ការរុករកទំព័រ។

វិធីសាស្រ្តនៃប៉ារ៉ាបូឡា (ស៊ីមសុន) - ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ រូបមន្ត ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុស ការបង្ហាញ។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) បន្តនៅចន្លោះពេល ហើយយើងត្រូវគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ចូរបែងចែកផ្នែកទៅជា n ចម្រៀកបឋមនៃប្រវែងដោយចំនុច។ ទុក​ឲ្យ​ពិន្ទុ​ជា​ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​ផ្នែក​រៀងៗ​ខ្លួន។ ក្នុងករណីនេះ "ថ្នាំង" ទាំងអស់ត្រូវបានកំណត់ពីសមភាព។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រប៉ារ៉ាបូឡា។

នៅចន្លោះពេលនីមួយៗ អាំងតេក្រាលត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណដោយប៉ារ៉ាបូឡារាងបួនជ្រុង ឆ្លងកាត់ចំណុច។ ដូច្នេះឈ្មោះនៃវិធីសាស្រ្ត - វិធីសាស្រ្តនៃប៉ារ៉ាបូឡា។

នេះត្រូវបានធ្វើដើម្បីយកជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដែលយើងអាចគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ។ នេះ​គឺ​ជា​អ្វី​ដែល ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រប៉ារ៉ាបូឡា.

តាមធរណីមាត្រ វាមើលទៅដូចនេះ៖

គំនូរក្រាហ្វិកនៃវិធីសាស្ត្រប៉ារ៉ាបូឡា (ស៊ីមសុន) ។

បន្ទាត់ក្រហមបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x) បន្ទាត់ពណ៌ខៀវបង្ហាញពីការប៉ាន់ស្មាននៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x) ដោយប៉ារ៉ាបូឡាបួនជ្រុងលើផ្នែកបឋមនីមួយៗនៃភាគថាស។

ដេរីវេនៃរូបមន្តវិធីសាស្រ្ត Simpson (parabolas) ។

ដោយគុណធម៌ទីប្រាំនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ យើងមាន។

ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់វិធីសាស្ត្រប៉ារ៉ាបូឡា (ស៊ីមសុន) យើងត្រូវគណនា .

អនុញ្ញាតឱ្យ (យើងតែងតែអាចមកនេះដោយអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរធរណីមាត្រដែលសមរម្យសម្រាប់ i = 1, 2, ... , n ) ។

តោះធ្វើគំនូរ។

ចូរយើងបង្ហាញថាមានតែប៉ារ៉ាបូឡារាងបួនជ្រុងប៉ុណ្ណោះដែលឆ្លងកាត់ចំណុច . ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងបង្ហាញថាមេគុណត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេស។

ដោយសារចំនុចនៃប៉ារ៉ាបូឡា សមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធមានសុពលភាព

ប្រព័ន្ធសមីការសរសេរគឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៅក្នុងអថេរដែលមិនស្គាល់។ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធសមីការនេះគឺជាកត្តាកំណត់ Vandermonde ហើយវាមិនមែនជាសូន្យសម្រាប់ចំណុចដែលមិនស្របគ្នា។ . នេះបង្ហាញថាប្រព័ន្ធសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (នេះត្រូវបានពិភាក្សាក្នុងអត្ថបទ) ពោលគឺមេគុណត្រូវបានកំណត់ដាច់ដោយឡែក ហើយប៉ារ៉ាបូឡារាងបួនជ្រុងតែមួយឆ្លងកាត់ចំណុច។

ចូរបន្តទៅការស្វែងរកអាំងតេក្រាល។ .

ជាក់ស្តែង៖

យើងប្រើសមភាពទាំងនេះដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយនៅក្នុងខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

ដូច្នេះអ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រប៉ារ៉ាបូឡា៖

រូបមន្តវិធីសាស្ត្រ Simpson (ប៉ារ៉ាបូឡា)មានទម្រង់
.

ការប៉ាន់ប្រមាណនៃកំហុសដាច់ខាតនៃវិធីសាស្ត្រ Simpson ។

កំហុសដាច់ខាតនៃវិធីសាស្ត្ររបស់ Simpsonវាយតម្លៃជា .

ឧទាហរណ៍នៃការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយវិធីសាស្ត្រ Simpson (parabolas) ។

ចូរយើងវិភាគការអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត Simpson (parabolas) ក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ជាធម្មតាមានការងារពីរប្រភេទ៖

សំណួរឡូជីខលកើតឡើង: "ជាមួយនឹងកម្រិតនៃភាពត្រឹមត្រូវដើម្បីអនុវត្តការគណនាកម្រិតមធ្យម"?

ចម្លើយគឺសាមញ្ញ - ភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាកម្រិតមធ្យមគួរតែគ្រប់គ្រាន់។ ការគណនាកម្រិតមធ្យមគួរត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃលំដាប់ 3-4 នៃរ៉ិចទ័រខ្ពស់ជាងលំដាប់នៃ . ដូចគ្នានេះផងដែរ, ភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាកម្រិតមធ្យមអាស្រ័យលើលេខ n - n ធំជាង, ការគណនាកម្រិតមធ្យមកាន់តែត្រឹមត្រូវគួរតែត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍។

គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Simpson ដោយបែងចែកផ្នែកសមាហរណកម្មជា 5 ផ្នែក។

ការសម្រេចចិត្ត។

តាមលក្ខខណ្ឌ យើងដឹងថា a = 0; b = 5; n = ៥ .

រូបមន្តវិធីសាស្ត្រ Simpson (parabolas) មានទម្រង់ . ដើម្បីអនុវត្តវា យើងត្រូវគណនាជំហាន កំណត់ថ្នាំង និងគណនាតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអាំងតេក្រាល .

ការគណនាកម្រិតមធ្យមនឹងត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃខ្ទង់ទសភាគបួន (បង្គត់ទៅខ្ទង់ទសភាគទីប្រាំ)។

ដូច្នេះយើងគណនាជំហាន .

ចូរបន្តទៅ nodes និងតម្លៃមុខងារនៅក្នុងពួកវា៖

ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់ និងភាពងាយស្រួល យើងសង្ខេបលទ្ធផលក្នុងតារាង៖

យើងជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រប៉ារ៉ាបូឡា៖

ជាពិសេស យើងបានយកអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ ដែលអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ដើម្បីប្រៀបធៀបលទ្ធផល។

លទ្ធផលត្រូវគ្នានឹងខ្ទង់រយ។

ឧទាហរណ៍។

គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដោយវិធីសាស្ត្រ Simpson ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0.001 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង a = 0 , .

ដំបូងយើងត្រូវកំណត់ n ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងងាកទៅរកវិសមភាពសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសដាច់ខាតនៃវិធីសាស្ត្រ Simpson ។ យើងអាចនិយាយបានថាប្រសិនបើយើងរកឃើញ n ដែលវិសមភាពនឹងកាន់ បន្ទាប់មក នៅពេលប្រើវិធីប៉ារ៉ាបូឡា ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដើម កំហុសដាច់ខាតនឹងមិនលើសពី 0.001 ទេ។ វិសមភាពចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា .

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើអ្វីជាតម្លៃអតិបរមានៃម៉ូឌុលនៃដេរីវេទីបួននៃអាំងតេក្រាលនៅលើចន្លោះពេលសមាហរណកម្ម។

គឺ​ជា​ចន្លោះ​ពេល ហើយ​ផ្នែក​សមាហរណកម្ម​មាន​ចំណុច​ខ្លាំង​ដូច្នេះ .

យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងវិសមភាព ហើយដោះស្រាយវា៖

ជា n គឺជាលេខធម្មជាតិ (នេះគឺជាចំនួនដូចគ្នានៃផ្នែកដែលផ្នែករួមបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានបែងចែក) បន្ទាប់មកយើងអាចយក n = 5, 6, 7, ... ដើម្បីកុំឱ្យធ្វើការគណនាដែលមិនចាំបាច់ យើងយក n = 5 .

ឥឡូវនេះយើងធ្វើដូចនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុន។ នៅក្នុងការគណនាកម្រិតមធ្យមយើងនឹងបង្គត់ទៅលំដាប់ទីប្រាំមួយ។

គណនាជំហាន .

យើងរកឃើញថ្នាំង និងតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៅក្នុងពួកវា៖

យើងផ្សំលទ្ធផលនៃការគណនាក្នុងតារាង៖

យើងជំនួសតម្លៃទៅក្នុងរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រប៉ារ៉ាបូឡា៖

ដូច្នេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Simpson តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មួយត្រូវបានទទួល ភាពត្រឹមត្រូវដល់ 0.001 ។

ជាការពិតណាស់ ដោយបានគណនាអាំងតេក្រាលដើមដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz យើងទទួលបាន

មតិយោបល់។

ការស្វែងរកគឺពិបាកនៅក្នុងករណីជាច្រើន។ អ្នកអាចទទួលបានជុំវិញបញ្ហានេះដោយទទួលយកវិធីសាស្រ្តជំនួសក្នុងការប្រើវិធីសាស្ត្រប៉ារ៉ាបូឡា។ គោលការណ៍របស់វាត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងផ្នែកវិធីសាស្ត្រ trapezoid ដូច្នេះយើងនឹងមិនធ្វើវាម្តងទៀតទេ។

តើវិធីសាស្រ្តអ្វីដែលគួរប្រើសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលលេខ?

ភាពត្រឹមត្រូវនៃវិធីសាស្រ្ត Simpson (parabolas) គឺខ្ពស់ជាងភាពត្រឹមត្រូវនៃវិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណកែងនិង trapezoids សម្រាប់ n ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសដាច់ខាត) ដូច្នេះការប្រើប្រាស់របស់វាគឺល្អជាង។

គួរចងចាំថាកំហុសក្នុងការគណនាប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផលសម្រាប់ n ធំ ដែលអាចផ្លាស់ទីតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលចេញពីតម្លៃពិតប្រាកដ។

(1710-1761).

ចូរយើងពិចារណាផ្នែកមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃនៃអនុគមន៍ពិត f(x) នៅចំណុច a, (a+b)/2, b ត្រូវបានដឹង។ មានពហុនាមដឺក្រេទី 2 តែមួយ ទំ 2 (x) ដែលក្រាហ្វឆ្លងកាត់ចំនុច (a, f(a)), ((a+b)/2,f((a+b)/2), (b, f(b))។ រូបមន្ត Simpsonត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលនៃពហុនាមនេះនៅលើចន្លោះពេល៖

វិធីសាស្រ្តរបស់ Simpson មានលំដាប់នៃកំហុស 4 និងលំដាប់ពិជគណិតនៃភាពត្រឹមត្រូវ 3 ។

កំហុសនៅពេលដាក់បញ្ចូលលើផ្នែក [ ក,ខ] ជាមួយជំហាន ម៉ោងត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

,

កន្លែងណា គឺអតិបរមានៃដេរីវេទីបួននៃអនុគមន៍។

ផងដែរ ប្រសិនបើមិនអាចប៉ាន់ស្មានកំហុសដោយប្រើអតិបរិមានៃដេរីវេទីបួន (ឧទាហរណ៍ វាមិនមាននៅចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់) ការប៉ាន់ស្មានរដុបជាងនេះអាចត្រូវបានប្រើ៖

,

កន្លែងណា គឺអតិបរមានៃដេរីវេទី 3 នៃអនុគមន៍។

តំណភ្ជាប់

• Kostomarov D.P., Favorsky A.P. "ការបង្រៀនណែនាំអំពីវិធីសាស្រ្តលេខ"

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

• វិធីសាស្រ្ត Runge-Kutta
• វិធីសាស្រ្ត Fibonacci ក្នុងការស្វែងរកភាពខ្លាំង

សូមមើលអ្វីដែល "វិធីសាស្ត្រស៊ីមសុន" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

រូបមន្ត Simpson- ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តគឺការប៉ាន់ស្មាននៃអនុគមន៍ f(x) (ក្រាហ្វពណ៌ខៀវ) ដោយរូបមន្តពហុធារាងបួនជ្រុង P(x) (ក្រហម) របស់ Simpson (ក៏ ... វិគីភីឌា

វិធីសាស្រ្ត ROMBERG- ក្បួនរបស់ Romberg ដែលជាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយផ្អែកលើការបន្ថែមរបស់ Richardson ។ អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃ I នៃមុខងារជាក់លាក់មួយត្រូវបានគណនា ខណៈដែលតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលបានគណនា T(h) អាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ h ដូច្នេះក្នុង ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

ការរួមបញ្ចូលលេខ- (ឈ្មោះ​ប្រវត្តិសាស្ត្រ : (លេខ) ចតុកោណ) ការ​គណនា​តម្លៃ​នៃ​អាំងតេក្រាល​ច្បាស់លាស់ (ជា​ធម្មតា​ប្រហាក់ប្រហែល) ។ ការរួមបញ្ចូលលេខត្រូវបានគេយល់ថាជាសំណុំនៃវិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ។ លេខ ... ... វិគីភីឌា

រូបមន្តបួនជ្រុង

រូបមន្តបួនជ្រុង- អាំងតេក្រាល។ តំបន់ ... ... វិគីភីឌា

រូបមន្តចតុកោណ- អាំងតេក្រាល។ តំបន់ ... ... វិគីភីឌា

រូបមន្តចតុកោណ- អាំងតេក្រាល។ តំបន់ ... ... វិគីភីឌា

រូបមន្ត Trapezoidal- អាំងតេក្រាល។ តំបន់ ... ... វិគីភីឌា

កំណើត- កំណើត។ ខ្លឹមសារ៖ I. និយមន័យនៃគំនិត។ ការផ្លាស់ប្តូររាងកាយអំឡុងពេល R. មូលហេតុនៃការចាប់ផ្តើមនៃ R ............................ 109 II. ចរន្តគ្លីនិកនៃសរីរវិទ្យា R. 132 Sh. Mechanics R................. 152 IV. នាំមុខ P .............. 169 V ... សព្វវចនាធិប្បាយវេជ្ជសាស្ត្រធំ

ការគណនាអាំងតេក្រាល។- សាខានៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិ និងវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាអាំងតេក្រាល និងកម្មវិធីរបស់វា។ ខ្ញុំ​និង។ គឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល (សូមមើល។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ហើយរួមគ្នាជាមួយវាបង្កើតបានជាផ្នែកសំខាន់មួយ ...... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ

ចូរយើងបំបែកផ្នែកសមាហរណកម្ម [ ក, ខ] ទៅជាលេខគូ នផ្នែកស្មើគ្នាក្នុងការបង្កើន ម៉ោង. នៅលើផ្នែកនីមួយៗ [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [x i-1, x i+1],...,[ x n-2, x n] អាំងតេក្រាល។ f(X) ត្រូវ​បាន​ជំនួស​ដោយ​ពហុនាម​អន្តរ​ប៉ូល​នៃ​ដឺក្រេ​ទីពីរ៖

មេគុណនៃត្រីកោណមាត្រការ៉េទាំងនេះអាចរកបានពីលក្ខខណ្ឌសម្រាប់សមភាពនៃពហុនាមនៅចំណុចនៃទិន្នន័យតារាងដែលត្រូវគ្នា។ វា​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​យក​ជា​ពហុនាម​ការ​អន្តរ​ប៉ូល Lagrange នៃ​សញ្ញាប័ត្រ​ទីពីរ​ដែល​ឆ្លងកាត់​ចំណុច :

ផលបូកនៃតំបន់បឋម និង (រូបភាព 3.3) អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ។ ដោយគិតពីសមភាពយើងទទួលបាន

-

អង្ករ។ ៣.៣. រូបភាពសម្រាប់វិធីសាស្រ្ត Simpson

ដោយបានអនុវត្តការគណនាបែបនេះសម្រាប់ផ្នែកបឋមនីមួយៗ យើងបូកសរុបកន្សោមលទ្ធផល៖

កន្សោមនេះសម្រាប់ សត្រូវបានយកជាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់៖

(3.35)

សមាមាត្រលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តរបស់ Simpsonឬ រូបមន្តប៉ារ៉ាបូឡា.

រូបមន្តនេះក៏អាចទទួលបានតាមវិធីផ្សេងទៀតដែរ ឧទាហរណ៍ ដោយអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ trapezoid ពីរដងនៅពេលបែងចែកផ្នែក [ ក, ខ] ចូលទៅក្នុងផ្នែកដែលមានជំហាន ម៉ោងនិង ២ ម៉ោងឬដោយការរួមបញ្ចូលរូបមន្តនៃចតុកោណកែង និងចតុកោណកែង (សូមមើលផ្នែក 3.2.6) ។

ពេលខ្លះរូបមន្តរបស់ Simpson ត្រូវបានសរសេរដោយប្រើសន្ទស្សន៍ពាក់កណ្តាលចំនួនគត់។ ក្នុងករណីនេះចំនួននៃភាគថាស ទំបំពាន (មិនចាំបាច់សូម្បីតែ) ហើយរូបមន្តរបស់ Simpson គឺ

(3.36)

វាងាយស្រួលមើលរូបមន្ត (3.36) ស្របគ្នានឹង (3.35) ប្រសិនបើរូបមន្ត (3.35) ត្រូវបានអនុវត្តចំពោះចំនួនភាគថាស 2 ននិងជំហាន ម៉ោង/2.

ឧទាហរណ៍. គណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Simpson

តម្លៃមុខងារនៅ ន = 10, ម៉ោង = 0.1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង។ ៣.៣. ការអនុវត្តរូបមន្ត (3.35) យើងរកឃើញ

លទ្ធផលនៃការរួមបញ្ចូលលេខដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Simpson បានប្រែជាដូចគ្នានឹងតម្លៃពិតប្រាកដ (តួលេខសំខាន់ៗចំនួនប្រាំមួយ) ។

ក្បួនដោះស្រាយមួយក្នុងចំណោមក្បួនដោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Simpson ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ ៣.៤. ព្រំដែននៃចន្លោះពេលសមាហរណកម្ម [ ក, ខ], កំហុស ε, ក៏ដូចជារូបមន្តសម្រាប់គណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល។ y=f(x) .

អង្ករ។ ៣.៤. ក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្ត Simpson

ដំបូងផ្នែកត្រូវបានបែងចែកជាពីរផ្នែកដោយមានជំហានមួយ។ ម៉ោង =(ខ- ក)/២. តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនា ខ្ញុំ 1. បន្ទាប់មកចំនួនជំហានត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដងតម្លៃត្រូវបានគណនា ខ្ញុំ 2 នៅក្នុងការកើនឡើង ម៉ោង/២. លក្ខខណ្ឌបញ្ចប់នៃការរាប់ត្រូវបានយកជា . ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនេះមិនត្រូវបានបំពេញទេ ការបែងចែកថ្មីនៃជំហានជាពាក់កណ្តាលកើតឡើង ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ចំណាំដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ 3.4 ក្បួនដោះស្រាយគឺមិនល្អបំផុត: នៅពេលគណនាការប៉ាន់ប្រមាណនីមួយៗ ខ្ញុំតម្លៃមុខងារ 2 មិនត្រូវបានប្រើទេ។ f(x), បានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងជំហានមុន។ ក្បួនដោះស្រាយសន្សំសំចៃបន្ថែមទៀតនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុង Sec ។ ៣.២.៧.

ដើម្បីបង្កើតរូបមន្ត Simpson ដំបូងយើងពិចារណាបញ្ហាដូចខាងក្រោម: គណនាផ្ទៃ S នៃរាងពងក្រពើដែលចងពីខាងលើដោយក្រាហ្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d Ax 2 + Bx + C ពីខាងឆ្វេងដោយបន្ទាត់ត្រង់ x \u003d - h, ពីខាងស្តាំដោយបន្ទាត់ត្រង់ x \u003d h និងពីខាងក្រោមដោយផ្នែក [-h; h]។ អនុញ្ញាតឱ្យប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់បីចំណុច (រូបភាពទី 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) និង F (h; y 2) និង x 2 − x 1 = x 1 − x 0 = ម៉ោង អាស្រ័យហេតុនេះ

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h ។

បន្ទាប់មកផ្ទៃ S គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល៖

យើងបង្ហាញតំបន់នេះក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ h, y 0, y 1 និង y 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាមេគុណនៃប៉ារ៉ាបូឡា A, B, C. ពីលក្ខខណ្ឌដែលប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ចំណុច D, E និង F យើងមាន:

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងទទួលបាន៖ C = y 1 ; ក =

ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះ A និង C ទៅជា (3) យើងទទួលបានផ្ទៃដែលចង់បាន

ឥឡូវនេះ ចូរយើងងាកទៅរកប្រភពនៃរូបមន្តរបស់ Simpson សម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាល។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកផ្នែកសមាហរណកម្មទៅជា 2n ផ្នែកស្មើគ្នានៃប្រវែង

នៅចំនុចបែងចែក (រូបភាពទី 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d ខ,

យើងគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល f: y 0, y 1, y 2, ...,y 2n-2, y 2n-1, y 2n, de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2, ...,2n) ។

នៅលើផ្នែក យើងជំនួសអាំងតេក្រាលដោយប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ចំនុច (x 0; y 0), (x 1; y 1) និង (x 2; y 2) ហើយដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលពី x 0 ដល់ x 2 យើងប្រើរូបមន្ត (4) ។ បន្ទាប់មក (តំបន់ដែលមានម្លប់នៅក្នុងរូបភាពទី 4)៖

ដូចគ្នានេះដែរយើងរកឃើញ:

................................................

ការបន្ថែមសមភាពលទ្ធផលយើងមាន៖

រូបមន្ត (៥) ត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត Simpson ទូទៅឬ រូបមន្តប៉ារ៉ាបូឡាចាប់តាំងពីពេលដែលទាញយកវាមក ក្រាហ្វនៃអាំងតេក្រាលនៅលើផ្នែកមួយផ្នែកនៃប្រវែង 2h ត្រូវបានជំនួសដោយធ្នូប៉ារ៉ាបូឡា។

ការចាត់តាំងការងារ៖

1. ដូចដែលបានណែនាំដោយគ្រូឬស្របតាមជម្រើសមួយពី តុ 4 កិច្ចការ (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធ) ដើម្បីទទួលយកលក្ខខណ្ឌ - អាំងតេក្រាល ដែនកំណត់នៃការធ្វើសមាហរណកម្ម។

2. គូរតារាងលំហូរនៃកម្មវិធី និងកម្មវិធីដែលគួរ៖

ស្នើសុំភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដែនកំណត់ខាងក្រោម និងខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល;

គណនាអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយវិធីសាស្ត្រ៖ សម្រាប់ជម្រើស 1,4,7, 10… - ត្រឹមត្រូវ, សម្រាប់ជម្រើស 2,5,8,… - មធ្យម; សម្រាប់ជម្រើស 2,5,8,… - ចតុកោណកែងខាងឆ្វេង។ បញ្ចេញចំនួនភាគថាសនៃជួររួមបញ្ចូលដែលភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានសម្រេច។

គណនាអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ trapezoid (សម្រាប់ជម្រើសគូ) និងវិធីសាស្ត្ររបស់ Simpson (សម្រាប់ជម្រើសសេស) ។

បញ្ចេញចំនួនភាគថាសនៃជួររួមបញ្ចូលដែលភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានសម្រេច។

បញ្ចេញតម្លៃនៃអនុគមន៍វត្ថុបញ្ជាសម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអាគុយម៉ង់ ហើយប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃដែលបានគណនានៃអាំងតេក្រាល។ ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋាន។

សំណួរសាកល្បង

1. តើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺជាអ្វី?

2. ហេតុអ្វីបានជារួមជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តវិភាគ វិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានប្រើ។

3. តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តលេខសំខាន់ៗសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

4. ឥទ្ធិពលនៃចំនួនភាគថាសលើភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយវិធីសាស្រ្តលេខ។

5. តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលដោយវិធីសាស្រ្តណាមួយជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ?

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះ វាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីប៉ាន់ស្មានអាំងតេក្រាលនៅលើចន្លោះពេលដោយផ្នែកដោយប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ចំណុច
(x j , f(x j)) កន្លែងណា j = ខ្ញុំ-1; ខ្ញុំ-0.5; ខ្ញុំនោះគឺយើងប៉ាន់ស្មានអាំងតេក្រាលដោយពហុនាម Lagrange interpolation នៃដឺក្រេទីពីរ៖

(10.14)

បន្ទាប់ពីការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន:

(10.15)

នោះហើយជាអ្វីដែលវាគឺជា រូបមន្តរបស់ simpson ឬរូបមន្តនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ នៅលើផ្នែក
[ក, ខ] រូបមន្តរបស់ Simpson យកទម្រង់

(10.16)

តំណាងក្រាហ្វិកនៃវិធីសាស្ត្ររបស់ Simpson ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ២.៤.

អង្ករ។ ១០.៤.វិធីសាស្រ្តស៊ីមសុន

ចូរកម្ចាត់សន្ទស្សន៍ប្រភាគក្នុងកន្សោម (២.១៦) ដោយប្តូរឈ្មោះអថេរ៖

(10.17)

បន្ទាប់មករូបមន្តរបស់ Simpson យកទម្រង់

(10.18)

កំហុសនៃរូបមន្ត (2.18) ត្រូវបានប៉ាន់ស្មានដោយកន្សោមខាងក្រោម៖

, (10.19)

កន្លែងណា h n = b-a, . ដូច្នេះ កំហុសនៃរូបមន្តរបស់ Simpson គឺសមាមាត្រទៅនឹង អូ(h ៤).

មតិយោបល់។វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅក្នុងរូបមន្ត Simpson ផ្នែកសមាហរណកម្មត្រូវបានបែងចែកចាំបាច់ទៅជា សូម្បីតែចំនួនចន្លោះពេល។

១០.៥. ការគណនាអាំងតេក្រាលជាក់លាក់ដោយវិធីសាស្រ្ត
ម៉ុងតេ ខាឡូ

វិធីសាស្រ្តដែលបានពិភាក្សាពីមុនត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ នោះគឺគ្មានធាតុនៃឱកាស។

វិធីសាស្រ្ត Monte Carlo(MMK) គឺជាវិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាដោយយកគំរូតាមអថេរចៃដន្យ។ MCM អនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាដោយជោគជ័យដែលបណ្តាលមកពីដំណើរការប្រូបាប៊ីលីតេ។ លើសពីនេះទៅទៀត នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលមិនត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេណាមួយ មនុស្សម្នាក់អាចបង្កើតគំរូប្រូបាប៊ីលីសដោយសិប្បនិម្មិត (និងសូម្បីតែច្រើនជាងមួយ) ដែលអនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ។ ពិចារណាការគណនានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

(10.20)

នៅពេលគណនាអាំងតេក្រាលនេះដោយប្រើរូបមន្តនៃចតុកោណកែង ចន្លោះពេល [ ក, ខ] បំបែកជា នចន្លោះពេលដូចគ្នាបេះបិទ ដែលតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនា។ តាមរយៈការគណនាតម្លៃមុខងារនៅថ្នាំងចៃដន្យ អ្នកអាចទទួលបានលទ្ធផលត្រឹមត្រូវជាងមុន៖

(10.21)

(10.22)

នៅទីនេះ γ i គឺជាលេខចៃដន្យដែលចែកចាយស្មើៗគ្នាតាមចន្លោះពេល
. កំហុសក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាល MMK ~ ដែលមានទំហំធំជាងវិធីសាស្ត្រកំណត់ដែលបានសិក្សាពីមុន។

នៅលើរូបភព។ 2.5 បង្ហាញពីការអនុវត្តក្រាហ្វិកនៃវិធីសាស្ត្រ Monte Carlo សម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលតែមួយជាមួយថ្នាំងចៃដន្យ (2.21) និង (2.22) ។

(2.23)

អង្ករ។ ១០.៦.ការរួមបញ្ចូល Monte Carlo (ករណីទី 2)

ដូចដែលបានឃើញនៅក្នុងរូបភព។ 2.6 ខ្សែកោងអាំងតេក្រាលស្ថិតនៅក្នុងឯកតាការ៉េ ហើយប្រសិនបើយើងអាចទទួលបានគូនៃលេខចៃដន្យដែលចែកចាយស្មើៗគ្នាក្នុងចន្លោះពេលនោះ តម្លៃដែលទទួលបាន (γ 1, γ 2) អាចត្រូវបានបកស្រាយថាជាកូអរដោនេនៃចំណុចនៅក្នុង ឯកតាការ៉េ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើចំនួនគូទាំងនេះគ្រប់គ្រាន់ យើងអាចសន្មត់បានប្រហែល
. នៅទីនេះ សគឺ​ជា​ចំនួន​គូ​នៃ​ចំណុច​ដែល​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​ខ្សែ​កោង និង នគឺជាចំនួនសរុបនៃចំនួនគូ។

ឧទាហរណ៍ 2.1 ។គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗ។ លទ្ធផលដែលទទួលបានត្រូវបានសង្ខេបនៅក្នុងតារាង។ ២.១.

តារាង 2.1

មតិយោបល់។ជម្រើសនៃអាំងតេក្រាលតារាងបានអនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រៀបធៀបកំហុសនៃវិធីសាស្រ្តនីមួយៗនិងស្វែងយល់ពីឥទ្ធិពលនៃចំនួនភាគថាសលើភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនា។

11 ដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលនៃ NONLINEAR
និងសមភាពអន្តរកាល