ដេរីវេនៃមុខងារគឺជាប្រធានបទដ៏លំបាកបំផុតមួយនៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ មិនមែនគ្រប់និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សានឹងឆ្លើយសំណួរថាអ្វីទៅជាដេរីវេទេ។

អត្ថបទនេះពន្យល់យ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់ថាអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ និងមូលហេតុដែលវាត្រូវការ។. ឥឡូវនេះ យើងនឹងមិនខិតខំសម្រាប់ភាពតឹងរ៉ឹងផ្នែកគណិតវិទ្យានៃការបង្ហាញនោះទេ។ អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺត្រូវយល់ពីអត្ថន័យ។

ចូរយើងចងចាំនិយមន័យ៖

ដេរីវេគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារបី។ តើអ្នកគិតថាមួយណាលូតលាស់លឿនជាងគេ?

ចម្លើយគឺជាក់ស្តែង - ទីបី។ វាមានអត្រាខ្ពស់បំផុតនៃការផ្លាស់ប្តូរ នោះគឺជាដេរីវេធំបំផុត។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយទៀត។

Kostya, Grisha និង Matvey ទទួលបានការងារក្នុងពេលតែមួយ។ តោះ​មើល​ថា​ចំណូល​របស់​ពួក​គេ​បាន​ផ្លាស់​ប្តូរ​យ៉ាង​ណា​ក្នុង​អំឡុង​ឆ្នាំ​នេះ៖

អ្នកអាចឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅលើតារាងភ្លាមៗមែនទេ? ប្រាក់ចំណូលរបស់ Kostya បានកើនឡើងទ្វេដងក្នុងរយៈពេលប្រាំមួយខែ។ ហើយ​ប្រាក់​ចំណូល​របស់ Grisha ក៏​កើន​ឡើង​ដែរ ប៉ុន្តែ​គ្រាន់​តែ​បន្តិច។ ហើយប្រាក់ចំណូលរបស់ម៉ាថាយបានថយចុះដល់សូន្យ។ លក្ខខណ្ឌចាប់ផ្តើមគឺដូចគ្នាប៉ុន្តែអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ i.e. ដេរីវេ, - ខុសគ្នា។ សម្រាប់ Matvey ដេរីវេនៃប្រាក់ចំណូលរបស់គាត់ជាទូទៅអវិជ្ជមាន។

ដោយវិចារណញាណ យើងអាចប៉ាន់ស្មានអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារយ៉ាងងាយស្រួល។ ប៉ុន្តែតើយើងធ្វើវាដោយរបៀបណា?

អ្វី​ដែល​យើង​ពិត​ជា​កំពុង​សម្លឹង​មើល​គឺ​របៀប​ដែល​ក្រាហ្វ​នៃ​មុខងារ​ឡើង​ទៅ​លើ (ឬ​ចុះ​ក្រោម)។ ម៉្យាងទៀត y ផ្លាស់ប្តូរលឿនប៉ុណ្ណាជាមួយ x ។ ជាក់ស្តែងមុខងារដូចគ្នានៅចំណុចផ្សេងគ្នាអាចមានតម្លៃខុសគ្នានៃដេរីវេ - នោះគឺវាអាចផ្លាស់ប្តូរលឿនជាងឬយឺតជាង។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានតាងដោយ .

ចូរបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកដោយប្រើក្រាហ្វ។

ក្រាហ្វនៃមុខងារមួយចំនួនត្រូវបានគូរ។ យកចំណុចមួយនៅលើវាជាមួយ abscissa មួយ។ គូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។ យើងចង់វាយតម្លៃថាតើក្រាហ្វនៃមុខងារឡើងខ្ពស់ប៉ុណ្ណា។ តម្លៃងាយស្រួលសម្រាប់នេះគឺ តង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់.

