ជាដំបូង ចូរយើងចាំថាផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺជាអ្វី។

ចំណាំ ១

សិល្បៈវ៉ិចទ័រសម្រាប់ $\vec(a)$ និង $\vec(b)$ គឺ $\vec(c)$ ដែលជាវ៉ិចទ័រទីបី $\vec(c)= ||$ ហើយវ៉ិចទ័រនេះមានលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេស៖

• មាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផលគឺជាផលគុណនៃ $|\vec(a)|$ និង $|\vec(b)|$ ដងស៊ីនុសនៃមុំ $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \\cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• ទាំងអស់ $\vec(a), \vec(b)$ និង $\vec(c)$ បង្កើតបានបីដងត្រឹមត្រូវ;
• វ៉ិចទ័រ​ជា​លទ្ធផល​គឺ​កាត់​កែង​ទៅ $\vec(a)$ និង $\vec(b)$ ។

ប្រសិនបើមានកូអរដោណេខ្លះសម្រាប់វ៉ិចទ័រ ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ និង $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$) បន្ទាប់មកផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់ពួកគេនៅក្នុង ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian អាចត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតក្នុងការចងចាំរូបមន្តនេះគឺសរសេរវាក្នុងទម្រង់ជាកត្តាកំណត់៖

$ = \begin(អារេ) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \ បញ្ចប់ (អារេ)$ ។

រូបមន្តនេះងាយស្រួលប្រើ ប៉ុន្តែដើម្បីយល់ពីរបៀបប្រើវា ជាដំបូងអ្នកត្រូវស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងប្រធានបទនៃម៉ាទ្រីស និងកត្តាកំណត់របស់វា។

តំបន់ប៉ារ៉ាឡែលដែលភាគីរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រពីរ $\vec(a)$ និង $vec(b)$ គឺស្មើនឹង ទៅមាត្រដ្ឋាននៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សមាមាត្រនេះពិតជាងាយស្រួលក្នុងការទាញយក។

រំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមធម្មតា ដែលអាចត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយផ្នែករបស់វា $a$ និង $b$៖

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

ក្នុង​ករណី​នេះ ប្រវែង​ជ្រុង​ស្មើ​នឹង​តម្លៃ​មាត្រដ្ឋាន​នៃ​វ៉ិចទ័រ $\vec(a)$ និង $\vec(b)$ ដែល​ពិតជា​ស័ក្តិសម​សម្រាប់​យើង ពោលគឺ​មាត្រដ្ឋាន​នៃ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះនឹងជាតំបន់នៃតួលេខដែលកំពុងពិចារណា។

ឧទាហរណ៍ ១

បានផ្ដល់វ៉ិចទ័រ $\vec(c)$ ជាមួយកូអរដោនេ $\(5;3; 7\)$ និងវ៉ិចទ័រ $\vec(g)$ ជាមួយកូអរដោនេ $\(3; 7;10 \)$ ក្នុងកូអរដោណេ Cartesian ។ ស្វែងរកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតឡើងដោយ $\vec(c)$ និង $\vec(g)$ ។

ដំណោះស្រាយ៖

ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រសម្រាប់វ៉ិចទ័រទាំងនេះ៖

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(អារេ) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(array) + k \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(array) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$ ។

ឥឡូវ​យើង​រក​តម្លៃ​ម៉ូឌុល​សម្រាប់​ផ្នែក​ទិសដៅ​លទ្ធផល វា​ជា​តម្លៃ​នៃ​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​សាងសង់៖

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43.34$ ។

បន្ទាត់នៃហេតុផលនេះគឺមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់ការស្វែងរកតំបន់ក្នុងលំហ 3 វិមាត្រប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់ទំហំពីរវិមាត្រផងដែរ។ សូមពិនិត្យមើលសំណួរបន្ទាប់លើប្រធានបទនេះ។

ឧទាហរណ៍ ២

គណនាផ្ទៃដីនៃប្រលេឡូក្រាម ប្រសិនបើផ្នែកបង្កើតរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ដោយវ៉ិចទ័រ $\vec(m)$ ជាមួយកូអរដោនេ $\(2; 3\)$ និង $\vec(d)$ ជាមួយកូអរដោនេ $\(-5; 6\)$។

ដំណោះស្រាយ៖

បញ្ហានេះគឺជាឧទាហរណ៍ជាក់លាក់នៃបញ្ហាទី 1 ដែលបានដោះស្រាយខាងលើ ប៉ុន្តែវ៉ិចទ័រទាំងពីរស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ដែលមានន័យថាកូអរដោនេទីបី $z$ អាចត្រូវបានគេយកជាសូន្យ។

