ការបំប្លែងសមីការការ៉េពេញលេញទៅជាសមីការមិនពេញលេញមើលទៅដូចនេះ (សម្រាប់ករណី \(b=0\))៖

សម្រាប់ករណីនៅពេលដែល \(c=0\) ឬនៅពេលដែលមេគុណទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នា។

សូមចំណាំថា \(a\) មិនស្មើនឹងសូន្យទេ វាមិនអាចស្មើនឹងសូន្យបានទេ ព្រោះក្នុងករណីនេះវាប្រែទៅជា៖

ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ដំបូងអ្នកត្រូវយល់ថាសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៅតែមាន ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នានឹងការ៉េធម្មតា (តាមរយៈ) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគ្រាន់តែបន្ថែមសមាសធាតុដែលបាត់នៃសមីការជាមួយនឹងមេគុណសូន្យ។

ឧទាហរណ៍ ៖ ស្វែងរកឫសនៃសមីការ \(3x^2-27=0\)
ដំណោះស្រាយ :

		យើង​មាន​សមីការ​ការ៉េ​មិន​ពេញលេញ​ជាមួយ​មេគុណ \(b=0\) ។ នោះគឺយើងអាចសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		តាមពិត ទីនេះ​ជា​សមីការ​ដូច​កាល​ពី​ដើម​ដែរ ប៉ុន្តែ​ឥឡូវ​នេះ​វា​អាច​ដោះស្រាយ​ជា​ការ៉េ​ធម្មតា​បាន​ហើយ។ ដំបូងយើងសរសេរមេគុណ។
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		គណនាការរើសអើងដោយប្រើរូបមន្ត \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		ចូរយើងស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) និង \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		សរសេរចម្លើយ

ចម្លើយ : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

ឧទាហរណ៍ ៖ ស្វែងរកឫសនៃសមីការ \(-x^2+x=0\)
ដំណោះស្រាយ :

		ជាថ្មីម្តងទៀត សមីការការ៉េមិនពេញលេញ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ មេគុណ \(c\) គឺស្មើនឹងសូន្យ។ យើងសរសេរសមីការពេញលេញ។

អនុវិទ្យាល័យជនបទ Kopyevskaya

10 វិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង

ក្បាល៖ Patrikeeva Galina Anatolyevna,

គ្រូគណិតវិទ្យា

s.Kopyevo, 2007

1. ប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍សមីការការ៉េ

1.1 សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

1.2 របៀបដែល Diophantus ចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការ quadratic

1.3 សមីការបួនជ្រុងនៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា

1.4 សមីការ quadratic ក្នុង al-Khwarizmi

1.5 សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុប XIII - XVII សតវត្ស

1.6 អំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

2. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

អក្សរសិល្ប៍

1. ប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍សមីការការ៉េ

1.1 សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែកម្រិតទីមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្រិតទីពីរផងដែរនៅសម័យបុរាណគឺបណ្តាលមកពីតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់នៃដី និងផែនដីនៃលក្ខណៈយោធា ក៏ដូចជាការអភិវឌ្ឍន៍តារាសាស្ត្រ និង គណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។ សមីការបួនជ្រុងអាចដោះស្រាយបានប្រហែលឆ្នាំ 2000 មុនគ។ អ៊ី ជនជាតិបាប៊ីឡូន។

ដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់ពិជគណិតទំនើប យើងអាចនិយាយបានថានៅក្នុងអត្ថបទ cuneiform របស់ពួកគេ បន្ថែមពីលើការមិនពេញលេញ មានដូចជា សមីការបួនជ្រុងពេញលេញដូចជា៖

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះដែលមានចែងនៅក្នុងអត្ថបទរបស់បាប៊ីឡូន គឺស្របគ្នាជាមួយនឹងសម័យទំនើប ប៉ុន្តែគេមិនដឹងថាតើជនជាតិបាប៊ីឡូនចូលមកក្បួននេះដោយរបៀបណានោះទេ។ អត្ថបទ Cuneiform ស្ទើរតែទាំងអស់ដែលបានរកឃើញរហូតមកដល់ពេលនេះផ្តល់តែបញ្ហាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលមានចែងក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ ដោយមិនមានការបង្ហាញពីរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានរកឃើញនោះទេ។

ទោះបីជាមានកម្រិតខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍ពិជគណិតនៅបាប៊ីឡូនក៏ដោយ អត្ថបទ cuneiform ខ្វះគោលគំនិតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។

1.2 របៀបដែល Diophantus ចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការ quadratic ។

Diophantus' Arithmetic មិនមានការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែវាផ្ទុកនូវបញ្ហាជាប្រព័ន្ធ អមដោយការពន្យល់ និងដោះស្រាយដោយការបង្កើតសមីការនៃដឺក្រេផ្សេងៗ។

នៅពេលចងក្រងសមីការ Diophantus ជ្រើសរើសយ៉ាងប៉ិនប្រសប់ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយ។

ជាឧទាហរណ៍នៅទីនេះ គឺជាកិច្ចការមួយរបស់គាត់។

កិច្ចការ ១១."ស្វែងរកលេខពីរដោយដឹងថាផលបូករបស់ពួកគេគឺ 20 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ 96"

Diophantus ប្រកែកដូចខាងក្រោម: វាកើតឡើងពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលលេខដែលចង់បានមិនស្មើគ្នាព្រោះប្រសិនបើពួកគេស្មើគ្នានោះផលិតផលរបស់ពួកគេនឹងស្មើមិនមែន 96 ប៉ុន្តែដល់ 100 ។ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកគេនឹងច្រើនជាង។ ពាក់កណ្តាលនៃផលបូករបស់ពួកគេ ឧ. 10+xមួយទៀតគឺតូចជាង, i.e. ១០ ស. ភាពខុសគ្នារវាងពួកគេ។ 2x .

ដូច្នេះសមីការ៖

(10 + x)(10 − x) = 96

100 − x 2 = 96

x 2 − 4 = 0 (1)

ពី​ទីនេះ x = ២. មួយក្នុងចំណោមលេខដែលចង់បានគឺ 12 , ផ្សេងទៀត 8 . ដំណោះស្រាយ x = −2សម្រាប់ Diophantus មិនមានទេ ព្រោះគណិតវិទ្យាក្រិកដឹងតែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយជ្រើសរើសលេខណាមួយដែលចង់បានជាលេខដែលមិនស្គាល់ នោះយើងនឹងមករកដំណោះស្រាយនៃសមីការ។

y(20 - y) = 96,

y 2 − 20y + 96 = 0. (2)

វាច្បាស់ណាស់ថា Diophantus សម្រួលដំណោះស្រាយដោយជ្រើសរើសភាពខុសគ្នាពាក់កណ្តាលនៃលេខដែលចង់បានដូចជាមិនស្គាល់។ គាត់គ្រប់គ្រងដើម្បីកាត់បន្ថយបញ្ហាដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មិនពេញលេញ (1) ។

1.3 សមីការបួនជ្រុងនៅប្រទេសឥណ្ឌា

បញ្ហាសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងខិត្ដប័ណ្ណតារាសាស្ត្រ "Aryabhattam" ដែលចងក្រងក្នុងឆ្នាំ 499 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា និងតារាវិទូ Aryabhatta ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាម្នាក់ទៀតឈ្មោះ Brahmagupta (សតវត្សទី 7) បានគូសបញ្ជាក់អំពីច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖

អា 2+ ខ x = c, a > 0. (1)

នៅក្នុងសមីការ (1) មេគុណ លើកលែងតែ កក៏អាចជាអវិជ្ជមានផងដែរ។ ក្បួនរបស់ Brahmagupta សំខាន់ស្របគ្នាជាមួយយើង។

នៅប្រទេសឥណ្ឌាបុរាណ ការប្រកួតប្រជែងជាសាធារណៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលំបាកគឺជារឿងធម្មតា។ នៅក្នុងសៀវភៅបុរាណរបស់ឥណ្ឌាមួយ ខាងក្រោមនេះត្រូវបាននិយាយអំពីការប្រកួតប្រជែងបែបនេះ៖ «នៅពេលដែលព្រះអាទិត្យបញ្ចេញផ្កាយដោយភាពភ្លឺស្វាង នោះអ្នកចេះដឹងនឹងបញ្ចេញនូវសិរីរុងរឿងរបស់អ្នកដទៃនៅក្នុងការប្រជុំសាធារណៈ ដោយស្នើ និងដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិត»។ ភារកិច្ចតែងតែស្លៀកពាក់បែបកំណាព្យ។

នេះគឺជាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហារបស់គណិតវិទូឥណ្ឌាដ៏ល្បីល្បាញនៃសតវត្សទី XII ។ បាស្ការ៉ា។

កិច្ចការ ១៣.

“ហ្វូងស្វាដ៏ព្រឺព្រួច និងដប់ពីរនៅក្នុងវល្លិ…

ដោយបានស៊ីថាមពល, មានភាពសប្បាយរីករាយ។ ពួកគេចាប់ផ្តើមលោតព្យួរ ...

ផ្នែកទីប្រាំបី ក្នុងមួយការ៉េ តើមានស្វាប៉ុន្មានក្បាល?

មានភាពសប្បាយរីករាយនៅក្នុងវាលស្មៅ។ អ្នកប្រាប់ខ្ញុំនៅក្នុងហ្វូងនេះ?

ដំណោះស្រាយរបស់ Bhaskara បង្ហាញថាគាត់បានដឹងពីតម្លៃពីរនៃឫសនៃសមីការការ៉េ (រូបភាពទី 3) ។

សមីការដែលត្រូវនឹងបញ្ហាទី១៣គឺ៖

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara សរសេរក្រោមរូបភាព៖

x 2 − 64x = −768

ហើយដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះទៅជាការ៉េ គាត់បន្ថែមទៅភាគីទាំងពីរ 32 2 ទទួលបានបន្ទាប់មក៖

x 2 − 64x + 32 2 = −768 + 1024,

(x − 32) 2 = 256,

x − 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48 ។

1.4 សមីការ quadratic ក្នុង al-Khorezmi

ក្បួនដោះស្រាយពិជគណិតរបស់ Al-Khorezmi ផ្តល់នូវចំណាត់ថ្នាក់នៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។ អ្នកនិពន្ធរាយសមីការ ៦ ប្រភេទ ដោយបង្ហាញវាដូចខាងក្រោម៖

1) "ការេស្មើនឹងឫស", i.e. ax 2 + c = ខ X.

2) "ការេស្មើនឹងចំនួន", i.e. ax 2 = s ។

3) "ឫសគឺស្មើនឹងចំនួន", i.e. ah = s ។

4) "ការេនិងលេខស្មើនឹងឫស", i.e. ax 2 + c = ខ X.

5) "ការេនិងឫសគឺស្មើនឹងចំនួន", i.e. អា 2+ bx = ស.

6) "ឫសនិងលេខស្មើនឹងការេ", i.e. bx + គ \u003d ពូថៅ ២.

សម្រាប់ al-Khwarizmi ដែលជៀសវាងការប្រើលេខអវិជ្ជមាន ពាក្យនៃសមីការនីមួយៗនេះគឺជាការបូក មិនមែនដកទេ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយជាវិជ្ជមាន ច្បាស់ជាមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណានោះទេ។ អ្នកនិពន្ធរៀបរាប់អំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទាំងនេះ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ al-jabr និង al-muqabala ។ ជាការពិតណាស់ ការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់មិនស្របគ្នាទាំងស្រុងជាមួយយើងទេ។ មិនមែននិយាយពីការពិតដែលថាវាក្យសព្ទសុទ្ធសាធទេ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងមិនពេញលេញនៃប្រភេទទីមួយ។

al-Khorezmi ដូចជាគណិតវិទូទាំងអស់មុនសតវត្សទី 17 មិនគិតពីដំណោះស្រាយសូន្យទេ ប្រហែលជាដោយសារតែវាមិនមានបញ្ហានៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងជាក់លាក់នោះទេ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ al-Khorezmi កំណត់ច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយ ហើយបន្ទាប់មកភស្តុតាងធរណីមាត្រ ដោយប្រើឧទាហរណ៍លេខជាក់លាក់។

កិច្ចការ 14 ។"ការេនិងលេខ 21 គឺស្មើនឹង 10 ឫស។ ស្វែងរកឫស" (សន្មត់ថាឫសនៃសមីការ x 2 + 21 = 10x) ។

ដំណោះ​ស្រាយ​របស់​អ្នក​និពន្ធ​ធ្វើ​បែប​នេះ៖ ចែក​ចំនួន​ឬស​ជា​ពាក់​កណ្តាល អ្នក​ទទួល​បាន ៥ គុណ ៥ ដោយ​ខ្លួន​វា ដក ២១ ពី​ផលិតផល នៅសល់ ៤ យក​ឫស ៤ អ្នក​ទទួល​បាន ២ ដក ២ ពី ៥ អ្នក ទទួលបាន 3 នេះនឹងក្លាយជាឫសដែលចង់បាន។ ឬបន្ថែម 2 ទៅ 5 ដែលនឹងផ្តល់ឱ្យ 7 នេះក៏ជាឫសផងដែរ។

Treatise al - Khorezmi គឺជាសៀវភៅដំបូងដែលបានចុះមករកយើង ដែលការចាត់ថ្នាក់នៃសមីការការ៉េត្រូវបានបញ្ជាក់ជាប្រព័ន្ធ ហើយរូបមន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

1.5 សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុប XIII - XVII សតវត្ស

រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងលើគំរូនៃ al - Khorezmi នៅអឺរ៉ុបត្រូវបានកំណត់ជាលើកដំបូងនៅក្នុង "សៀវភៅ Abacus" ដែលសរសេរនៅឆ្នាំ 1202 ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលី Leonardo Fibonacci ។ ការងារដ៏អស្ចារ្យនេះ ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីឥទ្ធិពលនៃគណិតវិទ្យា ទាំងប្រទេសនៃសាសនាឥស្លាម និងក្រិកបុរាណ ត្រូវបានសម្គាល់ដោយភាពពេញលេញ និងភាពច្បាស់លាស់នៃការបង្ហាញ។ អ្នកនិពន្ធបានបង្កើតដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍ពិជគណិតថ្មីមួយចំនួននៃការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយជាអ្នកដំបូងនៅអឺរ៉ុបដែលចូលទៅជិតការណែនាំនៃលេខអវិជ្ជមាន។ សៀវភៅរបស់គាត់បានរួមចំណែកដល់ការរីករាលដាលនៃចំណេះដឹងពិជគណិតមិនត្រឹមតែនៅក្នុងប្រទេសអ៊ីតាលីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងនៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ បារាំង និងបណ្តាប្រទេសអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតផងដែរ។ កិច្ចការជាច្រើនពី "សៀវភៅ Abacus" បានចូលទៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាអឺរ៉ុបស្ទើរតែទាំងអស់នៃសតវត្សទី 16 - ទី 17 ។ និងមួយផ្នែក XVIII ។

ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖

x 2+ bx = ជាមួយ,

សម្រាប់បន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសញ្ញានៃមេគុណ ខ , ជាមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទ្វីបអឺរ៉ុបតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1544 ដោយ M. Stiefel ។

Vieta មានប្រភពទូទៅនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ប៉ុន្តែ Vieta ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Tartaglia, Cardano, Bombelli ស្ថិតក្នុងចំណោមអ្នកដំបូងគេក្នុងសតវត្សទី 16 ។ យកទៅក្នុងគណនីបន្ថែមលើឫសវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី XVII ប៉ុណ្ណោះ។ សូមអរគុណចំពោះការងាររបស់ Girard, Descartes, Newton និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដទៃទៀត វិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េត្រូវប្រើរូបរាងទំនើប។

1.6 អំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

ទ្រឹស្តីបទបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងមេគុណនៃសមីការការ៉េ និងឫសរបស់វា ដែលមានឈ្មោះថា វីតា ត្រូវបានបង្កើតដោយគាត់ជាលើកដំបូងក្នុងឆ្នាំ ១៥៩១ ដូចតទៅ៖ “ប្រសិនបើ ខ + ឃគុណ​នឹង ក - ក 2 , ស្មើ BDបន្ទាប់មក កស្មើ អេនិងស្មើ ឃ ».

ដើម្បីយល់ពី Vieta មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែចងចាំវា។ ប៉ុន្តែដូចជាស្រៈណាមួយ មានន័យថាសម្រាប់គាត់មិនស្គាល់ (របស់យើង។ X) ស្រៈ AT, ឃ- មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់។ នៅក្នុងភាសានៃពិជគណិតសម័យទំនើប រូបមន្តរបស់ Vieta ខាងលើមានន័យថា៖ ប្រសិនបើ

(ក + ខ ) x − x 2 = ab ,

x 2 − (a + ខ ) x + ក ខ = 0,

x 1 = a, x 2 = ខ .

ដោយបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការដោយរូបមន្តទូទៅដែលសរសេរដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា វៀតបានបង្កើតឯកសណ្ឋានក្នុងវិធីដោះស្រាយសមីការ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនិមិត្តសញ្ញារបស់ Vieta នៅតែឆ្ងាយពីទម្រង់ទំនើបរបស់វា។ គាត់មិនទទួលស្គាល់លេខអវិជ្ជមានទេ ដូច្នេះហើយនៅពេលដោះស្រាយសមីការ គាត់បានពិចារណាតែករណីដែលឫសទាំងអស់វិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

2. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

សមីការ​បួនជ្រុង​គឺជា​មូលដ្ឋាន​គ្រឹះ​ដែល​អគារ​ដ៏​អស្ចារ្យ​នៃ​ពិជគណិត​សម្រាក។ សមីការ​ការ៉េ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​យ៉ាង​ទូលំទូលាយ​ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​ត្រីកោណមាត្រ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត អសម​ហេតុ​ផល និង​វិសមភាព​វិសាលភាព។ យើងទាំងអស់គ្នាដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការ quadratic ពីសាលា (ថ្នាក់ទី 8) រហូតដល់បញ្ចប់ការសិក្សា។

យើងបន្តសិក្សាប្រធានបទ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ"។ យើងបានស្គាល់សមីការលីនេអ៊ែររួចហើយ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងស្គាល់ សមីការ​ការ៉េ.

ដំបូង យើងនឹងពិភាក្សាអំពីអ្វីដែលសមីការបួនជ្រុងគឺ របៀបដែលវាត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ទូទៅ និងផ្តល់និយមន័យដែលពាក់ព័ន្ធ។ បន្ទាប់ពីនោះ ដោយប្រើឧទាហរណ៍ យើងនឹងវិភាគលម្អិតអំពីរបៀបដែលសមីការ quadratic មិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ។ បន្ទាប់មក យើងបន្តទៅការដោះស្រាយសមីការពេញលេញ ទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ឫស ស្គាល់អ្នករើសអើងនៃសមីការការ៉េ និងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍ធម្មតា។ ជាចុងក្រោយ យើងតាមដានទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ។

ការរុករកទំព័រ។

តើសមីការការ៉េជាអ្វី? ប្រភេទរបស់ពួកគេ។

ដំបូង​អ្នក​ត្រូវ​យល់​ច្បាស់​ថា​អ្វី​ជា​សមីការ​បួន​ជ្រុង។ ដូច្នេះ វាជាឡូជីខលក្នុងការចាប់ផ្តើមនិយាយអំពីសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ ក៏ដូចជានិយមន័យដែលទាក់ទងនឹងវា។ បន្ទាប់ពីនោះ អ្នកអាចពិចារណាអំពីប្រភេទសំខាន់ៗនៃសមីការការ៉េ៖ កាត់បន្ថយ និងមិនកាត់បន្ថយ ក៏ដូចជាសមីការពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ

និយមន័យ។

សមីការ​ការ៉េគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + b x + c = 0ដែល x ជាអថេរ a , b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន ហើយ a គឺខុសពីសូន្យ។

ចូរនិយាយភ្លាមៗថា សមីការ quadratic ត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។ នេះគឺដោយសារតែសមីការ quadratic គឺ សមីការពិជគណិតសញ្ញាបត្រទីពីរ។

និយមន័យដែលមានសំឡេងអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េ។ ដូច្នេះ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 ។ល។ គឺជាសមីការការ៉េ។

និយមន័យ។

លេខ a, b និង c ត្រូវបានគេហៅថា មេគុណនៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c \u003d 0 ហើយមេគុណ a ត្រូវបានគេហៅថាទីមួយ ឬជាន់ខ្ពស់ ឬមេគុណនៅ x 2 b គឺជាមេគុណទីពីរ ឬមេគុណនៅ x ហើយ c គឺជាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េនៃទម្រង់ 5 x 2 −2 x−3=0 នៅទីនេះ មេគុណនាំមុខគឺ 5 មេគុណទីពីរគឺ −2 ហើយពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺ −3 ។ ចំណាំថានៅពេលដែលមេគុណ b និង/ឬ c គឺអវិជ្ជមាន ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ទើបតែបានផ្ដល់ឱ្យ ទម្រង់ខ្លីនៃសមីការការ៉េនៃទម្រង់ 5 x 2 −2 x−3=0 ត្រូវបានប្រើ មិនមែន 5 x 2 +(− 2)x+(−3)=0។

គួរកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលមេគុណ a និង / ឬ b ស្មើនឹង 1 ឬ −1 នោះជាធម្មតាពួកវាមិនមានវត្តមានយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងសញ្ញាណនៃសមីការការ៉េដែលបណ្តាលមកពីភាពប្លែកនៃសញ្ញាណនៃសញ្ញាណ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសមីការការ៉េ y 2 −y + 3 = 0 មេគុណនាំមុខគឺមួយ ហើយមេគុណនៅ y គឺ −1 ។

សមីការ​ការ៉េ​ដែល​កាត់​បន្ថយ និង​មិន​កាត់​បន្ថយ

អាស្រ័យលើតម្លៃនៃមេគុណនាំមុខ សមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយនិងមិនកាត់បន្ថយត្រូវបានសម្គាល់។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា។

និយមន័យ។

សមីការ quadratic ដែលមេគុណនាំមុខគឺ 1 ត្រូវបានគេហៅថា កាត់បន្ថយសមីការការ៉េ. បើមិនដូច្នោះទេសមីការការ៉េគឺ មិនបានកាត់បន្ថយ.

យោងតាមនិយមន័យនេះ សមីការការ៉េ x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 ។ល។ - កាត់បន្ថយ ក្នុងពួកវានីមួយៗ មេគុណទីមួយគឺស្មើនឹងមួយ។ និង 5 x 2 −x −1 = 0 ។ល។ - សមីការ​ការ៉េ​ដែល​មិន​បាន​កាត់​បន្ថយ មេគុណ​នាំមុខ​របស់​វា​គឺ​ខុស​ពី 1 ។

ពីសមីការការ៉េដែលមិនកាត់បន្ថយណាមួយ ដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយមេគុណនាំមុខ អ្នកអាចទៅផ្នែកកាត់បន្ថយ។ សកម្មភាពនេះគឺជាការបំប្លែងសមមូល ពោលគឺសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយដែលទទួលបានតាមវិធីនេះមានឫសដូចគ្នាទៅនឹងសមីការការ៉េដែលមិនកាត់បន្ថយដើម ឬដូចជាវាមិនមានឫសគល់។

ចូរយើងយកឧទាហរណ៍មួយអំពីរបៀបដែលការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ quadratic unreduced ទៅ a reduce ត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍។

ពីសមីការ 3 x 2 +12 x −7 = 0 ទៅកាន់សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយដែលត្រូវគ្នា។

ដំណោះស្រាយ។

វាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងដើម្បីអនុវត្តការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយមេគុណនាំមុខ 3 វាមិនសូន្យ ដូច្នេះយើងអាចអនុវត្តសកម្មភាពនេះបាន។ យើងមាន (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 ដែលដូចគ្នានឹង (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 ហើយដូច្នេះនៅលើ (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 មកពីណា។ ដូច្នេះ​យើង​ទទួល​បាន​សមីការ​ការ៉េ​ដែល​កាត់​បន្ថយ ដែល​ស្មើ​នឹង​លេខ​ដើម។

ចម្លើយ៖

សមីការ​ក្រឡា​ចត្រង្គ​ពេញលេញ និង​មិន​ពេញលេញ

មានលក្ខខណ្ឌ a≠0 នៅក្នុងនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ។ លក្ខខណ្ឌនេះគឺចាំបាច់ដើម្បីឱ្យសមីការ a x 2 + b x + c = 0 ក្លាយជាការ៉េយ៉ាងពិតប្រាកដ ចាប់តាំងពីជាមួយ a=0 វាពិតជាក្លាយជាសមីការលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ b x+c=0 ។

ចំពោះមេគុណ b និង c ពួកគេអាចស្មើនឹងសូន្យ ទាំងដោយឡែក និងរួមគ្នា។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។

និយមន័យ។

សមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 ត្រូវបានហៅ មិនពេញលេញប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ b , c គឺស្មើនឹងសូន្យ។

នៅក្នុងវេនរបស់វា។

និយមន័យ។

បញ្ចប់សមីការការ៉េគឺជាសមីការដែលមេគុណទាំងអស់ខុសពីសូន្យ។

ឈ្មោះទាំងនេះមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយចៃដន្យទេ។ វានឹងក្លាយជាច្បាស់ពីការពិភាក្សាខាងក្រោម។

ប្រសិនបើមេគុណ b ស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការការ៉េយកទម្រង់ a x 2 +0 x + c=0 ហើយវាស្មើនឹងសមីការ a x 2 + c=0 ។ ប្រសិនបើ c=0 នោះគឺជាសមីការការ៉េមានទម្រង់ a x 2 +b x + 0=0 នោះវាអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា x 2 +b x=0 ។ ហើយជាមួយ b=0 និង c=0 យើងទទួលបានសមីការការ៉េ ax 2 = 0 ។ សមីការលទ្ធផលខុសគ្នាពីសមីការការ៉េពេញលេញ ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់ពួកគេមិនមានទាំងពាក្យដែលមានអថេរ x ឬពាក្យឥតគិតថ្លៃ ឬទាំងពីរ។ ដូច្នេះឈ្មោះរបស់ពួកគេ - សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ដូច្នេះសមីការ x 2 +x+1=0 និង −2 x 2 −5 x+0,2=0 គឺជាឧទាហរណ៍នៃសមីការការ៉េពេញលេញ និង x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x = 0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

វាធ្វើតាមព័ត៌មាននៃកថាខណ្ឌមុនដែលមាន សមីការការ៉េមិនពេញលេញបីប្រភេទ:

• a x 2 = 0 មេគុណ b=0 និង c=0 ត្រូវគ្នានឹងវា;
• a x 2 +c=0 ពេល b=0 ;
• និង a x 2 + b x = 0 នៅពេល c = 0 ។

ចូរយើងវិភាគតាមលំដាប់លំដោយអំពីរបៀបដែលសមីការ quadratic មិនពេញលេញនៃប្រភេទនីមួយៗនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

a x 2 \u003d 0

ចូរចាប់ផ្តើមដោយការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ដែលមេគុណ b និង c ស្មើនឹងសូន្យ នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 = 0 ។ សមីការ ax 2 = 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = 0 ដែលត្រូវបានទទួលពីដើមដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយចំនួនមិនសូន្យ a ។ ជាក់ស្តែង ឫសនៃសមីការ x 2 \u003d 0 គឺសូន្យ ចាប់តាំងពី 0 2 \u003d 0 ។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលត្រូវបានពន្យល់ ជាការពិតសម្រាប់លេខដែលមិនសូន្យ p នោះ វិសមភាព p 2 > 0 កើតឡើង ដែលមានន័យថាសម្រាប់ p≠0 សមភាព p 2 = 0 មិនត្រូវបានសម្រេចឡើយ។

ដូច្នេះ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 \u003d 0 មានឫសតែមួយ x \u003d 0 ។

ជាឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ −4·x 2 = 0 ។ វាស្មើនឹងសមីការ x 2 \u003d 0 ឫសតែមួយគត់របស់វាគឺ x \u003d 0 ដូច្នេះសមីការដើមមានឫសតែមួយសូន្យ។

ដំណោះស្រាយខ្លីក្នុងករណីនេះអាចត្រូវបានចេញដូចខាងក្រោម:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 ។

a x 2 +c=0

ឥឡូវពិចារណាពីរបៀបដែលសមីការការ៉េមិនពេញលេញត្រូវបានដោះស្រាយ ដែលមេគុណ b ស្មើនឹងសូន្យ ហើយ c≠0 នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + c=0 ។ យើងដឹងថាការផ្ទេរពាក្យពីផ្នែកម្ខាងនៃសមីការទៅម្ខាងទៀតដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ក៏ដូចជាការបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយលេខមិនសូន្យ ផ្តល់សមីការសមមូល។ ដូច្នេះ ការបំប្លែងសមមូលខាងក្រោមនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 +c=0 អាចត្រូវបានអនុវត្ត៖

• ផ្លាស់ទី c ទៅខាងស្តាំ ដែលផ្តល់សមីការ a x 2 = −c,
• ហើយចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ a យើងទទួលបាន .

សមីការលទ្ធផលអនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់របស់វា។ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃ a និង c តម្លៃនៃកន្សោមអាចជាអវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a = 1 និង c = 2 , បន្ទាប់មក ) ឬវិជ្ជមាន (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a = −2 និង c = 6 ។ បន្ទាប់មក ) វាមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ព្រោះតាមលក្ខខណ្ឌ c≠0 ។ យើងនឹងវិភាគករណីដាច់ដោយឡែក និង។

ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានឫសគល់ទេ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាការេនៃចំនួនណាមួយគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។ វាកើតឡើងពីនេះថានៅពេលណា នោះសម្រាប់លេខណាមួយ p សមភាពមិនអាចក្លាយជាការពិតបានទេ។

ប្រសិនបើ នោះស្ថានភាពដែលមានឫសគល់នៃសមីការគឺខុសគ្នា។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើយើងរំលឹកឡើងវិញអំពី នោះឫសនៃសមីការភ្លាមៗក្លាយជាជាក់ស្តែង វាគឺជាលេខចាប់តាំងពី។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលេខក៏ជាឫសគល់នៃសមីការដែរ ។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលអាចបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ តោះ​ធ្វើ​វា។

ចូរសម្គាល់ឫសគល់នៃសមីការជា x 1 និង −x 1 ។ ឧបមាថាសមីការមានឫស x 2 ផ្សេងពីឫសដែលបានចង្អុលបង្ហាញ x 1 និង −x 1 ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាការជំនួសសមីការជំនួសឱ្យ x នៃឫសរបស់វាប្រែសមីការទៅជាសមភាពលេខពិត។ សម្រាប់ x 1 និង −x 1 យើងមាន ហើយសម្រាប់ x 2 យើងមាន។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពលេខអនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តការដកតាមកាលកំណត់នៃសមភាពលេខពិត ដូច្នេះការដកនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមភាពផ្តល់ឱ្យ x 1 2 − x 2 2 = 0 ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយលេខអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពលទ្ធផលជា (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 ។ យើងដឹងថាផលគុណនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះវាធ្វើតាមសមភាពដែលទទួលបានថា x 1 −x 2 = 0 និង/ឬ x 1 + x 2 = 0 ដែលដូចគ្នា x 2 = x 1 និង/ឬ x 2 = −x 1 ។ ដូច្នេះ​យើង​បាន​ឈាន​ដល់​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា តាំង​ពី​ដើម​ដំបូង​យើង​បាន​និយាយ​ថា ឫស​នៃ​សមីការ x 2 គឺ​ខុស​ពី x 1 និង −x 1 ។ នេះ​បញ្ជាក់​ថា​សមីការ​មិន​មាន​ឫស​អ្វី​ផ្សេង​ទៀត​ក្រៅ​ពី​ និង .

ចូរយើងសង្ខេបព័ត៌មាននៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះ។ សមីការ​ការ៉េ​មិន​ពេញលេញ a x 2 +c=0 គឺ​ស្មើនឹង​សមីការ​ដែល

• មិនមានឫសប្រសិនបើ
• មានឫសពីរហើយប្រសិនបើ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយសមីការការ៉េ 9 x 2 +7 = 0 ។ បន្ទាប់ពីផ្ទេរពាក្យឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ វានឹងយកទម្រង់ 9·x 2 = −7 ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការលទ្ធផលដោយ 9 យើងមកដល់ . ដោយសារចំនួនអវិជ្ជមានត្រូវបានទទួលនៅផ្នែកខាងស្តាំ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើម 9 x 2 +7=0 មិនមានឫសទេ។

ចូរដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញមួយបន្ថែមទៀត −x 2 +9=0 ។ យើងផ្ទេរប្រាំបួនទៅផ្នែកខាងស្តាំ៖ -x 2 \u003d -9 ។ ឥឡូវនេះយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ −1 យើងទទួលបាន x 2 = 9 ។ ផ្នែកខាងស្តាំមានលេខវិជ្ជមាន ដែលយើងសន្និដ្ឋានថា ឬ . បន្ទាប់ពីយើងសរសេរចម្លើយចុងក្រោយ៖ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ −x 2 +9=0 មានឫសពីរ x=3 ឬ x=−3។

a x 2 + b x = 0

វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃប្រភេទចុងក្រោយនៃសមីការ quadratic មិនពេញលេញសម្រាប់ c=0 ។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ a x 2 +b x=0 អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយ វិធីសាស្រ្តកត្តា. ជាក់ស្តែង យើងអាចស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដែលវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការយកកត្តារួម x ចេញពីតង្កៀប។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្លាស់ទីពីសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើមទៅសមីការសមមូលនៃទម្រង់ x·(a·x+b)=0 ។ ហើយសមីការនេះគឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការពីរ x=0 និង x+b=0 ដែលចុងក្រោយគឺលីនេអ៊ែរ និងមានឫស x=−b/a ។

ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 +b x=0 មានឫសពីរ x=0 និង x=−b/a ។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈយើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងយក x ចេញពីតង្កៀប វាផ្តល់សមីការ។ វាស្មើនឹងសមីការពីរ x=0 និង . យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល៖ ហើយបន្ទាប់ពីចែកលេខចម្រុះដោយប្រភាគធម្មតា យើងរកឃើញ . ដូច្នេះឫសនៃសមីការដើមគឺ x=0 និង .

បន្ទាប់ពីទទួលបានការអនុវត្តចាំបាច់ ដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្លី៖

ចម្លើយ៖

x=0 , ។

ការរើសអើង, រូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មានរូបមន្តឫស។ ចូរយើងសរសេរចុះ រូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ:, កន្លែងណា D=b 2 −4 a គ- ហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ. សញ្ញាណមានន័យយ៉ាងសំខាន់។

វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងពីរបៀបដែលរូបមន្តឫសគល់ត្រូវបានទទួល និងរបៀបដែលវាត្រូវបានអនុវត្តក្នុងការស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ។ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយរឿងនេះ។

ដេរីវេនៃរូបមន្តឫសនៃសមីការការ៉េ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េ ax 2 + b·x + c = 0 ។ ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលមួយចំនួន៖

• យើងអាចបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះដោយចំនួនមិនមែនសូន្យ a ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ។
• ឥឡូវ​នេះ ជ្រើសរើសការ៉េពេញនៅផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វា៖ . បន្ទាប់ពីនោះ សមីការនឹងយកទម្រង់។
• ក្នុង​ដំណាក់​កាល​នេះ គេ​អាច​ធ្វើ​ការ​ផ្ទេរ​ពាក្យ​ពីរ​ចុង​ក្រោយ​ទៅ​ខាង​ស្ដាំ​ដោយ​មាន​សញ្ញា​ផ្ទុយ​គ្នា យើង​មាន។
• ហើយ​សូម​បំប្លែង​កន្សោម​ខាង​ស្តាំ​ផង៖ .

ជាលទ្ធផល យើងមកដល់សមីការ ដែលស្មើនឹងសមីការការ៉េដើម ax 2 +b·x+c=0 ។

យើង​បាន​ដោះស្រាយ​សមីការ​ដែល​ស្រដៀង​គ្នា​នៅ​ក្នុង​កថាខណ្ឌ​មុន​រួច​ហើយ​នៅ​ពេល​យើង​វិភាគ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានដូចខាងក្រោមទាក់ទងនឹងឫសគល់នៃសមីការ៖

• ប្រសិនបើ នោះសមីការមិនមានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដ។
• ប្រសិនបើ នោះសមីការមានទម្រង់ ដូច្នេះហើយ ដែលឫសតែមួយគត់របស់វាអាចមើលឃើញ។
• ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក ឬ , ដែលដូចគ្នានឹង ឬ , នោះគឺសមីការមានឫសពីរ។

ដូច្នេះ វត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការ ហើយហេតុដូច្នេះហើយសមីការការ៉េដើម គឺអាស្រ័យទៅលើសញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិនៅខាងស្តាំ។ នៅក្នុងវេនសញ្ញានៃកន្សោមនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសញ្ញានៃភាគយកចាប់តាំងពីភាគបែង 4 a 2 តែងតែវិជ្ជមាន នោះគឺជាសញ្ញានៃកន្សោម b 2 −4 a c ។ កន្សោមនេះ b 2 −4 a c ត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េនិងសម្គាល់ដោយអក្សរ ឃ. ពីទីនេះ ខ្លឹមសារនៃអ្នករើសអើងគឺច្បាស់លាស់ - ដោយតម្លៃ និងសញ្ញារបស់វា វាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាតើសមីការបួនជ្រុងមានឫសគល់ពិតប្រាកដ ហើយប្រសិនបើដូច្នេះ តើលេខរបស់ពួកគេគឺជាអ្វី - មួយ ឬពីរ។

យើងត្រឡប់ទៅសមីការ សរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើសញ្ញាណនៃអ្នករើសអើង៖ . ហើយយើងសន្និដ្ឋាន៖

• ប្រសិនបើ D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការនេះមានឫសតែមួយ។
• ទីបំផុត ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការមានឫសពីរ ឬ ដែលអាចសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ឬ ហើយបន្ទាប់ពីពង្រីក និងកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាភាគបែងធម្មតា យើងទទួលបាន .

ដូច្នេះ​យើង​បាន​យក​រូបមន្ត​សម្រាប់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​ ពួកវា​មើល​ទៅ​ជា​កន្លែង​ដែល​ការ​រើសអើង D ត្រូវ​បាន​គណនា​ដោយ​រូបមន្ត D=b 2 −4 a c ។

ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ ជាមួយនឹងការរើសអើងវិជ្ជមាន អ្នកអាចគណនាឫសពិតទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ។ នៅពេលដែលការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ រូបមន្តទាំងពីរផ្តល់តម្លៃឫសដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយតែមួយគត់នៃសមីការការ៉េ។ ហើយជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន នៅពេលព្យាយាមប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ យើងត្រូវប្រឈមមុខនឹងការដកឫសការ៉េចេញពីចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលនាំយើងហួសពីវិសាលភាពនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន សមីការបួនជ្រុងមិនមានឫសពិតទេ ប៉ុន្តែមានគូ conjugate ស្មុគស្មាញឫស ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តឫសដូចគ្នាដែលយើងទទួលបាន។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើរូបមន្តឫស

នៅក្នុងការអនុវត្ត នៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង អ្នកអាចប្រើរូបមន្តឫសភ្លាមៗ ដែលត្រូវគណនាតម្លៃរបស់វា។ ប៉ុន្តែនេះគឺជាការបន្ថែមទៀតអំពីការស្វែងរកឫសស្មុគ្រស្មាញ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតរបស់សាលា ជាធម្មតាយើងមិននិយាយអំពីភាពស្មុគស្មាញនោះទេ ប៉ុន្តែអំពីឫសគល់ពិតប្រាកដនៃសមីការបួនជ្រុង។ ក្នុងករណីនេះ គួរតែស្វែងរកអ្នករើសអើងជាមុនសិន មុននឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ ត្រូវប្រាកដថាវាមិនអវិជ្ជមាន (បើមិនដូច្នេះទេ យើងអាចសន្និដ្ឋានថាសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ) ហើយបន្ទាប់ពីនោះ គណនាតម្លៃនៃឫស។

ហេតុផលខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរ ក្បួនដោះស្រាយសមីការការ៉េ. ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c \u003d 0 អ្នកត្រូវការ៖

• ដោយប្រើរូបមន្តបែងចែក D=b 2 −4 a c គណនាតម្លៃរបស់វា;
• សន្និដ្ឋានថាសមីការការ៉េមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។
• គណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្តប្រសិនបើ D=0 ;
• ស្វែងរកឫសពិតពីរនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫស ប្រសិនបើការរើសអើងគឺវិជ្ជមាន។

នៅទីនេះយើងគ្រាន់តែចំណាំថាប្រសិនបើការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ រូបមន្តក៏អាចប្រើបានដែរ វានឹងផ្តល់តម្លៃដូចគ្នាទៅនឹង .

អ្នកអាចបន្តទៅឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្ត algorithm សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ

ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េចំនួនបី ដែលមានការរើសអើង វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន និងសូន្យ។ ដោយបានដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ ដោយភាពស្រដៀងគ្នា វានឹងអាចដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងផ្សេងទៀត។ តោះ​ចាប់​ផ្ដើម។

ឧទាហរណ៍។

រកឫសនៃសមីការ x 2 +2 x −6 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

ក្នុងករណីនេះ យើងមានមេគុណនៃសមីការការ៉េដូចខាងក្រោម៖ a=1, b=2 និង c=−6 ។ យោងតាមក្បួនដោះស្រាយដំបូងអ្នកត្រូវគណនាអ្នករើសអើង សម្រាប់ការនេះ យើងជំនួសសញ្ញា a, b និង c ដែលបានបង្ហាញទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើង យើងមាន D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. ចាប់តាំងពី 28>0 នោះគឺ ការបែងចែកគឺធំជាងសូន្យ សមីការការ៉េមានឫសពិតពីរ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកវាដោយរូបមន្តនៃឫស យើងទទួលបាន នៅទីនេះយើងអាចសម្រួលកន្សោមដែលទទួលបានដោយការធ្វើ បែងចែកសញ្ញានៃឫសបន្តដោយការកាត់បន្ថយប្រភាគ៖

ចម្លើយ៖

ចូរបន្តទៅឧទាហរណ៍ធម្មតាបន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ −4 x 2 +28 x −49=0 ។

ដំណោះស្រាយ។

យើងចាប់ផ្តើមដោយការស្វែងរកអ្នករើសអើង៖ ឃ=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. ដូច្នេះ សមីការ​ការ៉េ​នេះ​មាន​ឫស​តែមួយ​ដែល​យើង​រក​ឃើញ​ថា​ជា​

ចម្លើយ៖

x = 3.5 ។

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការបួនជ្រុងជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការ 5 y 2 +6 y + 2 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

នេះគឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ៖ a=5, b=6 និង c=2 ។ ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្តរើសអើងយើងមាន D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. ការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការបួនជ្រុងនេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការបញ្ជាក់ឫសស្មុគ្រស្មាញ នោះយើងប្រើរូបមន្តល្បីសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ហើយអនុវត្ត ប្រតិបត្តិការជាមួយលេខស្មុគស្មាញ:

ចម្លើយ៖

មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ ឫសស្មុគស្មាញគឺ៖ .

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងកត់សំគាល់ថា ប្រសិនបើការរើសអើងនៃសមីការ quadratic គឺអវិជ្ជមាន នោះសាលារៀនជាធម្មតាសរសេរចម្លើយភ្លាមៗ ដែលពួកគេបង្ហាញថាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ ហើយពួកគេមិនបានរកឃើញឫសស្មុគ្រស្មាញទេ។

រូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ដែល D = b 2 −4 a c អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានរូបមន្តបង្រួមបន្ថែមទៀតដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការការ៉េជាមួយនឹងមេគុណស្មើ x (ឬសាមញ្ញជាមួយមេគុណដែលមើលទៅដូចជា 2 n ។ ឧទាហរណ៍ ឬ 14 ln5=2 7 ln5 )។ ចូរនាំនាងចេញ។

ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយសមីការការ៉េនៃទម្រង់ a x 2 +2 n x + c = 0 ។ ចូរយើងស្វែងរកឫសរបស់វាដោយប្រើរូបមន្តដែលគេស្គាល់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាអ្នករើសអើង ឃ=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)ហើយបន្ទាប់មកយើងប្រើរូបមន្តឫស៖

សម្គាល់កន្សោម n 2 −a c ជា D 1 (ជួនកាលវាត្រូវបានតាងថា D ") បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានពិចារណាជាមួយមេគុណទីពីរ 2 n យកទម្រង់ ដែល D 1 = n 2 −a គ .

វាងាយស្រួលមើលថា D=4·D 1 ឬ D 1 =D/4 ។ ម្យ៉ាង​ទៀត ឃ ១ ជា​ចំណែក​ទី ៤ នៃ​អ្នក​រើសអើង។ វាច្បាស់ណាស់ថាសញ្ញា D 1 គឺដូចគ្នានឹងសញ្ញា D ។ នោះគឺសញ្ញា D 1 ក៏ជាសូចនាករនៃវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

ដូច្នេះ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េជាមួយមេគុណទីពីរ 2 n អ្នកត្រូវការ

• គណនា D 1 = n 2 −a·c ;
• ប្រសិនបើ ឃ ១<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• ប្រសិនបើ D 1 = 0 បន្ទាប់មកគណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្ត។
• ប្រសិនបើ D 1 > 0 បន្ទាប់មករកឫសពិតពីរដោយប្រើរូបមន្ត។

ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌនេះ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ 5 x 2 −6 x −32 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ។

មេគុណទីពីរនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា 2·(−3) ។ នោះគឺអ្នកអាចសរសេរសមីការការ៉េដើមឡើងវិញក្នុងទម្រង់ 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 នៅទីនេះ a=5 , n=−3 និង c=−32 ហើយគណនាផ្នែកទីបួននៃ អ្នករើសអើង៖ ឃ 1 = n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. ដោយសារតម្លៃរបស់វាគឺវិជ្ជមាន សមីការមានឫសពិតពីរ។ យើងរកឃើញពួកវាដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលត្រូវគ្នា៖

ចំណាំថាវាអាចប្រើរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ ការងារគណនាបន្ថែមទៀតនឹងត្រូវធ្វើ។

ចម្លើយ៖

ភាពសាមញ្ញនៃទម្រង់សមីការការ៉េ

ពេលខ្លះ មុនពេលចាប់ផ្តើមការគណនាឫសនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្ត វាមិនឈឺចាប់ទេក្នុងការសួរសំណួរថា "តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើឱ្យទម្រង់សមីការនេះមានលក្ខណៈសាមញ្ញ"? យល់ស្របថានៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការគណនា វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 11 x 2 −4 x −6=0 ជាង 1100 x 2 −400 x−600=0 ។

ជាធម្មតា ភាពសាមញ្ញនៃទម្រង់សមីការការ៉េត្រូវបានសម្រេចដោយការគុណ ឬចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយចំនួនមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងកថាខណ្ឌមុន យើងអាចសម្រេចបាននូវភាពសាមញ្ញនៃសមីការ 1100 x 2 −400 x −600=0 ដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ 100 ។

ការបំប្លែងស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងសមីការបួនជ្រុង ដែលមេគុណដែលមិនមែនជា . ក្នុងករណីនេះផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការជាធម្មតាត្រូវបានបែងចែកដោយតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េ 12 x 2 −42 x+48=0 ។ តម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា៖ gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 ។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការការ៉េដើមដោយ 6 យើងមកដល់សមីការការ៉េសមមូល 2 x 2 −7 x + 8=0 ។

ហើយការគុណនៃផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ quadratic ជាធម្មតាត្រូវបានធ្វើដើម្បីកម្ចាត់មេគុណប្រភាគ។ ក្នុងករណីនេះការគុណត្រូវបានអនុវត្តលើភាគបែងនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការការ៉េត្រូវបានគុណដោយ LCM(6, 3, 1)=6 នោះវានឹងយកទម្រង់សាមញ្ញជាង x 2 +4 x−18=0 ។

នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃកថាខណ្ឌនេះ យើងកត់សម្គាល់ថាស្ទើរតែតែងតែកម្ចាត់ដកនៅមេគុណខ្ពស់បំផុតនៃសមីការការ៉េដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យទាំងអស់ដែលត្រូវនឹងការគុណ (ឬចែក) ផ្នែកទាំងពីរដោយ −1 ។ ឧទាហរណ៍ ជាធម្មតាពីសមីការការ៉េ −2·x 2 −3·x+7=0 ទៅកាន់ដំណោះស្រាយ 2·x 2 +3·x−7=0 ។

ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការ quadratic បង្ហាញពីឫសនៃសមីការក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណរបស់វា។ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនៃឫស អ្នកអាចទទួលបានទំនាក់ទំនងផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណ។

រូបមន្តដែលល្បីបំផុត និងអាចអនុវត្តបានពីទ្រឹស្តីបទ Vieta នៃទម្រង់ និង . ជាពិសេស សម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលនៃឫសគឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ ឧទាហរណ៍ តាមទម្រង់នៃសមីការការ៉េ 3 x 2 −7 x + 22=0 យើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថាផលបូកនៃឫសរបស់វាគឺ 7/3 ហើយផលនៃឫសគឺ 22/3 ។

ដោយប្រើរូបមន្តដែលបានសរសេររួចហើយ អ្នកអាចទទួលបានទំនាក់ទំនងមួយចំនួនផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ អ្នក​អាច​បង្ហាញ​ផលបូក​នៃ​ការេ​នៃ​ឫស​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​មេគុណ​របស់​វា ៖ .

គន្ថនិទ្ទេស។

• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ 8 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។

ពិចារណាសមីការការ៉េ៖
(1) .
ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ(១) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
; .
រូបមន្តទាំងនេះអាចត្រូវបានផ្សំដូចនេះ៖
.
នៅពេលដែលឫសនៃសមីការការ៉េត្រូវបានគេស្គាល់ នោះពហុធានៃដឺក្រេទីពីរអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃកត្តា (កត្តា):
.

លើសពីនេះ យើងសន្មតថាជាចំនួនពិត។
ពិចារណា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ:
.
ប្រសិនបើការរើសអើងមានភាពវិជ្ជមាន នោះសមីការការ៉េ (1) មានឫសពិតពីរផ្សេងគ្នា៖
; .
បន្ទាប់មកកត្តានៃត្រីកោណការ៉េមានទម្រង់៖
.
ប្រសិនបើការរើសអើងគឺសូន្យ នោះសមីការការ៉េ (1) មានឫសពិតពីរ (ស្មើគ្នា)៖
.
ការបំបែកជាកត្តា៖
.
ប្រសិនបើការរើសអើងគឺអវិជ្ជមាន នោះសមីការបួនជ្រុង (1) មានឫស conjugate ស្មុគស្មាញពីរ៖
;
.
នេះគឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ, ;
ហើយជាផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃឫស៖
; .
បន្ទាប់មក

.

ការបកស្រាយក្រាហ្វិក

ប្រសិនបើយើងធ្វើក្រាហ្វិកមុខងារ
,
ដែលជាប៉ារ៉ាបូឡា បន្ទាប់មកចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សនឹងជាឫសគល់នៃសមីការ
.
នៅពេល ក្រាហ្វកាត់អ័ក្ស abscissa (អ័ក្ស) នៅពីរចំណុច។
នៅពេល ក្រាហ្វប៉ះអ័ក្ស x នៅចំណុចមួយ។
នៅពេល ក្រាហ្វមិនឆ្លងកាត់អ័ក្ស x ទេ។

ខាងក្រោមនេះជាឧទាហរណ៍នៃក្រាហ្វបែបនេះ។

រូបមន្តដែលមានប្រយោជន៍ទាក់ទងនឹងសមីការបួនជ្រុង

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

យើងអនុវត្តការបំប្លែង និងអនុវត្តរូបមន្ត (f.1) និង (f.3)៖




,
កន្លែងណា
; .

ដូច្នេះ យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទីពីរក្នុងទម្រង់៖
.
ពីនេះវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាសមីការ

បានសម្តែងនៅ
និង .
នោះហើយជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ
.

ឧទាហរណ៍នៃការកំណត់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ឧទាហរណ៍ ១

(1.1) .

ដំណោះស្រាយ

.
ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការរបស់យើង (1.1) យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណ៖
.
ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖
.
ដោយសារការរើសអើងមានភាពវិជ្ជមាន សមីការមានឫសពិតពីរ៖
;
;
.

ពីទីនេះយើងទទួលបាន decomposition នៃ trinomial ការ៉េទៅជាកត្តា៖

.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 2 x 2 + 7 x + 3ឆ្លងកាត់អ័ក្ស x នៅពីរចំណុច។

ចូរយើងរៀបចំផែនការមុខងារ
.
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាឆ្លងកាត់អ័ក្ស x (អ័ក្ស) នៅពីរចំណុច៖
និង .
ចំណុចទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម (១.១)។

ចម្លើយ

;
;
.

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
(2.1) .

ដំណោះស្រាយ

យើងសរសេរសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយសមីការដើម (២.១) យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណ៖
.
ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖
.
ដោយសារការរើសអើងគឺសូន្យ សមីការមានឫសច្រើន (ស្មើគ្នា) ពីរ៖
;
.

បន្ទាប់មក កត្តាកំណត់នៃត្រីភាគីមានទម្រង់៖
.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = x 2 − 4 x + 4ប៉ះអ័ក្ស x នៅចំណុចមួយ។

ចូរយើងរៀបចំផែនការមុខងារ
.
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាប៉ះអ័ក្ស x (អ័ក្ស) នៅចំណុចមួយ៖
.
ចំណុចនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការដើម (២.១)។ ដោយសារឫសនេះត្រូវបានរាប់ពីរដង៖
,
បន្ទាប់មកឫសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាពហុគុណ។ ពោល​គឺ​គេ​ចាត់​ទុក​ថា មាន​ឫស​ពីរ​ស្មើ​គ្នា៖
.

ចម្លើយ

;
.

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
(3.1) .

ដំណោះស្រាយ

យើងសរសេរសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅ៖
(1) .
ចូរយើងសរសេរសមីការដើមឡើងវិញ (៣.១)៖
.
ប្រៀបធៀបជាមួយ (1) យើងរកឃើញតម្លៃនៃមេគុណ៖
.
ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖
.
អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

អ្នកអាចរកឃើញឫសស្មុគស្មាញ៖
;
;

ចូរយើងរៀបចំផែនការមុខងារ
.
ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាមិនឆ្លងកាត់ abscissa (អ័ក្ស) ទេ។ ដូច្នេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ចម្លើយ

មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។ ឫសស្មុគស្មាញ៖
;
;
.

វាត្រូវបានគេដឹងថាវាជាកំណែជាក់លាក់នៃសមភាពអ័ក្ស 2 + ក្នុង + c \u003d o ដែល a, b និង c គឺជាមេគុណពិតប្រាកដសម្រាប់ x ដែលមិនស្គាល់ ហើយកន្លែងដែល a ≠ o និង b និង c នឹងមានសូន្យ - ក្នុងពេលដំណាលគ្នា ឬដោយឡែកពីគ្នា។ ឧទាហរណ៍ c = o, v ≠ o ឬច្រាសមកវិញ។ យើងស្ទើរតែចងចាំនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ។

trinomial នៃដឺក្រេទីពីរគឺស្មើនឹងសូន្យ។ មេគុណទីមួយរបស់វា a ≠ o, b និង c អាចទទួលយកតម្លៃណាមួយ។ តម្លៃនៃអថេរ x នឹងជាពេលដែល នៅពេលជំនួស វានឹងប្រែក្លាយវាទៅជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ។ ចូរយើងរស់នៅលើឫសពិត ទោះបីជាដំណោះស្រាយនៃសមីការក៏អាចពេញលេញដែរ។ វាជាទម្លាប់ក្នុងការហៅសមីការដែលមិនមានមេគុណស្មើនឹង o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o ។
ចូរយើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយ។ 2x2 -9x-5 = អូ យើងរកឃើញ
ឃ \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D គឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះមានឫស x 1 = (9+√121): 4 = 5 និងទីពីរ x 2 = (9-√121): 4 = -o.5 ។ ការត្រួតពិនិត្យនឹងជួយធ្វើឱ្យប្រាកដថាពួកគេត្រឹមត្រូវ។

នេះ​ជា​ដំណោះ​ស្រាយ​មួយ​ជំហាន​ទៅ​មួយ​សមីការ​ការ៉េ

តាមរយៈការរើសអើង អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការណាមួយ ដែលនៅផ្នែកខាងឆ្វេងមានត្រីកោណការ៉េដែលគេស្គាល់ជាមួយ ≠ o ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង។ 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (អ័ក្ស 2 + ក្នុង + c \u003d o)

ពិចារណាពីអ្វីដែលជាសមីការមិនពេញលេញនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ

1. ax 2 + in = o ។ ពាក្យឥតគិតថ្លៃ មេគុណ c នៅ x 0 គឺសូន្យនៅទីនេះ ក្នុង ≠ o ។
   តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មិនពេញលេញនៃប្រភេទនេះ? ចូរយក x ចេញពីតង្កៀប។ ចងចាំនៅពេលដែលផលិតផលនៃកត្តាពីរគឺសូន្យ។
   x(ax+b)=o នេះអាចជាពេល x=o ឬនៅពេល ax+b=o ។
   ដំណោះស្រាយទី 2 យើងមាន x = -v/a ។
   ជាលទ្ធផលយើងមានឫស x 1 \u003d 0 យោងតាមការគណនា x 2 \u003d -b / a ។
2. ឥឡូវនេះមេគុណនៃ x គឺ o ប៉ុន្តែ c មិនស្មើនឹង (≠) o ។
   x 2 + c \u003d o ។ យើងផ្ទេរ c ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពយើងទទួលបាន x 2 \u003d -c ។ សមីការនេះមានឫសពិតនៅពេលដែល -c ជាចំនួនវិជ្ជមាន (c ‹ o),
   x 1 បន្ទាប់មកស្មើនឹង √(-c) រៀងគ្នា x 2 គឺ -√(-c) ។ បើមិនដូច្នោះទេ សមីការមិនមានឫសគល់ទាល់តែសោះ។
3. ជម្រើសចុងក្រោយ៖ b \u003d c \u003d o នោះគឺ ax 2 \u003d o ។ តាមធម្មជាតិ សមីការសាមញ្ញបែបនេះមានឫសមួយ x = o ។

ករណីពិសេស

យើងបានពិចារណាពីរបៀបដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញមួយ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងយកប្រភេទណាមួយ។

• នៅក្នុងសមីការការ៉េពេញលេញ មេគុណទីពីរនៃ x គឺជាចំនួនគូ។
  ចូរ k = o,5b ។ យើងមានរូបមន្តសម្រាប់គណនាការរើសអើង និងឫស។
  D / 4 \u003d k 2 - ac, ឫសត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a សម្រាប់ D › o ។
  x = -k/a នៅ D = o ។
  មិនមានឫសសម្រាប់ D ‹ o ។
• មានសមីការការ៉េត្រូវបានកាត់បន្ថយ នៅពេលដែលមេគុណនៃ x ការ៉េគឺ 1 ពួកវាជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរ x 2 + px + q \u003d o ។ រូបមន្តខាងលើទាំងអស់អនុវត្តចំពោះពួកវា ប៉ុន្តែការគណនាគឺសាមញ្ញជាងបន្តិច។
  ឧទាហរណ៍ x 2 -4x-9 \u003d 0. យើងគណនា D: 2 2 +9, D \u003d 13 ។
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2−√13 ។
• លើសពីនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តចំពោះអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វានិយាយថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការគឺស្មើនឹង -p មេគុណទីពីរដែលមានដក (មានន័យថាសញ្ញាផ្ទុយ) និងផលគុណនៃឫសដូចគ្នាទាំងនេះ។ នឹងស្មើនឹង q ដែលជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ សូមពិនិត្យមើលថាតើវាងាយស្រួលប៉ុណ្ណាក្នុងការកំណត់ពាក្យសំដីនៃសមីការនេះ។ សម្រាប់ការមិនកាត់បន្ថយ (សម្រាប់មេគុណទាំងអស់ដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ) ទ្រឹស្តីបទនេះអាចអនុវត្តបានដូចខាងក្រោមៈ ផលបូក x 1 + x 2 ស្មើនឹង -v/a ផលិតផល x 1 x 2 ស្មើនឹង c/a .

ផលបូកនៃពាក្យសេរី c និងមេគុណទីមួយ a គឺស្មើនឹងមេគុណ b ។ ក្នុងស្ថានភាពនេះ សមីការមានឫសយ៉ាងតិចមួយ (វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់) ទីមួយគឺចាំបាច់ស្មើនឹង -1 ហើយទីពីរ - c/a ប្រសិនបើវាមាន។ របៀបដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ អ្នកអាចពិនិត្យវាដោយខ្លួនឯងបាន។ ងាយស្រួយ។ មេគុណអាចមាននៅក្នុងសមាមាត្រមួយចំនួនក្នុងចំណោមពួកគេ។

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o ។
• ផលបូកនៃមេគុណទាំងអស់គឺ o ។
  ឫសគល់នៃសមីការបែបនេះគឺ ១ និង គ/ក។ ឧទាហរណ៍ 2x 2 −15x + 13 = o ។
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2 ។

មានវិធីមួយចំនួនទៀតដើម្បីដោះស្រាយសមីការផ្សេងគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ។ ជាឧទាហរណ៍ នៅទីនេះ គឺជាវិធីសាស្ត្រមួយសម្រាប់ទាញយកការេពេញលេញពីពហុធាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ មានវិធីក្រាហ្វិកជាច្រើន។ នៅពេលដែលអ្នកឧស្សាហ៍ដោះស្រាយជាមួយឧទាហរណ៍បែបនេះ អ្នកនឹងរៀន "ចុច" ពួកវាដូចជាគ្រាប់ពូជ ពីព្រោះវិធីសាស្រ្តទាំងអស់គិតដោយស្វ័យប្រវត្តិ។