មេរៀន និងបទបង្ហាញលើប្រធានបទ៖ "លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសគល់នៃសញ្ញាបត្រទី ៩ ទ្រឹស្តីបទ"

សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ មតិកែលម្អ ការផ្តល់យោបល់! សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីកំចាត់មេរោគ។

ជំនួយការបង្រៀន និងការក្លែងធ្វើនៅក្នុងហាងអនឡាញ "អាំងតេក្រាល" សម្រាប់ថ្នាក់ទី 11
សៀវភៅណែនាំអន្តរកម្មសម្រាប់ថ្នាក់ទី ៩-១១ "ត្រីកោណមាត្រ"
សៀវភៅណែនាំអន្តរកម្មសម្រាប់ថ្នាក់ទី ១០-១១ "លោការីត"

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនៃសញ្ញាបត្រ n ។ ទ្រឹស្តីបទ

បុរស, យើងបន្តសិក្សាឫសនៃកម្រិតទី n នៃចំនួនពិតប្រាកដ។ ដូចវត្ថុគណិតវិទ្យាស្ទើរតែទាំងអស់ដែរ ឫសនៃសញ្ញាប័ត្រទី ៩ មានលក្ខណៈសម្បត្តិខ្លះៗ ថ្ងៃនេះយើងនឹងសិក្សាពួកវា។
លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់ដែលយើងពិចារណាគឺត្រូវបានបង្កើត និងបង្ហាញសម្រាប់តែតម្លៃមិនអវិជ្ជមាននៃអថេរដែលមាននៅក្រោមសញ្ញាឫសប៉ុណ្ណោះ។
ក្នុងករណីនៃនិទស្សន្តឫសសេស ពួកគេក៏រក្សាទុកសម្រាប់អថេរអវិជ្ជមានផងដែរ។

ទ្រឹស្តីបទ 1. ឫស n នៃផលគុណនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានពីរគឺស្មើនឹងផលគុណនៃឫស n នៃលេខទាំងនេះ៖ $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](ខ) $ ។

ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ។
ភស្តុតាង។ បុរស, ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ, សូមណែនាំអថេរថ្មី, បញ្ជាក់:
$\sqrt[n](a*b)=x$ ។
$\sqrt[n](a)=y$។
$\sqrt[n](b)=z$។
យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា $x=y*z$។
ចំណាំថាអត្តសញ្ញាណខាងក្រោមក៏មានផងដែរ:
$a*b=x^n$ ។
$a=y^n$ ។
$b=z^n$ ។
បន្ទាប់មកអត្តសញ្ញាណខាងក្រោមក៏រក្សាទុកផងដែរ៖ $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$ ។
ដឺក្រេនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានពីរ និងនិទស្សន្តរបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា បន្ទាប់មកមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេខ្លួនឯងគឺស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ $x=y*z$ ដែលជាអ្វីដែលតម្រូវឱ្យបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ប្រសិនបើ $a≥0$, $b>0$ និង n ជាចំនួនធម្មជាតិធំជាង 1 នោះសមភាពខាងក្រោមនឹងរក្សា៖ $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.

នោះគឺឫសទី n នៃ quotient គឺស្មើនឹង quotient នៃឫស n ។

ភស្តុតាង។
ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ យើងប្រើគ្រោងការណ៍សាមញ្ញក្នុងទម្រង់ជាតារាង៖

ឧទាហរណ៍នៃការគណនាឫស n

ឧទាហរណ៍។
គណនា៖ $\sqrt(16*81*256)$។
ដំណោះស្រាយ។ តោះប្រើទ្រឹស្តីបទ ១៖ $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$ ។

ឧទាហរណ៍។
គណនា៖ $\sqrt(7\frac(19)(32))$។
ដំណោះស្រាយ។ ចូរតំណាងឱ្យកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ជាប្រភាគមិនសមរម្យ៖ $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$ ។
តោះប្រើទ្រឹស្តីបទ ២៖ $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$។

ឧទាហរណ៍។
គណនា៖
ក) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$ ។
ខ) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$។
ដំណោះស្រាយ៖
ក) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$។
ខ) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$ ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣. ប្រសិនបើ $a≥0$, k និង n គឺជាលេខធម្មជាតិធំជាង 1 នោះសមភាពគឺពិត៖ $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$ ។

ដើម្បីលើកឫសទៅជាថាមពលធម្មជាតិ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការលើកឡើងនូវការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់ដល់អំណាចនេះ។

ភស្តុតាង។
តោះពិចារណាករណីពិសេសមួយសម្រាប់ $k=3$។ តោះប្រើទ្រឹស្តីបទ ១.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$ ។
ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់ករណីផ្សេងទៀត។ បុរស, បញ្ជាក់វាដោយខ្លួនឯងសម្រាប់ករណីនៅពេលដែល $k=4$ និង $k=6$ ។

ទ្រឹស្តីបទ ៤. ប្រសិនបើ $a≥0$ b n,k ជាលេខធម្មជាតិធំជាង 1 នោះសមភាពគឺពិត៖ $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$ ។

ដើម្បីស្រង់ឫសពីឫសមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគុណនិទស្សន្តនៃឫស។

ភស្តុតាង។
ចូរយើងបញ្ជាក់ម្តងទៀតដោយសង្ខេបដោយប្រើតារាង។ ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ យើងប្រើគ្រោងការណ៍សាមញ្ញក្នុងទម្រង់ជាតារាង៖

ឧទាហរណ៍។
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$ ។
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$ ។
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$ ។

ទ្រឹស្តីបទ 5. ប្រសិនបើសន្ទស្សន៍នៃឫស និងកន្សោមឫសត្រូវបានគុណនឹងចំនួនធម្មជាតិដូចគ្នា នោះតម្លៃនៃឫសនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖ $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $

ភស្តុតាង។
គោលការណ៍នៃភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់យើងគឺដូចគ្នាទៅនឹងឧទាហរណ៍ផ្សេងទៀតដែរ។ សូមណែនាំអថេរថ្មី៖
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (តាមនិយមន័យ)។
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (តាមនិយមន័យ)។
យើងលើកសមភាពចុងក្រោយទៅអំណាច ទំ
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$។
បាន​ទទួល:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$។
នោះគឺ $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ ដែលត្រូវបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (ចែកនឹង 5)។
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (ចែកនឹង 2)។
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (គុណនឹង 3)។

ឧទាហរណ៍។
ដំណើរការសកម្មភាព៖ $\sqrt(a)*\sqrt(a)$ ។
ដំណោះស្រាយ។
និទស្សន្តនៃឫសគឺជាចំនួនផ្សេងគ្នា ដូច្នេះយើងមិនអាចប្រើទ្រឹស្តីបទ 1 បានទេ ប៉ុន្តែដោយការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ 5 យើងអាចទទួលបាននិទស្សន្តស្មើគ្នា។
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (គុណនឹង 3)។
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (គុណនឹង 4)។
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$ ។

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ

1. គណនា៖ $\sqrt(32*243*1024)$។
2. គណនា៖ $\sqrt(7\frac(58)(81))$។
3. គណនា៖
ក) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$ ។
ខ) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$។
4. ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
ក) $\sqrt(\sqrt(a))$ ។
ខ) $\sqrt(\sqrt(a))$ ។
គ) $\sqrt(\sqrt(a))$ ។
5. អនុវត្តសកម្មភាព៖ $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$ ។

ចំណាំសំខាន់!
1. ប្រសិនបើជំនួសឱ្យរូបមន្តដែលអ្នកឃើញ abracadabra សូមសម្អាតឃ្លាំងសម្ងាត់។ របៀបធ្វើវានៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នកត្រូវបានសរសេរនៅទីនេះ៖
2. មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមអានអត្ថបទ សូមយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះកម្មវិធីរុករករបស់យើងសម្រាប់ធនធានដែលមានប្រយោជន៍បំផុតសម្រាប់

ចូរយើងព្យាយាមស្វែងយល់ថាតើគំនិតប្រភេទ "ឫស" និង "អ្វីដែលវាត្រូវបានបរិភោគជាមួយ" ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ដែលអ្នកបានជួបប្រទះរួចហើយនៅក្នុងមេរៀន (ល្អ ឬអ្នកគ្រាន់តែត្រូវប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានេះ)។

ឧទាហរណ៍ យើងមានសមីការ។ តើអ្វីជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ? តើ​លេខ​អ្វី​អាច​ជា​ការ​ការ៉េ​និង​ទទួល​បាន​ក្នុង​ពេល​តែមួយ? ចងចាំតារាងគុណ អ្នកអាចផ្តល់ចម្លើយយ៉ាងងាយស្រួល៖ និង (ព្រោះនៅពេលអ្នកគុណលេខអវិជ្ជមានពីរ អ្នកនឹងទទួលបានលេខវិជ្ជមាន)! ដើម្បីងាយស្រួល គណិតវិទូបានណែនាំគោលគំនិតពិសេសនៃឫសការេ ហើយបានកំណត់វាជានិមិត្តសញ្ញាពិសេស។

ចូរកំណត់ឫសការ៉េនព្វន្ធ។

ហេតុអ្វីបានជាលេខត្រូវតែមិនអវិជ្ជមាន? ឧទាហរណ៍អ្វីដែលស្មើនឹង។ មិនអីទេ តោះព្យាយាមស្វែងយល់។ ប្រហែលជាបី? តោះពិនិត្យ៖ មិនមែនទេ។ ប្រហែល, ? ពិនិត្យម្តងទៀត៖ មែនហើយតើវាមិនជ្រើសរើសទេ? នេះ​គឺ​ត្រូវ​បាន​គេ​រំពឹង​ទុក - ព្រោះ​មិន​មាន​លេខ​ដែល​នៅ​ពេល​ការ៉េ​ផ្តល់​ឱ្យ​ចំនួន​អវិជ្ជមាន​!
នេះត្រូវតែចងចាំ: លេខ ឬកន្សោមក្រោមសញ្ញាឫសត្រូវតែមិនអវិជ្ជមាន!

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកយកចិត្តទុកដាក់បំផុតប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់រួចហើយថា និយមន័យនិយាយថាដំណោះស្រាយនៃឫសការ៉េនៃ "ចំនួនមួយត្រូវបានគេហៅថាបែបនេះ។ មិនអវិជ្ជមានលេខដែលការ៉េគឺ "។ អ្នកខ្លះនឹងនិយាយថានៅដើមដំបូង យើងបានវិភាគឧទាហរណ៍ លេខដែលបានជ្រើសរើសដែលអាចជាការ៉េ និងទទួលបានក្នុងពេលតែមួយ ចម្លើយគឺ ហើយនៅទីនេះវាកំពុងនិយាយអំពីប្រភេទនៃ "លេខមិនអវិជ្ជមាន" មួយចំនួន! ការ​លើក​ឡើង​បែប​នេះ​គឺ​សមរម្យ​ណាស់។ នៅទីនេះវាចាំបាច់ណាស់ក្នុងការបែងចែករវាងគោលគំនិតនៃសមីការ quadratic និងឫសការ៉េនព្វន្ធនៃចំនួនមួយ។ ជាឧទាហរណ៍ វាមិនស្មើនឹងកន្សោមទេ។

វាធ្វើតាមនោះ ពោលគឺ ឬ។ (សូមអានប្រធានបទ "")

ហើយវាធ្វើតាមនោះ។

ជាការពិតណាស់ នេះគឺមានការភ័ន្តច្រឡំខ្លាំងណាស់ ប៉ុន្តែត្រូវចាំថា សញ្ញាគឺជាលទ្ធផលនៃការដោះស្រាយសមីការ ព្រោះនៅពេលដោះស្រាយសមីការ យើងត្រូវសរសេរ x ទាំងអស់ដែលនៅពេលជំនួសសមីការដើមនឹងផ្តល់ភាពត្រឹមត្រូវ។ លទ្ធផល។ នៅក្នុងសមីការការ៉េរបស់យើងសមទាំងពីរ និង។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយប្រសិនបើ គ្រាន់តែយកឫសការ៉េពីអ្វីមួយ បន្ទាប់មកជានិច្ច យើងទទួលបានលទ្ធផលដែលមិនអវិជ្ជមាន.

ឥឡូវព្យាយាមដោះស្រាយសមីការនេះ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនសាមញ្ញនិងរលូនដូច្នេះមែនទេ? ព្យាយាមតម្រៀបតាមលេខ ប្រហែលជាមានអ្វីមួយនឹងឆេះមែនទេ? ចូរចាប់ផ្តើមពីដំបូង - ពីទទេ: - មិនសម, បន្ត - តិចជាងបី, ក៏ដុសមួយឡែក, ប៉ុន្តែប្រសិនបើ។ សូមពិនិត្យមើល៖ - ក៏មិនសមដែរព្រោះ វាច្រើនជាងបី។ ជាមួយនឹងលេខអវិជ្ជមាន រឿងដដែលនឹងប្រែទៅជាចេញ។ ហើយអ្វីដែលត្រូវធ្វើឥឡូវនេះ? តើការស្វែងរកមិនផ្តល់ឱ្យយើងទេ? មិនមែនទាល់តែសោះ ឥឡូវនេះយើងដឹងច្បាស់ថាចម្លើយនឹងជាលេខមួយចំនួនរវាង និង ក៏ដូចជារវាង និង។ ដូចគ្នានេះផងដែរ វាច្បាស់ណាស់ថាដំណោះស្រាយនឹងមិនមែនជាចំនួនគត់ទេ។ លើសពីនេះទៅទៀតពួកគេមិនសមហេតុផលទេ។ ដូច្នេះ តើមានអ្វីបន្ទាប់? ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ ហើយសម្គាល់ដំណោះស្រាយនៅលើវា។

តោះ​សាក​ល្បង​ប្រព័ន្ធ​ហើយ​យក​ចម្លើយ​ជាមួយ​ម៉ាស៊ីន​គិតលេខ! ចូរ​យក​ឫស​ចេញ​ពី​អាជីវកម្ម​! អូ - អូ - អូវាប្រែថា។ លេខនេះមិនដែលចប់ទេ។ ម៉េច​ក៏​ចាំ​បាន​ដែរ ព្រោះ​នឹង​អត់​មាន​ម៉ាស៊ីន​គិត​លេខ​ពេល​ប្រឡង!? អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់ អ្នកមិនចាំបាច់ចងចាំវាទេ អ្នកត្រូវចាំ (ឬអាចប៉ាន់ស្មានបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស) តម្លៃប្រហាក់ប្រហែល។ ហើយចម្លើយខ្លួនឯង។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាមិនសមហេតុផល ហើយវាគឺដើម្បីសម្រួលការសម្គាល់នៃលេខដែលគោលគំនិតនៃឫសការ៉េត្រូវបានណែនាំ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយទៀតដើម្បីពង្រឹង។ ចូរយើងវិភាគបញ្ហាខាងក្រោម៖ អ្នកត្រូវឆ្លងកាត់តាមអង្កត់ទ្រូង វាលការ៉េដែលមានជ្រុងម្ខាងនៃគីឡូម៉ែត្រ តើអ្នកត្រូវទៅប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រ?

អ្វី​ដែល​ច្បាស់​បំផុត​នៅ​ទី​នេះ​គឺ​ការ​ពិចារណា​ត្រីកោណ​ដោយ​ឡែក​ពី​គ្នា ហើយ​ប្រើ​ទ្រឹស្តីបទ​ពីតាហ្គ័រ៖ ។ នៅក្នុងវិធីនេះ, ។ ដូច្នេះតើចម្ងាយដែលត្រូវការនៅទីនេះ? ជាក់ស្តែង ចម្ងាយមិនអាចអវិជ្ជមានទេ យើងយល់បាននោះ។ ឫសនៃពីរគឺប្រហែលស្មើគ្នា ប៉ុន្តែដូចដែលយើងបានកត់សម្គាល់មុននេះ គឺជាចម្លើយពេញលេញរួចទៅហើយ។

ដូច្នេះ​ការ​ដោះស្រាយ​ឧទាហរណ៍​ជាមួយ​ឫស​មិន​បង្ក​បញ្ហា​ទេ អ្នក​ត្រូវ​មើល​និង​ស្គាល់​វា។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកត្រូវដឹងយ៉ាងហោចណាស់ការេនៃលេខពីទៅ ក៏ដូចជាអាចសម្គាល់ពួកវាបាន។ ឧទាហរណ៍ អ្នក​ត្រូវ​ដឹង​ថា​អ្វី​ជា​ការ​ការ៉េ ហើយ​ម្យ៉ាង​វិញ​ទៀត​អ្វី​ដែល​ជា​ការ៉េ។

តើអ្នកបានយល់ថាតើឫសការ៉េជាអ្វី? បន្ទាប់មកដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។

មែនហើយ តើវាដំណើរការដោយរបៀបណា? ឥឡូវនេះសូមមើលឧទាហរណ៍ទាំងនេះ៖

ចម្លើយ៖

ឫសគូប

ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានតម្រៀបនៃគំនិតនៃឫសការ៉េមួយ, ឥឡូវនេះយើងនឹងព្យាយាមដើម្បីរកឱ្យឃើញថាតើឫសគូបមួយនិងអ្វីដែលជាភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេ។

ឫសគូបនៃលេខមួយចំនួនគឺជាលេខដែលគូបស្មើនឹង។ តើអ្នកបានកត់សម្គាល់ទេថាវាងាយស្រួលជាងនេះទេ? មិនមានការរឹតបន្តឹងលើតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងតម្លៃនៅក្រោមសញ្ញាឫសគូប និងលេខដែលត្រូវស្រង់ចេញនោះទេ។ នោះគឺឫសគូបអាចយកពីលេខណាមួយ : ។

ចាប់​បាន​អ្វី​ជា​ឫស​គូប និង​វិធី​ស្រង់​ចេញ? បន្ទាប់មកបន្តជាមួយឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ចម្លើយ៖

ឫស - អូដឺក្រេ

ជាការប្រសើរណាស់, យើងបានរកឃើញគំនិតនៃឫសការ៉េនិងគូប។ ឥឡូវ​នេះ​យើង​ធ្វើ​ជា​ទូទៅ​ចំណេះ​ដឹង​ដែល​ទទួល​បាន​ដោយ​គោល​គំនិត ឫស.

ឫសពីលេខគឺជាលេខដែលអំណាចទី 1 ស្មើ ឧ។

គឺស្មើនឹង។

ប្រសិនបើ - សូម្បីតែបន្ទាប់មក៖

• ជាមួយអវិជ្ជមានកន្សោមមិនសមហេតុផលទេ (ឫសនៃកម្រិតគូនៃលេខអវិជ្ជមាន មិន​អាច​ដក​ចេញ​បាន​ទេ។!);
• ជាមួយនឹងការមិនអវិជ្ជមាន() កន្សោមមានឫសមិនអវិជ្ជមានមួយ។

ប្រសិនបើ - គឺសេស នោះកន្សោមមានឫសតែមួយសម្រាប់ណាមួយ។

កុំ​បារម្ភ គោលការណ៍​ដូចគ្នា​អនុវត្ត​នៅទីនេះ ដូច​ជា​ឫស​ការ៉េ និង​គូប។ នោះគឺជាគោលការណ៍ដែលយើងបានអនុវត្តនៅពេលពិចារណាឫសការ៉េត្រូវបានពង្រីកទៅគ្រប់ឫសនៃដឺក្រេគូ។

ហើយលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនោះដែលត្រូវបានប្រើសម្រាប់ឫសគូបអនុវត្តចំពោះឫសនៃកម្រិតសេស។

មែនហើយ វាកាន់តែច្បាស់? តោះស្វែងយល់ជាមួយឧទាហរណ៍៖

នៅទីនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាងឬតិចជាងនេះ: ដំបូងយើងមើលទៅ - បាទ កម្រិតគឺស្មើ លេខនៅក្រោមឫសគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះភារកិច្ចរបស់យើងគឺស្វែងរកលេខដែលសញ្ញាបត្រទីបួននឹងផ្តល់ឱ្យយើង។ មែនហើយ ទាយបានទេ? ប្រហែល, ? យ៉ាង​ពិតប្រាកដ!

ដូច្នេះសញ្ញាបត្រគឺស្មើគ្នា - សេសនៅក្រោមឫសលេខគឺអវិជ្ជមាន។ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺស្វែងរកលេខបែបនេះដែលនៅពេលដែលបានលើកឡើងទៅជាថាមពលមួយប្រែចេញ។ វាពិបាកណាស់ក្នុងការសម្គាល់ឃើញឫសភ្លាមៗ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកអាចបង្រួមការស្វែងរករបស់អ្នកភ្លាមៗមែនទេ? ទីមួយ លេខដែលចង់បានគឺពិតជាអវិជ្ជមាន ហើយទីពីរវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាវាជាលេខសេស ដូច្នេះហើយលេខដែលចង់បានគឺសេស។ ព្យាយាមយកឫស។ ជាការពិតណាស់ ហើយអ្នកអាចដុសធ្មេញដោយសុវត្ថិភាព។ ប្រហែល, ?

បាទ នេះជាអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក! ចំណាំថាដើម្បីធ្វើឱ្យការគណនាសាមញ្ញ យើងបានប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ៖ .

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃឫស

ច្បាស់? បើមិនដូច្នេះទេ បន្ទាប់ពីពិចារណាឧទាហរណ៍ អ្វីៗទាំងអស់គួរតែចូលកន្លែង។

គុណឫស

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគុណឫស? ទ្រព្យសម្បត្តិសាមញ្ញបំផុត និងជាមូលដ្ឋានបំផុតជួយឆ្លើយសំណួរនេះ៖

តោះចាប់ផ្តើមជាមួយរឿងសាមញ្ញមួយ៖

ឫស​នៃ​លេខ​លទ្ធផល​មិន​ត្រូវ​បាន​គេ​ស្រង់​ចេញ​ពិត​ប្រាកដ? កុំបារម្ភ នេះជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើមិនមានមេគុណពីរ ប៉ុន្តែមានច្រើនជាងនេះ? ដូចគ្នា! រូបមន្តគុណជា root ដំណើរការជាមួយកត្តាមួយចំនួន៖

តើយើងអាចធ្វើអ្វីជាមួយវា? ជាការប្រសើរណាស់, លាក់បីដងនៅក្រោមឫស, ខណៈពេលដែលចងចាំថាបីដងគឺជាឫសការ៉េនៃ!

ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការវា? បាទ/ចាស ដើម្បីពង្រីកសមត្ថភាពរបស់យើងនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍៖

តើអ្នកចូលចិត្តទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ឫសនេះដោយរបៀបណា? ធ្វើឱ្យជីវិតកាន់តែងាយស្រួល? សម្រាប់​ខ្ញុំ វា​ត្រូវ​ហើយ! អ្នកគ្រាន់តែត្រូវចងចាំរឿងនោះ។ យើង​អាច​បន្ថែម​លេខ​វិជ្ជមាន​ក្រោម​សញ្ញា​នៃ​ឬស​នៃ​ដឺក្រេ​គូ​ប៉ុណ្ណោះ។.

ចាំមើលកន្លែងណាទៀតដែលវាមានប្រយោជន៍ ឧទាហរណ៍ ក្នុងកិច្ចការមួយ អ្នកត្រូវប្រៀបធៀបលេខពីរ៖

បន្ថែមទៀត៖

អ្នកនឹងមិននិយាយភ្លាមៗពីដំបងទេ។ ចូរយើងប្រើលក្ខណសម្បត្តិញែកនៃការបន្ថែមលេខនៅក្រោមសញ្ញាឫស? បន្ទាប់មកទៅមុខ៖

ដឹង​ហើយ​ថា​លេខ​ធំ​ក្រោម​សញ្ញា​ឬស​ក៏​ធំ​ជាង​ឬស​ដែរ! ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើមានន័យ។ ពីនេះយើងសន្និដ្ឋានយ៉ាងម៉ឺងម៉ាត់ ហើយគ្មាននរណាម្នាក់នឹងបញ្ចុះបញ្ចូលយើងបើមិនដូច្នេះទេ!

មុននោះយើងបានណែនាំកត្តាមួយនៅក្រោមសញ្ញានៃឫសប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយកវាចេញ? អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបែងចែកវាចេញ ហើយស្រង់អ្វីដែលស្រង់ចេញ!

វាអាចទៅវិធីផ្សេង ហើយរលាយទៅជាកត្តាផ្សេងទៀត៖

មិនអាក្រក់ទេមែនទេ? វិធីសាស្រ្តណាមួយទាំងនេះគឺត្រឹមត្រូវ សម្រេចចិត្តថាតើអ្នកមានអារម្មណ៍ស្រួលយ៉ាងណា។

ឧទាហរណ៍ ខាងក្រោមនេះជាកន្សោម៖

ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ សញ្ញាបត្រ​គឺ​ស្មើ ប៉ុន្តែ​ចុះ​បើ​វា​សេស? ជាថ្មីម្តងទៀត អនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិថាមពល និងកត្តាគ្រប់យ៉ាង៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់លាស់ជាមួយនេះប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីទាញយកឫសពីលេខក្នុងកម្រិតមួយ? នេះជាឧទាហរណ៍៖

សាមញ្ញណាស់មែនទេ? ចុះបើសញ្ញាបត្រធំជាងពីរ? យើងធ្វើតាមតក្កវិជ្ជាដូចគ្នាដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ៖

អញ្ចឹងតើអ្វីៗច្បាស់ទេ? បន្ទាប់មកនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយ៖

ទាំងនេះគឺជាគ្រោះថ្នាក់ អំពីពួកគេ។ ចងចាំជានិច្ច. នេះពិតជាការឆ្លុះបញ្ចាំងលើឧទាហរណ៍អចលនទ្រព្យ៖

សម្រាប់សេស៖ សម្រាប់គូនិង៖

ច្បាស់? ជួសជុលវាជាមួយឧទាហរណ៍៖

មែនហើយ យើងឃើញឫសដល់កម្រិតស្មើ លេខអវិជ្ជមាននៅក្រោមឫសក៏ដល់កម្រិតស្មើដែរ។ អញ្ចឹងតើវាដំណើរការដូចគ្នាទេ? ហើយនេះជាអ្វី៖

អស់ហើយ! ឥឡូវនេះនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

យល់ទេ? បន្ទាប់មកបន្តជាមួយឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ចម្លើយ។

ប្រសិនបើអ្នកបានទទួលចម្លើយ នោះអ្នកអាចបន្តដោយសន្តិភាពនៃចិត្ត។ បើមិនអញ្ចឹងទេ តោះមើលឧទាហរណ៍ទាំងនេះ៖

សូមក្រឡេកមើលលក្ខណៈសម្បត្តិពីរផ្សេងទៀតនៃឫស៖

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវតែត្រូវបានវិភាគជាឧទាហរណ៍។ អញ្ចឹងតើយើងនឹងធ្វើបែបនេះទេ?

យល់ទេ? តោះជួសជុលវា។

ឧទាហរណ៍។

ចម្លើយ។

ឫស និងទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។ កម្រិតមធ្យម

ឫសការ៉េនព្វន្ធ

សមីការមានដំណោះស្រាយពីរ៖ និង។ ទាំងនេះគឺជាលេខដែលការ៉េស្មើគ្នា។

ពិចារណាសមីការ។ ចូរយើងដោះស្រាយវាជាក្រាហ្វិក។ ចូរគូរក្រាហ្វនៃមុខងារ និងបន្ទាត់នៅលើកម្រិត។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ទាំងនេះនឹងជាដំណោះស្រាយ។ យើងឃើញថាសមីការនេះក៏មានដំណោះស្រាយពីរដែរ គឺមួយវិជ្ជមាន មួយទៀតអវិជ្ជមាន៖

ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយមិនមែនជាចំនួនគត់ទេ។ លើសពីនេះទៅទៀតពួកគេមិនសមហេតុផលទេ។ ដើម្បីសរសេរការសម្រេចចិត្តមិនសមហេតុផលទាំងនេះ យើងណែនាំនិមិត្តសញ្ញាឫសការ៉េពិសេស។

ឫសការ៉េនព្វន្ធគឺ​ជា​ចំនួន​មិន​អវិជ្ជមាន​ដែល​ការ៉េ​គឺ . នៅពេលដែលកន្សោមមិនត្រូវបានកំណត់, ដោយសារតែ មិនមានលេខបែបនេះទេ ការ៉េដែលស្មើនឹងលេខអវិជ្ជមាន។

ឫស​ការេ: .

ឧទាហរណ៍, ។ ហើយវាធ្វើតាមនោះ ឬ។

ជាថ្មីម្តងទៀតនេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់: ឫសការ៉េតែងតែជាលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន៖ !

ឫសគូបចេញពីចំនួនគឺជាលេខដែលគូបស្មើគ្នា។ ឫសគូបត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ វាអាចត្រូវបានស្រង់ចេញពីលេខណាមួយ: . ដូចដែលអ្នកអាចឃើញវាក៏អាចយកតម្លៃអវិជ្ជមានផងដែរ។

ឫសនៃសញ្ញាប័ត្រទី នៃលេខគឺជាលេខដែលសញ្ញាបត្រទី ស្មើនឹង ឧ។

ប្រសិនបើ - សូម្បីតែបន្ទាប់មក៖

• ប្រសិនបើនោះឫសទី 1 នៃ a មិនត្រូវបានកំណត់។
• ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកឫសមិនអវិជ្ជមាននៃសមីការត្រូវបានគេហៅថាឫសនព្វន្ធនៃដឺក្រេទី ហើយត្រូវបានតំណាង។

ប្រសិនបើ - គឺសេស នោះសមីការមានឫសតែមួយសម្រាប់ណាមួយ។

តើ​អ្នក​បាន​កត់​សម្គាល់​ឃើញ​ថា​យើង​សរសេរ​កម្រិត​របស់​វា​នៅ​ខាង​ឆ្វេង​កំពូល​នៃ​សញ្ញា​ឬស? ប៉ុន្តែមិនមែនសម្រាប់ឫសការ៉េទេ! ប្រសិនបើអ្នកឃើញឫសដោយគ្មានសញ្ញាបត្រ នោះវាជាការ៉េ (ដឺក្រេ)។

ឧទាហរណ៍។

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃឫស

ឫស និងទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។ សង្ខេបអំពីមេ

ឫសការ៉េ (ឫសការ៉េនព្វន្ធ)ពីលេខដែលមិនអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា ចំនួនមិនអវិជ្ជមានដែលការ៉េគឺ

លក្ខណៈសម្បត្តិឫស៖

មែនហើយ ប្រធានបទគឺចប់ហើយ។ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានបន្ទាត់ទាំងនេះ នោះអ្នកពិតជាឡូយណាស់។

ពីព្រោះមនុស្សតែ 5% ប៉ុណ្ណោះដែលអាចធ្វើជាម្ចាស់អ្វីមួយដោយខ្លួនឯងបាន។ ហើយប្រសិនបើអ្នកបានអានដល់ទីបញ្ចប់នោះអ្នកស្ថិតនៅក្នុង 5%!

ឥឡូវនេះអ្វីដែលសំខាន់បំផុត។

អ្នក​បាន​រក​ឃើញ​ទ្រឹស្ដី​លើ​ប្រធានបទ​នេះ។ ហើយ​ខ្ញុំ​និយាយ​ម្តង​ទៀត វា​គឺ​ជា... វា​គ្រាន់​តែ​អស្ចារ្យ! អ្នក​គឺ​ល្អ​ជាង​មិត្ត​ភក្តិ​របស់​អ្នក​ភាគ​ច្រើន​រួច​ទៅ​ហើយ។

បញ្ហាគឺថានេះប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ...

ដើម្បីអ្វី?

សម្រាប់ការប្រឡងជាប់ដោយជោគជ័យ សម្រាប់ការចូលរៀននៅវិទ្យាស្ថាន ថវិកា និងសំខាន់បំផុតសម្រាប់ជីវិត។

ខ្ញុំនឹងមិនបញ្ចុះបញ្ចូលអ្នកពីអ្វីទេខ្ញុំនឹងនិយាយតែមួយ ...

អ្នក​ដែល​ទទួល​បាន​ការ​អប់រំ​ល្អ​រក​បាន​ច្រើន​ជាង​អ្នក​ដែល​មិន​បាន​ទទួល។ នេះគឺជាស្ថិតិ។

ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជារឿងសំខាន់ទេ។

រឿងចំបងគឺថាពួកគេកាន់តែសប្បាយរីករាយ (មានការសិក្សាបែបនេះ) ។ ប្រហែលជាដោយសារឱកាសកាន់តែច្រើនបើកមុនពួកគេ ហើយជីវិតកាន់តែភ្លឺ? មិនដឹង...

តែគិតខ្លួនឯង...

តើ​ត្រូវ​ធ្វើ​ដូចម្តេច​ដើម្បី​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​ល្អ​ជាង​អ្នក​ដទៃ​ពេល​ប្រឡង​ហើយ​នៅ​ទី​បំផុត​… សប្បាយ​ជាង​?

បំពេញដៃរបស់អ្នក ដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទនេះ។

នៅពេលប្រឡង អ្នកនឹងមិនត្រូវបានគេសួរទ្រឹស្តីទេ។

អ្នក​នឹង​ត្រូវការ ដោះស្រាយបញ្ហាទាន់ពេលវេលា.

ហើយប្រសិនបើអ្នកមិនបានដោះស្រាយវាទេ (ច្រើន!) អ្នកច្បាស់ជាមានកំហុសឆ្គងនៅកន្លែងណាមួយ ឬគ្រាន់តែមិនធ្វើវាទាន់ពេល។

វាដូចជានៅក្នុងកីឡា - អ្នកត្រូវធ្វើម្តងទៀតច្រើនដងដើម្បីឈ្នះប្រាកដ។

ស្វែងរកបណ្តុំនៅគ្រប់ទីកន្លែងដែលអ្នកចង់បាន ចាំបាច់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ ការវិភាគលម្អិតហើយសម្រេចចិត្ត សម្រេចចិត្ត!

អ្នកអាចប្រើភារកិច្ចរបស់យើង (មិនចាំបាច់) ហើយយើងពិតជាណែនាំពួកគេ។

ដើម្បីទទួលបានដៃជំនួយពីកិច្ចការរបស់យើង អ្នកត្រូវជួយពន្យារអាយុជីវិតនៃសៀវភៅសិក្សា YouClever ដែលអ្នកកំពុងអានបច្ចុប្បន្ន។

យ៉ាងម៉េច? មានជម្រើសពីរ៖

1. ដោះសោការចូលប្រើកិច្ចការដែលបានលាក់ទាំងអស់នៅក្នុងអត្ថបទនេះ -
2. ដោះសោការចូលប្រើកិច្ចការដែលលាក់ទាំងអស់នៅក្នុងអត្ថបទទាំង 99 នៃការបង្រៀន - ទិញសៀវភៅសិក្សា - 499 រូប្លិ៍

បាទ/ចាស យើងមានអត្ថបទបែបនេះចំនួន 99 នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សា ហើយការចូលប្រើកិច្ចការទាំងអស់ ហើយអត្ថបទដែលលាក់ទាំងអស់នៅក្នុងពួកវាអាចបើកបានភ្លាមៗ។

ការចូលប្រើកិច្ចការដែលបានលាក់ទាំងអស់ត្រូវបានផ្តល់ជូនសម្រាប់ពេញមួយជីវិតនៃគេហទំព័រ។

សរុបសេចក្តី...

ប្រសិនបើអ្នកមិនចូលចិត្តកិច្ចការរបស់យើង ស្វែងរកអ្នកដទៃ។ កុំឈប់ជាមួយទ្រឹស្តី។

"យល់" និង "ខ្ញុំដឹងពីរបៀបដោះស្រាយ" គឺជាជំនាញខុសគ្នាទាំងស្រុង។ អ្នកត្រូវការទាំងពីរ។

ស្វែងរកបញ្ហា និងដោះស្រាយ!

ជាមួយនិងលេខធម្មជាតិ ន 2 .

លេខស្មុគស្មាញ Zបានហៅ ឫសន– គ, ប្រសិនបើ Z ន = គ.

ស្វែងរកតម្លៃ root ទាំងអស់។ ន– th degree ពីចំនួនកុំផ្លិច ជាមួយ. អនុញ្ញាតឱ្យ គ=| គ|·(cos Arg គ+ ខ្ញុំ· អំពើបាប Argជាមួយ),ក Z = | Z|·(ជាមួយos Arg Z + ខ្ញុំ· អំពើបាប Arg Z) កន្លែងណា Zឫស ន- th degree ពីចំនួនកុំផ្លិច ជាមួយ. បន្ទាប់មកវាត្រូវតែ = គ = | គ|·(cos Arg គ+ ខ្ញុំ· អំពើបាប Argជាមួយ). ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។
និង ន· Arg Z = Argជាមួយ
Arg Z =
(k=0,1,…) . អាស្រ័យហេតុនេះ Z =
(cos
+ ខ្ញុំ· អំពើបាប
), (k=0,1,…) . វាងាយស្រួលមើលថាតម្លៃណាមួយ។
, (k=0,1,…) ខុសគ្នាពីតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។
,(k = 0,1,…, ន-1) ទៅច្រើន។ 2π. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល , (k = 0,1,…, ន-1) .

ឧទាហរណ៍។

គណនាឫសនៃ (-1).

ជាក់ស្តែង |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (cos π + ខ្ញុំ· អំពើបាប π )

, (k = 0, 1) ។

= ខ្ញុំ

សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផលតាមអំពើចិត្ត

យកចំនួនកុំផ្លិចដោយបំពាន ជាមួយ. ប្រសិនបើ ក នលេខធម្មជាតិ ជាមួយ ន = | គ| ន ·(ជាមួយos nArgជាមួយ +ខ្ញុំ· អំពើបាប nArgជាមួយ)(៦). រូបមន្តនេះក៏ជាការពិតផងដែរនៅក្នុងករណី ន = 0 (គ≠0)
. អនុញ្ញាតឱ្យ ន < 0 និង ន Zនិង គ ≠ ០បន្ទាប់មក

ជាមួយ ន =
(cos nArgជាមួយ+i sin nArgជាមួយ) = (cos nArgជាមួយ+ ខ្ញុំ sin nArgជាមួយ) . ដូច្នេះរូបមន្ត (6) មានសុពលភាពសម្រាប់ណាមួយ។ ន.

ចូរយើងយកលេខសមហេតុផល កន្លែងណា qលេខធម្មជាតិ និង រគឺជាចំនួនគត់។

បន្ទាប់មកនៅក្រោម សញ្ញាបត្រ គ rចូរយើងយល់ពីលេខ
.

យើងទទួលបាននោះ។ ,

(k = 0, 1, …, q-1). តម្លៃទាំងនេះ qបំណែកប្រសិនបើប្រភាគមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយ។

ការបង្រៀន №3 ដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិចមួយ។

មុខងារដែលមានតម្លៃស្មុគស្មាញនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិត្រូវបានគេហៅថា លំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិចនិងតំណាង (ជាមួយ ន ) ឬ ជាមួយ 1 , ជាមួយ 2 , ... , ជាមួយ ន . ជាមួយ ន = ក ន + ខ ន · ខ្ញុំ (ន = 1,2, ...) លេខស្មុគស្មាញ។

ជាមួយ 1 , ជាមួយ 2 , ... - សមាជិកនៃលំដាប់; ជាមួយ ន - សមាជិកទូទៅ

លេខស្មុគស្មាញ ជាមួយ = ក+ ខ· ខ្ញុំបានហៅ ដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច (គ ន ) កន្លែងណា ជាមួយ ន = ក ន + ខ ន · ខ្ញុំ (ន = 1, 2, …) កន្លែងណា

នោះសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ន > នវិសមភាព
. លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់កំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចូលគ្នាលំដាប់។

ទ្រឹស្តីបទ។

សម្រាប់លំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច (ជាមួយ ន ) (ជាមួយ ន = ក ន + ខ ន · ខ្ញុំ) បានបំប្លែងទៅជាលេខ = ក+ ខ· ខ្ញុំគឺចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់សមភាពលីម ក ន = ក, លីម ខ ន = ខ.

ភស្តុតាង។

យើងនឹងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទដោយផ្អែកលើវិសមភាពទ្វេជាក់ស្តែងដូចខាងក្រោម

កន្លែងណា Z = x + y· ខ្ញុំ (2)

ត្រូវការ។អនុញ្ញាតឱ្យ លីម(ជាមួយ ន ) = ជាមួយ. ចូរយើងបង្ហាញថាសមភាព លីម ក ន = កនិង លីម ខ ន = ខ (3).

ជាក់ស្តែង (4)

ដោយសារតែ
, ពេលណា​ ន → ∞ បន្ទាប់មកវាបន្តពីផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (4) នោះ។
និង
, ពេលណា​ ន → ∞ . ដូច្នេះសមភាព (៣) រក្សា។ តម្រូវការត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភាពគ្រប់គ្រាន់។ឥឡូវនេះសូមឱ្យសមភាព (3) កាន់។ វាធ្វើតាមសមភាព (3) នោះ។
និង
, ពេលណា​ ន → ∞ ដូច្នេះដោយសារផ្នែកខាងស្តាំនៃវិសមភាព (4) វានឹងក្លាយជា
, ពេលណា​ ន→∞ , មានន័យថា លីម(ជាមួយ ន ) = ស. ភាពគ្រប់គ្រាន់ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដូច្នេះសំណួរនៃការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិចគឺស្មើនឹងការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ចំនួនពិតពីរ ដូច្នេះហើយ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃដែនកំណត់នៃលំដាប់ចំនួនពិតអនុវត្តចំពោះលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy មានសុពលភាព៖ សម្រាប់លំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច (ជាមួយ ន ) បង្រួបបង្រួម វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ណាមួយ។

ថាសម្រាប់ណាមួយ។ន, ម > នវិសមភាព
.

ទ្រឹស្តីបទ។

អនុញ្ញាតឱ្យលំដាប់នៃចំនួនកុំផ្លិច (ជាមួយ ន ) និង (z ន ) បង្រួបបង្រួមគ្នាជាមួយ និងzបន្ទាប់មកសមភាពលីម(ជាមួយ ន z ន ) = គ z, លីម(ជាមួយ ន · z ន ) = គ· z. បើគេដឹងច្បាស់ថាzមិនស្មើនឹង 0 បន្ទាប់មកសមភាព
.

សូមអបអរសាទរ៖ ថ្ងៃនេះយើងនឹងវិភាគឫសគល់ - ប្រធានបទមួយដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនៃថ្នាក់ទី ៨ ។ :)

មនុស្សជាច្រើនយល់ច្រលំអំពីឫសគល់ មិនមែនដោយសារតែវាស្មុគស្មាញទេ (ដែលស្មុគស្មាញ - និយមន័យពីរបី និងលក្ខណៈសម្បត្តិពីរបីទៀត) ប៉ុន្តែដោយសារតែនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាភាគច្រើន ឫសត្រូវបានកំណត់តាមរយៈព្រៃបែបនេះ ដែលមានតែអ្នកនិពន្ធសៀវភៅសិក្សាខ្លួនឯងប៉ុណ្ណោះ។ អាចយល់ពីការសរសេរនេះ។ ហើយសូម្បីតែជាមួយស្រាវីស្គីដ៏ល្អមួយដប។ :)

ដូច្នេះហើយ ឥឡូវនេះ ខ្ញុំនឹងផ្តល់និយមន័យត្រឹមត្រូវ និងមានសមត្ថភាពបំផុតនៃឫសគល់ - តែមួយគត់ដែលអ្នកគួរចងចាំ។ ហើយមានតែពេលនោះទេដែលខ្ញុំនឹងពន្យល់: ហេតុអ្វីបានជាអ្វីៗទាំងអស់នេះចាំបាច់និងរបៀបអនុវត្តវាក្នុងការអនុវត្ត។

ប៉ុន្តែជាដំបូង សូមចងចាំចំណុចសំខាន់មួយ ដែលសម្រាប់ហេតុផលខ្លះអ្នកចងក្រងសៀវភៅសិក្សាជាច្រើន “ភ្លេច” អំពី៖

ឫសអាចមានកម្រិតស្មើគ្នា ($\sqrt(a)$ សំណព្វរបស់យើង ក៏ដូចជា $\sqrt(a)$ និងសូម្បីតែ $\sqrt(a)$) និងសេស ($\sqrt(a)$ ណាមួយក៏បាន។ , $\ sqrt(a)$ ។ល។ ហើយនិយមន័យនៃឫសនៃសញ្ញាបត្រសេសគឺខុសគ្នាខ្លះពីសូម្បីតែមួយ

នៅទីនេះ "ខុសគ្នាបន្តិច" នេះត្រូវបានលាក់ ប្រហែលជា 95% នៃកំហុស និងការយល់ខុសទាំងអស់ដែលទាក់ទងនឹងឫស។ អញ្ចឹង​តោះ​ស្រាយ​វាក្យសព្ទ​ម្តង​ហើយ​សម្រាប់​ទាំង​អស់​គ្នា៖

និយមន័យ។ សូម្បីតែឫស នពីលេខ $a$ គឺណាមួយ។ មិនអវិជ្ជមានលេខ $b$ ដូចជា $((b)^(n))=a$ ។ ហើយឫសនៃសញ្ញាប័ត្រសេសពីលេខដូចគ្នា $a$ ជាទូទៅគឺលេខណាមួយ $b$ ដែលសមភាពដូចគ្នាមាន៖ $((b)^(n))=a$ ។

ក្នុងករណីណាក៏ដោយឫសត្រូវបានតំណាងដូចនេះ:

\(a)\]

លេខ $n$ ក្នុងសញ្ញាណបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា root exponent ហើយលេខ $a$ ត្រូវបានគេហៅថា radical expression។ ជាពិសេសសម្រាប់ $n=2$ យើងទទួលបានឫសការ៉េ "សំណព្វ" របស់យើង (ដោយវិធីនេះគឺជាឫសនៃដឺក្រេមួយ) ហើយសម្រាប់ $n=3$ យើងទទួលបានឫសគូប (សញ្ញាប័ត្រសេស) ដែលត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងបញ្ហា និងសមីការ។

ឧទាហរណ៍។ ឧទាហរណ៍បុរាណនៃឫសការ៉េ៖

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \\ sqrt(81)=9; \\ & \ sqrt(256)=16. \\ \end(តម្រឹម)\]

ដោយវិធីនេះ $\sqrt(0)=0$ និង $\sqrt(1)=1$ ។ នេះពិតជាឡូជីខលចាប់តាំងពី $((0)^(2))=0$ និង $((1)^(2))=1$ ។

ឫសគូបក៏ជារឿងធម្មតាដែរ - កុំខ្លាចពួកវា៖

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \\ sqrt(-64)=-4; \\ & \ sqrt(343)=7. \\ \end(តម្រឹម)\]

ជាការប្រសើរណាស់, ពីរបីនៃ "ឧទាហរណ៍កម្រនិងអសកម្ម":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \\ sqrt(-32)=-2. \\ \end(តម្រឹម)\]

ប្រសិនបើអ្នកមិនយល់ពីអ្វីដែលជាភាពខុសគ្នារវាងកម្រិតគូ និងសេស សូមអាននិយមន័យម្តងទៀត។ វា​ពិតជា​សំខាន់ណាស់!

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងនឹងពិចារណាពីលក្ខណៈមិនល្អមួយរបស់ឫស ដោយសារតែការដែលយើងត្រូវណែនាំនិយមន័យដាច់ដោយឡែកសម្រាប់និទស្សន្តគូ និងសេស។

ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការឫស?

បន្ទាប់ពីបានអាននិយមន័យ សិស្សជាច្រើននឹងសួរថា "តើគណិតវិទូបានជក់បារីអ្វីខ្លះនៅពេលពួកគេបង្កើតវាឡើង?" ហើយពិតជា៖ ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការឫសទាំងនេះ?

ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ សូមត្រលប់ទៅសាលាបឋមសិក្សាមួយភ្លែត។ ចងចាំ៖ នៅគ្រាឆ្ងាយនោះ នៅពេលដែលដើមឈើកាន់តែបៃតង ហើយនំប៉ាវមានរសជាតិឆ្ងាញ់ កង្វល់ចម្បងរបស់យើងគឺត្រូវគុណលេខឲ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ជាការប្រសើរណាស់, អ្វីមួយនៅក្នុងស្មារតីនៃ "ប្រាំដោយប្រាំ - ម្ភៃប្រាំ" នោះហើយជាទាំងអស់។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីទាំងអស់ អ្នកអាចគុណលេខមិនមែនជាគូទេ ប៉ុន្តែជាបីដង បួន និងជាទូទៅសំណុំទាំងមូល៖

\\ [\begin(តម្រឹម) & 5\cdot 5=25; \\ & 5 \\ cdot 5 \\cdot 5 = 125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5 \\ cdot 5 \\cdot 5 \\cdot 5 \\cdot 5 = 3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមែនជាចំណុចទេ។ ល្បិចគឺខុសគ្នា៖ គណិតវិទូជាមនុស្សខ្ជិល ដូច្នេះគេត្រូវសរសេរគុណដប់ប្រាំដូចនេះ៖

ដូច្នេះពួកគេទទួលបានសញ្ញាបត្រ។ ហេតុអ្វី​មិន​សរសេរ​ចំនួន​កត្តា​ជា​អក្សរ​ធំ​ជំនួស​ឱ្យ​ខ្សែ​វែង? ចូលចិត្ត​មួយ​នេះ:

វាងាយស្រួលណាស់! ការ​គណនា​ទាំង​អស់​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ​ជា​ច្រើន​ដង ហើយ​អ្នក​មិន​អាច​ចំណាយ​អស់​ក្រដាស​កត់​ត្រា​មួយ​ចំនួន​ដើម្បី​សរសេរ​ចំនួន 5 183 ។ ធាតុបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាកម្រិតនៃលេខមួយ bunch នៃទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងវាប៉ុន្តែសុភមង្គលបានប្រែទៅជាខ្លី។

បន្ទាប់ពីផឹកស្រាយ៉ាងអធិកអធម ដែលត្រូវបានរៀបចំឡើងអំពី "ការរកឃើញ" ដឺក្រេ អ្នកជំនាញគណិតវិទូមួយចំនួនបានគប់ដុំថ្មភ្លាមៗថា "ចុះបើយើងដឹងពីកម្រិតនៃលេខ ប៉ុន្តែយើងមិនស្គាល់លេខខ្លួនឯង?" ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើយើងដឹងថាលេខជាក់លាក់មួយ $b$ ឧទាហរណ៍ ផ្តល់ 243 ដល់ថាមពលទី 5 នោះ តើយើងអាចទាយបានថាចំនួន $b$ ខ្លួនវាស្មើនឹងអ្វី?

បញ្ហា​នេះ​បាន​ក្លាយ​ជា​បញ្ហា​សកល​ជាង​ការ​មើល​ឃើញ​ដំបូង។ ដោយសារតែវាបានប្រែក្លាយថាសម្រាប់ដឺក្រេ "រួចរាល់" ភាគច្រើនមិនមានលេខ "ដំបូង" បែបនេះទេ។ វិនិច្ឆ័យដោយខ្លួនឯង៖

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((ខ)^(៣))=៦៤ ព្រួញស្ដាំ b=៤ \\cdot ៤\\cdot ៤\\ ព្រួញស្ដាំ b=៤។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ចុះបើ $((b)^(3))=50$? វាប្រែថាអ្នកត្រូវស្វែងរកចំនួនជាក់លាក់ដែលនៅពេលគុណនឹងខ្លួនវាបីដងនឹងផ្តល់ឱ្យយើង 50 ។ ប៉ុន្តែតើលេខនេះជាអ្វី? វាច្បាស់ជាង 3 ពីព្រោះ 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. I.e. លេខនេះស្ថិតនៅចន្លោះពីបីទៅបួន ប៉ុន្តែអ្វីដែលវាស្មើនឹង - FIG អ្នកនឹងយល់។

នេះ​ជា​មូលហេតុ​ដែល​អ្នក​គណិត​វិទូ​បង្កើត​ឫសគល់ $n$-th។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលរូបតំណាងរ៉ាឌីកាល់ $\sqrt(*)$ ត្រូវបានណែនាំ។ ដើម្បីសម្គាល់លេខដូចគ្នា $b$ ដែលតាមថាមពលដែលបានបញ្ជាក់ នឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវតម្លៃដែលគេស្គាល់ពីមុន

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

ខ្ញុំមិនប្រកែកទេ៖ ជារឿយៗឫសទាំងនេះត្រូវបានពិចារណាយ៉ាងងាយស្រួល - យើងបានឃើញឧទាហរណ៍ជាច្រើនខាងលើ។ ប៉ុន្តែនៅតែក្នុងករណីភាគច្រើន ប្រសិនបើអ្នកគិតពីលេខដែលបំពាន ហើយបន្ទាប់មកព្យាយាមទាញយកឫសគល់នៃកម្រិតបំពានពីវា នោះអ្នកកំពុងស្ថិតក្នុងភាពឃោរឃៅដ៏ឃោរឃៅ។

តើមានអ្វីនៅទីនោះ! សូម្បីតែ $\sqrt(2)$ សាមញ្ញបំផុត និងធ្លាប់ស្គាល់បំផុតក៏មិនអាចតំណាងក្នុងទម្រង់ធម្មតារបស់យើងដែរ - ជាចំនួនគត់ ឬប្រភាគ។ ហើយប្រសិនបើអ្នកបើកលេខនេះទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខ អ្នកនឹងឃើញដូចនេះ៖

\\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគ មានលេខរៀងមិនចេះចប់ ដែលមិនគោរពតាមតក្កវិជ្ជាណាមួយឡើយ។ ជា​ការ​ពិត អ្នក​អាច​បង្គត់​លេខ​នេះ​ដើម្បី​ប្រៀបធៀប​យ៉ាង​លឿន​ជាមួយ​លេខ​ផ្សេង​ទៀត។ ឧទាហរណ៍:

\[\ sqrt(2)=1.4142...\approx 1.4 \lt 1.5\]

ឬនេះជាឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

\\[\sqrt(3)=1.73205...\approx 1.7 \gt 1.5\]

ប៉ុន្តែការបង្គត់ទាំងអស់នេះគឺ ជាដំបូងគឺរដុប។ ហើយទីពីរ អ្នកក៏ត្រូវអាចធ្វើការជាមួយនឹងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល បើមិនដូច្នេះទេ អ្នកអាចចាប់កំហុសមិនច្បាស់មួយចំនួន (ដោយវិធីនេះ ជំនាញនៃការប្រៀបធៀប និងការបង្គត់គឺចាំបាច់ត្រូវតែពិនិត្យនៅឯការប្រឡងប្រវត្តិរូប)។

ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាដ៏ធ្ងន់ធ្ងរ មនុស្សម្នាក់មិនអាចធ្វើដោយគ្មានឫសទេ - ពួកគេគឺជាតំណាងស្មើគ្នានៃសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ $\mathbb(R)$ ដូចជាប្រភាគ និងចំនួនគត់ដែលយើងស្គាល់ជាយូរមកហើយ។

ភាពមិនអាចទៅរួចនៃការតំណាងឱ្យឫសជាប្រភាគនៃទម្រង់ $\frac(p)(q)$ មានន័យថាឫសនេះមិនមែនជាចំនួនសមហេតុផលទេ។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាមិនសមហេតុផល ហើយពួកវាមិនអាចតំណាងឱ្យត្រឹមត្រូវបានទេ លើកលែងតែមានជំនួយពីរ៉ាឌីកាល់ ឬសំណង់ផ្សេងទៀតដែលត្រូវបានរចនាឡើងជាពិសេសសម្រាប់វា (លោការីត ដឺក្រេ ដែនកំណត់។ល។)។ ប៉ុន្តែនៅពេលនោះបន្ថែមទៀត។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលបន្ទាប់ពីការគណនាទាំងអស់ លេខមិនសមហេតុផលនឹងនៅតែមាននៅក្នុងចម្លើយ។

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

តាមធម្មជាតិដោយរូបរាងនៃឫសវាស្ទើរតែមិនអាចទាយបានថាតើលេខណាមួយនឹងមកបន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ គេអាចគណនាតាមម៉ាស៊ីនគិតលេខបាន ប៉ុន្តែសូម្បីតែម៉ាស៊ីនគណនាកាលបរិច្ឆេទទំនើបបំផុតក៏ផ្តល់ឱ្យយើងនូវចំនួនខ្ទង់ដំបូងនៃចំនួនមិនសមហេតុផលដែរ។ ដូច្នេះ វាកាន់តែត្រឹមត្រូវក្នុងការសរសេរចម្លើយជា $\sqrt(5)$ និង $\sqrt(-2)$ ។

នោះហើយជាអ្វីដែលពួកគេត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់។ ដើម្បីងាយស្រួលសរសេរចម្លើយ។

ហេតុអ្វីចាំបាច់និយមន័យពីរ?

អ្នកអានដែលយកចិត្តទុកដាក់ប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់រួចហើយថាឫសការ៉េទាំងអស់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងឧទាហរណ៍គឺត្រូវបានដកចេញពីលេខវិជ្ជមាន។ ជាការប្រសើរណាស់, យ៉ាងហោចណាស់ពីសូន្យ។ ប៉ុន្តែឫសគូបត្រូវបានស្រង់ចេញដោយស្ងប់ស្ងាត់ពីលេខណាមួយ - សូម្បីតែវិជ្ជមានសូម្បីតែអវិជ្ជមាន។

ហេតុអ្វីបានជារឿងនេះកើតឡើង? សូមមើលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y=((x)^(2))$:

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ quadratic ផ្តល់ឫសពីរ៖ វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន

តោះសាកល្បងគណនា $\sqrt(4)$ ដោយប្រើក្រាហ្វនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ បន្ទាត់ផ្តេក $y=4$ (គូសពណ៌ក្រហម) ត្រូវបានគូសនៅលើក្រាហ្វ ដែលប្រសព្វជាមួយប៉ារ៉ាបូឡានៅពីរចំណុច៖ $((x)_(1))=2$ និង $((x )_(2)) =-2$ ។ នេះគឺពិតជាឡូជីខល, ចាប់តាំងពី

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាមួយនឹងលេខដំបូង - វាវិជ្ជមានដូច្នេះវាជាឫសគល់:

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកអ្វីដែលត្រូវធ្វើជាមួយចំណុចទីពីរ? តើ 4 មានឫសពីរក្នុងពេលតែមួយទេ? សរុបមក ប្រសិនបើយើងការ៉េចំនួន −2 យើងក៏ទទួលបាន 4។ ហេតុអ្វីមិនសរសេរ $\sqrt(4)=-2$ អញ្ចឹង? ហើយ​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​គ្រូ​មើល​កំណត់​ត្រា​ដូច​ជា​ចង់​ញ៉ាំ​អ្នក? :)

បញ្ហាគឺថាប្រសិនបើគ្មានលក្ខខណ្ឌបន្ថែមទេនោះបួននឹងមានឫសការ៉េពីរ - វិជ្ជមាននិងអវិជ្ជមាន។ ហើយចំនួនវិជ្ជមានណាមួយក៏នឹងមានពីរក្នុងចំណោមពួកគេផងដែរ។ ប៉ុន្តែលេខអវិជ្ជមាននឹងមិនមានឫសគល់ទាល់តែសោះ - នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីក្រាហ្វដូចគ្នា ចាប់តាំងពីប៉ារ៉ាបូឡាមិនដែលធ្លាក់ក្រោមអ័ក្ស y, i.e. មិនយកតម្លៃអវិជ្ជមានទេ។

បញ្ហាស្រដៀងគ្នានេះកើតឡើងចំពោះឫសទាំងអស់ដែលមាននិទស្សន្តស្មើគ្នា៖

1. និយាយយ៉ាងតឹងរឹង លេខវិជ្ជមាននីមួយៗនឹងមានឫសពីរដែលមាននិទស្សន្តលេខ $n$;
2. ពីលេខអវិជ្ជមាន ឫសដែលមានសូម្បីតែ $n$ មិនត្រូវបានស្រង់ចេញទាល់តែសោះ។

នោះហើយជាមូលហេតុដែលនិយមន័យនៃឫសនៃសញ្ញាបត្រគូ $n$ កំណត់យ៉ាងជាក់លាក់ថាចម្លើយត្រូវតែជាលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។ នេះជារបៀបដែលយើងកម្ចាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់។

ប៉ុន្តែសម្រាប់សេស $n$ មិនមានបញ្ហាបែបនេះទេ។ ដើម្បីមើលវា សូមមើលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y=((x)^(3))$:

ប៉ារ៉ាបូឡាគូបត្រូវចំណាយលើតម្លៃណាមួយ ដូច្នេះឫសគូបអាចត្រូវបានយកចេញពីលេខណាមួយ។

ការសន្និដ្ឋានពីរអាចត្រូវបានទាញចេញពីក្រាហ្វនេះ៖

1. មែកធាងនៃប៉ារ៉ាបូឡាគូប មិនដូចដើមធម្មតាទេ ទៅកាន់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ក្នុងទិសដៅទាំងពីរ - ទាំងឡើងលើ និងចុះក្រោម។ ដូច្នេះ នៅកម្ពស់ណាមួយដែលយើងគូរបន្ទាត់ផ្តេក បន្ទាត់នេះនឹងប្រសព្វជាមួយក្រាហ្វរបស់យើង។ ដូច្នេះឫសគូបអាចត្រូវបានគេយកជានិច្ចពីលេខណាមួយ;
2. លើសពីនេះ ចំនុចប្រសព្វបែបនេះនឹងតែងតែមានតែមួយគត់ ដូច្នេះអ្នកមិនចាំបាច់គិតអំពីលេខណាដែលត្រូវពិចារណាឫស "ត្រឹមត្រូវ" និងមួយណាដែលត្រូវដាក់ពិន្ទុនោះទេ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលនិយមន័យនៃឫសសម្រាប់សញ្ញាបត្រសេសគឺសាមញ្ញជាងសម្រាប់សូម្បីតែមួយ (មិនមានតម្រូវការមិនអវិជ្ជមានទេ) ។

វាជាការអាណិតដែលរឿងសាមញ្ញទាំងនេះមិនត្រូវបានពន្យល់នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាភាគច្រើន។ ផ្ទុយទៅវិញ ខួរក្បាលរបស់យើងចាប់ផ្តើមកើនឡើងជាមួយនឹងឫសនព្វន្ធគ្រប់ប្រភេទ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

បាទ / ចាសខ្ញុំមិនប្រកែកទេ៖ តើអ្វីជាឫសនព្វន្ធ - អ្នកក៏ត្រូវដឹងដែរ។ ហើយខ្ញុំនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះឱ្យបានលម្អិតនៅក្នុងមេរៀនដាច់ដោយឡែកមួយ។ ថ្ងៃនេះយើងនឹងនិយាយអំពីវាផងដែរ ពីព្រោះបើគ្មានវាទេ ការឆ្លុះបញ្ចាំងទាំងអស់លើឫសគល់នៃមេគុណ $n$-th នឹងមិនពេញលេញទេ។

ប៉ុន្តែដំបូងអ្នកត្រូវយល់ច្បាស់ពីនិយមន័យដែលខ្ញុំបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។ បើមិនដូច្នេះទេ ដោយសារតែលក្ខខណ្ឌដ៏សម្បូរបែប ភាពរញ៉េរញ៉ៃបែបនេះនឹងចាប់ផ្តើមនៅក្នុងក្បាលរបស់អ្នក ដែលនៅទីបញ្ចប់អ្នកនឹងមិនយល់អ្វីទាំងអស់។

ហើយអ្វីដែលអ្នកត្រូវយល់គឺភាពខុសគ្នារវាងលេខគូ និងលេខសេស។ ដូច្នេះម្តងទៀត យើងនឹងប្រមូលអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអ្នកពិតជាត្រូវដឹងអំពីឫសគល់៖

1. ឫសគូ​មាន​តែ​ពី​លេខ​មិន​អវិជ្ជមាន ហើយ​ខ្លួន​វា​តែងតែ​ជា​លេខ​មិន​អវិជ្ជមាន។ សម្រាប់លេខអវិជ្ជមាន ឫសបែបនេះមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។
2. ប៉ុន្តែឫសនៃសញ្ញាប័ត្រសេសមានពីលេខណាមួយ ហើយវាអាចជាលេខណាមួយក៏បាន៖ សម្រាប់លេខវិជ្ជមាន វាគឺវិជ្ជមាន ហើយសម្រាប់លេខអវិជ្ជមាន ដូចដែលមួកណែនាំ វាគឺអវិជ្ជមាន។

ពិបាកទេ? ទេ វាមិនពិបាកទេ។ ច្បាស់? បាទ ច្បាស់ហើយ! ដូច្នេះឥឡូវនេះយើងនឹងអនុវត្តតិចតួចជាមួយនឹងការគណនា។

លក្ខណៈមូលដ្ឋាន និងដែនកំណត់

ឫសមានលក្ខណៈសម្បត្តិចម្លែកនិងការរឹតបន្តឹងជាច្រើន - នេះនឹងជាមេរៀនដាច់ដោយឡែកមួយ។ ដូច្នេះឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាតែ "បន្ទះឈីប" ដ៏សំខាន់បំផុតដែលអនុវត្តតែចំពោះឫសដែលមាននិទស្សន្ត។ យើងសរសេរទ្រព្យសម្បត្តិនេះក្នុងទម្រង់ជារូបមន្ត៖

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើយើងលើកលេខមួយទៅថាមពលគូ ហើយបន្ទាប់មកទាញយកឫសនៃកម្រិតដូចគ្នាពីនេះ នោះយើងនឹងមិនទទួលបានលេខដើមទេ ប៉ុន្តែជាម៉ូឌុលរបស់វា។ នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទសាមញ្ញដែលងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ (វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាដោយឡែកពីគ្នាដែលមិនអវិជ្ជមាន $x$ ហើយបន្ទាប់មកពិចារណាដោយឡែកពីគ្នាអវិជ្ជមាន) ។ គ្រូតែងតែនិយាយអំពីវា វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សានីមួយៗ។ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលវាមកដល់ការដោះស្រាយសមីការមិនសមហេតុផល (ឧទាហរណ៍សមីការដែលមានសញ្ញារ៉ាឌីកាល់) សិស្សភ្លេចរូបមន្តនេះជាមួយគ្នា។

ដើម្បីយល់ពីបញ្ហាឱ្យបានលម្អិត ចូរយើងបំភ្លេចរូបមន្តទាំងអស់សម្រាប់មួយនាទី ហើយព្យាយាមរាប់លេខពីរនៅខាងមុខ៖

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt((((\left(-3\right)))^(4)))=?\]

ទាំងនេះគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុត។ ឧទាហរណ៍ទី 1 នឹងត្រូវបានដោះស្រាយដោយមនុស្សភាគច្រើនប៉ុន្តែនៅលើទីពីរមនុស្សជាច្រើនជាប់។ ដើម្បី​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ដែល​គ្មាន​បញ្ហា សូម​ពិចារណា​នីតិវិធី​ជានិច្ច៖

1. ទីមួយលេខត្រូវបានលើកឡើងទៅថាមពលទីបួន។ ជាការប្រសើរណាស់ វាងាយស្រួលណាស់។ លេខថ្មីនឹងត្រូវបានទទួល ដែលសូម្បីតែអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងតារាងគុណ។
2. ហើយឥឡូវនេះពីលេខថ្មីនេះវាចាំបាច់ដើម្បីទាញយកឫសនៃសញ្ញាបត្រទីបួន។ ទាំងនោះ។ មិនមាន "ការកាត់បន្ថយ" នៃឫសនិងដឺក្រេទេ - ទាំងនេះគឺជាសកម្មភាពបន្តបន្ទាប់គ្នា។

តោះដោះស្រាយជាមួយកន្សោមទីមួយ៖ $\sqrt(((3)^(4)))$ ។ ជាក់ស្តែង ដំបូងអ្នកត្រូវគណនាកន្សោមក្រោមឫស៖

\[(((៣)^(៤))=៣\cdot ៣\cdot ៣\cdot 3=81\]

បន្ទាប់មកយើងស្រង់ឫសទី ៤ នៃលេខ ៨១៖

ឥឡូវនេះសូមធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងកន្សោមទីពីរ។ ដំបូងយើងលើកលេខ −3 ដល់ថាមពលទីបួន ដែលយើងត្រូវគុណវាដោយខ្លួនឯង 4 ដង៖

\[((\left(-3\right))^(4))=\left(-3\right)\cdot\left(-3\right)\cdot\left(-3\right)\cdot \\ ឆ្វេង(-3 ស្តាំ)=81\]

យើងទទួលបានលេខវិជ្ជមាន ដោយហេតុថាចំនួនដកសរុបនៅក្នុងផលិតផលគឺ 4 បំណែក ហើយពួកគេទាំងអស់នឹងលុបចោលទៅវិញទៅមក (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ដកមួយដកនឹងផ្តល់បូក)។ បន្ទាប់​មក​ដក​ឫស​ចេញ​វិញ៖

ជាគោលការណ៍ បន្ទាត់នេះមិនអាចសរសេរបានទេ ព្រោះវាមិនមែនជាការយល់ខុសដែលចម្លើយនឹងដូចគ្នានោះទេ។ ទាំងនោះ។ សូម្បីតែឫសនៃថាមពលដូចគ្នា "ដុត" minuses ហើយក្នុងន័យនេះលទ្ធផលគឺមិនអាចបែងចែកពីម៉ូឌុលធម្មតាបានទេ:

\[\begin(align) & \sqrt((((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3\right))^(4)))=\left| -៣ \\ ស្តាំ |= ៣. \\ \end(តម្រឹម)\]

ការគណនាទាំងនេះគឺនៅក្នុងកិច្ចព្រមព្រៀងដ៏ល្អជាមួយនឹងនិយមន័យនៃឫសនៃដឺក្រេមួយ៖ លទ្ធផលគឺតែងតែមិនអវិជ្ជមាន ហើយសញ្ញារ៉ាឌីកាល់ក៏តែងតែជាលេខដែលមិនអវិជ្ជមានផងដែរ។ បើមិនដូច្នោះទេឫសមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

ចំណាំលើលំដាប់នៃប្រតិបត្តិការ

1. សញ្ញាណ $\sqrt(((a)^(2)))$ មាន​ន័យ​ថា​ដំបូង​យើង​ត្រូវ​ការ​ការ៉េ​ចំនួន $a$ ហើយ​បន្ទាប់​មក​យក​ឫស​ការ៉េ​នៃ​តម្លៃ​លទ្ធផល។ ដូច្នេះ យើងអាចប្រាកដថាលេខដែលមិនអវិជ្ជមានតែងតែស្ថិតក្រោមសញ្ញាឫស ចាប់តាំងពី $((a)^(2))\ge 0$ យ៉ាងណាក៏ដោយ។
2. ប៉ុន្តែសញ្ញាណ $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ ផ្ទុយមកវិញ មានន័យថា យើងដកឫសចេញពីចំនួនជាក់លាក់ $a$ ជាមុនសិន ហើយមានតែការបំបែកលទ្ធផល។ ដូច្នេះលេខ $a$ នៅក្នុងករណីណាមិនអាចអវិជ្ជមាន - នេះគឺជាតម្រូវការចាំបាច់ដែលបង្កប់ក្នុងនិយមន័យ។

ដូចនេះ គ្មាននរណាម្នាក់គួរកាត់បន្ថយឫសគល់ និងដឺក្រេដោយមិនគិតនោះទេ ដោយសន្មតថា "ធ្វើឱ្យ" ការបញ្ចេញមតិដើមមានលក្ខណៈសាមញ្ញ។ ព្រោះប្រសិនបើមានលេខអវិជ្ជមាននៅក្រោមឫស ហើយនិទស្សន្តរបស់វាស្មើ នោះយើងនឹងមានបញ្ហាច្រើន។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហាទាំងអស់នេះគឺពាក់ព័ន្ធសម្រាប់តែសូចនាករប៉ុណ្ណោះ។

ការដកសញ្ញាដកពីក្រោមសញ្ញាឫស

តាមធម្មជាតិ ឫសដែលមាននិទស្សន្តសេសក៏មានលក្ខណៈពិសេសរៀងៗខ្លួនដែរ ដែលតាមគោលការណ៍មិនមានសម្រាប់សូម្បីតែមួយ។ ពោលគឺ៖

\\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

សរុបមក អ្នកអាចដកដកមួយចេញពីក្រោមសញ្ញានៃឫសនៃសញ្ញាប័ត្រសេស។ នេះគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិដ៏មានប្រយោជន៍ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នក "បោះ" ដកទាំងអស់ចេញ:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \\ sqrt (-27) \\ cdot \\ sqrt (-32) = - \\ sqrt (27) \\ cdot \\ ឆ្វេង (-\sqrt (32) \\ ស្តាំ) = \\ & = \\ sqrt (27) \\ cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6 ។ \end(តម្រឹម)\]

ទ្រព្យសម្បត្តិសាមញ្ញនេះជួយសម្រួលដល់ការគណនាជាច្រើន។ ឥឡូវនេះអ្នកមិនចាំបាច់ព្រួយបារម្ភទេ: ចុះយ៉ាងណាបើកន្សោមអវិជ្ជមានបានស្ថិតនៅក្រោមឫសហើយកម្រិតនៅឫសប្រែទៅជាសូម្បីតែ? វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការ "បោះចោល" គុណវិបត្តិទាំងអស់នៅខាងក្រៅឫសបន្ទាប់ពីនោះពួកវាអាចត្រូវបានគុណដោយគ្នាទៅវិញទៅមកបែងចែកនិងជាទូទៅធ្វើរឿងគួរឱ្យសង្ស័យជាច្រើនដែលក្នុងករណីឫស "បុរាណ" ត្រូវបានធានាថានឹងនាំយើងទៅ កំហុស។

ហើយនៅទីនេះនិយមន័យមួយផ្សេងទៀតចូលទៅក្នុងកន្លែងកើតហេតុ - មួយដែលសាលារៀនភាគច្រើនចាប់ផ្តើមការសិក្សាអំពីការបញ្ចេញមតិមិនសមហេតុផល។ ហើយដោយគ្មានហេតុផលរបស់យើងនឹងមិនពេញលេញ។ ជួបគ្នា!

ឫសនព្វន្ធ

ចូរសន្មតមួយភ្លែតថាមានតែលេខវិជ្ជមាន ឬក្នុងករណីធ្ងន់ធ្ងរ សូន្យអាចស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាឫស។ ចូរឱ្យពិន្ទុលើសូចនាករគូ/សេស ពិន្ទុលើនិយមន័យទាំងអស់ដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ - យើងនឹងធ្វើការតែជាមួយលេខដែលមិនអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ចុះយ៉ាងណាវិញ?

ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបានឫសនព្វន្ធ - វាប្រសព្វដោយផ្នែកជាមួយនិយមន័យ "ស្តង់ដារ" របស់យើង ប៉ុន្តែនៅតែខុសគ្នាពីពួកគេ។

និយមន័យ។ ឫសនព្វន្ធនៃកម្រិត $n$th នៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន $a$ គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន $b$ ដូចជា $((b)^(n))=a$ ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងលែងចាប់អារម្មណ៍លើភាពស្មើគ្នាទៀតហើយ។ ផ្ទុយទៅវិញ ការរឹតបន្តឹងថ្មីមួយបានលេចឡើង៖ កន្សោមរ៉ាឌីកាល់ឥឡូវនេះតែងតែមិនអវិជ្ជមាន ហើយឫសខ្លួនឯងក៏មិនអវិជ្ជមានផងដែរ។

ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីរបៀបដែលឫសនព្វន្ធខុសពីធម្មតា សូមក្រឡេកមើលក្រាហ្វនៃការ៉េ និងប៉ារ៉ាបូឡាគូបដែលធ្លាប់ស្គាល់យើងរួចហើយ៖

តំបន់ស្វែងរកឫស - លេខមិនអវិជ្ជមាន

ដូចដែលអ្នកបានឃើញហើយ ចាប់ពីពេលនេះតទៅ យើងចាប់អារម្មណ៍តែលើបំណែកនៃក្រាហ្វដែលមានទីតាំងនៅក្នុងត្រីមាសទីមួយ ដែលកូអរដោនេ $x$ និង $y$ គឺវិជ្ជមាន (ឬយ៉ាងហោចណាស់សូន្យ)។ អ្នក​លែង​ត្រូវ​មើល​សូចនាករ​ដើម្បី​យល់​ថា តើ​យើង​មាន​សិទ្ធិ​ចាក់​ឬស​លេខ​អវិជ្ជមាន​ឬ​អត់។ ដោយសារតែចំនួនអវិជ្ជមានមិនត្រូវបានចាត់ទុកជាគោលការណ៍ទៀតទេ។

អ្នក​អាច​សួរ​ថា​៖ ​«​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​យើង​ត្រូវ​ការ​និយមន័យ​បែប​នេះ? ឬ៖ "ហេតុអ្វី​បាន​ជា​យើង​មិន​អាច​ឈាន​ដល់​ការ​កំណត់​ស្តង់ដារ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ខាង​លើ?"

មែនហើយ ខ្ញុំនឹងផ្តល់ទ្រព្យសម្បត្តិតែមួយប៉ុណ្ណោះ ពីព្រោះនិយមន័យថ្មីនេះក្លាយជាសមរម្យ។ ឧទាហរណ៍ ក្បួននិទស្សន៍៖

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

សូមចំណាំ៖ យើងអាចលើកកន្សោមឫសទៅថាមពលណាមួយ ហើយនៅពេលជាមួយគ្នាគុណនិទស្សន្តឫសដោយថាមពលដូចគ្នា - ហើយលទ្ធផលនឹងជាលេខដូចគ្នា! នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

អញ្ចឹងតើមានអ្វីខុសជាមួយនោះ? ហេតុអ្វីបានជាយើងមិនអាចធ្វើវាពីមុន? នេះជាមូលហេតុ។ ពិចារណាកន្សោមសាមញ្ញមួយ៖ $\sqrt(-2)$ គឺជាលេខដែលធម្មតាក្នុងន័យបុរាណរបស់យើង ប៉ុន្តែពិតជាមិនអាចទទួលយកបានពីទស្សនៈនៃឫសនព្វន្ធ។ តោះព្យាយាមបំប្លែងវា៖

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2\right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

ដូចដែលអ្នកបានឃើញហើយ នៅក្នុងករណីទីមួយ យើងបានដកដកចេញពីក្រោមរ៉ាឌីកាល់ (យើងមានសិទ្ធិទាំងអស់ ពីព្រោះសូចនាករនេះគឺសេស) ហើយនៅក្នុងទីពីរ យើងបានប្រើរូបមន្តខាងលើ។ ទាំងនោះ។ តាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យា អ្វីៗគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានធ្វើដោយច្បាប់។

WTF?! តើលេខដូចគ្នាអាចមានទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមានដោយរបៀបណា? គ្មានផ្លូវទេ។ វាគ្រាន់តែថា រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ដែលដំណើរការល្អសម្រាប់លេខវិជ្ជមាន និងលេខសូន្យ ចាប់ផ្តើមផ្តល់ការខុសឆ្គងទាំងស្រុងក្នុងករណីលេខអវិជ្ជមាន។

នៅទីនេះ ដើម្បីកម្ចាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់បែបនេះ ពួកគេបានបង្កើតឫសនព្វន្ធ។ មេរៀនធំដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ពួកគេ ដែលយើងពិចារណាលម្អិតអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់របស់វា។ ដូច្នេះឥឡូវនេះយើងនឹងមិនរស់នៅលើពួកគេទេ - មេរៀនបានប្រែទៅជាយូរពេក។

ឫសពិជគណិត៖ សម្រាប់អ្នកដែលចង់ដឹងបន្ថែម

ខ្ញុំបានគិតជាយូរមកហើយថា: ដើម្បីធ្វើប្រធានបទនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌដាច់ដោយឡែកឬអត់។ នៅទីបំផុត ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តចាកចេញពីទីនេះ។ សម្ភារៈនេះត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់អ្នកដែលចង់យល់អំពីឫសគល់កាន់តែល្អ - មិនមែននៅកម្រិត "សាលារៀន" មធ្យមទេ ប៉ុន្តែនៅកម្រិតជិតអូឡាំពិក។

ដូច្នេះ៖ បន្ថែមពីលើនិយមន័យ "បុរាណ" នៃឫសគល់នៃកម្រិត $n$-th ពីចំនួនមួយ និងការបែងចែកដែលពាក់ព័ន្ធទៅជាសូចនាករគូ និងសេស មាននិយមន័យ "មនុស្សពេញវ័យ" បន្ថែមទៀត ដែលមិនអាស្រ័យលើភាពស្មើគ្នា និង subtleties ផ្សេងទៀតទាំងអស់។ នេះត្រូវបានគេហៅថាជាឫសពិជគណិត។

និយមន័យ។ ពិជគណិត $n$-th root នៃ $a$ ណាមួយគឺជាសំណុំនៃលេខទាំងអស់ $b$ ដូចជា $((b)^(n))=a$ ។ មិនមានការកំណត់ត្រឹមត្រូវសម្រាប់ឫសបែបនេះទេ ដូច្នេះគ្រាន់តែដាក់សញ្ញានៅលើកំពូល៖

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left|b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right។\right\) \]

ភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានពីនិយមន័យស្ដង់ដារដែលបានផ្ដល់ឱ្យនៅដើមមេរៀនគឺថាឫសពិជគណិតមិនមែនជាចំនួនជាក់លាក់ទេ ប៉ុន្តែជាសំណុំ។ ហើយចាប់តាំងពីយើងកំពុងធ្វើការជាមួយចំនួនពិត សំណុំនេះមានបីប្រភេទប៉ុណ្ណោះ៖

1. សំណុំទទេ។ កើតឡើងនៅពេលដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកឫសពិជគណិតនៃដឺក្រេគូពីចំនួនអវិជ្ជមាន។
2. សំណុំដែលមានធាតុតែមួយ។ ឫសទាំងអស់នៃអំណាចសេស ក៏ដូចជាឫសនៃអំណាចសូម្បីតែពីសូន្យ ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងប្រភេទនេះ;
3. ជាចុងក្រោយ សំណុំអាចរួមបញ្ចូលលេខពីរ - $((x)_(1))$ និង $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ដែលយើងបានឃើញនៅលើ មុខងារ​ក្រឡាចត្រង្គ ដូច្នោះហើយ ការតម្រឹមបែបនេះអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែទាញយកឫសនៃដឺក្រេគូពីចំនួនវិជ្ជមាន។

ករណីចុងក្រោយសមនឹងទទួលបានការពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀត។ ចូររាប់ឧទាហរណ៍ពីរបីដើម្បីយល់ពីភាពខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍។ ការគណនាកន្សោម៖

\\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)))\]

ដំណោះស្រាយ។ កន្សោមដំបូងគឺសាមញ្ញ៖

\\[\overline(\sqrt(4))=\left\(2;-2\right\)\]

វាគឺជាលេខពីរដែលជាផ្នែកមួយនៃសំណុំ។ ដោយសារតែពួកគេម្នាក់ៗការ៉េផ្តល់ឱ្យបួន។

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\(-3\right\)\]

នៅទីនេះយើងឃើញសំណុំដែលមានលេខតែមួយ។ នេះពិតជាឡូជីខលណាស់ ព្រោះនិទស្សន្តនៃឫសគឺសេស។

ជាចុងក្រោយ កន្សោមចុងក្រោយ៖

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

យើងទទួលបានឈុតទទេ។ ដោយសារតែមិនមានចំនួនពិតតែមួយទេដែលនៅពេលលើកឡើងដល់ទីបួន (នោះគឺសូម្បីតែ!) ថាមពលនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវលេខអវិជ្ជមាន −16 ។

កំណត់ចំណាំចុងក្រោយ។ សូមចំណាំ៖ វាមិនមែនដោយចៃដន្យទេដែលខ្ញុំបានកត់សម្គាល់គ្រប់ទីកន្លែងថាយើងកំពុងធ្វើការជាមួយចំនួនពិត។ ដោយសារតែមានលេខស្មុគស្មាញផងដែរ - វាពិតជាអាចធ្វើទៅបានក្នុងការគណនា $\sqrt(-16)$ និងរបស់ចម្លែកជាច្រើនទៀតនៅទីនោះ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលាទំនើប លេខស្មុគស្មាញស្ទើរតែរកមិនឃើញ។ ពួកគេត្រូវបានលុបចោលពីសៀវភៅសិក្សាភាគច្រើន ដោយសារមន្ត្រីរបស់យើងចាត់ទុកថាប្រធានបទនេះ "ពិបាកយល់ពេក"។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងណែនាំ គំនិតនៃឫសនៃចំនួនមួយ។. យើងនឹងធ្វើសកម្មភាពជាបន្តបន្ទាប់៖ យើងនឹងចាប់ផ្តើមជាមួយឫសការ៉េ ពីវា យើងនឹងបន្តទៅការពិពណ៌នានៃឫសគូប បន្ទាប់ពីនោះ យើងនឹងធ្វើឱ្យគោលគំនិតទូទៅនៃឫសគល់ដោយកំណត់ឫសនៃសញ្ញាបត្រទី 9 ។ ទន្ទឹមនឹងនេះ យើងនឹងណែនាំនិយមន័យ កំណត់ចំណាំ ផ្តល់ឧទាហរណ៍អំពីឫសគល់ និងផ្តល់ការពន្យល់ និងយោបល់ចាំបាច់។

ឫសការ៉េ ឫសការ៉េនព្វន្ធ

ដើម្បីយល់ពីនិយមន័យនៃឫសនៃចំនួនមួយ និងឫសការេ ជាពិសេស មួយត្រូវតែមាន។ នៅចំណុចនេះ ជាញឹកញាប់យើងនឹងជួបប្រទះអំណាចទីពីរនៃចំនួនមួយ - ការេនៃចំនួនមួយ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ និយមន័យឫសការ៉េ.

និយមន័យ

ឫសការ៉េនៃ កគឺជាលេខដែលការ៉េគឺ a ។

ដើម្បីនាំយក ឧទាហរណ៍នៃឫសការ៉េយកលេខជាច្រើនឧទាហរណ៍ 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , និងការ៉េពួកវាយើងទទួលបានលេខ 25 , 0.09 , 0.09 និង 0 រៀងគ្នា (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0.3) 2 =(−0.3) (−0.3)=0.09, (0.3) 2=0.3 0.3=0.09 និង 0 2=0 0=0)។ បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យខាងលើ 5 គឺជាឫសការេនៃ 25 −0.3 និង 0.3 គឺជាឫសការ៉េនៃ 0.09 ហើយ 0 គឺជាឫសការ៉េនៃសូន្យ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមិនមែនសម្រាប់លេខណាមួយដែលមានទេ ការ៉េដែលស្មើនឹង a . មានន័យថា សម្រាប់ចំនួនអវិជ្ជមាន a ណាមួយ គ្មានចំនួនពិត b ដែលការេស្មើនឹង a ។ ពិតប្រាកដណាស់ សមភាព a=b 2 គឺមិនអាចទៅរួចទេសម្រាប់អវិជ្ជមាន a ណាមួយ ព្រោះ b 2 គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមានសម្រាប់ b ណាមួយ។ ដោយវិធីនេះ នៅលើសំណុំនៃចំនួនពិត មិនមានឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានទេ។. ម្យ៉ាងវិញទៀត នៅលើសំណុំនៃចំនួនពិត ឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមានមិនត្រូវបានកំណត់ និងគ្មានន័យអ្វីឡើយ។

នេះនាំឱ្យមានសំណួរឡូជីខលមួយ: "តើមានឫសការ៉េនៃ a សម្រាប់ការមិនអវិជ្ជមានណាមួយ"? ចម្លើយគឺបាទ។ ហេតុផលសម្រាប់ការពិតនេះអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវិធីសាស្រ្តស្ថាបនាដែលប្រើដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃឫសការ៉េ។

បន្ទាប់មកសំណួរឡូជីខលដូចខាងក្រោមកើតឡើង: "តើចំនួនឫសការ៉េទាំងអស់នៃចំនួនដែលមិនអវិជ្ជមានដែលបានផ្តល់ឱ្យ a - មួយ, ពីរ, បី, ឬច្រើនជាងនេះគឺជាអ្វី"? នេះគឺជាចម្លើយចំពោះវា៖ ប្រសិនបើ a ជាសូន្យ នោះឫសការ៉េតែមួយគត់នៃសូន្យគឺសូន្យ។ ប្រសិនបើ a គឺជាចំនួនវិជ្ជមានមួយចំនួន នោះចំនួនឫសការ៉េពីលេខ a គឺស្មើនឹងពីរ ហើយឫសគឺ . ចូរយើងបញ្ជាក់រឿងនេះ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណី a=0 ។ ចូរយើងបង្ហាញដំបូងថាសូន្យគឺពិតជាឫសការ៉េនៃសូន្យ។ នេះមកពីសមភាពជាក់ស្តែង 0 2 =0·0=0 និងនិយមន័យនៃឫសការេ។

ឥឡូវ​សូម​បញ្ជាក់​ថា 0 គឺ​ជា​ឫស​ការ​ការ៉េ​តែ​មួយ​គត់​នៃ​សូន្យ។ ចូរយើងប្រើវិធីផ្ទុយ។ ចូរសន្មតថាមានលេខដែលមិនមែនជាសូន្យ b ដែលជាឫសការ៉េនៃសូន្យ។ បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌ b 2 = 0 ត្រូវតែពេញចិត្ត ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេ ព្រោះសម្រាប់តម្លៃណាមួយដែលមិនមែនជាសូន្យ b តម្លៃនៃកន្សោម b 2 គឺវិជ្ជមាន។ យើងបានឈានដល់ភាពផ្ទុយគ្នា។ នេះបង្ហាញថា 0 គឺជាឫសការ៉េតែមួយគត់នៃសូន្យ។

ចូរបន្តទៅករណីដែល a ជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ខាងលើយើងបាននិយាយថា តែងតែមានឫសការេនៃចំនួនដែលមិនអវិជ្ជមាន សូមឲ្យ b ជាឫសការ៉េនៃ a ។ ឧបមាថាមានលេខ c ដែលជាឫសការេនៃ a ។ បន្ទាប់មក តាមនិយមន័យនៃឫសការេ ភាពស្មើគ្នា b 2 = a និង c 2 = a មានសុពលភាព ដែលវាធ្វើតាមថា b 2 −c 2 = a−a = 0 ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី b 2 −c 2 = ( b−c) (b+c) បន្ទាប់មក (b−c) (b+c)=0 ។ សមភាពជាលទ្ធផលជាធរមាន លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសកម្មភាពជាមួយចំនួនពិតអាចធ្វើទៅបានតែនៅពេលដែល b−c=0 ឬ b+c=0 ។ ដូច្នេះលេខ b និង c គឺស្មើគ្នាឬផ្ទុយ។

ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាមានលេខ d ដែលជាឫសការេមួយទៀតនៃលេខ a បន្ទាប់មកដោយហេតុផលស្រដៀងគ្នាទៅនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យរួចហើយនោះ វាត្រូវបានបង្ហាញថា d ស្មើនឹងលេខ b ឬលេខ c ។ ដូច្នេះចំនួនឫសការ៉េនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺពីរ ហើយឫសការ៉េគឺជាលេខផ្ទុយ។

សម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការធ្វើការជាមួយឫសការ៉េឫសអវិជ្ជមានត្រូវបាន "បំបែក" ពីវិជ្ជមាន។ ចំពោះគោលបំណងនេះវាណែនាំ និយមន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ.

និយមន័យ

ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន aគឺ​ជា​ចំនួន​មិន​អវិជ្ជមាន​ដែល​ការ​ការ៉េ​ស្មើ​នឹង a .

សម្រាប់ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃលេខ a សញ្ញាណត្រូវបានទទួលយក។ សញ្ញា​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​សញ្ញា​ឫស​ការ៉េ​នព្វន្ធ។ វាត្រូវបានគេហៅថាសញ្ញានៃរ៉ាឌីកាល់ផងដែរ។ ដូច្នេះ​ហើយ អ្នក​អាច​ឮ​មួយ​ផ្នែក​ទាំង "ឫស" និង "រ៉ាឌីកាល់" ដែល​មាន​ន័យ​ថា​វត្ថុ​ដូចគ្នា។

លេខក្រោមសញ្ញាឫសការ៉េនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថា លេខឫសនិងកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាឫស - ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់ខណៈពេលដែលពាក្យ "លេខរ៉ាឌីកាល់" ជារឿយៗត្រូវបានជំនួសដោយ "ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់" ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសញ្ញាណ លេខ 151 គឺជាលេខរ៉ាឌីកាល់ ហើយនៅក្នុងសញ្ញាណ កន្សោម a គឺជាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។

នៅពេលអានពាក្យ "នព្វន្ធ" ជារឿយៗត្រូវបានលុបចោល ជាឧទាហរណ៍ ធាតុត្រូវបានអានជា "ឫសការ៉េនៃប្រាំពីរចំណុច ម្ភៃប្រាំបួនរយ"។ ពាក្យ "នព្វន្ធ" ត្រូវបានប្រកាសតែនៅពេលដែលពួកគេចង់បញ្ជាក់ថាយើងកំពុងនិយាយអំពីឫសការ៉េវិជ្ជមាននៃចំនួនមួយ។

នៅក្នុងពន្លឺនៃសញ្ញាណដែលបានណែនាំ វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ ដែលសម្រាប់ចំនួនដែលមិនអវិជ្ជមាន a .

ឫស​ការ៉េ​នៃ​ចំនួន​វិជ្ជមាន a ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ដោយ​ប្រើ​សញ្ញា​ឫស​ការ៉េ​នព្វន្ធ​ជា និង . ឧទាហរណ៍ ឫសការ៉េនៃ 13 គឺ និង . ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃសូន្យគឺសូន្យ ពោលគឺ . ចំពោះលេខអវិជ្ជមាន a យើងនឹងមិនភ្ជាប់អត្ថន័យទៅនឹងធាតុទេរហូតដល់យើងសិក្សា លេខស្មុគស្មាញ. ឧទាហរណ៍ កន្សោម និងគ្មានន័យ។

ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃឫសការ៉េ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េត្រូវបានបង្ហាញ ដែលជារឿយៗត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្ត។

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃផ្នែករងនេះ យើងកត់សំគាល់ថាឫសការ៉េនៃចំនួន a គឺជាដំណោះស្រាយនៃទម្រង់ x 2 = a ទាក់ទងនឹងអថេរ x ។

ឫសគូបនៃ

និយមន័យនៃឫសគូបនៃចំនួន a ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមរបៀបស្រដៀងគ្នាទៅនឹងនិយមន័យនៃឫសការ៉េ។ មានតែវាទេដែលផ្អែកលើគោលគំនិតនៃគូបនៃលេខ មិនមែនការ៉េទេ។

និយមន័យ

ឫសគូបនៃ កលេខដែលគូបស្មើនឹង a ត្រូវបានគេហៅថា។

ចូរនាំមក ឧទាហរណ៍នៃឫសគូប. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយកលេខជាច្រើនឧទាហរណ៍ 7 , 0 , −2/3 ហើយគូបពួកវា៖ 7 3 = 7 7 7 = 343 , 0 3 = 0 0 0=0 , . បន្ទាប់មក ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃឫសគូប យើងអាចនិយាយបានថា លេខ 7 គឺជាឫសគូបនៃ 343, 0 គឺជាឫសគូបនៃសូន្យ ហើយ −2/3 គឺជាឫសគូបនៃ −8/27 ។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាឫសគូបនៃលេខ a មិនដូចឫសការ៉េតែងតែមានហើយមិនត្រឹមតែសម្រាប់ចំនួនមិនអវិជ្ជមាន a ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែវាក៏មានសម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយផងដែរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកអាចប្រើវិធីសាស្រ្តដូចគ្នាដែលយើងបានលើកឡើងនៅពេលសិក្សាឫសការ៉េ។

លើសពីនេះទៅទៀត មានឫសគូបតែមួយនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ។ ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងចុងក្រោយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមពិចារណាករណីចំនួនបីដាច់ដោយឡែកពីគ្នា: a គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន, a = 0 និង a គឺជាចំនួនអវិជ្ជមាន។

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាសម្រាប់វិជ្ជមាន a ឫសគូបនៃ a មិនអាចជាអវិជ្ជមាន ឬសូន្យទេ។ ជាការពិត អនុញ្ញាតឱ្យ b ជាឫសគូបនៃ a បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ យើងអាចសរសេរសមភាព b 3 = a ។ វាច្បាស់ណាស់ថាសមភាពនេះមិនអាចជាការពិតសម្រាប់អវិជ្ជមាន b និងសម្រាប់ b=0 ទេ ព្រោះក្នុងករណីទាំងនេះ b 3 = b·b·b នឹងជាលេខអវិជ្ជមាន ឬសូន្យរៀងគ្នា។ ដូច្នេះឫសគូបនៃចំនួនវិជ្ជមាន a គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។

ឥឡូវឧបមាថាបន្ថែមលើលេខ b មានឫសគូបមួយបន្ថែមទៀតពីលេខ a ចូរយើងសម្គាល់វា c ។ បន្ទាប់មក c 3 = ក។ ដូច្នេះ b 3 −c 3 =a−a=0 ប៉ុន្តែ b 3 −c 3 = (b−c) (b 2 +b c+c 2)(នេះគឺជារូបមន្តគុណសង្ខេប ភាពខុសគ្នានៃគូប), whence (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 ។ សមភាពលទ្ធផលគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ b−c=0 ឬ b 2 +b c+c 2 = 0 ។ ពីសមភាពទីមួយយើងមាន b=c ហើយសមភាពទីពីរមិនមានដំណោះស្រាយទេ ព្រោះផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាជាលេខវិជ្ជមានសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ b និង c ជាផលបូកនៃពាក្យវិជ្ជមានបី b 2 b c និង c 2 ។ នេះបង្ហាញពីភាពប្លែកនៃឫសគូបនៃចំនួនវិជ្ជមាន a ។

សម្រាប់ a=0 ឫសគូបតែមួយគត់នៃ a គឺសូន្យ។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាមានលេខ b ដែលជាឫសគូបដែលមិនមែនជាសូន្យនៃសូន្យ នោះសមភាព b 3 = 0 ត្រូវតែកាន់ ដែលអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ b=0 ប៉ុណ្ណោះ។

សម្រាប់អវិជ្ជមាន a មនុស្សម្នាក់អាចប្រកែកស្រដៀងនឹងករណីសម្រាប់វិជ្ជមាន a . ដំបូង យើងបង្ហាញថាឫសគូបនៃចំនួនអវិជ្ជមានមិនអាចស្មើនឹងចំនួនវិជ្ជមាន ឬសូន្យទេ។ ទីពីរ យើងសន្មត់ថាមានឫសគូបទីពីរនៃលេខអវិជ្ជមាន ហើយបង្ហាញថាវានឹងចាំបាច់ស្របគ្នាជាមួយនឹងលេខទីមួយ។

ដូច្នេះ វាតែងតែមានឫសគូបនៃចំនួនពិតដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

ចូរយើងផ្តល់ឱ្យ និយមន័យនៃឫសគូបនព្វន្ធ.

និយមន័យ

ឫសគូបនព្វន្ធនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន aលេខដែលមិនអវិជ្ជមានដែលគូបស្មើនឹង a ត្រូវបានគេហៅថា។

ឫសគូបនព្វន្ធនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន a ត្រូវបានតំណាងថាជាសញ្ញាត្រូវបានគេហៅថាសញ្ញានៃឫសគូបនព្វន្ធលេខ 3 នៅក្នុងសញ្ញានេះត្រូវបានគេហៅថា សូចនាករឫស. លេខនៅក្រោមសញ្ញាឫសគឺ លេខឫសកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាឫសគឺ ការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់.

ទោះបីជាឫសគូបនព្វន្ធត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តែលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន a ក៏ដោយ វាក៏ងាយស្រួលប្រើធាតុដែលលេខអវិជ្ជមានស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាឫសគូបនព្វន្ធ។ យើងនឹងយល់ពីពួកគេដូចខាងក្រោម៖ ដែល a ជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ឧទាហរណ៍, .

យើងនឹងនិយាយអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសគូបនៅក្នុងអត្ថបទទូទៅ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឫស។

ការគណនាតម្លៃនៃឫសគូបត្រូវបានគេហៅថាការទាញយកឫសគូប សកម្មភាពនេះត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទដកស្រង់ឫស: វិធីសាស្រ្តឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែករងនេះ យើងនិយាយថាឫសគូបនៃ a គឺជាដំណោះស្រាយនៃទម្រង់ x 3 = a ។

ឫស nth, ឫសនព្វន្ធនៃ n

យើងកំណត់គំនិតទូទៅនៃឫសពីលេខមួយ - យើងណែនាំ ការ​កំណត់​នៃ​ឫស​ទី nសម្រាប់ n ។

និយមន័យ

ឫសទី 0 នៃ កគឺ​ជា​ចំនួន​ដែល​មាន​អំណាច​ទី n ស្មើ​នឹង a ។

តាមនិយមន័យនេះវាច្បាស់ណាស់ថាឫសនៃសញ្ញាប័ត្រទី 1 ពីលេខ a គឺជាលេខដោយខ្លួនឯងចាប់តាំងពីពេលសិក្សាសញ្ញាបត្រជាមួយសូចនាករធម្មជាតិយើងបានយក 1 = a ។

ខាងលើ យើងបានពិចារណាករណីពិសេសនៃឫសនៃសញ្ញាបត្រទី n សម្រាប់ n=2 និង n=3 - ឫសការ៉េ និងឫសគូប។ នោះគឺឫសការ៉េគឺជាឫសនៃដឺក្រេទីពីរ ហើយឫសគូបគឺជាឫសនៃដឺក្រេទីបី។ ដើម្បីសិក្សាឫសនៃសញ្ញាប័ត្រទី n សម្រាប់ n = 4, 5, 6, ... វាជាការងាយស្រួលក្នុងការបែងចែកពួកវាជាពីរក្រុម៖ ក្រុមទីមួយ - ឫសនៃដឺក្រេគូ (នោះគឺសម្រាប់ n = 4, 6 ។ , 8, ... ), ក្រុមទីពីរ - ឫសនៃអំណាចសេស (នោះគឺសម្រាប់ n = 5, 7, 9, ... ) ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាឫសនៃដឺក្រេសូម្បីតែស្រដៀងទៅនឹងឫសការ៉េហើយឫសនៃដឺក្រេសេសគឺស្រដៀងនឹងឫសគូប។ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយពួកគេនៅក្នុងវេន។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងឬសដែលជាអំណាចនៃលេខគូ 4, 6, 8, ... ដូចដែលយើងបាននិយាយរួចមកហើយពួកគេស្រដៀងនឹងឫសការ៉េនៃលេខ a ។ នោះគឺឫសនៃដឺក្រេគូណាមួយពីលេខ a មានសម្រាប់តែ a មិនអវិជ្ជមាន។ លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើ a=0 នោះឫសនៃ a មានតែមួយគត់ និងស្មើសូន្យ ហើយប្រសិនបើ a> 0 នោះមានឫសពីរនៃដឺក្រេគូពីលេខ a ហើយពួកវាជាលេខផ្ទុយ។

ចូរយើងបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការអះអាងចុងក្រោយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ b ជាឫសនៃដឺក្រេគូ (យើងសម្គាល់វាជា 2 ·m ដែល m ជាចំនួនធម្មជាតិ) ពី a ។ ឧបមាថាមានលេខ c - ឫស 2 ម៉ែត្រផ្សេងទៀតនៃ a ។ បន្ទាប់មក b 2 m −c 2 m = a −a = 0 ។ ប៉ុន្តែយើងដឹងពីទម្រង់ b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)បន្ទាប់មក (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. ពីសមភាពនេះវាធ្វើតាមថា b−c=0, ឬ b+c=0, ឬ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. ភាពស្មើគ្នាពីរដំបូងមានន័យថាលេខ b និង c គឺស្មើគ្នា ឬ b និង c គឺផ្ទុយគ្នា។ ហើយសមភាពចុងក្រោយមានសុពលភាពសម្រាប់តែ b=c=0 ប៉ុណ្ណោះ ព្រោះផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាមានកន្សោមដែលមិនអវិជ្ជមានសម្រាប់ b និង c ជាផលបូកនៃលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។

ចំពោះឫសនៃសញ្ញាបត្រ n សម្រាប់សេស n ពួកវាស្រដៀងនឹងឫសគូប។ នោះគឺឫសនៃដឺក្រេសេសណាមួយពីចំនួន a មានសម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a ហើយសម្រាប់លេខដែលផ្តល់ឱ្យ a វាមានតែមួយគត់។

ភាពប្លែកនៃឫសនៃសញ្ញាប័ត្រសេស 2·m+1 ពីលេខ a ត្រូវបានបង្ហាញដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងភស្តុតាងនៃភាពប្លែកនៃឫសគូបពី . មានតែនៅទីនេះជំនួសឱ្យសមភាព a 3 −b 3 = (a −b) (a 2 + a b + c 2)សមភាពនៃទម្រង់ b 2 m + 1 −c 2 m + 1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). កន្សោមនៅក្នុងវង់ក្រចកចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). ឧទាហរណ៍សម្រាប់ m = 2 យើងមាន b 5 −c 5 =(b−c)(b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). នៅពេលដែល a និង b មានទាំងវិជ្ជមាន ឬទាំងពីរអវិជ្ជមាន ផលិតផលរបស់ពួកគេគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកកន្សោម b 2 +c 2 +b·c ដែលស្ថិតនៅក្នុងវង់ក្រចកនៃកម្រិតខ្ពស់បំផុតនៃសំបុកគឺវិជ្ជមានដែលជាផលបូកនៃវិជ្ជមាន។ លេខ។ ឥឡូវនេះ ដោយផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់ទៅកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបនៃកម្រិតមុននៃការដាក់សំបុក យើងធ្វើឱ្យប្រាកដថាពួកវាក៏វិជ្ជមានផងដែរដែលជាផលបូកនៃចំនួនវិជ្ជមាន។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមភាព b 2 m + 1 −c 2 m + 1 = (b−c)(b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0អាចធ្វើទៅបានតែនៅពេលដែល b−c=0 នោះគឺនៅពេលដែលលេខ b ស្មើនឹងចំនួន c ។

វាដល់ពេលដែលត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងសញ្ញាណនៃឫសគល់នៃសញ្ញាបត្រទី 0 ។ សម្រាប់ការនេះវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ការ​កំណត់​នៃ​ឫស​នព្វន្ធ​នៃ​សញ្ញាបត្រ n.

និយមន័យ

ឫសនព្វន្ធនៃដឺក្រេទី n នៃចំនួនមិនអវិជ្ជមាន aលេខដែលមិនអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា អំណាចទី 9 ដែលស្មើនឹង a ។