ដើម្បីសង្ខេបខាងលើ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមនឹងមានៈ

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$ ។

ឧទាហរណ៍ ៣

វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$។ ស្វែងរកតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមដែលពួកគេបង្កើត។

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

ចូរធ្វើឱ្យសាមញ្ញយោងទៅតាមតារាងដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់វ៉ិចទ័រឯកតា:

រូបភាពទី 1. ការរលាយនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋានមួយ។ Author24 - ការផ្លាស់ប្តូរឯកសារសិស្សតាមអ៊ីនធឺណិត

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$ ។

ពេលវេលាគណនា៖

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$ ។

បញ្ហាពីមុនគឺអំពីវ៉ិចទ័រដែលកូអរដោនេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ប៉ុន្តែសូមពិចារណាផងដែរអំពីករណីប្រសិនបើមុំរវាងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានខុសគ្នាពី $90°$៖

ឧទាហរណ៍ 4

វ៉ិចទ័រ $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, ប្រវែង $\vec(a)$ និង $\vec(b)$ គឺស្មើនឹងគ្នា និង ស្មើនឹងមួយ ហើយមុំរវាង $\vec(a)$ និង $\vec(b)$ គឺ 45°។

ដំណោះស្រាយ៖

តោះគណនាផលិតផលវ៉ិចទ័រ $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $។

សម្រាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ខាងក្រោមនេះគឺពិត៖ $$ និង $$ ស្មើនឹងសូន្យ $=-$ ។

តោះប្រើវាដើម្បីសម្រួល៖

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$ ។

តោះប្រើរូបមន្ត $(1)$៖

$[\vec(d) \times \vec(f)] = |-11 | = 11 \\cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5.5$ ។

ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងមុំនៃមុំដែលស្ថិតនៅចន្លោះពួកវា។

វាជាការល្អនៅពេលដែលប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដូចគ្នាទាំងនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមលក្ខខណ្ឌ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាក៏កើតឡើងផងដែរដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រតែប៉ុណ្ណោះបន្ទាប់ពីការគណនាលើកូអរដោនេ។
ប្រសិនបើអ្នកមានសំណាងហើយប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌបន្ទាប់មកអ្នកគ្រាន់តែត្រូវអនុវត្តរូបមន្តដែលយើងបានវិភាគលម្អិតរួចហើយនៅក្នុងអត្ថបទ។ ផ្ទៃនឹងស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុល និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា៖

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការគណនាផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ។

កិច្ចការ៖ប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រ និង . រកផ្ទៃប្រសិនបើ ហើយមុំរវាងពួកវាគឺ 30°។
ចូរបង្ហាញវ៉ិចទ័រក្នុងន័យនៃតម្លៃរបស់វា៖

ប្រហែលជាអ្នកមានសំណួរមួយ - តើលេខសូន្យមកពីណា? វាគឺមានតំលៃចងចាំថាយើងកំពុងធ្វើការជាមួយវ៉ិចទ័រនិងសម្រាប់ពួកគេ។ . សូមចំណាំផងដែរថា ប្រសិនបើយើងទទួលបានកន្សោមជាលទ្ធផល នោះវានឹងត្រូវបានបំប្លែងទៅជា។ ឥឡូវយើងធ្វើការគណនាចុងក្រោយ៖

ចូរយើងត្រលប់ទៅបញ្ហាវិញនៅពេលដែលប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រមិនត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ ប្រសិនបើប្រលេឡូក្រាមរបស់អ្នកស្ថិតនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian នោះអ្នកត្រូវធ្វើដូចខាងក្រោម។

ការគណនាប្រវែងនៃជ្រុងនៃតួលេខដែលផ្តល់ដោយកូអរដោនេ

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ហើយដកកូអរដោណេចាប់ផ្តើមដែលត្រូវគ្នាចេញពីកូអរដោនេចុង។ ចូរសន្មត់កូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រ a (x1; y1; z1) និងវ៉ិចទ័រ b (x3; y3; z3) ។
ឥឡូវនេះយើងរកឃើញប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនីមួយៗ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ កូអរដោនេនីមួយៗត្រូវតែជាការ៉េ បន្ទាប់មកបន្ថែមលទ្ធផល និងស្រង់ឫសចេញពីចំនួនកំណត់។ យោងតាមវ៉ិចទ័ររបស់យើង ការគណនាខាងក្រោមនឹងត្រូវបានធ្វើឡើង៖


ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរកផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័ររបស់យើង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះកូអរដោនេរៀងៗខ្លួនត្រូវបានគុណនិងបន្ថែម។

ដោយគិតពីប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់វា យើងអាចរកឃើញកូស៊ីនុសនៃមុំស្ថិតនៅចន្លោះពួកវា .
ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញស៊ីនុសនៃមុំដូចគ្នា៖
ឥឡូវនេះយើងមានបរិមាណចាំបាច់ទាំងអស់ ហើយយើងអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយស្រួលនូវផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រដោយប្រើរូបមន្តដែលគេស្គាល់រួចហើយ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលប្រតិបត្តិការពីរបន្ថែមទៀតជាមួយវ៉ិចទ័រ៖ ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រនិង ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ (តំណភ្ជាប់ភ្លាមៗសម្រាប់អ្នកដែលត្រូវការវា). វាមិនអីទេ ជួនកាលវាកើតឡើងថាសម្រាប់សុភមង្គលពេញលេញ បន្ថែមពីលើ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ ត្រូវការកាន់តែច្រើនឡើង។ នេះគឺជាការញៀនវ៉ិចទ័រ។ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានការចាប់អារម្មណ៍ថាយើងកំពុងចូលទៅក្នុងព្រៃនៃធរណីមាត្រវិភាគ។ នេះ​គឺ​ជា​ការ​មិន​ពិត​ទេ។ នៅក្នុងផ្នែកនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ ជាទូទៅមានអុសតិចតួច លើកលែងតែអាចគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ Pinocchio ។ តាមពិតសម្ភារៈគឺសាមញ្ញនិងសាមញ្ញ - ពិបាកជាងដូចគ្នា។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន ទោះបីជានឹងមានកិច្ចការធម្មតាតិចជាងមុនក៏ដោយ។ រឿងសំខាន់នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ ដូចដែលមនុស្សជាច្រើននឹងឃើញ ឬបានឃើញរួចហើយ គឺមិនត្រូវច្រឡំការគណនាទេ។ ធ្វើម្តងទៀតដូចអក្ខរាវិរុទ្ធហើយអ្នកនឹងសប្បាយចិត្ត =)

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័របញ្ចេញពន្លឺនៅកន្លែងឆ្ងាយៗ ដូចជាផ្លេកបន្ទោរលើជើងមេឃ វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទេ សូមចាប់ផ្តើមជាមួយមេរៀន វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះ ដើម្បីស្ដារ ឬទទួលបានចំណេះដឹងជាមូលដ្ឋានអំពីវ៉ិចទ័រ។ អ្នកអានដែលបានរៀបចំកាន់តែច្រើនអាចស្គាល់ព័ត៌មានដោយជ្រើសរើស ខ្ញុំបានព្យាយាមប្រមូលគំរូពេញលេញបំផុតដែលត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងការងារជាក់ស្តែង។

តើអ្វីនឹងធ្វើឱ្យអ្នកសប្បាយចិត្ត? កាលខ្ញុំនៅតូច ខ្ញុំអាចលេងបាល់បានពីរ និងបីគ្រាប់។ វាដំណើរការបានល្អ។ ឥឡូវនេះ មិនចាំបាច់លេងសើចអ្វីទាំងអស់ ព្រោះយើងនឹងពិចារណា មានតែវ៉ិចទ័រអវកាសប៉ុណ្ណោះ។ហើយវ៉ិចទ័រសំប៉ែតដែលមានកូអរដោណេពីរនឹងត្រូវទុកចោល។ ហេតុអ្វី? នេះជារបៀបដែលសកម្មភាពទាំងនេះបានកើត - វ៉ិចទ័រ និងផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ និងដំណើរការក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ។ កាន់តែងាយស្រួលហើយ!

នៅក្នុងប្រតិបត្តិការនេះ, នៅក្នុងវិធីដូចគ្នានឹងផលិតផល scalar, វ៉ិចទ័រពីរ. សូមឱ្យវាក្លាយជាអក្សរដែលមិនអាចរលួយបាន។

សកម្មភាពខ្លួនឯង តំណាងតាមវិធីខាងក្រោម៖ . មានជម្រើសផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែខ្ញុំធ្លាប់ប្រើដើម្បីកំណត់ផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រតាមរបៀបនេះ ក្នុងតង្កៀបការ៉េជាមួយឈើឆ្កាង។

ហើយភ្លាមៗ សំណួរ៖ ប្រសិនបើនៅក្នុង ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រពីរជាប់ពាក់ព័ន្ធ ហើយនៅទីនេះ វ៉ិចទ័រពីរក៏ត្រូវបានគុណផងដែរ។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នា? ភាពខុសគ្នាច្បាស់លាស់ ជាដំបូងនៃការទាំងអស់នៅក្នុងលទ្ធផល៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER៖

លទ្ធផលនៃផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រគឺវ៉ិចទ័រ: នោះគឺយើងគុណវ៉ិចទ័រ ហើយទទួលបានវ៉ិចទ័រម្តងទៀត។ ក្លឹបបិទ។ តាមពិតទៅឈ្មោះនៃប្រតិបត្តិការ។ នៅ​ក្នុង​អក្សរសិល្ប៍​អប់រំ​ផ្សេងៗ ការ​កំណត់​ក៏​អាច​ខុស​គ្នា​ដែរ ខ្ញុំ​នឹង​ប្រើ​អក្សរ។

និយមន័យនៃផលិតផលឆ្លងកាត់

ដំបូងនឹងមាននិយមន័យជាមួយរូបភាព បន្ទាប់មកបញ្ចេញមតិ

និយមន័យ: ផលិតផលឆ្លងកាត់ non-collinearវ៉ិចទ័រ , យកតាមលំដាប់នេះ។ត្រូវបានគេហៅថា VECTOR, ប្រវែងដែលជាលេខ ស្មើ​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាមបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ; វ៉ិចទ័រ រាងពងក្រពើទៅវ៉ិចទ័រហើយត្រូវបានដឹកនាំដើម្បីឱ្យមូលដ្ឋានមានទិសដៅត្រឹមត្រូវ៖

យើង​វិភាគ​និយមន័យ​តាម​ឆ្អឹង មាន​រឿង​គួរ​ឲ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ច្រើន​ណាស់!

ដូច្នេះ យើងអាចលើកយកចំណុចសំខាន់ៗដូចខាងក្រោមនេះ៖

1) ប្រភពវ៉ិចទ័រ បង្ហាញដោយព្រួញក្រហម តាមនិយមន័យ មិនជាប់គ្នា។. វានឹងជាការសមរម្យដើម្បីពិចារណាករណីនៃវ៉ិចទ័រ collinear បន្តិចក្រោយមក។

2) វ៉ិចទ័របានយក នៅក្នុងលំដាប់ដ៏តឹងរឹងមួយ។: – "a" ត្រូវបានគុណនឹង "be"មិនមែន "be" ទៅ "a" ទេ។ លទ្ធផលនៃគុណវ៉ិចទ័រគឺ VECTOR ដែលត្រូវបានតំណាងជាពណ៌ខៀវ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស នោះយើងទទួលបានវ៉ិចទ័រស្មើនឹងប្រវែង និងផ្ទុយគ្នាក្នុងទិសដៅ (ពណ៌ក្រហម)។ នោះគឺសមភាព .

3) ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្គាល់អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ នេះជាចំណុចសំខាន់ណាស់! ប្រវែង​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពណ៌​ខៀវ (ហើយ​ដូច្នេះ​វ៉ិចទ័រ​ក្រហម) គឺ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង AREA នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​ដែល​បាន​បង្កើត​នៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ។ នៅក្នុងរូបភាព ប៉ារ៉ាឡែលនេះត្រូវបានដាក់ស្រមោលខ្មៅ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺជាគ្រោងការណ៍ ហើយជាការពិតណាស់ ប្រវែងបន្ទាប់បន្សំនៃផលិតផលឈើឆ្កាងគឺមិនស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមនោះទេ។

យើងរំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្តធរណីមាត្រមួយ៖ ផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមស្មើនឹងផលគុណនៃជ្រុងជាប់គ្នា និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា. ដូច្នេះ ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ រូបមន្តសម្រាប់គណនាប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រគឺត្រឹមត្រូវ៖

ខ្ញុំសង្កត់ធ្ងន់ថានៅក្នុងរូបមន្តយើងកំពុងនិយាយអំពី LENGTH នៃវ៉ិចទ័រ ហើយមិនមែនអំពីវ៉ិចទ័រខ្លួនឯងនោះទេ។ តើអ្វីទៅជាអត្ថន័យជាក់ស្តែង? ហើយអត្ថន័យគឺដូចជានៅក្នុងបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគ តំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់តាមរយៈគំនិតនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ:

យើងទទួលបានរូបមន្តសំខាន់ទីពីរ។ អង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម (បន្ទាត់ចំនុចក្រហម) បែងចែកវាទៅជាត្រីកោណស្មើគ្នាពីរ។ ដូច្នេះផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសាងសង់លើវ៉ិចទ័រ (ការដាក់ស្រមោលពណ៌ក្រហម) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត:

4) ការពិតសំខាន់ស្មើគ្នាគឺថាវ៉ិចទ័រគឺរាងពងក្រពើទៅនឹងវ៉ិចទ័រ នោះគឺ . ជា​ការ​ពិត​ណាស់ វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ទិស​ផ្ទុយ (ព្រួញ​ពណ៌​ក្រហម) ក៏​មាន​រាង​មូល​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ដើម។

5) វ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំដូច្នេះ មូលដ្ឋាន វា​មាន ត្រឹមត្រូវ។ការតំរង់ទិស។ នៅក្នុងមេរៀនអំពី ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី។ ខ្ញុំបាននិយាយលម្អិតអំពី ការតំរង់ទិសយន្តហោះហើយឥឡូវនេះយើងនឹងស្វែងយល់ថាតើការតំរង់ទិសនៃលំហគឺជាអ្វី។ ខ្ញុំនឹងពន្យល់នៅលើម្រាមដៃរបស់អ្នក។ ដៃស្តាំ. ផ្សំផ្លូវចិត្ត មេដៃជាមួយវ៉ិចទ័រ និង ម្រាមដៃកណ្តាលជាមួយវ៉ិចទ័រ។ ម្រាមដៃរោទ៍ និងម្រាមដៃតូចចុចចូលទៅក្នុងបាតដៃរបស់អ្នក។ ជា​លទ្ធផល មេដៃ- ផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងរកមើល។ នេះគឺជាមូលដ្ឋានតម្រង់ទិសខាងស្ដាំ (វាមាននៅក្នុងរូប) ។ ឥឡូវប្តូរវ៉ិចទ័រ ( លិបិក្រមនិងម្រាមដៃកណ្តាល) នៅកន្លែងខ្លះ ជាលទ្ធផល មេដៃនឹងបង្វែរ ហើយផលិតផលវ៉ិចទ័រនឹងមើលចុះរួចហើយ។ នេះក៏ជាមូលដ្ឋានតម្រង់ទិសត្រឹមត្រូវ។ ប្រហែល​ជា​អ្នក​មាន​សំណួរ​មួយ​ថា តើ​មូលដ្ឋាន​អ្វី​ដែល​មាន​ទិស​ខាង​ឆ្វេង? "កំណត់" ម្រាមដៃដូចគ្នា។ ដៃឆ្វេងវ៉ិចទ័រ និងទទួលបានមូលដ្ឋានខាងឆ្វេង និងការតំរង់ទិសលំហខាងឆ្វេង (ក្នុងករណីនេះមេដៃនឹងមានទីតាំងនៅក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រទាប). និយាយក្នុងន័យធៀប មូលដ្ឋានទាំងនេះ "បង្វិល" ឬលំហរទិសក្នុងទិសដៅផ្សេងៗគ្នា។ ហើយគំនិតនេះមិនគួរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអ្វីដែលវែងឆ្ងាយ ឬអរូបីនោះទេ - ឧទាហរណ៍ កញ្ចក់ធម្មតាបំផុតផ្លាស់ប្តូរការតំរង់ទិសនៃលំហ ហើយប្រសិនបើអ្នក "ទាញវត្ថុដែលឆ្លុះបញ្ចាំងចេញពីកញ្ចក់" នោះជាទូទៅ វានឹងមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការ ផ្សំវាជាមួយ "ដើម" ។ ដោយវិធីនេះ យកម្រាមដៃបីទៅកញ្ចក់ ហើយវិភាគការឆ្លុះបញ្ចាំង ;-)

... តើ​វា​ល្អ​ប៉ុណ្ណា​ដែល​អ្នក​ឥឡូវ​បាន​ដឹង​អំពី តម្រង់ទិសស្តាំ និងឆ្វេងមូលដ្ឋាន, ដោយសារតែសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់សាស្រ្តាចារ្យមួយចំនួនអំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃការតំរង់ទិសគឺគួរឱ្យភ័យខ្លាច =)

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ collinear

និយមន័យ​ត្រូវ​បាន​គេ​ធ្វើ​យ៉ាង​លម្អិត វា​នៅ​តែ​រក​ឱ្យ​ឃើញ​ថា​តើ​មាន​អ្វី​កើត​ឡើង​នៅ​ពេល​ដែល​វ៉ិចទ័រ​នៅ​ជាប់​គ្នា។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះពួកវាអាចដាក់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយប្រលេឡូក្រាមរបស់យើងក៏ "បត់" ទៅជាបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ តំបន់​ដូច​អ្នក​គណិត​វិទូ​និយាយ​ថា degenerateប្រលេឡូក្រាមគឺសូន្យ។ ដូចគ្នានឹងរូបមន្ត - ស៊ីនុសនៃសូន្យឬ 180 ដឺក្រេគឺស្មើនឹងសូន្យដែលមានន័យថាតំបន់គឺសូន្យ។

ដូច្នេះប្រសិនបើ និង . សូមចំណាំថាផលិតផលឈើឆ្កាងខ្លួនវាស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែក្នុងការអនុវត្តវាជារឿយៗត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ហើយសរសេរថាវាក៏ស្មើនឹងសូន្យផងដែរ។

ករណីពិសេសគឺជាផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ និងខ្លួនវាផ្ទាល់៖

ដោយប្រើផលិតផលឈើឆ្កាង អ្នកអាចពិនិត្យមើលភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ ហើយយើងក៏នឹងវិភាគបញ្ហានេះផងដែរ ក្នុងចំណោមបញ្ហាផ្សេងទៀត។

ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង វាអាចចាំបាច់ តារាងត្រីកោណមាត្រ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃស៊ីនុសពីវា។

តោះចាប់ផ្តើមភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ ១

ក) រកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រប្រសិនបើ

ខ) រកផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ if

ដំណោះស្រាយ៖ ទេ នេះមិនមែនជាការវាយអក្សរទេ ខ្ញុំបានបង្កើតទិន្នន័យដំបូងដោយចេតនាក្នុងធាតុលក្ខខណ្ឌដូចគ្នា។ ដោយសារតែការរចនានៃដំណោះស្រាយនឹងខុសគ្នា!

ក) តាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យស្វែងរក ប្រវែងវ៉ិចទ័រ (ផលិតផលវ៉ិចទ័រ) ។ យោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖

ចម្លើយ:

ដោយសារវាត្រូវបានសួរអំពីប្រវែងបន្ទាប់មកនៅក្នុងចម្លើយយើងបង្ហាញពីវិមាត្រ - ឯកតា។

ខ) តាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យស្វែងរក ការ៉េ parallelogram បង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ។ ផ្ទៃ​នៃ​ប្រលេឡូក្រាម​នេះ​គឺ​ជា​លេខ​ស្មើ​នឹង​ប្រវែង​ផលិតផល​ឈើ​ឆ្កាង៖

ចម្លើយ:

សូមចំណាំថានៅក្នុងចម្លើយអំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រមិនមានការនិយាយអ្វីទាំងអស់យើងត្រូវបានគេសួរអំពី តំបន់រូបភាពរៀងគ្នា វិមាត្រគឺជាឯកតាការ៉េ។

យើងតែងតែពិនិត្យមើលអ្វីដែលតម្រូវឱ្យត្រូវបានរកឃើញដោយលក្ខខណ្ឌ ហើយផ្អែកលើនេះ យើងបង្កើត ច្បាស់ចម្លើយ។ វាហាក់បីដូចជាអក្សរសាស្ត្រ ប៉ុន្តែមានអ្នកចេះអក្សរគ្រប់គ្រាន់ក្នុងចំណោមគ្រូ ហើយកិច្ចការដែលមានឱកាសល្អនឹងត្រូវបានប្រគល់ជូនវិញសម្រាប់ការពិនិត្យឡើងវិញ។ ទោះបីជានេះមិនមែនជា nitpick ដែលមានភាពតានតឹងជាពិសេស - ប្រសិនបើចម្លើយគឺមិនត្រឹមត្រូវនោះមនុស្សម្នាក់ទទួលបានចំណាប់អារម្មណ៍ថាមនុស្សនោះមិនយល់ពីរឿងសាមញ្ញនិង / ឬមិនបានចូលទៅក្នុងខ្លឹមសារនៃភារកិច្ច។ ពេល​នេះ​គួរ​តែ​ត្រូវ​បាន​រក្សា​ឱ្យ​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​ការ​គ្រប់​គ្រង​ជា​និច្ច ការ​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​ណា​មួយ​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​ថ្នាក់​ខ្ពស់ និង​មុខ​វិជ្ជា​ផ្សេង​ទៀត​ផង​ដែរ។

តើអក្សរធំ "en" ទៅណា? ជាគោលការណ៍ វាអាចត្រូវបានជាប់គាំងបន្ថែមទៅនឹងដំណោះស្រាយ ប៉ុន្តែដើម្បីកាត់បន្ថយកំណត់ត្រា ខ្ញុំមិនបានធ្វើទេ។ ខ្ញុំ​សង្ឃឹម​ថា​អ្នក​រាល់​គ្នា​យល់​ថា និង​ជា​ការ​កំណត់​នៃ​រឿង​ដូច​គ្នា។

ឧទាហរណ៍ដ៏ពេញនិយមសម្រាប់ដំណោះស្រាយធ្វើវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ២

រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​ដែល​សង់​លើ​វ៉ិចទ័រ if

រូបមន្ត​សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​តាម​រយៈ​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​មតិយោបល់​ចំពោះ​និយមន័យ។ ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

នៅក្នុងការអនុវត្ត, ភារកិច្ចគឺពិតជាជារឿងធម្មតាណាស់, ត្រីកោណអាចត្រូវបានធ្វើទារុណកម្ម។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងទៀត យើងត្រូវការ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រ

យើងបានពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃផលិតផលវ៉ិចទ័ររួចហើយ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំនឹងបញ្ចូលពួកវានៅក្នុងបញ្ជីនេះ។

សម្រាប់វ៉ិចទ័របំពាន និងលេខបំពាន លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមគឺពិត៖

1) នៅក្នុងប្រភពព័ត៌មានផ្សេងទៀត ធាតុនេះជាធម្មតាមិនត្រូវបានសម្គាល់នៅក្នុងលក្ខណៈសម្បត្តិនោះទេ ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះសូមឱ្យវាក្លាយជា។

2) - ទ្រព្យ​ក៏​បាន​ពិភាក្សា​ខាង​លើ​ដែរ ជួនកាល​គេ​ហៅ ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល. និយាយម្យ៉ាងទៀតលំដាប់នៃវ៉ិចទ័រមានសារៈសំខាន់។

3) - ការរួមបញ្ចូលគ្នាឬ សមាគមច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ថេរត្រូវបានយកចេញយ៉ាងងាយស្រួលចេញពីដែនកំណត់នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តាមពិតតើពួកគេកំពុងធ្វើអ្វីនៅទីនោះ?

4) - ការចែកចាយឬ ការចែកចាយច្បាប់ផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តង្កៀបបើកក៏មិនមានបញ្ហាដែរ។

ជាការបង្ហាញ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ខ្លីមួយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖តាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានទាមទារម្តងទៀតដើម្បីស្វែងរកប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ តោះគូររូបតូចរបស់យើង៖

(1) យោងតាមច្បាប់សមាគម យើងដកចំនួនថេរលើសពីដែនកំណត់នៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។

(2) យើងដកថេរចេញពីម៉ូឌុល ខណៈពេលដែលម៉ូឌុល "ញ៉ាំ" សញ្ញាដក។ ប្រវែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

(3) អ្វី​ដែល​បន្ទាប់​មក​គឺ​ច្បាស់​លាស់។

ចម្លើយ:

ដល់​ពេល​បោះ​អុស​ទៅ​លើ​ភ្លើង៖

ឧទាហរណ៍ 4

គណនាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលសង់លើវ៉ិចទ័រ ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖ រក​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត  . ការចាប់បានគឺថាវ៉ិចទ័រ "ce" និង "te" គឺពួកគេតំណាងឱ្យផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ។ ក្បួនដោះស្រាយនៅទីនេះគឺជាស្តង់ដារ ហើយត្រូវបានគេចងចាំខ្លះៗអំពីឧទាហរណ៍លេខ 3 និងទី 4 នៃមេរៀន។ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ . ចូរ​បំបែក​វា​ជា​បី​ជំហាន​ដើម្បី​ឲ្យ​កាន់​តែ​ច្បាស់៖

1) នៅជំហានដំបូង យើងបង្ហាញផលិតផលវ៉ិចទ័រតាមរយៈផលិតផលវ៉ិចទ័រ តាមពិត បង្ហាញវ៉ិចទ័រក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ. មិនទាន់​មាន​ពាក្យ​វែង​នៅឡើយ​ទេ​!

(1) យើងជំនួសកន្សោមនៃវ៉ិចទ័រ។

(2) ដោយប្រើច្បាប់ចែកចាយ យើងបើកតង្កៀបយោងទៅតាមក្បួនគុណនៃពហុនាម។

(3) ដោយប្រើច្បាប់សមាគម យើងដកចំនួនថេរទាំងអស់ចេញពីផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ជាមួយនឹងបទពិសោធន៍តិចតួច សកម្មភាពទី 2 និងទី 3 អាចត្រូវបានអនុវត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នា។

(4) ពាក្យ​ដំបូង​និង​ចុង​ក្រោយ​គឺ​ស្មើ​សូន្យ (សូន្យ​វ៉ិចទ័រ​) ដោយ​សារ​តែ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​រីករាយ​។ នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ទី​ពីរ យើង​ប្រើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​ប្រឆាំង​នឹង​ការ​ប្រែប្រួល​របស់​ផលិតផល​វ៉ិចទ័រ៖

(5) យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា។

ជាលទ្ធផល វ៉ិចទ័របានប្រែទៅជាត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈវ៉ិចទ័រ ដែលជាអ្វីដែលតម្រូវឱ្យសម្រេចបាន៖

2) នៅជំហានទីពីរយើងរកឃើញប្រវែងនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលយើងត្រូវការ។ សកម្មភាពនេះគឺស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍ទី 3៖

3) ស្វែងរកតំបន់នៃត្រីកោណដែលត្រូវការ:

ជំហានទី 2-3 នៃដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានរៀបចំក្នុងមួយជួរ។

ចម្លើយ:

បញ្ហាដែលបានពិចារណាគឺជារឿងធម្មតានៅក្នុងការធ្វើតេស្ត នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យមួយ៖

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ សូមមើលពីរបៀបដែលអ្នកយកចិត្តទុកដាក់នៅពេលសិក្សាឧទាហរណ៍ពីមុន ;-)

ឆ្លងកាត់ផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោណេ

ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal , ត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត:

រូបមន្តគឺសាមញ្ញណាស់៖ យើងសរសេរវ៉ិចទ័រកូអរដោណេនៅក្នុងបន្ទាត់កំពូលនៃកត្តាកំណត់ យើង "ខ្ចប់" កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងជួរទីពីរ និងទីបី ហើយយើងដាក់ នៅក្នុងលំដាប់តឹងរឹង- ទីមួយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "ve" បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ "double-ve" ។ ប្រសិនបើ​វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​គុណ​តាម​លំដាប់​ផ្សេង នោះ​បន្ទាត់​ក៏​គួរ​ត្រូវ​បាន​ប្តូរ៖

ឧទាហរណ៍ 10

ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រលំហខាងក្រោមមានលក្ខណៈជាប់គ្នាឬអត់៖
ក)
ខ)

ដំណោះស្រាយ៖ ការធ្វើតេស្តគឺផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយក្នុងមេរៀននេះ៖ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈជាប់គ្នា នោះផលិតផលឆ្លងកាត់របស់វាគឺសូន្យ (សូន្យវ៉ិចទ័រ)៖ .

ក) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នាទេ។

ខ) ស្វែងរកផលិតផលវ៉ិចទ័រ៖

ចម្លើយ: ក) មិនជាប់គ្នា, ខ)

នៅទីនេះ ប្រហែលជាព័ត៌មានមូលដ្ឋានទាំងអស់អំពីផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ។

ផ្នែកនេះនឹងមិនមានទំហំធំទេ ព្រោះមានបញ្ហាតិចតួចដែលផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានប្រើប្រាស់។ តាមពិតទៅ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងស្ថិតនៅលើនិយមន័យ អត្ថន័យធរណីមាត្រ និងរូបមន្តការងារមួយចំនួន។

ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺជាផលិតផលនៃវ៉ិចទ័របី:

នេះ​ជា​របៀប​ដែល​ពួកគេ​តម្រង់​ជួរ​ដូច​រថភ្លើង ហើយ​រង់ចាំ ពួកគេ​មិន​អាច​រង់ចាំ​រហូត​ដល់​គេ​គណនា​បាន​ទេ។

ជាដំបូង និយមន័យ និងរូបភាព៖

និយមន័យ៖ ផលិតផលចម្រុះ មិនមែន coplanarវ៉ិចទ័រ , យកតាមលំដាប់នេះ។, ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា បរិមាណនៃ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ បំពាក់ដោយសញ្ញា "+" ប្រសិនបើមូលដ្ឋានត្រឹមត្រូវ និងសញ្ញា "-" ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៅខាងឆ្វេង។

តោះធ្វើគំនូរ។ បន្ទាត់ដែលមើលមិនឃើញសម្រាប់យើងគឺត្រូវបានគូសដោយបន្ទាត់ចំនុច៖

ចូរយើងចូលទៅក្នុងនិយមន័យ៖

2) វ៉ិចទ័របានយក នៅក្នុងលំដាប់ជាក់លាក់មួយ។នោះគឺការផ្លាស់ប្តូរវ៉ិចទ័រនៅក្នុងផលិតផល ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាស្មានមិនទៅដោយគ្មានផលវិបាកទេ។

៣) មុននឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើអត្ថន័យធរណីមាត្រ ខ្ញុំនឹងកត់សម្គាល់ការពិតជាក់ស្តែង៖ ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រគឺ NUMBER:. នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អប់រំ ការរចនាអាចមានភាពខុសប្លែកគ្នាខ្លះ ខ្ញុំធ្លាប់កំណត់ផលិតផលចម្រុះតាមរយៈ និងលទ្ធផលនៃការគណនាដោយអក្សរ "pe"។

តាម​និយមន័យ ផលិតផលចម្រុះគឺជាបរិមាណនៃ parallelepipedបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ (រូបភាពត្រូវបានគូរដោយវ៉ិចទ័រក្រហម និងបន្ទាត់ខ្មៅ)។ នោះគឺចំនួនគឺស្មើនឹងបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណាំ ៖ គំនូរគឺ schematic ។

4) ចូរកុំរំខានម្តងទៀតជាមួយនឹងគំនិតនៃការតំរង់ទិសនៃមូលដ្ឋាននិងលំហ។ អត្ថន័យនៃផ្នែកចុងក្រោយគឺថាសញ្ញាដកអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅកម្រិតសំឡេង។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញ ផលិតផលចម្រុះអាចជាអវិជ្ជមាន: .

រូបមន្តសម្រាប់គណនាបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យ។