Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Уравнения и системы уравнений первой степени

Два числа или какие-нибудь выражения, соединенные знаком « = », образуют равенство . Если данные числа или выражения при любых значениях букв равны, то такое равенство называют тождеством .

Например, когда утверждают, что при любом а действительном:

а + 1 = 1 + а , здесь равенство является тождеством.

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы называют неизвестными . Неизвестных в уравнении может быть несколько.

Например, в уравнении 2х + у = 7х – 3 два неизвестных: х и у .

Выражение, стоящее в уравнении слева (2х + у ) называют левой частью уравнения, а выражение, стоящее в уравнении справа (7х – 3), называют правой его частью.

Значение неизвестного, при котором уравнение становится тождеством, называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнение 3х + 7=13 вместо неизвестного х подставить число 2, получим тождество . Следовательно, значение х = 2 удовлетворяет данному уравнению и число 2 есть решение или корень данного уравнения.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными ), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот, все решения второго уравнения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений.

Например, уравнения 2х – 5 = 11 и 7х + 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень х = 8; уравнения х + 2 = х + 5 и 2х + 7 = 2х равносильны, потому что оба не имеют решений.

Свойства равносильных уравнений

1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.

Пример. Уравнение 2х – 1 = 7 имеет корень х = 4. Прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2х – 1 + 5 = 7 + 5 или 2х + 4 = 12, которое имеет тот же корень х = 4.

2. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.

Пример. Уравнение 9х + 5х = 18 + 5х имеет один корень х = 2. Опустив в обеих частях 5х , получим уравнение 9х = 18, которое имеет тот же корень х = 2.

3. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Пример. Уравнение 7х - 11 = 3 имеет один корень х = 2. Если перенести 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7х = 3 + 11, которое имеет то же решение х = 2.

4. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному.

Пример. Уравнение 2х - 15 = 10 – 3х имеет корень х = 5. Умножив обе части на 3, получим уравнение 3(2х – 15) = 3(10 – 3х ) или 6х – 45 =30 – 9х , которое имеет тот же корень х = 5.

5. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей на (-1)).

Пример. Уравнение – 3х + 7 = – 8 после умножения обеих частей на (-1) примет вид 3х - 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень х = 5.

6. Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля (то есть, не равное нулю).

Пример..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28">, равносильное данному, так как оно имеет те же два корня: и https://pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> после умножения обеих частей на 14 примет вид:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, где произвольные числа, х – неизвестное, называется уравнением первой степени с одним неизвестным (или линейным уравнением с одним неизвестным).

Пример. 2х + 3 = 7 – 0,5х ; 0,3х = 0.

Уравнение первой степени с одним неизвестным всегда имеет одно решение; линейное уравнение может не иметь решений () или иметь их бесконечное множество (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">.

Решение. Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src=">.

Сгруппируем в одной части (левой) члены, содержащие неизвестное, а в другой части (правой) - свободные члены:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Разделив обе части на (-22), получим х = 7.

Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Уравнение вида https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> называется уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у . Если находят общие решения двух и более уравнений то говорят, что эти уравнения образуют систему, их записывают обычно одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например .

Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы . Решить систему – это значит найти все решения этой системы или показать, что она их не имеет. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ), если все решения одной из них являются решениями другой и наоборот, все решения другой являются решениями первой.

Например, решением системы является пара чисел х = 4 и у = 3. Эти числа являются также единственным решением системы . Следовательно, эти системы уравнений равносильны.

Способы решения систем уравнений

1. Способ алгебраического сложения. Если коэффициенты при каком-нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине, то складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Решая это уравнение, определяют одно неизвестное, а подставляя его в одно из уравнений системы, находят второе неизвестное.

Примеры: Решить системы уравнений: 1) .

Здесь коэффициенты при у по абсолютной величине равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:

Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы, например в первое, и находим значение у : .

Ответ: х = 4; у = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=">

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Способ подстановки. Из любого уравнения системы одну из неизестных выражаем через остальные, а затем подставляем значение этой неизвестной в остальные уравнения. Рассмотрим этот способ на конкретных примерах:

1) Решим систему уравнений . Выразим из первого уравнения одно из неизвестных, например х : https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Подставим у = 1 в выражение для х , получим .

Ответ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. В этом случае удобно выразить у из второго уравнения:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Подставим значение х = 5 в выражение для у , получим https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Решим систему уравнений https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Подставив это значение во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным у : https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Ответ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Перепишем систему в виде: . Заменим неизвестные, положив , получим линейную систему ..gif" width="11 height=17" height="17"> во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным:

Подставив значение v в выражение для t , получим: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> находим .

Ответ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, где - коэффициенты при неизвестных, https://pandia.ru/text/78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, то система имеет единственное решение.

Б) Если https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, то система имеет бесконечное множество решений.

Пример..gif" width="47" height="48 src=">), значит система имеет единственное решение.

Действительно, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Пример..gif" width="91 height=48" height="48"> или после сокращения , следовательно, система не имеет решений.

Пример..gif" width="116 height=48" height="48"> или после сокращения , значит, система имеет бесконечное множество решений.

Уравнения, содержащие модуль

При решении уравнений, содержащих модуль, используется понятие модуля действительного числа. Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется само это число, если и противоположное число (– а ), если https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Итак, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, так как число 3 > 0; , так как число – 5 < 0, поэтому ; , так как (); , так как .

Свойства модулей:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Учитывая, что выражение, стоящее под модулем, может принимать два значения https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, то данное уравнение сводится к решению двух уравнений: и или и ..gif" width="52" height="20 src=">. Сделаем проверку, подставив каждое значение х в условие: если https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height="28 src=">.

Ответ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Пример..gif" width="408" height="55">

Ответ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Пример..gif" width="137" height="20"> и . Откладываем полученные значения х на числовой оси, разбивая ее на интервалы:

Если https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, т. к. в этом интервале, оба выражения под знаком модуля меньше нуля, и, убирая модуль, знак выражения мы должны поменять на противоположный. Решим полученное уравнение:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Граничное значение можно включить, как в первый, так и во второй интервал, так же как значение можно включить, как во второй, так и в третий. Во втором интервале наше уравнение примет вид: - это выражение не имеет смысла, т. е. на данном интервале уравнение решений не имеет. щих под знаком модуля, приравниваем их к нулю. Находим корнивсех выражений, с

Следующий интервал https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src=">.gif" width="125" height="25">, где a, b, c – произвольные числа (a ≠ 0), а x – переменная, называется квадратным . Чтобы решить такое уравнение, нужно вычислить дискриминант D = b 2 – 4ac . Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два решения (корня): и .

Если D = 0, квадратное уравнение, очевидно, имеет два одинаковых решения (кратных корня).

Если D < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если один из коэффициентов b или c равен нулю, то квадратное уравнение можно решить, не вычисляя дискриминанта:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src=">x (ax + b )=0

2) ax 2 + c = 0 ax 2 = – c ; если https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

Между коэффициентами и корнями квадратного уравнение существует зависимости, известные как формулы или теорема Виета:

Биквадратные уравнения это уравнения вида https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, тогда из первоначального уравнения получаем квадратное уравнение, из которого находим у , а затем х , по формуле .

Пример. Решить уравнение . Приведем выражения в обеих частях равенства к общему знаменателю..gif" width="212" height="29 src=">. Решаем полученное квадратное уравнение: , в этом уравнении a = 1, b = –2, c = –15, тогда дискриминант равен: D = b 2 – 4ac = 64. Корни уравнения: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Делаем замену . Тогда уравнение принимает вид – квадратное уравнение, где a = 1, b = – 4, c = 3, его дискриминант равен: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Корни квадратного уравнения равны соответственно: и .

Корни исходного уравнения , , , ..gif" width="78" height="51">, где Pn (x ) и Pm (x ) – многочлены степеней n и m соответственно. Дробь равняется нулю, если числитель равняется нулю, а знаменатель - нет, но такое многочленное уравнение преимущественно получают лишь после продолжительных преобразований, переходов от одного уравнения к другому. В процессе решения, таким образом, каждое уравнение заменяют на какое-то новое, а у нового могут быть новые корни. Проследить за этими изменениями корней, не допустить потерь корней и суметь отвергнуть лишние из них - задача правильного решения уравнений.

Понятно, что наилучший способ - каждый раз заменять одно уравнение на равнозначное, тогда корни последнего уравнения и будут корнями исходного. Тем не менее, такой идеальный путь тяжело осуществить на практике. Как правило, уравнение заменяют его следствием, вообще не обязательно ему равнозначным, при этом все корне первого уравнения есть корнями второго, т. е. потеря корней не происходит, но могут появиться посторонние (а могут и не появиться). В случае, когда хотя бы раз в процессе преобразований уравнения заменялось на неравнозначное, нужна обязательная проверка полученных корней.

Итак, если решение осуществлялось без анализа равнозначности и источников появления посторонних корней, проверка является обязательной частью решения. Без проверки решение не будет считаться полноценным, если даже посторонние корни не появились. Когда же они появились и не отброшены, то это решение просто неправильное.

Приведем некоторые свойства многочлена:

Корнем многочлена называют значение x , при котором многочлен равняется нулю. Любой многочлен степени n имеет ровно n корней. Если многочленное уравнение записано в виде , то , где x 1, x 2,…, xn – корни уравнения.

У любого многочлена нечетной степени с действительными коэффициентами есть хотя бы один действительный корень, а вообще у него всегда нечетное число действительных корней. Многочлен четной степени может не иметь действительных корней, и когда они есть - их количество четное.

Многочлен при любых обстоятельствах можно разложить на линейные множители и квадратные трехчлены с отрицательным дискриминантом. Если знаем его корень x 1, то Pn (x ) = (x - x 1) Pn- 1(x ).

Если Pn (x ) = 0 - уравнение четной степени, то кроме способа разложения его на множители, можно попробовать ввести замену переменной, с помощью которой степень уравнения понизится.

Пример. Решить уравнение:

Это уравнение третьей (нечетной) степени означает, что ввести вспомогательную переменную, которая понизит степень уравнения, - невозможно. Его надо решать методом разложения на множители левой части, для чего сначала раскроем скобки, а потом запишем его в стандартной форме.

Получим: x 3 + 5x – 6 = 0.

Это приведенное уравнение (коэффициент при высшей степени равен единице), поэтому ищем его корни среди множителей свободного члена – 6. Это числа ±1,±2,±3,±6. Подставляя x = 1 в уравнение, видим, что x = 1 является его корнем, поэтому многочлен x 3 + 5x –6 = 0 делится на (x – 1) без остатка. Выполним это деление:

x 3 + 5x –6 = 0 x – 1

x 3 – x 2 x 2 +x + 6

x 2 + 5x – 6

x 2 – x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6x – 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6x – 6

Поэтому x 3 + 5x –6 = 0; (x – 1)(x 2 + x + 6) = 0

Первое уравнение дает корень x = 1, который уже подобран, а во втором уравнении D< 0, оно не имеет действительных решений. Поскольку ОДЗ этого уравнения , то можно не проверять.

Пример..gif" width="52" height="21 src=">. Если перемножить первый множитель с третьим, а второй с четвертым, то в этих произведениях будут одинаковые части, которые зависят от x : (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Пусть x 2 + 4x = y , тогда уравнение запишем в виде (y – 5)(y – 21) – 297 = 0.

Это квадратное уравнение имеет решения: y 1 = 32, y 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ОДЗ: x ≠ – 9.

Если сведем данное уравнение к общему знаменателю, в числителе появится многочлен четвертой степени. Итак, допускается замена переменной, которая понизит степень уравнения. Поэтому не надо сразу сводить это уравнение к общему знаменателю. Здесь можно заметить, что слева стоит сумма квадратов. Итак, можно дополнить ее до полного квадрата суммы или разности. На самом деле вычтем и прибавим удвоенное произведение оснований этих квадратов: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, тогда y 2 + 18y – 40 = 0. По теореме Виета y 1 = 2; y 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32">, а во втором D < 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Ответ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height="48">.gif" width="132" height="50 src=">.

Получим квадратное уравнение a (y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала (корня) или под знаком возведения в дробную степень ()..gif" width="120" height="32"> и имеют одну и ту же область определения неизвестной. При возведении первого и второго уравнения в квадрат получим одно и то же уравнение . Решениями этого уравнения есть решения обеих иррациональных уравнений.

1. Метод подстановки : из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Из первого уравнения системы выражаем у через х и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему равносильную исходной.

После приведения подобных членов система примет вид:

Из второго уравнения находим: . Подставив это значение в уравнение у = 2 - 2х , получим у = 3. Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

2. Метод алгебраического сложения : путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.

Задача. Решить систему уравнение:

Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему равносильную исходной. Сложив два уравнения этой системы, придем к системе

После приведения подобных членов данная система примет вид: Из второго уравнения находим . Подставив это значение в уравнение 3х + 4у = 5, получим , откуда . Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

3. Метод введения новых переменных : ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Запишем данную систему иначе:

Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u через v и подставим во второе уравнение системы. Получим систему т.е.

Из второго уравнение системы находим v 1 = 2, v 2 = 3.

Подставив эти значения в уравнение u = 5 - v , получим u 1 = 3,
u 2 = 2. Тогда имеем две системы

Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Решить системы уравнений методом подстановки.

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x , искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y" в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y" - 5y" +6y = 0 . Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой .

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0 , если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

- общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y" = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x 0) = y 0 , называется задачей Коши.

Решение уравнения y" = f(x,y) , удовлетворяющее начальному условию, y(x 0) = y 0 , называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y" = f(x,y) при условии y(x 0) = y 0 , означает найти интегральную кривую уравнения y" = f(x,y) которая проходит через заданную точку M 0 (x 0 ,y 0 ).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y") = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y" = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0 .

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y"=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y) – заданные функции.

Для тех y , для которых , уравнение y"=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y"=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x , получим G(y) = F(x) + C – общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x) , C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Пример 1

Решить уравнение y" = xy

Решение. Производную функции y" заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Пример 2

2yy" = 1- 3x 2 , если y 0 = 3 при x 0 = 1

Это-уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x 0 = 1, y 0 = 3 найдем С 9=1-1+C , т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = - 3 найдем C :

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y" = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) - некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y" = f(x)y

Если то уравнение y" = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y" = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y" = ky где k - некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y" = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y" = kx + b ,

где k и b - некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример . Решить уравнение y" + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y" = -2y - 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y" = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv , где u и v - неизвестные функции от x . Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

y" = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv .

2. Продифференцировать это равенство y" = u"v + uv"

3. Подставить y и y" в данное уравнение: u"v + uv" = f(x)uv + g(x) или u"v + uv" + f(x)uv = g(x) .

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Пример 1

Найти частное решение уравнения y" = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y" = u"v + uv"

Подставляя y и y" в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v :

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0 :

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y",y") = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C 1 и C 2 .

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C 1 и C 2 .

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y" + py" +qy = 0 , где p и q - постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y" + py" +qy = 0 .

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y" через r 2 , y" через r , y через 1:r 2 + pr +q = 0