតូចគ្មានកំណត់ គឺធំគ្មានកំណត់ ()។ អ្នកប្រហែលជាបានជួបប្រទះវារួចហើយ នៅពេលអ្នកកំពុងធ្វើការលើវិសមភាព៖ ចំនួននេះគឺធំជាងនៅក្នុងម៉ូឌុលជាងចំនួនណាមួយដែលអ្នកអាចគិតបាន។ ប្រសិនបើអ្នកឡើងជាមួយនឹងចំនួនធំបំផុតដែលអាចធ្វើបាន គ្រាន់តែគុណវាដោយពីរ នោះអ្នកនឹងទទួលបានកាន់តែច្រើន។ ហើយភាពគ្មានទីបញ្ចប់គឺលើសពីអ្វីដែលកើតឡើង។ តាមការពិត ទំហំធំ និងតូចគ្មានកំណត់ គឺបញ្ច្រាស់គ្នាទៅវិញទៅមក ពោលគឺ នៅ និងច្រាសមកវិញ៖ នៅ។

ឥឡូវនេះត្រឡប់ទៅផ្លូវរបស់យើងវិញ។ ជម្រាលដែលបានគណនាតាមឧត្ដមគតិ គឺជាជម្រាលដែលបានគណនាសម្រាប់ផ្នែកតូចមិនកំណត់នៃផ្លូវ នោះគឺ៖

ខ្ញុំចំណាំថាជាមួយនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅតូចមិនចេះចប់ ការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់ក៏នឹងតូចមិនចេះចប់។ ប៉ុន្តែខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា តូចមិនចេះចប់ មិនមានន័យថាស្មើសូន្យទេ។ ប្រសិនបើអ្នកបែងចែកលេខមិនកំណត់ដោយគ្នាទៅវិញទៅមក អ្នកអាចទទួលបានលេខធម្មតាទាំងស្រុង ឧទាហរណ៍។ នោះគឺតម្លៃតូចមួយអាចធំជាងតម្លៃមួយទៀតពីរដង។

ហេតុអ្វីទាំងអស់នេះ? ផ្លូវ ផ្លូវចោត... យើងមិនដើរលេងទេ តែយើងរៀនគណិតវិទ្យា។ ហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាបេះបិទ ហៅខុសគ្នាតែប៉ុណ្ណោះ។

គំនិតនៃដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺជាសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់នៅការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់។

បង្កើននៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរ។ តើអាគុយម៉ង់ () បានផ្លាស់ប្តូរប៉ុន្មាននៅពេលផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់ហើយកំណត់ដោយចំនួនមុខងារ (កម្ពស់) បានផ្លាស់ប្តូរនៅពេលផ្លាស់ទីទៅមុខតាមអ័ក្សដោយចម្ងាយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនមុខងារនិងត្រូវបានសម្គាល់។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺទាក់ទងទៅនឹងពេលណា។ យើងសម្គាល់និស្សន្ទវត្ថុដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារ ដោយគ្រាន់តែមានសញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលពីខាងស្តាំខាងលើ៖ ឬសាមញ្ញ។ ដូច្នេះ ចូរយើងសរសេររូបមន្តដេរីវេដោយប្រើសញ្ញាណទាំងនេះ៖

ដូចនៅក្នុងភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយផ្លូវនៅទីនេះ នៅពេលដែលមុខងារកើនឡើង ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅពេលដែលវាថយចុះ វាគឺអវិជ្ជមាន។

ប៉ុន្តែតើនិស្សន្ទវត្ថុស្មើនឹងសូន្យឬ? ពិតប្រាកដ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងបើកបរលើផ្លូវផ្តេក ភាពចោតគឺសូន្យ។ ជាការពិតកម្ពស់មិនផ្លាស់ប្តូរទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះជាមួយនឹងដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ (ថេរ) គឺស្មើនឹងសូន្យ៖

ចាប់តាំងពីការបង្កើនមុខងារបែបនេះគឺសូន្យសម្រាប់ណាមួយ។

សូមលើកឧទាហរណ៍ពីកំពូលភ្នំ។ វាបានប្រែក្លាយថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីរៀបចំចុងបញ្ចប់នៃចម្រៀកនៅលើជ្រុងផ្ទុយគ្នានៃ vertex តាមរបៀបដែលកម្ពស់នៅខាងចុងប្រែទៅជាដូចគ្នា នោះគឺផ្នែកគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស៖

ប៉ុន្តែផ្នែកធំគឺជាសញ្ញានៃការវាស់វែងមិនត្រឹមត្រូវ។ យើងនឹងលើកផ្នែករបស់យើងឡើងស្របទៅនឹងខ្លួនវា បន្ទាប់មកប្រវែងរបស់វានឹងថយចុះ។

នៅទីបញ្ចប់ នៅពេលដែលយើងស្ថិតនៅជិតកំពូលគ្មានកំណត់ ប្រវែងនៃចម្រៀកនឹងក្លាយទៅជាតូចគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានេះ វានៅតែស្របទៅនឹងអ័ក្ស ពោលគឺភាពខុសគ្នានៃកម្ពស់នៅចុងរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ (មិនមានទំនោរ ប៉ុន្តែស្មើនឹង)។ ដូច្នេះដេរីវេ

នេះអាចយល់បានដូចខាងក្រោម៖ នៅពេលដែលយើងឈរនៅកំពូល ការផ្លាស់ប្តូរតូចមួយទៅឆ្វេង ឬស្តាំផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់របស់យើងដោយធ្វេសប្រហែស។

វាក៏មានការពន្យល់អំពីពិជគណិតសុទ្ធសាធផងដែរ៖ នៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើ មុខងារកើនឡើង ហើយនៅខាងស្តាំ វាថយចុះ។ ដូចដែលយើងបានរកឃើញរួចមកហើយនៅពេលមុខងារកើនឡើង ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅពេលដែលវាថយចុះ វាមានអវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែវាផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងរលូនដោយគ្មានការលោត (ដោយសារតែផ្លូវមិនផ្លាស់ប្តូរជម្រាលរបស់វាយ៉ាងខ្លាំងគ្រប់ទីកន្លែង) ។ ដូច្នេះ ត្រូវតែមានរវាងតម្លៃអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។ វានឹងក្លាយជាកន្លែងដែលមុខងារមិនកើនឡើង ឬថយចុះ - នៅចំណុចកំពូល។

ដូចគ្នានេះដែរគឺសម្រាប់ជ្រលងភ្នំ (តំបន់ដែលមុខងារថយចុះនៅខាងឆ្វេងនិងកើនឡើងនៅខាងស្តាំ):

បន្តិចទៀតអំពីការកើនឡើង។

ដូច្នេះយើងប្តូរអាគុយម៉ង់ទៅជាតម្លៃ។ តើយើងប្តូរពីតម្លៃអ្វី? តើគាត់ (អាគុយម៉ង់) ឥឡូវនេះបានក្លាយជាអ្វី? យើងអាចជ្រើសរើសចំណុចណាមួយ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងរាំពីវា។

ពិចារណាចំណុចមួយជាមួយកូអរដោណេ។ តម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវាគឺស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកយើងបង្កើនដូចគ្នា៖ បង្កើនកូអរដោណេដោយ។ តើអ្វីជាអាគុយម៉ង់ឥឡូវនេះ? ងាយស្រួលណាស់៖ ។ តើអ្វីទៅជាតម្លៃនៃមុខងារឥឡូវនេះ? កន្លែងដែលអាគុយម៉ង់ទៅ មុខងារទៅទីនោះ៖ . ចុះការបង្កើនមុខងារវិញ? គ្មានអ្វីថ្មីទេ៖ នេះនៅតែជាចំនួនដែលមុខងារបានផ្លាស់ប្តូរ៖

អនុវត្តការស្វែងរកការកើនឡើង៖

1. ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ស្មើនឹង។
2. ដូចគ្នាសម្រាប់មុខងារនៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖

នៅចំណុចផ្សេងគ្នា ជាមួយនឹងការកើនឡើងដូចគ្នានៃអាគុយម៉ង់ ការបង្កើនមុខងារនឹងខុសគ្នា។ នេះមានន័យថា ដេរីវេនៅចំណុចនីមួយៗមានរបស់វា (យើងបានពិភាក្សារឿងនេះនៅដើមដំបូង - ភាពចោតនៃផ្លូវនៅចំណុចផ្សេងៗគ្នាគឺខុសគ្នា) ។ ដូច្នេះ ពេល​យើង​សរសេរ​និស្សន្ទវត្ថុ យើង​ត្រូវ​ចង្អុល​បង្ហាញ​ត្រង់​ចំណុច​ណា៖

មុខងារថាមពល។

អនុគមន៍ថាមពលត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់មានកម្រិតខ្លះ (ឡូជីខលមែនទេ?)

និង - ក្នុងកម្រិតណាមួយ: .

