Следствия и замечания

• Эта теорема тесно связана с теоремой Гурвица о нормированных вещественных алгебрах . Нормированные алгебры с делением - только $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$ и (неассоциативная) алгебра чисел Кэли .
• При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (алгебра Кэли) и т. п.
• Не существует аналога системы кватернионов с двумя (а не тремя) кватернионными единицами.
• Поля $\backslash mathbb\; R$ и $\backslash mathbb\; C$ являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными алгебрами без делителей нуля .
• Тело кватернионов $\backslash mathbb\; H$ является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без делителей нуля .
• Алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной неассоциативной алгеброй без делителей нуля .

Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса .

Алгебры с делением над полем комплексных чисел

Алгебра размерности n над полем $\backslash mathbb\; C$ комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над $\backslash mathbb\; R$. Тело кватернионов $\backslash mathbb\; H$ не является алгеброй над полем $\backslash mathbb\; C$, так как центром $\backslash mathbb\; H$ является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над $\backslash mathbb\; C$ является алгебра $\backslash mathbb\; C$.

Гипотеза Фробениуса

В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве R n нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

Если при n>1 в пространстве R n определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей . Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере , следует, что это возможно только для сфер S 1 , S 3 , S 7 . Это доказывает гипотезу Фробениуса.

См. также

Напишите отзыв о статье "Теорема Фробениуса"

Литература

• Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. - М .: Наука, 1990. - 320 с.
• Курош А. Г. . - М .: Наука, 1973. - 400 с.
• Понтрягин Л. С. . - М .: Наука, 1986. - 120 с. - (Библиотечка «Квант» , выпуск 54).

Счётные множества

) Периоды Вычислимые Арифметические |заголовок2= Вещественные числа
и их расширения |заголовок3= Инструменты расширения
числовых систем |заголовок4= Иерархия чисел |список4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Целые числа $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;\backslash ;0\{,\}12,\backslash frac\{2\}\{3\},\backslash ;\backslash ldots$ Рациональные числа $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0\{,\}12,\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt\{2\},\backslash ;\backslash ldots$ Вещественные числа

$-1,\backslash ;\backslash frac\{1\}\{2\},\backslash ;0\{,\}12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^\{i\backslash pi/3\},\backslash ;\backslash ldots$

Комплексные числа

$1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac\{1\}\{2\}k,\backslash ;\backslash dots$ Кватернионы $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}m,\backslash ;\backslash dots$ Октонионы $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_\{15\},\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac\{2\}\{5\}e\_7\; -\; \backslash frac\{1\}\{3\}e\_\{15\},\backslash ;\backslash dots$ Седенионы |заголовок5= Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа Всё разбежалось. Дядюшка снял Наташу с лошади и за руку провел ее по шатким досчатым ступеням крыльца. В доме, не отштукатуренном, с бревенчатыми стенами, было не очень чисто, – не видно было, чтобы цель живших людей состояла в том, чтобы не было пятен, но не было заметно запущенности.
В сенях пахло свежими яблоками, и висели волчьи и лисьи шкуры. Через переднюю дядюшка провел своих гостей в маленькую залу с складным столом и красными стульями, потом в гостиную с березовым круглым столом и диваном, потом в кабинет с оборванным диваном, истасканным ковром и с портретами Суворова, отца и матери хозяина и его самого в военном мундире. В кабинете слышался сильный запах табаку и собак. В кабинете дядюшка попросил гостей сесть и расположиться как дома, а сам вышел. Ругай с невычистившейся спиной вошел в кабинет и лег на диван, обчищая себя языком и зубами. Из кабинета шел коридор, в котором виднелись ширмы с прорванными занавесками. Из за ширм слышался женский смех и шопот. Наташа, Николай и Петя разделись и сели на диван. Петя облокотился на руку и тотчас же заснул; Наташа и Николай сидели молча. Лица их горели, они были очень голодны и очень веселы. Они поглядели друг на друга (после охоты, в комнате, Николай уже не считал нужным выказывать свое мужское превосходство перед своей сестрой); Наташа подмигнула брату и оба удерживались недолго и звонко расхохотались, не успев еще придумать предлога для своего смеха.
Немного погодя, дядюшка вошел в казакине, синих панталонах и маленьких сапогах. И Наташа почувствовала, что этот самый костюм, в котором она с удивлением и насмешкой видала дядюшку в Отрадном – был настоящий костюм, который был ничем не хуже сюртуков и фраков. Дядюшка был тоже весел; он не только не обиделся смеху брата и сестры (ему в голову не могло притти, чтобы могли смеяться над его жизнию), а сам присоединился к их беспричинному смеху.
– Вот так графиня молодая – чистое дело марш – другой такой не видывал! – сказал он, подавая одну трубку с длинным чубуком Ростову, а другой короткий, обрезанный чубук закладывая привычным жестом между трех пальцев.
– День отъездила, хоть мужчине в пору и как ни в чем не бывало!
Скоро после дядюшки отворила дверь, по звуку ног очевидно босая девка, и в дверь с большим уставленным подносом в руках вошла толстая, румяная, красивая женщина лет 40, с двойным подбородком, и полными, румяными губами. Она, с гостеприимной представительностью и привлекательностью в глазах и каждом движеньи, оглянула гостей и с ласковой улыбкой почтительно поклонилась им. Несмотря на толщину больше чем обыкновенную, заставлявшую ее выставлять вперед грудь и живот и назад держать голову, женщина эта (экономка дядюшки) ступала чрезвычайно легко. Она подошла к столу, поставила поднос и ловко своими белыми, пухлыми руками сняла и расставила по столу бутылки, закуски и угощенья. Окончив это она отошла и с улыбкой на лице стала у двери. – «Вот она и я! Теперь понимаешь дядюшку?» сказало Ростову ее появление. Как не понимать: не только Ростов, но и Наташа поняла дядюшку и значение нахмуренных бровей, и счастливой, самодовольной улыбки, которая чуть морщила его губы в то время, как входила Анисья Федоровна. На подносе были травник, наливки, грибки, лепешечки черной муки на юраге, сотовой мед, мед вареный и шипучий, яблоки, орехи сырые и каленые и орехи в меду. Потом принесено было Анисьей Федоровной и варенье на меду и на сахаре, и ветчина, и курица, только что зажаренная.
Всё это было хозяйства, сбора и варенья Анисьи Федоровны. Всё это и пахло и отзывалось и имело вкус Анисьи Федоровны. Всё отзывалось сочностью, чистотой, белизной и приятной улыбкой.
– Покушайте, барышня графинюшка, – приговаривала она, подавая Наташе то то, то другое. Наташа ела все, и ей показалось, что подобных лепешек на юраге, с таким букетом варений, на меду орехов и такой курицы никогда она нигде не видала и не едала. Анисья Федоровна вышла. Ростов с дядюшкой, запивая ужин вишневой наливкой, разговаривали о прошедшей и о будущей охоте, о Ругае и Илагинских собаках. Наташа с блестящими глазами прямо сидела на диване, слушая их. Несколько раз она пыталась разбудить Петю, чтобы дать ему поесть чего нибудь, но он говорил что то непонятное, очевидно не просыпаясь. Наташе так весело было на душе, так хорошо в этой новой для нее обстановке, что она только боялась, что слишком скоро за ней приедут дрожки. После наступившего случайно молчания, как это почти всегда бывает у людей в первый раз принимающих в своем доме своих знакомых, дядюшка сказал, отвечая на мысль, которая была у его гостей:
– Так то вот и доживаю свой век… Умрешь, – чистое дело марш – ничего не останется. Что ж и грешить то!
Лицо дядюшки было очень значительно и даже красиво, когда он говорил это. Ростов невольно вспомнил при этом всё, что он хорошего слыхал от отца и соседей о дядюшке. Дядюшка во всем околотке губернии имел репутацию благороднейшего и бескорыстнейшего чудака. Его призывали судить семейные дела, его делали душеприказчиком, ему поверяли тайны, его выбирали в судьи и другие должности, но от общественной службы он упорно отказывался, осень и весну проводя в полях на своем кауром мерине, зиму сидя дома, летом лежа в своем заросшем саду.

Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй.

Пусть - альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в A операцию сопряжения следующим образом: если элемент а A пропорционален 1, то a = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре. В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент a, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре.

Из определения a непосредственно следует, что = а, а также =ka, где k R.

Пусть а A не пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, . R , .), содержащую а. В этой подалгебре для а A тоже имеется сопряженный элемент a. Покажем, что а совпадает с a.

Элементы а и a, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:

а+a = 2а* 1, где а R, (14)

а* a = d*1, где d R. (15)

Элементы а и a, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:

а+ a = 2а 1 * 1, где а 1 R, (14")

а * a = d 1 *1, где d 1 R. (15 /)

Вычтем из (14) и (15) соответственно (14 /) и (15"). Тогда:

a - a = 2(a - a1)*1.

а (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1.

a(a - a), то a = *1,

т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению.

Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры.

Точно так же |а| 2 = аa как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной подалгебры алгебры, так, что модуль элемента а A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры.

Тогда для любых a, b А справедливы равенства:

A+ и = a *. (16)

Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры, то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в кватернионной подалгебре алгебры.

Из = b и из второго равенства (16) вытекает, что = ba, откуда

a + ba = с* 1, где с R.

Определим в (A, +, . R , .) скалярное произведение (а, b) как

a + ba = 2(а, b) * 1.

Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения:

1) (а, а) > 0 при а? 0 и (0, 0) = 0.

В самом деле,

(а, а) * 1 = (аa + аa) = аa = |а|* 1,

а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а? 0 и равен 0 при а = 0.

2) (a, b) = (b. а), так как

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, тогда (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) при k R.

Действительно,

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

следует из определения скалярного произведения и первого равенства (16).

Из (а, а) = |а| 2 1 следует, что = |а|, т.е. норма элемента a А совпадает с модулем а как комплексного числа, так и кватерниона.

Так как любые два элемента а и b из алгебры принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то

|ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).

Следовательно, все свойства скалярного произведения для (а, b) выполняются. Отсюда следует, что алгебра есть нормированная линейная алгебра.

Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплесных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.

Так как по доказанному в предыдущей теореме альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей является нормированной линейной алгеброй, а последняя по теореме Гурвица изоморфна либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов, либо алгебре октав, то отсюда следует утверждение теоремы.

Если I = f0g, то F = R.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Если I = f0g, то F = R.

Если размерность подпространства I равна 1, то F = C.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Если I = f0g, то F = R.

Если размерность подпространства I равна 1, то F = C. Пусть размерностьподпространства I больше 1.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

пространства I . Положим i = p1 u. Тогда

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =
i2 =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u 2 (u2 ) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i = p1 u. Тогда i2 = 1:

По в сумму i v = + x, где 2 R, x 2 I.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =										u. Тогда i2 = 1:
			лемме о разложении элементов из F
			i v = + x, где				2 R, x 2 I . Согласно
					(i + v) 2 I , в		частности, (i + v)2 < 0.
			(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =										u. Тогда i2 = 1:
			лемме о разложении элементов из F
			i v = + x, где				2 R, x 2 I . Согласно
					(i + v) 2 I , в		частности, (i + v)2 < 0.
			(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

лемме о разложении элементов из F

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

Согласно

(i + v) 2 I ,

в частности, (i + v)2 < 0.

(i + v)2

(i + v)!

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

лемме о разложении элементов из F

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

Согласно

(i + v) 2 I ,

в частности, (i + v)2 < 0.

(i + v)2

(i + v)!

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
					о разложении				элементов из
				i v = + x, где					2 R, x 2 I .
					(i + v). Имеем j2 = 1,
		(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов из

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

(i + v)2

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

(i + v)2

x 2 I :

(i + v)2

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
					о разложении				элементов из
				i v = + x, где					2 R, x 2 I .

(i + v)2

Значит, ,

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
					о разложении				элементов из
				i v = + x, где					2 R, x 2 I .
					(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
		(i + v)2

I + j + i j ; ; ; 2 R

тело кватернионов.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
					о разложении				элементов из
				i v = + x, где					2 R, x 2 I .
					(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
		(i + v)2
Значит, по лемме о вложении тела кватернионов вF ,

I + j + i j ; ; ; 2 R

тело кватернионов.

Таким образом, если линейное пространство I имеет размерность 3, то F это тело кватернионов.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

подпространства I больше 3.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I

Возьмем линейно независимую

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

							x; y; z 2 I :

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

В силу леммы о подпространстве I t = m + i + j + k 2I . Излинейной независимости системы векторов fi; j; k; mg сле-

дует, что t 6= 0.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

лемме о подпространстве I

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j = x + k j

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

							x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

Аналогично можно доказать, что j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

											x; y; z 2 I :
Доказано, что			0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпро-
странстве I			i t 2 I, j t 2 I,
Положим n =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

N i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

N k = n i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

Следовательно, 2k n = 0, противоречие.

VII. Теорема Фробениуса

Теорема 2. Пусть F тело , причем R F ,

9i1 ; i2 ; : : : ; in		9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :

Тогда F это либо R, либо C, либо тело кватернионов .

Теорема доказана.

внимание!

e-mail: [email protected]; [email protected]

сайты: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

Теорема, описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что: 1) Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля. 2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля. Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля: 3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля. Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8. Лит.: Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973. О. А. Иванова.

Смотреть значение Фробениуса Теорема в других словарях

Теорема — теоремы, ж. (от греч. theorema, букв. зрелище) (науч.). Положение, справедливость к-рого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных........
Толковый словарь Ушакова

Теорема Ж. — 1. Положение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем доказательства (в математике).
Толковый словарь Ефремовой

Вторая Теорема Экономики Благосостояния — - утверждает, что всякое Парето-оптимальное состояние является равновесным для некоторого первоначального распределения вкладов факторов производства.
Экономический словарь

Двухфондовая Теорема Разделения — Теоретическое утверждение о том, что все
инвесторы предпочитают вкладывать средства в комбинацию двух активов: безрискового
актива и рыночного портфеля.
Экономический словарь

Разделительная Теорема Фишера — Выбор компанией инвестиций не зависит от отношения владельцев к данным
инвестициям. Также называется теоремой раздельного портфеля (portfolio separation theorem).
Экономический словарь

Теорема Взаимного Фонда — Результат, сопряженный с
моделью определения стоимости
капитала и утверждающий, что
инвесторы предпочтут составить весь рискованный
портфель из акций........
Экономический словарь

Теорема Выравнивания Цен На Факторы Производства (теорема Хекшера-олина- Самуэльсона) — - согласно ей под воздействием развития международной торговли происходит
выравнивание абсолютных и относительных цен на
факторы производства в участвующих в торговле странах
Экономический словарь

Теорема Коуза — - дает решение того, как на основе прав собственности можно бороться с "внешними эффектами": шумом аэродрома, нарушающим покой; фабричным дымом, отравляющим воздух и........
Экономический словарь

Теорема О Разделении — (separation theorem) – в модели оценки капитальных активов – утверждение согласно которому
оптимальный
портфель рискованных активов для любого
инвестора не зависит........
Экономический словарь

Теорема Об Эффективном Множестве (efficient Set Theorem) — утверждение о том, что инвесторы будут выбирать портфели только из эффективного множества.
Экономический словарь

Теорема Паритета Процентных Ставок — Разница в процентных
ставках двух стран равна разнице между форвардным валютным курсом и наличным курсом.
Экономический словарь

Теорема Равенства Цен Спот И Фьючерс — Теорема, описывающая идеальную
зависимость между текущими ценами "
спот" и фьючерсными ценами. Там, где происходит
отклонение от такой идеальной зависимости,........
Экономический словарь

Теорема Разделения — Теорема, утверждающая, что
стоимость
инвестиции для каждого индивидуального
инвестора не зависит от его потребительских предпочтений. Любой инвестор примет........
Экономический словарь

Теорема Разделения (separation Theorem) — свойство САРМ, состоящее в том, что оптимальная для инвестора комбинация рискованных активов не зависит от его отношения к риску и доходности.
Экономический словарь

Теорема Разделения Портфеля / Теорема Раздельного Портфеля — Выбор инвестором рискованного инвестиционного портфеля осуществляется независимо от его отношения к
риску. Ср. Fishers separation theorem (
разделительная теорема Фишера)
Экономический словарь

Теорема Рыбчинского — (в теории международной торговли) - согласно ей увеличение
предложения и использования одного из факторов производства приводит к непропорционально большому увеличению........
Экономический словарь

Теорема Самуэльсона-джонса — (в теории международной торговли) - согласно ей
развитие международной торговли приводит к
росту доходов владельцев факторов, специфических для
экспорто-ориентированных........
Экономический словарь

Теорема Столпера-сэмюэльсона — экономическое положение, согласно которому повышение цены любого товара при неизменных остальных факторах приводит к повышению цен тех ресурсов, которые используются........
Экономический словарь

Теорема — -ы; ж. [греч. theōrēma] Математическое положение, истинность которого устанавливается путём доказательства. Геометрическая т. Доказать теорему.
Толковый словарь Кузнецова

Великая Теорема Ферма — , гипотеза, впервые высказанная ФЕРМА, что для всех целых чисел n2 не существует таких натуральных чисел х, у и z, которые удовлетворяли бы уравнению хn+уn=zn. На полях одной........

Теорема — , утверждение или предложение, которое доказывается логическими рассуждениями, основанными на фактах и АКСИОМАХ. см. также ВЕЛИКАЯ ФЕРМА.
Научно-технический энциклопедический словарь

Безу Теорема — остаток от деления многочлена Pn(x) степени n на двучлен x - b, где b - число, равен Pn(b). Установлена Э. Безу.

Бернулли Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей;простейший случай закона больших чисел, относится к распределениюотклонений частоты появления некоторого случайного........
Большой энциклопедический словарь

Вариньона Теорема — момент равнодействующей системы сил относительнолюбого центра (или оси) равен сумме моментов сил этой системы относительнотого же центра (оси).
Большой энциклопедический словарь

Виета Теорема — установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенногоквадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположнымзнаком, а произведение - свободному члену.
Большой энциклопедический словарь

Гаусса Теорема — основная теорема электростатики, устанавливающая связьмежду потоком напряженности электрического поля через замкнутуюповерхность и электрическим зарядом внутри этой поверхности.
Большой энциклопедический словарь

Жуковского Теорема: — подъемная сила - действующая на тело в потоке жидкостиили газа, обусловлена связанными с телом вихрями (т. н. присоединеннымивихрями), возникающими из-за вязкости жидкости........
Большой энциклопедический словарь

Ирншоу Теорема — сформулированная английским ученым С. Ирншоу в 19 в.теорема электростатики, согласно которой система покоящихся точечныхзарядов, расположенных на любом расстоянии........
Большой энциклопедический словарь

Косинусов Теорема — теорема тригонометрии, устанавливающая соотношениямежду сторонами a, b, c произвольного треугольника и косинусом угла Смежду сторонами a и b: c2 = a2 + b2 - 2abcosC.
Большой энциклопедический словарь

Лапласа Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей. Если прикаждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторогослучайного события Е равна р (0"р"1) и m - число........
Большой энциклопедический словарь

ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА

Описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что:
1) Поле действительных чисел и комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля.
2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля:
3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8.

Лит. : Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.
О. А. Иванова.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА" в других словарях:

Теорема об условиях полной интегрируемости системы уравнений Пфаффа или (в геометрич. терминах) об условиях, при к рых заданное на дифференцируемом многообразии поле n мерных касательных подпространств является касательным полем нек рого слоения … Математическая энциклопедия

Пусть действительная квадратная матрица А, рассматриваемая как оператор в пространстве, не имеет инвариантных координатных подпространств (такая матрица наз. неразложимой) и неотрицательна (т. е. все ее элементы неотрицательны). И пусть ее… … Математическая энциклопедия

Пусть A квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения: наибольшее по модулю собственное число является вещественным и строго положительным это собственное значение является простым… … Википедия

Теорема Фробениуса Перрона (англ.): Пусть квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения: наибольшее по модулю собственное значение является вещественным и строго… … Википедия

Фердинанд Георг Фробениус нем. Ferdinand Georg Frobenius … Википедия

- (нем. Ferdinand Georg Frobenius; 26 октября 1849, Берлин 3 августа 1917, Шарлоттенбург) немецкий математик. Биография В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, зат … Википедия

Фердинанд Георг Фробениус Фердинанд Георг Фробениус (нем. Ferdinand Georg Frobenius; 26 октября 1849, Берлин 3 августа 1917, Шарлоттенбург) немецкий математик. Биография В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, зат … Википедия

Фердинанд Георг Фробениус Фердинанд Георг Фробениус (нем. Ferdinand Georg Frobenius; 26 октября 1849, Берлин 3 августа 1917, Шарлоттенбург) немецкий математик. Биография В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, зат … Википедия

Кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно … Математическая энциклопедия

Книги

• , Зорич В.. Эта книга - записи годового экспериментального спецкурса естественнонаучного содержания для математиков, а также студентов и специалистов иных специальностей. Внем представлены три темы: -…
• Математический анализ задач естествознания , В. А. Зорич. Эта книга - записи годового экспериментального спецкурса естественнонаучного содержания для математиков, а также студентов и специалистов иных специальностей. Внем представлены три темы: -…