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់ដែលទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនោះ។

សូមចំណាំ - ជាមុំទំនោរនៃតង់សង់ យើងយកមុំរវាងតង់សង់ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស។

ពេលខ្លះសិស្សសួរថាតើអ្វីជាតង់សង់នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ។ នេះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានចំណុចរួមតែមួយគត់ជាមួយនឹងក្រាហ្វនៅក្នុងផ្នែកនេះ លើសពីនេះទៅទៀត ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបរបស់យើង។ វាមើលទៅដូចជាតង់សង់ទៅរង្វង់មួយ។

ចូរយើងស្វែងរក។ យើងចាំថាតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខទៅនឹងជើងដែលនៅជាប់គ្នា។ ពីត្រីកោណ៖

យើងបានរកឃើញដេរីវេដោយប្រើក្រាហ្វដោយមិនដឹងពីរូបមន្តនៃអនុគមន៍។ ភារកិច្ចបែបនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងការប្រឡងក្នុងគណិតវិទ្យានៅក្រោមលេខ។

មានទំនាក់ទំនងសំខាន់មួយទៀត។ សូមចាំថាបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ

បរិមាណនៅក្នុងសមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា ជម្រាលនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។. វាស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅអ័ក្ស។

.

យើងទទួលបាននោះ។

ចូរយើងចងចាំរូបមន្តនេះ។ វាបង្ហាញពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងចំណោទនៃតង់សង់ដែលទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនោះ។

ម្យ៉ាងទៀត ដេរីវេគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់។

យើងបាននិយាយរួចហើយថាមុខងារដូចគ្នានៅចំណុចផ្សេងគ្នាអាចមានដេរីវេខុសគ្នា។ សូមមើលពីរបៀបដែលដេរីវេគឺទាក់ទងទៅនឹងឥរិយាបថនៃអនុគមន៍។

តោះគូរក្រាហ្វនៃមុខងារមួយចំនួន។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារនេះកើនឡើងក្នុងផ្នែកខ្លះ ហើយបន្ថយនៅផ្នែកផ្សេងទៀត និងក្នុងអត្រាផ្សេងគ្នា។ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមុខងារនេះមានពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមា។

នៅចំណុចមួយមុខងារកំពុងកើនឡើង។ តង់សង់​ទៅ​ក្រាហ្វ​ដែល​គូស​នៅ​ចំណុច​នោះ​បង្កើត​ជា​មុំ​ស្រួច​ជាមួយ​ទិស​វិជ្ជមាន​នៃ​អ័ក្ស។ ដូច្នេះដេរីវេគឺវិជ្ជមាននៅចំណុច។

នៅចំណុចនេះមុខងាររបស់យើងកំពុងថយចុះ។ តង់សង់នៅចំណុចនេះបង្កើតជាមុំ obtuse ជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស។ ដោយសារតង់សង់នៃមុំ obtuse គឺអវិជ្ជមាន ដេរីវេនៅចំណុចគឺអវិជ្ជមាន។

នេះជាអ្វីដែលកើតឡើង៖

ប្រសិនបើមុខងារមួយកំពុងកើនឡើង ដេរីវេរបស់វាគឺវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើវាថយចុះ ដេរីវេរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន។

ហើយ​តើ​អ្វី​នឹង​កើត​ឡើង​នៅ​ចំណុច​អតិបរមា និង​អប្បបរមា? យើងឃើញថានៅ (ចំណុចអតិបរមា) និង (ចំណុចអប្បបរមា) តង់សង់គឺផ្ដេក។ ដូច្នេះ តង់សង់នៃជម្រាលនៃតង់សង់នៅចំណុចទាំងនេះគឺសូន្យ ហើយដេរីវេក៏ជាសូន្យផងដែរ។

ចំណុចគឺជាចំណុចអតិបរមា។ នៅចំណុចនេះការកើនឡើងនៃមុខងារត្រូវបានជំនួសដោយការថយចុះ។ អាស្រ័យហេតុនេះ សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរនៅចំណុចពី "បូក" ទៅ "ដក" ។

នៅចំណុច - ចំណុចអប្បបរមា - ដេរីវេក៏ស្មើនឹងសូន្យដែរ ប៉ុន្តែសញ្ញារបស់វាផ្លាស់ប្តូរពី "ដក" ទៅ "បូក" ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដោយមានជំនួយពីដេរីវេ អ្នកអាចរកឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលចាប់អារម្មណ៍យើងអំពីអាកប្បកិរិយានៃមុខងារ។

ប្រសិនបើដេរីវេគឺវិជ្ជមាន នោះមុខងារកំពុងកើនឡើង។

ប្រសិនបើដេរីវេគឺអវិជ្ជមាន នោះមុខងារនឹងថយចុះ។

នៅចំណុចអតិបរមា ដេរីវេគឺសូន្យ ហើយប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក។

