(មកពីភាសាក្រិច λόγος - "ពាក្យ" "ទំនាក់ទំនង" និងἀριθμός - "លេខ") លេខ ខដោយហេតុផល ក(កំណត់ហេតុ α ខ) ត្រូវបានគេហៅថាលេខបែបនេះ គ, និង ខ= មួយ គនោះគឺ log α ខ=គនិង b=aគគឺសមមូល។ លោការីតមានន័យប្រសិនបើ a > 0, a ≠ 1, b > 0 ។

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត លោការីតលេខ ខដោយហេតុផល កបង្កើតជានិទស្សន្តដែលចំនួនត្រូវតែលើកឡើង កដើម្បីទទួលបានលេខ ខ(លោការីតមានសម្រាប់តែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ)។

ពីរូបមន្តនេះវាដូចខាងក្រោមថាការគណនា x = កំណត់ហេតុ α ខស្មើនឹងការដោះស្រាយសមីការ a x = b ។

ឧទាហរណ៍:

កំណត់ហេតុ 2 8 = 3 ព្រោះ 8 = 2 3 ។

យើងកត់សំគាល់ថាការបង្កើតលោការីតដែលបានចង្អុលបង្ហាញធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់បានភ្លាមៗ តម្លៃលោការីតនៅពេលដែលលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតគឺជាថាមពលជាក់លាក់នៃមូលដ្ឋាន។ ជាការពិតណាស់ ការបង្កើតលោការីត ធ្វើឱ្យវាអាចបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវថា ប្រសិនបើ b=a គបន្ទាប់មកលោការីតនៃលេខ ខដោយហេតុផល កស្មើ ជាមួយ. វាក៏ច្បាស់ដែរថាប្រធានបទលោការីតមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធជាមួយប្រធានបទ កម្រិតនៃលេខ.

ការគណនាលោការីតគឺសំដៅលើ លោការីត. លោការីតគឺជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យានៃការទទួលយកលោការីត។ នៅពេលទទួលយកលោការីត ផលិតផលនៃកត្តាត្រូវបានបំលែងទៅជាផលបូកនៃពាក្យ។

សក្តានុពលគឺ​ជា​ប្រតិបត្តិការ​គណិតវិទ្យា​បញ្ច្រាស​ទៅ​លោការីត។ នៅពេលដែល potentiating មូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានលើកឡើងទៅអំណាចនៃកន្សោមដែល potentiation ត្រូវបានអនុវត្ត។ ក្នុងករណីនេះផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំលែងទៅជាផលិតផលនៃកត្តា។

ជាញឹកញយ លោការីតពិតដែលមានមូលដ្ឋាន 2 (គោលពីរ) អ៊ី អយល័រ លេខ អ៊ី ≈ 2.718 (លោការីតធម្មជាតិ) និង 10 (ទសភាគ) ត្រូវបានប្រើ។

នៅដំណាក់កាលនេះវាមានតម្លៃពិចារណា គំរូលោការីតកំណត់ហេតុ ៧ ២ , ln √ 5, lg0.0001 ។

ហើយធាតុ lg (-3), កំណត់ហេតុ -3 3.2, កំណត់ហេតុ -1 -4.3 មិនសមហេតុផលទេព្រោះដំបូងក្នុងចំណោមពួកគេលេខអវិជ្ជមានត្រូវបានដាក់នៅក្រោមសញ្ញានៃលោការីតនៅក្នុងទីពីរ - ចំនួនអវិជ្ជមាននៅក្នុង មូលដ្ឋាន និងទីបី - និងលេខអវិជ្ជមាននៅក្រោមសញ្ញាលោការីត និងឯកតាក្នុងមូលដ្ឋាន។

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់កំណត់លោការីត។

វាមានតម្លៃពិចារណាដាច់ដោយឡែកពីលក្ខខណ្ឌ a> 0, a ≠ 1, b> 0 ។ និយមន័យលោការីត។ចូរយើងពិចារណាថាហេតុអ្វីបានជាការរឹតបន្តឹងទាំងនេះត្រូវបានយក។ វានឹងជួយយើងជាមួយនឹងសមភាពនៃទម្រង់ x = log α ខដែលហៅថា អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ដែលធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។

យកលក្ខខណ្ឌ a≠1. ដោយសារមួយស្មើនឹងមួយទៅថាមពលណាមួយ នោះសមភាព x=log α ខអាចមានបានតែនៅពេលដែល b=1ប៉ុន្តែកំណត់ហេតុ 1 1 នឹងជាចំនួនពិតណាមួយ។ ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់នេះយើងយក a≠1.

ចូរយើងបញ្ជាក់ពីភាពចាំបាច់នៃលក្ខខណ្ឌ a>0. នៅ a=0យោងតាមការបង្កើតលោការីត អាចមានបានតែនៅពេលដែល b=0. ហើយបន្ទាប់មកតាម កំណត់ហេតុ 0 0អាចជាចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ ព្រោះសូន្យទៅថាមពលដែលមិនមែនជាសូន្យគឺសូន្យ។ ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់នេះលក្ខខណ្ឌ a≠0. ហើយ​នៅពេល​ដែល ក<0 យើងនឹងត្រូវបដិសេធការវិភាគនៃតម្លៃសមហេតុផល និងអសមហេតុផលនៃលោការីត ចាប់តាំងពីនិទស្សន្តដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល និងអសមហេតុផលត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តែមូលដ្ឋានមិនអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ វាគឺសម្រាប់ហេតុផលនេះដែលលក្ខខណ្ឌ a>0.

និងលក្ខខណ្ឌចុងក្រោយ b>0កើតចេញពីវិសមភាព a>0ចាប់តាំងពី x=log α ខនិងតម្លៃនៃសញ្ញាបត្រដែលមានមូលដ្ឋានវិជ្ជមាន កវិជ្ជមានជានិច្ច។

លក្ខណៈពិសេសនៃលោការីត។

លោការីតលក្ខណៈដោយឡែក លក្ខណៈដែលនាំឱ្យមានការប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយរបស់ពួកគេ ដើម្បីជួយសម្រួលដល់ការគណនាដ៏លំបាក។ នៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរ "ទៅកាន់ពិភពលោកនៃលោការីត" គុណត្រូវបានបំលែងទៅជាការបូកដែលងាយស្រួលជាង ការបែងចែកទៅជាដក និងការកើនឡើងទៅជាថាមពល ហើយយកឬសត្រូវបានបំលែងទៅជាគុណ និងចែកដោយនិទស្សន្តរៀងៗខ្លួន។

ការបង្កើតលោការីត និងតារាងនៃតម្លៃរបស់វា (សម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ) ត្រូវបានបោះពុម្ពលើកដំបូងក្នុងឆ្នាំ 1614 ដោយគណិតវិទូជនជាតិស្កុតឡេន លោក John Napier ។ តារាងលោការីត ដែលពង្រីក និងលម្អិតដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀត ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការគណនាបែបវិទ្យាសាស្ត្រ និងវិស្វកម្ម ហើយនៅតែមានជាប់ទាក់ទងរហូតទាល់តែម៉ាស៊ីនគិតលេខអេឡិចត្រូនិក និងកុំព្យូទ័រចាប់ផ្តើមប្រើប្រាស់។

ជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍន៍សង្គម ភាពស្មុគ្រស្មាញនៃការផលិត គណិតវិទ្យាក៏បានអភិវឌ្ឍផងដែរ។ ចលនាពីសាមញ្ញទៅស្មុគស្មាញ។ ពីវិធីសាស្រ្តគណនេយ្យធម្មតានៃការបូក និងដក ជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗ ពួកគេបានមកដល់គោលគំនិតនៃគុណ និងចែក។ ការកាត់បន្ថយនៃប្រតិបត្តិការម្តងហើយម្តងទៀតបានក្លាយទៅជាគំនិតនៃនិទស្សន្ត។ តារាងទីមួយនៃការពឹងផ្អែកនៃលេខនៅលើមូលដ្ឋាន និងចំនួននៃនិទស្សន្តត្រូវបានចងក្រងឡើងវិញនៅក្នុងសតវត្សទី 8 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា Varasena ។ ពីពួកគេ អ្នកអាចរាប់ពេលវេលានៃការកើតឡើងនៃលោការីត។

គ្រោងប្រវត្តិសាស្ត្រ

ការរស់ឡើងវិញនៃទ្វីបអឺរ៉ុបក្នុងសតវត្សទី 16 ក៏ជំរុញឱ្យមានការអភិវឌ្ឍន៍ផ្នែកមេកានិចផងដែរ។ ធ តម្រូវ​ឱ្យ​មាន​ចំនួន​ដ៏​ច្រើន​នៃ​ការ​គណនា​ទាក់ទង​នឹង​ការ​គុណ​និង​ចែក​លេខ​ច្រើន​ខ្ទង់។ តុបុរាណបានបម្រើយ៉ាងអស្ចារ្យ។ ពួកគេបានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជំនួសប្រតិបត្តិការស្មុគ្រស្មាញជាមួយនឹងអ្វីដែលសាមញ្ញជាង - ការបូកនិងដក។ ជំហានដ៏ធំមួយឆ្ពោះទៅមុខគឺជាស្នាដៃរបស់គណិតវិទូ Michael Stiefel ដែលបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1544 ដែលគាត់បានដឹងពីគំនិតរបស់គណិតវិទូជាច្រើន។ នេះធ្វើឱ្យវាអាចប្រើតារាងមិនត្រឹមតែសម្រាប់ដឺក្រេក្នុងទម្រង់ជាលេខបឋមប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងសម្រាប់ហេតុផលដែលបំពានផងដែរ។

នៅឆ្នាំ 1614 ជនជាតិស្កុតឡេនលោក John Napier បានបង្កើតគំនិតទាំងនេះជាលើកដំបូងបានណែនាំពាក្យថ្មី "លោការីតនៃចំនួនមួយ" ។ តារាងស្មុគស្មាញថ្មីត្រូវបានចងក្រងសម្រាប់គណនាលោការីតនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ក៏ដូចជាតង់ហ្សង់។ នេះបានកាត់បន្ថយការងាររបស់តារាវិទូយ៉ាងខ្លាំង។

តារាងថ្មីបានចាប់ផ្តើមលេចឡើងដែលត្រូវបានប្រើដោយជោគជ័យដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអស់រយៈពេលបីសតវត្សមកហើយ។ ពេលវេលាជាច្រើនបានកន្លងផុតទៅ មុនពេលប្រតិបត្តិការថ្មីនៅក្នុងពិជគណិតបានទទួលទម្រង់ដែលបានបញ្ចប់របស់វា។ លោការីតត្រូវបានកំណត់ ហើយលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាត្រូវបានសិក្សា។

មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 20 ជាមួយនឹងការមកដល់នៃម៉ាស៊ីនគិតលេខនិងកុំព្យូទ័រមនុស្សជាតិបានបោះបង់ចោលតារាងបុរាណដែលបានដំណើរការដោយជោគជ័យពេញមួយសតវត្សទី 13 ។

សព្វថ្ងៃនេះយើងហៅលោការីតនៃ b ដើម្បីដាក់មូលដ្ឋាន a លេខ x ដែលជាអំណាចនៃ a ដើម្បីទទួលបានលេខ b ។ នេះត្រូវបានសរសេរជារូបមន្ត៖ x = log a(b) ។

ឧទាហរណ៍ កំណត់ហេតុ 3(9) នឹងស្មើនឹង 2។ វាច្បាស់ណាស់ប្រសិនបើអ្នកធ្វើតាមនិយមន័យ។ ប្រសិនបើយើងបង្កើន 3 ដល់កម្លាំង 2 យើងទទួលបាន 9 ។

ដូច្នេះ និយមន័យដែលបានបង្កើតដាក់កម្រិតតែមួយ លេខ a និង b ត្រូវតែពិតប្រាកដ។

ប្រភេទនៃលោការីត

និយមន័យបុរាណត្រូវបានគេហៅថា លោការីតពិត ហើយពិតជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ a x = b ។ ជម្រើស a = 1 គឺ​បន្ទាត់​ព្រំដែន ហើយ​មិន​មាន​ការ​ចាប់​អារម្មណ៍។ ចំណាំ៖ 1 ដល់ថាមពលណាមួយគឺ 1 ។

តម្លៃពិតនៃលោការីតកំណត់បានលុះត្រាតែមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ធំជាង 0 ហើយមូលដ្ឋានមិនត្រូវស្មើនឹង 1 ។

កន្លែងពិសេសក្នុងវិស័យគណិតវិទ្យាលេងលោការីត ដែលនឹងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះអាស្រ័យលើតម្លៃនៃមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេ៖

ច្បាប់ និងការរឹតបន្តឹង

ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺជាច្បាប់៖ លោការីតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកលោការីត។ log abp = log a(b) + log a(p)។

ជាវ៉ារ្យ៉ង់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ វានឹងជា៖ log c (b/p) \u003d log c (b) - log c (p) អនុគមន៍ quotient គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។

វាងាយស្រួលមើលពីច្បាប់ពីរមុនដែល៖ log a(b p) = p * log a(b) ។

ទ្រព្យសម្បត្តិផ្សេងទៀតរួមមាន:

មតិយោបល់។ កុំធ្វើឱ្យមានកំហុសជាទូទៅ - លោការីតនៃផលបូកមិនស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីត។

អស់ជាច្រើនសតវត្សមកហើយ ប្រតិបត្តិការស្វែងរកលោការីត គឺជាកិច្ចការដែលចំណាយពេលវេលាច្រើន។ គណិតវិទូបានប្រើរូបមន្តដ៏ល្បីនៃទ្រឹស្តីលោការីតនៃការពង្រីកទៅជាពហុនាម៖

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n) ដែល n ជាចំនួនធម្មជាតិធំជាង 1 ដែលកំណត់ភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនា។

លោការីតជាមួយមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតត្រូវបានគណនាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទលើការផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋានមួយទៅមូលដ្ឋានមួយទៀត និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃផលិតផល។

ចាប់តាំងពីវិធីសាស្រ្តនេះគឺ laborious ណាស់និង នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងការលំបាកក្នុងការអនុវត្ត ពួកគេបានប្រើតារាងលោការីតដែលបានចងក្រងជាមុន ដែលបង្កើនល្បឿនការងារទាំងមូល។

ក្នុងករណីខ្លះ ក្រាហ្វដែលចងក្រងជាពិសេសនៃលោការីតត្រូវបានប្រើ ដែលផ្តល់ភាពត្រឹមត្រូវតិច ប៉ុន្តែបានបង្កើនល្បឿនយ៉ាងខ្លាំងក្នុងការស្វែងរកតម្លៃដែលចង់បាន។ ខ្សែកោងនៃអនុគមន៍ y = log a(x) ដែលបង្កើតឡើងនៅលើចំណុចជាច្រើន អនុញ្ញាតឱ្យប្រើបន្ទាត់ធម្មតាដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចផ្សេងទៀត។ អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយវិស្វករបានប្រើអ្វីដែលគេហៅថាក្រដាសក្រាហ្វសម្រាប់គោលបំណងទាំងនេះ។

នៅសតវត្សទី 17 លក្ខខណ្ឌគណនាអាណាឡូកជំនួយដំបូងបានលេចឡើងដែលនៅសតវត្សទី 19 បានទទួលទម្រង់បញ្ចប់។ ឧបករណ៍ដែលទទួលបានជោគជ័យបំផុតត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់ស្លាយ។ ទោះបីជាមានភាពសាមញ្ញនៃឧបករណ៍ក៏ដោយ រូបរាងរបស់វាបានបង្កើនល្បឿនដំណើរការនៃការគណនាវិស្វកម្មទាំងអស់ ហើយវាពិបាកក្នុងការប៉ាន់ស្មានតម្លៃលើសនេះ។ បច្ចុប្បន្ននេះមានមនុស្សតិចណាស់ដែលស្គាល់ឧបករណ៍នេះ។

ការមកដល់នៃម៉ាស៊ីនគិតលេខ និងកុំព្យូទ័របានធ្វើឱ្យវាគ្មានប្រយោជន៍ក្នុងការប្រើប្រាស់ឧបករណ៍ផ្សេងទៀតណាមួយឡើយ។

សមីការ និងវិសមភាព

រូបមន្តខាងក្រោមត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាពផ្សេងៗដោយប្រើលោការីត៖

• ការផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋានមួយទៅមូលដ្ឋានមួយទៀត៖ log a(b) = log c(b) / log c(a);
• ជាលទ្ធផលនៃកំណែមុន៖ log a(b) = 1 / log b(a) ។

ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹង៖

• តម្លៃនៃលោការីតនឹងមានភាពវិជ្ជមានតែប៉ុណ្ណោះ ប្រសិនបើទាំងមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់ទាំងពីរធំជាង ឬតិចជាងមួយ; ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយត្រូវបានបំពាន តម្លៃនៃលោការីតនឹងអវិជ្ជមាន។
• ប្រសិនបើអនុគមន៍លោការីតត្រូវបានអនុវត្តទៅផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព ហើយមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺធំជាងមួយ នោះសញ្ញានៃវិសមភាពត្រូវបានរក្សាទុក។ បើមិនដូច្នោះទេវាផ្លាស់ប្តូរ។

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការ

ពិចារណាជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការប្រើប្រាស់លោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងការដោះស្រាយសមីការ៖

ពិចារណាជម្រើសនៃការដាក់លោការីតក្នុងកម្រិត:

• កិច្ចការទី 3. គណនា 25^log 5(3)។ ដំណោះស្រាយ៖ ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា ការសម្គាល់គឺស្រដៀងនឹងខាងក្រោម (5^2)^log5(3) ឬ 5^(2* log 5(3))។ តោះសរសេរវាខុសគ្នា៖ 5^log 5(3*2) ឬការ៉េនៃលេខដែលជាអាគុយម៉ង់មុខងារអាចត្រូវបានសរសេរជាការ៉េនៃអនុគមន៍ខ្លួនវា (5^log 5(3))^2។ ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិលោការីត កន្សោមនេះគឺ 3^2 ។ ចម្លើយ៖ ជាលទ្ធផលនៃការគណនាយើងទទួលបាន ៩ ។

ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង

ក្នុងនាមជាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធ វាហាក់បីដូចជានៅឆ្ងាយពីជីវិតពិត ដែលលោការីតភ្លាមៗទទួលបានសារៈសំខាន់ជាច្រើនក្នុងការពិពណ៌នាអំពីវត្ថុនៅក្នុងពិភពពិត។ វាពិបាកក្នុងការស្វែងរកវិទ្យាសាស្ត្រដែលវាមិនត្រូវបានប្រើ។ នេះអនុវត្តយ៉ាងពេញលេញមិនត្រឹមតែចំពោះធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងចំពោះវិស័យចំណេះដឹងរបស់មនុស្សផងដែរ។

ភាពអាស្រ័យលោការីត

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃភាពអាស្រ័យលេខ៖

មេកានិច និងរូបវិទ្យា

តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ មេកានិក និងរូបវិទ្យាតែងតែបង្កើតដោយប្រើវិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា ហើយក្នុងពេលតែមួយបានបម្រើជាការលើកទឹកចិត្តសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យា រួមទាំងលោការីត។ ទ្រឹស្តីនៃច្បាប់រូបវិទ្យាភាគច្រើនត្រូវបានសរសេរជាភាសាគណិតវិទ្យា។ យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍តែពីរនៃការពិពណ៌នាអំពីច្បាប់រូបវន្តដោយប្រើលោការីត។

វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃការគណនាបរិមាណស្មុគស្មាញដូចជាល្បឿននៃគ្រាប់រ៉ុក្កែតដោយប្រើរូបមន្ត Tsiolkovsky ដែលបានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃការរុករកអវកាស:

V = I * ln(M1/M2), កន្លែងណា

• V គឺជាល្បឿនចុងក្រោយរបស់យន្តហោះ។
• ខ្ញុំគឺជាកម្លាំងជំរុញជាក់លាក់នៃម៉ាស៊ីន។
• M 1 គឺជាម៉ាស់ដំបូងនៃគ្រាប់រ៉ុក្កែត។
• M 2 - ម៉ាស់ចុងក្រោយ។

ឧទាហរណ៍សំខាន់មួយទៀត- នេះគឺជាការប្រើប្រាស់រូបមន្តរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យម្នាក់ទៀតគឺ Max Planck ដែលបម្រើដើម្បីវាយតម្លៃស្ថានភាពលំនឹងនៅក្នុងទែរម៉ូឌីណាមិក។

S = k * ln (Ω), ដែលជាកន្លែងដែល

• S គឺជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃទែរម៉ូឌីណាមិក។
• k គឺជាថេរ Boltzmann ។
• Ω គឺជាទម្ងន់ស្ថិតិនៃរដ្ឋផ្សេងៗគ្នា។

