វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ឬវិធីសាស្ត្រ Lagrange គឺជាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ និងសមីការ Bernoulli ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយគឺជាសមីការនៃទម្រង់ y'+p(x)y=q(x)។ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំគឺសូន្យ៖ y'+p(x)y=0 នោះនេះគឺជាលីនេអ៊ែរ ដូចគ្នាសមីការលំដាប់ទី១។ ដូច្នោះហើយ សមីការដែលមានផ្នែកខាងស្តាំមិនសូន្យ y'+p(x)y=q(x), — ខុសគ្នាសមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1 ។

វិធីសាស្ត្របំរែបំរួលថេរដោយបំពាន (វិធីសាស្ត្រ Lagrange) រួមមានដូចខាងក្រោមៈ

1) យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការដូចគ្នា y'+p(x)y=0: y=y*។

2) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ C ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាមិនមែនជាថេរ ប៉ុន្តែមុខងារនៃ x: C = C(x) ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃដំណោះស្រាយទូទៅ (y*)' ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់ y* និង (y*)' ទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ពីសមីការលទ្ធផល យើងរកឃើញអនុគមន៍ С(x)។

3) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous ជំនួសឱ្យ C យើងជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ C (x) ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍អំពីវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត។ ចូរយើងយកភារកិច្ចដូចគ្នាដូចនៅក្នុង ប្រៀបធៀបដំណើរនៃដំណោះស្រាយ ហើយត្រូវប្រាកដថាចម្លើយដែលទទួលបានគឺដូចគ្នា។

1) y'=3x-y/x

ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ (ផ្ទុយពីវិធីសាស្ត្រ Bernoulli ដែលយើងត្រូវការសញ្ញាណដើម្បីមើលថាសមីការគឺលីនេអ៊ែរ)។

y'+y/x=3x (I)។ ឥឡូវ​យើង​ទៅ​តាម​គម្រោង។

1) យើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា y'+y/x=0 ។ នេះគឺជាសមីការអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ តំណាង y'=dy/dx, ជំនួស៖ dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x ។ យើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ dx ហើយចែកនឹង xy≠0៖ dy/y=-dx/x ។ យើងរួមបញ្ចូលៈ

2) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅដែលទទួលបាននៃសមីការដូចគ្នា យើងនឹងពិចារណា С មិនមែនជាថេរទេ ប៉ុន្តែជាមុខងារនៃ x: С = С (x) ។ ពី​ទីនេះ

កន្សោមលទ្ធផលត្រូវបានជំនួសដោយលក្ខខណ្ឌ (I)៖

យើងរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ៖

នៅទីនេះ C គឺជាចំនួនថេរថ្មីរួចទៅហើយ។

3) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា y \u003d C / x ដែលយើងចាត់ទុក C \u003d C (x) នោះគឺ y \u003d C (x) / x ជំនួសឱ្យ C (x) យើងជំនួស បានរកឃើញកន្សោម x³ + C: y \u003d (x³ +C)/x ឬ y=x²+C/x ។ យើង​បាន​ចម្លើយ​ដូច​គ្នា​នឹង​ពេល​ដោះស្រាយ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ Bernoulli។

ចម្លើយ៖ y=x²+C/x។

2) y' + y = cosx ។

នៅទីនេះសមីការត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ស្តង់ដាររួចហើយ មិនចាំបាច់បំប្លែងទេ។

1) យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx ។ យើងរួមបញ្ចូលៈ

ដើម្បីទទួលបានសញ្ញាណដែលងាយស្រួលជាង យើងនឹងយកនិទស្សន្តទៅជាថាមពល C ជា C ថ្មី៖

ការបំប្លែងនេះត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកដេរីវេ។

2) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅដែលទទួលបាននៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា យើងចាត់ទុកថា С មិនមែនជាថេរទេ ប៉ុន្តែជាមុខងារនៃ x: С = С (x) ។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនេះ។

កន្សោមលទ្ធផល y និង y ត្រូវបានជំនួសក្នុងលក្ខខណ្ឌ៖

គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ

យើងធ្វើសមាហរណកម្មផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ ដោយប្រើរូបមន្តធ្វើសមាហរណកម្មដោយផ្នែក យើងទទួលបាន៖

នៅទីនេះ C លែងជាមុខងារទៀតហើយ ប៉ុន្តែជាថេរធម្មតា។

3) ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous

យើងជំនួសមុខងារដែលបានរកឃើញ С(x)៖

យើង​បាន​ចម្លើយ​ដូច​គ្នា​នឹង​ពេល​ដោះស្រាយ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ Bernoulli។

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរដែលបំពានក៏អាចអនុវត្តបានចំពោះការដោះស្រាយ។

y'x+y=-xy²។

យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖ y'+y/x=-y² (II) ។

1) យើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា y'+y/x=0 ។ dy/dx=-y/x ។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ dx ហើយចែកដោយ y: dy/y=-dx/x ។ ឥឡូវ​យើង​រួម​បញ្ចូល៖

យើងជំនួសកន្សោមដែលទទួលបានទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ (II)៖

ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

យើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបានសម្រាប់ C និង x៖

នៅទីនេះ C គឺជាថេរធម្មតារួចទៅហើយ។ នៅក្នុងដំណើរការនៃការធ្វើសមាហរណកម្ម ជំនួសឱ្យ C(x) យើងគ្រាន់តែសរសេរ C ដើម្បីកុំឱ្យលើសទម្ងន់កំណត់។ ហើយនៅទីបញ្ចប់ យើងបានត្រលប់ទៅ C(x) ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំ C(x) ជាមួយ C ថ្មី។

3) យើងជំនួសមុខងារដែលបានរកឃើញ С(x) ទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា y=C(x)/x:

យើង​បាន​ចម្លើយ​ដូច​គ្នា​នឹង​ពេល​ដោះស្រាយ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ Bernoulli។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង៖

1. ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ៖ y'-2y=x ។

1) យើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា y'-2y=0 ។ y'=dy/dx ដូច្នេះ dy/dx=2y គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ dx ចែកដោយ y និងរួមបញ្ចូល៖

ពីទីនេះយើងរកឃើញ y:

យើងជំនួសកន្សោមសម្រាប់ y ​​និង y ទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ (សម្រាប់ភាពសង្ខេប យើងនឹងបញ្ចូល C ជំនួសឱ្យ C (x) និង C' ជំនួសឱ្យ C "(x)):

ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៅជ្រុងខាងស្តាំ យើងប្រើរូបមន្ត integration-by-parts៖

ឥឡូវនេះយើងជំនួស u, du និង v ទៅក្នុងរូបមន្ត៖

នៅទីនេះ C = const ។

3) ឥឡូវនេះយើងជំនួសចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយនៃភាពដូចគ្នា។

ធម្មទេសនា 44. សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ នៃលំដាប់ទីពីរ។ វិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃអថេរបំពាន។ សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ (ផ្នែកខាងស្តាំពិសេស) ។

ការផ្លាស់ប្តូរសង្គម។ រដ្ឋ និងសាសនាចក្រ។

គោលនយោបាយសង្គមរបស់ Bolsheviks ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងទូលំទូលាយដោយវិធីសាស្រ្តថ្នាក់របស់ពួកគេ។ដោយក្រឹត្យចុះថ្ងៃទី 10 ខែវិច្ឆិកា ឆ្នាំ 1917 ប្រព័ន្ធអចលនវត្ថុត្រូវបានលុបចោល ឋានៈមុនបដិវត្តន៍ ឋានៈ និងរង្វាន់ត្រូវបានលុបចោល។ ការបោះឆ្នោតជ្រើសរើសចៅក្រមត្រូវបានបង្កើតឡើង; ការបែងចែករដ្ឋស៊ីវិលត្រូវបានអនុវត្ត។ បានបង្កើតការអប់រំ និងការថែទាំសុខភាពដោយឥតគិតថ្លៃ (ក្រឹត្យចុះថ្ងៃទី៣១ ខែតុលា ឆ្នាំ១៩១៨)។ ស្ត្រីត្រូវបានសមភាពក្នុងសិទ្ធិជាមួយបុរស (ក្រឹត្យថ្ងៃទី 16 និង 18 ខែធ្នូឆ្នាំ 1917) ។ ក្រឹត្យស្តីពីអាពាហ៍ពិពាហ៍បានណែនាំស្ថាប័ននៃអាពាហ៍ពិពាហ៍ស៊ីវិល។

ដោយក្រឹត្យរបស់ក្រុមប្រឹក្សាប្រជាជននៃថ្ងៃទី 20 ខែមករាឆ្នាំ 1918 ព្រះវិហារត្រូវបានបំបែកចេញពីរដ្ឋនិងពីប្រព័ន្ធអប់រំ។ ទ្រព្យសម្បត្តិព្រះវិហារភាគច្រើនត្រូវបានរឹបអូស។ អយ្យកោ Tikhon នៃទីក្រុងមូស្គូ និងប្រទេសរុស្ស៊ីទាំងអស់ (ជាប់ឆ្នោតនៅថ្ងៃទី 5 ខែវិច្ឆិកា ឆ្នាំ 1917) នៅថ្ងៃទី 19 ខែមករា ឆ្នាំ 1918 បានធ្វើឱ្យមានអំណាចសូវៀតយ៉ាងខ្លាំង ហើយបានអំពាវនាវឱ្យមានការប្រយុទ្ធប្រឆាំងនឹងក្រុម Bolsheviks ។

ពិចារណាសមីការលំដាប់ទីពីរមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរ

រចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការបែបនេះត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោមៈ

ទ្រឹស្តីបទ ១.ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការមិនដូចគ្នា (1) ត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំនួននៃសមីការនេះ និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា

ភស្តុតាង. យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា ផលបូក

គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ (១)។ ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនថាមុខងារ (3) គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ (1) ។

ការជំនួសផលបូកទៅជាសមីការ (1) ជំនួសវិញ។ នៅ, នឹង​មាន

ដោយសារមានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (2) កន្សោមក្នុងតង្កៀបទីមួយគឺដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យ។ ដោយសារមានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ (1) កន្សោមក្នុងតង្កៀបទីពីរគឺស្មើនឹង f(x). ដូច្នេះ សមភាព (៤) ជាអត្តសញ្ញាណ។ ដូច្នេះផ្នែកដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញ។

ចូរយើងបញ្ជាក់ការអះអាងទីពីរ៖ ការបញ្ចេញមតិ (៣) គឺ ទូទៅដំណោះស្រាយនៃសមីការ (1) ។ យើងត្រូវតែបញ្ជាក់ថា ថេរបំពានដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្សោមនេះអាចត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានពេញចិត្ត៖

លេខអ្វីក៏ដោយ។ x 0 , y 0និង (ប្រសិនបើ x 0ត្រូវបានយកចេញពីតំបន់ដែលមានមុខងារ a 1 , a 2និង f(x)បន្ត) ។

ដោយកត់សំគាល់ថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីតំណាងនៅក្នុងទម្រង់។ បន្ទាប់មកដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌ (5) យើងមាន

ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះហើយស្វែងរក ពី 1និង ពី ២. ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញដូចតទៅ៖

ចំណាំថាកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺជាកត្តាកំណត់ Wronsky សម្រាប់មុខងារ ១និង នៅ 2នៅចំណុច x=x 0. ដោយសារមុខងារទាំងនេះមានភាពឯករាជ្យតាមលីនេអ៊ែរដោយការសន្មត់ កត្តាកំណត់ Wronsky មិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធ (6) មានដំណោះស្រាយច្បាស់លាស់ ពី 1និង ពី ២, i.e. មានតម្លៃបែបនេះ ពី 1និង ពី ២ដែលរូបមន្ត (3) កំណត់ដំណោះស្រាយនៃសមីការ (1) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ Q.E.D.

ចូរយើងងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការ inhomogeneous ។

ចូរយើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា (2)

យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការ inhomogeneous (1) ក្នុងទម្រង់ (7) ដោយពិចារណា។ ពី 1និង ពី ២ដូចជាលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួនដែលមិនទាន់ស្គាល់ពី X.

ចូរយើងបែងចែកសមភាព (៧)៖

យើងជ្រើសរើសមុខងារដែលចង់បាន ពី 1និង ពី ២ដូច្នេះសមភាព

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌបន្ថែមនេះត្រូវបានយកទៅក្នុងគណនីនោះ ដេរីវេទី 1 យកទម្រង់

ឥឡូវ​នេះ​ការ​បែងចែក​កន្សោម​នេះ យើង​រក​ឃើញ៖

ជំនួសដោយសមីការ (1) យើងទទួលបាន

កន្សោម​ក្នុង​តង្កៀប​ពីរ​ដំបូង​បាត់​ដោយ​សារ​តែ​ y ១និង y2គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នា។ ដូច្នេះ សមភាពចុងក្រោយយកទម្រង់

ដូច្នេះ អនុគមន៍ (7) នឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការមិនដូចគ្នា (1) ប្រសិនបើអនុគមន៍ ពី 1និង ពី ២បំពេញសមីការ (8) និង (9) ។ ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធនៃសមីការពីសមីការ (8) និង (9) ។

ដោយសារកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺជាកត្តាកំណត់ Vronsky សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ y ១និង y2សមីការ (2) បន្ទាប់មកវាមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ ដូច្នេះការដោះស្រាយប្រព័ន្ធយើងនឹងរកឃើញមុខងារជាក់លាក់ទាំងពីរនៃ X:

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងរកឃើញថាមកពីណា ជាលទ្ធផលនៃសមាហរណកម្ម យើងទទួលបាន។ បន្ទាប់មក យើងជំនួសអនុគមន៍ដែលបានរកឃើញទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous ដែលជាចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលំដាប់ខ្ពស់ជាមួយនឹងមេគុណថេរដោយវិធីសាស្ត្រនៃបំរែបំរួលនៃថេរ Lagrange ត្រូវបានពិចារណា។ វិធីសាស្ត្រ Lagrange ក៏អាចអនុវត្តបានចំពោះការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរមិនដូចគ្នា ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាត្រូវបានគេស្គាល់។

មាតិកា

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

វិធីសាស្រ្ត Lagrange (បំរែបំរួលនៃថេរ)

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នាបេះបិទជាមួយនឹងមេគុណថេរនៃលំដាប់ទី 0 បំពាន៖
(1) .
វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលថេរ ដែលយើងពិចារណាសម្រាប់សមីការលំដាប់ទីមួយ ក៏អាចអនុវត្តបានចំពោះសមីការនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងនេះ។

ដំណោះស្រាយត្រូវបានអនុវត្តជាពីរដំណាក់កាល។ នៅដំណាក់កាលដំបូង យើងបោះបង់ផ្នែកខាងស្តាំ ហើយដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានដំណោះស្រាយដែលមាន n arbitrary constants ។ នៅជំហានទីពីរយើងផ្លាស់ប្តូរចំនួនថេរ។ នោះគឺយើងពិចារណាថាថេរទាំងនេះគឺជាមុខងារនៃអថេរ x និងស្វែងរកទម្រង់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។

ទោះបីជាយើងកំពុងពិចារណាសមីការជាមួយមេគុណថេរនៅទីនេះ ប៉ុន្តែ វិធីសាស្ត្រ Lagrange ក៏អាចអនុវត្តបានផងដែរក្នុងការដោះស្រាយសមីការមិនដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ. ចំពោះបញ្ហានេះ ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាត្រូវតែដឹង។

ជំហានទី 1. ដំណោះស្រាយនៃសមីការ homogeneous

ដូចនៅក្នុងករណីនៃសមីការលំដាប់ទីមួយ យើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous ជាដំបូងដែលសមីការផ្នែក inhomogeneous ត្រឹមត្រូវទៅសូន្យ៖
(2) .
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការបែបនេះមានទម្រង់៖
(3) .
នេះគឺជាអថេរដែលបំពាន - n ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការ homogeneous (2) ដែលបង្កើតជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ។

ជំហាន 2. បំរែបំរួលនៃថេរ - ការជំនួសថេរដោយអនុគមន៍

នៅក្នុងជំហានទីពីរ យើងនឹងដោះស្រាយជាមួយនឹងការប្រែប្រួលនៃថេរ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត យើងនឹងជំនួសថេរដោយមុខងារនៃអថេរ x :
.
នោះគឺយើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើម (1) ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
(4) .

ប្រសិនបើយើងជំនួស (4) ទៅជា (1) យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមួយសម្រាប់អនុគមន៍ n ។ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចភ្ជាប់មុខងារទាំងនេះជាមួយនឹងសមីការបន្ថែម។ បន្ទាប់មកអ្នកទទួលបានសមីការ n ដែលអ្នកអាចកំណត់មុខងារ n ។ សមីការបន្ថែមអាចត្រូវបានសរសេរតាមវិធីផ្សេងៗ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងធ្វើវាតាមរបៀបដែលដំណោះស្រាយមានទម្រង់សាមញ្ញបំផុត។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ ពេល​ធ្វើ​ការ​ខុស​គ្នា អ្នក​ត្រូវ​ប្រើ​ពាក្យ​សូន្យ​ដែល​មាន​ដេរីវេនៃ​មុខងារ។ សូម​បង្ហាញ​ពី​ការ​នេះ។

ដើម្បីជំនួសដំណោះស្រាយដែលបានស្នើឡើង (4) ទៅក្នុងសមីការដើម (1) យើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ n ដំបូងនៃអនុគមន៍ដែលសរសេរក្នុងទម្រង់ (4)។ ភាពខុសគ្នា (4) ដោយអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃផលបូក និងផលិតផល៖
.
តោះសមាជិកក្រុម។ ជាដំបូង យើងសរសេរពាក្យជាមួយនឹងដេរីវេនៃ ហើយបន្ទាប់មកពាក្យដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុនៃ៖

.
យើងដាក់លក្ខខណ្ឌដំបូងលើមុខងារ៖
(5.1) .
បន្ទាប់មកកន្សោមសម្រាប់ដេរីវេទី 1 ទាក់ទងនឹង នឹងមានទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះ៖
(6.1) .

ដូចគ្នាដែរ យើងរកឃើញដេរីវេទី ២៖

.
យើងដាក់លក្ខខណ្ឌទីពីរលើមុខងារ៖
(5.2) .
បន្ទាប់មក
(6.2) .
ល។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ថែម យើងយកលក្ខខណ្ឌដែលមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ទៅជាសូន្យ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសសមីការបន្ថែមខាងក្រោមសម្រាប់អនុគមន៍៖
(5.k) ,
បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុដំបូងដែលទាក់ទងនឹង នឹងមានទម្រង់សាមញ្ញបំផុត៖
(6.k) .
នៅទីនេះ

យើងរកឃើញដេរីវេទី 9៖
(6.n)
.

យើងជំនួសសមីការដើម (1)៖
(1) ;






.
យើងពិចារណាថាមុខងារទាំងអស់បំពេញសមីការ (2)៖
.
បន្ទាប់មកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដែលមានផ្តល់ឱ្យសូន្យ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖
(7) .

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុ៖
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងរកឃើញកន្សោមសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុជាមុខងារនៃ x ។ ការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន៖
.
នេះគឺជាចំនួនថេរដែលលែងពឹងផ្អែកលើ x ។ ជំនួស (4) យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដើម។

ចំណាំថាយើងមិនដែលប្រើការពិតដែលថាមេគុណ a i គឺថេរដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃដេរីវេ។ ដូច្នេះ វិធីសាស្ត្រ Lagrange អាចអនុវត្តបានដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនដូចគ្នាលីនេអ៊ែរប្រសិនបើប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នា (2) ត្រូវបានគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការដោយវិធីសាស្ត្របំរែបំរួលនៃថេរ (Lagrange) ។


ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍ >>

សូម​មើល​ផង​ដែរ: ដំណោះស្រាយនៃសមីការលំដាប់ទីមួយដោយវិធីសាស្ត្របំរែបំរួលថេរ (Lagrange)
ការដោះស្រាយសមីការលំដាប់ខ្ពស់ជាងដោយវិធីសាស្ត្រ Bernoulli
ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ខ្ពស់ដែលមិនស្មើគ្នាជាមួយមេគុណថេរដោយការជំនួសលីនេអ៊ែរ

អប្បបរមាទ្រឹស្តី

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល មានវិធីសាស្រ្តមួយដែលអះអាងថាមានកម្រិតសកលខ្ពស់គ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ទ្រឹស្តីនេះ។
យើងកំពុងនិយាយអំពីវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ដែលអាចអនុវត្តបានចំពោះដំណោះស្រាយនៃថ្នាក់ផ្សេងៗនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងពួកវា។
ប្រព័ន្ធ។ នេះពិតជាករណីនៅពេលដែលទ្រឹស្តី - ប្រសិនបើអ្នកយកភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ចេញពីតង្កៀប - គឺតិចតួចបំផុត ប៉ុន្តែអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសម្រេចបាន
លទ្ធផលសំខាន់ ដូច្នេះការផ្តោតសំខាន់នឹងផ្តោតលើឧទាហរណ៍។

គំនិតទូទៅនៃវិធីសាស្រ្តគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការបង្កើត។ អនុញ្ញាតឱ្យសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ប្រព័ន្ធនៃសមីការ) ពិបាកក្នុងការដោះស្រាយឬសូម្បីតែមិនអាចយល់បាន,
របៀបដោះស្រាយវា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅពេលដែលពាក្យមួយចំនួនត្រូវបានដកចេញពីសមីការ វាត្រូវបានដោះស្រាយ។ បន្ទាប់មកពួកគេដោះស្រាយសាមញ្ញបែបនេះ
សមីការ (ប្រព័ន្ធ) ទទួលបានដំណោះស្រាយដែលមានចំនួនជាក់លាក់នៃថេរបំពាន - អាស្រ័យលើលំដាប់នៃសមីការ (ចំនួន
សមីការក្នុងប្រព័ន្ធ)។ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានសន្មត់ថាថេរនៅក្នុងដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញមិនមែនជាថេរពិតប្រាកដទេដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ
ត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម (ប្រព័ន្ធ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ឬប្រព័ន្ធសមីការ) ត្រូវបានទទួលដើម្បីកំណត់ "ថេរ" ។
មានភាពជាក់លាក់ជាក់លាក់មួយក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្តចំពោះបញ្ហាផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែទាំងនេះគឺជាព័ត៌មានលម្អិតរួចហើយដែលនឹងត្រូវបាន
បង្ហាញជាមួយឧទាហរណ៍។

ចូរយើងពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានូវដំណោះស្រាយនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង, i.e. សមីការនៃទម្រង់
.
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការអនាមិកលីនេអ៊ែរ គឺជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់។
សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចូរយើងសន្មត់ថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាត្រូវបានរកឃើញរួចហើយ ពោលគឺប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ (FSR) ត្រូវបានសាងសង់ឡើង។
. បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous គឺ .
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់ណាមួយនៃសមីការ inhomogeneous ។ ចំពោះបញ្ហានេះ ថេរត្រូវបានចាត់ទុកថាអាស្រ័យលើអថេរ។
បន្ទាប់អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
.
ទ្រឹស្តីធានាថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតនេះទាក់ទងទៅនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
នៅពេលដែលមុខងារខ្លួនឯងត្រូវបានរកឃើញ ថេរការរួមបញ្ចូលមិនលេចឡើងទេ៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ដំណោះស្រាយណាមួយត្រូវបានស្វែងរក។

នៅក្នុងករណីនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយនៃទម្រង់

ក្បួនដោះស្រាយស្ទើរតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។ ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក FSR នៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការ បង្កើតម៉ាទ្រីសជាមូលដ្ឋាន
ប្រព័ន្ធ ជួរឈរដែលជាធាតុនៃ FSR ។ បន្ទាប់គឺសមីការ
.
ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធ យើងកំណត់មុខងារ ដូច្នេះការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះប្រព័ន្ធដើម
(ម៉ាទ្រីសមូលដ្ឋានត្រូវបានគុណដោយជួរឈរលក្ខណៈពិសេសដែលបានរកឃើញ) ។
យើងបន្ថែមវាទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើមូលដ្ឋាននៃ FSR ដែលបានរកឃើញរួចហើយ។
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដើមត្រូវបានទទួល។

ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ១ សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ.

ចូរយើងពិចារណាសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា (យើងកំណត់មុខងារដែលត្រូវការដោយ :
.
សមីការនេះត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយការបំបែកអថេរ៖

.
ឥឡូវនេះយើងតំណាងឱ្យដំណោះស្រាយនៃសមីការដើមនៅក្នុងទម្រង់ កន្លែងដែលមុខងារមិនទាន់ត្រូវបានរកឃើញ។
យើងជំនួសប្រភេទនៃដំណោះស្រាយនេះទៅក្នុងសមីការដើម៖
.
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញពាក្យទីពីរនិងទីបីនៅខាងឆ្វេងលុបចោលគ្នាទៅវិញទៅមក - នេះគឺជាលក្ខណៈនៃវិធីសាស្រ្តនៃការប្រែប្រួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត។

នៅទីនេះរួចទៅហើយ - ជាការពិតថេរតាមអំពើចិត្ត។ ដូច្នេះ
.

ឧទាហរណ៍ ២ សមីការ Bernoulli.

យើងធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាទៅនឹងឧទាហរណ៍ទីមួយ - យើងដោះស្រាយសមីការ

វិធីសាស្រ្តបំបែកនៃអថេរ។ វានឹងប្រែជាចេញ ដូច្នេះយើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃសមីការដើមក្នុងទម្រង់
.
ជំនួសមុខងារនេះទៅក្នុងសមីការដើម៖
.
ហើយម្តងទៀតមានការកាត់:
.
នៅទីនេះអ្នកត្រូវចងចាំដើម្បីធ្វើឱ្យប្រាកដថានៅពេលបែងចែកដោយដំណោះស្រាយមិនបាត់បង់ទេ។ ហើយ​ករណី​ត្រូវ​នឹង​ដំណោះស្រាយ​ដើម
សមីការ។ ចូរយើងចងចាំគាត់។ ដូច្នេះ
.
តោះសរសេរ។
នេះគឺជាដំណោះស្រាយ។ នៅពេលសរសេរចម្លើយ អ្នកក៏គួរចង្អុលបង្ហាញដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញមុននេះផងដែរ ព្រោះវាមិនត្រូវគ្នានឹងតម្លៃចុងក្រោយណាមួយឡើយ។
អថេរ។

ឧទាហរណ៍ ៣ សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង.

យើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថាសមីការនេះអាចដោះស្រាយបានកាន់តែសាមញ្ញ ប៉ុន្តែវាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញវិធីសាស្ត្រនៅលើវា។ ទោះបីជាមានគុណសម្បត្តិមួយចំនួន
វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរដែលបំពានក៏មានវានៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះដែរ។
ដូច្នេះ អ្នកត្រូវចាប់ផ្តើមជាមួយ FSR នៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា។ សូមចាំថាដើម្បីស្វែងរក FSR លក្ខណៈ
សមីការ
.
ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា។
.
ថេរដែលរួមបញ្ចូលនៅទីនេះគឺត្រូវផ្លាស់ប្តូរ។ ការចងក្រងប្រព័ន្ធ

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous ។ មេរៀននេះគឺមានគោលបំណងសម្រាប់សិស្សានុសិស្សដែលចេះច្រើន ឬតិចរួចហើយនៅក្នុងប្រធានបទ។ ប្រសិនបើអ្នកទើបតែចាប់ផ្តើមស្គាល់ឧបករណ៍បញ្ជាពីចម្ងាយ, i.e. បើអ្នកជាអ្នកចេះ តែខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យចាប់ផ្តើមមេរៀនដំបូង៖ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ. ហើយ​ប្រសិន​បើ​អ្នក​បាន​បញ្ចប់​រួច​ហើយ សូម​បោះបង់​ការ​យល់​ឃើញ​ដែល​អាច​កើត​ឡើង​ដែល​ថា​វិធី​សាស្រ្ដ​គឺ​ពិបាក។ ដោយសារតែគាត់សាមញ្ញ។

តើ​វិធីសាស្ត្រ​បំរែបំរួល​នៃ​ថេរ​ដែល​បំពាន​ត្រូវ​ប្រើ​ក្នុង​ករណី​អ្វីខ្លះ?

1) វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរដែលបំពានអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយ DE inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1. ដោយសារសមីការមានលំដាប់ទីមួយ ដូច្នេះថេរ (ថេរ) ក៏ជាលេខមួយ។

2) វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្តត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយមួយចំនួន សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរ. នៅទីនេះចំនួនថេរពីរ (ថេរ) ខុសគ្នា។

វាសមហេតុផលក្នុងការសន្មតថាមេរៀននឹងមានពីរកថាខណ្ឌ ... ។ ខ្ញុំបានសរសេរសំណើនេះ ហើយប្រហែល 10 នាទី ខ្ញុំកំពុងគិតយ៉ាងឈឺចាប់ថា តើអ្វីទៅដែលឆ្លាតផ្សេងទៀតដើម្បីបន្ថែមសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរដោយរលូនទៅកាន់ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួនមិនមានគំនិតបន្ទាប់ពីថ្ងៃឈប់សម្រាកទេទោះបីជាវាហាក់ដូចជាខ្ញុំមិនបានបំពានអ្វីក៏ដោយ។ ដូច្នេះ​សូម​ចូល​ទៅ​កថាខណ្ឌ​ទី​១។

វិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលថេរដោយបំពាន
សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីមួយមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរ

មុននឹងពិចារណាលើវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត វាជាការចង់ស្គាល់អត្ថបទ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ. នៅក្នុងមេរៀននោះ យើងបានអនុវត្ត វិធីដំបូងដើម្បីដោះស្រាយ DE inhomogeneous នៃលំដាប់ទី 1 ។ ដំណោះស្រាយដំបូងនេះ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្តជំនួសឬ វិធីសាស្រ្ត Bernoulli(មិនត្រូវច្រឡំជាមួយ សមីការ Bernoulli!!!)

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណា វិធីទីពីរដើម្បីដោះស្រាយ- វិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃថេរដែលបំពាន។ ខ្ញុំនឹងលើកឧទាហរណ៍តែបីប៉ុណ្ណោះ ហើយខ្ញុំនឹងយកវាចេញពីមេរៀនខាងលើ។ ហេតុអីក៏តិចម្ល៉េះ? ព្រោះតាមការពិត ដំណោះស្រាយក្នុងវិធីទីពីរនឹងមានលក្ខណៈស្រដៀងនឹងដំណោះស្រាយក្នុងវិធីទីមួយ។ លើសពីនេះទៀតយោងទៅតាមការសង្កេតរបស់ខ្ញុំវិធីសាស្ត្រនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្តត្រូវបានគេប្រើតិចជាងវិធីសាស្ត្រជំនួស។

ឧទាហរណ៍ ១

(ខុសពីឧទាហរណ៍ទី 2 នៃមេរៀន DE inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1)

ការសម្រេចចិត្ត៖សមីការនេះគឺមិនដូចគ្នាបេះបិទ និងមានទម្រង់ដែលធ្លាប់ស្គាល់៖

ជំហានដំបូងគឺត្រូវដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញជាងនេះ៖
នោះគឺយើងកំណត់ផ្នែកខាងស្តាំឡើងវិញដោយឆោតល្ងង់ - ជំនួសឱ្យយើងសរសេរលេខសូន្យ។
សមីការ ខ្ញុំនឹងហៅ សមីការជំនួយ.

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការជំនួយខាងក្រោម៖

មុនយើង សមីការដែលអាចបំបែកបាន។ដំណោះស្រាយដែល (ខ្ញុំសង្ឃឹមថា) លែងពិបាកសម្រាប់អ្នក៖

ដូចនេះ៖
គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការជំនួយ។

នៅលើជំហានទីពីរ ជំនួសថេរនៃមួយចំនួន នៅឡើយមុខងារមិនស្គាល់ដែលអាស្រ័យលើ "x"៖

ដូច្នេះឈ្មោះនៃវិធីសាស្រ្ត - យើងផ្លាស់ប្តូរថេរ។ ម៉្យាងទៀត ថេរអាចជាមុខងារមួយចំនួនដែលយើងត្រូវស្វែងរកឥឡូវនេះ។

អេ ដើមសមីការ inhomogeneous តោះជំនួស៖

ជំនួស និង ចូលទៅក្នុងសមីការ :

ពេលគ្រប់គ្រង - ល័ក្ខខ័ណ្ឌទាំងពីរនៅខាងឆ្វេងលុបចោល. ប្រសិនបើរឿងនេះមិនកើតឡើងទេ អ្នកគួរតែរកមើលកំហុសខាងលើ។

ជាលទ្ធផលនៃការជំនួស សមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបានត្រូវបានទទួល។ ញែកអថេរនិងរួមបញ្ចូល។

ពិតជាសំណាងមែន និទស្សន្តក៏ថយចុះដែរ៖

យើងបន្ថែមថេរ "ធម្មតា" ទៅមុខងារដែលបានរកឃើញ៖

នៅដំណាក់កាលចុងក្រោយ យើងរំលឹកអ្នកជំនួសរបស់យើង៖

មុខងារទើបតែរកឃើញ!

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

ចម្លើយ៖ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖

ប្រសិនបើអ្នកបោះពុម្ពដំណោះស្រាយទាំងពីរ អ្នកនឹងសម្គាល់ឃើញយ៉ាងងាយស្រួលថានៅក្នុងករណីទាំងពីរនេះ យើងបានរកឃើញអាំងតេក្រាលដូចគ្នា។ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺនៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយ។

ឥឡូវនេះអ្វីដែលកាន់តែស្មុគស្មាញ ខ្ញុំក៏នឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើឧទាហរណ៍ទីពីរ៖

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
(ខុសពីឧទាហរណ៍ទី 8 នៃមេរៀន DE inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1)

ការសម្រេចចិត្ត៖យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ :

កំណត់ផ្នែកខាងស្តាំទៅសូន្យ ហើយដោះស្រាយសមីការជំនួយ៖

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការជំនួយ៖

នៅក្នុងសមីការ inhomogeneous យើងនឹងធ្វើការជំនួស៖

យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល៖

ជំនួស និង ទៅក្នុងសមីការ inhomogeneous ដើម៖

ពាក្យ​ពីរ​នៅ​ខាង​ឆ្វេង​លុប​ចោល ដែល​មាន​ន័យ​ថា​យើង​ដើរ​លើ​ផ្លូវ​ត្រូវ៖

យើងរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ សំបុត្រដ៏ឈ្ងុយឆ្ងាញ់ពីរូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងដំណោះស្រាយរួចហើយ ដូច្នេះយើងប្រើឧទាហរណ៍អក្សរ "a" និង "be"៖

ឥឡូវនេះសូមមើលការជំនួស:

ចម្លើយ៖ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖

ហើយឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

,
(ខុសពីមេរៀនទី ៤ ឧទាហរណ៍ DE inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1)
ការសម្រេចចិត្ត៖
DE នេះគឺមិនដូចគ្នាទេ។ យើងប្រើវិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្ត។ តោះដោះស្រាយសមីការជំនួយ៖

យើងបែងចែកអថេរ និងរួមបញ្ចូល៖

ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖
នៅក្នុងសមីការ inhomogeneous យើងនឹងធ្វើការជំនួស៖

តោះធ្វើការជំនួស៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយឯកជន៖

ដំណោះស្រាយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀនអាចប្រើជាគំរូប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់ការបញ្ចប់កិច្ចការ។

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរបំពាន
សម្រាប់សមីការលំដាប់ទីពីរ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ
ជាមួយនឹងមេគុណថេរ

ជារឿយៗគេបានឮមតិថា វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្តសម្រាប់សមីការលំដាប់ទីពីរមិនមែនជារឿងងាយស្រួលនោះទេ។ ប៉ុន្តែខ្ញុំស្មានដូចខាងក្រោម៖ ភាគច្រើនទំនងជាវិធីសាស្ត្រនេះហាក់ដូចជាពិបាកសម្រាប់មនុស្សជាច្រើន ព្រោះវាមិនមែនជារឿងធម្មតាទេ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការពិតមិនមានការលំបាកពិសេសទេ - ដំណើរនៃការសម្រេចចិត្តគឺច្បាស់លាស់ តម្លាភាព និងអាចយល់បាន។ និងស្រស់ស្អាត។

ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្រ្ត វាគឺជាការចង់ឱ្យអាចដោះស្រាយសមីការ inhomogeneous នៃលំដាប់ទីពីរដោយជ្រើសរើសដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយយោងទៅតាមទម្រង់នៃផ្នែកខាងស្តាំ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទ។ Inhomogeneous DE នៃលំដាប់ទី 2. យើងចាំថាសមីការលីនេអ៊ែរមិនដូចគ្នាលំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរមានទម្រង់៖

វិធីសាស្ត្រជ្រើសរើស ដែលត្រូវបានពិចារណាក្នុងមេរៀនខាងលើ ដំណើរការតែក្នុងចំនួនកំណត់នៃករណីប៉ុណ្ណោះ នៅពេលដែលពហុនាម និទស្សន្ត ស៊ីនុស កូស៊ីនុស នៅខាងស្តាំ។ ប៉ុន្តែអ្វីដែលត្រូវធ្វើនៅពេលដែលនៅខាងស្តាំឧទាហរណ៍ ប្រភាគ លោការីត តង់សង់? ក្នុងស្ថានភាពបែបនេះវិធីសាស្រ្តនៃការប្រែប្រួលនៃថេរមកជួយសង្គ្រោះ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ

ការសម្រេចចិត្ត៖មានប្រភាគនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនេះ ដូច្នេះយើងអាចនិយាយបានភ្លាមៗថាវិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយមិនដំណើរការទេ។ យើងប្រើវិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្ត។

គ្មានអ្វីបង្ហាញពីព្យុះផ្គររន្ទះទេ ការចាប់ផ្តើមនៃដំណោះស្រាយគឺសាមញ្ញណាស់៖

ចូរយើងស្វែងរក ការសម្រេចចិត្តទូទៅពាក់ព័ន្ធ ដូចគ្នាសមីការ៖

យើងចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការលក្ខណៈ៖


- ឫសស្មុគស្មាញផ្សំត្រូវបានទទួល ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

យកចិត្តទុកដាក់លើកំណត់ត្រានៃដំណោះស្រាយទូទៅ - ប្រសិនបើមានតង្កៀបបន្ទាប់មកបើកវា។

ឥឡូវនេះ យើងធ្វើល្បិចស្ទើរតែដូចគ្នាទៅនឹងសមីការលំដាប់ទីមួយ៖ យើងផ្លាស់ប្តូរចំនួនថេរ ដោយជំនួសពួកវាដោយមុខងារមិនស្គាល់។ I.e, ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ inhomogeneousយើងនឹងស្វែងរកសមីការក្នុងទម្រង់៖

កន្លែងណា - នៅឡើយមុខងារមិនស្គាល់។

វា​ហាក់​ដូច​ជា​កន្លែង​ចោល​សម្រាម ប៉ុន្តែ​ឥឡូវ​នេះ​យើង​នឹង​តម្រៀប​គ្រប់​យ៉ាង។

ដេរីវេនៃមុខងារដើរតួជាមិនស្គាល់។ គោលដៅរបស់យើងគឺស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយនិស្សន្ទវត្ថុដែលបានរកឃើញត្រូវតែបំពេញទាំងសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ។

តើ "ហ្គេម" មកពីណា? សត្វស្វានាំពួកគេ។ យើងមើលដំណោះស្រាយទូទៅដែលទទួលបានពីមុន ហើយសរសេរ៖

ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ៖

ដោះស្រាយជាមួយផ្នែកខាងឆ្វេង។ តើមានអ្វីនៅខាងស្តាំ?

គឺជាផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដើម ក្នុងករណីនេះ៖

មេគុណគឺជាមេគុណនៅដេរីវេទី ២៖

នៅក្នុងការអនុវត្តស្ទើរតែជានិច្ចកាល ហើយឧទាហរណ៍របស់យើងគឺមិនមានករណីលើកលែងនោះទេ។

អ្វីៗត្រូវបានជម្រះហើយ ឥឡូវនេះអ្នកអាចបង្កើតប្រព័ន្ធមួយ៖

ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានដោះស្រាយជាធម្មតា នេះបើយោងតាមរូបមន្តរបស់ Cramerដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដារ។ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាជំនួសឱ្យលេខយើងមានមុខងារ។

ស្វែងរកកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖

ប្រសិនបើអ្នកភ្លេចពីរបៀបដែលកត្តាកំណត់ "ពីរដោយពីរ" ត្រូវបានបង្ហាញ សូមមើលមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់?តំណនាំទៅរកក្រុមប្រឹក្សាអាម៉ាស់ =)

ដូច្នេះ៖ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

យើងរកឃើញដេរីវេ៖

ប៉ុន្តែនោះមិនមែនទាំងអស់នោះទេ រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានរកឃើញតែដេរីវេ។
មុខងារខ្លួនវាត្រូវបានស្ដារឡើងវិញដោយការរួមបញ្ចូល:

តោះមើលមុខងារទីពីរ៖

នៅទីនេះយើងបន្ថែមថេរ "ធម្មតា"

នៅដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃដំណោះស្រាយ យើងនឹកឃើញក្នុងទម្រង់បែបណាដែលយើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការមិនដូចគ្នា? ក្នុង​ដូច​ជា៖

លក្ខណៈពិសេសដែលអ្នកត្រូវការទើបតែត្រូវបានរកឃើញ!

វានៅសល់ដើម្បីអនុវត្តការជំនួស ហើយសរសេរចម្លើយ៖

ចម្លើយ៖ការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖

ជាគោលការណ៍ ចម្លើយអាចបើកតង្កៀប។

ការត្រួតពិនិត្យចម្លើយពេញលេញត្រូវបានអនុវត្តតាមគ្រោងការណ៍ស្តង់ដារដែលត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងមេរៀន។ Inhomogeneous DE នៃលំដាប់ទី 2. ប៉ុន្តែការផ្ទៀងផ្ទាត់នឹងមិនងាយស្រួលនោះទេ ព្រោះយើងត្រូវស្វែងរកឧបករណ៍ចម្លងដ៏ធ្ងន់ ហើយអនុវត្តការជំនួសដ៏ស្មុគស្មាញមួយ។ នេះ​ជា​លក្ខណៈ​អាក្រក់​មួយ​នៅ​ពេល​ដែល​អ្នក​កំពុង​ដោះស្រាយ​ភាព​ខុស​គ្នា​បែប​នេះ។

ឧទាហរណ៍ ៥

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយវិធីសាស្ត្របំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្ត

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ តាមពិតទៅផ្នែកខាងស្តាំក៏ជាប្រភាគដែរ។ យើងរំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ ដោយវិធីនេះ វានឹងត្រូវអនុវត្តនៅតាមផ្លូវ។

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃអថេរបំពានគឺជាវិធីសាស្ត្រសកលបំផុត។ ពួកគេអាចដោះស្រាយសមីការណាមួយដែលអាចដោះស្រាយបាន។ វិធីសាស្រ្តនៃការជ្រើសរើសដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយយោងទៅតាមទម្រង់នៃផ្នែកខាងស្តាំ. សំណួរកើតឡើង, ហេតុអ្វីបានជាមិនប្រើវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្តនៅទីនោះផងដែរ? ចម្លើយគឺជាក់ស្តែង៖ ការជ្រើសរើសដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ ដែលត្រូវបានពិចារណាក្នុងមេរៀន សមីការមិនដូចគ្នានៃលំដាប់ទីពីរបង្កើនល្បឿនដំណោះស្រាយយ៉ាងសំខាន់ និងកាត់បន្ថយការសម្គាល់ - មិនមានការរញ៉េរញ៉ៃជុំវិញជាមួយកត្តាកំណត់ និងអាំងតេក្រាលទេ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ពីរជាមួយ បញ្ហារសើប.

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ

,

ការសម្រេចចិត្ត៖ជាថ្មីម្តងទៀត ប្រភាគ និងនិទស្សន្តនៅក្នុងកន្លែងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយ។
យើងប្រើវិធីសាស្រ្តបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្ត។

ចូរយើងស្វែងរក ការសម្រេចចិត្តទូទៅពាក់ព័ន្ធ ដូចគ្នាសមីការ៖



- ទទួលបានឫសពិតផ្សេងៗគ្នា ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃអនាមិកយើងកំពុងស្វែងរកសមីការក្នុងទម្រង់៖ កន្លែងណា - នៅឡើយមុខងារមិនស្គាល់។

តោះបង្កើតប្រព័ន្ធ៖

ក្នុងករណី​នេះ:
,
ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ៖
,

ដូចនេះ៖

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើរូបមន្តរបស់ Cramer៖
ដូច្នេះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

យើងស្តារមុខងារឡើងវិញដោយការរួមបញ្ចូលៈ

បានប្រើនៅទីនេះ វិធីសាស្រ្តនៃការនាំយកអនុគមន៍នៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល.

យើងស្ដារមុខងារទីពីរដោយការរួមបញ្ចូល៖

អាំងតេក្រាលបែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយ វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ:

ពីការជំនួសខ្លួនវាយើងបង្ហាញ៖

ដូចនេះ៖

អាំងតេក្រាលនេះអាចត្រូវបានរកឃើញ វិធីសាស្រ្តជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញប៉ុន្តែនៅក្នុងឧទាហរណ៍ជាមួយ diffurs ខ្ញុំចូលចិត្តពង្រីកប្រភាគ វិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនច្បាស់លាស់:

មុខងារទាំងពីរត្រូវបានរកឃើញ៖

ជាលទ្ធផល ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous គឺ៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង .

តាមបច្ចេកទេសការស្វែងរកដំណោះស្រាយត្រូវបានអនុវត្តតាមស្តង់ដារដែលត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមិនដូចគ្នា.

រង់ចាំឥឡូវនេះ យើងនឹងរកឃើញដេរីវេនៃដំណោះស្រាយទូទៅដែលបានរកឃើញ៖

នេះគឺជាការអាម៉ាស់បែបនេះ។ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឱ្យសាមញ្ញនោះទេ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការរៀបចំប្រព័ន្ធសមីការភ្លាមៗ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌដំបូង :

ជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃចំនួនថេរ ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ៖

ក្នុងចំលើយ លោការីតអាចត្រូវបានខ្ចប់បន្តិចបន្តួច។

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយឯកជន៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញការលំបាកអាចកើតឡើងនៅក្នុងអាំងតេក្រាលនិងដេរីវេ ប៉ុន្តែមិននៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្តនោះទេ។ វាមិនមែនជាខ្ញុំទេដែលបំភិតបំភ័យអ្នក នេះគឺជាបណ្តុំនៃ Kuznetsov ទាំងអស់!

ដើម្បីបន្ធូរអារម្មណ៍ ជាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ សាមញ្ញជាង និងដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយបញ្ហា Cauchy

,

ឧទាហរណ៍គឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែប្រកបដោយភាពច្នៃប្រឌិត នៅពេលដែលអ្នកបង្កើតប្រព័ន្ធមួយ សូមក្រឡេកមើលវាដោយប្រុងប្រយ័ត្នមុននឹងសម្រេចចិត្ត ;-)




ជាលទ្ធផលដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូង .



យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃថេរទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ៖

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយឯកជន៖