សមីការ Schrödinger បណ្តោះអាសន្ន និងស្ថានី

ការបកស្រាយស្ថិតិនៃរលក de Broglie និងទំនាក់ទំនងមិនច្បាស់លាស់របស់ Heisenberg នាំឱ្យមានការសន្និដ្ឋានថាសមីការនៃចលនានៅក្នុងមេកានិចកង់ទិច ដែលពិពណ៌នាអំពីចលនានៃមីក្រូភាគល្អិតក្នុងវិស័យកម្លាំងផ្សេងៗ គួរតែជាសមីការដែលលក្ខណៈសម្បត្តិរលកដែលបានសង្កេតដោយពិសោធន៍នៃភាគល្អិតនឹង ធ្វើតាម។ សមីការសំខាន់ត្រូវតែជាសមីការសម្រាប់អនុគមន៍រលក (x, y, z, t) ព្រោះវាជាមុខងារនេះ ឬច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត តម្លៃ 2 ដែលកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាគល្អិតនៅក្នុងបរិមាណ dV នៅពេល t , i.e. នៅក្នុងតំបន់ដែលមានកូអរដោនេ x និង x+dx, y និង y+dy, z និង z+dz ។ ដោយសារសមីការដែលចង់បានត្រូវតែគិតគូរពីលក្ខណៈសម្បត្តិរលកនៃភាគល្អិត វាត្រូវតែជាសមីការរលក ស្រដៀងនឹងសមីការពិពណ៌នាអំពីរលកអេឡិចត្រូម៉ាញេទិក។

សមីការនេះត្រូវបានរៀបចំឡើង ហើយភាពត្រឹមត្រូវរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការព្រមព្រៀងជាមួយនឹងបទពិសោធន៍នៃលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយមានជំនួយរបស់វា។

សមីការជាមូលដ្ឋាននៃមេកានិចកង់ទិចមិនទាក់ទងគ្នា (1926)

៤.១ សមីការពេលវេលា Schrödinger៖

សមីការមានសុពលភាពសម្រាប់ភាគល្អិតដែលមិនមែនជាទំនាក់ទំនង<< ,

ដែល (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi)) គឺជាម៉ាស់នៃភាគល្អិត; - ឯកតាស្រមើលស្រមៃ; គឺជាមុខងារសក្តានុពលនៃភាគល្អិតនៅក្នុងវាលកម្លាំងដែលវាផ្លាស់ទី។ គឺជាមុខងាររលកដែលចង់បាន; ∆ គឺជាប្រតិបត្តិករ Laplace

លក្ខខណ្ឌកំណត់លើមុខងាររលក៖

មុខងាររលកត្រូវតែកំណត់ តម្លៃតែមួយ និងបន្ត។

និស្សន្ទវត្ថុ ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z, ∂Ψ/∂t ត្រូវតែបន្ត។

អនុគមន៍ 2 ត្រូវតែរួមបញ្ចូល (លក្ខខណ្ឌនេះកាត់បន្ថយទៅជាលក្ខខណ្ឌធម្មតាសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេ) ។

4.2 សមីការ Schrödinger ស្ថានី

នៅក្នុងករណីនៃវាលកម្លាំងស្ថានី (មុខងារ U=U(x,y,z)មិនអាស្រ័យលើពេលវេលាច្បាស់លាស់ និងមានអត្ថន័យនៃថាមពលសក្តានុពល។ ក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ Schrödinger អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃមុខងារពីរ ដែលមួយគឺជាមុខងារនៃកូអរដោណេតែប៉ុណ្ណោះ មួយទៀតគឺគ្រាន់តែជាមុខងារនៃពេលវេលា ហើយការពឹងផ្អែកលើពេលវេលាត្រូវបានបង្ហាញដោយកត្តា។ ).

បន្ទាប់មកមុខងាររលកសម្រាប់រដ្ឋស្ថានី (រដ្ឋដែលមានតម្លៃថាមពលថេរ) អាចត្រូវបានតំណាងជា៖

សមីការ Schrödinger ស្ថានី៖

ទទួលបានបន្ទាប់ពីការជំនួសមុខងាររលកចូលទៅក្នុងសមីការពេលវេលា Schrödinger និងការផ្លាស់ប្តូរ (∆ គឺជាប្រតិបត្តិករ Laplace, ម-ម៉ាស់ភាគល្អិត; - កាត់បន្ថយថេរ Planck ( = h/2π); អ៊ីគឺជាថាមពលសរុបនៃភាគល្អិត យូគឺជាថាមពលសក្តានុពលនៃភាគល្អិត។ នៅក្នុងរូបវិទ្យាបុរាណ បរិមាណ (អ៊ី-យូ) នឹងស្មើនឹងថាមពល kinetic នៃភាគល្អិត។ នៅក្នុងមេកានិចកង់ទិច ដោយសារតែទំនាក់ទំនងមិនច្បាស់លាស់ គំនិតនៃថាមពល kinetic គឺគ្មានន័យទេ។ នៅទីនេះថាមពលសក្តានុពល យូគឺជាលក្ខណៈពិសេសមួយ។ វាលកម្លាំងខាងក្រៅដែលភាគល្អិតកំពុងផ្លាស់ទី។ តម្លៃនេះគឺច្បាស់លាស់ណាស់។ វាក៏ជាមុខងារនៃកូអរដោណេផងដែរ ក្នុងករណីនេះ យូ =យូ(x, y, z)) ។

គំនិតចម្បងរបស់ Schrödinger គឺផ្ទេរភាពស្រដៀងគ្នាគណិតវិទ្យារវាងអុបទិកធរណីមាត្រ និងមេកានិចបុរាណទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិរលកនៃពន្លឺ និងភាគល្អិត។

យើងទទួលបានសមីការ Schrödinger ពីកន្សោមសម្រាប់មុខងាររលកនៃអេឡិចត្រុងសេរី។ ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ។

ដោយប្រើទំនាក់ទំនងនៃប្រេកង់ជាមួយថាមពល និងលេខរលកជាមួយសន្ទុះ យើងទទួលបាន៖ .