គីមីវិទ្យា

មិនសូវច្បាស់ទេគឺការប្រើរូបមន្តក្នុងគីមីវិទ្យាដែលមានសមាមាត្រលោការីត។ នេះគ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍ពីរប៉ុណ្ណោះ៖

• សមីការ Nernst លក្ខខណ្ឌនៃសក្ដានុពល redox នៃមធ្យម ទាក់ទងនឹងសកម្មភាពនៃសារធាតុ និងលំនឹងថេរ។
• ការគណនានៃថេរដូចជាសន្ទស្សន៍ autoprolysis និងអាស៊ីតនៃដំណោះស្រាយក៏មិនពេញលេញដែរបើគ្មានមុខងាររបស់យើង។

ចិត្តវិទ្យា និងជីវវិទ្យា

ហើយវាមិនអាចយល់បានទាំងស្រុងនូវអ្វីដែលចិត្តវិទ្យាទាក់ទងនឹងវា។ វាប្រែថាភាពខ្លាំងនៃអារម្មណ៍ត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងល្អដោយមុខងារនេះថាជាសមាមាត្របញ្ច្រាសនៃតម្លៃអាំងតង់ស៊ីតេរំញោចទៅនឹងតម្លៃអាំងតង់ស៊ីតេទាប។

បន្ទាប់​ពី​ឧទាហរណ៍​ខាង​លើ​នេះ វា​លែង​មាន​ការ​ភ្ញាក់​ផ្អើល​ទៀត​ហើយ​ដែល​ប្រធានបទ​លោការីត​ក៏​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​យ៉ាង​ទូលំទូលាយ​ក្នុង​ជីវវិទ្យា។ បរិមាណទាំងមូលអាចត្រូវបានសរសេរអំពីទម្រង់ជីវសាស្រ្តដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងវង់លោការីត។

តំបន់ផ្សេងទៀត។

វាហាក់ដូចជាថាអត្ថិភាពនៃពិភពលោកគឺមិនអាចទៅរួចទេបើគ្មានទំនាក់ទំនងជាមួយមុខងារនេះ ហើយវាគ្រប់គ្រងច្បាប់ទាំងអស់។ ជាពិសេសនៅពេលដែលច្បាប់នៃធម្មជាតិត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ វាមានតម្លៃយោងទៅគេហទំព័រ MatProfi ហើយមានឧទាហរណ៍ជាច្រើននៅក្នុងផ្នែកនៃសកម្មភាពខាងក្រោម៖

បញ្ជីអាចគ្មានទីបញ្ចប់។ ដោយបានស្ទាត់ជំនាញច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃមុខងារនេះ អ្នកអាចចូលទៅក្នុងពិភពនៃប្រាជ្ញាគ្មានកំណត់។

ធាតុមួយនៃពិជគណិតកម្រិតបឋមគឺលោការីត។ ឈ្មោះនេះបានមកពីភាសាក្រិកពីពាក្យ "លេខ" ឬ "សញ្ញាបត្រ" ហើយមានន័យថាកម្រិតដែលវាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើនលេខនៅមូលដ្ឋានដើម្បីស្វែងរកលេខចុងក្រោយ។

ប្រភេទនៃលោការីត

• កំណត់ហេតុ a b គឺជាលោការីតនៃលេខ b ទៅមូលដ្ឋាន a (a> 0, a ≠ 1, b> 0);
• lg b - លោការីតទសភាគ (លោការីតគោល 10, a = 10);
• ln b - លោការីតធម្មជាតិ (លោការីតគោល e, a = e) ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយលោការីត?

លោការីតនៃលេខ b ដល់គោល a គឺជានិទស្សន្តដែលទាមទារឱ្យគោល a ត្រូវបានលើកទៅលេខ b ។ លទ្ធផលត្រូវបានប្រកាសដូចនេះ: "លោការីតនៃ b ទៅមូលដ្ឋាននៃ a" ។ ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាលោការីតគឺថាអ្នកត្រូវកំណត់ដឺក្រេដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយលេខដោយលេខដែលបានបញ្ជាក់។ មានច្បាប់ជាមូលដ្ឋានមួយចំនួនសម្រាប់កំណត់ ឬដោះស្រាយលោការីត ក៏ដូចជាការបំប្លែងសញ្ញាណដោយខ្លួនវាផ្ទាល់។ ដោយប្រើពួកវា សមីការលោការីតត្រូវបានដោះស្រាយ ដេរីវេត្រូវបានរកឃើញ អាំងតេក្រាលត្រូវបានដោះស្រាយ និងប្រតិបត្តិការផ្សេងទៀតជាច្រើនត្រូវបានអនុវត្ត។ ជាទូទៅ ដំណោះស្រាយចំពោះលោការីតខ្លួនវាគឺជាការសម្គាល់សាមញ្ញរបស់វា។ ខាងក្រោមនេះជារូបមន្ត និងលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗ៖

សម្រាប់ណាមួយ a ; a > 0; a ≠ 1 និងសម្រាប់ x ណាមួយ; y > 0 ។

• កំណត់ហេតុ a b = b គឺជាអត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន
• កំណត់ហេតុ a 1 = 0
• កំណត់ហេតុ a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• កត់ត្រា x/ y = កត់ត្រា x – កត់ត្រា y
• កំណត់ហេតុ a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x សម្រាប់ k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី
• log a x = 1/log x a

វិធីដោះស្រាយលោការីត - ការណែនាំជាជំហាន ៗ សម្រាប់ដោះស្រាយ

• ដំបូងសរសេរសមីការដែលត្រូវការ។

សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើលោការីតគោលគឺ 10 នោះកំណត់ត្រាត្រូវបានបង្រួម នោះលោការីតទសភាគត្រូវបានទទួល។ ប្រសិនបើមានលេខធម្មជាតិ e នោះយើងសរសេរចុះដោយកាត់បន្ថយទៅជាលោការីតធម្មជាតិ។ វាមានន័យថាលទ្ធផលនៃលោការីតទាំងអស់គឺជាអំណាចដែលលេខគោលត្រូវបានលើកឡើងដើម្បីទទួលបានលេខ b ។

ដោយផ្ទាល់ ដំណោះស្រាយស្ថិតនៅក្នុងការគណនាសញ្ញាបត្រនេះ។ មុននឹងដោះស្រាយកន្សោមជាមួយលោការីត ត្រូវតែធ្វើឱ្យសាមញ្ញទៅតាមច្បាប់ ពោលគឺប្រើរូបមន្ត។ អ្នកអាចស្វែងរកអត្តសញ្ញាណសំខាន់ៗដោយត្រឡប់ទៅក្រោយបន្តិចក្នុងអត្ថបទ។

នៅពេលបន្ថែម និងដកលោការីតដែលមានចំនួនពីរផ្សេងគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា ជំនួសដោយលោការីតតែមួយជាមួយនឹងផលិតផល ឬការបែងចែកលេខ b និង c រៀងគ្នា។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត (សូមមើលខាងលើ)។

ប្រសិនបើអ្នកកំពុងប្រើកន្សោមដើម្បីសម្រួលលោការីត វាមានដែនកំណត់មួយចំនួនដែលត្រូវដឹង។ ហើយនោះគឺ៖ មូលដ្ឋាននៃលោការីត a គឺគ្រាន់តែជាចំនួនវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែមិនស្មើនឹងមួយទេ។ លេខ b ដូចជា a ត្រូវតែធំជាងសូន្យ។

មានករណីនៅពេលដែល ដោយបានធ្វើឱ្យការបញ្ចេញមតិសាមញ្ញ អ្នកនឹងមិនអាចគណនាលោការីតក្នុងទម្រង់ជាលេខបានទេ។ វាកើតឡើងថាការបញ្ចេញមតិបែបនេះមិនសមហេតុផលទេពីព្រោះដឺក្រេជាច្រើនគឺជាលេខមិនសមហេតុផល។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនេះ ទុកអំណាចនៃលេខជាលោការីត។

លោការីតនៃចំនួនមួយ។ ន ដោយហេតុផល ក ត្រូវបានគេហៅថានិទស្សន្ត X ដែលអ្នកចាំបាច់ត្រូវលើក ក ដើម្បីទទួលបានលេខ ន

បានផ្តល់ថា
,
,

វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃលោការីតនោះ។
, i.e.
- សមភាពនេះគឺជាអត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន។

លោការីតដល់គោល ១០ ត្រូវបានគេហៅថាលោការីតទសភាគ។ ជំនួស​អោយ
សរសេរ
.

លោការីតគោល អ៊ី ត្រូវបានគេហៅថាធម្មជាតិនិងតំណាង
.

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត។

លោការីតនៃការរួបរួមសម្រាប់មូលដ្ឋានណាមួយគឺសូន្យ

លោការីតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីតនៃកត្តា។

3) លោការីតនៃកូតាគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃលោការីត

កត្តា
ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនៃការផ្លាស់ប្តូរពីលោការីតនៅមូលដ្ឋាន ក ទៅលោការីតនៅមូលដ្ឋាន ខ .

ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ 2-5 ជាញឹកញាប់អាចកាត់បន្ថយលោការីតនៃកន្សោមស្មុគ្រស្មាញទៅនឹងលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញលើលោការីត។

ឧទាហរណ៍,

ការបំប្លែងលោការីតបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាលោការីត។ ការបំប្លែងទៅវិញទៅមកនៃលោការីតត្រូវបានគេហៅថាសក្តានុពល។

ជំពូកទី 2. ធាតុនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង។

1. ដែនកំណត់

ដែនកំណត់មុខងារ
គឺជាចំនួនកំណត់ A ប្រសិនបើនៅពេលព្យាយាម xx 0 សម្រាប់នីមួយៗដែលបានកំណត់ទុកជាមុន
, មានលេខ
ថាឆាប់ជា
បន្ទាប់មក
.

អនុគមន៍​ដែល​មាន​កម្រិត​ខុស​ពី​វា​ដោយ​ចំនួន​មិន​កំណត់៖
, ដែលជាកន្លែងដែល - b.m.w. , i.e.
.

ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាមុខងារ
.

ពេលខំប្រឹង
, មុខងារ y ទៅសូន្យ៖

១.១. ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានអំពីដែនកំណត់។

ដែនកំណត់នៃតម្លៃថេរគឺស្មើនឹងតម្លៃថេរនេះ។

.