ករណីសាមញ្ញបំផុតគឺនៅពេលដែលនិទស្សន្តគឺ៖

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វានៅចំណុចមួយ។ ចងចាំនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖

ដូច្នេះអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរពីទៅ។ តើការបង្កើនមុខងារជាអ្វី?

ការកើនឡើងគឺ។ ប៉ុន្តែមុខងារនៅចំណុចណាមួយគឺស្មើនឹងអាគុយម៉ង់របស់វា។ ដូច្នេះ៖

ដេរីវេគឺ៖

ដេរីវេនៃគឺ៖

ខ) ឥឡូវពិចារណាអនុគមន៍ quadratic (): .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងចាំថា។ នេះមានន័យថាតម្លៃនៃការកើនឡើងអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ព្រោះវាមានទំហំតូចបំផុត ហើយដូច្នេះវាមិនសំខាន់ប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃពាក្យផ្សេងទៀត៖

ដូច្នេះយើងមានច្បាប់មួយទៀត៖

គ) យើងបន្តស៊េរីឡូជីខល៖ .

កន្សោមនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា៖ បើកតង្កៀបទីមួយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់គុណអក្សរកាត់នៃគូបនៃផលបូក ឬ decompose កន្សោមទាំងមូលទៅជាកត្តាដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគូប។ ព្យាយាមធ្វើវាដោយខ្លួនឯងតាមវិធីណាមួយដែលបានណែនាំ។

ដូច្នេះ, ខ្ញុំទទួលបានដូចខាងក្រោម:

ហើយម្តងទៀត ចងចាំរឿងនោះ។ នេះមានន័យថាយើងអាចធ្វេសប្រហែសពាក្យទាំងអស់ដែលមាន៖

យើង​ទទួល​បាន: ។

ឃ) ច្បាប់ស្រដៀងគ្នាអាចទទួលបានសម្រាប់អំណាចធំៗ៖

e) វាប្រែថាច្បាប់នេះអាចត្រូវបានទូទៅសម្រាប់អនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តបំពាន មិនមែនសូម្បីតែចំនួនគត់៖

(2)

អ្នកអាចបង្កើតច្បាប់ដោយប្រើពាក្យ៖ "សញ្ញាបត្រត្រូវបាននាំមកជាមេគុណ ហើយបន្ទាប់មកបន្ថយដោយ"។

យើងនឹងបញ្ជាក់ច្បាប់នេះនៅពេលក្រោយ (ស្ទើរតែដល់ទីបញ្ចប់)។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

1. (តាមវិធីពីរយ៉ាង៖ ដោយរូបមន្ត និងការប្រើប្រាស់និយមន័យនៃដេរីវេ - ដោយរាប់ការបង្កើនមុខងារ);

1. . ជឿឬមិនជឿ នេះគឺជាមុខងារថាមពល។ ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរដូចជា "តើវាយ៉ាងម៉េច? ហើយសញ្ញាបត្រនៅឯណា?”, ចាំប្រធានបទ“”!
   បាទ, បាទ, ឫសក៏ជាដឺក្រេមួយ, តែប្រភាគមួយ :.
   ដូច្នេះឫសការ៉េរបស់យើងគ្រាន់តែជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្តមួយ៖
   .
   យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេដោយប្រើរូបមន្តដែលបានរៀនថ្មីៗនេះ៖

   បើ​ដល់​ចំណុច​នេះ​វា​មិន​ច្បាស់​ម្ដង​ទៀត ធ្វើ​ប្រធាន​បទ "" ម្ដង​ទៀត!!! (អំពីសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករអវិជ្ជមាន)

2. . ឥឡូវនេះនិទស្សន្ត៖

   ហើយឥឡូវនេះតាមរយៈនិយមន័យ (តើអ្នកភ្លេចទេ?)៖
   ;
   .
   ឥឡូវនេះ ដូចធម្មតា យើងមិនអើពើនឹងពាក្យដែលមាន៖
   .

3. . ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃករណីមុន: .

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ខាងក្រោមនេះយើងនឹងប្រើប្រាស់ការពិតមួយពីគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់៖

ពេលបញ្ចេញមតិ។

អ្នកនឹងរៀនភស្តុតាងនៅឆ្នាំដំបូងនៃវិទ្យាស្ថាន (ហើយដើម្បីទៅដល់ទីនោះអ្នកត្រូវប្រឡងឱ្យបានល្អ) ។ ឥឡូវ​នេះ ខ្ញុំ​គ្រាន់​តែ​បង្ហាញ​វា​ជា​ក្រាហ្វិក៖

យើងឃើញថានៅពេលដែលមុខងារមិនមាន - ចំណុចនៅលើក្រាហ្វត្រូវបានដាល់។ ប៉ុន្តែកាន់តែខិតទៅជិតតម្លៃ មុខងារកាន់តែខិតទៅជិត។ នេះគឺជា "ការខិតខំ" យ៉ាងខ្លាំង។

លើសពីនេះទៀតអ្នកអាចពិនិត្យមើលច្បាប់នេះដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ បាទ បាទ កុំខ្មាស់គេ យកម៉ាស៊ីនគិតលេខ យើងមិនទាន់ប្រឡងទេ។

ដូច្នេះសូមសាកល្បង៖ ;

កុំភ្លេចប្តូរម៉ាស៊ីនគិតលេខទៅរបៀបរ៉ាដ្យង់!

ល។ យើងឃើញថាតូចជាង តម្លៃនៃសមាមាត្រកាន់តែជិត។

ក) ពិចារណាមុខងារមួយ។ ជាធម្មតាយើងរកឃើញការកើនឡើងរបស់វា៖

ចូរបង្វែរភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុសទៅជាផលិតផល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្ត (ចងចាំប្រធានបទ ""): ។

ឥឡូវនេះដេរីវេ៖

ចូរធ្វើការជំនួស៖ . បន្ទាប់មក​សម្រាប់​ទំហំ​តូច​ក៏​តូច​មិន​ចេះ​ចប់​ដែរ ៖ . កន្សោម​សម្រាប់​មាន​ទម្រង់៖

ហើយឥឡូវនេះយើងចងចាំវាជាមួយនឹងការបញ្ចេញមតិ។ ហើយផងដែរ ចុះបើតម្លៃតូចមិនចេះចប់អាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងផលបូក (នោះគឺនៅ)។

ដូច្នេះយើងទទួលបានច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ ដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺស្មើនឹងកូស៊ីនុស:

ទាំងនេះគឺជានិស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន ("តារាង")។ នៅទីនេះពួកគេស្ថិតនៅក្នុងបញ្ជីតែមួយ៖

ក្រោយមកយើងនឹងបន្ថែមពីរបីទៀតទៅពួកវា ប៉ុន្តែទាំងនេះគឺសំខាន់បំផុត ដោយសារពួកវាត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត។

ការអនុវត្ត៖

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ;
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។

ដំណោះស្រាយ៖

1. ដំបូង យើងរកឃើញដេរីវេក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ ហើយបន្ទាប់មកយើងជំនួសតម្លៃរបស់វាជំនួសវិញ៖
   ;
   .
2. នៅទីនេះយើងមានអ្វីមួយដែលស្រដៀងទៅនឹងមុខងារថាមពល។ តោះព្យាយាមនាំនាងទៅ
   ទិដ្ឋភាពធម្មតា៖
   .
   យល់ព្រម ឥឡូវនេះអ្នកអាចប្រើរូបមន្ត៖
   .
   .
3. . អេ... ស្អី????

មិនអីទេ អ្នកនិយាយត្រូវ យើងនៅតែមិនដឹងពីរបៀបស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុបែបនេះ។ នៅទីនេះយើងមានការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រភេទជាច្រើននៃមុខងារ។ ដើម្បីធ្វើការជាមួយពួកគេ អ្នកត្រូវរៀនច្បាប់មួយចំនួនបន្ថែមទៀត៖

និទស្សន្ត និងលោការីតធម្មជាតិ។

មានមុខងារបែបនេះនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដេរីវេនៃណាមួយគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ខ្លួនវាសម្រាប់ដូចគ្នា។ វាត្រូវបានគេហៅថា "និទស្សន្ត" ហើយជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

មូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍នេះ - ថេរ - គឺជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ នោះគឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល (ដូចជា)។ វាត្រូវបានគេហៅថា "លេខអយល័រ" ដែលជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ។

ដូច្នេះក្បួនគឺ៖

វាងាយស្រួលចងចាំណាស់។

មែនហើយយើងនឹងមិនទៅឆ្ងាយទេយើងនឹងពិចារណាភ្លាមៗអំពីមុខងារបញ្ច្រាស។ តើអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលបញ្ច្រាស់គឺជាអ្វី? លោការីត៖

ក្នុងករណីរបស់យើង មូលដ្ឋានគឺជាលេខ៖

លោការីតបែបនេះ (នោះគឺជាលោការីតដែលមានមូលដ្ឋាន) ត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ហើយយើងប្រើសញ្ញាណពិសេសសម្រាប់វា៖ យើងសរសេរជំនួសវិញ។

តើស្មើនឹងអ្វី? ពិតប្រាកដ​ណាស់, ។

ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិគឺសាមញ្ញណាស់៖

ឧទាហរណ៍:

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
2. តើអ្វីទៅជាដេរីវេនៃមុខងារ?

ចម្លើយ៖ និទស្សន្ត និងលោការីតធម្មជាតិ គឺជាមុខងារដែលមានលក្ខណៈសាមញ្ញក្នុងន័យនៃដេរីវេ។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតមិច ជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតនឹងមានដេរីវេខុសគ្នា ដែលយើងនឹងវិភាគនៅពេលក្រោយ បន្ទាប់ពីយើងឆ្លងកាត់ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។

ច្បាប់នៃការបែងចែក

តើច្បាប់អ្វីខ្លះ? ពាក្យថ្មីទៀតហើយ!...

ភាពខុសគ្នាគឺជាដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេ។

មានតែនិងអ្វីៗទាំងអស់។ តើពាក្យអ្វីផ្សេងទៀតសម្រាប់ដំណើរការនេះ? មិន proizvodnovanie... ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងនៃអនុគមន៍នៅ។ ពាក្យនេះមកពីឡាតាំងឌីផេរ៉ង់ស្យែល - ភាពខុសគ្នា។ នៅទីនេះ។

នៅពេលទាញយកច្បាប់ទាំងអស់នេះ យើងនឹងប្រើមុខងារពីរ ឧទាហរណ៍ និង។ យើងក៏នឹងត្រូវការរូបមន្តសម្រាប់ការបង្កើនរបស់ពួកគេផងដែរ៖

សរុបមានច្បាប់ចំនួន៥។

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។

ប្រសិនបើ - ចំនួនថេរមួយចំនួន (ថេរ) បន្ទាប់មក។

ជាក់ស្តែង ច្បាប់នេះក៏មានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ភាពខុសគ្នាផងដែរ៖ .

ចូរយើងបញ្ជាក់។ អនុញ្ញាតឱ្យ ឬងាយស្រួលជាង។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

1. នៅចំណុច;
2. នៅចំណុច;
3. នៅចំណុច;
4. នៅចំណុច។

ដំណោះស្រាយ៖

1. (ដេរីវេគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ ព្រោះវាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ សូមចាំ?);

ដេរីវេនៃផលិតផល

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ៖ យើងណែនាំមុខងារថ្មី និងស្វែងរកការបន្ថែមរបស់វា៖

ដេរីវេ៖

ឧទាហរណ៍:

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ និង;
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឥឡូវនេះចំណេះដឹងរបស់អ្នកគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរៀនពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលណាមួយ ហើយមិនត្រឹមតែនិទស្សន្តទេ (តើអ្នកភ្លេចថាវាជាអ្វីហើយឬនៅ?)

ដូច្នេះតើលេខមួយណា។

យើងដឹងពីដេរីវេនៃអនុគមន៍រួចហើយ ដូច្នេះសូមព្យាយាមនាំយកមុខងាររបស់យើងទៅកាន់មូលដ្ឋានថ្មីមួយ៖

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើច្បាប់សាមញ្ញមួយ: . បន្ទាប់មក៖

ជាការប្រសើរណាស់ វាបានដំណើរការ។ ឥឡូវព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេ ហើយកុំភ្លេចថាមុខងារនេះស្មុគស្មាញ។

បានកើតឡើង?

នៅទីនេះ ពិនិត្យខ្លួនអ្នក៖

រូបមន្តបានប្រែទៅជាស្រដៀងគ្នាទៅនឹងដេរីវេនៃនិទស្សន្ត៖ ដូចដែលវាគឺ វានៅតែមាន មានតែកត្តាមួយបានលេចឡើង ដែលគ្រាន់តែជាលេខ ប៉ុន្តែមិនមែនជាអថេរ។

ឧទាហរណ៍:
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ចម្លើយ៖

នេះគ្រាន់តែជាលេខដែលមិនអាចគណនាបានដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ ពោលគឺមិនអាចសរសេរជាទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះបានទេ។ ដូច្នេះហើយ យើងទុកវាក្នុងទម្រង់នេះក្នុងចំលើយ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត

នៅទីនេះវាស្រដៀងគ្នា៖ អ្នកដឹងពីដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិរួចហើយ៖

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរក arbitrary ពីលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ឧទាហរណ៍៖

យើងត្រូវនាំយកលោការីតនេះទៅមូលដ្ឋាន។ តើអ្នកផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននៃលោការីតដោយរបៀបណា? ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកចងចាំរូបមន្តនេះ៖

មានតែឥឡូវនេះជំនួសឱ្យយើងនឹងសរសេរ:

ភាគបែងប្រែថាគ្រាន់តែជាចំនួនថេរ (ចំនួនថេរ ដោយគ្មានអថេរ)។ ដេរីវេគឺសាមញ្ញណាស់៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ស្ទើរតែរកមិនឃើញនៅក្នុងការប្រឡង ប៉ុន្តែវានឹងមិននាំអោយអ្នកស្គាល់ពួកវានោះទេ។

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

តើអ្វីទៅជា "មុខងារស្មុគស្មាញ"? ទេ នេះមិនមែនជាលោការីត និងមិនមែនជាតង់ហ្សង់ធ្នូទេ។ មុខងារទាំងនេះអាចពិបាកយល់ (ទោះបីជាលោការីតហាក់ដូចជាពិបាកសម្រាប់អ្នក សូមអានប្រធានបទ "លោការីត" ហើយអ្វីៗនឹងដំណើរការ) ប៉ុន្តែបើនិយាយពីគណិតវិទ្យាវិញ ពាក្យ "ស្មុគស្មាញ" មិនមានន័យថា "ពិបាក" នោះទេ។

ស្រមៃមើលឧបករណ៍បញ្ជូនតូចមួយ៖ មនុស្សពីរនាក់កំពុងអង្គុយ និងធ្វើសកម្មភាពមួយចំនួនជាមួយនឹងវត្ថុមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ ទីមួយ​រុំ​របារ​សូកូឡា​ក្នុង​កន្សែង​រុំ ហើយ​ទីពីរ​ចង​វា​ដោយ​ខ្សែបូ។ វាប្រែចេញវត្ថុផ្សំបែបនេះ៖ របារសូកូឡារុំនិងចងដោយខ្សែបូ។ ដើម្បីញ៉ាំរបារសូកូឡាអ្នកត្រូវធ្វើជំហានផ្ទុយគ្នាតាមលំដាប់បញ្ច្រាស។

ចូរបង្កើតបំពង់គណិតវិទ្យាស្រដៀងគ្នា៖ ដំបូងយើងនឹងរកឃើញកូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងធ្វើការការ៉េនៃលេខលទ្ធផល។ ដូច្នេះ គេឲ្យលេខមួយមកយើង (សូកូឡា) ខ្ញុំរកកូស៊ីនុស (ក្រដាសរុំ) ហើយបន្ទាប់មកអ្នកដាក់ការ៉េអ្វីដែលខ្ញុំទទួលបាន (ចងវាដោយខ្សែបូ)។ តើមានអ្វីកើតឡើង? មុខងារ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ៖ នៅពេលដែលដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា យើងធ្វើសកម្មភាពទីមួយដោយផ្ទាល់ជាមួយអថេរ ហើយបន្ទាប់មកសកម្មភាពទីពីរផ្សេងទៀតជាមួយនឹងអ្វីដែលបានកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃទីមួយ។

យើងប្រហែលជាធ្វើសកម្មភាពដូចគ្នាក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស៖ ដំបូងអ្នកការ៉េ ហើយបន្ទាប់មកខ្ញុំរកមើលកូស៊ីនុសនៃលេខលទ្ធផល៖ ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលទ្ធផលនឹងតែងតែខុសគ្នា។ លក្ខណៈសំខាន់នៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖ នៅពេលដែលលំដាប់នៃសកម្មភាពផ្លាស់ប្តូរ មុខងារផ្លាស់ប្តូរ។

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត, អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់គឺជាមុខងារមួយផ្សេងទៀត: .

ឧទាហរណ៍ទីមួយ។

ឧទាហរណ៍ទីពីរ៖ (ដូចគ្នា) ។ .

សកម្មភាពចុងក្រោយដែលយើងធ្វើនឹងត្រូវបានហៅ មុខងារ "ខាងក្រៅ"ហើយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្តដំបូង - រៀងគ្នា។ មុខងារ "ផ្ទៃក្នុង"(ទាំងនេះជាឈ្មោះក្រៅផ្លូវការ ខ្ញុំប្រើវាដើម្បីពន្យល់សម្ភារៈជាភាសាសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ)។

ព្យាយាមកំណត់ដោយខ្លួនឯងថាតើមុខងារខាងក្រៅមួយណាជាមុខងារខាងក្នុង៖

ចម្លើយ៖ការបំបែកមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅគឺស្រដៀងទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងអនុគមន៍

1. តើ​យើង​នឹង​ចាត់​វិធានការ​អ្វី​មុន​គេ? ដំបូងយើងគណនាស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកយើងលើកវាទៅជាគូប។ ដូច្នេះ​វា​ជា​មុខងារ​ខាងក្នុង មិន​មែន​ជា​មុខងារ​ខាង​ក្រៅ​ទេ។
   ហើយមុខងារដើមគឺសមាសភាពរបស់ពួកគេ៖ .
2. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
3. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
4. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
5. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។

យើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងទទួលបានមុខងារ។

មែនហើយឥឡូវនេះយើងនឹងទាញយកសូកូឡារបស់យើង - រកមើលដេរីវេ។ នីតិវិធីគឺតែងតែបញ្ច្រាស៖ ដំបូងយើងរកមើលដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ បន្ទាប់មកយើងគុណលទ្ធផលដោយដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង។ សម្រាប់ឧទាហរណ៍ដើមវាមើលទៅដូចនេះ:

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

ដូច្នេះ ទីបំផុត​យើង​នឹង​បង្កើត​ច្បាប់​ជា​ផ្លូវ​ការ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាសាមញ្ញមែនទេ?

តោះពិនិត្យជាមួយឧទាហរណ៍៖

ដំណោះស្រាយ៖

1) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

2) ផ្ទៃក្នុង: ;

(កុំព្យាយាមកាត់បន្ថយឥឡូវនេះ! គ្មានអ្វីត្រូវបានយកចេញពីក្រោមកូស៊ីនុសនៅចាំទេ?)

3) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

វាច្បាស់ណាស់ថាមានមុខងារស្មុគ្រស្មាញបីកម្រិតនៅទីនេះ៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់នេះគឺជាមុខងារស្មុគ្រស្មាញនៅក្នុងខ្លួនវារួចហើយ ហើយយើងនៅតែទាញយកឫសពីវា ពោលគឺយើងអនុវត្តសកម្មភាពទីបី (ដាក់សូកូឡាក្នុងរុំ។ និងជាមួយខ្សែបូនៅក្នុងកាបូបយួរមួយ) ។ ប៉ុន្តែ​គ្មាន​ហេតុផល​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​ខ្លាច​ឡើយ៖ ទោះ​បី​ជា​យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ យើង​នឹង “ស្រាយ” មុខងារ​នេះ​តាម​លំដាប់​ដូច​ធម្មតា៖ ពី​ចុង​បញ្ចប់។

នោះ​គឺ​ជា​ដំបូង​យើង​ធ្វើ​ការ​ខុស​គ្នា​នៃ​ឫស បន្ទាប់​មក​កូស៊ីនុស ហើយ​បន្ទាប់​មក​បាន​តែ​កន្សោម​ក្នុង​តង្កៀប។ ហើយបន្ទាប់មកយើងគុណវាទាំងអស់។

ក្នុងករណីបែបនេះវាងាយស្រួលក្នុងការរាប់លេខសកម្មភាព។ នោះគឺ ចូរយើងស្រមៃមើលអ្វីដែលយើងដឹង។ តើ​យើង​នឹង​ធ្វើ​សកម្មភាព​ក្នុង​លំដាប់​ណា​ដើម្បី​គណនា​តម្លៃ​នៃ​កន្សោម​នេះ? តោះមើលឧទាហរណ៍៖

នៅពេលក្រោយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្ត មុខងារដែលត្រូវគ្នានឹង "ខាងក្រៅ" កាន់តែច្រើន។ លំដាប់នៃសកម្មភាព - ដូចពីមុន៖

នៅទីនេះសំបុកជាទូទៅមាន 4 កម្រិត។ ចូរកំណត់ផ្លូវនៃសកម្មភាព។

1. កន្សោមរ៉ាឌីកាល់។ .

2. ឫស។ .

3. ស៊ីនុស។ .

4. ការ៉េ។ .

5. ដាក់វាទាំងអស់គ្នា៖

ដេរីវេ។ សង្ខេបអំពីមេ

ដេរីវេនៃមុខងារ- សមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់៖

និស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន៖

ច្បាប់នៃការបែងចែក៖

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃផលបូក៖

ផលិតផលដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃកូតា៖

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

1. យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្នុង" ស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
2. យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្រៅ" ស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
3. យើងគុណលទ្ធផលនៃពិន្ទុទីមួយ និងទីពីរ។

ការគណនាដេរីវេគឺជាប្រតិបត្តិការដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ខាងក្រោមនេះជាតារាងសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ។ សម្រាប់ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដ៏ស្មុគស្មាញ សូមមើលមេរៀនផ្សេងទៀត៖

• តារាងដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត

ប្រើរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យជាតម្លៃយោង។ ពួកគេនឹងជួយក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងបញ្ហា។ នៅក្នុងរូបភាព នៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ មាន "សន្លឹកបន្លំ" នៃករណីសំខាន់ៗនៃការស្វែងរកដេរីវេនៅក្នុងទម្រង់ដែលអាចយល់បានសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ នៅក្បែរនោះគឺជាការពន្យល់សម្រាប់ករណីនីមួយៗ។

ដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ

1. ដេរីវេនៃលេខមួយគឺសូន្យ
ស´ = ០
ឧទាហរណ៍៖
5' = 0

ការពន្យល់:
ដេរីវេបង្ហាញអត្រាដែលតម្លៃនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរ។ ដោយសារលេខមិនផ្លាស់ប្តូរតាមមធ្យោបាយណាមួយនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌណាមួយ អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូររបស់វាគឺតែងតែសូន្យ។

2. ដេរីវេនៃអថេរមួយ។ស្មើនឹងមួយ។
x' = ១

ការពន្យល់:
ជាមួយនឹងការកើនឡើងនីមួយៗនៃអាគុយម៉ង់ (x) ដោយមួយតម្លៃនៃអនុគមន៍ (លទ្ធផលគណនា) កើនឡើងដោយចំនួនដូចគ្នា។ ដូច្នេះអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអនុគមន៍ y = x គឺពិតជាស្មើនឹងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់។

3. ដេរីវេនៃអថេរ និងកត្តាមួយស្មើនឹងកត្តានេះ។
sx´ = ស
ឧទាហរណ៍៖
(3x)´ = ៣
(2x)´ = ២
ការពន្យល់:
ក្នុងករណីនេះ រាល់ពេលដែលអាគុយម៉ង់មុខងារ ( X) តម្លៃរបស់វា (y) កើនឡើង ជាមួយម្តង។ ដូច្នេះអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអាគុយម៉ង់គឺពិតជាស្មើនឹងតម្លៃ ជាមួយ.

ពីណាមក
(cx + b)" = គ
នោះគឺឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ y=kx+b គឺស្មើនឹងចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ (k)។

4. ដេរីវេនៃម៉ូឌុលនៃអថេរគឺស្មើនឹងកូតានៃអថេរនេះទៅនឹងម៉ូឌុលរបស់វា។
|x|"= x / |x| បានផ្តល់ថា x ≠ 0
ការពន្យល់:
ដោយសារដេរីវេនៃអថេរ (សូមមើលរូបមន្តទី 2) គឺស្មើនឹងមួយ ដេរីវេនៃម៉ូឌុលខុសគ្នាតែក្នុងនោះតម្លៃនៃអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយគ្នានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចដើម (ព្យាយាមគូរក្រាហ្វ នៃអនុគមន៍ y = |x| ហើយមើលដោយខ្លួនឯង នេះជាតម្លៃពិតប្រាកដ ហើយត្រឡប់កន្សោម x / |x| ពេល x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - មួយ។ នោះគឺជាមួយនឹងតម្លៃអវិជ្ជមាននៃអថេរ x ជាមួយនឹងការកើនឡើងនីមួយៗនៃការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ តម្លៃនៃអនុគមន៍ថយចុះដោយតម្លៃដូចគ្នាពិតប្រាកដ ហើយជាមួយនឹងតម្លៃវិជ្ជមាន ផ្ទុយទៅវិញវាកើនឡើង ប៉ុន្តែពិតប្រាកដ តម្លៃដូចគ្នា។

5. ដេរីវេនៃថាមពលនៃអថេរមួយ។គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួននៃថាមពលនេះ និងអថេរនៅក្នុងថាមពល កាត់បន្ថយដោយមួយ។
(x c)"= cx c-1បានផ្តល់ថា x c និង cx c-1 ត្រូវបានកំណត់ និង c ≠ 0
ឧទាហរណ៍៖
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
ដើម្បីទន្ទេញរូបមន្ត:
យកនិទស្សន្តនៃអថេរ "ចុះ" ជាមេគុណ ហើយបន្ទាប់មកបន្ថយនិទស្សន្តដោយខ្លួនវាមួយ។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ x 2 - ពីរគឺនាំមុខ x ហើយបន្ទាប់មកថាមពលកាត់បន្ថយ (2-1 = 1) គ្រាន់តែផ្តល់ឱ្យយើង 2x ។ រឿងដដែលនេះបានកើតឡើងសម្រាប់ x 3 - យើងបន្ថយបីដង កាត់បន្ថយវាមួយ ហើយជំនួសឱ្យគូបមួយ យើងមានការ៉េ នោះគឺ 3x 2 ។ តិចតួច "មិនវិទ្យាសាស្រ្ត" ប៉ុន្តែងាយស្រួលចងចាំណាស់។

6.ដេរីវេនៃប្រភាគ 1/x
(1/x)" = − 1/x 2
ឧទាហរណ៍៖
ដោយសារប្រភាគអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការបង្កើនថាមពលអវិជ្ជមាន
(1/x)" = (x -1)" បន្ទាប់មកអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តពីច្បាប់ទី 5 នៃតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ
(x −1)" = −1x −2 = − 1 / x 2

7. ដេរីវេនៃប្រភាគ ជាមួយនឹងអថេរនៃសញ្ញាបត្របំពាននៅក្នុងភាគបែង
(1/x c)" = - គ / x គ + ១
ឧទាហរណ៍៖
(1 / x 2)" = − 2 / x 3

8. ដេរីវេនៃឫស(ដេរីវេនៃអថេរនៅក្រោមឫសការ៉េ)
(√x)" = 1 / (2√x)ឬ 1/2 x −1/2
ឧទាហរណ៍៖
(√x)" = (x 1/2)" ដូច្នេះអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តពីច្បាប់ទី 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. ដេរីវេនៃអថេរនៅក្រោមឫសនៃសញ្ញាបត្របំពាន
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

ប្រសិនបើយើងធ្វើតាមនិយមន័យនោះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រកើនឡើងនៃអនុគមន៍Δ yដល់ការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ Δ x:

អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់។ ប៉ុន្តែ​ព្យាយាម​គណនា​តាម​រូបមន្ត​នេះ និយាយ​ថា ដេរីវេនៃ​អនុគមន៍ f(x) = x 2 + (2x+ 3) · អ៊ី xអំពើបាប x. ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងតាមនិយមន័យ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការគណនាពីរបីទំព័រ អ្នកនឹងងងុយគេង។ ដូច្នេះមានវិធីសាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងកត់សំគាល់ថា អ្វីដែលគេហៅថា អនុគមន៍បឋម អាចត្រូវបានសម្គាល់ពីភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងមូល។ ទាំងនេះគឺជាកន្សោមសាមញ្ញៗ ដែលជានិស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគណនា និងបញ្ចូលក្នុងតារាងជាយូរមកហើយ។ មុខងារបែបនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ រួមជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម

អនុគមន៍​បឋម​គឺ​ជា​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​ដែល​បាន​រាយ​ខាង​ក្រោម។ ដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ លើសពីនេះទៅទៀតវាមិនពិបាកក្នុងការទន្ទេញចាំពួកគេទេ - នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជាបឋម។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម៖

ឈ្មោះ	មុខងារ	ដេរីវេ
ថេរ	f(x) = គ, គ ∈ រ	0 (បាទ/ចាស៎ សូន្យ!)
សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល	f(x) = x ន	ន · x ន − 1
ស៊ីនុស	f(x) = បាប x	cos x
កូស៊ីនុស	f(x) = ខូស x	- បាប x(ដកស៊ីនុស)
តង់សង់	f(x) = tg x	1/cos 2 x
កូតង់សង់	f(x) = ctg x	- ១/ បាប ២ x
លោការីតធម្មជាតិ	f(x) = កំណត់ហេតុ x	1/x
លោការីតតាមអំពើចិត្ត	f(x) = កំណត់ហេតុ ក x	1/(x ln ក)
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល	f(x) = អ៊ី x	អ៊ី x(គ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរ)

ប្រសិនបើអនុគមន៍បឋមត្រូវបានគុណដោយអថេរដែលបំពាន នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្មីក៏ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ៖

(គ · f)’ = គ · f ’.

ជាទូទៅ ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍:

(2x 3)' = 2 ( x៣)' = ២ ៣ x 2 = 6x 2 .

ជាក់ស្តែង មុខងារបឋមអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក គុណ បែងចែក និងច្រើនទៀត។ នេះជារបៀបដែលមុខងារថ្មីនឹងលេចឡើង លែងជាបឋម ប៉ុន្តែក៏អាចខុសគ្នាដែរដោយយោងទៅតាមច្បាប់ជាក់លាក់។ ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។

ដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(x) និង g(x) ដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះយើង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកមុខងារបឋមដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងនេះ៖

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ អាចមានលក្ខខណ្ឌច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍, ( f + g + ម៉ោង)’ = f ’ + g ’ + ម៉ោង ’.

និយាយយ៉ាងតឹងរឹងមិនមានគំនិតនៃ "ដក" នៅក្នុងពិជគណិតទេ។ មានគំនិតនៃ "ធាតុអវិជ្ជមាន" ។ ដូច្នេះភាពខុសគ្នា f − gអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក f+ (−1) gហើយបន្ទាប់មកមានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ - ដេរីវេនៃផលបូក។

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

មុខងារ f(x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍បឋមពីរ ដូច្នេះ៖

f ’(x) = (x 2+ អំពើបាប x)’ = (x២)' + (បាប x)’ = 2x+ cosx;

យើងប្រកែកដូចគ្នាចំពោះមុខងារ g(x) មានតែពាក្យបីរួចទៅហើយ (តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត)៖

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

ដេរីវេនៃផលិតផល

គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឡូជីខល ដូច្នេះមនុស្សជាច្រើនជឿថាប្រសិនបើដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេទីវ័រ នោះដេរីវេនៃផល។ កូដកម្ម"\u003e ស្មើ​នឹង​ផល​នៃ​និស្សន្ទវត្ថុ។ ប៉ុន្តែ​ឧទុម្ពរ​ចំពោះ​អ្នក! ដេរីវេនៃ​ផលិតផល​ត្រូវ​បាន​គណនា​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ខុស​គ្នា​ទាំង​ស្រុង។ ពោល​គឺ៖

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

រូបមន្តគឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែជារឿយៗត្រូវបានបំភ្លេចចោល។ ហើយមិនត្រឹមតែសិស្សសាលាប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងសិស្សទៀតផង។ លទ្ធផលគឺដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមត្រូវ។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x .

មុខងារ f(x) គឺជាផលិតផលនៃមុខងារបឋមពីរ ដូច្នេះអ្វីៗគឺសាមញ្ញ៖

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) ខូស x + x៣ (កូស x)’ = 3x 2 សហ x + x៣ (-បាប x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x)

មុខងារ g(x) មេគុណទីមួយមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែគ្រោងការណ៍ទូទៅមិនផ្លាស់ប្តូរពីនេះទេ។ ជាក់ស្តែងមេគុណទីមួយនៃអនុគមន៍ g(x) គឺជាពហុនាម ហើយដេរីវេរបស់វាគឺជាដេរីវេនៃផលបូក។ យើង​មាន:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x)’ = (x 2 + 7x− ៧)' · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) ( អ៊ី x)’ = (2x+ 7) · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x = អ៊ី x(២ x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · អ៊ី x = x(x+ 9) · អ៊ី x .

ចម្លើយ៖
f ’(x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x);
g ’(x) = x(x+ 9) · អ៊ី x .

ចំណាំថានៅក្នុងជំហានចុងក្រោយ ដេរីវេត្រូវបានបែងចែកជាកត្តា។ ជាផ្លូវការ នេះមិនចាំបាច់ទេ ប៉ុន្តែនិស្សន្ទវត្ថុភាគច្រើនមិនត្រូវបានគណនាដោយខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែដើម្បីស្វែងយល់ពីមុខងារ។ នេះមានន័យថា និស្សន្ទវត្ថុនឹងស្មើនឹងសូន្យ សញ្ញារបស់វានឹងត្រូវបានរកឃើញ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ចំពោះ​ករណី​បែប​នេះ វា​ជា​ការ​ប្រសើរ​ដែល​មាន​ការ​បញ្ចេញ​មតិ​ដែល​ខូច​ជា​កត្តា។

ប្រសិនបើមានមុខងារពីរ f(x) និង g(x) និង g(x) ≠ 0 លើសំណុំចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង យើងអាចកំណត់មុខងារថ្មីមួយ ម៉ោង(x) = f(x)/g(x) សម្រាប់មុខងារបែបនេះ អ្នកក៏អាចរកឃើញដេរីវេ៖

មិនទន់ខ្សោយមែនទេ? តើដកបានមកពីណា? ហេតុអ្វី? g 2? តែបែបនេះ! នេះគឺជារូបមន្តដ៏ស្មុគស្មាញបំផុតមួយ - អ្នកមិនអាចដោះស្រាយវាដោយគ្មានដបបានទេ។ ដូច្នេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការសិក្សាវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

មានអនុគមន៍បឋមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗ ដូច្នេះអ្វីដែលយើងត្រូវការគឺរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូតានិក៖

តាមទំនៀមទម្លាប់ យើងដាក់លេខភាគទៅជាកត្តា - នេះនឹងធ្វើឱ្យចំលើយកាន់តែងាយស្រួល៖

មុខងារស្មុគ្រស្មាញមិនចាំបាច់ជារូបមន្តប្រវែងកន្លះគីឡូម៉ែត្រទេ។ ឧទាហរណ៍វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទទួលយកមុខងារ f(x) = បាប xនិងជំនួសអថេរ xនិយាយថានៅលើ x 2+ ln x. វាប្រែចេញ f(x) = បាប ( x 2+ ln x) គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ នាងក៏មានដេរីវេផងដែរ ប៉ុន្តែវានឹងមិនដំណើរការទេក្នុងការស្វែងរកវាយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីឱ្យមាន? ក្នុងករណីបែបនេះ ការជំនួសអថេរ និងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជួយ៖

f ’(x) = f ’(t) · t', ប្រសិនបើ xត្រូវបានជំនួសដោយ t(x).

តាមក្បួនមួយស្ថានភាពជាមួយនឹងការយល់ដឹងនៃរូបមន្តនេះគឺកាន់តែសោកសៅជាងជាមួយនឹងដេរីវេនៃកូតា។ ដូច្នេះវាជាការប្រសើរផងដែរក្នុងការពន្យល់វាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ជាមួយនឹងការពិពណ៌នាលម្អិតនៃជំហាននីមួយៗ។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = អ៊ី 2x + 3 ; g(x) = បាប ( x 2+ ln x)

ចំណាំថាប្រសិនបើនៅក្នុងមុខងារ f(x) ជំនួសឱ្យការបញ្ចេញមតិ 2 x+ 3 នឹងមានភាពងាយស្រួល xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានមុខងារបឋម f(x) = អ៊ី x. ដូច្នេះ​យើង​ធ្វើ​ការ​ជំនួស៖ អនុញ្ញាត ២ x + 3 = t, f(x) = f(t) = អ៊ី t. យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដោយរូបមន្ត៖

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (អ៊ី t)’ · t ’ = អ៊ី t · t ’

ហើយឥឡូវនេះ - យកចិត្តទុកដាក់! អនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = 2x+ ៣.យើងទទួលបាន៖

f ’(x) = អ៊ី t · t ’ = អ៊ី 2x+ ៣ (២ x + 3)’ = អ៊ី 2x+ 3 2 = 2 អ៊ី 2x + 3

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលមុខងារ g(x) ជាក់ស្តែងត្រូវការជំនួស។ x 2+ ln x = t. យើង​មាន:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (អំពើបាប t)’ · t' = ខូស t · t ’

ការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2+ ln x. បន្ទាប់មក៖

g ’(x) = cos( x 2+ ln x) · ( x 2+ ln x)' = cos ( x 2+ ln x) · (២ x + 1/x).

អស់ហើយ! ដូចដែលអាចមើលឃើញពីកន្សោមចុងក្រោយបញ្ហាទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាដេរីវេនៃផលបូក។

ចម្លើយ៖
f ’(x) = ២ អ៊ី 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ ln x).

ជាញឹកញាប់ណាស់នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជំនួសឱ្យពាក្យ "ដេរីវេ" ខ្ញុំប្រើពាក្យ "ដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល" ។ ជាឧទាហរណ៍ ផលបូកនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ច្បាស់ជាងនេះទេ? ជាការប្រសើរណាស់។

ដូច្នេះការគណនានៃដេរីវេបានចុះមកដើម្បីកម្ចាត់ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលយ៉ាងខ្លាំងទាំងនេះយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ជាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ ចូរយើងត្រលប់ទៅអំណាចដេរីវេជាមួយនឹងនិទស្សន្តនិទស្សន្ត៖

(x ន)’ = ន · x ន − 1

មានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថានៅក្នុងតួនាទីនេះ។ នប្រហែលជាលេខប្រភាគ។ ឧទាហរណ៍ឫសគឺ x 0.5 ប៉ុន្ដែចុះយ៉ាងណាបើមានអ្វីពិបាកនៅក្រោមឫស? ជាថ្មីម្តងទៀតមុខងារស្មុគ្រស្មាញនឹងប្រែជា - ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់សំណង់បែបនេះនៅក្នុងការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡង។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរឫសឡើងវិញជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 + 8x − 7 = t. យើងរកឃើញដេរីវេដោយរូបមន្ត៖

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−០.៥ t ’.

យើងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + 8x 7. យើងមាន៖

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− ៧) −០.៥ ( x 2 + 8x− ៧)' = ០.៥ (២ x+ ៨) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

ទីបំផុតត្រលប់ទៅឫស៖

១- ដេរីវេ (Derivative) អត្ថន័យក្នុងកិច្ចការ និងទ្រព្យសម្បត្តិផ្សេងៗគ្នា

១.១. គំនិតនៃដេរីវេ

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ នៅ– f(x) កំណត់នៅលើចន្លោះពេល ឃ. យកតម្លៃខ្លះ X0 ឃហើយពិចារណាពីការកើនឡើង ∆ X: x0 +∆x ឃ. ប្រសិនបើមានដែនកំណត់ចំពោះសមាមាត្រនៃការផ្លាស់ប្តូរ (ការបង្កើន) នៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងដែលត្រូវគ្នានៃអាគុយម៉ង់ នៅពេលក្រោយមានទំនោរទៅ ទៅសូន្យ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេហៅថា មុខងារដេរីវេ នៅ= f(x) នៅចំណុច x = x0៖

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

ដំណើរការនៃការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា .

ប្រសិនបើ ក f"(x) គឺកំណត់សម្រាប់រាល់ x ឃបន្ទាប់មកមុខងារ នៅ= f(x) បានហៅ ខុសគ្នា ក្នុង ឃ. ការបង្កើតភាពច្បាស់លាស់នៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍មួយនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងវគ្គ 1.5 ។

ដោយប្រើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងទទួលបានច្បាប់មួយចំនួននៃភាពខុសគ្នា និងដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមសំខាន់ៗ ដែលបន្ទាប់មកយើងសង្ខេបក្នុងតារាង។

10. ដេរីវេនៃថេរគឺសូន្យ៖

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

ពិតជា

ជាពិសេស,

30 . សម្រាប់មុខងារ y = x2ដេរីវេ y' = 2x ។

ដើម្បីទាញយករូបមន្តនេះ យើងរកឃើញការបង្កើនមុខងារ៖

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">ការប្រើប្រាស់ រូបមន្ត binomial Newton វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់មុខងារថាមពល

១.២. គំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុម្ខាង

នៅក្នុងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការគណនាសម្រាប់មុខងារមួយ។ នៅ=f(x) គោលគំនិតនៃដែនកំណត់ខាងឆ្វេង និងស្តាំនៅចំណុចមួយត្រូវបានណែនាំ ក:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

ដេរីវេនៃដៃស្តាំ -

សូមចាំថាសម្រាប់អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់កំណត់នៃមុខងារ នៅ= f(x) នៅចំណុច x = កវាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលដែនកំណត់ខាងឆ្វេង និងស្តាំនៃមុខងារនៅចំណុចនេះត្រូវបានកំណត់ និងស្មើគ្នា៖

(x - 0) = f’(x + 0).

១.៣. គំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង

អនុញ្ញាតឱ្យសម្រាប់មុខងារ នៅ= f(x) កំណត់នៅលើសំណុំ ឃ, មានដេរីវេ នៅ"= f"(x) នៅរៀងរាល់ x ឃ, t ។ អ៊ី និស្សន្ទវត្ថុគឺជាមុខងារមួយ ហើយសម្រាប់វា វាអាចចោទជាសំណួរអំពីអត្ថិភាពនៃដេរីវេ។ ដេរីវេនៃដេរីវេទី 1 ប្រសិនបើវាមាន - ដេរីវេទីពីរនៃមុខងារនេះ។ឬ ដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរ

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

ដេរីវេនៃលំដាប់ទី

0, y"" = 0,...y(n) = 0. សម្រាប់អនុគមន៍ y = x2ដេរីវេ អ្នក'= 2x ។បន្ទាប់មក នៅ"= 2, នៅ ""= 0,.., y(n) = 0 ។

១.៤. ការបកស្រាយធរណីមាត្រនិងមេកានិចនៃដេរីវេ

១.៤.១. អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេ។ បញ្ហានៃល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿននៃចលនាមិនស្មើគ្នា

សូម​ឲ្យ​ការ​អាស្រ័យ​ផ្លូវ​ដែល​ធ្វើ​ដំណើរ​ដោយ​កាយ​ក្នុង​កាល​វេលា t, ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយមុខងារ ស = ស(t), និងល្បឿននៃចលនា និងការបង្កើនល្បឿនរៀងគ្នាដោយមុខងារ v = v(t), ក = ក(t). ប្រសិនបើរាងកាយធ្វើចលនាបានស្មើគ្នា នោះ ដូចដែលគេស្គាល់ពីរូបវិទ្យា។ ស = v t, i.e. v = ស/ t. ប្រសិនបើរាងកាយកំពុងផ្លាស់ទីជាមួយនឹងការបង្កើនល្បឿនឯកសណ្ឋាននិង វ៉= 0 បន្ទាប់មកការបង្កើនល្បឿន ក = v/ t.

ប្រសិនបើចលនាមិនស្មើគ្នា និងបង្កើនល្បឿនស្មើគ្នា នោះតម្លៃមធ្យមនៃល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿនក្នុងរយៈពេលមួយ Δ tជាក់ស្តែងគឺស្មើគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន v(t)- ល្បឿន​ចលនា, ក(t)- ការបង្កើនល្បឿននៅពេល t.

បន្ទាប់មក, ដូច្នេះ,

បានផ្តល់ថាដែនកំណត់ចុងក្រោយមាន។

អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃផ្លូវស = ស(t) ទេពេលវេលាtគឺជាល្បឿនភ្លាមៗនៃចំណុចសម្ភារៈ i.e.v(t)= ស"(t) ដេរីវេទីពីរនៃផ្លូវទាក់ទងនឹងពេលវេលា- ការបង្កើនល្បឿន, i.e.ស""(t)= v"(t)=a(t).

ជាមួយនឹងការណែនាំនៃគោលគំនិតនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ យោងទៅតាម F. Engels ចលនាបានមកដល់គណិតវិទ្យា ដោយហេតុថា ដេរីវេ មានន័យថាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃដំណើរការណាមួយ ឧទាហរណ៍៖ ដំណើរការនៃការឡើងកំដៅ ឬត្រជាក់រាងកាយ អត្រា នៃប្រតិកម្មគីមី ឬនុយក្លេអ៊ែរ។ល។

ឧទាហរណ៍ 1.1 ។ បរិមាណនៃចរន្តអគ្គិសនី (នៅក្នុង coulombs) ដែលហូរតាមរយៈ conductor ត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់ សំណួរ = 2 t2 + 3 t + 4 . ស្វែងរកចរន្តនៅចុងបញ្ចប់នៃវិនាទីទីបី។

ការសម្រេចចិត្ត។ កម្លាំងបច្ចុប្បន្ន ខ្ញុំ = សំណួរ" = 4 t+3. នៅ t = 3 ខ្ញុំ=15 k/s=15 A ។

1.4.2.3 បញ្ហាតង់សង់។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ នៅ= f(x) កំណត់និងបន្តនៅចំណុចមួយ។ X= x0 និងនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនេះ។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងបន្តដូចខាងក្រោម។ យកចំណុចមួយនៅលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ (រូបភាព 1.1) М(х0 + Δх, y0 + Δу)ហើយគូរឃ្លា M0Mចូរយើងបង្កើតចំណុចមួយ។ មដល់ចំណុច M0 ពោលគឺ Δ x → 0. ចំណុច ម()ត្រូវបានជួសជុល ដូច្នេះលេខនៅក្នុងដែនកំណត់នឹងយកទីតាំងនៃតង់សង់ TO

តង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y= f(x) អ៊ីចំណុចម0 ត្រូវបានគេហៅថាទីតាំងកំណត់នៃ secant M0M ដែលផ្តល់ថាចំនុច M មានទំនោរទៅចំនុច M0 តាមខ្សែកោង Gf- ក្រាហ្វិកមុខងារy = f(x).

បន្ទាប់មកជម្រាលនៃ secant នេះ។ M0M

នៅក្នុងដែនកំណត់នឹងស្មើនឹងជម្រាលនៃតង់សង់៖

{ x0 ) = tgaដែល α គឺជាមុំរវាងតង់សង់ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុក(សូមមើលរូប ១.១)។

ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីធរណីមាត្រវិភាគ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ ( x0, y0) និងមានជម្រាល kនឹង

y – y0 =k(x-x0) ។

បន្ទាប់មកដោយគិតគូរពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។ សមីការតង់សង់ (TO)ទៅក្រាហ្វនៃមុខងារ នៅ= f(x) នៅចំណុច (x0, y0)មានទម្រង់

(K) y =f(x0 ) + f"(x0 )(x- x0 ).

សមីការធម្មតា។ (ន) - កាត់កែងទៅនឹងតង់សង់នៅចំណុចទំនាក់ទំនង៖

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(អូ)- អំពី- តូចនៃ Δx) ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ដើម្បីឱ្យមុខងារ នៅ= f(x) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ឃ) វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលនៅចំណុចនេះ វាមានដេរីវេទីណិត y' =f"(x).

ភស្តុតាង . ត្រូវការ។អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y= f(x) ខុសគ្នាត្រង់ x ឃឧ. ទំនាក់ទំនង (១.១) កាន់។ បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យនៃដេរីវេដោយគិតគូរ (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

បន្ទាប់មក ផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទស្តីពីការតភ្ជាប់រវាងអនុគមន៍ ដែនកំណត់របស់វា និងបរិមាណមិនកំណត់។

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

អាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃពាក្យពីរ ដែលទីមួយគឺសមាមាត្រទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δхជាមួយនឹងកត្តាសមាមាត្រ f'(X),ហើយទីពីរគឺជាលំដាប់ខ្ពស់ជាងគ្មានកំណត់ Δхពោលគឺ (1.1) កាន់ ហើយដូច្នេះមុខងារគឺខុសគ្នាត្រង់ចំណុច x ឃ.

ចំណាំថាសមាមាត្រ

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1 , y"(+0)=1 ប៉ុន្តែមុខងារបន្តសម្រាប់ X= 0.

១.៦. ច្បាប់នៃការបែងចែក

មួយ។ ភាពខុសគ្នានៃផលបូកពិជគណិតនៃអនុគមន៍។ ផលបូកពិជគណិតនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍ដែលអាចបែងចែកបានគឺជាមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន ហើយដេរីវេនៃផលបូកពិជគណិតនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍៖ សម្រាប់មុខងារពីរ

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

ពិចារណាផ្លាស់ប្តូរមុខងារ និង±vនៅពេលផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ Δ X៖

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

ដោយសារដែនកំណត់នៃពាក្យនីមួយៗមាន ហើយកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌ ដែនកំណត់នៃផលបូកពិជគណិតគឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃដែនកំណត់។ ឧ. មុខងារ (និង±v) ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចបំពាន Xនិង (យូ± v)" = យូ’ ± v’ . ការ​អះអាង​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ឱ្យ​ឃើញ​។

2° ភាពខុសគ្នានៃផលិតផលនៃមុខងារ . ផលិតផលនៃអនុគមន៍ពីរផ្សេងគ្នាគឺជាមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន ចំណែកដេរីវេនៃផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃកត្តាទីមួយដោយទីពីរដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ បូកនឹងកត្តាទីមួយគុណនឹងដេរីវេនៃកត្តាទីពីរ៖

(និងv) = និង"v + uv"។

ច្បាប់ខាងលើអាចងាយស្រួលទូទៅសម្រាប់ផលិតផលនៃចំនួនកំណត់ណាមួយនៃមុខងារផ្សេងគ្នា។

ភស្តុតាង។ តាមលក្ខខណ្ឌនៅចំណុចបំពាន x ឃ

នៅពេលផ្លាស់ប្តូរ Δ Xការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ

តំណាងក្នុងទម្រង់

https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

ចាប់តាំងពី, ដោយសារតែភាពខុសគ្នា, និង

លីម Δ v = 0 ដោយសារតែការបន្តនៃអនុគមន៍ បន្ទាប់មកដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់

Δх→ អូ

(uv)" = u "v + uv" ។

ជាលទ្ធផលនៃច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃផលិតផលនៃមុខងារមួយ យើងសូមអញ្ជើញអ្នកអានដើម្បីទទួលបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល។ អ៊ុនន ន :

(និងន)’ = ដូនជី-1 និង'

3°. ច្រករបៀង 2°។ កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញា

ដេរីវេ៖

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

ភស្តុតាង។ នៅពេលផ្លាស់ប្តូរ Δ Xពិចារណាលើការផ្លាស់ប្តូរមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន។ u = u(x),v= v(x) ≠ 0៖

Δ u = [u(x+ Δх) - ពួកគេ)],Δ v = [ v(x+ Δх) - v(x)]។

តម្លៃមុខងារដែលបានកែប្រែនឹងមានៈ និង +អូ, វី + អេវ,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

មុខងារ និង= w(x),v = v(x) ≠ 0 គឺអាចបែងចែកតាមលក្ខខណ្ឌ ហើយដូច្នេះ បន្តផងដែរ i.e.

យោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ . អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ នៅ= f(និង) អាច​ខុស​គ្នា​ទៅ​នឹង​ X, មុខងារ និង= ពួកគេ)ខុសគ្នាទាក់ទងនឹង X. បន្ទាប់មកមុខងារស្មុគស្មាញ នៅ= f(យូ(x)) ខុសគ្នាទាក់ទងនឹង X, និង

y"=f"(យូ)∙ យូ"

ភស្តុតាង . ដោយសារតែភាពខុសគ្នានៃមុខងារ f(យូ), យូ(x) និងកំណត់លក្ខណៈសម្បត្តិ

F(u)-u"(v)"v"(x)។

៧០. ភាពខុសគ្នានៃមុខងារបញ្ច្រាស . អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y=f(x) ខុសគ្នាទាក់ទងនឹង Xនិង y "x ≠ 0 ។បន្ទាប់មកមុខងារបញ្ច្រាស x =g(នៅ) អាច​ខុស​គ្នា​ទៅ​នឹង​ នៅនិង x "y \u003d 1 / y" x

ភស្តុតាង។ ពិតជា

ដើម្បីងាយស្រួលប្រើ យើងបង្ហាញច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នានៅក្នុងតារាងទី 1 ។

តារាងទី 1

ច្បាប់នៃការបែងចែក

លេខរូបមន្ត
	គ =const, c" = 0 ។
	(យូ± v)" =យូ"± v", និង= ពួកគេ),v = v(x).
	(u ∙ v)= គ ∙ v" + u ∙ v".
	(c ∙ v)" = គ∙ v",ជាមួយ = const ។
	y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u ។
	y=f(x\x=g(y)=>x"នៅ =
	(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"

1.7.

ដោយប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា យើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម ដែលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងតារាងទី 2 ខាងក្រោម។

តារាង 2

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម

	មុខងារសាមញ្ញ	មុខងារស្មុគស្មាញ

និយមន័យ។អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x) \) ត្រូវបានកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលខ្លះដែលមានចំណុច \(x_0 \) នៅខាងក្នុង។ ចូរបង្កើន \(\Delta x \) ទៅអាគុយម៉ង់ ដើម្បីកុំឱ្យចាកចេញពីចន្លោះពេលនេះ។ ស្វែងរកការបង្កើនដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ \(\Delta y \) (នៅពេលឆ្លងកាត់ពីចំណុច \(x_0 \) ទៅចំណុច \(x_0 + \Delta x \)) ហើយសរសេរទំនាក់ទំនង \(\frac(\Delta y ) (\\ ដីសណ្ត x) \\) ។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នៃទំនាក់ទំនងនេះនៅ \(\Delta x \rightarrow 0 \) នោះដែនកំណត់ដែលបានបង្ហាញត្រូវបានគេហៅថា មុខងារដេរីវេ\(y=f(x) \\) ត្រង់ចំនុច \(x_0 \) ហើយបញ្ជាក់ \(f"(x_0) \)។

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

និមិត្តសញ្ញា y ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសម្គាល់និស្សន្ទវត្ថុ។ ចំណាំថា y" = f(x) គឺជាមុខងារថ្មី ប៉ុន្តែត្រូវបានភ្ជាប់ដោយធម្មជាតិជាមួយនឹងអនុគមន៍ y = f(x) ដែលកំណត់នៅគ្រប់ចំនុច x ដែលមានដែនកំណត់ខាងលើ។ មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x).

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេរួមមានដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើតង់សង់ដែលមិនស្របនឹងអ័ក្ស y អាចត្រូវបានគូរទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) នៅចំណុចមួយជាមួយ abscissa x \u003d a នោះ f (a) បង្ហាញពីជម្រាលនៃតង់សង់៖
\(k = f"(a)\)

ដោយសារ \(k = tg(a) \) សមភាព \(f"(a) = tg(a) \) គឺពិត។

ហើយឥឡូវនេះយើងបកស្រាយនិយមន័យនៃដេរីវេនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែល។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ \(y = f(x) \) មានដេរីវេនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
នេះមានន័យថានៅជិតចំនុច x សមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), i.e. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\) ។ អត្ថន័យដ៏មានអត្ថន័យនៃសមភាពប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបានមានដូចខាងក្រោម៖ ការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺ "ស្ទើរតែសមាមាត្រ" ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ ហើយមេគុណនៃសមាមាត្រគឺជាតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុច x ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍ \(y = x^2 \) សមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) មានសុពលភាព។ ប្រសិនបើយើងវិភាគដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុនោះ យើងនឹងឃើញថាវាមានក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកវា។

ចូរយើងបង្កើតវា។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) ?

1. ជួសជុលតម្លៃ \(x \) ស្វែងរក \(f(x) \)
2. បង្កើន \(x \) អាគុយម៉ង់ \(\Delta x \) ផ្លាស់ទីទៅចំណុចថ្មី \(x+ \Delta x \) ស្វែងរក \(f(x+ \Delta x) \)
3. ស្វែងរកការបង្កើនមុខងារ៖ \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. ចងក្រងទំនាក់ទំនង \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. គណនា $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ដែនកំណត់នេះគឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅ x ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មានដេរីវេនៅចំនុច x នោះវាត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ នីតិវិធីសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នាមុខងារ y = f (x) ។

ចូរយើងពិភាក្សាសំណួរខាងក្រោម៖ តើការបន្ត និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារនៅចំណុចមួយទាក់ទងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?

សូមអោយអនុគមន៍ y = f(x) ខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x ។ បន្ទាប់មកតង់ហ្សង់មួយអាចត្រូវបានគូរទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច M (x; f (x)) ហើយសូមចាំថា ជម្រាលនៃតង់ហ្សង់គឺស្មើនឹង f "(x) ។ ក្រាហ្វបែបនេះមិនអាច "បំបែក" នៅឡើយ។ ចំនុច M, ឧ. មុខងារត្រូវតែបន្តនៅ x ។

វាត្រូវបានវែកញែក "នៅលើម្រាមដៃ" ។ ចូរយើងបង្ហាញអំណះអំណាងដ៏តឹងរ៉ឹងជាងនេះ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះសមភាពប្រហាក់ប្រហែល \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) រក្សា។ សូន្យ បន្ទាប់មក \(\Delta y \ ) ក៏នឹងមានទំនោរទៅសូន្យ ហើយនេះគឺជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះវាក៏បន្តនៅចំណុចនោះ។.

ការសន្ទនាមិនពិតទេ។ ឧទាហរណ៍៖ មុខងារ y = |x| គឺបន្តនៅគ្រប់ទីកន្លែង ជាពិសេសនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅ “ចំណុចរួម” (0; 0) មិនមានទេ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វមុខងារ នោះមិនមានដេរីវេនៅចំណុចនេះទេ។

ឧទាហរណ៍មួយទៀត។ អនុគមន៍ \(y=\sqrt(x) \) គឺបន្តនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល រួមទាំងនៅចំណុច x = 0។ ហើយតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មាននៅចំណុចណាមួយ រួមទាំងនៅចំណុច x = 0 ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះតង់សង់ត្រូវគ្នានឹងអ័ក្ស y ពោលគឺវាកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស abscissa សមីការរបស់វាមានទម្រង់ x \u003d 0 ។ មិនមានជម្រាលសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់នោះទេ ដែលមានន័យថា \ ( f "(0) \) ក៏មិនមានដែរ។

ដូច្នេះ យើងបានស្គាល់លក្ខណៈសម្បត្តិថ្មីនៃមុខងារមួយ - ភាពខុសគ្នា។ តើ​អ្នក​អាច​ដឹង​ថា​មុខងារ​មួយ​អាច​ខុស​ពី​ក្រាហ្វ​នៃ​អនុគមន៍​ដោយ​របៀប​ណា?

ចម្លើយ​គឺ​ពិត​ជា​បាន​ផ្តល់​ជូន​ខាង​លើ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះតង់ហ្សង់អាចត្រូវបានទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមិនកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x នោះនៅចំណុចនេះមុខងារគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើនៅចំណុចខ្លះតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានទេ ឬវាកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x នោះនៅចំណុចនេះ មុខងារមិនអាចខុសគ្នាបានទេ។

ច្បាប់នៃការបែងចែក

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា. នៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការនេះ ជារឿយៗអ្នកត្រូវធ្វើការជាមួយ កូតា ផលបូក ផលិតផលនៃមុខងារ ក៏ដូចជាជាមួយ "មុខងារនៃមុខងារ" ពោលគឺ មុខងារស្មុគស្មាញ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងអាចទាញយកច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដែលជួយសម្រួលដល់ការងារនេះ។ ប្រសិនបើ C ជាចំនួនថេរ ហើយ f=f(x) g=g(x) គឺជាមុខងារផ្សេងគ្នាមួយចំនួន នោះខាងក្រោមគឺពិត ច្បាប់នៃការបែងចែក:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$$$ (fg)"=f"g + fg" $$$$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right)" = \frac(f"g-fg")(g^2) $$$$ \\left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ផ្សំ៖
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

តារាងដេរីវេនៃមុខងារមួយចំនួន

$$ \left(\frac(1)(x)\right) " = -\frac(1)(x^2) $$$$(\sqrt(x))" = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$$$ \left(a^x \right)" = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$$$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$$$(\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$$$ (\cos x)" = -\sin x $$$$$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$$$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$$$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $