កម្រិតដំបូង

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ការណែនាំដ៏ទូលំទូលាយជាមួយឧទាហរណ៍ (2019)

លំដាប់លេខ

ដូច្នេះ ចូរយើងអង្គុយចុះ ហើយចាប់ផ្តើមសរសេរលេខខ្លះ។ ឧទាហរណ៍:

អ្នកអាចសរសេរលេខណាមួយ ហើយអាចមានច្រើនតាមតែអ្នកចូលចិត្ត (ក្នុងករណីរបស់យើង ពួកវា)។ មិនថាយើងសរសេរលេខប៉ុន្មានទេ យើងតែងតែអាចនិយាយបានថាមួយណាជាលេខទីមួយ លេខទីពីរ ហើយបន្តទៅលេខចុងក្រោយ នោះគឺយើងអាចដាក់លេខបាន។ នេះជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ៖

លំដាប់លេខគឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​លេខ ដែល​លេខ​នីមួយៗ​អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​លេខ​តែ​មួយ។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់លំដាប់របស់យើង៖

លេខដែលបានកំណត់គឺជាក់លាក់ចំពោះលេខលំដាប់តែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ម៉្យាងទៀតមិនមានលេខទីពីរចំនួនបីនៅក្នុងលំដាប់នោះទេ។ លេខទីពីរ (ដូចជាលេខ -th) គឺតែងតែដូចគ្នា។

លេខដែលមានលេខត្រូវបានគេហៅថាសមាជិក -th នៃលំដាប់។

ជាធម្មតា យើងហៅលំដាប់ទាំងមូលថា អក្សរខ្លះ (ឧទាហរណ៍) ហើយសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ - អក្សរដូចគ្នាដែលមានលិបិក្រមស្មើនឹងចំនួនសមាជិកនេះ៖ .

ក្នុងករណីរបស់យើង៖

ប្រភេទនៃការវិវត្តន៍ទូទៅបំផុតគឺនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ។ នៅក្នុងប្រធានបទនេះយើងនឹងនិយាយអំពីប្រភេទទីពីរ - វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ.

ហេតុអ្វីបានជាយើងត្រូវការវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ និងប្រវត្តិរបស់វា។

សូម្បីតែនៅសម័យបុរាណ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី ដែលជាព្រះសង្ឃ Leonardo នៃ Pisa (ត្រូវបានគេស្គាល់ថា Fibonacci) បានដោះស្រាយតម្រូវការជាក់ស្តែងនៃពាណិជ្ជកម្ម។ ព្រះសង្ឃ​ត្រូវ​ប្រឈម​មុខ​នឹង​កិច្ចការ​កំណត់​ចំនួន​ទម្ងន់​តូច​បំផុត​ដែល​អាច​ប្រើ​សម្រាប់​ថ្លឹង​ទំនិញ​បាន? នៅក្នុងការសរសេររបស់គាត់ Fibonacci បង្ហាញថាប្រព័ន្ធទម្ងន់បែបនេះគឺល្អបំផុត៖ នេះគឺជាស្ថានភាពដំបូងបង្អស់ដែលមនុស្សត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណើរការធរណីមាត្រ ដែលអ្នកប្រហែលជាធ្លាប់បានឮ ហើយយ៉ាងហោចណាស់មានគំនិតទូទៅមួយ។ នៅពេលដែលអ្នកយល់ច្បាស់អំពីប្រធានបទនេះ សូមគិតអំពីមូលហេតុដែលប្រព័ន្ធបែបនេះគឺល្អបំផុត?

នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះនៅក្នុងការអនុវត្តជីវិតការវិវត្តនៃធរណីមាត្របង្ហាញដោយខ្លួនវានៅពេលវិនិយោគប្រាក់នៅក្នុងធនាគារនៅពេលដែលចំនួនទឹកប្រាក់នៃការប្រាក់ត្រូវបានគិតប្រាក់លើចំនួនបង្គរនៅក្នុងគណនីសម្រាប់រយៈពេលមុន។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើអ្នកដាក់ប្រាក់លើប្រាក់បញ្ញើតាមកាលកំណត់នៅក្នុងធនាគារសន្សំ នោះក្នុងមួយឆ្នាំ ប្រាក់បញ្ញើនឹងកើនឡើងពីចំនួនដើម ពោលគឺឧ។ ចំនួនទឹកប្រាក់ថ្មីនឹងស្មើនឹងការរួមចំណែកគុណនឹង។ នៅឆ្នាំមួយទៀតចំនួននេះនឹងកើនឡើងដោយ, i.е. ចំនួនទឹកប្រាក់ដែលទទួលបាននៅពេលនោះត្រូវបានគុណម្តងទៀតដោយ និងបន្តបន្ទាប់ទៀត។ ស្ថានភាពស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានពិពណ៌នានៅក្នុងបញ្ហានៃការគណនាដែលគេហៅថា ការប្រាក់រួម- ភាគរយត្រូវបានយករាល់ពេលពីចំនួនដែលមាននៅក្នុងគណនី ដោយគិតទៅលើការប្រាក់ពីមុន។ យើងនឹងនិយាយអំពីកិច្ចការទាំងនេះបន្តិចក្រោយមក។

មានករណីសាមញ្ញជាច្រើនទៀតដែលដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានអនុវត្ត។ ឧទាហរណ៍ការរីករាលដាលនៃជំងឺផ្តាសាយ: មនុស្សម្នាក់បានឆ្លងមនុស្សម្នាក់, ពួកគេ, នៅក្នុងវេន, ឆ្លងទៅមនុស្សម្នាក់ទៀត, ហើយដូច្នេះរលកទីពីរនៃការឆ្លង - មនុស្សម្នាក់, ហើយពួកគេ, នៅក្នុងវេន, ឆ្លងមួយផ្សេងទៀត ... ហើយដូច្នេះនៅលើ .. .

ដោយវិធីសាជីជ្រុងហិរញ្ញវត្ថុ MMM ដូចគ្នាគឺជាការគណនាសាមញ្ញនិងស្ងួតយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍? ចូរយើងដោះស្រាយវា។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

ឧបមាថាយើងមានលំដាប់លេខ៖

អ្នកនឹងឆ្លើយភ្លាមៗថាវាងាយស្រួលហើយឈ្មោះនៃលំដាប់បែបនេះគឺជាការវិវត្តនព្វន្ធជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃសមាជិករបស់វា។ ចុះ​រឿង​បែប​នេះ​វិញ៖

ប្រសិនបើអ្នកដកលេខមុនពីលេខបន្ទាប់ នោះអ្នកនឹងឃើញថារាល់ពេលដែលអ្នកទទួលបានភាពខុសគ្នាថ្មី (ហើយដូច្នេះនៅលើ) ប៉ុន្តែលំដាប់ពិតជាមាន ហើយងាយស្រួលកត់សម្គាល់ - លេខបន្ទាប់នីមួយៗមានទំហំធំជាងលេខមុនដង !

ប្រភេទនៃលំដាប់នេះត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនិងត្រូវបានសម្គាល់។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ( ) គឺជាលំដាប់លេខ ដែលពាក្យទីមួយខុសពីសូន្យ ហើយពាក្យនីមួយៗចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺស្មើនឹងលេខមុន គុណនឹងលេខដូចគ្នា។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

ឧបសគ្គដែលពាក្យទីមួយ ( ) មិនស្មើគ្នា ហើយមិនចៃដន្យ។ ឧបមាថាគ្មានទេ ហើយពាក្យទីមួយនៅតែស្មើ ហើយ q គឺ ហ៊ឺ.. អញ្ចឹងវាប្រែថាៈ

យល់ស្របថានេះមិនមែនជាវឌ្ឍនភាពទេ។

ដូចដែលអ្នកយល់ យើងនឹងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា ប្រសិនបើវាជាលេខណាមួយក្រៅពីសូន្យ ប៉ុន្តែ។ ក្នុង​ករណី​ទាំងនេះ វា​នឹង​មិន​មាន​ការ​រីក​ចម្រើន​ទេ ព្រោះ​ស៊េរី​លេខ​ទាំង​មូល​នឹង​មាន​លេខ​សូន្យ​ទាំងអស់ ឬ​លេខ​មួយ ហើយ​សូន្យ​ទាំង​អស់។

ឥឡូវនេះសូមនិយាយលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ នោះគឺអំពី។

ចូរនិយាយឡើងវិញ៖ - នេះគឺជាលេខ តើពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗផ្លាស់ប្តូរប៉ុន្មានដងវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

តើអ្នកគិតថាវាអាចជាអ្វី? នោះជាការត្រឹមត្រូវ វិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន ប៉ុន្តែមិនមែនសូន្យទេ (យើងនិយាយអំពីវាខ្ពស់ជាងនេះបន្តិច)។

ចូរនិយាយថាយើងមានភាពវិជ្ជមាន។ អនុញ្ញាតឱ្យក្នុងករណីរបស់យើង ក. តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​ពាក្យ​ទី​ពីរ​និង? អ្នកអាចឆ្លើយយ៉ាងងាយស្រួលថា:

ត្រឹមត្រូវ​ហើយ។ ដូច្នោះហើយប្រសិនបើបន្ទាប់មកសមាជិកជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃដំណើរការមានសញ្ញាដូចគ្នា - ពួកគេ។ វិជ្ជមាន.

ចុះបើវាអវិជ្ជមាន? ឧទាហរណ៍ ក. តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​ពាក្យ​ទី​ពីរ​និង?

វាជារឿងខុសគ្នាទាំងស្រុង

ព្យាយាមរាប់រយៈពេលនៃការវិវត្តនេះ។ តើអ្នកទទួលបានប៉ុន្មាន? ខ្ញុំ​មាន។ ដូច្នេះប្រសិនបើ សញ្ញានៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រឆ្លាស់គ្នា។ នោះគឺប្រសិនបើអ្នកឃើញការវិវត្តជាមួយនឹងសញ្ញាឆ្លាស់គ្នានៅក្នុងសមាជិករបស់វា នោះភាគបែងរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន។ ចំណេះដឹងនេះអាចជួយអ្នកសាកល្បងខ្លួនឯងនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទនេះ។

ឥឡូវ​យើង​អនុវត្ត​បន្តិច៖ ព្យាយាម​កំណត់​លេខ​មួយ​ណា​ជា​លំដាប់​ធរណីមាត្រ ហើយ​មួយ​ណា​ជា​លេខ​នព្វន្ធ៖

យល់ទេ? ប្រៀបធៀបចម្លើយរបស់យើង៖

• វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ - 3, 6 ។
• វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ - 2, 4 ។
• វា​មិន​មែន​ជា​នព្វន្ធ​ឬ​ការ​វិវត្ត​ធរណីមាត្រ​ឡើយ - 1, 5, 7 ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅការវិវត្តចុងក្រោយរបស់យើង ហើយយើងព្យាយាមស្វែងរកពាក្យរបស់វាតាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងលេខនព្វន្ធដែរ។ ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាបានទាយ មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការស្វែងរកវា។

យើងគុណនឹងពាក្យនីមួយៗជាបន្តបន្ទាប់។

ដូច្នេះ សមាជិក -th នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលបានពិពណ៌នាគឺស្មើនឹង។

ដូចដែលអ្នកបានទាយរួចហើយ ឥឡូវនេះអ្នកខ្លួនឯងនឹងទាញយករូបមន្តដែលនឹងជួយអ្នកស្វែងរកសមាជិកណាមួយនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ ឬ​អ្នក​បាន​យក​វា​ចេញ​សម្រាប់​ខ្លួន​អ្នក​រួច​ហើយ ដោយ​រៀបរាប់​ពី​របៀប​ស្វែងរក​សមាជិក​ទី​មួយ​តាម​ដំណាក់កាល? បើដូច្នេះមែន សូមពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃហេតុផលរបស់អ្នក។

ចូរយើងបង្ហាញវាដោយឧទាហរណ៍នៃការស្វែងរកសមាជិក -th នៃវឌ្ឍនភាពនេះ៖

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត:

ស្វែងរកខ្លួនអ្នកនូវតម្លៃនៃសមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

បានកើតឡើង? ប្រៀបធៀបចម្លើយរបស់យើង៖

សូមយកចិត្តទុកដាក់ថា អ្នកទទួលបានលេខដូចគ្នាទៅនឹងវិធីសាស្ត្រមុន នៅពេលដែលយើងគុណជាបន្តបន្ទាប់ដោយសមាជិកមុននីមួយៗនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។
ចូរយើងព្យាយាម "ធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួន" រូបមន្តនេះ - យើងនាំយកវាទៅជាទម្រង់ទូទៅហើយទទួលបាន:

រូបមន្តដែលទទួលបានគឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់ - ទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ ពិនិត្យវាដោយខ្លួនឯងដោយគណនាលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលមានលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖ , ក.

តើអ្នកបានរាប់ទេ? តោះប្រៀបធៀបលទ្ធផល៖

យល់ស្របថាអាចស្វែងរកសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពតាមរបៀបដូចគ្នានឹងសមាជិកដែរ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានលទ្ធភាពនៃការគណនាខុស។ ហើយប្រសិនបើយើងបានរកឃើញពាក្យទី 1 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្ររួចហើយ a នោះអ្វីដែលអាចងាយស្រួលជាងការប្រើផ្នែក "កាត់" នៃរូបមន្ត។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រថយចុះឥតកំណត់។

ថ្មីៗនេះ យើងបាននិយាយអំពីអ្វីដែលអាចធំជាង ឬតិចជាងសូន្យ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មានតម្លៃពិសេសដែលការវិវត្តធរណីមាត្រត្រូវបានគេហៅថា ថយចុះជាលំដាប់.

ហេតុអ្វីបានជាអ្នកគិតថាវាមានឈ្មោះបែបនេះ?
ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ ចូរយើងសរសេរការវិវត្តធរណីមាត្រមួយចំនួនដែលមានសមាជិក។
ចូរនិយាយថា៖

យើង​ឃើញ​ថា​ពាក្យ​បន្ទាប់​នីមួយៗ​មាន​ចំនួន​តិច​ជាង​ពាក្យ​មុន​ក្នុង​មួយ​ដង ប៉ុន្តែ​តើ​មាន​ចំនួន​ទេ? អ្នកឆ្លើយភ្លាមៗ - "ទេ" ។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលការថយចុះឥតកំណត់ - ថយចុះថយចុះប៉ុន្តែមិនក្លាយជាសូន្យទេ។

ដើម្បីយល់ច្បាស់ថាវាមើលទៅដូចអ្វីដែលមើលឃើញ សូមព្យាយាមគូរក្រាហ្វនៃការវិវត្តរបស់យើង។ ដូច្នេះសម្រាប់ករណីរបស់យើង រូបមន្តមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

នៅលើគំនូសតាង យើងទម្លាប់ក្នុងការកសាងការពឹងផ្អែក ដូច្នេះ៖

ខ្លឹមសារនៃកន្សោមមិនបានផ្លាស់ប្តូរទេ៖ នៅក្នុងធាតុទីមួយ យើងបានបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនៃសមាជិកវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនៅលើលេខធម្មតារបស់វា ហើយនៅក្នុងធាតុទីពីរ យើងគ្រាន់តែយកតម្លៃនៃសមាជិកវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រសម្រាប់ និង លេខធម្មតាមិនត្រូវបានកំណត់ថាជា, ប៉ុន្តែជា។ អ្វី​ដែល​នៅ​សល់​ត្រូវ​ធ្វើ​គឺ​គូរ​ក្រាហ្វ។
តោះមើលអ្វីដែលអ្នកទទួលបាន។ នេះជាតារាងដែលខ្ញុំទទួលបាន៖

ឃើញទេ? មុខងារថយចុះ ទំនោរទៅសូន្យ ប៉ុន្តែមិនដែលឆ្លងកាត់វាទេ ដូច្នេះវាថយចុះជាលំដាប់។ ចូរសម្គាល់ចំណុចរបស់យើងនៅលើក្រាហ្វ ហើយក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ កូអរដោណេ និងមានន័យដូចម្តេច៖

ព្យាយាម​បង្ហាញ​ក្រាហ្វិក​នៃ​ការ​វិវឌ្ឍន៍​ធរណីមាត្រ​តាម​គ្រោងការណ៍ ប្រសិនបើ​ពាក្យ​ដំបូង​របស់​វា​ស្មើ​ដែរ។ វិភាគថាតើអ្វីជាភាពខុសគ្នាជាមួយតារាងមុនរបស់យើង?

តើអ្នកបានគ្រប់គ្រងទេ? នេះជាតារាងដែលខ្ញុំទទួលបាន៖

ឥឡូវនេះអ្នកបានយល់ច្បាស់អំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃប្រធានបទវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រហើយ៖ អ្នកដឹងថាវាជាអ្វី អ្នកដឹងពីរបៀបស្វែងរកពាក្យរបស់វា ហើយអ្នកក៏ដឹងដែរថាការវិវត្តធរណីមាត្រដែលថយចុះមិនចេះចប់គឺជាអ្វី ចូរយើងបន្តទៅកាន់ទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងរបស់វា។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។

តើអ្នកចាំទ្រព្យសម្បត្តិរបស់សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធទេ? បាទ/ចាស៎ របៀបស្វែងរកតម្លៃនៃចំនួនជាក់លាក់នៃវឌ្ឍនភាពមួយ នៅពេលដែលមានតម្លៃពីមុន និងជាបន្តបន្ទាប់នៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។ ចងចាំ? នេះ៖

ឥឡូវនេះយើងប្រឈមមុខនឹងសំណួរដូចគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដសម្រាប់លក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តបែបនេះ ចូរចាប់ផ្តើមគូរ និងវែកញែក។ អ្នកនឹងឃើញ វាងាយស្រួលណាស់ ហើយប្រសិនបើអ្នកភ្លេច អ្នកអាចយកវាចេញដោយខ្លួនឯងបាន។

ចូរយើងទទួលយកការវិវត្តធរណីមាត្រសាមញ្ញមួយទៀត ដែលយើងដឹង និង។ តើត្រូវស្វែងរកដោយរបៀបណា? ជាមួយនឹងដំណើរការនព្វន្ធ នេះងាយស្រួល និងសាមញ្ញ ប៉ុន្តែតើវានៅទីនេះយ៉ាងដូចម្តេច? តាមការពិតមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនៅក្នុងធរណីមាត្រទេ - អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការគូរតម្លៃនីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងយោងទៅតាមរូបមន្ត។

អ្នក​សួរ​ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​តើ​យើង​ធ្វើ​អ្វី​ជាមួយ​វា? បាទ សាមញ្ញណាស់។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងពណ៌នារូបមន្តទាំងនេះនៅក្នុងរូប ហើយព្យាយាមធ្វើឧបាយកលផ្សេងៗជាមួយពួកវា ដើម្បីឈានដល់តម្លៃ។

យើងអរូបីពីលេខដែលយើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ យើងនឹងផ្តោតតែលើការបញ្ចេញមតិរបស់ពួកគេតាមរយៈរូបមន្តមួយ។ យើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃដែលបន្លិចជាពណ៌ទឹកក្រូច ដោយដឹងពីពាក្យដែលនៅជាប់នឹងវា។ ចូរយើងព្យាយាមអនុវត្តសកម្មភាពផ្សេងៗជាមួយពួកគេដែលជាលទ្ធផលដែលយើងអាចទទួលបាន។

ការបន្ថែម។
តោះព្យាយាមបន្ថែមកន្សោមពីរហើយយើងទទួលបាន:

ពីកន្សោមនេះ ដូចដែលអ្នកបានឃើញ យើងនឹងមិនអាចបញ្ចេញមតិតាមមធ្យោបាយណាមួយឡើយ ដូច្នេះហើយ យើងនឹងសាកល្បងជម្រើសមួយផ្សេងទៀត - ដក។

ដក។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងមិនអាចបញ្ចេញមតិពីនេះបានទេ ដូច្នេះហើយ យើងនឹងព្យាយាមគុណកន្សោមទាំងនេះដោយគ្នាទៅវិញទៅមក។

គុណ។

ឥឡូវនេះមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវអ្វីដែលយើងមាន ដោយគុណនឹងលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងដោយប្រៀបធៀបជាមួយនឹងអ្វីដែលត្រូវស្វែងរក៖

ទាយមើលថាខ្ញុំកំពុងនិយាយអំពីអ្វី? ត្រឹមត្រូវ ដើម្បីស្វែងរកវា យើងត្រូវយកឫសការ៉េនៃលេខវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលនៅជាប់នឹងលេខដែលចង់បាន គុណនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក៖

នៅទីនេះអ្នកទៅ។ អ្នក​ខ្លួន​ឯង​បាន​កាត់​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​នៃ​វឌ្ឍនភាព​ធរណីមាត្រ។ ព្យាយាមសរសេររូបមន្តនេះជាទម្រង់ទូទៅ។ បានកើតឡើង?

ភ្លេចលក្ខខណ្ឌនៅពេលណា? គិតអំពីមូលហេតុដែលវាសំខាន់ ឧទាហរណ៍ ព្យាយាមគណនាវាដោយខ្លួនឯង នៅ។ តើមានអ្វីកើតឡើងក្នុងករណីនេះ? ត្រឹមត្រូវហើយ មិនសមហេតុសមផលពេញលេញ ព្រោះរូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖

ដូច្នោះហើយកុំភ្លេចការកំណត់នេះ។

ឥឡូវយើងគណនាអ្វីដែលជា

ចម្លើយ​ត្រឹមត្រូវ - ! ប្រសិនបើអ្នកមិនភ្លេចតម្លៃទីពីរដែលអាចធ្វើបាននៅពេលគណនា នោះអ្នកគឺជាអ្នកពូកែ ហើយអ្នកអាចបន្តការបណ្តុះបណ្តាលភ្លាមៗ ហើយប្រសិនបើអ្នកភ្លេចសូមអានអ្វីដែលត្រូវបានវិភាគខាងក្រោម ហើយយកចិត្តទុកដាក់លើមូលហេតុដែលឫសទាំងពីរត្រូវតែសរសេរនៅក្នុងចម្លើយ។ .

តោះគូរវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្ររបស់យើងទាំងពីរ - មួយមានតម្លៃ និងមួយទៀតមានតម្លៃ ហើយពិនិត្យមើលថាតើពួកវាទាំងពីរមានសិទ្ធិមានដែរឬទេ៖

ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើការវិវត្តនៃធរណីមាត្របែបនេះមានឬអត់ ចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលថាតើវាដូចគ្នារវាងសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងអស់ដែរឬទេ? គណនា q សម្រាប់ករណីទីមួយ និងទីពីរ។

ចាំមើលថាហេតុអ្វីយើងត្រូវសរសេរចម្លើយពីរ? ព្រោះ​សញ្ញា​នៃ​ពាក្យ​ទាមទារ​អាស្រ័យ​លើ​ថា​វា​វិជ្ជមាន ឬ​អវិជ្ជមាន! ហើយដោយសារយើងមិនដឹងថាវាជាអ្វី យើងត្រូវសរសេរចម្លើយទាំងពីរដោយបូក និងដក។

ឥឡូវ​នេះ​អ្នក​បាន​ស្ទាត់​ជំនាញ​ចំណុច​សំខាន់ៗ​ហើយ​បាន​កាត់​រូបមន្ត​សម្រាប់​ទ្រព្យសម្បត្តិ​នៃ​វឌ្ឍនភាព​ធរណីមាត្រ ស្វែងរក ដឹង និង

ប្រៀបធៀបចម្លើយរបស់អ្នកជាមួយនឹងចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវ៖

តើ​អ្នក​គិត​យ៉ាង​ណា, ចុះ​បើ​យើង​មិន​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​តម្លៃ​នៃ​សមាជិក​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​ធរណីមាត្រ​នៅ​ជាប់​នឹង​លេខ​ដែល​ចង់​បាន, ប៉ុន្តែ​សមមូល​ពី​វា. ឧទាហរណ៍ យើងត្រូវស្វែងរក និងផ្តល់ឱ្យ និង។ តើយើងអាចប្រើរូបមន្តដែលយើងទទួលបានក្នុងករណីនេះបានទេ? ព្យាយាមបញ្ជាក់ ឬបដិសេធលទ្ធភាពនេះតាមរបៀបដូចគ្នា ដោយពណ៌នាអំពីអ្វីដែលតម្លៃនីមួយៗមានដូចដែលអ្នកបានធ្វើនៅពេលទាញយករូបមន្តដំបូងជាមួយ។
តើអ្នកទទួលបានអ្វីខ្លះ?

ឥឡូវនេះមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្នម្តងទៀត។
ហើយត្រូវគ្នា៖

ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថារូបមន្តដំណើរការ មិនត្រឹមតែជាមួយអ្នកជិតខាងប៉ុណ្ណោះទេជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដែលចង់បាននៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ប៉ុន្តែក៏មាន សមមូលពីអ្វីដែលសមាជិកកំពុងស្វែងរក។

ដូច្នេះរូបមន្តដើមរបស់យើងក្លាយជា៖

នោះគឺប្រសិនបើក្នុងករណីដំបូងដែលយើងបាននិយាយនោះឥឡូវនេះយើងនិយាយថាវាអាចស្មើនឹងចំនួនធម្មជាតិណាមួយដែលតិចជាង។ រឿងចំបងគឺត្រូវដូចគ្នាសម្រាប់លេខទាំងពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អនុវត្ត​លើ​ឧទាហរណ៍​ជាក់​លាក់ ប្រយ័ត្ន​ខ្លាំង!

1. , . ស្វែងរក។
2. , . ស្វែងរក។
3. , . ស្វែងរក។

ខ្ញុំ​បាន​សម្រេច​ចិត្ត? ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកបានយកចិត្តទុកដាក់យ៉ាងខ្លាំង ហើយបានកត់សម្គាល់ឃើញការចាប់តូចមួយ។

យើងប្រៀបធៀបលទ្ធផល។

ក្នុងករណីពីរដំបូង យើងអនុវត្តរូបមន្តខាងលើដោយស្ងប់ស្ងាត់ ហើយទទួលបានតម្លៃដូចខាងក្រោម៖

ក្នុងករណីទី 3 នៅពេលពិចារណាដោយប្រុងប្រយ័ត្នលើលេខស៊េរីនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងយើងយល់ថាវាមិនស្មើគ្នាពីលេខដែលយើងកំពុងស្វែងរក: វាគឺជាលេខមុនប៉ុន្តែត្រូវបានដកចេញនៅក្នុងទីតាំងដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេ ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្ត។

តើត្រូវដោះស្រាយដោយរបៀបណា? តាមពិតវាមិនពិបាកដូចវាទេ! ចូរសរសេរចុះជាមួយអ្នកថាតើលេខនីមួយៗដែលផ្តល់ឱ្យយើងនិងលេខដែលចង់បានមាន។

ដូច្នេះយើងមាន និង។ តោះមើលអ្វីដែលយើងអាចធ្វើជាមួយពួកគេ។ ខ្ញុំស្នើឱ្យបំបែក។ យើង​ទទួល​បាន:

យើងជំនួសទិន្នន័យរបស់យើងទៅក្នុងរូបមន្ត៖

ជំហានបន្ទាប់ដែលយើងអាចរកឃើញ - សម្រាប់នេះយើងត្រូវយកឫសគូបនៃលេខលទ្ធផល។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលម្តងទៀតនូវអ្វីដែលយើងមាន។ យើងមាន ប៉ុន្តែយើងត្រូវស្វែងរក ហើយវាស្មើនឹង៖

យើងបានរកឃើញទិន្នន័យចាំបាច់ទាំងអស់សម្រាប់ការគណនា។ ជំនួសក្នុងរូបមន្ត៖

ចម្លើយរបស់យើង៖ .

ព្យាយាមដោះស្រាយបញ្ហាដូចគ្នាមួយទៀតដោយខ្លួនឯង៖
បានផ្តល់ឱ្យ: ,
ស្វែងរក៖

តើអ្នកទទួលបានប៉ុន្មាន? ខ្ញុំ​មាន - ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញការពិតអ្នកត្រូវការ ចងចាំរូបមន្តតែមួយ- . នៅសល់ទាំងអស់ អ្នកអាចដកបានដោយមិនពិបាកដោយខ្លួនឯងនៅពេលណាក៏បាន។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគ្រាន់តែសរសេរវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រសាមញ្ញបំផុតនៅលើក្រដាសមួយហើយសរសេរអ្វីដែលយោងទៅតាមរូបមន្តខាងលើលេខនីមួយៗរបស់វាស្មើនឹង។

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

ឥឡូវពិចារណារូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់ យើងគុណផ្នែកទាំងអស់នៃសមីការខាងលើដោយ។ យើង​ទទួល​បាន:

ក្រឡេកមើលឱ្យជិត៖ តើរូបមន្តពីរចុងក្រោយមានអ្វីដូចគ្នា? នោះជាការត្រឹមត្រូវ សមាជិកទូទៅ ឧទាហរណ៍ និងបន្តបន្ទាប់ លើកលែងតែសមាជិកទីមួយ និងចុងក្រោយ។ ចូរយើងព្យាយាមដកសមីការទី 1 ចេញពីសមីការទី 2 ។ តើអ្នកទទួលបានអ្វីខ្លះ?

ឥឡូវនេះបង្ហាញតាមរយៈរូបមន្តនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលនៅក្នុងរូបមន្តចុងក្រោយរបស់យើង៖

ដាក់ជាក្រុមកន្សោម។ អ្នកគួរតែទទួលបាន៖

អ្វីដែលនៅសល់ដើម្បីធ្វើគឺបង្ហាញ៖

ដូច្នោះហើយក្នុងករណីនេះ។

ចុះបើ? តើ​រូបមន្ត​អ្វី​ដែល​ដំណើរការ​នោះ? ស្រមៃមើលវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនៅ។ តើនាងដូចអ្វី? ត្រឹមត្រូវ ស៊េរីនៃលេខដូចគ្នា រៀងគ្នា រូបមន្តនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ដូចទៅនឹងការវិវត្តនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ មានរឿងព្រេងជាច្រើន។ មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺជារឿងព្រេងរបស់ Seth ដែលជាអ្នកបង្កើតអុក។

មនុស្សជាច្រើនដឹងថា ល្បែងអុកត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា។ នៅពេលដែលស្តេចហិណ្ឌូបានជួបនាង ទ្រង់ត្រេកអរនឹងប្រាជ្ញារបស់នាង និងមុខតំណែងផ្សេងៗគ្នាដែលអាចធ្វើទៅបាននៅក្នុងនាង។ ដោយដឹងថាវាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយមុខវិជ្ជាមួយរបស់គាត់ ស្តេចក៏សម្រេចចិត្តផ្តល់រង្វាន់ផ្ទាល់ខ្លួន។ គាត់បានហៅអ្នកបង្កើតមកគាត់ ហើយបញ្ជាឱ្យសួរគាត់នូវអ្វីដែលគាត់ចង់បាន ដោយសន្យាថានឹងបំពេញនូវបំណងប្រាថ្នាដ៏ប៉ិនប្រសប់បំផុត។

សេតា​សុំ​ពេល​គិត ហើយ​នៅ​ថ្ងៃ​បន្ទាប់ សេតា​បាន​លេច​មក​ចំពោះ​មុខ​ស្តេច ទ្រង់​បាន​ធ្វើ​ឲ្យ​ស្តេច​ភ្ញាក់​ផ្អើល​ដោយ​ភាព​សុភាព​ដែល​មិន​អាច​ប្រៀប​ផ្ទឹម​បាន​តាម​សំណើ​របស់​គាត់។ គាត់​សុំ​គ្រាប់​ស្រូវ​សាលី​មួយ​សម្រាប់​ការ៉េ​ទី​មួយ​នៃ​ក្ដារ​អុក ស្រូវ​សាលី​សម្រាប់​ទី​ពីរ ទី​បី​សម្រាប់​ទី​បួន​។​ល។

ស្តេចខឹងហើយបណ្តេញសេតចេញ ដោយនិយាយថា សំណើរបស់អ្នកបម្រើមិនសមនឹងចិត្តសប្បុរសទេ ប៉ុន្តែបានសន្យាថាអ្នកបំរើនឹងទទួលធញ្ញជាតិរបស់គាត់សម្រាប់ក្រឡាទាំងអស់នៃក្តារ។

ហើយឥឡូវនេះសំណួរគឺ៖ ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ គណនាថាតើសេតគួរទទួលបានប៉ុន្មានគ្រាប់?

ចូរចាប់ផ្តើមពិភាក្សា។ ដោយ​យោង​តាម​លក្ខខណ្ឌ សេត​បាន​សុំ​គ្រាប់​ស្រូវ​សម្រាប់​ក្រឡា​ទី​មួយ​នៃ​ក្ដារ​អុក​សម្រាប់​ទីពីរ សម្រាប់​ទី​បី សម្រាប់​ទី​បួន​។ យើងកំពុងនិយាយអំពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ តើអ្វីស្មើក្នុងករណីនេះ?
ត្រឹមត្រូវ។

ក្រឡាសរុបនៃក្តារអុក។ រៀងគ្នា, ។ យើង​មាន​ទិន្នន័យ​ទាំងអស់ វា​នៅ​សល់​តែ​ដើម្បី​ជំនួស​ក្នុង​រូបមន្ត​និង​គណនា។

ដើម្បីតំណាងឱ្យយ៉ាងហោចណាស់ប្រហែល "មាត្រដ្ឋាន" នៃចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងបំប្លែងដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ៖

ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើអ្នកចង់អ្នកអាចយកម៉ាស៊ីនគិតលេខហើយគណនាថាតើលេខប្រភេទណាដែលអ្នកបញ្ចប់ដោយហើយបើមិនដូច្នោះទេអ្នកនឹងត្រូវយកពាក្យរបស់ខ្ញុំសម្រាប់វា: តម្លៃចុងក្រោយនៃកន្សោមនឹងមាន។
នោះគឺ៖

quintillion quadrillion trillion billion លានលាន។

Fuh) ប្រសិនបើអ្នកចង់ស្រមៃមើលចំនួនដ៏ធំសម្បើមនៃចំនួននេះ ចូរប៉ាន់ប្រមាណថាតើជង្រុកមានទំហំប៉ុនណាដែលនឹងត្រូវបានទាមទារដើម្បីផ្ទុកបរិមាណគ្រាប់ធញ្ញជាតិទាំងមូល។
ជាមួយនឹងកម្ពស់ជង្រុក m និងទទឹង m ប្រវែងរបស់វានឹងត្រូវពង្រីកដល់គីឡូម៉ែត្រ i.e. ពីរដងឆ្ងាយជាងផែនដីទៅព្រះអាទិត្យ។

បើស្តេចខ្លាំងខាងគណិតសាស្ត្រ ព្រះអង្គអាចឲ្យអ្នកវិទ្យាសាស្ត្ររាប់គ្រាប់បាន ព្រោះដើម្បីរាប់បានមួយលានគ្រាប់ ទ្រង់ត្រូវការយ៉ាងហោចណាស់មួយថ្ងៃនៃការរាប់ដោយមិនចេះនឿយហត់ ហើយបានឲ្យថាចាំបាច់ត្រូវរាប់គ្រាប់ធញ្ញជាតិ។ គ្រាប់ធញ្ញជាតិនឹងត្រូវរាប់ពេញមួយជីវិតរបស់គាត់។

ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញមួយនៅលើផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
វ៉ាសា ជាសិស្សថ្នាក់ទី៥ បានធ្លាក់ខ្លួនឈឺដោយជំងឺគ្រុនផ្តាសាយ ប៉ុន្តែបន្តទៅសាលារៀន។ ជារៀងរាល់ថ្ងៃ Vasya ឆ្លងទៅមនុស្សពីរនាក់ ដែលឆ្លងមនុស្សពីរនាក់ទៀត ហើយដូច្នេះនៅលើ។ មានតែមនុស្សម្នាក់នៅក្នុងថ្នាក់។ តើ​ក្នុង​រយៈពេល​ប៉ុន្មាន​ថ្ងៃ​ដែល​ថ្នាក់​ទាំងមូល​នឹង​កើត​ជំងឺ​ផ្តាសាយ?

ដូច្នេះសមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ Vasya ពោលគឺមនុស្សម្នាក់។ សមាជិកទី 1 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ ទាំងនេះគឺជាមនុស្សពីរនាក់ដែលគាត់បានឆ្លងនៅថ្ងៃដំបូងនៃការមកដល់របស់គាត់។ ផលបូកសរុបនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពគឺស្មើនឹងចំនួនសិស្ស 5A ។ ដូច្នោះហើយ យើងកំពុងនិយាយអំពីវឌ្ឍនភាពដែល៖

ចូរជំនួសទិន្នន័យរបស់យើងទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖

ថ្នាក់ទាំងមូលនឹងឈឺក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានថ្ងៃ។ មិនជឿលើរូបមន្ត និងលេខ? ព្យាយាមបង្ហាញពី "ការឆ្លងមេរោគ" របស់សិស្សដោយខ្លួនឯង។ បានកើតឡើង? សូមមើលអ្វីដែលវាមើលទៅសម្រាប់ខ្ញុំ៖

គណនាដោយខ្លួនឯងថា តើសិស្សនឹងកើតជំងឺគ្រុនផ្តាសាយប៉ុន្មានថ្ងៃ បើគ្រប់គ្នាឆ្លងទៅមនុស្សម្នាក់ ហើយមានមនុស្សម្នាក់នៅក្នុងថ្នាក់។

តើអ្នកទទួលបានតម្លៃអ្វី? វាប្រែថាមនុស្សគ្រប់គ្នាចាប់ផ្តើមឈឺបន្ទាប់ពីមួយថ្ងៃ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញភារកិច្ចបែបនេះនិងគំនូរសម្រាប់វាប្រហាក់ប្រហែលនឹងសាជីជ្រុងដែល "បន្ទាប់" នីមួយៗនាំមកនូវមនុស្សថ្មី។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនយូរមិនឆាប់ មួយស្របក់នឹងមកដល់ នៅពេលដែលក្រោយមក មិនអាចទាក់ទាញនរណាម្នាក់បាន។ ក្នុងករណីរបស់យើង ប្រសិនបើយើងស្រមៃថា class ដាច់ពីគេ បុគ្គលនោះបិទសង្វាក់ ()។ ដូច្នេះប្រសិនបើមនុស្សម្នាក់បានចូលរួមក្នុងសាជីជ្រុងហិរញ្ញវត្ថុដែលលុយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យប្រសិនបើអ្នកនាំយកអ្នកចូលរួមពីរនាក់ទៀតនោះ បុគ្គលនោះ (ឬក្នុងករណីទូទៅ) នឹងមិននាំនរណាម្នាក់ឡើយ រៀងគ្នានឹងបាត់បង់អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលពួកគេបានបណ្តាក់ទុកក្នុងការបោកប្រាស់ហិរញ្ញវត្ថុនេះ។ .

អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលត្រូវបាននិយាយខាងលើសំដៅទៅលើការថយចុះឬការកើនឡើងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រប៉ុន្តែដូចដែលអ្នកចងចាំយើងមានប្រភេទពិសេសមួយ - វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះជាលំដាប់។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាផលបូកនៃសមាជិករបស់ខ្លួន? ហើយហេតុអ្វីបានជាប្រភេទនៃការវិវត្តន៍នេះមានលក្ខណៈពិសេសជាក់លាក់? ចូរយើងស្វែងយល់ទាំងអស់គ្នា។

ដូច្នេះ សម្រាប់ការចាប់ផ្តើម សូមក្រឡេកមើលរូបភាពនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់នេះម្តងទៀតពីឧទាហរណ៍របស់យើង៖

ហើយឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ដែលបានមកពីមុនបន្តិច៖
ឬ

តើ​យើង​ខំ​ដើម្បី​អ្វី? ត្រឹមត្រូវហើយ ក្រាហ្វបង្ហាញថាវាមានទំនោរទៅសូន្យ។ នោះគឺនៅពេលដែលវានឹងស្ទើរតែស្មើគ្នារៀងៗខ្លួននៅពេលគណនាកន្សោមយើងនឹងទទួលបានស្ទើរតែ។ ក្នុងន័យនេះ យើងជឿថានៅពេលគណនាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះជាលំដាប់ តង្កៀបនេះអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ព្រោះវានឹងស្មើគ្នា។

- រូបមន្តគឺជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់។

សំខាន់!យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះដោយគ្មានកំណត់ លុះត្រាតែលក្ខខណ្ឌបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ថាយើងត្រូវស្វែងរកផលបូក គ្មានទីបញ្ចប់ចំនួនសមាជិក។

ប្រសិនបើលេខជាក់លាក់ n ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនោះ យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃពាក្យ n ទោះបីជា ឬ។

ហើយឥឡូវនេះសូមអនុវត្ត។

1. ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយ និង។
2. ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលថយចុះដោយគ្មានកំណត់ជាមួយ និង។

ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកមានការប្រុងប្រយ័ត្នខ្លាំងណាស់។ ប្រៀបធៀបចម្លើយរបស់យើង៖

ឥឡូវនេះអ្នកដឹងអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងអំពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រហើយវាដល់ពេលដែលត្រូវផ្លាស់ប្តូរពីទ្រឹស្តីទៅការអនុវត្ត។ បញ្ហាអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលទូទៅបំផុតដែលមាននៅលើការប្រឡងគឺបញ្ហាការប្រាក់រួម។ វាគឺអំពីពួកគេដែលយើងនឹងនិយាយ។

បញ្ហាសម្រាប់ការគណនាការប្រាក់រួម។

អ្នកប្រាកដជាធ្លាប់បានលឺអំពីអ្វីដែលគេហៅថារូបមន្តការប្រាក់រួម។ តើអ្នកយល់ពីអត្ថន័យរបស់នាងទេ? បើមិនអញ្ចឹងទេ ចូរយើងដោះស្រាយ ព្រោះបានដឹងពីដំណើរការនេះដោយខ្លួនឯង អ្នកនឹងយល់ភ្លាមៗអំពីអ្វីដែលដំណើរការធរណីមាត្រទាក់ទងនឹងវា។

យើងទាំងអស់គ្នាទៅធនាគារ ហើយដឹងថាមានលក្ខខណ្ឌផ្សេងៗគ្នាសម្រាប់ប្រាក់បញ្ញើ៖ នេះគឺជារយៈពេល និងការថែទាំបន្ថែម និងការប្រាក់ជាមួយនឹងវិធីពីរផ្សេងគ្នានៃការគណនាវា - សាមញ្ញ និងស្មុគស្មាញ។

ពី ចំណាប់អារម្មណ៍សាមញ្ញអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាង ឬតិចជាងនេះ៖ ការប្រាក់ត្រូវបានគិតម្តងនៅចុងបញ្ចប់នៃរយៈពេលដាក់ប្រាក់។ នោះគឺប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីការដាក់ 100 រូប្លិក្នុងមួយឆ្នាំនៅក្រោមនោះពួកគេនឹងត្រូវបានបញ្ចូលតែនៅចុងឆ្នាំប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នោះហើយនៅចុងបញ្ចប់នៃការដាក់ប្រាក់យើងនឹងទទួលបានប្រាក់រូល។

ការប្រាក់រួមគឺជាជម្រើសមួយដែលក្នុងនោះ មូលធនប័ត្រការប្រាក់, i.e. ការបន្ថែមរបស់ពួកគេទៅនឹងចំនួនប្រាក់បញ្ញើ និងការគណនាជាបន្តបន្ទាប់នៃប្រាក់ចំណូល មិនមែនមកពីដំបូងឡើយ ប៉ុន្តែបានមកពីចំនួនបញ្ញើបង្គរ។ អក្សរធំមិនមែនកើតឡើងឥតឈប់ឈរទេ ប៉ុន្តែមានតាមកាលកំណត់ខ្លះ។ តាមក្បួនមួយរយៈពេលបែបនេះគឺស្មើគ្នា ហើយភាគច្រើនជាញឹកញាប់ធនាគារប្រើមួយខែ មួយភាគបួន ឬមួយឆ្នាំ។

ឧបមាថាយើងដាក់ប្រាក់រូពីដូចគ្នាក្នុងមួយឆ្នាំ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងមូលធននីយកម្មប្រចាំខែនៃប្រាក់បញ្ញើ។ តើយើងទទួលបានអ្វីខ្លះ?

តើអ្នកយល់គ្រប់យ៉ាងនៅទីនេះទេ? បើ​មិន​អញ្ចឹង​ទេ ចូរ​ធ្វើ​វា​ជា​ជំហានៗ។

យើងបាននាំយកប្រាក់រូពីទៅធនាគារ។ នៅចុងខែនេះ យើងគួរតែមានចំនួនទឹកប្រាក់នៅក្នុងគណនីរបស់យើងដែលមានរូប្លិងរបស់យើង បូកនឹងការប្រាក់លើពួកគេ នោះគឺ៖

ខ្ញុំ​យល់ព្រម?

យើងអាចយកវាចេញពីតង្កៀប ហើយបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

យល់ស្រប រូបមន្តនេះគឺស្រដៀងទៅនឹងរូបមន្តដែលយើងបានសរសេរនៅដើមដំបូងរួចទៅហើយ។ វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយជាមួយភាគរយ

នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាយើងត្រូវបានប្រាប់អំពីប្រចាំឆ្នាំ។ ដូចដែលអ្នកដឹង យើងមិនគុណនឹង - យើងបំប្លែងភាគរយទៅជាទសភាគ នោះគឺ៖

មែនទេ? ឥឡូវ​សួរ​ថា តើ​លេខ​មក​ពី​ណា? សាមញ្ញ​ណាស់!
ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត៖ ស្ថានភាពនៃបញ្ហានិយាយអំពី ប្រចាំឆ្នាំការប្រាក់កើនឡើង ប្រចាំខែ. ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាក្នុងមួយឆ្នាំៗ ធនាគារនឹងគិតប្រាក់ពីយើងមួយផ្នែកនៃការប្រាក់ប្រចាំឆ្នាំក្នុងមួយខែ៖

យល់? ឥឡូវនេះព្យាយាមសរសេរថាតើផ្នែកនៃរូបមន្តនេះនឹងមើលទៅដូចអ្វី ប្រសិនបើខ្ញុំនិយាយថាការប្រាក់ត្រូវបានគណនាជារៀងរាល់ថ្ងៃ។
តើអ្នកបានគ្រប់គ្រងទេ? តោះប្រៀបធៀបលទ្ធផល៖

ល្អ​ណាស់! ចូរយើងត្រឡប់ទៅភារកិច្ចរបស់យើងវិញ៖ សរសេរថាតើចំនួនប៉ុន្មាននឹងត្រូវបញ្ចូលទៅក្នុងគណនីរបស់យើងសម្រាប់ខែទីពីរ ដោយគិតទៅលើការប្រាក់ដែលត្រូវគិតលើចំនួនប្រាក់បញ្ញើបង្គរ។
នេះជាអ្វីដែលបានកើតឡើងចំពោះខ្ញុំ៖

ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត៖

ខ្ញុំគិតថាអ្នកបានកត់សម្គាល់គំរូមួយរួចហើយ ហើយបានឃើញការវិវត្តនៃធរណីមាត្រនៅក្នុងទាំងអស់នេះ។ សរសេរនូវអ្វីដែលសមាជិករបស់ខ្លួននឹងស្មើនឹង ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀតថាតើយើងនឹងទទួលបានប្រាក់ប៉ុន្មាននៅចុងខែ។
បាន​ធ្វើ? កំពុងពិនិត្យ!

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញប្រសិនបើអ្នកដាក់ប្រាក់នៅក្នុងធនាគារសម្រាប់រយៈពេលមួយឆ្នាំដោយអត្រាការប្រាក់សាមញ្ញនោះអ្នកនឹងទទួលបានប្រាក់រូពីហើយប្រសិនបើអ្នកដាក់វាក្នុងអត្រារួមអ្នកនឹងទទួលបានប្រាក់រូល។ អត្ថប្រយោជន៍គឺតូច ប៉ុន្តែរឿងនេះកើតឡើងតែក្នុងអំឡុងឆ្នាំទី ប៉ុន្តែសម្រាប់ច្រើនទៀត រយៈពេលវែងអក្សរធំមានផលចំណេញច្រើន៖

សូមពិចារណាប្រភេទមួយផ្សេងទៀតនៃបញ្ហាការប្រាក់រួម។ បន្ទាប់​ពី​អ្វី​ដែល​អ្នក​បាន​រក​ឃើញ វា​នឹង​ក្លាយ​ជា​រឿង​សំខាន់​សម្រាប់​អ្នក។ ដូច្នេះភារកិច្ចគឺ៖

Zvezda បានចាប់ផ្តើមវិនិយោគនៅក្នុងឧស្សាហកម្មនេះក្នុងឆ្នាំ 2000 ជាមួយនឹងដើមទុនដុល្លារ។ ជារៀងរាល់ឆ្នាំចាប់តាំងពីឆ្នាំ 2001 វាបានធ្វើឱ្យប្រាក់ចំណេញស្មើនឹងដើមទុនកាលពីឆ្នាំមុន។ តើក្រុមហ៊ុន Zvezda នឹងទទួលបានប្រាក់ចំណេញប៉ុន្មាននៅចុងឆ្នាំ 2003 ប្រសិនបើប្រាក់ចំណេញមិនត្រូវបានដកចេញពីចរាចរ?

ដើមទុនរបស់ក្រុមហ៊ុន Zvezda ក្នុងឆ្នាំ 2000 ។
- រដ្ឋធានីរបស់ក្រុមហ៊ុន Zvezda ក្នុងឆ្នាំ 2001 ។
- រដ្ឋធានីរបស់ក្រុមហ៊ុន Zvezda ក្នុងឆ្នាំ 2002 ។
- រដ្ឋធានីរបស់ក្រុមហ៊ុន Zvezda ក្នុងឆ្នាំ 2003 ។

ឬយើងអាចសរសេរដោយសង្ខេប៖

សម្រាប់ករណីរបស់យើង៖

2000, 2001, 2002 និង 2003។

រៀងគ្នា៖
rubles
ចំណាំថានៅក្នុងបញ្ហានេះយើងមិនមានការបែងចែកដោយឬដោយទេចាប់តាំងពីភាគរយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យប្រចាំឆ្នាំហើយវាត្រូវបានគណនាប្រចាំឆ្នាំ។ នោះគឺនៅពេលអានបញ្ហាសម្រាប់ការប្រាក់រួម សូមយកចិត្តទុកដាក់លើអ្វីដែលជាភាគរយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយក្នុងដំណាក់កាលណាដែលវាត្រូវបានគិតថ្លៃ ហើយមានតែបន្ទាប់មកបន្តទៅការគណនា។
ឥឡូវនេះអ្នកដឹងអ្វីៗទាំងអស់អំពីដំណើរការធរណីមាត្រ។

ធ្វើការ។

1. ស្វែងរកពាក្យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ប្រសិនបើវាត្រូវបានគេស្គាល់ថា និង
2. ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ប្រសិនបើគេដឹងថា និង
3. MDM Capital បានចាប់ផ្តើមវិនិយោគនៅក្នុងឧស្សាហកម្មនេះក្នុងឆ្នាំ 2003 ជាមួយនឹងដើមទុនជាដុល្លារ។ ជារៀងរាល់ឆ្នាំចាប់តាំងពីឆ្នាំ 2004 នាងបានរកប្រាក់ចំណេញដែលស្មើនឹងដើមទុនកាលពីឆ្នាំមុន។ ក្រុមហ៊ុន "MSK Cash Flows" បានចាប់ផ្តើមវិនិយោគនៅក្នុងឧស្សាហកម្មនេះក្នុងឆ្នាំ 2005 ក្នុងចំនួនទឹកប្រាក់ $10,000 ដោយចាប់ផ្តើមរកប្រាក់ចំណេញនៅឆ្នាំ 2006 ក្នុងបរិមាណ។ តើដើមទុនរបស់ក្រុមហ៊ុនមួយលើសពីប៉ុន្មានដុល្លារនៅចុងឆ្នាំ 2007 ប្រសិនបើប្រាក់ចំណេញមិនត្រូវបានដកចេញពីចរាចរ?

ចម្លើយ៖

1. ដោយសារលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាមិននិយាយថាការវិវត្តន៍គឺគ្មានកំណត់ទេ ហើយវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃចំនួនជាក់លាក់នៃសមាជិករបស់វា ការគណនាត្រូវបានអនុវត្តតាមរូបមន្ត៖
2. 
   ក្រុមហ៊ុន "MDM Capital"៖

   ២០០៣, ២០០៤, ២០០៥, ២០០៦, ២០០៧។
   - កើនឡើង 100% ពោលគឺ 2 ដង។
   រៀងគ្នា៖
   rubles
   លំហូរសាច់ប្រាក់ MSK៖

   ២០០៥, ២០០៦, ២០០៧។
   - កើនឡើង ពោលគឺ ដង។
   រៀងគ្នា៖
   rubles
   rubles

ចូរយើងសង្ខេប។

1) ដំណើរការធរណីមាត្រ ( ) គឺជាលំដាប់លេខ ដែលពាក្យទីមួយខុសពីសូន្យ ហើយពាក្យនីមួយៗចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺស្មើនឹងលេខមុន គុណនឹងលេខដូចគ្នា។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

2) សមីការនៃសមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រមួយ - ។

3) អាចយកតម្លៃណាមួយ លើកលែងតែ និង។

• ប្រសិនបើបន្ទាប់មកសមាជិកបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពមានសញ្ញាដូចគ្នា - ពួកគេ។ វិជ្ជមាន;
• ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកសមាជិកបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃដំណើរការ សញ្ញាជំនួស;
• នៅពេលដែល - ការវិវត្តត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះគ្មានកំណត់។

4) នៅ - ទ្រព្យសម្បត្តិនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ (សមាជិកជិតខាង)

ឬ
នៅ (លក្ខខណ្ឌសមមូល)

ពេល​រក​ឃើញ​កុំ​ភ្លេច គួរតែមានចម្លើយពីរ។.

ឧទាហរណ៍,

5) ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
ឬ

ប្រសិនបើការវិវត្តន៍ថយចុះជាលំដាប់ នោះ៖
ឬ

សំខាន់!យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះដោយគ្មានកំណត់ លុះត្រាតែលក្ខខណ្ឌបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ថាយើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃចំនួនពាក្យដែលគ្មានកំណត់។

6) ភារកិច្ចសម្រាប់ការប្រាក់រួមក៏ត្រូវបានគណនាផងដែរដោយយោងតាមរូបមន្តនៃសមាជិកទី 1 នៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលផ្តល់ថាមូលនិធិមិនត្រូវបានដកចេញពីចរាចរ:

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ សង្ខេបអំពីមេ

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ( ) គឺជាលំដាប់លេខ ដែលពាក្យទីមួយខុសពីសូន្យ ហើយពាក្យនីមួយៗចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺស្មើនឹងលេខមុន គុណនឹងលេខដូចគ្នា។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថា ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រអាចយកតម្លៃណាមួយ លើកលែងតែ និង។

• ប្រសិនបើបន្ទាប់មកសមាជិកជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃដំណើរការមានសញ្ញាដូចគ្នា - ពួកគេគឺវិជ្ជមាន;
• ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកសមាជិកបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃសញ្ញាឆ្លាស់គ្នានៃវឌ្ឍនភាព។
• នៅពេលដែល - ការវិវត្តត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះគ្មានកំណត់។

សមីការនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ - .

ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគណនាដោយរូបមន្ត៖
ឬ

បញ្ហាមួយចំនួននៃរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យាអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃស៊េរីលេខ។ លំដាប់លេខសាមញ្ញបំផុតពីរដែលត្រូវបានបង្រៀននៅក្នុងសាលាគឺពិជគណិត និងធរណីមាត្រ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពគ្មានកំណត់នៃធរណីមាត្រថយចុះមួយ។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

ពាក្យទាំងនេះមានន័យថាជាស៊េរីនៃចំនួនពិត ធាតុ a i ដែលបំពេញកន្សោម៖

នេះខ្ញុំជាលេខនៃធាតុនៅក្នុងស៊េរី r គឺជាចំនួនថេរដែលត្រូវបានគេហៅថាភាគបែង។

និយមន័យនេះបង្ហាញថា ដោយដឹងពីពាក្យណាមួយនៃវឌ្ឍនភាព និងភាគបែងរបស់វា វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្ដារស៊េរីលេខទាំងមូល។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើធាតុទី 10 ត្រូវបានគេដឹងបន្ទាប់មកបែងចែកវាដោយ r យើងទទួលបានធាតុទី 9 បន្ទាប់មកបែងចែកវាម្តងទៀតយើងទទួលបានលេខ 8 ជាដើម។ អាគុយម៉ង់សាមញ្ញទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរកន្សោមដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ស៊េរីនៃលេខដែលកំពុងពិចារណា:

ឧទាហរណ៍នៃវឌ្ឍនភាពជាមួយភាគបែងនៃ 2 នឹងមានៈ

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

ប្រសិនបើភាគបែងគឺ -2 នោះស៊េរីខុសគ្នាទាំងស្រុងត្រូវបានទទួល៖

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

ការវិវត្តនៃធរណីមាត្រគឺលឿនជាងពិជគណិតមួយ ពោលគឺពាក្យរបស់វាកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងថយចុះយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

ផលបូកនៃ i សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង ជារឿយៗចាំបាច់ត្រូវគណនាផលបូកនៃធាតុជាច្រើននៃលំដាប់លេខដែលបានពិចារណា។ ចំពោះករណីនេះ រូបមន្តខាងក្រោមមានសុពលភាព៖

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាដើម្បីគណនាផលបូកនៃពាក្យ i អ្នកត្រូវដឹងតែពីរលេខប៉ុណ្ណោះគឺ a 1 និង r ដែលជាឡូជីខលព្រោះវាកំណត់តែលំដាប់ទាំងមូល។

លំដាប់ចុះក្រោម និងផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វា។

ឥឡូវនេះសូមពិចារណាករណីពិសេសមួយ។ យើងនឹងសន្មត់ថាតម្លៃដាច់ខាតនៃភាគបែង r មិនលើសពីមួយ ពោលគឺ -1

ការថយចុះនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការពិចារណា ពីព្រោះផលបូកគ្មានកំណត់នៃលក្ខខណ្ឌរបស់វាមាននិន្នាការទៅជាចំនួនពិតកំណត់។

ចូរយើងទទួលបានរូបមន្តផលបូក នេះជាការងាយស្រួលធ្វើប្រសិនបើយើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់ S i ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន។ យើង​មាន:

S i \u003d a 1 * (r i -1) / (r-1)

ពិចារណាករណីនៅពេល i->∞ ។ ដោយសារម៉ូឌុលនៃភាគបែងគឺតិចជាង 1 បន្ទាប់មកការបង្កើនវាទៅជាថាមពលគ្មានកំណត់នឹងផ្តល់ឱ្យសូន្យ។ វាអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយប្រើឧទាហរណ៍ r=0.5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

ជាលទ្ធផលផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគ្មានកំណត់នៃការថយចុះនឹងមានទម្រង់៖

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការអនុវត្ត ឧទាហរណ៍ ដើម្បីគណនាផ្នែកនៃតួលេខ។ វាត្រូវបានគេប្រើផងដែរក្នុងការដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នានៃ Zeno នៃ Elea ជាមួយនឹងសត្វអណ្តើកនិង Achilles ។

ជាក់ស្តែង ការពិចារណាលើផលបូកនៃដំណើរការគ្មានកំណត់នៃការកើនឡើងធរណីមាត្រ (r>1) នឹងនាំទៅរកលទ្ធផល S ∞ = +∞ ។

បញ្ហានៃការស្វែងរកពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព

យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលរូបមន្តខាងលើគួរតែត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា។ វាត្រូវបានគេដឹងថាផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគ្មានកំណត់គឺ 11។ លើសពីនេះទៅទៀតពាក្យទី 7 របស់វាគឺតិចជាង 6 ដងនៃពាក្យទីបី។ តើអ្វីជាធាតុទីមួយសម្រាប់ស៊េរីលេខនេះ?

ទីមួយ ចូរយើងសរសេរកន្សោមពីរសម្រាប់កំណត់ធាតុទី 7 និងទី 3 ។ យើង​ទទួល​បាន:

ចែក​កន្សោម​ទី​មួយ​នឹង​ទី​ពីរ ហើយ​បង្ហាញ​ភាគបែង​យើង​មាន៖

a 7 / a 3 = r 4 => r = 4 √ (a 7 / a 3)

ដោយសារសមាមាត្រនៃពាក្យទីប្រាំពីរ និងទីបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា យើងអាចជំនួសវា ហើយស្វែងរក r:

r \u003d 4 √ (a 7 / a 3) \u003d 4 √ (1/6) ≈ 0.63894

យើងបានគណនា r ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវចំនួនប្រាំខ្ទង់បន្ទាប់ពីចំនុចទសភាគ។ ដោយសារតម្លៃលទ្ធផលគឺតិចជាងមួយ វាមានន័យថាការវិវត្តកំពុងថយចុះ ដែលបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកគ្មានកំណត់របស់វា។ យើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់ពាក្យទីមួយក្នុងន័យនៃផលបូក S ∞ :

យើងជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ ហើយទទួលបានចម្លើយ៖

a 1 \u003d 11 * (1-0.63894) \u003d 3.97166 ។

ភាពចម្លែកដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Zeno ជាមួយនឹង Achilles លឿន និងអណ្តើកយឺត

Zeno of Elea គឺជាទស្សនវិទូជនជាតិក្រិចដ៏ល្បីល្បាញម្នាក់ដែលបានរស់នៅក្នុងសតវត្សទី 5 មុនគ។ អ៊ី ចំនួននៃ apogees ឬ paradoxes របស់ខ្លួនបានឈានដល់ពេលបច្ចុប្បន្ន, ដែលបញ្ហានៃទំហំធំនិងតូចគ្មានកំណត់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើង។

ភាពស្រដៀងគ្នាដ៏ល្បីមួយរបស់ Zeno គឺការប្រកួតប្រជែងរវាង Achilles និងសត្វអណ្តើក។ Zeno ជឿថាប្រសិនបើ Achilles ផ្តល់អត្ថប្រយោជន៍ខ្លះដល់សត្វអណ្តើកពីចម្ងាយនោះគាត់នឹងមិនអាចយកឈ្នះវាបានទេ។ ជាឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យ Achilles រត់លឿនជាងសត្វវារ 10 ដង ដែលឧទាហរណ៍ 100 ម៉ែត្រពីមុខគាត់។ ពេលអ្នកចម្បាំងរត់បាន 100 ម៉ែត្រ សត្វអណ្តើកវារថយក្រោយ 10 ។ រត់បាន 10 ម៉ែត្រម្តងទៀត Achilles នឹងឃើញថាអណ្តើកវារបាន 1 ម៉ែត្រទៀត។ អ្នកអាចជជែកតវ៉ាបែបនេះដោយគ្មានកំណត់ ចម្ងាយរវាងគូប្រជែងពិតជានឹងថយចុះ ប៉ុន្តែអណ្តើកនឹងនៅខាងមុខជានិច្ច។

គាត់បានដឹកនាំ Zeno ដល់ការសន្និដ្ឋានថាចលនាមិនមានទេ ហើយចលនាជុំវិញទាំងអស់នៃវត្ថុគឺជាការបំភាន់។ ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ទស្សនវិទូ​ក្រិច​បុរាណ​និយាយ​ខុស។

ដំណោះស្រាយចំពោះភាពផ្ទុយគ្នាគឺស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាផលបូកនៃផ្នែកដែលមិនធ្លាប់មានការថយចុះមាននិន្នាការទៅជាចំនួនកំណត់។ ក្នុងករណីខាងលើសម្រាប់ចម្ងាយធ្វើដំណើរដោយ Achilles យើងទទួលបាន:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

ការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រគ្មានកំណត់ យើងទទួលបាន៖

S ∞ \u003d 100 / (1-0.1) ≈ 111.111 ម៉ែត្រ

លទ្ធផលនេះបង្ហាញថា Achilles នឹងវ៉ាដាច់អណ្តើកនៅពេលដែលវាវារបានត្រឹមតែ 11.111 ម៉ែត្រប៉ុណ្ណោះ។

ជនជាតិក្រិចបុរាណមិនដឹងពីរបៀបធ្វើការជាមួយបរិមាណគ្មានកំណត់ក្នុងគណិតវិទ្យាទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភាពផ្ទុយគ្នានេះអាចដោះស្រាយបាន ប្រសិនបើយើងយកចិត្តទុកដាក់មិនកំណត់ចំនួនចន្លោះប្រហោងដែល Achilles ត្រូវតែជម្នះ ប៉ុន្តែដល់ចំនួនកំណត់នៃជំហានដែលអ្នករត់ត្រូវតែសម្រេចគោលដៅ។

គណិតវិទ្យាគឺជាអ្វីមនុស្សគ្រប់គ្រងធម្មជាតិ និងខ្លួនឯង។

គណិតវិទូសូវៀត អ្នកសិក្សា A.N. Kolmogorov

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

រួមជាមួយនឹងកិច្ចការសម្រាប់វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ កិច្ចការដែលទាក់ទងនឹងគោលគំនិតនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រក៏ជារឿងធម្មតាដែរក្នុងការប្រលងចូលក្នុងគណិតវិទ្យា។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដោយជោគជ័យ អ្នកត្រូវដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការធរណីមាត្រ និងមានជំនាញល្អក្នុងការប្រើប្រាស់វា។

អត្ថបទនេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការបង្ហាញនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ វាក៏ផ្តល់នូវឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាធម្មតាផងដែរ។, ខ្ចីពីកិច្ចការប្រលងចូលគណិតវិទ្យា។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកត់សម្គាល់ជាមុននូវលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ហើយរំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្ត និងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏សំខាន់បំផុត, ទាក់ទងនឹងគំនិតនេះ។

និយមន័យ។លំដាប់លេខត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ប្រសិនបើលេខនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ គឺស្មើនឹងលេខមុន គុណនឹងលេខដូចគ្នា។ លេខត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

សម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្ររូបមន្តមានសុពលភាព

, (1)

កន្លែងណា។ រូបមន្ត (1) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តនៃពាក្យទូទៅនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ហើយរូបមន្ត (2) គឺជាទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖ សមាជិកនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពស្របគ្នានឹងមធ្យមធរណីមាត្រនៃសមាជិកជិតខាងរបស់វា និង។

ចំណាំ វាច្បាស់ណាស់ដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិនេះដែលវឌ្ឍនភាពនៅក្នុងសំណួរត្រូវបានគេហៅថា "ធរណីមាត្រ" ។

រូបមន្ត (1) និង (2) ខាងលើត្រូវបានសង្ខេបដូចខាងក្រោម:

, (3)

ដើម្បីគណនាផលបូកដំបូង សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្ររូបមន្តត្រូវបានអនុវត្ត

ប្រសិនបើយើងកំណត់

កន្លែងណា។ ចាប់តាំងពី រូបមន្ត (6) គឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃរូបមន្ត (5) ។

ក្នុងករណីនៅពេលណានិង វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំពុងតែថយចុះជាលំដាប់។ ដើម្បីគណនាផលបូកនៃសមាជិកទាំងអស់នៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ រូបមន្តត្រូវបានប្រើ

. (7)

ឧទាហរណ៍ , ដោយប្រើរូបមន្ត (7) មួយអាចបង្ហាញអ្វី

កន្លែងណា។ សមភាពទាំងនេះត្រូវបានទទួលពីរូបមន្ត (7) ដែលផ្តល់ថា , (សមភាពទីមួយ) និង , (សមភាពទីពីរ)។

ទ្រឹស្តីបទ។បើអញ្ចឹង

ភស្តុតាង។ ប្រសិនបើ ,

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចូរបន្តទៅការពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ "វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ" ។

ឧទាហរណ៍ ១បានផ្តល់ឱ្យ៖ និង។ ស្វែងរក។

ដំណោះស្រាយ។ប្រសិនបើរូបមន្ត (5) ត្រូវបានអនុវត្តបន្ទាប់មក

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ ២អនុញ្ញាតឱ្យនិង។ ស្វែងរក។

ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពី និង , យើងប្រើរូបមន្ត (5), (6) និងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការ

ប្រសិនបើសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (9) ត្រូវបានបែងចែកដោយទីមួយបន្ទាប់មក ឬ . ពីនេះវាធ្វើតាម . ចូរយើងពិចារណាករណីពីរ។

1. ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកពីសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (9) យើងមាន.

2. ប្រសិនបើ .

ឧទាហរណ៍ ៣អនុញ្ញាតឱ្យ និង . ស្វែងរក។

ដំណោះស្រាយ។វាធ្វើតាមរូបមន្ត (2) ថា ឬ . ចាប់តាំងពីពេលនោះមកឬ។

តាមលក្ខខណ្ឌ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ។ ដោយសារតែ និង , បន្ទាប់មកនៅទីនេះយើងមានប្រព័ន្ធសមីការ

ប្រសិនបើសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបែងចែកដោយទីមួយ បន្ទាប់មក ឬ .

ចាប់តាំងពី សមីការមានឫសត្រឹមត្រូវតែមួយ។ ក្នុងករណីនេះសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធបង្កប់ន័យ។

ដោយគិតពីរូបមន្ត (7) យើងទទួលបាន។

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ 4ផ្តល់ឱ្យ៖ និង។ ស្វែងរក។

ដំណោះស្រាយ។ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។

ដោយសារតែបន្ទាប់មកឬ

យោងតាមរូបមន្ត (២) យើងមាន។ ក្នុងន័យនេះ ពីសមភាព (10) យើងទទួលបាន ឬ .

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយតាមលក្ខខណ្ឌ។

ឧទាហរណ៍ ៥វាត្រូវបានគេដឹងថា។ ស្វែងរក។

ដំណោះស្រាយ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទ យើងមានសមភាពពីរ

ចាប់តាំងពីពេលនោះមកឬ។ ដោយសារតែបន្ទាប់មក។

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ ៦ផ្តល់ឱ្យ៖ និង។ ស្វែងរក។

ដំណោះស្រាយ។ដោយគិតពីរូបមន្ត (5) យើងទទួលបាន

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។ ចាប់តាំងពី , និង , បន្ទាប់មក។

ឧទាហរណ៍ ៧អនុញ្ញាតឱ្យនិង។ ស្វែងរក។

ដំណោះស្រាយ។យោងតាមរូបមន្ត (1) យើងអាចសរសេរបាន។

ដូច្នេះយើងមានឬ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ថា និង ដូច្នេះ និង .

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ ៨ស្វែងរកភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រថយចុះគ្មានកំណត់ ប្រសិនបើ

និង .

ដំណោះស្រាយ។ ពីរូបមន្ត (7) វាធ្វើតាមនិង . ពីទីនេះ និងពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ

ប្រសិនបើសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធគឺការ៉េ, ហើយបន្ទាប់មកចែកសមីការលទ្ធផលដោយសមីការទីពីរបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

ឬ។

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ ៩ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់ដែលលំដាប់ , , គឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

ដំណោះស្រាយ។អនុញ្ញាតឱ្យ និង . យោងតាមរូបមន្ត (2) ដែលកំណត់លក្ខណៈសំខាន់នៃដំណើរការធរណីមាត្រ យើងអាចសរសេរ ឬ .

ពីទីនេះយើងទទួលបានសមីការការ៉េ, ឫសរបស់អ្នកណានិង .

តោះពិនិត្យមើល៖ ប្រសិនបើ, បន្ទាប់មក , និង ; ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក និង .

ក្នុងករណីដំបូងយើងមាននិង, និងនៅក្នុងទីពីរ - និង .

ចម្លើយ៖ , ។

ឧទាហរណ៍ 10ដោះស្រាយសមីការ

, (11)

កន្លែងណា និង .

ដំណោះស្រាយ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (11) គឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះគ្មានកំណត់ ដែលនៅក្នុងនោះ និង , បានផ្តល់៖ និង .

ពីរូបមន្ត (7) វាធ្វើតាមអ្វី . ក្នុងន័យនេះ សមីការ (១១) យកទម្រង់ឬ . root សមរម្យ សមីការ​ការ៉េ​គឺ​

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ 11 ។ទំ លំដាប់នៃលេខវិជ្ជមានបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ, ក - វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រតើវាទាក់ទងនឹងអ្វី? ស្វែងរក។

ដំណោះស្រាយ។ដោយសារតែ លំដាប់នព្វន្ធបន្ទាប់មក (ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដំណើរការនព្វន្ធ) ។ ដោយសារតែបន្ទាប់មក ឬ . នេះ​បញ្ជាក់​ថា ថាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ. យោងតាមរូបមន្ត (២)បន្ទាប់មកយើងសរសេរនោះ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក . ក្នុងករណីនោះការបញ្ចេញមតិយកទម្រង់ឬ។ តាមលក្ខខណ្ឌ, ដូច្នេះពីសមីការយើងទទួលបានដំណោះស្រាយតែមួយគត់នៃបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណា, i.e. .

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍ 12 ។គណនាផលបូក

. (12)

ដំណោះស្រាយ។ គុណភាគីទាំងពីរនៃភាពស្មើគ្នា (12) ដោយ 5 ហើយទទួលបាន

ប្រសិនបើយើងដក (12) ចេញពីកន្សោមលទ្ធផលបន្ទាប់មក

ឬ។

ដើម្បីគណនា យើងជំនួសតម្លៃទៅក្នុងរូបមន្ត (7) ហើយទទួលបាន។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក។

ចម្លើយ៖ ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនេះនឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់បេក្ខជនក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការប្រឡងចូល។ សម្រាប់ការសិក្សាកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីវិធីសាស្រ្តដោះស្រាយបញ្ហា, ភ្ជាប់ជាមួយវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ, អ្នកអាចប្រើការបង្រៀនពីបញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានណែនាំ។

1. ការប្រមូលភារកិច្ចក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេស / Ed ។ M.I. ស្កែនវី។ – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 ទំ។

2. Suprun V.P. គណិតវិទ្យាសម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ៖ ផ្នែកបន្ថែមនៃកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ - M. : Lenand / URSS, 2014. - 216 ទំ។

3. Medynsky M.M. វគ្គសិក្សាពេញលេញនៃគណិតវិទ្យាបឋមក្នុងកិច្ចការ និងលំហាត់។ សៀវភៅទី២៖ លំដាប់លេខ និងវឌ្ឍនភាព។ - អិមៈកែសម្រួល, 2015. - 208 ទំ។

តើអ្នកមានសំណួរទេ?

ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ រួមជាមួយនឹងនព្វន្ធ គឺជាស៊េរីលេខដ៏សំខាន់មួយដែលត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតសាលានៅថ្នាក់ទី 9 ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ និងរបៀបដែលតម្លៃរបស់វាប៉ះពាល់ដល់លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

និយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងផ្តល់និយមន័យនៃស៊េរីលេខនេះ។ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺជាស៊េរីនៃលេខសនិទានដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការគុណធាតុទីមួយរបស់វាជាបន្តបន្ទាប់ដោយចំនួនថេរដែលហៅថាភាគបែង។

ឧទាហរណ៍ លេខក្នុងស៊េរី 3, 6, 12, 24, ... គឺជាការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រ ព្រោះប្រសិនបើយើងគុណ 3 (ធាតុទីមួយ) គុណនឹង 2 យើងទទួលបាន 6។ ប្រសិនបើយើងគុណ 6 គុណនឹង 2 យើងទទួលបាន 12 ហើយដូច្នេះនៅលើ។

សមាជិកនៃលំដាប់ដែលកំពុងពិចារណាជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ai ដែលខ្ញុំជាចំនួនគត់ដែលបង្ហាញពីចំនួនធាតុនៅក្នុងស៊េរី។

និយមន័យខាងលើនៃវឌ្ឍនភាពអាចសរសេរជាភាសាគណិតវិទ្យាដូចខាងក្រោមៈ an = bn-1 * a1 ដែល b ជាភាគបែង។ វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលរូបមន្តនេះ៖ ប្រសិនបើ n = 1 បន្ទាប់មក b1-1 = 1 ហើយយើងទទួលបាន a1 = a1 ។ ប្រសិនបើ n = 2 បន្ទាប់មក a = b * a1 ហើយម្តងទៀតយើងមកដល់និយមន័យនៃស៊េរីលេខដែលកំពុងពិចារណា។ ហេតុផលស្រដៀងគ្នាអាចត្រូវបានបន្តសម្រាប់តម្លៃធំនៃ n ។

ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

លេខ b កំណត់ទាំងស្រុងនូវតួអក្សរដែលស៊េរីលេខទាំងមូលនឹងមាន។ ភាគបែង b អាចជាវិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬធំជាង ឬតិចជាងមួយ។ ជម្រើសខាងលើទាំងអស់នាំទៅរកលំដាប់ផ្សេងៗគ្នា៖

• b> 1. មានការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់នៃចំនួនសនិទាន។ ឧទាហរណ៍ 1, 2, 4, 8, ... ប្រសិនបើធាតុ a1 គឺអវិជ្ជមាន នោះលំដាប់ទាំងមូលនឹងកើនឡើងតែម៉ូឌុលប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែការថយចុះដោយគិតគូរពីសញ្ញានៃលេខ។
• b=1. ជាញឹកញយ ករណីបែបនេះមិនត្រូវបានគេហៅថាវឌ្ឍនភាពទេ ព្រោះមានស៊េរីធម្មតានៃលេខសនិទានភាពដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍ -4, -4, -4 ។

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក

មុននឹងបន្តការពិចារណាលើបញ្ហាជាក់លាក់ដោយប្រើភាគបែងនៃប្រភេទនៃវឌ្ឍនភាពដែលកំពុងពិចារណា រូបមន្តសំខាន់គួរតែត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ផលបូកនៃធាតុ n ដំបូងរបស់វា។ រូបមន្តគឺ៖ Sn = (bn − 1) * a1 / (b − 1) ។

អ្នកអាចទទួលបានកន្សោមនេះដោយខ្លួនឯង ប្រសិនបើអ្នកពិចារណាពីលំដាប់បន្តបន្ទាប់គ្នានៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ សូមចំណាំផងដែរថានៅក្នុងរូបមន្តខាងលើវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងតែធាតុទីមួយនិងភាគបែងដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃចំនួនតាមអំពើចិត្ត។

ការថយចុះជាលំដាប់

ខាងលើគឺជាការពន្យល់អំពីអ្វីដែលវាគឺជា។ ឥឡូវនេះដោយដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ Sn ចូរយើងអនុវត្តវាទៅស៊េរីលេខនេះ។ ចាប់តាំងពីលេខណាមួយដែលម៉ូឌុលមិនលើសពី 1 មានទំនោរទៅសូន្យនៅពេលឡើងដល់ថាមពលធំ នោះគឺជា b∞ => 0 ប្រសិនបើ -1

ដោយសារភាពខុសគ្នា (1 - b) នឹងតែងតែមានភាពវិជ្ជមាន ដោយមិនគិតពីតម្លៃនៃភាគបែង សញ្ញានៃផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ S∞ ដែលថយចុះជាលំដាប់គឺត្រូវបានកំណត់ដោយឡែកដោយសញ្ញានៃធាតុទីមួយរបស់វា a1 ។

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាបញ្ហាជាច្រើនដែលយើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបអនុវត្តចំណេះដឹងដែលទទួលបានទៅលេខជាក់លាក់។

លេខកិច្ចការ 1. ការគណនាធាតុដែលមិនស្គាល់នៃវឌ្ឍនភាព និងផលបូក

ដោយគិតពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពគឺ 2 ហើយធាតុទីមួយរបស់វាគឺ 3 ។ តើអ្វីនឹងទៅជាលក្ខខណ្ឌទី 7 និងទី 10 ហើយតើអ្វីជាផលបូកនៃធាតុដំបូងទាំងប្រាំពីររបស់វា?

លក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺសាមញ្ញណាស់ ហើយពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់ដោយផ្ទាល់នៃរូបមន្តខាងលើ។ ដូច្នេះដើម្បីគណនាធាតុជាមួយលេខ n យើងប្រើកន្សោម a = bn-1 * a1 ។ សម្រាប់ធាតុទី 7 យើងមាន: a7 = b6 * a1 ជំនួសទិន្នន័យដែលគេស្គាល់យើងទទួលបាន: a7 = 26 * 3 = 192. យើងធ្វើដូចគ្នាសម្រាប់សមាជិកទី 10: a10 = 29 * 3 = 1536 ។

យើងប្រើរូបមន្តល្បីសម្រាប់ផលបូក ហើយកំណត់តម្លៃនេះសម្រាប់ធាតុ 7 ដំបូងនៃស៊េរី។ យើងមាន: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381 ។

លេខកិច្ចការ 2. កំណត់ផលបូកនៃធាតុបំពាននៃដំណើរការ

សូមឱ្យ -2 ជាភាគបែងនៃដំណើរការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល bn-1 * 4 ដែល n ជាចំនួនគត់។ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ផលបូកពីធាតុទី 5 ដល់ធាតុទី 10 នៃស៊េរីនេះដោយរួមបញ្ចូល។

បញ្ហាដែលចោទឡើងមិនអាចដោះស្រាយដោយផ្ទាល់ដោយប្រើរូបមន្តដែលគេស្គាល់នោះទេ។ វាអាចត្រូវបានដោះស្រាយក្នុង 2 វិធីផ្សេងគ្នា។ សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃភាពពេញលេញយើងបង្ហាញទាំងពីរ។

វិធីសាស្រ្ត 1. គំនិតរបស់វាគឺសាមញ្ញ៖ អ្នកត្រូវគណនាផលបូកដែលត្រូវគ្នាទាំងពីរនៃពាក្យទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកដកមួយទៀតចេញពីមួយ។ គណនាផលបូកតូច៖ S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364 ។ ឥឡូវនេះយើងគណនាផលបូកធំ: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20 ។ ចំណាំថានៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយមានតែ 4 ពាក្យប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានបូកសរុបព្រោះថាលេខ 5 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលរួចហើយនៅក្នុងផលបូកដែលត្រូវការគណនាតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ទីបំផុតយើងយកភាពខុសគ្នា៖ S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344 ។

វិធីទី 2. មុននឹងជំនួសលេខ និងរាប់ អ្នកអាចទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូករវាងពាក្យ m និង n នៃស៊េរីក្នុងសំណួរ។ យើងធ្វើសកម្មភាពដូចគ្នាទៅនឹងវិធីទី 1 ដែរ មានតែយើងធ្វើការដំបូងជាមួយតំណាងនិមិត្តសញ្ញានៃផលបូក។ យើងមាន៖ Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . អ្នកអាចជំនួសលេខដែលគេស្គាល់ទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល ហើយគណនាលទ្ធផលចុងក្រោយ៖ S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344 ។

លេខកិច្ចការ 3. តើភាគបែងជាអ្វី?

អនុញ្ញាតឱ្យ a1 = 2 ស្វែងរកភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ផ្តល់ថាផលបូកគ្មានកំណត់របស់វាគឺ 3 ហើយវាត្រូវបានគេដឹងថានេះជាស៊េរីលេខដែលថយចុះ។

តាម​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​បញ្ហា វា​មិន​ពិបាក​ទាយ​ថា​គួរ​ប្រើ​រូបមន្ត​ណា​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​នោះ​ទេ។ ជាការពិតណាស់សម្រាប់ផលបូកនៃការថយចុះឥតឈប់ឈរ។ យើងមានៈ S∞ = a1 / (1 − ខ) ។ ពីកន្លែងដែលយើងបង្ហាញភាគបែង៖ b = 1 − a1 / S∞ ។ វានៅសល់ដើម្បីជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់ និងទទួលបានលេខដែលត្រូវការ៖ b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 ឬ -0.333 (3) ។ យើង​អាច​ពិនិត្យ​លទ្ធផល​នេះ​តាម​លក្ខណៈ​គុណភាព ប្រសិនបើ​យើង​ចងចាំ​ថា​សម្រាប់​ប្រភេទ​នៃ​លំដាប់​នេះ ម៉ូឌុល b មិន​ត្រូវ​ទៅ​ហួស​ពី 1 ។ ដូច​អ្នក​ឃើញ​ហើយ |-1/3|

លេខកិច្ចការ 4. ការស្ដារស៊េរីលេខ

អនុញ្ញាតឱ្យធាតុ 2 នៃស៊េរីលេខមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ ទី 5 ស្មើនឹង 30 ហើយទី 10 ស្មើនឹង 60 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្ដារស៊េរីទាំងមូលពីទិន្នន័យទាំងនេះ ដោយដឹងថាវាបំពេញលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា ដំបូងអ្នកត្រូវតែសរសេរកន្សោមដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់សមាជិកនីមួយៗដែលគេស្គាល់។ យើងមាន: a5 = b4 * a1 និង a10 = b9 * a1 ។ ឥឡូវនេះយើងបែងចែកកន្សោមទីពីរដោយទីមួយយើងទទួលបាន: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 ។ ពីទីនេះយើងកំណត់ភាគបែងដោយយកឫសដឺក្រេទីប្រាំនៃសមាមាត្រនៃសមាជិកដែលគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា b = 1.148698 ។ យើងជំនួសលេខលទ្ធផលទៅជាកន្សោមមួយសម្រាប់ធាតុដែលគេស្គាល់ យើងទទួលបាន៖ a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966 ។

ដូច្នេះហើយ យើងបានរកឃើញអ្វីដែលភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព bn គឺ ហើយការវិវត្តធរណីមាត្រ bn-1 * 17.2304966 = an ដែល b = 1.148698 ។

តើដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើនៅឯណា?

ប្រសិនបើមិនមានការអនុវត្តស៊េរីលេខនេះក្នុងការអនុវត្តទេ នោះការសិក្សារបស់វានឹងត្រូវកាត់បន្ថយទៅជាចំណាប់អារម្មណ៍ទ្រឹស្តីសុទ្ធសាធ។ ប៉ុន្តែមានកម្មវិធីបែបនេះ។

ឧទាហរណ៍ដ៏ល្បីបំផុតចំនួន ៣ ត្រូវបានរាយខាងក្រោម៖

• ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Zeno ដែល Achilles រហ័សរហួនមិនអាចចាប់បានជាមួយអណ្តើកយឺតត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើគំនិតនៃលំដាប់លេខដែលថយចុះឥតកំណត់។
• ប្រសិនបើគ្រាប់ស្រូវសាលីត្រូវបានដាក់នៅលើក្រឡានីមួយៗនៃក្តារអុក ដូច្នេះគ្រាប់ធញ្ញជាតិ 1 ត្រូវបានដាក់នៅលើក្រឡាទី 1 ទី 2 - នៅថ្ងៃទី 2 ទី 3 - នៅលើទី 3 ហើយដូច្នេះនៅលើនោះ គ្រាប់ធញ្ញជាតិ 18446744073709551615 នឹងត្រូវការដើម្បីបំពេញកោសិកាទាំងអស់នៃ ក្រុមប្រឹក្សាភិបាល!
• នៅក្នុងហ្គេម "ប៉មហាណូយ" ដើម្បីរៀបចំថាសពីដំបងមួយទៅដំបងមួយទៀត វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើប្រតិបត្តិការ 2n - 1 ពោលគឺចំនួនរបស់ពួកគេកើនឡើងជានិទស្សន្តពីចំនួនថាសដែលបានប្រើ។

មេរៀនដែលពាក់ព័ន្ធ “ការវិវត្តន៍ធរណីមាត្រថយចុះឥតកំណត់” (ពិជគណិតថ្នាក់ទី១០)

គោលបំណងនៃមេរៀន៖ការណែនាំសិស្សអំពីប្រភេទថ្មីនៃលំដាប់ - ដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតឈប់ឈរ។

ឧបករណ៍៖ម៉ាស៊ីនបញ្ចាំង, អេក្រង់។

ប្រភេទមេរៀន៖មេរៀន - ធ្វើជាម្ចាស់លើប្រធានបទថ្មី។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

ខ្ញុំ . អង្គការ ពេល សារអំពីប្រធានបទ និងគោលបំណងនៃមេរៀន។

II . ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងរបស់សិស្ស។

នៅថ្នាក់ទី 9 អ្នកបានសិក្សាការវិវត្តនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រ។

សំណួរ

1. និយមន័យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ (ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ដែលពាក្យនីមួយៗ ចាប់ផ្តើមពីពាក្យទីពីរ គឺស្មើនឹងពាក្យមុនដែលបានបន្ថែមទៅលេខដូចគ្នា។)

2. រូបមន្ត ន- សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ (
)

3. រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃទីមួយ នសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។

(
ឬ
)

4. និយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ (ការវិវត្តនៃធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់នៃលេខដែលមិនមែនជាសូន្យ ដែលពាក្យនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺស្មើនឹងពាក្យមុនដែលគុណនឹងចំនួនដូចគ្នា។)

5. រូបមន្ត ន- សមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ (

)

6. រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃទីមួយ នសមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ (
)

7. តើរូបមន្តអ្វីខ្លះដែលអ្នកនៅតែដឹង?

(
កន្លែងណា
;
;
;
,
)

5. សម្រាប់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
ស្វែងរកពាក្យទីប្រាំ។

6. សម្រាប់ដំណើរការធរណីមាត្រ
ស្វែងរក ន- សមាជិក។

7. និទស្សន្ត ខ 3 = 8 និង ខ 5 = 2 . ស្វែងរក ខ 4 . (4)

8. និទស្សន្ត ខ 3 = 8 និង ខ 5 = 2 . ស្វែងរក ខ 1 និង q .

9. និទស្សន្ត ខ 3 = 8 និង ខ 5 = 2 . ស្វែងរក ស 5 . (62)

III . ស្វែងរកប្រធានបទថ្មី។(បទបង្ហាញនៃបទបង្ហាញ) ។

ពិចារណាការ៉េដែលមានជ្រុងស្មើ 1។ ចូរគូរការ៉េមួយទៀត ជ្រុងដែលស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃការ៉េទីមួយ បន្ទាប់មកមួយទៀត ជ្រុងដែលស្មើនឹងពាក់កណ្តាលទីពីរ បន្ទាប់មកមួយបន្ទាប់ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ រាល់ពេលដែលផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េថ្មីគឺពាក់កណ្តាលមុន។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានលំដាប់នៃជ្រុងនៃការ៉េ បង្កើតដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង។

ហើយអ្វីដែលសំខាន់ ពេលដែលយើងសាងសង់ការ៉េបែបនេះកាន់តែច្រើន ជ្រុងនៃការ៉េនឹងកាន់តែតូច។ ឧទាហរណ៍,

ទាំងនោះ។ នៅពេលដែលចំនួន n កើនឡើង លក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការឈានដល់សូន្យ។

ដោយមានជំនួយពីតួលេខនេះលំដាប់មួយបន្ថែមទៀតអាចត្រូវបានពិចារណា។

ឧទាហរណ៍ លំដាប់នៃតំបន់នៃការ៉េ៖

. ហើយម្តងទៀតប្រសិនបើ នកើនឡើងដោយគ្មានកំណត់ បន្ទាប់មកតំបន់នេះខិតជិតសូន្យដោយបិទតាមអំពើចិត្ត។

សូម​ពិចារណា​ឧទាហរណ៍​មួយ​ទៀត។ ត្រីកោណសមមូលដែលមានផ្នែកម្ខាងនៃ 1 សង់ទីម៉ែត្រ។ ចូរយើងសង់ត្រីកោណបន្ទាប់ជាមួយចំនុចកំពូលនៅចំកណ្តាលនៃជ្រុងម្ខាងនៃត្រីកោណទី 1 យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទនៃត្រីកោណកណ្តាល - ជ្រុងនៃទីពីរគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្នែកទីមួយនៃផ្នែកទី 3 គឺពាក់កណ្តាលនៃចំហៀងនៃ ទី 2 ជាដើម។ ជាថ្មីម្តងទៀតយើងទទួលបានលំដាប់នៃប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណ។

នៅ
.

ប្រសិនបើយើងពិចារណាពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយនឹងភាគបែងអវិជ្ជមាន។

បន្ទាប់មកម្តងទៀតជាមួយនឹងការកើនឡើងចំនួន នលក្ខខណ្ឌនៃវិធីសាស្រ្តដំណើរការសូន្យ។

ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះភាគបែងនៃលំដាប់ទាំងនេះ។ គ្រប់ទីកន្លែងដែលភាគបែងមានតិចជាង 1 ម៉ូឌុល។

យើងអាចសន្និដ្ឋានបាន៖ ដំណើរការធរណីមាត្រនឹងថយចុះជាលំដាប់ ប្រសិនបើម៉ូឌុលនៃភាគបែងរបស់វាតិចជាង 1។

និយមន័យ៖

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានគេនិយាយថានឹងថយចុះជាលំដាប់ ប្រសិនបើម៉ូឌុលនៃភាគបែងរបស់វាតិចជាងមួយ។
.

ដោយមានជំនួយពីនិយមន័យ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយសំណួរថាតើវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រមានការថយចុះឬអត់។

កិច្ចការមួយ។

តើ​លំដាប់​នេះ​ជា​ការ​វិវត្ត​ធរណីមាត្រ​ដែល​មាន​ការ​ថយ​ចុះ​ឥត​ឈប់​ឈរ ប្រសិន​បើ​វា​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​រូបមន្ត៖

;
.

ដំណោះស្រាយ៖

. ចូរយើងស្វែងរក q .

;
;
;
.

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនេះកំពុងថយចុះជាលំដាប់។

ខ)លំដាប់​នេះ​មិន​មែន​ជា​ការ​រីក​ចម្រើន​ធរណីមាត្រ​ដែល​មាន​ការ​ថយ​ចុះ​ឥត​កំណត់​នោះ​ទេ។

ពិចារណាការ៉េដែលមានជ្រុងស្មើ 1. ចែកវាពាក់កណ្តាល មួយពាក់កណ្តាលម្តងទៀត ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត។ តំបន់នៃចតុកោណកែងលទ្ធផលទាំងអស់បង្កើតជាដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់៖

ផលបូកនៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែងទាំងអស់ដែលទទួលបានតាមវិធីនេះនឹងស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃការ៉េទី 1 និងស្មើនឹង 1 ។