ដែនកំណត់នៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។

ដែនកំណត់នៃផលិតផលនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។

ដែនកំណត់នៃ quotient នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹង quotient នៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃភាគបែងមិនស្មើនឹងសូន្យ។

ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់

,
កន្លែងណា

១.២. កំណត់ឧទាហរណ៍នៃការគណនា

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនដែនកំណត់ទាំងអស់ត្រូវបានគណនាយ៉ាងសាមញ្ញនោះទេ។ ជាញឹកញាប់ ការគណនាដែនកំណត់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការបង្ហាញនៃភាពមិនច្បាស់លាស់នៃប្រភេទ៖ ឬ។

.

2. ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។

សូមឱ្យយើងមានមុខងារ
បន្តនៅលើផ្នែក
.

អាគុយម៉ង់ ទទួលបានការជំរុញខ្លះ
. បន្ទាប់មកមុខងារនឹងត្រូវបានបង្កើន
.

តម្លៃអាគុយម៉ង់ ត្រូវនឹងតម្លៃនៃមុខងារ
.

តម្លៃអាគុយម៉ង់
ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃនៃមុខងារ។

ដូច្នេះ, ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញដែនកំណត់នៃទំនាក់ទំនងនេះនៅ
. ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមាន នោះវាត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យនៃដេរីវេទី 3 នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ
ដោយអាគុយម៉ង់ ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ នៅពេលដែលការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅសូន្យ។

ដេរីវេនៃមុខងារ
អាចត្រូវបានសម្គាល់ដូចខាងក្រោម:

; ; ; .

និយមន័យ 4 ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា

២.១. អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេ។

ពិចារណាចលនា rectilinear នៃរាងកាយរឹងមួយចំនួនឬចំណុចសម្ភារៈ។

អនុញ្ញាតឱ្យនៅចំណុចណាមួយនៅក្នុងពេលវេលា ចំណុចផ្លាស់ទី
គឺនៅចម្ងាយ ពីទីតាំងចាប់ផ្តើម
.

បន្ទាប់ពីមួយរយៈ
នាងបានផ្លាស់ប្តូរចម្ងាយ
. អាកប្បកិរិយា =- ល្បឿនមធ្យមនៃចំណុចសម្ភារៈ
. អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនេះដោយគិតគូរពីនោះ។
.

ដូច្នេះ ការ​កំណត់​ល្បឿន​ភ្លាមៗ​នៃ​ចំណុច​សម្ភារៈ​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ​ទៅ​ជា​ការ​ស្វែង​រក​ប្រភព​នៃ​ផ្លូវ​ដែល​ទាក់ទង​នឹង​ពេល​វេលា។

២.២. តម្លៃធរណីមាត្រនៃដេរីវេ

ឧបមាថាយើងមានមុខងារមួយចំនួនដែលបានកំណត់ជាក្រាហ្វិក
.

អង្ករ។ 1. អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ

ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកចំណុច
នឹងផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោង ខិតជិតចំណុច
.

ដូច្នេះ
, i.e. តម្លៃនៃដេរីវេដែលផ្តល់តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ ជាលេខស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស
.

២.៣. តារាងនៃរូបមន្តនៃភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋាន។

មុខងារថាមពល

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

មុខងារលោការីត

មុខងារត្រីកោណមាត្រ

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស

២.៤. ច្បាប់នៃការបែងចែក។

ដេរីវេនៃ

ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍

ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ

ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ

២.៥. ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
ដែលវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជា

និង
ដែលជាកន្លែងដែលអថេរ នោះគឺជាអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមទាក់ទងនឹង x ។

ឧទាហរណ៍ ១.

ឧទាហរណ៍ ២.

3. ឌីផេរ៉ង់ស្យែលមុខងារ។

សូមឱ្យមាន
ដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាននៅចន្លោះពេលមួយចំនួន
តោះ​ទៅ នៅ មុខងារនេះមានដេរីវេ

,

បន្ទាប់មកអ្នកអាចសរសេរបាន។

(1),

កន្លែងណា - បរិមាណមិនកំណត់,

ដោយសារតែនៅ

គុណគ្រប់លក្ខខណ្ឌនៃសមភាព (១) ដោយ
យើង​មាន:

កន្លែងណា
- b.m.v. លំដាប់ខ្ពស់ជាង។

តម្លៃ
ត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារ
និងតំណាង

.

៣.១. តម្លៃធរណីមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
.

រូប ២. អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

.

ជាក់ស្តែងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារ
គឺស្មើនឹងការបង្កើនចំនួនតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

៣.២. ដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃការបញ្ជាទិញផ្សេងៗ។

ប្រសិនបើមាន
បន្ទាប់មក
ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេទី 1 ។

ដេរីវេនៃដេរីវេទី 1 ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេទី 2 ហើយត្រូវបានសរសេរ
.

ដេរីវេនៃលំដាប់ទី n នៃអនុគមន៍
ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃលំដាប់ (n-1) ហើយត្រូវបានសរសេរ៖

.

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរឬឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ។

.

.

3.3 ការដោះស្រាយបញ្ហាជីវសាស្រ្តដោយប្រើភាពខុសគ្នា។

កិច្ចការ១. ការសិក្សាបានបង្ហាញថាការរីកលូតលាស់នៃអាណានិគមនៃ microorganisms គោរពច្បាប់
កន្លែងណា ន - ចំនួនអតិសុខុមប្រាណ (គិតជាពាន់), t - ពេលវេលា (ថ្ងៃ) ។

ខ) តើចំនួនប្រជាជននៃអាណានិគមនឹងកើនឡើង ឬថយចុះក្នុងអំឡុងពេលនេះ?

ចម្លើយ។ អាណានិគមនឹងធំឡើង។

កិច្ចការទី 2. ទឹកនៅក្នុងបឹងត្រូវបានធ្វើតេស្តជាទៀងទាត់ ដើម្បីគ្រប់គ្រងមាតិកានៃបាក់តេរីបង្កជំងឺ។ តាមរយៈ t ប៉ុន្មានថ្ងៃបន្ទាប់ពីការធ្វើតេស្ត ការប្រមូលផ្តុំបាក់តេរីត្រូវបានកំណត់ដោយសមាមាត្រ

.

តើនៅពេលណាដែលកំហាប់តិចបំផុតនៃបាក់តេរីចូលមកក្នុងបឹង ហើយវានឹងអាចហែលនៅក្នុងវាបាន?

ដំណោះស្រាយ អនុគមន៍ A ឈានដល់កម្រិតអតិបរមា ឬអប្បបរមា នៅពេលដេរីវេរបស់វាគឺសូន្យ។

,

ចូរកំណត់អតិបរិមា ឬអប្បបរមាក្នុងរយៈពេល 6 ថ្ងៃ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងយកដេរីវេទីពីរ។

ចម្លើយ៖ បន្ទាប់ពី 6 ថ្ងៃវានឹងមានកំហាប់បាក់តេរីអប្បបរមា។

និយមន័យលោការីត

លោការីតនៃលេខ b ដល់គោល a គឺជានិទស្សន្តដែលអ្នកត្រូវលើក a ដើម្បីទទួលបាន b ។

លេខ អ៊ីនៅក្នុងគណិតវិទ្យា វាជាទម្លាប់ក្នុងការសម្គាល់ដែនកំណត់ដែលកន្សោមមាននិន្នាការ

លេខ eគឺជា លេខមិនសមហេតុផល- លេខដែលមិនអាចគណនាបានជាមួយលេខមួយ វាមិនអាចត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងពិតប្រាកដទាំងទាំងមូល ឬជាប្រភាគ ហេតុផលចំនួន។

លិខិត អ៊ី- អក្សរទីមួយនៃពាក្យឡាតាំង exonere- ដើម្បីអួតដូច្នេះឈ្មោះក្នុងគណិតវិទ្យា អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល- អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

ចំនួន អ៊ីត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងគ្រប់វិទ្យាសាស្ត្រទាំងអស់ វិធីមួយ ឬវិធីផ្សេងទៀតដោយប្រើការគណនាគណិតវិទ្យាសម្រាប់តម្រូវការរបស់ពួកគេ។

លោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត

និយមន័យ៖ លោការីតមូលដ្ឋាននៃចំនួនវិជ្ជមាន b គឺជានិទស្សន្ត c ដែលលេខ a ត្រូវតែលើកដើម្បីទទួលបានលេខ b ។

អត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋាន៖

7) រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី:

lna = log e a, e ≈ 2.718…

ភារកិច្ចនិងការធ្វើតេស្តលើប្រធានបទ "លោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត »

• លោការីត - ប្រធានបទសំខាន់សម្រាប់ការប្រឡងឡើងវិញក្នុងគណិតវិទ្យា

ដើម្បីបញ្ចប់កិច្ចការដោយជោគជ័យលើប្រធានបទនេះ អ្នកត្រូវតែដឹងពីនិយមន័យនៃលោការីត លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត អត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋាន និយមន័យនៃលោការីតទសភាគ និងធម្មជាតិ។ ប្រភេទការងារសំខាន់ៗលើប្រធានបទនេះគឺជាកិច្ចការសម្រាប់គណនា និងបំប្លែងកន្សោមលោការីត។ ចូរយើងពិចារណាដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេលើឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ការសម្រេចចិត្ត៖ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតយើងទទួលបាន

ការសម្រេចចិត្ត៖ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រយើងទទួលបាន

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត ការបង្កើត និងភស្តុតាង។

លោការីតមានលក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈមួយចំនួន។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងវិភាគចម្បង លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត. នៅទីនេះយើងផ្តល់រូបមន្តរបស់ពួកគេ សរសេរលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីតក្នុងទម្រង់ជារូបមន្ត បង្ហាញឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់ពួកគេ ហើយក៏ផ្តល់ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតផងដែរ។

ការរុករកទំព័រ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត រូបមន្ត

ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ និងប្រើប្រាស់ យើងបង្ហាញជូន លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតជាបញ្ជីនៃរូបមន្ត។ នៅផ្នែកបន្ទាប់ យើងផ្តល់រូបមន្ត ភស្តុតាង ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ និងការពន្យល់ចាំបាច់របស់ពួកគេ។

ទ្រព្យសម្បត្តិកំណត់ហេតុឯកតា៖ កត់ត្រា a 1=0 សម្រាប់ a> 0 , a≠1 ។

លោការីត​នៃ​ចំនួន​ដែល​ស្មើ​នឹង​គោល៖ កត់ត្រា a=1 សម្រាប់ a>0, a≠1 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតដឺក្រេមូលដ្ឋាន៖ កត់ត្រា a p = p ដែល a> 0, a≠1 និង p គឺជាចំនួនពិតណាមួយ។

លោការីតនៃផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ៖ កំណត់ហេតុ a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y>0 ,
និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃផលិតផលនៃលេខវិជ្ជមាន៖ កំណត់ហេតុ a (x 1 x 2 ... x n) \u003d កំណត់ហេតុ a x 1 + កំណត់ហេតុ a x 2 + ... + កំណត់ហេតុ a x n, a> 0, a≠1 , x 1 > 0, x 2 > 0, …, xn > 0 ។

ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតឯកជន៖ ដែល a> 0 , a≠1 , x> 0 , y> 0 ។

លោការីតនៃអំណាចនៃចំនួនមួយ៖ កត់ត្រា a b p = p log a |b| ដែល a> 0 , a≠1 , b និង p គឺជាលេខដែលកម្រិតនៃ b p មានន័យ និង b p > 0 ។

លទ្ធផល៖ ដែល a>0 , a≠1 , n គឺជាចំនួនធម្មជាតិធំជាងមួយ, b>0 ។

កូរ៉ូឡារី ១៖ , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 ។

កូរ៉ូឡារី ២៖ , a>0 , a≠1 , b>0 , p និង q គឺជាចំនួនពិត q≠0 ជាពិសេសសម្រាប់ b=a យើងមាន .

