M lineāru vienādojumu sistēma ar n nezināmajiem sauc par formu sistēmu

Kur a ij Un b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ir daži zināmi skaitļi un x 1,…,x n- nezināms. Koeficientu apzīmējumā a ij pirmais indekss i apzīmē vienādojuma numuru un otro j– nezināmā skaitlis, pie kura atrodas šis koeficients.

Koeficientus nezināmajiem rakstīsim matricas veidā , ko mēs sauksim sistēmas matrica.

Skaitļi vienādojumu labajā pusē ir b 1 ,…, b m tiek saukti bezmaksas dalībnieki.

Kopums n cipariem c 1,…,c n sauca lēmumu dotās sistēmas, ja katrs sistēmas vienādojums kļūst par vienādību pēc skaitļu aizstāšanas tajā c 1,…,c n atbilstošo nezināmo vietā x 1,…,x n.

Mūsu uzdevums būs rast risinājumus sistēmai. Šajā gadījumā var rasties trīs situācijas:

Tiek saukta lineāro vienādojumu sistēma, kurai ir vismaz viens risinājums locītavu. Citādi, t.i. ja sistēmai nav risinājumu, tad to sauc nav locītavu.

Apsvērsim veidus, kā rast risinājumus sistēmai.

MATRIKSAS METODE LINEĀRO VIENĀDĀJUMU SISTĒMU RISINĀŠANAI

Matricas ļauj īsi pierakstīt lineāro vienādojumu sistēmu. Dota 3 vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem:

Apsveriet sistēmas matricu un matricu kolonnas ar nezināmiem un brīviem terminiem

Atradīsim darbu

tie. reizinājuma rezultātā iegūstam šīs sistēmas vienādojumu kreisās puses. Tad, izmantojot matricas vienlīdzības definīciju, šo sistēmu var ierakstīt formā

vai īsāks A∙X=B.

Šeit ir matricas A Un B ir zināmi, un matrica X nezināms. Tas ir jāatrod, jo... tās elementi ir šīs sistēmas risinājums. Šo vienādojumu sauc matricas vienādojums.

Lai matricas determinants atšķiras no nulles | A| ≠ 0. Tad matricas vienādojumu atrisina šādi. Reiziniet abas vienādojuma puses kreisajā pusē ar matricu A-1, matricas apgrieztā vērtība A: . Tāpēc ka A -1 A = E Un E∙X = X, tad matricas vienādojuma atrisinājumu iegūstam formā X = A -1 B .

Ņemiet vērā, ka, tā kā apgriezto matricu var atrast tikai kvadrātveida matricām, matricas metode var atrisināt tikai tās sistēmas, kurās vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo skaitu. Taču sistēmas matricas ierakstīšana iespējama arī gadījumā, ja vienādojumu skaits nav vienāds ar nezināmo skaitu, tad matrica A nebūs kvadrātveida un tāpēc nav iespējams atrast sistēmas risinājumu formā X = A -1 B.

Piemēri. Atrisināt vienādojumu sistēmas.

KREIMERA NOTEIKUMI

Apsveriet 3 lineāru vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem:

Trešās kārtas determinants, kas atbilst sistēmas matricai, t.i. sastāv no nezināmo faktoru koeficientiem,

sauca sistēmas noteicējs.

Sastādīsim vēl trīs determinantus šādi: secīgi aizstājam 1, 2 un 3 kolonnas determinantā D ar brīvu terminu kolonnu.

Tad mēs varam pierādīt šādu rezultātu.

Teorēma (Kremera noteikums). Ja sistēmas determinants Δ ≠ 0, tad aplūkotajai sistēmai ir viens un tikai viens risinājums, un

Pierādījums. Tātad, aplūkosim 3 vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem. Sareizināsim sistēmas 1. vienādojumu ar algebrisko komplementu A 11 elements a 11, 2. vienādojums – ieslēgts A 21 un 3. – uz A 31:

Pievienosim šos vienādojumus:

Apskatīsim katru no iekavām un šī vienādojuma labo pusi. Pēc teorēmas par determinanta paplašināšanu 1. kolonnas elementos

Līdzīgi var parādīt, ka un .

Visbeidzot, to ir viegli pamanīt

Tādējādi mēs iegūstam vienādību: .

Līdz ar to,.

Vienādības un tiek atvasinātas līdzīgi, no kā izriet teorēmas apgalvojums.

Tādējādi mēs atzīmējam, ka, ja sistēmas determinants Δ ≠ 0, tad sistēmai ir unikāls risinājums un otrādi. Ja sistēmas determinants ir vienāds ar nulli, tad sistēmai vai nu ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, vai arī atrisinājumu nav, t.i. nesaderīgi.

Piemēri. Atrisināt vienādojumu sistēmu

GAUSA METODE

Iepriekš apskatītās metodes var izmantot, lai atrisinātu tikai tās sistēmas, kurās vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo skaitu, un sistēmas determinantam ir jāatšķiras no nulles. Gausa metode ir universālāka un piemērota sistēmām ar jebkādu vienādojumu skaitu. Tas sastāv no nezināmo konsekventas izslēgšanas no sistēmas vienādojumiem.

Vēlreiz apsveriet trīs vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem:

.

Mēs atstāsim pirmo vienādojumu nemainītu, un no 2. un 3. izslēgsim terminus, kas satur x 1. Lai to izdarītu, sadaliet otro vienādojumu ar A 21 un reizināt ar – A 11, un pēc tam pievienojiet to 1. vienādojumam. Līdzīgi mēs dalām trešo vienādojumu ar A 31 un reizināt ar – A 11, un pēc tam pievienojiet to pirmajam. Tā rezultātā sākotnējā sistēma būs šāda:

Tagad no pēdējā vienādojuma mēs izslēdzam terminu, kas satur x 2. Lai to izdarītu, sadaliet trešo vienādojumu ar, reiziniet ar un pievienojiet ar otro. Tad mums būs vienādojumu sistēma:

No šejienes, no pēdējā vienādojuma, to ir viegli atrast x 3, tad no 2. vienādojuma x 2 un visbeidzot, no 1. x 1.

Izmantojot Gausa metodi, vienādojumus var apmainīt, ja nepieciešams.

Bieži vien tā vietā, lai uzrakstītu jaunu vienādojumu sistēmu, viņi aprobežojas ar sistēmas paplašinātās matricas izrakstīšanu:

un pēc tam izveidojiet to trīsstūrveida vai diagonālā formā, izmantojot elementāras pārvērtības.

UZ elementāras pārvērtības matricas ietver šādas transformācijas:

1. rindu vai kolonnu pārkārtošana;
2. virknes reizināšana ar skaitli, kas nav nulle;
3. pievienojot vienai rindai citas rindas.

Piemēri: Atrisiniet vienādojumu sistēmas, izmantojot Gausa metodi.

Tādējādi sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu.

Vienādojums ar vienu nezināmo, kas pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu pievienošanas iegūst formu

cirvis + b = 0, kur a un b ir patvaļīgi skaitļi, tiek izsaukts lineārais vienādojums ar vienu nezināmo. Šodien mēs izdomāsim, kā atrisināt šos lineāros vienādojumus.

Piemēram, visi vienādojumi:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineārs.

Tiek saukta nezināmā vērtība, kas vienādojumu pārvērš patiesā vienādībā lēmumu vai vienādojuma sakne .

Piemēram, ja vienādojumā 3x + 7 = 13 nezināmā x vietā aizvietojam skaitli 2, iegūstam pareizo vienādību 3 2 +7 = 13. Tas nozīmē, ka vērtība x = 2 ir atrisinājums vai sakne. no vienādojuma.

Un vērtība x = 3 nepārvērš vienādojumu 3x + 7 = 13 par patiesu vienādību, jo 3 2 +7 ≠ 13. Tas nozīmē, ka vērtība x = 3 nav vienādojuma atrisinājums vai sakne.

Jebkuru lineāro vienādojumu atrisināšana tiek reducēta uz formas vienādojumu atrisināšanu

cirvis + b = 0.

Pārvietosim brīvo terminu no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi b priekšā uz pretējo, iegūstam

Ja a ≠ 0, tad x = ‒ b/a .

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 3x + 2 =11.

Pārvietosim 2 no vienādojuma kreisās puses uz labo, mainot zīmi 2 priekšā uz pretējo, iegūstam
3x = 11–2.

Tad veiksim atņemšanu
3x = 9.

Lai atrastu x, reizinājums ir jāsadala ar zināmu koeficientu, tas ir
x = 9:3.

Tas nozīmē, ka vērtība x = 3 ir vienādojuma atrisinājums vai sakne.

Atbilde: x = 3.

Ja a = 0 un b = 0, tad iegūstam vienādojumu 0x = 0. Šim vienādojumam ir bezgalīgi daudz atrisinājumu, jo, reizinot jebkuru skaitli ar 0, mēs iegūstam 0, bet b ir arī vienāds ar 0. Šī vienādojuma risinājums ir jebkurš skaitlis.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Izvērsīsim iekavas:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Šeit ir daži līdzīgi termini:
0x = 0.

Atbilde: x - jebkurš skaitlis.

Ja a = 0 un b ≠ 0, tad iegūstam vienādojumu 0x = - b. Šim vienādojumam nav atrisinājumu, jo, reizinot jebkuru skaitli ar 0, mēs iegūstam 0, bet b ≠ 0.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu x + 8 = x + 5.

Sagrupēsim terminus, kas satur nezināmus kreisajā pusē, un brīvos terminus labajā pusē:
x – x = 5 – 8.

Šeit ir daži līdzīgi termini:
0х = ‒ 3.

Atbilde: nav risinājumu.

Ieslēgts 1. attēls parādīta diagramma lineāra vienādojuma risināšanai

Izstrādāsim vispārīgu shēmu vienādojumu risināšanai ar vienu mainīgo. Apskatīsim 4. piemēra risinājumu.

4. piemērs. Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina vienādojums

1) Reiziniet visus vienādojuma nosacījumus ar saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni, kas vienāds ar 12.

2) Pēc samazināšanas mēs iegūstam
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Lai atdalītu terminus, kas satur nezināmus un brīvus terminus, atveriet iekavas:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Sagrupēsim vienā daļā terminus, kas satur nezināmos, bet otrā - brīvos terminus:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = ‒ 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Piedāvāsim līdzīgus terminus:
- 22x = - 154.

6) Sadaliet ar – 22, iegūstam
x = 7.

Kā redzat, vienādojuma sakne ir septiņi.

Vispār tādi vienādojumus var atrisināt, izmantojot šādu shēmu:

a) izveido vienādojumu tā veselā skaitļa formā;

b) atveriet kronšteinus;

c) grupē vienādojuma daļā vārdus, kas satur nezināmo, bet otrā – brīvos terminus;

d) atvest līdzīgus biedrus;

e) atrisiniet vienādojumu formā aх = b, kas iegūts pēc līdzīgu terminu piesaistīšanas.

Tomēr šī shēma nav nepieciešama katram vienādojumam. Risinot daudzus vienkāršākus vienādojumus, jāsāk nevis no pirmā, bet gan no otrā ( Piemērs. 2), trešais ( Piemērs. 13) un pat no piektā posma, kā 5. piemērā.

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 2x = 1/4.

Atrodiet nezināmo x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Apskatīsim dažu lineāro vienādojumu risināšanu galvenajā valsts eksāmenā.

6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5-6

Atbilde: - 0,125

7. piemērs. Atrisiniet vienādojumu – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Atbilde: 2.3

8. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

9. piemērs. Atrodiet f(6), ja f (x + 2) = 3 7

Risinājums

Tā kā mums ir jāatrod f (6), un mēs zinām f (x + 2),
tad x + 2 = 6.

Mēs atrisinām lineāro vienādojumu x + 2 = 6,
mēs iegūstam x = 6 – 2, x = 4.

Ja x = 4, tad
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Atbilde: 27.

Ja jums joprojām ir jautājumi vai vēlaties izprast vienādojumu risināšanu pamatīgāk, pierakstieties uz manām nodarbībām GRAFIKSĀ. Es ar prieku jums palīdzēšu!

TutorOnline arī iesaka noskatīties jaunu video nodarbību no mūsu pasniedzējas Olgas Aleksandrovnas, kas palīdzēs izprast gan lineāros vienādojumus, gan citus.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Mēs veidojam galveno sistēmas noteicošo faktoru

un aprēķiniet to.

Tad mēs sastādām papildu determinantus

un aprēķināt tos.

Saskaņā ar Krāmera likumu sistēmas risinājums tiek atrasts, izmantojot formulas

;
;
, Ja

1)

Aprēķināsim:

Izmantojot Krāmera formulas, mēs atrodam:

Atbilde: (1; 2; 3)

2)

Aprēķināsim:

Tā kā galvenais noteicējs
, un vismaz viens papildu nav vienāds ar nulli (mūsu gadījumā
), tad sistēmai nav risinājuma.

3)

Aprēķināsim:

Tā kā visi determinanti ir vienādi ar nulli, sistēmai ir bezgalīgs skaits risinājumu, kurus var atrast šādi:

Atrisiniet sistēmas pats:

A)
b)

Atbilde: a) (1; 2; 5) b) ;;

Praktiskā nodarbība Nr.3 par tēmu:

Divu vektoru punktu reizinājums un tā pielietojums

1. Ja dota
Un
, tad mēs atrodam skalāro reizinājumu, izmantojot formulu:

∙

2.Ja, tad šo divu vektoru skalāro reizinājumu atrod pēc formulas

1. Doti divi vektori
Un

Mēs atrodam viņu skalāro produktu šādi:

.

2. Doti divi vektori:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Skalārais produkts tiek atrasts šādi:

3.
,

3.1. Pastāvīga spēka darba atrašana taisnā ceļa posmā

1) 15 N spēka ietekmē ķermenis pa taisno virzījās 2 metrus. Leņķis starp spēku un kustības virzienu =60 0. Aprēķiniet darbu, ko veic spēks, lai pārvietotu ķermeni.

Ņemot vērā:

Risinājums:

2) Ņemot vērā:

Risinājums:

3) Ķermenis, kas pārvietots no punkta M(1; 2; 3) uz punktu N(5; 4; 6) 60 N spēka ietekmē. Leņķis starp spēka virzienu un nobīdes vektoru =45 0. Aprēķiniet šī spēka paveikto darbu.

Risinājums: atrodiet nobīdes vektoru

Nobīdes vektora moduļa atrašana:

Pēc formulas
atrast darbu:

3.2. Divu vektoru ortogonalitātes noteikšana

Divi vektori ir ortogonāli, ja
, tas ir

jo

1)

- nav ortogonāls

2)

- ortogonāls

3) Nosakiet, pie kāda  vektori
Un
savstarpēji ortogonāli.

Jo
, Tas
, Līdzekļi

Izlemiet paši:

A)

. Atrodiet viņu skalāro reizinājumu.

b) Aprēķiniet, cik daudz darba rada spēks
, ja tā pielietojuma punkts, kustoties taisni, ir pārvietots no punkta M (5; -6; 1) uz punktu N (1; -2; 3)

c) Nosakiet, vai vektori ir ortogonāli
Un

Atbildes: a) 1 b) 16 c) jā

3.3.Leņķa atrašana starp vektoriem

1)

. Atrast .

Mēs atradām

aizstāt formulā:

.

1). Dotas ir trijstūra A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1) virsotnes. Atrodiet leņķi virsotnē A.

Ieliksim to formulā:

Izlemiet paši:

Dotas ir trijstūra A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) virsotnes. Nosakiet iekšējo leņķi virsotnē A.

Atbilde: 90 o

Praktiskā nodarbība Nr.4 par tēmu:

DIVU VEKTORU VEKTORPRODUKTS UN TĀ PIELIETOJUMS.

Formula divu vektoru krustreizinājuma atrašanai:

	izskatās kā

1) Atrodiet vektora reizinājuma moduli:

Sastādām determinantu un aprēķināsim to (izmantojot Sarusa likumu vai teorēmu par determinanta paplašināšanu pirmās rindas elementos).

1. metode: pēc Sarrusa likuma

2. metode: izvērsiet determinantu pirmās rindas elementos.

2) Atrodiet vektora reizinājuma moduli:

4.1. UZ DIVIEM VEKTORIEM UZBŪVĒTAS PARALELOGRAMMAS LAIKA APRĒĶINS.

1) Aprēķiniet uz vektoriem veidota paralelograma laukumu

2). Atrodiet vektora reizinājumu un tā moduli

4.2. Trijstūra laukuma APRĒĶINĀŠANA

Piemērs: dotas ir trijstūra A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1) virsotnes. Aprēķiniet trīsstūra laukumu.

Vispirms atradīsim koordinātas diviem vektoriem, kas izplūst no vienas virsotnes.

Atradīsim viņu vektorproduktu

4.3. DIVU VEKTORU KOLINEARITĀTES NOTEIKŠANA

Ja vektors
Un
tad ir kolineāri

, t.i., vektoru koordinātām jābūt proporcionālām.

a) Dotie vektori::
,
.

Tie ir kolineāri, jo
Un

pēc katras frakcijas samazināšanas iegūstam attiecību

b) Dotie vektori:

.

Tie nav kolineāri, jo
vai

Izlemiet paši:

a) Pie kādām vektora vērtībām m un n
kolineārs?

Atbilde:
;

b) Atrodiet vektora reizinājumu un tā moduli
,
.

Atbilde:
,
.

Praktiskā nodarbība Nr.5 par tēmu:

TAISNIJA LIDMAŠĪNĀ

Uzdevums Nr. 1. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu A(-2; 3) paralēli taisnei

1. Atrodiet līnijas slīpumu
.

ir taisnas līnijas vienādojums ar leņķa koeficientu un sākotnējo ordinātu (
). Tāpēc
.

2. Tā kā taisnes MN un AC ir paralēlas, to leņķiskie koeficienti ir vienādi, t.i.
.

3. Lai atrastu taisnes AC vienādojumu, mēs izmantojam taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu ar noteiktu leņķa koeficientu:

. Tā vietā šajā formulā Un vietā aizvietojiet punkta A koordinātas(-2; 3). Aizstāsim – 3. Aizstāšanas rezultātā iegūstam:

Atbilde:

Uzdevums Nr.2. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu K(1; –2) paralēli taisnei.

1. Atradīsim līnijas slīpumu.

Šis ir līnijas vispārīgais vienādojums, kuru vispārīgā formā nosaka formula. Salīdzinot vienādojumus, konstatējam, ka A = 2, B = –3. Vienādojuma dotās taisnes slīpums tiek atrasts pēc formulas
. Šajā formulā aizstājot A = 2 un B = –3, iegūstam taisnes MN slīpumu. Tātad,
.

2. Tā kā taisnes MN un KS ir paralēlas, to leņķiskie koeficienti ir vienādi:
.

3. Lai atrastu taisnes KS vienādojumu, mēs izmantojam taisnes vienādojuma formulu, kas iet caur punktu ar noteiktu leņķa koeficientu.
. Tā vietā šajā formulā Un vietā aizvietosim punkta K(–2; 3) koordinātas

Uzdevums Nr. 3. Atrodi vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu K(–1; –3), kas ir perpendikulāra taisnei.

1. ir taisnas līnijas vispārīgs vienādojums, kuru vispārīgā formā sniedz formula.

un mēs atklājam, ka A = 3, B = 4.

Vienādojuma dotās taisnes slīpums tiek atrasts pēc formulas:
. Šajā formulā aizstājot A = 3 un B = 4, iegūstam taisnes MN slīpumu:
.

2. Tā kā taisnes MN un KD ir perpendikulāras, to leņķiskie koeficienti ir apgriezti proporcionāli un pretējā zīmē:

.

3. Lai atrastu taisnes KD vienādojumu, mēs izmantojam taisnes vienādojuma formulu, kas iet caur punktu ar doto leņķa koeficientu.

. Tā vietā šajā formulā Un vietā aizvietojiet punkta K(–1;–3) koordinātas aizstāsim Aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam:

Izlemiet paši:

1. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu K(–4; 1) paralēli taisnei
.

Atbilde:
.

2. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu K(5; –2) paralēli taisnei
.

3. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu K(–2, –6), kas ir perpendikulāra taisnei
.

4. Atrodiet vienādojumu tai taisnei, kas iet caur punktu K(7; –2), kas ir perpendikulāra taisnei
.

Atbilde:
.

5. Atrodiet vienādojumu perpendikulam, kas nomests no punkta K(–6; 7) uz taisni.
.

2.3.1. Definīcija.

Ļaujiet dot lineāros vienādojumus:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Ja ir jāatrod vispārīgs risinājums vienādojumiem (2.3.1) ¾ (2.3.3), tad viņi saka, ka tie veidojas sistēma . Sistēmu, kas sastāv no vienādojumiem (2.3.1.) ¾ (2.3.3.), apzīmē šādi:

Sistēmu veidojošo vienādojumu vispārīgo risinājumu sauc sistēmas risinājums . Atrisiniet sistēmu (2.3.4) ¾ tas nozīmē vai nu atrast visu tās risinājumu kopu, vai pierādīt, ka tādu nav.

Tāpat kā iepriekšējos gadījumos, tālāk mēs atradīsim nosacījumus, saskaņā ar kuriem sistēmai (2.3.4) ir unikāls risinājums, ir vairāk nekā viens risinājums un tai nav risinājuma.

2.3.2. Definīcija. Dota lineāro vienādojumu sistēma (2.3.4.). Matricas

tiek attiecīgi saukti ( pamata )matrica Un paplašināta matrica sistēmas.

2.3.3. Formas (2.3.4.) ekvivalento sistēmu definīcijas, kā arī 1. un 2. tipa elementārās transformācijas tiek ieviestas tāpat kā divu vienādojumu sistēmām ar diviem un trīs nezināmajiem.

Elementāra transformācija 3. sistēmas tipu (2.3.4.) sauc par dažu divu šīs sistēmas vienādojumu apmaiņu. Līdzīgi kā iepriekšējos 2 vienādojumu sistēmu gadījumos ar sistēmas elementārpārveidojumiem sistēma tiek iegūta,līdzvērtīgs šim.

2.3.4. Vingrinājums. Atrisiniet vienādojumu sistēmas:

Risinājums. A)

(1) Mēs apmainījām sistēmas pirmo un otro vienādojumu (3. tipa transformācija).

(2) pirmais vienādojums, kas reizināts ar 4, tika atņemts no otrā, un pirmais vienādojums, kas reizināts ar 6, tika atņemts no trešā (2. tipa transformācija); tādējādi nezināmais tika izslēgts no otrā un trešā vienādojuma x .

(3) Otrais vienādojums, reizināts ar 14, tika atņemts no trešā; nezināmais tika izslēgts no trešā y .

(4) No pēdējā vienādojuma mēs atrodam z = 1, aizstājot kuru ar otro, mēs atrodam y = 0. Visbeidzot, aizvietošana y = 0 un z = 1 pirmajā vienādojumā, mēs atrodam x = -2.ñ

(1) Mēs apmainījām sistēmas pirmo un otro vienādojumu.

(2) Pirmais vienādojums, kas reizināts ar 4, tika atņemts no otrā, un pirmais vienādojums, kas reizināts ar 6, tika atņemts no trešā.

(3) Otrais un trešais vienādojums sakrita. Vienu no tiem mēs izslēdzam no sistēmas (vai, citiem vārdiem sakot, ja no trešā vienādojuma atņemam otro, tad trešais vienādojums pārvēršas par identitāti 0 = 0; tas tiek izslēgts no sistēmas. Mēs pieņemam z = a .

(4) Aizstājējs z = a otrajā un pirmajā vienādojumā.

(5) Aizstāšana y = 12 - 12a pirmajā vienādojumā, mēs atrodam x .

c) Ja pirmo vienādojumu dala ar 4 un trešo ¾ ar 6, tad mēs nonākam pie līdzvērtīgas sistēmas

kas ir līdzvērtīgs vienādojumam x - 2y - z = -3. Šī vienādojuma risinājumi ir zināmi (sk. 2.2.3. b) piemēru.

Pēdējā vienlīdzība iegūtajā sistēmā ir pretrunīga. Tāpēc sistēmai nav risinājumu.

Transformācijas (1) un (2) ¾ ir tieši tādas pašas kā atbilstošās sistēmas b))

(3) Atņemiet otro no pēdējā vienādojuma.

Atbilde: a) (-2; 0; 1);

b) (21.–23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;

c) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};

d) Sistēmai nav risinājumu.

2.3.5. No iepriekšējiem piemēriem izriet, ka sistēma ar trim nezināmajiem, kā sistēma ar diviem nezināmajiem, var būt tikai viens risinājums, bezgalīgs skaits risinājumu un nav viena risinājuma. Tālāk mēs analizēsim visus iespējamos gadījumus. Bet vispirms mēs ieviešam dažus apzīmējumus.

Ar D apzīmē sistēmas matricas determinantu:

Ar D 1 apzīmē determinantu, kas iegūts no D, aizstājot pirmo kolonnu ar brīvo terminu kolonnu:

Līdzīgi liksim

D 2 = un D 3 = .

2.3.6. Teorēma. Ja D¹0, tad sistēma(2.3.4)ir unikāls risinājums

, , . (2.3.5)

Tiek izsauktas formulas (2.3.5). formulas = = 0 visiem i ¹ j un vismaz viens no noteicošajiem faktoriem , , nav vienāds ar nulli, tad sistēmai nav risinājumu.

4) Ja = = = = = = 0 visiem i ¹ j , tad sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, atkarībā no diviem parametriem.

1. problēma

Lineāro vienādojumu sistēmu atrisiniet divos veidos: izmantojot Krāmera formulas un Gausa metodi

1) atrisināt nehomogēnu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu Ax = B, izmantojot Krāmera metodi

Sistēmas D determinants nav vienāds ar nulli. Atradīsim palīgdeterminantus D 1, D 2, D 3, ja tie nav vienādi ar nulli, tad atrisinājumu nav, ja tie ir vienādi, tad ir bezgalīgi daudz atrisinājumu

3 lineāru vienādojumu sistēma ar 3 nezināmajiem, kuru determinants nav nulle, vienmēr ir konsekventa un tai ir unikāls risinājums, ko aprēķina pēc formulām:

Atbilde: mēs saņēmām risinājumu:

2) atrisināt nehomogēnu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu Ax = B, izmantojot Gausa metodi

Izveidosim paplašinātu sistēmas matricu

Ņemsim pirmo rindiņu kā ceļvedi un elementu a 11 = 1 kā ceļvedi. Izmantojot vadlīniju, pirmajā kolonnā iegūstam nulles.

atbilst lineāro vienādojumu sistēmas atrisinājumu kopai

Atbilde: mēs saņēmām risinājumu:

2. problēma

Dotas trijstūra ABC virsotņu koordinātas

Atrast:

1) malas AB garums;

4) mediānas AE vienādojums;

Izveidojiet doto trīsstūri un visas taisnes koordinātu sistēmā.

A(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Attālums starp punktiem A( x 1; plkst.1) un B( x 2; plkst.2) nosaka pēc formulas

izmantojot kuru atrodam malas AB garumu;

2) malu AB un BC vienādojumi un to leņķiskie koeficienti;

Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem dotiem plaknes A( x 1; plkst.1) un B( x 2; plkst.2) ir forma

Aizvietojot punktu A un B koordinātas (2), iegūstam malas AB vienādojumu:

Mēs atrodam taisnes AB leņķa koeficientu k AB, pārveidojot iegūto vienādojumu taisnes vienādojuma formā ar leņķa koeficientu y =kx - b.

, tas ir, no kurienes

Līdzīgi iegūstam taisnes BC vienādojumu un atrodam tā leņķisko koeficientu.

Punktu B un C koordinātas aizstājot ar (2), iegūstam vienādojumu malai BC:

Mēs atrodam taisnes BC leņķa koeficientu k, pārveidojot iegūto vienādojumu taisnas līnijas vienādojuma formā ar leņķa koeficientu y =kx - b.

, tas ir

3) iekšējais leņķis virsotnē B radiānos ar precizitāti 0,01

Lai atrastu mūsu trīsstūra iekšējo leņķi, mēs izmantojam formulu:

Ņemiet vērā, ka šīs frakcijas skaitītāja leņķisko koeficientu starpības aprēķināšanas procedūra ir atkarīga no taisnu līniju AB un BC relatīvā stāvokļa.

Aizvietojot iepriekš aprēķinātās k BC un k AB vērtības ar (3), mēs atrodam:

Tagad, izmantojot tabulas ar inženiertehnisko mikrokalkulatoru, mēs iegūstam B » 1,11 rad.

4) mediānas AE vienādojums;

Lai sastādītu mediānas AE vienādojumu, vispirms atrodam punkta E koordinātas, kas atrodas segmenta BC vidū.

Aizvietojot punktu A un E koordinātas vienādojumā (2), iegūstam vidējo vienādojumu:

5) augstuma CD vienādojums un garums;

Lai sastādītu augstuma CD vienādojumu, mēs izmantojam taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur doto punktu M( x 0 ; g 0)ar noteiktu slīpumu k, kam ir forma

un taisnes AB un CD perpendikulitātes nosacījums, ko izsaka ar sakarību k AB k CD = -1, no kurienes k CD = -1/k AB = - 3/4

Aizvietojot (4) vietā k vērtību k C D = -3/4, un vietā x 0 , y 0 punkta C atbilstošās koordinātas, iegūstam augstuma CD vienādojumu

Lai aprēķinātu augstuma CD garumu, mēs izmantojam formulu attāluma d atrašanai no dotā punkta M( x 0 ; g 0) uz doto taisni ar vienādojumu Ax+ By + C = 0, kam ir šāda forma:

Tā vietā tiek aizstāts ar (5). x 0 ; g 0 punkta C koordinātes, un A, B, C vietā iegūstam taisnes AB vienādojuma koeficientus

6) taisnes vienādojums, kas iet caur punktu E, kas ir paralēls malai AB, un tā krustošanās punktu M ar augstumu CD;

Tā kā vēlamā taisne EF ir paralēla taisnei AB, tad k EF = k AB = 4/3. Tā vietā aizstājot vienādojumu (4). x 0 ; g 0 punkta E koordinātas, un k vietā vērtības k EF iegūstam taisnes vienādojumu EF".

Lai atrastu punkta M koordinātas, kopīgi risinām taisnes EF un CD vienādojumus.

Tādējādi M(5,48, 0,64).

7) vienādojums riņķim ar centru punktā E, kas iet caur virsotni B

Tā kā apļa centrs atrodas punktā E(4.5; 2) un iet caur virsotni B(4; 3), tad tā rādiuss

Kanoniskais vienādojums riņķim ar rādiusu R, kura centrs atrodas punktā M 0 ( x 0 ; g 0) ir forma

Trijstūris ABC, augstums CD, mediāna AE, taisne EF, punkts M un aplis, kas konstruēts x0y koordinātu sistēmā 1. att.

3. problēma

Izveidojiet vienādojumu taisnei, kuras katra punkta attālums līdz punktam A (2; 5) ir vienāds ar attālumu līdz taisnei y = 1. Atzīmējiet iegūto līkni koordinātu sistēmā

Risinājums

Ļaujiet M ( x, g) - vēlamās līknes pašreizējais punkts. Nometīsim perpendikulu MB no punkta M uz taisni y = 1 (2. att.). Tad B(x; 1). Tā kā MA = MB, tad