នៅចំណុចអប្បបរមា ដេរីវេក៏ជាសូន្យ និងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក។

យើងសរសេរការរកឃើញទាំងនេះក្នុងទម្រង់ជាតារាង៖

	កើនឡើង	ចំណុចអតិបរមា	ថយចុះ	ចំណុចអប្បបរមា	កើនឡើង
+	0	-	0	+

ចូរយើងធ្វើការបំភ្លឺពីរយ៉ាង។ អ្នកនឹងត្រូវការមួយក្នុងចំណោមពួកគេនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាប្រឡង។ មួយទៀត - ក្នុងឆ្នាំដំបូងជាមួយនឹងការសិក្សាកាន់តែធ្ងន់ធ្ងរអំពីមុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

ករណីអាចធ្វើទៅបាននៅពេលដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយចំនួនស្មើនឹងសូន្យ ប៉ុន្តែមុខងារនេះមិនមានអតិបរមា ឬអប្បបរមានៅចំណុចនេះទេ។ នេះហៅថា :

នៅចំណុចមួយ តង់សង់ទៅក្រាហ្វគឺផ្ដេក ហើយដេរីវេគឺសូន្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមុនពេលចំនុចមុខងារកើនឡើង - ហើយបន្ទាប់ពីចំនុចវាបន្តកើនឡើង។ សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុមិនផ្លាស់ប្តូរទេ - វានៅតែមានភាពវិជ្ជមានដូចដែលវាធ្លាប់មាន។

វាក៏កើតឡើងផងដែរដែលថានៅចំណុចអតិបរមាឬអប្បបរមា ដេរីវេមិនមានទេ។ នៅលើក្រាហ្វ នេះត្រូវគ្នាទៅនឹងការបំបែកដ៏មុតស្រួច នៅពេលដែលវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេប្រសិនបើមុខងារមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយក្រាហ្វប៉ុន្តែដោយរូបមន្តមួយ? ក្នុងករណីនេះវាត្រូវបានអនុវត្ត

ការគណនាដេរីវេគឺជាប្រតិបត្តិការដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ខាងក្រោមនេះជាតារាងសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ។ សម្រាប់ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដ៏ស្មុគស្មាញ សូមមើលមេរៀនផ្សេងទៀត៖

• តារាងដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត

ប្រើរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យជាតម្លៃយោង។ ពួកគេនឹងជួយក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងបញ្ហា។ នៅក្នុងរូបភាព នៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ មាន "សន្លឹកបន្លំ" នៃករណីសំខាន់ៗនៃការស្វែងរកដេរីវេនៅក្នុងទម្រង់ដែលអាចយល់បានសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ នៅក្បែរនោះគឺជាការពន្យល់សម្រាប់ករណីនីមួយៗ។

ដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ

1. ដេរីវេនៃលេខមួយគឺសូន្យ
ស´ = ០
ឧទាហរណ៍៖
5' = 0

ការពន្យល់:
ដេរីវេបង្ហាញអត្រាដែលតម្លៃនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរ។ ដោយសារលេខមិនផ្លាស់ប្តូរតាមមធ្យោបាយណាមួយនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌណាមួយ អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូររបស់វាតែងតែសូន្យ។

2. ដេរីវេនៃអថេរមួយ។ស្មើនឹងមួយ។
x' = ១

ការពន្យល់:
ជាមួយនឹងការកើនឡើងនីមួយៗនៃអាគុយម៉ង់ (x) ដោយមួយតម្លៃនៃអនុគមន៍ (លទ្ធផលគណនា) កើនឡើងដោយចំនួនដូចគ្នា។ ដូច្នេះអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអនុគមន៍ y = x គឺពិតជាស្មើនឹងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់។

3. ដេរីវេនៃអថេរ និងកត្តាមួយស្មើនឹងកត្តានេះ។
sx´ = ស
ឧទាហរណ៍៖
(3x)´ = ៣
(2x)´ = ២
ការពន្យល់:
ក្នុងករណីនេះ រាល់ពេលដែលអាគុយម៉ង់មុខងារ ( X) តម្លៃរបស់វា (y) កើនឡើង ជាមួយម្តង។ ដូច្នេះអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអាគុយម៉ង់គឺពិតជាស្មើនឹងតម្លៃ ជាមួយ.