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ និងភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ

យើងឆ្លងទៅការបង្កើតនិងភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានកត់ត្រានៃលោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃលោការីតត្រូវបានបង្ហាញនៅលើមូលដ្ឋាននៃនិយមន័យនៃលោការីត និងអត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋានដែលបន្តពីវា ក៏ដូចជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតនៃការរួបរួម. រូបមន្តរបស់វាមានដូចខាងក្រោម៖ លោការីតនៃការរួបរួមគឺស្មើនឹងសូន្យ ពោលគឺ កំណត់ហេតុ a 1=0សម្រាប់ a>0, a≠1 ណាមួយ។ ភ័ស្តុតាងគឺត្រង់៖ ចាប់តាំងពី 0 = 1 សម្រាប់ a ណាមួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌខាងលើ a> 0 និង a≠1 បន្ទាប់មកកំណត់ហេតុសមភាពដែលបានបញ្ជាក់ a 1 = 0 ភ្លាមៗពីនិយមន័យនៃលោការីត។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តនៃទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណា៖ log 3 1=0, lg1=0 និង .

តោះបន្តទៅអចលនទ្រព្យបន្ទាប់៖ លោការីត​នៃ​ចំនួន​ស្មើ​នឹង​គោល​គឺ​ស្មើ​នឹង​មួយ។, ឧ. កំណត់ហេតុ a=1សម្រាប់ a> 0, a≠1 ។ ជាការពិត ចាប់តាំងពី 1 =a សម្រាប់ a ណាមួយ បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យនៃលោការីត កត់ត្រា a = 1 ។

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃលោការីតនេះគឺ log 5 5=1, log 5.6 5.6 និង lne=1 ។

លោការីត​នៃ​អំណាច​នៃ​ចំនួន​ស្មើ​នឹង​គោល​នៃ​លោការីត​គឺ​ស្មើ​នឹង​និទស្សន្ត. លក្ខណសម្បត្តិនៃលោការីតនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងរូបមន្តនៃទម្រង់ កត់ត្រា a p = pដែល a>0, a≠1 និង p ជាចំនួនពិតណាមួយ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃលោការីត។ ចំណាំថាវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ជាក់តម្លៃលោការីតភ្លាមៗ ប្រសិនបើវាអាចតំណាងឱ្យលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតជាដឺក្រេនៃមូលដ្ឋាន យើងនឹងនិយាយបន្ថែមអំពីរឿងនេះនៅក្នុងអត្ថបទគណនាលោការីត។

ឧទាហរណ៍ log 2 2 7 = 7 , log10 -4 = -4 និង .

លោការីតនៃផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ x និង y គឺស្មើនឹងផលគុណនៃលោការីតនៃលេខទាំងនេះ៖ log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិរបស់លោការីតនៃផលិតផល។ ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ a log a x + log a y = a log a x a log a y ហើយចាប់តាំងពីដោយអត្តសញ្ញាណលោការីតមេ កំណត់ហេតុ a x = x និង log a y = y បន្ទាប់មក log a x a log a y =x y ។ ដូច្នេះ log a x+log a y =x y នោះសមភាពដែលត្រូវការតាមនិយមន័យនៃលោការីត។

ចូរបង្ហាញឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតរបស់ផលិតផល៖ log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 និង .

លក្ខណសម្បត្តិលោការីតផលិតផលអាច​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ជា​ទូទៅ​ទៅ​ជា​ផលិតផល​នៃ​ចំនួន​កំណត់ n នៃ​ចំនួន​វិជ្ជមាន x 1 , x 2 , …, x n ជា log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. សមភាពនេះអាចបញ្ជាក់បានយ៉ាងងាយដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបង្កើតគណិតវិទ្យា។

ឧទាហរណ៍ លោការីតធម្មជាតិនៃផលិតផលអាចត្រូវបានជំនួសដោយផលបូកនៃលោការីតធម្មជាតិចំនួនបីនៃលេខ 4 , អ៊ី , និង .

លោការីតនៃកូតានៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ x និង y គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងលោការីតនៃលេខទាំងនេះ។ លក្ខណសម្បត្តិ​នៃ​លោការីត​កូតា​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​រូបមន្ត​នៃ​ទម្រង់ ដែល a>0 , a≠1 , x និង y គឺជាចំនួនវិជ្ជមានមួយចំនួន។ សុពលភាពនៃរូបមន្តនេះត្រូវបានបង្ហាញដូចរូបមន្តសម្រាប់លោការីតនៃផលិតផល៖ តាំងពី បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យលោការីត .

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនេះ៖ .

តោះបន្តទៅ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃដឺក្រេ. លោការីតនៃដឺក្រេគឺស្មើនឹងផលគុណនៃនិទស្សន្ត និងលោការីតនៃម៉ូឌុលនៃគោលនៃដឺក្រេនេះ។ យើងសរសេរលក្ខណសម្បត្តិនៃលោការីតនៃដឺក្រេក្នុងទម្រង់រូបមន្ត៖ log a b p =p log a |b|ដែល a> 0 , a≠1 , b និង p គឺជាលេខដែលកម្រិតនៃ b p មានន័យ និង b p > 0 ។

ដំបូង​យើង​បង្ហាញ​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នេះ​សម្រាប់​វិជ្ជមាន ខ. អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋានអនុញ្ញាតឱ្យយើងតំណាងឱ្យលេខ b ជាកំណត់ហេតុ a b បន្ទាប់មក b p =(a log a b) p ហើយកន្សោមលទ្ធផលដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិអំណាចគឺស្មើនឹង p log a b ។ ដូច្នេះយើងមករកសមភាព b p = a p log a b ដែលតាមនិយមន័យលោការីត យើងសន្និដ្ឋានថា log a b p =p log a b ។

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះសម្រាប់អវិជ្ជមាន ខ . នៅទីនេះយើងកត់សម្គាល់ថាកន្សោម a b p សម្រាប់អវិជ្ជមាន b មានន័យសម្រាប់តែនិទស្សន្ត p ប៉ុណ្ណោះ (ចាប់តាំងពីតម្លៃនៃដឺក្រេ b p ត្រូវតែធំជាងសូន្យ បើមិនដូច្នេះទេលោការីតនឹងមិនសមហេតុផលទេ) ហើយក្នុងករណីនេះ b p =|b| ទំ។ បន្ទាប់មក b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , whence log a b p =p log a |b| .

ឧទាហរណ៍, និង ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 ។

វាធ្វើតាមពីទ្រព្យសម្បត្តិមុន។ ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតពីឫស៖ លោការីតនៃឫសនៃសញ្ញាបត្រទី n គឺស្មើនឹងផលគុណនៃប្រភាគ 1/n និងលោការីតនៃកន្សោមឫស នោះគឺជាកន្លែងដែល a> 0, a≠1, n គឺជាចំនួនធម្មជាតិធំជាងមួយ, b>0 ។

ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើសមភាព (សូមមើលនិយមន័យនៃនិទស្សន្តដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ) ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ b វិជ្ជមានណាមួយ និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃដឺក្រេ៖ .

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិនេះ៖ .

ឥឡូវនេះសូមបញ្ជាក់ រូបមន្តបំប្លែងទៅជាគោលថ្មីនៃលោការីតប្រភេទ . ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសមភាព log c b=log a b log c a ។ អត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋានអនុញ្ញាតឱ្យយើងតំណាងឱ្យលេខ b ជាកំណត់ហេតុ a b បន្ទាប់មកកត់ត្រា c b = កំណត់ហេតុ c កំណត់ហេតុ a b ។ វានៅសល់ដើម្បីប្រើទ្រព្យសម្បត្តិនៃលោការីតនៃដឺក្រេ: log c a log a b = log a b log c a . ដូច្នេះ កំណត់ហេតុសមភាព c b=log a b log c a ត្រូវបានបង្ហាញ ដែលមានន័យថារូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីតក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរ។ .

ចូរបង្ហាញឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិលោការីតនេះ៖ និង .

រូបមន្តសម្រាប់ផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មីអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបន្តទៅធ្វើការជាមួយលោការីតដែលមានមូលដ្ឋាន "ងាយស្រួល" ។ ឧទាហរណ៍ វាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីប្តូរទៅលោការីតធម្មជាតិ ឬគោលដប់ ដូច្នេះអ្នកអាចគណនាតម្លៃលោការីតពីតារាងលោការីត។ រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីតក៏អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងករណីខ្លះដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃលោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលដែលតម្លៃនៃលោការីតមួយចំនួនជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតត្រូវបានគេដឹង។

ករណីពិសេសនៃរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីតសម្រាប់ c=b នៃទម្រង់ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។ នេះបង្ហាញថា log a b និង log b a គឺជាលេខបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក។ ឧទាហរណ៍, .

រូបមន្តក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ផងដែរ ដែលងាយស្រួលនៅពេលស្វែងរកតម្លៃលោការីត។ ដើម្បីបញ្ជាក់ពាក្យរបស់យើង យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលតម្លៃនៃលោការីតនៃទម្រង់ត្រូវបានគណនាដោយប្រើវា។ យើង​មាន . ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្ត វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីនៃលោការីត a៖ .

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិប្រៀបធៀបនៃលោការីត។

ចូរយើងប្រើវិធីផ្ទុយ។ ឧបមាថាសម្រាប់ 1 > 1 , a 2 > 1 និង a 1 2 និងសម្រាប់ 0 1 log a 1 b≤log a 2 b គឺពិត។ ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត វិសមភាពទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា និង រៀងគ្នា ហើយពីពួកវា វាធ្វើតាមថា log b a 1 ≤log b a 2 និង log b a 1 ≥log b a 2 រៀងគ្នា។ បន្ទាប់មកដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា សមភាព b log b a 1 ≥b log b a 2 និង b log b a 1 ≥b log b a 2 ត្រូវតែពេញចិត្ត នោះគឺ a 1 ≥a 2 ។ ដូច្នេះហើយ យើងបានមកដល់ចំណុចផ្ទុយទៅនឹងលក្ខខណ្ឌ 1 2 ។ នេះបញ្ចប់ភស្តុតាង។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត

• សម្ភារៈសម្រាប់មេរៀន
• ទាញយករូបមន្តទាំងអស់។

លោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អាចត្រូវបានបន្ថែម ដក និងបំប្លែងតាមគ្រប់មធ្យោបាយដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែដោយសារលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ មានច្បាប់នៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.

ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវតែដឹង - គ្មានបញ្ហាលោការីតធ្ងន់ធ្ងរអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយគ្មានពួកវាទេ។ លើសពីនេះទៀតមានពួកគេតិចតួចណាស់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចរៀនបានក្នុងមួយថ្ងៃ។ ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើម។

ការបូកនិងដកលោការីត

ពិចារណាលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ កត់ត្រា a x និងកត់ត្រា y ។ បន្ទាប់មក គេអាចបូក និងដក និង៖

ដូច្នេះផលបូកនៃលោការីតគឺស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល ហើយភាពខុសគ្នាគឺលោការីតនៃកូតាត។ សូមចំណាំ៖ ចំណុចសំខាន់នៅទីនេះគឺ - មូលដ្ឋានដូចគ្នា។. ប្រសិនបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា ច្បាប់ទាំងនេះមិនដំណើរការទេ!

រូបមន្តទាំងនេះនឹងជួយគណនាកន្សោមលោការីត ទោះបីជាផ្នែកនីមួយៗរបស់វាមិនត្រូវបានពិចារណាក៏ដោយ (សូមមើលមេរៀន "អ្វីជាលោការីត")។ សូមមើលឧទាហរណ៍ - ហើយមើល៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 6 4 + log 6 9 ។

ដោយសារមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តបូក៖
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 2 48 − log 2 ៣.

មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា យើងប្រើរូបមន្តខុសគ្នា៖
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4 ។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 3 135 − log 3 5 ។

ជាថ្មីម្តងទៀត មូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា ដូច្នេះយើងមាន៖
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញកន្សោមដើមត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោការីត "អាក្រក់" ដែលមិនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាដាច់ដោយឡែក។ ប៉ុន្តែ​បន្ទាប់​ពី​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ចំនួន​ធម្មតា​ពិត​ជា​ចេញ​។ ការធ្វើតេស្តជាច្រើនគឺផ្អែកលើការពិតនេះ។ បាទ ការគ្រប់គ្រងនោះ - ការបញ្ចេញមតិស្រដៀងគ្នានៅក្នុងភាពធ្ងន់ធ្ងរទាំងអស់ (ជួនកាល - ស្ទើរតែគ្មានការផ្លាស់ប្តូរ) ត្រូវបានផ្តល់ជូននៅពេលប្រឡង។

ការដកនិទស្សន្តចេញពីលោការីត

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​កិច្ចការ​ស្មុគស្មាញ​បន្តិច។ ចុះបើមានដឺក្រេក្នុងគោល ឬអាគុយម៉ង់នៃលោការីត? បន្ទាប់មកនិទស្សន្តនៃដឺក្រេនេះអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃលោការីតដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ

• log a x n = n log a x ;
• 
• 

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាច្បាប់ចុងក្រោយធ្វើតាមពីរដំបូងរបស់ពួកគេ។ ប៉ុន្តែវាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការចងចាំវាយ៉ាងណាក៏ដោយ - ក្នុងករណីខ្លះវានឹងកាត់បន្ថយបរិមាណនៃការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

ជាការពិតណាស់ ច្បាប់ទាំងអស់នេះមានន័យប្រសិនបើលោការីត ODZ ត្រូវបានសង្កេតឃើញ៖ a> 0, a ≠ 1, x> 0។ ហើយរឿងមួយទៀត៖ រៀនអនុវត្តរូបមន្តទាំងអស់មិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងច្រាសមកវិញផងដែរ ពោលគឺឧ។ អ្នកអាចបញ្ចូលលេខមុនសញ្ញាលោការីតទៅក្នុងលោការីតខ្លួនឯង។ នេះគឺជាអ្វីដែលត្រូវការញឹកញាប់បំផុត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ កំណត់ហេតុ ៧ ៤៩ ៦ .

ចូរយើងកម្ចាត់ដឺក្រេនៅក្នុងអាគុយម៉ង់ដោយរូបមន្តទីមួយ៖
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

កិច្ចការ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

[រូបភាពចំណងជើង]

ចំណាំថាភាគបែងគឺជាលោការីតដែលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់មានអំណាចពិតប្រាកដ៖ 16 = 2 4 ; ៤៩ = ៧២. យើង​មាន:

[រូបភាពចំណងជើង]

ខ្ញុំគិតថាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយត្រូវការការបំភ្លឺ។ តើលោការីតបានទៅណា? រហូត​ដល់​ពេល​ចុង​ក្រោយ​បំផុត យើង​ធ្វើ​ការ​តែ​ជាមួយ​ភាគបែង​ប៉ុណ្ណោះ។ ពួកគេបានបង្ហាញពីមូលដ្ឋាន និងអំណះអំណាងនៃលោការីតឈរនៅទីនោះក្នុងទម្រង់ជាដឺក្រេ ហើយយកសូចនាករចេញ - ពួកគេទទួលបានប្រភាគ "បីជាន់" ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលប្រភាគសំខាន់។ ភាគយក និងភាគបែងមានលេខដូចគ្នា៖ log 2 7. ចាប់តាំងពី log 2 7 ≠ 0 យើងអាចកាត់បន្ថយប្រភាគ - 2/4 នឹងនៅតែមាននៅក្នុងភាគបែង។ យោងទៅតាមក្បួននព្វន្ធ លេខទាំងបួនអាចផ្ទេរទៅភាគយកដែលបានធ្វើរួច។ លទ្ធផលគឺចម្លើយ៖ ២.

ការផ្លាស់ប្តូរទៅគ្រឹះថ្មី។

និយាយអំពីច្បាប់សម្រាប់បូក និងដកលោការីត ខ្ញុំបានសង្កត់ធ្ងន់ជាពិសេសថាពួកវាដំណើរការតែជាមួយមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ចុះបើមូលដ្ឋានខុសគ្នា? ចុះ​បើ​ពួក​គេ​មិន​មែន​ជា​លេខ​ដូច​គ្នា?

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មីមកជួយសង្គ្រោះ។ យើងបង្កើតវាក្នុងទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ៖

អនុញ្ញាតឱ្យលោការីតកត់ត្រា a x ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ c ដូចជា c > 0 និង c ≠ 1 សមភាពគឺពិត៖

[រូបភាពចំណងជើង]

ជាពិសេសប្រសិនបើយើងដាក់ c = x យើងទទួលបាន៖

[រូបភាពចំណងជើង]

វាធ្វើតាមរូបមន្តទីពីរដែលមូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ ប៉ុន្តែកន្សោមទាំងមូលត្រូវបាន "ត្រឡប់" ពោលគឺឧ។ លោការីតគឺនៅក្នុងភាគបែង។

រូបមន្តទាំងនេះកម្រត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងកន្សោមលេខធម្មតា។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវាយតម្លៃថាតើពួកវាមានភាពងាយស្រួលយ៉ាងណានៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត និងវិសមភាព។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានកិច្ចការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានទាល់តែសោះ លើកលែងតែការផ្លាស់ប្តូរទៅកាន់គ្រឹះថ្មីមួយ។ ចូរយើងពិចារណាពីរបីចំណុចនេះ៖

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 5 16 log 2 25 ។

ចំណាំថាអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទាំងពីរគឺជានិទស្សន្តពិតប្រាកដ។ ចូរយកសូចនាករនេះចេញ៖ log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

ឥឡូវ​យើង​ត្រឡប់​លោការីត​ទីពីរ៖

[រូបភាពចំណងជើង]

ដោយសារផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការបំប្លែងកត្តា យើងគុណនឹងបួន និងពីរដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយបន្ទាប់មករកលោការីត។

កិច្ចការ។ រកតម្លៃនៃកន្សោម៖ log 9 100 lg ៣.

មូលដ្ឋាន និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីតទី 1 គឺជាអំណាចពិតប្រាកដ។ ចូរសរសេរវាចុះ ហើយកម្ចាត់សូចនាករ៖

[រូបភាពចំណងជើង]

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកម្ចាត់លោការីតទសភាគដោយផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី៖

[រូបភាពចំណងជើង]

អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីតំណាងឱ្យលេខជាលោការីតទៅមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះរូបមន្តនឹងជួយយើង:

1. n = កំណត់ហេតុ a n

2. ក្នុងករណីទីមួយ លេខ n ក្លាយជានិទស្សន្តនៅក្នុងអាគុយម៉ង់។ លេខ n អាចជាអ្វីទាំងអស់ ព្រោះវាគ្រាន់តែជាតម្លៃនៃលោការីតប៉ុណ្ណោះ។

   រូបមន្តទីពីរគឺពិតជានិយមន័យដែលបានបកស្រាយ។ វាត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន។

   ជាការពិត តើនឹងមានអ្វីកើតឡើង ប្រសិនបើលេខ b ត្រូវបានលើកទៅជាថាមពលបែបនេះ ដែលលេខ b ដល់អំណាចនេះផ្តល់លេខ a? ត្រឹមត្រូវ៖ នេះគឺជាលេខដូចគ្នា a . អានកថាខណ្ឌនេះម្តងទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន - មនុស្សជាច្រើន "ព្យួរ" លើវា។

   ដូចរូបមន្តបំប្លែងមូលដ្ឋានថ្មី អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន ជួនកាលជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន។

   [រូបភាពចំណងជើង]

   ចំណាំថា log 25 64 = log 5 8 - គ្រាន់តែយកការ៉េនៃគោល និងអាគុយម៉ង់នៃលោការីត។ ដោយផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់គុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា យើងទទួលបាន៖

   [រូបភាពចំណងជើង]

   ប្រសិនបើនរណាម្នាក់មិនស្គាល់ នោះគឺជាកិច្ចការពិតប្រាកដមួយពីការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម🙂

   ឯកតាលោការីត និងសូន្យលោការីត

   សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំនឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណពីរដែលពិបាកហៅលក្ខណៈសម្បត្តិ - ផ្ទុយទៅវិញ ទាំងនេះគឺជាផលវិបាកពីនិយមន័យនៃលោការីត។ ពួកគេត្រូវបានរកឃើញជានិច្ចនៅក្នុងបញ្ហា ហើយគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល បង្កើតបញ្ហាសូម្បីតែសម្រាប់សិស្ស "កម្រិតខ្ពស់" ក៏ដោយ។

   1. log a = 1 គឺជាឯកតាលោការីត។ ចងចាំម្តងនិងសម្រាប់ទាំងអស់៖ លោការីតទៅមូលដ្ឋានណាមួយ a ពីមូលដ្ឋាននោះវាស្មើនឹងមួយ។
   2. log a 1 = 0 គឺជាលោការីតសូន្យ។ មូលដ្ឋាន a អាចជាអ្វីក៏បាន ប៉ុន្តែប្រសិនបើអាគុយម៉ង់គឺមួយ - លោការីតគឺសូន្យ! ដោយសារតែ 0 = 1 គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃនិយមន័យ។

   នោះហើយជាលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ត្រូវ​អនុវត្ត​ឲ្យ​បាន​ជាក់​ជា​មិន​ខាន! ទាញយកសន្លឹកបន្លំនៅដើមមេរៀន បោះពុម្ពវាចេញ ហើយដោះស្រាយបញ្ហា។

   លោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត (បូក និងដក)។

   លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតធ្វើតាមនិយមន័យរបស់វា។ ដូច្នេះលោការីតនៃលេខ ខដោយហេតុផល កបានកំណត់ជានិទស្សន្តដែលចំនួនត្រូវតែលើកឡើង កដើម្បីទទួលបានលេខ ខ(លោការីតមានសម្រាប់តែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ)។

   ពីរូបមន្តនេះវាធ្វើតាមការគណនា x=log a bស្មើនឹងការដោះស្រាយសមីការ ax=b.ឧទាហរណ៍, កំណត់ហេតុ 2 8 = 3ដោយសារតែ 8 = 2 3 . ការបង្កើតលោការីតធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវថាប្រសិនបើ b=a គបន្ទាប់មកលោការីតនៃលេខ ខដោយហេតុផល កស្មើ ជាមួយ. វាក៏ច្បាស់ដែរថាប្រធានបទលោការីតមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងប្រធានបទនៃអំណាចនៃលេខមួយ។

   ជាមួយនឹងលោការីត ដូចជាលេខណាមួយ អ្នកអាចអនុវត្តបាន។ ប្រតិបត្តិការបូកដកនិងផ្លាស់ប្តូរតាមគ្រប់មធ្យោបាយ។ ប៉ុន្តែដោយមើលឃើញពីការពិតដែលថាលោការីតមិនមែនជាលេខធម្មតាទេ ច្បាប់ពិសេសរបស់ពួកគេត្រូវបានអនុវត្តនៅទីនេះ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន.

   ការបូកនិងដកលោការីត។

   យកលោការីតពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ កំណត់ហេតុ xនិង កត់ត្រា y. បន្ទាប់មកយកវាចេញ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការបូក និងដក៖

   ដូចដែលយើងឃើញ, ផលបូកនៃលោការីតស្មើនឹងលោការីតនៃផលិតផល និង ភាពខុសគ្នា លោការីត- លោការីត​នៃ​កូតាត។ ហើយនេះជាការពិតប្រសិនបើលេខ ក, Xនិង នៅវិជ្ជមាន និង a ≠ ១.

   វាជាការសំខាន់ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាទិដ្ឋភាពសំខាន់នៅក្នុងរូបមន្តទាំងនេះគឺជាមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ ប្រសិនបើមូលដ្ឋានខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមក ច្បាប់ទាំងនេះមិនត្រូវបានអនុវត្តទេ!

   ច្បាប់សម្រាប់ការបន្ថែម និងដកលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាត្រូវបានអានមិនត្រឹមតែពីឆ្វេងទៅស្តាំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ផ្ទុយមកវិញផងដែរ។ ជាលទ្ធផល យើងមានទ្រឹស្តីបទសម្រាប់លោការីតនៃផលិតផល និងលោការីតនៃកូតាត។

   លោការីតនៃផលិតផលលេខវិជ្ជមានពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីតរបស់វា។ ; ការបកស្រាយទ្រឹស្តីបទនេះ យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម ប្រសិនបើលេខ ក, xនិង នៅវិជ្ជមាន និង a ≠ ១បន្ទាប់មក៖

   លោការីតនៃកូតាតនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងលោការីតនៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតប្រសិនបើលេខ ក, Xនិង នៅវិជ្ជមាន និង a ≠ ១បន្ទាប់មក៖

   យើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទខាងលើដើម្បីដោះស្រាយ ឧទាហរណ៍:

   ប្រសិនបើលេខ xនិង នៅបន្ទាប់មកគឺអវិជ្ជមាន រូបមន្តលោការីតផលិតផលក្លាយជាគ្មានន័យ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានហាមឃាត់មិនឱ្យសរសេរ៖

   ចាប់តាំងពីកន្សោមកំណត់ហេតុ 2 (-8) និង កំណត់ហេតុ 2 (-4) មិនត្រូវបានកំណត់ទាល់តែសោះ (អនុគមន៍លោការីត នៅ= កំណត់ហេតុ ២ Xកំណត់សម្រាប់តែតម្លៃវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ X).

   ទ្រឹស្តីបទផលិតផលគឺអាចអនុវត្តមិនត្រឹមតែសម្រាប់ពីរប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់កត្តាមួយចំនួនដែលគ្មានដែនកំណត់ផងដែរ។ នេះមានន័យថាសម្រាប់ធម្មជាតិនីមួយៗ kនិងលេខវិជ្ជមានណាមួយ។ x 1 , x 2 , . . . ,x នមានអត្តសញ្ញាណ៖

   ពី ទ្រឹស្តីបទលោការីតកូតាទ្រព្យសម្បត្តិមួយបន្ថែមទៀតនៃលោការីតអាចទទួលបាន។ វាត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ថាកំណត់ហេតុ ក 1=0 ដូច្នេះ

   ដូច្នេះមានភាពស្មើគ្នា៖

   លោការីតនៃលេខទៅវិញទៅមកពីរនៅលើមូលដ្ឋានដូចគ្នានឹងខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកតែនៅក្នុងសញ្ញា។ ដូច្នេះ៖

   លោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត

   លោការីត។ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត

   ពិចារណាសមភាព។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងដឹងពីតម្លៃ ហើយយើងចង់ស្វែងរកតម្លៃនៃ .

   នោះគឺយើងកំពុងស្វែងរកនិទស្សន្តដែលអ្នកត្រូវការក្រឡុកដើម្បីទទួលបាន។

   អនុញ្ញាតឱ្យមាន អថេរអាចយកតម្លៃពិតណាមួយ បន្ទាប់មកការដាក់កម្រិតខាងក្រោមត្រូវបានដាក់លើអថេរ៖ o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   ប្រសិនបើយើងដឹងពីតម្លៃ និង ហើយយើងប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចស្វែងរកអ្វីដែលមិនស្គាល់នោះ សម្រាប់គោលបំណងនេះ ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាត្រូវបានណែនាំ ដែលត្រូវបានគេហៅថា លោការីត.

   ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃដែលយើងយក លោការីតនៃចំនួនមួយ។នៅលើ គ្រឹះ :

   លោការីត​នៃ​ចំនួន​មួយ​ទៅ​គោល​គឺ​ជា​និទស្សន្ត​ដែល​អ្នក​ត្រូវ​លើក​ឡើង​ដើម្បី​ទទួល។

   I.e អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   ជា​ការ​សម្គាល់​គណិតវិទ្យា​ជា​សំខាន់ និយមន័យលោការីត.

   លោការីត​ប្រតិបត្តិការ​គណិត​វិទ្យា​គឺ​ជា​ការ​បញ្ច្រាស​នៃ​និទស្សន្ត ដូច្នេះ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីតត្រូវបានទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ។

   យើងរាយបញ្ជីសំខាន់ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត:

   (o" title="a>o"/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ ចំណងជើង=”d1″/>

   4.

   5.

   ក្រុមនៃលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកតំណាងឱ្យនិទស្សន្តនៃកន្សោមក្រោមសញ្ញាលោការីត ឬឈរនៅមូលដ្ឋានលោការីតជាមេគុណមុនសញ្ញាលោការីត៖

   6.

   7.

   8.

   9.

   ក្រុមបន្ទាប់នៃរូបមន្តអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទៅពីលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានបំពាន ហើយត្រូវបានគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូររូបមន្តទៅមូលដ្ឋានថ្មី។:

   10.

   12. (ឯកសារយោងពីទ្រព្យសម្បត្តិ ១១)

   

   លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងបីខាងក្រោមមិនត្រូវបានគេស្គាល់ច្បាស់ទេ ប៉ុន្តែពួកវាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលដោះស្រាយសមីការលោការីត ឬនៅពេលធ្វើឱ្យសាមញ្ញកន្សោមដែលមានលោការីត៖

   13.

   14.

   15.

   ករណីពិសេស៖

   — លោការីតទសភាគ

   — លោការីតធម្មជាតិ

   នៅពេល​សម្រួល​កន្សោម​ដែល​មាន​លោការីត វិធីសាស្ត្រ​ទូទៅ​ត្រូវ​បាន​ប្រើ៖

   1. យើងតំណាងឱ្យប្រភាគទសភាគក្នុងទម្រង់នៃលេខធម្មតា។

   2. យើងតំណាងឱ្យលេខចម្រុះជាប្រភាគដែលមិនត្រឹមត្រូវ។

   3. លេខនៅមូលដ្ឋានលោការីត និងនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតត្រូវបានបំបែកទៅជាកត្តាបឋម។

   4. យើងព្យាយាមនាំយកលោការីតទាំងអស់ទៅមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

   5. អនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត។

   សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍នៃការសម្រួលកន្សោមដែលមានលោការីត។

   ឧទាហរណ៍ ១

   គណនា៖

   ចូរធ្វើឱ្យសាមញ្ញនៃនិទស្សន្តទាំងអស់៖ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺត្រូវនាំវាទៅជាលោការីត ដែលគោលនៃលេខដូចគ្នាទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃនិទស្សន្ត។

   ==(ដោយទ្រព្យ៧)=(ដោយទ្រព្យ៦)=

   ជំនួសសូចនាករដែលយើងទទួលបាននៅក្នុងកន្សោមដើម។ យើង​ទទួល​បាន:

   ចម្លើយ៖ ៥.២៥

   ឧទាហរណ៍ទី ២ គណនា៖

   

   យើងនាំយកលោការីតទាំងអស់ទៅមូលដ្ឋាន 6 (ក្នុងករណីនេះលោការីតពីភាគបែងនៃប្រភាគនឹង "ធ្វើចំណាកស្រុក" ទៅភាគយក)៖

   ចូរបំបែកលេខនៅក្រោមសញ្ញាលោការីតទៅជាកត្តាចម្បង៖

   អនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិ ៤ និង ៦៖

   យើងណែនាំការជំនួស

   យើង​ទទួល​បាន:

   ចម្លើយ៖ ១

   លោការីត . អត្តសញ្ញាណលោការីតមូលដ្ឋាន។

   លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត។ លោការីតទសភាគ។ លោការីតធម្មជាតិ។

   លោការីត លេខវិជ្ជមាន N ក្នុងមូលដ្ឋាន (ខ > 0, ខ 1) ត្រូវបានគេហៅថានិទស្សន្ត x ដែលអ្នកត្រូវលើក b ដើម្បីទទួលបាន N .

   ធាតុ​នេះ​គឺ​ស្មើ​នឹង​ដូច​ខាង​ក្រោម​: b x = ន .

   ឧទាហរណ៍៖ កំណត់ហេតុ 3 81 = 4 ចាប់តាំងពី 3 4 = 81 ;

   កំណត់ហេតុ 1/3 27 = – 3 ព្រោះ (1/3) - 3 = 3 3 = 27 ។

   និយមន័យខាងលើនៃលោការីតអាចត្រូវបានសរសេរជាអត្តសញ្ញាណ៖

   

   លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃលោការីត។

   2) កំណត់ហេតុ 1 = 0 ដោយសារតែ ខ 0 = 1 .

   3) លោការីតនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃលោការីតនៃកត្តា៖

   4) លោការីតនៃកូតាគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងលោការីតនៃភាគលាភ និងផ្នែកចែក៖

   5) លោការីតនៃដឺក្រេគឺស្មើនឹងផលគុណនៃនិទស្សន្ត និងលោការីតនៃគោលរបស់វា៖

   ផលនៃទ្រព្យនេះមានដូចខាងក្រោម៖ ឫសគល់ ស្មើនឹងលោការីតនៃចំនួនឫសដែលបែងចែកដោយអំណាចនៃឫស៖

   

   6) ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃលោការីតជាដឺក្រេ នោះតម្លៃ ច្រាសនៃនិទស្សន្តអាចត្រូវបានយកចេញពី rhyme log sign:

   

   ទ្រព្យសម្បត្តិពីរចុងក្រោយអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាជាមួយ:

   

   7) រូបមន្តសម្រាប់ម៉ូឌុលផ្លាស់ប្តូរ (ឧទាហរណ៍ ការផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋានមួយនៃលោការីតទៅមូលដ្ឋានមួយទៀត)៖

   

   ក្នុងករណីជាក់លាក់មួយនៅពេល N = កយើង​មាន:

   

   លោការីតទសភាគ បានហៅ លោការីតគោល 10. វាត្រូវបានតំណាង lg, i.e. កំណត់ហេតុ ១០ ន= កំណត់ហេតុ ន. លោការីតនៃលេខ 10, 100, 1000, ។ p គឺ 1, 2, 3, … រៀងគ្នា i.e. មានភាពវិជ្ជមានជាច្រើន។

   ឯកតា តើលេខសូន្យប៉ុន្មាននៅក្នុងលេខលោការីតបន្ទាប់ពីមួយ។ លោការីតនៃលេខ 0.1, 0.01, 0.001, ។ p គឺ –1, –2, –3, …, រៀងគ្នា, i.e. មាន​ចំនួន​អវិជ្ជមាន​ច្រើន​ដូច​ជា​មាន​សូន្យ​នៅ​ក្នុង​លេខ​លោការីត​មុន​លេខ​មួយ (រួម​ទាំង​ចំនួន​គត់​សូន្យ)។ លោការីតនៃចំនួនដែលនៅសល់មានផ្នែកប្រភាគហៅថា mantissa. ផ្នែកចំនួនគត់នៃលោការីតត្រូវបានគេហៅថា លក្ខណៈ. សម្រាប់ការអនុវត្តជាក់ស្តែង លោការីតទសភាគគឺងាយស្រួលបំផុត។

   លោការីតធម្មជាតិ បានហៅ លោការីតគោល អ៊ី. វាត្រូវបានតាងដោយ ln, i.e. កំណត់ហេតុ អ៊ី ន=ln ន. ចំនួន អ៊ីគឺមិនសមហេតុផល តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលរបស់វាគឺ 2.718281828។ វា​គឺ​ជា​ដែន​កំណត់​ដែល​មាន​ចំនួន (1 + 1 / ន) នជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ ន(សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូងនៅលើទំព័រកំណត់លំដាប់លេខ)។
   ចម្លែកដូចដែលវាហាក់បីដូចជាលោការីតធម្មជាតិបានប្រែទៅជាមានភាពងាយស្រួលនៅពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការផ្សេងៗទាក់ទងនឹងការវិភាគមុខងារ។ ការគណនាលោការីតមូលដ្ឋាន អ៊ីលឿនជាងមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត។

• តើអ្នកត្រូវការអ្វីខ្លះនៅថ្ងៃនេះដើម្បីយកកូននៅប្រទេសរុស្ស៊ី? ការស្មុំកូននៅក្នុងប្រទេសរុស្ស៊ី បន្ថែមពីលើការសម្រេចចិត្តផ្ទាល់ខ្លួនប្រកបដោយការទទួលខុសត្រូវ ពាក់ព័ន្ធនឹងនីតិវិធីមួយចំនួនសម្រាប់ការផ្ទៀងផ្ទាត់រដ្ឋនៃបេក្ខជន។ ការជ្រើសរើសយ៉ាងតឹងរឹងនៅដំណាក់កាលត្រៀម រួមចំណែកដល់ […]
• ព័ត៌មានមិនគិតថ្លៃដោយ TIN ឬ OGRN ពីការចុះឈ្មោះពន្ធទូទាំងប្រទេសរុស្ស៊ី - អនឡាញ នៅលើវិបផតថលបង្រួបបង្រួមនៃសេវាពន្ធ ព័ត៌មានស្តីពីការចុះឈ្មោះរដ្ឋនៃនីតិបុគ្គល សហគ្រិនបុគ្គល […]
• ការផាកពិន័យចំពោះការបើកបរដោយគ្មានឯកសារ (ប័ណ្ណបើកបរ ការធានារ៉ាប់រង STS) ពេលខ្លះដោយសារការភ្លេចភ្លាំង អ្នកបើកបរបាននៅពីក្រោយកង់ដោយគ្មានប័ណ្ណ និងទទួលបានការផាកពិន័យសម្រាប់ការបើកបរដោយគ្មានឯកសារ។ សូមរំលឹកថា អ្នកបើកបររថយន្តម្នាក់ បើករថយន្តមិនប្រយ័ត្ន […]
• ផ្កាសម្រាប់បុរស។ តើផ្កាប្រភេទណាដែលអ្នកអាចផ្តល់ឱ្យបុរស? តើផ្កាអ្វីដែលអាចផ្តល់ឱ្យបុរស? មិនមានផ្កា "បុរស" ច្រើនទេប៉ុន្តែមានផ្កាដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យបុរស។ បញ្ជីផ្កាតូចមួយនៅពីមុខអ្នក៖ Chrysanthemums ។ ផ្កាកុលាប។ Carnations ។ […]
• អនុស្សរណៈ គឺជាទម្រង់ពិសេសនៃឯកសារដែលប្រើក្នុងបរិយាកាសផ្ទៃក្នុងរបស់សហគ្រាស និងបម្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាផលិតកម្មនាពេលបច្ចុប្បន្នបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ជាធម្មតា ឯកសារនេះត្រូវបានគូរឡើងក្នុងគោលបំណងបង្កើត […]
• តើនៅពេលណានិងរបៀបដើម្បីទទួលបានផ្នែកមូលនិធិនៃសោធននិវត្តន៍នៅក្នុង Sberbank? Sberbank គឺជាធនាគារដៃគូនៃមូលនិធិសោធននិវត្តន៍របស់រដ្ឋ។ ផ្អែកលើមូលដ្ឋាននេះ ប្រជាពលរដ្ឋដែលបានចេញប្រាក់សោធននិវត្តន៍អាចផ្ទេរមូលនិធិដែលបានផ្តល់ […]
• ប្រាក់ឧបត្ថម្ភកុមារនៅ Ulyanovsk និងតំបន់ Ulyanovsk ក្នុងឆ្នាំ 2018 លើសពីនេះ កម្មវិធីដែលត្រូវបានអនុម័តដោយច្បាប់សហព័ន្ធកំពុងដំណើរការនៅគ្រប់តំបន់ទាំងអស់។ ចាំ​មើល​ថា​តើ​អ្នក​ណា និង​អត្ថប្រយោជន៍​អ្វី​ខ្លះ​អាច​ពឹង​ផ្អែក​បាន។ ក្នុងនាមជាអាជ្ញាធរក្នុងតំបន់ […]
• មគ្គុទេសក៍លម្អិតអំពីរបៀបបង្កើតអំណាចនៃមេធាវីដើម្បីតំណាងផលប្រយោជន៍របស់បុគ្គលនៅក្នុងតុលាការ នៅក្នុងបណ្តឹងរដ្ឋប្បវេណី ឬអាជ្ញាកណ្តាល ក្នុងសំណុំរឿងរដ្ឋបាល ឬព្រហ្មទណ្ឌ ផលប្រយោជន៍របស់ដើមចោទ និងចុងចោទអាចត្រូវបានតំណាងដោយមេធាវី៖ […]