Apgrieztā matrica · Matricu B sauc par matricas apgriezto, ja vienādība ir patiesa: . Apzīmējums: − Tikai kvadrāts matricai var būt apgrieztā matrica. − Ne katrs laukums matricai ir apgrieztā matrica. Īpašības: 1. ; 2. ; 3. , kur matricas ir kvadrātveida un vienādas dimensijas. Vispārīgi runājot, ja nekvadrātveida matricām ir iespējama reizinājums, kas būs kvadrātmatrica, tad ir iespējama arī apgrieztās matricas esamība. , lai gan 3-īpašums ir pārkāpts. Lai atrastu apgriezto matricu, varat izmantot elementāru rindu transformāciju metodi: 1. Sastādiet paplašinātu matricu, pa labi no sākotnējās matricas piešķirot atbilstošas ​​dimensijas identitātes matricu: . 2. Matricas rindu elementārās transformācijas G ved uz formu: . − nepieciešamais matricas rangs · Matricas k-tās kārtas minors ir determinants, kas sastāv no sākotnējās matricas elementiem, kas atrodas jebkuru k rindu un k kolonnu krustpunktā. ( ). komentēt. Katrs matricas elements ir tās pirmās kārtas mazais. Teorēma. Ja matricā visi k-tās kārtas minori ir vienādi ar nulli, tad visi augstākas kārtas minori ir vienādi ar nulli. Izvērsīsim minoro (determinantu) ( k+1)kārtība caur 1.rindas elementiem: . Algebriskie papildinājumi būtībā ir nepilngadīgi k- secība, kas pēc teorēmas nosacījumiem ir vienāda ar nulli. Līdz ar to,. · Kārtības matricā secības minoru sauc par pamata, ja tas nav vienāds ar nulli, un visi kārtas un augstākie minori ir vienādi ar nulli vai vispār neeksistē, t.i. atbilst mazākajam no cipariem vai . Matricas kolonnas un rindas, no kurām pamata mazās audzes sauc par bāzi. Matricā var būt vairāki dažādi pamata nepilngadīgie, kuriem ir vienāda secība. · Matricas pamata minora secību sauc par matricas rangu Un apzīmē ar: , . Ir skaidrs, ka. Piemēram. 1. , . 2. . Matrica IN satur vienu elementu, kas nav nulle un kas ir pirmās kārtas mazsvarīgs elements. Visi augstākas kārtas determinanti saturēs 0. rindu un tāpēc ir vienādi ar 0. Tāpēc . apgrieztā matrica 4. Lineāro vienādojumu sistēmas. Pamatjēdzieni. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēma ( lineārā sistēma, tiek lietoti arī saīsinājumi SLAU, SLU) - vienādojumu sistēma, kurā katrs vienādojums ir pirmās pakāpes lineārs - algebrisks vienādojums. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas vispārīgs skats: Šeit ir vienādojumu skaits un mainīgo skaits, kas ir nezināmie, kas jānosaka, koeficienti un brīvie termini tiek pieņemts, ka ir zināms. Sistēmu sauc viendabīgs, ja visi tā brīvie termini ir vienādi ar nulli (), pretējā gadījumā - neviendabīgs. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas risinājums ir tādu skaitļu kopa, ka atbilstošā aizstāšana sistēmā pārvērš visus tās vienādojumus identitātēs. Sistēmu sauc par konsekventu, ja tai ir vismaz viens risinājums, un par nekonsekventu, ja tai nav neviena risinājuma. Risinājumi tiek uzskatīti par atšķirīgiem, ja vismaz viena no mainīgo vērtībām nesakrīt. Kopīgu sistēmu ar vienu risinājumu sauc par noteiktu; ja ir vairāk nekā viens risinājums, to sauc par nepietiekami noteiktu. Matricas forma Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu var attēlot matricas formā šādi: vai: . Šeit ir sistēmas matrica, nezināmo kolonna un brīvo terminu kolonna. Ja pa labi no matricas tiek pievienota brīvo terminu kolonna, iegūto matricu sauc par paplašinātu. Kronekera-Kapella teorēma Kronekera-Kapella teorēma ar matricas attēlojumu īpašībām nosaka nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas saderībai: sistēma ir savietojama tad un tikai tad, ja tās matricas rangs sakrīt ar paplašinātās matricas rangu. Lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metodes. Matricas metode Dota lineāru vienādojumu sistēma ar nezināmiem (virs patvaļīga lauka): Pārrakstīsim to matricas formā: Sistēmas risinājumu atradīsim, izmantojot formulu Apgriezto matricu atradīsim pēc formulas: , kur ir matricas atbilstošo elementu algebrisko komplementu transponētā matrica. Ja, tad apgrieztā matrica neeksistē, un ar matricas metodi sistēmu nav iespējams atrisināt. Šajā gadījumā sistēma tiek atrisināta ar Gausa metodi. Krāmera metode Krēmera metode (Kremera noteikums) ir metode SLAE risināšanai ar vienādojumu skaitu, kas vienāds ar nezināmo skaitu ar matricas galveno determinantu, kas nav nulle. Lineāru vienādojumu sistēmai ar nezināmajiem Matricas i-to kolonnu aizstājam ar brīvo terminu kolonnu b Piemērs: Lineāro vienādojumu sistēma ar reāliem koeficientiem: Kvalifikācijas: Determinantos koeficientu kolonna attiecīgajam nezināmajam tiek aizstāta ar sistēmas brīvo terminu kolonnu. Risinājums: 5. Gausa metode Risinājuma algoritms: 1. Uzrakstiet paplašināto matricu 2. Reducējiet to līdz pakāpeniskajai formai ar elementārpārveidojumiem 3. Apgrieziet gājienu, kura laikā izsakām bāzes terminus brīvos. Papildināta matrica tiek iegūta, pievienojot matricai fiktīvu terminu kolonnu. Ir šādas elementāras transformācijas: 1. Matricas rindas var pārkārtot. 2. Ja matricā ir (vai ir parādījušās) proporcionālas (īpašā gadījumā identiskas) rindas, tad visas šīs rindas ir jāizņem no matricas, izņemot vienu. 3. Ja transformāciju laikā matricā parādās nulles rinda, tad arī tā ir jāsvītro. 4. Matricas rindu var reizināt (dalīt) ar jebkuru skaitli, kas nav nulle. 5. Matricas rindai var pievienot vēl vienu rindu, reizinot ar skaitli, kas nav nulle. Elementārie pārveidojumi nemaina vienādojumu sistēmas atrisinājumu Apgriezti: Parasti par pamatmainīgajiem tiek ņemti tie mainīgie, kas sistēmas transformētās matricas rindās, kas nav nulles, atrodas pirmajās vietās, t.i. uz "soļiem". Tālāk pamatnosacījumi tiek izteikti brīvajos terminos. Mēs ejam “no apakšas uz augšu”, vienlaikus izsakot pamata nosacījumus un aizstājot rezultātus ar augstāko vienādojumu. Piemērs: pamata mainīgie vienmēr “sēž” stingri uz matricas soļiem. Šajā piemērā pamata mainīgie ir un brīvie mainīgie ir visi pārējie mainīgie, kas nesaņēma soli. Mūsu gadījumā tie ir divi: – brīvie mainīgie. Tagad tev vajag visu pamata mainīgie izteikt tikai caur bezmaksas mainīgie. Gausa algoritma apgrieztais variants tradicionāli darbojas no apakšas uz augšu