នៅក្នុងករណីទូទៅ គឺជាថាមពលសរុបនៃភាគល្អិត , គឺជាថាមពល kinetic និងជាថាមពលអន្តរកម្ម។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទី 1 ដោយគោរព និងទីពីរទាក់ទងនឹងកូអរដោនេនៃអនុគមន៍ Y: (1), (2) ។

យើងគុណសមីការ (1) ដោយ , និងសមីការ (2) ដោយ (ដូច្នេះកត្តានៅខាងស្តាំដៃនឹងមានវិមាត្រនៃថាមពល):

, .

យើងបន្ថែមសមីការលទ្ធផល៖

.

ដោយហេតុថា សមភាពចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ .

នេះគឺជាសមីការ Schrödinger ។ វាត្រូវបានទទួលសម្រាប់កូអរដោនេមួយ។ ប្រសិនបើវាត្រូវបានសរសេរឡើងវិញសម្រាប់ 3 កូអរដោណេ បន្ទាប់មកដោយការណែនាំប្រតិបត្តិករ Laplace យើងនឹងមាន

.

សមីការ Schrödinger មិនអាចទទួលបានដោយផ្ទាល់ពីច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃរូបវិទ្យាបុរាណទេ។ សមីការ Schrodinger អនុញ្ញាត​ឱ្យ​អ្នក​ស្វែង​រក​មុខងារ​រលក​នៅ​ពេល​ដែល​បំពាន​ក្នុង​ពេល​វេលា។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន អ្នកត្រូវដឹងពីមុខងាររលកនៅចំណុចថេរក្នុងពេលវេលា ម៉ាស់នៃភាគល្អិត និងថាមពលនៃអន្តរកម្មនៃភាគល្អិតជាមួយវាលកម្លាំង។ មុខងាររលកដែលបានរកឃើញធ្វើឱ្យវាអាចគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្វែងរកភាគល្អិតនៅចំណុចបំពានក្នុងលំហសម្រាប់ពេលណាមួយនៃពេលវេលា។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗដែលមុខងាររលកត្រូវតែបំពេញគឺដំណោះស្រាយនៃសមីការ Schrödinger៖

1. មុខងាររលកគឺលីនេអ៊ែរ i.e. ប្រសិនបើ … ជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ នោះការរួមផ្សំលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេគឺជាដំណោះស្រាយ។

2. ដេរីវេផ្នែកទីមួយទាក់ទងនឹងកូអរដោណេគឺលីនេអ៊ែរ

3. មុខងាររលក និងនិស្សន្ទវត្ថុលំហរបស់វាត្រូវតែមានតម្លៃតែមួយ កំណត់ និងបន្ត។

4. ដូចដែលយើងមានទំនោរទៅ ∞ តម្លៃនៃមុខងាររលកគួរតែមានទំនោរទៅសូន្យ។

សមីការ Schrödinger សម្រាប់រដ្ឋស្ថានី។

ប្រសិនបើវាលកម្លាំងដែលភាគល្អិតដែលបានពិពណ៌នាផ្លាស់ទីគឺនៅស្ថានី នោះសក្តានុពលរបស់វាមិនអាស្រ័យលើពេលវេលាច្បាស់លាស់ទេ ហើយមុខងារមានអត្ថន័យនៃថាមពលសក្តានុពល ហើយអាស្រ័យតែលើកូអរដោណេប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងករណីនេះមុខងាររលកអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃពីរ។ មុខងារមួយអាស្រ័យតែលើ មួយទៀតអាស្រ័យតែលើពេលវេលាប៉ុណ្ណោះ៖

យើងជំនួសកន្សោមចុងក្រោយទៅក្នុងសមីការ Schrödinger

បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយដោយកត្តាពេលវេលា និងការផ្លាស់ប្តូរបឋមមួយចំនួន យើងទទួលបាន៖ (*).

នេះគឺជាសមីការ Schrödinger សម្រាប់រដ្ឋស្ថានី។ វារួមបញ្ចូលតែផ្នែកកូអរដោនេនៃមុខងាររលក - . ប្រសិនបើរកឃើញក្រោយ នោះមុខងាររលកសរុបត្រូវបានរកឃើញដោយគុណផ្នែកកូអរដោណេដោយកត្តាពេលវេលា។

ដោយសារប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានកំណត់ដោយការ៉េនៃអនុគមន៍រលក ហើយការេនៃតម្លៃស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានរកឃើញដោយការគុណដោយបន្សំស្មុគស្មាញ នោះទំនាក់ទំនងខាងក្រោមមានសម្រាប់អនុគមន៍រលកស្ថានី៖

ដូច្នេះ ដើម្បី​ស្វែង​រក​អនុគមន៍​រលក​សម្រាប់​ស្ថាន​ភាព​ស្ថានី វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​ដោះស្រាយ​សមីការ (*) ហើយ​ដឹង​ថា​ថាមពល​សរុប។

ចលនាដោយសេរីនៃភាគល្អិត។

ក្នុងអំឡុងពេលចលនាដោយសេរីនៃភាគល្អិតកង់ទិច គ្មានកម្លាំងណាមួយធ្វើសកម្មភាពលើវាទេ ហើយថាមពលសក្តានុពលរបស់វាអាចស្មើនឹងសូន្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យភាគល្អិតផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅ បន្ទាប់មក (*) យកទម្រង់៖ .

ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការនេះគឺជាមុខងារនៃទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែលនិងជាថេរ។ ប្រសិនបើយើងជំនួសដំណោះស្រាយដែលចង់បានទៅក្នុងសមីការខ្លួនវា នោះយើងនឹងទទួលបានទំនាក់ទំនងរវាងថាមពលនៃភាគល្អិត និងបរិមាណ៖

មុខងាររលកពេញលេញ ដោយគិតគូរពីពេលវេលាអាស្រ័យសម្រាប់ភាគល្អិតឥតគិតថ្លៃ មានទម្រង់។ វា​គឺ​ជា​រលក monochromatic របស់​យន្តហោះ​ដែល​មាន​ប្រេកង់ និង​លេខ​រលក។ ចាប់តាំងពី , និង , បន្ទាប់មក។

សមីការ SCHROEDINGER
និងករណីពិសេសរបស់វា (ត)៖ ការឆ្លងកាត់ភាគល្អិតតាមរយៈរបាំងសក្តានុពល លំយោលអាម៉ូនិក

ការឆ្លងកាត់ភាគល្អិតតាមរយៈរបាំងសក្តានុពលមួយ។សម្រាប់ករណីបុរាណ យើងបានពិចារណារួចហើយនៅក្នុងមេរៀនទី 7 ផ្នែកទី 1 (សូមមើលរូប 7.2)។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាមីក្រូភាគល្អិតដែលថាមពលសរុបតិចជាងកម្រិត យូរបាំងសក្តានុពល (រូបភាព 19.1) ។ នៅក្នុងកំណែបុរាណក្នុងករណីនេះការឆ្លងកាត់ភាគល្អិតតាមរយៈរបាំងគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងរូបវិទ្យា quantum មានលទ្ធភាពដែលភាគល្អិតនឹងឆ្លងកាត់។ លើសពីនេះទៅទៀត វានឹងមិន "លោត" ពីលើវាទេ ប៉ុន្តែដូចដែលវាត្រូវបាន "លេចធ្លាយ" ដោយប្រើគុណភាពរលករបស់វា។ ដូច្នេះឥទ្ធិពលត្រូវបានគេហៅថា "ផ្លូវរូងក្រោមដី" ផងដែរ។ សម្រាប់តំបន់នីមួយៗ I, II, IIIយើងសរសេរសមីការ Schrödinger ស្ថានី (18.3) ។

សម្រាប់ ខ្ញុំនិង III: , (19.1, ក)

សម្រាប់ II៖ https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32"> ដែល a = const ។បន្ទាប់មក និង y" = .ការជំនួស y" ទៅក្នុង (19.1a) ផ្តល់ឱ្យ៖ ដំណោះស្រាយទូទៅដែលត្រូវការសម្រាប់ដែន ខ្ញុំសរសេរជា superposition

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

ក្នុងករណីនេះ ចំណុចដំបូងនៃការសាយភាយរលកត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយ អិល, ក អេ 3 = 0 ដោយសារតែនៅក្នុងតំបន់ IIIមានតែរលកឆ្លងកាត់ប៉ុណ្ណោះ។

ក្នុងតំបន់ II(របាំង) ការជំនួស y" នៅក្នុង (19.1b) ផ្តល់ឱ្យ

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការឆ្លងកាត់ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈ មេគុណបញ្ជូន- សមាមាត្រនៃអាំងតង់ស៊ីតេនៃរលកបញ្ជូនទៅកាន់អាំងតង់ស៊ីតេនៃឧប្បត្តិហេតុ៖

(0) = y2"(0), y2"( អិល) = y3"( អិល); (19.5)

ដែលពីរដំបូងមានន័យថា "ដេរ" នៃមុខងារនៅព្រំដែនខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៃរនាំងហើយទីបីនិងទីបួន - ភាពរលូននៃការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះ។ ការជំនួសអនុគមន៍ y1, y2 និង y3 ទៅជា (19.5) យើងទទួលបានសមីការ

ចូរយើងបែងចែកពួកវាទៅជា ប៉ុន្តែ 1 និងសម្គាល់ ក 2= ក 2/ ក 1; ខ 1= ខ 1/ ក 1; ក 3= ក 3/ ក 1; ខ 2= ខ 2/ ក 1.

. (19.6)

យើងគុណសមីការទីមួយ (19.6) ដោយ ខ្ញុំkហើយបន្ថែមវាទៅទីពីរ។ ចូរយើងទទួលបាន 2 ខ្ញុំk = ក 2(q +ខ្ញុំk)- ខ 2(q-ខ្ញុំk) . (19.7)

សមីការគូទីពីរ (19.6) នឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ ក 2 និង ខ 2.

កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺ៖

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

ដែលជាកន្លែងដែល e- qL(q+ខ្ញុំk) 2 » 0, ដោយសារតែ qL >> 1.

ដូច្នេះ https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63"> ហើយដើម្បីស្វែងរកម៉ូឌុលនៃតម្លៃស្មុគស្មាញ ក 3, គុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគលទ្ធផលដោយ ( q +ខ្ញុំk)2. បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរសាមញ្ញយើងទទួលបាន

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">ជាធម្មតា អ៊ី/យូ~ 90% និងមេគុណទាំងមូលមុន "e" គឺតាមលំដាប់នៃមួយ។ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាគល្អិតឆ្លងកាត់របាំងត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">។

នេះមានន័យថានៅ អ៊ី< U ភាគល្អិតនឹងមិនយកឈ្នះឧបសគ្គនោះទេ ពោលគឺគ្មានឥទ្ធិពលផ្លូវរូងក្រោមដីក្នុងរូបវិទ្យាបុរាណទេ។

ឥទ្ធិពលនេះត្រូវបានប្រើនៅក្នុងការអនុវត្តផ្នែកវិស្វកម្មដើម្បីបង្កើត diodes ផ្លូវរូងក្រោមដីដែលត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងឧបករណ៍វិស្វកម្មវិទ្យុ (សូមមើលផ្នែកទី 3 មេរៀនទី 3) ។

លើសពីនេះ វាបានប្រែក្លាយថាអាចចាប់ផ្តើមប្រតិកម្មលាយបញ្ចូលគ្នារវាង thermonuclear នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដី ដែលកើតឡើងនៅលើព្រះអាទិត្យក្រោមលក្ខខណ្ឌធម្មតាសម្រាប់ព្រះអាទិត្យ - នៅសីតុណ្ហភាព។ ធ ~ 109 ខេ. មិនមានសីតុណ្ហភាពបែបនេះនៅលើផែនដីទេ ប៉ុន្តែដោយសារឥទ្ធិពលផ្លូវរូងក្រោមដី វាអាចចាប់ផ្តើមប្រតិកម្មនៅសីតុណ្ហភាពមួយ។ ធ ~ 107 ខេដែលកើតឡើងកំឡុងពេលផ្ទុះគ្រាប់បែកបរមាណូ ដែលជាឧបករណ៍បញ្ឆេះសម្រាប់គ្រាប់បែកអ៊ីដ្រូសែន។ បន្ថែមទៀតអំពីរឿងនេះនៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់នៃវគ្គសិក្សា។

លំយោលអាម៉ូនិក។បុរាណលំយោល​អាម៉ូនិក​ក៏​ត្រូវ​បាន​យើង​ពិចារណា​រួច​ទៅ​ហើយ (មេរៀន​ទី ១,២ វគ្គ ៣)។ ឧទាហរណ៍វាគឺជាប៉ោលនិទាឃរដូវដែលជាថាមពលសរុប អ៊ី = mV 2/2 + kx២/២. តាមទ្រឹស្តី ថាមពលនេះអាចទទួលយកតម្លៃបន្តបន្ទាប់គ្នា ដោយចាប់ផ្តើមពីសូន្យ។

លំយោលអាម៉ូនិក quantum គឺជាលំយោលមីក្រូហ្វូនដែលយោងទៅតាមច្បាប់អាម៉ូនិក ដែលស្ថិតនៅក្នុងស្ថានភាពចងនៅខាងក្នុងអាតូម ឬស្នូល។ ក្នុងករណីនេះ ថាមពលសក្តានុពលនៅតែមានលក្ខណៈបុរាណ ដែលបង្ហាញពីកម្លាំងស្តារភាពយឺតស្រដៀងគ្នា kx. ពិចារណាថាប្រេកង់វដ្ត យើងទទួលបានថាមពលសក្តានុពល https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">។ (19.9)

គណិតវិទ្យា បញ្ហានេះរឹតតែពិបាកជាងបញ្ហាមុនៗ។ ដូច្នេះ យើង​ដាក់​កម្រិត​ខ្លួន​យើង​ក្នុង​ការ​បញ្ជាក់​ថា​អ្វី​នឹង​ជា​លទ្ធផល។ ដូចនៅក្នុងករណីនៃអណ្តូងមួយវិមាត្រយើងទទួលបាន ដាច់វិសាលគមនៃមុខងារ eigenergies និង eigenergies ហើយ eigenvalue ថាមពលមួយនឹងឆ្លើយតបទៅនឹងមុខងាររលកមួយ៖ អេនÛ y ន(មិនមានការខ្សោះជីវជាតិនៃរដ្ឋដូចនៅក្នុងករណីនៃអណ្តូងបីវិមាត្រ) ។ ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ |yn|2 ក៏ជាមុខងារលំយោលមួយដែរ ប៉ុន្តែកម្ពស់នៃ "humps" គឺខុសគ្នា។ វា​មិន​មែន​ជា banal ទៀត​ទេ​ អំពើបាប2 ខណៈពេលដែលពហុធា Hermite កម្រនិងអសកម្ម hn(x) មុខងាររលកមានទម្រង់

កន្លែងណា ជាមួយន- អាស្រ័យ​លើ នថេរ។ វិសាលគម eigenvalue ថាមពល៖

, (19.10)

តើលេខកង់ទិចនៅឯណា ន = 0, 1, 2, 3 ... . ដូច្នេះ ក៏មាន "ថាមពលសូន្យ" ផងដែរ។ ខាងលើដែលវិសាលគមថាមពលបង្កើតបានជា "ជង់" ដែលធ្នើរមានទីតាំងនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមក (រូបភាព 19.2) ។ តួលេខដូចគ្នាបង្ហាញពីដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា |yn|2 សម្រាប់កម្រិតថាមពលនីមួយៗ ក៏ដូចជាថាមពលសក្តានុពលនៃវាលខាងក្រៅ (ប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានចំនុច)។

អត្ថិភាពនៃថាមពលអប្បរមាដែលមិនសូន្យនៃលំយោលមានអត្ថន័យជ្រាលជ្រៅ។ នេះមានន័យថាលំយោលនៃមីក្រូភាគល្អិតមិនឈប់ទេ។ មិនដែលដែលមានន័យថា សីតុណ្ហភាពសូន្យដាច់ខាតគឺមិនអាចសម្រេចបាន។

1., រូបវិទ្យា Bursian: វគ្គសិក្សានៃការបង្រៀនដោយមានការគាំទ្រកុំព្យូទ័រ: Proc ។ ប្រាក់ឧបត្ថម្ភសម្រាប់និស្សិត។ ខ្ពស់ជាង សៀវភៅសិក្សា ស្ថាប័ន៖ នៅក្នុង 2 ភាគ - M.: VLADOS-PRESS Publishing House, 2001 ។

ជាគោលការណ៍គ្មានអ្វីពិសេសទេ ពួកគេអាចរកឃើញនៅក្នុងតារាង និងសូម្បីតែក្រាហ្វ។

សម្រាប់ភាគល្អិតនៃពិភពលោក quantum ច្បាប់ផ្សេងទៀតត្រូវបានអនុវត្តជាជាងសម្រាប់វត្ថុនៃមេកានិចបុរាណ។ យោងទៅតាមការសន្មត់របស់ de Broglie វត្ថុមីក្រូមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងភាគល្អិត និងរលក ហើយជាការពិតនៅពេលដែលធ្នឹមអេឡិចត្រុងខ្ចាត់ខ្ចាយនៅរន្ធមួយ ភាពមិនស្មើគ្នាត្រូវបានអង្កេតឃើញ ដែលជាលក្ខណៈនៃរលក។

ហេតុដូច្នេះហើយ យើងអាចនិយាយមិនអំពីចលនានៃភាគល្អិតកង់ទិច ប៉ុន្តែអំពីប្រូបាប៊ីលីតេដែលភាគល្អិតនឹងស្ថិតនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ ក្នុងពេលជាក់លាក់ណាមួយ។

អ្វីដែលពិពណ៌នាអំពីសមីការ Schrödinger

សមីការ Schrödinger មានគោលបំណងពណ៌នាអំពីលក្ខណៈនៃចលនារបស់វត្ថុ Quantum នៅក្នុងវាលនៃកម្លាំងខាងក្រៅ។ ជារឿយៗភាគល្អិតមួយផ្លាស់ទីតាមវាលកម្លាំងដែលមិនអាស្រ័យលើពេលវេលា។ ចំពោះករណីនេះ សមីការ Schrödinger ស្ថានីត្រូវបានសរសេរ៖

នៅក្នុងសមីការដែលបានបង្ហាញ m និង E គឺជាថាមពលនៃភាគល្អិតនៅក្នុងវាលកម្លាំង ហើយ U គឺជាថាមពលនៃវាលនេះ។ គឺជាប្រតិបត្តិករ Laplace ។ - ថេររបស់ Planck ស្មើនឹង 6.626 10 -34 J s ។

(វាត្រូវបានគេហៅថា អំព្លីទីត ប្រូបាប៊ីលីតេ ឬ psi-function) - នេះគឺជាមុខងារដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកកន្លែងដែលវត្ថុតូចរបស់យើងទំនងជានៅក្នុងលំហ។ អត្ថន័យរូបវន្តមិនមែនជាមុខងាររបស់វាទេ ប៉ុន្តែជាការ៉េរបស់វា។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលភាគល្អិតស្ថិតនៅក្នុងបរិមាណបឋមគឺ៖

ដូច្នេះ គេអាចស្វែងរកអនុគមន៍ក្នុងបរិមាណកំណត់ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ៖

ដោយសារមុខងារ psi គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេ វាមិនអាចតិចជាងសូន្យ ឬលើសពីមួយ។ ប្រូបាប៊ីលីតេសរុបនៃការស្វែងរកភាគល្អិតក្នុងបរិមាណគ្មានកំណត់ គឺជាលក្ខខណ្ឌធម្មតា៖

សម្រាប់មុខងារ psi គោលការណ៍ superposition ដំណើរការ៖ ប្រសិនបើភាគល្អិត ឬប្រព័ន្ធមួយអាចស្ថិតនៅក្នុងចំនួននៃ quantum states នោះរដ្ឋដែលកំណត់ដោយផលបូករបស់ពួកគេក៏អាចធ្វើទៅបានដែរសម្រាប់វា៖

សមីការ Schrödinger ស្ថានីមានដំណោះស្រាយជាច្រើន ប៉ុន្តែនៅពេលដោះស្រាយ អ្នកគួរតែគិតគូរពីលក្ខខណ្ឌព្រំដែន ហើយជ្រើសរើសតែដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវប៉ុណ្ណោះ - ដំណោះស្រាយដែលមានអត្ថន័យជាក់ស្តែង។ ដំណោះស្រាយបែបនេះមានសម្រាប់តែតម្លៃបុគ្គលនៃថាមពលនៃភាគល្អិត E ដែលបង្កើតបានជាវិសាលគមថាមពលដាច់ពីគ្នានៃភាគល្អិត។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា

ឧទាហរណ៍ ១

លំហាត់ប្រាណ	មុខងាររលកពណ៌នាពីចំងាយរវាងអេឡិចត្រុង និងស្នូលអ៊ីដ្រូសែន៖ r ជាចំងាយរវាងអេឡិចត្រុង និងស្នូល a គឺជាកាំបូរទីមួយ។ តើអេឡិចត្រុងទំនងជាស្ថិតនៅចម្ងាយប៉ុន្មានពីស្នូល?
ការសម្រេចចិត្ត	1) ការបង្ហាញពីកម្រិតសំឡេងក្នុងន័យនៃកាំនៃស្នូល យើងរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេដែលអេឡិចត្រុងស្ថិតនៅចម្ងាយជាក់លាក់មួយពីស្នូល៖ 2) ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអេឡិចត្រុងស្ថិតនៅក្នុង "ចិញ្ចៀន" បឋម dr: ៣) ដើម្បីស្វែងរកចម្ងាយដែលទំនងបំផុត យើងរកឃើញពីកន្សោមចុងក្រោយ៖ ការដោះស្រាយសមីការនេះ យើងទទួលបាន r = a - ចម្ងាយទំនងបំផុតរវាងអេឡិចត្រុង និងស្នូល។
ចម្លើយ	r = a – ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់បំផុត ស្នូលស្ថិតនៅចំងាយនៃកាំ Bohr ដំបូងពីស្នូល។

ឧទាហរណ៍ ២

លំហាត់ប្រាណ

ស្វែងរកកម្រិតថាមពលនៃភាគល្អិតនៅក្នុងអណ្តូងសក្តានុពលដ៏ជ្រៅគ្មានកំណត់។

ការសម្រេចចិត្ត

អនុញ្ញាតឱ្យភាគល្អិតផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស x ។ ទទឹងរណ្តៅ - លីត្រ។ យើងរាប់ថាមពលពីបាតអណ្តូង ហើយពិពណ៌នាវាជាមួយនឹងមុខងារ៖ យើងសរសេរសមីការ Schrödinger ស្ថានីមួយវិមាត្រ៖ ពិចារណាលក្ខខណ្ឌព្រំដែន។ ដោយសារយើងជឿថាភាគល្អិតមិនអាចជ្រាបចូលជញ្ជាំងបាន ដូច្នេះនៅខាងក្រៅអណ្តូង = 0 ។ នៅព្រំដែននៃអណ្តូង មុខងារ psi ក៏ស្មើនឹងសូន្យដែរ៖ នៅក្នុងអណ្តូង ថាមពលសក្តានុពលគឺ U=0។ បន្ទាប់មកសមីការ Schrödinger ដែលត្រូវបានសរសេរសម្រាប់អណ្តូងនឹងត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ: ក្នុងទម្រង់នេះគឺជា DE នៃលំយោលអាម៉ូនិក៖

ចលនានៃមីក្រូភាគល្អិតនៅក្នុងវាលកម្លាំងផ្សេងៗត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃមេកានិចកង់ទិចដែលមិនទាក់ទងគ្នាដោយប្រើសមីការ Schrödinger ដែលលក្ខណៈសម្បត្តិរលកដែលបានសង្កេតដោយពិសោធន៍នៃភាគល្អិតធ្វើតាម។ សមីការនេះ ដូចជាសមីការជាមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃរូបវិទ្យា មិនត្រូវបានយកមកទេ ប៉ុន្តែត្រូវបានប្រកាស។ ភាពត្រឹមត្រូវរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការព្រមព្រៀងរវាងលទ្ធផលនៃការគណនា និងការពិសោធន៍។ សមីការរលក Schrödinger មានទម្រង់ទូទៅដូចខាងក្រោមៈ

- (ħ 2/2m) ∙ ∆ψ + U (x, y, z, t) ∙ ψ = i ∙ ħ ∙ (∂ψ / ∂t)

ដែល ħ = h / 2π, h = 6.623∙10 -34 J ∙ s - ថេររបស់ Planck;
m គឺជាម៉ាស់នៃភាគល្អិត;
∆ - ប្រតិបត្តិករ Laplace (∆ = ∂ 2 / ∂x 2 + ∂ 2 / ∂y 2 + ∂ 2 / ∂z 2);
ψ = ψ (x, y, z, t) - អនុគមន៍រលកដែលចង់បាន;
U (x, y, z, t) គឺជាមុខងារសក្តានុពលនៃភាគល្អិតនៅក្នុងវាលកម្លាំងដែលវាផ្លាស់ទី;
ខ្ញុំគឺជាឯកតានៃការស្រមើលស្រមៃ។

សមីការ​នេះ​មាន​ដំណោះ​ស្រាយ​តែ​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​ដែល​បាន​កំណត់​លើ​មុខងារ​រលក៖

1. ψ (x, y, z, t) ត្រូវតែកំណត់ តម្លៃតែមួយ និងបន្ត។
2. ដេរីវេទី 1 របស់វាត្រូវតែបន្ត។
3. មុខងារ | ψ | 2 ត្រូវតែរួមបញ្ចូល ដែលនៅក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុតកាត់បន្ថយទៅលក្ខខណ្ឌធម្មតាសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេ។

សម្រាប់បាតុភូតរូបវន្តជាច្រើនដែលកើតឡើងនៅក្នុងអតិសុខុមប្រាណ សមីការ (8.1) អាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញដោយលុបបំបាត់ការពឹងផ្អែកនៃ ψ ទាន់ពេល ពោលគឺឧ។ ស្វែងរកសមីការ Schrödinger សម្រាប់រដ្ឋស្ថានីដែលមានថាមពលថេរ។ វាអាចទៅរួចប្រសិនបើវាលកម្លាំងដែលភាគល្អិតផ្លាស់ទីគឺនៅស្ថានី ពោលគឺឧ។ U = U (x, y, z) មិនជាក់លាក់អាស្រ័យលើពេលវេលា និងមានអត្ថន័យនៃថាមពលសក្តានុពល។ បន្ទាប់មក បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរ យើងអាចទៅដល់សមីការ Schrödinger សម្រាប់រដ្ឋស្ថានី៖

∆ψ + (2m / ħ 2) ∙ (E − U) ∙ ψ = 0

ដែល ψ = ψ (x, y, z) គឺជាមុខងាររលកនៃកូអរដោណេតែប៉ុណ្ណោះ;
អ៊ីគឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃសមីការ - ថាមពលសរុបនៃភាគល្អិត។

សម្រាប់សមីការនេះ មានតែដំណោះស្រាយដែលត្រូវបានបង្ហាញដោយមុខងារធម្មតា ψ (ហៅថាមុខងារ eigen) ដែលកើតឡើងសម្រាប់តែតម្លៃជាក់លាក់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ E ដែលហៅថាថាមពល eigenvalue មានអត្ថន័យជាក់ស្តែង។ តម្លៃទាំងនេះនៃ E អាចបង្កើតជាស៊េរីបន្ត ឬជាស៊េរីដាច់ គឺ i.e. ទាំងវិសាលគមថាមពលបន្ត និងដាច់ដោយឡែក។

សម្រាប់ microparticle ណាមួយនៅក្នុងវត្តមាននៃសមីការ Schrödinger នៃប្រភេទ (8.2) បញ្ហានៃមេកានិចកង់ទិចត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ i.e. ការស្វែងរកតម្លៃនៃមុខងាររលក ψ = ψ (x, y, z) ដែលត្រូវគ្នានឹងវិសាលគម eigenenergy E. បន្ទាប់ ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ | ψ | 2 ដែលកំណត់ក្នុងមេកានិចកង់ទិចនូវប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្វែងរកភាគល្អិតក្នុងបរិមាណឯកតាក្នុងសង្កាត់នៃចំណុចដែលមានកូអរដោណេ (x, y, z) ។

ករណីសាមញ្ញបំផុតមួយនៃការដោះស្រាយសមីការ Schrödinger គឺជាបញ្ហានៃឥរិយាបទនៃភាគល្អិតនៅក្នុង "អណ្តូងសក្តានុពល" រាងចតុកោណមួយវិមាត្រជាមួយនឹង "ជញ្ជាំង" ខ្ពស់គ្មានកំណត់។ "រណ្តៅ" បែបនេះសម្រាប់ភាគល្អិតដែលផ្លាស់ទីតែតាមអ័ក្ស X ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយថាមពលសក្តានុពលនៃទម្រង់

ដែលលីត្រគឺជាទទឹងនៃ "រណ្តៅ" ហើយថាមពលត្រូវបានវាស់ពីបាតរបស់វា (រូបភាព 8.1) ។

សមីការ Schrödinger សម្រាប់រដ្ឋស្ថានីនៅក្នុងករណីនៃបញ្ហាមួយវិមាត្រអាចត្រូវបានសរសេរជា:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ (E − U) ∙ ψ = 0

ដោយសារតែការពិតដែលថា "ជញ្ជាំងរណ្តៅ" ខ្ពស់គ្មានកំណត់ ភាគល្អិតមិនជ្រាបចូលលើសពី "រណ្តៅ" ទេ។ នេះនាំឱ្យមានលក្ខខណ្ឌព្រំដែន៖

ψ (0) = ψ (l) = 0

នៅក្នុង "រណ្តៅ" (0 ≤ x ≤ l) សមីការ (8.4) កាត់បន្ថយទៅ:

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (2m / ħ 2) ∙ E ∙ ψ = 0

∂ 2 ψ / ∂x 2 + (k 2 ∙ ψ) = 0

ដែល k 2 = (2m ∙ E) / ħ ២

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ (8.7) ដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌព្រំដែន (8.5) ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុតមានទម្រង់:

ψ (x) = A ∙ sin (kx)

ដែល k = (n ∙ π)/l

សម្រាប់តម្លៃចំនួនគត់នៃ n ។

ពីកន្សោម (8.8) និង (8.10) វាធ្វើតាមនោះ។

អ៊ី n = (n 2 ∙ π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) (n = 1, 2, 3 ... )

ទាំងនោះ។ ថាមពលនៃរដ្ឋស្ថានីអាស្រ័យទៅលើចំនួនគត់ n (ហៅថាលេខ quantum) និងមានតម្លៃដាច់ដោយឡែកជាក់លាក់ ហៅថាកម្រិតថាមពល។

អាស្រ័យហេតុនេះ មីក្រូភាគល្អិតនៅក្នុង "អណ្តូងសក្តានុពល" ដែលមាន "ជញ្ជាំង" ខ្ពស់គ្មានដែនកំណត់ អាចស្ថិតនៅកម្រិតថាមពលជាក់លាក់ E n , i.e. in discrete quantum states n.

ការជំនួសកន្សោម (8.10) ទៅជា (8.9) យើងរកឃើញមុខងារ eigen

ψ n (x) = A ∙ sin (nπ / l) ∙ x

ការរួមបញ្ចូលថេរ A អាចត្រូវបានរកឃើញពីលក្ខខណ្ឌធម្មតានៃមេកានិចកង់ទិច (ប្រូបាប៊ីលីស)

ដែលសម្រាប់ករណីនេះអាចសរសេរជា៖

Wherece ជាលទ្ធផលនៃការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន А = √ (2 / l) ហើយបន្ទាប់មកយើងមាន

ψ n (x) = (√ (2 / l)) ∙ sin (nπ / l) ∙ x (n = 1, 2, 3 ... )

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ ψ n (x) មិនមានអត្ថន័យរូបវន្តទេ ចំណែកឯក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ | ψ n | 2 បង្ហាញការចែកចាយនៃដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរកឃើញភាគល្អិតនៅចម្ងាយខុសគ្នាពី "ជញ្ជាំងនៃរណ្តៅ" (រូបភាព 8.1) ។ គ្រាន់តែក្រាហ្វទាំងនេះ (ក៏ដូចជា ψ n (x) - សម្រាប់ការប្រៀបធៀប) ត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងការងារនេះហើយបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាគំនិតអំពីគន្លងភាគល្អិតនៅក្នុងមេកានិចកង់ទិចគឺមិនអាចទទួលយកបាន។

ពីកន្សោម (8.11) វាដូចខាងក្រោមថាចន្លោះថាមពលរវាងកម្រិតពីរដែលនៅជាប់គ្នាគឺស្មើនឹង

∆E n = E n-1 - E n = (π 2 ∙ ħ 2) / (2m ∙ l 2) ∙ (2n + 1)

ពីនេះវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាសម្រាប់មីក្រូភាគល្អិត (ដូចជាអេឡិចត្រុង) ដែលមានទំហំ "អណ្តូង" ធំ (l≈ 10 -1 m) កម្រិតថាមពលមានគម្លាតយ៉ាងជិតស្និទ្ធដែលបង្កើតបានជាវិសាលគមស្ទើរតែបន្ត។ រដ្ឋបែបនេះកើតឡើងឧទាហរណ៍សម្រាប់អេឡិចត្រុងដោយឥតគិតថ្លៃនៅក្នុងលោហៈមួយ។ ប្រសិនបើវិមាត្រនៃ "រណ្តៅ" គឺសមស្របនឹងអាតូមិក (l ≈ 10 -10 m) នោះវិសាលគមថាមពលដាច់ពីគ្នា (វិសាលគមបន្ទាត់) ត្រូវបានទទួល។ ប្រភេទនៃវិសាលគមទាំងនេះក៏អាចត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងការងារនេះសម្រាប់ microparticles ផ្សេងៗ។

ករណីមួយទៀតនៃឥរិយាបទនៃ microparticles (ក៏ដូចជា microsystems - pendulums) ដែលត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់នៅក្នុងការអនុវត្ត (ហើយត្រូវបានពិចារណាក្នុងការងារនេះ) គឺជាបញ្ហានៃលំយោលអាម៉ូនិកលីនេអ៊ែរនៅក្នុងមេកានិចកង់ទិច។

ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាថាមពលសក្តានុពលនៃលំយោលអាម៉ូនិកមួយវិមាត្រដែលមានម៉ាស់ m គឺស្មើនឹង

U (x) = (m ∙ ω 0 2 ∙ x 2)/ 2

ដែល ω 0 គឺជាប្រេកង់លំយោលធម្មជាតិនៃលំយោល ω 0 = √ (k / m);
k - មេគុណនៃការបត់បែននៃលំយោល។

ការពឹងផ្អែក (8.17) មានទម្រង់នៃប៉ារ៉ាបូឡា ពោលគឺឧ។ "អណ្តូងសក្តានុពល" ក្នុងករណីនេះគឺ parabolic (រូបភាព 8.2) ។

លំយោលអាម៉ូនិក quantum ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ Schrödinger (8.2) ដែលគិតគូរពីការបញ្ចេញមតិ (8.17) សម្រាប់ថាមពលសក្តានុពល។ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះត្រូវបានសរសេរជា៖

ψ n (x) = (N n ∙ e −αx2/2) ∙ H n (x)

ដែល N n គឺជាកត្តាធម្មតាថេរអាស្រ័យលើចំនួនគត់ n;
α = (m ∙ ω 0) / ħ;
H n (x) គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ n មេគុណដែលត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត recursive សម្រាប់ចំនួនគត់ n ។
នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គេអាចបង្ហាញថាសមីការ Schrödinger មានដំណោះស្រាយ (8.18) សម្រាប់តែ eigenvalues ​​ថាមពលប៉ុណ្ណោះ៖

អ៊ី n = (n + (1/2)) ∙ ħ ∙ ω 0

ដែល n = 0, 1, 2, 3... ជាលេខ quantum ។

នេះមានន័យថាថាមពលរបស់ quantum oscillator អាចយកតែតម្លៃដាច់ពីគ្នា ពោលគឺឧ។ ត្រូវ​បាន​កំណត់​បរិមាណ។ សម្រាប់ n = 0, E 0 = (ħ ∙ ω 0) / 2 កើតឡើង, i.e. ថាមពលនៃរំញ័រសូន្យ ដែលជាតួយ៉ាងសម្រាប់ប្រព័ន្ធ quantum និងជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃទំនាក់ទំនងមិនច្បាស់លាស់។

ដូចដែលដំណោះស្រាយលម្អិតនៃសមីការ Schrödinger សម្រាប់ quantum oscillator បង្ហាញ ថាមពល eigenvalue នីមួយៗនៅ n ផ្សេងគ្នាមានមុខងាររលករបស់វា ចាប់តាំងពី កត្តាធ្វើឱ្យធម្មតាថេរអាស្រ័យលើ n

ហើយ H n (x) គឺជាពហុធា Chebyshev-Hermite នៃដឺក្រេ n ។
លើសពីនេះទៅទៀត ពហុនាមពីរដំបូងគឺស្មើគ្នា៖

H 0 (x) = 1;
H 1 (x) = 2x ∙ √ α

ពហុនាមបន្ទាប់បន្សំណាមួយគឺទាក់ទងទៅនឹងពួកវាដោយរូបមន្ត recursive ខាងក្រោម៖

H n+1 (x) = 2x ∙ √ α ∙ H n (x) - 2n ∙ H n-1 (x)

Eigenfunctions of the type (8.18) ធ្វើឱ្យវាអាចរកឃើញសម្រាប់ quantum oscillator ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេនៃការស្វែងរក microparticle ដូច | ψ n (x) | 2 និងស្វែងយល់ពីអាកប្បកិរិយារបស់វានៅកម្រិតថាមពលផ្សេងៗ។ ដំណោះ​ស្រាយ​នៃ​បញ្ហា​នេះ​គឺ​មាន​ការ​លំបាក​ដោយ​សារ​តែ​តម្រូវ​ការ​ក្នុង​ការ​ប្រើ​ប្រាស់​រូបមន្ត​ដែល​ប្រើ​ប្រាស់​ដដែលៗ។ បញ្ហានេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយជោគជ័យតែជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់កុំព្យូទ័រប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងការងារបច្ចុប្បន្ន។