ពីណាមក
(cx + b)" = គ
នោះគឺឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ y=kx+b គឺស្មើនឹងចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ (k)។

4. ដេរីវេនៃម៉ូឌុលនៃអថេរគឺស្មើនឹងកូតានៃអថេរនេះទៅនឹងម៉ូឌុលរបស់វា។
|x|"= x / |x| បានផ្តល់ថា x ≠ 0
ការពន្យល់:
ដោយសារដេរីវេនៃអថេរ (សូមមើលរូបមន្តទី 2) គឺស្មើនឹងមួយ ដេរីវេនៃម៉ូឌុលខុសគ្នាតែក្នុងនោះតម្លៃនៃអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយគ្នានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចដើម (ព្យាយាមគូរក្រាហ្វ នៃអនុគមន៍ y = |x| ហើយមើលដោយខ្លួនឯង នេះជាតម្លៃពិតប្រាកដ ហើយត្រឡប់កន្សោម x / |x| ពេល x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - មួយ។ នោះគឺជាមួយនឹងតម្លៃអវិជ្ជមាននៃអថេរ x ជាមួយនឹងការកើនឡើងនីមួយៗនៃការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ តម្លៃនៃអនុគមន៍ថយចុះដោយតម្លៃដូចគ្នាពិតប្រាកដ ហើយជាមួយនឹងតម្លៃវិជ្ជមាន ផ្ទុយទៅវិញវាកើនឡើង ប៉ុន្តែពិតប្រាកដ តម្លៃដូចគ្នា។

5. ដេរីវេនៃថាមពលនៃអថេរមួយ។គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួននៃថាមពលនេះ និងអថេរនៅក្នុងថាមពល កាត់បន្ថយដោយមួយ។
(x c)"= cx c-1បានផ្តល់ថា x c និង cx c-1 ត្រូវបានកំណត់ និង c ≠ 0
ឧទាហរណ៍៖
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
ដើម្បីទន្ទេញរូបមន្ត:
យកនិទស្សន្តនៃអថេរ "ចុះ" ជាមេគុណ ហើយបន្ទាប់មកបន្ថយនិទស្សន្តដោយខ្លួនវាមួយ។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ x 2 - ពីរគឺនាំមុខ x ហើយបន្ទាប់មកថាមពលកាត់បន្ថយ (2-1 = 1) គ្រាន់តែផ្តល់ឱ្យយើង 2x ។ រឿងដដែលនេះបានកើតឡើងសម្រាប់ x 3 - យើងបន្ថយបីដង កាត់បន្ថយវាមួយ ហើយជំនួសឱ្យគូបមួយ យើងមានការ៉េ នោះគឺ 3x 2 ។ តិចតួច "មិនវិទ្យាសាស្រ្ត" ប៉ុន្តែងាយស្រួលចងចាំណាស់។

6.ដេរីវេនៃប្រភាគ 1/x
(1/x)" = − 1/x 2
ឧទាហរណ៍៖
ដោយសារប្រភាគអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការបង្កើនថាមពលអវិជ្ជមាន
(1/x)" = (x -1)" បន្ទាប់មកអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តពីច្បាប់ទី 5 នៃតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ
(x −1)" = −1x −2 = − 1 / x 2

7. ដេរីវេនៃប្រភាគ ជាមួយនឹងអថេរនៃសញ្ញាបត្របំពាននៅក្នុងភាគបែង
(1/x c)" = - គ / x គ + ១
ឧទាហរណ៍៖
(1 / x 2)" = − 2 / x 3

8. ដេរីវេនៃឫស(ដេរីវេនៃអថេរនៅក្រោមឫសការ៉េ)
(√x)" = 1 / (2√x)ឬ 1/2 x −1/2
ឧទាហរណ៍៖
(√x)" = (x 1/2)" ដូច្នេះអ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តពីច្បាប់ទី 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. ដេរីវេនៃអថេរនៅក្រោមឫសនៃសញ្ញាបត្របំពាន
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

ដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។ដេរីវេត្រូវតែរកឃើញនៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលស្វែងរកចំណុចខ្លាំង និងចំណុចបញ្ឆេះនៃក្រាហ្វមុខងារ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរក?

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ អ្នកត្រូវដឹងពីតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម ហើយអនុវត្តច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នា៖

1. ការដកថេរចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖ $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. ដេរីវេនៃផលបូក/ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍៖ $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ៖ $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. ដេរីវេនៃប្រភាគ៖ $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv")(v^2) $$
5. ដេរីវេនៃអនុគមន៍ផ្សំ៖ $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1$

ដំណោះស្រាយ

ដេរីវេនៃផលបូក/ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូក/ភាពខុសគ្នានៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖ $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ ដោយប្រើអនុគមន៍អនុគមន៍ថាមពល $(x^p)" = px^(p-1) $ យើងមាន៖ $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ វាត្រូវបានគេយកទៅក្នុងគណនីផងដែរថាដេរីវេនៃថេរគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ប្រសិនបើអ្នកមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហារបស់អ្នកបានទេ សូមផ្ញើវាមកពួកយើង។ យើងនឹងផ្តល់ដំណោះស្រាយលម្អិត។ អ្នកនឹងអាចស្គាល់ខ្លួនឯងជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាពនៃការគណនា និងប្រមូលព័ត៌មាន។ នេះនឹងជួយឱ្យអ្នកទទួលបានក្រេឌីតពីគ្រូក្នុងលក្ខណៈទាន់ពេលវេលា!

ចម្លើយ

$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

ការគណនានៃដេរីវេត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងកិច្ចការ USE ។ ទំព័រនេះមានបញ្ជីរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។

ច្បាប់នៃការបែងចែក

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x) ។
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)។
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x)។
4. ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ប្រសិនបើ y=F(u) និង u=u(x) នោះអនុគមន៍ y=f(x)=F(u(x)) ត្រូវបានគេហៅថាជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃ x ។ គឺស្មើនឹង y′(x)=Fu′⋅ ux′។
5. ដេរីវេនៃមុខងារបង្កប់ន័យ។ អនុគមន៍ y=f(x) ត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍ implicit ដែលផ្តល់ដោយទំនាក់ទំនង F(x,y)=0 ប្រសិនបើ F(x,f(x))≡0។
6. ដេរីវេនៃមុខងារបញ្ច្រាស។ ប្រសិនបើ g(f(x))=x នោះអនុគមន៍ g(x) ត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍ច្រាសសម្រាប់អនុគមន៍ y=f(x)។
7. ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ អនុញ្ញាតឱ្យ x និង y ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជាមុខងារនៃអថេរ t: x = x (t), y = y (t) ។ វាត្រូវបានគេនិយាយថា y = y (x) គឺជាអនុគមន៍ដែលបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៅលើចន្លោះពេល x∈ (a; b) ប្រសិនបើនៅលើចន្លោះពេលនេះសមីការ x = x (t) អាចត្រូវបានបង្ហាញជា t = t (x) និងអនុគមន៍ y=y(t(x))=y(x)។
8. ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ វាត្រូវបានរកឃើញដោយយកលោការីតទៅមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ។

យើងណែនាំអ្នកឱ្យរក្សាទុកតំណ ព្រោះតារាងនេះអាចត្រូវការច្រើនដងទៀត។

ភ័ស្តុតាង និង​ការ​បង្កើត​រូបមន្ត​សម្រាប់​ដេរីវេនៃ​អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (e ទៅ​អំណាច x) និង​អនុគមន៍​អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (a ទៅ​អំណាច x)។ ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃ e^2x, e^3x និង e^nx ។ រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង។

មាតិកា

សូម​មើល​ផង​ដែរ: អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល - លក្ខណសម្បត្តិ រូបមន្ត ក្រាហ្វ
និទស្សន្ត e ទៅថាមពលនៃ x - លក្ខណសម្បត្តិ រូបមន្ត ក្រាហ្វ

រូបមន្តមូលដ្ឋាន

ដេរីវេនៃនិទស្សន្តគឺស្មើនឹងនិទស្សន្តខ្លួនវា (ដេរីវេនៃ e ទៅអំណាចនៃ x គឺស្មើនឹង e ទៅអំណាចនៃ x):
(1) (e x)′ = e x.

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋានដឺក្រេ a គឺស្មើនឹងអនុគមន៍ខ្លួនវាគុណនឹងលោការីតធម្មជាតិនៃ a:
(2) .

និទស្សន្តគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមូលដ្ឋាននិទស្សន្តស្មើនឹងចំនួន e ដែលជាដែនកំណត់ខាងក្រោម៖
.
នៅទីនេះវាអាចជាចំនួនធម្មជាតិ ឬជាចំនួនពិត។ បន្ទាប់យើងទទួលបានរូបមន្ត (1) សម្រាប់ដេរីវេនៃនិទស្សន្ត។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃនិទស្សន្ត

ពិចារណានិទស្សន្ត e ទៅអំណាចនៃ x :
y = e x ។
មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វាទាក់ទងនឹង x ។ តាមនិយមន័យ ដេរីវេមានដែនកំណត់ដូចខាងក្រោម៖
(3) .

ចូរបំប្លែងកន្សោមនេះ ដើម្បីកាត់បន្ថយវាទៅជាលក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្បួនគណិតវិទ្យាដែលគេស្គាល់។ ចំពោះបញ្ហានេះយើងត្រូវការការពិតដូចខាងក្រោមៈ
ប៉ុន្តែ)ទ្រព្យសម្បត្តិនិទស្សន្ត៖
(4) ;
ខ)ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត៖
(5) ;
អេ)ភាពបន្តនៃលោការីត និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃដែនកំណត់សម្រាប់មុខងារបន្ត៖
(6) .
នេះគឺជាមុខងារមួយចំនួនដែលមានដែនកំណត់ ហើយដែនកំណត់នេះគឺវិជ្ជមាន។
ឆ)អត្ថន័យនៃដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ៖
(7) .

យើងអនុវត្តការពិតទាំងនេះទៅនឹងដែនកំណត់របស់យើង (3) ។ យើងប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិ (4):
;
.

ចូរធ្វើការជំនួស។ បន្ទាប់មក ; .
ដោយសារតែការបន្តនៃនិទស្សន្ត។
.
ដូច្នេះនៅ , ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖
.

ចូរធ្វើការជំនួស។ បន្ទាប់មក។ នៅ , ។ ហើយយើងមាន៖
.

យើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត (៥)៖
. បន្ទាប់មក
.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិ (6). ដោយសារមានដែនកំណត់វិជ្ជមាន ហើយលោការីតគឺបន្ត ដូច្នេះ៖
.
នៅទីនេះយើងក៏បានប្រើដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ (7) ។ បន្ទាប់មក
.

ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលរូបមន្ត (1) សម្រាប់ដេរីវេនៃនិទស្សន្ត។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឥឡូវនេះយើងទាញយករូបមន្ត (2) សម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋានដឺក្រេ a ។ យើងជឿថានិង។ បន្ទាប់មកអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
(8)
កំណត់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។

ចូរយើងបំប្លែងរូបមន្ត (៨) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត។
;
.
ដូច្នេះ យើង​បាន​បំប្លែង​រូបមន្ត (៨) ទៅជា​ទម្រង់​ខាងក្រោម៖
.

ដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់នៃ e ទៅអំណាចនៃ x

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាងនេះ។ សូមក្រឡេកមើលនិទស្សន្តជាមុនសិន៖
(14) .
(1) .

យើងឃើញថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ (14) គឺស្មើនឹងអនុគមន៍ (14) ខ្លួនឯង។ ភាពខុសគ្នា (1) យើងទទួលបាននិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីពីរ និងទីបី៖
;
.

នេះបង្ហាញថាដេរីវេនៃលំដាប់ទី 3 ក៏ស្មើនឹងមុខងារដើមដែរ៖
.

ដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឥឡូវពិចារណាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋានដឺក្រេ a៖
.
យើងបានរកឃើញដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញដំបូងរបស់វា៖
(15) .

ភាពខុសគ្នា (15) យើងទទួលបាននិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីពីរ និងទីបី៖
;
.

យើងឃើញថាភាពខុសគ្នានីមួយៗនាំទៅដល់ការគុណនៃអនុគមន៍ដើមដោយ . ដូច្នេះ ដេរីវេទី n មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
.

សូម​មើល​ផង​ដែរ: