ប្រធានបទនៃការបង្រៀនវីដេអូនេះនឹងជាលក្ខណៈសម្បត្តិចលនា ក៏ដូចជាការបកប្រែស្របគ្នា។ នៅដើមមេរៀន យើងនឹងនិយាយម្តងទៀតនូវគំនិតនៃចលនា ដែលជាប្រភេទចម្បងរបស់វា - អ័ក្ស និងស៊ីមេទ្រីកណ្តាល។ បន្ទាប់ពីនោះយើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃចលនា។ ចូរយើងវិភាគគំនិតនៃ "ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល" ថាតើវាត្រូវបានប្រើសម្រាប់អ្វី ចូរយើងដាក់ឈ្មោះលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។
ប្រធានបទ៖ ចលនា
មេរៀន៖ ចលនា។ លក្ខណៈសម្បត្តិចលនា
ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ៖ នៅពេលផ្លាស់ទីផ្នែកឆ្លងកាត់ចូលទៅក្នុងផ្នែក.
ចូរយើងបកស្រាយរូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទ ដោយមានជំនួយពីរូបភព។ 1. ប្រសិនបើចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកជាក់លាក់មួយ MN កំឡុងពេលចលនាត្រូវបានបង្ហាញនៅចំណុចមួយចំនួន M 1 និង N 1 រៀងៗខ្លួន នោះចំនុច P ណាមួយនៃផ្នែក MN នឹងចាំបាច់ទៅកាន់ចំនុចខ្លះ P 1 នៃផ្នែក M 1 N 1 ។ ហើយផ្ទុយមកវិញ ដល់ចំនុចនីមួយៗ Q 1 នៃផ្នែក M 1 N 1 ចំនុចមួយចំនួន Q នៃផ្នែក MN នឹងត្រូវបានបង្ហាញ។
ភស្តុតាង។
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីរូបភាព MN = MP + PN ។
អនុញ្ញាតឱ្យចំនុច P ទៅចំណុចខ្លះ P 1 "នៃយន្តហោះ។ និយមន័យនៃចលនាបង្កប់ន័យសមភាពនៃប្រវែងនៃផ្នែក MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. ពីសមភាពទាំងនេះវាដូចខាងក្រោមថា M 1 Р 1 ", M 1 Р 1" + Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1 នោះគឺជាចំណុច Р 1" ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ផ្នែក M 1 N 1 និងស្របគ្នានឹងចំនុច P 1 បើមិនដូច្នេះទេ ជំនួសឱ្យសមភាពខាងលើ វិសមភាពនៃត្រីកោណ M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 នឹងជាការពិត។ នោះគឺជាយើងបានបង្ហាញឱ្យឃើញ ថានៅពេលផ្លាស់ទី ចំណុចណាមួយ ចំណុច P នៃផ្នែក MN នឹងចាំបាច់ទៅចំណុចមួយចំនួន P 1 នៃផ្នែក M 1 N 1 ។ ផ្នែកទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទ (ទាក់ទងនឹងចំណុច Q 1) ត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបដូចគ្នា .
ទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្ហាញគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់ចលនាណាមួយ!
ទ្រឹស្តីបទ៖ នៅពេលផ្លាស់ទីមុំចូលទៅក្នុងមុំស្មើគ្នា។
អនុញ្ញាតឱ្យ RAOB ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (រូបភាព 2) ។ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យចលនាមួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលក្នុងនោះចំនុចកំពូលРОទៅចំណុច О 1 និងចំនុច A និង B - រៀងគ្នាដល់ចំនុច А 1 និង В 1 ។
ពិចារណាត្រីកោណ AOB និង A 1 O 1 B 1 ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ ចំណុច A, O និង B ផ្លាស់ទីនៅពេលផ្លាស់ទីទៅចំណុច A 1, O 1 និង B 1 រៀងគ្នា។ ដូច្នេះមានសមភាពនៃប្រវែង AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 និង AB \u003d A 1 B 1 ។ ដូច្នេះ AOB \u003d A 1 O 1 B 1 នៅលើបីជ្រុង។ ពីសមភាពនៃត្រីកោណតាមសមភាពនៃមុំដែលត្រូវគ្នា O និង O 1 ។
ដូច្នេះចលនាណាមួយរក្សាមុំ។
ផលវិបាកជាច្រើនកើតឡើងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃចលនា ជាពិសេសថាតួលេខណាមួយក្នុងអំឡុងពេលចលនាត្រូវបានគូសផែនទីលើរូបដែលស្មើនឹងវា។
ពិចារណាប្រភេទមួយផ្សេងទៀតនៃចលនា - ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល។
ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលនៅលើវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យមួយចំនួនត្រូវបានគេហៅថាដូចជាការគូសផែនទីនៃយន្តហោះនៅលើខ្លួនវាដែលចំនុច M នីមួយៗនៃយន្តហោះទៅចំណុច M 1 នៃយន្តហោះដូចគ្នា (រូបភាព 3) ។
ចូរយើងបញ្ជាក់ ការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលគឺជាចលនា.
ភស្តុតាង។
ពិចារណាផ្នែកដែលបំពាន MN (រូបភាពទី 4) ។ អនុញ្ញាតឱ្យចំណុច M ផ្លាស់ទីទៅចំណុច M 1 កំឡុងពេលផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល ហើយចំនុច N - ដល់ចំណុច N 1 ។ ក្នុងករណីនេះលក្ខខណ្ឌនៃការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានបំពេញ៖ និង . ពិចារណាបួនជ្រុង
MM 1 N 1 N. ផ្នែកទល់មុខពីររបស់វា (MM 1 និង NN 1) គឺស្មើគ្នា និងប៉ារ៉ាឡែល ដូចដែលបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌនៃការបកប្រែស្របគ្នា។ ដូច្នេះ ចតុកោណនេះគឺជាប្រលេឡូក្រាមយោងតាមសញ្ញាមួយនៃសញ្ញាក្រោយ។ នេះបញ្ជាក់ថាភាគីទាំងពីរផ្សេងទៀត (MN និង M 1 N 1) នៃប៉ារ៉ាឡែលមានប្រវែងស្មើគ្នា ដែលត្រូវតែបញ្ជាក់។
ដូច្នេះ ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលគឺពិតជាចលនាមួយ។
ចូរយើងសង្ខេប។ យើងធ្លាប់ស្គាល់ចលនាបីប្រភេទ៖ ស៊ីមេទ្រីអ័ក្ស ស៊ីមេទ្រីកណ្តាល និងការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល។ យើងបានបង្ហាញថាពេលផ្លាស់ទី ចម្រៀកមួយឆ្លងចូលទៅក្នុងចម្រៀកមួយ ហើយមុំមួយចូលទៅក្នុងមុំស្មើគ្នា។ លើសពីនេះ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា បន្ទាត់ត្រង់មួយឆ្លងកាត់ចូលទៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅពេលផ្លាស់ទី ហើយរង្វង់មួយឆ្លងកាត់ចូលទៅក្នុងរង្វង់នៃកាំដូចគ្នា។
1. Atanasyan L. S. និងអ្នកដទៃ ធរណីមាត្រថ្នាក់ទី 7-9 ។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។ - M. : ការអប់រំ, ឆ្នាំ 2010 ។
2. ការធ្វើតេស្តធរណីមាត្រ Farkov A.V. ថ្នាក់ទី 9 ។ ទៅសៀវភៅសិក្សារបស់ L.S. Atanasyan និងអ្នកដទៃ - M.: Exam, 2010 ។
3. A.V. Pogorelov, ធរណីមាត្រ, គណនី។ សម្រាប់កោសិកា 7-11 ។ ទូទៅ inst. - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ១៩៩៥។
1. វិបផតថលអប់រំរុស្ស៊ី () ។
2. ពិធីបុណ្យនៃគំនិតគរុកោសល្យ "បើកមេរៀន" () ។
1. Atanasyan (សូមមើលឯកសារយោង) ទំព័រ 293 § 1 ចំណុច 114 ។
Property 1. សូមអោយ f ជាចលនានៃចំនុចនៃយន្តហោះ A", B" និង C" ជារូបភាពនៃចំនុច A, B និង C កំឡុងពេលចលនា f។ បន្ទាប់មកចំនុច A", B" និង C " ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែនៅពេលដែលចំនុច A, B និង C គឺជាប់គ្នា។
Property 4. ពេលផ្លាស់ទី វាបំប្លែងទៅជា segment ស្មើនឹងវា Property 5. ពេលផ្លាស់ទី កាំរស្មីមួយប្រែទៅជាកាំរស្មី។
Property 7. សូមអោយរង្វង់នៃកាំ r ចំកណ្តាលចំនុច O បន្ទាប់មកនៅពេលផ្លាស់ទី វាបំប្លែងទៅជារង្វង់នៃកាំដូចគ្នា ចំកណ្តាលចំនុចមួយដែលស្របគ្នានឹងរូបភាពនៃចំនុចកណ្តាល O ។
តាមស៊ុមយន្តហោះ affine យើងមានន័យថាការបញ្ជាបីដងនៃចំនុច noncollinear ។ ទ្រព្យសម្បត្តិ 7. នៅពេលផ្លាស់ទី ស៊ុមត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅជាស៊ុមមួយ និងស៊ុម orthonormal ទៅជាស៊ុម orthonormal ។
ទ្រឹស្តីបទ (ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាននៃចលនា)។ អនុញ្ញាតឱ្យស៊ុម orthonormal អ្នកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ បន្ទាប់មកមានការផ្លាស់ទីតែមួយគត់ g ដែលយកស៊ុម R ទៅ R": .
ផលវិបាក។ ប្រសិនបើ f គឺជាចលនារបស់យន្តហោះ៖ ការបកប្រែស៊ុមរាងអក្សរ R ទៅជាស៊ុមរាងអក្សរ R" បន្ទាប់មកចំនុច M នីមួយៗនៃយន្តហោះដែលមានកូអរដោនេ x និង y ទាក់ទងទៅនឹង R ត្រូវគ្នានឹងចំនុច M" = f (M) ជាមួយដូចគ្នា កូអរដោនេ x និង y ទាក់ទង R" ។
"ការស៊ើបអង្កេតលើចលនារបស់យន្តហោះ និងទ្រព្យសម្បត្តិមួយចំនួនរបស់ពួកគេ"។ ទំព័រ 21 នៃ 21
ការស៊ើបអង្កេតលើចលនារបស់យន្តហោះ
និងទ្រព្យសម្បត្តិមួយចំនួនរបស់ពួកគេ។
មាតិកា
ពីប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីនៃចលនា។
និយមន័យនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃចលនា។
ភាពឆបគ្នានៃតួលេខ។
ប្រភេទនៃចលនា។
៤.១. ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល។
៤.២. បត់។
៤.៣. ស៊ីមេទ្រីអំពីបន្ទាត់ត្រង់។
៤.៤. ស៊ីមេទ្រីរអិល។
5. ការសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសនៃស៊ីមេទ្រីអ័ក្ស។
6. ការស៊ើបអង្កេតលទ្ធភាពនៃអត្ថិភាពនៃប្រភេទផ្សេងទៀតនៃចលនា។
7. ទ្រឹស្តីបទនៃការចល័ត។ ចលនាពីរប្រភេទ។
8. ចំណាត់ថ្នាក់នៃចលនា។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Chall ។
ចលនាជាក្រុមនៃការផ្លាស់ប្តូរធរណីមាត្រ។
ការអនុវត្តចលនាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។
អក្សរសិល្ប៍។
ប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីនៃចលនា។
អ្នកដំបូងដែលចាប់ផ្តើមបង្ហាញពីសំណើធរណីមាត្រមួយចំនួនត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាគណិតវិទូក្រិកបុរាណ Thales នៃ Miletus(៦២៥-៥៤៧ មុនគ.ស)។ វាគឺជាអរគុណដល់ Thales ដែលធរណីមាត្របានចាប់ផ្តើមប្រែក្លាយពីសំណុំនៃច្បាប់ជាក់ស្តែងទៅជាវិទ្យាសាស្ត្រពិត។ នៅចំពោះមុខថាឡេស ភស្តុតាងមិនមានទេ!
តើ Thales បង្ហាញភស្តុតាងរបស់គាត់ដោយរបៀបណា? ចំពោះគោលបំណងនេះគាត់បានប្រើចលនា។
ចលនា - នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរនៃតួលេខ ដែលចម្ងាយរវាងចំណុចត្រូវបានរក្សាទុក។ ប្រសិនបើតួលេខពីរត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមកដោយមធ្យោបាយនៃចលនា នោះតួលេខទាំងនេះគឺដូចគ្នា ស្មើ។
វាគឺតាមរបៀបនេះដែលថាលែសបានបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទដំបូងនៃធរណីមាត្រមួយចំនួន។ ប្រសិនបើយន្តហោះត្រូវបានបង្វិលជារឹងទាំងមូលនៅជុំវិញចំណុចណាមួយ។ អូ
180 o, ធ្នឹម អូអេ
នឹងទៅការបន្តរបស់វា។ អូអេ
’
. ជាមួយបែបនេះ ងាក
(ហៅផងដែរថា ស៊ីមេទ្រីកណ្តាល
កណ្តាល អូ
) ចំណុចនីមួយៗ ប៉ុន្តែ
ផ្លាស់ទីទៅចំណុចមួយ។ ប៉ុន្តែ
’
អ្វី អូ
គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក អេ
’
(រូបទី 1) ។
Fig.1 Fig.2
អនុញ្ញាតឱ្យមាន អូ - ចំណុចកំពូលទូទៅនៃជ្រុងបញ្ឈរ AOB និង ប៉ុន្តែ ’ អូ ’ . ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវាច្បាស់ណាស់ថានៅពេលបត់ 180° ជ្រុងមួយនៃមុំបញ្ឈរទាំងពីរនឹងគ្រាន់តែឆ្លងកាត់ទៅជ្រុងម្ខាងទៀតពោលគឺឧ។ ជ្រុងទាំងពីរនេះត្រូវបានតម្រឹម។ នេះមានន័យថាមុំបញ្ឈរស្មើគ្នា (រូបភាពទី 2) ។
ការបញ្ជាក់ពីសមភាពនៃមុំនៅមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណ isosceles, Thales បានប្រើ ស៊ីមេទ្រីអ័ក្ស
៖ គាត់បានបញ្ចូលគ្នានូវពាក់កណ្តាលទាំងពីរនៃត្រីកោណ isosceles ដោយពត់រូបគំនូរតាមបណ្តោយ bisector នៃមុំនៅ apex (រូបភាព 3) ។ ដូចគ្នាដែរ ថាលែស បានបង្ហាញថា អង្កត់ផ្ចិតបំបែករង្វង់។
Fig.3 Fig.4
អនុវត្ត Thales និងចលនាមួយទៀត - ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល នៅចំណុចទាំងអស់នៃតួលេខត្រូវបានផ្លាស់ទីលំនៅក្នុងទិសដៅជាក់លាក់មួយដោយចម្ងាយដូចគ្នា។ ដោយមានជំនួយរបស់គាត់ គាត់បានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទដែលឥឡូវនេះដាក់ឈ្មោះរបស់គាត់ថា:
ប្រសិនបើផ្នែកស្មើគ្នាត្រូវបានដាក់មួយឡែកនៅផ្នែកម្ខាងនៃមុំ ហើយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានកាត់តាមចុងនៃផ្នែកទាំងនេះរហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយជ្រុងទីពីរនៃមុំ នោះចម្រៀកស្មើគ្នាក៏នឹងត្រូវបានទទួលនៅផ្នែកម្ខាងទៀតនៃមុំផងដែរ។(រូបទី 4) ។
នៅសម័យបុរាណគំនិតនៃចលនាក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយអ្នកល្បីល្បាញផងដែរ។ អេកលីដអ្នកនិពន្ធនៃ "ការចាប់ផ្តើម" - សៀវភៅដែលបានរស់រានមានជីវិតជាងពីរសហស្សវត្សរ៍។ Euclid គឺជាសហសម័យរបស់ Ptolemy I ដែលគ្រប់គ្រងនៅប្រទេសអេហ្ស៊ីប ស៊ីរី និង Macedonia ពីឆ្នាំ 305-283 មុនគ។
ចលនាមានវត្តមានដោយប្រយោល ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងការវែកញែករបស់ Euclid នៅពេលបង្ហាញសញ្ញានៃភាពស្មើគ្នានៃត្រីកោណ៖ "តោះដាក់ត្រីកោណមួយលើមួយទៀតតាមវិធីបែបនេះ។" យោងទៅតាម Euclid តួលេខពីរត្រូវបានគេហៅថាស្មើគ្នាប្រសិនបើពួកគេអាច "បញ្ចូលគ្នា" ដោយចំណុចទាំងអស់របស់ពួកគេ i.e. ដោយផ្លាស់ទីតួរលេខមួយជារូបរឹងទាំងមូល មនុស្សម្នាក់អាចដាក់លើរូបទីពីរបានយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។ សម្រាប់ Euclid ចលនាមិនមែនជាគំនិតគណិតវិទ្យាទេ។ ប្រព័ន្ធនៃ axioms ដែលបង្កើតដំបូងដោយគាត់នៅក្នុង "គោលការណ៍" បានក្លាយជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីធរណីមាត្រដែលហៅថា ធរណីមាត្រ Euclidean.
ក្នុងសម័យទំនើបនេះ ការអភិវឌ្ឍន៍វិញ្ញាសាគណិតវិទ្យានៅតែបន្ត។ ធរណីមាត្រវិភាគត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅសតវត្សទី 11 ។ សាស្រ្តាចារ្យគណិតវិទ្យានៃសាកលវិទ្យាល័យ Bologna Bonaventure Cavalieri(1598-1647) បោះពុម្ភអត្ថបទ "ធរណីមាត្រ បានបញ្ជាក់នៅក្នុងវិធីថ្មីមួយ ដោយមានជំនួយពីការបន្តដែលមិនអាចបំបែកបាន" ។ យោងតាមលោក Cavalieri តួលេខផ្ទះល្វែងណាមួយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសំណុំនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល ឬ "ដាន" ដែលបន្ទាត់មួយទុកនៅពេលផ្លាស់ទីស្របទៅនឹងខ្លួនវា។ ដូចគ្នានេះដែរគំនិតមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអំពីសាកសព: ពួកគេត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលចលនានៃយន្តហោះ។
ការអភិវឌ្ឍបន្ថែមទៀតនៃទ្រឹស្តីនៃចលនាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង និងជាប្រវត្តិវិទូនៃវិទ្យាសាស្ត្រ។ លោក Michel Chall(១៧៩៣-១៨៨០)។ នៅឆ្នាំ 1837 គាត់បានបោះពុម្ភផ្សាយការងារ "ការពិនិត្យឡើងវិញប្រវត្តិសាស្រ្តនៃប្រភពដើមនិងការអភិវឌ្ឍនៃវិធីសាស្រ្តធរណីមាត្រ" ។ នៅក្នុងដំណើរការនៃការស្រាវជ្រាវធរណីមាត្រផ្ទាល់ខ្លួនរបស់គាត់ Schall បង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទដ៏សំខាន់បំផុត៖
រាល់ចលនារក្សាការតំរង់ទិសនៃយន្តហោះគឺទាំង
ការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលឬការបង្វិល,
ចលនាផ្លាស់ប្តូរទិសណាមួយនៃយន្តហោះគឺជាអ័ក្ស
ស៊ីមេទ្រីឬស៊ីមេទ្រីរអិល។
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Chall ត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងពេញលេញនៅក្នុងចំណុចទី 8 នៃអរូបីនេះ។
ភាពសម្បូរបែបដ៏សំខាន់ដែលធរណីមាត្រជំពាក់ក្នុងសតវត្សទី 19 គឺការបង្កើតទ្រឹស្តីនៃការផ្លាស់ប្តូរធរណីមាត្រ ជាពិសេសទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យានៃចលនា (ការផ្លាស់ទីលំនៅ)។ មកដល់ពេលនេះ មានតម្រូវការក្នុងការផ្តល់ចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធធរណីមាត្រដែលមានស្រាប់ទាំងអស់។ បញ្ហានេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយគណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ គ្រីស្ទាន Felix Klein(1849-1925).
នៅឆ្នាំ 1872 ដោយសន្មត់តំណែងជាសាស្រ្តាចារ្យនៅសាកលវិទ្យាល័យ Erlangen លោក Klein បានផ្តល់ការបង្រៀនមួយស្តីពី "ការពិនិត្យឡើងវិញប្រៀបធៀបនៃការស្រាវជ្រាវធរណីមាត្រថ្មីបំផុត" ។ គំនិតដែលបានដាក់ចេញដោយគាត់នៃការគិតឡើងវិញធរណីមាត្រទាំងអស់នៅលើមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃចលនាត្រូវបានគេហៅថា "កម្មវិធី Erlangen".
យោងទៅតាម Klein ដើម្បីបង្កើតធរណីមាត្រជាក់លាក់មួយ អ្នកត្រូវបញ្ជាក់សំណុំនៃធាតុ និងក្រុមនៃការផ្លាស់ប្តូរ។ ភារកិច្ចនៃធរណីមាត្រគឺដើម្បីសិក្សាទំនាក់ទំនងទាំងនោះរវាងធាតុដែលនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរនៅក្រោមការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់នៃក្រុមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ជាឧទាហរណ៍ ធរណីមាត្ររបស់ Euclid សិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃតួលេខ ដែលនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរកំឡុងពេលធ្វើចលនា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើតួលេខមួយត្រូវបានទទួលពីមួយផ្សេងទៀតដោយចលនា (តួលេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាស្របគ្នា) នោះតួលេខទាំងនេះមានលក្ខណៈសម្បត្តិធរណីមាត្រដូចគ្នា។
ក្នុងន័យនេះ ចលនាបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃធរណីមាត្រ ហើយទាំងប្រាំ axioms នៃការចុះសម្រុងគ្នា។ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយក្រុមឯករាជ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃ axioms នៃធរណីមាត្រទំនើប។ ប្រព័ន្ធ axioms ដ៏តឹងរ៉ឹង និងពេញលេញនេះ សង្ខេបការសិក្សាពីមុនទាំងអស់ ត្រូវបានស្នើឡើងដោយគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ លោក David Gilbert(១៨៦២-១៩៤៣)។ ប្រព័ន្ធរបស់គាត់នៃ 20 axioms ដែលបែងចែកជាប្រាំក្រុមត្រូវបានបោះពុម្ពជាលើកដំបូងនៅក្នុង 1899 នៅក្នុងសៀវភៅ "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រ".
នៅឆ្នាំ 1909 គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ លោក Friedrich Schur(1856-1932) តាមគំនិតរបស់ Thales និង Klein បានបង្កើតប្រព័ន្ធមួយផ្សេងទៀតនៃធរណីមាត្រ axioms - ដោយផ្អែកលើការពិចារណានៃចលនា។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធរបស់គាត់ ជាពិសេស ជំនួសឱ្យក្រុម Hilbert នៃ axioms នៃ congruence ក្រុមបី។ axioms នៃចលនា.
ប្រភេទ និងលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួននៃចលនាត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទនេះ ប៉ុន្តែពួកគេអាចបង្ហាញយ៉ាងខ្លីដូចខាងក្រោមៈ ចលនាបង្កើតជាក្រុមដែលកំណត់ និងកំណត់ធរណីមាត្រ Euclidean ។
និយមន័យនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃចលនា។
តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរចំណុចនីមួយៗនៃតួលេខនេះតាមមធ្យោបាយណាមួយ តួលេខថ្មីមួយត្រូវបានទទួល។ វាត្រូវបានគេនិយាយថាតួលេខនេះត្រូវបានទទួល ការផ្លាស់ប្តូរ ពីមួយនេះ។ ការបំប្លែងរូបមួយទៅជារូបមួយទៀតត្រូវបានគេហៅថាចលនា ប្រសិនបើវារក្សាចម្ងាយរវាងចំនុច ពោលគឺឧ។ បកប្រែចំណុចពីរ X និង យ រូបរាងមួយក្នុងមួយចំណុច X ’ និង យ ’ តួលេខមួយទៀតដូច្នេះ XY = X ’យ ’.
និយមន័យ។ ការផ្លាស់ប្តូររូបរាងដែលរក្សាចម្ងាយ
រវាងចំណុចត្រូវបានគេហៅថាចលនានៃតួលេខនេះ។
! មតិយោបល់៖គំនិតនៃចលនានៅក្នុងធរណីមាត្រត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតធម្មតានៃការផ្លាស់ទីលំនៅ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើនិយាយអំពីការផ្លាស់ទីលំនៅ យើងស្រមៃមើលដំណើរការបន្ត នោះនៅក្នុងធរណីមាត្រ មានតែទីតាំងដំបូង និងចុងក្រោយ (រូបភាព) នៃតួលេខនឹងមានសារៈសំខាន់ចំពោះយើង។ វិធីសាស្រ្តធរណីមាត្រនេះខុសពីរូបវិទ្យា។
នៅពេលផ្លាស់ទី ចំណុចផ្សេងគ្នាត្រូវគ្នាទៅនឹងរូបភាពផ្សេងគ្នា និងចំណុចនីមួយៗ X តួលេខមួយត្រូវបានដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងជាមួយតែមួយគត់ ចំណុច X ’ តួលេខមួយទៀត។ ប្រភេទនៃការផ្លាស់ប្តូរនេះត្រូវបានគេហៅថា មួយទៅមួយ ឬ bijective.
ទាក់ទងនឹងចលនា ជំនួសឱ្យពាក្យ "សមភាព" នៃតួលេខ (បន្ទាត់ត្រង់ ចម្រៀក យន្តហោះ ។ល។) ពាក្យនេះត្រូវបានគេប្រើ "ការចុះសម្រុងគ្នា"ហើយនិមិត្តសញ្ញាត្រូវបានប្រើ . និមិត្តសញ្ញា є ត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញពីកម្មសិទ្ធិ។ ដោយគិតក្នុងចិត្ត យើងអាចផ្តល់និយមន័យត្រឹមត្រូវបន្ថែមទៀតនៃចលនា៖
ចលនាគឺជាការបំប្លែងជាគោល φ នៃយន្តហោះ π ដែលនៅក្រោមនោះសម្រាប់ណាមួយ។
ចំណុចផ្សេងៗ X, Y є π ទំនាក់ទំនង XY φ (X ) φ (យ ).
លទ្ធផលនៃការប្រតិបត្តិជាបន្តបន្ទាប់នៃចលនាពីរត្រូវបានគេហៅថា ការតែងនិពន្ធ. ប្រសិនបើចលនាត្រូវបានធ្វើឡើងជាមុន φ អមដោយចលនា ψ បន្ទាប់មកសមាសភាពនៃចលនាទាំងនេះត្រូវបានតំណាងដោយ ψ ◦ φ .
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃចលនាគឺការបង្ហាញអត្តសញ្ញាណ (វាជាទម្លាប់ក្នុងការបញ្ជាក់ - ε ) ត្រង់ចំណុចនីមួយៗ X , ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ, ចំណុចនេះត្រូវបានប្រៀបធៀបដោយខ្លួនវា, i.e. ε (X ) = X .
ចូរយើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួននៃចលនា។
គ ទ្រព្យសម្បត្តិ 1.
លេម៉ា ២. 1. ការតែងនិពន្ធφ ◦ ψ ចលនាពីរψ , φ គឺជាចលនាមួយ។
ភស្តុតាង។
សូមឱ្យតួលេខ ច បកប្រែដោយចលនា ψ ទៅជារូប ច ' និងរូប ច ' ត្រូវបានបកប្រែដោយចលនា φ ទៅជារូប ច ''។ សូមឱ្យចំណុច X តួលេខ ច ទៅចំណុច X 'រាង ច ' ហើយក្នុងអំឡុងពេលចលនាទីពីរចំណុច X 'រាង ច ' ទៅចំណុច X '' តួលេខ ច ''។ បន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូររូបភាព ច ទៅជារូប ច '' ត្រង់ចំណុចដែលបំពាន X តួលេខ ច ទៅចំណុច X '' តួលេខ ច '' រក្សាចម្ងាយរវាងចំណុច ហើយដូច្នេះក៏ជាចលនាមួយ។
ចំណាំថាការកត់ត្រាសមាសភាពតែងតែចាប់ផ្តើមពីចលនាចុងក្រោយ ពីព្រោះ លទ្ធផលនៃសមាសភាពគឺជារូបភាពចុងក្រោយ - វាត្រូវបានដាក់ស្របតាមដើម៖
X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )
គ ទ្រព្យសម្បត្តិ 2.
លេម៉ា 2.2 . ប្រសិនបើ កφ - ចលនាបន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូរφ -1 ក៏ជាចលនាមួយ។
ភស្តុតាង។
អនុញ្ញាតឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូររូបរាង ច ទៅជារូប ច ' បកប្រែចំណុចផ្សេងៗនៃរូប ច នៅចំណុចផ្សេងៗគ្នានៅលើរូបភព ច ' អនុញ្ញាតឱ្យមានចំណុចបំពាន X តួលេខ ច នៅក្រោមការផ្លាស់ប្តូរនេះទៅចំណុចមួយ។ X 'រាង ច ’.
ការផ្លាស់ប្តូររូបរាង ច ' ទៅជារូប ច នៅចំណុចនោះ។ X ' ទៅចំណុច X , ត្រូវបានគេហៅថា ការបំប្លែងបញ្ច្រាសទៅនឹងអ្វីដែលផ្តល់ឱ្យ។សម្រាប់រាល់ចលនា φ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់ចលនាបញ្ច្រាសដែលត្រូវបានបង្ហាញ φ -1 .
ការជជែកវែកញែកស្រដៀងគ្នាទៅនឹងភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ 1 យើងអាចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាសទៅជាចលនាក៏ជាចលនាផងដែរ។
វាច្បាស់ណាស់ថាការផ្លាស់ប្តូរ φ -1 បំពេញសមភាព៖
f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε កន្លែងណា ε គឺជាការបង្ហាញដូចគ្នា។
ទ្រព្យ ៣ (សមាគមនៃសមាសភាព) ។
លេម៉ា 2.3 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ φ 1 , φ 2 , φ 3 - ចលនាស្ម័គ្រចិត្ត។ បន្ទាប់មក φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .
ការពិតដែលថាសមាសភាពនៃចលនាមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការផ្សារភ្ជាប់អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់សញ្ញាបត្រ φ ជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ ន .
តោះដាក់ φ 1 = φ និង φ n+1 = φ ន ◦ φ , ប្រសិនបើ ន ≥ 1 . ដូច្នេះចលនា φ ន ទទួលបានដោយ ន - ការអនុវត្តជាបន្តបន្ទាប់នៃចលនា φ .
គ ទ្រព្យសម្បត្តិ 4 (រក្សាភាពត្រង់).
ទ្រឹស្តីបទ ២. 1. ចំនុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា ពេលរំកិលទៅចំនុច។
ចលនាសាកសពស្ថិតនៅក្រោមឥទ្ធិពលនៃទំនាញផែនដី
វគ្គសិក្សា >> រូបវិទ្យាប្រភេទនៃគន្លង ពួកគេ។ ចលនាបញ្ជាក់ការកើនឡើង ... aero- និង hydrodynamics គឺ សិក្សា ចលនាសារធាតុរឹងនៅក្នុងឧស្ម័ន និង ... កកិត) គឺ ទ្រព្យសម្បត្តិវត្ថុរាវពិតទប់ទល់ ... ធុងនិង យន្តហោះដៃផ្តេកបង្កើតឡើង ខ្លះការចាក់, ...
សិក្សាការចែកចាយចរន្តអគ្គិសនីនៅក្នុងរលកបំផ្ទុះដែលបានបង្ហាប់លើសនៅក្នុងសារធាតុផ្ទុះ
ការងារសញ្ញាបត្រ >> គីមីវិទ្យា... ស្រាវជ្រាវអេឡិចត្រូរូបវិទ្យា លក្ខណៈសម្បត្តិ... លទ្ធផល និង ពួកគេ។ការវិភាគ 2.1 ... ផលិតផលបំផ្ទុះនៅក្នុង យន្តហោះ Chapman-Jouguet ... អនុញ្ញាតឱ្យអ្នករាប់ ចលនាអេឡិចត្រុងពាក់កណ្តាលបុរាណ។ ... Kartashov A.M., Svih V. G. O ខ្លះកំហុសជាប្រព័ន្ធក្នុងការវាស់វែងចរន្ត...
ទ្រព្យសម្បត្តិសម្ភារៈវិស្វកម្ម (2)
ការងារជាក់ស្តែង >> ឧស្សាហកម្ម ផលិតកម្មផ្នែកទី 1 ដែកថែបរចនាសម្ព័ន្ធ និងយ៉ាន់ស្ព័រ ដែកថែបរចនាសម្ព័ន្ធគឺជាវត្ថុដែលមានបំណងសម្រាប់ផលិតផ្នែកម៉ាស៊ីន (ដែកថែបសម្រាប់ម៉ាស៊ីន) រចនាសម្ព័ន្ធ និងរចនាសម្ព័ន្ធ (ដែកថែបសំណង់)។ Carbon Structural Steels រចនាសម្ព័ន្ធកាបូន...
សេចក្តីផ្តើម។
ការបំប្លែងធរណីមាត្រគឺជាផ្នែកយឺតនៃគណិតវិទ្យា។ ការបំប្លែងធរណីមាត្រដំបូងបានចាប់ផ្ដើមត្រូវបានពិចារណានៅសតវត្សទី 17 ខណៈពេលដែលការបំប្លែងតាមការព្យាករណ៍បានលេចឡើងតែនៅដើមសតវត្សទី 19 ប៉ុណ្ណោះ។
នៅក្នុងពិជគណិតមុខងារផ្សេងៗត្រូវបានពិចារណា។ អនុគមន៍ f ផ្តល់ទៅលេខ x នីមួយៗពីដែននៃអនុគមន៍ ចំនួនជាក់លាក់ f(x) - តម្លៃនៃអនុគមន៍ f នៅចំណុច x ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ មុខងារត្រូវបានចាត់ទុកថាមានដែនផ្សេងទៀតនៃនិយមន័យ និងសំណុំនៃតម្លៃ។ ពួកគេកំណត់ចំណុចមួយទៅចំណុចនីមួយៗ។ មុខងារទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ការបំប្លែងធរណីមាត្រ។
ការបំប្លែងធរណីមាត្រមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងនៅក្នុងធរណីមាត្រ។ ដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរធរណីមាត្រ គោលគំនិតធរណីមាត្រសំខាន់ៗដូចជាសមភាព និងភាពស្រដៀងគ្នានៃតួលេខត្រូវបានកំណត់។ អរគុណចំពោះការបំប្លែងធរណីមាត្រ ការពិតផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃធរណីមាត្រសមនឹងចូលទៅក្នុងទ្រឹស្តីរួមមួយ។
នៅក្នុងអរូបី ជាចម្បង យើងនឹងនិយាយអំពីការផ្លាស់ប្តូរនៃលំហ។ រាល់ចលនា ភាពស្រដៀងគ្នា ការបំប្លែងរាងជារង្វង់ និងភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃលំហ ក៏ដូចជាការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាល និងការព្យាករណ៍នៃយន្តហោះនឹងត្រូវបានពិចារណា។ សម្រាប់ការបំប្លែងនីមួយៗ លក្ខណៈសម្បត្តិ និងឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តចំពោះដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាធរណីមាត្រនឹងត្រូវបានពិចារណា។
ជាដំបូង សូមក្រឡេកមើលគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយចំនួន ដែលយើងនឹងត្រូវការដើម្បីធ្វើការជាមួយការផ្លាស់ប្តូរ។ ចូរយើងរស់នៅលើលក្ខខណ្ឌពីរ៖ ចម្ងាយ និងការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះតើយើងមានន័យយ៉ាងណាដោយពាក្យទាំងនេះ:
និយមន័យ។ ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរ យើងនឹងហៅប្រវែងនៃផ្នែកដោយបញ្ចប់នៅចំណុចទាំងនេះ។
និយមន័យ។ ការផ្លាស់ប្តូរសំណុំត្រូវបានគេហៅថាការគូសផែនទីមួយទៅមួយនៃសំណុំនេះទៅលើខ្លួនវា។
ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅការពិចារណានៃប្រភេទមួយចំនួននៃការបំប្លែងធរណីមាត្រ។
ផ្នែក I. ចលនានៃលំហ។
លក្ខណៈទូទៅនៃចលនា។
និយមន័យ។ការផ្លាស់ប្តូរអវកាសត្រូវបានគេហៅថា ចលនាប្រសិនបើវារក្សាចម្ងាយរវាងចំណុច។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃចលនា។
- ការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាសទៅជាចលនាគឺជាចលនា។
- សមាសភាពនៃចលនាគឺជាចលនា។
- នៅពេលផ្លាស់ទី បន្ទាត់ត្រង់មួយប្រែទៅជាបន្ទាត់ត្រង់ កាំរស្មីទៅជាផ្នែកមួយ បំណែកទៅជាយន្តហោះ យន្តហោះពាក់កណ្តាលទៅជាយន្តហោះពាក់កណ្តាល។
- រូបភាពនៃមុំយន្តហោះក្នុងចលនាគឺជាមុំយន្តហោះនៃរ៉ិចទ័រដូចគ្នា។
- ចលនារក្សាមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ រវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ រវាងយន្តហោះ។
- ចលនារក្សាភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ បន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ យន្តហោះ។
ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ។
1 និង 2. ធ្វើតាមពីនិយមន័យនៃចលនា។
- សូមអោយចំនុច A, X និង B ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា ហើយចំនុច X ស្ថិតនៅចន្លោះ A និង B។ បន្ទាប់មក AX + XB = AB ។ សូមអោយចំនុច А´, Х´, В´ ជារូបភាពនៃចំនុច А, Х, В កំឡុងពេលចលនា។ បន្ទាប់មក А´Х´+Х´В´=А´В´ (ពីនិយមន័យនៃចលនា)។ ហើយពីនេះទៅទៀត ចំនុច A´, X´, B´ ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយ X´ ស្ថិតនៅចន្លោះ A´ និង B´។
ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបង្ហាញឱ្យឃើញភ្លាម វាធ្វើតាមភ្លាមៗថា នៅពេលផ្លាស់ទី បន្ទាត់ត្រង់មួយប្រែទៅជាបន្ទាត់ត្រង់ កាំរស្មីទៅជាកាំរស្មី ចម្រៀកទៅជាចម្រៀក។
សម្រាប់យន្តហោះ ភស្តុតាងអាចត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យ a, b ជាបន្ទាត់ប្រសព្វពីរនៃយន្តហោះរបស់យើង α, a´, b´ រូបភាពរបស់ពួកគេ។ ជាក់ស្តែង a' និង b' ប្រសព្វគ្នា។ សូមឱ្យ α´ ជាយន្តហោះដែលមានបន្ទាត់ a´, b´ ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា α´ គឺជារូបភាពនៃយន្តហោះ α ។ អនុញ្ញាតឱ្យ М ជាចំណុចបំពាននៃយន្តហោះ α មិនកុហកនៅលើបន្ទាត់ a និង b ។ ចូរយើងគូរបន្ទាត់ c ដល់ M ដែលប្រសព្វបន្ទាត់ a និង b នៅចំណុចផ្សេងគ្នា។ រូបភាពនៃបន្ទាត់នេះគឺជាបន្ទាត់ c´ ប្រសព្វបន្ទាត់ a´, b´ នៅចំណុចផ្សេងគ្នា។ នេះមានន័យថា M´ ដែលជារូបភាពនៃចំនុច M ក៏ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ α´ ដែរ។ ដូច្នេះរូបភាពនៃចំណុចណាមួយនៃយន្តហោះ α ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ α´ ។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នាថារូបភាពមុននៃចំណុចណាមួយនៃយន្តហោះ α´ ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ α ។ ដូច្នេះ α´ គឺជារូបភាពនៃយន្តហោះ α ។
ឥឡូវនេះវាមិនពិបាកក្នុងការបញ្ជាក់ពីការអះអាងសម្រាប់ពាក់កណ្តាលយន្តហោះផងដែរ។ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីបញ្ចប់ពាក់កណ្តាលយន្តហោះទៅយន្តហោះមួយ ពិចារណាបន្ទាត់ a ដែលចងពាក់កណ្តាលយន្តហោះ និងរូបភាពរបស់វា a´ ហើយបន្ទាប់មកបញ្ជាក់ដោយភាពផ្ទុយគ្នាថារូបភាពនៃចំណុចពីរណាមួយនៃយន្តហោះពាក់កណ្តាលស្ថិតនៅលើ ផ្នែកដូចគ្នានៃ a' ។
- តាមដានពីទ្រព្យសម្បត្តិ ៣.
- វាធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិ 4 និងនិយមន័យនៃមុំរវាងបន្ទាត់ (បន្ទាត់មួយនិងយន្តហោះមួយ យន្តហោះពីរ) នៅក្នុងលំហ។
- សន្មតថាផ្ទុយ, i.e. អនុញ្ញាតឱ្យរូបភាពនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលរបស់យើង (បន្ទាត់មួយ និងយន្តហោះ យន្តហោះ) ប្រសព្វគ្នា (ក្នុងករណីបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល វានៅតែចាំបាច់ដើម្បីបង្ហាញថារូបភាពរបស់ពួកគេមិនអាចជាបន្ទាត់ skew បាន ប៉ុន្តែនេះកើតឡើងភ្លាមៗពីការពិតដែលថាយន្តហោះដែលមាន ខ្សែទាំងនេះនឹងចូលទៅក្នុងយន្តហោះ) ។ បន្ទាប់មកពិចារណាចំណុចរួមរបស់ពួកគេ។ វានឹងមានគំរូពីរដែលមិនអាចទៅរួចតាមនិយមន័យនៃការបំប្លែង។
និយមន័យ។រូបភាព F ត្រូវបានគេហៅថា ស្មើរូប Ф´ ប្រសិនបើមានចលនាដែលបំលែង Ф ទៅជា Ф´ ។
ប្រភេទនៃចលនា។
៣.១. ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណ។
និយមន័យ។ ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណលំហ E ត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរដែលចំនុចនីមួយៗនៃលំហចូលទៅក្នុងខ្លួនវា។
ជាក់ស្តែង ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ គឺជាចលនាមួយ។
៣.២. ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល។
និយមន័យ។សូមឱ្យវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ។ ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលចន្លោះនៅលើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាបំលែងដែលចំនុច M នីមួយៗត្រូវបានគូសវាសទៅនឹងចំនុច M ដូចនេះ។
ទ្រឹស្តីបទ 3.2 ។ការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែល - ចលនា។
ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យ А´, В´ ជារូបភាពនៃចំនុច А, В នៅក្រោមការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលទៅវ៉ិចទ័រ។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថា AB=AB´´ ដែលបន្តពីសមភាព៖
ផ្ទេរទ្រព្យសម្បត្តិ។ការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល បកប្រែបន្ទាត់ (យន្តហោះ) ចូលទៅក្នុងខ្លួនវា ឬចូលទៅក្នុងបន្ទាត់ស្របនឹងវា (យន្តហោះ)។
ភស្តុតាង។នៅក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ 3.2 យើងបានបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រត្រូវបានរក្សាទុកក្រោមការបកប្រែស្របគ្នា។ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះត្រូវបានរក្សាទុក។ នេះគឺជាកន្លែងដែលការអះអាងរបស់យើងធ្វើតាម។
ស៊ីមេទ្រីកណ្តាល។
និយមន័យ។ ស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងចំណុច O ( ស៊ីមេទ្រីកណ្តាល) នៃលំហ គឺជាការបំប្លែងលំហដែលគូសចំនុច O ទៅលើខ្លួនវា ហើយគូសផែនទីចំនុច M ផ្សេងទៀត ទៅលើចំនុច M´ ដែលចំនុច O គឺជាចំនុចកណ្តាលនៃផ្នែក MM´។ ចំណុច O ត្រូវបានគេហៅថា កណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី.
ទ្រឹស្តីបទ 3.4 ។ស៊ីមេទ្រីកណ្តាល - ចលនា។
ភស្តុតាង។
អនុញ្ញាតឱ្យ A, B ជាចំណុចបំពានពីរ A´, B´ រូបភាពរបស់ពួកគេ О កណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី។ បន្ទាប់មក។
ទ្រព្យសម្បត្តិនៃស៊ីមេទ្រីកណ្តាល។ស៊ីមេទ្រីកណ្តាលយកបន្ទាត់ (យន្តហោះ) ចូលទៅក្នុងខ្លួនវាឬចូលទៅក្នុងបន្ទាត់ស្របទៅនឹងវា (យន្តហោះ) ។
ភស្តុតាង។នៅពេលបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ 3.4 យើងបានបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រត្រូវបានបញ្ច្រាសក្រោមការបកប្រែស្របគ្នា។ នេះមានន័យថាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលមានស៊ីមេទ្រីកណ្តាលផ្លាស់ប្តូរទិសដៅប៉ុណ្ណោះ។ នេះគឺជាកន្លែងដែលការអះអាងរបស់យើងធ្វើតាម។
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការកំណត់ចលនា។
ទ្រឹស្តីបទ ៥.១. (ទ្រឹស្តីបទអំពីការបញ្ជាក់ចលនា)ដោយបានផ្តល់ឱ្យ tetrahedra ABCD និង AB'C'D' ពីរដែលមានគែមស្មើគ្នារៀងៗខ្លួន នោះមានចលនាលំហមួយ និងតែមួយគត់ដែលគូសចំនុច A, B, C, D រៀងៗខ្លួនទៅនឹងចំនុច A', B', C', ឃ ´
ភស្តុតាង។
ខ្ញុំ អត្ថិភាព។ប្រសិនបើ A ស្របពេលជាមួយ A', B ស្របពេលជាមួយ B', C ស្របពេលជាមួយ C', D ស្របគ្នាជាមួយ D' នោះការបំប្លែងអត្តសញ្ញាណត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បើមិនដូច្នោះទេ យើងសន្មត់ថា A មិនស្របគ្នានឹង A' ។ ពិចារណាប្លង់ α នៃភាពស៊ីមេទ្រីនៃចំនុច A និង A' ។ អនុញ្ញាតឱ្យស៊ីមេទ្រី S α យក tetrahedron ABCD ចូលទៅក្នុង tetrahedron A´B 1 C 1 D 1 ។
ឥឡូវនេះ ប្រសិនបើ В 1 ស្របពេលជាមួយ В´, С 1 - ជាមួយ С´, D 1 - ជាមួយ D´ នោះភស្តុតាងគឺពេញលេញ។ បើមិនដូច្នោះទេ យើងអាចសន្មត់ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅថា ពិន្ទុ В´ និង В 1 មិនស្របគ្នា។ ពិចារណាលើយន្តហោះ β នៃភាពស៊ីមេទ្រីនៃចំនុច B 1 និង B´ ។ ចំណុច A´ គឺសមមូលពីចំណុច B1 និង B´ ដូច្នេះវាស្ថិតនៅលើយន្តហោះ β ។ អនុញ្ញាតឱ្យស៊ីមេទ្រី S β យក tetrahedron AB 1 C 1 D 1 ចូលទៅក្នុង tetrahedron A´B´C 2 D 2 ។
ឥឡូវនេះ ប្រសិនបើ С 2 ស្របគ្នានឹង С´ ហើយ D 2 ស្របគ្នានឹង D´ នោះភស្តុតាងគឺពេញលេញ។ បើមិនដូច្នោះទេ យើងអាចសន្មត់ដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅថា ពិន្ទុ С´ និង С 2 មិនស្របគ្នា។ ពិចារណាលើយន្តហោះγនៃភាពស៊ីមេទ្រីនៃចំណុច С 2 និង С´ ។ ពិន្ទុ А´, В´ គឺស្មើគ្នាពីចំណុច С 2 និង С´ ដូច្នេះពួកគេស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ γ ។ អនុញ្ញាតឱ្យស៊ីមេទ្រី S γ យក tetrahedron AB´C 2 D 2 ចូលទៅក្នុង tetrahedron A´B´C´D 3 ។
ឥឡូវនេះ ប្រសិនបើ D 3 ស្របគ្នានឹង D' នោះភស្តុតាងគឺពេញលេញ។ បើមិនដូច្នោះទេ ពិចារណាប្លង់ δ នៃភាពស៊ីមេទ្រីនៃចំនុច D 3 និង D´។ ពិន្ទុ А´, В´, С´ គឺស្មើគ្នាពីចំណុច D 3 និង D´ ដូច្នេះពួកគេស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ δ ។ ដូច្នេះ ស៊ីមេទ្រី S δ យក tetrahedron AB'C'D 3 ចូលទៅក្នុង tetrahedron A'B'C'D' ។
ដូច្នេះសមាសភាពនៃចំនួនដែលត្រូវការនៃស៊ីមេទ្រីកញ្ចក់ត្រូវបានកាត់បន្ថយបំលែង tetrahedron ABCD ទៅជា tetrahedron A'B'C'D' ។ ហើយការផ្លាស់ប្តូរនេះគឺជាចលនាមួយ (ទ្រព្យសម្បត្តិ 2 នៃចលនា) ។
II. ភាពប្លែក។សូមឱ្យមានចលនា 2 f និង g ដែលយក A ទៅ A´ B ទៅ B´ C ទៅ C´ D ទៅ D´ ។ បន្ទាប់មកចលនាគឺជាការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទ ទុកចំណុច A, B, C, D ថេរ។ ដូច្នេះ f=g ។
នៅក្នុងភ័ស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ 5.1 (អត្ថិភាព) តាមពិតទៅ
ទ្រឹស្តីបទ ៥.២.រាល់ចលនានៃលំហគឺជាសមាសធាតុនៃស៊ីមេទ្រីកញ្ចក់មិនលើសពីបួន។
ភាពដូចគ្នានៃលំហ។
ជាដំបូង ចូរយើងពិចារណាករណីពិសេសមួយដ៏សំខាន់នៃភាពស្រដៀងគ្នា ភាពដូចគ្នា ។
និយមន័យ។ ភាពស្មោះត្រង់ជាមួយកណ្តាល O និងមេគុណគឺជាការបំប្លែងលំហ ដែលរូបភាពនៃចំនុចនីមួយៗ X គឺជាចំនុច X' ដូចនេះ។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃភាពដូចគ្នា។
ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ។
1 និង 2. ធ្វើតាមនិយមន័យនៃ homothety ។
3. វាត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវគ្នានៅលើយន្តហោះ។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើយើងពិចារណាចំណុច X នៃលំហដោយបំពាន នោះវានឹងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទរបស់យើងសម្រាប់យន្តហោះ (AXB)។
4. បង្ហាញដោយភាពផ្ទុយគ្នា។
- តាមពីទ្រព្យ ១.
លក្ខណៈសម្បត្តិស្រដៀងគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទ ២.១.ភាពស្រដៀងគ្នានៃលំហអាចត្រូវបានតំណាងដោយសមាសភាពនៃភាពដូចគ្នា និងចលនា f:
ភស្តុតាង។ចូរធ្វើឱ្យមានភាពដូចគ្នាដែលផ្តោតទៅលើចំណុចបំពាន។ ពិចារណាការបំប្លែង f បែបនោះ (អត្ថិភាពនៃការបំប្លែងបែបនេះកើតឡើងពីនិយមន័យនៃការផ្លាស់ប្តូរ) ។ ការបំប្លែង f នឹងជាចលនាតាមនិយមន័យនៃចលនា។
ចំណាំថាតាមរយៈការជ្រើសរើសសម្រាប់ចលនា យើងអាចទទួលបានតំណាងនៃភាពស្រដៀងគ្នារបស់យើងនៅក្នុងទម្រង់នេះផងដែរ។
លក្ខណៈសម្បត្តិស្រដៀងគ្នា។
ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ។
1 និង 2. Corollaries ពីទ្រឹស្តីបទ 2.1 ។
3. ធ្វើតាមពីនិយមន័យនៃភាពស្រដៀងគ្នា។
4. សម្រាប់គូប ទ្រឹស្តីបទគឺជាក់ស្តែង។ សម្រាប់រាងកាយដែលមានគូបក៏ពិតមែន។
polyhedron M តាមអំពើចិត្តអាចដាក់លើបន្ទះឈើគូប។ យើងនឹងកិនបន្ទះឈើនេះ។ ដោយសារផ្នែកម្ខាងនៃគូបមួយនៃបន្ទះឈើរបស់យើងមានទំនោរទៅសូន្យ បរិមាណនៃតួពីរ៖ តួ I ដែលមានគូបដែលស្ថិតនៅខាងក្នុង M ហើយតួ S មានគូបដែលមានចំនុចរួមជាមួយ M មានទំនោរទៅនឹងបរិមាណ។ នៃ polyhedron M (នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាសម្រាប់មុខនីមួយៗនៃ polyhedron M របស់យើងបរិមាណនៃគូបឆ្លងកាត់មុខនេះនឹងមានទំនោរទៅសូន្យ) ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះសម្រាប់រូបភាព M´ នៃពហុកោណ M ជាមួយនឹងភាពស្រដៀងគ្នារបស់យើងបរិមាណនៃសាកសព I´, S´ (រូបភាពនៃសាកសព I, S) មានទំនោរទៅនឹងបរិមាណនៃ polyhedron M´ ។ សម្រាប់រូបកាយ I និង S ទ្រឹស្តីបទរបស់យើងគឺពិត ដែលមានន័យថាវាក៏ពិតសម្រាប់ polyhedron M.
បរិមាណនៃរាងកាយបំពានត្រូវបានកំណត់ដោយបរិមាណនៃ polyhedra ដែលត្រូវគ្នា ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទក៏ជាការពិតសម្រាប់រាងកាយដែលបំពានផងដែរ។
ទ្រឹស្តីបទ ២.២. (ការកំណត់ភាពស្រដៀងគ្នានៃលំហ)ប្រសិនបើ tetrahedra ABCD និង A'BC'D' ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនោះ។ 
បន្ទាប់មកមានភាពស្រដៀងគ្នានៃលំហដែល A→A´,B→B´,С→С´,D→D´។
ភស្តុតាង។ភាពស្រដៀងគ្នាបែបនេះមានតាមទ្រឹស្តីបទ ២.១ និងទ្រឹស្តីបទស្តីពីការបញ្ជាក់ចលនានៃលំហ (ផ្នែកទី ១ ទ្រឹស្តីបទ ៥.១)។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការបំប្លែងពីរយ៉ាង៖ P និង Р´។ បន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូរគឺជាចលនាដែលមានចំនុច A, B, C, D, i.e. f គឺជាការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណ។ ដូច្នេះ P=P´។
កិច្ចការទី 1 ។
ចំណុច M, N, P ស្ថិតនៅលើជ្រុង AB, BC, AC នៃត្រីកោណ ABC ។ ចំនុច M´, N´, P´ គឺស៊ីមេទ្រីទៅនឹងចំនុច M, N, P ទាក់ទងនឹងជ្រុង AB, BC, AC ។ បង្ហាញថាតំបន់នៃត្រីកោណ MNP និង M´N´P´ គឺស្មើគ្នា។
ការសម្រេចចិត្ត។
សម្រាប់ត្រីកោណធម្មតាការអះអាងគឺជាក់ស្តែង។
នៅក្នុងវិធីដូចគ្នានេះ trapezoid ណាមួយអាចត្រូវបានបម្លែងទៅជា isosceles មួយដោយការបំប្លែង affine, i.e. វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ការអះអាងណាមួយសម្រាប់ isosceles trapezoid ។
កិច្ចការទី 2 ។
នៅក្នុង trapezoid ABCD ដែលមានមូលដ្ឋាន AD និង BC បន្ទាត់មួយត្រូវបានគូសតាមចំនុច B ស្របទៅចំហៀង CD និងកាត់អង្កត់ទ្រូង AC នៅចំណុច P និងឆ្លងកាត់ចំនុច C បន្ទាត់មួយស្របទៅចំហៀង AB និងអង្កត់ទ្រូង BD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច Q. បញ្ជាក់ បន្ទាត់ PQ គឺស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាន trapezoid ។
ការសម្រេចចិត្ត។
សម្រាប់ isosceles trapezoid ការអះអាងគឺជាក់ស្តែង។
ការបង្ហាប់ទៅជាបន្ទាត់ត្រង់។
និយមន័យ។ ការបង្ហាប់ទៅជាបន្ទាត់ត្រង់ℓ ជាមួយមេគុណ k () គឺជាការបំប្លែងដែលយកចំណុចបំពាន M ទៅចំណុច M´ បែបនោះ និង កន្លែងណា។
ទ្រឹស្តីបទ ២.១.ការបង្រួញទៅជាបន្ទាត់ត្រង់គឺជាការបំប្លែងទំនាក់ទំនង។
ភស្តុតាង។តាមរយៈការត្រួតពិនិត្យដោយផ្ទាល់ យើងធ្វើឱ្យប្រាកដថាបន្ទាត់ត្រង់ចូលទៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់។ អ្នកថែមទាំងអាចកត់សម្គាល់បានថា ការបង្រួញទៅបន្ទាត់ត្រង់គឺជាករណីពិសេសនៃការព្យាករប៉ារ៉ាឡែល (នៅពេលដែលទិសដៅនៃការព្យាករគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ)។
ទ្រឹស្តីបទ ២.២.សម្រាប់ការបំប្លែង affine ណាមួយ មានបន្ទះឈើរាងការ៉េ ដែលនៅក្រោមការបំប្លែងនេះ បំលែងទៅជាបន្ទះឈើរាងចតុកោណ។
ភស្តុតាង។ចូរយើងយកបន្ទះឈើការ៉េតាមអំពើចិត្ត ហើយពិចារណា OABS មួយក្នុងចំណោមការ៉េរបស់វា។ ជាមួយនឹងការបំប្លែងរបស់យើង វានឹងប្រែទៅជាប្រលេឡូក្រាម О´А´В´С´។ ប្រសិនបើ O'A'B'C' គឺជាចតុកោណកែង នោះភស្តុតាងរបស់យើងគឺពេញលេញ។ បើមិនដូច្នោះទេ យើងសន្មត់ថា មុំ А´О´В´ គឺស្រួច។ យើងនឹងបង្វិលការ៉េ OABS និងបន្ទះឈើទាំងមូលរបស់យើងជុំវិញចំនុច O។ នៅពេលដែលការេ OABS បើក (ដូច្នេះចំនុច A បានផ្លាស់ទីទៅចំនុច B) ចំនុច A´ នឹងទៅចំនុច B´ ហើយ B´ ទៅចំនុចកំពូលនៃ ប្រលេឡូក្រាមជាប់នឹង O'A' W'S' ។ ទាំងនោះ។ មុំ A'O'B' ក្លាយជាស្រួច។ យោងតាមគោលការណ៍នៃការបន្តនៅចំណុចខ្លះគាត់ត្រង់។ នៅពេលនេះ ការ៉េ OABS ប្រែទៅជាចតុកោណកែង ហើយបន្ទះឈើរបស់យើងទៅជាបន្ទះឈើរាងចតុកោណ។ល។
ទ្រឹស្តីបទ ២.៣.ការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាលអាចត្រូវបានតំណាងដោយសមាសភាពនៃការកន្ត្រាក់ទៅជាបន្ទាត់ត្រង់ និងភាពស្រដៀងគ្នា។
ភស្តុតាង។ធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទ ២.២។
ទ្រឹស្តីបទ ២.៤.ការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាលដែលបំប្លែងរង្វង់ជាក់លាក់មួយទៅជារង្វង់គឺជាភាពស្រដៀងគ្នា។
ភស្តុតាង។យើងពណ៌នាការ៉េនៅជិតរង្វង់របស់យើង ហើយបង្វិលវា ដើម្បីឱ្យវាប្រែទៅជាចតុកោណកែង កំឡុងពេលបំប្លែងរបស់យើង (ទ្រឹស្តីបទ 2.2.)។ រង្វង់របស់យើងនឹងចូលទៅជារង្វង់ដែលចារឹកក្នុងចតុកោណនេះ ដូច្នេះចតុកោណនេះគឺជាការ៉េ។ ឥឡូវនេះយើងអាចបញ្ជាក់ក្រឡាចត្រង្គការ៉េដែលការបំប្លែងរបស់យើងនឹងបំប្លែងទៅជាក្រឡាចត្រង្គការ៉េ។ ជាក់ស្តែង ការផ្លាស់ប្តូររបស់យើងគឺស្រដៀងគ្នា។
3. ការបំប្លែង Affine នៃលំហ។
និយមន័យ។ អាហ្វីនការបំប្លែងលំហអាកាសគឺជាការបំប្លែងលំហអាកាសដែលបំប្លែងយន្តហោះនីមួយៗទៅជាយន្តហោះ។
ទ្រព្យសម្បត្តិ។
- នៅក្រោមការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាល បន្ទាត់ត្រង់ក្លាយជាបន្ទាត់ត្រង់។
- ការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាលនៃលំហអាកាស បង្កើតឱ្យមានផែនទី affine នៃយន្តហោះនីមួយៗទៅលើរូបភាពរបស់វា។
- នៅក្រោមការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាល យន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល (បន្ទាត់ត្រង់) ឆ្លងចូលទៅក្នុងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល (បន្ទាត់ត្រង់)។
ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ។
- វាកើតឡើងពីការពិតដែលថាបន្ទាត់ត្រង់គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ និងពីនិយមន័យនៃការផ្លាស់ប្តូរ affine ។
- វាធ្វើតាមពីនិយមន័យនៃការផ្លាស់ប្តូរ affine និងទ្រព្យសម្បត្តិ 1 ។
- សម្រាប់យន្តហោះ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយភាពផ្ទុយគ្នា សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ - តាមរយៈទ្រព្យសម្បត្តិ 2 និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃការផ្លាស់ប្តូរ affine នៃយន្តហោះ។
ទ្រឹស្តីបទ ៣.១. (លើការបញ្ជាក់ការផ្លាស់ប្តូរលំហ affine មួយ)សម្រាប់ tetrahedra ABCD និង AB'C'D' ដែលបានផ្តល់ឱ្យណាមួយ មានការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាលតែមួយគត់ដែលយក A ទៅ A', B ទៅ B', C ទៅ C', D ទៅ D' ។
ភស្តុតាង។ភស្តុតាងគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងទ្រឹស្តីបទ 1.1 ។ (បន្ទះឈើនៃ parallelepipeds ត្រូវបានសាងសង់) ។
វាធ្វើតាមភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ 3.1 ដែលថាប្រសិនបើយើងមានប្រព័ន្ធសំរបសំរួល oblique W ហើយ W' គឺជារូបភាពរបស់វានៅក្រោមការបំប្លែង affine នោះកូអរដោណេនៃចំនុចបំពានក្នុងលំហនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ W គឺស្មើនឹងកូអរដោនេរបស់វា រូបភាពនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ W' ។
ពីនេះភ្លាមៗបន្ទាប់មួយចំនួនទៀត។ លក្ខណៈសម្បត្តិការផ្លាស់ប្តូរ affine ។
- បំរែបំរួល affine គឺ affine។
- ការបំប្លែង Affine រក្សាសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃផ្នែកប៉ារ៉ាឡែល។
ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោណេ (O, , , ) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ ហើយការបំប្លែង affine f យក O ទៅ O´ និងវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានទៅជាវ៉ិចទ័រ , រៀងគ្នា។ ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេ x´, y´, z´ នៃរូបភាព M´(x´,y´,z´) នៃចំនុច M(x,y,z) ក្រោមការបំប្លែង f ។
យើងនឹងបន្តពីការពិតដែលថាចំណុច M នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ (О, , , ) មានកូអរដោនេដូចគ្នានឹងចំណុច М´ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ (О´, , , ). ពីទីនេះ
ដូច្នេះ យើងមានសមភាព (*)៖
វាក៏គួរអោយកត់សំគាល់ផងដែរ។ 
, ដោយសារតែ វ៉ិចទ័រ , , គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។
កត្តាកំណត់នេះត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់ការផ្លាស់ប្តូរ affine.
ទ្រឹស្តីបទ 3.2 ។ការផ្លាស់ប្តូរដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមភាព (*) នៅគឺ affine ។
ភស្តុតាង។វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិនិត្យមើលថាការបំប្លែងបញ្ច្រាសទៅការផ្លាស់ប្តូរ (*) គឺ affine (ទ្រព្យសម្បត្តិ 4) ។ យកយន្តហោះតាមអំពើចិត្ត Аx´+Вy´+Сz´+D=0 ដែល А, В, С មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ អនុវត្តការជំនួស (*) យើងទទួលបានសមីការនៃការនាំមុខរបស់វា៖
វានៅសល់តែដើម្បីពិនិត្យមើលថាមេគុណនៅ x, y, z ក្នុងសមីការលទ្ធផលគឺមិនក្នុងពេលដំណាលគ្នាស្មើនឹងសូន្យទេ។ នេះជាការពិត ពីព្រោះ បើមិនដូច្នោះទេប្រព័ន្ធ
ជាមួយនឹងកត្តាកំណត់ដែលមិនមែនជាសូន្យនឹងមានដំណោះស្រាយសូន្យប៉ុណ្ណោះ៖ A=B=C=0 ដែលមិនមែនជាការពិត។
ទ្រឹស្តីបទ ៣.៣.សម្រាប់បរិមាណ V និង V' នៃសាកសពដែលត្រូវគ្នានឹងការផ្លាស់ប្តូរ affine មានការពឹងផ្អែក។
ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar , , បង្កើតជាវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាននៃលំហ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រ 
, 
និង 
. ការគណនាផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ យើងទទួលបាន៖
.
ចូរយើងទាញយកប្រយោជន៍ពីការពិតដែលថាបរិមាណនៃប៉ារ៉ាឡែលប៉ីបតម្រង់ទិសដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រដូចនៅលើគែមគឺស្មើនឹងផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ៖
,
ដែល V 0 គឺជាបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតឡើងនៅលើវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។
ការបំប្លែង affine មិនផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលត្រូវគ្នានោះទេ។ ដូច្នេះសម្រាប់បរិមាណ V' នៃរូបភាពនៃប៉ារ៉ាឡែលភីពនៃបរិមាណ V យើងមាន:
,
តើបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រដូចនៅលើគែម។
ពីទីនេះយើងទទួលបាន៖ . បន្ថែមទៀត 
ដូច្នេះសម្រាប់បរិមាណដែលមិនតម្រង់ទិសយើងមាន។ សមភាពនេះអាចត្រូវបានពង្រីកដល់ស្ថាប័នទាំងអស់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នាទៅនឹងភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ 4 នៃភាពស្រដៀងគ្នា (ផ្នែកទី II, §2) ។
កិច្ចការ។
ចំនុចកំពូលនៃ parallelepiped ត្រូវបានតភ្ជាប់ទៅកណ្តាលនៃមុខបីដែលមិនមានវា។ ស្វែងរកសមាមាត្រនៃបរិមាណនៃ tetrahedron លទ្ធផលទៅនឹងបរិមាណនៃ parallelepiped ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ការសម្រេចចិត្ត។
ចូរយើងគណនាសមាមាត្រនេះសម្រាប់គូបមួយ ហើយដោយបានបំប្លែងគូបទៅជាប៉ារ៉ាឡែលភីពដោយការបំប្លែង affine យើងនឹងប្រើការពិតដែលថាការបំប្លែង affine រក្សាសមាមាត្រនៃបរិមាណ។ សម្រាប់គូបមួយសមាមាត្រគឺងាយស្រួលក្នុងការគណនា។ វាស្មើនឹង 1:12 ។
ចម្លើយ៖ 1:12.
ទំនាក់ទំនងនៃលំហ។
និយមន័យ។ការបំប្លែងភាពជាប់គ្នានៃលំហដែលមានប្លង់នៃចំណុចថេរត្រូវបានគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូរដែលទាក់ទង ρ (ញាតិមិត្ត) ហើយយន្តហោះនៃចំណុចថេររបស់វាត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះរបស់ញាតិមិត្ត. ធាតុដែលទាក់ទងត្រូវបានគេហៅថា ពាក់ព័ន្ធ.
និយមន័យ។ទិសដៅនៃបន្ទាត់តភ្ជាប់ចំណុចដែលទាក់ទងត្រូវបានគេហៅថា ទិសដៅនៃសាច់ញាតិ.
លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ញាតិវង្ស។
- បន្ទាត់ដែលទាក់ទង (យន្តហោះ) ប្រសព្វគ្នានៅលើយន្តហោះនៃញាតិមិត្ត ឬស្របទៅនឹងវា។
- (ភាពត្រឹមត្រូវនៃការកំណត់ទិសដៅនៃញាតិមិត្ត)បន្ទាត់នីមួយៗដែលតភ្ជាប់ចំណុចទាក់ទងគ្នាពីរគឺស្របគ្នា។
- ប្រសិនបើទិសដៅនៃទំនាក់ទំនងមិនស្របគ្នានឹងប្លង់នៃទំនាក់ទំនងនេះ នោះផ្នែកនីមួយៗដែលតភ្ជាប់ចំណុចពាក់ព័ន្ធពីរត្រូវបានបែងចែកដោយយន្តហោះនៃទំនាក់ទំនងក្នុងសមាមាត្រដូចគ្នា។
- យន្តហោះណាមួយដែលស្របទៅនឹងទិសនៃញាតិ គឺគ្មានចលនាក្នុងញាតិវង្សនេះ។ នៅក្នុងវា សម្ព័ន្ធភាពនៃយន្តហោះត្រូវបានជំរុញ (ការផ្លាស់ប្តូរទំនាក់ទំនងដែលមានបន្ទាត់នៃចំណុចថេរ ហៅថាអ័ក្សនៃញាតិវង្ស) អ័ក្សដែលជាបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយនឹងយន្តហោះនៃទំនាក់ទំនងអវកាសដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ។
1. ភស្តុតាងគឺស្រដៀងនឹងភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិស៊ីមេទ្រីនៃកញ្ចក់ (ផ្នែក I, §3.5) ។
2. ទុក A, B ជាចំណុចពីរផ្សេងគ្នា; A', B' គឺជារូបភាពរបស់ពួកគេនៅក្នុងទំនាក់ទំនង α គឺជាប្លង់នៃទំនាក់ទំនង។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ បន្ទាប់មក (ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបំប្លែង affine) i.e. AA´||BB´ ជាដើម។
3 និង 4. តាមដានពីភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិ 2 ។
និយមន័យ។ផ្ទៃដែលតំណាងដោយសមីការ 
, ត្រូវបានគេហៅថា រាងពងក្រពើ. ករណីពិសេសនៃរាងពងក្រពើគឺជារាងស្វ៊ែរ។
ការពិតខាងក្រោមនេះកើតឡើង ដែលយើងនឹងមិនបង្ហាញឱ្យឃើញទេ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម យើងនឹងត្រូវការវា៖
ទ្រឹស្តីបទ ៤.១.ការបំប្លែង affine បំប្លែងរាងពងក្រពើទៅជារាងពងក្រពើ។
ទ្រឹស្តីបទ ៤.២.ការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាលដោយបំពាននៃលំហ អាចត្រូវបានតំណាងដោយសមាសភាពនៃភាពស្រដៀងគ្នា និងទំនាក់ទំនង។
ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាល f ធ្វើផែនទីលំហ σ ទៅលើរាងអេលីបស σ´ ។ វាធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទ 3.1 ដែល f អាចត្រូវបានផ្តល់ដោយតួលេខទាំងនេះ។ ពិចារណាយន្តហោះα´ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៃរាងពងក្រពើ ហើយកាត់វាតាមរង្វង់ω´ (អត្ថិភាពនៃយន្តហោះបែបនេះអាចបញ្ជាក់បានយ៉ាងងាយស្រួលពីការពិចារណាបន្ត)។ សូមឱ្យ α ជារូបភាពមុននៃ α´ ជារូបភាពមុននៃ ω´ ហើយ β ជាស្វ៊ែរដែលមានរង្វង់ω´ ជារង្វង់អង្កត់ផ្ចិតរបស់វា។ មានទំនាក់ទំនង ρ mapping β ទៅ σ´ ហើយមានភាពស្រដៀងគ្នា P mapping σ ទៅ β ។ បន្ទាប់មកគឺតំណាងដែលត្រូវការ។
ទ្រឹស្តីបទ 4.3 ភ្លាមៗចេញពីភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទមុន៖
ទ្រឹស្តីបទ ៤.៣.ការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាលដែលរក្សាលំហគឺស្រដៀងគ្នា។
ផ្នែកទី IV ។ ការផ្លាស់ប្តូរការព្យាករ។
1. ការបំប្លែងតាមគម្រោងនៃយន្តហោះ។
និយមន័យ។ យន្តហោះប្រឌិត– យន្តហោះធម្មតា (Euclidean) ដែលបានបញ្ចប់ដោយចំណុចនៅ infinity និងបន្ទាត់ត្រង់នៅ infinity ត្រូវបានគេហៅថា ធាតុមិនសមរម្យ. ក្នុងករណីនេះបន្ទាត់ត្រង់នីមួយៗត្រូវបានបំពេញដោយចំនុចមិនសមរម្យមួយ យន្តហោះទាំងមូល - ដោយបន្ទាត់ត្រង់មួយមិនត្រឹមត្រូវ; បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានបំពេញបន្ថែមដោយចំណុចមិនសមរម្យធម្មតា ដែលមិនស្របគ្នា - ដោយចំណុចផ្សេងគ្នា; ចំនុចមិនត្រឹមត្រូវដែលបំពេញបន្ថែមបន្ទាត់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃយន្តហោះជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់មិនត្រឹមត្រូវ។
និយមន័យ។ការបំប្លែងយន្តហោះដែលគិតគូរដែលយកបន្ទាត់ណាមួយទៅបន្ទាត់ត្រូវបានគេហៅថា ការព្យាករណ៍.
ផលវិបាក។ការបំប្លែងដោយប្រយោលដែលរក្សាបន្ទាត់នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់គឺ affine; ការបំប្លែងភាពស្និទ្ធស្នាលណាមួយគឺជាការព្យាករណ៍ ដោយរក្សាបន្ទាត់នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។
និយមន័យ។ ការរចនាកណ្តាលយន្តហោះ α ទៅលើយន្តហោះ β ដែលដាក់ចំកណ្តាលចំនុច O ដែលមិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ផែនទីដែលភ្ជាប់ចំនុច A នៃយន្តហោះ α ជាមួយចំនុច A´ នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ OA ជាមួយយន្តហោះ β ។
លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើយន្តហោះ α និង β មិនស្របគ្នា នោះនៅក្នុងយន្តហោះ α មានបន្ទាត់ ℓ ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច O និងបន្ទាត់ ℓ គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ β ។ យើងនឹងសន្មត់ថា ℓ ក្នុងអំឡុងពេលការព្យាកររបស់យើងទៅបន្ទាត់នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់នៃយន្តហោះ β (ក្នុងករណីនេះ ចំនុច B នីមួយៗនៃបន្ទាត់ ℓ ទៅចំនុចនោះនៃបន្ទាត់នៅ infinity ដែលបំពេញបន្ថែមបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹង OB) ។ នៅក្នុងយន្តហោះ β មានបន្ទាត់ ℓ´ ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច O និងបន្ទាត់ ℓ´ គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ α ។ យើងនឹងពិចារណា ℓ´ រូបភាពនៃបន្ទាត់ត្រង់ α នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ បន្ទាត់ ℓ និង ℓ´ នឹងត្រូវបានហៅ ឧទ្ទិស.
យើងអាចនិយាយបានថាការបំប្លែងដ៏សាមញ្ញនៃយន្តហោះដែលព្យាករណ៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (ប្រសិនបើយើងបញ្ចូលគ្នានូវយន្តហោះ α និង β) ។
វាធ្វើតាមនិយមន័យភ្លាមៗ លក្ខណៈនៃការព្យាករកណ្តាល:
- ការរចនាកណ្តាលគឺជាការបំប្លែងគម្រោង។
- ការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាសទៅការរចនាកណ្តាលគឺជាការរចនាកណ្តាលដែលមានមជ្ឈមណ្ឌលដូចគ្នា។
- បន្ទាត់ស្របនឹងបន្ទាត់ដែលបានជ្រើសក្លាយជាប៉ារ៉ាឡែល។
និយមន័យ។សូមអោយចំនុច A, B, C, D ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ អាកប្បកិរិយាទ្វេ(AB; CD) នៃចំណុចទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃ។ ប្រសិនបើចំនុចណាមួយស្ថិតក្នុងភាពគ្មានដែនកំណត់ នោះប្រវែងនៃផ្នែក ដែលចុងបញ្ចប់នៃចំនុចនេះអាចត្រូវបានខ្លី។
ទ្រឹស្តីបទ ១.១.ការព្យាករកណ្តាលរក្សាទំនាក់ទំនងទ្វេ។
ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យ О ជាមជ្ឈមណ្ឌលព្យាករ, А, В, С, D - បួនចំណុចស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ A´, B´, C´, D´ - រូបភាពរបស់ពួកគេ។
ស្រដៀងគ្នា 
.
ចែកសមីការមួយដោយមួយទៀត យើងទទួលបាន 
.
ដូចគ្នានេះដែរជំនួសឱ្យចំណុច C ពិចារណាចំណុច D យើងទទួលបាន 
.
ពីទីនេះ 
, i.e. 
.
ដើម្បីធ្វើឱ្យភស្តុតាងពេញលេញ វានៅតែត្រូវកត់សម្គាល់ថាគ្រប់ផ្នែក តំបន់ និងមុំអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាតម្រង់ទិស។
ទ្រឹស្តីបទ ១.២.អនុញ្ញាតឱ្យបួនពិន្ទុ A, B, C, D នៃយន្តហោះ π´ មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយ និងបួនពិន្ទុ M, N, P, Q នៃយន្តហោះ π´ មិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើបន្ទាត់មួយ។ បន្ទាប់មកមានសមាសភាពនៃការព្យាករកណ្តាល (ប៉ារ៉ាឡែល) និងភាពស្រដៀងគ្នាដែលធ្វើផែនទី A ទៅ M, B ទៅ N, C ទៅ P, D ទៅ Q ។
ភស្តុតាង។
ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងនឹងនិយាយថា ABCD និង MNPQ គឺជាចតុកោណកែង ទោះបីជាការពិតនេះមិនចាំបាច់ទេ (ឧទាហរណ៍ ផ្នែក AB និង CD អាចប្រសព្វគ្នា)។ វានឹងត្រូវបានគេមើលឃើញពីភស្តុតាងដែលថាចំណុច A, B, C, D និង M, N, P, Q បង្កើតជាចតុកោណក្នុងលំដាប់នេះ។
.ឥឡូវនេះ ចូរយើងគូសបន្ទាត់ AK, BL, CF, DG តាមរយៈចំណុច A, B, C, D ស្របទៅនឹង X 1 X 2 (K, L ស្ថិតនៅលើ DC; G, F ស្ថិតនៅលើ AB) និងតាមរយៈចំនុច N, M - បន្ទាត់ NT , MS ស្របទៅនឹង Y 1 Y 2 (T, S កុហកនៅលើ PQ) ។ ដោយប្រើការព្យាករកណ្តាល (ប៉ារ៉ាឡែល) f យើងបំលែង trapezoid ABLK ទៅជា trapezoid A´B´L´K´ នៃយន្តហោះπ´ ដែលស្រដៀងនឹង trapezoid MNTS (នេះអាចធ្វើទៅបានយោងទៅតាមផ្នែក I នៃភស្តុតាងរបស់យើង) . លើសពីនេះទៀតពីជម្រើសនៃចំណុច X 1 , X 2 វាដូចខាងក្រោមថាបន្ទាត់ X 1 X 2 គឺជាបន្ទាត់សម្គាល់នៃយន្តហោះπ´។ ចូរយើងគូសចំនុច С´, D´ នៅលើបន្ទាត់ L´K´ ថា រាងចតុកោណ ABCD ស្រដៀងទៅនឹង រាងចតុកោណ A´B´C´D´។ គូរបន្ទាត់ C´F´, D´G´ ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ B´L´ (F´, G´ កុហកនៅលើ А´В´) ហើយគូសចំនុច Y 1 ´ នៅលើបន្ទាត់ A´B´ ដូចនោះ។ 
, 
. នៅលើបន្ទាត់ C´D´ សម្គាល់ចំណុច Y 2 ´ ដូចថា Y 1 ´Y 2 ´ ||A´K´ (មើលរូប)។ ពីជម្រើសនៃចំណុច Y 1 ´ និង Y 2 ´ វាដូចខាងក្រោមថាបន្ទាត់ Y 1 ´Y 2 ´ គឺជាបន្ទាត់សម្គាល់នៃយន្តហោះπ´។ នៅក្រោមការបំប្លែង f ចំនុច E ទៅចំនុច E នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ AB´ និង L´K´ ។ ចំណុច С ទៅចំណុចខ្លះ С 0 ' នៃបន្ទាត់ត្រង់ С'D' ។
ចូរយើងបង្ហាញថា С 0 ស្របគ្នានឹង С´ ។ ពីការពិតដែលថា X 2 នៅក្រោមការបំលែង f ទៅចំណុចនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់នៃបន្ទាត់ C'D' ហើយ Y 2 ' គឺជារូបភាពនៃចំណុចនៅ infinity នៃបន្ទាត់ CD ហើយការព្យាករកណ្តាលរក្សាទំនាក់ទំនងទ្វេវាដូចខាងក្រោម។ នោះ។ 
កន្លែងណា 
. ឥឡូវពិចារណាការបំប្លែង g សមាសភាពនៃការព្យាករកណ្តាល និងភាពស្រដៀងគ្នាដែលយក trapezoid CDGF ទៅ trapezoid C'D'G'F' ។ សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរ g មនុស្សម្នាក់អាចបង្ហាញដូចគ្នានេះ។ 
. ពីនេះវានឹងធ្វើតាមថាចំណុច С 0 និង С ស្របគ្នា។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ គេអាចបង្ហាញថា D 0 - រូបភាពនៃចំណុច D ក្រោមការបំប្លែង f - ស្របគ្នានឹង D' ។ ដូច្នេះ ការបំប្លែង f បំប្លែង ABCD បួនជ្រុង ទៅជា A'B'C'D' រាងបួនជ្រុង ស្រដៀងនឹង MNPQ រាងបួនជ្រុង តាមតម្រូវការ។
ទ្រឹស្តីបទ ១.៣.សូមឲ្យពិន្ទុបួនដែលមិនមានបីនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា៖ A, B, C, D និង A´, B´, C´, D´ ។ បន្ទាប់មកមានការបំប្លែងគម្រោងតែមួយគត់ដែលយក A ទៅ A´ B ទៅ B´ C ទៅ C´ D ទៅ D´ ។
អត្ថិភាពការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះកើតឡើងពីទ្រឹស្តីបទ 1.1 ។
ភាពប្លែកអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដូចគ្នានឹងភាពប្លែកនៃការបំប្លែងភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា (ទ្រឹស្តីបទ 1.1, ផ្នែក III)៖ ពិចារណាបន្ទះឈើការ៉េ បង្កើតរូបភាពរបស់វា ហើយបន្ទាប់មកកែលម្អវា។ ឆ្លងកាត់ការលំបាកដែលយើងជួបប្រទះ
ទ្រឹស្តីបទអំពីចលនានៃកណ្តាលម៉ាស។
ក្នុងករណីខ្លះដើម្បីកំណត់លក្ខណៈនៃចលនានៃប្រព័ន្ធ (ជាពិសេសរាងកាយរឹង) វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីច្បាប់នៃចលនានៃកណ្តាលនៃម៉ាស់របស់វា។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកគប់ដុំថ្មទៅគោលដៅ អ្នកមិនចាំបាច់ដឹងទាល់តែសោះថា វានឹងធ្លាក់ក្នុងអំឡុងពេលហោះហើរនោះទេ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវកំណត់ថាតើវានឹងបុកគោលដៅឬអត់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាចលនានៃចំណុចមួយចំនួននៃរាងកាយនេះ។
ដើម្បីស្វែងរកច្បាប់នេះ យើងងាកទៅរកសមីការនៃចលនានៃប្រព័ន្ធ ហើយបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់ពួកគេតាមពាក្យ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖
ចូរយើងបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព។ ពីរូបមន្តសម្រាប់វ៉ិចទ័រកាំនៃកណ្តាលម៉ាស់ យើងមាន៖
ដោយយកពីផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពនេះ ដេរីវេទីវទី 2 ហើយកត់សំគាល់ថាដេរីវេនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
តើការបង្កើនល្បឿននៃចំណុចកណ្តាលនៃប្រព័ន្ធគឺនៅឯណា។ ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិនៃកងកម្លាំងផ្ទៃក្នុងនៃប្រព័ន្ធ , បន្ទាប់មក ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទាំងអស់ ទីបំផុតយើងទទួលបាន៖
សមីការនិងបង្ហាញទ្រឹស្ដីអំពីចលនានៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់របស់ប្រព័ន្ធ៖ ផលិតផលនៃម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធ និងការបង្កើនល្បឿននៃកណ្តាលនៃម៉ាស់របស់វាគឺស្មើនឹងផលបូកធរណីមាត្រនៃកម្លាំងខាងក្រៅទាំងអស់ដែលធ្វើសកម្មភាពលើប្រព័ន្ធ។ការប្រៀបធៀបជាមួយនឹងសមីការនៃចលនានៃចំណុចសម្ភារៈមួយ យើងទទួលបានកន្សោមមួយទៀតនៃទ្រឹស្តីបទ៖ ចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធផ្លាស់ទីជាចំណុចសម្ភារៈ ម៉ាស់គឺស្មើនឹងម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធទាំងមូល និងដែលកម្លាំងខាងក្រៅទាំងអស់ដែលធ្វើសកម្មភាពលើប្រព័ន្ធត្រូវបានអនុវត្ត។
ការព្យាករភាគីទាំងពីរនៃសមភាពលើអ័ក្សកូអរដោនេ យើងទទួលបាន៖
សមីការទាំងនេះគឺ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃចលនានៃកណ្តាលម៉ាសនៅក្នុងការព្យាករលើអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ។
អត្ថន័យនៃទ្រឹស្តីបទដែលបានបង្ហាញមានដូចខាងក្រោម។
1) ទ្រឹស្តីបទផ្តល់នូវយុត្តិកម្មសម្រាប់វិធីសាស្រ្តនៃឌីណាមិកចំណុច។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីសមីការនោះ។ ដំណោះស្រាយដែលយើងទទួលបាន ដោយពិចារណាលើរូបកាយដែលបានផ្តល់ឱ្យជាចំណុចសម្ភារៈ កំណត់ច្បាប់នៃចលនានៃចំណុចកណ្តាលនៃរូបកាយនេះទាំងនោះ។ មានអត្ថន័យជាក់លាក់ណាស់។
ជាពិសេសប្រសិនបើរាងកាយផ្លាស់ទីទៅមុខបន្ទាប់មកចលនារបស់វាត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយចលនានៃកណ្តាលនៃម៉ាស់។ ដូច្នេះ រាងកាយដែលផ្លាស់ប្តូរជាលំដាប់អាចតែងតែត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំណុចសម្ភារៈដែលមានម៉ាស់ស្មើនឹងម៉ាសនៃរាងកាយ។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត រាងកាយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំណុចសម្ភារៈ លុះត្រាតែក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងដើម្បីកំណត់ទីតាំងនៃរាងកាយ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីទីតាំងនៃកណ្តាលនៃម៉ាស់របស់វា។
2) ទ្រឹស្តីបទអនុញ្ញាតនៅពេលកំណត់ច្បាប់នៃចលនានៃកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធណាមួយ ដើម្បីដកចេញពីការពិចារណានូវកម្លាំងផ្ទៃក្នុងដែលមិនស្គាល់ពីមុនទាំងអស់។ នេះគឺជាតម្លៃជាក់ស្តែងរបស់វា។
ដូច្នេះចលនារបស់រថយន្តនៅលើយន្តហោះផ្តេកអាចកើតឡើងបានតែក្រោមសកម្មភាពនៃកម្លាំងខាងក្រៅ កម្លាំងកកិតដែលធ្វើសកម្មភាពលើកង់ពីចំហៀងផ្លូវ។ ហើយការចាប់ហ្វ្រាំងរថយន្តក៏អាចធ្វើទៅបានដោយកម្លាំងទាំងនេះដែរ ហើយមិនមែនដោយការកកិតរវាងបន្ទះហ្វ្រាំងនិងស្គរហ្វ្រាំងឡើយ។ បើផ្លូវរលូន ទោះហ្វ្រាំងកង់ខ្លាំងប៉ុណ្ណាក៏រអិលមិនឈប់ឡាន។
ឬបន្ទាប់ពីការផ្ទុះនៃកាំជ្រួចហោះ (ក្រោមឥទិ្ធពលនៃកម្លាំងខាងក្នុង) បំណែករបស់វានឹងខ្ចាត់ខ្ចាយ ដូច្នេះកណ្តាលនៃម៉ាស់របស់ពួកគេនឹងផ្លាស់ទីតាមគន្លងដូចគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីចលនានៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធមេកានិកគួរតែត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៅក្នុងមេកានិចដែលទាមទារ៖
យោងទៅតាមកងកម្លាំងដែលបានអនុវត្តទៅប្រព័ន្ធមេកានិច (ជាញឹកញាប់បំផុតចំពោះរាងកាយរឹង) កំណត់ច្បាប់នៃចលនានៃកណ្តាលនៃម៉ាស់;
យោងតាមច្បាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃចលនានៃសាកសពរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធមេកានិច, ស្វែងរកប្រតិកម្មនៃឧបសគ្គខាងក្រៅ;
ដោយផ្អែកលើចលនាទៅវិញទៅមកនៃសាកសពដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធមេកានិក កំណត់ច្បាប់នៃចលនានៃសាកសពទាំងនេះទាក់ទងទៅនឹងស៊ុមយោងថេរមួយចំនួន។
ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទនេះ សមីការមួយនៃចលនានៃប្រព័ន្ធមេកានិចដែលមានកម្រិតសេរីភាពជាច្រើនអាចត្រូវបានចងក្រង។
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាផលវិបាកនៃទ្រឹស្តីបទលើចលនានៃកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធមេកានិកត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។
កូរ៉ូឡារី 1. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រសំខាន់នៃកម្លាំងខាងក្រៅដែលបានអនុវត្តចំពោះប្រព័ន្ធមេកានិកគឺស្មើនឹងសូន្យ នោះចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាសនៃប្រព័ន្ធគឺនៅសម្រាក ឬផ្លាស់ទីស្មើៗគ្នា និង rectilinearly ។ ចាប់តាំងពីការបង្កើនល្បឿននៃកណ្តាលម៉ាសគឺសូន្យ។
កូរ៉ូឡារី 2. ប្រសិនបើការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រសំខាន់នៃកម្លាំងខាងក្រៅនៅលើអ័ក្សណាមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ នោះចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់នៃប្រព័ន្ធមិនផ្លាស់ប្តូរទីតាំងរបស់វាទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សនេះ ឬផ្លាស់ទីស្មើៗគ្នាទាក់ទងនឹងវានោះទេ។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើកម្លាំងពីរចាប់ផ្តើមធ្វើសកម្មភាពលើរាងកាយ បង្កើតជាកម្លាំងមួយគូ (រូបភាពទី 38) នោះចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស។ ជាមួយវានឹងផ្លាស់ទីតាមគន្លងដូចគ្នា។ ហើយរាងកាយខ្លួនវានឹងបង្វិលជុំវិញកណ្តាលនៃម៉ាស់។ ហើយវាមិនសំខាន់ទេថា កម្លាំងប៉ុន្មានត្រូវបានអនុវត្ត។
ដោយវិធីនេះ នៅក្នុងឋិតិវន្ត យើងបានបង្ហាញថាឥទ្ធិពលនៃគូលើរាងកាយមួយមិនអាស្រ័យលើកន្លែងដែលវាត្រូវបានអនុវត្តនោះទេ។ នៅទីនេះយើងបានបង្ហាញថាការបង្វិលនៃរាងកាយនឹងនៅជុំវិញអ័ក្សកណ្តាល ជាមួយ.
រូបភព៣៨
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរនៃពេលវេលា kinetic ។
ពេល Kinetic នៃប្រព័ន្ធមេកានិចទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលថេរ អូគឺជារង្វាស់នៃចលនានៃប្រព័ន្ធជុំវិញមជ្ឈមណ្ឌលនេះ។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា វាជាធម្មតាមិនមែនជាវ៉ិចទ័រដែលត្រូវបានប្រើនោះទេ ប៉ុន្តែការព្យាកររបស់វានៅលើអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេថេរ ដែលត្រូវបានគេហៅថា kinetic moments អំពីអ័ក្ស។ ឧទាហរណ៍ - ពេលវេលា kinetic នៃប្រព័ន្ធទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សថេរ អុក .
ពេល kinetic នៃប្រព័ន្ធមេកានិច គឺជាផលបូកនៃគ្រា kinetic នៃចំនុច និងតួដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ។ ពិចារណាអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់កំណត់សន្ទុះមុំនៃចំណុចសម្ភារៈ និងរាងកាយរឹងនៅក្នុងករណីផ្សេងៗនៃចលនារបស់ពួកគេ។
សម្រាប់ចំណុចសម្ភារៈដែលមានម៉ាស់មានល្បឿន សន្ទុះមុំអំពីអ័ក្សមួយចំនួន អុកត្រូវបានកំណត់ជាពេលវេលានៃវ៉ិចទ័រសន្ទុះនៃចំណុចនេះអំពីអ័ក្សដែលបានជ្រើសរើស៖
សន្ទុះមុំនៃចំណុចត្រូវបានចាត់ទុកជាវិជ្ជមាន ប្រសិនបើពីចំហៀងនៃទិសវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស ចលនានៃចំណុចកើតឡើងច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។
ប្រសិនបើចំនុចមួយបង្កើតចលនាស្មុគ្រស្មាញ ដើម្បីកំណត់សន្ទុះមុំរបស់វា វ៉ិចទ័រសន្ទុះគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផលបូកនៃបរិមាណនៃចលនាដែលទាក់ទង និងចល័ត (រូបភាព 41)
ប៉ុន្តែតើចម្ងាយពីចំណុចទៅអ័ក្សនៃការបង្វិលនៅឯណា និង
អង្ករ។ ៤១
សមាសធាតុទីពីរនៃវ៉ិចទ័រសន្ទុះមុំអាចត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបដូចគ្នានឹងពេលនៃកម្លាំងអំពីអ័ក្ស។ សម្រាប់ពេលនៃកម្លាំង តម្លៃគឺសូន្យ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រល្បឿនដែលទាក់ទងស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដូចគ្នាជាមួយនឹងអ័ក្សបង្វិលបកប្រែ។
ពេលវេលា kinetic នៃរាងកាយរឹងដែលទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលថេរមួយអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាផលបូកនៃសមាសភាគពីរ: ទីមួយនៃពួកវាកំណត់លក្ខណៈផ្នែកបកប្រែនៃចលនានៃរាងកាយរួមជាមួយនឹងកណ្តាលនៃម៉ាស់របស់វា, ទីពីរកំណត់លក្ខណៈចលនានៃ ប្រព័ន្ធជុំវិញកណ្តាលម៉ាស៖
ប្រសិនបើរាងកាយអនុវត្តចលនាបកប្រែ នោះសមាសធាតុទីពីរគឺស្មើនឹងសូន្យ
ពេល kinetic នៃតួរឹងមួយត្រូវបានគណនាយ៉ាងសាមញ្ញបំផុតនៅពេលដែលវាបង្វិលជុំវិញអ័ក្សថេរ
តើពេលវេលានៃនិចលភាពនៃរាងកាយអំពីអ័ក្សនៃការបង្វិលនៅឯណា។
ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធមេកានិកនៅពេលដែលវាផ្លាស់ទីជុំវិញមជ្ឈមណ្ឌលថេរមួយត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោមៈ ដេរីវេនៃពេលវេលាសរុបនៃវ៉ិចទ័រនៃសន្ទុះមុំនៃប្រព័ន្ធមេកានិចទាក់ទងនឹងមជ្ឈមណ្ឌលថេរមួយចំនួន អូក្នុងរ៉ិចទ័រ និងទិសដៅគឺស្មើនឹងពេលសំខាន់នៃកម្លាំងខាងក្រៅដែលបានអនុវត្តទៅលើប្រព័ន្ធមេកានិក ដែលកំណត់ទាក់ទងទៅនឹងចំណុចកណ្តាលដូចគ្នា
កន្លែងណា 
- ពេលសំខាន់នៃកម្លាំងខាងក្រៅទាំងអស់អំពីមជ្ឈមណ្ឌល អូ.
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលសាកសពត្រូវបានចាត់ទុកថាបង្វិលជុំវិញអ័ក្សថេរ ពួកគេប្រើទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរនៃសន្ទុះមុំដែលទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សថេរ។
ចំពោះទ្រឹស្តីបទស្តីពីចលនានៃកណ្តាលម៉ាស ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះមុំមានផលវិបាក។
កូរ៉ូឡារី 1. ប្រសិនបើពេលសំខាន់នៃកម្លាំងខាងក្រៅទាំងអស់ដែលទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលថេរមួយចំនួនគឺស្មើនឹងសូន្យ នោះពេលវេលា kinetic នៃប្រព័ន្ធមេកានិចដែលទាក់ទងទៅនឹងមជ្ឈមណ្ឌលនេះនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។
កូរ៉ូឡារី 2. ប្រសិនបើពេលសំខាន់នៃកម្លាំងខាងក្រៅទាំងអស់អំពីអ័ក្សថេរមួយចំនួនគឺស្មើនឹងសូន្យ នោះពេលវេលា kinetic នៃប្រព័ន្ធមេកានិចអំពីអ័ក្សនេះនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។
ទ្រឹស្តីបទនៃការផ្លាស់ប្តូរសន្ទុះត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែលចលនានៃប្រព័ន្ធមេកានិកមួយត្រូវបានពិចារណា រួមមានតួកណ្តាលដែលបង្វិលជុំវិញអ័ក្សថេរ និងរូបកាយមួយឬច្រើន ចលនាដែលជាប់ទាក់ទងជាមួយផ្នែកកណ្តាល។ ត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើខ្សែស្រឡាយ សាកសពអាចផ្លាស់ទីតាមបណ្តោយផ្ទៃនៃរាងកាយកណ្តាលឬនៅក្នុងបណ្តាញរបស់វាដោយសារតែកម្លាំងខាងក្នុង។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទនេះ មនុស្សម្នាក់អាចកំណត់ពីភាពអាស្រ័យនៃច្បាប់នៃការបង្វិលនៃរាងកាយកណ្តាលនៅលើទីតាំង ឬចលនានៃសាកសពដែលនៅសល់។