Matricas pievienošana.

Papildinājuma īpašības:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

Matricas reizināšana ar skaitli.

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Matricas reizināšana.

Apgrieztā matrica.

Determinantu īpašības

4. Aizvietošanas teorēma.

5. Atcelšanas teorēma.

šo elementu papildinājumi

kur i= ,

Matricu transponēšana.

Transponētā matrica
A T[ i, j] = A[j, i].
Piemēram,

Un

Cilindriskās virsmas.

Virsmu, ko veido taisnas līnijas L kustība, kura pārvietojas telpā, saglabājot nemainīgu virzienu un katru reizi krustojot noteiktu līkni K, sauc par cilindrisku virsmu jeb cilindru; līkne K ir cilindra vadotne, un L ir tā ģenerators.

Eliptisks cilindrs

Eliptiskais vienādojums:

Īpašs gadījums eliptisks cilindrs ir apļveida cilindrs, tā vienādojums ir x 2 + y 2 = R 2 . Vienādojums x 2 =2pz definē telpā paraboliskais cilindrs.

Vienādojums: definē telpā hiperboliskais cilindrs.

Visas šīs virsmas sauc otrās kārtas cilindri, jo to vienādojumi ir otrās pakāpes vienādojumi attiecībā pret pašreizējām koordinātām x, y, z.

62. Elipsoīdi.

Apskatīsim virsmu, kas definēta ar vienādojumu:

Apskatīsim virsmas posmus ar plaknēm, kas ir paralēlas xOy plaknei. Šādu plakņu vienādojumi: z=h, kur h ir jebkurš skaitlis. Sadaļā iegūto līniju nosaka divi vienādojumi:

Apskatīsim virsmu:

Un ja Tas Virsmas krustošanās līnija ar z=h plaknēm nepastāv.

B) ja , krustojuma līnija deģenerējas divos punktos (0,0,c) un (0,0,-c). Plakne z = c, z = - c pieskaras dotajai virsmai.

B) ja , tad vienādojumus var pārrakstīt šādi:
, kā redzams, krustojuma līnija ir elipse ar pusasīm a1 = , b1 = . Šajā gadījumā, jo mazāks h, jo lielākas ir pusasis. Pie n=0 tie sasniedz augstākās vērtības: a1=a, b1=b. Vienādojumi būs šādā formā:

Aplūkotās sadaļas ļauj attēlot virsmu kā slēgtu ovālu virsmu. Virsmu sauc par elipsoīdu.Ja kādas pusass ir vienādas, trīsasu elipsoīds pārvēršas par apgriezienu elipsoīdu, un ja a=b=c, tad par sfēru.

Hiperboloīdi.

1. Pārbaudiet virsmu . Krustojot virsmu ar plakni z=h, iegūstam krustojuma taisni, kuras vienādojumiem ir forma

z=h. vai z=hpusass: a1= b1=

pusasis sasniedz savu minimālo vērtību pie h=0: a1=a, b1=b. Palielinoties h, elipses pusasis palielināsies. => x=0.

Šo sekciju analīze parāda, ka vienādojuma noteiktajai virsmai ir bezgalīgas izplešanās caurules forma. Virsmu sauc vienas lapas hiperboloīds.

2. - virsmas vienādojums.

Un - virsma, kas sastāv no 2 dobumiem, kas veidoti kā izliektas neierobežotas bļodas. Virsmu sauc divu lapu hiperboloīds.

64. paraboloīdi.

.
-Šo eliptisks paraboloīds.

Kanoniskais vienādojums: (p>0, q>0).

p = q ir rotācijas parabolīds ap Oza asi.

Eliptiskā paraboloīda sekcijas pa plaknēm ir vai nu elipse, parabola vai punkts.

2.
- hiperbolisks paraboloīds.

Hiperboliskā paraboloīda sekcijas pa plaknēm ir vai nu hiperbola, parabola vai taisnu līniju pāris (taisnvirziena ģeneratori).

65. Kanoniskās virsmas.

Kanoniskais vienādojums:

a = b - rotācijas konuss (taisns apļveida)
Konusa griezumi pa plaknēm: plaknē, kas krusto visas taisnvirziena ģenerācijas - elipse; plaknē, kas ir paralēla vienai taisnvirziena ģenerācijai - parabola; plaknē, kas ir paralēla diviem taisnvirziena ģeneratoriem - hiperbola; plaknē, kas iet caur konusa virsotni - krustojošo līniju pāris vai punkts (virsotne).

66.Funkcija. Pamatjēdzieni. Veidi, kā to iestatīt.

Funkcija ir likums, saskaņā ar kuru skaitlis x no dotās kopas X ir saistīts tikai ar vienu skaitli y, uzrakstīts , savukārt x sauc par funkcijas argumentu y

sauc par funkcijas vērtību.

1. Analītiskā metode.

2. Grafiskā metode.

3. Verbālā metode.

4. Tabulārā metode.

Salīdzināšanas teorēma.

diferenciālvienādojumu teorijā – teorēma, kas nosaka diferenciālvienādojuma (vai diferenciālvienādojumu sistēmas) atrisinājumu noteiktas īpašības esamību, pieņemot, ka palīgvienādojumam vai nevienādībai (diferenciālvienādojumu sistēmai vai nevienādībām) ir kāda īpašība.

1) Šturma teorēma: jebkurš netriviāls vienādojuma risinājums pazūd intervālā ne vairāk kā m reizes, ja vienādojumam un for ir šī īpašība.

2) Diferenciālā nevienlīdzība: problēmas risinājums komponentu ziņā nav negatīvs, ja problēmas risinājumam ir šī īpašība un nevienādības ir izpildītas

Pirmais ir brīnišķīgs ierobežojums.

Aprēķinot ierobežojumus izteiksmēm, kas satur trigonometriskās funkcijas, bieži tiek izmantots limits sauca pirmā ievērojamā robeža.

Tas skan: sinusa attiecības pret tā argumentu robeža ir vienāda ar vienu, ja argumentam ir tendence uz nulli.

Pierādījums:

Ņemsim apli ar rādiusu 1 un apzīmēsim leņķa MOV radiānu ar x. ļaujiet 0 , loks MV ir skaitliski vienāds ar centrālo leņķi x, . Acīmredzot, mums ir. Pamatojoties uz atbilstošajām ģeometrijas formulām, mēs iegūstam . Dalīsim nevienlīdzību ar >0, mēs iegūstam 1<

Jo , tad pamatojoties uz robežu esamības kritēriju (uz starpfunkcijas robežu). .

Un ja x<0 => , kur –x>0 =>

83. Otra ievērojamā robeža.

Kā zināms, skaitļu virknes robeža
, ir ierobežojums, kas vienāds ar e. . 1.Ļaujiet . Katra x vērtība ir ietverta starp diviem pozitīviem veseliem skaitļiem: , kur n=[x] ir x vesela skaitļa daļa. No tā izriet, ka tāpēc
. Ja , Tas . Tāpēc:
,

Pamatojoties uz ierobežojumu esamību: . 2. Ļaujiet . Izdarīsim aizstāšanu –x=t, tad = . Un sauc par otro ievērojamo robežu. Tos plaši izmanto limitu aprēķināšanā. Analītiskajos lietojumos svarīga loma ir eksponenciālajai funkcijai ar bāzi e. Funkcija tiek saukts par eksponenciālu, tiek izmantots arī apzīmējums .

Pierādījums.

(ņemot vērā, ka, ja Dx®0, tad Du®0, jo u = g(x) ir nepārtraukta funkcija)

Tad . Teorēma ir pierādīta.

Košī teorēma

Košī teorēma: Ja funkcijas f(x) un ir nepārtraukti intervālā, diferencējami intervālā (a, b) un Priekš , tad ir vismaz viens punkts , tā, ka vienlīdzība
.

Matricas. Pamatjēdzieni. Lineāras operācijas ar matricām un to īpašības.

Matrica, kuras izmērs ir m līdz n, ir mn reālu (kompleksu) skaitļu vai citas struktūras elementu (polinomu, funkciju utt.) kolekcija, kas uzrakstīta taisnstūra tabulas veidā, kas sastāv no m rindām un n kolonnām un ņemta apaļās vai taisnstūrveida vai dubultās taisnās iekavās. Šajā gadījumā pašus skaitļus sauc par matricas elementiem un katrs elements ir saistīts ar diviem cipariem - rindas numuru un kolonnas numuru.

Matricu, kuras visi elementi ir nulle, sauc par nulles matricu

Matricu, kuras izmērs ir n līdz n, sauc par n-tās kārtas kvadrātmatricu, t.i. rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu.

Kvadrātveida matricu sauc par diagonālo, ja visi tās ārpusdiagonālie elementi ir nulle.

Diagonālo matricu, kurā visi diagonālie elementi ir vienādi ar 1, sauc par identitātes matricu
Matricas pievienošana.

Papildinājuma īpašības:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

· Ja O ir nulles matrica, tad A + O = O + A = A

1. piezīme. Šo īpašību derīgums izriet no matricas saskaitīšanas darbības definīcijas.

2. piezīme. Vēlreiz ņemiet vērā, ka var pievienot tikai tādas pašas dimensijas matricas.

Matricas reizināšana ar skaitli.

Matricas reizināšanas ar skaitli īpašības

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Piezīme 1. Rekvizītu derīgums izriet no 3.4. un 3.5. definīcijas.

2. piezīme. Sauksim matricu A un B starpību par matricu C, kurai C+B=A, t.i., C=A+(-1)B.
Matricas reizināšana.

Matricas reizināšanai ar matricu ir arī jāizpilda noteikti nosacījumi faktoru dimensijām, proti: pirmā faktora kolonnu skaitam jābūt vienādam ar otrā rindu skaitu.

Tādas pašas kārtas kvadrātveida matricām reizinājumi AB un BA pastāv un tiem ir vienāda dimensija, taču to atbilstošie elementi parasti nav vienādi.

Tomēr dažos gadījumos produkti AB un BA sakrīt

Apgrieztā matrica.

Kvadrātmatricu A sauc par vienskaitli, ja ∆A=0, un par nevienskaitli, ja ∆A≠0

Kvadrātmatricu B sauc par tādas pašas kārtas kvadrātmatricas A apgriezto vērtību, ja AB = BA = E. Šajā gadījumā apzīmē B

Lai pastāvētu apgrieztā matrica, ir nepieciešams un pietiekami, lai sākotnējā matrica būtu nevienskaitlīga.

2. Matricas determinants. Determinantu īpašības.

Determinants (vai determinants) ir viens no lineārās algebras pamatjēdzieniem. Matricas determinants ir kvadrātveida matricas (tas ir, tādas, kurā rindu un kolonnu skaits ir vienāds) elementu polinoms. Parasti matricu var definēt virs jebkura komutatīva gredzena, un tādā gadījumā determinants būs tā paša gredzena elements. (∆A)

Determinantu īpašības

· Determinants ir matricas rindu (kolonnu) šķībi simetriska polilineāra funkcija. Multilinearitāte nozīmē, ka determinants ir lineārs visās rindās (kolonnās): , kur utt ir matricas rindas, ir šādas matricas determinants.

· Jebkurai rindai (kolonnai) pievienojot citu rindu (kolonnu) lineāru kombināciju, determinants nemainīsies.

· Ja matricas divas rindas (kolonnas) sakrīt, tad tās determinants ir nulle.

· Ja divas (vai vairākas) matricas rindas (kolonnas) ir lineāri atkarīgas, tad tās determinants ir vienāds ar nulli.

· Ja pārkārtojat divas matricas rindas (kolonnas), tad tās determinants tiek reizināts ar (-1).

· No determinanta zīmes var izņemt jebkuras determinanta sērijas elementu kopējo faktoru.

· Ja vismaz viena matricas rinda (kolonna) ir nulle, tad determinants ir vienāds ar nulli.

· Jebkuras rindas visu elementu reizinājumu summa pēc to algebriskajiem papildinājumiem ir vienāda ar determinantu.

· Jebkuras rindas visu elementu reizinājumu ar paralēlās rindas atbilstošo elementu algebriskajiem papildinājumiem summa ir nulle.

· Tādas pašas kārtas kvadrātveida matricu reizinājuma determinants ir vienāds ar to determinantu reizinājumu (sk. arī Binē-Košī formulu).

· Izmantojot indeksa apzīmējumu, 3x3 matricas determinantu var noteikt, izmantojot Levi-Civita simbolu no attiecības:

3. Nepilngadīgie un algebriskie papildinājumi.

N-tās kārtas matricas elementa minors ir (n-1) kārtas matricas determinants, kas iegūts no matricas A, dzēšot i-to rindu un j-to kolonnu.

Izrakstot (n-1) kārtas determinantu, sākotnējā noteicējā netiek ņemti vērā elementi, kas atrodas zem rindām.
N-tās kārtas matricas elementa aij algebriskais papildinājums Aij ir tā mazais, kas ņemts ar zīmi atkarībā no rindas numura un kolonnas numura: tas ir, algebriskais papildinājums sakrīt ar minoru, kad rindas un kolonnu numuri ir pāra skaitlis un atšķiras no mazākās zīmes, ja rindas un kolonnas numuru summa ir nepāra skaitlis.

4. Aizvietošanas teorēma.

Patvaļīgu skaitļu bi ,b2,...,b reizinājumu summas ar n kārtas matricas jebkuras kolonnas vai rindas elementu algebriskajiem papildinājumiem ir vienādas ar matricas determinantu, ko no tā iegūst aizstājot šīs kolonnas (rindas) elementus ar skaitļiem b1,b2,...,bn.

5. Atcelšanas teorēma.

Matricas vienas kolonnas (rindas) elementu reizinājumu summa ar atbilstošajiem citas kolonnas (rindas) elementu algebriskajiem papildinājumiem ir vienāda ar nulli.

6. Dažas metodes determinantu aprēķināšanai.

Teorēma (Laplass). N kārtas matricas determinants = visu k-tās kārtas minoru reizinājuma summa, ko var sastādīt no patvaļīgi izvēlētām k paralēlo sērijām un šo minoru algebriskajiem papildinājumiem.

Teorēma (par determinanta paplašināšanu sērijas elementos). Kvalifikācijas kv. matrica = noteiktas sērijas un algebras elementu reizinājumu summa

šo elementu papildinājumi

7. Matricas reizināšana. Reizināšanas īpašības.

Divu matricu reizināšanas operācija tiek ieviesta tikai gadījumam, ja pirmās matricas kolonnu skaits ir vienāds ar otrās matricas rindu skaitu.

Matricas A m * n = (a i , g) reizinājums ar matricu B n * p = (b i , k) ir matrica Cm*p = (ar i , k) tā, ka:

kur i= , , t.i. reizinājuma matricas C i-tās un k-tās kolonnas elements ir vienāds ar matricas A i-tās rindas elementu reizinājumu summu ar atbilstošajiem matricas B k-tās kolonnas elementiem. .

Matricas A, n*m un B, m*n, sauc. vienojās. (ja A atbilst B, tas nenozīmē, ka B atbilst A).

Konsekvences nozīme ir tāda, ka 1. matricas kolonnu skaits atbilst 2. matricas rindu skaitam. Saskaņotām matricām var definēt reizināšanas operāciju.

Ja matricas A un B ir kvadrātveida un vienāda izmēra, tad A*B un B*A vienmēr pastāv. Transponēšana ir visu kolonnas elementu maiņa uz atbilstošajiem rindas elementiem. Ja A T =A, tad tiek izsaukta matrica A. simetrisks (tam jābūt kvadrātveida).

Matricu transponēšana.

Transponētā matrica- matrica, kas iegūta no sākotnējās matricas, aizstājot rindas ar kolonnām.
Formāli lieluma matricas transponētā matrica ir izmēru matrica, kas definēta kā A T[ i, j] = A[j, i].
Piemēram,

Un

Apgrieztā matrica. Nepieciešams un pietiekams nosacījums apgrieztās matricas pastāvēšanai. Apgrieztās matricas atrašana.

Lai ir matrica A - nevienskaitlis.

A -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, kur E ir identitātes matrica. A -1 izmēri ir tādi paši kā A.

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai:

1. Katra matricas elementa a ij vietā rakstām tā algebrisko papildinājumu.

A* ir savienības matrica.

2. transponē iegūto savienības matricu. A*T

3. sadaliet katru savienības matricas elementu ar matricas A determinantu.

A -1 = A *T

Teorēma: (par determinanta atcelšanu):
noteiktas determinanta sērijas elementu reizinājumu summa ar algebrisko papildinājumu citas paralēlās rindas elementiem vienmēr ir vienāda ar nulli.

10. Lineāro vienādojumu sistēmas matricas attēlojums un to atrisinājumi.

Matricas ļauj īsi pierakstīt lineāro vienādojumu sistēmu. Dota 3 vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem:

Apsveriet sistēmas matricu un matricu kolonnas ar nezināmiem un brīviem terminiem

Atradīsim darbu

tie. reizinājuma rezultātā iegūstam šīs sistēmas vienādojumu kreisās puses. Tad, izmantojot matricas vienlīdzības definīciju, šo sistēmu var ierakstīt formā

vai īsāks A∙X=B.

Šeit ir matricas A Un B ir zināmi, un matrica X nezināms. Tas ir jāatrod, jo... tās elementi ir šīs sistēmas risinājums. Šo vienādojumu sauc matricas vienādojums.

Lai matricas determinants atšķiras no nulles | A| ≠ 0. Tad matricas vienādojumu atrisina šādi. Reiziniet abas vienādojuma puses kreisajā pusē ar matricu A-1, matricas apgrieztā vērtība A: . Tāpēc ka A -1 A = E Un E∙X = X, tad matricas vienādojuma atrisinājumu iegūstam formā X = A -1 B.

Ņemiet vērā, ka, tā kā apgriezto matricu var atrast tikai kvadrātveida matricām, matricas metode var atrisināt tikai tās sistēmas, kurās vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo skaitu. Taču sistēmas matricas ierakstīšana iespējama arī gadījumā, ja vienādojumu skaits nav vienāds ar nezināmo skaitu, tad matrica A nebūs kvadrātveida un tāpēc nav iespējams atrast sistēmas risinājumu formā X = A -1 B.

11. Nedeģenerētu lineāru sistēmu risinājums, Krāmera formulas.

SLAE pieņemts rakstīt matricas formā, kad nav norādīti paši nezināmie, bet norādīta tikai sistēmas A matrica un brīvo terminu kolonna B.

Nedeģenerētu SLAE risināšana, izmantojot Krāmera metodi:

A -1 =

X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + … + A n 1 b n)

Teorēma: (Cramer):
nedeģenerētu vienādojumu risinājums AX=B, var uzrakstīt šādi:

, Ak iegūst no A, aizstājot k-to kolonnu ar brīvā termina B kolonnu.

12. Matricas rangs. Matricas ranga īpašības. Matricas ranga aprēķināšana, izmantojot elementāras transformācijas.

Tiek izsaukts maksimālais matricas A lineāri atkarīgo rindu skaits. matricas rangs un apzīmējums r(a). Tiek izsaukta lielākā no dotās matricas mazajām kārtām, kas nav 0 matricas rangs.

Īpašības:

1) transponējot rank=const.

2) ja izsvītro nulles rindu, tad rang=const;

3)rang=izmaksas, ar elementāriem pārveidojumiem.

3) lai aprēķinātu rangu, izmantojot elementu, matricu A pārveido par matricu B, kuras rangs ir viegli atrodams.

4) matricas trīsstūra rangs = to elementu skaits, kas nav nulles elementi, kas atrodas galvenajās diagonālēs.

Metodes matricas ranga atrašanai:

1) nepilngadīgo robežošanās metode

2) elementāro pārveidojumu metode

Robežas nepilngadīgo metode:

Nepilngadīgo robežu noteikšanas metode ļauj algoritmizēt rangu matricas atrašanas procesu un ļauj samazināt nepilngadīgo aprēķinu skaitu.

1) ja matricā ir visi nulles elementi, tad rangs = 0

2) ja ir vismaz viens elements, kas nav nulle => r(a)>0

Tagad robežosimies ar mazo M1, t.i. konstruēsim visus iespējamos 2.kārtas nepilngadīgos, ktr. satur i-to rindu un j-to kolonnu, līdz atrodam 2. kārtas minoru, kas nav nulle.

Process turpināsies, līdz notiks kāds no šiem notikumiem:
1. Nepilngadīgā izmērs sasniegs skaitli k.

2. kādā posmā visi robežu nepilngadīgie izrādīsies = 0.

Abos gadījumos ranga matricas lielums būs vienāds ar lielākās mazākās, kas nav nulles, kārtu.

Elementārās pārveidošanas metode:
Kā zināms, trīsstūrveida matricas jēdziens ir definēts tikai kvadrātveida matricām. Taisnstūra matricām analogs ir trapecveida matricas jēdziens.

Piemēram:
rangs = 2.

Matricas apgrieztā dotā.

Ne katrai matricai ir inverss.

1. teorēma. Apgrieztās matricas vienkāršākās īpašības.

1°. Jebkurai matricai var būt ne vairāk kā viens inverss.

2°. E –1 = E.

3°. ( A –1) –1 = A.

4°. ( AB) –1 = B –1 A –1 .

Vienskaitļa un nevienskaitļa kvadrātveida matricas.

2. teorēma. Matricas invertējamības kritērijs.

Matrica ir invertējama tad un tikai tad, ja tā nav vienskaitlī.

Lemma 1. Jebkuru matricas rindas (kolonnas) elementāro transformāciju var realizēt, reizinot šo matricu kreisajā (labajā) ar atbilstošo elementāro matricu.

Lemma 2. Lai matrica būtu nevienskaitlīga, ir nepieciešams un pietiekami, ka to var reducēt līdz identitātes matricai, izmantojot tikai rindas elementāras transformācijas.

3. Lemma. Ja matricas rindas (kolonnas). A (B) ir lineāri atkarīgi un C = AB, tad tieši tāda pati lineārā atkarība attiecas uz matricas rindām (kolonnām). AR.

Praktisks veids, kā aprēķināt apgriezto matricu:

A|E ... E|A –1 .

Matricu vienādojumi.

SLE reģistrēšana viena īpašas formas matricas vienādojuma veidā. Krāmera tornis matricas formā.

Permutācijas un aizstāšanas

Pārkārtojumi. Permutācijas ierakstīšana. Permutāciju skaits n elementi. Inversijas. Pāra un nepāra permutācijas. Transpozīcijas.

Teorēma. Transpozīciju īpašības.

1°. Varat pāriet no jebkuras permutācijas uz jebkuru citu permutāciju, izmantojot vairākas transpozīcijas.

2°. Katra transponēšana maina permutācijas paritāti.

Aizstāšanas. S n. Aizstāšanas ierakstīšana. Aizstāšanas paritāte. Aizstāšanas paritātes noteikšanas pareizība. Aizstājējzīme. (–1) s (p) .

Determinanta definīcija

Determinanta definīcija.

Otrās un trešās kārtas matricu determinantu aprēķināšanas piemēri, augšējās (apakšējās) trīsstūrveida matricas determinants, matricas determinants, kurā visi elementi zem (virs) sānu diagonāles ir vienādi ar nulli.

Determinanta īpašības

Teorēma. Determinanta īpašības.

1°. det t A= det A.

2°.det = det + det .

3°. det = l × det .

4°. det = –det .

5°. Ja viena no matricas rindām ir nulle, tad matricas determinants ir vienāds ar nulli.

6°. Ja jebkuras divas matricas rindas ir vienādas, tad matricas determinants ir nulle.

7°. Ja jebkuras divas matricas rindas ir proporcionālas, tad matricas determinants ir nulle.

8°. Ja viena no matricas rindām tiek reizināta ar skaitli un pievienota citai rindai, determinants nemainīsies.

9°. Singulārās matricas determinants ir vienāds ar nulli.

10°. Nevienskaitļa matricas determinants nav nulle.

Piezīme. Īpašības 1°–4° ir pierādītas pēc definīcijas, pārējās īpašības iegūtas, izmantojot īpašības 1°–4°.

Secinājums 1. Matricas nedeģenerācijas kritērijs.

Kvadrātveida matrica nav vienskaitlī tad un tikai tad, ja tās determinants nav nulle.

Secinājums 2. Viendabīga lineāro vienādojumu sistēma, kas sastāv no n vienādojumi ar n nezināms, ir risinājumi, kas atšķiras no nulles, tad un tikai tad, ja sistēmas matricas determinants ir vienāds ar nulli.

Nepilngadīgie un algebriskie papildinājumi. Determinanta dekompozīcija rindā un kolonnā

Nepilngadīga M ij kvadrātveida matrica. Algebriskais papildinājums A ij elements a ij kvadrātveida matrica.

Teorēma par sadalīšanos.

det A = a k 1 A k 1 +a k 2 A k 2 + ... +a kn A kn, det A = a 1k A 1k +a 2k A 2k + ... +a nk A nk

jebkuram k =

Pierādīšanas stadijas

1. Matricai, kurā A n = e n, pēc definīcijas det.

2. Matricai, kurā A i = e j, samazinot līdz 1. gadījumam, ņemot vērā zīmi A i un nemainīgums M ij.

3. Vispārējs gadījums pēc pārstāvības A i kā summa n vektori un reducēšana uz 2. gadījumu.

Vēl viena noteicēja īpašība

11°. a k 1 A p 1 +a k 2 A p 2 + ... +a kn A pn,a 1 k A 1 lpp+a 2 k A 2 lpp+ ... +a nk A np, Ja k ¹ lpp.

Tiek izsaukta matrica A -1 otrādi attiecībā pret kvadrātmatricu A, ja reizinot šo matricu ar matricu A gan labajā, gan kreisajā pusē, iegūst identitātes matricu: A -1 * A = A * A -1 = E.

No definīcijas izriet, ka apgrieztā matrica ir kvadrātveida matrica tādā pašā secībā kā matrica A.

Var atzīmēt, ka apgrieztās matricas jēdziens ir līdzīgs apgrieztā skaitļa jēdzienam (tas ir skaitlis, kas, reizinot ar doto skaitli, iegūst vienu: a*a -1 = a*(1/ a) = 1).

Visiem skaitļiem, izņemot nulli, ir apgriezti skaitļi.

Lai atrisinātu jautājumu par to, vai kvadrātveida matricai ir inverss, ir jāatrod tās determinants. Ja matricas determinants ir nulle, tad šādu matricu sauc deģenerēts, vai īpašs.

Nepieciešams un pietiekams nosacījums apgrieztās matricas pastāvēšanai: Apgrieztā matrica pastāv un ir unikāla tad un tikai tad, ja sākotnējā matrica nav vienskaitlī.

Pierādīsim nepieciešamību. Lai matricai A ir apgrieztā matrica A -1, t.i. A -1 * A = E. Tad |A -1 * A| = |A -1 | * |A| = |E| = 1. Tāpēc |A|0.

Pierādīsim pietiekamību. Lai to pierādītu, mums vienkārši jāapraksta apgrieztās matricas aprēķināšanas metode, kuru mēs vienmēr varam pielietot ne-singulārai matricai.

Tātad pieņemsim |A| 0. Transponējam matricu A. Katram elementam A T atrodam algebrisko komplementu un no tiem sastādām matricu, ko sauc pielikumā(savstarpējs, sabiedrotais):
.

Atradīsim adjungētās matricas un oriģinālās matricas reizinājumu
. Mēs saņemam
. Tādējādi matrica B ir diagonāla. Tās galvenajā diagonālē ir sākotnējās matricas noteicošie faktori, un visi pārējie elementi ir nulles:

Līdzīgi var pierādīt, ka
.

Ja visus matricas elementus sadalīsit ar |A|, iegūsit identitātes matricu E.

Tādējādi
, t.i.
.

Pierādīsim apgrieztās matricas unikalitāti. Pieņemsim, ka A ir cita apgrieztā matrica, kas atšķiras no A -1. Apzīmēsim to ar X. Tad A * X = E. Sareizināsim abas vienādības puses ar A -1 kreisajā pusē.

A -1 * A * X = A -1 * E

Unikalitāte ir pierādīta.

Tātad apgrieztās matricas aprēķināšanas algoritms sastāv no šādām darbībām:

1. Atrodiet matricas determinantu |A| . Ja |A| = 0, tad matrica A ir vienskaitlī, un apgriezto matricu nevar atrast. Ja |A| 0, pēc tam pārejiet uz nākamo darbību.

2. Konstruē transponēto matricu A T.

3. Atrodiet transponētās matricas elementu algebriskos papildinājumus un izveidojiet adjungēto matricu. .

4. Aprēķiniet apgriezto matricu, dalot adjungēto matricu ar |A|.

5. Jūs varat pārbaudīt apgrieztās matricas aprēķina pareizību saskaņā ar definīciju: A -1 * A = A * A -1 = E.

Atradīsim šīs matricas determinantu, izmantojot trijstūra likumu:

Izlaidīsim pārbaudi.

Var pierādīt šādas matricas inversijas īpašības:

1) |A -1 | = 1/|A|

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 =B -1 * A -1

5) (A -1) T = (A T) -1

Matricas rangs

Nepilngadīgak-tais pasūtījums matricas A, kuru izmērs ir m x n, sauc par k-tās kārtas kvadrātmatricas determinantu, ko iegūst no matricas A, dzēšot jebkuras rindas un kolonnas.

No definīcijas izriet, ka nepilngadīgā secība nepārsniedz mazāko no tā izmēriem, t.i. kmin(m;n). Piemēram, no 5x3 matricas A var iegūt pirmās, otrās un trešās kārtas kvadrātveida apakšmatricas (attiecīgi aprēķiniet šo kārtu minorās).

Rangs matricas ir augstākās kārtas šīs matricas mazākās vērtības (apzīmētas ar rangu A vai r(A)).

No definīcijas izriet, ka

1) matricas rangs nepārsniedz mazāko no tās izmēriem, t.i. r(A)min(m;n);

2) r(A) = 0 tad un tikai tad, ja matrica ir nulle (visi matricas elementi ir vienādi ar nulli), t.i., r(A) = 0A = 0;

3) n-tās kārtas kvadrātmatricai r(A) = n tad un tikai tad, ja šī matrica A nav vienskaitlī, t.i., r(A) = n|A|0.

Faktiski, lai to izdarītu, pietiek aprēķināt tikai vienu šādu nepilngadīgo (to, kas iegūts, izsvītrojot trešo kolonnu (jo pārējām trešā kolonna būs nulle, un tāpēc tās ir vienādas ar nulli).

Saskaņā ar trīsstūra likumu = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Tā kā visi trešās kārtas nepilngadīgie ir nulle, r(A)2. Tā kā, piemēram, ir otrās kārtas minora, kas nav nulle,

Acīmredzot mūsu izmantotās metodes (ņemot vērā visu veidu nepilngadīgos) nav piemērotas pakāpes noteikšanai sarežģītākos gadījumos to augstās sarežģītības dēļ. Parasti, lai atrastu matricas rangu, tiek izmantotas dažas transformācijas, kuras sauc elementāri:

1). Nulles rindu (kolonnu) atmešana.

2). Visu matricas rindas vai kolonnas elementu reizināšana ar skaitli, kas nav nulle.

3). Matricas rindu (kolonnu) secības maiņa.

4). Katram vienas rindas (kolonnas) elementam pievienojot atbilstošos citas rindas (kolonnas) elementus, kas reizināti ar jebkuru skaitli.

5). Transponēšana.

Ja matricu A iegūst no matricas B ar elementārpārveidojumiem, tad šīs matricas sauc ekvivalents un apzīmē ar AB.

Teorēma. Elementārās matricas transformācijas nemaina tās rangu.

Teorēmas pierādījums izriet no matricas determinanta īpašībām. Faktiski šo transformāciju laikā kvadrātveida matricu determinanti tiek saglabāti vai reizināti ar skaitli, kas nav vienāds ar nulli. Rezultātā sākotnējās matricas augstākās kārtas nepilngadīgo, kas nav nulles, paliek nemainīgas, t.i. viņas rangs nemainās.

Izmantojot elementārās transformācijas, matrica tiek nogādāta tā sauktajā pakāpeniskajā formā (pārveidota par soļu matrica), t.i. tie nodrošina, ka ekvivalentajā matricā zem galvenās diagonāles ir tikai nulle elementi, bet galvenajā diagonālē - elementi, kas nav nulle:

Pakāpju matricas rangs ir vienāds ar r, jo, izdzēšot no tās kolonnas, sākot no (r + 1) un tālāk, var iegūt r-tās kārtas trīsstūrveida matricu, kuras determinants būs ne- nulle, jo tas būs elementu, kas nav nulle, reizinājums (tātad ir r-tās kārtas minoritāte, kas nav vienāda ar nulli):

Piemērs. Atrodiet matricas rangu

1). Ja a 11 = 0 (kā mūsu gadījumā), tad, pārkārtojot rindas vai kolonnas, mēs nodrošināsim, ka 11 0. Šeit mēs apmainām matricas 1. un 2. rindu:

2). Tagad 11 0. Izmantojot elementārās transformācijas, mēs nodrošināsim, ka visi pārējie elementi pirmajā kolonnā ir vienādi ar nulli. Otrajā rindā 21 = 0. Trešajā rindā 31 = -4. Lai (-4) vietā būtu 0, pievienojiet trešajai rindai pirmo rindu, kas reizināta ar 2 (t.i., ar (-a 31 / a 11) = -(-4)/2 = 2). Līdzīgi ceturtajai rindai pievienojam pirmo rindiņu (reizinātu ar vienu, t.i. ar (-a 41 /a 11) = -(-2)/2 = 1).

3). Iegūtajā matricā a 22 0 (ja a 22 = 0, tad rindas var pārkārtot vēlreiz). Pārliecināsimies, ka otrajā kolonnā zem diagonāles ir arī nulles. Lai to izdarītu, pievienojiet otro rindiņu 3. un 4. rindai, reizinot ar -3 ((-a 32 /a 22) = (-a 42 /a 22) = -(-3)/(-1) = - 3):

4). Iegūtajā matricā pēdējās divas rindas ir nulle, un tās var izmest:

Tiek iegūta pakāpju matrica, kas sastāv no divām rindām. Tāpēc r(A) = 2.

Nevienskaitļa matrica ir n-tās kārtas kvadrātveida matrica, kuras determinants nav nulle. Pretējā gadījumā tiek izsaukta matrica deģenerēts.

Teorēma ( apgrieztās matricas eksistences unikalitāte): Ja matricai ir apgrieztā matrica, tad tā ir unikāla.

Pierādījums.

Lai ir matrica, kurai un matrica, kurai .

Tad tas ir. Sareizināsim abas vienādības puses ar matricu, iegūstam , kur un .

Tas nozīmē, ka tas ir jāpierāda.

12. Matricu vienādojumi, to atrisināšana, izmantojot apgriezto matricu.

Matricas vienādojumi var izskatīties šādi:

AX = B, HA = B, AXB = C,

kur A, B, C ir norādītās matricas, X ir vēlamā matrica.

Matricu vienādojumus atrisina, reizinot vienādojumu ar apgrieztām matricām.

Piemēram, lai no vienādojuma atrastu matricu, šis vienādojums jāreizina ar kreisajā pusē.

Tāpēc, lai atrastu vienādojuma risinājumu, jāatrod apgrieztā matrica un jāreizina ar matricu vienādojuma labajā pusē.

13. Lineāro vienādojumu kvadrātiskās sistēmas. Krāmera likums.

M lineāru vienādojumu sistēma ar n nezināmajiem (vai lineāra sistēma) lineārajā algebrā ir vienādojumu sistēma ar formu

Krāmera metode (Cramer's rule) ir metode lineāro algebrisko vienādojumu kvadrātisko sistēmu atrisināšanai ar galvenās matricas determinantu, kas nav nulle (un šādiem vienādojumiem ir unikāls risinājums). Nosaukts pēc Gabriela Krāmera (1704–1752), kurš izgudroja metodi.

n lineāru vienādojumu sistēmai ar n nezināmajiem (virs patvaļīga lauka)

ar sistēmas matricas determinantu Δ, kas atšķiras no nulles, atrisinājumu raksta formā

(sistēmas matricas i-tā kolonna tiek aizstāta ar brīvo terminu kolonnu).

Citā formā Krāmera noteikums ir formulēts šādi: jebkuriem koeficientiem c 1, c 2, ..., c n ir spēkā šāda vienādība:

Lineāro vienādojumu sistēma: