ទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីបំផុតមួយនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា សំណាង និងសំណាងក្នុងពេលតែមួយ។ ក្នុង​នេះ​វា​ស្រដៀង​នឹង​ទ្រឹស្តី​ទំនាក់ទំនង​ពិសេស​របស់​អែងស្តែង។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ស្ទើរតែគ្រប់គ្នាបានឮអ្វីមួយអំពីពួកគេ។ ម៉្យាងវិញទៀត នៅក្នុងការបកស្រាយដ៏ពេញនិយម ទ្រឹស្ដីរបស់អែងស្តែង ដូចដែលអ្នកបានដឹងស្រាប់ហើយ។ "និយាយថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងពិភពលោកគឺទាក់ទង". ហើយទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញរបស់ Gödel (តទៅនេះជាធម្មតា TGN) នៅក្នុងរូបមន្តប្រជាប្រិយឥតគិតថ្លៃស្មើៗគ្នា "បញ្ជាក់​ថា​មាន​អ្វី​ដែល​មិន​អាច​យល់​បាន​ចំពោះ​ចិត្ត​មនុស្ស". ដូច្នេះហើយ អ្នក​ខ្លះ​ព្យាយាម​សម្រប​វា​ជា​ការ​ប្រកែក​ប្រឆាំង​នឹង​សម្ភារៈនិយម ខណៈ​អ្នក​ខ្លះ​ទៀត ផ្ទុយ​ទៅ​វិញ បង្ហាញ​ដោយ​ជំនួយ​របស់​ខ្លួន​ថា​គ្មាន​ព្រះ។ វាជាការគួរឱ្យអស់សំណើចមិនត្រឹមតែដែលភាគីទាំងពីរមិនអាចត្រឹមត្រូវក្នុងពេលតែមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ថាទាំងភាគីម្ខាងទៀតមិនរំខានក្នុងការស្វែងយល់ថា តាមពិតទ្រឹស្តីបទនេះនិយាយអ្វីនោះទេ។

ដូច្នេះ អ្វី? ខាងក្រោមនេះខ្ញុំនឹងព្យាយាម "នៅលើម្រាមដៃ" ដើម្បីនិយាយអំពីវា។ ពិតណាស់ ការបង្ហាញរបស់ខ្ញុំនឹងមិនមានភាពម៉ត់ចត់ និងវិចារណញាណនោះទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងសុំឱ្យគណិតវិទូកុំវិនិច្ឆ័យខ្ញុំយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ វាអាចទៅរួចដែលថាសម្រាប់អ្នកដែលមិនមែនជាគណិតវិទូ (ដែលតាមពិតខ្ញុំក៏ជាកម្មសិទ្ធិផងដែរ) វានឹងមានអ្វីដែលថ្មី និងមានប្រយោជន៍នៅក្នុងអ្វីដែលត្រូវបានប្រាប់ខាងក្រោម។

តក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាពិតជាវិទ្យាសាស្ត្រដ៏ស្មុគស្មាញមួយ ហើយសំខាន់បំផុតគឺមិនសូវស្គាល់ទេ។ វាទាមទារឱ្យមានសមយុទ្ធយ៉ាងប្រុងប្រយ័ត្ន និងតឹងរ៉ឹង ដែលក្នុងនោះ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវច្រឡំការពិតដែលបានបង្ហាញឱ្យឃើញជាមួយនឹងការពិតដែលថា "វាច្បាស់ហើយ" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយខ្ញុំសង្ឃឹមថាដើម្បីយល់ពី "គ្រោងនៃភស្តុតាងនៃ TGN" ខាងក្រោមអ្នកអាននឹងត្រូវការចំនេះដឹងនៃគណិតវិទ្យាសាលា / វិទ្យាសាស្រ្តកុំព្យូទ័រជំនាញគិតឡូជីខលនិង 15-20 នាទីនៃពេលវេលា។

ការធ្វើឱ្យសាមញ្ញខ្លះ TGN អះអាងថានៅក្នុងភាសាស្មុគស្មាញគ្រប់គ្រាន់មានសំណើដែលមិនអាចពន្យល់បាន។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងឃ្លានេះ ស្ទើរតែគ្រប់ពាក្យទាំងអស់ត្រូវការការពន្យល់។

ចូរចាប់ផ្តើមដោយព្យាយាមរកឱ្យឃើញនូវអ្វីដែលជាភស្តុតាង។ សូមលើកយកបញ្ហាសាលាខ្លះៗខាងនព្វន្ធ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមឲ្យវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ភាពត្រឹមត្រូវនៃរូបមន្តមិនស្មុគ្រស្មាញខាងក្រោម៖ "" (ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថានិមិត្តសញ្ញាត្រូវបានអាន "សម្រាប់ណាមួយ" ហើយត្រូវបានគេហៅថា "បរិមាណសកល") ។ វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ និយាយដូចនេះ៖

ការផ្លាស់ប្តូរពីរូបមន្តមួយទៅរូបមន្តមួយទៀតកើតឡើងដោយយោងទៅតាមច្បាប់ល្បីមួយចំនួន។ ការផ្លាស់ប្តូរពីរូបមន្តទី 4 ដល់លេខ 5 បានកើតឡើង ពីព្រោះលេខនីមួយៗគឺស្មើនឹងខ្លួនវា - នេះគឺជា axiom នៃនព្វន្ធ។ ហើយនីតិវិធីទាំងមូលនៃការបញ្ជាក់ ដូច្នេះ បកប្រែរូបមន្តទៅជាតម្លៃប៊ូលីន TRUE ។ លទ្ធផលអាចជា FALSE ប្រសិនបើយើងបដិសេធរូបមន្តមួយចំនួន។ ក្នុង​ករណី​នេះ យើង​នឹង​បញ្ជាក់​ពី​ការ​បដិសេធ​របស់​ខ្លួន។ វាអាចទៅរួចក្នុងការស្រមៃមើលកម្មវិធីមួយ (ហើយកម្មវិធីបែបនេះពិតជាត្រូវបានសរសេរ) ដែលនឹងបង្ហាញពីសំណើបែបនេះ (និងស្មុគស្មាញជាងនេះ) ដោយគ្មានការអន្តរាគមន៍ពីមនុស្ស។

សូមបញ្ជាក់រឿងដដែលនេះជាផ្លូវការបន្តិច។ ឧបមាថា​យើង​មាន​សំណុំ​មួយ​ដែល​មាន​ខ្សែ​អក្សរ​នៃ​អក្ខរក្រម​មួយ​ចំនួន ហើយ​មាន​ក្បួន​ដែល​សំណុំ​រង​នៃ​អ្វី​ដែល​គេ​ហៅថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍- នោះ​គឺ​ឃ្លា​ដែល​មាន​ន័យ​តាម​វេយ្យាករណ៍ ដែល​ពាក្យ​នីមួយៗ​ពិត ឬ​មិន​ពិត។ យើង​អាច​និយាយ​បាន​ថា​មាន​អនុគមន៍​មួយ​ដែល​ផ្គូផ្គង​សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ពី​តម្លៃ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​តម្លៃ​ពីរ៖ ពិត ឬ​មិន​ពិត (នោះ​គឺ​ផែនទី​ពួកវា​ទៅ​សំណុំ​ប៊ូលីន​នៃ​ធាតុ​ពីរ)។

ចូរហៅគូបែបនេះ - សំណុំនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍និងមុខងារពីទៅ - "ភាសានៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍". ចំណាំថាក្នុងន័យប្រចាំថ្ងៃ គោលគំនិតនៃភាសាគឺទូលំទូលាយជាង។ ឧទាហរណ៍ឃ្លារុស្ស៊ី "អញ្ចឹងមកនេះ!"មិនពិត និងមិនពិត ពោលគឺតាមទស្សនៈនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា វាមិនមែនជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទេ។

សម្រាប់អ្វីដែលបន្ទាប់ យើងត្រូវការសញ្ញាណនៃក្បួនដោះស្រាយមួយ។ ខ្ញុំនឹងមិនផ្តល់និយមន័យជាផ្លូវការនៅទីនេះទេ - វានឹងនាំយើងទៅឆ្ងាយ។ ខ្ញុំនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនខ្ញុំចំពោះអ្នកក្រៅផ្លូវការ៖ "ក្បួនដោះស្រាយ"- លំដាប់នៃសេចក្តីណែនាំដែលមិនច្បាស់លាស់នេះ ("កម្មវិធី") ដែល ក្នុងចំនួនជំហានកំណត់បំប្លែងទិន្នន័យបញ្ចូលទៅក្នុងទិន្នផល។ អក្សរទ្រេតគឺមានសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋាន - ប្រសិនបើកម្មវិធីត្រូវបានព្យួរនៅលើទិន្នន័យដំបូងមួយចំនួន នោះវាមិនពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយនោះទេ។ សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ និងក្នុងការអនុវត្តន៍ចំពោះករណីរបស់យើង អ្នកអានអាចពិចារណាថា algorithm គឺជាកម្មវិធីដែលសរសេរជាភាសា programming ណាមួយដែលគាត់ស្គាល់ ដែលសម្រាប់ទិន្នន័យបញ្ចូលណាមួយពី class ណាមួយត្រូវបានធានាថានឹងបញ្ចប់ការងាររបស់វាជាមួយនឹងលទ្ធផល Boolean។

ចូរយើងសួរខ្លួនយើងថា តើមាន “ក្បួនដោះស្រាយ” សម្រាប់រាល់មុខងារ (ឬនិយាយឱ្យខ្លី "កាត់") ស្មើនឹងមុខងារនេះ មានន័យថា បកប្រែ statement នីមួយៗទៅជាតម្លៃ boolean ដូចគ្នា? ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត សំណួរដូចគ្នាអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម៖ គឺគ្រប់មុខងារលើសំណុំនៃសំណើ អាចគណនាបាន។? ដូចដែលអ្នកអាចទាយបានរួចហើយ វាធ្វើតាមពីសុពលភាពនៃ TGN ថាទេ មិនមែនទេ - មានមុខងារដែលមិនអាចគណនាបាននៃប្រភេទនេះ។ ម្យ៉ាង​វិញ​ទៀត មិនមែន​រាល់​សេចក្តី​ថ្លែងការណ៍​ពិត​អាច​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​នោះ​ទេ។

វាប្រហែលជាល្អណាស់ដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះនឹងធ្វើឱ្យអ្នកមានការតវ៉ាផ្ទៃក្នុង។ នេះគឺដោយសារតែកាលៈទេសៈមួយចំនួន។ ទីមួយ នៅពេលដែលយើងត្រូវបានបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅសាលា ពេលខ្លះមានការយល់ឃើញមិនពិតដែលឃ្លាថា "ទ្រឹស្តីបទគឺពិត" ហើយ "វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់ ឬផ្ទៀងផ្ទាត់ទ្រឹស្តីបទ" គឺស្ទើរតែដូចគ្នាបេះបិទ។ ប៉ុន្តែ​បើ​គិត​ទៅ​វា​មិន​ច្បាស់​ទាល់​តែ​សោះ។ ទ្រឹស្ដីខ្លះត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងសាមញ្ញ (ឧទាហរណ៍ដោយការរាប់បញ្ចូលជម្រើសមួយចំនួនតូច) ហើយខ្លះទៀតពិបាកណាស់។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាទ្រឹស្តីបទចុងក្រោយដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Fermat៖

ភ័ស្តុតាងដែលត្រូវបានរកឃើញត្រឹមតែបីសតវត្សកន្លះបន្ទាប់ពីការបង្កើតដំបូង (ហើយវានៅឆ្ងាយពីបឋមសិក្សា) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែករវាងការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ និងលទ្ធភាពដែលអាចកើតមានរបស់វា។ វាមិនធ្វើតាមពីគ្រប់ទិសទីដែលមិនមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត ប៉ុន្តែមិនអាចបញ្ជាក់បាន (និងមិនអាចផ្ទៀងផ្ទាត់បានពេញលេញ)។

អាគុយម៉ង់វិចារណញាណទីពីរប្រឆាំងនឹង TGN គឺកាន់តែច្បាស់។ ឧបមាថាយើងមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមិនអាចប្រកែកបានមួយចំនួន (នៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃសេចក្តីថ្លែងការកាត់កងនេះ)។ តើអ្វីរារាំងយើងពីការទទួលយកវាជា axiom ថ្មី? ដូច្នេះ យើងនឹងធ្វើឱ្យប្រព័ន្ធភស្តុតាងរបស់យើងស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែនេះមិនគួរឱ្យភ័យខ្លាចទេ។ អាគុយម៉ង់នេះនឹងត្រឹមត្រូវឥតខ្ចោះ ប្រសិនបើមានចំនួនកំណត់នៃសំណើដែលមិនអាចពន្យល់បាន។ នៅក្នុងការអនុវត្ត កត្តាខាងក្រោមអាចកើតឡើង - បន្ទាប់ពីប្រកាស axiom ថ្មី អ្នកនឹងជំពប់ដួលលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមិនអាចប្រកែកបាន។ យកវាជា axiom មួយផ្សេងទៀត - អ្នកនឹងជំពប់ដួលលើទីបី។ ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានកំណត់។ ពួកគេនិយាយថា deductica នឹងស្នាក់នៅ មិនពេញលេញ. យើងក៏អាចចាត់វិធានការយ៉ាងម៉ឺងម៉ាត់ផងដែរ ដើម្បីឱ្យក្បួនដោះស្រាយបញ្ចប់បន្ទាប់ពីចំនួនកំណត់នៃជំហានជាមួយនឹងលទ្ធផលមួយចំនួនសម្រាប់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃភាសាណាមួយ។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានោះគាត់នឹងចាប់ផ្តើមកុហក - នាំទៅរកការពិតសម្រាប់សេចក្តីថ្លែងមិនត្រឹមត្រូវឬកុហក - សម្រាប់អ្នកស្មោះត្រង់។ ក្នុងករណីបែបនេះវាត្រូវបានគេនិយាយថាការដក ផ្ទុយ. ដូច្នេះការបង្កើត TGN មួយបន្ថែមទៀតស្តាប់ទៅដូចនេះ: "មានភាសាប្រូបាបដែលការកាត់ជាប់គ្នាពេញលេញគឺមិនអាចទៅរួចទេ" - ដូច្នេះឈ្មោះនៃទ្រឹស្តីបទ។

ជួនកាលគេហៅថា "ទ្រឹស្តីបទ Gödel" គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលថាទ្រឹស្ដីណាមួយមានបញ្ហាដែលមិនអាចដោះស្រាយបាននៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃទ្រឹស្តីខ្លួនវា ហើយទាមទារឱ្យមានការធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈទូទៅរបស់វា។ ក្នុងន័យមួយនេះគឺជាការពិត បើទោះបីជាទម្រង់បែបបទបែបនេះបិទបាំងបញ្ហាជាជាងបញ្ជាក់វាក៏ដោយ។

ខ្ញុំក៏ចំណាំថាប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីមុខងារធម្មតាដែលកំណត់លេខពិតទៅវានោះ "មិនអាចគណនាបាន" នៃមុខងារនឹងមិនធ្វើឱ្យនរណាម្នាក់ភ្ញាក់ផ្អើលទេ (គ្រាន់តែកុំច្រឡំ "មុខងារដែលអាចគណនាបាន" និង "លេខដែលអាចគណនាបាន" ។ - ទាំងនេះគឺជារឿងផ្សេងគ្នា) ។ សិស្សសាលាណាក៏ដឹងដែរ និយាយថាក្នុងករណីមុខងារមួយ អ្នកត្រូវតែមានសំណាងខ្លាំងជាមួយអាគុយម៉ង់ ដូច្នេះដំណើរការនៃការគណនាតំណាងទសភាគពិតប្រាកដនៃតម្លៃនៃអនុគមន៍នេះបញ្ចប់ក្នុងចំនួនជំហានកំណត់។ ហើយភាគច្រើនទំនងជាអ្នកនឹងគណនាវាដោយប្រើស៊េរីគ្មានកំណត់ ហើយការគណនានេះនឹងមិននាំទៅរកលទ្ធផលពិតប្រាកដនោះទេ ទោះបីជាវាអាចមកជិតវាក៏ដោយ - ដោយសារតែតម្លៃនៃស៊ីនុសនៃអាគុយម៉ង់ភាគច្រើនគឺមិនសមហេតុផល។ TGN ប្រាប់យើងយ៉ាងសាមញ្ញថា សូម្បីតែក្នុងចំនោមអនុគមន៍ដែលមានអាគុយម៉ង់ជាខ្សែអក្សរ ហើយតម្លៃរបស់វាគឺសូន្យ ឬមួយ មុខងារមិនអាចគណនាបាន ទោះបីជាត្រូវបានរៀបចំតាមរបៀបខុសគ្នាទាំងស្រុងក៏ដោយ ក៏មានដែរ។

សម្រាប់អ្វីខាងក្រោមនេះ យើងនឹងរៀបរាប់អំពី "ភាសានៃនព្វន្ធផ្លូវការ"។ ចូរយើងពិចារណាថ្នាក់នៃខ្សែអក្សរនៃប្រវែងកំណត់ ដែលមានលេខអារ៉ាប់ អថេរ (អក្សរនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង) យកតម្លៃធម្មជាតិ ដកឃ្លា សញ្ញានៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ សមភាព និងវិសមភាព បរិមាណ ("មាន") និង ("សម្រាប់ any”) និង, ប្រហែលជា, និមិត្តសញ្ញាផ្សេងទៀតមួយចំនួន (ចំនួនពិតប្រាកដ និងសមាសភាពរបស់ពួកគេគឺមិនសំខាន់សម្រាប់យើង)។ វាច្បាស់ណាស់ថាមិនមែនគ្រប់បន្ទាត់បែបនេះមានអត្ថន័យទេ (ឧទាហរណ៍ "" គឺសមហេតុសមផល)។ សំណុំរងនៃកន្សោមដែលមានអត្ថន័យពីថ្នាក់នេះ (នោះគឺ ខ្សែអក្សរដែលពិត ឬមិនពិតក្នុងន័យនព្វន្ធធម្មតា) នឹងជាសំណុំនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើង។

ឧទាហរណ៍នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នព្វន្ធផ្លូវការ៖

ល។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងហៅ "រូបមន្តជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រឥតគិតថ្លៃ" (FSP) ខ្សែអក្សរដែលក្លាយជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ប្រសិនបើលេខធម្មជាតិត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងវាជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនេះ។ ឧទាហរណ៍នៃ FSP (ជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ):

ល។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត FSPs គឺស្មើនឹងមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិជាមួយនឹងតម្លៃប៊ូលីន។

សម្គាល់សំណុំនៃ FSPs ទាំងអស់ដោយអក្សរ។ វាច្បាស់ណាស់ថាវាអាចត្រូវបានបញ្ជាទិញ (ឧទាហរណ៍ដំបូងយើងសរសេររូបមន្តមួយអក្សរតាមលំដាប់អក្ខរក្រមបន្ទាប់មករូបមន្តពីរអក្សរ។ ដូច្នេះ FSP ណាមួយត្រូវនឹងលេខរបស់វានៅក្នុងបញ្ជីដែលបានបញ្ជាទិញ ហើយយើងនឹងសម្គាល់វា។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងងាកទៅមើលការគូសវាសនៃភស្តុតាងនៃ TGN នៅក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

• សម្រាប់ភាសាប្រូបាបនៃនព្វន្ធផ្លូវការ មិនមានការកាត់ស្របទាំងស្រុងនោះទេ។

យើងនឹងបញ្ជាក់ដោយភាពផ្ទុយគ្នា។

ដូច្នេះ​សូម​សន្មត​ថា​ការ​ដក​បែប​នេះ​មាន។ ចូរពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយជំនួយខាងក្រោម ដែលកំណត់តម្លៃប៊ូលីនទៅជាលេខធម្មជាតិដូចខាងក្រោម៖

និយាយឱ្យសាមញ្ញ ក្បួនដោះស្រាយផ្តល់លទ្ធផលជាតម្លៃពិត ប្រសិនបើលទ្ធផលនៃការជំនួសទៅក្នុង FSP លេខរបស់វានៅក្នុងបញ្ជីរបស់យើងផ្តល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍មិនពិត។

នៅទីនេះយើងមកកន្លែងតែមួយគត់ដែលខ្ញុំនឹងសុំឱ្យអ្នកអានយកពាក្យរបស់ខ្ញុំសម្រាប់វា។

ជាក់ស្តែង នៅក្រោមការសន្មត់ខាងលើ FSP ណាមួយពីអាចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងក្បួនដោះស្រាយដែលមានលេខធម្មជាតិនៅការបញ្ចូល និងតម្លៃប៊ូលីននៅទិន្នផល។ មិនសូវច្បាស់គឺផ្ទុយពីនេះ៖

ភ័ស្តុតាងនៃលេម៉ានេះនឹងតម្រូវឱ្យមានយ៉ាងហោចណាស់ជាផ្លូវការមួយ មិនមែនជាវិចារណញាណនិយមន័យនៃសញ្ញាណនៃក្បួនដោះស្រាយមួយ។ ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា បើ​អ្នក​គិត​បន្តិច​ទៅ វា​ពិត​ជា​អាច​ជឿ​បាន។ ជាការពិតណាស់ ក្បួនដោះស្រាយត្រូវបានសរសេរជាភាសា algorithmic ក្នុងចំណោមនោះ មានភាសាកម្រនិងអសកម្ម ដូចជាឧទាហរណ៍ Brainfuck ដែលមានពាក្យប្រាំបីតួអក្សរ ដែលក្នុងនោះ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្បួនដោះស្រាយណាមួយអាចត្រូវបានអនុវត្ត។ វានឹងចម្លែកប្រសិនបើភាសាដែលសម្បូរបែបនៃរូបមន្តនព្វន្ធផ្លូវការដែលយើងបានពិពណ៌នានឹងប្រែទៅជាអន់ជាង - ទោះបីជាមានការសង្ស័យក៏ដោយ វាមិនស័ក្តិសមបំផុតសម្រាប់ការសរសេរកម្មវិធីធម្មតា។

បន្ទាប់​ពី​ឆ្លង​កាត់​កន្លែង​រអិល​នេះ​ហើយ យើង​ប្រញាប់​ទៅ​ដល់​ទី​បញ្ចប់។

ដូច្នេះ យើងបានពិពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយខាងលើ។ យោងទៅតាមលេម៉ាដែលខ្ញុំបានសុំឱ្យអ្នកជឿ មាន FSP ដែលសមមូល។ វាមានលេខមួយចំនួននៅក្នុងបញ្ជី - តោះនិយាយ។ ចូរយើងសួរខ្លួនយើងថា តើមានចំណុចអ្វី? សូមឱ្យវាក្លាយជាការពិត។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមការស្ថាបនានៃក្បួនដោះស្រាយ (ហើយដូច្នេះមុខងារស្មើនឹងវា) នេះមានន័យថាលទ្ធផលនៃការជំនួសលេខទៅក្នុងអនុគមន៍គឺ FALSE ។ ផ្ទុយ​ត្រូវ​បាន​ពិនិត្យ​តាម​វិធី​ដូច​គ្នា៖ ពី FALSE តាម​ពិត។ យើង​បាន​ឈាន​ដល់​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា ដែល​មាន​ន័យ​ថា​ការ​សន្មត​ដើម​ខុស។ ដូច្នេះ សម្រាប់លេខនព្វន្ធផ្លូវការ មិនមានការកាត់ស្របទាំងស្រុងនោះទេ។ Q.E.D.

នៅទីនេះវាជាការសមរម្យក្នុងការរំលឹក Epimenides (សូមមើលរូបបញ្ឈរនៅក្នុងចំណងជើង) ដែលដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថា Cretans ទាំងអស់គឺជាអ្នកកុហកដោយខ្លួនគាត់ជា Cretan ។ នៅក្នុងរូបមន្តសង្ខេប សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់គាត់ (ដែលគេស្គាល់ថាជា "ភូតកុហក") អាចត្រូវបានបង្កើតជា: "ខ្ញុំកំពុងនិយាយកុហក" ។ វាច្បាស់ណាស់ថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះ ខ្លួនវាផ្ទាល់ប្រកាសពីភាពមិនពិត ដែលយើងបានប្រើសម្រាប់ភស្តុតាង។

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់កត់សម្គាល់ថា TGN មិនទាមទារអ្វីដែលគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេ។ យ៉ាងណាមិញ មនុស្សគ្រប់រូបត្រូវបានគេទម្លាប់ធ្វើការកត់សំគាល់ជាយូរមកហើយថា មិនមែនលេខទាំងអស់អាចត្រូវបានតំណាងជាសមាមាត្រនៃចំនួនគត់ពីរទេ (សូមចាំថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះមានភ័ស្តុតាងដ៏ប្រណិតដែលមានអាយុកាលជាងពីរពាន់ឆ្នាំ?) ហើយឫសនៃពហុនាមដែលមានមេគុណសនិទានភាពក៏មិនមែនជាលេខទាំងអស់ដែរ។ ហើយឥឡូវនេះវាបានប្រែក្លាយថាមិនមែនមុខងារទាំងអស់នៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិអាចគណនាបានទេ។

គំនូសព្រាងនៃភ័ស្តុតាងដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺសម្រាប់លេខនព្វន្ធផ្លូវការ ប៉ុន្តែវាមិនពិបាកក្នុងការមើលឃើញថា THN អនុវត្តចំពោះភាសា propositional ជាច្រើនទៀតផងដែរ។ ជាការពិតណាស់ មិនមែនគ្រប់ភាសាទាំងអស់សុទ្ធតែដូចនោះទេ។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងកំណត់ភាសាដូចនេះ៖

• "ឃ្លាណាមួយជាភាសាចិនគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត ប្រសិនបើវាមាននៅក្នុងសៀវភៅសម្រង់របស់សមមិត្តម៉ៅសេទុង ហើយវាមិនត្រឹមត្រូវទេ ប្រសិនបើមិនមានផ្ទុក"។

បន្ទាប់មក ក្បួនដោះស្រាយការបញ្ជាក់ពេញលេញ និងជាប់លាប់ដែលត្រូវគ្នា (វាអាចត្រូវបានគេហៅថា "ការដកយកចិត្តសាស្ត្រ") មើលទៅដូចនេះ៖

• “ត្រឡប់​តាម​សៀវភៅ​សម្រង់​របស់​សមមិត្ត ម៉ៅសេទុង រហូត​ដល់​អ្នក​រក​ឃើញ​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ដែល​អ្នក​កំពុង​ស្វែងរក។ បើ​រក​ឃើញ​ថា​ពិត​ហើយ បើ​សៀវភៅ​សម្រង់​ចប់​ហើយ រក​មិន​ឃើញ​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​នោះ​ជា​រឿង​មិន​ពិត។

នៅទីនេះយើងត្រូវបានរក្សាទុកដោយការពិតដែលថាការដកស្រង់ណាមួយគឺច្បាស់ជាកំណត់ ដូច្នេះដំណើរការនៃការ "បញ្ជាក់" នឹងបញ្ចប់ដោយជៀសមិនរួច។ ដូច្នេះ TGN មិនអាចអនុវត្តបានចំពោះភាសានៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ dogmatic ។ ប៉ុន្តែយើងកំពុងនិយាយអំពីភាសាស្មុគស្មាញមែនទេ?

គំនិតនៃភស្តុតាងគឺដើម្បីបង្កើតការបញ្ចេញមតិដែលនឹងផ្តល់សក្ខីកម្មដល់វា។

ភាពមិនអាចប្រកែកបាន។ ការបង្កើតនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តជាបីជំហាន៖

ដំណាក់កាលដំបូងគឺការបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងរវាងនព្វន្ធផ្លូវការនិងសំណុំនៃចំនួនគត់ (gedelization);

ដំណាក់​កាល​ទី​ពីរ​គឺ​ការ​សាង​សង់​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​ពិសេស​មួយ​ចំនួន​ដែល​វា​មិន​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹង​ថា​តើ​វា​ជា​ទ្រឹស្ដី​នៃ​លេខ​នព្វន្ធ​ផ្លូវការ​ឬ​មិន​។

ដំណាក់កាលទីបីគឺការជំនួសដោយ x នៃចំនួនគត់ជាក់លាក់ដែលភ្ជាប់ជាមួយខ្លួនវា ពោលគឺការជំនួសដោយលេខទាំងនេះនៃចំនួនទាំងអស់។

ដំណាក់កាលដំបូង។ Godelization នៃនព្វន្ធផ្លូវការ

នព្វន្ធ​ផ្លូវការ​អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​លេខ​នព្វន្ធ (ឧ. Gaedelized) តាម​វិធី​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ ទ្រឹស្ដី​នីមួយៗ​របស់​វា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ចំនួន​ជាក់លាក់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយសារលេខណាមួយក៏ជាទ្រឹស្តីបទ នោះទ្រឹស្តីបទណាមួយអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថា ជាទ្រឹស្តីបទនៃនព្វន្ធផ្លូវការ ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត ជាទ្រឹស្តីបទលើសំណុំនៃទ្រឹស្តីបទនៃនព្វន្ធផ្លូវការ ពោលគឺដូចជា metatheorem ដែលត្រូវគ្នានឹងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទជាក់លាក់មួយ។

ដូច្នេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធនព្វន្ធផ្លូវការក៏មានប្រព័ន្ធមេតារបស់វាដែរ។

ឥឡូវនេះ យើងបង្ហាញលទ្ធផលរបស់យើងកាន់តែច្បាស់ និងលម្អិត។

ជាដំបូង យើងអាចភ្ជាប់ជាមួយនិមិត្តសញ្ញានិមួយៗ និងលេខនព្វន្ធផ្លូវការនូវការរចនាកូដពិសេស ដែលហៅថា ក្នុងករណីនេះលេខ Gödel

ទីពីរ យើងកំណត់ទៅលំដាប់នីមួយៗនៃតួអក្សរដែលមានលេខ Gödel ដូចគ្នា ដោយប្រើមុខងារតែងនិពន្ធមួយចំនួន។ ទុកកន្លែងណាជាលំដាប់នៃតួអក្សរដែលបង្កើត។

ទីបី (ហើយនេះគឺចាំបាច់) ភស្តុតាងនីមួយៗនៃលំដាប់នៃ axioms និងច្បាប់ជំនួស (ឬច្បាប់ជំនួស) ត្រូវបានផ្តល់លេខដែលតំណាងឱ្យលំដាប់នៃទ្រឹស្តីបទដែលប្រើក្នុងភស្តុតាង។

ដូច្នេះ ភស្តុតាងណាមួយនៅក្នុងនព្វន្ធផ្លូវការ វាមានលេខជាក់លាក់មួយ - លេខ Gödel របស់វា។ ហេតុផលណាមួយនៃ arimetic ផ្លូវការត្រូវបានបំលែងទៅជាការគណនាលើសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ។

ដូច្នេះជំនួសឱ្យការចាត់ចែងនិមិត្តសញ្ញា ទ្រឹស្តីបទ ភស្តុតាង អ្នកអាចប្រើ

ការគណនាលើសំណុំនៃចំនួនគត់។ កន្សោមណាមួយដូចជាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖ អាចបញ្ជាក់បានក្នុងនព្វន្ធផ្លូវការ" ឥឡូវនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនជាក់លាក់ដែលយើងនឹងសម្គាល់ថាជា

ចូរយើងបង្កើតសំណើដូចខាងក្រោម។

មេតានព្វន្ធផ្លូវការមាននៅក្នុងសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ ហើយវាមាននៅក្នុងការបកស្រាយនៃលេខនព្វន្ធផ្លូវការ។

ស្ថានភាពនេះជាមួយនឹងលេខនព្វន្ធផ្លូវការប្រហាក់ប្រហែលនឹងស្ថានភាពជាមួយភាសាធម្មជាតិ៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់ គ្មានអ្វីរារាំងយើងពីការប្រើប្រាស់វាដើម្បីបង្កើតគោលគំនិត និងច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងវានោះទេ។

ជម្រើសត្រឹមត្រូវនៃមុខងារអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ធ្វើការផ្លាស់ប្តូរមិនច្បាស់លាស់ពី A ទៅ ពោលគឺ ផ្តល់លេខពីរផ្សេងគ្នាទៅជាភស្តុតាងពីរផ្សេងគ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ មនុស្សម្នាក់អាចជ្រើសរើសលេខ Gödel តាមរបៀបដែលនិមិត្តសញ្ញានីមួយៗនៃអក្ខរក្រមនៃលេខនព្វន្ធផ្លូវការមានលេខបឋមរៀងៗខ្លួន ដូចដែលបានបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ក្នុងតារាង។ ៣.២.

តារាង 3.2

រូបមន្តនីមួយៗ (មាននិមិត្តសញ្ញាប្រែប្រួលពីលេខ 1 ដល់វេនត្រូវបានអ៊ិនកូដដោយលំដាប់ដែលមានលេខបឋមទីមួយ ពោលគឺលេខ

តើលេខបឋមនៅឯណា។

នៅក្នុងវេន ភស្តុតាង ពោលគឺ លំដាប់នៃរូបមន្តនឹងត្រូវបានអ៊ិនកូដតាមរបៀបស្រដៀងគ្នាដោយលេខ

ហើយច្រាសមកវិញ ដោយសារវិធីសាស្រ្តនៃការបង្កើតលេខនេះ វាអាចទៅរួច ដោយចាប់ផ្តើមពីចំនួនជាក់លាក់ ដោយការបំប្លែងវាទៅជាកត្តាសំខាន់ៗ (ដោយសារតែភាពខុសប្លែកគ្នានៃការបំបែកលេខធម្មជាតិទៅជាផលិតផលនៃអំណាចនៃលេខបឋម) ដើម្បីត្រឡប់ជាពីរ។ ជំហាន​ទៅ​និទស្សន្ត ឧ. ទៅ​និមិត្ត​សញ្ញា​បុព្វកាល នព្វន្ធ​ផ្លូវការ។ ជាការពិតណាស់ នេះភាគច្រើនមានសារៈសំខាន់ខាងទ្រឹស្តី ព្រោះថាលេខឆាប់ធំពេក។

ដូច្នេះពួកគេអាចត្រូវបានរៀបចំ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគួរកត់សំគាល់ថាលទ្ធភាពជាមូលដ្ឋាននៃប្រតិបត្តិការនេះគឺចាំបាច់។

ឧទាហរណ៍។ អនុញ្ញាតឱ្យលេខ T ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលត្រូវគ្នានឹងភស្តុតាងមួយចំនួន និងតំណាងឱ្យផលនៃលេខបឋម៖

ការរលាយនេះមានន័យថាភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទមានពីរដំណាក់កាល៖ មួយត្រូវនឹងលេខ 1981027125 253 និងមួយទៀតទៅលេខ 1981027125 211។ ការរលួយម្តងទៀតទៅជាកត្តាបឋមនីមួយៗនៃលេខទាំងនេះ យើងទទួលបាន

ពីតារាងសរសេរកូដអក្ខរក្រមផ្លូវការ (តារាង 3.2) យើងរកឃើញថាលេខ Gödel របស់យើងសម្រាប់លេខទាំងពីរនេះ

នឹង​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​ភស្តុតាង​ខាង​ក្រោម៖

រូបមន្តធ្វើតាមរូបមន្ត

ដូច្នេះនៅក្នុង metaarithmetic តម្លៃនៃលេខដើមគឺទទួលបានពីលេខនព្វន្ធផ្លូវការ។

ដំណាក់កាលទីពីរ។ Lemma របស់ Gödel

រាល់លេខ T ដែលភ្ជាប់ជាមួយភស្តុតាងត្រូវគ្នាទៅនឹងទ្រឹស្តីបទដែលអាចបញ្ជាក់បានក្នុងលេខនព្វន្ធផ្លូវការ។ "Gaudelized" នព្វន្ធផ្លូវការត្រូវបានគេហៅថានព្វន្ធផ្លូវការ។ ដោយសារ axiom នីមួយៗ និងក្បួននីមួយៗនៃនព្វន្ធផ្លូវការនព្វន្ធត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រតិបត្តិការនព្វន្ធមួយចំនួន បន្ទាប់មក ដោយមានជំនួយពីការត្រួតពិនិត្យជាប្រព័ន្ធ គេអាចកំណត់ថាតើលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ T ត្រូវនឹងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទមួយចំនួននៃលេខ T ហើយក្នុងករណីនេះទម្រង់ លេខគូ។ កន្សោម​និង​ត្រូវ​បាន​ផ្សំ​គ្នា” តំណាង​ឱ្យ​នៅ​ក្នុង​នព្វន្ធ​ផ្លូវការ​បំផុត​នព្វន្ធ​។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា​មាន​លេខ Gödel ដែល​ធ្វើ​ជា​លេខ​ខ្ទង់​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​នេះ។

យើងបានមកដល់ចំណុចសំខាន់នៃភស្តុតាងរបស់Gödel។ អនុញ្ញាតឱ្យ A ជាកន្សោមនៃនព្វន្ធផ្លូវការដែលបានកំណត់នព្វន្ធដែលមានអថេរឥតគិតថ្លៃមួយចំនួន។ ជំនួសឱ្យវា អ្នកអាចធ្វើការជំនួសពាក្យមួយចំនួន។ ជាពិសេស វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជំនួសកន្សោម A ដោយកន្សោម A ខ្លួនវាផ្ទាល់។ ក្នុងករណីនេះ កន្សោមលេខ A ក្នុងពេលដំណាលគ្នាអនុវត្តតួនាទីពីរផ្សេងគ្នា (សូមមើលសំណង់ខាងលើ

Cantor និង Richard): វាគឺជាការបញ្ចេញមតិពិតសម្រាប់ការជំនួស និងពាក្យលទ្ធផល។ ការជំនួសពិសេសនេះនឹងត្រូវបានតំណាងថាជា ដូច្នេះរូបមន្តមានន័យថាលេខគឺជាលេខGödelដែលទទួលបានដោយការជំនួស - ទៅកន្សោម A:

បន្ទាប់មក Gödel បង្កើតកន្សោមមួយ (ដែលវាមិនត្រូវបានគេដឹងថាតើវាជាទ្រឹស្តីបទ ឬមិនមែនជាទ្រឹស្តីបទ) ដែលគាត់ណែនាំការជំនួសនេះ។ ការបញ្ចេញមតិមើលទៅដូចនេះ៖

ដំណាក់កាលទីបី។ ការជំនួសចុងក្រោយ

នៅក្នុងលេខនព្វន្ធផ្លូវការ កន្សោមនេះត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់លេខ។ អនុញ្ញាតឱ្យ E ជាលេខ Gödel របស់វា។ ដោយសារកន្សោមមានអថេរឥតគិតថ្លៃ យើងមានសិទ្ធិអនុវត្តការជំនួស - ជំនួសលេខ E និងតំណាង - ជំនួស E:

យើងសម្គាល់កន្សោមទីពីរនេះដោយ a និងលេខ Gödel របស់វាដោយ E. ចូរយើងផ្តល់ការបកស្រាយនៃកន្សោម e ។

ការបកស្រាយដំបូង។ មិនមានគូបែបនេះទេដែលចំនុចខាងក្រោមនឹងជាការពិតក្នុងពេលដំណាលគ្នា៖ នៅលើដៃម្ខាង T គឺជាចំនួននៃភស្តុតាងនព្វន្ធនៃទ្រឹស្តីបទនព្វន្ធដែលបង្កើតឡើងដោយខ្លួនវា ហើយម្យ៉ាងវិញទៀតវានឹងមានការជំនួស ប៉ុន្តែដោយសារមាន ការបំប្លែងដូចគ្នានឹងអ្នកផ្សេងទៀតដែរ វាអាចតំណាងបានក្នុងន័យ និងក្នុងសញ្ញាកូដរបស់ពួកគេ - លេខ Gödel ហើយដូច្នេះលេខបែបនេះមាន។ បន្ទាប់មកប្រហែលជាលេខ T មិនមានទេ។

ការបកស្រាយទីពីរ។ មិនមានភស្តុតាងនព្វន្ធ T នៃទ្រឹស្តីបទដែលនឹងជាការជំនួសនៃ E. ដូច្នេះប្រសិនបើគ្មានភស្តុតាងទេ វាគឺដោយសារតែវាមិនមែនជាទ្រឹស្តីបទនៅក្នុងខ្លួនវានោះទេ។ នេះនាំឱ្យមានការបកស្រាយទីបី។

ការបកស្រាយទីបី។ កន្សោមដែលលេខ Gödel គឺជាការជំនួសនៃ E មិនមែនជាទ្រឹស្តីបទក្នុងនព្វន្ធផ្លូវការដែលបានកំណត់នព្វន្ធទេ។ ប៉ុន្តែនេះជាកន្លែងដែលភាពផ្ទុយគ្នា ចាប់តាំងពីការសាងសង់ វាគឺជាការជំនួសរបស់ E ហើយចំនួនគឺដោយការស្ថាបនា គ្មានអ្វីក្រៅពីលេខ E នោះទេ។ នេះបង្កប់ន័យការបកស្រាយចុងក្រោយនៃ e ។

09សេន

ប្រព័ន្ធណាមួយនៃ axioms គណិតវិទ្យា ដែលចាប់ផ្តើមពីកម្រិតជាក់លាក់នៃភាពស្មុគស្មាញ គឺមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាខាងក្នុង ឬមិនពេញលេញ។

នៅឆ្នាំ 1900 សន្និសិទពិភពលោកនៃគណិតវិទូត្រូវបានប្រារព្ធឡើងនៅទីក្រុងប៉ារីសជាកន្លែងដែល លោក David Gilbert(David Hilbert, 1862–1943) បានគូសបញ្ជាក់ជាទម្រង់នៃកិច្ចការទាំងនេះ 23 សំខាន់បំផុត តាមគំនិតរបស់គាត់ ភារកិច្ចដែលអ្នកទ្រឹស្តីនៃសតវត្សទី 20 ខាងមុខត្រូវដោះស្រាយ។ លេខពីរនៅក្នុងបញ្ជីរបស់គាត់គឺជាបញ្ហាសាមញ្ញមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនោះដែលហាក់ដូចជាជាក់ស្តែងរហូតដល់អ្នកជីកជ្រៅបន្តិច។ ក្នុងន័យទំនើប វាជាសំណួរ៖ តើគណិតវិទ្យាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ខ្លួនវាទេ? ភារកិច្ចទីពីររបស់ Hilbert ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅនឹងតម្រូវការដើម្បីបញ្ជាក់យ៉ាងតឹងរឹងថាប្រព័ន្ធនៃ axioms - សេចក្តីថ្លែងការណ៍មូលដ្ឋានដែលបានយកនៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋានដោយគ្មានភស្តុតាង - គឺល្អឥតខ្ចោះនិងពេញលេញ ពោលគឺវាអនុញ្ញាតឱ្យការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យានៃអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលមាន។ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់ប្រព័ន្ធនៃ axioms បែបនេះដែលដំបូងពួកគេនឹងមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាទៅវិញទៅមកហើយទីពីរអាចទាញការសន្និដ្ឋានពីពួកគេទាក់ទងនឹងការពិតឬមិនពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយ។

តោះយកឧទាហរណ៍ពីធរណីមាត្រសាលា។ តាមស្តង់ដារ Euclidean Planimetry (ធរណីមាត្រនៅលើយន្តហោះ) វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណគឺ 180 °" គឺពិត ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណគឺ 137 °។ "គឺមិនពិត។ និយាយជាសំខាន់ នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean សេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយមិនពិត ឬពិត ហើយទីបីមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ ហើយនៅដើមសតវត្សទី 20 គណិតវិទូបានជឿដោយឆោតល្ងង់ថា ស្ថានភាពដូចគ្នាគួរតែត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលស្របគ្នាតាមតក្កវិជ្ជាណាមួយ។

ហើយបន្ទាប់មកនៅឆ្នាំ 1931 គណិតវិទូ Viennese មួយចំនួន លោក Kurt Gödel- បានយកនិងបោះពុម្ពអត្ថបទខ្លីមួយដែលគ្រាន់តែក្រឡាប់ពិភពលោកទាំងមូលនៃអ្វីដែលគេហៅថា "តក្កគណិតវិទ្យា" ។ បន្ទាប់​ពី​ការ​លើក​ឡើង​ខាង​គណិត​វិទ្យា និង​ទ្រឹស្ដី​យ៉ាង​យូរ និង​ស្មុគ្រ​ស្មាញ លោក​បាន​បង្កើត​នូវ​គោល​ការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម។ ចូរយើងទទួលយកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយដូចជា៖ "ការសន្មត់ #247 គឺមិនអាចប្រកែកបាននៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃ axioms" ហើយហៅវាថា "សេចក្តីថ្លែងការណ៍ A" ។ ដូច្នេះ Gödel គ្រាន់តែបង្ហាញនូវទ្រព្យសម្បត្តិដ៏អស្ចារ្យខាងក្រោមនៃប្រព័ន្ធ axioms ណាមួយ៖

"ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A អាចបញ្ជាក់បាន នោះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមិនមែនជា A អាចត្រូវបានបញ្ជាក់។"

ម្យ៉ាងទៀត ប្រសិនបើអាចបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "សន្មត់ថា ២៤៧ មិនអាចបញ្ជាក់បាន" នោះ វាក៏អាចបញ្ជាក់បានដែរថា សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "សន្មត់ ២៤៧ គឺអាចបញ្ជាក់បាន" ។ នោះគឺការត្រលប់ទៅការបង្កើតបញ្ហា Hilbert ទីពីរ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃ axioms ពេញលេញ (នោះគឺសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយនៅក្នុងវាអាចបញ្ជាក់បាន) នោះវាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានោះទេ។

មធ្យោបាយតែមួយគត់ចេញពីស្ថានភាពនេះគឺដើម្បីទទួលយកប្រព័ន្ធមិនពេញលេញនៃ axioms ។ នោះគឺយើងត្រូវប្រកាន់ខ្ជាប់នូវការពិតដែលថានៅក្នុងបរិបទនៃប្រព័ន្ធឡូជីខលណាមួយយើងនឹងនៅតែមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ប្រភេទ A" ដែលច្បាស់ជាការពិតឬមិនពិត - ហើយយើងអាចវិនិច្ឆ័យសេចក្តីពិតរបស់ពួកគេបានតែនៅខាងក្រៅក្របខ័ណ្ឌនៃ axiomatics ដែលយើងមាន។ បានអនុម័ត។ ប្រសិនបើមិនមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះទេ នោះ axiomatics របស់យើងគឺផ្ទុយគ្នា ហើយនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌរបស់វា វានឹងជៀសមិនរួចនូវទម្រង់ដែលអាចបញ្ជាក់បានទាំងការបដិសេធ។

ដូច្នេះ ការបង្កើតទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញដំបូង ឬខ្សោយរបស់ហ្គោឌែលគឺ៖ "ប្រព័ន្ធផ្លូវការណាមួយនៃ axioms មានការសន្មត់ដែលមិនអាចដោះស្រាយបាន". ប៉ុន្តែ Gödel មិនបានឈប់នៅទីនោះទេ ដោយបង្កើត និងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញទីពីរ ឬខ្លាំងរបស់ Gödel ថា “ភាពពេញលេញឡូជីខល (ឬភាពមិនពេញលេញ) នៃប្រព័ន្ធនៃ axioms ណាមួយមិនអាចបញ្ជាក់បាននៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃប្រព័ន្ធនេះទេ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ ឬបដិសេធវា អ័ក្សបន្ថែម (ការពង្រឹងប្រព័ន្ធ) ត្រូវបានទាមទារ។

វានឹងមានសុវត្ថិភាពជាងក្នុងការគិតថាទ្រឹស្ដីរបស់ Godel គឺអរូបី ហើយមិនខ្វល់ពីយើងទេ ប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដ៏ខ្ពង់ខ្ពស់ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែការពិតវាបានប្រែក្លាយថាពួកវាទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងរចនាសម្ព័ន្ធនៃខួរក្បាលរបស់មនុស្ស។ គណិតវិទូ និងរូបវិទ្យាអង់គ្លេស Roger Penrose (កើតឆ្នាំ 1931) បានបង្ហាញថា ទ្រឹស្តីបទ Gödelអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់អំពីអត្ថិភាពនៃភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានរវាងខួរក្បាលមនុស្ស និងកុំព្យូទ័រ។ ចំណុចនៃហេតុផលរបស់គាត់គឺសាមញ្ញ។ កុំព្យូទ័រដំណើរការដោយតក្កវិជ្ជាយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ហើយមិនអាចកំណត់ថាតើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A ពិតឬមិនពិត ប្រសិនបើវាហួសពីវិសាលភាពនៃ axiomatics ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel គឺជៀសមិនរួច។ មនុស្សម្នាក់ដែលប្រឈមមុខនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A ដែលមិនអាចប្រកែកបាន និងមិនអាចប្រកែកបាននោះ តែងតែអាចកំណត់ការពិត ឬភាពមិនពិតរបស់វា ដោយផ្អែកលើបទពិសោធន៍ប្រចាំថ្ងៃ។ យ៉ាងហោចណាស់នៅក្នុងរឿងនេះ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សគឺល្អជាងកុំព្យូទ័រដែលបិទបាំងដោយសៀគ្វីឡូជីខលសុទ្ធ។ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សអាចយល់ពីជម្រៅពេញលេញនៃការពិតដែលមាននៅក្នុងទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ប៉ុន្តែកុំព្យូទ័រមួយមិនអាចធ្វើទៅរួចឡើយ។ ដូច្នេះហើយ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីកុំព្យូទ័រ។ គាត់អាចធ្វើការសម្រេចចិត្តបាន ហើយការធ្វើតេស្ត Turing នឹងឆ្លងកាត់។

ប្រព័ន្ធណាមួយនៃ axioms គណិតវិទ្យា ដែលចាប់ផ្តើមពីកម្រិតជាក់លាក់នៃភាពស្មុគស្មាញ គឺមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាខាងក្នុង ឬមិនពេញលេញ។

នៅឆ្នាំ 1900 សន្និសិទពិភពលោកនៃគណិតវិទូត្រូវបានប្រារព្ធឡើងនៅទីក្រុងប៉ារីសដែល David Hilbert (1862-1943) បានបង្ហាញជាទម្រង់អរូបី 23 សំខាន់បំផុត តាមគំនិតរបស់គាត់ បញ្ហាដែលបង្កើតដោយគាត់ ដែលត្រូវដោះស្រាយដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រទ្រឹស្តី។ នៃសតវត្សទី 20 ខាងមុខនេះ។ លេខពីរនៅក្នុងបញ្ជីរបស់គាត់គឺជាបញ្ហាសាមញ្ញមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនោះដែលហាក់ដូចជាជាក់ស្តែងរហូតដល់អ្នកជីកជ្រៅបន្តិច។ ក្នុងន័យទំនើប វាជាសំណួរ៖ តើគណិតវិទ្យាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ខ្លួនវាទេ? បញ្ហាទីពីររបស់ Hilbert គឺដើម្បីបញ្ជាក់យ៉ាងម៉ត់ចត់ថាប្រព័ន្ធនេះ។ axioms- សេចក្តីថ្លែងការណ៍មូលដ្ឋានដែលបានយកក្នុងគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋានដោយគ្មានភស្តុតាង - គឺល្អឥតខ្ចោះ និងពេញលេញ ពោលគឺវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពិពណ៌នាអំពីគណិតវិទ្យាទាំងអស់ដែលមាន។ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់ប្រព័ន្ធនៃ axioms បែបនេះដែលដំបូងពួកគេនឹងមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាទៅវិញទៅមកហើយទីពីរអាចទាញការសន្និដ្ឋានពីពួកគេទាក់ទងនឹងការពិតឬមិនពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយ។

តោះយកឧទាហរណ៍ពីធរណីមាត្រសាលា។ ស្តង់ដារ ភពអេកលីឌា(ធរណីមាត្រនៅលើយន្តហោះ) វាអាចទៅរួចដើម្បីបញ្ជាក់ដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណគឺ 180 °" គឺពិត ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណគឺ 137 °" គឺមិនពិត។ និយាយជាសំខាន់ នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean សេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយមិនពិត ឬពិត ហើយទីបីមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ ហើយនៅដើមសតវត្សទី 20 គណិតវិទូបានជឿដោយឆោតល្ងង់ថា ស្ថានភាពដូចគ្នាគួរតែត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលស្របគ្នាតាមតក្កវិជ្ជាណាមួយ។

ហើយបន្ទាប់មកនៅឆ្នាំ 1931 គណិតវិទូជនជាតិ Viennese ខ្លះឈ្មោះ Kurt Godel បានយក និងបោះពុម្ភអត្ថបទខ្លីមួយ ដែលគ្រាន់តែបំផ្លិចបំផ្លាញពិភពលោកទាំងមូលនៃអ្វីដែលគេហៅថា "តក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា" ។ បន្ទាប់​ពី​ការ​លើក​ឡើង​ខាង​គណិត​វិទ្យា និង​ទ្រឹស្ដី​យ៉ាង​យូរ និង​ស្មុគ្រ​ស្មាញ លោក​បាន​បង្កើត​នូវ​គោល​ការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម។ ចូរយើងទទួលយកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយដូចជា៖ "ការសន្មត់ #247 គឺមិនអាចប្រកែកបាននៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃ axioms" ហើយហៅវាថា "សេចក្តីថ្លែងការណ៍ A" ។ ដូច្នេះ Gödel គ្រាន់តែបង្ហាញទ្រព្យសម្បត្តិដ៏អស្ចារ្យដូចខាងក្រោម ណាមួយ។ប្រព័ន្ធ axiom៖

"ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A អាចបញ្ជាក់បាន នោះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមិនមែនជា A អាចត្រូវបានបញ្ជាក់។"

ម្យ៉ាង​ទៀត បើ​អាច​បញ្ជាក់​ពី​សុពល​ភាព​នៃ​សេចក្តី​ថ្លែងការណ៍ “សន្មត់ ២៤៧ ទេ។ provable” បន្ទាប់មក គេអាចបញ្ជាក់បានពីសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ “សន្មត់ថា 247 ជាក់ស្តែង"។ នោះគឺការត្រលប់ទៅការបង្កើតបញ្ហា Hilbert ទីពីរ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃ axioms ពេញលេញ (នោះគឺសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយនៅក្នុងវាអាចបញ្ជាក់បាន) នោះវាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានោះទេ។

មធ្យោបាយតែមួយគត់ចេញពីស្ថានភាពនេះគឺដើម្បីទទួលយកប្រព័ន្ធមិនពេញលេញនៃ axioms ។ នោះគឺយើងត្រូវប្រកាន់ខ្ជាប់នូវការពិតដែលថានៅក្នុងបរិបទនៃប្រព័ន្ធតក្កវិជ្ជាណាមួយយើងនឹងត្រូវបានទុកដោយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ប្រភេទ A" ដែលច្បាស់ថាពិតឬមិនពិត - ហើយយើងអាចវិនិច្ឆ័យការពិតរបស់ពួកគេតែប៉ុណ្ណោះ។ នៅខាងក្រៅក្របខ័ណ្ឌនៃ axiomatics ដែលយើងបានអនុម័ត។ ប្រសិនបើមិនមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះទេ នោះ axiomatics របស់យើងគឺផ្ទុយគ្នា ហើយនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌរបស់វា វានឹងជៀសមិនរួចនូវទម្រង់ដែលអាចបញ្ជាក់បានទាំងការបដិសេធ។

ដូច្នេះពាក្យ ដំបូង, ឬ ខ្សោយ ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញរបស់ Gödel៖ "ប្រព័ន្ធផ្លូវការណាមួយនៃ axioms មានការសន្មត់ដែលមិនអាចដោះស្រាយបាន។" ប៉ុន្តែ Gödel មិនបានឈប់នៅទីនោះទេ ដោយបង្កើត និងបង្ហាញ ទីពីរឬ ខ្លាំង ទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញរបស់ Godel៖ “ភាពពេញលេញឡូជីខល (ឬភាពមិនពេញលេញ) នៃប្រព័ន្ធនៃ axioms ណាមួយមិនអាចបញ្ជាក់បាននៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃប្រព័ន្ធនេះទេ។ ដើម្បី​បញ្ជាក់​ឬ​មិន​បញ្ជាក់​វា តម្រូវ​ឱ្យ​មាន axioms បន្ថែម (ការ​ពង្រឹង​ប្រព័ន្ធ) ។

វានឹងមានសុវត្ថិភាពជាងក្នុងការគិតថាទ្រឹស្ដីរបស់ Godel គឺអរូបី ហើយមិនខ្វល់ពីយើងទេ ប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដ៏ខ្ពង់ខ្ពស់ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែការពិតវាបានប្រែក្លាយថាពួកវាទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងរចនាសម្ព័ន្ធនៃខួរក្បាលរបស់មនុស្ស។ គណិតវិទូ និងរូបវិទូជនជាតិអង់គ្លេស Roger Penrose (កើតឆ្នាំ 1931) បានបង្ហាញថាទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញពីភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានរវាងខួរក្បាលមនុស្ស និងកុំព្យូទ័រ។ ចំណុចនៃហេតុផលរបស់គាត់គឺសាមញ្ញ។ កុំព្យូទ័រដំណើរការដោយតក្កវិជ្ជាយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ហើយមិនអាចកំណត់ថាតើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A ពិតឬមិនពិត ប្រសិនបើវាហួសពីវិសាលភាពនៃ axiomatics ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel គឺជៀសមិនរួច។ មនុស្សម្នាក់ដែលប្រឈមមុខនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A ដែលមិនអាចប្រកែកបាន និងមិនអាចប្រកែកបាននោះ តែងតែអាចកំណត់ការពិត ឬភាពមិនពិតរបស់វា ដោយផ្អែកលើបទពិសោធន៍ប្រចាំថ្ងៃ។ យ៉ាងហោចណាស់នៅក្នុងរឿងនេះ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សគឺល្អជាងកុំព្យូទ័រដែលបិទបាំងដោយសៀគ្វីឡូជីខលសុទ្ធ។ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សអាចយល់បាននូវជម្រៅពេញលេញនៃការពិតដែលមាននៅក្នុងទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ប៉ុន្តែកុំព្យូទ័រមួយមិនអាចធ្វើបាន។ ដូច្នេះហើយ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីកុំព្យូទ័រ។ គាត់មានសមត្ថភាព ដើម្បីធ្វើការសម្រេចចិត្តហើយការធ្វើតេស្ត Turing នឹងឆ្លងកាត់។

ខ្ញុំឆ្ងល់ថាតើ Hilbert មានគំនិតថាតើសំណួររបស់គាត់នឹងនាំយើងទៅឆ្ងាយ?

Kurt Godel, 1906-78

អូទ្រីស បន្ទាប់មក គណិតវិទូអាមេរិក។ កើតនៅ Brünn (Brünn ឥឡូវនេះ Brno សាធារណរដ្ឋឆេក) ។ គាត់បានបញ្ចប់ការសិក្សាពីសាកលវិទ្យាល័យ Vienna ជាកន្លែងដែលគាត់នៅតែជាគ្រូបង្រៀននៅក្នុងនាយកដ្ឋានគណិតវិទ្យា (ចាប់តាំងពីឆ្នាំ 1930 - សាស្រ្តាចារ្យ) ។ នៅឆ្នាំ 1931 គាត់បានបោះពុម្ពទ្រឹស្តីបទដែលក្រោយមកបានទទួលឈ្មោះរបស់គាត់។ ក្នុងនាមជាអ្នកនយោបាយសុទ្ធសាធ គាត់បានរួចផុតពីឃាតកម្មលើមិត្តភ័ក្តិ និងបុគ្គលិកនាយកដ្ឋានរបស់គាត់ដោយនិស្សិតណាស៊ី ហើយបានធ្លាក់ចូលទៅក្នុងការធ្លាក់ទឹកចិត្តយ៉ាងខ្លាំង ដែលការកើតឡើងវិញបានលងបន្លាចគាត់រហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃជីវិតរបស់គាត់។ នៅទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1930 គាត់បានធ្វើអន្តោប្រវេសន៍ទៅសហរដ្ឋអាមេរិក ប៉ុន្តែបានត្រលប់ទៅប្រទេសអូទ្រីសកំណើតរបស់គាត់វិញ ហើយបានរៀបការ។ នៅឆ្នាំ 1940 នៅកម្រិតខ្ពស់នៃសង្រ្គាមគាត់ត្រូវបានគេបង្ខំឱ្យភៀសខ្លួនទៅអាមេរិកដោយឆ្លងកាត់សហភាពសូវៀតនិងជប៉ុន។ សម្រាប់ពេលខ្លះគាត់បានធ្វើការនៅវិទ្យាស្ថានព្រីនស្តុនសម្រាប់ការសិក្សាកម្រិតខ្ពស់។ ជាអកុសល ចិត្តរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមិនអាចទ្រាំទ្របាន ហើយគាត់បានស្លាប់ដោយការអត់ឃ្លាននៅក្នុងគ្លីនិកវិកលចរិក ដោយមិនព្រមហូបអាហារ ដោយសារតែគាត់ជឿជាក់ថា ពួកគេមានបំណងបំពុលគាត់។

Uspensky V.A.

ទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញរបស់ Gödel ឆ្នាំ ១៩៩៤។

ទ្រឹស្តីវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ 130,1994, pp.273-238 ។

ប្រហែលជាទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញរបស់ Gödel គឺពិតជាប្លែក។ មានតែមួយគត់ដែលពួកគេសំដៅទៅលើវានៅពេលដែលពួកគេចង់បញ្ជាក់ "អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងពិភពលោក" - ពីវត្តមានរបស់ព្រះរហូតដល់អវត្តមាននៃហេតុផល។ ខ្ញុំតែងតែចាប់អារម្មណ៍លើ "សំណួរចម្បង" បន្ថែមទៀត ហើយតើអ្នកណាមួយដែលសំដៅលើទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញ មិនត្រឹមតែអាចបង្កើតវាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងអាចបញ្ជាក់បានដែរ? ខ្ញុំបោះពុម្ពអត្ថបទនេះសម្រាប់ហេតុផលដែលវាបង្ហាញពីទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ Gödel ដែលអាចចូលដំណើរការបាន។ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានអត្ថបទដោយ Tullio Regge Kurt Gödel និងទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់។

ការសន្និដ្ឋានអំពីភាពមិនអាចទៅរួចនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសកលនៃការពិតគឺ

លទ្ធផលផ្ទាល់នៃលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយ Tarski ដោយការបញ្ចូលគ្នា

ទ្រឹស្តីបទមិនអាចសម្រេចបានរបស់ Gödel ជាមួយនឹងទ្រឹស្តីផ្ទាល់ខ្លួនរបស់គាត់ យោងទៅតាម

ដែលមិនអាចមានលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសកលនៃសេចក្តីពិតសូម្បីតែសម្រាប់ទំនាក់ទំនង

តំបន់តូចចង្អៀតនៃទ្រឹស្តីលេខ ហើយហេតុដូច្នេះហើយសម្រាប់វិទ្យាសាស្ត្រណាមួយដែលប្រើ

នព្វន្ធ។ តាមធម្មជាតិ លទ្ធផលនេះអនុវត្តនូវគោលគំនិតនៃសេចក្តីពិត

នៅក្នុងផ្នែកណាមួយដែលមិនមែនជាគណិតវិទ្យានៃចំណេះដឹងដែលវាមានយ៉ាងទូលំទូលាយ

នព្វន្ធត្រូវបានប្រើ។

លោក Karl Popper

Uspensky Vladimir Andreevich កើតនៅថ្ងៃទី 27 ខែវិច្ឆិកាឆ្នាំ 1930 នៅទីក្រុងម៉ូស្គូ។ បានបញ្ចប់ការសិក្សាពីមហាវិទ្យាល័យមេកានិច និងគណិតវិទ្យានៃសាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋម៉ូស្គូ (1952) ។ បណ្ឌិតវិទ្យាសាស្ត្ររូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា (១៩៦៤)។ សាស្រ្តាចារ្យប្រធាននាយកដ្ឋានតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា និងទ្រឹស្តីនៃក្បួនដោះស្រាយនៃមហាវិទ្យាល័យមេកានិក និងគណិតវិទ្យា (១៩៦៦)។ អានវគ្គនៃការបង្រៀន "ការណែនាំអំពីតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា", "អនុគមន៍ដែលអាចគណនាបាន", "ទ្រឹស្តីបទភាពពេញលេញរបស់ហ្គោឌែល"។ បានរៀបចំបេក្ខជនចំនួន ២៥រូប និងបណ្ឌិតវិទ្យាសាស្ត្រចំនួន ២រូប

1. សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីបញ្ហា

ទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញ រូបមន្តពិតប្រាកដដែលយើងនឹងផ្តល់ឱ្យនៅចុងបញ្ចប់នៃជំពូកនេះ ហើយប្រហែលជានៅពេលក្រោយ (ប្រសិនបើអ្នកអានចាប់អារម្មណ៍លើរឿងនេះ) និងភស្តុតាង បញ្ជាក់អំពីចំណុចខាងក្រោម៖ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់នៃភាសាណាមួយ វាជាការពិត។ ប៉ុន្តែសេចក្តីថ្លែងការណ៍មិនអាចប្រកែកបាន។

នៅពេលដែលយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទតាមរបៀបនេះ ស្ទើរតែគ្រប់ពាក្យទាំងអស់ទាមទារការពន្យល់ខ្លះៗ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​ចាប់​ផ្ដើម​ដោយ​ការ​ពន្យល់​ពី​អត្ថន័យ​នៃ​ពាក្យ​ដែល​យើង​ប្រើ​ក្នុង​ការ​បង្កើត​នេះ។

យើងនឹងមិនផ្តល់និយមន័យជាទូទៅបំផុតនៃភាសានោះទេ ដោយចូលចិត្តដាក់ខ្លួនយើងទៅនឹងគោលគំនិតភាសាទាំងនោះ ដែលយើងនឹងត្រូវការនៅពេលក្រោយ។ មានគោលគំនិតពីរយ៉ាងគឺ "អក្ខរក្រមនៃភាសា" និង "សំណុំនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិតនៃភាសា" ។

១.១.១. អក្ខរក្រម

តាមអក្ខរក្រម យើងមានន័យថាជាសំណុំកំណត់នៃសញ្ញាបឋម (នោះគឺវត្ថុដែលមិនអាចបំបែកទៅជាផ្នែកសមាសភាគ)។ តួអក្សរទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាអក្សរនៃអក្ខរក្រម។ តាម​រយៈ​ពាក្យ​អក្ខរក្រម​មួយ យើង​មាន​ន័យ​ថា​លំដាប់​អក្សរ​ដែល​កំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ ពាក្យសាមញ្ញជាភាសាអង់គ្លេស (រួមទាំងឈ្មោះត្រឹមត្រូវ) គឺជាពាក្យនៃអក្ខរក្រម 54 អក្សរ (អក្សរតូច 26 អក្សរធំ 26 អក្សរដាច់ និងអក្សរកាត់)។ ឧទាហរណ៍មួយទៀត - លេខធម្មជាតិនៅក្នុងសញ្ញាគោលដប់គឺជាពាក្យនៃអក្ខរក្រម 10 អក្សរដែលអក្សររបស់ពួកគេជាសញ្ញា: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9។ យើងនឹងប្រើអក្សរធំធម្មតាដើម្បីសម្គាល់។ អក្ខរក្រម។ បើអក្សរ L ជាអក្សរ L? នឹងបង្ហាញពីសំណុំនៃពាក្យទាំងអស់នៃអក្ខរក្រម L, - ពាក្យដែលបង្កើតឡើងពីអក្សររបស់វា។ យើងនឹងសន្មត់ថាភាសាណាមួយមានអក្ខរក្រមរបស់ខ្លួន ដូច្នេះរាល់កន្សោមនៃភាសានេះ (ឧ - ឈ្មោះវត្ថុផ្សេងៗ សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីវត្ថុទាំងនេះ។ល។) គឺជាពាក្យនៃអក្ខរក្រមនេះ។ ឧទាហរណ៍ ប្រយោគណាមួយនៅក្នុងភាសាអង់គ្លេស ក៏ដូចជាអត្ថបទណាមួយដែលសរសេរជាភាសាអង់គ្លេស អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាពាក្យនៃអក្ខរក្រម 54 អក្សរដែលបានពង្រីក ដែលរួមបញ្ចូលផងដែរនូវសញ្ញាវណ្ណយុត្តិ ចន្លោះពាក្យ តួអក្សរបន្ទាត់ក្រហម និងអាចមួយចំនួន។ តួអក្សរមានប្រយោជន៍ផ្សេងទៀត។ ដោយសន្មតថាកន្សោមភាសាគឺជាពាក្យនៃអក្ខរក្រមមួយចំនួន ដូច្នេះយើងដកចេញពីការពិចារណាកន្សោម "ពហុស្រទាប់" ដូចជា ???f(x)dx ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការកំណត់នេះមិនសំខាន់ខ្លាំងពេកទេ ដោយសារការបញ្ចេញមតិបែបនេះ ដោយប្រើអនុសញ្ញាសមស្រប អាចត្រូវបាន "លាតសន្ធឹង" ទៅជាទម្រង់លីនេអ៊ែរ។ តើឈុត M មាននៅក្នុង L ទេ? ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំពាក្យនៃអក្ខរក្រម L. ប្រសិនបើយើងនិយាយយ៉ាងសាមញ្ញថា M គឺជាសំណុំពាក្យនោះយើងមានន័យថាវាជាពាក្យនៃអក្ខរក្រមមួយចំនួន។ ឥឡូវនេះការសន្មតភាសាខាងលើអាចត្រូវបានបកប្រែឡើងវិញដូចខាងក្រោម: នៅក្នុងភាសាណាមួយសំណុំនៃកន្សោមណាមួយគឺជាសំណុំពាក្យ។

១.១.២. ការអះអាងពិតជាច្រើន។

យើងសន្មត់ថាយើងត្រូវបានផ្តល់សំណុំរង T នៃសំណុំ L? (ដែល L គឺជាអក្ខរក្រមនៃភាសាមួយចំនួនដែលយើងកំពុងពិចារណា) ដែលត្រូវបានគេហៅថាសំណុំនៃ "សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត" (ឬសាមញ្ញ "សេចក្តីពិត") ។ ដោយឆ្លងកាត់ដោយផ្ទាល់ទៅផ្នែករង T យើងលុបចោលជំហានមធ្យមនៃការវែកញែកដូចខាងក្រោមៈ ជាដំបូង ពាក្យណាមួយនៃអក្ខរក្រម L គឺជាកន្សោមភាសាដែលបានបង្កើតឡើងយ៉ាងល្អ ពោលគឺវាមានអត្ថន័យជាក់លាក់មួយនៅក្នុងការបកស្រាយរបស់យើងនៃភាសានេះ (ឧទាហរណ៍ , 2 + 3, x + 3, x = y, x = 3, 2=3, 2=2 គឺជាកន្សោមដែលមានទម្រង់ល្អ ចំណែកកន្សោមដូចជា +=x គឺមិនមែន); ទីពីរ កន្សោមណាមួយជារូបមន្ត ឧ. អាចអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (ឧទាហរណ៍ x=3, x=y, 2=3, 2=2); ទីបី តើរូបមន្តមួយណាជារូបមន្តបិទ, i.e. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមិនអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (ឧទាហរណ៍ 2=3, 2=2); ហើយចុងក្រោយ រូបមន្តដែលបិទគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត (ឧទាហរណ៍ 2=2)។

១.១.៣. គូភាសាមូលដ្ឋាន

១.២. "មិនអាចប្រកែកបាន"

"មិនអាចប្រកែកបាន" មានន័យថាមិនមានភស្តុតាង។

១.៣. ភស្តុតាង

ទោះបីជាការពិតដែលថាពាក្យ "ភស្តុតាង" ប្រហែលជាសំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា (Bourbaki ចាប់ផ្តើមសៀវភៅរបស់ពួកគេ "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា" ជាមួយនឹងពាក្យថា: "ពីសម័យក្រិកបុរាណនិយាយថា "គណិតវិទ្យា" មានន័យដូចគ្នានឹង ដោយនិយាយថា "ភស្តុតាង") គាត់មិនមាននិយមន័យច្បាស់លាស់ទេ។ ជាទូទៅ គោលគំនិតនៃភស្តុតាងជាមួយនឹងសាខា semantic ទាំងអស់របស់វា ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកចិត្តវិទ្យា ជាជាងគណិតវិទ្យា។ ប៉ុន្តែ​ត្រូវ​ថា​តាម​ដែល​វា​អាច​ធ្វើ​បាន ភស្តុតាង​គឺ​គ្រាន់​តែ​ជា​អំណះអំណាង​មួយ​ដែល​យើង​ខ្លួន​ឯង​រក​ឃើញ​ថា​គួរ​ឱ្យ​ជឿ​ដើម្បី​បញ្ចុះ​បញ្ចូល​អ្នក​ដទៃ​ទៀត​។

នៅពេលដែលសរសេរចុះ ភស្តុតាងក្លាយជាពាក្យនៅក្នុងអក្ខរក្រម P មួយចំនួន ដូចអត្ថបទភាសាអង់គ្លេសណាមួយជាពាក្យនៅក្នុងអក្ខរក្រម L ដែលជាឧទាហរណ៍ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។ សំណុំភស្តុតាងទាំងអស់បង្កើតបានជាសំណុំរង (និងជាសំណុំរងធំ) នៃសំណុំ P? យើងនឹងមិនព្យាយាមផ្តល់និយមន័យច្បាស់លាស់នៃភស្តុតាងទាំងពីរនេះ "ឆោតល្ងង់" និង "ដាច់ខាត" ឬ - ដែលស្មើនឹង - ដើម្បីកំណត់សំណុំរងដែលត្រូវគ្នានៃ P? ជំនួសមកវិញ យើងនឹងពិចារណាអំពី analogue ផ្លូវការនៃគោលគំនិតមិនច្បាស់លាស់នេះ ដែលយើងនឹងនៅតែប្រើពាក្យ "ភស្តុតាង" នៅក្នុងអ្វីដែលដូចខាងក្រោម។ អាណាឡូកនេះមានលក្ខណៈពិសេសសំខាន់ពីរដែលបែងចែកវាពីគំនិតវិចារណញាណ (ទោះបីជាគំនិតវិចារណញាណនៃភស្តុតាងនៅតែឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈពិសេសទាំងនេះក្នុងកម្រិតមួយចំនួន)។ ជាបឋម យើងសន្មត់ថាមានការយល់ឃើញផ្សេងគ្នានៃភស្តុតាង ពោលគឺ សំណុំរងផ្សេងគ្នានៃភស្តុតាងនៅក្នុង P? ត្រូវបានអនុញ្ញាត ហើយលើសពីនេះទៅទៀត យើងនឹងសន្មត់ថាអក្ខរក្រមនៃភស្តុតាងរបស់ P ខ្លួនឯងអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ . នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងទាមទារថា សម្រាប់ការយល់ឃើញបែបនេះនីមួយៗនៃភស្តុតាង មានវិធីសាស្រ្តដ៏មានប្រសិទ្ធភាពមួយ ម្យ៉ាងវិញទៀត ក្បួនដោះស្រាយដែលចាំបាច់នឹងកំណត់ថាតើពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអក្ខរក្រម P គឺជាភស្តុតាងឬអត់។ យើងក៏សន្មត់ថាមានក្បួនដោះស្រាយដែលតែងតែអាចប្រើដើម្បីកំណត់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយដែលភស្តុតាងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ (នៅក្នុងស្ថានភាពជាច្រើន សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលត្រូវបានបង្ហាញគឺគ្រាន់តែជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ចុងក្រោយនៅក្នុងលំដាប់នៃជំហានដែលបង្កើតជាភស្តុតាង។ )

ដូច្នេះ ពាក្យចុងក្រោយរបស់យើងនៃនិយមន័យមានដូចខាងក្រោម៖

(1) យើងមានអក្ខរក្រម L (អក្ខរក្រមនៃភាសា) និងអក្ខរក្រម P (អក្ខរក្រមនៃភស្តុតាង) ។

(2) យើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសំណុំ P ដែលជាសំណុំរងនៃ P? ហើយធាតុរបស់ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា "ភស្តុតាង" ។ នៅពេលអនាគត យើងនឹងសន្មត់ថា យើងក៏មានក្បួនដោះស្រាយដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ថាតើពាក្យបំពាននៃអក្ខរក្រម P គឺជាធាតុនៃសំណុំ P ដែលជាភស្តុតាងឬអត់។

(3) តើយើងមានមុខងារដែរឬទេ? (សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ឱ្យ​ប្រាកដ​) តើ​ដែន​របស់​នរណា​? បំពេញលក្ខខណ្ឌ P???P? ហើយជួរមួយណាស្ថិតក្នុង P?។ យើងសន្មត់ថាយើងមានក្បួនដោះស្រាយដែលគណនាមុខងារនេះ (អត្ថន័យពិតប្រាកដនៃពាក្យ "algorithm គណនាមុខងារ" មានដូចខាងក្រោម៖ តម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវបានទទួលដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយនេះ - សំណុំនៃច្បាប់បំលែងពិសេស)។ យើងនឹងនិយាយថាធាតុ p? P គឺជាភស្តុតាងនៃពាក្យ?(p) នៃអក្ខរក្រម L.

បីដងដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ (1)-(3) ត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធដកយកលើអក្ខរក្រម L.

សម្រាប់អ្នកអានដែលធ្លាប់ស្គាល់ពីវិធីធម្មតានៃការកំណត់ "ភស្តុតាង" នៅក្នុងពាក្យ "axiom" និង "rule of inference" ឥឡូវនេះ យើងនឹងពន្យល់ពីរបៀបដែលវិធីសាស្រ្តនេះអាចចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងផ្នែក 1.3.2 ។ នោះគឺជាភស្តុតាងជាធម្មតាត្រូវបានកំណត់ថាជាលំដាប់នៃកន្សោមភាសាបែបនេះ ដែលនីមួយៗជា axiom ឬពីមុនទទួលបានពីសេចក្តីថ្លែងដែលមានស្រាប់ដោយប្រើក្បួនសន្និដ្ឋានមួយ។ ប្រសិនបើយើងបន្ថែមពាក្យថ្មី * ទៅក្នុងអក្ខរក្រមនៃភាសារបស់យើង នោះយើងអាចសរសេរភស្តុតាងដូចជាពាក្យដែលផ្សំឡើងដោយប្រើអក្ខរក្រមលទ្ធផល៖ លំដាប់នៃកន្សោមក្លាយជាពាក្យ C1*C2*...*Cn ។ ក្នុងករណីនេះ មុខងារដែលកំណត់នូវអ្វីដែលបានបញ្ជាក់ច្បាស់មានតម្លៃរបស់វានៅក្នុងផ្នែកនៃពាក្យនេះភ្លាមៗបន្ទាប់ពីអក្សរចុងក្រោយ * ក្នុងលំដាប់។ ក្បួនដោះស្រាយដែលអត្ថិភាពរបស់វាត្រូវបានទាមទារនៅក្នុងផ្នែក 1.3.2 ។ និយមន័យ អាចត្រូវបានសាងសង់យ៉ាងងាយស្រួល នៅពេលដែលយើងកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់នូវអត្ថន័យដែលទទួលយកបាននៃពាក្យ "axiom" និង "rule of inference"។

1.4. ការព្យាយាមបង្កើតទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញបានត្រឹមត្រូវ។

១.៤.១. សាកល្បងដំបូង

"នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយ សម្រាប់គូជាមូលដ្ឋាននៃភាសាអក្ខរក្រម L និងប្រព័ន្ធកាត់យកលើអក្សរ L វាតែងតែមានពាក្យនៅក្នុង T ដែលមិនមានភស្តុតាង។" ជម្រើសនេះនៅតែមើលទៅមិនច្បាស់លាស់។ ជាពិសេស យើងអាចបង្កើតបានយ៉ាងងាយស្រួលជាមួយនឹងប្រព័ន្ធដកលេខណាមួយដែលមានពាក្យដែលអាចបញ្ជាក់បានតិចតួចបំផុត។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងប្រព័ន្ធដកប្រាក់ទទេ (ដែល P = ?) មិនមានពាក្យអ្វីទាំងអស់ដែលនឹងមានភស្តុតាង។

១.៤.២. សាកល្បងលើកទីពីរ

មានវិធីសាស្រ្តធម្មជាតិមួយទៀត។ ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់ភាសាមួយ - ក្នុងន័យថាយើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យគូជាមូលដ្ឋាននៃភាសានេះ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងស្វែងរកប្រព័ន្ធដកប្រាក់បែបនេះនៅលើ L (ដោយវិចារណញាណ យើងកំពុងស្វែងរកបច្ចេកទេសភស្តុតាង) ដែលយើងអាចបញ្ជាក់ពាក្យជាច្រើនពី T តាមដែលអាចធ្វើបាន ក្នុងដែនកំណត់ពាក្យទាំងអស់ពីទ្រឹស្តីបទ T. Gödel ពិពណ៌នាអំពីស្ថានភាពដែល ប្រព័ន្ធដកប្រាក់បែបនេះ (ដែលគ្រប់ពាក្យនៅក្នុង T អាចបញ្ជាក់បាន) មិនមានទេ។ ដូច្នេះ យើង​ចង់​បង្កើត​សេចក្តី​ថ្លែងការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

"នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនទាក់ទងនឹងគូជាមូលដ្ឋាន មិនមានប្រព័ន្ធកាត់កង ដែលគ្រប់ពាក្យពី T នឹងមានភស្តុតាងនោះទេ។"

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះគឺពិតជាមិនពិតព្រោះវាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីយកប្រព័ន្ធកាត់ដែល P = L, P = P? និង?(p) = p សម្រាប់ p ទាំងអស់នៅក្នុង P?; បន្ទាប់មករាល់ពាក្យពី L? គឺ​អាច​បញ្ជាក់​បាន​ដោយ​ចៃដន្យ។ ដូច្នេះហើយ យើងត្រូវទទួលយកការកំណត់មួយចំនួនលើប្រព័ន្ធដកប្រាក់ណាមួយដែលយើងប្រើប្រាស់។

១.៥. ភាពជាប់លាប់

វាជារឿងធម្មតាទេដែលតម្រូវឱ្យមានតែ "សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត" នោះគឺមានតែពាក្យ T ប៉ុណ្ណោះដែលអាចបញ្ជាក់បាន។ យើង​នឹង​និយាយ​ថា​ប្រព័ន្ធ​ដក​គឺ​ស្រប​នឹង​ការ​គោរព​ទៅ​នឹង​គូ​មូលដ្ឋាន​ប្រសិនបើ?(P)?T. នៅក្នុងការវែកញែកជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់ យើងនឹងចាប់អារម្មណ៍តែលើប្រព័ន្ធដកប្រាក់ដែលជាប់លាប់បែបនេះប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើយើងត្រូវបានផ្តល់ភាសាមួយ នោះវានឹងជាការល្បួងបំផុតក្នុងការស្វែងរកប្រព័ន្ធដកប្រាក់ដែលស្របគ្នា ដែលរាល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិតនឹងមានភស្តុតាង។ បំរែបំរួលនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ដែលចាប់អារម្មណ៍យើងបញ្ជាក់យ៉ាងពិតប្រាកដថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ទាក់ទងនឹងគូជាមូលដ្ឋាន វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកប្រព័ន្ធដកប្រាក់បែបនេះ។

១.៦. ភាពពេញលេញ

វាត្រូវបានគេនិយាយថាប្រព័ន្ធដកគឺពេញលេញដោយគោរពទៅនឹងគូមូលដ្ឋានដែលផ្តល់ថា ?(P)?T ។ បន្ទាប់មក ការបង្កើតទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញរបស់យើង មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖

នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនទាក់ទងនឹងគូមូលដ្ឋាន មិនមានប្រព័ន្ធកាត់ផ្តាច់លើ L ដែលនឹងមានភាពពេញលេញ និងស្របគ្នានោះទេ។